“modelos mecanicos de la dinamica fractal del...

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION

“MODELOS MECANICOS DE LA DINAMICA FRACTAL DEL MERCADO PETROLERO”

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE DOCTOR EN

CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERIA MECANICA

PRESENTA:

OSWALDO MORALES MATAMOROS

ASESOR: DR. ALEXANDER S. BALANKIN

MEXICO, 2004.

CONTENIDO Dedicatorias i Agradecimientos ii Lista de Figuras iii Lista de Tablas v Resumen vii Abstract ix Aportaciones x Capítulo 1. Introducción 1 1.1 Antecedentes y planteamiento del problema 2 1.2 Justificación 9 1.3 Objetivo y metas 9 1.4 Metodología 10 1.5 Referencias 11 Capítulo 2. Econofísica 13 2.1 Antecedentes 14 2.2 Cambios en los precios 20 2.3 Distribuciones de ley de potencia 22 2.4 Autocorrelación 26 2.5 Referencias 29 Capítulo 3. Escalamiento dinámico 32 3.1 Fractales 32 3.1.1 Fractales auto-similares 33 3.1.2 Fractales auto-afínes 36 3.2 Escalamiento dinámico en el crecimiento de interfases rugosas 37 3.2.1 Escalamiento dinámico anómalo 42 3.2.2 Leyes de escalamiento dinámico generalizado con exponentes 45 que varían continuamente 3.3 Cálculo del exponente de Hurst 47 3.3.1 Análisis del rango reescalado 48 3.3.2 Método de rugosidad – longitud 49 3.3.3 Método del variograma 49 3.3.4 Método del espectro de potencia 50 3.3.5 Método de las ondoletas 50 3.4 Escalamiento dinámico en la caracterización del mercado petrolero 51 3.5 Referencias 54 Capítulo 4. Caracterización estadística del comportamiento de los 56 precios del petróleo 4.1 Definición del objeto de estudio 57 4.2 Análisis estadístico 60 4.3 Análisis fractal 61 4.4 Análisis y discusión de resultados 64

4.5 Referencias 73 Capítulo 5. Predicción de los precios del petróleo 74 5.1 Construcción del modelo de predicción de precios del petróleo 74 5.2 Generación de escenarios probabilísticos para los precios del petróleo 77 5.3 Validación de la metodología de predicción de precios del petróleo 84 5.4 Referencias 88 Conclusiones 89 Referencias 92 Anexos 93 Anexo A 93 Anexo B 94 Anexo C 99 Anexo D 99 Anexo E 102 Anexo F 104 Anexo G 108 Anexo H 109 Anexo I 110 Anexo J 148 Anexo K 151

i

DEDICATORIAS A Dios, por hacer que se dieran las cosas para llegar a este momento. A mi esposa Katya, por su amor, compresión y apoyo incondicionales.

ii

AGRADECIMIENTOS

El presente trabajo es fruto de la fe en un ser superior y del apoyo otorgado por instituciones académicas y federales. Al Dr. Alexander Balankin, por su visión, dirección, apoyo y amistad durante mi formación como alumno de doctorado; y por enseñarme que las cosas que parecen imposibles son loables. Al Instituto Politécnico Nacional, por la beca PIFI y por ser mí casa de estudios desde el nivel medio superior. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, por brindarme el apoyo económico para realizar mis estudios de Doctorado. Al Instituto Mexicano del Petróleo, por la beca de doctorado complementaria otorgada, y en especial al Dr. Alfonso Pérez Arellano, por su apoyo incondicional y amistad.

iii

LISTA DE FIGURAS

Número de figura Página Figura 1.1 Dinámica del precio del petróleo 1900–2000. Precios corrientes vs 4

Precios constantes 2000 ($/bl). Figura 3.1 La curva de Koch. 34 Figura 3.2 El triángulo de Sierpinski. 35 Figura 3.3 Fractal auto-afín determinístico. 36 Figura 3.4 Evolución de una interfase. 38 Figura 3.5 Interfase en experimentos de imbibición. 52 Figura 3.6 Curva del comportamiento histórico del petróleo crudo WTI. 52 Figura 4.1 Evolución de los precios del petróleo crudo WTI (1986-2002). 59 Figura 4.2 Volatilidades históricas de los precios del petróleo crudo WTI. 60 Figura 4.3 Volatilidades históricas de los rendimientos logarítmicos de los precios 61

del petróleo crudo WTI. Figura 4.4 Volatilidades históricas del valor absoluto de los rendimientos 62

logarítmicos de los precios del petróleo crudo WTI. Figura 4.5 Distribuciones de probabilidad condicional: de los precios del 63 petróleo crudo WTI y de las volatilidades históricas de los precios. Figura 4.6 Distribuciones de probabilidad condicional: de los rendimientos 64

logarítmicos de los precios del petróleo crudo WTI y de las volatilidades históricas de los rendimientos logarítmicos.

Figura 4.7 Distribuciones de probabilidad condicional: del valor absoluto de los 65

rendimientos logarítmicos de los precios del petróleo crudo WTI y de las volatilidades históricas del valor absoluto de los rendimientos logarítmicos.

iv

Figura 4.8 Función de autocorrelación de los precios del petróleo crudo WTI 66 y gráficas fractales de los precios. Figura 4.9 Gráfica fractal de las tres primeras ondoletas de los precios del petróleo 67 crudo WTI. Figura 4.10 Gráficas fractales de las volatilidades históricas de los precios del 68 petróleo crudo WTI. Figura 4.11 Resultados del análisis de escalamiento de la volatilidad histórica de los 69 precios del petróleo crudo WTI. Figura 5.1 Metodología de predicción de precios del petróleo 75 Figura 5. 2 Promedios de los precios del petróleo. 76 Figura 5.3 Promedios del exponente de Hurst de δ(τ). 77 Figura 5.4 Ventana del software Benoit 1.2, a partir de la cual se generaron las 78

300 trazas que se emplearon de punto de partida para predecir los precios del petróleo.

Figura 5.5 Precios históricos mensuales del petróleo crudo WTI (enero de 1986 a 83 diciembre de 2003) a dólares constantes de 2003. Figura 5.6. Precios mensuales pronosticados del petróleo crudo WTI (enero de 83

2004 a noviembre de 2016) a dólares constantes de 2003. Figura 5.7. Precios mensuales históricos y pronosticados del petróleo crudo WTI a 84

dólares constantes de 2003. Figura 5.8. Precios promedio mensuales pronosticados del petróleo crudo WTI a 84

dólares constantes de 2003. Figura 5.9. Proyecciones de cinco empresas internacionales, de PEMEX y del 86

presente trabajo (Tesis) para los precios anuales del petróleo crudo WTI (2004 - 2015), en dólares constantes de 2003.

v

LISTA DE TABLAS

Número de tabla Página Tabla 5.1 Valores máximos y mínimos de las 300 series de precios promedio 79

del petróleo. Tabla 5.2 Promedios globales de los precios con signos positivos (tendencia 80

alcista) y con signos negativos (tendencia descendente). Tabla 5.3 Proyecciones de cinco empresas internacionales, de PEMEX y del 85

presente trabajo (Tesis) para los precios anuales del petróleo crudo WTI (2004 - 2015), en dólares constantes de 2003.

Tabla A.1 Inflaciones anuales de Estados Unidos, tomando como año base 1983. 93 Tabla B.1 Parámetros estadísticos de las distribuciones que ajustan el 94 comportamiento de la volatilidad histórica de los precios del petróleo

crudo WTI. Tabla B.2 Parámetros estadísticos de las distribuciones que ajustan el 95 comportamiento de la volatilidad histórica de los rendimientos

logarítmicos de los precios. Tabla B.3 Parámetros estadísticos de las distribuciones que ajustan el 97 comportamiento de la volatilidad histórica del valor absoluto de los

rendimientos logarítmicos. Tabla D.1 Exponentes de Hurst de los precios del petróleo crudo WTI. 100 Tabla D.2 Exponentes de Hurst de la volatilidad histórica de los precios del 101

petróleo crudo WTI. Tabla E.1 Exponente de Hurst para el valor absoluto de rendimientos logarítmicos 102 Tabla F.1 Precios promedio obtenidos a partir de la primera traza que se generó 104

de manera aleatoria con el software Benoit 1.2.

Tabla G.1 Precios obtenidos al promediar las 300 trazas generadas de manera 108 aleatoria con el software Benoit 1.2.

vi

Tabla H.1 Inflaciones anuales de Estados Unidos, tomando como año base 2003. 109

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RESUMEN

La dinámica de todos los sistemas complejos reales manifiesta una parte aleatoria, causada por la no-linealidad característica de los sistemas dinámicos y/o por el ruido estocástico externo. Como ejemplos de sistemas dinámicos complejos tenemos a los sistemas físicos, biológicos, de cómputo, sociales y económicos. Dichos sistemas generalmente exhiben una invarianza a diferentes escalas; es decir, su comportamiento no cambia por el reescalado de las variables (por ejemplo, espacio y tiempo) que gobiernan su dinámica. Esto nos permite emplear el enfoque de escalamiento dinámico para estudiar la cinética del crecimiento de interfaces rugosas, así como las series de tiempo que contengan datos de los mercados financieros (por ejemplo, los precios).

La dinámica de los mercados financieros recientemente ha llegado a ser de

mucho interés para los físicos debido a su amplio y complejo comportamiento de escalamiento, análogo a lo que comúnmente se observa en los sistemas físicos con muchas unidades que interactúan todo el tiempo. Muchas de las propiedades estadísticas de los mercados financieros han sido ya estudiadas, revelando sorprendentes similitudes entre la dinámica de la volatilidad de precios y la cinética del crecimiento de interfaces rugosas. Por consiguiente, los modelos físicos han sido utilizados para entender mejor la dinámica de los mercados bursátiles. Esto nos permite emplear el enfoque de escalamiento dinámico para estudiar la cinética del crecimiento de interfases rugosas así como analizar las series de tiempo de los sistemas económicos. De esta forma, se espera que el análisis de los sistemas económicos pueda revelar resultados novedosos que sean aplicados al entendimiento de la dinámica de otros sistemas complejos.

En este trabajo, se analiza la dinámica de los precios del petróleo, dentro de

un marco conceptual de la cinética del crecimiento de interfaces rugosas. Se ha hallado que la volatilidad histórica de los precios del petróleo a largo plazo es persistente, lo cual satisface el escalamiento dinámico de Family-Viscek ansatz; mientras que a corto plazo la volatilidad histórica es antipersistente, obedeciendo a la ley generalizada de escalamiento con variaciones continuas en los exponentes de escalamiento. Asimismo, se encontró que la transición de un comportamiento antipersistente a otro persistente está acompañado por un cambio en el tipo de distribución estadística de la volatilidad. Este fenómeno es atribuido a la dinámica compleja de avalanchas del mercado petrolero, el cual puede ser también observado en una amplia gama de sistemas físicos gobernados por la dinámica de avalanchas.

Con base a lo anterior, se desarrolló una metodología de predicción de

precios del petróleo, se desarrollaron escenarios probabilísticos del futuro

viii

comportamiento del petróleo. El escenario más probable indicó un precio casi constante del petróleo crudo WTI de 30.82 $/bl para los años 2004 –2015.

Finalmente se compararon los precios pronosticados en este trabajo con los

pronósticos generados por cinco empresas extranjeras de consultaría y por Pemex, a fin de validar la metodología de predicción de precios desarrollada. Mientras que las cinco consultarías y Pemex pronostican un descenso en los precios del petróleo, en este trabajo se proyecta un precio constante de 30.82 $/bl.

ix

ABSTRACT

Dynamics of all realistic complex systems always exhibits some part of randomness, either due to internal reasons, specific for nonlinear dynamical systems, or caused by external stochastic noise. Examples include many physical, biological, computer, social, and economic systems. These systems commonly exhibit dynamic scaling invariance, i.e. their behaviour does not change under rescaling of variables (for example, space and time) combined with an appropriate rescaling of the observables and the control parameters. This allows us to use the dynamic scaling approach to study the kinetic roughening of growing interfaces, as well as the financial time series (for example, prices).

The dynamics of financial markets has recently becomes a focus of interest to physicists because of its rich and complex scaling behaviour analogous to that commonly observed in physical systems with many interacting units. Many statistical properties of financial markets have already been explored, and have revealed striking similarities between price volatility dynamics and the kinetic roughening of growing interfaces. Accordingly, physical models have been shown to have wide application to understanding the dynamics of stock markets. On the other hand, the statistical analysis of economic time series might yield novel results, providing new insights into dynamics of very different complex systems.

In this work we analyze the behaviour of crude oil price volatility within a conceptual framework of kinetic roughening of growing interfaces. We find that the persistent long-horizon volatilities satisfy the Family-Viscek dynamic scaling ansatz, whereas the mean-reverting in time short horizon volatilities obey the generalized scaling law with horizon varying scaling exponent. We also found that the crossover from anti-persistent to persistent behaviour is accompanied by a change in the type of volatility distribution. These phenomena are attributed to the complex avalanche dynamics of crude oil markets and so a similar behaviour may be observed in a wide variety of physical systems governed by avalanche dynamics.

Taking into account the findings about the behaviour of crude oil price volatility, in this work we developed a methodology for forecasting the future behaviour of crude oil price. We forecast a crude oil price of 38.20 $/bl from 2004 to 2015. Finally, in order to validate the methodology developed, we compared our forecast with the forecasts generated by five foreign consulting companies and by Pemex. Our forecast is practically constant and the other six forecasts show a downtrend.

x

APORTACIONES

En el presente trabajo, por primera vez en México, se desarrolla una metodología de predicción de precios del petróleo, basada en la identificación y caracterización de los parámetros estadísticos que gobiernan el comportamiento global de la volatilidad histórica de los precios del petróleo a diferentes escalas. A su vez, esta caracterización estadística se realiza dentro de un marco conceptual de la cinética del crecimiento de interfases rugosas. Un aspecto relevante de este trabajo es el tratamiento estadístico de los exponentes de escalamiento, producto del análisis fractal.

Las aportaciones más importantes son las siguientes:

1. Se confirma que el comportamiento de la volatilidad histórica de los precios del petróleo no es aleatorio, sino más bien que la volatilidad a corto plazo es antipersistente en el tiempo (regresión de la media), mientras que a largo plazo es persistente (correlaciones a largo plazo).

2. Se halló que la transición de la volatilidad, desde la antipersistencia hasta la

persistencia, cuando el horizonte de tiempo se ha ampliado, está acompañado por un cambio en el tipo de su distribución estadística; este fenómeno puede ser atribuido a la dinámica compleja de avalancha del mercado petrolero.

3. Se encontró que el comportamiento de la volatilidad se ajusta mejor a corto

plazo (antipersistencia) con la distribución de probabilidad Pearson (de colas ligeras), y a largo plazo con la distribución Log-logística (de colas pesadas). Estos hallazgos sugieren que la dinámica de la volatilidad de precios está gobernada por un estado crítico auto-organizado: el sistema salta de un estado metaestable a otro crítico por la dinámica de avalanchas. Este comportamiento es similar a lo que sucede con las avalanchas en una pila de granos de arena: el sistema evoluciona a un estado crítico, sin ningún cambio aparente en sus parámetros.

4. Con base a la caracterización estadística del comportamiento de la volatilidad

de los precios del petróleo, se desarrolló una metodología de predicción de precios del petróleo, proyectando un precio promedio anual de 32.80 $/bl del año 2004 al año 2015. Este precio se mantiene prácticamente igual para todo el periodo pronosticado. Pero cinco consultarías extranjeras y Pemex pronostican (para el mismo periodo) un precio promedio anual entre los 23 y los 26 $/bl; es decir, ellos consideran que los precios del petróleo van a disminuir.

xi

Los resultados de este trabajo han sido aceptados para su publicación en

una revista nacional (Científica) y en otra internacional (Physical Review E), así como presentados en un congreso nacional (7º Congreso Nacional de la ESIME).

Capítulo 1. Introducción

1

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

Desde finales del siglo XIX, el petróleo ha sido la principal fuente de energía para el ser humano, y es el recurso natural más ampliamente usado en la producción de energía. El consumo mundial de petróleo excede los 500 billones de dólares, aproximadamente 10% del producto interno bruto (PIB) de Estados Unidos (EUA). El petróleo es también la mercancía más comercializada en el mundo, abarcando cerca de 10% del comercio mundial [1.1]. El petróleo y sus productos refinados no sólo son importantes para los agentes del mercado petrolero, sino también para los gobiernos y la sociedad, porque casi todos los bienes producidos en el mundo tienen que ver en alguna etapa de su manufactura con el petróleo.

El desempeño de las industrias petroquímica, de generación de electricidad y

automotriz, así como los presupuestos gubernamentales de los países productores de petróleo, como Venezuela, Arabia Saudita y México, están fuertemente ligados a los precios actuales y pronosticados del petróleo [1.2], los cuales han sido muy volátiles desde la década de 1970. Por lo tanto, los movimientos en los mercados petroleros afectan la oferta y demanda de los otros energéticos e incentivan o desincentivan la inversión para desarrollar fuentes alternas de energía [1.3].

Asimismo, los movimientos violentos y repentinos en los precios del petróleo

han tenido impactos macroeconómicos adversos a la producción global y al empleo en muchos países del mundo (incluyendo a México). Precios de petróleo más altos adversamente afectan la balanza comercial, propician mayor inflación y acrecientan el desempleo en los países importadores. El aumento del crecimiento económico en los países exportadores, debido a precios más altos, es menos benéfico que el impacto de las pérdidas en los países importadores, de tal suerte que el efecto neto en la economía global es negativo. Dado lo anterior, productores y consumidores de energía regularmente intentan pronosticar la dinámica del mercado petrolero internacional, a través de la predicción de los precios del petróleo para horizontes de tiempo de hasta 20 o 30 años, con el propósito de realizar su planeación estratégica y de evaluar decisiones de inversión relacionadas con la exploración de recursos, el desarrollo de reservas y la producción [1.3]. Esta tarea ha sido prácticamente imposible al aplicar los


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enfoques tradicionales que implican relaciones lineales, debido a que los precios del petróleo han sido muy volátiles porque el mercado petrolero internacional se encuentra inmerso en un ambiente de capital intensivo, caracterizado por las interacciones complejas de una gran gama de productos, el transporte y almacenamiento de los mismos, así como una estricta regulación ambiental. Por ende, puede considerarse al mercado petrolero como un sistema dinámico complejo cuyas reglas de evolución quieren ser investigadas. La física estadística estudia a los sistemas complejos, a partir de la dinámica que éstos manifiestan, en lugar de hacerlo a través de la descripción de sus componentes. Esto le permite abordar, de una forma conceptualmente unificada, una variedad de sistemas con diversos componentes, pero con comportamientos globales similares [1.4]. Por lo tanto, pueden aplicarse conceptos de la física estadística al análisis del comportamiento global del mercado petrolero. Por lo anterior, este trabajo tiene el propósito de desarrollar una metodología de predicción de precios del petróleo, basada en la identificación y caracterización de los parámetros estadísticos que gobiernan la dinámica de los precios del petróleo a diferentes escalas. 1.1 Antecedentes y planteamiento del problema

El precio del petróleo ha promediado 19.27 dólares por barril ($/bl), en dólares constantes de 1996 (valor real, considerando a 1996 como año de referencia), durante el periodo de 1947 a 1997. El precio sólo ha excedido 22 $/bl, en respuesta al conflicto del Medio Oriente. Los mayores desequilibrios del precio durante este periodo fueron causados por el embargo petrolero de Arabia Saudita en 1973, los eventos en Irán e Irak de 1978 y 1980 y la invasión de Irak a Kuwait en 1990. Como resultado de la guerra del Yom Kippur (Día de la Redención), el precio, que había permanecido entre los 2.50 y los 3 $/bl desde 1948, se cuadruplicó de 3 $/bl en 1972 a 12 $/bl al final de 1974. La Revolución Iraní y la subsiguiente guerra entre Irán e Irak casi triplicaron el precio de 14 $/bl en 1978 a 35 $/bl en 1981. La consecuente recesión mundial y el desarrollo de fuentes alternas de energía provocaron un descenso en la demanda y una caída en el precio en casi toda la década de 1980. Los esfuerzos de la Organización de Países Exportadores de Petróleo (OPEP) para fijar cuotas de producción, en un intento por aumentar el precio, fracasaron rotundamente porque sus miembros frecuentemente rebasaban los límites establecidos. Por ejemplo, en 1986 Arabia Saudita elevó su producción de 2 a 5 millones de barriles por día (mmbpd), causando que el precio se precipitara por debajo de los 10 $/bl. El precio se volvió volátil de nuevo en 1990 y 1991 debido a la incertidumbre creada por la invasión de Irak a Kuwait, pero se estabilizó en la víspera de una resolución militar encabezada por EUA y, como consecuencia, de un


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incremento en la oferta por parte de los demás países. La recesión en EUA causó un descenso en el precio y en 1994 el precio constante llegó a su más bajo nivel desde 1973. Posteriormente, una fuerte economía norteamericana y el crecimiento económico en los países asiáticos motivaron una fuerte alza en la demanda. La demanda mundial del petróleo creció 2.8% en 1995 y 2.2% en 1996, por lo que el precio se incrementó aproximadamente 6 $/bl durante ese año. A pesar de que Irak volvió a tener actividad en el mercado internacional en diciembre de 1996, la recuperación del precio prosiguió en 1997, hasta que éste cayó bruscamente a 10 $/bl en 1998, producto de la crisis económica en Asia y del invierno de 1997 a 1998, el cual no fue severo ni prolongado. En la figura 1.1 se presenta la evolución del precio del petróleo (1900-2000), en dólares corrientes (precio de mercado) y dólares constantes de 2000.

