anÁlisis de circuitos trifÁsicos
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ILEANA MORENO CAMPDESUÑER
JUAN CURBELO CANCIO
2019
ANÁLISIS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Prólogo
El presente libro está dirigido fundamentalmente a estudiantes de las carreras de perfil
eléctrico, tiene la pretensión de orientarlos en el análisis de los circuitos trifásicos, los más
empleados en la generación, transmisión, distribución y consumo de la energía eléctrica,
por razones económicas, técnicas, versatilidad y fiabilidad
El contenido de este libro ha sido elaborado a partir de la experiencia docente de sus
autores y recurriendo a fuentes bibliográficas reconocidas internacionalmente, además de
haber sido enriquecida con otros textos actualizados. (Ayllón & Montó, 1987; Boylestad,
2006; Edminister & Nahvi, 1997; Nilsson & Riedel, 2011; Svoboda & Dorf, 2014; William
H. Hayt, Kemmerly, & Durbin, 2007)
Para la mejor comprensión de los temas que se tratan en el libro, los estudiantes deben
dominar el empleo del método fasorial en el análisis de circuitos eléctricos en estado
estable sinusoidal.
En cada uno de los capítulos del libro, se presentan un conjunto de ejercicios resueltos y
propuestos, lo que proporcionará a los estudiantes la posibilidad de entrenarse en el análisis
de circuitos eléctricos trifásicos balanceados y desbalanceados.
En el caso de los ejercicios resueltos, aparece su solución empleando el simulador
Simulink del Matlab, lo que consolida y profundiza los conocimientos recibidos por los
estudiantes en las asignaturas relacionadas con este lenguaje de programación y su
simulador. En el caso de los ejercicios propuestos, se brinda la respuesta para que pueda
verificarse el resultado obtenido.
El libro se ha estructurado en dos capítulos. En el primer capítulo se define una fuente
trifásica de voltajes de secuencia positiva y negativa y posteriormente se dirige la atención
a un sistema trifásico balanceado con diferentes formas de conexión: conexión estrella –
estrella, estrella – delta (dos de las conexiones más utilizadas en la práctica), delta – estrella
y delta - delta.
Las relaciones existentes entre los voltajes y corrientes de línea y de fase, son determinadas
tanto gráfica como numéricamente.
En la parte final del capítulo se desarrollan las expresiones que permiten determinar las
potencias, activa, reactiva, aparente y compleja, por fase o trifásicas o totales. Se explica el
método de los dos wattímetros para determinar la potencia activa trifásica o total
consumida por una carga conectada en estrella o en delta.
El segundo capítulo tiene como objetivo el estudio de los sistemas trifásicos
desbalanceados o asimétricos. En el capítulo se exponen las técnicas de solución de
circuitos trifásicos desbalanceados con configuración estrella – estrella con neutro sin
impedancia, con neutro con impedancia y sin neutro, con configuración estrella delta, delta
- estrella y delta – delta. Se demuestra la posibilidad de que la secuencia de las corrientes
no coincida con la de los voltajes aplicados y como la variación de la secuencia de los
voltajes aplicados implica, en general, variación en el módulo y argumento de las corrientes
y voltajes, o al menos en una de dichas variables.
El capítulo concluye tratando los fundamentos de la medición de las diferentes potencias en
un sistema trifásico desbalanceado y nuevamente se retoma la medición de la potencia
activa o real empleando el método de los dos wattímetros.
Se espera que este texto sea de provecho para todo el que lo consulte y que con las
sugerencias que puedan surgir en la medida que se utilice, se pueda enriquecer y
profundizar.
Los autores
Sistemas trifásicos
Introducción
Un sistema monofásico de corriente alterna consiste de un generador que posee un solo
enrollado en el que se induce una fuerza electromotriz (fem), conectada a través de dos
conductores (líneas) a una carga.
Los generadores que poseen varios enrollados en los que se inducen fem de igual
frecuencia, desfasadas una respecto a la otra, se llaman generadores polifásicos.
Cada enrollado de la fuente de alimentación de un sistema polifásico recibe el nombre de
fase. Según el número de fases de las fuentes de alimentación, los sistemas eléctricos
pueden ser bifásicos, trifásicos, tetrafásicos, etc. En general, el desplazamiento eléctrico
entre fases, para un sistema balanceado de “ n ” fases, es de n
360.
Los sistemas trifásicos son los que más se emplean por varias razones:
Existen ventajas al usar maquinaria rotatoria para generar potencia trifásica,
en vez de potencia monofásica.
La transmisión de potencia empleando un sistema trifásico genera ventajas
económicas.
El empleo de equipos eléctricos trifásicos es bastante común, sobre todo en
el entorno industrial; en particular, los motores que se utilizan en los grandes
sistemas de refrigeración y en las instalaciones de maquinado, son motores
trifásicos.
El proceso para obtener potencia monofásica de un sistema trifásico es
relativamente simple.
En el mundo casi todos los sistemas de generación, transmisión y
distribución son trifásicos. En la mayoría de los países del continente
americano, la frecuencia de operación es de Hz60 ( srad /377 ). En
Europa la frecuencia es de Hz50 ( srad /314 ).
1. Sistemas trifásicos balanceados
Un generador trifásico balanceado, tiene tres terminales y puede estar presente un cuarto
terminal llamado neutro.
Los voltajes entre dos terminales cualesquiera, tienen igual magnitud, frecuencia y están
desfasados entre sí por 120
Casi sin excepción, los generadores trifásicos pueden ser aproximados muy bien a fuentes
de voltaje ideales o a fuentes ideales en serie con pequeñas impedancias internas. Las
fuentes de corriente trifásica raramente son utilizadas.
Una representación posible de un generador de voltajes trifásicos se muestra en la figura
1.1. Suponiendo que se conocen los voltajes Van, Vbn, Vcn:
VVan 120100
VVbn 120100
VVcn 120100
Figura 1.1 Generador trifásico balanceado.
El voltaje Vab puede ser obtenido como:
Vab = Van + Vnb = Van − Vbn
1201000100
= 100 −(−50 − j86,6)
V 30173
Los tres voltajes indicados y la construcción del fasor 𝑉𝑎𝑏 , se ilustran en el diagrama
fasorial mostrado en la figura 1.2.
Figura 1.2 Diagrama fasorial que ilustra la determinación gráfica del voltaje Vab.
1.1 Conexión estrella-estrella (Y-Y)
Las fuentes trifásicas tienen tres terminales, denominados terminales de línea, además,
pueden contar o no con un cuarto terminal, denominado neutro.
La figura 1.3 muestra una fuente trifásica con conductor neutro. La fuente se representa
mediante tres fuentes ideales de voltaje conectadas en estrella (Y).
Figura 1.3 Fuente trifásica de cuatro hilos conectada en Y.
Una fuente trifásica es balanceada si se cumple que:
|𝑉𝑎𝑛| = |𝑉𝑏𝑛| = |𝑉𝑐𝑛|
𝑉𝑎𝑛 + 𝑉𝑏𝑛 + 𝑉𝑐𝑛 = 0 (Suma fasorial).
Estos tres voltajes, localizados cada uno entre una línea y el neutro, se denominan voltajes
de fase. Si se elige de manera arbitraria Van como la referencia:
0fan VV
Donde 𝑉𝑓 representa el valor rms de cualquiera de los voltajes de fase.
La definición de una fuente trifásica balanceada exige que se cumpla que:
120fbn VV y 120fcn VV
o
120fbn VV y 120fcn VV
La primera secuencia recibe el nombre de secuencia de fase positiva o secuencia de fase
𝑎𝑏𝑐 y se ilustra en la figura 1.4a; la segunda se conoce como secuencia de fase negativa o
secuencia de fase 𝑎𝑐𝑏 y se indica mediante el diagrama fasorial de la figura 1.4b.
La secuencia de fase de una fuente trifásica física depende de la elección arbitraria de los
tres terminales designados por a , b y c , y significa físicamente una inversión del sentido
de rotación del rotor del generador trifásico. Siempre pueden elegirse de manera que se
tenga una secuencia de fase positiva.
Figura 1.4 Secuencia de fase positiva o 𝑎𝑏𝑐 (a); secuencia de fase negativa 𝑎𝑐𝑏 (𝑏).
A continuación, se ilustra el proceso para determinar los voltajes de línea a línea
(denominados muchas veces como voltajes de línea), en un sistema trifásico balanceado
con secuencia de fase positiva, con ayuda de un diagrama fasorial. El proceso es
relativamente fácil, puesto que todos los ángulos son múltiplos de 30 . La construcción
necesaria se ilustra en la figura 1.5.
303 fab VV [1]
903 fbc VV [2]
1503 fca VV [3]
Figura 1.5 Diagrama fasorial que ilustra el proceso para determinar los voltajes de línea a
partir de los voltajes de fase dados (secuencia 𝑎𝑏𝑐).
El voltaje de línea Vab también puede ser determinado algebraicamente:
)120sin()120cos(1200 fffffbnanab jVVVVVVVV
303)2
3
2
11( ff VjV
Si el valor rms de cualquiera de los voltajes de línea se denota por VL , entonces una de las
características importantes de una fuente trifásica balanceada conectada en Y, puede
expresarse como:
fL VV 3
Puede observarse en el diagrama fasorial que ilustra el proceso para determinar los voltajes
de línea a partir de los voltajes de fase dados (secuencia 𝑎𝑏𝑐), que con una secuencia
positiva Van adelanta a Vbn y Vbn a V𝑐𝑛 en cada caso en 120 ; asimismo, Vab adelanta a Vbc
y Vbc adelanta a Vca, de nuevo en 120 . La afirmación es cierta en el caso de secuencia de
fase negativa si la palabra “adelanta” se sustituye por la de “retrasa”.
La figura 1.6 muestra una fuente trifásica balanceada en estrella, conectada a una carga
trifásica balanceada también conectada en Y, utilizando tres líneas y un neutro.
Figura 1.6 Sistema trifásico balanceado conectado en Y-Y que incluye un neutro.
La corriente de línea es la corriente en cada línea y la corriente de fase es la corriente en
cada fase de la fuente o de la carga. En el sistema , la corriente de línea es igual a la
corriente de fase correspondiente. Por convención, se asume que las corrientes de línea
están dirigidas de la fuente hacia la carga, por lo que en lugar de aAI normalmente se
escribe aI y la corriente por el neutro se asume dirigida hacia la fuente, por lo que se
escribe normalmente In en lugar de nIn .
Las corrientes de línea se calculan muy fácilmente, ya que en realidad se tienen tres
circuitos monofásicos con una conexión común:
f
aAZ
VanIaI
IaZ
Van
Z
VbnIbI
ff
bB )1201()1201(
IaZ
Van
Z
VcnIcI
ff
cC )1201()1201(
Se observa que las corrientes de línea forman un sistema trifásico balanceado de corrientes.
Las magnitudes de las corrientes de línea son iguales y están desfasadas entre sí 120 .
Aplicando LKC en el nodo n :
0´ cbacCbBaAnn IIIIIII (La suma de tres fasores de igual módulo y
desfasados 120 es igual a cero).
Por tanto, por el conductor neutro no circula corriente si tanto la fuente como la carga están
balanceadas y si los cuatro alambres tienen una impedancia igual a cero. Si se insertara en
serie con cada línea una impedancia lZ , esta impedancia podría combinarse con la
impedancia de fase correspondiente, la carga equivalente sigue estando balanceada, la
corriente por el neutro perfecto sigue siendo igual a cero y puede ser eliminado.
Entonces, si no se producen cambios en el sistema con un cortocircuito o un circuito
abierto, entre n y n , puede insertarse en el neutro cualquier impedancia y la corriente por
el conductor neutro seguirá siendo igual a cero ( 0´ nVn ).
Se tiene entonces que, si se tienen fuentes balanceadas, cargas balanceadas e impedancias
de líneas balanceadas, un alambre neutro de cualquier impedancia puede reemplazarse por
cualquiera otra impedancia, incluyendo un cortocircuito o un circuito abierto. El reemplazo
no afectará los voltajes ni las corrientes del sistema.
A menudo es útil visualizar un cortocircuito entre los dos puntos neutros, ya sea que en
realidad este presente o no un alambre neutro. El problema se reduce a tres problemas
monofásicos idénticos excepto por las diferencias de fase. En este caso se dice que el
problema se resuelve “por fases”, solo se requiere encontrar la magnitud deseada en una
fase, las magnitudes similares en las restantes fases, son obtenidas por simples rotaciones
de 120 de acuerdo a la secuencia. Por costumbre, en el circuito equivalente monofásico se
emplea el correspondiente a la fase a , mostrado en la figura 1.7.
Figura 1.7 Circuito equivalente monofásico correspondiente a la fase a .
