“diseño y modelo dinámico de robot esférico de 3-dof para...

MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A3b. Mecanismos y Robótica: Diseño y modelado mecanismo esférico.

“Diseño y modelo dinámico de robot esférico de 3-DOF para cuello robótico de robot humanoide”

F.J. Lópeza, S. Vergaraa, M.A. Vargasa, A. Palominoa, D. Pintob, D. Vilariñob

aFacultad de Ciencias de la Electrónica, Maestría en Ciencias de la Electrónica opción Automatización, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.

Av. San Claudio y 18 Sur S/N C.U Col. Jardines de San Manuel, Puebla, Pue. C.P. 72570, México. bFacultad de Ciencias de la Computación, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Av. San Claudio y 14 Sur S/N C.U. Col. Jardines de San

Manuel, Puebla, Pue. C.P. 72570, México.

*Autor contacto: [email protected]

RESUMEN.

En el presente trabajo se muestra el diseño mecánico, los parámetros Denavit-Hartenberg, la cinemática directa y el modelo

dinámico de un robot esférico de 3-GDL, el cual se implementará como cuello en un robot humanoide (Arthur) desarrollado

por la empresa Hanson Robotics[1]. El diseño de la estructura del robot permite emular los principales movimientos que realiza

el cuello humano y contempla una capacidad de carga de 3.2 kilogramos. Mediante uso del software SolidWorks, se adquieren

los parámetros físicos del sistema y se realiza un estudio de movimiento graficando el torque de los actuadores, así mismo, se

genera una simulación de control de posición en Matlab utilizando un controlador (Tangente hiperbólica). Los resultados

obtenidos corroboran el modelo dinámico, obteniendo así una base para la construcción del sistema.

ABSTRACT.

This paper shows the mechanical design, Denavit-Hartenberg parameters, direct kinematics and the dynamic model of a 3-DoF

spherical robot, which will be implemented as a neck in a humanoid robot (Arthur) developed by Hanson Robotics. The design

of the robot structure allows emulate the main movements of the human neck and contemplates a load capacity of 3.2 kilograms.

Using SolidWorks software, the physical parameters of the system are acquired and a motion study is performed, graphing the

torque of the actuators. In the other hand, a position control simulation in Matlab is generated using a controller (Hyperbolic

Tangent). The results obtained corroborate the dynamic model, thus obtaining a basis for the construction of the system.

Palabras Clave: Robot esférico 3GDL, Modelo dinámico, Cuello robótico, Cinemática directa.

Nomenclatura:

g Fuerza de gravedad.

1n

Hn

Matriz de transformación homogénea.

HRz Matriz de rotación pura alrededor del eje z.

HTz Matriz de traslación pura sobre el eje z.

HTx Matriz de traslación pura sobre el eje x.

HRx Matriz de rotación pura alrededor del eje x.

I Momento de inercia.

kp Ganancia proporcional.

kv Ganancia derivativa.

1m Masa del eslabón 1.



Nm Newton-metro.

1lc Distancia al centro de masa del eslabón 1

2lc Distancia al centro de masa del eslabón 2.

Torque.

,q q Lagrangiano.

,K q q Energía Cinética.

( )U q Energía Potencial.

q Vector de coordenadas generalizadas.

dq Vector de posición articular deseada.

q Vector de error de posición.

q Vector de velocidades articulares.

q Vector de aceleraciones articulares.

( )M q Matriz de inercia.

( , )C q q Matriz de fuerzas centrípetas y de coriolis.

( )g q Vector de par gravitacional.

v Velocidad.

ISSN 2448-5551 DM 186 Derechos Reservados © 2017, SOMIM


1. Introducción

El avance tecnológico en el área de robótica no solo se ha

expandido en la industria, ya que los “robots”, conocidos

comúnmente por este término, se han introducido en un

ámbito social, ayudando a las personas a realizar las tareas

cotidianas con mayor facilidad e incluso de forma

automatizada, en consecuencia se ha mejorado el diseño y la

forma en la que los robots interactúan con el humano [2], de

ahí nacen los robots humanoides, conocidos también como

androides (máquinas de diseño antropomórficas capaces de

imitar las funciones básicas del ser humano) [3].