El precio del petróleo ha fluctuado bruscamente en los últimos años, cayendo

en 2001 a 21.55 $/bl por una débil demanda, mayor producción no-OPEP de lo que se anticipaba, algunas trampas de los miembros de la OPEP (con relación a sus estrategias para administrar el mercado) y a la decisión de Arabia Saudita de posponer recortes en su producción, consecuencia de los ataques terroristas del 11 de septiembre en ese año a EUA. Durante 2002, el precio aumentó 10 $/bl. A principios de 2003, se experimentó una drástica alza en el precio por dos factores. Primero, una huelga nacional en Venezuela contra el régimen del presidente Chávez, resultando en una repentina caída en las exportaciones petroleras de ese país; aunque los otros productores de la OPEP han acordado incrementar su producción para compensar esta caída, existe un desequilibrio en las reservas mundiales de petróleo, reflejándose en precios altos. Segundo, la volatilidad del precio se agudizó por la guerra de EUA contra Irak. La Agencia de Información Energética proyecta que el precio del petróleo alcance los 26.57 $/bl a finales de 2003 (dólares de 2001) [1.5].

Precios más altos del petróleo y la especulación sobre sus escaladas futuras,

junto con un estancamiento en los negocios y una pérdida en la confianza del consumidor, amenazan la recuperación económica para 2003 y 2004.

Como consecuencia del enorme impacto que las fluctuaciones en los precios

del petróleo han tenido en la economía global desde la década de 1970, Crémer y Salehi-Isfahani [1.6] han manifestado que los economistas, desde la década de 1970, han tratado de entender las fuerzas fundamentales que trabajan en el mercado petrolero internacional y predecir el comportamiento futuro de los precios y los niveles de producción. Los modelos que estos autores describen se conocen como modelos tradicionales, los cuales incluyen los modelos informales, modelos de simulación, modelos teóricos y modelos econométricos.

Los modelos informales están expuestos con muy poco o nulo simbolismo,

con mucha atención en el aspecto institucional (funcionamiento de la OPEP y


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suposiciones que no siempre resultan claras). La mayoría de los economistas que han analizado el mercado petrolero han empleado estos modelos porque no hay necesidad de encontrar expresiones matemáticas. Estos modelos se dividen en dos categorías básicas: (a) del comportamiento monopolista y (b) del comportamiento competitivo. A pesar de sus defectos, los modelos informales han sido los más usados para explicar los aspectos institucionales y políticos relacionados al mercado petrolero. Concentrándose en aspectos tales como la estructura del mercado y basándose en suposiciones que no tienen un origen explícito. Pero estos modelos ignoran la importancia, dentro del mercado petrolero internacional, de productores no-OPEP (como México, Rusia, Noruega, Gran Bretaña) y la forma en que éstos pueden influir en el precio del mercado.

0.00

5.00

10.00

15.00

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25.00

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65.00

1900 1905 1910 1915 1920 1925 1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

US$00 US$ CORRIENTES

PRIMERAGUERRAMUNDIAL(1914/18)

LA GRANDEPRESIÓN(1929)

FORMACIÓNDE LAOPEP (1960)

CONFLICTOARABE ISRAELÍ (1973)

REVOLUCIÓNIRANÍ (1979)

GUERRADELGOLFO(1990)

PRECIOSNETBACK(1986)

CRISISASIATICA"EL NIÑO"(1997/98)

SEGUNDA GUERRAMUNDIAL1940/45

Figura 1.1. Evolución del precio del petróleo 1900–2000. Precios corrientes vs Precios constantes 2000.

Los modelos de simulación son cuantitativos, compuestos por un sistema de

ecuaciones (normalmente resuelto por computadora) que representan el comportamiento de los agentes y de una solución global que describe el equilibrio del mercado en particular. Estos modelos tienen por objetivo la predicción a largo plazo, aunque, contrario a los econométricos, no permiten fácilmente su validación al realizar la comparación de datos y se clasifican en tres tipos: (a) modelos formales,


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(b) modelos de optimización y (c) modelos de balance de energía. La más sobresaliente contribución de estos modelos ha sido la de precisar la importancia en los retrasos en la oferta de los países no-OPEP. Se espera que se analicen con estos modelos los siguientes dos aspectos: (1) demoras que son normalmente integradas en el modelo, mediante retrasos arbitrarios por la reacción de los agentes, y (2) el factor “incertidumbre”, ocasionado por la volatilidad en los precios.

Los modelos teóricos intentan explicar el mercado petrolero desde el punto de vista de la administración de los recursos naturales, en vez de hacerlo desde el aspecto organizacional o industrial (estructura del mercado). La mayoría de estos modelos sólo explican cómo los dueños de las más grandes reservas petroleras explotarían su poder de mercado, valiéndose de técnicas estadísticas empleadas en macroeconomía. De igual forma, estos modelos tratan a los miembros del cartel como maximizadores de ganancias por la interrelación entre las decisiones sobre la extracción del petróleo y la estrategia de desarrollo de los países. Sin embargo, estos modelos no contemplan el papel de los incentivos para que los países de la OPEP hayan establecido individualmente sus volúmenes de producción y nivel de precios del crudo, rompiendo con ello lo acordado por la propia OPEP; ni tampoco toman en cuenta a la demanda del petróleo como factor para fijar el precio del mismo. Por lo tanto, algunos teóricos han reconocido el poder de los países consumidores, apoyándose en la teoría de juegos para construir modelos teóricos que expliquen el comportamiento entre productores (en su mayoría países en vías de desarrollo) y consumidores (en su mayoría países desarrollados) de petróleo, mediante el control de las tasas de exportación e importación.

Una ventaja de estos modelos ha sido la inclusión del mercado de futuros para explicar el comportamiento de los países consumidores. No obstante, estos modelos han fallado en considerar a los países productores de la OPEP como un cartel teórico, además de suponer relaciones de mercado perfectas entre productores y consumidores, ya que en el mercado petrolero la complejidad de las interacciones estratégicas dinámicas puede crear efectos contraproducentes (tales como los programas de investigación y desarrollo sobre alternativas de almacenamiento del petróleo, de nuevos procesos de extracción y de nuevas fuentes de energía).

Los modelos econométricos han sido aplicados para explicar la estructura del mercado y el funcionamiento del mismo desde la década de 1980. Estos modelos surgieron por la necesidad de describir la naturaleza Inter-temporal de la demanda petrolera, cuando ésta es afectada por las expectativas de los precios futuros, mediante el empleo de pruebas econométricas con tres diferentes enfoques: (a) sistema estático de la oferta y del precio, (b) análisis de los tópicos dinámicos resultantes de la exhaustibilidad y (c) metodología del “estudio del evento”.


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Los economistas que han desarrollado y aplicado los modelos informales para el análisis y la predicción del comportamiento del mercado petrolero, enfrentan dos retos, a diferencia de aquellos que analizan otros mercados. Primero, los productores más importantes son gobiernos; los economistas no han desarrollado una teoría para los gobiernos. Segundo, los datos analizados no han sido confiables porque el mercado petrolero es un sistema dinámico que está en constante cambio (por ejemplo, los estimados de la elasticidad de la demanda son muy imperfectos). Asimismo, estos modelos informales no han puesto atención en la “incertidumbre”, que está íntimamente vinculada con la capacidad de producción. Es muy importante, para fines de análisis y predicción, considerar la incertidumbre porque los productores ajustan sus producciones de acuerdo a los niveles de volatilidad de los precios del petróleo.

De acuerdo con Pindyck [1.7] entender la dinámica de la volatilidad de los

precios del petróleo es muy importante en las valuaciones de instrumentos derivados, así como para tomar decisiones de cobertura contra riesgos y decisiones de inversión en capital físico vinculado a la producción y consumo del petróleo y del gas natural. Como consecuencia de lo anterior, se han aplicado los modelos dinámicos tipo ARCH / GARCH para describir y pronosticar la volatilidad de los precios del petróleo [1.8-1.11]. La volatilidad ha sido tradicionalmente descrita y pronosticada por los modelos ARCH [1.10]. Dichos modelos involucran relaciones lineales entre los valores absolutos de los rendimientos logarítmicos de precios (pasados y presentes). La volatilidad para cierto tiempo influye en las volatilidades futuras.

Los modelos ARCH /GARCH se han aplicado para predecir la volatilidad de los precios del petróleo, ya sean spot (de contado) o futuros. Day y Lewis [1.9] compararon los pronósticos de las volatilidades implícitas (actuales) e históricas de los precios del petróleo (de noviembre de 1986 a marzo de 1991), generados con los modelos tipo ARCH. Duffe y Gary [1.10] generaron pronósticos para la volatilidad en los mercados del crudo, petróleo para calefacción y gas natural, durante el periodo de mayo de 1998 a julio de 1992; los pronósticos obtenidos con los modelos tipo ARCH fueron comparados con la volatilidad futura para determinar la precisión del pronóstico, encontrando que la volatilidad implícita produce mejores pronósticos en el corto plazo que los pronósticos del modelo GARCH. Sharma [1.11] aplicó un modelo tipo ARCH, empleado para capturar la distribución característica de cola pesada de los rendimientos de precios; su estudio confirma los hallazgos de Day y Lewis sobre la información contenida en las volatilidades implícitas y la información (generada en los modelos tipo ARCH) de los rendimientos históricos, para los precios históricos del petróleo en el periodo noviembre 1986 - marzo 1991. Sharma sugiere mejorar los pronósticos de la volatilidad del mercado petrolero, a través de una caracterización, por ejemplo estadística, de la misma volatilidad histórica.


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Por otra parte, Pindyck [1.12] analizó el comportamiento de la volatilidad de los

precios del petróleo y del gas natural desde 1990 hasta 2001, con el propósito de estimar la persistencia de los desequilibrios causados por la volatilidad. Pindyck encontró que, aunque la volatilidad fluctúa considerablemente, los desequilibrios causados por la volatilidad son de corta duración: de cinco a diez semanas. Finalmente, Kupper [1.13] intentó entender la naturaleza de dependencia de la varianza condicional de la volatilidad histórica de los precios del Brent (enero 1982 a abril 2002) con el apoyo de los modelos G(ARCH) se enfocó a analizar la volatilidad del precio del crudo marcador Brent, concluyendo que el proceso de volatilidad no regresa a su media, es decir, que existe persistencia en los datos de la volatilidad histórica.

Los modelos ARCH pueden ser efectivos para pronosticar la volatilidad, ya

que existe un amplio número de trabajos dedicados a problemas de la estimación de parámetros y variaciones del modelo básico. Pero estos modelos no son compatibles con todas las propiedades empíricas de las fluctuaciones de precios. Por ejemplo, estos modelos no contemplan el decrecimiento asintótico de ley de potencia en la función de autocorrelación de la volatilidad, debido a que están mal estructurados: su estructura lineal simple no es lo suficientemente general para capturar completamente la estructura temporal real de la volatilidad. Asimismo, estos modelos ajustan la volatilidad a una cierta escala de tiempo t, pero no la ajustan a diferentes escalas.

Para tratar de ajustar el comportamiento de la volatilidad a diferentes escalas de tiempo τ, en la última década se han aplicados conceptos de la física estadística (econofísica), tales como escalamiento, fractales, distribuciones de ley de potencia, autocorrelación y renormalización de grupos, al análisis de los sistemas económicos y mercados financieros, dando pie a conclusiones contrarias a la creencia de que las fluctuaciones de precios son totalmente aleatorias. Esto ha motivado que algunos físicos y matemáticos se interesen en aplicar esos conceptos al análisis de la dinámica de los precios del petróleo, en busca de un comportamiento de ley de potencia, invarianza de escala y de correlaciones a largo plazo. encontrándose, desde un punto de vista estadístico, evidencias empíricas de que la dinámica del mercado petrolero es similar a la de los mercados bursátiles y de divisas [1.2,1.14,1.15].

Lynch y Allison [1.14] realizaron un análisis fractal (de escalamiento), a través del cálculo del exponente de Hurst, H, para determinar cuánto le toma al mercado de futuros del Brent regresar a su equilibrio después de un incremento repentino en la volatilidad por las transacciones especulativas realizadas. Los datos investigados fueron los rangos de las transacciones de especulación realizadas en el mes anterior (1989-1999). Estos autores encontraron, después de analizar los rangos, que H =


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0.29 (proceso de ruido rosa: antipersistencia), por lo que concluyeron que después de un rango de transacciones especulativas excesivamente grande, el rango de negociaciones del siguiente día tiene una probabilidad de 71% de ser menor que el valor del día anterior. Esto se interpreta como el hecho de que el mercado está intentando alcanzar su nivel de equilibrio en el rango negociado.

Matia et al. [1.15] analizó los rendimientos diarios de los precios spot para 29 mercancías (incluyendo el crudo Brent) y los rendimientos diarios para 13 índices bursátiles durante un periodo mayor a 10 años. Los hallazgos de estos investigadores fueron que las distribuciones de rendimientos para los precios futuros decrecen como ley de potencia con exponentes α ~ 3.2 (significativamente más grande que α = 2, y por lo tanto fuera del dominio del régimen estable de Lévy); mientras que para los precios spot ellos obtuvieron α ~ 2.3 (lo cual está marginalmente fuera del régimen de Lévy); es decir, los autores encontraron, estadísticamente hablando, similitudes entre la dinámica de los mercados de mercancías y la dinámica de los índices bursátiles, lo cual refuerza la probabilidad de un mecanismo universal subyacente en ambos mercados y abre la posibilidad de emplear los modelos dinámicos, basados en evidencias empíricas, aplicados en los mercados bursátiles y de divisas, para analizar la dinámica de precios en el mercado petrolero.

Por último, Álvarez et al. [1.2] estudió los registros diarios de los precios internacionales del petróleo (Brent, WTI y Dubai, 1981–2001) usando métodos de análisis multifractal. Al emplear el método del rango reescalado (R/S) para determinar el exponente de Hurst promedio (H = 0.74 para los rendimientos), los autores encontraron evidencias de que el mercado petrolero es un proceso estocástico persistente con efectos de memoria a largo plazo. Por otra parte, su análisis de correlación cruzada reveló evidencias de estructuras multifractales, en el sentido de que la dinámica de precios desplegó una mezcla de exponentes H (rugosidad), a corto plazo (de días a semanas) y a largo plazo (de semanas a trimestres); es decir, las fluctuaciones de precios del petróleo transitan de un dominio de antipersistencia a uno de persistencia (correlaciones a largo plazo). Sin embargo, este estudio tiene limitaciones importantes: (1) sólo se considera el método R/S para obtener H, siendo que existen otros métodos de análisis fractal más confiables para estudiar la dinámica de precios; y (2) nada más se analizan los precios del petróleo, pero lo que realmente se debe analizar, caracterizar y modelar es la volatilidad de los precios para explicar y predecir con mayor precisión la dinámica del mercado petrolero. Dado lo anterior, aún continua el problema de lograr caracterizar los parámetros estadísticos que gobiernan la dinámica de la volatilidad de los precios del petróleo, a fin de establecer estar en posibilidades de predecir el comportamiento de los precios del petróleo. Una alternativa para este problema es considerar al mercado


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petrolero como un sistema dinámico complejo, analizando su evolución a través de la aplicación de conceptos de la física estadística para fenómenos físicos que están lejos del equilibrio (no lineales). 1.2 Justificación

La dinámica de todos los sistemas complejos reales manifiesta una parte aleatoria, causada por la no-linealidad característica de los sistemas dinámicos y/o por el ruido estocástico externo. Como ejemplos de sistemas dinámicos complejos tenemos a los sistemas físicos, biológicos, de cómputo, sociales y económicos [1.16]. Dichos sistemas generalmente exhiben una invarianza a diferentes escalas; es decir, su comportamiento no cambia por el reescalado de las variables espacio - tiempo que gobiernan su dinámica [1.17,1.18]. Esto nos permite emplear el enfoque de escalamiento dinámico para estudiar la cinética del crecimiento de interfaces rugosas, así como las series de tiempo que contengan datos de los mercados financieros (incluyendo al mercado petrolero), con el propósito de descubrir los parámetros que controlan las propiedades estadísticas del sistema global a diferentes escalas.

La dinámica de los mercados financieros recientemente ha llegado a ser de mucho interés para los físicos debido a su amplio y complejo comportamiento de escalamiento, análogo a lo que comúnmente se observa en los sistemas físicos con muchas unidades que interactúan todo el tiempo [1.19]. Muchas de las propiedades estadísticas de los mercados financieros han sido ya estudiadas, revelando sorprendentes similitudes entre la dinámica de la volatilidad de precios y la cinética del crecimiento de interfaces rugosas: distribuciones de ley de potencia y correlaciones a largo plazo [1.20]. Por consiguiente, los modelos físicos han sido utilizados para entender mejor la dinámica de los mercados bursátiles [1.21,1.22]. Esto ha motivado que en el presente trabajo se emplee el enfoque de escalamiento dinámico para analizar los precios del petróleo; esperando encontrar los parámetros que gobiernan globalmente su propiedades estadísticas a diferentes escalas, traduciéndose esto en la capacidad de predecir el comportamiento de los precios del petróleo. 1.3 Objetivo y metas

El objetivo principal del presente trabajo es desarrollar una metodología de predicción de precios del petróleo que permita generar escenarios probabilísticos sobre el futuro comportamiento de los precios del petróleo.

La metas a alcanzar son la siguientes:


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1. Analizar la manera en que el enfoque de escalamiento dinámico es aplicado a

dinámica del crecimiento de interfases rugosas y cómo este escalamiento dinámico podría ser empleado en el análisis de las series de tiempo financieras.

2. Identificar y caracterizar los parámetros estadísticos que gobiernan globalmente

el comportamiento de los precios del petróleo a diferentes escalas, dentro de un marco conceptual de la física estadística y de la cinética del crecimiento de interfaces rugosas.

3. Desarrollar y aplicar una metodología de predicción de precios del petróleo, que

permita generar escenarios probabilísticos sobre el futuro comportamiento de los precios del petróleo.

4. Validar la metodología de predicción de precios desarrollada. 1.4 Metodología

La investigación consiste en identificar y caracterizar estadísticamente los parámetros que gobiernan la dinámica global de los precios del petróleo, a fin de predecir, de manera estadística, el comportamiento de los precios del petróleo. Para ello se emplean conceptos de la física estadística; además de algunos conceptos de probabilidad y geometría fractal.

En el capítulo 2 se dan a conocer algunos conceptos de la física estadística (econofísica) que han sido aplicados en el análisis de los mercados financieros. En el capítulo 3 se describe la forma en que el análisis fractal (de escalamiento) se ha aplicado en la cinética del crecimiento de superficies rugosas. El análisis estadístico y de escalamiento, para caracterizar el comportamiento de los precios del petróleo, se muestra en el capítulo 4, buscando correlaciones a largo plazo. En el capítulo 5 se desarrolla, aplica y valida una metodología para predecir el comportamiento de los precios del petróleo. Finalmente, se presentan las conclusiones y se anexan las publicaciones en revistas y las presentaciones en congresos en donde se difundieron los resultados de este trabajo.


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1.5 Referencias [1.1] S. Galina-Hidalgo, D. Romo, & A. Pérez. Journal Energy and Development, No. 28, 2002, pp. 57-68. [1.2] J.R. Alvarez, M. Cisneros, C.V. Ibarra, & A. Soriano. Multifractal Hurst analysis of crude oil prices; Physica A 313, abril, 2002, pp. 651-670. [1.3] P. Sadorsky. Oil price shocks and stock market activity; Energy Economics, 21 (5), 1999, pp. 449-469. [1.4] F. Guinea, E. Louis, & M. San Miguel; La ubicuidad como futura de la Física Estadística y No Lineal; Instituto de Ciencia de Materiales de Madrid, Cantoblanco, Madrid, España, 2000. [1.5] Energy Information Administration. International Energy Outlook 2003; mayo 2003, version en linea: web site www.eia.doe.gov/oiaf/ieo/index.html. [1.6] J. Crémer & D. Salehi-Isfahani. Models of the oil Market. Fundamentals of Pure and Applied Economics; Harwood Academic Publishers. Estados Unidos, 1998. [1.7] R.S. Pindyck. Volatility in natural gas and oil markets; Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts, 2003. [1.8] T.E. Day & C.M. Lewis. Forecasting Futures Markets Volatility; The Journal of Derivates, Winter, 1993, pp. 39-55. [1.9] D. Duffe & S. Gray. Volatility in Energy Prices, Managing Energy Prices; Risk Publications, Londres, 1995 [1.10] P. Lynch & N. Allinson. Relaxation time in the Brent Crude futures market; Pipeline issue 27, julio 2000, pp. 14-15. [1.11] N. Sharma. Forecasting Oil Volatility; Virginia, 1998. [1.12] R.N. Engle. GARCH 101: An Introduction to the Use of ARCH/GARCH models in Applied Econometrics; Nueva York, 2000. [1.13] G.H. Kuper. Measuring Oil Price Volatility; University of Groningen, The Netherlands, 2002, pp. 1-19. [1.14] P. Lynch & N. Allinson. Relaxation time in the Brent Crude futures market; Pipeline issue 27, julio 2000, pp. 14-15.


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[1.15] K. Matia, L.AN. Amaral, S.P. Goodwin, & H.E. Stanley. Different scaling behavior of commodity spot and futures prices; Physical Review E 66, marzo 2002, 045103(R). [1.16] P. Bag. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality; Copernicus, Nueva York, 1996). [1.17] J.J. Ramasco, J.M. López, & M.A. Rodríguez. Escalado Dinámico Genérico en la Rugosidad Cinética; Phys. Rev. Lett. 84, 2000, pp. 2199-2202. [1.18] L. Sittler & H. Hinrichsen. Journal Phys. A: Math. Gen. 35, 2002, pp. 10531. [1.19] R.N. Mantenga & H.E. Stanley; Nature 376, 1995, pp. 45-50. [1.20] Y. Liu, P. Gopikrishnan, P. Cizeau, M. Meyer, Ch.-K. Peng, & H.E. Stanley; Phys. Rev. E 60, 1999, pp. 1390-1400 [1.21] B.B. Mandelbrot. Fractals and Scaling in Finance; Springer, Nueva York, 1997. [1.22] J.P. Bouchaud & M. Potters. Theory of Financial Risk: From Statistical Physics to Risk Management; Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

Capítulo 2. Econofísica

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CAPÍTULO 2

ECONOFÍSICA

La física estadística es el campo de la física que intenta predecir el comportamiento de los fenómenos físicos, desde un punto de vista estadístico.

