“ВВЕДЕННЯ В АНАЛІЗ ...mathem-kstuca.ucoz.ua/liter/modul_analiz_ua.pdf · 1.3...

Міністерство освіти і науки України ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ Спеціальності: 6.060101 6.060103 6.050503 6.050202 6.040106

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ ЗАВДАНЬ МОДУЛЯ

“ВВЕДЕННЯ В АНАЛІЗ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ”

з курсу “Вища математика”

Харків 2008

3

ВСТУП

Пропоновані методичні вказівки призначені для надання допомоги студентам в організації самостійної роботи за темами “ Введення в аналіз і диференціальне числення функції однієї змінної ”.

Результативність самостійної роботи забезпечується системою контролю, яка включає наступні етапи:

виконання індивідуальних домашніх завдань; виконання контрольної роботи на тему “ Похідна функції ”; виконання і складання підсумкового завдання на тему “ Дослідження

функції за допомогою похідної ”; виконання модульної контрольної роботи з усієї теми модуля.

Методичні вказівки містять робочу програму модуля, індивідуальні домашні завдання, варіанти підсумкового завдання і зразок його виконання, а також варіанти тестових завдань, зразок виконання модульного контролю і питання для підготовки до його складання.

1 ПРОГРАМА МОДУЛЯ

1.1 Введення в математичний аналіз 1 Поняття функції, способи її задання. Основні елементарні функції. 2 Границя змінної величини, границя функції в точці. Властивості

функцій, що мають границю. 3 Нескінченно малі і нескінченно великі, їх властивості і зв'язок між ними. 4 Порівняння нескінченно малих. Еквівалентні нескінченно малі. Їх

використання під час обчисленні границь. 5 Перша та друга чудові границі. 6 Неперервність функції в точці та на відрізку. Властивості функцій

неперервних на відрізку. 7 Односторонні границі. Точки розриву функції і їх класифікація.

1.2 Диференціальне числення функції однієї змінної 1 Задачі, що приводять до поняття похідної. Похідна функції, її

геометричний та механічний сенс. Похідні суми, добутку та відношення функцій .

2 Похідна складної функції. Похідна оберної функції. Таблиця похідних. 3 Похідна неявної функції і функції, заданої параметрично. Правило

логарифмічного диференціювання. 4 Диференційованість функції. Диференціал функції. Зв'язок диференціала

з похідною. Геометричний сенс диференціала. 5 Похідні та диференціали вищих порядків. 6 Теореми Ролля, Лагранжа та Коші. Правило Лопіталя. 7 Дотична і нормаль до кривої; кривизна кривої.

4

1.3 Дослідження функцій за допомогою похідних 1 Умови зростання та спадання функції. Точки екстремуму. Необхідні і

достатні ознаки існування екстремуму. Знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної на відрізку функції.

2 Дослідження функцій на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.

3 Необхідні і достатні умови опуклості й угнутості функції та точок перегину.

4 Асимптоти кривої та загальна схема побудови графіків.

2 ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ДОМАШНІХ ЗАВДАНЬ

Завдання 1. Знайти границі, використовуючи еквівалентні нескінченно малі функції ( n - номер варіанта).

1. 0

sinlim( 1)x

nxtg n x

4. 20

cos coslimx

nx xnx

2. 20lim

2x

arctgnxnx x

5. 20

1 coslim2x

nxx

7. 2

0

arcsinlim5x

nxx

3. ( 1)

0

1lim5

n x

x

etg x

6. 20

ln(1 )lim2x

nxx

Завдання 2. Знайти границі функцій ( n - номер варіанта).

1. 1

2

7lim1

n

nx

nx xnx

6. 2lim 1x

x x nx

2. 5 6lim3

n

nx

x xnx x

7. 1lim ( 1) x

xn

nx

3. 1

1

2lim3 5

n

nx

x x nx

8. ( 1) 1limnx

x

n xnx

4. 2

2 2

( 1)limx n

x n x nx n

9. 12

2lim ( 1)1

xx

nx nx

5. 2 2

1 1limx n

x nn x

10. 1lim2

nx

x

nxnx

5

Завдання 3. а) Дослідити на неперервність функції та побудувати їх графіки. б) Дослідити на неперервність функцію в точках х1, х2.

Варіант № 1 Варіант № 2

а) 2

4, 1( ) 2, 1 1

2 , 1

x xf x x x

x x

а)

2 1, 1( ) 2 , 1 3

2, 3

x xf x x x

x x

б) 1

31 2( ) 2 1, 3; 4xf x x x б)

12

1 2( ) 5 1, 2; 4xf x x x


а) 2

1, 0( ) ( 1) , 0 2

4, 2

x xf x x x

x x

а) 3, 0

( ) 1, 0 43 , 4

x xf x x x

x x

б) 1 2

7( ) , 2; 32

xf x x xx

б) 1 25( ) , 2; 33

xf x x xx


а) 2, 1

( ) 1, 1 13, 1

x xf x x x

x x

а) 1 , 0

( ) 0, 0 22, 2

x xf x x

x x

б) 1

31 2( ) 4 2, 2; 3xf x x x б)

12

1 2( ) 9 1, 0; 2xf x x x


а) 2

, 0( ) ( 1) , 0 2

3, 2

x xf x x x

x x

а)

22 , 0( ) , 0 1

2 , 1

x xf x x x

x x

б) 1

51 2( ) 2 1, 4; 5xf x x x б)

14

1 2( ) 5 2, 3; 4xf x x x

6


а) 3

2( 1), 1( ) ( 1) , 1 0

, 0

x xf x x x

x x

а) 2

, 0( ) , 0 2

1, 2

x xf x x x

x x

б) 1

31 2( ) 6 3, 3; 4xf x x x б)

15

1 2( ) 7 1, 4; 5xf x x x


а) sin , 0

( ) , 0 20, 2

x xf x x x

x

а)

cos , 2

( ) 0, 2

2,

x x

f x x

x

б) 1 2

3( ) , 5; 44

xf x x xx

б) 1 25( ) , 3; 22

xf x x xx


а) 2

1, 0( ) , 0 2

2 , 2

x xf x x x

x x

а) 2

1, 0( ) 1, 0 1

, 1

x xf x x x

x x

б) 2

31 2( ) 5 , 3; 4xf x x x б)

21

1 2( ) 4 3, 1; 2xf x x x


а) 1, 0

( ) 2 , 0 23, 2

x

xf x x

x x

а) 2

, 0( ) 1, 0 2

1, 2

x xf x x x

x x

б) 1

21 2( ) 2 1, 2; 0xf x x x б)

42

1 2( ) 8 1, 0; 2xf x x x

7


а) 3

2, 2( ) , 2 1

2, 1

x xf x x x

x

а) 2

3, 0( ) 1, 0 2

2, 2

x xf x x

x x

б) 4

31 2( ) 5 1, 2; 3xf x x x б) 1 2

3( ) , 4; 54

xf x x xx


а) 2

3 4, 1( ) 2, 1 2

, 2

x xf x x x

x x

а) 1, 0

( ) sin , 03,

x xf x x x

x

б) 1 22

2( ) , 1; 21

xf x x xx

б) 3

21 2( ) 2 1, 2; 1xf x x x


а) 2

, 1( ) ( 2) , 1 3

6, 3

x xf x x x

x x

а) 2

1, 1( ) 1, 1 3

2 , 3

x xf x x x

x x

б) 3

21 2( ) 4 2, 3; 2xf x x x б)

21

1 2( ) 3 2, 0; 1xf x x x


а) 2

1, 1( ) 2, 1 2

2 , 2

x xf x x x

x x

а)

3, 1( ) 1, 1 3

5, 3

x xf x x x

x x

б) 3

41 2( ) 5 1, 5; 4xf x x x б) 1 2

4( ) , 2; 12

xf x x xx

8


а) 2

3, 0( ) 4, 0 2

2, 2

x xf x x x

x x

а) 2

, 2( ) 1, 2 1

1, 1

x xf x x x

x x

б) 1 2

4( ) , 3; 23

xf x x xx

б) 1 25( ) , 3; 43

xf x x xx


а) 2

0, 1( ) 1, 1 2

2 , 2

xf x x x

x x

а) 1, 0

( ) cos , 01 ,

xf x x x

x x

б) 4

11 2( ) 3 1, 1; 2xf x x x б) 1 2

4( ) , 5; 45

xf x x xx


а) 2, 1

( ) 1 , 1 1ln , 1

xf x x x

x x

а) 3

, 0( ) , 0 2

4, 2

x xf x x x

x x

б) 2

41 2( ) 6 , 3; 4xf x x x б) 1 2

1( ) , 2; 32

xf x x xx

Завдання 4. Знайти похідні від заданих функцій.