1.2 Conexión estrella-delta (Y-∆)
Una configuración alternativa a la carga conectada en Y, es la carga conectada en ∆, como
se muestra en la figura 1.8. Este tipo de configuración es común y no posee una conexión
neutra.
Figura 1.8 Sistema trifásico balanceado conectado en Y-∆.
Se considera que la carga en ∆ está balanceada y que está compuesta por una impedancia
𝑍𝑓 insertada entre cada par de líneas.
Se suponen conocidos los voltajes de línea:
𝑉𝐿 = |𝑉𝑎𝑏| = |𝑉𝑏𝑐| = |𝑉𝑐𝑎|
O se conocen los voltajes de fase:
𝑉𝑓 = |𝑉𝑎𝑛| = |𝑉𝑏𝑛| = |𝑉𝑐𝑛|
Donde:
𝑉𝐿 = √3𝑉𝑓 y 𝑉𝑎𝑏 = √3𝑉𝑓∠ 30
Debido a que se conocen los voltajes en cada rama de la ∆, las corrientes de fase se
obtienen sin dificultad:
Iab =Vab
Zf Ibc =
Vbc
Zf Ica =
Vca
Zf
Y sus diferencias permiten determinar las corrientes de línea, en la forma:
IaA = Iab − Ica
Debido a que el sistema es balanceado, las tres corrientes de fase son de igual magnitud:
If = |Iab| = |Ibc| = |Ica|
Las corrientes de línea tienen también la misma magnitud; la simetría se manifiesta
observando el diagrama fasorial de la figura 1.9.
IL = |IaA| = |IbB| = |IcC|
IL = √3If
Figura 1.9 Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes en un sistema trifásico balanceado
(secuencia abc y carga inductiva).
Si la carga está conectada en delta (∆), el voltaje de fase y de línea se refieren al mismo
voltaje y la corriente de línea es mayor que la de fase por un factor de √3. Sin embargo,
con una carga conectada en estrella (Y), la corriente de fase y la de línea se refieren a la
misma corriente y el voltaje de línea es mayor que el de fase por un factor de √3.
No es común el empleo de fuentes conectadas en delta, pues un ligero desbalance
(desequilibrio) en las fases de la fuente, puede ocasionar una circulación de corriente
elevada por los devanados del generador conectado en delta (incluso sin carga conectada al
generador). Lo anterior reduce la capacidad de corriente útil de la fuente e incrementa
también las perdidas en el sistema.
Es posible la transformación de fuentes trifásicas balanceadas de Y a ∆, o viceversa, sin
afectar las corrientes o voltajes de la carga. La transformación permite usar cualquier
conexión de fuente que se prefiera, siendo todas las relaciones de carga correctas. Desde
luego, no se puede especificar alguna corriente o voltaje dentro de la fuente, hasta que se
conozca cómo está conectada en realidad.
Las cargas trifásicas balanceadas se pueden transformar de Y a ∆, o viceversa, mediante la
relación:
ZY =Z∆
3
1.3 Potencia trifásica
El factor √3 no solo relaciona las cantidades de fase y de línea, sino que aparece también
como un factor útil, en la expresión que permite determinar la potencia (activa) total
consumida por cualquier carga trifásica balanceada.
Si se considera una carga conectada en Y, con un ángulo del factor de potencia 𝜑; la
potencia (activa) absorbida por cualquier fase de la carga, está dada por: 𝑃𝑓 = 𝑉𝑓𝐼𝑓 cos 𝜑 =
𝑉𝑓𝐼𝐿 cos 𝜑 =𝑉𝐿
√3𝐼𝐿 cos 𝜑
La potencia (activa) trifásica o total (absorbida por las tres fases) es igual a:
𝑃3𝑓 = 3𝑃𝑓 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿 cos 𝜑
De manera similar, la potencia activa que se entrega a cada fase de la carga conectada en ∆
se calcula mediante:
𝑃𝑓 = 𝑉𝑓𝐼𝑓 cos 𝜑 = 𝑉𝐿𝐼𝑓 cos 𝜑 = 𝑉𝐿
𝐼𝐿
√3cos 𝜑
La potencia (activa) trifásica o total (absorbida por las tres fases) es igual a:
𝑃3𝑓 = 3𝑃𝑓 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿 cos 𝜑
La ecuación anterior, permite calcular la potencia activa trifásica o total que se entrega a
una carga balanceada, a partir del conocimiento de las magnitudes (rms) del voltaje de
línea, de la corriente de línea y del ángulo de fase de la impedancia (o admitancia) de carga,
sin que importe que la carga esté conectada en Y o en ∆.
De igual forma:
fLLfff senIVsenIVQ 333
2
3
2
3333
QPIVIVS LLff
La potencia compleja por fase estará dada por:
***
ccbbaaf IVIVIVS
La potencia compleja trifásica se obtiene mediante:
3333 33 jQPSIVSS ffLLf
Se define el factor de potencia de un circuito trifásico como la relación que existe entre la
potencia activa trifásica y la potencia aparente trifásica, mostrada en la figura 1.10, o sea:
fS
Pfp
cos
3
3
3
Figura 1.10 Triángulo de potencias.
1.4 Medición de potencia en sistemas trifásicos
La medición de los valores eficaces del voltaje y la corriente en los terminales de entrada
de una carga monofásica, empleando un multímetro común, permite determinar la potencia
aparente consumida por la carga, calculando su producto VAIVS rmsrms . Si se conoce el
factor de potencia de la carga, la potencia activa (promedio o real) consumida por la carga
puede calcularse mediante WfpIVP rmsrms . Existen instrumentos específicamente
diseñados para medir la potencia activa, denominados wattímetros.
El wattímetro tradicional, es un instrumento analógico electrodinámico, aunque en la
actualidad se emplean también instrumentos digitales. En la figura 1.11 se muestran dos
representaciones para el wattímetro y el esquema circuital del wattímetro conectado para
medir la potencia consumida por una carga monofásica.
Figura 1.11 Medición de potencia activa ( P ) empleando un wattímetro.
Los wattímetros constan de dos bobinas, llamadas bobina de corriente y bobina de voltaje.
La bobina de corriente también denominada elemento de corriente es un enrollado
estacionario formado por pocas vueltas de un conductor relativamente grueso, de forma que
0LiZ y al conectarse en serie con la carga y circular por ella )(ti , no se produce una
caída de voltaje sensible y por lo tanto no se afecta el comportamiento de la carga.
La bobina o elemento de voltaje es un enrollado móvil formado por muchas vueltas de un
conductor de pequeña sección transversal de forma que LvZ y al conectarse entre las
líneas (en paralelo con la carga) y estar sometida a un voltaje apreciable )(tv circula por la
misma una corriente pequeña y no se afecta sensiblemente el comportamiento del circuito.
Al igual que los voltímetros y amperímetros, el wattímetro será considerado un instrumento
ideal, la impedancia de la bobina de corriente 0LiZ (cortocircuito) y la impedancia de la
bobina de voltaje LvZ (circuito abierto).
En los wattímetros aparecen dos marcas de polaridad. Desde el punto de vista del
comportamiento del instrumento, una corriente se considera positiva cuando entra por la
marca de polaridad de dicho elemento y un voltaje se considera positivo cuando el terminal
que posee la marca es el que está sometido al mayor potencial.
La bobina de corriente se enrolla sobre una estructura pivotante unida a la aguja indicadora,
mantenida en su posición inicial por un muelle. Cuando ambas bobinas están energizadas,
se desarrolla un torque que gira la estructura pivotante contra el muelle produciéndose una
deflexión (la aguja indica la lectura del wattímetro sobre una escala) proporcional al
producto )()( titv , cuyos signos están determinados por sus sentidos con respecto a las
marcas de cada elemento. Aunque las señales de corriente alterna producen torques
pulsantes, la inercia mecánica del sistema proporciona un efecto promediado, lo que resulta
en un ángulo de deflexión estable que es proporcional al valor promedio del producto
)()( titv .
Si se designa como W a la lectura del wattímetro, esta se puede expresar como:
dttitvT
W
T
)()(1
0
Esta expresión es la del valor medio de la potencia activa instantánea y por lo tanto, en
circuitos de corriente alterna se puede plantear también a través de la ecuación de la
potencia activa (indicando que la escala del instrumento puede ser calibrada directamente
en W ), o sea:
cosrmsrms IVPW
Donde:
IV
Para el caso de una carga monofásica, también es el argumento de la impedancia de la
carga.
Un wattímetro siempre indicará )cos( IVIVW , o sea, el módulo del voltaje
aplicado a su bobina de voltaje (rms), por el módulo de la corriente que circula por su
bobina de corriente (rms), y por el coseno del ángulo del voltaje menos el ángulo de la
corriente.
El wattímetro solo leerá la potencia activa consumida por todos los elementos que se
encuentren en el lado de la carga del instrumento. La lectura del instrumento corresponderá
a la suma de las potencias activas consumidas por cada uno de dichos elementos.
Teniendo en cuenta la indicación que un wattímetro suministra, la medición de la potencia
consumida por una carga trifásica parece ser un problema simple. Solo es necesario poner
un wattímetro en cada una de las tres fases de la carga balanceada conectada en estrella o
en delta y sumar los resultados o simplemente conectar un wattímetro en una de las fases de
la carga y multiplicar el resultado por tres para obtener la potencia trifásica o total
consumida por la carga.
En la práctica, no siempre es posible conectar un wattímetro en una de las fases de la carga
trifásica, debido a que el neutro de la carga conectada en estrella no siempre es accesible y
no se cuenta con las fases de la delta. Por ejemplo, un motor trifásico generalmente solo
tiene tres terminales accesibles, que se denominan 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
Para poder realizar la medición de la potencia activa total consumida por una carga trifásica
con solo tres terminales accesibles, se dispone de un método denominado método de los dos
wattímetros (método de Blondel).
Se demuestra que para la medición de potencia activa en un sistema trifásico se necesitan (
1n ) wattímetros, siendo n el número de conductores o hilos (por los cuales circula
corriente).
En el circuito trifásico representado en la figura1.12, se muestra la forma de medir la
potencia trifásica (total) según el método de los dos wattímetros, para cargas conectadas
tanto en como en . De acuerdo al método de los dos wattímetros, la suma (algebraica)
de las lecturas de los instrumentos corresponde a la potencia trifásica o total.
Figura 1.12 Medición de potencia trifásica por el método de los dos wattímetros.
)cos( IaVacaaca IVW
)cos( IbVbcbbcb IVW
cos33 LLba IVWWP
Los desfasajes entre los voltajes y las corrientes se pueden hallar con el auxilio de un
diagrama fasorial, en el cual se puede observar que en los circuitos balanceados, secuencia
abc , para un argumento de la impedancia de fase Z ( ), cada voltaje de línea está
desfasado 30Z con respecto a su corriente de línea correspondiente ( LV adelanta a LI
un ángulo 30Z ), independientemente de que la carga esté conectada en estrella o en
delta.
En el diagrama fasorial de la figura 1.13, se ha supuesto una carga en estrella, inductiva y
secuencia abc.
Figura 1.13 Diagrama fasorial que muestra las relaciones entre voltajes de línea y
corrientes de línea.
Para el circuito que se está considerando (las bobinas de corriente de los wattímetros
conectadas en las líneas a y b ), los desfasajes serán:
30)30120(120 IbVbc
30)30(60 IaVac
En la práctica, en caso de que una lectura sea negativa (estando el wattímetro correctamente
conectado), se deben invertir las conexiones de la bobina de corriente y la indicación del
wattímetro se debe tratar como negativa en la suma.
Las expresiones de las lecturas de los wattímetros serán:
)30cos( LLa IVW
)30cos( LLb IVW
]30cos()30[cos( LLba IVWW
Desarrollando los cosenos:
]3030coscos3030cos[cos sensensensenIVWW LLba
Al reducir términos semejantes:
]30coscos2[ LLba IVWW
3cos3]2
3cos2[ PIVIVWW LLLLba
De la lectura de los wattímetros se puede obtener el valor del argumento de la impedancia
de fase de la carga (φ).
21
213tanWW
WW
Para secuencia de fase positiva, el segundo término en el numerador ( 2W ) corresponde a la
lectura del wattímetro, en el cual el voltaje y la corriente aplicados a sus bobinas
respectivas, correspondan a una de las siguientes relaciones: aab IV ,
bbc IV , cca IV .
Debe tenerse presente que la suma de las lecturas es algebraica. En función de
(argumento de la impedancia de fase de la carga), la lectura de los instrumentos puede ser
positiva, nula o negativa. Para valores del argumento de la impedancia de fase 60
(factor de potencia menor que 5,0 ), el )30cos( será negativo y por tanto el wattímetro
cuya indicación viene dada por )30cos( LL IV , medirá potencia negativa (esta
posibilidad es matemática, en la práctica lo que se detecta es que la aguja indicadora del
instrumento deflecta en sentido contrario). Si 60 (factor de potencia menor que 5,0
), el wattímetro cuya indicación viene dada por )30cos( LL IV , medirá potencia
negativa.