Con la idea de que la interacción entre robot–humano sea

de forma natural, se han ido mejorando los semblantes y las

funciones de los androides, ya que, para tener una buena

interacción y aceptación por la sociedad, no solo es

necesario que el robot tenga una apariencia amigable y

pueda hablar, sino también como en la comunicación

humana, tendemos a manejar un lenguaje corporal, que son

las acciones o movimientos que producimos al entablar una

conversación, uno de los aspectos importantes que se

consideran son los gestos expresivos de la cara, que pueden

producir empatía e incluso denotar el estado anímico de las

personas, esto junto con los movimientos del cuello que dan

énfasis al lenguaje corporal.

El cuello es una de las áreas más complejas del cuerpo

humano, puede realizar un gran número de movimientos, los

más básicos son flexión, extensión, inclinación y rotación,

como se muestra en la Fig.1, cada uno implica la

participación de estructuras diferentes, que facilitan,

controlan y limitan el movimiento [4]. El cuello humano ha

sido objeto de estudio en la biomecánica, el modelo estándar

contempla 4 GDL [5, 6, 7].

En robótica se han estudiado los robots esféricos, los

cuales pueden mover el efector final alrededor de un punto

que se denomina el centro de rotación del mecanismo,

aunque un mecanismo esférico de 3 GDL puede realizar

movimientos en un espacio tridimensional, en general es

suficiente contar con 2 GDL para realizar esta tarea, ya que

la rotación sobre el eje de simetría del efector final no

cambia la posición en el espacio, solo denota la orientación

del mismo [8]. Los robots esféricos más estudiados constan

de una cadena cinemática cerrada, esto es, que tiene dos o

más eslabones unidos a su base, aunque presentan mayor

rigidez, con mayor capacidad de carga, pero el espacio de

trabajo es reducido y su modelo dinámico es de mayor

complejidad, el ejemplo de mayor impacto es el robot

llamado “Agile Eye” diseñado por Gosselin and Hamel [9],

el cual es un mecanismo paralelo de 3 GDL que tiene como

objetivo el control de la orientación de una cámara.

El mecanismo esférico de 3 GDL, ver Fig.2, presentado

en este trabajo, moverá la cabeza del humanoide Arthur

desarrollado por la empresa Hanson Robotics[1], la cual

tiene un peso de 3.2 kilogramos, por tal motivo la estructura

mecánica presenta rigidez para soportar dicha carga y logra

emular los movimientos del cuello humano, así mismo se

cuenta con contrapesos para mover el centro de masa de la

cabeza del humanoide (CMC) lo más cerca posible del

punto de giro, esto para reducir los efectos inerciales y la

energía suministrada por los motores. Se presenta el modelo

cinemático directo obtenido por medio de la metodología

Denavit-Hartenberg y las transformaciones homogéneas

[10], lo cual describe la posición en el espacio del

mecanismo. Para obtener la dinámica se desarrollaron las

ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, que nos

permiten obtener el modelo dinámico de un robot de forma

sistemática, logrando expresar todos los fenómenos físicos

presentes en el movimiento del mecanismo, además se

obtienen los parámetros físicos del robot por medio de

herramientas de software de diseño tales como SolidWorks,

en el cual fue diseñado el sistema completo utilizando los

materiales contemplados para la manufactura, esto es de

gran ayuda ya que nos proporciona los parámetros

numéricos de la masa, las distancias de los centros de masa

y el tensor de inercia de cada eslabón, como el software

cuenta con análisis de mecanismos, se realiza un estudio de

movimiento el cual nos da una referencia para corroborar el

modelo dinámico, puesto que, al implementar un algoritmo

de control tangente hiperbólica en el software Matlab se

lleva al robot a una posición articular deseada y se obtiene

𝜃1

𝜃2

𝜃3

Figura 1: Principales movimientos del cuello humano.

