ผลการแปลงลาปลาซ - udon thani rajabhat university · 338 บทท 7...

บทที่ 7 ผลการแปลงลาปลาซ

(Laplace Transform)

ผลการแปลงลาปลาซเปนวิธีการหนึ่งที่ใชในการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ และเปนวิธีการที่ใชกันมาก ถือไดวาเปนวิธีที่เหมาะสมที่สุดวิธีหนึ่งที่ใชในการแกปญหาคาเริ่มตน เนื่องจากเราสามารถหาผลเฉลยเฉพาะไดเลยโดยไมตองหาผลเฉลยทั่วไปมากอน และยังใชกับปญหาคาขอบไดอีกดวย กอนจะกลาวถึงวิธีการนําเอาผลการแปลงลาปลาซไปใชในการหาผลเฉลย จะกลาวถึงนิยามและสมบัติตางๆของผลการแปลงลาปลาซ เพื่อความเขาใจในเบื้องตน

7.1 บทนิยามและการมีจริงของผลการแปลงลาปลาซ (Definition and Existence of the Laplace Transform)

บทนิยาม 7.1.1 ให )(tf เปนฟงกชันคาจริงซึ่งนิยามสําหรับคา 0t และ s เปนพารามิเตอรที่มีคาเปนจํานวนจริง หรือจํานวนเชิงซอน ถาปริพันธไมตรงแบบ (improper

integral) ste f(t)dt

0 นี้ลูเขาสู s บางคา แลวได )(sF เปนฟงกชันที่นิยามโดย

)(sF = ste f(t)dt

0 …………………… (7.1.1)

จะเรียก )(sF วาเปนผลการแปลงลาปลาซของ )(tf และ เขียนแทนดวยสัญลักษณ

)(sF = )(tfL = ste f(t)dt

0

ตัวอยาง 7.1.1 จงหา )(tfL เมื่อกําหนดให )(tf ดังนี้(1) )(tf = 1(2) )(tf = ate

(3) )(tf = atsin

วิธีทํา (1) 1L = 0

1ste dt

= R

lim R

st dte0

=

stde

s

Rst

R0

1lim

336 บทที่ 7 ผลการแปลงลาปลาซ

=

Rst

Re

s 0

1lim

=

1

1lim sR

Re

s

=

sse sR

R

1lim

นั่นคือ 1L = s1 , 0s Ans.

(2) ateL = 0

st ate e dt

= R

lim ( )

0

Rs a te dt

= R

lim ( )

0

1 s a tR

es a

= R

lim ( )1( 1)s a Re

s a

นั่นคือ ateL = as

1 , as Ans.

(3) atL sin =

0

sin atdte st

= R

lim R

st atdte0

sin

โดยเทคนิคการหาปริพันธทีละสวน (integration by part) จะได

atL sin = R

lim Rst

ataatsas

e

022

cossin

= R

lim

aRaaRsas

e

as

a sR

cossin2222

= 22 as

a

, 0s Ans.

ขอสังเกต ในการหา )(sF ซึ่งเปนผลการแปลงลาปลาซของฟงกชัน )(tf นั้นเปนการหาคาปริพันธไมตรงแบบของสมการ(7.1.1) และปริพันธนี้จะลูเขาหรือไมนั้น จะขึ้นอยูกับพารามิเตอร s และฟงกชัน )(tf จึงตองพิจารณาเงื่อนไขของฟงกชันที่จะทําใหหาผลการแปลงลาปลาซได

7.1 บทนิยามและการมีอยูจริงของผลการแปลงลาปลาซ 337

บทนิยาม 7.1.2 เราจะกลาววาฟงกชัน )(tf ตอเนื่องเปนชวง ๆ (sectionally or piecewise continuous)บนชวงปด ba, ถาเราสามารถแบงชวงปดนี้ออกเปนชวงยอยไดจํานวนจํากัด n ชวง จุดแบงตั้งแต nttt ,...,, 10 ที่ btttta n ...210 จะมีสมบัติวา

1) )(tf ตอเนื่องภายในแตละชวงยอย ii ttt 1 เมื่อ ni ,...,2,1 และ2) สําหรับจุดปลายของชวงยอย และเปนจุดที่ )(tf ไมตอเนื่องนั้น (เชนที่ itt ดัง

รูป 7.1.1) จะตอง หาลิมิตซาย

)(lim tf

itt และลิมิตขวา

)(lim tf

ittได (เปนจํานวนจริง

โดยไมคํานึงวา ลิมิตทั้งสองนี้จะเทากันหรือไม)

ใหสังเกตวา ฟงกชันตอเนื่องบนชวงปด ba, จะเปนฟงกชันตอเนื่องเปนชวง ๆ บน ba, ดวย

ตัวอยาง 7.1.2 พิจารณาฟงกชัน )(tf = 1 , 0 2

1 , 2

t

t

จากโจทยแสดงเปนกราฟไดดังรูป 7.1.2

จะเห็นวา )(tf ตอเนื่องเปนชวง ๆ บนชวง b,0 เมื่อ b เปนจํานวนจริงบวก นั่นคือถาเราแบงชวง b,0 ออกเปน 2 ชวงยอย โดยแบงที่ 2t แลว )(tf จะตอเนื่องภายในชวงยอย

t

f(t)

ta=t0 t1 t2 t3 tn-1 b=tn 0

รูป 7.1.1 กราฟแสดงฟงกชันตอเนื่องเปนชวง

1

-10 2 4

f(t)

รูป 7.1.2


นี้ และสําหรับจุดปลายของชวงยอยคือ ที่ 2t ฟงกชัน )(tf ไมตอเนื่อง แตเราสามารถหาคาลิมิตซายและลิมิตขวาของ )(tf ที่จุดนี้ไดเปนจํานวนจริง นั่นคือ

2

limt

)(tf = 1 และ 2

limt

)(tf = 1 Ans.

บทนิยาม 7.1.3 จะเรียกฟงกชัน )(tf วาเปนอันดับเลขชี้กําลัง (f is of exponential order) ขณะที่ t ถามีคาคงตัว และคาคงตัวบวก 0t และ M ที่ทําให

)(tf tMe ทุกคา 0tt

จะเขียนดวยสัญลักษณ )(tf = ( )tO e

จากบทนิยามเรา สามารถพิสูจนไดวา(1) ถา )(lim tfe bt

t

= คาคงตัว สําหรับบางคาคงตัว b แลว )(tf = )( bteO

(2) ถา bt

te

lim )(tf สําหรับทุกคาคงตัว b ซึ่ง แลว )(tf )( bteO

พิสูจน

(1) ถา lim ( )t

bte f t

= 0k ………………… (7.1.2ก)

ดังนั้น ถา t จะได

( )bte f t k2

)(tf btMe เมื่อ kM 2

แตถา 0k ให 1M

จะได )(tf bte นั่นคือ )(tf เปนอันดับเลขชี้กําลัง

(2) สําหรับทุกคาคงตัว c ให limt

cte

)(tf = ………………… (7.1.2 ข)

ถามี b โดยที่ )(tf btMe , 0tt

เลือก c = 2 b จะได bte f(t)2 btMe

เมื่อ t จะไดวา 2 0bte f(t) ซึ่งขัดแยงกับสมการ (7.1.2 ข) ดังนั้น )(tf จึงไมเปนอันดับเลขชี้กําลัง #

ตัวอยาง 7.1.3 จงแสดงวาฟงกชัน )(tf = 2t เปนอันดับเลขชี้กําลังวิธีทํา ให b เปนคาคงตัว และ 0b ดังนั้น

tlim bte )(tf =

tlim 2te bt


= t

limbte

t 2

= t

limbtbe

t2

= t

limbteb 2

2

= 0ดังนั้น )(tf = 2t เปนอันดับเลขชี้กําลัง Ans.