Варіант № 1

1. S(t) = 3 25t t 6. y = 3ctgx 2. ( )r = sin cos 7. y = 22)1arcsin( xxx

3. y = x

xln

2

8. y = )23ln(ln 3x

4. y = 4 1arctg x 9. y = 234 )21( xx 5. y = ( 2cos x ) 2 10. f(t) = sin 2 tt

9


1. y = 3arccos x 6. y = 5 )14(lg 3 x 2. y = sin2xe 7. y =

2

lnxe x 3. y = 44x x 8. S(t) = 41 te 4. y = )65ln( 2 xx 9. y = 3 xx 32 sinsin

5. y = 3)2cos1(1

x 10. y = 1

1

x

xee


1. y = xx ln2 6. y = xx

cossin 2

2. y = sin43

x 7. y = 2 3( 2 2) xx x e

3. y = )43cos( x 8. y = )1ln(1ln xx

4. y = 32 )72( x 9. y = arctgx

1

5. y = 324 xx 10. S(t) = 3 33sin t

Варіант № 4 1. y =

2cos xe 6. f(t) = tt cos

1cos3

12

2. y = )1ln(ln 2 x 7. y = 23

5

xx

3. y = 5)sin23( x 8. z(t) = tt )1( 3

4. y = 2lnx 9. y = 10xtgx

5. y = 3)(arcsin xarctgx 10. y = 585ctgxctg


1. S(t) = 2

3

)1( tt

6. y = 2 35 x

2. y = 3 )53sin( x 7. y = arcsin2xe 3. y = 42 )cos1( x 8. y = )4ln( 2 xx

4. y = 2xtg 9. y = 22 sinsin xx

5. y = xx 32 log 10. y = 5 ))1ln(( 2xarctgx

10

Варіант № 6 1. y = 5 )( 2xtgx 6. y =

xx

sinln1sin

2. y = 1

1xe

7. y = )23cos( x

3. y = )2ln3( xxx 8. S(t) = )32ln( 23 tt

4. y = 73 )52( x 9. y = 2

3 xctg

5. y = 3

ln xarctg 10. y = arcsin32x xe


1.

2cos2)( 2 r 6. y = 3 25 x

2. y = xctg 7. y = xsinarcsin 3. z = 4 4cos1 x 8. y = 4 6( 1) xx e

4. S(t) = 3

cos3sin tt 9. y = 53 )32(3 x

5. y = 2

2

1ln

xx

10. y = )12(4 xarctg


1. S(t) = 10

12

tt 6. y =

2cos2 x

2. y = 3 52 x 7. y = )32sin(5 x 3. y = xex 23 8. y = xarcsin 4. y = )211ln( xe 9. z( ) = )( tgtg

5. y = x

arctg 1 10. y = )43(log6 5 x


1. z( ) = 2cos2sin 33 6. y = )( 2x

exctg

2. y = xx

2323

7. y = )1(log5 3

5 x

3. y = 210ln xx 8. y = arccos36 x 4. y = )3( 23 xxe x 9. y = cos(3 3 )x x 5. y = 52 )37( x 10. y = 3)13( xtg