Desde hace 30 años, los físicos han logrado importantes resultados en los campos de transiciones de fases, mecánica estadística, dinámica no lineal y sistemas desordenados. En estos campos, se han desarrollado y aplicado conceptos de la física estadística, tales como distribuciones de ley de potencia, escalamiento (fractales), normalización de grupos, turbulencia y series de tiempo impredecibles (estocásticas o deterministicas), que han sido empleados por los físicos para el análisis estadístico de los sistemas económicos y mercados financieros, a partir de la década de 1990, dando como resultado el surgimiento de un nuevo campo de investigación: la econofísica [2.1].

La econofísica es un enfoque para cuantificar la economía, usando ideas, modelos y métodos computacionales y conceptuales de la física estadística. La aplicación de la física estadística en el modelado de los sistemas económicos y mercados financieros persigue ser una herramienta complementaria para los economistas y analistas financieros. Los principales objetivos de la física estadística son: (i) contribuir a un mejor entendimiento y modelado de los mercados financieros y (ii) promover el uso de los conceptos y experiencia de la física estadística en la administración de riesgos financieros [2.2].

Con los enfoques financieros tradicionales se establece que los mercados financieros son impredecibles (comportamiento aleatorio), que su comportamiento se ajusta a una distribución normal y que se rigen por la hipótesis del mercado eficiente. Sin embargo, al aplicar la física estadística al análisis de los mercados financieros, se ha hallado que la distribución de los cambios en los precios es de cola gruesa (distribución de ley de potencia), que las fluctuaciones de los precios no se comportan de manera aleatoria y que la volatilidad del precio despliega autocorrelaciones a largo plazo (persistencia) [2.3,2.4].


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De acuerdo con Stanley et al. [2.1], el objetivo de la teoría financiera moderna (relacionada con los mercados financieros) es el de desarrollar modelos teóricos que describan el comportamiento de los mercados financieros, con un enfoque hacia mecanismos causales, leyes estadísticas y poder de predicción. Por lo tanto, el enfoque de los físicos que han intentado vincular las matemáticas con las finanzas, mediante la física estadística, ha sido el de seguir un paradigma de fenómenos críticos (los cuales comprenden muchas subunidades que están interrelacionadas) para examinar hechos empíricos y construir modelos. Antes de dar a conocer los algunos conceptos de la física estadística que se consideraron en el presente trabajo para caracterizar los parámetros estadísticos que gobiernan la dinámica de los precios del petróleo, se presenta una reseña histórica sobre el interés de los físicos en el análisis del comportamiento de los precios. 2.1 Antecedentes

A simple vista, la física y la economía no tienen relación alguna. Sin embargo, ha habido casos en los que algunos físicos famosos se han interesado en los problemas económicos y financieros, entre los que tenemos los siguientes: • Predicciones sin éxito, de los precios de las acciones, realizadas por Newton y,

en consecuencia, su terrible pérdida en 1720 de 20,000 libras en la burbuja especulativa del Mar del Sur.

• Administración exitosa de los fondos de los profesores de Goetingen, llevado a cabo por Gauss.

• Explicación de la caminata aleatoria browniana y de la formulación de la condición de Chapman-Kolmogorov para el proceso Markoviano, por parte de Bachelier en su tesis doctoral sobre la teoría de la especulación, según la observación del movimiento de los precios en el mercado bursátil de París [2.5].

En los siglos XVIII y XIX, las teorías de Newton fueron transformadas en un

lenguaje más moderno de la mecánica analítica mediante los trabajos de Lagrange, Hamilton y otros más. La belleza y potencia de la mecánica analítica no pasaron desapercibidas a los economistas. En particular, los conceptos de la mecánica fueron considerados como una herramienta ideal para ser usada en la conceptualización matemática de la economía. Es tal vez sorprendente para un ingeniero financiero contemporáneo que las matemáticas hayan entrado a la economía a través de la física. Economistas como Walras, Jevons, Fisher y Pareto trataron de establecer el formalismo de la física a través del formalismo de la economía, reemplazando puntos materiales por agentes económicos, encontrando analogía entre la energía potencial y la utilidad y, entonces, evolucionar los sistemas por la analogía del principio de la acción mínima [2.6]. La fascinación con la mecánica, hasta ese momento, fue que los


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economistas estaban aún construyendo modelos mecánicos para ilustrar el concepto del equilibrio mecánico.

La naturaleza de la distribución de las fluctuaciones en los precios se remonta

a 1900 [2.5], cuando L. Bachelier en la tesis que presentó en París para obtener el grado de doctor en matemáticas, “Teoría de la especulación”, propuso el primer modelo para el proceso estocástico de los rendimientos de las acciones: un comportamiento aleatorio con variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) por la normal. Bachelier fue quien formuló la teoría del movimiento browniano sobre la base de datos económicos, cinco años antes de los trabajos pioneros de Einstein y Smoluchowski sobre la difusión.

Pero el encanto con la física clásica se dio hasta la primera mitad del siglo XX.

Es sorprendente para un físico que la revolución conceptual hecha por Boltzman (conceptos de probabilidad) y la mecánica cuántica (otro significado de la probabilidad) fueran olvidadas durante mucho tiempo por los economistas. Sugerencias visionarias de Majorana [2.7], en la década de 1930, para utilizar la física estadística en las ciencias sociales no fueron exploradas en ese tiempo, ni por físicos ni por economistas.

Casi medio siglo después de la defensa de su tesis doctoral (no muy apreciada por su consejero Poincare), las ideas de Bachelier fueron retomadas por los departamentos de economía de las universidades estadounidenses. Un pequeña modificación del proceso estocástico de Bachelier (básicamente, cambiando el ruido aditivo por uno multiplicativo) condujo a Osborne y Samuelson [2.8] a una ecuación estocástica fundamental que gobierna la evolución de los precios de las acciones y es la piedra angular de la teoría de Black, Scholes y Merton para calcular el precio correcto de una opción.

Conceptos sobre una caminata aleatoria fueron formulados empleando la creencia del carácter gausiano de un proceso estocástico. Como tal, el movimiento de los precios fue considerado como carente de memoria, con efectos casi despreciables de grandes desviaciones. A principios de la década de 1960 Mandelbrot [2.9] señaló cierta auto-similitud en el comportamiento de las mercancías comercializadas internacionalmente (commodities) a diferentes escalas de tiempo, interpretada como la aparición de una ley de potencia. Hoy, para un físico, familiarizado con los fenómenos críticos, el concepto de ley de potencia (de colas “gruesas” o “pesadas”) y de grandes fluctuaciones es obvio, aunque él o ella pueden no estar familiarizados con el hecho de que los principales conceptos del comportamiento fractal (de escalamiento), establecidos por Mandelbrot en la década de 1970, fueron precedidos en su estudio sobre los precios del algodón (1963).


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A partir de la década de 1970, los temas financieros se han ido convirtiendo en una disciplina cada vez más cuantitativa. Una fecha clave es 1973, año en que se publicó la conocida teoría de Black & Scholes, la cual proporcionó la primera fórmula racional para fijar el precio de las opciones, con base a los supuestos de inexistencia de fluctuaciones de precios inesperadas y “cero” riesgo. Técnicamente la fórmula de Black-Scholes (B-S) es sólo la solución de la ecuación calorífica, con una condición de frontera peculiar. Tal vez, la aplicación de la fórmula de B-S para la asignación del precio a las opciones fue la causa del desplome en Wall Street en agosto y septiembre de 1998, el cual impactó de manera negativa en los otros mercados.

En realidad, los mercados accionarios exhibían grandes fluctuaciones, pero un

interés limitado en este comportamiento, antes de la década de 1990 fue originado por el conservadurismo de las matemáticas financieras y por la falta de métodos matemáticos poderosos (como el del Cálculo de Ito) apropiados para los procesos con momentos divergentes.

No obstante, con el uso de la computadora y de bases de datos mucho más

extensas, fue posible tener un enfoque distinto al gausiano. Este suceso ha tenido un impacto crucial en la economía. Primero, la velocidad y el rango de transacciones han cambiado drásticamente desde 1973. De tal suerte que la computadora empezó, involuntariamente, a servir como un amplificador de las fluctuaciones. Segundo, las economías y los mercados comenzaron a observarse mutuamente de una forma más detallada, a partir de que las posibilidades de la computadora permitieron almacenar exponencialmente más datos.

De esta manera, varias combinaciones no triviales aparecieron en los

sistemas económicos, conduciendo a no linealidades. Un comportamiento no lineal y la sobreestimación del principio gausiano para las fluctuaciones de precios fueron la respuesta para el desplome del Lunes Negro en 1987 y la crisis en agosto y septiembre en 1998.

Este desplome tuvo también, no obstante, un impacto positivo, ya que permitió visualizar la importancia de los efectos no lineales. Ya Poincare había señalado la posibilidad de impredicibilidad en un sistema dinámico no lineal, estableciendo los fundamentos del comportamiento caótico. El estudio del caos se convirtió en una de las áreas más fértiles para los físicos teóricos. Ha sido sólo cuestión de tiempo para ver cómo estas ideas se han ido propagando en la economía. Irónicamente, Poincare, quien no apreció los resultados de Bachelier, fue uno de los descubridores del comportamiento caótico en los sistemas dinámicos. Hoy en día, los estudios sobre el caos, criticidad auto-organizada, redes neuronales y células autómatas son considerados herramientas importantes en las finanzas y la economía.


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Desde que los sistemas económicos empezaron a almacenar más y más datos (prácticamente cada transacción que se realiza), ha sido necesario el desarrollo y aplicación de nuevas metodologías, capaces de administrar los datos. En particular, los datos comenzaron a ser analizados usando métodos importados desde la física, en los cuales buscar correlaciones para las regularidades y lo inconvencional es apremiante.

Esta, tal vez, fue la razón por lo cual varias instituciones (más por el aspecto financiero que el de investigar los problemas macroeconómicos) iniciaron la contratación de físicos como sus “quanta” o “rocket scientists”. En los últimos diez años, otra tendencia apareció: los físicos iniciaron el estudio de la economía desde una perspectiva científica. Algunos centros de enseñanza e investigación se avocaron a estudiar la complejidad, adherida a los programas de economía e ingeniería financiera. Estos estudios fueron bien recibidos por las finanzas cuantitativas. Los físicos comenzaron a tomar el papel de los matemáticos financieros: a veces imitando las construcciones matemáticas en el lenguaje de la física, otras veces aplicando métodos únicamente desarrollados en la física, normalmente en el nivel de varias teorías efectivas de los sistemas complejos.

A partir de 1990, nuevas revistas interdisciplinarias han sido publicadas; se han organizado conferencias y problemas potencialmente tratables han sido identificados. En 1996, E. Stanley, profesor de física de la Universidad de Boston, acuñó el término “econofísica” para referirse al campo de investigación que estudia los sistemas económicos y mercados financieros a partir de bases científicas (conceptos de la física estadística).

La investigación científica de este grupo de físicos complementa los enfoques

tradicionales de las finanzas y matemáticas financieras, a través de la aplicación del concepto de distribuciones de ley de potencia (de colas pesadas).

Tal vez la consecuencia más directa de las colas pesadas es su impacto en el

control del riesgo. Con colas pesadas, la probabilidad de eventos extremos puede ser de órdenes de magnitud mayores que los de la distribución normal. Para distribuciones de colas pesadas, la varianza es un indicador de riesgo inadecuado y potencialmente erróneo. Esto fue demostrado en octubre de 1998 por la falla de Long Term Capital Management (Administración de Capital a Largo Plazo), la cual fue originada aparentemente, al menos en parte, por no haber tomado en cuenta el comportamiento de colas pesadas.

La creciente concientización de las colas pesadas está cambiando la forma en que la gente caracteriza el riesgo. Hace quince años, firmas sofisticadas de comercio cuantitativo caracterizaban el riesgo en términos de desviaciones estándar. Pero esta caracterización está apuntando hacia el modelo VaR, (Valor según el Riesgo): la


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magnitud de las pérdidas que serían generadas con un movimiento desfavorable de una probabilidad dada [2.3]. El nivel de probabilidad elegido es generalmente más pequeño (por ejemplo, 1%), donde la normal comienza a ser una aproximación pobre. Con una buena estimación de la distribución de probabilidad de los rendimientos en todos los activos, se pueden emplear los métodos Monte Carlo para realizar una estimación VaR; pero esto puede tomar mucho tiempo. Bouchaud y Porters recientemente han ofrecido una alternativa [2.10].

Esta alternativa se apoya en el método (de la física) de la fluctuación óptima para simplificar los cálculos de VaR en una serie de Taylor, en términos de las derivadas del valor de un portafolio con respecto a factores (como los valores principales), y muestra que cuando las colas decrecen como una ley de potencia, derivativos más grandes pueden ser rechazados y pocos factores normalmente dominan. Esto simplifica el cálculo de VaR, pero más importante es que ofrece un mejor entendimiento de qué riesgos depende y cómo los diferentes factores de riesgo interactúan.

Asimismo, las colas pesadas pueden ser también importantes para la construcción de portafolios de inversión. El enfoque clásico de Markowitz es para maximizar los rendimientos sujetos a una restricción en la varianza del portafolio. Aunque la teoría del portafolio es frecuentemente citada como uno de los grandes logros de la teoría de las finanzas modernas, los portafolios de varianza promedio tienden a desempeñarse pobremente en la práctica. Aún si se asume que los activos subyacentes tienen una distribución normal, las ponderaciones del portafolio y el desempeño del mismo son muy sensibles a los errores de estimación por la cantidad de datos requeridos para buenas estimaciones. Este problema es mucho peor en la presencia de colas pesadas.

Sornette, Simonetti y Anderson recientemente introdujeron un nuevo enfoque para la formación del portafolio que explícitamente considera las colas pesadas [2.11]. Ellos hicieron un cambio de variables hacia coordenadas distribuidas de manara gausiana, usando un procedimiento numérico simple y aplicando la matriz de correlaciones en estas coordenadas para formar el portafolio. El procedimiento resultante es más estable y mejor acondicionado que el enfoque usual de varianza promedio. Ellos demuestran que minimizar la varianza frecuentemente incrementa los riesgos mayúsculos, como los medidos, por ejemplo, con VaR. Con colas pesadas, una predicción adecuada de los riesgos descansa mucho más en una descripción correcta de la estructura de las colas que en las correlaciones entre los activos.

También las implicaciones de colas pesadas son trascendentes para la asignación del precio de las opciones. Una opción es un instrumento financiero que proporciona al tenedor el derecho (más no la obligación) de comprar o vender a


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cierto precio (precio de ejercicio) a la fecha de vencimiento. El valor de una opción depende del precio de ejercicio y la fecha de vencimiento, así como de las propiedades estadísticas de los activos subyacentes. El método estándar para asignar el precio a las opciones, usando la fórmula de Black-Scholes (B-S), asume que los rendimientos logarítmicos del activo subyacente están normalmente distribuidos. Bajo la fórmula de B-S, se puede calcular el precio de la opción para una volatilidad dada [2.12].

De acuerdo con la fórmula de B-S, la volatilidad debería ser independiente del precio de ejercicio. En la práctica, sin embargo, la volatilidad depende fuertemente del precio de ejercicio. Para muchos activos, tales como las acciones y opciones con precios de ejercicio que están dentro del dinero (cerca del precio actual), tienen volatilidades más bajas que la de aquellos que están fuera del dinero. La volatilidad graficada contra el precio de ejercicio se parece una parábola estrepitosa llamada sonrisa. La sonrisa hace ver que los precios de las opciones reales se desvían de la fórmula B-S [2.13].

La teoría de la asignación de precio de B-S tiene dos características extraordinarias:

• las estrategias de cobertura eliminan el riesgo completamente, y • el precio de la opción no depende del rendimiento promedio del activo

subyacente.

Existen propiedades muy especiales bajo la creencia de normalidad. Con una distribución más realista para los rendimientos subyacentes, el riesgo en la negociación de la opción no puede ser eliminado y el precio correcto de la opción depende de la distribución completa del activo subyacente, incluyendo su media. Los físicos han jugado un papel de liderazgo en el desarrollo práctico y simple de métodos de rendimiento/riesgo para asignar el precio a las opciones en un contexto más general que toma en cuenta las desviaciones de la normalidad, así como los costos de transacción [2.12,2.13]. Estos están basados en el principio de que el precio de la opción adecuada minimiza (pero no elimina) el riesgo. De hecho, en la práctica el riesgo residual es mayor, ciertamente mucho mayor que el riesgo cero pronosticado por el procedimiento B-S. Esto resulta en predicciones buenas de la sonrisa. Además, este procedimiento hace un buen trabajo al predecir la dependencia del precio de la opción con el rendimiento promedio. Science & Finance, una compañía de consultaría, fundada por Bouchaud y conformada por casi puros físicos, ha desarrollado un programa de cómputo que emplea estos principios. Dicho programa ha sido aplicado por un banco reconocido por su experiencia en la asignación del precio a las opciones.

Otra aplicación concierne al cálculo de las matrices de correlación. Las matrices de correlación son importantes para la cobertura de riesgos; por ejemplo,


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para optimizar un portafolio usando el enfoque convencional de Markowitz. La matriz de correlación para N activos tiene valores independientes (N(N – 1))/2. Por lo tanto, el cálculo de una matriz de correlación es pobre para un valor grande de N, a menos de que la longitud efectiva T de la muestra de datos sea enorme. Los errores de estimación son un gran problema.

Para entender la estructura de las matrices de correlación en una muestra altamente aleatoria, los físicos han aplicado recientemente la teoría de las matrices aleatorias, extensamente desarrolladas en la física nuclear y otras partes [2.14,2.15]. Los valores propios y vectores propios de las matrices aleatorias se enfocan a una forma funcional bien definida en el límite N → ∞. Entonces es posible comparar la distribución de valores propios empíricamente determinados con la distribución que se esperaría si los datos fueran completamente aleatorios. Para la matriz de correlación de 406 compañías en el índice S&P, en un cálculo sustentado en datos diarios de 1991 a 1996, sólo siete de los 406 valores propios son claramente significativos con respecto a una hipótesis nula de aleatoriedad. Esto sugiere que se pueden mejorar las estimaciones asignado un valor de cero a los valores propios insignificantes.

Por todo lo expuesto anteriormente, para el presente trabajo se ha considerado determinar si las fluctuaciones de los precios (del petróleo) tienen un comportamiento que se ajuste a distribuciones de ley de potencia (de colas pesadas) y si presentan correlaciones a largo plazo (persistencia). 2.2 Cambios en los precios

Los cambios (o fluctuaciones) en los precios son normalmente medidos por los incrementos en los precios, los rendimientos logarítmicos de precios o el valor absoluto de estos últimos. Si Pt denota el precio de algún activo o mercancía en un cierto día de negociación, el incremento en el precio está definido como

ττ +−=∆ ttP PP)( , (2.1)

y el cambio relativo en el precio, ó rendimiento porcentual ∆t, como

τττ −−−=∆ tttt PPP /)()( . (2.2)

Además, sobre una base de composición continua, el rendimiento del precio en un periodo dado puede ser calculado como el logaritmo del precio final menos el logaritmo del precio inicial:

( ) ( ) ,/ln1ln)( τττδ −− −==∆+= tttttt ppPP (2.3)


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donde .ln tt Pp =

El rendimiento logarítmico (log-return) es aditivo con respecto al rendimiento en el tiempo, es decir:

pτ1(t) + pτ2(t + τ1) = pτ1+τ2(t). (2.4)

Esto implica una simetría traslacional de los rendimientos y una invarianza de escalamiento del precio de un activo. Nótese que los rendimientos logarítmicos son indistinguibles de los rendimientos normales si .1<<∆ i

En cuanto al valor absoluto de los rendimientos, éste describe la amplitud de la fluctuación, ya que es por definición siempre positivo y no existen tendencias globales que sean visiblemente obvias [2.16].

Pese a que se han hallado evidencias empíricas muy interesantes sobre el

comportamiento de los rendimientos logarítmicos, lo que interesa analizar, según lo expuesto en el punto 1.1, es entender y caracterizar la dinámica de la volatilidad de los precios del petróleo a diferentes escalas de tiempo para estar en mejores posibilidades de predecir el comportamiento de los precios del petróleo.

Aunque es común hablar sobre la volatilidad, no hay una definición

universalmente aceptada de la misma [2.3]. La definición general para la volatilidad en los mercados financieros es como la desviación estándar del precio; ya que ésta representa una medida general de la magnitud de las fluctuaciones del mercado.

Con base a lo anterior, una manera de calcular la volatilidad histórica de los precios, para diferentes horizontes de tiempo: mn ,...,3,2= , es utilizando la siguiente ecuación:

( )∑ =− −+−=

n

in PiPnV1

221 )()()1()( τττ , (2.5)

donde el valor promedio de P2(τ) denota el tiempo promedio de negociación y τ es el tiempo para realizar las transacciones (excluyendo fines de semana y días festivos del mercado).

La volatilidad de precios se presenta en la mayoría de los instrumentos financieros y es muy importante en los modelos de fijación del precio de los activos y en la dinámica de las estrategias de cobertura, así como en la asignación del precio de opciones.