ตัวอยาง 7.1.4 จงแสดงวาฟงกชัน )(tf3te ไมเปนอันดับเลขชี้กําลัง

เมื่อ t

วิธีทํา ให b เปนคาคงตัว และ 0b จะไดเนื่องจาก

tlim bte )(tf =

tlim ( bte 3te )

= t

lim btte 3

ถา 0b จะไดวา 3lim t bte

t

ถา 0b จะไดวา ( )3 2lim limt bt t b t

e et t

นั่นคือ lim tbte f

t

สําหรับทุกคาคงตัว b

ดังนั้น )(tf3te ไมเปนอันดับเลขชี้กําลัง Ans.

กอนที่จะกลาวถึงทฤษฎีบทการมีอยูจริงของผลการแปลงลาปลาซ จะขอกลาวถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับ การลูเขาของปริพันธไมตรงแบบ โดยไมพิสูจน

ทฤษฎีบท 7.1.1 ใหฟงกชัน )(tf และ )(tg ตอเนื่องเปนชวงๆ บนชวงปดใดๆ ba, เมื่อ a เปนจุดคงที่ และ ab ถา f t t g สําหรับทุกคา at และถา ปริพันธ

tg dta

ลูเขา แลว tf dta

ลูเขาดวย ในทางตรงขาม ถา 0 ( ) ( )g t f t สําหรับทุกคา

t a และถา tg dta

ลูออก แลว tf dta

จะลูออกดวย

ทฤษฎีบท 7.1.2 การมีอยูจริงของผลการแปลงลาปลาซ (Existence of Laplace Transform) ถา )(tf เปนฟงกชันคาจริง และตอเนื่องเปนชวงๆ บนชวงปด b,0 ซึ่ง 0b และ

tt ef O เปนอันดับเลขชี้กําลัง ขณะที่ t สําหรับบางคา แลว จะมีผลการ

แปลงลาปลาซของฟงกชัน )(tf เสมอ สําหรับทุกคา s


พิสูจน เนื่องจาก )(tf เปนอันดับเลขชี้กําลัง ขณะที่ t และ )(tf = tO e ดังนั้นจะมีคาคงตัว 0,0 0 tM

ที่ทําให f t tMe

ste )(tf st αte Me = s α tMe

นั่นคือ

0

s α t

t

Me dt

= limR

R

t

ts dtMe0

)(

= R

lim

sMe ts )(

0t

R

= R

lim 0(M (s α)ts a)Re es α

= ( ) 0s tMe

s

, s

ดังนั้น ( )

0

s t

t

Me dt

ลูเขา เมื่อ s และโดยทฤษฎีบท 7.1.1 จะไดวา 0

st

t

e f t dt

ลูเขาเมื่อ s ดวย

และเนื่องจาก )(tfL =

0

)( dttfe st

= 0

0

)(t

st dttfe +

0

)(t

st dttfe

แสดงวา )(tfL มีอยูเสมอ เมื่อ s #

ตัวอยาง 7.1.5 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ )(tf เมื่อ )(tf =

4

40

,

,

5 t

tt

วิธีทํา )(tfL =

0

)( dttfe st

= 4

0

)( dttfe st +

4

)( dttfe st

= 4

0

dtte st +

4

5dte st

= 2

1st stte e

s s 0

4+

ste

s5

4

= 4

42 2

4 10

ss e

es s s

ses

450


= 4

4 42 2

4 1 5ss se

e es s s s

= 2

44

21

s

es

e

s

ss

นั่นคือ )(tfL = 2

44

21

s

es

e

s

ss Ans.

ขอสังเกต จะพบวา )(tf ไมนิยามที่ 0t และ 4t แตก็หาผลการแปลงลาปลาซได ในการหาผลการแปลงลาปลาซโดยบทนิยาม 7.1.1 นั้นคอนขางจะยุงยากและเสียเวลา

จึงไดรวบรวมผลการแปลงลาปลาซของฟงกชันไวในตาราง 7.1 สําหรับฟงกชันที่ไมมีในตาราง สามารถหาผลการแปลงลาปลาซโดยใชนิยาม หรือสมบัติของผลการแปลงลาปลาซที่จะไดกลาวในหัวขอ 7.2 ตอไป

ตาราง 7.1 ผลการแปลงลาปลาซของฟงกชัน )(tf บางฟงกชัน

)(tf )(tfL หรือ )(sF

1

t

,...2,1,0, nt n

ate

sin at

atcos

atsinh

atcosh

s

1 , 0s

2

1

s , 0s

1

!ns

n , 0s

as

1 , as

22 as

a

, 0s

22 as

s

, 0s

22 as

a

, as

22 as

s

, as


ตัวอยาง 7.1.6 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ )(tf ตอไปนี้1. )(tf = 7t

2. )(tf =

2

3cos

t

วิธีทํา 1. )(tfL = 7tL

= 8

7!

s = 8

5, 040

s , 0s

2. )(tfL = 3cos

2

tL

= 2

2 3

2s

s

= 94

42 s

s , 2

3s Ans.

แบบฝกหัด 7.1

1. จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชัน )(tf ในขอ 1.1-1.4

1.1 )(tf =

2

20

,

,

0

1

t

t

1.2 )(tf =

2

20

,

,1

t

t

t

1.3 )(tf =

t

t

t 0,

,

2sin

0

1.4 )(tf =

2

2110

,,,

02

tt

t

t

t

2. จงแสดงวาฟงกชัน )(tf ในแตละขอ 2.1-2.5 เปนอันดับเลขชี้กําลัง2.1 )(tf = 5t , 0s 2.2 )(tf = tt 4sin , 0s

2.3 )(tf = tt ln , 0s 2.4 )(tf = te t 2sin , 0s

2.5 )(tf = )1( teat , as

7.2 สมบัติที่สําคัญบางประการของผลการแปลงลาปลาซ 343

3. จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้3.1 t6sin 3.6 sin 2 t

3.2 3

2cos

t 3.7 cos t

3.3 4

1te

3.8 )3sin( t

3.4 tt 2 3.9 sinh 3t

3.5 tt ee 23 3.10 t5cosh

7.2 สมบัติที่สําคัญบางประการของผลการแปลงลาปลาซ (Some Basic Properties of Laplace Transform)

ทฤษฎีบท 7.2.1 สมบัติเชิงเสน ( The Linear property) ให 1f และ 2f เปนฟงกชันที่สามารถหาผลการแปลงลาปลาซได โดยที่ 1( )L f t

และ 2 ( )L f t หาคาได เมื่อ s และ s ตามลําดับ และให 1c , 2c เปนคาคงตัว จะไดวา )()( 2211 tfctfcL = 1 1c L f t( ) + )(22 tfLc .................. (7.2.1) เมื่อ max ,s

พิสูจน ให max ,s โดยบทนิยาม 7.1.1 จะได

)()( 2211 tfctfcL = dttfctfce st )()( 2211

0

=

0

11 )( dttfce st +

0

22 )( dttfce st

=

0

11 )( dttfec st +

0

22 )( dttfec st

= 1 1 ( )c L f t + )(22 tfLc #

ตัวอยาง 7.2.1 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชันตอไปนี้1. tet 25 2

2. 365sin23cos5 ttt

3. 3 2sin 5te t

วิธีทํา 1. tetL 25 2 = teLtL 25 2

= 2 1

2!5

s 1

12

s


= 3

10

s

1

2

s Ans.

