ANKARA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇEŞİTLİ OPERATÖRLERİN BAZI KORUMA ÖZELLİKLERİ

Melek KART

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2008

Her hakkı saklıdır

i

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

ÇEŞİTLİ OPERATÖRLERİN BAZI KORUMA ÖZELLİKLERİ

Melek TOPALOĞLU

Ankara Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı

Danışman : Doç.Dr. Gülen BAŞCANBAZ TUNCA

Bu çalışmada çeşitli lineer pozitif operatörlerin bazı koruma özellikleri ve operatör

dizilerinin konveks fonksiyon altında monoton yakınsaklığı incelenmiştir.

Tez, beş bölümden oluşmaktadır.

İlk bölüm giriş için ayrılmıştır.

İkinci bölümde, konu ile ilgili gerekli tanımlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde, tek değişkenli Bernstein Polinomlarının, f nin sağladığı Lipschitz

koşulu, alttoplamsallık, monotonluk gibi özellikleri koruduğu gösterilmiştir.

Dördüncü bölümde, Meyer-König ve Zeller operatörünün, f nin sağladığı Lipschitz

koşulunu koruduğu ve operatör dizisinin f konveks iken n ye göre monotonluğu

incelenmiştir.

Son bölümde, tensör çarpım olmayan çok değişkenli Baskakov operatörünün f nin

sağladığı Lipschitz koşulu, alttoplamsallık, monotonluk gibi özellikleri koruduğu

gösterilmiştir, ayrıca operatör dizisinin f konveks iken n ye göre monotonluğu

incelenmiştir.

Ağustos, 2008, 38 sayfa

Anahtar Kelimeler : Lipschitz koşulu, süreklilik modülü fonksiyonu, alttoplamsallık,

konveks, monotonluk, operatör

ii

ABSTRACT

Master Thesis

SOME RETAINING PROPERTIES OF SEVERAL OPERATORS

Melek TOPALOĞLU

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Gülen BAŞCANBAZ TUNCA

Ankara University

Graduate School of Hatural and Applied Sciences

Department of Mathematical

In this work some retaining properties of several linear positive operators and the

monotonic convergence of the sequences of operators under the convex function are

investigated.

The thesis consists of five chapters.

The first chapter is devoted to introduction.

In the second chapter some necessary definitions are given.

In the third chapter, it is shown that univariate Bernstein Polynomials can retain some

properties of f , such as Lipschitz condition, semi-additivity and monotony.

In the fourth chapter , it is shown that univariate Meyer-König and Zeller operator can

retain the Lipschitz condition of f and the monotony of the sequence of operators for

n under convexity are given.

In the last chapter, multivariate Baskakov operator which is not a tensor product

costruction is considered. It is shown that the operator can retain some properties of the

function f , such as Lipschitz condition, semi-additivity and monotony, moreover the

monotony of the sequence of operators for n under convexity are investigated.

August, 2008, 38 pages

Key Words: Lipschitz condition, function of modulus of continuity,semi-

additivity,convex,monotony, operator

iii

TEŞEKKÜR

Çalışmalarımı yönlendiren çalışmalarımın her aşamasında bilgi, öneri ve yardımlarını

esirgemeyerek akademik ortamda olduğu kadar beşeri ilişkilerde de engin fikirleriyle

yetişme ve gelişmeme katkıda bulunan danışman hocam sayın Doç. Dr. Gülen

BAŞCANBAZ TUNCA’ya, çalışmalarım süresince maddi manevi desteklerini

esirgemeyen aileme ve özellikle beni her zaman destekleyen anneme, çalışmalarım

sırasında maddi manevi önemli katkılarda bulunan eşim Yasin KART’a en derin

duygularımla teşekkür ederim.

Melek KART Ağustos, Ankara 2008

iv

İÇİNDEKİLER

ÖZET................................................................................................................................i

ABSTRACT....................................................................................................................ii

TEŞEKKÜR………………………………………………………………...………...iii

SİMGELER DİZİNİ......................................................................................................v

1. GİRİŞ...............…………………………...……….....................................................1

2. TANIMLAR…………….............………….....................…….…………….............2

3. BERNSTEIN POLİNOMU.......................................................................................4

4.MEYER-KÖNIG ve ZELLER OPERATÖRÜ......................................................12

5.ÇOK DEĞİŞKENLİ BASKAKOV OPERATÖRÜ…….......................................19

KAYNAKLAR..............................................................................................................37

ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………………… 38

v

SİMGELER DİZİNİ

Doğal sayılar kümesi

Reel sayılar kümesi

[ ],C a b [ ],a b aralığındaki sürekli fonksiyonlar kümesi

nL Lineer pozitif operatör

ALip μ Lipschitz sürekli fonksiyonlar kümesi

( )ω u Süreklilik modülü fonksiyonu

( , )nB f x Bernstein polinomu

( ; )fω δ f fonksiyonunun süreklilik modülü

( ; )nM f x Meyer-König ve Zeller operatörü

( ), , xn dB f Çok değişkenli Baskakov operatörü

dT T= { }1 2( , ,..., ) : 0 ,1dd ix x x x i d= ∈ ≤ < ∞ ≤ ≤x

1

1.GİRİŞ

[ ] [ ]{ }, : : , ,C a b f f a b sürekli= → ve

[ ] [ ] ( ) ( ){ }, , :C a b f C a b f a f b= ∈ =∼

( [ ] ( ), ,C a b C∼

deki periyodik fonksiyonlarının

[a,b] aralığına kısıtlanması olarak alınabilir) olmak üzere cebirsel polinomların [ ],C a b

de, trigonometrik polinomların [ ]0, 2C π∼

de yoğun olduğu 1885’de Weierstrass

tarafından kanıtlanmıştır. Weierstrass teoreminin çeşitli ispatlarının içinde en basit ve

şık olanı, Bernstein tarafından verilenidir. Bernstein’in olasılık açıdan verdiği ispat,

[ ],f C a b∈ fonksiyonuna karşılık gelen ve [0,1] aralığında f ye düzgün yakınsak

olacak şekilde{ }n nB f

∈polinomlar dizisini içermektedir, buradaki

0

( ; ) (1 )n

k n kn

k

n kB f x f x xk n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

dir. Yoğunluğu ispatlamak için diğer bir yöntem Korovkin teoremine dayanmaktadır.

Lineer pozitif operatörlerin genel dizileri ile yaklaşımının temeli Bohman (1952)

tarafından inşa edilmiştir. Bu alandaki en önemli inceleme konularından birisi de bu

operatörlerin, yaklaşılan fonksiyonun monotonluk, konvekslik, şekil koruma gibi

özelliklerini koruyabilme kapasiteleridir. Bu durumda, nL Lineer pozitif operatörleri

için nL f , f ’nin sağladığı bazı özellikleri sağlarsa nL operatörlerine konservatif

operatörler denir.

Bu çalışmada, tek değişkenli Bernstein, Meyer-König ve Zeller ve çok

değişkenli Baskakov operatörlerinin konservatifliği incelenmiştir. Ayrıca konveks

fonksiyon altında operatör dizisinin n ye göre monotonluğu çalışılmıştır.

2

2. TANIMLAR

Tanım 2.1. V lineer bir fonksiyon uzayı ve L , V de tanımlı bir operatör olsun. Her

,f g V∈ ve her ,α β ∈ için

( ) ( ) ( )L f g L f L gα β α β+ = +

ise L ye lineer operatör ve her f V∈ , ( )0 0f için L f≥ ≥ ise L ye pozitif

operatör denir (Cao, Ding ve Xu 2005).

Tanım 2.2. f , { }1 2( , ,..., ) : 0 ,1dd d iT T x x x x i d= = = ∈ ≤ < ∞ ≤ ≤x de sürekli, reel

değerli bir fonksiyon olmak üzere, herhangi 1 2, ,..., m T∈x x x elemanları ve

1 2 ... 1mα α α+ + + = olacak şekildeki herhangi 1 2, ,..., mα α α negatif olmayan sayıları

için

1 1

( )m m

i i i ii i

f fα α= =

⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑x x

ise f ye T de konvekstir denir (Cao, Ding ve Xu 2005).

Tanım 2.3. , df T ⊆ de tanımlı, reel değerli, sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer

(0,1]μ∈ olmak üzere, her 1 1( ,..., ) , ( ,..., )d dx x y y T= = ∈x y için

1( ) ( )x y x y

d

i ii

f f A μ

=

− ≤ −∑

sağlanacak şekilde bir 0A > sayısı varsa f ye μ ncü basamaktan Lipschitz sürekli

fonksiyon denir. Buradaki A ya Lipschitz sabiti denir ayrıca , xA ve μ ve y den

bağımsızdır.

Yukarıda tanımlanan Lipschitz sürekli fonksiyonların kümesi ALip μ ile

gösterilir (Cao, Ding ve Xu 2005).

