annette eickerapmg 1 1 1 19.01.2014 annette eicker 11.11.2011 das keplerproblem (teil 2)
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Annette Eicker APMG 1
1
111.04.23
Annette Eicker11.11.2011
Das Keplerproblem (Teil 2)
Annette Eicker APMG 1
2
211.04.23
Wiederholung: Keplerproblem
BewegungsgleichungBewegungsgleichung
rr 3r
GM
const Crr
Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C
=> Konstante Bahnebene
Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C
=> Konstante Bahnebene
Bahndrehimpuls ist konstant
Bahndrehimpuls ist konstant
CL m
2. Keplersches Gesetz:
In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.
2. Keplersches Gesetz:
In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.
r r C( )tr
( )t dtr df
Annette Eicker APMG 1
3
311.04.23
Wiederholung: Keplerproblem
BewegungsgleichungBewegungsgleichung
rr 3r
GM
const Crr
Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C
=> Konstante Bahnebene
Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C
=> Konstante Bahnebene
Bahndrehimpuls ist konstant
Bahndrehimpuls ist konstant
CL m
2. Keplersches Gesetz:
In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.
2. Keplersches Gesetz:
In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.
Cr 2
Zusammenhang zwischen Abstand und Winkelgeschwindigkeit
Annette Eicker APMG 1
4
411.04.23
Wiederholung: Transformation in das Bahnsystem
i
iK
K
0C3e
1e2e
Q P
U
v
0C
r
K
z
y
x
i
e
e
e
DDD
C
Q
P
)()()( 313
0
Position
im Bahnsystem
Position
im Bahnsystem
BB
r
r
y
x
t
0
sin
cos
0
)(
r
QPr sincos)( rrt
Wahre Anomalie
Annette Eicker APMG 1
5
511.04.23
GeschwindigkeitGeschwindigkeit
Wiederholung: Bestimmung des Abstands
PositionPosition
0
sin
cos
)(
r
r
tr
C
0
0
rr
0
cos
sin
eC
GM
r
)cos1(
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
erC
GMe
C
GMr
r
rr
gleichsetzen
umstellen
gleichsetzen
umstellen
CerC
GM )cos1(
2 /
1 cos
C GMr
e
EllipsengleichungEllipsengleichung
cos1 e
pr
Annette Eicker APMG 1
6
611.04.23
Wiederholung: Ellipse
a
21 eab )1( 2eap
eaE
a große Halbachse
b kleine Halbachse
E exzentrische Anomalie
p Halbparameter
Annette Eicker APMG 1
7
711.04.23
Was haben wir bis jetzt?
Bahnform: Ellipse
Große Halbachse: a
Exzentrizität: e
Bahnform: Ellipse
Große Halbachse: a
Exzentrizität: e
)1( 2eap
pGMC
GeschwindigkeitGeschwindigkeit
PositionPositioncos
sin
0B
r
r
r
sin
cos
0B
GMe
C
rOrt des Sat. auf der Ellipse
Wahre Anomalie:
Ort des Sat. auf der Ellipse
Wahre Anomalie: )(t
AbstandAbstand
cos1 e
pr
Lage der Ellipse im Raum:
Inklination (Bahnneigung):
Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:
Argument des Perigäums:
Lage der Ellipse im Raum:
Inklination (Bahnneigung):
Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:
Argument des Perigäums:
i
Transformation in das InertialsystemTransformation in das Inertialsystem
z
y
x
i
e
e
e
DDD
C
Q
P
)()()( 313
0
Annette Eicker APMG 1
8
811.04.23
Keplerelemente
Zeit:
Form:
ae
Grosse Halbachse
Exzentrizität
Perigäumsdurchgangszeit
Lage:
i Inklination
Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens
Argument des Perigäums
Perigäum
Knotenlinie
Annette Eicker APMG 1
9
911.04.23
Was haben wir bis jetzt?
Bahnform: Ellipse
Große Halbachse: a
Exzentrizität: e
Bahnform: Ellipse
Große Halbachse: a
Exzentrizität: e
)1( 2eap
pGMC
GeschwindigkeitGeschwindigkeit
PositionPositioncos
sin
0B
r
r
r
sin
cos
0B
GMe
C
rOrt des Sat. auf der Ellipse
Wahre Anomalie:
Ort des Sat. auf der Ellipse
Wahre Anomalie: )(t
AbstandAbstand
cos1 e
pr
Lage der Ellipse im Raum:
Inklination (Bahnneigung):
Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:
Argument des Perigäums:
Lage der Ellipse im Raum:
Inklination (Bahnneigung):
Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:
Argument des Perigäums:
i
Transformation in das InertialsystemTransformation in das Inertialsystem
z
y
x
i
e
e
e
DDD
C
Q
P
)()()( 313
0
Annette Eicker APMG 1
10
1011.04.23
Was haben wir bis jetzt?
