Análisis de circuitos Facilitador: Ing. Blas Iván Huerta Sánchez. Alumno: Carlos Jesús Zúñiga Aguilar

Universidad Politécnica de Victoria Mecatronica 2-1

PROPIEDADES DE UNA ONDA SINUSOIDAL Y EJEMPLIFICACIÓN

Características

Figura 1: Parámetros característicos de una onda senoidal.

Una onda senoidal se caracteriza por:

Frecuencia: Número de veces que una corriente alterna cambia de polaridad en 1 segundo. La unidad de medida es el Hertz (Hz) y se la designa con la letra F. De esta forma si en nuestro hogar tenemos una tensión de 220 V 50 Hz, significa que dicha tensión habrá de cambiar su polaridad 50 veces por segundo.Una definición más rigurosa para la frecuencia: Número de ciclos completos de C.A. que ocurren en la unidad de tiempo.

Fase: Es la fracción de ciclo transcurrido desde el inicio del mismo, su símbolo es la letra griega q.Período: Es el tiempo que tarda en producirse un ciclo de C.A. completo se denomina T. En nuestro ejemplo de una tensión de 220 V 50 Hz su período es de 20 mseg.La relación entre la frecuencia y el período es F=1/T

Valor instantáneo: Valor que toma la tensión en cada instante de tiempo.

Valor máximo: Valor de la tensión en cada "cresta" o "valle" de la señal.

Valor medio: Media aritmética de todos los valores instantáneos de la señal en un período dado.Su cálculo matemático se hace con la fórmula:

Valor eficaz: Valor que produce el mismo efecto que la señal C.C. equivalente. Se calcula mediante:

Valor pico a pico: Valor de tensión que va desde el máximo al mínimo o de una "cresta" a un "valle".

RETRASO Y ADELANTO DE ONDA

En las siguientes figuras vemos una señal alterna donde se han especificado algunos de estos parámetros, la figura a) muestra una onda alterna donde se ven tanto el valor eficaz, el valor máximo, el valor pico a pico y el período. En la figura b) vemos dos ondas alternas, de igual frecuencia, pero desfasadas 90º.

En la figura a) si la frecuencia es de 50 Hz entonces el período es T=20 mseg y abarcará desde el origen hasta el punto D. En ella también se puede ver la fase, la que es medida en unidades angulares, ya sea en grados o radianes. También podemos ver los distintos puntos donde la señal corta al eje del tiempo graduado en radianes.

En la figura b), como ya lo dijimos, se ven dos señales alternas desfasadas 90º (p/2 radianes), esto es, cuando la primera señal arranca del punto A, la segunda lo hace desde el punto B, siendo el desfasaje entre los puntos A y B de 90º. Por lo tanto se dice que tenemos dos señales de igual frecuencia y amplitud pero desfasadas entre sí por 90º.Con lo visto hasta ahora estamos en condiciones de presentar a una señal senoidal en su representación típica:

U = Umax sen (2pft + q)

Donde:

Umax: tensión máxima f: frecuencia de la onda t: tiempo q: fase

Ejemplificación

1 Enunciado

Una perturbación a lo largo de una cuerda se describe mediante la ecuación

con x e y medidos en centímetros y t en segundos.

Para esta onda, halle su amplitud, frecuencia angular, periodo, número de onda,

longitud de onda y velocidad de propagación.

2 Solución

Esta función es una onda viajera correspondiente a la la forma general

que, por se de la forma f(x − vt) es claramente una solución de la ecuación de

onda.

2.1 Amplitud

La amplitud de esta onda, A, es el coeficiente que multiplica al coseno. En

nuestro caso

2.2 Frecuencia angular

La frecuencia angular, ω, es el coeficiente que precede al tiempo en el

argumento del coseno

2.3 Periodo

A partir de la frecuencia angular tenemos la frecuencia natural y el periodo

2.4 Número de onda

El número de onda es la cantidad que multiplica a x en el argumento del coseno

2.5 Longitud de onda

La longitud de onda la calculamos a partir del número de onda

2.6 Velocidad de propagación

La velocidad de avance de la onda es igual a

CONVERSION DE SENOS A COSENOS

Se cumple que

Vm sen wt = Vm cos(wt – 90°)

En general

– sen wt = sen(wt 180°)

– cos wt = cos(wt 180°)

sen wt = cos(wt 90°)

cos wt = sen(wt 90°)

El FASOR

La corriente o la tensión a una frecuencia determinada se caracteriza por solo

dos parámetros: amplitud y ángulo de fase.

La representación compleja de tensión o corriente contiene el factor ejwt, este

puede eliminarse ya que no contiene información útil.

Representaremos la corriente o la tensión como n Proceso de transformación

fasorial mediante el cual i(t) cambia a I.

i(t) = Im cos (wt + f)

i(t) = Re[Im e j(wt +f)]

I = Im e jf

I = Imf

i(t) - representación en el domino del tiempo

I - representación en el domino de la frecuencia.

La representación fasorial es válida para alguna frecuencia w.

úmeros complejos en forma polar, a esta representación se le llama

representación fasorial.

Relación fasorial para R

Relación corriente voltaje para el resistor en el dominio del tiempo

v(t) = Ri(t)

Aplicando un voltaje complejo

Vm e j(wt +q) = RIm e j(wt +f)

Eliminando el término e jwt, encontramos

Vm e jq = RIm e jf

En forma polar

Vmq = RImf

Por tanto:

V = RI

Relación fasorial para L

Aplicando un voltaje complejo

Vm e j(wt +q) = jwLIm e j(wt +f)

Eliminando el término e jwt, encontramos

Vm e jq = jwLIm e jf

En forma polar

Vmq = jwLImf

Por tanto:

V = jwLI

Relación fasorial para C

Aplicando un corriente compleja

Im e j(wt +f) = jwCVm e j(wt +q)

Eliminando el término e jwt, encontramos

Im e jf = jwCVm e jq

En forma polar

Imf = jwC Vmq

Por tanto:

I = jwCV

IMPEDANCIA

La impedancia es una magnitud que establece la relación (cociente) entre la

tensión y la intensidad de corriente.

Impedancias en serie y en paralelo

Cualquier circuito de dos terminales puede reducirse a una simple impedancia

sumando las que se encuentran en serie o en paralelo, así:

Impedancias en serie:

Impedancias en paralelo:

o bien de una manera más simplificada,

Los circuitos paralelo en corriente alterna:

Sea por ejemplo el siguiente circuito:

¿Cómo podemos tratar este tipo de circuitos? Pues depende de lo que queramos. Si lo que nos interesa es el comportamiento de cada una de las

"ramas" del ciruito, decir que el análisis es análogo a los ya efectuados hasta el momento. Cada una de estas ramas es, de forma independiente de las demás, un circuito por sí misma, del tipo que ya hemos tratado. Por otro lado, si lo que nos interesa es el comportamiento del circuito como un todo, o sea, el comportamiento de las partes comunes del circuito a cada rama, deberemos considerar que lo que se tiene es lo siguiente:

La impedancia total del circuito, Zt, será la siguiente:

Esto lleva en el circuito que se ha escogido como ejemplo a:

y como

tendremos que

Por tanto el módulo de it y el desfase de ésta respecto a vg vendrá dado por:

Por último, es evidente que vg = vr = vc = vl.

ADMITANCIA

La admitancia de un circuito es la facilidad que este ofrece al paso de la

corriente.

Admitancia de elementos

En el circuito:

las ecuaciones que relacionan las variables son:

y en forma fasorial:

Definición: admitancia es la relación entre los fasores de corriente y voltaje de un elemento de dos terminales. La admitancia puede ser:

Real: se la denomina conductancia. Imaginaria: se la denomina susceptancia.

Real e imaginaria: una magnitud compleja.

Admitancia de algunos elementos:

Bobina:

Condensador:

Resistor:

DIAGRAMAS FASORIALES

Los diagramas fasoriales son usados para representar en el plano complejo las relaciones existentes entre voltajes y corrientes fasoriales de un determinado circuito. Para representar cualquier voltaje o corriente en el plano complejo es necesario conocer tanto su magnitud como su ángulo de fase y de esta manera poder realizar operaciones entre ellos (suma, resta).

Otro uso de los diagramas fasoriales es la representación en el dominio del tiempo y la frecuencia, es decir que sobre un plano se pueden representar las magnitudes (corriente, voltaje, etc) en el dominio de la frecuencia y de el tiempo también y realizar la transformación necesaria. Para transformar una magnitud del dominio de la frecuencia con cierta magnitud y un ángulo de fase , al dominio del tiempo solo es necesario girar el fasor en sentido contrario a las manecillas del reloj a una velocidad angular que está dada en rad/s y tomar su proyección sobre el eje real.

Con los diagramas fasorial, es posible observar el comportamiento de los voltajes y corrientes de un circuito en estado senoidal permanente tanto en el dominio de la frecuencia como en el dominio del tiempo.