Si 60 , la lectura de un wattímetro será igual a cero. Si 6060 (factor de
potencia mayor que 5,0 ), la lectura de ambos wattímetros será positiva. Si 0 (carga
resistiva pura, o sea, factor de potencia igual a 1), la lectura de ambos wattímetros será
igual y positiva.
Al invertir la secuencia de fase de la fuente de alimentación, las lecturas de los dos
wattímetros se intercambian.
1.5 Conclusiones del Capítulo
1. Un generador trifásico balanceado, tiene tres terminales y puede estar presente un
cuarto terminal llamado neutro y los voltajes entre dos terminales cualesquiera,
tienen igual magnitud, frecuencia y están desfasados entre sí por 120
2. En la conexión estrella- estrella las fuentes trifásicas tienen tres terminales,
denominados terminales de línea, además, pueden contar o no con un cuarto
terminal, denominado neutro. La corriente de fase y la de línea se refieren a la
misma corriente y el voltaje de línea es mayor que el de fase por un factor de √3
3. Una configuración alternativa a la carga conectada en Y, es la carga conectada en ∆,
este tipo de configuración es común y no posee una conexión neutra, si la carga está
conectada en delta (∆), el voltaje de fase y de línea se refieren al mismo voltaje y la
corriente de línea es mayor que la de fase por un factor de √3.
4. Se puede calcular la potencia activa trifásica o total que se entrega a una carga
balanceada, a partir del conocimiento de las magnitudes (rms) del voltaje de línea,
de la corriente de línea y del ángulo de fase de la impedancia (o admitancia) de
carga, sin que importe que la carga esté conectada en Y o en ∆.
5. El método de los dos wattímetros es de gran importancia porque no siempre se
puede acceder al neutro de la carga en la práctica.
Ejercicios resueltos y propuestos
Ejercicios resueltos
1. Encontrar en el circuito trifásico balanceado mostrado en la figura 1.14:
a) Los voltajes de fase.
b) Los voltajes de línea.
c) Las corrientes de línea.
Cantidades conocidas: Z = 8∠30oΩ, VBC = 200∠30o V. Secuencia de fase positiva.
Figura 1.14 Circuito trifásico balanceado.
R:
Teniendo en cuenta la secuencia de fase positiva, si el voltaje de línea VBC =200∠30𝑜 V, entonces:
VAB = 200∠150o V, VCA = 200∠−90o V
Determinación del voltaje de fase VAn:
VAn = (1
√3∠ − 30o) VAB = (
1
√3∠ − 30o) (200∠150o) = 116∠120o V
Considerando secuencia de fase positiva:
VBn = 116∠0o V
VCn = 116∠−120o V
Cálculo de la corriente de línea IA:
IA =VAn
Z=
116∠120o
8∠30o= 14,5∠90o A
Teniendo en cuenta la secuencia de fase positiva:
IB = 14,5∠−30o A
IC = 14,5∠−150o A
R Simulink:
Figura 1.15 Circuito trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro.
2. En el circuito de la figura 1.16, calcule las corrientes y voltajes de fase y de línea. Se
conoce que VVan 0200 y la secuencia de fase es positiva. 602fZ . fZ
representa la suma de la impedancia de fase del generador, de la impedancia de la línea
y de la impedancia de la fase correspondiente de la carga (Llgf ZZZZ ).
Figura 1.16 Sistema trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro. Secuencia abc.
R:
Si el voltaje de fase VVan 0200 y la secuencia de fase es positiva:
VVbn 120200 VVcn 120200
Los voltajes de línea serán:
VVanVab 30346)0200)(303()303(
VVbc 90346 VVca 150346
Las corrientes de línea se obtienen como:
AZ
VanIa
f
60100
602
0200
AIb 180100 AIc 60100
En un sistema : fL II .
Figura 1.17 Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes de fase y de línea del sistema
trifásico balanceado .
Se observa en el diagrama fasorial de la figura 1.17 que entre el voltaje de línea LV y la
corriente de línea LI hay un desfasaje de 30 ( 30f ), el voltaje de línea LV
adelanta a la corriente de línea correspondiente LI ( IaVab , IbVbc , IcVca ) en
30 ( 30f ). En el diagrama se ha tenido en cuenta que la carga es inductiva y la
secuencia de fase es positiva).
Figura 1.18 Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes de fase y de línea del sistema
trifásico balanceado .
R Simulink:
Figura 1.19 Sistema trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro. Secuencia abc.
3. Calcular las corrientes de línea en los tres alambres del sistema Y-Y de la figura 1.20.
Figura 1.20 Sistema sistema Y-Y con impedancia en las líneas.
R:
El circuito trifásico en la figura es balanceado. Las impedancias de las líneas pueden
combinarse en serie con las impedancias de las fases de la carga.
8,21155,16615)810()25( jjjZY
La corriente de la línea 𝐼𝑎, se obtiene:
AZ
VI
Y
ana
8,2181,6
8,21155,16
0110
Teniendo en cuenta que la secuencia de fase es positiva:
AII ab 8,14181,6)1201(
AII ac 2,9881,6)1201(
Figura 1.21 Diagramas fasoriales de los voltajes de fase del generador.
100
200
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
-100 0 100 200-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
R Simulink:
Figura 1.22 Sistema sistema Y-Y con impedancia en las líneas.
4. En la figura 1.23 se muestra un generador trifásico balanceado con secuencia de fase
positiva, el cual tiene una impedancia de 5,02,0 j /fase y una fem generada por fase
de V120 . El generador alimenta una carga trifásica balanceada conectada en estrella,
que tiene una impedancia por fase de 2839 j . La impedancia de cada una de las
líneas que conectan el generador a la carga es de 5,18,0 j . Tomar como referencia
la fem generada en la fase a . a) Calcular las corrientes de línea IaA, IbB , e IcC . b)
Hallar los voltajes de fase en la carga 'AnV , 'BnV y 'CnV . c) Determinar los voltajes de
línea en los terminales de la carga ABV , BCV y CAV . d) Hallar los voltajes de fase en los
terminales del generador anV , bnV y cnV . e) Calcular los voltajes de línea en los
terminales del generador abV , bcV y caV .
Figura 1.23 Sistema trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro. Impedancias en las
fases del generador y en las líneas
R:
En la figura 1.24 se muestra el circuito equivalente (monofásico) de la fase a :
Figura 1.24 Circuito equivalente monofásico (fase a).
Teniendo en cuenta que la secuencia de fase es positiva en el proceso de cálculo de las
variables:
a) Corriente por la línea a :
Ajjj
IaA
87,364,2
28395,18,05,02,0
0120
AIbB 87,1564,2
AIcC 13,834,2
b) Voltaje en la fase A de la carga:
VjIZV aAfAn 19,122,115)87,364,2)(2839('
VVBn 19,12122,115'
VVCn 81,11822,115'
c) Voltajes de línea en la carga:
VVV AnAB 81,2858,199)19,122,115)(303())(303( '
VVBC 19,9158,199
VVCA 81,14858,199
d) Voltaje en la fase a del generador:
VjIZV aAfgan 32,090,118)87,364,2)(5,02,0(120120
VVbn 32,12090,118
VVcn 68,11990,118
e) Voltajes de línea en los terminales del generador:
VVV anab 68,2994,205)32,090,118)(303())(303(
VVbc 32,9094,205
VVca 68,14994,205
Si la secuencia del generador fuese negativa (acb), las magnitudes de cada uno de los
voltajes y corrientes no variaría.
En este circuito equivalente monofásico (fase a), la corriente aAI retorna a través del
conductor neutro, no obstante, cuando se consideran las tres fases simultáneamente, la
suma fasorial de las tres corrientes por el conductor neutro será igual a cero, lo que
justifica el uso de un conductor neutro perfecto en el modelo monofásico.
R Simulink:
Figura 1.25 Sistema trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro. Impedancias en las
fases del generador y en las líneas.
5. El circuito de la figura 1.26 se conecta a una fuente generadora de voltajes
balanceados. Se conoce que el voltaje de la fase a del generador es AVa 9050 .
0101Z y
0202Z . La secuencia de fase es positiva. Determine las
corrientes totales de línea y la lectura de los instrumentos.
Figura 1.26 Generador trifásico balanceado que alimenta a dos cargas balanceadas en
estrella conectadas en paralelo.
R:
Como el circuito de la figura 1.26 es simétrico, podemos unir los dos puntos neutros de
las cargas en estrella sin que se alteren las condiciones del mismo (los neutros de las
cargas y del generador tienen el mismo potencial), pudiéndose hallar una estrella
equivalente de las dos estrellas en paralelo.
Figura 1.27 Generador trifásico balanceado alimentando a la estrella equivalente de las
dos estrellas en paralelo.
067,6
030
0200
020010
)020)(010(
21
21
ZZ
ZZZeq
AZ
VI
eq
aa
905,7
067,6
9050
AII ab 305,7)1201(
AII ac 1505,7)1201(
En un sistema trifásico balanceado la corriente por el neutro es igual a cero:
0 cban IIII
Por tanto la lectura del amperímetro A será igual a cero.
VVV fL 6,86)50)(3(3
La lectura del voltímetro V será igual a V6,86 .
R Simulink:
Figura 1.28 Generador trifásico balanceado que alimenta a dos cargas balanceadas en
estrella conectadas en paralelo.
6. Una fuente balanceada conectada en estrella, con secuencia de fase positiva y voltaje
de fase VVan 10100 , alimenta a una carga balanceada conectada en delta con una
impedancia por fase )48( jZ f. Calcular las corrientes de fase y de línea.
R:
Voltaje de línea Vab:
VVanVab 402,173)10100)(303()303(
Corrientes por las fases de la delta:
AjZ
VabI
f
AB
43,1336,19
57,26944,8
402,173
48
402,173
AIBC 57,10636,19
AICA 43,13336,19
Corrientes por las líneas:
AIIa AB 57,1653,33)43,1336,19)(303()303(
AIb 57,13653,33
AIc 43,10353,33
R Simulink:
Figura 1.29 Generador trifásico balanceado que alimenta a una carga balanceada
conectada en delta.
7. En el circuito de la figura 1.30 la carga es balanceada y la secuencia de fase es
positiva. Se conoce que 455Z y AI f 5 . Calcule:
Las corrientes de línea LI y los voltajes de línea LV . Dibujar el diagrama fasorial de las
LI y LV . Asuma 0fab II .
Figura 1.30 Carga balanceada conectada en delta.
R:
VV
VV
VV
ZIV
ca
bc
ab
abab
16525
7525
4525
45505
AI
AI
AI
II
II
C
B
A
abA
fL
9066,8
15066,8
3066,8
303
303
Figura 1.31 Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes de línea.
R Simulink:
Figura 1.32 Carga balanceada conectada en delta.
8. Una fuente balanceada conectada en delta, con secuencia de fase positiva y voltaje
VVab 0330 , alimenta a una carga balanceada conectada en delta con una
impedancia por fase )1520( jZ f . Calcular las corrientes por las fases de la carga
y las corrientes de línea.
R:
Impedancias de fase de la carga balanceada en delta:
87,3625)1520( jZ f
Corrientes por las fases de la carga:
AZ
VabI
f
AB
87,362,13
87,3625
0330
AIBC 13,832,13
AICA 87,1562,13
Corrientes de línea:
AIIa AB 87,686,22)87,362,13)(303()303(
AIb 13,11386,22
AIc 87,12686,22
R Simulink:
Figura 1.33 Sistema balanceado delta-delta.
9. En la figura 1.34 se muestra una carga conectada en estrella con una resistencia de
15 Ω, en serie con una bobina que tiene una resistencia de 5 Ω y una inductancia de
0,2 𝐻, por fase. La carga en estrella es conectada en paralelo con una carga en delta que
tiene un capacitor de 90 𝜇𝐹 por fase. Ambas cargas son balanceadas y están
alimentadas por un generador trifásico balanceado que entrega un voltaje de 400 𝑉,
50 𝐻𝑍 , con secuencia de fase positiva. Encontrar las corrientes de línea, el factor de
potencia, las potencias activa, reactiva y aparente totales.
Figura 1.34 Sistema trifásico balanceado con cargas en paralelo (delta y estrella).
R:
f = 50 Hz
w = 2πf = (2)(pi)(50) = 314,16 rad/s
R = 15 Ω; r = 5 Ω
ZL = jwL = j(314,16)(0,2) = j62,83 Ω
ZfY = R + r + ZL = 15 + 5 + j62,83 = 20 + j62,83 = 65,94∠72,34o Ω
Para la carga balanceada en delta: CD = 90 μF
Convirtiendo la carga en delta en una carga equivalente en estrella, mostrada en la
figura 1.35:
CY = 3CD = (3)(90) = 270 μF
Figura 1.35 Carga equivalente en estrella.