Bahnform: Ellipse
Große Halbachse: a
Exzentrizität: e
Bahnform: Ellipse
Große Halbachse: a
Exzentrizität: e
Ort des Sat. auf der Ellipse
Wahre Anomalie:
Ort des Sat. auf der Ellipse
Wahre Anomalie: )(t
Lage der Ellipse im Raum:
Inklination (Bahnneigung):
Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:
Argument des Perigäums:
Lage der Ellipse im Raum:
Inklination (Bahnneigung):
Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:
Argument des Perigäums:
i
Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie
noch nicht!
Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie
noch nicht!
Annette Eicker APMG 1
11
11
Zwischenfazit
11.04.23
1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt
2. Keplersches Gesetz
In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.
3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs-zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.
GM
aT
3
2
KeplerelementeDie Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden
Zeit
Form (d. Ellipse)
Lage (d. Ellipse)
i
a e
KeplerelementeKeplerelemente
a ei
Position, Geschwindigkeit
Position, Geschwindigkeit
r r
Annette Eicker APMG 1
12
1211.04.23
Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve
Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve
Annette Eicker APMG 1
13
1311.04.23
Herleitung der Keplergleichung
Cr 2
dt
d
dtCd
e
p
2
2
cos1
Abstand (Ellipsenglg.)Abstand (Ellipsenglg.)
cos1 e
pr
IntegrationIntegration
0
02
2
cos1ttCd
e
p
C
dt
d
e
p
2
2
cos1
- Integration schwierig- Liefert nur die Umkehrung
- Integration schwierig- Liefert nur die Umkehrung
( )t t
Variablensubstitution-> Exzentrische Anomalie E(≠ lineare Exzentrizität E)
Variablensubstitution-> Exzentrische Anomalie E(≠ lineare Exzentrizität E)
Annette Eicker APMG 1
14
1411.04.23
Kreisbahn
a
E
0
sin
cos
)( Ea
Ea
tr
Annette Eicker APMG 1
15
1511.04.23
Ellipse
a
E
0
sin
cos
)( Eb
Ea
tr
Annette Eicker APMG 1
16
1611.04.23
Ellipse
r
Annette Eicker APMG 1
17
1711.04.23
Ellipse
a
ae
r
E
aeEar coscos
Annette Eicker APMG 1
18
1811.04.23
Exzentrische Anomalie
aeEar coscos
EllipsengleichungEllipsengleichung
cos1 e
pr
)1( 2eap
Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie
Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie
Ee
Ee
Ee
eE
cos1
sin1sin
cos1
coscos
2
Annette Eicker APMG 1
19
1911.04.23
Herleitung der Keplergleichung
0
02
2
cos1ttCd
e
p
VariablensubstitutionVariablensubstitution
0
02
2
cos1ttCdE
dE
d
e
pE
Ee
eE
cos1
coscos
Ee
Ee
cos1
sin1sin
2
dE
d
d
d
dE
d sinsin
dE
d
dE
d cos
sin
UmstellenUmstellen
dE
d
dE
d
sin
cos
1 Ee
e
dE
d
cos1
1 2
2
22
cos1
sinsin1cos1cos1sin
Ee
EeEeEeEe
dE
d
benötigt
Annette Eicker APMG 1
20
2011.04.23
Herleitung der Keplergleichung
0
02
2
cos1ttCd
e
p
VariablensubstitutionVariablensubstitution
0
02
2
cos1ttCdE
dE
d
e
pE
Eeea cos11 22
+ nach kurzer Umformung folgt...
+ nach kurzer Umformung folgt...
Ee
e
dE
d
cos1
1 2
Ee
e
e
p
cos1
1
cos1
2
2
2
)1( 2eap
Ee
e
e
ea
cos1
1
cos1
)1( 2
2
222
Ee
eE
cos1
coscos
Annette Eicker APMG 1
21
2111.04.23
Herleitung der Keplergleichung
VariablensubstitutionVariablensubstitution
0
02
2
cos1ttCd
e
p
0
02
2
cos1ttCdE
dE
d
e
pE
Eeea cos11 22
00
22 cos11 ttCdEEeeaE
022 sin1 ttCEeEea
pGMC )1( 2eap
KeplergleichungKeplergleichung
03sin tta
GMEeE
Annette Eicker APMG 1
22
2211.04.23
KeplergleichungKeplergleichung
Umlaufzeit
Ein Umlauf:Ein Umlauf:
)(2 03 tta
GM
20E
UmlaufszeitUmlaufszeitGM
aT
3
2
03sin tta
GMEeE
ar
E
Annette Eicker APMG 1
23
2311.04.23
KeplergleichungKeplergleichung
Umlaufzeit
Ein Umlauf:Ein Umlauf:
)(2 03 tta
GM
20E
UmlaufszeitUmlaufszeitGM
aT
3
2
03sin tta
GMEeE
Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab
Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab
Annette Eicker APMG 1
24
2411.04.23
KeplergleichungKeplergleichung
Umlaufzeit
Ein Umlauf:Ein Umlauf:
)(2 03 tta
GM
20E
UmlaufszeitUmlaufszeitGM
aT
3
2
03sin tta
GMEeE
Mittlere AnomalieMittlere Anomalie)(: 0ttnM
03 tta
GMM
UmrechnungUmrechnung
MEeE sin
Mittlere Bewegung(mittlere Winkelgeschwindigkeit)
Mittlere Bewegung(mittlere Winkelgeschwindigkeit)
3
2:
a
GM
Tn
Umlaufszeitenzweier Planeten
Umlaufszeitenzweier Planeten
2 31 12 3
2 2
T a
T a
3. Keplersches Gesetz:
Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.