Figura 2: Mecanismo esférico 3-GDL.



la gráfica de posición que se exporta a SolidWorks, para que

los actuadores sigan el mismo comportamiento de la

simulación y calcule el torque. Como resultados se presenta

la cinemática directa, modelo dinámico y estudio de

movimiento del mecanismo esférico, se comparan los

calculados.

2. Diseño Mecánico.

El mecanismo esférico debe de contar con dimensiones

adecuadas para el montaje en el robot humanoide, como se

muestra en la Fig.3.

El diseño de la estructura es de tal forma que direcciona

la fuerza de carga hacia la base, a diferencia de una cadena

cinemática abierta donde el primer eslabón debe contar con

el torque suficiente para soportar los siguientes, este

mecanismo cuenta con dos soportes en la base lo que

aumenta la rigidez, la transmisión del mecanismo se realiza

con poleas y bandas dentadas, lo que nos permite tener una

relación de reducción 2:1. El eslabón mostrado en la Fig. 4,

realiza el movimiento de flexión y extensión, cuenta con dos

soportes los cuales contienen el actuador que realiza el

movimiento de inclinación bilateral del cuello, dichos

soportes se diseñaron también para cargar un contrapeso, se

diseñó un acoplamiento de baleros para conectar el motor a

la polea dentada de transmisión.

La estructura que realiza el movimiento de inclinación

bilateral del cuello, ver Fig. 5, consta de una pequeña base

donde se empotra el actuador que realiza el movimiento de

rotación, así mismo soporta un acoplamiento entre la cabeza

y el eje del motor.

El acoplamiento entre la cabeza del humanoide y el eje

del motor que realiza el movimiento de rotación se hace

mediante una pieza que contiene un rodamiento de carga

axial y uno de carga radial como se muestra en Fig. 6, ya que

se debe liberar al motor del peso de la cabeza en cualquier

posición que esta adopte, ya sea verticalmente cuando la

fuerza es completamente axial o cuando tiene una

inclinación en donde las fuerzas se descomponen en axial y

radial.

Se muestra en la Fig. 7 el ensamble del robot esférico

acoplado con la cabeza del robot humanoide.

Figura 3: Espacio disponible para el mecanismo.

Figura 4: Estructura que realiza el movimiento de flexión y

extensión.

Figura 5: Estructura que realiza el movimiento de inclinación

bilateral del cuello.

Figura 6: Acoplamiento del actuador que realiza el movimiento de

rotación.

Figura 7: Ensamble del sistema, acoplado con la cabeza del robot

humanoide.

Base donde se

empotra la

cabeza

robotica

Actuador

Balero

carga radial

Balero

carga

axial

Acoplamiento

Actuador Contrapeso

s

Contrapeso

s

Soportes

Acoplamiento

de baleros

Actuador



3. Modelo Dinámico.

3.1. Cinemática.

Para encontrar la cinemática directa del sistema se utilizó la

metodología propuesta por Denavit-Hartenberg, cabe

resaltar que el CMC se toma como efector final, se muestra

en la Fig.8 los sistemas de coordenadas utilizados para

definir los parámetros D-H que se muestran en la tabla 1.

Tabla 1: Parámetros D-H

Eslabón 𝒍𝒊 𝜶𝒊 𝒅𝒊/𝜷𝒊 𝒒𝒊

1 𝑙1 90º 0 𝑞1

2 𝑙2 0 0 𝑞2

2a 0 0 0 90°

2b 0 90° 0 0

2c 0 0 𝛽1 0

3 0 0 𝛽2 𝑞3

3a 0 0 0 90º

4 𝑙3 0 0 0

De acuerdo con la convención D-H, los parámetros

denotan lo siguiente:

il Longitud del i-ésimo eslabón.

i Ángulo de torsión.

i id Desplazamiento de la i-ésima articulación.

iq Ángulo de i-ésima articulación.

El mecanismo solo cuenta con tres eslabones, pero es

necesario realizar rotaciones auxiliares de los sistemas de

referencia para poder expresar la longitud de los centros de

masa de los eslabones sobre el eje x de cada sistema

coordenado, de no ser así, la dinámica del mecanismo no

tendría contemplado los efectos inerciales y las fuerzas que

ejercen sobre el robot.