Tanım 2.4. ω , T de tanımlı, sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon olsun. Eğer

( )1) ( ) 0, 0,0,...,0 ;ω = =0 0

2) ( )ω u ,u ya göre azalmayan bir fonksiyon, yani ; ≥u v ise ( ) ( )ω ω≥u v ;

3

3) ω alt toplamsal, yani; ( ) ( ) ( )ω ω ω+ ≤ +u v u v ,

koşulları gerçeklenirse ω , süreklilik modülü fonksiyonu olarak adlandırılır

(Cao, Ding ve Xu 2005).

Tanım2.5. ω , [0,1] üzerinde tanımlı, sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon olsun.

Eğer

01) lim ( ) (0) 0,

ttω ω

+→= =

2) ( )tω azalmayan bir fonksiyon, 3) ω alt toplamsal, yani; ( ) ( ) ( )t u t uω ω ω+ ≤ + , koşullarını sağlarsa ω süreklilik modülü fonksiyonu olarak adlandırılır (Li 2000).

Uyarı.2.6. [ ]0,1f C∈ fonksiyonunun ( ; )fω δ ile gösterilen süreklilik modülü,

[ ]{ }( ; ) ( ) ( ) : , , 0,1f sup f x f y x y x yω δ δ= − − ≤ ∈

ve ALip μ ile gösterilen Lipschitz sürekli fonksiyonlar sınıfı

[ ]{ }0,1 : ( ; ) , 0 1ALip f C f t At tμ μω= ∈ ≤ < ≤ olarak tanımlanmaktadır (Cao, Ding ve Xu 2005)

Uyarı.2.7. f , [ )0,∞ da tanımlı konkav bir fonksiyon ise 0 0

( )i i i ii i

f x f xα α∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑

dir, buradaki [ )0

0, 1 0,i i ii

ve xα α∞

=

≥ = ∈ ∞∑ dir

(Cao, Ding ve Xu 2005)

Uyarı.2.8. Lineer pozitif bir operatör monoton artandır (Cao, Ding ve Xu 2005)

4

3. BERNSTEIN POLİNOMU

[ ]0,1f C∈ olmak üzere, Bernstein polinomları

0( ; ) (1 )

nk n k

nk

n kB f x f x xk n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ , 1n ≥ (3.1)

şeklinde tanımlanır. f fonksiyonunun sağladığı bazı özellikler, ( )nB f polinomları

tarafından korunur .Örneğin;

f konkav ise 1n ≥ için ( )nB f de konkavdır ve

( ; ) ( ), [0,1]nB f x f x x≥ ∈

eşitsizliği sağlanır. Gerçekten

( ) ( )11( ; ) (0)(1 ) 1 ... 11

nn nn

n nB f x f x f x x f x

nn−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

operatöründe negatif olmayan 0 1, ,..., nα α α sayıları,

( ) 10 1(1 ) , 1 , ... ,

1nn n

n

n nx x x x

nα α α−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

olarak ve 0 1, ,..., nx x x ler de

0 110, , ... , 1n

nx x xn n

= = = =

olarak alınırsa, Tanım 2.2 den

( ) ( )11( ; ) (0)(1 ) 1 ... 11

nn nn

n nB f x f x f x x f x

nn−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

110 (1 )1

n nn nf x x x

nn−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≥ + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

…

0

(1 )n

k n k

k

n kf x xk n

−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

5

sağlanır.Burada

0

(1 ) ( ; )n

k n kn

k

n k x x B t x xk n

−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ − = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ olduğundan

( ; ) ( )nB f x f x≥

eşitsizliği elde edilir.

Bir fonksiyon uzayının bir f elemanına ( )nL f yaklaşım operatörleri ile yaklaşırken f

nin hangi özelliklerinin nL ler tarafından korunduğunun bilinmesi önemlidir. (Bu

konuda detaylı bilgi için Anastassio ve Gall ‘ın kitabına bakılabilir.) Bu doğrultuda,

önce Bernstein polinomları için, Brown, Elliot ve Paget (1987) de elde edilen temel

ispatı vereceğiz (Bu çalışma, aynı sonucun doğrultusundayapılan çalışmalar üzerine

kısa bir bilgi de vermektedir).

Aşağıdaki teorem, Bernstein Polinomlarının Lipschitz sabitini koruduğunu

göstermektedir.

Teorem 3.1. ( ; )nB f x , (3.1) ile verilen Bernstein polinomu olmak üzere Af Lip μ∈

ise her 1n ≥ için, ( )n AB f Lip μ∈ dir (Brown, Elliott ve Paget 1987).

İspat. 1 2, [0,1]x x ∈ olmak üzere 1 2x x≤ ve 0 1μ< ≤ olsun.

( )2 1 2 1( ) ( )f x f x A x x μ− ≤ − eşitsizliği sağlandığında

2 1 2 1( ; ) ( ; ) ( )n nB f x B f x A x x μ− ≤ − eşitsizliğinin sağlandığını göstereceğiz.

( )2 2 20

( ; ) 1n jn

jn

j

n jB f x x f xj n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

polinomunda

6

2 1 2 1( ( ))j jx x x x= + − düzenlemesi yapılır ve

( )0

nn k n k

k

nx y x y

k−

=

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

binom açılımı kullanılırsa

( )2 2 1 2 10 0

( ; ) 1 ( )n j jn

k j kn

j k

n jjB f x x f x x xj kn

−

−

= =

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

∑ ∑

( ) ( ) 2 1 2 1

0 0

! (1 ) ( )! ! !

jnn j k j k

j k

n jx x x x fn j j k k n

− −

= =

⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑∑

bulunur. Yukarıdaki toplamların sırası değiştirilirse

( )2 2 1 2 10

!( ; ) (1 ) ( )!( )! !

n nn j k j k

nk j k

n jB f x x x x x fn j j k k n

− −

= =

⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑∑

elde edilir, burada k l j+ = alınarak 2( : )nB f x

( )2 2 1 2 10 0

!( ; ) (1 ) ( )! ! !

n n kn k l k l

nk l

n k lB f x x x x x fn k l l k n

−− −

= =

+⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑∑ (3.2)

olarak yazılabilir. Diğer taraftan

( )1 1 10

( ; ) 1n

n kkn

k

n kB f x f x xk n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

polinomunda ( ) ( )1 2 1 21 ( ) (1 )n k n kx x x x− −− = − + − alınırsa

( )1 1 2 1 20

( ; ) ( ) (1 )n

n kkn

k

n kB f x x f x x xk n

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

bulunur. Binom açılımından, yukarıdaki ifade

7

1 1 2 1 20 0

( ; ) ( ) (1 )n n k

k l n k ln

k l

n n kkB f x x f x x xk ln

−− −

= =

⎧ − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

∑ ∑

olarak elde edilir. Son ifadede gerekli düzenlemeler yapılarak

( )1 1 2 1 20 0

!( ; ) ( ) (1 )! ! !

n n kk l n k l

nk l

n kB f x x x x x fk l n k l n

−− −

= =

⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑ (3.3)

bulunur. (3.2) ve (3.3) eşitlikleri kullanılarak ,

2 1( ; ) ( ; )n nB f x B f x−

( ) 1 2 1 20 0

! ( ) (1 )! ! !

n n kk l n k l

k l

n k l kx x x x f fk l n k l n n

−− −

= =

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑

farkı oluşturulur, burada Af Lip μ∈ oluşu dikkate alınarak (Tanım (2.3) de d=1

durumu)

2 1( ; ) ( ; )n nB f x B f x−

( ) 1 2 1 20 0

! ( ) (1 )! ! !

n n kk l n k l

k l

n lA x x x xk l n k l n

μ−− −

= =

⎛ ⎞≤ − − ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑

elde edilir. Son eşitsizlikte k l ve l k→ → alınarak ,

2 1( ; ) ( ; )n nB f x B f x− 2 1 1 20 0

( ) (1 )n n l

l k n l k

l k

n n llA x x x xl kn

μ −− −

= =

⎧ − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞≤ − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

∑ ∑

bulunur.

( )1 2 1 20

1 (1 )n l

n l k n k l

k

n lx x x x

k

−− − −

=

−⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (3.4)

eşitliği dikkate alınarak son eşitsizlik

2 1( ; ) ( ; )n nB f x B f x− ( )2 1 1 20

( ) 1n

n ll

l

n lA x x x xl n

μ−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

8

şekline indirgenir. (3.1) deki Bernstein Polinomlarının tanımından, yukarıdaki son

eşitsizlik,

( )2 1 2 1( ; ) ( ; ) ;n n nB f x B f x AB t x xμ− ≤ −

olarak yazılabilir. [ ]: 0,1f → ( )f x xμ= konveks olduğundan ve ( );nB x h hμ μ≤

eşitsizliğinden dolayı son eşitsizlik

( )2 1 2 1( ; ) ( ; )n nB f x B f x A x x μ− ≤ − elde edilir, buradan ( )n AB f Lip μ∈ olduğu elde edilir. [ ]0,1 üzerinde tanımlı ( )tω süreklilik modülü fonksiyonu ile ( );f tω f nin süreklilik

modülü, ( ) ( );f t tω ω≤ eşitsizliğini sağlamaktadır.