2. 365sin23cos5 tttL = tL 3cos5 + 365sin2 tLtL

= 13222

!36

5

52

95

sss

s

= 422

36

25

10

9

5

sss

s

Ans.

3. 3 2sin 5tL e t = 3tL e + tL 5sin 2

= 3 te L e +

2

10cos1 tL

= 3 1 1

1 cos101 2 2

eL L t

s

= 3

2 2

1 1

1 2 2 10

e s

s s s

= 3 1

1 2

e

s s

)100(2 2

s

s Ans.

ทฤษฎีบท 7.2.2 สมบัติการเลื่อน (Shifting property ) ให )(tf เปนฟงกชันที่สามารถหาผลการแปลงลาปลาซได ถา )(tfL = )(sF

เมื่อ s และ a เปนคาคงตัว แลวจะได tfeL at = )( asF .................... (7.2.2) เมื่อ s a

พิสูจน เนื่องจาก )(tfL = )(sF =

0

)( dttfe st . s

ดังนั้น tfeL at = 0

tst ate e f dt

, s a

=

0

)( )( dttfe tas = )( asF #

ตัวอยาง 7.2.2 จงหาคาของ 5 3(4 )tL e t t

วิธีทํา ttL 34 = tLtL 34

= 24

1!34

ss

= 24

124

ss = )(sF

ดังนั้น tteL t 35 4 = )5( sF


= 4)5(

24

s 2)5(1

s

Ans.

ตัวอยาง 7.2.3 จงหาคาของ teL t 3cosh2

วิธีทํา tL 3cosh = 92 s

s = )(sF

teL t 3cosh2 = )2( sF

= 9)2(

22

s

s = 54

22

ss

s Ans.

ทฤษฎีบท 7.2.3 สมบัติการเปลี่ยนสเกล (Change of scale property) ถา )(tfL = )(sF

แลวจะไดวา )(atfL =

a

sF

a

1 ........................ (7.2.3)

พิสูจน เนื่องจาก )(tfL =

0

)( dttfe st = )(sF

และ )(atfL =

0

)( dtatfe st =

au

dufe au

s)(

0

)(

ให atu ,

au

ddt และ a

ut

= 0

1 suae f u du

a

=

a

sF

a

1 #

ตัวอยาง 7.2.4 กําหนดให

t

tL

sin =

s

1tan 1 จงหา

t

atL

sin

วิธีทํา เนื่องจาก

tt

Lsin =

s

1tan 1 = )(sF

ฉะนั้น

at

atL

sin =

a

sF

a

1

=

asa /

1tan

1 1 =

s

a

a1tan

1

เนื่องจาก

t

atL

a

sin1 =

at

atL

sin

ดังนั้น

t

atL

sin =

at

ataL

sin =

s

a

aa 1tan

1

=

s

a1tan Ans.


ทฤษฎีบท 7.2.4 สมบัติการคูณดวย nt ( Multiplication by nt ) เมื่อ ,...3,2,1n

ถา )(tfL = )(sF แลว )(tftL n = ( )( 1) ( )n nF s ........................ (7.2.4)

พิสูจน จาก )(sF =

0

)( dttfe st

โดยกฎของไลบนิทซ สําหรับการหาอนุพันธของปริพันธ และหาอนุพันธเทียบกับ s จะได

)(sFds

d = 0

( )stte f t dt

=

0

)( dtttfe st

= )(ttfL

ดังนั้น )(ttfL = )(sFds

d = )(sF

นั่นคือ สําหรับ 1n จะไดวา )(ttfL = )(sF โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร สมมติใหทฤษฎีบทนี้เปนจริงสําหรับ kn ที่เปนจํานวนเต็มบวกนั่นคือ )(tftL k = )()1( )( sF kk

หรือ

0

)( dttfte kst = )()1( )( sF kk

ดังนั้น ds

d 0

st ke t f ( t ) dt

= 11 k ( k )d( ) F ( s )

ds

kd -ste t f t dtds0

= 1k kd

F sds

dttftte kst

0

= sF kk 11

dttfte kst )(1

0

= )()1( )1( sF kk

dttfte kst )(1

0

= )()1( )1(1 sF kk

นั่นคือ tftL k 1 = )()1( )1(1 sF kk

แสดงวาทฤษฎีบทนี้เปนจริง เมื่อ 1 kn ดังนั้นทฤษฎีบทนี้เปนจริงสําหรับทุกคา n ที่เปนจํานวนเต็มบวก


หมายเหตุ กฎของไลบนิทซสําหรับการหาอนุพันธของปริพันธ กลาวไววา ถา ( , )F x t และ ( )

( )( , )

b x

a xF x t dt ตอเนื่องบนชวง I เมื่อ ( ), ( )a x b x อยูใน I แลว

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b x b x

a x a x

d db x da xF x t dt F x t dt F x b F x a

dx x dx dx

ตัวอยาง 7.2.5 จงหาคา ttL 3sin2

วิธีทํา tL 3sin = 9

32 s

ttL 3sin2 = 2

22)1(

ds

d

9

32s

=

9

32sds

d

ds

d

=

22 )9(

6

s

s

ds

d

= 42

222

)9(

)9(4)6()6()9(

s

ssss

= 32

22

)9(

24)9(6

s

ss

= 32

22

)9(

24546

s

ss

= 32

2

)9(

5418

s

s Ans.

ตัวอยาง 7.2.6 จงหา ttL 2cos แลวใชผลที่ไดหาคาของ

0

3 2cos tdtte t

วิธีทํา เนื่องจาก tL 2cos = 42 s

s

ดังนั้น ttL 2cos =

4)1(

21

s

s

ds

d

=

22

2

)4(

)2()4(1

s

sss

= 22

22

)4(

24

s

ss = 22

2

)4(

4

s

s

จากนิยาม ttL 2cos =

0

2cos tdtte st =

0

2cos tdtte st



0

2cos tdtte st = 22

2

)4(

4

s

s เลือก 3s

จะได

0

3 2cos tdtte t = 22

2

)43(

43

=

2)13(

5 = 169

5 Ans.

ทฤษฎีบท 7.2.5 สมบัติการหารดวย t ( Division by t )

ถา )(tfL = )(sF และ 0

( )limt

f t

t หาคาได แลวจะไดวา

t

tfL

)( =

s

duuF )( ........................ (7.2.5)

พิสูจน จาก )(sF = )(tfL =

0

)( dttfe st

นั่นคือ F(u) = 0

-ute f(t)dt


s

duuF )( =

s

ut dtdutfe0

)( = 0

( )ut

s

e f t dudt

=

0

)(t

etf

ut

dts

=

0

)(t

etf

stdt

=

0

)(t

etf

st

dt

=

0

)(dt

t

tfe st

=

t

tfL

)( #

ตัวอยาง 7.2.7 จงหาคาของ

t

tL

sin แลวใชผลที่ไดหาคาของ dttt

e t

2sin

0

3

วิธีทํา เนื่องจาก tL sin = 1

12 s

= )(sF


t

tL

sin =

s

duuF )( = duus

1

12

= u1tan

s


= s1tan2

จากนิยาม

t

tL

2

sin =

t

tL

sin

2

1 = dtt

te st sin

2

1

0

ดังนั้น dtt

te st sin

2

1

0

=

s1tan

22

1 เลือก 3s

จะได

0

3

2

sindt

t

te t =

322

1 =

62

1 = 12

Ans.