3. Keplersches Gesetz:
Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.
Annette Eicker APMG 1
25
2511.04.23
Anomalien
Mittlere AnomalieMittlere Anomalie
03 tta
GMM
Exzentrische AnomalieExzentrische Anomalie
MEeE sin
Wahre AnomalieWahre Anomalie
Ee
Ee
Ee
eE
cos1
sin1sin
cos1
coscos
2
ar
E
Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten:Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt toder - Perigäumsdurchgangszeit:
Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten:Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt toder - Perigäumsdurchgangszeit: 0t
Annette Eicker APMG 1
26
26
Zwischenfazit
11.04.23
1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt
2. Keplersches Gesetz
In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.
3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs-zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.
GM
aT
3
2
KeplerelementeDie Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden
Zeit
Form (d. Ellipse)
Lage (d. Ellipse)
i
a e
KeplerelementeKeplerelemente
a ei
Position, Geschwindigkeit
Position, Geschwindigkeit
r r
Annette Eicker APMG 1
27
2711.04.23
Anwendung:Kommunikationssatellit
Anwendung:Kommunikationssatellit
Annette Eicker APMG 1
28
2811.04.23
Fernsehsatellit
ASTRASatEarth-1G-1H-2A-2CASTRASatEarth-1G-1H-2A-2C
www.ses-astra.com
Annette Eicker APMG 1
29
2911.04.23
Geostationärer Satellit
http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf5-1.htmlhttp://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf5-1.html
Annette Eicker APMG 1
30
3011.04.23
Keplerelemente
Zeit:
Form:
ae
Grosse Halbachse
Exzentrizität
Perigäumsdurchgangszeit
Lage:
i Inklination
Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens
Argument des Perigäums
Perigäum
Knotenlinie
Annette Eicker APMG 1
31
3111.04.23
Geostationärer Satellit
UmlaufszeitUmlaufszeitGM
aT
3
2
Konstante Erdrotation mit einem Sterntag:
Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: 23h56m4sT
Erde heute
Erde nach 23h 56min
Sternenlicht aus dem Unendlichen
Annette Eicker APMG 1
32
3211.04.23
Konstante Erdrotation mit einem Sterntag:
Konstante Erdrotation mit einem Sterntag:
Geostationärer Satellit
UmlaufszeitUmlaufszeitGM
aT
3
2
23h56m4sTExzentrizitätExzentrizität
0e
Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel
Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel
Grosse HalbachseGrosse Halbachse
42.164 kma
InklinationInklination0i
Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotensnicht definiert
Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotensnicht definiert
Kreisbahn
Kein Perigäum
Kreisbahn
Kein Perigäum
Argument des Perigäumsnicht definiert
Argument des Perigäumsnicht definiert
Perigäumsdurchgangszeitnicht definiert
Perigäumsdurchgangszeitnicht definiert
Annette Eicker APMG 1
33
3311.04.23
http://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.htmlhttp://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.html
Satellitenbahnen
Annette Eicker APMG 1
34
3411.04.23
Anwendung:Erderkundungssatellit
Anwendung:Erderkundungssatellit
Annette Eicker APMG 1
35
3511.04.23
GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment )
JPL
Anforderungen an die Bahn:Anforderungen an die Bahn:
Globale Überdeckung
=> Polbahn => i≈90°
Gleichmäßige Überdeckung:
=> Verhältnis von Erddrehung und Umlaufzeit sollte nicht ganzzahlig sein => große Halbachse passend wählen
Niedrige Flughöhe
Annette Eicker APMG 1
36
3611.04.23
Bodenspuren
Annette Eicker APMG 1
37
3711.04.23
Bodenspuren
30 Tage30 Tage
15 Tage15 Tage1 Tag1 Tag
Annette Eicker APMG 1
38
3811.04.23
GOCE - Orbit
Annette Eicker APMG 1
39
3911.04.23
Anwendung:Repeat Orbits
Anwendung:Repeat Orbits
Annette Eicker APMG 1
40
4011.04.23
Prinzip Altimetrie
W. Bosch
Annette Eicker APMG 1
41
4111.04.23
TOPEX/Poseidon
Repeat Orbitnach 9,916 Tagen
(127 Umläufe)
Repeat Orbitnach 9,916 Tagen
(127 Umläufe)
Annette Eicker APMG 1
42
4211.04.23
GRACE
Juli 2003
Juli 2004
Annette Eicker APMG 1
43
43
Zwischenfazit
11.04.23
1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt
2. Keplersches Gesetz
In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.
3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs-zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.
GM
aT
3
2
KeplerelementeDie Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden
Zeit
Form (d. Ellipse)
Lage (d. Ellipse)
i
a e
KeplerelementeKeplerelemente
a ei
Position, Geschwindigkeit
Position, Geschwindigkeit
r r