Şimdi Li (2000) tarafından ispatlanmış olan, ( , )nB f x Bernstein Polinomlarının

süreklilik modülü fonksiyonu ile ilgili koruma özelliğini inceleyelim. Bu durumda tek

değişkenli operatörler için Tanım 2.4. aşağıdaki şekilde kullanılacaktır.

Teorem 3.3. ( ; )nB f x , (3.1) ile verilen Bernstein polinomu olmak üzere, ω süreklilik modülü fonksiyonu ise her 1n için≥ ( )nB ω da süreklilik modülü

fonksiyonudur (Li 2000).

İspat. Sürekli ve negatif olmayan ω süreklilik modülü fonksiyonu ( )0 0ω = , azalmayan ve alt toplamsal özelliklerini sağlarken, sürekli ve negatif olmayan ( )nB ω

polinomunun 0

lim ( ; ) 0nxB xω

→= , azalmayan ve alt toplamsallık özelliklerini sağladığını

göstereceğiz. İlk olarak

0 0 0

lim ( ; ) lim (1 ) 0n

i n jnx x j

njB x x xjn

ω ω −

→ →=

⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

olduğu açıktır. [ ]1 2 1 20 1 0,1x x ve x x≤ < ≤ + ∈ olmak üzere, (3.2) ve (3.3)

9

kullanılarak

2 1( ; ) ( ; )n nB x B xω ω−

( ) 1 2 1 20 0

! ( ) (1 )! ! !

n n kk l n k l

k l

n k l kx x x xk l n k l n n

ω ω−

− −

= =

⎧ + ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑ ∑ (3.5)

bulunur. ω süreklilik modülü fonksiyonu olduğundan Tanım2.5. deki 3. koşul dikkate alınarak (3.5) den

2 1( ; ) ( ; )n nB x B xω ω−

( ) 1 2 1 20 0

! ( ) (1 ) .! ! !

n n kk l n k l

k l

n lx x x xk l n k l n

ω−

− −

= =

⎛ ⎞≤ − − ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑

Burada k l ve l k→ → alınarak ve (3.4) eşitliği kullanılarak

2 1( ; ) ( ; )n nB x B xω ω− 2 1( ; )nB x xω≤ − elde edilir. Bu durumda

2 2 1 1 2 1 1( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )n n n nB x B x x x B x x B xω ω ω ω= − + ≤ − +

olduğundan ( )nB ω alt toplamsallık koşulunu gerçekler. (3.5) eşitliğinden 1 2x x≤ için

2 1( : ) ( : ) 0n nB x B xω ω− ≥ bulunur ki bu da ( )nB ω operatörünün azalmayan olduğunu

gösterir.

Aşağıdaki teorem Bernstein Polinomlarının bir çeşit monotonluğu koruduğunu

göstermektedir.

Teorem 3.4. ( : )nB f x , (3.1) ile verilen Bernstein polinomu ve f negatif olmayan bir

fonksiyon olmak üzere, ( ]1 ( ), 0,1x f x− üzerinde artmayan ise 1 ( ; )nx B f x− de

artmayandır (Li 2000).

İspat. Bu ispatta ( ){ }1 0d x f xdx

− ≤ eşitsizliği sağlanırken { }1 ( ; ) 0nd x B f xdx

− ≤

eşitsizliğinin sağlandığını göstereceğiz.

10

{ }1 1

0( ; ) (1 )

nk n k

nk

nd d kx B f x x f x xkdx dx n

− − −

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

( ),

1

( ) (1 )0nn

n k

k

P xk d d xf fn dx x dx x=

⎧ ⎫⎧ ⎫ −⎛ ⎞= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∑ ,

burada , ( ) (1 )k n kn k

nP x x x

k−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

dır. Yukarıdaki eşitlik düzenlenerek

{ } ( )1 1

1

(1 )( ; ) (1 ) 0nn

k n kn

k

nd k d d xx B f x f x x fkdx n dx dx x

− − −

=

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞ −⎛ ⎞= − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎩ ⎭

∑

bulunur, son ifadede türev alınarak,

{ } ( ) ( )1 2

1

!( ; ) 1 (1 )! !

nk n k

nk

d k nx B f x f k x xdx n k n k

− − −

=

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ −⎝ ⎠∑

( ) ( )1 1

1

! (1 )! !

nk n k

k

k nf x n k xn k n k

− − −

=

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ −⎝ ⎠∑

( )1

2

(1 ) (1 )0n nn x x xfx

−⎧ ⎫− − −+ ⎨ ⎬

⎩ ⎭

( ) ( )1

2

2

! (1 )! 2 !

nk n k

k

k nf x xn k n k k

−− −

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟ − −⎝ ⎠∑

( )1

1 1

1

! (1 )! 1 !

nk n k

k

k nf x xn k n k

−− − −

=

⎛ ⎞− −⎜ ⎟ − −⎝ ⎠∑

( )1

2

(1 ) (1 )0n nn x x xfx

−⎧ ⎫− − −+ ⎨ ⎬

⎩ ⎭

elde edilir. Burada eşitliğin birinci kısmında 1k k→ + alınıp, birinci ve ikinci kısım k

ile çarpılıp bölünerek,

11

{ } ( )( )( )

11 1 1

1

1 !1( ; ) (1 )1 1 !

nk n k

nk

n n kd kx B f x f x xdx n k n k k

−− − − −

=

−+⎛ ⎞= −⎜ ⎟ + − −⎝ ⎠∑

( )

( ) ( )1

1 1

1

1 !(1 )

1 ! 1 !

nk n k

k

n n kkf x xn n k k k k

−− − −

=

−⎛ ⎞− −⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠∑ ( ) ( )

2 1

1 10

(1 ) n

n xf

x x −

+ −⎡ ⎤⎣ ⎦−−

1 111 1

1

11 1 (1 )n

k n k

k

nk k k kf f kx x xkn n n n

− −−− − −

=

⎡ ⎤ −⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

( ) ( )2 1

1 10

(1 ) n

n xf

x x −

+ −⎡ ⎤⎣ ⎦−−

elde edilir. [ ]1 ( ), 0,1x f x− üzerinde artmayan olduğundan, son eşitlikten

{ }1 ( ; ) 0nd x B f xdx

− ≤

bulunur, buradan, 1 ( ; )nx B f x− nin artmayan olduğu elde edilir. Şimdi, Lipschitz sabitinin Meyer-König ve Zeller operatörü tarafından korunmasını inceleyelim.

12

4. MEYER-KÖNIG ve ZELLER OPERATÖRÜ

[ ]: 0,1f → sürekli bir fonksiyon ve 1n ≥ bir doğal sayı olmak üzere,Meyer-König

ve Zeller operatörü,

[ [

( )

1

0( ; ) (1 ) , 0,1

( ;1) 1

k nn

k

n

n kkM f x f x x xkn k

M f f

∞+

=

+⎛ ⎞⎛ ⎞= − ∈⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

=

∑ (4.1)

şeklinde tanımlanır.

Şimdi, MKZ operatörü için ,

(1; ) 1 ( ; )n nM f x ve M f t x x= =

olduğu dikkate alınarak, konkav [0,1]f C∈ için

1

0( ) (1 )k n

k

n k kf x f x xk n k

∞+

=

⎛ + ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

1

0

(1 ) ( ; )k nn

k

n k kx x M f xk n k

∞+

=

+⎛ ⎞≤ − =⎜ ⎟ +⎝ ⎠∑

eşitsizliği kolayca elde edilir. Aşağıdaki teorem Meyer-König ve Zeller operatörünün

Lipschitz sabitini koruduğunu göstermektedir.

Teorem 4.1. ( ; )nM f x , (4.1) ile verilen Meyer-König ve Zeller operatörü olmak üzere,

Af Lip μ∈ ise her 1n ≥ için, ( )n AM f Lip μ∈ dir (Trif 2003).