ตัวอยาง 7.2.8 จงหาคาของ dtt

ee tt

0

2 )(

วิธีทํา เนื่องจาก tt eeL 2 = tt eLeL 2

= 2

1

1

1

ss = )(sF


t

eeL

tt 2

=

s

duuF )( =

s

duuu 2

1

1

1

= )2ln()1ln( uu s

=

2

1ln

u

u

s

=

2

1lnlim

u

uR

s

R

= R

lim

2

1ln

2

1ln

s

s

R

R

=

2

1ln

s

s

=

1

2ln

s

s

ดังนั้น 2

0

t tst e e

e dtt

= 2ln

1

s

s

เลือก s = 0 จะได 2

0

t te edt

t

= ln 2 Ans.


ทฤษฎีบท 7.2.6 สมบัติผลการแปลงลาปลาซของอนุพันธของฟงกชัน (Laplace Transform of derivatives)

ถาฟงกชัน )(tf เปนอันดับเลขชี้กําลัง และเปนฟงกชันคาจริงที่ตอเนื่อง สําหรับทุกคา 0t และ )(tf ตอเนื่องเปนชวงๆ บนทุกชวงปด 0 t b แลวจะมีผลการแปลงลาปลาซของอนุพันธ )(tf เมื่อ s แลวจะได

)(tfL = ( ) (0)sL f t f ........................ (7.2.6)พิสูจน โดยบทนิยามของการแปลงลาปลาซ ถา f (t) ตอเนื่องสําหรับทุกคา 0t จะไดวา

0

( ) lim ( )R

st

RL f t e f t dt

= 0 0

lim ( ) lim ( )RRst st

R Re f t s e f t dt

....... (7.2.6ก)

บนชวงปด 0 t R ซึ่งอาจแบงเปนชวงยอยไดเปน 0 t1 t2 … tn R

และเนื่องจาก 0

( )R

ste f t dt = st ste f t +s e f t dt 0

R


( )R

st f t dte = 0

( )R

ste f t

+ s

0

( )R

ste f t dt

1

1 2

10

0

( ) ( ) ( )tt tst st st

te f t s e f t dt e f t

2

1

( ) ( ) ( )n

RtRst st

tt n t

s e f t dt e f t s f t dt

โดยเงื่อนไขที่วา f(t) ตอเนื่องที่ 0t ดังนั้น จะได 1 1 2 2

, ,...,n n

f t f t f t f t f t f t

ดังนั้น จะไดวา 0

Rste f t dt =

00

RsR stf e f R s e f t dt ....................

เนื่องจาก f เปนอันดับเลขชี้กําลัง ดังนั้นจึงมี 0M และ 0t t ที่ทําให ( )ste f t M

ดังนั้นวงเล็บแรกทางขวามือของสมการ (7.2.6 ก) จะเทากับ 0f เมื่อ s

และ sRe f R s α RMe สําหรับ 0R t

และสําหรับ s จะไดวา lim 0sR

Re f R

0 0

lim 0 limR R

st st

R Re f t dt f s e f t dt

…………………..

จากสมการ (7.2.6 ก) , ( ) และ () จึงได

0

lim 0R

st

Re f t dt f sL f t

นั่นคือ 0L f t sL f t f เมื่อ s


ทฤษฎีบท 7.2.7 สมบัติการแปลงลาปลาซของอนุพันธอันดับ n

ใหฟงกชัน )(),...,(),(),( )1( tftftftf n เปนอันดับเลขชี้กําลัง และมีความตอเนื่องทุกคา 0t และสมมติวา )()( tf n ตอเนื่องเปนชวงๆ ในทุกชวงปดจํากัด b,0 ซึ่ง 0b แลวจะมีผลการแปลงลาปลาซของอนุพันธอันดับ n สําหรับ s และจะได

( ) ( )nL f t = )(tfLs n 1 2 ( 1)(0) (0) (0)n n ns f s f f ….… (7.2.7) พิสูจน โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร เมื่อ n = 1 จะได

)(tfL =

0

)( dttfe st

= Rlim

0

)( dttfe st

= Rlim

0

)(R

st tfe + 0

( )R

sts e f t dt

= Rlim

( ) (0)sRe f R f + R

st dttfes0

)(

= (0) ( )f sL f t สําหรับ s

สมมติวาทฤษฎีบทนี้เปนจริง เมื่อ kn ที่เปนจํานวนเต็มบวก ดังนั้น

( )kL f t = -1 -2 ( -1)0 0 0k k k ks L f t s f s f f

และพิสูจนวาทฤษฎีบทนี้เปนจริงเมื่อ 1 kn

( )k+1L f t =

0

)1( )( dttfe kst

= Rlim

R

kst dttfe0

)1( )(

= Rlim

)()( tfe kst

0

R

+ R

kst dttfes0

)( )(

= Rlim

( ) ( ) ( )

0

( ) (0)R

sR k k st ke f R f s e f t dt

= )()( tfsL k ( ) (0)kf

= 1 ( ) (0)k ks L f t s f 1 ( )(0) (0)k ks f f

ดังนั้น แสดงวาทฤษฎีบทนี้เปนจริงที่ 1n k นั่นคือ ทฤษฎีบทนี้เปนจริง สําหรับทุกคา n ที่เปนจํานวนเต็มบวก #


ตัวอยาง 7.2.9 กําหนด ttf 2cos)( จงหา )(tfL

วิธีทํา จาก )(tf = t2cos ดังนั้น 10 f

และ )(tf = tt sincos2 = t2sin

จาก )(tfL = ( ) (0)sL f t f

tL 2sin = 1)( tfsL

4

22

s= 1)( tfsL

tfsL = 2

21

4s

= 2

2

2 4

4

s

s

= 2

2

2

4

s

s

ดังนั้น )(tfL หรือ tL 2cos = 2

2

2

( 4)

s

s s

Ans.

ตัวอยาง 7.2.10 จงแสดงวา ntL = 1

!ns

n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก

วิธีทํา ให )(tf = nt

ดังนั้น )(tf = 1nnt

)(tf = 2)1( ntnn

)()( tf n = 0( 1)( 2)...(3)(2)(1)n n n t

= !n …………… (1)จาก )(tfL n = 1 2 ( 1)( ) (0) (0) (0)n n n ns L f t s f s f f …………… (2)และ (0)f = (0)f = = ( 1) (0)nf = 0

ดังนั้น !nL = nn tLs

1!Ln = nn tLs

s

n! = nn tLs

ดังนั้น ntL = 1

!n

n

s เมื่อ ,...3,2,1n . Ans.


ทฤษฎีบท 7.2.8 สมบัติผลการแปลงลาปลาซของปริพันธ (Laplace Transform of Integral )

ถา )(tfL = )(sF แลว

t

duufL0

)( = )(1

sFs

…………… (7.2.8)

พิสูจน ให )(tg = t

duuf0

)(

ดังนั้น )(tg = )(tf และ (0)g = 0

จากทฤษฎีบท (7.2.6) จะได )(tgL = )(tgsL (0)g

)(tfL = 0)(0

t

duufsL

)(sF =

t

duufsL0

)(

t

duufL0

)( = )(1

sFs

#


t

xdxxL0

3sin

วิธีทํา เนื่องจาก tL 3sin = 9

32 s

และสูตร tftL n = sFs

dn

nn1

จะได ttL 3sin = 1 2

31

9

d

ds s

= 2

3

9

d

ds s

= 22

6

9

s

s = )(sF


t

xdxxL0

3sin = 22

1 6

9

s

s s

= 22

6

9s Ans.



t

u duuueL0

)sin(cos

วิธีทํา เนื่องจาก ttL sincos = 12 s

s

1

12

s

= )(sF

และ tteL t sincos = )1( sF

= 1)1(

12

s

s

1)1(

12

s

= 1)1( 22 s

s


t

u duuueL0

)sin(cos = 1)1(

122

s

s

s

= 1)1(

122 s

Ans.