22

2.3 Distribuciones de ley de potencia

La distribución de los cambios en los precios es una de las propiedades básicas de la mayoría de los mercados. El teorema del límite central (TLC) sugiere una distribución normal (gausiana). Si p(t) es el precio en el tiempo t, el rendimiento logarítmico rτ(t) está definido como

rτ(t) = log(p(τ + t)) - log(p(t)). (2.6)

Dividiendo τ en N subintervalos, el rendimiento logarítmico total rτ(t) es, por definición, la suma de los rendimientos logarítmicos en cada subintervalo. Si los cambios de precios en cada subintervalo son independientes e idénticamente distribuidos (iid) con un segundo momento bien definido, con base al TLC, la función de distribución acumulativa f(rτ) debería converger hacia una distribución normal cuando τ fuera muy grande. Pero en el caso de datos reales de los mercados financieros, la convergencia es muy lenta. Mientras la distribución normal proporciona una buena aproximación en la parte central de la distribución para τ muy grande, para pequeños valores de τ (menores a un mes) existen grandes desviaciones con respecto a la normal [2.2,2.3]. En realidad las distribuciones de los rendimientos logarítmicos son de ley de potencia. Esto es, existe una probabilidad más alta de detectar valores en los extremos de la distribución que con respecto a la normal.

Muchas distribuciones empíricas halladas en economía y otros campos de investigación muestran un comportamiento de ley de potencia. Las distribuciones de ley de potencia no varían ante un cambio en la escala de tiempo, o sea que la probabilidad relativa para observar un evento de cierto tamaño y un evento diez veces más grande es independiente de la escala de referencia [2.17].

Las distribuciones de colas gruesas han sido halladas en muchas variables económicas, desde los rendimientos de acciones hasta el tamaño de las quiebras de las corporaciones. Intuitivamente, una distribución de colas gruesas es una distribución que tiene más peso en las colas que alguna distribución de referencia. El decrecimiento exponencial de la cola es generalmente considerado como la frontera que separa a las distribuciones de colas gruesas de aquellas de colas ligeras. En la literatura, las distribuciones con un decrecimiento de ley de potencia en sus colas son conocidas como distribuciones de colas pesadas.

El primer uso de una distribución de ley de potencia fue hace más de 100 años

cuando Pareto investigó el carácter estadístico de la riqueza de los individuos en una


23

economía estable. La distribución de la riqueza individual F(X) es frecuentemente descrita, en su cola asintótica, por una ley de potencia:

010 ,)( XX

XX

XF >>≅ +µ

µ

, (2.7)

donde µ caracteriza el decrecimiento de la distribución para las grandes riquezas (X’s): conforme el valor de µ es más pequeño, el decrecimiento es más lento, y es más grande la brecha entre los más ricos y los más pobres. En resumen, en una población de Pareto de tamaño N, el cociente de la riqueza más grande y la riqueza típica (mediana) crece como N1/µ. En el caso de µ < 1, la riqueza promedio diverge: esta corresponde a una economía en donde una fracción finita de la riqueza total está en manos de muy pocos individuos. Por el contrario, cuando µ > 1, los individuos más ricos sólo poseen una fracción de la riqueza total (en el límite cuando N → 1). Empíricamente, el exponente µ está en el rango 21 ≤≤ µ .

Pareto notificó que su resultado era muy general y que podría aplicarse a diferentes países, como Inglaterra, Irlanda, Alemania e Italia, y aún en Perú [2.18]. Esta distribución de la riqueza de Pareto también describe la distribución del ingreso, el tamaño de las compañías, los fondos de pensión, etcétera.

Como se dijo en el punto 2.1, la naturaleza de la distribución de las fluctuaciones en los precios es un problema añejo en finanzas, el cual se remonta a 1900. El modelo de Bachelier es acertado si uno considera que el rendimiento, sobre una escala de tiempo ∆t, es el resultado de muchos desequilibrios independientes, lo cual conduce a una distribución normal de los rendimientos (por el TLC). Sin embargo, estudios empíricos [2.9,2.18-2.25] muestran que la distribución de los rendimientos tiene colas pronunciadas, lo que es contrario a una distribución normal. A pesar de esta evidencia empírica, la distribución normal sigue siendo ampliamente usada en las finanzas para ajustar los rendimientos de los activos por la simplificación que proporciona en los cálculos analíticos: este es una de las suposiciones empleadas en la teoría de asignación del precio de opciones de Black-Scholes [2.26].

El problema de la distribución de cambios en los precios ha sido reconsiderado por varios autores desde la década de 1950, época en que las matemáticas empezaron a interesarse en la modelación de los precios del mercado bursátil. La propuesta original de Bachelier de una distribución gausiana para el cambio en los precios fue muy pronto reemplazada por un modelo en el que los precios de acciones eran ajustados a una distribución log-normal, es decir, los precios de las acciones se comportaban como un movimiento browniano geométrico. En un movimiento browniano geométrico, las diferencias logarítmicas de los precios están distribuidas en forma gausiana. Este modelo es conocido por proporcionar sólo


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una aproximación de lo que se observa con datos reales. Por esta razón, un número de modelos alternativos se han propuesto con el propósito de explicar: (i) la evidencia empírica de que las colas de las distribuciones regulares son más gruesas de lo que se esperaba para un movimiento browniano, y (ii) las fluctuaciones en el tiempo del segundo momento (varianza) de los cambios en los precios.

Entre los modelos alternativos propuestos, el desarrollo más revolucionario en la teoría de la especulación de precios, desde el trabajo pionero de Bachelier, es la hipótesis de Mandelbrot que sostiene que los cambios en los precios siguen una distribución estable de Lévy. En su análisis pionero sobre los precios del algodón (1963), Mandelbrot observó que, además de no ser gausiano, el proceso de los rendimientos mostraba otra propiedad interesante: “el escalamiento en el tiempo”; esto es, las distribuciones de los rendimientos para varias escalas de tiempo ∆t, desde un día hasta un mes, tenían formas funcionales similares. Motivado por (i) colas pronunciadas y (ii) una forma funcional estable para diferentes escalas de tiempo, Mandelbrot sugirió que la distribución de los rendimientos fuera consistente con una distribución estable de Lévy [2.9].

Las distribuciones estables de Lévy han aumentado a partir de la generalización del TLC hacia clases más amplias de distribuciones. Considérese la suma parcial ∑ =

=n

i in XS1

de variables aleatorias iX , iid. Si las variables iX tienen

momentos finitos de segundo orden (µ = 2), el TLC es válido y nS es distribuida como una gausiana en el límite cuando ∞→n . Si las variables aleatorias iX están caracterizadas por una distribución, teniendo un comportamiento de ley de potencia asintótico:

F(Xi) ~ Xi -(1+µ), (2.8)

donde µ < 2, entonces nS convergerá hacia un proceso estocástico estable de Lévy, de índice µ en el limite cuando ∞→n . Excepto para casos especiales, tales como la distribución de Cauchy ( 1=µ ), las distribuciones estables de Lévy no pueden ser expresadas en forma cerrada. Estas distribuciones son frecuentemente expresadas en términos de sus transformadas de Fourier o de sus funciones características.

Si X tiene una distribución de ley de potencia, entonces en una gráfica log-log de F(X) o en una función de distribución acumulativa complementaria, asintóticamente el comportamiento será el de una línea recta. Esto proporciona una prueba empírica simple para determinar si una variable aleatoria tiene un comportamiento de ley de potencia, dada una muestra apropiada.

Los procesos estocásticos con varianza infinita, aún matemáticamente bien definidos, son extremadamente difíciles de usar y, además, hacen que surjan


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muchas preguntas cuando son aplicados a los sistemas reales. En los sistemas financieros, una varianza infinita complica la tarea de estimar el riesgo. En la década de 1960, Mandelbrot [2.9] y Fama [2.27] presentaron evidencias empíricas de que la distribución de los cambios en los precios era una distribución estable de Lévy. Con base a precios diarios en diferentes mercados, Mandelbrot y Fama obtuvieron µ ≈ 1.7, un resultado que sugirió que los cambios en los precios a corto plazo fueron de hecho anormales: si la varianza no existe, más propiedades estadísticas estaban mal definidas.

No obstante, estudios subsecuentes demostraron que el comportamiento es más complicado. Primero, para valores muy grandes de τ, la distribución llega a ser progresivamente más cercana a la normal. Segundo, investigaciones de series de tiempo más grandes (incluyendo trabajos de economistas a finales de la década de 1980 y principios de la de 1990) revelaron que los rendimientos asintóticamente siguen un comportamiento de ley de potencia

f(r) ~ |r|-α, (2.9)

con α > 2. Este hallazgo es incompatible con la distribución de Lévy. La diferencia en el valor de α es muy importante: con α > 2, la varianza está bien definida. Un valor 2 < α < ∞ es incompatible con la distribución de Lévy e indica que la generalización simple del TLC con colas largas no es la explicación correcta [2.28].

Los físicos han contribuido al análisis de este problema mediante el estudio de bases de datos más grandes y la observación de los escalamientos en forma más detallada. Un grupo en Olsen & Associates, comandado por Dacorogna, estudió los movimientos diarios de los precios en los mercados de divisas. Otro grupo en la Universidad de Boston, liderado por Mantenga y Stanley, ha estudiado los movimientos diarios del índice bursátil S&P. Más recientemente, ellos han estudiado los rendimientos, cada 5 minutos, de 1,000 acciones individuales negociadas en AMEX, NASDAQ y NYSE en un periodo de dos años, involucrando 40 millones de registros. En este caso, ellos observaron un escalamiento de ley de potencia de casi 90 desviaciones estándar. Para valores mayores de |r|, estos resultados ilustran que f(r) se aproxima a una ley de potencia con α ≈ 3. Por lo tanto, la media y la desviación estándar están bien definidas, la Kurtosis (cuarto momento) claramente diverge y el comportamiento del sesgo, o asimetría (skewness), no es muy clara [2.28].

Una ley de potencia en las colas de los rendimientos es sólo una declaración sobre la frecuencia de eventos de gran magnitud. Esto llega a ser más claro en el contexto de la teoría del valor extremo. Por simplificación, considérese la cola positiva r → ∞. Bajo condiciones muy generales, hay sólo tres posibles


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comportamientos, los cuales pueden ser clasificados de acuerdo al índice de la cola α: 1. Hay un valor máximo para la variable. La distribución desaparece para valores

mayores que este máximo, y α < 0. 2. Las colas decrecen exponencialmente y 1/α = 0 (un ejemplo es una distribución

normal). 3. Existen colas pesadas que decrecen como una ley de potencia con α > 0.

Los rendimientos de los precios deben estar en una de estas tres categorías, y los datos claramente apuntan hacia la elección 3 con α > 0 [2.2,2.28]. Sorprendentemente, esto implica que el proceso de formación de precios no puede ser completamente comprendido en términos de los argumentos del TLC, aún en una forma generalizada. Las colas de ley de potencia obedecen a una clase parcial del TLC: para una variable aleatoria con exponente de la cola α, la suma de N variables también tendrá el mismo exponente de la cola α [2.28]. Esto no significa que la distribución sea completamente estable, ya que su parte central y sus colas de ley de potencia generalmente variaran. El hecho de que la forma de la distribución cambie con τ hace más evidente que el proceso aleatorio subyacente de los precios debe tener estructura temporal no trivial. Esto complica el análisis estadístico de los precios, tanto para propósitos teóricos como prácticos, y ofrece un importante indicio sobre el comportamiento de los agentes económicos y el proceso de formación de los precios.

2.4 Autocorrelación

La relación esperada entre el valor de una serie en el tiempo (t) y sus valores en el tiempo (t + τ) es una medida de la correlación presente en una serie. Una serie de tiempo estacionaria tiene una correlación que sólo depende del periodo de tiempo τ entre las dos observaciones y el decrecimiento hasta cero, lo suficientemente rápido para que τ aumente, reflejando el hecho de que la influencia de los valores anteriores disminuye con los intervalos considerados. La velocidad de este decrecimiento es una medida de la “memoria” del proceso estocástico.

Las correlaciones a largo plazo en las series de tiempo )(tX son cuantificadas por una función de autocovarianza:

ttXtXCov )()()( ττ += , (2.10)

donde

t... denota el tiempo promedio en el intervalo 2/0 Tt ≤≤ :


27

.)()(1lim)(2/

0∫ +=

∞→

T

TdttXtX

TCov ττ (2.11)

Aquí T representa el tiempo total y τ representa un cambio en el tiempo. En la

práctica, una medida estadística de correlación más adecuada, contenida en una función, es la función de autocorrelación:

)0(/)()( == τττ CovCovC , (2.12) que puede oscilar entre -1 (correlación negativa muy alta) y 1 (correlación positiva muy alta); por ejemplo 1)(1 ≤≤− τC .

Desde que las series de tiempo financieras están conformadas por datos discretos, { } NkkX ≤≤0 , tal que )( 0τkXX k = , donde τ0 es el intervalo mínimo de tiempo, la función de autocorrelación debería ser definida como:

)0()()(

CovnCovnC = , (2.13)

con ∑=

+∞→=

2/

0,1lim)(

N

knkkN

XXN

nCov (2.14)

y ∑=

∞→=

2/

0

2 ,1lim)0(N

kkNX

NCov (2.15)

donde N representa el número total de datos.

El comportamiento de las funciones de autocorrelación, cuando 0→τ ( 0→n ) y ∞→τ ( ∞→n ), determina las propiedades locales de las series de tiempo. Para un ruido blanco, donde el valor en un instante no está correlacionado con algún valor previo, la función de autocorrelación es C(τ) = 0 para τ > 0.

Muchas de las series de tiempo no estacionarias están caracterizadas por correlaciones a corto plazo con una escala de tiempo característica, τ0, y una función de autocorrelación decreciente exponencialmente, es decir:

( )./exp)( 0τττ −∝C (2.16)

Si la función de autocorrelación C(n) escala con el intervalo n como:

β−∝ nnC )( , (2.17)


28

para n muy grande, donde 0 < β < 1, entonces { }iX es llamada correlación a largo plazo ó proceso con memoria a largo plazo. La razón de emplear estos términos es que C(n) decrece muy lentamente, de tal forma que ∑ =

N

nnC

1)( diverge cuando

∞→N .

Si una serie de tiempo posee una invarianza estadística auto-afín (tal como el movimiento browniano fraccional), )(nC se comporta como:

( )HHH nnnnC 222 121)( −+−+∝ , (2.18)

donde 10 ≤≤ H es el exponente de Hurst. Por lo tanto, la función de autocorrelación de series auto-afines despliega un comportamiento de escalamiento de la forma:

HnnC 21)( −∝ (si 0→n ) (2.19)

y )1(2)( HnnC −−∝ (si ∞→n ). (2.20)

Para detectar la existencia de memoria en las series de tiempo de la volatilidad del precio )(τX , se emplea la función de autocorrelación:

)(/)()()( 2 τττττ XXXC ∆+=∆ . (2.21) En cualquier mercado financiero, la función de autocorrelación del rendimiento del activo es una función monótona decreciente, con un tiempo de correlación muy corto, es decir, decrece rápidamente. Los análisis de datos de alta frecuencia han mostrado que los tiempos de correlación pueden ser muy cortos, hasta de un par de minutos en el caso de acciones o índices con un gran volumen de negociación [2.29].

La ausencia de correlación temporal entre rendimientos no significa que éstos sean variables aleatorias distribuidas de la misma manera todo el tiempo, ya que el valor absoluto de los rendimientos está correlacionado en el tiempo como una ley de potencia [2.30]. Finalmente, cabe señalar que los análisis empíricos indican que los rendimientos no son estrictamente procesos estocásticos estacionarios; desde luego que la propia volatilidad (desviación estándar de los rendimientos) es un proceso estocástico [2.29].

En el próximo capítulo se considera el concepto de escalamiento dinámico, el cual se utiliza para estudiar la cinética del crecimiento de interfaces rugosas, así como las series de tiempo que contengan datos de los mercados financieros (incluyendo al mercado petrolero), con el propósito de tener más elementos para descubrir los parámetros estadísticos que gobiernan globalmente el sistema a diferentes escalas.


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2.5 Referencias [2.1] H.E. Stanley, L.A.N. Amaral, X. Gabaix, P. Gopikrishnan, & V. Plerou. Similarities and differences between physics and economics; Physica A 299, 2001, pp. 1-15. [2.2] R.N. Mantegna & H.E. Stanley. An Introduction to Econophysics. Correlations and Complexity in Finance; Cambridge University Press, 2000. [2.3] J.P. Bouchaud & M. Potters. Theory of Financial Risks: From Statistical Physics to Risk Management; Cambridge University Press, Cambridge, 2000. [2.4] J.P. Sethna, K.A. Dahmen, & Ch. Myers. Crackling noise; Nature 410, 2001, pp. 242-250. [2.5] L. Bachelier. Jeu de la Speculation; Ph.D. Thesis, Paris 1900. [2.6] Ph. Mirowski. More Heat than Light; Cambridge University Press, 1992. [2.7] E. Majorana. Scientia 36, 1942, p.52. [2.8] M.F. Osborne. The Stock Market and Finance From the Physicist’s Viewpoint; Crossgar Pr., 1992. [2.9] B.B. Mandelbrot. The variation of certain speculative prices. J. Business 36, 1963, pp. 394-419. [2.10] J.P. Bouchaud & M. Potters. Worst Fluctuation Method for Fat Value-at-Risk Estimates; http://xxx.lanl.gov/cond-mat/9909245, 1999. [2.11] D. Sornette, P. Simonetti, & J.V. Andersen. Field Theory for Portfolio Optimization: “Fat Tails” and Nonlinear Correlations”; http://xxx.lanl.gov/cond-mat/9903203, 1999. [2.12] J.P. Bouchaud & D. Sornette. The Black-Scholes Option Pricing Problem in Mathematical Finance: Generalization and Extensions for a Large Class of Stochastic Processes; J. Physics, Vol. 4, 1994, pp. 863-881. [2.13] J.P. Bouchaud, G. Iori, & D. Sornette. Real-World Options: Smile and Residual Risks; Risk 9, marzo 1996, pp. 61-65. [2.14] L. Laloux. Noise Dressing of Financial Correlation Matrices; http://xxx.lanl.gov/cond-mat/9810225, 1998.


30

[2.15] V. Plerou. Universal and Nonuniversal Properties of Cross-Correlations in Financial Time Series; http://xxx.lanl.gov/cond-mat/990283, 1999. [2.16] L.A.N. Amaral, P. Cizeau, P. Gopikrisshnan, Y. Liu, M. Meyer, C.K. Peng, & H.E. Stanley. Econophysics: can statistical physics contribute to the science of economics?; Computer Physics Communications 121-122, 1999, pp. 145-152. [2.17] J.P. Bouchaud. Power-laws in economy and finance: some ideas from physics; arXiv:cond-mat/0008103, 2000. [2.18] A.W. Campbell & A.C. MacKinlay. The Econometrics of Financial Markets; Princenton University Press, Princenton, 1997. [2.19] P. Sadorsky. Oil price shocks and stock market activity; Energy Economics, 21 (5), 1999, pp. 449-469. [2.20] V. Plerou, P. Gopikrishnan, & H.E. Stanley. Two-phase behavior of financial markets; Nature 421, 2003, p.130. [2.21] H.E. Stanley. Scaling, universality, and renormalization: three pillars of modern critical phenomena; Rev. Mod. Phys. 71, 1999, pp. S358-S366. [2.22] P. Gopikrishnan, V. Plerou, L.AN. Amaral, X. Gabaiz, & H.E. Stanley. Economic fluctuations and anomalous diffusion; Phys. Rev. E (Rapid Commun.) 62, No. 3, 2000. [2.23] H.E. Stanley. Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena; Oxford University Press, Oxford, 1971. [2.24] M. Peczuski, S. Maslov, & P. Bak. Avalanche dynamics in evolution, growth, and depinning models; Phys. Rev. E 53, 1996, pp. 414-443. [2.25] R. Cont.; Quantitative Finance 1, 2001, p. 223. [2.26] J.P. Bouchaud. An introduction to statistical finance; Physica A 313, 2002, pp. 238-251. [2.27] E. Fama. The Behavior of Stock Market Prices; J. Business, Vol. 38, 1965, pp. 34-105. [2.28] J.D. Farmer. Physicists Attempt to Scale the Ivory Towers of Finance; adap-org/9912002, 1999.


31

[2.29] G. Bonano, F. Lillo & R.N. Mantenga. Modelado econofísico de mercados financieros; http://www.uv.es/metode/anuario2002/157_2002.html, 2003. [2.30] Y. Liu, P. Gopikrishnan, P. Cizeau, M. Meyer, C-K Peng, & H.E. Stanley. The statistical properties of the volatility of price fluctuations; Phys. Rev. E 60, 1999, pp. 1390-1400.

Capítulo 3. Escalamiento dinámico

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CAPÍTULO 3

ESCALAMIENTO DINÁMICO

Como se señaló en el punto 1.2, todos los sistemas complejos reales generalmente exhiben invarianza de escala; es decir, su comportamiento no cambia por el reescalado de las variables que gobiernan su dinámica. Esto nos posibilita a emplear el enfoque de escalamiento dinámico, utilizado para estudiar la cinética del crecimiento de interfases rugosas, al análisis de las series de tiempo que contengan datos (por ejemplo, precios) de los mercados financieros (como el mercado petrolero).

Así pues, en este capítulo se describe la forma en que el concepto

escalamiento es usado para caracterizar el crecimiento de las interfases (superficies) rugosas y cómo este concepto puede aplicarse para caracterizar los parámetros estadísticos que gobiernan de la dinámica de los precios del petróleo.

Cualquiera sabe lo que se siente al tocar una pieza de mármol pulido. A partir

de esta clase de experiencias, es posible inferir la idea de planicidad. Por otro lado, lo opuesto al concepto antes indicado es la idea de rugosidad. Claramente, la extensión de una superficie (interfase) está relacionada en la forma en qué tan rugosa es esta. Estos conceptos intuitivos pueden ser descritos dentro de un marco matemático denominado geometría fractal [3.1].

3.1 Fractales

En años recientes, para entender la naturaleza de las estructuras desordenadas y su formación mediante procesos aleatorios, se han desarrollado los conceptos fractales, introducidos por Mandelbrot [3.2] en una teoría llamada geometría fractal. Los conceptos de fractales se han aplicado a las ciencias naturales por varias razones. La auto-similitud y la auto-afinidad son los conceptos que unifican áreas como fractales, leyes de potencia y caos. La auto-similitud es una de las simetrías fundamentales que rigen el universo. De igual manera, la auto-afinidad, o invarianza bajo cambios de escala o tamaño anisotrópico, es un atributo de muchas


33

superficies e interfases que se presentan en algunos fenómenos naturales y económicos.