İspat. 1 2, [0,1]x x ∈ olmak üzere 1 2x x≤ ve 0 1μ< ≤ olsun. Af Lip μ∈ olduğundan

( )2 1 2 1( ) ( )f x f x A x x μ− ≤ −

eşitsizliği sağlandığında

13

2 1 2 1( ; ) ( ; )n nM f x M f x A x x μ− ≤ − eşitsizliğinin sağlandığını göstereceğiz. (4.1) den

12 2 2

0

( ; ) (1 )j nn

j

n jjM f x f x xjn j

∞+

=

+⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑

dir, burada 2 1 1 1 22

11

jj x x x x xx

x⎛ ⎞− + −

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ alınarak 2( ; )nM f x aşağıdaki şekilde

yazılabilir:

1 2 1 1 1 22 2

0 1

( ; ) (1 )1

jn

nj

n j x x x x xjM f x f xjn j x

∞+

=

+ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ − + −= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ .

Son formülde

( )1

22 1 2 2 1

0 1

(1 )( ; ) (1 ) ( )(1 )

nj

n jj

n j xjM f x f x x x xjn j x

+∞

=

+⎛ ⎞⎛ ⎞ −= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠∑

şeklinde düzenleme yapılıp en sondaki parantezde binom açılımı kullanılırsa

12

2 1 2 2 10 01

(1 )( ; ) (1 ) ( )(1 )

n jk k j k

n jj k

n j jxjM f x f x x x xj kn j x

+∞−

= =

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑

bulunur. Toplamların sırası değiştirilerek

( )1

1 2 1 22

0 1

( ) (1 )( )!( ; )! ! ! (1 )

k j k k n

n jk j k

x x x xj n jM f x fn j n k j k x

− + +∞ ∞

= =

⎛ ⎞ − −+= ⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠∑∑

bulunur, burada j k l= + alınarak

1 2 1 22

0 0 1

( ) (1 )( )!( : )! ! ! (1 )

k l n k l

n k lk l

x x x xk l n k lM f x fn k l n k l x

+ +∞ ∞

+= =

− −+ + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠∑∑ (4.2)

sonucuna ulaşılır. Diğer taraftan, 1( ; )nM f x dikkate alınırsa, (4.1) den

11 1 1

0

( ; ) (1 )k nn

k

n kkM f x f x xkn k

∞+

=

+⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑

elde edilir. 1( ; )nM f x de gerekli düzenlemeler yapılarak

14

12

1 1 10 1 2 1

1

(1 ) 1( ; )(1 )

11

n kk

n n kkk

n k xkM f x f xkn k x x x

x

+ +∞

+ +=

+⎛ ⎞ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −−⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑

bulunur, burada

1

0

( ) (1 ) n k l

l

n k lf x x x

l

∞− − −

=

+ +⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

olduğunu gösterelim.

1( ) (1 ) n kf x x − − −= −

' 2 '( ) ( 1)(1 ) (0) ( 1)n kf x n k x f n k− − −= + + − ⇒ = + +

'' 3 ''( ) ( 1) ( 2)(1 ) (0) ( 1) ( 2)n kf x n k n k x f n k n k− − −= + + + + − ⇒ = + + + + ...

( ) 1 ( )( ) ( 1)( 2)...( )(1 ) (0) ( 1)( 2)...( )l n k l lf x n k n k n k l x f n k n k n k l− − − −= + + + + + + − ⇒ = + + + + + +

( ) ( ) ( )1

0 0

( ) 1 0!

ln k l l

l l

n k lxf x x f xll

∞ ∞− − −

= =

+ +⎛ ⎞= − = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

elde edilir. Bu eşitlikte, 2 1

11x xx

x−

→−

alınırsa

1

2 1 2 1

01 1

11 1

n k l

l

n k lx x x xlx x

− − −∞

=

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− −− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

elde edilir. Buna göre bu eşitliği 1( ; )nM f x de dikkate alırsak,

( )( )

11 2 2 1

10 0 11

1( ; )

11

ln kk

n kk l

n k n k lx x x xkM f x fk ln k xx

+ +∞ ∞

= =

+ + +− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑

( ) ( ) ( )( )

11 2 2 1

0 0 1

! 1! ! ! 1

n k lk

k lk l

n k l x x x xkfn k n k l x

+ +∞ ∞

+= =

+ + − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ −∑∑ (4.3)

elde edilir. Bu durumda aşağıdaki sonuçlara ulaşılır.

15

( ) ( ) ( )( )

11 2 2 1

, 0 1

! 11

! ! ! 1

n k lk

k lk l

n k l x x x xn k l x

+ +∞

+=

+ + − −=

−∑ , (4.4)

( ) ( ) ( )

( )

11 2 2 1

2, 0 1

! 1! ! ! 1

n k lk

k lk l

n k l x x x xk l xn k l n k l x

+ +∞

+=

+ + − −+=

+ + −∑ , (4.5)

( ) ( ) ( )( )

11 2 2 1

1, 0 1

! 1! ! ! 1

n k lk

k lk l

n k l x x x xk xn k n k l x

+ +∞

+=

+ + − −=

+ −∑ . (4.6)

(4.2) ve (4.3) den

2 1( ; ) ( ; )n nM f x M f x−

( ) ( ) ( )( )

11 2 2 1

, 0 1

! 1! ! ! 1

n k lk

k lk l

n k l x x x x k l kf fn k l n k l n kx

+ +∞

+=

+ + − − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠−∑ (4.7)

elde edilir. Af Lip μ∈ olduğundan

k l k k l kf f An k l n k n k l n k

μ+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≤ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

eşitsizliği (4.7) de dikkate alınarak,

2 1( ; ) ( ; )n nM f x M f x−

( ) ( ) ( )( )

11 2 2 1

, 0 1

! 1! ! ! 1

n k lk

k lk l

n k l x x x x k l kAn k l n k l n kx

μ+ +∞

+=

+ + − − +⎛ ⎞≤ −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠−∑

bulunur. (4.4) ve [ [ [ [0, 0,t tμ∈ ∞ → ∈ ∞ fonksiyonunun konveks olduğu dikkate alınarak yukarıdaki eşitsizlikten

2 1( ; ) ( ; )n nM f x M f x−

( ) ( ) ( )( )

11 2 2 1

, 0 1

! 1! ! ! 1

n k lk

k lk l

n k l x x x x k l kAn k l n k l n kx

μ+ +∞

+=

⎡ ⎤+ + − − +⎛ ⎞≤ −⎢ ⎥⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠−⎢ ⎥⎣ ⎦∑

16

sonucuna varılır. Burada (4.5) ve (4.6) eşitlikleri kullanılarak ,

( )2 1 2 1( ; ) ( ; )n nM f x M f x A x x μ− ≤ −

elde edilir. O halde n AM f Lip μ∈ dır. Şimdi, ( )nM f operatörünün n ye göre monotonluğunun Cheney ve Sharma tarafından verilen ispatını inceleyelim.

Teorem 4.2. ( ; )nM f x , (4.1) ile verilen Meyer-König ve Zeller operatörü ve , [0,1]f

aralığında tanımlı konveks bir fonksiyon olsun.Bu durumda ( )nM f azalmayandır

(Cheney ve Sharma 1964).

İspat. f fonksiyonu konveks olduğundan 1 2 1 20, 0 1veα α α α> > + = olmak üzere

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )f x x f x f xα α α α+ ≥ + eşitsizliğini kullanarak 1( ; ) ( ; )n nM f x M f x+≤

eşitsizliğini elde edeceğiz.

( ) 1

0

( ; ) 1 nn

v

v nM f x x f x

vnνν

ν

∞+

=

+⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑

ve

( ) 21

0

1( ; ) 1

1n

nv

v nM f x x f x

vnνν

ν

∞+

+=

+ +⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠∑

olmak üzere

1( ; ) ( ; )n nM f x M f x+−

( ) ( )1 2

0 0

11 1

1n nv n v n

x f x x f xv vn n

ν ν

ν ν

ν νν ν

∞ ∞+ +

= =

+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑

olarak bulunur, burada ( ) 11 nx +− parantezine alırsak,

1( ; ) ( ; )n nM f x M f x+−

17

( ) ( )1

0

11 1

1n v n v n

x f x f xv vn n

ν

ν

ν νν ν

∞+

=

⎡ + + + ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑

( ) 1

0 0 0

1 11

1 1n v n v n v n

x f x f x x f xv v vn n n

ν ν ν

ν ν ν

ν ν νν ν ν

∞ ∞ ∞+

= = =

⎡ + + + + + ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑ ∑

elde edilir.