ตาราง 7.2 สรุปสมบัติของผลการแปลงลาปลาซจากทฤษฎีบท 7.2.1 ถึง 7.2.8

)(tf )(tfL = )(sF

)()( 211 tfctfc )()( 2211 sFcsFc

)(tfeat )( asF

)(atf

a

sF

a

1

)(tft n )()1( )( sF nn

t

tf )(

s

duuF )(

)(tf ( ) (0)sF s f

)(tf 2 ( ) (0) (0)s F s sf f

)()( tf n 1 2 ( 1)( ) (0) (0) ... (0)n n n ns F s s f s f f

t

duuf0

)( )(1

sFs


1) จงหาคาของผลการแปลงลาปลาซของแตละขอตอไปนี้1.1 232sin ttL 1.2 173sin1520 92 tteL t


1.3 ttteL t cos23sin2 1.4 tetL 22

1.5 ttL 5sin2 1.6 tteL t 3sin2

1.7

t

tL

2sin 1.8 cos sinat btL

t

1.9 )()3( tfL เมื่อ ttf 5cos)( 1.10

t

uduuL0

3sin

1.11

t

u udueL0

3 cos 1.12

-3te sin2tL

t

1.13 0

cos 2t

uL du

u

1.14 2 (cos3 sin 3 )tL e t t

1.15

t

eeL

btat

เมื่อ ba, เปนคาคงตัว 1.16 3)1( tteL

1.17 0

1 cos 2t

uL du

u

1.18

2

0

sinte tL dt

t

1.19

tt

L2sin 1.20

tu dueuuL

0

2

1.21 ถา 1sin 1tan

tL

t s

จงหา 3 sint t

L et

และ 2 3 sin 3t tL e t

t

2) จงแสดงใหเห็นวาแตละขอตอไปนี้เปนจริง

1. 3

0

3sin

50tte tdt

2.

02

2

2sin

t

t

3. 0

cos6 cos 4 3ln

2

t tdt

t

4.

253

cos0

2

tdtte t

5. 23 2

0

1 2 1 1

1

tuL u u e du

s s s s

6. 3

0

ln 3t te e

dtt

7. 3 2

0

52sin

1000te t tdt


7.3 ฟงกชันแกมมา (Gamma Function) จากหัวขอ 7.2 สามารถแสดงใหเห็นวา ผลการแปลงลาปลาซของ nt เมื่อ n มีคา

เปน ,...3,2,1 มีคาเปน 1

!ns

n เมื่อ 0s ซึ่งเขียนแทนดวย

ntL = 1

!ns

n เมื่อ n = ,...3,2,1 และ 0s …………….... (7.3.1)

ปญหาที่พิจารณาตอไปนี้คือ จะใชสูตร(7.3.1) ไดอยางไร ถา n ไมใชจํานวนนับ เพื่อตอบคําถามนี้ จงพิจารณาผลการแปลงลาปลาซตอไปนี้

โดยบทนิยามของผลการแปลงลาปลาซ จะได ntL = 0

st ne t dt

ถาให stu เมื่อ 0s แลว

ntL = 1

1ns

0

dueu un ……………… (7.3.1a)

ถากําหนดให )1( n =

0

dueu un ……………… (7.3.1b)

ดังนั้น ntL = 1

1ns

)1( n ……………… (7.3.1c)

บทนิยาม 7.3.1 จะกลาววา )(x เปนฟงกชันแกมมา ถา

)(x =

0

1 dtet tx , 0x .……………… (7.3.2)

กราฟของฟงกชันแกมมา )(x แสดงไดดังรูป 7.3.1

(x)

x

-1-2-3-4-5

1 2 3 4-1-2-3-4

12345

รูป 7.3.1

7.3 ฟงกชันแกมมา 357

ทฤษฎีบท 7.3.1 สําหรับ 0x จะไดวา )1( x = )(xx ……………… (7.3.3)พิสูจน จากบทนิยาม 7.3.1 จะไดวา

)1( x =

0

dtet tx

= R

lim R

tx dtet0

โดยการหาปริพันธทีละสวน (integration by part ) จะได

)1( x = R

lim

dtetet

Rtx

Rtx

0

1

0

= R

lim Rtxet 0 +

R

tx dtetx0

1

เนื่องจาก 0x ดังนั้น

Rlim Rtxet 0

= R

lim RxeR = 0

นั่นคือ )1( x =

0

1 dtetx tx

ดังนั้น )1( x = )(xx #

ทฤษฎีบท 7.3.2 สําหรับ n ที่เปนจํานวนนับแลวจะไดวา )1( n = !n ……………… (7.3.4)

พิสูจน จากทฤษฎีบท 7.3.1 เมื่อ n เปนจํานวนนับจะไดวา )1( n = )(nn

= )1()1( nnn

= )2()2)(1( nnnn

… = ( 1)( 2) (2)(1) (1)n n n

= )1(!n ……………… (7.3.4 a)จากบทนิยาม 7.3.1 จะไดวา

)1( = 0

0

tt e dt

= Rlim

R

t dte0

= Rlim

)( te


= R

lim )( oR ee

= R

lim 1 Re = 1

นั่นคือ )1( = 1 ……………… (7.3.4 b) นําคา )1( จากสมการ (7.3.4 a) แทนลงในสมการ (7.3.4 b) ดังนั้นจึงได

)1( n = !n #

ตัวอยาง 7.3.1 จงแสดงวา 2

0

ue du

= 2

ถาให I = 2

0

ue du

และให pI = 2

0

Pxe dx = 2

0

Pye dy

และให P

lim pI = I เปนคาที่ตองการของปริพันธ

ดังนั้น 2PI = 2

0

p

xe dx

2

0

pye dy

= 2 2( )

0 0

p px ye dxdy

= 2 2)(

p

x y

R

e dxdy

เมื่อ pR เปนบริเวณสี่เหลี่ยมจัตุรัส OACE ซึ่งมีดานยาว P ดูรูป 7.3.2 และถาให 1R และ 2R เปนบริเวณในจตุภาค (quadrant) ที่หนึ่งที่ลอมรอบดวยวงกลมที่มีรัศมี P และ 2P

ตามลําดับ ซึ่งทําใหคาของปริพันธเปนบวก จึงทําให

1

2 2)( x y

R

e dxdy 2pI

2

2 2)( x y

R

e dxdy ……………. (7.3.5)

อาศัยหลักการของพิกัดเชิงขั้ว ( Polar Coordinates) ( , )r และจาก (7.3.5) จะได/2

2

0 0

p

r

r

e rdrd

2

pI 2/2

2

0 0

p

re rdrd

y

x

P2P

DE

0A B

CR2

R1

รูป 7.3.2

7.3 ฟงกชันแกมมา 359

หรือ 21

4pe

2pI 221

4pe

……………. (7.3.6)

จาก (7.3.6) เมื่อให P จะได

P

lim 2pI = 2I =

4

ดังนั้น I = 2

นั่นคือ 2

0

ue du

= 2

Ans.