La geometría fractal, o teoría de fractales, es un lenguaje matemático

empleado para describir geometrías complejas e irregulares, y especialmente adecuada para las computadoras debido a su naturaleza iterativa. El propósito de la geometría fractal es el de caracterizar cuantitativamente cómo el espacio es ocupado por una curva o una geometría particular. La geometría fractal se aplica para caracterizar los fenómenos críticos que presentan invarianza de escala, como es el caso de las interfases, mediante la explotación de su principal propiedad: la ausencia de una escala característica, por lo que no existe ninguna unidad asociada, es decir, el mismo modelo es válido para todas esas escalas [3.1].

Este tipo de fenómenos críticos, independientes de la escala, son conocidos

así porque fueron inicialmente observados en los puntos críticos de las transiciones de fases continuas. La física de los procesos críticos está únicamente dominada por las simetrías del sistema. Así pues, distintos sistemas críticos, compuestos por distintas sustancias y a diferentes escalas, pueden ser descritos por un solo modelo. Esta idea fue la que dio origen a las clases de universalidad, que es la manera en como son clasificados los distintos sistemas críticos. Cada una de dichas clases aparece como resultado de unas simetrías distintas propias de un grupo de fenómenos críticos [3.1]. 3.1.1 Fractales auto-similares

Los fractales son conjuntos matemáticos que permanecen invariantes a los cambios de escala. Los fractales fueron descubiertos como un grupo de estructuras que presenta una paradoja para la teoría de la medición. Esta teoría fue desarrollada a fines del siglo XIX y principios del XX por un grupo de matemáticos como Cantor, Peano, Von Koch, Hausdorff y Besicovitch. La mayoría de ellos dieron su apellido paterno a los fractales que ellos descubrieron [3.2]. La paradoja consistió en la imposibilidad de medir el tamaño de algunos conjuntos a través de un estándar empleado. Cuando uno desea medir la longitud de una circunferencia, la manera más simple es cubrirla con pequeños segmentos de tamaño l. La suma de todos los segmentos puede ser considerada como una aproximación del perímetro del círculo. Entre más pequeños sean los segmentos, mayor será la exactitud de la aproximación. En el límite l → 0, la suma de todas las longitudes de los segmentos debe tender a 2Πr, donde r es el radio del círculo. Este procedimiento para medir el tamaño de un conjunto es conocido como el método de conteo de cajas. La paradoja surge cuando uno intenta emplear el mismo procedimiento para medir la longitud de la curva de Koch (figura 3.1), la cual tiene


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una longitud infinita en el límite l → 0. Este hecho no es muy impresionante, pero esta curva de Koch, de dimensión infinita, está encerrada dentro de un área finita. Esta clase de problemas hicieron que a los fractales se le llamara galería de monstruos.

Figura 3.1. La curva de Koch, un fractal con dimensión de Hausdorff D = log(4) / log(3).

La solución a tal paradoja llegó con la modificación del concepto de dimensión.

Supóngase que µ es la magnitud a ser medida: longitud, área o volumen de un cierto conjunto. El método usado para estimar µ es cubriendo la estructura original con pequeños conjuntos del propio µ, es decir µi, y de longitud l. Si µ(l) = ∑iµi es la aproximación de µ en la escala l, la dimensión de Hausdorff está definida como:

D = liml→0 )/1log()(log(llµ (3.1)

La dimensión de Hausdorff es un entero para los objetos geométricos clásicos,

como puntos (D = 0), líneas (D = 1), cuadrados (D = 2), o cubos (D = 3), y toma valores no enteros (o fraccionarios) para los fractales. Para el caso de la curva de Koch, D = log(4) / log(3) = 1.2618, un valor que se encuentra entre la dimensión de una línea, D = 1, y el de una superficie, D = 2.


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Se espera que D sea un número finito, por la forma particular de µ(l). Si se considera un segmento de longitud L, la masa, µ(l), es el número de pequeños segmentos de longitud l necesarios para cubrir L. Esta cantidad es µ(l) = L/l. De tal manera que la función µ(l) se comporta como una ley de potencia con l. En este caso, el exponente de la ley de potencia es –1, coincidiendo con –D para un segmento. La característica relevante de las leyes de potencia, es que éstas son las únicas funciones cuya forma es de invarianza de escala. Como previamente se mencionó, esta es la simetría que define la geometría fractal. Por consiguiente, la mayoría de las propiedades de los fractales están expresadas mediante leyes de potencia.

Un fractal puede ser construido por dos métodos distintos. En el primer

procedimiento el fractal crece, es decir, una figura es seleccionada y copias de esta son agregadas al conjunto, manteniendo algunas geometrías preestablecidas (como por ejemplo el fractal que se presenta en la figura 3.1). Existen muchos sistemas reales en el mundo que emplean una técnica similar de crecimiento, algunos ejemplos son la electro-deposición, las colonias de bacterias o el crecimiento de cristales. Por otro lado, la construcción de un fractal puede iniciar también a partir de una figura con una dimensión d mayor que la del conjunto futuro; la figura inicial es perforada, por lo que en la misma se producen hoyos de todos tamaños (figura 3.2). Si la distribución de los hoyos es una ley de potencia, P(s) ∼ s-γ, el conjunto final es un fractal con una dimensión D = d(γ - 1). Este proceso es similar a la erosión en las rocas. Los dos métodos ofrecen diferentes clases de fractales. Aquellos fractales que son producidos mediante hoyos tienen un tamaño finito en el espacio que los alberga (estos pueden ser encerrados dentro de un hiper-volumen finito), por lo que más allá de cierta escala estos fractales pierden su fractalidad. Por el contrario, aquellos fractales que son generados por la adición de piezas pequeñas presentan un tamaño infinito, pero también poseen un rango más bajo en la resolución y en la invarianza de escala [3.3].

Figura 3.2. El triángulo de Sierpinski, después de cuatro iteraciones.


36

Los fractales señalados hasta el momento son isotrópicos o auto-similares. En otras palabras, estos permanecen invariantes cuando la escala se cambia uniformemente en todas las direcciones. La invarianza puede ser literal, al realizar un zoom de una parte se observa exactamente la misma estructura, o puede ser estadística: no se ve exactamente lo mismo, pero el resultado del zoom es indistinguible del conjunto original. Cualquier estimador estadístico que se aplique a dicho conjunto da lugar a los mismos resultados que si se aplica al conjunto incompleto.

No obstante, es fácil encontrar situaciones en donde dos o más direcciones no

son equivalentes. Por ejemplo, en un fractal construido por adición, una sola dirección puede ser introducida si las partículas llegan al conjunto sólo desde una dirección. El conjunto, de crecimiento en este caso, no es un fractal auto-similar clásico, sino que pertenece a un tipo diferente de fractales, llamados fractales auto-afínes.

3.1.2 Fractales auto-afínes Un fractal auto-afín es un conjunto que permanece invariante bajo una escala (estadística o literalmente) de transformación anisotrópica. A pesar de sus diferencias, en una escala de transformación las direcciones no son completamente independientes. Si al hacer un zoom, uno de los ejes de coordenadas se transforma en un factor b, x → bx, el resto de los ejes coordenados deben ser reescalados en un factor bαi, xi → bαixi, con el objeto de preservar al conjunto invariante. Los exponentes αi son llamados exponentes de Hurst y nos indican cuál es el grado de anisotropía del conjunto. En figura 3.3 se muestra un fractal auto-afín determinístico.

Figura 3.3. Fractal auto-afin determinístico.


37

En el crecimiento de interfases, la dimensión especial corresponde a la dirección del crecimiento. La existencia de una dirección privilegiada implica que solo existe un exponente de Hurst no trivial, el cual es conocido como exponente de rugosidad α [3.1]. En algunos casos, los conjuntos fractales pueden ser expresados como funciones de un solo valor que dependen sólo de la posición h(xi, x2, ...). Una de estas funciones representa un fractal auto-afín siempre y cuando se cumpla la siguiente condición:

h(bx1, bα2x2, ...) = b-αh(x1, x2, …). (3.2)

Todos los fractales descritos hasta el momento son generados por la repetición, a diferentes escalas, de un arreglo unitario. Es decir, son fractales construidos por la adición de un cierto número de partículas, o la perforación de una figura, manteniendo algunas simetrías preestablecidas. Si el proceso incluye la posibilidad de fallas (el número de partículas agregadas fluctúa ó las direcciones son aleatoriamente elegidas), el conjunto resultante es un fractal muy particular llamado fractal aleatorio.

Los fractales aleatorios son conjuntos que no cumplen la condición de

invarianza de escala. Si estos fractales son reescalados, el conjunto resultante no es semejante al fractal original. Sin embargo, cuando estos fractales son vistos como variables aleatorias, su función de densidad de probabilidad (PDF) no contiene escalas características aparte de aquellas que comparten todos los fractales. El máximo tamaño L en la construcción de fractales por adición (el tamaño del hoyo más pequeño a en los fractales desarrollados por perforación), es una consecuencia del carácter finito del proceso de construcción de los fractales reales. Esto hace pensar que aquellas PDF, así como sus momentos, se comportan como funciones homogéneas de dos variables: la escala de observación l y la escala característica L, o a, del sistema. 3.2 Escalamiento dinámico en el crecimiento de interfases rugosas

Una interfase es una superficie que separa dos fases de la materia. Cada una de los cuales puede ser sólida, líquida o gaseosa. Una interfase no es una superficie geométrica, sino más bien es una capa delgada que contiene propiedades diferentes a las de las fases de la materia que separa. Una interfase común es aquella que existe entre el agua y el aire, la cual exhibe propiedades tales como la tensión superficial. Los procesos que ocurren en las interfases incluyen la evaporación de líquidos, la acción de los detergentes y los catalizadores químicos, y la absorción de gases en los metales [3.4].


38

El crecimiento de interfases rugosas bajo condiciones de no-equilibrio es un

fenómeno muy común en la naturaleza. Ejemplos de tales procesos incluyen la difusión, el quemado, el crecimiento de grietas, fraguado de materiales granulares y flujo de fluidos en medios porosos. En la figura 3.4 se presenta las configuraciones de la evolución de una interfase en diferentes intervalos de tiempo [3.5].

Figura 3.4. (a) Configuraciones de la evolución de una interfase en intervalos de tiempo: ∆t = 10 segundos hasta t = 300 segundos, y ∆t = 60 segundos hasta que la interfase se detiene; (b)

Configuraciones de la velocidad de la interfase a diferentes tiempos, la distribución (1) corresponde a la etapa inicial, la distribución (2) corresponde al régimen transitorio, y las distribuciones (3) y (4)

corresponden al estado estacionario (régimen saturado). Algunos trabajos experimentales [3.6] sugieren que realmente muchos

sistemas físicos desarrollan espontáneamente correlaciones con el comportamiento de leyes de potencia en el espacio - tiempo. Estos sistemas, con muchos grados de libertad, generalmente son tan complejos que su comportamiento a escalas macroscópicas no se puede predecir a partir de su comportamiento a escalas microscópicas. Surgen nuevos tipos de comportamientos colectivos y su


39

comprensión representa una de las áreas más desafiantes en la física estadística moderna. La rugosidad de interfases que crecen en no-equilibrio es sólo uno de los campos en los cuales la invarianza de escala se ha observado como una característica común y básica. La invarianza de escala de las interfases en crecimiento, los eventos y la información sobre un amplio intervalo de escalas de longitud y tiempo, se presenta de tal manera que no importa cual es el tamaño de la escala considerado, ya que siempre se observa sorprendentemente una riqueza en estructuras complejas.

El hecho de que el crecimiento de interfases en sistemas en no-equilibrio

exhiba propiedades de escalamiento complejas no nos dice nada acerca del por qué sucede así. Por lo tanto, un punto crucial para comprender este fenómeno es el origen de la invarianza de escala general de la rugosidad de la interfase. Esto correspondería a la comprensión del origen de las estructuras fractales y de las propiedades de Criticidad Auto-Organizada (SOC, siglas en inglés), a partir del conocimiento de los procesos físicos microscópicos en la base de estos fenómenos.

No obstante, actualmente no existe un formalismo sistemático que trate los

procesos de crecimiento en no-equilibrio. Esto implica que los métodos de análisis tradicionales de la mecánica estadística no son los adecuados para describir el fenómeno de crecimiento de interfases. Sin embargo, el hallazgo de que el crecimiento estocástico de superficies exhibe un comportamiento en escalamiento no trivial y que evoluciona naturalmente a un estado estacionario, que no tiene una escala de tiempo o espacio característica, ha conducido al desarrollo de un método general de escalamiento [3.7] para describir de manera cuantitativa el crecimiento de interfases. Este formalismo, que se basa en conceptos generales de invarianza de escala y fractales [3.2,3.8] se ha convertido en una herramienta estándar en el estudio del crecimiento de interfases. En particular, el método de escalamiento dinámico [3.7] se ha aplicado al estudio de una gran variedad de modelos teóricos de crecimiento de interfases, incluyendo la deposición balística [3.9] y el modelo Eden [3.10].

Con el fin de simplificar el trabajo teórico, las interfases son comúnmente

representadas por funciones de un solo valor, h (x, t), donde h es la altura de la superficie sobre la posición del substrato x en el tiempo t. El procedimiento para establecer un perfil de h no siempre está bien establecido. En muchas situaciones reales, la superficie puede encorvarse sobre si misma, produciendo entonces una distribución de alturas multi-valores muy complicada. Algunas soluciones han sido probadas para resolver esta situación. La posibilidad más simple es sólo considerar el valor máximo de h en cada posición. Mientras los máximos tengan un tamaño característico, este método, o alguno otro similar, puede ser válido.


40

Las alturas de los perfiles, h(x, t), son los ingredientes básicos del crecimiento de superficies (interfases) [3.11]. Cada experimento, realizado en computadora o laboratorio, genera uno de esos perfiles para cada tiempo de medición. Si el experimento se repite, el perfil de altura resultante obviamente será diferente. Este hecho agrega cierta complejidad al proceso de definición de las cantidades promedio. Considérese, por ejemplo, la magnitud más simple, la altura promedio. Para un perfil de altura específico, la altura promedio está definida como:

⟨h(t)⟩ = {⟨h⟩x} = {L1 ∑

ihi(t)}. (3.3)

El símbolo {..} representa el promedio de un conjunto de diferentes alturas de los perfiles de altura, mientras que ⟨..⟩x corresponde a un promedio del espacio para un desorden singular.

Las cantidades básicas que deben ser estudiadas son las fluctuaciones de cada frente, a partir de la altura promedio,

∆h(x, t) = h(x, t) - ⟨h⟩x(t). (3.4)

Se espera que esta magnitud se comporte como la masa o hiper-volumen en

los fractales aleatorios. La principal diferencia es que esta magnitud puede tomar valores positivos o negativos. De hecho, el promedio de ∆h en el espacio es siempre cero por definición, ⟨∆h(x,t)⟩x = 0. La primera magnitud a ser analizada es entonces el momento de segundo orden; la anchura global de la interfase:

W(t, L) = {⟨[h(x, t) - ⟨h⟩x]2⟩x}1/2 = {⟨[∆h(x, t)]2⟩x}1/2. (3.5)

Se consideran a las interfases como fractales auto-afínes aleatorios, pero sólo

en su estado final. Típicamente, la condición inicial de estos sistemas está muy lejos de esta situación. Por ejemplo, en muchos casos prácticos, una superficie plana es considerada como un estado inicial h(x, t = 0). Esto significa que la anchura global es cero en t = 0. Después, el sistema evoluciona y la interfase llega a ser más rugosa. La falta de una escala característica hace patente que el crecimiento de la anchura en el tiempo se manifiesta en forma de ley de potencia,

W(t, L) ∼ tβ. (3.6)

La rugosidad de la interfase continua hasta que el sistema alcanza un estado

estacionario. Asimismo, la anchura de las superficies depende del tamaño del sistema,


41

W(t > tsat) ∼ Lα. (3.7)

Estas dos tendencias asintóticas pueden ser incluidas en una sola expresión:

W(t, L) ∼ tβ = tβ ƒ(t / tx) = tβ ƒ(t / Lα / β), (3.8) donde α es el exponente de rugosidad (que caracteriza el régimen estacionario), β el exponente de crecimiento (que caracteriza el comportamiento de la superficie en el corto plazo), L el tamaño del sistema y ƒ() una función de escalamiento que se comporta asintóticamente como: constante si u << 1

ƒ(u) ∼ (3.9) u-β de otra manera

Este ansatz para el escalamiento de la anchura es conocido como el escalamiento de Family-Vicsek [3.7].

En muchas situaciones prácticas como, por ejemplo, en experimentos, la

anchura del frente completo no puede ser estimado. Pero una anchura local puede ser definida si se toma en cuenta solo una fracción del sistema con un tamaño lateral l < L. En este caso, los valores promedios ⟨..⟩x están restringidos a estas áreas pequeñas. Con el objeto de distinguir estas áreas de los promedios globales, éstas serán denotadas por ⟨..⟩l. La definición de la anchura global es entonces:

w(t, l) = {⟨[h(x, t) - ⟨h⟩l]2⟩l}1 / 2 = {⟨[∆lh(x, t)]2⟩l}1 / 2. (3.10)

El escalamiento de Family-Vicsek para esta función se asume como el mismo para la anchura global, pero substituyendo L por l:

w(t, l) = tβ g(t / lα / β). (3.11) La función g() tiene el mismo comportamiento asintótico que ƒ(). El cambio desde una escala global a otra local no es tan sencillo como parece; este cambio es especialmente complicado cuando el escalamiento del sistema no puede ser descrito por el escalamiento de Family-Vicsek ansatz. (Por consiguiente, en la próxima sección, se describe el escalamiento anómalo).

Otro aspecto importante que debe ser estudiado en todos los sistemas aleatorios es el de la correlación, correlación espacial en el caso del crecimiento de superficies. Está función está definida como:


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C(t, l) = {⟨∆h(x + l, t)∆h(x, t)⟩x}. (3.12)

Normalmente, para un instante de tiempo específico, la función de correlación toma un valor positivo (grande) en l = 0. Realmente, la función C(t, l) = 0 es igual al cuadrado de la anchura global. Además, cuando se incrementa l las correlaciones decrecen y éstas llegan a ser cero después de haber pasado una distancia ξ. El esquema básico es mantenido en cada momento, pero la distancia a la cual las correlaciones se desvanecen aumenta con el tiempo,

ξ ∼ t1 / z. (3.13) El exponente z es conocido como el exponente dinámico y nos proporciona información acerca de qué tan rápido las correlaciones se expanden a través del sistema. Este exponente se relaciona con α y β mediante una simple relación de escalamiento:

z = α / β. (3.14) Esta expresión se debe a que las correlaciones no pueden expandirse de manera infinita en un sistema de tamaño finito, L. Por ende, la expansión debe detenerse en un tiempo específico, tx ∼ Lz, para el cual ξ(tx) = L. Después de este tiempo tx, la dinámica del sistema alcanza un estado estacionario, en donde la anchura o las correlaciones ya no cambian. Existe otra función que es la de segundo orden en ∆h y que debe ser mencionada. Esta función es la correlación altura-altura en un mismo instante de tiempo,

G(t, l) = {⟨(h(x + l, t) – h(x, t))2⟩x} = {⟨(∆h(x + l, t) – ∆h(x, t))2⟩x}. (3.15) La función G es un puente entre la anchura global y la función de correlación,

G(t, l) = 2W2(t, L) – 2C(t, L). (3.16) Este comportamiento de escalamiento es muy similar al escalamiento de la anchura local. De hecho, en algunas ocasiones, para los valores de α cercanos a uno [3.12], G puede ser un mejor estimador para los exponentes. 3.2.1 Escalamiento dinámico anómalo


43

Como se mencionó en la sección anterior, las interfases tienen un comportamiento de escalamiento dinámico propuesto por Family y Vicsek para la evolución de la anchura. Sin embargo, esto no es la regla general. Existen muchos otros casos donde este escalamiento no es viable para representar la dinámica del sistema.

En el escalamiento ansatz de Family-Vicsek, las universalidades para el

crecimiento están caracterizadas por tres exponentes. El exponente de rugosidad α el exponente de crecimiento β y el exponente dinámico z. Sólo dos de estos exponentes son independientes por la condición de la auto-consistencia z = α / β. Los exponentes α y β pueden ser medidos usando ambos estimadores para la anchura: global o local.

En un fractal auto-afín, el tamaño del sistema, L, actúa como un límite superior

para la simetría de invarianza de escala. Por consiguiente, cuando una magnitud es estimada cerca de esta escala, se pierde la forma funcional de ley de potencia. Este efecto puede ser considerado en una teoría mediante un artificio sencillo conocido como tamaño finito de escalamiento. Por ejemplo, para una interfase después de la saturación, la anchura local se comporta como w(l) ∼ lα hasta que el tamaño del sistema llega a ser L. El límite superior puede ser incluido en esta fórmula como:

w(l, L) ∼ lα ƒ(l / L). (3.17)

Donde la función ƒ(u) es constante para valores pequeños de u(u << 1), y ƒ(u) es igual a u-α para u ≈ 1. Una de las consecuencias de este argumento es que ofrece una forma de abordar las escalas globales. Si esto es válido, la anchura global debe incrementarse con el crecimiento del tamaño del sistema como W(L) ∼ Lα. La misma dependencia de ley de potencia y el mismo exponente para la anchura local. Esto significa que al comparar las anchuras de dos sistemas de diferente tamaño, éstas siguen la misma ley que las anchuras locales de dos escalas diferentes dentro del mismo sistema. De hecho, si se mantiene la relación (L2 / L1) = (l2 /l1), esta puede ser extrapolada a las anchuras como:

)()(

1

2

LWLW =

)()(

1

2

lwlw . (3.18)

El escalamiento de Family-Vicsek se basa en un argumento de escalamiento de tamaño finito. Por ende, es de esperarse que los estimadores local y global proporcionen los mismos valores para los exponentes.