Impedancia por fase de la estrella capacitiva:
ZfYC = −j1
w ∗ CY= −j
1
(314,16)(270 ∗ 10−6)= −j11,7893 = 11,7893∠ − 90o Ω
Las impedancias ZfY y ZfYC, están en paralelo:
Zp =ZfYZfYC
ZfY + ZfYC=
(20 + j62,83)(−j11,7893)
20 + j62,83 − j11,7893= 0,9249 − j14,14 Ω
Zp = 14,18∠ − 86,26o Ω
Tomando el voltaje de la fase a como referencia:
Va =400
√3∠0oV = 231,0 ∠0oV
Vb = 231,0 ∠−120oV
Vc = 231,0 ∠120oV
La corriente de línea, que es la misma corriente que circula por la fase de la estrella
equivalente, se obtiene mediante:
Ia =Va
Zp=
231,0 ∠0o
14,18∠ − 86,26o= 16,28∠86,20o A
Teniendo en cuenta la secuencia de fase positiva:
Ib = 16,28∠ − 33,73o A
Ic = 16,28∠ − 153,73o A
El ángulo de fase de la impedancia equivalente Zp es negativo, por tanto:
cosφ = cos(−86,26o) = 0,0652 capacitivo o en adelanto
Potencia aparente total:
|S| = 3|Vf||If| = (3)(231)(16,28) = 11282 VA
La potencia aparente total también se obtiene como:
|S| = √3|VL||IL| = (√3)(400)(16,28) = 11279 VA
Potencia activa total:
P= 3|Vf||If|cos = (3)(231)(16,28)cosφ = (3)(231)(16,28)cos (−86,26o)
P= 735,91 W
Potencia reactiva total:
Q = 3|Vf||If|cos = (3)(231)(16,28)senφ = (3)(231)(16,28)sen (−86,26o)
Q = −11258 VAR
R Simulink:
Figura 1.36 Circuito trifásico balanceado con cargas en paralelo (estrella-delta).
10. Para el sistema mostrado en la figura 1.37: a) Encontrar los ángulos de fase
2 y 3 para la secuencia de fase especificada; b) Hallar las corrientes en cada fase de la
carga; c) Determinar las magnitudes de las corrientes de línea.
Figura 1.37 Sistema trifásico balanceado delta-delta.
R:
a) Para la secuencia de fase negativa ( acb):
1202 ; 1203
b)
A
j
jZ
VI
ab
ab
ab
459,33
4554,3
0120
55
)5)(5(
0120
AII abbc 1659,33)459,33)(1201())(1201(
AII abca 759,33)459,33)(1201())(1201(
c)
AII fL 7165,58)9,33)(3(3
R Simulink:
Figura 1.38 Sistema trifásico balanceado delta-delta.
11. Una fuente balanceada conectada en delta, con secuencia de fase positiva y voltaje
VVab 0210 , alimenta a una carga balanceada conectada en estrella con una
impedancia por fase )2540( jZ f. Calcular las corrientes por las fases de la carga.
R:
Impedancias de fase de la carga balanceada en estrella:
3217,47)2540( jZ f
Transformando la fuente balanceada conectada en delta en una fuente equivalente
balanceada conectada en estrella:
VVabVanVa 302,121)0210)(303
1()30
3
1(
Las corrientes de línea:
AZ
VaIa
f
6257,2
3217,47
302,121
AIb 17857,2
AIc 5857,2
Las corrientes de línea son iguales a las corrientes de fase en la carga conectada en
estrella.
R Simulink:
Figura 1.39 Sistema trifásico balanceado delta-estrella.
12. El circuito de la figura 1.40 es conectado a una fuente simétrica de SFP. Se conocen:
VVA 0100 , 0201Z , 0602Z . Calcular las corrientes de línea y
la lectura de los instrumentos.
Figura 1.40 Sistema trifásico balanceado con cargas en paralelo.
R:
Para hallar una carga equivalente, se transforma la carga en Δ en una carga en Y, y
posteriormente se obtiene la carga equivalente, lo que se muestra en la figura 1.41.
Figura 1.41 Carga equivalente.
010
0203
21
21
22
eq
eq
eq
eq
ZZ
ZZZ
ZZ
AI
AI
AI
Z
VI
C
B
A
eq
AA
12010
12010
010
010
0100
VVVV ACAC 2,17333
Las corrientes de línea son: AIA 010 , AIB 12010 , AIC 12010 .
Lectura de los instrumentos:
VV
AA
AA
2,173
10
0
2
1
AI
AZ
VI
II
L
A
f
fL
58868,23
8868,260
2,1733
3
2
Por tanto:
AIA L 53
R Simulink:
Figura 1.42 Sistema trifásico balanceado con cargas en paralelo.
13. Calcular en el sistema trifásico balanceado que se muestra en la figura 1.43, la
lectura de los wattímetros Wa y Wc . El voltaje de fase en la carga es igual a rmsV120
. Los valores de las impedancias son: 68 jZ . Considere secuencia abc .
Figura1.43 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros.
R:
87,361068 jZ
VVV fL 31203
AZ
VI
f
L 1210
120
WIVW LLa 75,979)3087,36cos()12)(3120()30cos(
WIVW LLc 25,2476)3087,36cos()12)(3120()30cos(
Variante de solución:
VVa 0120 (Referencia).
Teniendo en cuenta la secuencia abc:
VVaVab 303120)0120)(303()303(
VVabVbc 903120)303120)(1201()1201(
VVbcVcb 903120903120
AjZf
VaIa
87,3612
87,3610
0120
68
0120
AIaIc 13,8312)87,3612)(1201()1201(
WIVW IaVabaaba 75,979))87,36(30cos()12)(3120()cos(
WIVW IcVcbccbc 25,2476)13,8390cos()12)(3120()cos(
Figura 1.44 Gráfico de barras mostrando la lectura de los wattímetros.
R Simulink:
Figura 1.45 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros.
14. Atendiendo a la figura 1.46, calcular la lectura de los wattímetros Wa y Wc . El
voltaje de fase en la carga es igual a rmsV120 . Los valores de las impedancias son:
68 jZ . Considere secuencia abc .
Figura 1.46 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros.
R:
87,361068 jZ
VVV fL 31203
AZ
VI
f
L 1210
120
WIVW LLa 25,2476)3087,36cos()12)(3120()30cos(
WIVW LLc 75,979)3087,36cos()12)(3120()30cos(
Figura 1.47 Gráfico de barras mostrando la lectura de los wattímetros.
R Simulink:
Figura 1.48 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros.
15. Atendiendo a la figura 1.49, calcular la lectura de los wattímetros Wa y Wc . El
voltaje de fase en la carga es igual a rmsV120 . Los valores de las impedancias son:
08 jZ . Considere secuencia abc .
Figura 1.49 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros.
R:
0808 jZ
VVV fL 31203
AZ
VI
f
L 158
120
WIVW LLa 2700)300cos()15)(3120()30cos(
WIVW LLc 2700)300cos()15)(3120()30cos(
Figura 1.50 Gráfico de barras mostrando la lectura de los wattímetros.
R Simulink:
Figura 1.51 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros.
Ejercicios propuestos
1. Calcular las corrientes de línea Ia , Ib e Ic , en el sistema estrella-estrella mostrado
en la figura. VVa 0110 , VVb 120110 y VVc 120110 . 810 jZ f ,
25 jZL .
Figura 1. Sistema trifásico balanceado estrella-estrella.
R: AIa 8,2181,6 , AIb 8,14181,6 , AIc 2,9881,6
2. Un generador trifásico conectado en estrella con una impedancia 3.04.0 j por
fase es conectado a una carga con conexión Y balanceada con impedancia de
1924 j por fase. La línea de unión del generador con la carga presenta una
impedancia 7.06.0 j por fase. Asumir la secuencia positiva de las fuentes de voltaje
y este VVan 30120 encuentre (a) los voltajes de línea, (b) las corrientes de línea.
Solución:
(a) ,18085.207,6085.207,6085.207 VV
(b) ,66.24875.3,66.12875.3,66.875.3 AAA
3. El voltaje de fase en los terminales de una carga trifásica balanceada conectada en
estrella es de V2400 . La carga tiene una impedancia por fase de 1216 j . La
impedancia de cada una de las líneas que conectan el generador a la carga es de
80,010,0 j . El generador trifásico balanceado conectado en estrella, en el inicio de
la línea, tiene una secuencia de fase negativa y una impedancia de 16,002,0 j /fase.
Use el voltaje en la fase a de la carga como referencia y calcule: a) La corrientes de
línea Ia , Ib e Ic ; b) Los voltajes de línea en los terminales del generador abV , bcV y
caV .
R: a) AAA 87,156120;13,83120;87,36120
b) VVV 38,14802,4275;62,9102,4275;38,2802,4275
4. Una fuente balanceada conectada en estrella, con secuencia de fase positiva y voltaje
de línea VVab 20180 , alimenta a una carga balanceada conectada en delta con
una impedancia por fase 4020fZ . Calcular las corrientes de fase y de línea.
R: A 609 , A 1809 , A609 , A 9059,15 , A15059,15 , A3059,15
5. El voltaje de línea ABV en los terminales de una carga trifásica balanceada conectada
en delta es V04160 . La corriente de línea aI es A 1028,69 . a) Calcular la
impedancia por fase de la carga si la secuencia de fase es positiva.
R: 20104
6. Para el circuito de la figura, calcular las corrientes de fase y de línea.
Figura 2. Sistema trifásico balanceado delta-delta ( ).
R: A 43,1847,5 , A 43,13847,5 , A 57,10147,5 , A 43,48474,9 ,
A 43,168474,9 , A 57,71474,9
7. Una fuente balanceada conectada en delta, con secuencia de fase positiva y voltaje de
línea VVab 15240 , alimenta a una carga balanceada conectada en estrella con una
impedancia por fase )1512( jZ f . Calcular las corrientes de línea Ia , Ib , Ic .
R: A 34,6621,7 , A 34,18621,7 , A 66,5321,7
8. Calcular la lectura de los wattímetros Wa y Wc . El voltaje de fase en la carga es
igual a rmsV120 . Los valores de las impedancias son: 6010355 jZ .
Considere secuencia abc .
Figura 3. Wattímetros conectados de acuerdo al método de Blondel (método de los dos
wattímetros).
R: WWa 0 ; WWc 2160
9. Calcular la lectura de los wattímetros Wa y Wc . El voltaje de fase en la carga es
igual a rmsV120 . Los valores de las impedancias son: 7510Z . Considere
secuencia abc .
Figura 4. Wattímetros conectados de acuerdo al método de Blondel (método de los dos
wattímetros).
R: WWa 63,1763 ; WWc 53,645
10. Dos cargas balanceadas están conectadas a una línea de rmskV220 ZH60 , como
se muestra en la figura. La carga 1 consume kW30 a un factor de potencia de 6,0 en
atraso, mientras la carga 2 consume kVAR45 a un factor de potencia de 8,0 en atraso.
La secuencia es positiva. Determine la potencia compleja, real y reactiva absorbida por
la carga combinada y el factor de potencia total.
Figura 5. Cargas balanceadas conectadas en paralelo.
R: kVAkVAjS 36,438,123)8590( ; kWP 90 ; kVARQ 85 ;
727,0)36,43cos( fp (En atraso)
11. En el circuito mostrado en la figura, VVan 0120 . Calcule las lecturas de los
wattímetros 1W y 2W . Determinar la potencia activa total consumida por la carga ( 3P ).
Figura 6. Circuito trifásico balanceado.
R: WW 15301 , WW 1992 , WWWP 1729213
12. Un sistema 3 balanceado de 3 alambres está terminado con 2 cargas conectadas en
Δ en paralelo. La carga 1 obtiene kVA40 a un fp atrasado de 0,8, mientras que la
carga 2 absorbe kW24 con un fp adelantado de 0,9. Suponga que no hay resistencias
en línea y sea VVab 30440 . Encuentre:
a) La potencia total que obtienen las cargas.
b) La corriente de fase 1ABI , para la carga atrasada.
c) 2ABI .
d) aAI .
Figura 7. Cargas balanceadas conectadas en paralelo.
R: a) kWPT
563 , b) AIAB 86,63,301, c) AIAB 8,552,202
, d)
AIaA 5,122,75
Capítulo 2. Sistemas trifásicos desbalanceados
En la práctica puede suceder que en un circuito trifásico, los voltajes aplicados a la
carga no sean de igual magnitud, no estén desfasados entre sí 120𝑜 o que las
impedancias de las distintas fases de la carga no sean iguales. Aquellos circuitos
trifásicos en los cuales ocurre al menos una de las circunstancias expuestas
anteriormente, se dice que son no balanceados, desbalanceados o asimétricos.