11


1. y =

xx 16cos 6. y = 8)21( x

2. y =2

lncos2 xtgx 7. y = xtg cos

3. y =3sin7 x 8. y = )21(log 2 x

4. y = )sin( xxctg 9. y = 4 13 xe

5. z(t) = t

t

ee1

10. y =x

arcctg 13


1. y = ln sinxe x 6. y = xtg 231 2. y = )43(5 xctg 7. y = )3cos( 3 xx

3. y =2

2tg x 8. y = ln xe 4. y = )4(log 2

5 xx 9. y = arcsin43 x

5. y =13

2

xx 10. y = x31arccos


1. y = )76(cos2 x 6. y = x3cossin 3

2. y = 1 cos xxe 7. y = xctg 4

41

3. y =xtg 8

1 8. y =x3arcsin

4. f(t) = )coslg( tt 9. y = 3 21 xctg

5. r( ) = 21

10. y = xarctgx


1. S(t) = 3 21 tgt 6. y = x2arcsin

21

2. y = 16 xarcctg 7. y =3cos2 x

3. y = xcoslog53 8. y =

1

4sin

24 x

4. y = )2sinln( 3 xx 9. y = xe233

5. y =x

x51

2

10. y = 12 53 )6( xx

12

Варіант № 14 1. S(t) = ttgttg 24

21

41

6. y =x

xsin

2. y = xx arctgee 2)1ln( 2 7. y = 1 7tgx 3. y = )13(sinlog3

4 x 8. r( ) = 2coscos2

4. y =4

2 xctgx 9. y =2tgx

5. y = 74 )35( x 10. y = xctge3

Варіант № 15 1. y = )ln( 32 xx xee 6. S(t) =

12tt

2. y = 7cos6 2 x 7. y = 3 lnlg( 3 )xx

3. y = 3 2xarctg 8. y =x5sin

12

4. y = )57(3 xtg 9. y = 53tg x 5. r( ) = 322 10. y =3 ctg xe

Варіант № 16 1. y = arctgxx )1( 2 6. y = xx 2cos

21

2. y =4

sin353

x xctg

7. y = )23( xctg

3. y = x5arccos2 8. y =5cos 2

xe

4. S(t) = ttg7ln 9. f(t) = 5 32 )1( t

5. y = 2

3

1 xx

10. y =4

2 tgx

13


1. y = ln3 3lnx x 6. y = 2

2

11

xx

2. S(t) = )1( te t 7. y = 35 )3cos1( x

3. y =

44sinln 3 xarctgx 8. y =

2sin

3cos x

4. y =3

7 xe 9. r( ) = 34

31

41

5. y =xelg 10. y =sin 2 x


1. y = )5ln( 23 xx 6. y =

1

2arcsin x

2. y = 4 23xtg

7. S(t) =

2

3

tt

3. y = x4lg3 2 8. y =4

sin22x

4. y = 3 512

xe 9. y = ( 6cos7x+5 )3

5. y = )4(2 xx 10. y = 4 54 2xe

Варіант № 19 1. y = 14ln 2 x 6. y = )log1ln( 3 x

2. y =51

2

arctg x

7. y = )18(2 xctg

3. y =2sin 2

xe 8. y = 1 35 xe

4. y = 42 )35( xx 9. y =

x3

6cos

5. y =3 )12(log 4 x 10. S(t) = )2(sin 23 tt

14


1. y = )log1ln( 3 x 6. y = 21

2xx

2. y =3

arcsin xx 7. y = xctg3

3. y =2

2tgx 8. S(t) = te t 3sin2 4. r( ) =

2sin3cos1 9. y = 55 tg xe

5. y = xarctgx 34 10. y =3

arcsin9 x


1. y = arctgxx 21 6. y =

xx12

2. y = )ln3sin(3 2 x 7. y = 23 2 )14( x

3. y = xtgxtg 53

51

32

8. y = 2315 xe

4. y = )31ln(7 x 9. y =5

cos2 xx

5. S(t) = ttt cossin 10. y = xcoslog2 3


1. r( ) = 29 6. y = 21

3ctg

x

2. y = 3

2

13

xx

7. y = 3ln2 xarctg

3. y = 12ln xtg 8. y = )1ln( 4xe 4. y = xearccos3 9. y = 8sin3(5 2)x

5. S(t) = t8

sin2

10. y = 14cos x

15

Варіант № 23 1. y = )2cos2(sin xxe x 6. y = 5 410 x

2. S(t) = 313

tt

7. y = ln xe

3. y =22xtgx

8. r( ) = 32 coscos3

4. y = )1ln( 10 xe 9. y = 5 42 )31( x

5. y = 5

3xctg 10. y = )32ln(1 xarctg


1. S(t) = 22cos1 t 6. y = 281 x

x

2. y =

23ln

1x 7. y =

314 xarcctg

3. y = 7 xx 8. y = xx ee 42

4. y =

3

27 xtg 9. y = arcsin26 x

5. y =2

log3xctg 10. y = 65 )sin2( x


1. y = xx ee 21 6. f(t) = tet 23 )1(

2. y = 3

2 13x

x 7. y =3

12arccos x

3. y = )12ln( sin xe 8. r( ) =

sin1sin1

4. S(t) =165

5 tgttg 9. y =

xxln4lg2

5. y =10

1

xx 10. y = )23(3 xarctg

16


1. y = )412ln( 2xx 6. f(t) = tte2

2. y = )22cos(2 xxe 7. y = )21(lg 4 x

3. y = 3(2 3 )ctg x 8. r( ) =

sin1sin1

4. S(t) =tt

2cossin 2

9. y = xarctg sin5

5. y = xx ln12 10. y =313

2xxtg e


1. y = 32 )2sin( xe xtg 6. y = 37arccos 2 x

2. y = 1ln 3 xtg 7. r( ) =4

sin2cosln

3. y = xx ee 23 1 8. y =5

2 3 xxarctg

4. S(t) = 3 2)1sin2( tt 9. y = 5 33

xctg

5. y =x

xln

2

10. f(t) = )1ln( 2ta


1. y = 32

2

1313ln

xx 6. y = )(5,0 3 21 xxtg

2. y = 291arcsin x 7. f(t) = 123 )4(2 tt 3. S(t) = tet 22 8. y = 117

3

xe x

4. y = 3cos(3 2)x 9. y = ])1([ 21

2 xxarctg

5. r( ) = 2sin21sinln 10. y = )73(log 25

2 x

17

Варіант № 29 1. y = 23cos24 x x 6. y = 5 4)1( xctg

2. y = 54 xarctg 7. y = 2

3

21

xx

3. y = x3cosln 8. r( ) =

sin

cos2

4. y = xarctgx 2)41( 2 9. y = tetx 22 )22(

5. S(t) =3

1sin

1

t 10. y =

21arcsin

xx


1. y =4

cos333

x tg

6. y = )4(log 243 xx

2. y = ln 2tg xe 7. y =2

3 2

xx

3. S(t) = )ln( tt tee 8. y = )5sin35cos2(3 xxe x

4. y = lncos sin3 xtgx 9. f(t) =x2arcsin

21 5

5. r( ) = 1 sin5

10. y = 3( 2 )x e tg x

Завдання 5. Знайти похідні першого порядку від заданих функцій.


1. y =2 3

2sin5 sin

4x x x

4. y = 3

22( 1)xtg

x

2. y = 4 5 23 xxx 5. 0)cos(sin yxxy

3. y=2

lnxx eearctg

6.

1

11

2

2

3

tty

ttx

18


1. y =3

241 x

xe

e

4. y =

3 2

sin4

tg xx

2. y = xxx 2arcsin3sinln 52 5. 2yxarctgy

3. y = 5 22 )1( x 6.

ttttyttttx

sin2cos)2(cos2sin)2(

2

2


1. y = 3

3

5415

xx

4. y =cos (3 1)x x

2. y = 3 3(1 5 )x

ctg x e 5. 02coscossin2 yyyx

3. y =1

2cosln 22

x 6.

arctgttytx )1ln( 2


1. y =xx

4cos12sin1 3

4. y =

2sin(ln ) xtgx

2. y =5

3 2xtg

e arctg x 5. yxyx arcsinarcsin

3. y = 23

2

1ln3

13 xx

x

6.

2

)2ln(

3

3

tty

tx


1. y =

5arcsin3 252 xxtgx 4. y =

3 1( 3 1)xarctg x

2. y =x

xctg2

3

cos13ln

5. sin cos 0yxe y e x

3. y =41 sin 310 x 6.

1313

3

3

ttyttx

19


1. y = )19ln( 3 53 xx 4. y = 3 cos( 1) xx

2. y =7

ln1

3

2

3 xtgxx

5. 0)1ln()1ln( 332 xyyx

3. y =2 53(1 sin 3 ) arctg xx e 6.

3

2

3

13

13

tty

ttx


1.y = 4 3sin (3 1) xx e 4.y =

3

21

xx

x

2.y = 4 35 )7cos1( x 5. 0)( 2233 xyyxxy

3.y =5`

3 35

tg xxtg 6.

ttyttx

2sinsin22coscos2


1. y =

44sinln 3 xarctgx 4. y =

2ln( 1)( ) xarctg x

2. y = 5

2cos12cos1

xx

5. 0)1()1( 2222 xyyx

3. y =2

23 arcsin lnx

e x 6.

tyttx

3sin3sin3

2

2


1. y = 7

4123x

x 4. y = 2 cos3(ln ) xx

2. y = xxctgctg 55 5. 02arcsin22 xyarctgyyx

3. y =2

21ln

x

xe

e 6.

3

3

2

14

tty

ttx

20


1. y = 3 25 3sin)72(ln xx 4. y = 3( 2) tgxx

2. y = 32 2xxe x 5. ln 2yxe y

3. y =2

1 arccos31

ctg x xx

6.

3

)3ln(

5

2

5

tty

tx


1. y =1253 xtg x e

4. y = 5 cos2( 5) xx

2. y = )5arcsin( 3 x 5. 0)(sin 223 yxyyx

3. y =

5cos

1)5ln(4

23

xxx 6.

t

t

teytex


1. y = 2

293lnx

x 4. y =22 1sin xx

2. y =323

1sin xxx e e

5. 0)3()( 3232 yxxy

3. y =

3cos

12 3

xx 6.

ty

ttx

2sin

2cos21

3


1. y =2 (5 3)5ctg x 4. y =

3(ln3 )

arctg xx

2. y =2

231

1xx e

x

5. 522

32

32

yx

3. y = 22 4

91

34 xx

xx

6.

arctgttytx

63

3

3

21


1. y = xtgx

xarctg 13 2 4. y =

sin2ln(cos(7 ))x

x

2. y =2 22 1 ln 35x xx e 5. 0sincos 33 xyy

3. y =x

arctg 1ln3 3 6.

tytx

5arcsin)1arccos( 3


1. y =3

arcsin 22 1 arccos3

x x

4. y =5ln11

x

x

2. y = 7 5 323cos xxxe x 5. 3ln2

y

xy

3. y =xx

2cos2sin 4

6.

tttytttx

cossinsincos


1. y = ctgxx

3sin5 2 4. y =

32( )x tg xx e

2. y =xx

2sincosln

4

5. 102 yxe y

3. y = arcsin5 22

x xarctg 6.