Como ocurre en los fenómenos críticos en no-equilibrio, los correspondientes exponentes críticos no dependen de los detalles microscópicos del sistema que está


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siendo investigado. Esto ha hecho posible dividir los procesos de crecimiento en clases universales, según el valor de estos exponentes característicos [3.1,3.13].

Existen, no obstante, algunos modelos teóricos sobre el crecimiento en los que la simetría entre las magnitudes global y local no ofrecen los mismos valores para los exponentes; es decir, el escalamiento estándar de la anchura global difiere substancialmente del comportamiento de escalamiento de las fluctuaciones de la interfase local (medidas tanto por la anchura local como por la correlación altura-altura). De manera más precisa, en algunos modelos de crecimiento la anchura local (y la correlación altura-altura) tiene un comportamiento de escalamiento definido por (3.12), pero con una función de escalamiento anómalo: uαloc si u << 1

ƒA(u) ∼ (3.19) constante si u >> 1, donde el nuevo exponente independiente αloc es llamado exponente de rugosidad local. Esto es lo que ha sido denominado en la literatura como rugosidad anómala, la cual se ha detectado en muchos modelos de crecimiento y de manera experimental (electro-deposición, fractura o desplazamiento dentro de un medio heterogéneo) [3.14] . Experimentalmente, el escalamiento anómalo ha sido observado en un amplio rango de campos. Además, se ha demostrado recientemente que la rugosidad anómala puede tomar dos formas diferentes [3.15,3.16]. Por un lado, existen procesos super-rugosos, α > 1, para los cuales siempre αloc = 1. Por otro lado, hay superficies que presentan rugosidad intrínsicamente anómala, para las cuales αloc < 1 y α puede ser realmente cualquier α > αloc. Algunos modelos de crecimiento pueden tener exactamente los mismos valores de α y z, lo que aparentemente indica que ambos exponentes pertenecen a la misma clase de universalidad. Sin embargo, dichos exponentes pueden tener diferentes valores de αloc, señalando que estos exponentes pertenecen a diferentes clases de universalidad. En el caso de los experimentos, sólo el exponente de rugosidad local puede medirse por medios directos, a partir de que el tamaño del sistema permanezca constante. Un ejemplo de lo anterior son los experimentos sobre fractura [3.17]. Hasta este momento, se han descrito sistemas físicos que comparten la propiedad de invarianza de escala. La mayoría de estos sistemas, como algunos modelos teóricos sobre el crecimiento, muestran un escalamiento ordinario de ley de potencia, en donde las cantidades pueden ser expresadas como una ley de potencia


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que ajusta una función de escalamiento; dicha función de escalamiento depende de la invarianza de escala que manifiesten las razones que vinculan los parámetros. Pero el comportamiento de algunos sistemas no obedecen al escalamiento de leyes de potencia; en lugar de ello, existencia evidencia numérica que indica una forma de escalamiento logarítmico en donde la función de escalamiento depende de las relaciones logarítmicas de los parámetros. Basados en esta idea, L. Sittler y H. Hinrichsen [3.18] propusieron que este tipo de escalamiento logarítmico puede ser explicado mediante un concepto de invarianza de escala local con exponentes que varían continuamente, llamando a dicha propuesta: leyes de escalamiento generalizado con exponentes que varían continuamente. 3.2.2 Leyes de escalamiento generalizado con exponentes que varían

continuamente

Normalmente la invarianza de escala implica que variables, tales como los parámetros de control, sean casi funciones homogéneas ƒ que obedecen a una ecuación funcional de la forma:

ƒ (av1x1, ..., avnxn) = aƒ(x1, ..., xn). (3.20)

Donde a es un parámetro de dilatación, xi puede ser el tiempo, el espacio, el tamaño del sistema o cualquier otro parámetro de control del sistema, y vi son los exponentes. Estos exponentes son constantes, o sea, ellos no dependen de las variables xi. Realizando un mapeo proyectivo, uno puede definir un nuevo conjunto de coordenadas homogéneas n – 1:

ui = ni vv

n

i

xx

/ para i = 1, ..., n – 1. (3.21)

Empleando estas coordenadas y eligiendo a = xn-1 / vn en (3.21), la función ƒ puede

expresarse como:

ƒ(x1, ..., xn) = x λn g(u1, ..., un – 1), (3.22)

donde g es un función de escalamiento que depende de n – 1, y λ = 1 / vn es un exponente de escalamiento. En estudios numéricos esta forma de escalamiento es aplicada para generar un colapso en los datos, a través de graficar x λ

n ƒ(x1, ..., xn) contra u1, ..., un – 1. El escalamiento de la forma (3.22) es válido para una gran variedad de fenómenos críticos y sistemas con propiedades de auto-similitud. Pero existen casos


46

excepcionales en los que un simple escalamiento de ley de potencia no permanece constante; en lugar de ello, hay evidencia numérica de que los logaritmos de los parámetros pueden ser utilizados para producir un colapso en los datos. Estos casos incluyen a ciertos modelos de pilas de arena críticamente auto-organizados [3.19, 3.20] y experimentos relacionados con la turbulencia [3.21]. En todos estos estudios, los datos numéricos parecen obedecer a una ley de escalamiento logarítmico de la forma:

n

n

xxxf

ln),...,(ln 1 = G

−

n

n

n xx

xx

lnln

,...,lnln 11 . (3.23)

Como en (3.22), esta ley de escalamiento reduce el número de variables independientes, de n a n-1. Tang en 1989 dio a conocer una forma en que las ecuaciones (3.22) y (3.23) puede ser ligadas [3.22]. La idea consiste en considerar exponentes que varían continuamente, los cuales dependen de los parámetros x1, ..., x2. Sin embargo, su dependencia funcional no es arbitraria porque están fuertemente restringidos por un grupo de homomorfismo. Desde el punto de vista de la física, estas restricciones implican una transformación del escalamiento generalizado con exponentes que varían continuamente y que son “semejantes” a una transformación de escalamiento ordinario en un co-movimiento de volumen infinitesimal del parámetro espacio expandido por el parámetro xi. En este sentido, Sittler y Hinrichsen [3.18] introdujeron el nuevo concepto de invarianza de escala local. Es importante hacer un paréntesis para señalar que el homomorfismo es un artificio matemático que se emplea para preservar alguna operación de un conjunto al realizar la transformación hacia otro conjunto. Por ejemplo, si se tiene el conjunto de los números reales con la propiedad de adición (grupo x), y se quiere mantener esta propiedad en otro conjunto de los números reales (grupo y), se aplica el homomorfismo y tenemos lo siguiente:

exp(x) ex: (R, +) → (R, *), o sea, ex + y = ex * ey. De esta manera, se conserva la propiedad aditiva del conjunto x, al realizar la transformación hacia el conjunto y, como propiedad multiplicativa.

Regresando al concepto de invarianza de escala local, el punto inicial del multi-escalamiento ansatz es reemplazar los exponentes constantes vi, por exponentes que varían continuamente y que dependen de la variable xi. En forma análoga a (3.20), una transformación de escalamiento generalizado, τ(a), está definida como:


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τ(a): ƒ (av1(x1,...,xn)x1, ..., avn(x1,...,xn)xn) = aƒ(x1, ..., xn), (3.24)

donde a es de nuevo un parámetro de dilatación. Pero los exponentes vi(x1, ..., xn) no pueden ser seleccionados libremente, ya que su dependencia funcional está restringida por un grupo de homomorfismo. Este homomorfismo liga los conceptos de escalamiento ordinario y escalamiento generalizado cuando las dos dilataciones subsecuentes, a través de los factores a y b, son equivalentes en una dilatación simple por el factor ab:

τ(a) = τ(a)τ(b). (3.25) En otras palabras, si se aplica (3.20) para τ(b) y luego para τ(a), es decir abƒ(x1, ..., xn) = bƒ(av1(x1,...,xn)x1, ..., avn(x1,...,xn)xn) (3.26) = ƒ(bv1(a 1v x1,..., a nv xn) av1(x1,...,xn)x1, ..., bvn(a 1v x1,..., a nv xn) avn(x1,...,xn)xn),

el resultado debería ser el mismo que si se hubiera transformado el sistema en un solo paso por medio de τ(ab):

abƒ(x1, ..., xn) =ƒ((ab)v1(x1,...,xn)x1, ..., (ab)vn(x1,...,xn)xn). (3.27)

Comparando (3.25) y (3.26), se obtiene:

v1(x1, ..., xn) = v1(av1x1, ..., avnxn) para i =1, …, n (3.28) es decir, los exponentes por si mismos tiene que ser funciones casi homogéneas.

Finalmente, Sittler y Hinrichsen [3.18] sugirieron que para algunos sistemas críticos o auto-similares, con cantidades que varían de manera logarítmica, las leyes de escalamiento generalizado son buenos candidatos para un potencial colapso de datos. Posibles aplicaciones incluyen la transición de fases en una dimensión crítica mayor, transiciones de rugosidad anómala, así como sistemas críticos auto-organizados y desordenados 3.3 Cálculo del exponente de Hurst

En muchos casos, el comportamiento de escalamiento espacial se atribuye a la invarianza estadística de las interfases saturadas bajo la transformación de escala auto-afín ( λx, λαz). La invarianza auto-afín implica que z(λx) ≅ λαz(x), donde “≅” denota la igualdad en el sentido estadístico, y no hay escala de longitud característica en la interfase en comparación al tamaño del sistema [3.23]. Por lo


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tanto, en este caso la magnitud de las fluctuaciones de las alturas locales sobre una ventana de tamaño l < L se mantiene saturada en el tiempo ts ~ Lz, independientemente del tamaño del sistema; o sea, h(L, t > ts) ~ Lζ, donde ζ = α es el exponente de rugosidad local. Si es así, la morfología de una interfase de una grieta es caracterizada por el exponente de rugosidad único, 0 < α = ζ ≡ H ≤ 1, el cual se llama comúnmente el exponente de Hurst [3.24,3.8]. Este último está relacionado a la dimensión (fractal) local del conteo de cajas de la interfase como DB = 2 – H.

El exponente de Hurst es también un indicador para determinar si un

fenómeno o una serie de tiempo presentan un comportamiento fractal y mide la intensidad de dependencia a largo plazo de una serie de tiempo. Se dice que el fenómeno analizado es aleatorio cuando H = 0.5 (ruido blanco), que es persistente cuando 0.5 < H < 1 (existe invarianza de escala asociada a correlaciones positivas a largo plazo), y que es antipersistente cuando 0 < H < 0.5 (existe invarianza en la escala asociada a correlaciones negativas a largo plazo) [3.25].

A continuación se describen brevemente algunos métodos de análisis fractal de trazado auto-afín para determinar el valor de H.

3.3.1 Análisis del rango reescalado

El método estadístico del rango reescalado (R/σ), propuesto por Mandelbrot y Wallis [3.26] y basado en un previo análisis hidrológico de Hurst [3.27], es el más antiguo y conocido método para determinar el valor de H. Este método permite calcular el parámetro de auto-similitud H para medir la intensidad de dependencia a largo plazo de una serie de tiempo.

Para una serie de tiempo de longitud n, { }ntXX t ,...,2,1: == , R/σ está definido como el cociente del rango máximo normalizado de la señal integrada R(n) entre la desviación estándar S(n):

{ } { },)(

,...,2,1:,0min,...,2,1:,0max)()(

2 nSntrntr

nSnR tt =−=

= (3.29)

donde ∑ ∑= =−=

k

t

n

t ttk XnkXr

1 1 (3.30)

y .11)(2/12

1 1

−= ∑ ∑

= =

n

t

n

ttt X

nX

nnS (3.31)


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Una medición confiable de S(n), o σ, requiere de una muestra de datos con un intervalo constante dn, ya que la diferencia esperada entre los valores constantes de X es una función de la distancia que separa a éstas.

Si el trazo es auto-afín, el valor esperado de R/σ tiene un escalamiento Hn cuando ∞→n :

HR τσ ∝/ . (3.32)

La exactitud en la determinación de H, en todos los intervalos de tiempo, depende del número de datos que sean utilizados en el cálculo. Si dicho número es razonablemente grande (es decir, cuando el intervalo del tiempo máximo es trazado varias veces), se espera que la curva R/σ proporcione información sobre la auto-similitud de todos los intervalos de tiempo. Si el tiempo registrado posee sólo correlaciones a corto plazo, entonces la gráfica log-log de es también una línea recta con pendiente de 0.5. El mayor inconveniente del análisis R/σ es que la teoría de la distribución asintótica no ha sido derivada para el parámetro H.

3.3.2 Método de rugosidad-longitud

Este método es muy parecido al R/σ. En el método de rugosidad-longitud (SD) se toma en cuenta la desviación estándar, o rugosidad de la raíz cuadrada de la media de los datos, en las escalas de tiempo τ, en vez del rango vertical [3.28]. Para un trazado auto-afín, la rugosidad SD, (donde SD es la desviación estándar) medida en una escala de tiempo τ, está relacionada con H como:

HSD τ∝ . (3.33)

3.3.3 Método del Variograma

La distribución del tiempo de Xi puede ser caracterizada por una función de semivarianza, llamada variograma, la cual se define como:

22/

0)(

21)( ni

N

ii XX

NnV +

=

−= ∑ , (3.34)

donde N es el número de parejas de puntos separados por un intervalo n (el desfasamiento del intervalo). Cuando la semivarianza estimada es graficada contra n, ésta puede aproximarse asintóticamente a un valor constante (umbral) o puede incrementarse sin límites conforme aumente n. Los variogramas sin límites sugieren que la variación está dándose en un rango continuo de escalas de tiempo. Tanto el


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variograma transitivo, con un umbral finito, y los variogramas sin límites pueden ser analizados en una gráfica log-log. Si el logaritmo de una semivarianza es graficado contra el logaritmo de n, entonces la pendiente es 2H. Por consiguiente:

HV 2τ∝ . (3.35) Un problema con el método del variograma es que el intervalo de la muestra n

y la determinación de la pendiente pueden afectar la estimación de H. 3.3.4 Método del espectro de potencia

Otro método que determina la existencia de dependencia a largo plazo en las series de tiempo, se basa en la forma espectral de un proceso dependiente a largo plazo. El método del espectro de potencia, que tiene su origen en el análisis espectral, puede ser aplicado a los datos de las series de tiempo. La función de densidad del análisis espectral para datos aleatorios describe los datos en términos de la densidad espectral del valor de su media elevado al cuadrado para diferentes frecuencias. La función de densidad del espectro de potencia es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación:

∑∞

=

+=1

)2cos()(2)0()(n

nnCCS πωω . (3.36)

Si )(nC obedece a un escalamiento de ley de potencia, entonces

αωω −∝)(S , (3.37)

donde βα −= 1 para pequeños ω . Para las series auto-afines tenemos que

.211 H+=−= βα (3.38) Por lo tanto, tenemos:

12 −−∝ HP τ . (3.39)

3.3.5 Método de las ondoletas

Las ondoletas son una extensión del análisis de Fourier, y la transformada de las ondoletas es computacionalmente similar, en principio, a la transformada rápida de Fourier (FFT: fast Fourier transform). La FFT utiliza cosenos, senos y exponentes


51

para representar una señal, y es la más usada para analizar funciones lineales. A partir de que se sabe que muchas series de tiempo despliegan un comportamiento caótico no lineal, el análisis de Fourier es menos apropiado para analizar dichas series. El objetivo de la transformada de las ondoletas es el de expresar una señal de entrada en una serie de coeficientes de “energía” especificada. Los números discretos, asociados con cada coeficiente, contienen toda la información necesaria para describir completamente la serie, en la que uno conoce qué análisis de ondoletas fue empleado para la descomposición.

El método del coeficiente promedio de la ondoleta (AWC, the Average Wavelet Coefficient Method) utiliza la transformada de la ondoleta [3.29] para medir la auto-afinidad temporal de las correlaciones; en otras palabras, es el método para H. Esto se hace mediante la transformación de la serie de tiempo, X(t), al dominio de las ondoletas );]([ baXW , donde a denota un parámetro de escala y b indica trazados. El método AWC consiste, para una escala dada de a , en encontrar una “energía” (ondoleta) representativa o amplitud a una escala especifica. Esto puede ser realizado al tomar el promedio aritmético de );]([ baXW sobre todos los trazados del parámetro b , correspondiente este último a un valor de a en la misma escala. Se puede, por ende, construir, a partir de la transformada de la ondoleta de X(t), el espectro de AWC )]([ aXW , que sólo depende de la escala a , y que fue definido anteriormente. Si X(t) es un proceso auto-afín, caracterizado por H, este espectro se escalaría como sigue:

[ ] .),()( 2/1+∝= Hb

abaWaXW (3.40)

Al graficar )]([ aXW , en una escala log-log, la pendiente debería ser H + ½, si la señal es auto-afín (de multi-escala, en el sentido de que el comportamiento a diferentes escalas no tiene influencia de ninguna manera significativa; o sea, el método desacopla escalas).

El análisis de ondoletas es una herramienta para analizar cambios de potencia localizadas, mediante la descomposición de una serie de tiempo en el espacio de frecuencia de tiempo, a fin de determinar los modos dominantes de la variación y cómo éstos se alteran con el tiempo. Este método es apropiado para el análisis de series de tiempo no estacionarias; es decir, en donde la varianza no permanece constante con el tamaño de la muestra de datos analizados. Las propiedades fractales están presentes donde el espectro de potencia de la ondoleta es una función de ley de potencia de la frecuencia. El método de las ondoletas se sustenta en la propiedad de trazado auto-afín de las transformadas de las ondoletas, estas últimas con propiedades de auto-afinidad.


52

3.4 Escalamiento dinámico en la caracterización del mercado petrolero

El perfil del crecimiento de una interfase rugosa (figura 3.5) es muy parecido al perfil de una curva que representa el comportamiento histórico del precio de algún activo financiero, como divisas, tasas de interés, mercancías, opciones, entre otros (figura 3.6).

Figura 3.5 [3.5]. (a) – (d) Fotografías de una interfase en experimentos de imbibición que crece perpendicular a la dirección de las fibras de papel; (e) - (h) gráficos correspondientes de z(x) en tiempos de (a), (e) 900 segundos; (b), (f) 925 segundos; (d), (g) 1000 segundos; y (d), (h) 1680

segundos.

Dado lo anterior, es posible emplear el enfoque de escalamiento dinámico para caracterizar el comportamiento de la volatilidad histórica de los precios del petróleo, dentro de la dinámica de interfases rugosas. Para ello, se propone que el horizonte de la volatilidad n sea tratado de manera análoga a la variable de tiempo (t), mientras que el tiempo t, en el que se consideran únicamente los días que registraron transacciones, sea tratado como la extensión lateral (X) del crecimiento de la interfase.


53

Figura 3.6. Curva del comportamiento histórico del petróleo crudo del West Texas Intermediate.

5

20

35

02/01/1986 06/11/1992 11/09/1999Fecha

Pre

cio,

$/b

l


54

3.5 Referencias [3.1] A-L Barabási & H.E. Stanley. Fractal concepts in surface growth; Cambridge University Press, Cambridge, 1995. [3.2] B.B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature; W.H. Freeman, Nueva York, 1982. [3.3] T. Vicsek. Fractal growth phenomena; World Scientific, 1989. [3.4] J.J. Ramasco. Invariancia de escala en el crecimiento de superficies e interfases; Tesis doctoral 2002, Departamento de Física, Universidad de Cantabria, España. [3.5] D. Morales. Dinámica fractal de interfases en medios porosos. Tesis doctoral 2001. Instituto Politécnico Nacional, México. [3.6] A. Bunde & S. Havlin. Fractals and Disordered Systems; Springer, Heildelberg, 1996. [3.7] F. Family & T. Vicsek. J. Phys. A 18, L75, 1985. [3.8] T. Vicsek. Fractal Growth Phenomena; World Scientific, Singapore, 1991. [3.9] J.G. Amar, P.-M. & F. Familiy. Phys. Rev. A 43, 1991, pp. 4548. [3.10] J. Kertész, V.K. Horváth, & F. Weber; Fractals 1, 67, 1993. [3.11] H.E. Stanley. Introduction to phase transitions and critical phenomena; Oxford Science Publications, 1971. [3.12] J. Buceta, J.M. Pastor, M.A. Rubio & F.J. de la Rubia; Phys. Rev. E 61, 2000, pp. 6015. [3.13] J. Feder. Fractals; Plenum Press, Nueva York, 1988. [3.14]. J.J. Ramasco, J.M. López, & M.A. Rodríguez. Generic Dynamic Scaling in Kinetic Roughening; Phy. Rev. Lett. 84, 2000, pp. 2199-2202. [3.15] J.M. López, M.A. Rodríguez, & R. Cuerno; Phys. Rev. E 56, pp. 1997, pp. 3993.


55

[3.16] J.M. López, M.A. Rodríguez, & R. Cuerno; Physica 246A, , Ámsterdam, 1997, pp. 329. [3.17] S. Morel, J. Schmittbuhl, J.M. López, & G. Valentin; Phys. Rev. E 58, 1998, pp. 6999. [3.18] L. Sittler & H. Hinrichsen. On generalized scaling laws with continuously varying exponents; J. Phys. A: Math. Gen. 35, 2002, pp. 10531-10538. [3.19] L.P. Kadanoff, S.R. Nagel, L. Wu, & S.M. Zhou; Phys. Rev. A 39, 1989, pp. 6524. [3.20] C. Tebaldi, M. De Menech, & A.L. Stella; Phys. Rev. Lett. 83, 1999, pp. 3952. [3.21] X-Z Wu, L. Kadanoff, A. Libchaber, & M. Sano; Phys. Rev. Lett. 64, 1990, pp. 2140. [3.22] C. Tang. Scaling in avalanches and elsewhere; Preprint NSF-ITP-118, 1989 (unpublished). [3.23] M. Sahimi; J. Phys. I, France 4, 1994, pp. 7113. [3.24] B.B. Mandelbrot. Fractals in Physics; Holland, Amsterdam, 1986, pp. 3. [3.25] B.B. Mandelbrot. Fractals and Scaling in Finance; Springer, New York, 1997. [3.26] B.B. Mandelbrot & J. Wallis. Robustness of the Rescaled Range R/S in the Measurement of Noncyclic Long Run Statistical Dependence; Water Resources Research 5, 1969d. [3.27] H.E. Hurst. Long-term Storage of Reservoirs; Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, 1951. [3.28] [3.16] BENOIT 1.3 http://www.scioncorp.com. [3.29] I. Simonsen. Measuring Anti-Corrrelations in the Nordic Electricity Spot Market by Wavelets; arXiv:cond-mat/0108033, v1, 2001.