En el presente capítulo se exponen diferentes métodos para el análisis de los circuitos
trifásicos no balanceados, lineales, en estado estable, así como diversas particularidades
de su comportamiento. Finalmente, se presentan las nociones básicas acerca de la
medición de la potencia trifásica para circuitos no balanceados.
2.1 Circuito trifásico no balanceado estrella-estrella
Los circuitos trifásicos no balanceados estrella-estrella pueden ser conectados con un
conductor neutro ideal, con impedancia en el neutro y sin conductor neutro.
Circuito trifásico estrella-estrella con conductor neutro ideal
Se analizará, primeramente, el caso en el cual el conductor que une los nodos n y n´ no
tiene impedancia como se muestra en la figura 2.1.
Figura 2.1 Circuito trifásico estrella-estrella con conductor neutro ideal.
Suponiendo que las fem son conocidas y que se necesita calcular las corrientes, el
procedimiento es muy sencillo. Debido a que los nodos n y n’ son equipotenciales, los
voltajes de los nodos a, b y c, con respecto al nodo n’, son iguales a las fem de las
distintas fases de la fuente. En efecto:
𝑉𝑎𝑛′ = 𝐸𝑎 (1)
𝑉𝑏𝑛′ = 𝐸𝑏 (2)
𝑉𝑐𝑛′ = 𝐸𝑐 (3)
Aplicando la ley de Ohm se encuentra que:
𝐼𝑎 =𝐸𝑎
Zl1+Z1 (4)
Ib =Eb
Zl2+Z2 (5)
𝐼𝑐 =Ec
Zl3+Z3 (6)
Para calcular la corriente In, se aplica la ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC) en el
nodo n’, en virtud de la cual:
𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 (7)
A diferencia de los circuitos balanceados, en los cuales la corriente por el neutro es nula
siempre, en los circuitos no balanceados esta corriente, en general existe, producto de
que las corrientes en las líneas no son de igual magnitud ni están desfasadas 120𝑜 entre
sí.
Los voltajes en las fases de la carga pueden calcularse, una vez conocidas las corrientes,
aplicando la ley de Ohm en cada una de ellas. Posteriormente, aplicando la ley de
Kirchhoff de los voltajes (LKV), se pueden determinar los voltajes en la carga, entre las
distintas líneas (Va’b’, Vb’c’, Vc’a’). Producto de la asimetría del circuito, los voltajes,
tanto de las fases como entre las líneas son, en general, de diferente magnitud y
desfasaje entre sí. Por igual razón, los voltajes entre las líneas no son √3 veces mayores
que los de las fases ni existe entre ellos un desfasaje de 30𝑜, como hubiera ocurrido en
un circuito balanceado.
2.2 Circuito trifásico estrella-estrella con neutro con impedancia
Se analizará ahora el caso en que el conductor que une los nodos n y n’ tiene
impedancia, como se muestra en la figura 2.2.
Figura 2.2 Circuito trifásico estrella-estrella con neutro con impedancia.
Debido a la existencia de la impedancia Zn, por la que circula corriente en los circuitos
no balanceados, como posteriormente se verá, los nodos n y n’ no son equipotenciales,
lo cual implica la aplicación de un método de análisis más elaborado que en el caso
anterior.
En el circuito en cuestión se tiene esencialmente dos nodos (n y n’), razón por la cual su
análisis basado en el método de los voltajes de nodos no requiere el empleo de
ecuaciones simultáneas. Tomando como referencia el nodo n, se tiene que:
𝑌𝑛′𝑛′𝜑𝑛′ = ∑ 𝐸𝑌𝑛′ (8)
Donde:
φn’: representa, fasorialmente, el voltaje del nodo n’ con respecto al nodo de referencia
(n).
Yn’n’: simboliza la admitancia propia del nodo n’.
El miembro de la derecha corresponde a la suma fasorial del producto de las fem por las
admitancias que respectivamente tienen conectadas en serie.
Como el potencial del nodo de referencia (φn) es nulo, la siguiente expresión es válida:
Vn’n = φn’ − φn = φn’ (9)
Además:
∑ E ∗ Yn′ = Ea ∗ Ya + Eb ∗ Yb + Ec ∗ Yc (10)
Yn′n′ = Ya + Yb + Yc (11)
Donde:
Ya =1
Zl1+Z1 (12)
Yb =1
Zl2+Z2 (13)
𝑌𝑐 =1
Zl3+Z3 (14)
𝑌𝑛 =1
Zn (15)
Sustituyendo las expresiones (9), (10) y (11) en la ecuación (8) y despejando el valor
del voltaje Vn’n, se encuentra que:
𝑉𝑛′𝑛 =Ea∗Ya+Eb∗Yb+Ec∗Yc
Ya+Yb+Yc+Yn (16)
Mediante la expresión matemática anterior se puede calcular el voltaje entre ambos
nodos y posteriormente determinar el valor de las corrientes en las líneas, aplicando la
ley de Ohm, en virtud de la cual:
𝐼𝑎 = (𝐸𝑎 − 𝑉𝑛′𝑛)𝑌𝑎 (17)
𝐼𝑏 = (𝐸𝑏 − 𝑉𝑛′𝑛)𝑌𝑏 (18)
𝐼𝑐 = (𝐸𝑐 − 𝑉𝑛′𝑛)𝑌𝑐 (19)
𝐼𝑛 = 𝑉𝑛′𝑛 ∗ 𝑌𝑛 (20)
Debe resaltarse, de nuevo, el hecho de que en los circuitos trifásicos no balanceados los
nodos centrales de la fuente y la carga (n y n’) no son equipotenciales y circula una
corriente (In) entre ambos, como se evidencia a partir de las ecuaciones (16) y (20).
Una vez determinadas las corrientes en las líneas (ecuación (17) a la (19)), el
procedimiento para hallar los voltajes de fase en la carga y entre sus líneas es análogo al
expuesto en el caso anterior.
2.3 Circuito trifásico estrella-estrella sin conductor neutro
El comportamiento de los circuitos trifásicos no balanceados, a diferencia de los
balanceados, varía sustancialmente si se desconecta el conductor que une los nodos n y
n’. Así, por ejemplo, aun cuando las fem e impedancias del circuito mostrado en la
figura 2.3 coincidieran en valor con las que aparecen en la figura 2.1, tanto las
corrientes en las líneas, como los voltajes en las fases y entre líneas en la carga, serían
diferentes, ya que en el primer caso n y n’ son equipotenciales (el conductor que los une
no tiene impedancia) mientras que, en este último, debido a la asimetría del circuito, los
nodos n y n’ no son equipotenciales, en general.
Figura 2.3 Circuito trifásico estrella-estrella sin neutro.
El circuito de la figura 2.3 puede analizarse como el caso límite del mostrado en la
figura 2.1 cuando la admitancia Yn es nula ( 𝑍𝑛 = ∞ ) y aplicársele las mismas
ecuaciones.
El procedimiento de análisis depende del caso particular en función de los datos
disponibles. Por ejemplo, para una carga en Y como la mostrada en la figura 2.4, si se
conocen los voltajes entre las líneas, un método sería la conversión de la Y en su delta
equivalente (ver la figura 2.5), calcular entonces las corrientes en las fases de dicha
delta aplicando la ley de Ohm y determinar las corrientes en las líneas basándose en la
LKC.
Figura 2.4 Carga en estrella. Figura 2.5 Carga en delta.
Si se desea calcular también los voltajes de fase de la Y, puede lograrse aplicando la ley
de Ohm en cada fase, ya que en la carga en Y las corrientes de fase coinciden con las de
línea, ya halladas. Este método puede aplicarse también en el caso del circuito mostrado
en la figura 2.3 si las fem son conocidas, ya que los voltajes entre líneas en la fuente se
calcularían aplicando la LKV y las impedancias de las líneas y las de la carga están en
serie, por lo cual pueden reducirse a su impedancia equivalente, resultando un circuito
análogo al de la figura 2.4.
2.4 Circuito trifásico delta-delta
Para el análisis del tipo de circuito no balanceado de la figura 2.6 se puede aplicar el
método de las corrientes de mallas.
Figura 2.6 Circuito trifásico delta-delta.
Debido al hecho de que el mismo tiene nueve ramas y seis nodos se precisa de cuatro
ecuaciones simultáneas (9-6+1=4) para aplicar dicho método. Si previamente se
transformara la carga en su Y equivalente, solo sería necesario aplicar un sistema de tres
ecuaciones simultáneas tanto por el método de las corrientes de mallas como por el de
los voltajes de nodos. Es de destacar que, dada la asimetría de la red, las corrientes en
las líneas no son √3 veces mayores que las de las fases de la delta ni están desfasadas
30𝑜 con respecto a estas.
2.5 Secuencia de las corrientes y voltajes
En los circuitos trifásicos balanceados la secuencia de los voltajes coincide siempre con
la de las corrientes. Así, por ejemplo, si las fem en un circuito balanceado son de
secuencia abc, todas las corrientes y voltajes son también de secuencia abc. No sucede
igual en los circuitos trifásicos no balanceados, en los cuales, la secuencia de los
voltajes no necesariamente coincide con la de las corrientes.
Posibilidad de que la secuencia de los voltajes no coincida con la de las corrientes.
En la figura 2.7:
Figura 2.7 Carga desbalanceada conectada en delta.
Suponiendo que los voltajes aplicados son balanceados, de secuencia abc y que las
impedancias de las fases son iguales modularmente, se construye el diagrama fasorial
cualitativo del circuito. Debido a que las impedancias de las fases son iguales
modularmente y los voltajes de las líneas también, se puede afirmar que las tres
corrientes de fase son iguales en módulo. El desfasaje de cada una de ellas, con respecto
a su voltaje respectivo, viene determinado por la naturaleza de los distintos elementos.
Aplicando los conceptos más elementales se puede llegar a las siguientes conclusiones:
a. La corriente Iab está en fase con el voltaje Vab.
b. La corriente Ibc está 90𝑜en atraso con respecto al voltaje Vbc.
c. La corriente Ica está adelantada 90𝑜 al voltaje Vca.
En la figura 2.8 se muestra el diagrama fasorial de los voltajes y las corrientes de fase.
Figura 2.8 Diagrama fasorial de los voltajes y las corrientes de fase.
Las corrientes en las líneas se determinan planteando las ecuaciones que se derivan de la
LKC en cada nodo. Estas son:
En el nodo a: Ia = Iab − Ica
En el nodo b: Ib = Ibc − Iab
En el nodo c: Ic = Ica − Ibc
La representación gráfica de las operaciones anteriores se muestra en la figura 2.9, lo
que permite la construcción del diagrama fasorial cualitativo de esta carga.
Figura 2.9 Diagrama fasorial cualitativo del circuito.
Se observa que la secuencia de los voltajes, si se es consecuente con los datos, es abc.
Sin embargo, la secuencia de las corrientes de fase es acb y la de las corrientes de línea
es acb. Se concluye que en un circuito trifásico no balanceado la secuencia de las
corrientes puede no coincidir con la de los voltajes.
Efecto de la variación de la secuencia de las fem
En los circuitos balanceados, si se cambia la secuencia de las fem, no se afectan los
valores modulares de los distintos voltajes y corrientes. Resulta diferente en los
circuitos no balanceados, ya que en los mismos la variación de la secuencia de las fem
implica, en general, variación en el módulo y argumento de las corrientes y voltajes, o al
menos en una de dichas variables.
En la figura 2.10 se muestra un sistema trifásico desbalanceado estrella-estrella sin
neutro:
Figura 2.10 Sistema trifásico desbalanceado estrella-estrella sin neutro.
Asumiendo que las fem son balanceadas y de valor efectivo 120 V. Se calculará la
lectura del amperímetro y el voltaje Vn’n para cada una de las posibles secuencias.
Tratándose de un circuito Y-Y sin conexión entre los nodos n y n’, se calcula el voltaje
entre ambos nodos, teniendo en cuenta que la admitancia Yn es nula (𝑍𝑛 = ∞).