La representación de la cinemática es a través del

producto de cuatro transformaciones básicas que definen

cada eslabón [10], donde se evalúan los parámetros

presentados en la tabla 1, por lo tanto, la transformada

homogénea para cada uno se describe en la ec. (1).

; 1

HR HT d HT l HRz z x xi i i i iq

nH

n (1)

La cinemática directa es la forma general de

transformaciones homogéneas que concatena los sistemas

de referencia cartesianos asociados a los eslabones del robot,

todos relativos al sistema de referencia fijo ∑0(x0,y0,z0).

El producto de transformaciones homogéneas que

representan la posición en el espacio del efector final (CMC)

se denota por la ec. (2).

1 2 2

0 0 1 2

2 3 3 4

2 2 3 32 c aa

a b c an 2b H H H H H H H H H (2)

Por tanto la cinemática directa que describe la posición

de cada eslabón del robot es la siguiente:

1 1 1

1 1 1

1 0

x l Cos q

y l Sin q

z

(3)

1 1 1 2 2 2

1 1 1

2

2

2

2 2 2

2 1 2

q q qx

y q

Cos l Cos l Cos

Sin l Cos lq q

z q

Cos

Sin l

(4)

3 3 1 1 2 3 1 1 2 2 1 2

1 2 1 3 1 3 1 2 3 2 2 1

1 2 2 2 3 2 3

3

3

3

l Cq Sq Cq Sq Sq Cq Cq Cq Cq

Cq Sq l Cq Cq Sq Sq Sq Cq Sq

Sq Sq l C

x

qz S

y

q

(5)

Las ecs. (3)-(5) describen la cinemática directa de los

eslabones que emulan los movimientos del cuello humano:

flexión y extensión (eslabón 1), inclinación bilateral

(eslabón 2) y rotación bilateral (eslabón 3), todos los ejes de

rotación de las articulaciones se intersectan en un punto

medio del mecanismo, se toma este como el origen del

sistema de referencia fijo.

Figura 8: Sistemas coordenados de referencia en base a la

convención DH del robot esférico.



3.2. Dinámica.

Se sustituye en la cinemática directa las longitudes del

centro de masa (CM) de cada uno de los eslabones, como se

ha mencionado en la cinemática se desprecian estos valores,

pero se plantea la metodología D-H de tal forma que en la

dinámica se contemplen los fenómenos físicos que

proporcionan los contrapesos. Haciendo referencia al origen

del sistema, los centros de masa de los eslabones que

generan el movimiento de flexión-extensión (CM1) e

inclinación bilateral (CM2), se encuentran en la zona

negativa y el CMC se encuentra en la zona positiva del eje

x, reduciendo la distancia del centro de masa del sistema

general, como se visualiza en Fig. 9.

La ec. (6) hace referencia a la cinemática directa del centro

de masa de cada eslabón, para el i-esimo eslabón se toman

en cuenta las longitudes anteriores 1il y ángulos iq y 1iq

[8].

1 1, , , ,

i

i R i i ci i i

i

x

y f l l l q q

z

(6)

A partir de las ecs. (6) y (7) se deduce la rapidez lineal del

centro de masa de cada eslabón, representada por la ec. (8).

i

i i

i

xd

ydt

z

v (7)

2 2 2Ti i i ix y z iv v (8)

Posteriormente se obtiene la energía cinética ,K q q a

partir de la ec. (9), donde iI es el momento de inercia, im

la masa y Ti iv v la rapidez lineal de cada eslabón.

2

1

1 1,

2 2

nT

i i iK

i iq q m v v I q (9)

La energía potencial ( )U q no tiene una forma

específica, depende de la geometría del robot en general, por

tanto se considera la cinemática directa del centro de masa

de cada eslabón y se definen los puntos para los cuales la

energía potencial ( ) 0U q para cada uno, en la Fig. 10 se

denota con una línea roja para cada caso.

Las ecs. (10)-(12) expresan la función de la energía

potencial para los centros de masa de cada eslabón, donde

se ocupa la cinemática directa de los centros de masa.