ตัวอยาง 7.3.2 จงแสดงวา

2

1

วิธีทํา จากนิยาม 7.3.1 จะไดวา

2

1 =

0

2/1 dtet t ……………. (7.3.7)

ถาให 2ut ดังนั้น ududt 2

เปลี่ยนสมการ (7.3.6) ตามสมการขางตนจะได

2

1 = 21

0

2uu e udu

= 2

0

2 ue du

…………… (7.3.8)

จากตัวอยาง 7.3.1 พบวา 2

0

ue du

= 2


0

2 ue du

= 2

2 =


2

1 = Ans.

ตัวอยาง 7.3.3 จงแสดงวา xtL = 1

)1(

xs

x ถา 1, 0x s

วิธีทํา เนื่องจาก xtL =

0

dtte xst ……………. (7.3.9)

ถาให stu โดยที่ 0s จะได

s

uddt

ดังนั้น xtL = 0

xus

s u ue d

s s

= 1

1xs

0

duue xu

จากนิยาม 7.3.1 จะไดวา

0

duue xu = )1( x


ดังนั้นได xtL = 1

( 1)x

x

s

Ans.

ตัวอยาง 7.3.4 จงหาคาของ 2/1tL

วิธีทํา จากโจทยขอ 7.3.3 xtL = 1

)1(

xs

x , 0s

ให 2

1x ดังนั้น 2/1tL =

2/1

)2

1(

s

, 0s

จากตัวอยาง 7.3.2 ทราบวา

2

1 =

ดังนั้น 2/1tL = 2/1s

= s

Ans.

ขอสังเกต ถึงแมวา 2/1)( ttf ไมสอดคลองตามเงื่อนไขเพียงพอของทฤษฎีบท 7.1.2 แตยังคงหาคาผลการแปลงลาปลาซของ )(tf ได

หมายเหตุ คา )(x เมื่อ 21 x สามารถดูไดจากตารางที่ 7.3ตาราง 7.3 แสดงคาฟงกชันแกมมา

x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x

.00

1.021.041.061.08

1.10

1.121.141.161.18

1.20

1.000 000

0.988 8440.978 4380.968 7440.959 725

0.951 351

0.943 5900.936 4160.929 8030.923 728

0.918 169

1.20

1.221.241.261.28

1.30

1.321.341.361.38

1.40

0.918 169

0.913 1060.908 5210.904 3970.900 718

0.897 471

0.894 6400.892 2160.890 1850.888 537

0.887 264

1.40

1.421.441.461.48

1.50

1.521.541.561.58

1.60

0.887 264

0.886 3560.885 8050.885 604.0885 747

0.886 227

0.887 0390.888 1780.889 6390.891 420

0.893 515

1.60

1.621.641.661.68

1.70

1.721.741.761.78

1.80

0.893 515

0.895 9240.898 6420.901 6680.905 001

.0908 639

0.912 5810.916 8260.921 3750.926 227

0.931 384

1.80

1.821.841.861.88

1.90

1.921.941.961.98

2.00

0.931 384

0.936 8450.942 6120.948 6870.955 071

0.961 766

.0968 7440.976 0990.983 7430.991 708

1.000 000

7.4 ฟงกชันเปนคาบ 361


1. กําหนด

2

1 = จงหาคา

1.1

2

1 1.2

2

3

1.3

2

5 1.4

2

3

2. จงหาผลการแปลงลาปลาซของแตละขอตอไปนี้2.1 5/2L t 2.2 1/2 1/2L t t

2.3 4

1L t 2.4 7/2 3tL t e

2.5 3/2L t 2.6 tL te

3. จงแสดงวา )(x = 2 2 1

0

2 xue u du

, 0x

4. จงแสดงวา 3

0

se ds

= 1 1

3 3

5. จงแสดงวา 1

2n

L x

= 2 1 2 3 (5)(3)(1)n n

7.4 ฟงกชันเปนคาบ (Periodic Function) บทนิยาม 7.4.1 จะเรียกฟงกชัน )(tf วาเปน ฟงกชันเปนคาบ ถาฟงกชันนี้หาคาไดสําหรับทุกคาจริงของ t และมีเลขจํานวนบวก p ที่ซึ่งทําให

)( ptf = )(tf ……………... (7.4.1)

เรียก p วา คาบ (period ) ของ )(tf

โดยทั่วไปเมื่อพูดถึงคาบของ )(tf เราจะหมายถึงคาบบวกที่เล็กที่สุด เชน ฟงกชัน tsin มีคาบเทากับ 2 ( n2,...,6,4 ก็เปนคาบดวย) เนื่องจาก tsin = )2sin( t และ

ฟงกชัน ttan มีคาบเทากับ เพราะวา ttan = )tan( t เปนตน กราฟของฟงกชันเปนคาบที่มีคาบ p จะมีลักษณะซ้ํากันในชวงความยาว p ดังรูป 7.4.1


ตัวอยาง 7.4.1 จงเขียนกราฟของฟงกชัน )(tf =

32,4

20,2

t

tt )()3(, tftf

วิธีทํา เขียนกราฟของฟงกชัน )(tf =

32,4

20,2

t

tt

และกราฟของฟงกชันนี้จะมีลักษณะซ้ํากันในชวงของความยาว 3 ดังรูป 7.4.2

ทฤษฎีบท 7.4.1 ถา )(tf เปนฟงกชันเปนคาบซึ่งมีคาบเทากับ p และเปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องเปนชวงๆ บนชวงที่มีความยาว p แลวจะไดวา

)(tfL = pse1

1 p

st dttfe0

)( , 0s ……………. (7.4.2)

พิสูจน เนื่องจาก )(tfL =

0

)( dttfe st

= p

st dttfe0

)( +2 3

2

( ) ( )p p

st st

p p

e f t dt e f t dt (7.4.3)

ปริพันธพจนที่ 1 เปลี่ยนตัวแปรเปน ut

ปริพันธพจนที่ 2 เปลี่ยนตัวแปรเปน put

f(t)

รูป 7.4.1

รูป 7.4.2


ปริพันธพจนที่ 3 เปลี่ยนตัวแปรเปน put 2

ดังนั้นจากสมการ (7.4.3) จะได

)(tfL = p

su duufe0

)( ( ) ( 2 )

0 0

( ) ( 2 )p p

s u p s u pe f u p du e f u p du

= p

spsu eduufe0

)( 2

0 0

( ) ( 2 )p p

su sp sue f u p du e e f u p du …. (7.4.4)

เนื่องจาก )(tf เปนฟงกชันเปนคาบ p ดังนั้น )(uf = )( puf = )2( puf =

ฉะนั้น )(tfL = p

su duufe0

)( p

spsusp eduufee0

2)(0

( )p

sue f u du , 0s

= 21 sp spe e p

su duufe0

)( , 0s ..…………… (7.4.5)

เนื่องจาก 1 sp 2sp+ e +e + เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีพจนแรกเปน 1 และมีอัตราสวน

รวมเปน spe

ดังนั้น 2 11

1sp sp

spe e

e

จากสมการ (5.4.5) จะไดวา

L f t = spe1

1 p

su duufe0

)( , 0s

= 1

1 spe 0

( )p

ste f t dt , 0s #

ตัวอยาง 7.4.2 จงหาคาของ )(tfL เมื่อ )(tf =

วิธีทํา พิจารณากราฟของ )(tf จากรูป 7.4.3

0

f(t)

t 2 3

รูป 7.4.3

sinωt , 0 < t <

0 , < t < 2


โดยทฤษฎีบท 7.4.1

)(tfL =2 /

1

1 se

/

0

sinste t dt

( เนื่องจาก sin2

i t i te et

i

)

= 2 /

1

1 se

/

0 2

i t i tst e e

e dti

= )1(2

1/2 sei

/

( ) ( )

0

s i t s i te e dt

= )1(2

1/2 sei

( )

( )

s i te

s i

/

0

+( )s i te

s i

/

0

= )1)((2

1/222 sesi

00

π / ω π / ω(s iω)t (s+iω)ts+iω e + s iω e

และเนื่องจาก 1ie

ดังนั้น )(tfL = )1)((2

1/222 sesi

πs /ω2iω e +2iω

= /

2 2 2 /

(1 )

( )(1 )

s

s

e

s e

= )1)(( /2

ses

Ans.