𝑉𝑛′𝑛 =Ea ∗ Ya + Eb ∗ Yb + Ec ∗ Yc
Ya + Yb + Yc
En este caso particular, teniendo en cuenta los datos que aparecen en la figura 2.10, se
encuentra que:
𝑌𝑎 =1
10 𝑆 𝑌𝑏 =
1
−𝑗10=
𝑗
10 𝑆 𝑌𝑐 =
1
10 𝑆
Por lo cual:
𝑉𝑛′𝑛 =
Ea10 +
jEb10 +
Ec10
110 +
j10 +
110
𝑉𝑛′𝑛 =Ea + jEb + Ec
2 + j
Para la secuencia abc y tomando como referencia la fem Ea, se tiene que:
𝐸𝑎 = 120∟0𝑜 𝑉, 𝐸𝑏 = 120∟−120𝑜 𝑉, 𝐸𝑐 = 120∟120𝑜 𝑉
Sustituyendo en la expresión anterior, se halla el valor del voltaje Vn’n para secuencia
abc:
𝑉𝑛′𝑛 =120∟0𝑜 + (1∟90𝑜)(120∟ − 120𝑜) + 120∟120𝑜
2 + j
𝑉𝑛′𝑛 = 77,14∟−11,57𝑜 𝑉 (𝑎𝑏𝑐)
La corriente Ia se halla aplicando la ley de Ohm a la fase a, en virtud de la cual:
𝐼𝑎 =Ea − Vn′n
Ra=
120∟0𝑜 − 77,14∟−11,57𝑜
10
𝐼𝑎 = 4,7∟19,2𝑜 𝐴 (𝑎𝑏𝑐)
Para la secuencia acb y tomando como referencia la fem Ea, se tiene que:
𝐸𝑎 = 120∟0𝑜 𝑉, 𝐸𝑏 = 120∟120𝑜 𝑉, 𝐸𝑐 = 120∟−120𝑜 𝑉
Sustituyendo en la ecuación obtenida para el voltaje Vn’n se halla que:
𝑉𝑛′𝑛 =120∟0𝑜 + (1∟90𝑜)(120∟120𝑜) + 120∟−120𝑜
2 + j
𝑉𝑛′𝑛 = 77,14∟ − 131,57𝑜 𝑉 (𝑎𝑐𝑏)
Aplicando la ley de Ohm se encuentra que:
𝐼𝑎 =Ea − Vn′n
Ra=
120∟0𝑜 − 77,14∟−131,57𝑜
10
𝐼𝑎 = 18,07∟18,63𝑜 𝐴 (𝑎𝑐𝑏)
Se observa que:
Para la secuencia abc:
𝑉𝑛′𝑛 = 77,14∟−11,57𝑜 𝑉 y el amperímetro mide 4,7 A.
Para la secuencia acb:
𝑉𝑛′𝑛 = 77,14∟ − 131,57𝑜 𝑉 y el amperímetro mide 18,07 A.
Es de notar la diferencia que existe en la lectura del amperímetro para secuencias
distintas. En este circuito particular la variación del voltaje Vn’n es solo en cuanto a su
fase, pero este resultado no debe generalizarse.
2.6 Cálculo de las potencias en los circuitos trifásicos no balanceados
En los circuitos trifásicos no balanceados, la potencia activa disipada es, en general,
distinta en cada fase de la carga, producto precisamente del desbalance. Por esta razón,
a diferencia de los circuitos balanceados, la potencia trifásica no es el triplo de la
disipada en alguna de las fases, como caso más general.
Para calcular la potencia activa trifásica en los circuitos no balanceados, se aplica el
principio de conservación de la potencia, de acuerdo con el cual la potencia total
disipada es igual a la suma de las que se disipan en cada una de las fases. La expresión
matemática de esta ley es:
P3φ = ∑ 𝑃𝑓3𝑓=1 (21)
Donde:
P3φ: Simboliza a la potencia trifásica o total.
𝑃𝑓: Potencia consumida por cada una de las fases.
Por supuesto, el cálculo de las potencias demandadas por las fases se realiza según las
expresiones válidas en corriente alterna. Por ejemplo, entre otras:
𝑃𝑓 = 𝑉𝑓 ∗ 𝐼𝑓 ∗ cos (𝜑𝑓) (22)
O bien:
𝑃𝑓 = 𝐼𝑓2 ∗ 𝑅𝑓 (23)
Donde:
𝑉𝑓 e 𝐼𝑓: Representan los valores efectivos (eficaces) del voltaje y la corriente en las
fases.
𝜑𝑓: Simboliza al argumento de la impedancia conectada en la fase.
𝑅𝑓: Designa a la resistencia de la fase.
Con respecto a la potencia reactiva, también denominada escuetamente reactivo, sucede
igual en el sentido de que, debido al desbalance, cada fase demanda una cantidad
diferente, razón por la cual, a diferencia de lo que ocurre en los circuitos balanceados, el
reactivo total o trifásico no es el triplo del demandado por alguna de las fases, en
general.
Existe la posibilidad de que la naturaleza de la potencia reactiva no sea la misma para
las tres fases. Por ejemplo, en el circuito mostrado en la figura 2.7 sucede que la rama a-
b no demanda reactivo, la fase b-c demanda reactivo inductivo y el reactivo de la fase c-
a es de naturaleza capacitiva. Para calcular la potencia reactiva total o trifásica se aplica
la ley de conservación, según la cual la potencia reactiva total es la suma algebraica de
la demandada por cada una de las fases. Convencionalmente, al reactivo inductivo se le
adjudica signo positivo y al reactivo capacitivo, signo negativo. La expresión
matemática que refleja la ley de conservación del reactivo es:
Q3φ = ∑ 𝑄𝑓3𝑓=1 (24)
Donde:
Q3φ: Es el símbolo empleado para indicar al reactivo total o trifásico.
𝑄𝑓: Simboliza al reactivo demandado por cada fase.
El cálculo de la potencia reactiva demandada por cada fase se realiza aplicando las
expresiones generales estudiadas en circuitos de corriente alterna. Por ejemplo, entre
otras:
𝑄𝑓 = 𝑉𝑓 ∗ 𝐼𝑓 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑓) (25)
O bien:
𝑄𝑓 = 𝐼𝑓2 ∗ 𝑋𝑓 (26)
Donde:
𝑉𝑓 e 𝐼𝑓: Representan respectivamente, al voltaje y la corriente de la fase.
𝜑𝑓: Simboliza el argumento de la impedancia conectada en dicha fase.
𝑋𝑓: Designa a la reactancia de la fase.
Para el cálculo de la potencia aparente, es necesario tener presente que esta no cumple
modularmente la ley de conservación, sino en forma compleja. La expresión matemática
de la ley de conservación de la potencia compleja es:
S3φ = ∑ 𝑆𝑓3𝑓=1 (27)
Donde:
S3φ: Simboliza a la potencia compleja (total).
𝑆𝑓: Potencia compleja de las fases.
Aplicando las expresiones generales estudiadas en circuitos de corriente alterna, se
puede plantear, para cada fase que:
𝑆𝑓 = 𝑃𝑓 + 𝑗𝑄𝑓 (28)
Por tanto:
S3φ = ∑ (𝑃𝑓 + 𝑗𝑄𝑓)3
𝑓=1 (29)
La expresión (29) puede desarrollarse, aplicando las leyes de la suma de números
complejos, de la forma siguiente:
S3φ = ∑ 𝑃𝑓 +3𝑓=1 𝑗 ∑ 𝑄𝑓3
𝑓=1 (30)
La expresión anterior puede escribirse como:
S3φ = P3φ + 𝑗Q3φ (31)
De acuerdo con la expresión (31), el valor de la potencia aparente, que equivale al
módulo de la potencia compleja, se puede calcular mediante la expresión:
|S3φ| = √P3φ2 + Q3φ
2 (32)
En esta expresión |S3φ| representa a la potencia aparente trifásica y los restantes
símbolos conservan el significado que anteriormente se les ha dado.
Para determinar el factor de potencia en circuitos trifásicos no balanceados, se recurre
directamente a su definición, o sea, es el cociente entre la potencia activa y la potencia
aparente. Si se designa 𝑓𝑝3𝜑 al factor de potencia trifásico, se puede plantear que:
𝑓𝑝3𝜑 =P3φ
|S3φ| (33)
Es necesario resaltar que, en los circuitos trifásicos no balanceados, cada fase de la
carga posee su propio factor de potencia. El factor de potencia trifásico no es el
promedio, ni la suma de los factores de potencia de las fases, como tampoco coincide
con el coseno del argumento de las impedancias de las fases, las cuales son diferentes
entre sí. Las distintas potencias (activa, reactiva y aparente), son susceptibles de ser
representadas mediante un triángulo de potencias, al igual que en todos los circuitos de
corriente alterna. En este caso sería como se muestra en la figura 2.11, suponiendo que
el reactivo total es inductivo.
Figura 2.11 Triángulo de potencias
El ángulo 𝜑, que aparece en el triángulo de potencias, no es el promedio ni la suma de
los argumentos de las impedancias de fase. Por otro lado, su coseno (cos𝜑) coincide con
el factor de potencia trifásico, pero debe quedar claro que no se trata, en general, del
coseno del argumento de alguna de las impedancias de fase. Se debe señalar, que pese a
la variación de las corrientes y voltajes, la potencia trifásica permanece invariable si la
secuencia de las fem se cambia.
2.7 Fundamentos de la medición de potencia trifásica
La medición de los valores eficaces del voltaje y la corriente en los terminales de
entrada de una carga monofásica, empleando un multímetro común, permite determinar
la potencia aparente consumida por la carga, calculando su producto VAIVS rmsrms .
Si se conoce el factor de potencia de la carga, la potencia activa (promedio o real)
consumida por la carga puede calcularse mediante WfpIVP rmsrms . Existen
instrumentos específicamente diseñados para medir la potencia activa, denominados
wattímetros.
El wattímetro tradicional, es un instrumento analógico electrodinámico, aunque en la
actualidad se emplean también instrumentos digitales. En la figura 2.12 se muestran dos
representaciones para el wattímetro y el esquema circuital del wattímetro conectado
para medir la potencia consumida por una carga monofásica.
Figura 2.12 Medición de potencia activa ( P ) empleando un wattímetro.
Los wattímetros constan de dos bobinas, llamadas bobina de corriente y bobina de
voltaje.
La bobina de corriente también denominada elemento de corriente es un enrollado
estacionario formado por pocas vueltas de un conductor relativamente grueso, de forma
que 0LiZ y al conectarse en serie con la carga y circular por ella )(ti , no se produce
una caída de voltaje sensible y por lo tanto no se afecta el comportamiento de la carga.
La bobina o elemento de voltaje es un enrollado móvil formado por muchas vueltas de
un conductor de pequeña sección transversal de forma que LvZ y al conectarse
entre las líneas (en paralelo con la carga) y estar sometida a un voltaje apreciable )(tv ,
circula por la misma una corriente pequeña y no se afecta sensiblemente el
comportamiento del circuito.
Al igual que los voltímetros y amperímetros, el wattímetro será considerado un
instrumento ideal, la impedancia de la bobina de corriente 0LiZ (cortocircuito) y la
impedancia de la bobina de voltaje LvZ (circuito abierto).
En los wattímetros aparecen dos marcas de polaridad. Desde el punto de vista del
comportamiento del instrumento, una corriente se considera positiva cuando entra por la
marca de polaridad de dicho elemento y un voltaje se considera positivo cuando el
terminal que posee la marca es el que está sometido al mayor potencial.
La bobina de corriente se enrolla sobre una estructura pivotante unida a la aguja
indicadora, mantenida en su posición inicial por un muelle. Cuando ambas bobinas
están energizadas, se desarrolla un torque que gira la estructura pivotante contra el
muelle produciéndose una deflexión (la aguja indica la lectura del wattímetro sobre una
escala) proporcional al producto )()( titv , cuyos signos están determinados por sus
sentidos con respecto a las marcas de cada elemento. Aunque las señales de corriente
alterna producen torques pulsantes, la inercia mecánica del sistema proporciona un
efecto promediado, lo que resulta en un ángulo de deflexión estable que es proporcional
al valor promedio del producto )()( titv .
Si se designa como W a la lectura del wattímetro, esta se puede expresar como:
dttitvT
W
T
)()(1
0
Esta expresión es la del valor medio de la potencia activa instantánea y por lo tanto, en
circuitos de corriente alterna se puede plantear también a través de la ecuación de la
potencia activa (indicando que la escala del instrumento puede ser calibrada
directamente en W ), o sea:
cosrmsrms IVPW
Donde:
IV
Para el caso de una carga monofásica, también es el argumento de la impedancia de
la carga.
Un wattímetro siempre indicará )cos( IVrmsrms IVW , o sea, el módulo del voltaje
aplicado a su bobina de voltaje (rms), por el módulo de la corriente que circula por su
bobina de corriente (rms), y por el coseno del ángulo del voltaje menos el ángulo de la
corriente.
El wattímetro solo leerá la potencia activa consumida por todos los elementos que se
encuentren en el lado de la carga del instrumento. La lectura del instrumento
corresponderá a la suma de las potencias activas consumidas por cada uno de dichos
elementos.
Teniendo en cuenta la indicación que un wattímetro suministra, la medición de la
potencia consumida por una carga trifásica desbalanceada parece ser un problema
simple. Solo es necesario poner un wattímetro en cada una de las tres fases de la carga
desbalanceada conectada en estrella o en delta y sumar los resultados para obtener la
potencia trifásica o total consumida por la carga.