10 (0) (0) 0

0 0n n

v için f f+⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

olduğundan son ifade

1( ; ) ( ; )n nM f x M f x+−

1 1

1 1 0

1 1(1 )

1 1n v v v

v v v

v n v n v nv v vx f x f x f xv v vv n v n v n

∞ ∞ ∞+ +

= = =

⎡ + + + + + ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑ ∑

olarak bulunur. Sağ taraftaki son toplamda v 1 v→ − alınarak

1

1 v

v

v nvf xvv n

∞

=

+⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

bulunur. Bu durumda f nin konveksliğinden

1( ; ) ( ; )n nM f x M f x+−

( ) 1

1

1 1111

0

n v n v n v nvx f f f xv v vn n v n

ν

ν

ν νν ν

∞+

=

⎡ + + + + ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

≤

∑

elde edilir. Gerçekten; yukarıda 1 2 1, , xα α ve 2x ,

1

1

11

v n v nv v

α−+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

1

2

1v n v nv v

α−+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

18

11vx

v n−

=+

ve 2vx

v n=

+

olarak alınırsa, 1α ve 2α negatif değildirler ve

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )( )

1 2

! !1 ! 1 ! 1! ! 1

1 ! 1 ! 1 1! 1 ! ! 1 !

v n v nn v nn v

v n v n n nv n v n

να αν ν

+ ++ − +

+ = + = + =+ + + + + + + +

+ +

eşitliği sağlanır, ayrıca

1 1 2 21 1

1 1 1v nx x

v n n n n nν ν να αν ν ν ν− +

+ = + =+ + + + + + + +

olarak bulunur. Böylece f nin konveksliğinden

( ) ( )1 1 2 21vf f x f x

v nα α⎛ ⎞ ≥ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

elde edilir. Böylece

1( ; ) ( ; ) 0n nM f x M f x+− ≤ bulunur.

19

5. ÇOK DEĞİŞKENLİ BASKAKOV OPERATÖRÜ

Bu bölümde, tensör çarpım olmayan, ( ),n dB f ile gösterilen çok değişkenli Baskakov

operatörünün, f fonksiyonunun Lipschitz koşulu, alt toplamsallık ve monotonluk gibi

bazı özelliklerini koruduğunu göstereceğiz. Ayrıca f konveks olduğunda çok

değişkenli ( ),n dB f Baskakov operatör dizisinin n ye göre monotonluğunu

inceleyeceğiz.

[ ), 0,f ∞ aralığında tanımlı, reel değerli bir fonksiyon ve

( ) ( ),

11 n kk

n k

n kP x x x

k− −+ −⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.1)

[ ), 0,n x∈ ∈ ∞ olmak üzere, tek değişkenli Baskakov operatörü, V.A.Baskakov

tarafından

( ) ( ) ( ),1 ,1 ,0

;n n n kk

kB f B f x P x fn

∞

=

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (5.2)

şeklinde tanımlanmıştır. (Cao, Ding ve Xu 2005) Şimdi, bu çalışmada kullanılacak olan standart gösterimleri verelim.

( )dT d⊂ ∈ olmak üzere, T kümesi

{ }1 2( , ,..., ) : 0 ,1dd d iT T x x x x i d= = = ∈ ≤ < ∞ ≤ ≤x

olsun. 1 2( , ,..., ) ddx x x= ∈x için

1

d

ii

x=

= ∑x dir. Ayrıca n∈ ve d∈x için

aşağıdaki gösterimler kullanılacaktır.

1 2 0( , ,..., ) ddk k k= ∈k , 1 2

1 2 1 21

... , ! ! !... ! ,kx k kd

dkk k

d d ii

x x x k k k k=

= = =∑ ,

20

( ) 1 20 0 0 0

! , ... .! !

dk k k

n nn

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

∑ ∑∑ ∑kk k k

T de tanımlı, reel değerli f fonksiyonu için çok değişkenli Baskakov Operatörü,

,1

( ) (1 ) nn

nP − −⎛ + − ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

kkk

kx x x

k

olmak üzere ,

( ) ( ), , ,0

;n d n d nB f B f P fn

∞

=

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ kk

kx x (5.3)

şeklinde tanımlanır.

0

1( ) ( ) n k n k

k

n kf x a x x a

k

∞− − −

=

+ −⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ olduğu kolayca aşağıdaki şekilde elde edilir.

( ) ( ) nf x a x −= −

' 1 ' 1( ) ( ) (0)n nf x n a x f n a− − − −= − ⇒ =

( ) ( )'' 2 '' 2( ) 1 ( ) (0) 1n nf x n n a x f n n a− − − −= + − ⇒ = +

( ) ( ) ( )( ) 1 ... 1 ( )k n kf x n n n k a x − −= + + − − ( ) ( ) ( )(0) 1 ... 1k n kf n n n k a− −⇒ = + + −

0

1( ) ( )k n k n

k

n kf x x a a x

k

∞− − −

=

+ −⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

elde edilir.Burada 1a x ve x x→ + → alırsak

( ) ( ),10

11 1 (1 ) 1;n k n k

nk

n kx x x x B

k

∞− − −

=

+ −⎛ ⎞+ − = = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ x (5.4)

olduğu açıktır. Buradan, tek değişkenli Baskakov operatörü (5.2) dikkate alınarak

( ) ( ) ( ),1 ,10

1; 1 n kk

n nk

n k kB f B f x x x fk n

∞− −

=

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

21

şeklinde elde edilir. Çok değişkenli Baskakov operatörü için, tek değişkenlide olduğu gibi ( ), 1; 1n dB =x dir. Gerçekten, basitlik için d=2 durumunu dikkate alalım. Daha yüksek boyutlarda işlemler benzerdir.

( ),20

11; (1 ) n

n

nB x

∞− −

=

⎛ + − ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ kk

k

kx x

k

( )( )

( ) ( )( ) ( )1 21 2

1 2

1 21 2 1 2

0 0 1 2

1 !1

! ! 1 !n k kk k

k k

n k kx x x x

k k n

∞ ∞ − − +

= =

⎛ ⎞+ + −= + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑

( )

( )( )( )( ) ( )( ) ( )1 21 2

1 2

1 211 2 1 2

0 01 2 1

1 !1 !1

! 1 ! ! 1 !n k kk k

k k

n k kn kx x x x

k n k n k

∞ ∞ − − +

= =

⎛ ⎞+ + −⎛ ⎞+ −= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ,

burada (5.4) den

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )1 21 2

2

1 21 2 2 2 1 2

0 2 1

1 !1 1

! 1 !n k kn k k

k

n k kx x x x x x

k n k

∞ − − +− −

=

⎛ ⎞+ + −+ + − = + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

∑

olduğundan

( ) ( ) 11

1

1,2 1 1

0 1

11; 1 1n kk

nk

n kB x x x

k

∞− −

=

+ −⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (5.5)

bulunur. O halde

0

11 (1 ) nn∞

− −

=

⎛ + − ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ kk

k

kx x

k

olarak yazılabilir. Bu durumda çok değişkenli Baskakov operatörü

( ), ; , 1,...,n d i iB t x i d T= = ∈x x eşitliklerini gerçekler. Yine, basitlik için d=2 durumunu dikkate alalım:

( ) 1,2 1

0

1; (1 ) n

n

n kB tn

∞− −

=

⎛ + − ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ kk

k

kx x x

k

22

( )( )( ) ( )( ) ( )1 21 2

1 2

1 2 11 2 1 2

0 0 1 2

1 !1

! ! 1 !n k kk k

k k

n k k kx x x xk k n n

∞ ∞ − − +

= =

⎛ ⎞+ + −= + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑

( )

( )( )( )( ) ( )( ) ( )1 21 2

1 2

1 2111 2 1 2

0 01 2 1

1 !1 !1

! 1 ! ! 1 !n k kk k

k k

n k kn kk x x x xn k n k n k

∞ ∞ − − +

= =

⎛ ⎞+ + −+ −= + +⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠∑ ∑

( ) 11

1

111 1

0 1

11 n kk

k

n kk x xkn

∞− −

=

+ −⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( ),1 1 1;nB t x=

1x=

( ),2 2 2;nB t x=x olduğu benzer şekilde gösterilir. (5.4) den,

( )0

11 (1 )

n nn∞− − −

=

⎛ + − ⎞+ − = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ kk

k

kx x x x

k

olduğu kolayca görülebilir, ayrıca burada 1 , , ,x u x v u v T+ = = ∈ , alınırsa

( )0

1(1 )

n nn∞− − −

=

⎛ + − ⎞− = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ kk

k

ku v v u

k (5.6)

elde edilir. Sonuç 5.1. f , [0,∞ ) da tanımlı konkav bir fonksiyon olsun. Bu durumda

0im ≥ , 1

1ii

m∞

=

=∑ ve [0, )ix ∈ ∞ olmak üzere

1 1( )i i i i

i i

f m x m f x∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑

eşitsizliği sağlanır. ,1( ; )nB t x x= olduğu dikkate alınarak

, , ,10 0

( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ; )n k n k nk k

k kf x f P x P x f B f xn n

∞ ∞

= =

= ≤ =∑ ∑

23

eşitsizliği elde edilir, buradaki , ( )n kP x , (5.1) de tanımlanan fonksiyondur. Aşağıdaki teoremde, (5.3) ile tanımlanan ( ),n dB f çok değişkenli Baskakov

operatörünün süreklilik modülü fonksiyonunu koruduğu gösterilmektedir.