Capítulo 4. Caracterización estadística del comportamiento de los precios del petróleo

56

CAPÍTULO 4

CARACTERIZACIÓN ESTADÍSTICA DEL COMPORTAMIENTO DE LOS PRECIOS

DEL PETRÓLEO En este capítulo se da a conocer la caracterización estadística del comportamiento de los precios del petróleo, mediante un análisis estadístico y el enfoque de escalamiento dinámico. Antes de entrar de lleno al tema, se resumen los conceptos vistos en el capítulo anterior, a fin de establecer una terminología homogénea que se usó de referencia para el presente análisis. Los sistemas dinámicos complejos exhiben invarianza de escala, en otras palabras, su comportamiento no cambia por un reescalado de las variables (por ejemplo, espacio y tiempo) combinadas con un adecuado reescalado de los parámetros observables (Z) y los parámetros de control (X, t) [4.1,4.2]. En este caso, el comportamiento aleatorio de la dinámica espacio-tiempo puede ser caracterizada por las fluctuaciones de los parámetros observables, definido como:

σ(∆, t) = ⟨⟨[Z(X, t) - ⟨Z(X, t)⟩∆]2⟩∆⟩ 2/1R , (4.1)

en donde ⟨...⟩∆ denota el promedio del espacio, dentro de una ventana de tamaño ∆, y ⟨...⟩R se refiere al promedio de todas las caracterizaciones realizadas. Normalmente, se espera que la dinámica de escalamiento de invarianza implique que las fluctuaciones σ(∆, t) satisfagan la dinámica de escalamiento ansatz de Family-Vicsek [4.3],

σ(∆, t) ∝ tβ ƒ[∆ / ξz(t)], (4.2) en donde ξ(t) ∝ t1 / z es la función de correlación de la escala del “espacio” y la función de escalamiento se comporta como ƒ(y) ∝ yH, si y << 1, o ƒ(y) ≈ 1, si y >> 1; en este caso H es el llamado exponente local (o de Hurst) que determina si existe comportamiento aleatorio, z es el exponente dinámico y β = H / z es el exponente de crecimiento. En la ausencia de una escala característica, se espera que las fluctuaciones sean auto-afínes. Sin embargo, comúnmente el escalamiento dinámico


57

es caracterizado por tres o más exponentes de escalamiento; concretamente, de acuerdo al concepto de escalamiento dinámico general [4.3], la dinámica del crecimiento de interfases rugosas está caracterizada por seis exponentes de escalamiento, cuatro de los cuales pueden ser independientes.

El exponente de Hurst indica si el comportamiento del sistema es aleatorio (H = 0.5) o despliega persistencia (0.5 < H < 1) o antipersistencia (0 < H < 0.5) [4.3]. Este exponente de Hurst está relacionado con la dimensión fractal de la gráfica Z(X) como:

DF = d – H, (4.3) en donde d es la dimensión topológica del espacio [4.3]. El escalamiento de la forma (4.2) es válido para una gran variedad de sistemas en no-equilibrio, así como fenómenos críticos [4.4]. Específicamente, la dinámica de escalamiento ansatz de Family-Vicsek es usualmente usada para describir la cinética del crecimiento de interfases rugosas [4.3]. Pero, generalmente, una simple ley de escalamiento (4.2) no es universal [4.1,4.2]; en lugar de esto, hay evidencia de que los logaritmos de los parámetros pueden ser utilizados para producir un colapso en los datos [4.2]. De esta forma, Sittler y Hinrinchsen [4.2] han sugerido la forma de escalamiento dinámico generalizado con exponentes que varían continuamente:

σ(∆, t) ∝ Φ(∆H(t), tβ(∆)), (4.4) donde Φ es la función de escalamiento. Cabe mencionar que por la forma funcional de los exponentes de escalamiento, éstos no pueden ser elegidos libremente; más bien, su dependencia funcional está restringida por un grupo de homomorfismo que liga los conceptos de escalamiento ordinario y escalamiento generalizado [4.2]. 4.1 Definición del objeto de estudio

Actualmente, a pesar de la variedad de crudos que se ofrecen en el mercado,

solamente existen dos crudos “marcadores” que sirven de referencia para la fijación de los precios internacionales del petróleo: el WTI y el Brent. La importancia de estos dos marcadores no radica en el volumen físico de su producción, ni de su comercio, los cuales son un tanto marginales respecto del total mundial, sino más bien en que el mercado les ha asignado una función referencial de valor para las negociaciones del resto de los tipos de crudo (incluyendo los de México). Asimismo, el WTI y el Brent reúnen requisitos de calidad en grados API (grado de viscosidad) y en contenido de azufre. Además, el volumen que se negocia diariamente para estos dos


58

marcadores, en los mercados de futuros, o a través de contratos adelantados, supera la producción mundial diaria de petróleo [4.5].

Para el presente trabajo se analizaron las propiedades estadísticas de los

registros diarios de los precios spot (de contado) del crudo WTI, sin considerar fines de semana ni días festivos, debido a que se tienen más registros diarios, con respecto al crudo Brent (desde octubre de 1997). Estos registros del WTI comprenden del 02 de enero de 1986 al 31 de diciembre de 2003 (4,550 datos).

Cuando los economistas analizan la evolución de los precios, consideran los

precios constantes (referenciados a un instante de tiempo) porque en éstos se ha eliminado el efecto inflacionario en el tiempo. Para convertir los precios spot corrientes del WTI (obtenidos de Bloomberg L.P.@) [4.6] a precios constantes de 1983 (punto de tiempo tomado como referencia), se multiplicó el precio spot por el cociente resultante de dividir la inflación de 1983 (año base) entre la inflación del año en que se encuentra el precio corriente. Por ejemplo, el precio spot corriente del 24 de diciembre de 2002 fue 32.13 $/bl, la inflación de 1983 fue 99.60% y la inflación de diciembre de 2002, respecto a 1983, fue de 178.00%; entonces el precio constante del 24 de diciembre de 2002, a valor de 1983, es de 17.98 $/bl (32.13*[99.60 / 178.00]). En el anexo A se presentan las inflaciones anuales de EUA empleadas en este trabajo.

En la figura 4.1 se presenta la evolución del precio (constante de 1983) del WTI (1983–2003); habiendo eventos que han propiciado más volatilidad en el mercado petrolero internacional, tales como: el fracaso en la negociación de la OPEP (marzo, 1986), el restablecimiento de cuotas y recuperación parcial (septiembre, 1987), la entrada en operación del campo Frigg del Mar del Norte (octubre, 1998), la invasión de Kuwait por parte de Irak (septiembre, 1990), la Agencia Internacional de Energía aplica plan de contingencia al iniciar Guerra del Golfo Pérsico (marzo, 1991), la caída más drástica de la demanda en la década (marzo, 1994), la recuperación económica e invierno frío (noviembre, 1996), la recesión de las economías asiáticas (octubre, 1998), la disciplina en la OPEP y la negociación con productores no-OPEP (septiembre, 2000) y la recesión mundial y en EUA (desde 2001).

Por lo que se vio en el capítulo 2, se ha encontrado que la evolución de los

precios, p(τ), es de manera aleatoria (distribuciones de colas ligeras), en tanto que el valor absoluto de los rendimientos logarítmicos de los precios, δ(τ), se ajusta más a una distribución de ley de potencia (de colas pesadas). Asimismo, existen evidencias empíricas de que la volatilidad de los precios, Vn(t), exhibe correlaciones a largo plazo (persistencia), lo que nos da la posibilidad de desarrollar un modelo de predicción más confiable. Por consiguiente, en este capítulo se desea comprobar si estas tres evidencias empíricas son válidas para los precios del petróleo.


59

Figura 4.1. Evolución de los precios del petróleo crudo WTI: (1) precios spot (corrientes), y (2) precios a dólares constantes de 1983.

Para obtener δ(τ) (figura 4.3a), se aplicó la siguiente expresión matemática a los 4,550 registros de los precios diarios (días de negociación):

δ(τ) = ln τ−t

t

PP , (4.5)

y para calcular δ(τ) (figura 4.4a), se empleó:

δ(τ) = ln τ−t

t

PP

. (4.6)

Por otra parte, con el fin de obtener 100 series de tiempo de la volatilidad

histórica de los precios, Vn(t), para diferentes horizontes de estudio n = 2,3,4, ...,101, se utilizó la siguiente ecuación para los últimos 4,096 registros de los precios diarios, o sea para una longitud T = 4,096 días:

[ ] 2/122 )()()(

nnn tPtPtV −= , (4.7)

donde t es el tiempo de negociación (días) y ⟨...⟩n denota el promedio de una ventana de tamaño n.

Durante la elaboración de este trabajo, se tuvo la inquietud de saber si las volatilidades históricas de δ(τ), Vn(δ(τ)), y de δ(τ), Vn(δ(τ)), eran semejantes a Vn(t). (figuras 4.4b-d). Así pues, se construyeron 100 series de tiempo de Vn(δ(τ)) (figuras 4.3b-d) y de Vn(δ(τ)) (figuras 4.4b-d), utilizando también (4.7), pero para

(1)

0

10

20

30

40

Dic-83 Ene-90 Ene-96 Ene-02Fecha

Pre

cio,

$/b

l

(2)


60

los últimos 4,097 registros de δ(τ) y δ(τ) (longitud T = 4,096 datos), respectivamente.

Figura 4.2. (a) Evolución de los registros diarios de precios spot del WTI (1986-2003) en dólares constantes de 1983. (b-d) Volatilidades históricas para horizontes de: (b) n = 3, (c) n = 8 y (d) n = 20.

4.2 Análisis estadístico El análisis estadístico consistió en determinar cuál distribución estadística

ajustaba mejor el comportamiento histórico de las 100 series de tiempo de: p(τ) (figura 4.5a), Vn(t) (figuras 4.5b-c), Vn(δ(τ)) (figuras 4.6b-d) y Vnδ(τ) (figuras 4.7b-d), a través del software @Risk 4.0 [4.7]. Una vez identificadas las distribuciones estadísticas, se procedió a analizar sus parámetros estadísticos (ver Anexo B). El propósito de este análisis fue el de hallar distribuciones de colas pesadas (comportamiento de leyes de potencia).

Es importante señalar que @Risk, desarrollado para analizar situaciones

sensibles al riesgo, ordena las distribuciones estadísticas, empezando con las que mejor ajustan los datos, mediante tres criterios estadísticos: de la Chi-cuadrada, de Anderson-Darling, y de Kolmogorov-Smirnov.

c)

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096Dias habiles

Vn

n = 8

d)

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096Dias habiles

Vn

n = 20b)

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096

Dias habiles

Vn

n = 3

a)

5

20

35

02/01/1986 06/11/1992 11/09/1999Fecha

Pre

cio,

$/b

l


61

Figura 4.3. (a) Rendimientos logarítmicos de los precios, δ(τ). (b-d) Volatilidades históricas para diferentes horizontes de tiempo: (b) n = 3, (c) n = 8 y (d) n = 43.

4.3 Análisis fractal

A fin de detectar y cuantificar el comportamiento de las series de tiempo analizadas, dentro del marco de la dinámica de interfaces rugosas, se consideró al horizonte de la volatilidad n, Vn(t), como la variable de tiempo, en tanto que el tiempo de negociación t (días hábiles) se analizó como la extensión lateral del crecimiento de la interfase. De acuerdo a esto, las fluctuaciones de la volatilidad de precios estuvieron caracterizadas de manera similar a las fluctuaciones de la altura de la interfase [4.3], como:

[ ] 2/12)()(),(R

nn tVtVnτ

τσ −= ∝ Φ(τHn, nβ(τ)), (4.8)

donde

τ... es el tiempo promedio del tiempo de negociación (días laborados), dentro

de una ventana de tamaño τ y R

... es el promedio de las diferentes caracterizaciones realizadas.

c)

0.0

0.1

0.2

0 1,024 2,048 3,072 4,096Dias habiles

Vn

n = 8

d)

0.0

0.1

0.2

0 1,024 2,048 3,072 4,096Dias habiles

Vn

n = 43b)

0.0

0.1

0.2

0 1,024 2,048 3,072 4,096

Dias habiles

Vn

n = 3

a)

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

2-ene-86 6-nov-92 11-sep-99Fecha

δ


62

Figura 4.4. (a) Valor absoluto de los rendimientos logarítmicos de los precios, δ(τ). (b-d) Volatilidades históricas para diferentes horizontes de tiempo: (b) n = 3, (c) n = 8 y (d) n = 43.

Para caracterizar las propiedades de escalamiento de las series de tiempo,

dentro de un marco conceptual del escalamiento dinámico generalizado (4.4) y (4.8), el exponente de crecimiento de la volatilidad, β(τ), puede ser determinado a partir del siguiente comportamiento de escalamiento:

σ(n, ∆) ∝ nβ(τ) (4.9) para diferentes intervalos de tiempo de negociación, τ.

Con el objeto de corroborar la existencia de correlaciones en la escala del tiempo de negociación (τ < T = 4,096), se empleó la función de autocorrelación para p(τ) (figura 4.8):

TTtPtPtPC )(/)()()( 2ττ += (4.10)

y para la volatilidad histórica de precios, Vn(p(τ)):

c)

0.0

0.1

0.2

0 1,024 2,048 3,072 4,096Dias habiles

Vn

n = 8

d)

0.0

0.1

0.2

0 1,024 2,048 3,072 4,096Dias habiles

Vn

n = 43b)

0.0

0.1

0.2

0 1,024 2,048 3,072 4,096

Dias habiles

Vn

n = 3

a)

0.0

0.1

0.2

2-ene-86 6-nov-92 11-sep-99Fecha

abs(

δ)


63

TnTnnn tVtVtVC )(/)()()( 2ττ += , (4.11)

Figura 4.5. Distribuciones de la probabilidad condicional de: (a) precios del petróleo, ajustados por la distribución (de colas ligeras) Logística; (b) volatilidad histórica de los precios para el horizontes n = 3;

ajustada por la distribución (de colas ligeras) Pearson; (c) volatilidad histórica de los precios para el horizontes n = 18; ajustada por la distribución (de colas pesadas) Log-logística. (d) Distribución acumulativa de avalanchas: datos (círculos) ajustados por la ec. 4.23 de ley de potencia (línea

continua). donde ⟨...⟩T denota el tiempo promedio. El cálculo de las funciones de correlación se realizó con la ayuda de un programa desarrollado en Fortran 95 (ver Anexo C).

Los comportamientos de la función de correlación en τ → 0 y τ → T → ∞ caracteriza la “memoria estocástica” de las series de tiempo. Pero la forma precisa de la función de autocorrelación es desconocida. Esto hace imposible usar (4.10) y (4.11) para medir el valor del exponente de Hurst para series de tiempo finitas.

Con el objeto de cuantificar la intensidad de las correlaciones a largo plazo,

valor de los exponentes locales de aleatoriedad (de Hurst) para P(τ) y Vn(t) (en cada horizonte de tiempo n), se emplearon cinco métodos de trazado auto-afín con la ayuda del software Benoit 1.2 [4.8] (ver Anexo D). Estos cinco métodos son los siguientes:

Rango reescalado: ( HR τσ ∝/ ) (4.12)

0.001

0.01

0.1

1

10

1 100S/mediana(S)

1 - F d)

c)

0

1

2

0 0.5 1 1.5

V18

f

0.001

0.1

10

0 1 2

b)

0

1

2

3

0 0.5 1 V3

f

0.001

0.1

10

0.1 1 10

a)

0

0.05

0.1

0.15

5 15 25price

f


64

Espectro de potencia: ( 12 −−∝ HP τ ) (4.13) Rugosidad-longitud: ( HSD τ∝ ) (4.14)

Variograma: ( HV 2τ∝ ) (4.15)

Ondoletas: ( [ ] 2/1),()( +∝= H

babaWaXW ) (4.16)

Figura 4.6. Distribuciones de la probabilidad condicional de: (a) δ(τ), ajustados por la distribución Logística; (b) volatilidad histórica de δ(τ) para el horizontes n = 3; ajustada por la distribución Pearson; (c-d) volatilidades históricas de δ(τ) para el horizontes n = 8 y n = 43; ajustadas por la distribución Log-

logística.

4.4 Análisis y discusión de resultados

En primer lugar se halló que las volatilidades históricas Vn(δ(τ)) (figuras 4.3b-d) y Vn(δ(τ)) (figuras 4.4b-d) si se parecen a la volatilidad histórica Vn(t). (figuras 4.2b-d). Esto puede interpretarse como el hecho de que la volatilidad histórica, ya sea de precios o de rendimientos logarítmicos guarda invarianza de escala.

a)

0

5

10

15

20

-0.12 0 0.12 δ

f

b)

0

25

50

0 0.04 0.08 V3

f

c)

0

25

50

0 0.04 0.08 V8

f

d)

0

25

50

0 0.04 0.08 V43

f


65

En segundo lugar, se descubrió que las volatilidades históricas para n > 8 se

ajustan a una distribución de colas pesadas (distribución Log-logística), en tanto que para n > 8 se ajustan a distribuciones de colas ligeras (distribuciones Pearson y Logística). Ver figuras 4.5a-c, 4.6a-d y 4.7a-d.

Por otra parte, se encontró que la función de autocorrelación de los precios del

petróleo (figura 4.8a) decrece exponencialmente (figura insertada en 4.8a) como:

( )0/exp ττ∆∝C , (4.17)

Figura 4.7. Distribuciones de la probabilidad condicional de: (a) δ(τ), ajustados por la distribución Logística; (b) volatilidad de δ(τ), Vn(δ(τ)) para el horizontes n = 3; ajustada por la distribución Pearson; (c-d) Vn(δ(τ))para el horizontes n = 8 y n = 43; ajustadas por la distribución Log-logística. con un tiempo característico 1200 =τ días hábiles (casi la mitad de un año laborable). Asimismo, el exponente de Hurst para los precios fue de H = 0.50 + 0.02 (figuras 4.8b-d y 4.9). El valor de H fue determinado por los cinco métodos de trazado auto-afín antes señalados [4.8], destacando que este valor no es sensible al periodo de

a

0

10

20

30

40

50

-0.01 0.02 0.05 0.08 abs(δ)

f

b

0

15

30

45

60

75

-0.01 0.02 0.05 0.08 V3

f

c

0

15

30

45

60

75

-0.01 0.02 0.05 0.08 V8

f

d

0

15

30

45

60

75

-0.01 0.02 0.05 0.08 V43

f


66

tiempo analizado. Además, se cálculo el exponente global de escalamiento α [4.1] con la ecuación que describe el comportamiento de escalamiento del rango:

αTtPtPRRTtTt ∝−= ∈∈ )(min)(max , (4.18)

encontrándose que α = H = 0.50 + 0.03. Esto significa que no existen correlaciones a largo plazo en los precios del petróleo. Esto es coherente con el hecho de que la distribución que mejor ajusta el comportamiento de los precios del petróleo, es la distribución (simétrica y de colas ligeras) Logística (figura 4.5a).

Figura 4.8. (a) Función de autocorrelación de los precios del petróleo (la figura insertada muestra a

C(τ) en coordenadas semi-logarítmicas). (b-d) Gráficas fractales de los precios del petróleo, obtenidas por los métodos de: (b) rango reescalado, (c) rugosidad-longitud y (d) espectro de potencia.

En lo concerniente al comportamiento de las volatilidades históricas de los

precios del petróleo, Vn(t) (figuras 4.2b-d), a diferentes horizontes de tiempo, n = 2,3,4, ...101, éstas poseen una invarianza estadística auto-afín dentro un amplio rango de la escala del tiempo de negociación ( )(3 nCττ << ). Esta invarianza estadística auto-afin está caracterizada por un exponente de Hurst bien definido (Hn) para cada horizonte n (figuras 4.10a-d):

b)

R/S = 1.0067τ0.5

R2 = 0.9964

1

10

100

10 100 1000 10000longitud del intervalo, τ

R/S

c)

SD = 0.0924τ0.48

R2 = 0.9967

0.1

1

10

10 100 1000longitud del intervalo, τ

SDa)

-0.5

0

0.5

1

0 1500 3000longitud del intervalo, τ

C(τ)

0.1

1

0 50 100 150

C( τ

)

τ

d)

P =9E-8 τ-2

R2 = 0.8941

1.E-06

1.E-04

1.E-02

1.E+00

0.0001 0.01 11/τ

PS


67

Hn = 0.0621n, cuando n < 12, (4.19) y Hn = 0.83 + 0.04 cuando n > 18 (4.20) Lo anterior demuestra que las volatilidades históricas para horizontes n > 8 son persistentes: los incrementos en la volatilidad histórica están positivamente correlacionados en el tiempo de negociación; en tanto que las volatilidades históricas a corto plazo (n < 8) son antipersistentes: Vn<8(t) despliega correlaciones negativas en el tiempo de negociación.

Figura 4.9. (a) Registro de los precios del petróleo y (b-d) las tres primeras ondeletas (Hw = 0.50).

