U LFakultät — Kursname

Der Titel der Präsentation

Ein Template für die LATEX-Klasse „Beamer“

Andreas Linzandreas.linz@studserv.uni-leipzig.de

b

Leipzig / 27. Juli 2014

1. Inhaltsverzeichnis 2/30Inhaltsverzeichnis I

1. E

2. P T

3. P B

4. K D MC

5. P A

6. E C6.1 Größter gemeinsamer Teiler6.2 Ein Pseudocode Beispiel6.3 Literaturverzeichnis

2. Einührung 3/30Formale Systeme & Widerspruchsfreiheit

formales System

Ein System welches Regeln enthält, mit deren Hilfe sichmathematische Aussagen beweisen lassen und mit denen ausbereits bewiesenen Aussagen neue Aussagen abgeleitetwerden können.

widerspruchsfrei

▶ A Aussage▶ T formales System

¬∃A : T → A ∧ T → ¬A

2. Einührung 4/30

Gödelisierung

Berechenbare Zuweisung einer eindeutigen natürlichen Zahlür jedes Wort¹ einer formalen Sprache.

Turing-Maschine

▶ Schreib-Lese-Kopf▶ unendlich langes Eingabe-/Ausgabeband▶ endliche Menge an Eingabesymbolen und internen

Zuständen▶ Initial- und Haltezustand▶ Zustandsübergangsfunktion

qaktuell, aeingabe → qfolge, aausgabe, ddirection▶ Universelle Turing-Maschine benötigt zusätzlich die

Maschinenbeschreibung als Eingabe

¹endliche Folgen von Symbolen aus dem Alphabet der formalenSprache

3. Penroses These 5/30Penroses ese

▶ in der Mathematik hat unser Denkprozess die reinsteForm

▶ falls das Denken bloß die Ausührung einer Berechnungist, dann sollte man dies am deutlichsten in derMathematik sehen

▶ erstaunlicherweise zeigt sich genau das Gegenteil▶ Der menschliche Denkprozess ist nicht algorithmisierbar

↪→ nicht durch eine (universelle) Turing-Maschinesimulierbar

3. Penroses These 6/30

Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Kein formelles System aus widerspruchsfreienmathematischen Regeln kann jemals ausreichen, alle wahrenAussagen der klassischen Arithmetik zu beweisen. M. a. W. esgibt immer Aussagen in dem System die wahr aberunbeweisbar sind.

▶ Arithmetik ür den Menschen durch Intuition undVerstand begreifbar, aber nicht durch ein formellesSystem

▶ Indirekter Beweis m. H. des Unvollständigkeitssatzes unddes Halteproblems

▶ Annahme es gibt ein formales System welches dasmenschliche Denken beschreibt

3. Penroses These 7/30

▶ Penrose verwendet die Begriffe Berechnung undAlgorithmus gleichbedeutend

▶ Algorithmus entspricht dem Verhalten einerTuring-Maschine

▶ kann nicht nur arithmetische sondern auch logischeOperationen zur Ableitung neuer Aussagen verwenden

▶ zeigt „visuellen Beweis“ als Unterstützung seiner These,dass der menschliche Verstand nicht berechenbareMethoden verwendet

3. Penroses These 8/30Penroses Beispiel ür „visuellen Beweis“

Fragestellung

Finde eine Summe von aufeinanderfolgendenHexagonal-Zahlen, beginnend von 1, welche keineKubik-Zahl² ergibt.

Reihe von Hexagonal-Zahlen

hex(n) =

{∑ni=1 hex(i− 1) + 6 ∗ i, wenn n > 0, n ∈ N

1, wenn n = 0

²x3, x ∈ N

3. Penroses These 9/30

▶ Folge von Hexagonal-Zahlen ürn ∈ {1, 2, 3, 4} = {1, 7, 19, 37}

▶ Summen der aufeinanderfolgenden Hexagonalzahlen{8, 27, 64} = {23, 33, 43} ür n ∈ {2, 3, 4}

Penroses Beweis

4. Penroses Beweis 11/30Penroses Beweis

▶ C(n), n ∈ N▶ Indizierung aller Algorithmen C0,C1,C2 . . .Cq

▷ Jeder Algorithmus ist durch eine Turing-Maschineausührbar

▷ Jede Turing-Maschine kann durch eine Zeichenkeebeschrieben werden

▷ Zeichenkeen sind indizierbar (z.B. durch Gödelisierung)▶ Angenommen es exisitert ein Algorithmus A der ausgibt

ob Cq(n) hält▶ A beinhaltet dabei alle Methoden mathematischer

Beweisührung (um zu überprüfen das eine Berechnungnicht hält)