Teorem 5.2. ( ), ,n dB f x , (5.3) ile tanımlı çok değişkenli Baskakov operatörü olmak

üzere , ω süreklilik modülü fonksiyonu ise ( ),n dB ω da süreklilik modülü

fonksiyonudur (Cao, Ding ve Xu 2005).

İspat. ≤x y ( )1 1 2 2,x y x y≤ ≤ olsun. (5.3)den

( ),0

1; (1 ) n

n d

nB f f

n

∞− −

=

⎛ + − ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ kk

k

k ky y yk

( )( )0

1(1 )

k k

k

k kx y x yk

nnf

n

∞− −

=

⎛ + − ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

olarak yazılabilir, sağ tarafta

( )( ) ( ) −

=

⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

kk k ii

i 0

kx y x x y x

i

binom açılımı kullanılarak ( ), ;n dB f y ,

( ), ;n dB f y ( )0 0

1(1 ) nn

fn

∞−− −

= =

⎛ + − ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑k

k ik i

k i

kk ky x y xik

= ( )( ) ( ) ( )

1

1 10 0 0 0

1 !... ... (1 )

1 ! ! !

d

d d

kkn

k k i i

nf

n n

∞ ∞−− −

= = = =

+ − ⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑∑ ∑ k ik ik ky x y x

i k i

olarak bulunur, yukarıdaki toplamların sırası değiştirilip,

24

1 1 1 2 2 2, ,..., d d di j k i j k i j k+ = + = + = alınarak, ( )1 2 0, ,..., d

dj j j= ∈j için

( ), ;n dB f y =( )

( ) ( ) ( )1 1 10 0

1 !... (1 )

1 ! ! !d d d

n

i i k i i k

nf

n n

∞ ∞ ∞ ∞−− −

= = = =

+ − ⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑∑ ∑ ∑ k ik ik ky x y x

i k i

( ) ( )( ) ( ),

0 0

1 !; (1 )

1 ! ! !n

n d

nB f f

n n

∞ ∞− − +

= =

+ + − +⎛ ⎞= + − ⎜ ⎟− ⎝ ⎠∑∑ ji j i

i j

i j i jy y x y xi j

(5.7)

elde edilir. Diğer taraftan, ( ), ;n dB f x için (5.6) dikkate alınarak

( ) ( ),0

1; (1 ) n

n d

nB f f

n

∞− −

=

⎛ + − ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ii

i

i ix x y y xi

( )0

1 1(1 )j i ji

i j 0

i i j ix y x yi j

nn nf

n

∞ ∞− − +

= =

⎛ + − ⎞ ⎛ + + − ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

( )( ) ( )

0 0

1 !(1 )

1 ! ! !ji j i

i j

i j iy x y xi j

nnf

n n

∞ ∞− − +

= =

+ + − ⎛ ⎞= + − ⎜ ⎟− ⎝ ⎠∑∑ (5.8)

eşitliği elde edilir. (5.7) ve (5.8) den

( ) ( ) ( )( ) ( ), ,

0 0

1 !; ; (1 )

1 ! ! !n

n d n d

nB f B f

n

f fn n

∞ ∞− − +

= =

+ + −− = + −

−

⎛ + ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞× −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑∑ ji j i

i j

i jy x y x y x

i j

i j i

(5.9)

25

bulunur. (5.9) eşitliğinde f yerine,ω süreklilik modülü fonksiyonu alınırsa ≥y x için

( ) ( ), ,; ; 0n d n dB Bω ω− ≥y x

elde edilir, ayrıca Tanım 2.4 ün (3) koşulundan ve

( ) 1(1 ) 1 (1 )

jj i ji

i 0

i jy x y y y x x y

i

nn nn− − ∞

− − − − +

=

⎛ + + − ⎞⎡ ⎤+ − = + − − − = +⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠∑

eşitliğinden

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ), ,0 0

1 ! 1 !; ; (1 )

1 ! ! 1 ! !n

n d n d

n nB B

n nnω ω ω

∞ ∞− − +

= =

+ − + + − ⎛ ⎞− ≤ − + ⎜ ⎟− + − ⎝ ⎠∑ ∑j i j i

j i

j i j jy x y x y xj j i

( )0 0

1 1(1 ) nn n

nω

∞ ∞− − +

= =

⎛ + − ⎞ ⎛ + + − ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑j i j i

j i

j i j jy x y xj i

( )( ) ( )

0

1 !(1 )

1 ! !nn

n nω

∞− −

=

+ − ⎛ ⎞= − + − ⎜ ⎟− ⎝ ⎠∑ j j

j

j jy x y xj

bulunur, (5.6) dikkate alınırsa, bu eşitsizlik

( ) ( ), ,; ;n d n dB Bω ω− ≤y x ( ), ;n dB ω −y x (5.10)

olarak yazılabilir. O halde (5.10) eşitsizliği ( ),n dB ω nın alt toplamsal olduğunu

göstermektedir. Ayrıca ( ) ( ), , 00 0n dB ω ω= = olacağı açıktır. Böylece ( ),n dB ω bir

süreklilik modülü fonksiyonudur.

Şimdi ( ),n dB f çok değişkenli Baskakov Operatörünün Lipschitz sabitini koruduğunu

gösterelim.

Teorem 5.3. ( ), , xn dB f , ( 5.3) ile tanımlanan çok değişkenli Baskakov Operatörü

olmak üzere Af Lip μ∈ ise ,n dB f ALip μ∈ dir (Cao, Ding ve Xu 2005).

26

İspat. ( 5.7) ve ( 5.8) den

( ) ( ) ( )( ) ( ), ,

0 0

1 !; ; (1 )

1 ! ! !n

n d n d

nB f B f

n

f fn n

∞ ∞− − +

= =

+ + −− ≤ + −

−

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑∑ ji j i

i j

i jy x y x y x

i j

i j ix

(5.11)

bulunur. Basitlik için, 2d = alarak ispata devam edilecektir. 2d > için ispat tamamen

benzerdir. Af Lip μ∈ olduğundan, (5.11) eşitsizliğinde Tanım (2.3) dikkate alınarak

aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.

( ) ( ) ( )( ) ( ), ,

0 0

1 !; ; (1 )

1 ! ! !n

n d n d

nB f B f A

n

∞ ∞− − +

= =

+ + −− ≤ + −

−∑∑ ji j i

i j

i jy x y x y x

i j

1 2j jn n

μ μ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞× +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠,

burada 1 21 2,j ju u

n n= = olarak alınırsa,

( ) ( ), ,; ;n d n dB f B f− ≤y x ( ),2 1 2 ;nAB u uμ μ+ −y x

( ) ( )( ),1 1 1 1 ,1 2 2 2; ;n nA B u y x B u y xμ μ= − + −

bulunur. Sonuç 5.1. göz önüne alınarak, ( ),1 ; , 1, 2n iB u x x iμ μ≤ = olduğundan

( ) ( ) ( ), , 1 1 2 2; ;n d n dB f B f A y x y xμ μ− ≤ − + −y x

eşitsizliğine ulaşılır ki, bu da ,n d AB f Lip μ∈ olduğunu belirtir. 1 1 2 2,x y x y≥ ≥ için

de ispat benzerdir. Ancak eğer 1 1 2 2,x y x y≥ ≤ ise ( )1 2 2,y x T∈ dir. Yukarıdaki ispatta

olduğu gibi

27

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

,2 ,2 ,2 1 2 ,2 1 2

,2 1 2 ,2 1 2

2

1

; ; ; , ; ,

; , ; ,

.

n n n n

n n

t tt

B f B f B f x x B f y x

B f y y B f y x

A x yμ

=

− ≤ −

+ −

≤ −∑

x y

elde edilir. Benzer işlemler 1 1 2 2,x y x y≤ ≥ için de yapılabilir. Bu durumda ispat

tamamlanmış olur.

Aşağıdaki teorem, çok değişkenli Baskakov operatörünün bir çeşit monotonluğu

koruduğunu göstermektedir.

Teorem 5.4. Kabul edelim ki f T üzerinde tanımlı ve ( ) 0f ≥x olsun. Eğer ( )0,ix ∈ ∞

olmak üzere, ( ) , 1, 2,..., ,i

f i dx

=x artmayan ise

( ), ;n d

i

B fx

x de ( )0,∞ dan olan ix ler

için artmayandır (Cao, Ding ve Xu 2005).

İspat. 1n ≥ olmak üzere ( )

i

fxx artmayan ise

( ), ;n d

i

B fx

x nin artmayan olması için

( ), ;0n d

i i

B fx x⎛ ⎞∂

≤⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

x sağlandığı gösterilecektir.