ตัวอยาง 7.4.3 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชันฟนเลื่อย (Saw-tooth function )

)(tf = p

kt เมื่อ pt 0

และ )( ptf = )(tf

วิธีทํา พิจารณากราฟของ )(tf จากรูป 7.4.4

)(tfL = spe1

1 p

st dtp

kte

0

f(t)

k

t0

รูป 7.4.4

ฟงกชันเปนคาบ )(tf = p

kt , pt 0


= 01

pst

sp

ke tdt

p e

= (1 )sp

k

p e

1

12

spsp es

es

p

= 2

k

ps

(1 )

sp

sp

ke

s e

, 0s Ans.

ตัวอยาง 7.4.4 จงหาคาของ )(tfL เมื่อ )(tf เปนกราฟดังรูป 7.4.5

วิธีทํา จากกราฟที่กําหนดสามารถเขียนเปนฟงกชัน

)(tf =

21

10

,

,

2 t

t

t

t ; )()2( tftf

)(tfL = pse1

1 p

st dttfe0

)( ( ในที่นี้ได p = 2)

= se 21

1

1

0

ste tdt

2

1

(2 )ste t dt

= se 21

1

stst e

se

s

t2

1

0

1

2

(2 ) 1st stte e

s s

1

2

= se 21

1 2

1

s ss ee 221

= 2

(1 )(1 )

(1 )(1 )

s s

s s

e e

s e e

= 2

1

s

s

s

e

e

1

1 Ans.

F(t)

1

2 4 6t

0

รูป 7.4.5



ขอ 1 – 5 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชัน )(tf ดังตอไปนี้

1. )(tf =

21

10

,

,

0

1

t

t เมื่อ )(tf มีคาบเทากับ 2

2. )(tf =

21

10

,

,

1

1

t

t และ )()2( tftf

3. )(tf = tsin , t0 และ )()( tftf

4. )(tf = t1 , 10 t และ )()1( tftf

5. )(tf = te , ct 0 และ )()( tfctf

ขอ 6 – 11 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชัน )(tf ดังกราฟตอไปนี้6.

0 1 2 3 4 5

7.

8.

F(t)

1t

t

F(t)

10

1 2 3 40

t 1 2 3 40

5

-5

F(t)

7.5 ฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย 367

9.

1 2 3 4 5

10.

1 2 3 4 5

11.

7.5 ฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย (Unit Step Function)

บทนิยาม 7.5.1 ฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย (Unit Step Function) หรือ ฟงกชันขั้นบันไดแบบหนึ่งหนวย เขียนแทนดวยสัญลักษณ )(tU a หรือ )( atU ซึ่งกําหนดโดย

กราฟของฟงกชัน )(tU a หรือ )( atU เขียนไดดังรูป 7.5.1

at

attU a ,

,

1

0)( เมื่อ

1t

F(t)

0

1

t 0

- 1

F(t)

F(t)

02

1

1 3 4 5t


ฟงกชันขั้นบันไดแบบอื่น สามารถเขียนในรูปของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวยไดเสมอ

กราฟของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวยใชอธิบายการเปลี่ยนแปลงบางปริมาณในลักษณะ การเปลี่ยนแปลงทันทีทันใดจาก 0 ไปเปนคาทรงตัว(steady value) เชน การเปลี่ยนแปลงของแรงดันไฟฟา ที่ปอนใหกับวงจร ขณะเปดสวิทซทันทีทันใด

เมื่อเกิดฟงกชันขั้นบันได ( Step ) ที่ t = a ฟงกชันนี้มีสมการอยูในรูป1)( tf เมื่อคา t ทุกคามากกวา a

0)( tf เมื่อคา t ทุกคานอยกวา aเราใชฟงกชัน 1)( tf เพียงอยางเดียว อธิบายฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวยไมไดเพราะ 1)( tf แสดงวาฟงกชันมีคาคงที่เปน 1 ที่คา t ทุกคาทั้งคาบวกและลบ แตฟงกชันขั้นบันได

หนึ่งหนวยจะเปลี่ยนแปลงคาจาก 0 เปน +1 ที่ 0t เทานั้น ปกติจะแทนฟงกชันขั้นบันไดดวยสัญลักษณ )(tu หรือ )(tH สําหรับอักษร H เปนชื่อยอของ Oliver Heaviside ดังนั้น ในบางครั้งจึงเรียกฟงกชันนี้วา ฟงกชันเฮวีไซด

ทฤษฎีบท 7.5.1 ถา )(tfL = )(sF แลวจะไดวา

พิสูจน )(tUL a =

0

)( dttUe ast

= a

st dte0

)0(

a

st dte )1(

= R

lim R

a

st dte

= R

limR

a

stes

1

= R

lim assR ees

1

)(tUL a = s

e as

รูป 7.5.1

t 0

1

a

Ua(t)


)(tUL a = s

e as

#

ทฤษฎีบท 7.5.2 ถา )(tfL = )(sF แลว asaL f t a U t e F s

พิสูจน )(tfL =

0

)( dttfe st

tUatfL a)( =

0

)( dttUatfe ast

= a

st dtatfe0

0)( +

a

st dtatfe 1)(

=

a

-ste f t - a dt

ให atv

)()( tUatfL a =

0

)( )( dvvfe avs

= ase

0

)( dvvfe sv

= ase )(sF #ขอสังเกต ทฤษฎีบท 7.5.2 นี้สามารถนําไปใชไดหลายรูปแบบเชน

ntL = 1

!ns

n จะได )()( tUatL an = as

ne

s

n 1

tL sin = 2

1

1s จะได )()sin( tUatL a =

12

s

e as

ตัวอยาง 7.5.1 จากกราฟ (รูป 7.5.2) ที่กําหนดมา จงเขียน )(tf ในเทอมของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย และ หา )(tfL

0 t

k

a

-k

2a 3a 4a 5a 6a

f(t)

รูป 7.5.2


จากกราฟดังรูป 7.5.2 เขียนฟงกชัน )(tf ไดเปน

)(tf = k , 0 t a

k , a t 2a

และ f t + a = f t

วิธีทํา )(tf = 0 2( ) 2 ( ) 2 ( )a akU t kU t kU t 32 ( )akU t

)(tfL = 0 ( ) 2 ( )akL U t kL U t 2 32 ( ) 2 ( ) ...a akL U t kL U t

=

s

ek

s

k as

2 ...2232

s

ek

s

ek

asas

= ases

k

s

k 2 asas ee 21

= ases

k

s

k 2

ase1

1

=

as

as

e

e

s

k

1

21

= s

k

as

asas

e

ee

1

21

= s

k 1

1

as

as

e

e

= s

k

2tanh

as Ans.