▶ Wenn A(q, n) hält, dann hält Cq(n) nicht▶ A muss nicht immer entscheiden können das Cq(n) hält,

aber er liefert auch keine falschen Antworten, d.h. er istwiderspruchsfrei

4. Penroses Beweis 12/30Gödel-Turing Satz G

a) q = n: wenn A(n, n) hält, dann hält Cn(n) nichtb) A(n, n) = Ck(n), k ∈ {0, . . . q}

A 0 1 … k … n−1 nC0

C1

…Ck

…Cn−1

Cn

c) ür n = k : A(k, k) = Ck(k)d) wenn A(k, k) hält, dann hält Ck(k) nichte) c) in d) einsetzen: wenn Ck(k) hält, dann hält Ck(k) nicht

4. Penroses Beweis 13/30

▶ Wenn A widerspruchsfrei ist, dann wissen wir das Ck(k)nicht hält und somit wissen wir etwas was A nichtbeweisen kann.

→ A kann unseren Verstand nicht abbilden▶ G : Mathematiker nutzen keinen bekannten

widerspruchsfreien Algorithmus ür mathematischeBeweise

Kritik von DarylMcCullough

5. Kritik von Daryl McCullough 15/30Kritik von Daryl McCullough [McC95]

▶ Penrose gibt kein direktes Argument ür seine These▶ er zeigt keine konkrete Aufgabe die ein Mensch

ausühren kann aber ein Computer nicht (Folie 8)▶ stadessen indirekter Beweis unter der Annahme es

existiert „Programm“ welches genauso intelligent wie einMensch ist

5. Kritik von Daryl McCullough 16/30Penroses Argument

▶ Penroses Denkvermögen wird durch ein formales SystemF beschrieben

▶ dies bedeutet das jede in F beweisbare Aussage S ürPenrose wahr ist (F widerspruchsfrei)

▶ S ist also ein Satz (Theorem) von F und umgekehrt▶ Annahme: Penrose weiss das F seinen Verstand beschreibt

↪→ dies zieht—gemäß Penrose—den Glaube in dieWiderspruchsfreiheit von F nach sich

▶ Aufgrund des Unvollständigkeitssatzes ist G(F) eine wahreAussage aber kein Satz von F

▶ Da Penrose an die Widerspruchsfreiheit von F glaubt,muss er folgern das G(F) wahr ist Da G(F) nicht in F enthalten ist, widerspricht dies derAnnahme das F sein Denkvermögen vollständigbeschreibt

5. Kritik von Daryl McCullough 17/30

Uneindeutigkeit in der Bedeutung von F

Mögliche Interpretationen des formalen Systems F:

1. F stellt das angeborene Denkvermögen dar

2. es stellt das Denkvermögen zu einem bestimmtenZeitpunkt dar, einschließlich des empirischen Wissens

3. F beinhaltet jegliches erreichbare Wissen, obgleich durchSchlussfolgerung oder Empirie

▶ Uneindeutigkeit von F entscheident bei der Frage ob derMathematiker weiss das sein Denkvermögen durch Fbeschrieben wird (z. B. falls diese Erkenntnis durchempirisches Wissen erzeugt wird)

▶ Penrose umgeht dieses Problem indem er ein F′einührt,

was F sowie alles was sich aus dem Bewusstsein durch Fbeschrieben zu sein ableiten lässt, enthält

5. Kritik von Daryl McCullough 18/30

Für G getroffene Annahmen

a) Logisches Denken ist widerspruchsfrei

b) a) ist unzweifelha wahr

▶ G beweist nicht, dass das menschliche Denkvermögennicht berechenbar ist, sondern, falls es algorithmisierbarist, zeigt es:a) das es widersprüchlich istb) das es unmöglich ür uns ist, gleichzeitig unser

Urteilsvermögen (F) zu kennen und zu wissen ob eswiderspruchsfrei ist

▶ Penrose behauptet: „ Falls wir einen Algorithmus Fkennen der unser Denkvermögen beschreibt, dann sindwir gezwungen dessen Widerspruchsfreiheit zu folgern. “

5. Kritik von Daryl McCullough 19/30Lässt sich G auf Menschen anwenden?

▶ Penroses Argumente bedingen die Fähigkeit bestimmtezweifelsfreie Wahrheiten zu erkennen

▶ eine falsche Aussage darf nicht als zweifelsfrei wahrbewertet werden, diese Tatsache ist aber widerlegbar

ick and Dirty (selbstbezogene Aussage)

▶ G: „Dieser Satz ist keine Überzeugung von Roger Penrose“▶ G ∈ Penrose → G : falsch▶ Umgekehrt, wenn Penroses Überzeugungen

widerspruchsfrei sind, dann G ̸∈ Penrose → G : wahr. Wenn Penrose glaubt seine Überzeugenen wärenwiderspruchsfrei, sind sie es tatsächlich nicht.