( ), ;n d

i i

B fx x⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

x=

0

11 (1 ) n

i i

nf

x x n

∞− −

=

⎧ ⎫⎛ + − ⎞∂ ⎪ ⎪⎛ ⎞ +⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∑ kk

k

kk x xk

( )1 1 1

,

0 0 1 0 0... ...

i i i d

n k

k k k k k i i

Pf

n x x− +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= = = = =

⎛ ⎞∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑

xk

1 11

1 1 1

1 1 10 0 0 0

1... ... ... ... (1 ) ii i d

i i d

n kk k kki i d

k k k ki i

x x x xx x

− +

− +

∞ ∞ ∞ ∞− − +

− += = = =

⎛ ⎞∂+ +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ kx

( ) 1 11

1 1 1

1 !..., ,0, ,...

!... ! !... !( 1)!k i i i d

i i d

n k k k kkfk k k k n n n n n

− +

− +

− − − ⎛ ⎞× ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

28

Burada türev alınırsa,

( ), ;n d

i i

B fx x⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

x

1 1 10 0 1 0 0

1... ...

k kk

i i i dk k k k k

nf

n− +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= = = = =

⎛ + − ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) 1 11 2

1 1 11 ... ... (1 ) kxi i i d nk k k kki i i i dk x x x x x− + − −−

− +⎡× − +⎣

( ) 1 11 11

1 1 1... ... (1 ) kk xi i i d nk k k kki i i dn x x x x x− + − − −−− +

⎤− + + ⎦

( )1 1 1

20 0 0 0

1... ... 1n ki

i i dk k k k ix

− − +

− +

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

⎛+ − +⎜

⎝∑ ∑ ∑ ∑

k

x ( )( )1

1 1n ki

ii

n kx

− − + − ⎞+ − − + + ⎟⎟

⎠

k

k x

( )

1 11 1 111 1 1

1 1 1

1 !... ... ,..., ,0, ,...,

!... ! !... !( 1)!k

i i d ik k kk i i di i d

i i d

n k k k kkx x x x fk k k k n n n n n

− + − +− +

− +

+ − − ⎛ ⎞× ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

elde edilir.Gerekli düzenlemeler yapılarak,

( ), ;n d

i i

B fx x⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

x

( )

( ) ( )( )1 1 10 0 1 0 0 1 1 1

1 !... ...

!... ! 1 2 ! !... !( 1)!k k

i i i dk k k k k i i i i i d

nf

k k k k k k k n n− +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= = = = = − +

+ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− − − ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) 1 11

1

1 1 11 ... ... (1 )i

i i d

knk k kk i

i i i di

xk x x x xx

− +

−− −

− +× − + kx

( ) ( )1 1 10 0 1 0 0 1 1

1 !... ...

!... ! !... !( 1)!i i i dk k k k k i i d

nn

k k k k n− +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= = = = = +

+ −− +

−∑ ∑ ∑ ∑ ∑k

k

29

1 111 1 1

1... ... (1 ) ii i i d n kk k k kki i i d

i

x x x x x fx n

− + − − +− +

⎛ ⎞× + ⎜ ⎟⎝ ⎠

k kx

( )( )

1 11

1 1 1

1 1 120 0 0 0

1... ... ... ... (1 )

1ii i d

i i d

i i n kk k kki i d

k k k k i

x n kx x x x

x− +

− +

∞ ∞ ∞ ∞− − +

− += = = =

+ + + −− +

+∑ ∑ ∑ ∑ kx kx

x

1 111..., ,0, ,...i i i i d

i

n k e k k kkfk n n n n

− +⎛ + − − ⎞ ⎛ ⎞×⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

kk

bulunur.Eşitliğin sağ tarafında 1i ik k→ + alınıp, birinci ve ikinci toplamların sağ kısımları in ve k ile çarpılıp bölünürse,

( ), ;n d

i i

B fx x⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

x ( )( )1 1 10 0 1 0 0 1 1

!... ...

!... 1 ! !... !( 1)!i i i d

i

k k k k k i i i d

n k nk k k k k n n

− +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= = = = = +

+=

− −∑ ∑ ∑ ∑ ∑k

1 11 11 1 1... ... (1 )

ii i d

knk k kki i

i i di

e xf x x x xn x

− + − − −− +

+⎛ ⎞× +⎜ ⎟⎝ ⎠

kk x

1 1 1

1

0 0 1 0 0... ... (1 )

i i i d

ni

k k k k k i i

n kn fk x n

− +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞− − −

= = = = =

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ kkk k x xk

( )( )

1 11

1 1 1

1 1 120 0 0 0

1... ... ... ... (1 )

1ii i d

i i d

i i n kk k kki i d

k k k k i

x n kx x x x

x− +

− +

∞ ∞ ∞ ∞− − +

− += = = =

+ + + −− +

+∑ ∑ ∑ ∑ kx kx

x

1 111..., ,0, ,...i i i i d

i

n k e k k kkfk n n n n

− +⎛ + − − ⎞ ⎛ ⎞×⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

kk

1 1 1

1

0 0 1 0 0... ... (1 )

1kkk k x x

ki i i d

ni i

k k k k k i i

n e knfn k x

− +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞− − −

= = = = =

⎛ + ⎞ +⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑

30

1 1 1

1

0 0 1 0 0

... ... (1 )i i i d

ni

k k k k k i i

n kn fk x n

− +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞− − −

= = = = =

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ kkk k x xk

( )( )

1 11

1 1 1

1 1 120 0 0 0

1... ... ... ... (1 )

1ii i d

i i d

i i n kk k kki i d

k k k k i

x n kx x x x

x− +

− +

∞ ∞ ∞ ∞− − +

− += = = =

+ + + −− +

+∑ ∑ ∑ ∑ kx kx

x

1 111

..., ,0, ,...i i i i d

i

n k e k k kkfk n n n n

− +⎛ + − − ⎞ ⎛ ⎞×⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

kk

( )( )

1 1 1

1 11

1 1 1

0 0 1 0 0

1

1 1 120 0 0 0

... ...1

(1 )

1... ... ... ... (1 )

1

i i i d

ii i d

i i d

i

k k k k k i i

ni

i

i i n kk k kki i d

k k k k i

en nf fk n k n

n kx

x n kx x x x

x

− +

− +

− +

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= = = = =

− − −

∞ ∞ ∞ ∞− − +

− += = = =

⎧ ⎫+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭

⎛ + ⎞× +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + + −− +

+

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

kk

k

k k

kx x

k

x kx

x

1 111..., ,0, ,... ,i i i i d

i

n k e k k kkfk n n n n

− +⎛ + − − ⎞ ⎛ ⎞×⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

kk

Burada eşitliğin sağ tarafındaki ilk terimde ( )

i

f xx

nin artmayan olduğu dikkate

alınarak ( ), ;0n d

i

B fx x⎛ ⎞∂

≤⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

x olduğu yani,

( ), ;n d

i

B fx

x nin artmayan olduğu sonucuna

varılır.

Aşağıdaki teorem, çok değişkenli Baskakov operatörünün konveks fonksiyon altında n

ye göre monotonluğunu göstermektedir.

31

Teorem 5.5. Eğer ,f T de tanımlı konveks bir fonksiyon ise, ( ),n dB f azalmayandır

(Cao, Ding ve Xu 2005).

İspat. Burada ağır ve karmaşık notasyonlardan kaçınmak için, ispatı, d=2 durumunda

inceleyeceğiz. Daha yüksek boyutlar için ispat benzerdir. (5.3) den

( ),0

1; (1 ) n

n d

nB f f

n

∞− −

=

⎛ + − ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ kk

k

k kx x xk

( ) 11,

0; (1 )

1n

n d

nB f f

n

∞− − −

+=

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑ kk

k

k kx x xk

olmak üzere,

( )

1 2

, 1,

1 1

( ; ) ;

1 1 (1 )1 1

n d n d

n

k k

B f B f

n nf f

n n

+

∞ ∞− −

= =

−

⎧ ⎫⎛ + − ⎞ ⎛ + ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑∑ kk

x x

k kk k x xxk k

+ 1 1

1

1 11 11

1 1 1

1 1,0 ,0 (1 )1 1

xx

k n k

k

n k n kk kf f xk kn n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑

+ 2 2

2

2 22 22

1 2 2

1 10, 0, (1 )1 1

xx

k n k

k

n k n kk kf f xk kn n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑

+ ( ) ( ) ( )10,0 0,0 11

nf f

−⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

xx

.