Utilizando el principio de superposición la ec. (13) hace

referencia a la energía potencial total del sistema.

1 1 1 1 1( ) - Cos( )U m g lc lc qq (10)

2 2 2 2 1 2( ) - os( ) os( )U m g lc lc C q C qq (11)

3 3 1 1 2 3

1 1 2

1 2

1

3

2 2

3

( )

l Cq Sq Cq Sq Sq

Cq Cq CqU g

C

l

qm

q (12)

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )U U U U q q q q (13)

A partir de las ecs. (9) y (13) se construye el lagrangiano

ver ec. (14), de modo que la ec. (15) denota las ecuaciones

de movimiento de Euler–Lagrange, lo cual nos sirve para

calcular los de cada articulación.

, , ( )K U q q q q q (14)

, ,ii i

d

dt q q

q q q q (15)

La ec. (16) expresa el modelo dinámico del robot esférico

de 3 GDL en su forma compacta y con notación utilizada en

el área de robótica.

( ) ( , ) ( ) M C g τ q q q q q q (16)

CMC

Sistema de

referencia

fijo Centro de

masa del

sistema

CM2

CM1

Figura 9: Centro de masa del mecanismo esférico en relación con el

sistema de coordenadas de referencia.

Figura 10: Referencia de la energía potencial cero.



4. Parámetros Físicos del Robot

Con la ayuda del software SolidWorks se obtienen los

parámetros físicos del robot, esto contemplando que la

estructura mecánica será manufacturada de aluminio 6063,

el material de los contrapesos es acero 603. El programa de

diseño proporciona el tensor de inercia de cada eslabón con

respecto a un sistema de referencia, con esto podemos

deducir el momento de inercia con respecto del eje de giro

el cual es el eje Z, se presentan los parámetros en la tabla 2.

Tabla 2: Parámetros físicos del robot esférico.

Eslabón Masa

(Kg.)

Momento de Inercia

(Kg*m2)

Distancia al CM

(Metros)

1 1.6013 0.0150 0.0831

2 1.1613 0.002384 0.030

3 3.3356 0.00774 0.050

5. Control de posición.

El problema de control de posición o regulación radica en que el efector final del robot alcance una posición deseada desde cualquier punto inicial con la ayuda de una ley de control que proporcione los aplicados a las articulaciones

o servomotores del robot, como lo muestra la ec. (17).

( )lim

( ) 0

d

t

q t q

q t

(17)

Un algoritmo de control de posición o regulación bien

documentado es la estructura tangente hiperbólica, la cual se

expresa en la ec. (18), por tal motivo en este trabajo se utiliza

para resolver el problema planteado. La principal

característica del controlador es generar un atractor en la

ecuación en lazo cerrado formada por el modelo dinámico

del robot manipulador y la estructura matemática del

algoritmo de control, ver ec. (19).

tanh tanhp vK K g τ q q q (18)

1, ,( ) tanh( ) tanh( )p v

d

M K K Cdt

qq

q q q q,q qq (19)

Se realiza una simulación en Matlab con la ayuda de la

función Ode45, la cual resuelve la ec. (19), se programa una

duración de 3 segundos, condiciones iniciales 0 y un tiempo

de muestreo de 1.8 milisegundos, se consideran estas

características de simulación para comparar los resultados

obtenidos con el estudio de movimiento que se realiza en

SolidWorks.

La simulación se genera con ganancias proporcional (Kp)

y derivativa (Kv) expresadas en las ecs. (20) y (21)

respectivamente.

0.48 0 0

0 0.48 0

0 0 0.48

Kp

(20)

0.45 0 0

0 0.45 0

0 0 0.45

Kv

(21)

La ec. (22) muestra el vector de posición deseada para la

simulación.

1

2

3

20

10

10

d

q

q

q

q (22)

6. Estudio de movimiento (CAD).

Solidworks nos brinda las herramientas de análisis de

mecanismos, con el cual se realiza un estudio de movimiento

del robot esférico presentado en este trabajo, el cual toma en

consideración todos los parámetros físicos y la fuerza de

gravedad.