1

1

2ty

tt

x


1. y = 5 3)sin3( xx 4. y =1cos

(1 ) xx

2. y =2

22 43cos

lnxx ctge

x 5. yxy arcsin33

3. y = )ln(5 2 xxarctg 6.

tgty

ttx cos

22


1. y = )5

arcsin(cos31 3 x 4. y =

73ln xx

2. y = 25 lnxtg

x 5. 1)sin( 2 yyx

3. y = x

x

ee

3

5

1 6.

tty

ttx

cos

sin


1. y = 2 3sincos2 3

5

xx xtg 4. y =

2 2(1 2 )x x

2. y = 73cos25 xe x 5. yxyx 102

3. y = )ln(4 xxarctg 6.

tyex t

ln53 5


1. y = ln5sin3 2x 4. y =

52 sin(3 ln ) xx

2. y = 5 ln(2 3) x xx ex

5. )cos(4 24 xyyx

3. y = 3sin(ln 2)2

x xctg 6.

tarctgy

tx 13 2


1. y = 3)53cos( ln2 xctgx 4. y = 7 ln( ) xx x

2. y = 5 3

2 cos5cos 7

tgxxx 5. 22 ytgyx x

3. y = 51

sin10arctg xx e 6.

ttytx

sin31

2

23


1. y = 52

cos25ln

xx xx 4. y = xxx

1

)3cos2(

2. y = 3)ln( xarctg 5. 1arccos 2 xyy

3. y = 3 24

7ln3arcsin3 xtgx 6.

tctgty

tx2

3ln


1. y = 5 1 xxe 4. y = 55 log( cos )x xe x

2. y = 5 2 3(2 3) 5 xx 5. 3)sin( yxyyxarctg

3. y = 123 xtg

x

6.

ttytex t

sinarcsin


1. y = xxxx ln)ln( 33 4. y =2

8(1 sin 7 ) xx

2. y =2

53 3cos3x x

x

5. yxarctgy 2

3. y = 513

2

x

xtg 6.

ttytx

cossin2

2


1. y = 22x

e arctg x 4. y =3 2

(3 ln )x xx

2. y =5

cos10ln 4 xxtg 5. yxarctgy sin

3. y =3

3 3 73 ( )2 1

ctgxxx e

x

6.

tyttx

2cos3sin2

24


1. y = 32 )3(arcsin xx 4. y =57 ln( 7 ) xtg x x

2. y = ln2

27log ( 1) 7 xx

e 5. 13 xyy

3. y = xx

xarctg 2cos391

32

6.

ctgttgty

ttx cossin


1.y = 6 3)ln(sin xx 4. y = 23 2

)1( xxctg

2.y = )1ln(52

23

xxxe x

5. xyx 33 sin2

3.y = 54 )2(arcsin3 x 6.

321cos5 2

tgtytx


1. y = )2cossin( 3 xx 4. y = sin(3 1) xx

2. y = 7ln 33log (3 5)

lnx x

x 5. )cos(30( yxxytg

3. y = xarctgxx 222 6.

tty

tx22 cos3

21


1. y =x

xtgx

sin)5ln2( 4. y =

xe

x

2

2sin1

2. y = )15(log2 2

3 xxarctg 5. 5cos)( 22

x

yxyx

3. y = 377 )( xx exxe 6.

ttytx

ln3arcsin

3


1. y = 5

3 cos2log ( 1) (ln3) xx x 4. y =2ln(3 cos ) xx

2. y = xarctgx

x 7sin)1(

323

5. 0)(cossin 22 xyy

3. y =3ln 1 42

xtg

6.

ttyttx

3cossin53

25

Завдання 6. Знайти похідні другого порядку від заданих функцій. Варіант № 1 Варіант № 2

1. 21y x x 1.

21xy

x

2. xye xy 2. ln( ) 0xx y arctgy

3.2arcsin( 1)

arccos 2x ty t

3.

2

3cos4sin

x ty t


1. ln xyx

1. xy xe

2. 2 2( ) ( 3 ) 0x y x y 2. ln 2 0x x yy

3.3

3

2cos4sin

x ty t

3. 2cos cos 2

2sin sin 2x t ty t t


1. 2(1 )y x arctgx 1.23 xy x e

2. sin( ) 0y x y x 2. ( ) 2 0arcctg x y x y

3.32

lnx t ty t

3.

ln1 12

x t

y tt


1. 21 arcsiny x x 1. 2 lny x x 2. ( 2 ) 3 0tg x y x y 2. y x arctgy

3. 2

11

1

xt

tyt

3. cos sinsin cos

x t t ty t t t

26


1.1xy xe

1. 2siny x x

2. sin(2 ) 2 3 0x y x y 2. ( 3 ) 0xye x y

3. 2 lnx ctgty tgt ctgt

3.

2

1cos

x ctgt

yt


1. sinxy e x 1. 2arcsiny x 2. ( ) 0tg x y xy 2. x ye e y x

3.2

3

2

3

x tty

t

3. (1 sin )cos

xy


1. 2(5 1)sin 2y x x 1. 2ln(1 2 cos )y x x 2. x yx y e 2. 2 2 0x y xy

3.2

arcsin

1

x t

y t

3. cos 2cos 2

sin 2cos 2

x a t t

y a t t


1. 2 2xy x e 1.2

1xy

x

2.2 2

2 2 1x ya b

2. ln ln 1x y y x

3.2

arcsinln(1 )

x ty t

3. cossin

t

t

x e ty e t


1. 2 2 21 21 1 arcsin3 3

y x x x x x 1.2

(2ln 3)4xy x

2. arcsiny x y 2. 2 cos( )x y xy

3. 3cos4 ln

x ty t

3 .

2

2

11

1

x tty

t

27


1. 1 2sin 3 cos39 27

y x x x 1. cos3xy e x

2. 2 10yxe x 2. ln 0yyx

3.2

arccosx t

y t t

3.

2

2

11

1

x tty

t


1. 3 2ln 1y x 1. ( ) lnf x arctg x 2. xy ctgy 2. 2 22 1 0x xy

3.3

31

3

x e

y e

3.

lnln

x t tty

t


1. 2( ) (3 4) xf x x e 1. 2( ) ln(2 7)f x x 2. cos( )y x y 2. 3 3 3 0y x xy

3.ln

11

x t

yt

3.2

(2 1)

tx ey arctg t


1. 2

13 2

yx x

1. 22 arcsin2 2x xy x

2. ye xy e 2. 2 2 3 0y xy

3. 2ln 2cos2

2sin

tx ctg t

y t

3.2

2

2

1

1

txt

tyt

28


1. 2( )y arctgx 1. 3

11

yx

2. lny x y 2. cos( )xy x

3.3

2

1

3 12 2

txt

yt t

3.24

22sin 3cos

tx tg

y t t


1. 2( ) sin 5xf x e x 1. arcsin2xy

2. 3 3 3 1y y x 2. 3 2 2 0x x y y

3.2

2

2

2111

txttyt

3.

sin1 cos

cos1 cos

x

y

Завдання 7. Знайти границі функцій за правилом Лопіталя.


1.)2sin(

22lim23

2

xxxx

x 1.

xxxee xx

x sin2lim

0

2.2 3

0lim

sin

x x

x

e ex

2.2

0

1limln(1 2 )

x

x

ex

3.x

xarctgx

2lim 3. x

xx 2lim


1.0

limsinx

tgx xx x

1. )1ln(

1sinlim0 x

xe x

x

2.

xtgx

x 2)1(lim

1

2.

xtgx

x sin11lim

2

3. xx

ctgx ln1

0)(lim

3. x

xx

11

1lim

29


1.x

xx

ln22lim

1. 30

)1(sinlimx

xxxe x

x

2. xtgxx

)12sin(lim21

2.

1212

lim2

2

3

xx

xx

x

3.x

xx

1

0arccos2lim

3.

12lim(2 )

x

tg xx


1.x

xx

x cos2

sin2

coslim

2

1. 22

2

0 sin)cos1(2lim

xxx

x

2.2

0

1limln(1 2 )

x

x

ex

2.

22 41

24lim

xxx

x

3.1

2lim

4x

tg x

tg x

3.x

xarctgx

ln1

2lim


1. xx exx

3cos)1ln(lim

2

0 1.

xxx

x

2112lim

3

1

2.

tgxx

x 2lim

2

2.