Burada 1 11 1

= −+ +

xx x

alınırsa,

( ), 1,( ; ) ;n d n dB f B f+−x x

32

=1 21 1

1(1 )

1kkk kk k x x

k kn

k k

n nf f

n n

∞ ∞− −

= =

⎧ ⎫⎛ + − ⎞ ⎛ + ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑∑

1 2

1 2

111 2

1 1(1 )

1kk k x

knk k

k k

nf x x

n

∞ ∞− − −+

= =

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑∑

1 2

1 2

111 2

1 1(1 )

1nk k

k k

nf x x

n

∞ ∞− − −+

= =

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑∑ kk k x

k

1 1

1

1 11 11

1 1 1

1,0 ,0 (1 )

1xk n k

k

n k n kk kf xk kn n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑

1 1

1

1 1 111

1 1

,0 (1 )1

xk n k

k

n k kf xk n

∞+ − − −

=

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑

1 1

1

1 111 2

1 1

,0 (1 )1

xk n k

k

n k kf x xk n

∞− − −

=

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑

+ 2 2

2

2 22 22

1 2 2

1 10, 0, (1 )

1xk n k

k

n k n kk kf f xk kn n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑

+ 2 2

2

2 1 122

1 2

0, (1 )1

k n k

k

n k kf xk n

∞+ − − −

=

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑ x

+ 2 2

2

2 121 2

1 2

0, (1 )1

xk n k

k

n k kf x xk n

∞− − −

=

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑ + ( )( ) 1

0,0 1n

f− −

+x x

1 21 1

1(1 )

1kkk kk k x x

k kn

k k

n nf f

n n

∞ ∞− −

= =

⎧ ⎫⎛ + − ⎞ ⎛ + ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑∑

33

1 2

1 2

111 2

0 1(1 )

1kk k x

knk k

k k

nf x x

n

∞ ∞− − −+

= =

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑∑

1 2

1 2

111 2

1 0(1 )

1kk k x

knk k

k k

nf x x

n

∞ ∞− − −+

= =

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑∑

1 1

1

1 11 11

1 1 1

1,0 ,0 (1 )

1xk n k

k

n k n kk kf xk kn n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑

1 1

1

1 1 111

0 1

,0 (1 )1

k n k

k

n k kf xk n

∞+ − − −

=

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑ x

+ 2 2

2

2 22 22

1 2 2

10, 0, (1 )

1xk n k

k

n k n kk kf f xk kn n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑

+ 2 2

2

2 1 122

0 2

0, (1 )1

xk n k

k

n k kf xk n

∞+ − − −

=

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑

olup, yukarıda 1 1 1k k→ − , 2 2 1k k→ − alınarak

( )

1 2

, 1,

1 1

( ; ) ;

1(1 )

1

n d n d

n

k k

B f B f

n nf f

n n

+

∞ ∞− −

= =

−

⎧ ⎫⎛ + − ⎞ ⎛ + ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑∑ kk

x x

k kk k x xk k

( )1 21 2

1 2

1 11 2 1 11 21 2

1 1 1 2

1 1, (1 )1, 1

x n k kk k

k k

n k k k kf x xk k n

∞ ∞− − − − −− +

= =

+ − +⎛ ⎞ −⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠∑∑

( )1 21 2

1 2

1 11 2 1 11 21 2

1 1 1 2

1 , 1 (1 ), 1 1

x n k kk k

k k

n k k k kf x xk k n

∞ ∞− − − − −− +

= =

+ + −⎛ ⎞ −⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠∑∑

34

1 1

1

1 11 11

1 1 1

1,0 ,0 (1 )

1xk n k

k

n k n kk kf xk kn n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑

( )11

1

1 11 1 111

1 1

1 1,0 (1 )1

x n kk

k

n k kf xk n

∞− − − −− +

=

+ −⎛ ⎞ −⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑

+ 2 2

2

2 22 22

1 2 2

10, 0, (1 )

1xk n k

k

n k n kk kf f xk kn n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑

+ ( )22

2

1 12 1 122

1 2

1 10, (1 )1 1

n kk

k

n k kf xk n

∞− − − −− +

=

+ −⎛ ⎞ −⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠∑ x

elde edilir, son ifadede

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

, 1,0 1,

, 1,0 , 1

e k k k k

e k k k k

− = − = −

− = − = −

k

k

olduğu dikkate alınarak

( ), 1,( ; ) ;n d n dB f B f+−x x

1 2

1 2

1 1 1 1

1 111 1 1

(1 )

k k

n

n nn n e ef f f fn n n ne e

∞ ∞

= =

− −

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎛ + − ⎞ ⎛ + ⎞ − −⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

× +

∑∑

kk

k kk k k kk kk kk k

x x

1 1

1

1 1 11 1 11

1 1 1 1

1 1 1,0 ,0 ,0 (1 )11 1

k n k

k

n k n k n kk k kf f f xk k kn n n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑ x

2 2

2

2 2 22 2 22

1 2 2 2

1 1 10, 0, 0, (1 )11 1

k n k

k

n k n k n kk k kf f f xk k kn n n

∞− −

=

⎧ ⎫+ − + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑ x

elde edilir. Yukarıdaki ifadede

35

11

1

2

1

111 1

1,

1

kk k kk kkk k

k kk

nn n eI f f fn n ne

n efne

⎛ ⎞+ −⎛ + − ⎞ ⎛ + ⎞ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − −⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+− ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2 22 2 23

2 2 2

1 1 10, 0, 0,11 1

n k n k n kk k kI f f fk k kn n n

+ − + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

diyelim. 1I için,

1 21 21 2 3

1 11

, ,

k kkk kk

k k kk k kk k k

n nne ek kn

n n nn n nα α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎛ + − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = = =

+ + +⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

olarak alınırsa, 1 2 3, ,α α α negatif olmayan sayılardır ve 1 2 3 1α α α+ + = dir. Ayrıca

1 2

1 2 3, ,1 1

k kk e ex x xn n n

− −= = =

+ + olmak üzere, 1 1 2 2 3 3 1

x x xn

α α α+ + =+k dir.

Böylece Tanım 2.2 de verilen konveks fonksiyon tanımından 1 0I ≤ olduğu sonucuna

varılır.

2I için ,

1 1

1 1 11 2

1 11 1

1 1

1 11

,

n k n kk k kn

n k n kn k n kk k

α α

+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = =

+ ++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 11 1 12

1 1 1

1 1 1,0 ,0 ,0 ,11 1

n k n k n kk k kI f f fk k kn n n

+ − + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

36

olarak alınırsa 1α ve 2α negatif olmayan sayılardır ve 1 2 1α α+ = dir. Ayrıca

1 11 2

1,1

k ky yn n

−= =

+ olmak üzere 1

1 1 2 2 1ky y

nα α+ =

+ elde edilir. Konveks fonksiyon

tanımından 2 0I ≤ bulunur.Benzer olarak 3 0I ≤ olduğu elde edilir. Böylece her

n∈ için ( ), 1,( ; ) ;n d n dB f B f+≤x x olduğu gösterilmiştir.

37

KAYNAKLAR

Adell, J.A., Badia, F.G. and Cal, J.D., 1997. J, Approx. Theory 84, 61-73.

Anastassiou, G.A. and Gall, S.G., 2000. Approx. theory,Moduli of continuity and

global smoothness preservation, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA.

Bernstein 1987. S.N. Demonstration du theoreme de Weierstrass fondee sur le

calculdes probabilites, Commun Soc. Math. Kharkow(2), 13(1912), 1-2.

Bohman H. 1952.On approximation of continuous and of analytic functions, Ark. Mat.,

2(1952- 54), 43-56.

Brown, B.M., Elliot, D. and Paget, D.F., 1987. Lipschitz constants for the Bernstein

polynomials of a Lipschitz constants function., J. Approx. Theory, 49, 196-

199.

Cao, F., Ding, C., Xu, Z., 2005. On multivariate Baskakov operator, J. Math. Anal.

Appl. 307, no. 1, 274-291.

Cheney, E.W. and Sharma, A., 1964. Bernstein power series, Can. J. Math. 16, 241-

252.

Khan, M.K., 1991. Approximation properties of beta operators, Progress in

approximation theory, pp. 483-495, Academic Press, Boston, MA.

Khan, M.K., and Peters, M.A.,1989. Lipschitz constants for some approximation

operators of a Lipschitz continuous function, J. Approx.

Li, Z., 2000. Bernstein polynomials and modulus of continuity, J. Approx.Theory 102,

no. 1,171-174.

Trif, T., 2003. An elementary proof of the preservation of Lipschitz constants by the

Meyer- König and Zeller operators. JIPAM. J. Inequal.Pure Appl. Math. 4,

no. 5, Article 90.

Weierstrass, K.1885. Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher

Functionen einer reellen Veränderlichen, Sitzungsber. Akad. Berlin, pp. 633–

639, 789–805.

38

ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı :Melek KART Doğum Yeri :Bayburt Doğum Tarihi :05.01.1983 Medeni Hali :Evli Yabancı Dili :İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise :Dr. Şerafettin Tombuloğlu (Yabancı Dil Ağırlıklı) Lisesi (2001) Lisans :Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2005) Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik AnaBilim Dalı (Eylül 2005- Ağustos 2008)