En la práctica, no siempre es posible conectar un wattímetro en una de las fases de la
carga trifásica, debido a que el neutro de la carga conectada en estrella no siempre es
accesible y no se cuenta con las fases de la delta. Por ejemplo, un motor trifásico
generalmente solo tiene tres terminales accesibles, que se denominan A, B y C.
Para poder realizar la medición de la potencia activa total consumida por una carga
trifásica con solo tres terminales accesibles, se dispone de un método denominado
método de los dos wattímetros (método de Blondel). Se demuestra que para la medición
de potencia en un sistema trifásico se necesitan ( 1n ) wattímetros, siendo n el número
de conductores o hilos (por los cuales circula corriente).
En el circuito trifásico representado en la figura 2.13, se muestra la forma de medir la
potencia trifásica según el método de los dos wattímetros, para cargas conectadas tanto
en como en . De acuerdo al método de los dos wattímetros, la suma (algebraica) de
las lecturas de los instrumentos corresponde a la potencia trifásica o total. El método de
los dos wattímetros también es válido para cargas trifásicas balanceadas.
Figura 2.13 Medición de potencia trifásica por el método de los dos wattímetros.
)cos( IaVacaaca IVW
)cos( IbVbcbbcb IVW
ba WWP 3
2.8 Conclusiones del Capítulo
1. En la práctica existen circuitos trifásicos cuyos voltajes aplicados a la carga
no son de igual magnitud, no están desfasados entre sí 120𝑜 o las
impedancias en cada una de las fases de la carga no son iguales. Los
circuitos trifásicos que cumplen con al menos una de las condiciones
anteriores se conocen como circuitos trifásicos desbalanceados.
2. Los circuitos trifásicos desbalanceados se pueden conectar de varias formas
como: estrella – estrella con neutro ideal, estrella – estrella sin neutro,
estrella – estrella con neutro con impedancia, delta – delta y la combinación
de la delta con la estrella.
3. En los circuitos trifásicos desbalanceados las secuencias de las corrientes y
los voltajes no necesariamente coinciden.
4. La variación de la secuencia de las fem implica, en general, variación en el
módulo y argumento de las corrientes y voltajes, o al menos en una de dichas
variables.
5. La potencia activa y reactiva no son iguales en cada una de las fases, por lo
que las potencias totales son iguales a las sumas de las potencias de cada una
de las fases.
6. En los circuitos trifásicos no balanceados, cada fase de la carga posee su
propio factor de potencia.
7. El método de los dos wattímetros es de gran importancia porque no siempre
se puede acceder al neutro de la carga en la práctica.
Ejercicios resueltos y propuestos
Ejercicios resueltos
1. En una red trifásica desbalanceada como la mostrada en la figura 2.14 (sin
impedancia en las líneas) se conocen los siguientes datos:
VjESjY
VjESjY
VjESjY
cc
bb
aa
7060 1,03,0
9050 3,07,0
0120 2,05,0
Determinar las corrientes por las líneas.
Figura 2.14 Circuito Y-Y desbalanceado.
R:
VjV
jjj
jjjjjjV
YYY
YEYEYEV
nn
nn
cba
ccbbaann
4034,7
1,03,03,07,02,05,0
1,03,070603,07,090502,05,00120
´
´
´
Puede chequearse si el resultado es correcto, ya que debe cumplirse que:
0 cba III
Luego:
0 0
7,277,26
2,229,44
5,56,71
j
j
j
j
R Simulink:
AjjjjYVEI
AjjjjYVEI
AjjjYVEI
cnncc
bnnbb
annaa
94,13347,387,277,261,03,04034,77060
69,15308,502,229,443,07,04034,79050
39,481,715,56,712,05,04034,7120
'
'
'
Figura 2.15 Circuito Y-Y desbalanceado sin neutro.
2. En una red trifásica desbalanceada (sin impedancia en las líneas) mostrada en la
figura 2.16 se conocen los siguientes datos:
SjY
VjESjY
VjESjY
VjESjY
n
cc
bb
aa
1,02,0
7060 1,03,0
9050 3,07,0
0120 2,05,0
Determinar las corrientes por las líneas.
Figura 2.16 Circuito estrella – estrella con neutro con impedancia.
R:
VjV
jjjj
jjjjjjV
YYYY
YEYEYEV
nn
nn
ncba
ccbbaann
93,9873,353,3555,5
1,02,01,03,03,07,02,05,0
1,03,070603,07,090502,05,00120
´
´
´
AjjjjYVEI
AjjjjYVEI
AjjjYVEI
cnncc
bnnbb
annaa
86,13548,371,269,261,03,03,3555,57060
29,15276,53256,473,07,03,3555,59050
12,630,705,79,692,05,03,3555,5120
´
´
´
AjjjYVI nnnn
70,12588,74,66,41,02,03,3555,5´
Puede comprobarse la solución de este ejercicio, teniendo en cuenta que:
ncba IIII
Luego:
4,6 6,4
1,269,26
0,256,47
5,79,69
j
j
j
j
Se observa que: ncba IIII
R Simulink:
Figura 2.17 Circuito Y-Y desbalanceado con neutro con impedancia.
3. En el circuito mostrado en la figura 2.18, las impedancias 1Z y 2Z son iguales y de
valor ΩjZ 43 . Suponga que los voltajes de línea aplicados son balanceados y de
secuencia cabcab . Si se conoce que VVab
0440 , calcule el valor de las
corrientes por las líneas.
Figura 2.18 Carga en estrella
R:
Teniendo en cuenta que los voltajes son balanceados y SFP:
VVab
0440 , VVbc
120440 , VVca
120440
Como se conoce el voltaje en los bornes de cada impedancia, se tiene que:
AZ
V
Z
VI caac
a
13,11388
13,535
120440
AZ
VI bc
b
13,17388
13,535
120440
Luego:
AIII
III
bac
cba
87,3642,15213,1738813,11388
0
Figura 2.19 Diagrama fasorial de voltajes y corrientes.
R Simulink:
Figura 2.20 Circuito trifásico desbalanceado con carga en estrella.
4. El circuito mostrado en la figura 2.21, denominado indicador de secuencia de fase,
permite conocer la secuencia de fase de una fuente trifásica balanceada. Cuando la
secuencia de fase es abc , el bombillo con este nombre será más brillante que el
denominado acb y ocurrirá lo contrario en caso de que la secuencia sea acb .
Demostrar lo anterior calculando la corriente por los bombillos para cada una de las
secuencias de fase. rmsVVab 0200 , srad /377 .
Figura 2.21 Circuito indicador de secuencia de fase.
R:
El circuito corresponde a un sistema estrella-estrella sin neutro.
166)10)(16)(377(
116C
XC
Considerando secuencia abc:
VVabEa 30115)0200)(303
1())(30
3
1(
VEb 150115
VEc 90115
Cálculo de las admitancias de los elementos:
Sj
ja
166166
1
S200
1b
S200
1c
Voltaje entre el neutro de la carga y el neutro del generador:
cba
ccbbaann
YYY
YEYEYEV
V
j
nVn
62,6811,77
200
1
200
190
166
1
)200
1)(90115()
200
1)(150115()
166)(30115(
´
Corrientes de líneas:
AYbnVnEbIb 64,13491,0)200
1)(62,6811,77150115()´(
AYcnVnEcIc 05,12326,0)200
1)(62,6811,7790115()´(
Como la corriente que circula por el bombillo ABC es tres veces y media mayor que la
que circula por el bombillo ACB , el bombillo ABC iluminará con mayor brillantez que
el bombillo ACB , indicando que la secuencia de los voltajes de alimentación es positiva
o abc.
Considerando secuencia acb:
VVabEa 30115)0200)(303
1())(30
3
1(
VEb 150115
VEc 90115
Voltaje entre el neutro de la carga y el neutro del generador:
cba
ccbbaann
YYY
YEYEYEV
VnVn
62,12811,77
200
1
200
190
166
1
)200
1)(90115()
200
1)(150115()90
166
1)(30115(
´
Corrientes de línea:
AYbnVnEbIb 94,17626,0)200
1)(62,12811,77150115()´(
AYcnVnEcIc 64,7491,0)200
1)(62,12811,7790115()´(
Como la corriente que circula por el bombillo ACB es tres veces y media mayor que la
que circula por el bombillo ABC , el bombillo ACB iluminará con mayor brillantez que
el bombillo ABC , indicando que la secuencia de los voltajes de alimentación es
negativa o acb.
R Simulink:
Figura 2.22 Indicaciones del circuito indicador de secuencia para la secuencia de
fase positiva y negativa.
5. En el circuito mostrado en la figura 2.23, hallar: a) las corrientes de línea; b) la
potencia compleja trifásica (total) absorbida por la carga.
Figura 2.23 Circuito con conexión Y-Y.
R:
a)
Aplicando el método de las corrientes de mallas en la figura 3.13:
Figura 2.24 Circuito con conexión Y-Y.
LKV en la malla 1:
010)510(0120120120 21 IIj
30312010)510( 21 IIj ( I )
LKV en la malla 2:
010)1010(120120120120 12 IIj
903120)1010(10 21 IjI ( II )
En forma matricial:
903120
303120
101010
10510
2
1
I
I
j
j
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones I y II , se obtienen las corrientes de
mallas:
AI 078,561
AI 9,2475,422
Las corrientes de línea son:
AIIa 078,561
AIIIb 13546,25078,569,2475,4212
AIIc 1,15575,422
b)
Potencia compleja absorbida por las fases de la carga:
Fase a :
VAjjZIaS Aa 16120)5()78,56( 22
Fase b :
VAZIbS Bb 6480)10()46,25( 22
Fase c :
VAjjZIcS Cc 18276)10()75,42( 22
Potencia compleja total (trifásica) absorbida por la carga:
VAjjjSSSS cba 21566480182766480161203
R Simulink:
Figura 2.25 Circuito con conexión Y-Y sin neutro.
6. Determine la potencia compleja entregada a la carga trifásica Y-Y con neutro,
mostrada en la figura 2.26. Los voltajes de las fuentes conectadas en estrella son
rmsVVyrmsVVrmsVV cba
120110,120110,0110 .Las impedancias
de la carga son 25100,50,8050 jZyjZjZ cba .
Figura 2.26 Circuito Y-Y con neutro ideal.
R:
Corrientes de línea del circuito desbalanceado Y-Y:
25100
120110,
50
120110,
8050
0110
jZ
VIy
jZ
VI
jZ
VI
c
c
cC
b
b
bB
a
a
aA
AIAIAI cCbBaA
10607,1,1502,2,5816,1
La potencia compleja entregada a aZ es:
VAjVIS aaAa 10968)0110)(5816,1()0110(*)5816,1(*
Potencias complejas entregadas a cb ZyZ :
VAjSb 242)120110(*)1502,2(
VAjSc 28114)120110(*)106107(
Potencia compleja total entregada a la carga trifásica:
VAjSSS cba 379182
R Simulink:
Figura 2.27 Circuito Y-Y con neutro ideal.
7. En la figura 2.28:
Figura 2.28 Carga conectada en delta.
Los voltajes aplicados al circuito son:
rms V150208
rms V90208
rms V30208
ca
bc
ab
V
V
V
Determine la potencia activa, reactiva y aparente de cada fase, así como la total o
trifásica.
R:
Fase a-b:
El argumento ab de la impedancia conectada en la fase a-b es:
0ab (La impedancia conectada en la fase a-b es puramente resistiva)
El factor de potencia de esta fase es:
10coscos ababfp
La potencia activa demandada por la misma abP puede calcularse aplicando la Ley de
Joule:
WP
R
VRIP
ab
ab
ab
ababab
6,1081
40
20822
2
La fase a-b no demanda potencia reactiva, dada su naturaleza puramente resistiva. Si se
designa como abQ al reactivo de dicha fase, se puede afirmar que:
0abQ
Debido al hecho que en este caso la fase no demanda potencia reactiva, la potencia
aparente abS coincide con la potencia activa.
