Anillo(matemtica)DeWikipedia,laenciclopedialibre

Enlgebramoderna,unanilloesunsistemaalgebraicoqueesunaternaformadaporunconjunto(A) novacoydosoperacionesinternas,llamadasusualmente"suma"y"producto"(A,+,*),demodoque(A,+)esungrupoconmutativoconelementoneutro(quesedesignapor0),yelproducto*queesasociativoyesladistributivorespectodelasuma.Lainversadelaoperacin+sellamadiferenciayseindicaporab.Engenerallaoperacina.bnotieneinversa1Sielproductoesconmutativosetratadeunanilloconmutativoysielanilloposeeunelementoneutroparaelproducto,lollamaremosanilloconunidadoanillounitario,elelementoneutromultiplicativo,siexiste,sesealacomo1.

ndice

1Ejemplodeunanillo2Definicinformal

2.1Definicinsinttica3Ejemplos4Elementosdestacadosenunanillo5Algunostiposimportantesdeanillos6Subsistemasnotables

6.1Subanillos6.2Ideales6.3Unidades6.4Centro

7Vasetambin8Referenciasynotas9Bibliografa10Enlacesexternos

Ejemplodeunanillo

Unejemplomsalamanodeanillosepuedeobtenerdelconjuntofamiliardelosnmerosenteros:

...8,3,2,1,0,1,2,3,8,...

provistodedosde lasoperacionesbinarias: laadicinylamultiplicacinconocidasdesdelamatemticaescolar. Histricamente, el conjunto de los enteros con sus dos operaciones sirvi de base para laformulacindelconceptodeanillo[citarequerida].Laraznporlacuallosenterosformanunanilloesqueposeenlassiguientespropiedades:

1. Losnmerosenterosestncerradosbajolasuma:dadosdosnmerosenterosayb,secumplequea+besunnmeroentero.

2. Lasumaesasociativa:dadostresnmerosenterosa,byc,secumpleque(a+b)+c=a+(b+c).3. Existeunelementoneutroparalasuma:paratodonmeroenteroa,a+0=0+a=a.4. Existeunelementosimtricoparalasuma:paratodonmeroenteroa,siempreexistealgnnmero

enterob,talquea+b=0.5. Lasumaesconmutativa:dadosdosnmerosenterosayb,secumplequea+b=b+a.6. Los nmeros enteros estn cerrados bajo la multiplicacin: dados dos nmeros enteros a y b, se

cumplequeabesunnmeroentero.7. Lamultiplicacinesasociativa:dadostresnmerosenterosa,byc,secumpleque(ab)c=a

(bc).8. Existeunelementoneutroparalamultiplicacin:paratodonmeroenteroa,a1=a.9. Lamultiplicacinesdistributivarespectodelasuma:a(b+c)=(ab)+(ac).

Definicinformal

SeaAunconjuntonovaco,ysean y dosoperacionesbinariasenA.Sedicequeelconjuntoesunanillosisecumplenlassiguientespropiedades:

1. Aescerradobajolaoperacin .2. Laoperacin esasociativa.

3. La operacin tiene a n como elementoneutro.4. Existeunelementosimtricopara .

Estascuatrocondicionesdefinenungrupo.Unaquintacondicindefineungrupoabeliano:

5. Laoperacin esconmutativa.

Paradefinirunanillo,esnecesarioagregartrescondicionesmsquehablanacercadelasegundaoperacinbinaria:

6. Aescerradobajolaoperacin .7. Laoperacin esasociativa.

8. Laoperacin esdistributivarespectode .

Yagregandounanovenacondicin,sedefineunanilloconmutativo:

9. Laoperacin esconmutativa.

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operacin se llama anillo unitario. A dichoelemento se le suele llamar launidad (1)paradiferenciarlodel elementoneutrode laprimeraoperacin(usualmenteel0).

Definicinsinttica

UnanilloResunconjuntocondosleyesdecomposicin,llamadasadicinymultiplicacin, cumpliendolascondicionessiguientes:2

R1.Resgrupoabelianoparalaadicinelelementoneutroenestaadicinsenombracerodelanillo,

ysedenotausualmente0R2.ResunsemigrupoparalamultiplicacinR3.Lamultiplicacinesdistributiva(porlosdoslados)respectodelaadicin.

Ejemplos

ElconjuntodelosenterosgaussianosH={m+ni:m,n},conlaadicinymltiplicacinusualesesunanillounitario.Esunsubanillodelosnmeroscomplejos.ElconjuntoMde lasmatrices realesdeorden2con la adicinymultiplicacindematricesesunanillonoconmutativo.ElconjuntoQ( )delosnmerosreales:m+n dondem,n(sonracionales,conlaadicinymultiplicacin,esunanillounitarioconmutativo.3ElconjuntoZ[6]delosenterosmdulo6conlaadicinymultiplicacinmodular,esunanillofinitocondivisoresde0.ElconjuntoF[x]delospolinomiosconcoeficientesen(conjuntodelosenteros),conlaadicinymultiplicacin,esunanillounitario.

Elementosdestacadosenunanillo

Elementocero,denotadopor ,eselelementoneutroparalasuma.Paraesteelementoseverificalosiguiente:

SeaAunanilloarbitrario.

Demostracin

Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple para todoelementoadelanillo,se llamaelementounitario.Elelementoceroyelelementounitario(casodeexistir)slocoincidenenelcasodequeelanilloseatrivial:

Demostracin

Inversomultiplicativo:enunanillounitario,sepuedendefinirelementosinversosmultiplicativosdelasiguientemanera:

el elemento es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por laizquierda)de si .Asmismo,elelemento esinversomultiplicativoporladerecha(osencillamenteinversoporladerecha)de si .