1lim

3x

xex

3.1 0

3ln(2 2)lim ( 1)

x

xx

3.0

1cossinlim

x

xxx


1.)1ln(

2lim 2x

arctgx

x

1.x

xx 3cos

sin21lim6

2.0

1 cos3lim1 cos5x

xx

2. 2

0lim 1 x

xe ctgx

3. 2

0

1lnlim( )

xxctgx

3.

1lnlim (ln 2 )

xxx

30


1.x

tgxx

x 4cos121sin

lim2

4

1. 1ln

1lim1

xx

x x

x

2.0

lim(1 cos 2 ) 4x

x ctg x

2. 20

1 1limsinx x x x

3. 2

0

13lim x

xxe x

3.

2

0lim(cos )x

ctg xx


1.23)2arcsin(lim

22

xx

xx

1.4 3

34

1 12lim

xxxx

x

2.

xctgx

xx 20

1lim 2.2

)(lim xtgxx

3.2

2lim(cos )x

xx

3.

0

13ln( 1)lim( )

x

xex


1.x

xxxx 30 sin

cossinlim

1.1cos

coslim2

0 xxx

x.

2.

17

15lim 751 xxx

2.

2ln

12

lim2 xx

xx

3. xx

x ln215

0lim

3. x

xxx sin

12

0)1(lim


1.21 21

ln1limxxxx

x

1.5

0

1lim1 cos

x

x

ex

2. )3(lim0

xxctgx

2. 5

0lim (1 )x

xe ctgx

3. 2

0

1sin 3lim(cos2 )

xxx

3.

1

1sin 2lim(ln )x

xx

31


1.2

2

11lim

2x

xearctgx

1. 2

2

1 16

sin41lim

x

x

x

2. ctgxxx

)cos1(lim0

2.

xctg

xx

220

1lim

3. xx

ex1

0)ln(lim

3.

x

x x

3

0

1lnlim


1.

xx

x

1sinlim 1.xtg

xx

2

41

1cos2lim

2. 4lim3

x

x

ex

2. )]1ln([lnlim01

xxx

3. 2

0

1

lim(1 sin )x

tgxx

3.0

lim(1 cos )x

xx


1. 20

1sin1limx

xxx

1.xx

xtgxx

20

24lim

2.

arctgx

xx

2ln

)1ln(lim2

2. )ln(lim 2

0xx

x

3.

xxx

x ln1

14lim

1 3. 2

1

21lim

xxx


1.xx

x cos1cos1lim

0

1. 3

2

0 2sinsin3lim

xxxx

x

2.

111lim

0 xx ex 2.

11

ln1lim

1 xxx

3.2

2

ln1lim 1x

x

x

3.2

32

lim2x

xtg

x

32


1.x

xx 5sinln

4lnlim0

1. 20

)21ln(2limx

xxtgx

2. xarctgxx

ln)2(lim

2.

xtgxxx 21

21lim 20

3.0

31 5lnlim

xxx

3. 2

2

54lim(3 )

xxx

Завдання 8. Скласти рівняння дотичної та нормалі, проведених до кривої

( n - номер варіанта).

а) xny ne у точці перетину з віссю Oy ;

б) 2 2 2 02nx y nx y n у точках її перетину з віссю Ox ;

в) sin1 cos

x nt nty nt

у точці , де

2t

n

.

Завдання 9. Знайти найбільше та найменше значення функції y = f(x)

на відрізку [a;b].

1. 2ln( 2 2), 0;3y x x 16. 24 , 1;3x xy e

2. 2

3 , 0;51

xyx

17. 5

4

8 , 3; 1xyx

3. 2

2 1 , 0,5;0( 1)

xyx

18. 2 1

, 1;2x

x

ey

e

4. 1( 2) , 2;2xy x e 19. 2ln , ;1y x x e 5. 2ln( 2 4), 1;1,5y x x 20. 3 1, 4;0xy x e

6. 3

2 , 1;11

xyx x

21. 2 12 2( 1) , 1;3y x x x

7. 31 , 1;2xy

x

22. 3 2 4( 1) , ;3

5y x x

8. 3 , 2;2y x x 23. ln , 1;4xyx

9. 2

4 , 0;1xy e 24. 4 33 16 2, 3;1y x x

10. 3

2

4 , 1;2xyx

25. 5 4 35 5 1, 1;2y x x x

11. , 2;0xy xe 26. (3 ) , 0;5xy x e

12. ( 2) , 2;1xy x e 27. 3 cos , 0;2 2

y x

33

13. ( 1) , 0;3xy x e 28. 4108 , 1;4y x x

14. 2 , 2;29

xyx

29. 4 30, 25 6 7, 16;20y x x

15. 11 ln , ;xy e ex

30. 26 , 3;3x xy e

3 ВАРІАНТИ ПІДСУМКОВОГО ЗАВДАННЯ

Провести повне дослідження функцій та побудувати їх графік.


1. 2 1xy

x

1.

2

3

( 2)1

xyx

2.xey

x 2. 2ln(2 3)y x

3. 2 1y x x 3.2 4xy

x


1. 2( 1)

xyx

1. 2

2 1( 1)

xyx

2. 3 xy x e 2. 2y x arcctgx

3. 3 2 3y x x 3.23 ( 2)

xyx


1.2

2 1xy

x

1.

3

22( 1)xy

x

2. ln( 1)y x x 2. 2y x arctgx

3.24 1xyx

3. 2( 1) 1y x x


1.3 16xy

x

1.22

1xyx

2. 2

11xy

e

2. 2 lny x x

3. 23 ( 1)y x x 3.2

2

84

xyx

34


1.3

2

14

xyx

1. 2

21

yx x

2. 1ln2

xyx

2. 2 lny x x

3. 23 ( 1)y x x 3.3 1

xyx


1.3

2 2 3xy

x x

1.

3 1xy x

x

2. 2ln( 4)y x x 2. 2( 1) xy x e

3.2

2

3 104 1xy

x

3. 3( 1)y x x

Варіант № 13 Варіант №14

1.3

2

82

xyx

1. 2

44

xyx

2. 2 xy x e 2. ln1

xyx

3. 23 ( 3)y x x 3.2

2

2 91

xyx

Варіант № 15 Варіант №16

1.3

2 4xy

x

1. 2

12

yx x

2. 2xy xe 2. 2( 4) xy x e

3. 2 23 ( 4)y x 3.23

2

( 1)xy

x


1. 2

1236xy

x

1.

3

2 9xy

x

2. 2ln( 2 2)y x x 2. y xarctgx

3.2

2

14 3xy

x

3. 3 2( 1)y x x

35


1.34 5xyx

1.3

2

27( 3)xyx

2. 1ln1

xyx

2.1

2 xy e

3. 3 31y x 3.2

2

33 2xy

x


1.2 1xyx

1.2

3

91

xyx

2. xy x e 2. lny x x

3.3 2 1

xyx

32 4

2xy

x


1.2 2 2

1x xy

x

1.2

2 4xy

x

2. ln cosy x 2. ln(1 )xy e

3.2

2

29 4

xyx

3. 3 23 ( 1)y x x


1. 2

8( 4)

yx x

1.2 5

3xyx

2. 2ln( 1)y x x 2.1

x

x

eye

3. 23 (3 )y x x 3.2

2

169 8xy

x


1.3 2 1

xyx

1.3

2

1xyx

2. 22( 4) xy x e 2. 2lny x x

3. 3 3 4y x x 3.3 2

2xy

x

36


1. 2

12

xyx x

1.

4 3xyx

2. 1 ln xyx

2. 1lny e

x

3.2

2

2 12

xyx

3.

2

22

xyx

4 ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ ПІДСУМКОВОГО ЗАВДАННЯ

Завдання 1. Дослідити функцію y = 2

2

11

xx

та побудувати її графік.

1 Область визначення: 1x , тобто D(y) = );1()1;1()1;( .

2 Функція є парною: y(−x) = 2 2

2 21 ( ) 1 ( )1 ( ) 1

x x y xx x

, тобто виконується

рівність y(−x) = y(x), одже, графік функції симетричний відносно осі Оу. 3 Точки перетину з осями координат:

з віссю Оу: 0x y(0) = 10101

2

2

, т.е. А(0;1) – точка перетину з Оу;

з віссю Ох: 0y , рівняння 2

2

1 01

xx

не має розв’язків, тобто графік функції

не перетинає вісь Ох. 4 Поведінка функції на нескінченності.

Обчислюємо 2

2

1lim lim 11x x

xyx

, тобто пряма y = -1 – горизонтальна

асимптота при x . 5 Пряма х = 1 – вертикальна асимптота, так як

2

2

01 11lim

xx

x і

2

2

01 11lim

xx

x;

пряма х = -1 теж є вертикальною асимптотою, так як графік функції симетричний відносно осі Оу, або

2

2

01 11lim

xx

x і

2

2

01 11lim

xx

x.

Знайдемо похилі асимптоти, які визначаються за допомогою рівняння y = bkx .

Знайдемо параметри k і b. 2

2 2( ) 1 2 2lim lim lim lim 0

(1 ) 1 3 6x x x x

y x x xkx x x x x

2

2

1 2lim ( ( ) ) lim lim 11 2x x x

x xb y x kxx x

37

Таким чином, отримаємо рівняння похилої асимптоти у вигляді 1y .

6 Інтервали монотонності та екстремуми.

Знайдемо )(xy : ;)1(

4)1(

)2)(1()1(22222

22

xx

xxxxxy

0y , якщо 0x та y не існує, якщо 1,x тобто критичною є тільки точка 0x , оскільки точка 1x не належить до області визначення функції.

На інтервалах ( ; 1) та ( 1;0) функція спадає, оскільки тут )(xy 0. На інтервалах (0;1) та (1; ) функція зростає, оскільки тут 0)( xy .

1)0(min yy , тобто точка В(0;1) – екстремальна. 7 Інтервали опуклості й угнутості та точки перегину. Знайдемо )(xy

32

2

42

222

22 )1()31(4

)1()2()1(24)1(4

)1(4))(()(

xx

xxxxx

xxxyxy

На інтервалах ( ; 1) та (1; ) графік функції опуклий, так як тут .0)( xy На інтервалі )1;1( графік функції угнутий, так як .0)( xy Точок перегину немає.

-1

1

0

-1

1

y

y

38

Будуємо графік функції:

Завдання 2. Дослідити функцію y = 3 23 2xx та побудувати її графік. 1 Область визначення: ;Rx тобто D(y) = );( . 2 Функція загального вигляду, так як )()( xyxy . 3 Точки перетину з осями координат: з віссю Oy : 0x y(0) = 00203 23 , тобто А(0;0) - точка перетину з Oy . з віссю Ox : 0y , рівняння 0 = y(x) = 3 23 2xx має розв’язок 0x та 2x ,

тобто А(0;0) та В(2;0) – точки перетину з Ox . 4 Поведінка функції коли x .

Обчислюємо:

3 23 2lim xxx

. 5 Знайдемо похилі асимптоти, які визначаються рівнянням

y = bkx . Знайдемо параметри к і b.

1

21lim2lim)(lim

33 23

x

xx

xxx

xxyk

xxx

)0(121lim)()2(lim))((lim 33 23

xxxxxkxxyb

xxx

32

21

1lim32

1

2

213

1

lim00

1

121lim

3

2

2

2

3

2

3

xx

x

x

x

xxxx

.

1y

1x 1x

1 1

1

1

39

Таким чином, отримуємо рівняння похилої асимптоти у вигляді

32

xy або 0233 xy .

Вертикальних асимптот графік функції не має, оскільки D(y)= );( . 6 Для дослідження функції на монотонність та екстремуми

знайдемо )(xy :

;)2(3

43)43()2(3

13 223

22

3 223 xxxxxx

xxy

0y , якщо 0x і 34

x , y не існує, якщо 0x та 2x .

Критичні точки: 0x , 34

x і 2x . Точка 2x - не екстремальна,

оскільки y не змінює знак під час проходження через цю точку.

На інтервалі

34;0 функція спадає, оскільки тут )(xy 0.

На інтервалах ( ;0) і 4;2 (2; )3

функція зростає, оскільки

тут 0)( xy .

058,13

4234 3

min

yy , тобто С

342;

34 3

– точка мінімуму.

0)0(max yy , тобто G (0;0) – точка максимуму. 7 Для дослідження функції на опуклість та угнутість та на наявність точок

перегину знайдемо )(xy :

3 423

3 23

223 223

3 223

2

)2(23

)43(2)43()2()46(

31

)2(343))(()(

xxxxxxxxxxx

xxxxxyxy

=3 23

2

3 523

2

298

)2(38

31

xxx

xx

x

0

34

2

y

40

На інтервалах ( ;0) і (0;2) графік функції угнутий, оскільки тут .0)( xy На інтервалі );2( графік функції опуклий, оскільки тут .0)( xy Під час проходження через точку 2x друга похідна змінює знак, отже,

(2; (2)) (2; 0)y – точка перегину. Будуємо графік функції:

5 ВАРІАНТ МОДУЛЬНОГО КОНТРОЛЮ ТА ЗРАЗОК ЙОГО

ВИКОНАННЯ

Варіант МК Частина перша (тестова)

1 Яка з даних функцій є явно заданою в декартовій системі координат хОу?

А) у =sin( )xy + 1; Б) y = 2хе +3; В) r = 5cos ; Г)

1715

tуtх .

2 Обчисліть 132358lim 2

3

xxxx

x.

А) 8; Б) ; В) 0; Г) 4.

0

2

2

34 2 4;

3 3

0233 xy

3 23 2y x x

y

41

3 Функція 2

х

хy в точці х = 2

А) терпить усувний Б) терпить неусувний розрив I роду; розрив I роду; В) терпить розрив Г) є неперервною I I роду;

4 Похідною функції y = f(x) у точці х є А)

xyy

x

0

lim ; Б) xyy

; В) x

yyx

0

lim ;

Г) xyy

x

0

lim (якщо границя існує).

5 Обчисліть )(xf , якщо 94)2(3)( xxсоsxf . А) 2х +3; Б) 74)2sin(3 хx ; В) 4)2sin(6 x ; Г) 2.

6 Якщо 2( ) 7 1f x x в D (f), то функція f(x) в D (f) А) монотонна; Б) має точки розриву; В) має екстремуми; Г) стала.

7 Графік функції 324 xxy є: А) всюди опуклим; Б) всюди угнутим;

В) при ( ,0) опуклим.при (0; ) угнутим.

х єx є

Г) при ( ,0) угнутим.при (0; ) опуклим.

х єx є

Частина друга 1 Достатня умова зростання функції ( )y f x на проміжку(з доведенням).

2 Знайти 3

0

1 coslimsin cosx

xx x x

.

3 Знайти екстремуми функції: 1ln2

xyx

Розв’язання:

Частина перша (тестова) 1

1 2 3 4 5 6 7 Б Б Г Г В А А

2 3

2

8 5 3lim2 3 1x

x xx x

(за правилом Лопіталя) =

224 5 48lim lim4 3 4x x

x xx

.

3

2 0 2 0

1lim lim (2)2x x

y y y

, тобто за означенням функція неперервна в

точці х = 2 .

42

4 limx

yyx

(якщо границя існує).

5 ( ) 6sin(2 ) 4f x x .

6 Функція f(x) не є сталою, оскільки її похідна залежить від аргументу x. )(xf >0 для всіх x , тобто функція зростає в ( )D y і не має екстремуму.

7 ( )D y .