VASab 6,1081
Fase b-c:
El argumento bc de la impedancia conectada en la fase b-c es:
45
20
20tantan 11
bc
bc
bc
bcR
X
El factor de potencia de esta fase es:
capacitivofp bcbc 707,045coscos
Para calcular las potencias demandadas por dicha fase, se debe hallar primeramente la
corriente que circula por la misma. Aplicando la Ley de Ohm se encuentra:
AjZ
VI
bc
bc
bc
4535,7
2020
90208
A partir de este resultado se puede hallar la potencia bcP y el reactivo bcQ demandados
por la fase en cuestión:
WP
RIIVP
bc
bcbcbcbcbcbc
02,1081
45cos)35,7)(208(cos2
VARQ
IVQ
bc
bcbcbcbc
02,1081
45sen)35,7)(208(sen
Conocidos estos valores se puede hallar la potencia aparente bcS por diferentes vías:
VAS
QPSP
S
bc
bcbcbc
bc
bcbc
8,1528
45cos
1081
cos
22
Fase c-a:
Utilizando símbolos análogos y siguiendo el mismo procedimiento se tiene:
45
15
15tantan 11
ca
ca
ca
caR
X
El factor de potencia de esta fase es:
inductivofp caca 707,045coscos
AjZ
VI
ca
ca
ca
10581,9
1515
150208
WP
IVP
ca
cacacaca
84,1442
45cos)81,9)(208(cos
VARQ
IVQ
ca
cacacaca
84,1442
45sen)81,9)(208(sen
VAS
QPSP
S
ca
cacaca
ca
ca
ca
48,2040
707,0
84,1442
cos
22
Valores trifásicos de las potencias:
WP
P
PPf
f
46,3605
84,144202,10816,1081
3
3
3
1
3
inductiva82,361
84,144202,10810
3
3
3
1
3
VARQ
Q
QQf
f
VAS
S
QPS
57,3623
82,36146,3605
3
22
3
2
3
2
33
Debido al hecho de que el reactivo trifásico es inductivo, como se infiere del signo
positivo de su valor numérico, el factor de potencia trifásico es inductivo también:
inductivoS
Pfp 995,0
57,3623
46,3605
3
3
3
R Simulink:
Figura 2.29 Carga conectada en delta.
8. El circuito de la figura 2.30 está alimentado por un sistema de voltajes balanceados,
secuencia abc. Si se toma como referencia rmsVVab
0220 y se conoce que los
valores de las impedancias son: 77 jZ , 020´ jZ Determine la lectura de
los instrumentos y compruebe que su suma es igual a la potencia total consumida por las
cargas.
Figura 2.30 Circuito con instrumentos medidores de potencia conectados.
R:
Las lecturas de los instrumentos vienen dadas por:
)cos( IaVacaaca IVW
)cos( IbVbcbbcb IVW
Primeramente, se debe hallar las corrientes y los voltajes a los cuales los instrumentos
están sometidos.
Las corrientes que circulan por la carga en estrella balanceada se puede determinar
aplicando la ley de Ohm:
VVV aban
30127022030
3
130
3
1´
Por lo cual:
AjZ
VI an
an
7583,12
77
30127´
´
Las restantes corrientes en las fases de la estrella balanceada están dadas por:
AIAI ncnb
4583,12 16583,12 ´´´´
La corriente detectada por el instrumento aW es ´ana II ya que la misma entra por la
marca correspondiente.
AII ana
7583,12´
La corriente bI que circula por el elemento de corriente del wattímetro bW no es igual
a la corriente ´´nbI debido a que existe una carga conectada entre las líneas b y c.
Aplicando la ley de Ohm en dicha carga se halla:
AZ
VI bc
cb
1201120
120220
´´´
Aplicando LKC en el nodo b , se encuentra que:
AIII cbnbb
86,16094,181201116583,12´´´´
Calculadas estas corrientes se proceden a calcular los voltajes a los cuales los
instrumentos están sometidos.
Es de señalar que al observar la figura y de acuerdo con la posición de las marcas de
polaridad en la bobina de voltaje, el instrumento aW no detecta el voltaje caV sino el
voltaje acV , luego:
VVVV caac
60220120220
El instrumento bW está sometido al voltaje bcV :
VVbc
120220
Con los valores calculados de los voltajes y las corrientes, puede determinarse las
lecturas de los wattímetros aW y bW de la forma siguiente:
WW
W
IVW
a
a
IaVacaaca
2726
7560cos83,12220
)cos(
WW
W
IVW
b
b
IbVbcbbcb
3151
86,160120cos94,18220
)cos(
La potencia total (trifásica) consumida por las cargas, se obtiene mediante la suma
algebraica de las lecturas de los dos wattímetros:
WWWP ba 5877315127263
Se debe comprobar, según el enunciado del ejercicio, que esta suma es igual a la
potencia trifásica. Para ello se debe de calcular dicha potencia por otra vía.
En la carga monofásica conectada entre b y c se puede hallar la potencia demandada (
cbP ) basándose en la ley de Joule, o sea:
W2420201122
´´ cbcbcb RIP c'b'
2
bc
R
VcbP
En el caso de la carga conectada en estrella balanceada, se puede aplicar la expresión:
ZLLY IVP cos3
Donde:
YP : representa la potencia demandada por dicha carga.
LV e
LI : simbolizan el voltaje y la corriente de línea.
Z : corresponde al argumento de la impedancia conectada en la fase.
En este caso Z está dado por:
45)7/7(tan 1
Z
Sustituyendo en la ecuación, se encuentra que:
45cos)83,12()220(3 Y
P
Y
P 3457 W
Sobre la base del principio de conservación de la potencia activa, se calcula la potencia
trifásica o total:
W5877
24203457
3
3
P
PPP cbY
Por tanto, como tenía que suceder, este resultado coincide con el anteriormente hallado
basado en la suma de las lecturas de los wattímetros.
Figura 2.31 Gráfico de las lecturas de los watímetros.
R Simulink:
Figura 2.32 Circuito trifásico desbalanceado.
9. Para la carga desbalanceada conectada en delta, con dos wattímetros debidamente
conectados: mostrada en la figura 2.33:
a. Determine la magnitud y el ángulo de las corrientes de fase.
b. Calcule la magnitud y el ángulo de las corrientes de línea.
c. Determine la potencia leída por cada wattímetro.
d. Calcule la potencia total absorbida por la carga.
e. Compare los resultados del inciso (d) con la potencia total calculada, usando las
corrientes de fase y los elementos resistivos.
Figura 2.33 Circuito con dos wattímetros conectados.
R:
a.
AjZ
E
Z
VI
AjZ
E
Z
VI
AZ
E
Z
VI
ca
ca
ca
caca
bc
bc
bc
bcbc
ab
ab
ab
abab
16526,124597,16
120208
1212
120208
13,17332,813,5325
120208
2015
120208
08,20010
0208
b.
A
jj
j
III caabAa
55,579,32
17,364,3217,384,118,20
)17,384,11(8,20
16526,1208,20
A
Ajj
j
III abbcBb
03,17808,29
106,2918,2026,8
8,20)126,8(
08,2013,17332,8
A
Ajj
jj
III bccaCc
65,1305.5
17,458,3)117,3(26,884,11
)126,8()17,384,11(
13,17332,816526,12
c.
W
IVIVP AaabAaab
35,6788
)55,5cos()79,32)(208(
)cos(**1
120208bcbc EV
Pero:
W
IVIVP
V
EV
CccbCccb
cbcb
1,379
)65,70cos(*)5,5)(208(
)cos(**
60208
)180120(208
2
d.
W
PPPT
45,7167
1,37935,678821
e.
W
RIRIRIP cabcabT
43,7168
69,180334,10384,4326
12*)26,12(15*)32,8(10*)208(
*)(*)(*)(
222
3
2
2
2
1
2
(La ligera diferencia es debido al nivel de exactitud llevado a cabo en los cálculos)
R Simulink:
Figura 2.34 Circuito con dos wattímetros conectados.
10. La carga desbalanceada conectada en estrella mostrada en la figura 2.35, está
alimentada por una fuente balanceada, de secuencia de fase positiva. El voltaje de la
fase a es rmsVVan 0100 . Determinar las lecturas de los wattímetros y la potencia
activa trifásica (total) consumida por la carga.
Figura 2.35 Circuito con tres wattímetros conectados.
R:
Teniendo en cuente que la secuencia de fase es positiva:
VVan 0100 , VVbn 120100 , VVcn 120100
Corrientes de línea (de fase):
AZa
VanIa
067,615
0100
AjZb
VbnIb
56,14694,856,2618,11
120100
510
120100
AjZc
VcnIc
13,1731013,5310
120100
86
120100
Lecturas de los wattímetros:
WIVW IaVanaana 667)00cos()67,6)(100()cos(
WIVW IbVbnbbnb 800))56,146(120cos()94,8)(100()cos(
WIVW IcVcnccnc 600))13,173120cos()10)(100()cos(
Potencia activa total (trifásica) absorbida por la carga en estrella:
WPcPbPaP 20676008006673
Figura 2.36 Diagrama fasorial de corrientes.
R Simulink:
Figura 2.37 Circuito trifásico desbalanceado con tres wattímetros conectados.
Ejercicios propuestos.
1. En el circuito de la figura 1, la fuente es balanceada. Se conoce que
rmsVVan 0100 y la secuencia de fase es negativa. 15Za , 510 jZb ,
86 jZc . Calcule las corrientes de línea y la corriente por el conductor neutro.
Figura 1 Circuito con conexión Y-Y.
R: AIa
067,6 ; AIb
44,9394,8 ; AIc
87,6610 ; AIn
6,106,10
2. En el circuito mostrado en la figura 2, la fuente es balanceada, de secuencia de fase
positiva. El voltaje entre las líneas a y b es rmsVVab 0240 . Las impedancias de
fase de la carga conectada en delta son: 025Zab , 6012Zbc ,
3016Zca . Determinar las lecturas de los wattímetros y la potencia activa
trifásica total consumida por la carga.
Figura 2 Carga conectada en delta.
R: WW 42711 ; WW 35522 ; WP 78233
3. En el circuito de la figura 3, la fuente que lo alimenta, genera fem balanceadas de
secuencia abc.
Figura 3 Circuito con cargas estrella y delta en paralelo.
Se poseen los siguientes datos:
VEa
0120
101021 jZZ
0203 jZ
1612654 jZZZ
Calcúlese el valor de las corrientes 𝐼𝑎; 𝐼𝑏; 𝐼𝑐 e 𝐼𝑛.
R: AIa
53,5043,26 ; AIb
53,17043,26 ; AIc
40,7912,22 ;
AIn
02,1506
4. En el circuito mostrado en la figura 4, los valores eficaces de los voltajes y las
corrientes son:
VVab 120240 , VVbc 0240 , VVca 120240
AIa 4776,1120521,6 , AIb 306,25 , AIc 1921,1370657,27
Hallar la potencia trifásica consumida por la carga, empleando el método de los dos
wattímetros (método de Blondel), conectando los wattímetros en las líneas: a) a y b ; b)
a y c .
Figura 4 Carga trifásica desbalanceada.
R: a) WP 5,62053 ; b) WP 5,62053
5. Una fuente trifásica balanceada de secuencia de fase positiva y voltaje de línea
rmsVVab 0208 , alimenta a una carga desbalanceada conectada en delta, cuyas
impedancias de fase son: 010010 jZab , 13,53252015 jZbc ,
4597,161212 jZca . a) Determinar las corrientes de fase; b) Calcular las
corrientes de línea; c) Calcular la potencia activa y reactiva total consumida por la
carga.
R: a) 𝐼𝑎𝑏 = 20,8∠0°𝐴, 𝐼𝑏𝑐 = 8,32∠−173,13°𝐴, 𝐼𝑐𝑎 = 12,26∠165°𝐴;
b) 𝐼𝑎 = 32,79∠−5,55°𝐴, 𝐼𝑏 = 29,08∠−178,03°𝐴, 𝐼𝑐 = 5,5∠130,65°𝐴
c) 𝑃3𝜑 = 7168,4 𝑊, 𝑄3𝜑 = −419,24 𝑉𝐴𝑅
Bibliografía
E. Ayllón and A. Montó. (1987). Fundamentos Teóricos de Circuitos Eléctricos II.
Editorial Pueblo y Educación: La Habana.
J. A. Edminister y M. Nahvi. (2012). Circuitos Eléctricos. 3ª ed. McGraw-Hill.
J. A. Svoboda y R. C. Dorf. (2014). Introduction to Electric Circuits. 9ª ed. Oxford:
McGraw-Hill.
J. W. Nilsson and S. A. Riedel. (2011). Electric Circuits. 9a ed. Prentice Hall.
R. L. Boylestad. (2006). Introductory Circuit Analysis. 11th ed. Pearson.
W. H. Hayt, J. E. Kemmerly y S. M. Durbin (2017). Análisis de Circuitos en Ingeniería,
7ª ed. McGraw-Hill Interamerica.
Sobre los autores
Ileana Moreno Campdesuñer: Ingeniera Electrónica. Máster en Ingeniería
Electrónica. Dr. en Ciencias de la Educación. Profesora Titular de la Universidad
Central Marta Abreu de Las Villas, Cuba. Profesora Invitada de Universidad
Cooperativa de Colombia. Email: [email protected]
Juan Curbelo Cancio: Ingeniero electricista. Máster en Ingeniería Eléctrica. Profesor
Asistente de la Universidad Central Marta Abreu de Las Villas, Cuba. Email: