análisis de sistemas de control no lineal€¦ · tema ii: análisis y diseño de sistemas de...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 1
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
Análisis de Sistemas de Control no Lineal
Sistemas no linealesFunción descriptiva: Sólo sirve para sistemas sencillos y con determinada característicaLinealización alrededor del punto de operaciónNo puede utilizarse el modelo de función de transferencia, ni siquiera en los casos más sencillos
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
ControlAnálisis de Sistemas de Control no
Lineal
Linealización alrededor del punto de operaciónDesarrollo en serie de Taylor de y=f(x) alrededor de :
...!2
)()()(2
2
2
+−
+−+===
xxdxfdxx
dxdfxfy
xxxx
x
Si es pequeño:
donde:
xx −
)( xxKyy −+=
xxdxdfK
xfy
=
=
= )(
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 2
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
Análisis de Sistemas de Control no Lineal
Ejemplo 1: Controlador todo-nada
C(s)X(s)+
-
1
12+s
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
ControlAnálisis de Sistemas de Control no
Lineal
Ejemplo 2: Controlador todo-nada con histéresis
C(s)X(s)+
-
1
12+s
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 3
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
Análisis de Sistemas de Control no Lineal
Simulación controlador todo-nada con histéresis
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control Análisis en el espacio de Estados
Resolución de la ecuación de estados lineal
Resolución de la Ecuación de estados homogéneaResolución ecuación escalar:
Resolución ecuación matricial:
xx A=&
axx =&)0()( xetx at=
uxx BA +=&
)0()( xetx tA=
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 4
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl Análisis en el espacio de Estados
Propiedades de la matriz exponencial
Aplicación de la transformada de Laplace para la resolución de la ecuación invariante en el tiempo
Caso escalar
Caso matricial
IAA =⋅ − tt ee
[ ] )0()(L)( 11 xstx −− −= AI
stst eee AAA ⋅=+ )(
AA AAA ⋅=⋅= − ttt eeedtd
)0(1L)( 1 xas
tx
−= −
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control Análisis en el espacio de Estados
Resolución de la Ecuación de estados no homogénea
Resolución ecuación escalar:
Resolución ecuación matricial:
uxx Β+= A&
buaxx +=&
∫ −+=t
taat dbuexetx0
)( )()0()( τττ
uxx BA +=&
∫ −+=t
tt duexetx0
)( )()0()( τττ BAA
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 5
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl Análisis en el espacio de Estados
Ejemplo I: Obtener la respuesta ante un escalón unitario del sistema:
Solución ecuación de estados:
Ecuación de salida:
−
+−=
−−
−−
tt
tt
ee
eexx
2
2
2
121
21
1xy =
uxx
xx
+
−−
=
10
3210
2
1
2
1
&
&
tt eey 2
21
21 −− +−=
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control Análisis en el espacio de Estados
Simulación con simulink y gráfica de la salida:
S te p
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
S ta te -S pa ce S cope
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 6
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl Diseño en el espacio de Estados
Controlabilidad y Observabilidad:Condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa de estado:
Controlabilidad de la salida
Observabilidad completa
)(]|...|||[ 12 nrnBABAABBM n ×= −
nMrango =)(
rnmDBCABCACABCBS n )1(]||...|||[ 12 +×= −
mSrango =)(
)(])(|...|)(||[ 12 nmnCACACACE TnTTTTTT ×= −
nErango =)(
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control Diseño en el espacio de Estados
Diseño en el espacio de estados mediante bicación arbitraria de polos:
Control mediante realimentación de estados:
uxyuxxDCBA
+=+=&
x
u(t) y(t)
xu K−=
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 7
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl Diseño en el espacio de Estados
Diagrama de bloques completo:
∫ yxB C
A
D
-K
x&u
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control
Pasos para la ubicación arbitraria de polos:1. Comprobar la controlabilidad completa del sistema
2. Obtener el polinomio característico del sistema
3. A partir de los polos deseados, obtener el polinomio característico deseado del sistema
4. Obtener la matriz de transformación
Diseño en el espacio de Estados
nnnnn asasasass +++++=− −−−
12
21
1 ...AI
nnnnn
n sssssss ααααµµµ +++++=−−− −−−
12
21
121 ...))...()((},...,,{ 21 nµµµ
)(]|...|||[ 12 nrnBABAABBM n ×= −
nMrango =)(
WMT ⋅=
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 8
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl Diseño en el espacio de Estados
= −
−−−
−−−
00...01...............001...01...1...
3
32
121
n
nn
nnn
aaa
aaa
W
5. Obtener la matriz de realimentación K como:
1112211 ]|....|||[ −
−−−− ⋅−−−−= TK aaaa nnnnnn αααα
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control Diseño en el espacio de Estados
=
−−−=
100
651100010
BA
BuAxx +=&
1042
−=±−=
sjs
Ejemplo:
Polos deseados
1xy =
st
M
s
p
55.1
2.0
=
=
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 9
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
S um
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
S ta te -S pa ce S cope
-8
Ga in2
-55
Ga in1
-199
Ga in
du/dt
De riva tive 1
du/dt
De riva tive
Matriz de realimentación de estados:
Modelo simulink:
Diseño en el espacio de Estados
]855199[=K
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control
Simulación, estado inicial
Simulación, estado inicial
Diseño en el espacio de Estados
001
002
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 10
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl Diseño en el espacio de Estados
Ejemplo: Péndulo invertido
mlkgmkgM
5.01.0
2
===
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control Diseño en el espacio de EstadosEcuaciones de estado
u
M
Ml
xxxx
gMm
MlmM
xxxx
−
+
⋅
−
+
=
/10
10
0001000
0000010
4
3
2
1
4
3
2
1
&
&
&
&
xxxxxx && ==== 4321 θθ
⋅
=
4
3
2
1
2
1
01000001
xxxx
yy
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 11
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
u
xxxx
xxxx
−
+
⋅
−
=
5.001
0
00049.010000006.200010
4
3
2
1
4
3
2
1
&
&
&
&
⋅
=
4
3
2
1
2
1
01000001
xxxx
yy
Diseño en el espacio de Estados
Valores numéricos
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Diseño en el espacio de Estados
Respuesta ante una perturbación en ángulo (θi=0.1, xi=0)Ángulo en función del tiempo
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 12
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Diseño en el espacio de Estados
Respuesta ante una perturbación en ángulo (θi=0.1, xi=0)Posición en función del tiempo
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Diseño en el espacio de Estados
Respuesta ante una perturbación en posición y ángulo (θi=0.2, xi=0.2)
Ángulo en función del tiempo
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 13
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Diseño en el espacio de Estados
Respuesta ante una perturbación en posición y ángulo (θi=0.2, xi=0.2)
Posición en función del tiempo
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control
Servosistema de tipo 1 cuando la planta tiene un integrador
Suponiendo para la planta:
El esquema de realimentación sería:
Diseño de servosistemas
xyuxx
CBA
=+=&
BuAxx +=& Cxy =+- +-
k2
k3
kn
k1
…
r y=x1
x
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 14
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
Si r es una entrada escalón, la dinámica del error queda:
La matriz K se calcula como en un sistema regulador, mediante ubicación arbitraria de polosEjemplo:
Diseño de servosistemas
ee )( BKA −=&
=
−−=
100
320100010
BA
BuAxx +=&
1032
−=±−=
sjs
1xy =
st
M
s
p
6.1
16.0
=
=
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control
La matriz de realimentación resultante es:
Respuesta a un escalón unitario:
Diseño de servosistemas
]1154160[=K
Time (s ec.)
Am
plitu
de
S tep Res pons e
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 15
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
Servosistema de tipo 1 cuando la planta no tiene integrador
Suponiendo para la planta:
El esquema de realimentación sería:
Diseño de servosistemas
xyuxx
CBA
=+=&
+- +-kIr y∫ B ++ ∫
A
K
Cxuξξ
.
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control
Nueva variable de estado, ξ -> n+1 variables de estado. Ecuaciones de estado:
Definiendo:
Si el sistema es asintóticamente estable:
Diseño de servosistemas
ruBx
CAx
+
+
⋅
−
=
10
000
ξξ&&
)()()()()()()()()(
∞−=∞−=∞−=
utututt
xtxtx
e
e
e
ξξξ
)(0)(
)(00
)()(
tuB
ttx
CA
ttx
ee
e
e
e
+
⋅
−
=
ξξ&
&
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 16
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
Por otra parte:
Definiendo:
Nos queda la siguiente ecuación para el sistema:
Con realimentación de estados:
Se diseña finalmente con ubicación arbitraria de polos
Diseño de servosistemas
]|[ˆ0
ˆ00ˆ
Ik−=
=
−
= KKB
BCA
A
)()()( tktxtu eIee ξ+−= K
euee BA ˆˆ +=&
=
)()(
)(ttx
tee
e
ξ
)(ˆ)( tetue K−=
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control
En este caso la controlabilidad completa se comprueba con la matriz:
Ejemplo: Problema 9 de la relación II
Diseño de servosistemas
−
=0
ˆC
BAM
1)ˆ( += nrango M
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 17
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl Diseño de servosistemas
Problema 9Diseño simulink
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
Control Diseño de servosistemasSimulación
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 18
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl
Sistemas de control óptimo cuadrático
Sistemas de Control óptimo cuadráticoDado un sistema de control en el espacio de estados:
Se desea seleccionar el vector de control u(t) de manera que se minimice un índice de desempeñoSi se utiliza un índice J tal que
donde L(x,u) es una función cuadrática de x e uRelación lineal mediante una matriz K
uxx BA +=&
∫∞
=0
),( dtuxLJ
)()( txtu K−=
⋅
=
nrnrr
n
n
r x
xx
kkk
kkkkkk
u
uu
......
..................
...2
1
21
22221
11211
2
1
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
ol
ControlSistemas de control con modelo
de referenciaSistemas de Control con modelo de referencia
Dado un sistema de control no lineal en el espacio de estados:
Se utiliza el siguiente esquema para el sistema de control
Y se utiliza un sistema con modelo de referencia lineal, descrito por:
),,( tuxfx =&
vxx dd BA +=&
Sistema con modelo dereferencia
Controlador Planta
Entradade comando
v xdu x
UNIVERSIDAD DE GRANADA. Departamento de Electrónica y Tecnología de Computadores
25/05/2004
Ingeniería Electrónica - Control Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control 19
Tem
a II:
Aná
lisis
y D
iseñ
o de
Sis
tem
as d
e C
ontr
olControl Sistemas de Control Adaptable
Sistemas de control adaptable (o adaptativo)Los parámetros del sistema de control se modifican (se adaptan) de manera automáticaNo es necesario disponer de un modelo de la plantaTratan de imitar el comportamiento humano al enfrentarse al control de una planta (Lógica borrosa, Redes Neuronales, etc)