ตัวอยาง 7.5.2 กําหนด )(tf =

4,14

42,)2(

2,02

tt

tt

t

จงเขียนกราฟของ )(tf และเขียน )(tf ในเทอมของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย และหา )(tfL

วิธีทํา

4

15

t 2 4

f(t)

รูป 7.5.3


)(tf = 2 22 4( 2) ( ) ( 8 5) ( )t U t t t U t

)(tfL = 22( 2) ( )L t U t 2

4( 8 5) ( )L t t U t

= 22( 2) ( )L t U t 4

2( 4) 11 ( )L t U t

= 22( 2) ( )L t U t 2

4( 4) ( )L t U t 411 ( )L U t

= 2 4

3 3

2 2s se e

s s

411 se

s

Ans.

ตัวอยาง 7.5.3 จงหา )()511( 32 tUttL

วิธีทํา )()511( 32 tUttL = 2

3( 3) 5( 3) 19 ( )L t t U t

= )()3( 32 tUtL )()3(5 3 tUtL )(19 3 tUL

= 3

32

s

e s

s

e

s

e ss 3

2

3 195

Ans.

ตัวอยาง 7.5.4 จงหา )(tfL ในเทอมของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย

วิธีทํา )(tf =

75,212

53,82

31,24

10,2

tt

tt

tt

tt

= 0 12 ( ) (4 4 ) ( )tU t t U t 3 5(4 12) ( ) (20 4 ) ( )t U t t U t

)(tfL = 02 ( 0) ( )L t U t 14 ( 1) ( )L t U t 34 ( 3) ( )L t U t

= sess

22

42 3 52

4 42

s se ess

= sess

22

42 s s 2 41 e e

= 22

42

ss

se 21

1

รูป 7.5.4

t1 111097 865432

2

-2

1

-1


= 2

2

s

s

s

e

e21

21

= 2

2

s

s

s

e

e

1

1

= 2

2

s 2tanh

s Ans.

ตัวอยาง 7.5.5 กําหนด )(tf =

2,sin

2,0

0,1

tt

t

t

จงเขียน )(tf ในเทอมของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย และหา )(tfL

วิธีทํา )(tf = 0( ) ( )U t U t )()(sin 2 tUt

)(tfL = )(0 tUL ( )L U t )()(sin 2 tUtL

= s

1

se s

)()2sin( 2 tUtL

= s

1

se s 2

2 1

se

s

Ans.


ในขอ 1 ถึง 5 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชัน )(tf ดังตอไปนี้1. )(tf = )(6)(2)( 431 tUtUtU 4. )(tf = )()12( 2 tUt

2. )(tf = )()2()()3( 32 tUttUt 5. )(tf = )()1(2

11

2 tUt

3. )(tf = 2( ) ( )t U t

ในขอ 6 – 10 จงเขียน )(tf ในเทอมของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย และหา )(tfL

6. )(tf =

1

1

,

,

22

02 t

t

tt7. )(tf =

2,0

2,

,0

t

tt

t

8. )(tf =

3

23

2

,

,

0

3

2cos

t

tt 9. )(tf =

3

3

,

,0

t

t

et


10. )(tf =

4

4

,

,02 t

t

t

ในขอ 11 – 15 จากกราฟของ )(tf ที่กําหนดมา เขียน )(tf ในเทอมของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวยไดตามกําหนดให และหา )(tfL

11. 0 2 6( ) ( ) ( 2) ( ) ( )f t tU t t U t U t

12 .

0 0 2

2 4

( ) ( ) ( ) ( 2) ( ) 2 ( ) ( )f t tU t U t t U t

U t U t

13. 0

2 2

( ) ( ) 2( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( )

a

a a

f t tU t t a U tt a U t U t

14. 0( ) ( ) ( )af t kU t kU t

15. 0 1 2 3

4 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t U t U t U t U t

U t U t

-12 4

t

f(t)

1

1

2

2

3

4 6t

f(t)

0

f(t)

t

a

a 2a0

2 3 41 5t

f(t)32

0

1

a

f(t)k

2a 3a 4a t


7.6 ฟงกชันแรงดลและฟงกชันดิแรชเดลตา ( Impulses and The Dirac Delta Function ) ในการทํางานบางอยาง จะใชแรงที่มีคามากกระทําในชวงเวลาสั้นๆ เชน ขณะที่ฆอนตอก

ตะปู หรือขณะที่ตีเทนนิสจะใชแรงมากแตภายในชวงเวลาสั้นๆ เทานั้น สามารถเขียนฟงกชัน

ไดเปน )(tF =

t

t0

,

,

0

1 เมื่อ 0

กราฟของ )(tF แสดงดังในรูป 7.6.1

จากรูป 7.6.1 เมื่อ มีคาเขาใกลศูนย ความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งแทนแรงที่กระทําจะเพิ่มขึ้น สวนความกวางของสี่เหลี่ยมผืนผาในที่นี้คือชวงเวลาที่ออกแรงจะลดลง แตพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผา คือการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมหรือการดล จะมีคาเทากับ 1 ตารางหนวยเสมอ

บทนิยาม 7.6.1 ฟงกชันดิแรชเดลตา ( Dirac delta function ) หรือฟงกชันแรงดลหนึ่งหนวย( Unit impulse function ) เขียนแทนดวย )(t โดยที่

ทฤษฎีบท 7.6.1 พิสูจน

)(tL = 0

lim ( )L F t

= 0

lim

)(tFL

= 0

lim

0

( )ste F t dt

= 0

lim

0

1ste dt

(0)ste dt

= 0

lim 0

ste

s

)(t = )(lim0

tF

1)( tL

F(t)

t 0

1

รูป 7.6.1

7. 6 ฟงกชันแรงดล 375

= 0

lim

s

e s1 = 0

lim s

se s

= 1 #

โดยทั่วไปแลวฟงกชันแรงดลไมจําเปนตองเริ่มตนที่ 0t เชนอาจเริ่มตนที่ at จะเขียนแทนดวยสัญลักษณ )( at

พิจารณา )( atF =

atat

ata

,,

,

0

1 เมื่อ 0,0 a

กราฟของ )( atF แสดงดังรูปที่ 7.6.2

ทฤษฎีบท 7.6.2

พิสูจน จาก )( at = 0

lim

)( atF

)( atFL =

)(lim

0atFL

= 0

lim

)( atFL

= 0

lim

0

)( dtatFe st

= 0

lim

ast dte

0

)0(

a

a

st dte1

a

st dte )0(

= 0

lim

a

a

s

e st

= 0

lim

)(1

asas ee

s

= ase

0lim

s

e s1

= ase

0lim s

se s

= ase #

)( atL = ase

F(t)

t

1

0 a a + รูป 7.6.2


การนําผลการแปลงลาปลาซของฟงกชันตาง ๆ ไปใชนั้นใหดูจากตารางการแปลงลาปลาซในภาคผนวก


1. จงพิสูจนวา )( atUL = s

e as

เมื่อ )( atU เปนฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย

(เฮวีไซด)

)( atU =

at

at

,

,

0

1

2. จงหา )(tFL เมื่อ )(tF =

t

t0

,

,

0

/1

3. กําหนด )(tF ตามโจทยขอ 2 จงแสดงวา 0

lim

1)( tFL

4. จงแสดงใหเห็นวา ฟงกชันตอไปนี้เปนฟงกชันศูนย

4.1 )(tF =

1

1

,

,

0

1

t

t

4.2 )(tF =

2,1

21

,

,

0

1

tt

t

4.3 )(tF = )(t เมื่อ )(t เปนฟงกชันดิแรชเดลตา

ผลการแปลงลาปลาซ - udon thani rajabhat university · 338 บทท 7...

Documents