No todos los elementos tienen inverso, e incluso es posible que un elemento tenga inverso por laizquierdaperonopor la derecha, o viceversa.Sin embargo, cuandoun elementoa tiene elementoinversoporlaizquierdayporladerecha,entoncesambossoniguales,ysedenotasimplementecomoelementoinverso( ).

Elemento inversible, elemento invertible o unidad: es todo aquel elemento que posee inversomultiplicativo.

Divisordecero:unelemento esdivisordelceroporlaizquierda,siexistealgn ,talque ab=0.Lo es por la derecha si existe un distinto de 0 tal que ca=0. Se dir quea esdivisordelcerosiloestantoporladerechacomoporlaizquierda.

Elemento regular: un elemento de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todoelementoinvertibleesregular.

Elemento idempotente: es cualquier elemento del anillo que al multiplicarse por s mismo novara,esdecir,talque (oalternativamente ).Elceroessiempreidempotenteenunanillo,ysielanilloesunitario,tambinel1esidempotente.

Elemento nilpotente (o nihilpotente): es cualquier elemento del anillo para el que existe unnmero natural de forma que (donde se define por recurrencia: ,

). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento nilpotente esdivisordecero.

Algunostiposimportantesdeanillos

Anilloconmutativo:aquelenelqueelproductoesconmutativo,estoes,ab=bapara todosayb(nodebeconfundirseconanilloabeliano).

Anillounitario: aquel que posee un elemento unitario y adems, ste es distinto del neutro de lasuma.

Anillodedivisin:eselanilloenelcualtodoelemento,aexcepcindel0,tieneinverso.

Anillocon leyesdesimplificacin: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificacin.Si unanillonotienedivisoresdelcero,secumplenlasleyesdesimplificacin,yelrecprocotambinescierto.

Dominiode integridad: si un anillo no posee divisores del cero, es un dominio de integridad (amenudosesueleexigirqueademssetratedeanillosconmutativosyunitarios,peroestaexigencianoesaceptadaportodoslosautores).

Cuerpo:setratadeunanillodedivisinconmutativo.

Anilloabeliano:esunanilloenelquetodoelementoidempotentepertenecealcentrodelanillo,esdecir,todoelementoidempotenteconmutaconcualquierelementodelanillo.

Anilloeucldeo4odominioeucldeoesundominiodeintegridadRjuntoconunanormaeucldeaN.Elanillode losenteros, el de los enteros gaussianosy los anilllos depolinomios son ejemplosdedominioseucldeos.

Subsistemasnotables

Subanillos

Unsubanillo de un anillo =(A,+,) es un subconjunto que cumpleque es cerradopara lasumaylamultiplicacinenelanillo,estoes,si ,entonces y .Si(esdecir,sielanilloesunitario),entoncesseexigirademsque .Ntesequeenestecaso,cuandoelanilloesunitario,{0}nosersubanillode ,yslosersi noesunitario.

Unsubanillo espropiocuandonocoincidecontodoelanillo,esdecir,si .

Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). Enparticular, esunsubgrupode .

Ideales

Demuchomayorintersenteoradeanillossonlosideales,puestoquenoslosoncerradosrespectodelamultiplicacinrespectodeloselementosdelideal,sinotambincuandounelementodelidealsemultiplicaporcualquierelementodelanillo:

Unsubconjunto es idealpor la izquierda de un anillo (A,+,) si es subgrupodeydadoscualesquiera y setieneque .

Un subconjunto es ideal por la derecha de un anillo (A,+,) si es subgrupo deydadoscualesquiera y setieneque .

CuandounsubconjuntoIesidealporladerechaeidealporlaizquierdasedicequeesunidealbiltero,osimplemente ideal. La propiedad conmutativa asegura que en los anillos conmutativos todo ideal por laizquierdaloestambinporladerecha,ytodoidealporladerechaesidealporlaizquierda,estoes,todoslosideales(porlaizquierdaoporladerecha)deunanilloconmutativosonidealesbilteros.

Unidealnotieneporqusernecesariamenteunsubanillo.Unideal sedicequeespropiosiesdistintodetodoelanillo,estoes, .

Unidades

Elconjuntodeelementosinvertiblesdeunanillounitario ,llamadosunidadesdeR,formaun grupo respecto de la multiplicacin del anillo, que recibe el nombre de grupo de unidades de R,denotado .

Si esideal(porlaizquierda,porladerechaobiltero)propiodeunanillounitario , eselgrupodeunidadesdeR,entonces ,estoes,ningnidealpropiotieneelementosinvertibles.Enparticular,ningnideal(porlaizquierda,porladerechaobiltero)propiotieneporelementoal1,loqueimpidealosidealessersubanillosdeanillosunitarios.

Porejemplo, lasunidadesdelanillode losenterosson1y1(isomorfoalgrupodedoselementos),yelgrupodeunidadesdelasmatricescuadradasdeordenneselgrupolinealgeneraldeordenn,quecontienealasmatricescondeterminantedistintode0.

Centro

Elcentrodeunanillo (denotadopor )eselconjuntodeelementosqueconmutanparaelproducto, es decir . El centro de un anillo viene a sercomo "la parte conmutativa del anillo". Ntese que siempre se tiene que . Los anillosconmutativossonaquellosquecoincidenconsucentro,i.e., .

Porejemplo,elcentrodelanillodelasmatricescuadradasdeordennestconstituidonicamenteporlasmatricesescalares,aquellasquesonigualesalamatrizidentidadmultiplicadaporunescalar..

Vasetambin

Grupo(matemtica).Grupoabeliano.Anilloconmutativo.Cuerpo(matemtica).Homomorfismodeanillos.

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Enlacesexternos

Weisstein, Eric W. Ring (http://mathworld.wolfram.com/Ring.html). En Weisstein, Eric W.MathWorld(eningls).WolframResearch.

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