24 3 xy , 2( ) 12y x x ; ( )y x > 0 при x , тобто графік функції ( )y f x є всюди опуклим.

Частина друга

1 Достатня умова зростання функції ( )y f x на проміжку. Теорема. Якщо похідна диференційованої на проміжку ;a b функції, додатна для a < x < b , то функція зростає на цьому проміжку. Доведення.

Нехай ( )f x > 0, де a < x < b . Розглянемо будь-які значення 1x та 2 ;x a b такі, що 1x < 2x . За теоремою

Лагранжа про скінченні прирости маємо: 2 1 2 1( ) ( ) ( )( ),f x f x f x x де 1 2( ; )x x За умовою ( )f > 0, звідси випливає, що 2 1( ) ( )f x f x > 0, а це означає, що

( )f x – зростаюча функція. Теорему доведено.

2 Знайти 3

0

1 coslimsin cosx

xx x x

.

Перший спосіб:

3

0

1 coslimsin cosx

xx x x

22

0 0

2sin0 (1 cos )(1 cos cos ) 2lim 3lim0 sin cos sin cosx x

xx x xx x x x x x

=

2

222 0

sin 2 343lim2sin

2 4x

xx xx x x

.

43

Другий спосіб:

3

0

1 coslimsin cosx

xx x x

3

0

1 cos2limsin 2x

xx x

( за правилом Лопіталя) =

=2

0

3cos sin 02limsin 2 2 cos 2 0x

x xx x x

=0 0

sin 2 cos 2cos 2 cos sin 2 sin 2 33lim 3lim 3sin 2 2 cos 2 2cos 2 2cos 2 4 sin 2 4 2x x

x x x x x xx x x x x x x

.

3 Знайти екстремуми функції 1ln

2xyx

( ) :D y 12

xx

> 0

2

( 1)( 2)>0( ; 2) ( 1; )

( 2)( 2 1) 1( )( 1)( 2) ( 1)( 2)

x xx

x x xy xx x x x

Критичних точок функція не має, оскільки ( )y x > 0 при ( )x D y , тобто функція скрізь зростає в області визначення. Екстремумів функція не має. Для ( )y x маємо:

6 ПЕРЕЛІК ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

Варіант 1

1.1 Яка з даних функцій є явно заданою в декартовій системі координат хОу?

А) у = sin(xy) + 1; Б) y = 2хе +3; В) r = 5 cos ; Г)

1715

tуtх .

1.2 Яка з даних функцій є неявно заданою в декартовій системі координат хОу?

А) у = cos(x+2y) - 3; Б) y = x +2; В) r = 3 cos ; Г)

1713

2tуtх .

-2

-1

Ох

44

1.3 Яка з даних функцій є параметрично заданою?

А) у = 3x + 1; Б) y = )( yxtg +2; В) r = sin3 ; Г)

1713

tуtх .

1.4. Дано функцію 211)(

3

xxxf . Знайдіть f (0).

А) 3; Б) -3; В) 0; Г) 4. 1.5 Визначте, які з наданих функцій є парними

А) xxxf 3)( ; Б) 23 3)( xxxf ; В) 42 4)( xxxf ; Г)

35)(

x

xf .

1.6 Визначте, які з наданих функцій є не парними А) xxxf 33)( ; Б) 23)( 3 xxxf ;

В) 235)( xxf ; Г) 3

52)(

x

xf .

1.7 Назвіть координати точки перетину графіка функції )1ln()( xxf з віссю абсцис?

А) (0;1); Б) (1; 0); В) (1;1); Г) (0;0). 1.8 Назвіть координати точки перетину графіка функції 53)( 2 xxxf з

віссю ординат? А) (0;0); Б) (5; 0); В) (0;5); Г) (5;5).

1.9 Знайдіть область визначення функції х

хy

3

.

А) (3; ); Б) 3; ); В) (-3; ); Г) (-; 3. 1.10 Знайдіть область визначення функції

25

х

хy .

А) (2; ); Б) 2; ); В) (-; 2) (2; ); Г) (-; 2.

2.1 Обчисліть 132358lim 2

3

xxxx

x.

А) 8; Б) ; В) 0; Г) 4.

2.2 Обчисліть 34

3lim 23

xxx

x.

А) 2; Б) ; В) 21 ; Г) 0.

2.3 Обчисліть )3)25(ln(lim xxx

.

А) 8; Б) + ; В) 3; Г) 4.

2.4 Обчисліть x

xx 2

)3sin(lim0

.

А) 3; Б) ; В) 23 ; Г) 1.


3

53723lim

xxx

x

.

А) 53 ; Б) ; В) 3; Г)

53

.

45


2

73724lim

xxx

x

.

А) 8; Б) ; В) 0; Г) 3.


3lim xx

.

А) 3; Б) ; В) 0; Г) 5.


e x

x

1lim3

0

.

А) 3; Б) ; В) 0; Г) 3.


xx 9

3lim9

.

А) 8; Б) ; В) 0; Г) 4. 2.10 Обчисліть )25(lim 23 xx

x

.

А) 5; Б) + ; В) 2; Г) 0. 3.1 Функція

2

ххy у точці х = 2

А) терпить усувний Б) терпить неусувний розрив I роду; розрив I роду; В) терпить розрив Г) є неперервною. I I роду;

3.2 Функція 3

1

х

y у точці х = 3

А) терпить усувний Б) терпить неусувний розрив I роду; розрив I роду; В) терпить розрив Г) є неперервною. I I роду;

3.3 Функція хеy1

в точке х = 0 А) терпить усувний Б) терпить неусувний розрив I роду; розрив I роду; В) терпить розрив Г) є неперервною. I I роду;

3.4 Функція , при 1

ln , при 1х х

yx х

в точці х = 1

А) терпить усувний Б) терпить неусувний розрив I роду; розрив I роду; В) терпить розрив Г) є неперервною; I I роду;

3.5 З наданих функцій

1) 3

2

х

ху ; 2) 62

3

х

у ; 3) 322 хху ; 4) 3 хеу ; 5) хеу 31

неперервними в точці х = 3 є: А) 1; 2; 5; Б) 1;2;3; В) 1;3;4; Г) 1; 3;5.

46

3.6 З наданих функцій 1) 1sin xy ; 2) xy cos ; 3) tgxy ; 4) xey ; 5) xy sin .

еквівалентними нескінченно малими при 0x є: А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 3 і 5; Г) 1 і 4.

3.7 Якщо

)(lim xfax

, то функція у = f(x) у точці х = а є: А) нескінченно великою; Б) нескінченно малою; В) обмеженою; Г) сталою.

3.8 Якщо 0)(lim

xfax

, то функція у = f(x) у точці х = а є: А) нескінченно великою; Б) нескінченно малою; В) необмеженою; Г) обов'язково неперервною.

3.9 Які з пар функцій f(x) і g(x) є еквівалентними нескінченно малими при 0x ?

А) ( )( ) cos

f x xg x x

; Б) xxg

xxfsin)(

)( ; В)

xxgxxfsin)(

2)(

; Г) xexgxxf

)()(

.

3.10 Будь-яка неперервна на [a; b ] функція f(x) : А) диференційована на [a; b ] ; В) обмежена на [a; b ] ; Б) має корінь на [a; b ] ; Г) монотонна на [a; b ]

4.1 Похідною функції y = f(x) у точці х є: А)

xyy

x

0

lim ; В) x

yyx

0

lim ;

Б) xyy

; Г) xyy

x

0

lim ( якщо границя існує).

4.2 Якщо u(x) і v(x) - диференційовані в точці х, то похідна їх добутку обчислюється за формулою:

А) vuuv )( ; Б) uvvuuv )( ; В) vuvuuv )( ; Г) vuvuuv )( .

4.3 Якщо u(x) та v(x) - диференційовані в точці х, то похідна їх частки обчислюється за формулою:

А) vu

vu

; В) 2v

vuvuvu

;

Б) 2vvuvu

vu

; Г) 2v

vuvuvu

.