Anteriormente se menciona que el periodo de muestreo

es 1.8 milisegundos, ya que el software maneja el mismo

parámetro, las posiciones obtenidas de cada actuador en el

apartado anterior se asignan a los motores que moverán el

mecanismo, así mismo, se obtienen las velocidades y

aceleraciones articulares, como se muestra en la Fig. 11.

Figura 11: Exportación de datos a los actuadores en el estudio de

movimiento.



7. Resultados.

Al realizar el estudio de movimiento se encontró que los

datos de torque generados por SolidWorks contenían ruido,

por tanto se realizó un filtrado pasa bajas en Matlab,

obteniendo así gráficos más detallados.

Para la simulación del torque requerido por los

actuadores al designar las posiciones deseadas expresadas

por la ec. (22), se encontró para q1 se tiene un error de

cálculo de 0.25 Nm, también se aprecia una variación entre

los datos comparados en el segundo 0.35, ver Fig. 12.

Para q2 se encontró un error de cálculo de 0.073 Nm, se

aprecia una variación en el segundo 0.35 y 1.6, aunque el

modelo dinámico presenta el mismo comportamiento, ver

Fig. 13.

Para q3 se encontró un error de cálculo de 0.03 Nm, se

aprecia una variación en el segundo 0.35 y 1.6, el modelo

dinámico tiene el mismo comportamiento que el estudio de

movimiento, aunque presenta un pico de torque de magnitud

0.35 Nm, ver Fig. 14.

8. Conclusiones.

El modelo dinámico de un robot es muy importante para

representar los fenómenos físicos que se encuentran en su

estructura mecánica, tales como efectos inerciales, fuerzas

centrípetas y de coriolis y pares gravitacionales que son

propios del robot, además es fundamental para el diseño y

construcción del sistema mecánico, ya que permite

comprobar si son convenientes los cambios en la estructura

mecánica del robot.

Se obtuvo satisfactoriamente la cinemática del robot

esférico propuesto en este trabajo, a través de la metodología

Denavit-Hartenberg, logrando posicionar los sistemas de

referencia adecuadamente para expresar los fenómenos

inerciales que producen la cabeza robótica como los

contrapesos propuestos.

El estudio de movimiento realizado en SolidWorks,

corrobora el modelo matemático desarrollado, aunque se

desconoce el método por el cual calcula el torque, por tanto,

se puede pensar que las variaciones entre los resultados son

producto de ello.

Aplicando un controlador con estructura tangente

hiperbólica, se realizó control de posición del mecanismo.

Se concluye que el resultado de este trabajo es una buena

aproximación al modelo dinámico que describe un robot

esférico de 3 GDL, sentando bases sólidas para la elección

de los actuadores y construcción del mecanismo.

REFERENCIAS

[1]Hanson Robotics, Humanoid Robot Arthur [online]. Disponible en: http://hansonrobotics.com/slate-fr-blogger-meets-arthur-dld-conference/

[2] MacDorman, K.F., and Ishiguro, H. (2006). The Uncanny advantage of using androids in social and cognitive science research. Interaction Studies, 7(3), p.297-337.

Figura 12: Torque q1 para posición planteada en ec. (22).





[3]F. R. Cortéz, Robótica, Control de Robots Manipuladores, Alfaomega, Grupo Editor, First Edition, México, 2011.

[4] I J. G. Sanchez, «Módulo de bases anatómicas y fisiológicas del deporte.,» 2000.

[5] Miguel Silva. Human Motion Analysis Using Multibody Dynamics and Optimization Tools. PhD thesis, Instituto Superior T´ecnico, Lisboa, Portugal, 2003.

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[8] C. Gosselin, and E. Lavoie, “On the Kinematic Design of spherical three-dod parallel manipulators,” The international Journal of Robotic Research. Vol. 12(4), 1993, pp. 394-402

[9] C. Gosselin, and J.F. Hamel, “The agile eye: a high performance three-dof camera-orienting device,” IEEE Int. conference on Robotics and Automation, San Diego, 1994, pp. 781-787

[10]Subir Kumar Saha., Introducción a la Robótica, Mc Graw Hill 1era Ed. 2010.


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