5. Kritik von Daryl McCullough 20/30

Formeller (Paradoxon)

F(x) : N → N, x ∈ N

F(x) =

{G(x) + 1, wenn x = code(G),G : N → N0, sonst

N = code(F)

F(N) = F(N) + 1

↪→ F(N) = 0

▶ Paradoxon zeigt das die Idee einer eindeutigen Definitionselbst nicht eindeutig sein kann

▶ Gleichermaßen kann die Idee einer zweifelsfreienWahrheit selbt nicht zweifelsfrei sein

5. Kritik von Daryl McCullough 21/30Gedankenexperiment

▶ Gegeben seien zwei Tasten ür die AntwortmöglichkeitenJa und Nein

▶ die Testperson soll die entsprechende Taste als Antwortauf eine Entscheidungsfrage betätigen

▶ „Werden Sie die Nein-Taste betätigen?“

→ Keine korrekte Antwort auf die Frage möglich▶ die Testperson kann ihr Wissen nicht mieilen und ist

somit nicht widerspruchsfrei▶ Wenn man Schlüsse aus seiner eigenen

Widerspruchsfreiheit ableitet ührt dies zu einem Fehler

5. Kritik von Daryl McCullough 22/30McCulloughs Fazit

▶ Penroses Argument das unser Denkvermögen nichtformalisierbar ist, ist (in gewissen Sinne) korrekt

▶ kein Problem des formalen Systems sondern eineimplizite Beschränkung unserer Fähigkeit über unsereigenes Denkvermögen Schlüsse zu folgern

▶ bis zu dem Punkt an dem wir unser eigenes logischesDenken verstehen, können wir uns über dessenWiderspruchsfreiheit nicht sicher sein

▶ Andersherum, bis zu dem Punkt an dem wir wissen daswir widerspruchsfrei sind, können wir unser logischesDenken nicht formalisieren

↪→ Diese Einschränkung besitzt jedes System was in derLage ist über sich selbst zu schlussfolgern

Penroses Antwort

6. Penroses Antwort 24/30Penroses Antwort [Pen96]

Wiederholung

▶ Annahme: „die Gesamtheit aller Methoden dermathematischen Beweisührung können in einem (nichtnotwendigerweise berechenbaren) widerspruchsfreienformalen System F gebündelt werden“

a) Wenn ich erkenne das ich F wäre, dann müsste Fwiderspruchsfrei sein und insbesondere F

′

(F+ „Ich bin F“)b) Also müsste auch G(F

′) wahr sein b) Erkenntnis außerhalb der Fähigkeit von F

′↪→ somit

kann ich nicht durch F beschrieben sein▶ Penrose hat „stärkere“ Form des Beweises gezeigt (ohne

die Annahme zu wissen von F beschrieben worden zusein)

6. Penroses Antwort 25/30

▶ MC kritisiert das sich G nicht nur auf „berechenbare“ Fanwenden lässt

▶ Penrose zeigt genau dies in Abschni 7.9▶ wichtiger noch, die Fähigkeiten von F (Schlüsse über sich

selbst zu ziehen) müssen eingeschränkt sein, daansonsten Widersprüche aureten³

▶ MC benutzt eine solche paradoxe Beweisührung (sieheFolie 19)

³Einschränkung wird nicht konkret benannt

7.1. Größter gemeinsamer Teiler 26/30

1 # g r e a t e s t common denominator2 def gcd(a, b):3 """Calculate the Greatest Common Divisor of a and b.4

5 Unless b==0, the result will have the same sign asb (so that when b is divided by it, the resultcomes out positive).

6 """7 while b:8 a, b = b, a%b9 return a

Listing 1: GCD in python3

7.2. Ein Pseudocode Beispiel 27/30

Algorithm 1: How to write algorithms

Result: Write here the result1 initialization;2 whileWhile condition do3 instructions;4 if condition then5 instructions1;6 instructions2;

7 else8 instructions3;9 end10 end

7.2. Ein Pseudocode Beispiel 28/30nested items

▶ item▷ subitem▷ another subitem

• subsubitem one• second subsubitem

▶ this item ist alerted

an example block

This should clarify something.

an alert blockAention!

Fragen?

8.0. Literaturverzeichnis 30/30Bibliographie I

▶ Daryl McCullough. „Can humans escape Gödel?“In: Psyche 2.4 (1995).

▶ Roger Penrose. „Beyond the doubting of ashadow“. In: Psyche 2.23 (1996).