4.4 Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції xy 5sin в точці х = 0 дорівнює:

А) 1; Б) x5sin5 ; В) 5; Г) 0. 4.5 Шлях, пройдений тілом, заданий рівнянням 27)( 2 tts (м). Знайдіть

швидкість тіла через 2 секунди після початку руху. А) 2 м/с; Б) 28 м/с; В) 14 м/с; Г) 10 м/с.

5.1 Обчисліть )(xf , якщо 732)( 32 xxexf x . А) 2х +3; Б) 362 хе х ; В) 362 22 хе х ; Г) 2.

47

5.2 Обчисліть )(xf , якщо 74)2(3)( xxсоsxf . А) 2х +3; Б) 74)2sin(3 хx ; В) 4)2sin(6 x ; Г) 2.

5.3 Обчисліть )(xf , якщо 732)7ln()( 3 xxxxf .

А) 3х +3; Б) 361 х

x; В) 361 2 х

x; Г) 2х-7.

5.4 Обчисліть ))()(( xgxf , якщо 2( ) , ( )f x x g x x . А) 2х; Б) 3х; В) 3 2x ; Г) 1.

5.5 Обчисліть диференціал функції 25 3 xy . А) 15х ; Б) 215x ; В) dxx215 ; Г) 0.

6.1 Якого найменшого значення набуває функція 14 xy на відрізку -1; 1?

А) 0; Б) 1; В) –1; Г) –2. 6.2 Якого найбільшого значення набуває функція 14 xy на

відрізку -1; 1? А) 0; Б) 1; В) –1; Г) –2.

6.3 Якщо 2( ) 7 1f x x в D (f), то функція f(x) в D (f): А) монотонна; В) має екстремуми; Б) має точки розриву; Г) стала.

6.4 Для функції 37 4 xy точка х = 0 є: А) точкою максимуму; Б) точкою мінімуму; В) точкою розриву; Г) критичною, але не екстремальною .

6.5 Функція 145 13 xy x для всіх дійсних чисел є: А) сталою; Б) зростаючою; В) спадаючою; Г) незростаючою.

6.6 Функція 542 7 xxy для всіх дійсних чисел є: А) сталою; Б) зростаючою; В) спадаючою; Г) неспадаючою.


6.8 Функція 42 4 xy на проміжку (0;) є: А) сталою; Б) зростаючою в О.В.; В) спадаючою в О.В.; Г) неспадаючою в О.В.


6.10 Знайдіть критичні точки функції 35 2 xy . А) х = 1; Б) х = 0; В) х = -2; Г) критичних точок не має.

48

7.1 Графік функції 324 xxy є: А) скрізь опуклим; Б) скрізь угнутим;


х єx є


х єx є

7.2 Графік функції 253 xxy є: А) скрізь опуклим; Б) скрізь угнутим;


х єx є


х єx є

.

7.3 Для функції 47 5 xy точка х = 0 є: А) точкою перегину; Б) точкою мінімуму; В) точкою розриву; Г) точкою максимуму.

7.4 Для якої з даних функцій пряма х = 2 є вертикальною асимптотою?

А) 43 xy ; Б) 35 xey ; В) x

y

2

3 ; Г ) )1ln( xy .

7.5 Яка з даних функцій не має вертикальних асимптот?

А) x

y

1

3 ; Б) 2 xey ; В) 32

xxy ; Г) xy 2

1

2 .

7 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПІДГОТОВКИ

7.1 Введення в аналіз

1 Дайте означення границі змінної величини та границі функції. 2 Як пов'язане поняття границі функції з поняттями її границі зліва та

справа? 3 Дайте означення обмеженої функції. 4 Яка величина являється нескінченно малою і які її властивості? 5 Яка величина являється нескінченно великою і який вона має зв'язок з

нескінченно малою. 6 Доведіть основні теореми про границі. 7 Доведіть першу чудову границю. 8 Сформулюйте визначення числа е (друга чудова границя). 9 Дайте визначення неперервності функції в точці та на відрізку. Які точки

являються точками розриву функції. 10 Сформулюйте основні властивості функцій, неперервних на відрізку, та дайте геометричне тлумачення цим властивостям. 11 Покажіть, що при х → 0 нескінченно малі sinx, arcsinx, tgx, arctgx є попарно еквівалентними.

7.2 Диференціальне числення функції однієї змінної 1 Сформулюйте означення похідної. Який її геометричний і механічний

сенс? 2 Клас яких функцій є ширшим: неперервних в точці або диференційованих

в тій самій точці? Наведіть приклади.

49

3 Доведіть формули похідних суми, добутку, частки двох функцій. 4 Доведіть формули диференціювання основних елементарних функцій. 5 Сформулюйте правило логарифмічного диференціювання. Наведіть прклад. 6 Доведіть теореми про диференціювання складної та оберненої функції. 7 Дайте означення диференціала функції. Який його геометричний сенс? 8 На чому засновано застосування диференціала до наближених обчислень? 9 Дайте означення похідної і диференціала вищих порядків. 10 Який механічний сенс похідної другого порядку? 11 Сформулюйте та доведіть теореми Роля та Лагранжа. Який їх геометричний сенс? 12 Доведіть правило Лопіталя для розкриття невизначеностей вигляду 0/0. Назвіть різні види невизначеностей, для яких може бути використане правило Лопіталя. Наведіть приклади.

7.3 Дослідження функції за допомогою похідної 1 Дайте означення зростаючої та спадаючої на відрізку функції. Доведіть

достатню ознаку зростання функції. 2 Дайте означення критичної точки та точки екстремуму функції. Доведіть

достатню умову існування максимуму та мінімуму функції в точці. 3 Як знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку? Чи

завжди воно існує? 4 Дайте означення опуклості і угнутості кривої та точки перегину. 5 Сформулюйте достатню умову опуклості та угнутості, точок перегину

кривої, заданої рівнянням y= f(x). 6 Дайте означення асимптоти кривої. Як знаходяться вертикальні та похилі

асимптоти лінії, заданої рівнянням y= f(x)? 7 Викладіть схему загального дослідження функції та побудови її графіка.

50

СПИСОК ДЖЕРЕЛ ІНФОРМАЦІЇ 1 Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики – М.: Наука, 1975. 2 Щипачёв В.С. курс высшей математики – Изд. МГУ, 1981. 3 Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая математика. Под ред. П.Ф. Овчинникова – К.: Высш. Шк., 2001. 4 Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: «Банки и биржи», 1998. 5 Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова – М.: Инфра – М, 2000. 6 Мелентьєв Б.В., Оранська А.І., Харченко А.П.. Вища математика у прикладах і задачах. – Київ УМК ВО, I ч., 1994. 7 Мелентьєв Б.В., Оранська А.І., Харченко А.П.. Вища математика у прикладах і задачах. – Київ УМК ВО, II ч., 1994.

51

ЗМІСТ 1 Програма модуля…………………………………………………………………3 2 Варіанти індивідуальних домашніх завдань……………………………………4 Завдання 1…………………………………………………………………………4 Завдання 2…………………………………………………………………………4 Завдання 3…………………………………………………………………………5 Завдання 4…………………………………………………………………………8 Завдання 5…………………………………………………………………………17 Завдання 6…………………………………………………………………………25 Завдання 7…………………………………………………………………………28 Завдання 8…………………………………………………………………………31 Завдання 9…………………………………………………………………………32 3 Варіанти підсумкового завдання………………………………………………...33 4 Зразок виконання підсумкового завдання………………………………………36 5 Варіант модульного контролю і зразок його виконання....................................40 6 Перелік тестових завдань………………………………………………………43 7 Питання для самопідготовки…………………………………………………….48

“ВВЕДЕННЯ В АНАЛІЗ ...mathem-kstuca.ucoz.ua/liter/modul_analiz_ua.pdf · 1.3...

Documents