Otro hallazgo del presente trabajo se refiere a lo relacionado con la transición

de la volatilidad histórica de los precios del petróleo: de un comportamiento antipersistente a otro persistente en n = 8, el cual está acompañado por un cambio abrupto en el comportamiento de la función de volatilidad histórica mínima

)}4096({min =TVnn versus n (figura 4.7a); sin embargo, el tiempo promedio y las desviaciones estándar de Vn(τ) no tienen comportamiento anómalo en n = 8 (figura 4.11b). Concretamente, la media de la volatilidad histórica se comporta como:

5.04096

)( nVn ∝=τ

τ (4.21) hasta n = 101; mientras que la desviación estándar de la volatilidad histórica se comporta como:

25.0)4096( nT ∝==τσ (4.22)

a)

0

10

20

30

0 1024 2048 3072 4096escala de tiempo

ampp

litud

b)

-4

-2

0

2

4

0 512 1024 1536 2048escala de tiempo

ampl

itud

c)

-4

-2

0

2

4

0 256 512 768 1024escala de tiempo

ampl

itud

d)

-4

-2

0

2

4

0 128 256 384 512escala de tiempo

ampl

itud


68

hasta n = 18, pero esta escala como:

5.0n∝σ (4.23) cuando la volatilidad histórica está caracterizada por el exponente de Hurst de H = 0.83 + 0.04 (constante).

Figura 4.10. (a-c) Gráficas fractales de las volatilidades históricas de los precios del petróleo,

obtenidas por los métodos de: (a) rugosidad-longitud, (b) variograma y (c) rango reescalado; los números corresponden a los diferentes horizontes de tiempo: 1.- n = 3, 2.- n = 8, 3.- n = 20 y 4.- n = 60

días hábiles. (d) Dependencia del exponente de Hurst con respecto al horizonte (los valores de Hn fueron promediados a través de los cinco métodos de trazado auto-afín), en coordenadas semi-

logarítmicas (los círculos y cuadrados son los datos experimentales, mientras que la línea continua representa el ajuste de los datos por medio de una ley de potencia).

0

0.25

0.5

0.75

1 10 100

H=0.5

H=0.83d)H

horizonte de tiempo, n

a)

2

1

0.1

1

1 10 100 1000

DS

3

intervalo de tiempo, τ

b)

0.0001

0.01

1

1 10 100intervalo de tiempo, τ

V

2

4

c)

1

10

100

10 100 1000intervalo de tiempo, τ

R/S

1

23


69

Figura 4.11. Resultados del análisis de escalamiento de la volatilidad histórica de los precios del

petróleo (los puntos representan los datos experimentales y las líneas muestran los ajustes de los

datos mediante leyes de potencia): (a) función de volatilidad histórica mínima versus horizontes de

tiempo: (1) 97.0,10)min( 295.35 == − RnVn y (2) 993.0,014.0)min( 266.0 == RnVn ; (b) media (1) y

desviación estándar (2,3) de la volatilidad histórica (τ = 4,096) versus intervalo de tiempo, n: (1)

999.0,5.1)4096( 25.0 === RnVn ττ , (2) 995.0,18.0)}4096({ 226.0 === RnVn τσ y (3)

998.0,1.0)}4096({ 245.0 === RnVn τσ (el título del eje de las x’s indica la cantidad); (c) exponente de

crecimiento β versus intervalo de tiempo normalizado para los horizontes de la volatilidad: n = 3 (1,2) y

n = 60 (3); se ajustaron los datos con las ecuaciones (4.24) y (4.25). (d) Dependencia del exponente

dinámico con respecto al horizonte de la volatilidad histórica de los precios del petróleo.

2

0.001

0.1

10

1 100 10000

a)

intervalo de tiempo, n

min

(Vn)

1

b)

2

0.01

1

100

1 100 10000

3

intervalo de tiempo, n

med

ia V

n,

σ(τ=

4096

)

c)

0.1

1

10

0.1 1 10τ/τc

β1

2

3

d)

z = 1.66

1

1.4

1.8

1 10 100 1000intervalo de tiempo, n

z


70

Además, el exponente de crecimiento se comporta como (figuras 4.11b-c):

ττβ /25.0 C= si )(nCττ < y 25.0=β si )(nCττ > , cuando 18<n , (4.24)

mientras β = 0.5 para cualquier τ, cuando n > 18. (4.25) De igual forma, en este trabajo se halló que el intervalo de correlaciones, τc,

en la escala del tiempo de negociación se incrementa con el horizonte de la volatilidad histórica como:

),( ττ nzC n∝ , (4.26)

donde el exponente dinámico es una función de n y τ, si n < 18; mientras que

z = H / β = 1.66 (4.27) para grandes horizontes, n > 18 (figura 4.11d). Con base a lo anterior, se demuestra que la volatilidad histórica de los precios del petróleo a largo plazo (n > 18) satisface el escalamiento dinámico de Family-Vicsek ansatz (4.2), en tanto que para horizontes menores a 18 días hábiles la volatilidad histórica cumple con la ley generalizada de escalamiento dinámico [4.2]:

],)¨[(),( )()( τβττσ nFn nH∝ , (4.28) con exponentes de escalamiento, (4.19) y (4.24,) que continuamente están variando, los cuales son funciones cuasi-homogéneas que satisfacen la ecuación diferencial parcial:

1)ln()ln(

)ln()ln(

=∂∂

−=∂

∂τβ

nHn (4.29)

Esto implica que la función de escalamiento F posee una invarianza local de escalamiento [4.2]:

],)¨[(])(,)[( )()()()( τβτβ τλλλτ nFnF nHnH = , (4.30) donde λ es el parámetro de dilatación y n < 18, τ < τc. La dependencia funcional de estos exponentes de escalamiento está restringida por un grupo de homomorfismo que liga los conceptos de escalamiento ordinario y de escalamiento generalizado [4.2].


71

La transición de un estado antipersistente a otro persistente indica la existencia de una escala intrínsica en el horizonte de la volatilidad histórica de los precios del petróleo [4.9], nc ≈ 8. Para tener una visión más profunda de la dinámica de la volatilidad histórica de los precios del petróleo, también se realizó el análisis estadístico de las volatilidades, Vn(τ), y de las avalanchas definidas como:

)()(),( 1 τττ nn VVnS −= + . (4.31) Así pues, se descubrió que para horizontes a corto plazo, n < 8, la probabilidad condicional de la volatilidad histórica de precios es mejor ajustada por la distribución (simétrica y de colas ligeras) Pearson con p = 0.41 (figura 4.5b).

−Γ

−= −

+−

ρφ

γρφ

γ

γnn

nVV

Vf exp)(

)()(

)1(

(4.32)

y con el horizonte dependiendo de los parámetros:

1.06.3 ±=γ , )95.0(48.0 234.0 == Rnρ , y ),97.0(13.0 269.0 == − Rnφ (4.33)

donde )(γΓ es la función gama.

Mientras que para horizontes a largo plazo, n > 8, la probabilidad condicional de la volatilidad histórica de los precios del petróleo es la distribución Log-logística con p = 0.38 (figura 4.5c):

[ ][ ]{ }2

1

/)(1

/)()(

γ

γ

ρφρ

ρφγ

−+

−=

−

n

nn

V

VVf , (4.34)

y con 07.055.2 ±=γ , ),998.0(104.0 2385.0 == Rnρ y ).996.0(0082.0 2744.0 == Rnφ (4.35) Es decir, la distribución de la volatilidad histórica a largo plazo es de “colas pesadas”: γ = 2.55 + 0.07 (γ es independiente del horizonte de la volatilidad para intervalos de tiempo n > 8), pero γ está fuera de los límites del rango estable de Lévy (0 < γ < 2) porque los parámetros de las distribuciones de la volatilidad histórica de los precios (figura 4.5b-d) y los exponentes de escalamiento en (4.2) y (4.32) no son sensibles al periodo (muestra de datos) que se está analizando. Para finalizar, en los que se refiere a la distribución estadística de las avalanchas (figura 4.5d), ésta es mejor ajustada por la distribución Log-logística (de colas pesadas), obedeciendo a una ley de potencia con p = 0.48:


72

F ∝ 1 – {Q / mediana[Q(τ)]}-1.46 (4.36)

y con φ = 0, ρ = 0.75n-0.68 y γ = 1.46 + 0.02, (4.37) por lo que el exponente de escalamiento γ se encuentra dentro del rango estable de Lévy (γ es independiente del horizonte de la volatilidad histórica para intervalos de tiempo n > 8). Esto indica que el comportamiento observado en la volatilidad histórica de los precios del petróleo puede ser interpretado en términos de avalanchas a cualquier escala, las cuales definen un horizonte con escala intrínseca y construyen correlaciones a largo plazo en la volatilidad histórica de los precios del petróleo. Tal comportamiento puede ser modelado con el uso de la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky [4.10] con ruido blanco o correlacionado. Lo anterior puede permitir la posibilidad de generar una metodología para predecir, desde un punto de vista estadístico, el comportamiento de los precios del petróleo.


73

4.5 Referencias [4.1] J.J. Ramasco, J.M. López, & M.A. Rodríguez. Escalado Dinámico Genérico en la Rugosidad Cinética; Phys. Rev. Lett. 84, 2000, pp. 2199-2202. [4.2] L. Sittler & H. Hinrichsen. On generalized scaling laws with continuously varying exponents; J. Phys. A: Math. Gen. 35, 2002, pp. 10531-10538. [4.3] A-L Barabási & H.E. Stanley. Fractal concepts in surface growth; Cambridge University Press, Cambridge, 1995. [4.4] P. Bak. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality; Copernicus, Nueva York, 1996. [4.5] W. Smith. & H. Meza. El Mercado Petrolero Internacional; Instituto Mexicano del Petróleo, 1999. [4.6] Bloomberg L.P.@ http://www.bloomberg.com. [4.7] RISK@ http:// http://www.palisade.com. [4.8] BENOIT 1.3 http://www.scioncorp.com. [4.9] J. Wen-Tau & I. Lin . Phys. Rev. Lett. 80, 1998, pp. 3073-3076. [4.10] J. Buceta, J.M. Pastor, M.A. Rubio, & F.J. Rubia. Physica D 113, 1998, pp. 166.

Capítulo 5. Predicción de los precios del petróleo

74

CAPÍTULO 5

PREDICCIÓN DE LOS PRECIOS DEL

PETRÓLEO

Predecir la futura evolución de un sistema, a partir del análisis de las series de tiempo que contengan datos históricos del sistema es el principal reto de muchas disciplinas, con una amplia gama de aplicaciones potenciales que incluyen los desastres naturales (erupciones de volcanes, terremotos, inundaciones, huracanes, calentamiento de la tierra, etcétera), la medicina (ataques epilépticos, paros cardíacos, etcétera) y mercados financieros (recesiones económicas, crisis financieras, estrategias de inversión, análisis de riesgos, etcétera). El requisito fundamental es que los datos de las series de tiempo posean alguna dependencia o correlación a largo plazo [5.1].

Como se vio en el capítulo 4, el comportamiento observado en la volatilidad

histórica de los precios del petróleo puede ser interpretado en términos de avalanchas a cualquier escala, las cuales definen un horizonte con escala intrínseca y construyen correlaciones a largo plazo en la volatilidad histórica. A partir de este hecho, se desarrolló una metodología de predicción de precios del petróleo (figura 5.1, la cual consistió en construir de un modelo de predicción y en generar tres escenarios probabilísticos sobre el comportamiento futuro de los precios del petróleo.

5.1 Construcción del modelo de predicción de precios del petróleo

En el apartado 3.2, se indicó que la altura promedio de los perfiles es el ingrediente básico para analizar el crecimiento de interfases rugosas. Para nuestro caso, la altura de un perfil es el punto que señala el precio del petróleo en cierto instante de tiempo. Asimismo, en el apartado 3.2 se dijo que la anchura global del frente de una interfase en crecimiento evoluciona y la interfase se hace más rugosa, hasta que el sistema alcanza un estado estacionario. En el estado estacionario, la función de escalamiento para el escalamiento dinámico de Family-Vicsek, f(u), es constante y, por ende, la anchura global del sistema es la misma que la anchura local a cualquier escala en la que aplique dicha forma de escalamiento dinámico. Por último, es importante recordar que la volatilidad histórica de los precios del petróleo presenta correlaciones a largo plazo cuando el sistema es descrito por el escalamiento dinámico de Family-Vicsek: n > 18 días laborales (casi un mes natural).


75

Figura 5.1. Metodología de predicción de precios del petróleo.

δ(τ) para n = 2, 3, 4, …., 101δ(τ) para n = 2, 3, 4, …., 101

Precios promedio del petróleo (P1-P2, P1-P3, P1-P4, …, P1-P4,550).Precios promedio del petróleo (P1-P2, P1-P3, P1-P4, …, P1-P4,550).

Valores de H para δ(τ) (con 5 metodos de trazado auto-afin)Valores de H para δ(τ) (con 5 metodos de trazado auto-afin)

Promedio global de Hδ(τ)Promedio global de Hδ(τ)

Promedio de Hδ(τ) = 0.38 (desde

n=15 hasta n=101)

Promedio de Hδ(τ) = 0.38 (desde

n=15 hasta n=101)

Hδ(τ) es cosntante desde n=15Hδ(τ) es cosntante desde n=15

δ(τ) para τ = 15 (serie de tirmpo con 4,435 datos)δ(τ) para τ = 15 (serie de tirmpo con 4,435 datos)

Rango (de 4,435 datos de δ(τ)) = 0.4815 (valor maximo – valor minimo)Rango (de 4,435 datos de δ(τ)) = 0.4815 (valor maximo – valor minimo)

Generar 300 trazas (series de tiempo) en Benoit con H = 038, rango = 0.48 número de punto = 225

Generar 300 trazas (series de tiempo) en Benoit con H = 038, rango = 0.48 número de punto = 225

Asignar de manera intercalada, signos (+) y (-) a 225 valores de δ(τ) para las 300 trazas

Asignar de manera intercalada, signos (+) y (-) a 225 valores de δ(τ) para las 300 trazas

Determinar 225 precios para las 300

trazas con P(t) = P(t-τ) * exp(δ(τ))

Determinar 225 precios para las 300

trazas con P(t) = P(t-τ) * exp(δ(τ))

Dividir 300 series en 600 subseries (con 112 datos de precio cada una): 300 con signo (+) y 300 con signo (-)

Dividir 300 series en 600 subseries (con 112 datos de precio cada una): 300 con signo (+) y 300 con signo (-)

Máximo y mínimo en subseries con (+) y con (-): 2 escenarios de precios con extrema inestabilidad de mercado

Máximo y mínimo en subseries con (+) y con (-): 2 escenarios de precios con extrema inestabilidad de mercado

Máximo y mínimo de 300 trazas con 225 precios: niveles máximos y mínimos en condiciones de equilibrio

Máximo y mínimo de 300 trazas con 225 precios: niveles máximos y mínimos en condiciones de equilibrio

Promedio de 225 Máximo y 225 mínimos en condiciones de equilibrio: precios con mayor probabilidad

Promedio de 225 Máximo y 225 mínimos en condiciones de equilibrio: precios con mayor probabilidad

Convertir precios históricos y pronosticados a precios constantes de 2003 (año base de inflación 2003)

Convertir precios históricos y pronosticados a precios constantes de 2003 (año base de inflación 2003)

Graficar precios históricos y pronosticados a dólares de 2003Graficar precios históricos y pronosticados a dólares de 2003

Comparar precios pronosticados con precios proyectados por consultarías y por Pemex.

Comparar precios pronosticados con precios proyectados por consultarías y por Pemex.


76

Dado lo anterior, en primer instante se calculó el promedio de los precios del

petróleo de la siguiente manera. Se obtuvo el promedio del precio uno (2 de enero de 1986) y del precio dos (3 de enero de 1986), luego el promedio desde el precio uno hasta el precio tres (6 de enero de 1986), después el promedio desde el precio uno hasta el precio cuatro (7 de enero de 1986), así sucesivamente hasta el promedio desde el precio uno hasta el precio 4,550 (31 de diciembre de 2003). Así pues, se calcularon 4,549 promedios. En la figura 5.2 se presenta la curva de los 4,549 promedios de precios del petróleo.

Figura 5.2. Promedios de los precios del petróleo.

En la gráfica de la figura 5.2 se aprecia que la curva de los promedios de los precios (alturas de los perfiles) se mantiene prácticamente constante a partir del promedio número 1,200. En segundo lugar, se determinó a partir de qué momento el exponente de Hurst promedio, H (exponente de rugosidad o escalamiento), del valor absoluto de los rendimientos logarítmicos de precios (δ(τ)) era prácticamente constante. Para ello, se calculó el valor de δ(τ) para diferentes horizontes de estudio n = 2,3,4, ...,101; enseguida se obtuvo el valor de Hδ(τ) mediante los cinco métodos de trazado auto-afín con la ayuda del software Benoit 1.2 [5.2] y después se determinó y graficó el promedio de Hδ(τ) (ver figura 5.2 y anexo E). La razón de trabajar con δ(τ) es que, como se vio en la sección 2.2, este parámetro describe la amplitud de las fluctuaciones en los precios, por lo que se le considera una forma de interpretar la volatilidad de los precios. De igual manera, en la sección 2.4 se dijo que el valor de δ(τ) está correlacionado en el tiempo como una ley de potencia.

0

5

10

15

20

25

0 1,000 2,000 3,000 4,000Dias habiles

Prec

io p

rom

edio

, $/b

l


77

En la figura 5.3 se aprecia que el valor promedio de Hδ(τ) alcanza un estado estacionario aproximadamente en el dato número 15. Esto se interpreta como el hecho de cada 15 días hábiles (3 semanas naturales) las fluctuaciones se estabilizan o, en términos de la dinámica del crecimiento de interfases, que el sistema alcanza un estado estacionario. Con base a esto, la predicción de precios debería realizarse para cada 15 días hábiles.

Figura 5.3. Promedios del exponente de Hurst de δ(τ).

Por lo tanto, se determinó el promedio de H, desde el dato 15 hasta el dato 101, dando como resultado un valor de 0.38. Este valor se empleó más adelante para generar escenarios probabilísticos sobre el comportamiento de los precios del petróleo.

En tercer lugar, se obtuvo el rango de las fluctuaciones para cada 15 días

hábiles; o sea, las máximas fluctuaciones que se podrían tener en este intervalo de tiempo. Esto se realizó de la siguiente manera. Se calculó el valor de δ(τ) para cada 15 días; es decir, para el primer punto se consideró desde el precio 1 hasta el precio 15, para el punto dos desde el precio 2 hasta el precio 16, para el punto tres desde el precio 3 hasta el precio 17, y así sucesivamente hasta el último punto desde el precio 4,435 hasta el precio 4,500. De esta forma se obtuvieron 4,435 datos de δ(τ). Enseguida se determinaron los valores máximo y mínimo de estos 4,435 datos y luego se calculó el rango de estos datos (valor máximo menos valor mínimo), dando su valor de 0.48. Este valor de 0.48 también fue un dato que se empleó para generar escenarios probabilísticos sobre el comportamiento de los precios del petróleo.

5.2 Generación de escenarios probabilísticos para los precios del petróleo

En la sección anterior se determinaron dos parámetros estadísticos cuando las series de tiempo alcanzaban un estado estacionario: (i) el promedio global del

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

1 10 100Dias habiles

H


78

exponente de Hurst para δ(τ)(Hδ(τ) = 0.38); y (iii) el rango de δ(τ), para τ = 15 días hábiles (3 semanas naturales), cuyo valor fue de 0.48.

Para generar los escenarios probabilísticos, se generaron, de manera

aleatoria, 300 series de tiempo (o trazas) auto-afines con el software Benoit 1.2, a partir de los siguientes datos: H = 0.38, número de puntos de cada traza = 225 y rango del conjunto = 0.48 (ver figura 5.4). Cada una de las 300 trazas generadas consta de 225 datos. Cada dato indica el valor promedio pronosticado del rendimiento logarítmico de precios, δ(τ), durante un lapso de 15 días hábiles (3 semanas naturales); por consiguiente, el horizonte de predicción es de enero de 2004 hasta noviembre de 2016 (225 datos * 15 días hábiles = 3,375 días hábiles = 12.9 años naturales, considerando que un año natural contiene 260 días hábiles).

Figura 5.4. Ventana del software Benoit 1.2, a partir de la cual se generaron las 300 trazas

que se emplearon de punto de partida para predecir los precios del petróleo.

Hasta el momento, sólo se habían sentado las bases para predecir el valor de los rendimientos logarítmicos. Sin embargo, a las personas que toman decisiones estratégicas también les interesa la tendencia del mercado; es decir, si los precios van a la alza, a la baja o se mantendrán prácticamente constantes. Así pues, fue necesario determinar la tendencia de los incrementos, o sea el signo de los incrementos.


79

Sornette y Andersen [5.1] proponen predecir el signo de las variaciones (o incrementos) de series de tiempo que no contienen correlaciones, tal como es el caso de δ(τ) y de los precios, con una extraordinaria probabilidad de éxito del 75% para distribuciones simétricas (como la normal o la distribución logística). Esta propuesta predice el signo del incremento de los rendimientos logarítmicos y no el signo de los rendimientos (que son proporcionales al incremento de los precios). La propuesta de Sornette y Andersen parte del hecho de que, para variables independientes e idénticamente distribuidas (comportamiento aleatorio), la probabilidad de tener un incremento positivo o negativo es del 50%, debido a que se trata de distribuciones simétricas. Por ende, estos autores sugieren que un valor de δ(τ) (o precio) tenga signo positivo, el siguiente valor signo negativo, el próximo valor signo positivo, el valor que le sigue signo negativo; así sucesivamente hasta asignar al último valor de la serie de tiempo el signo contrario al valor anterior inmediato. Por otra parte, cada una de las 300 trazas construidas anteriormente se generaron de manera aleatoria, por lo que los 225 datos de cada traza son variables idéntica e independientemente distribuidas.

Dado lo anterior, en segundo lugar se aplicó la propuesta de Sornette y Andersen a cada una de las 300 trazas generadas. En otras palabras, al primer dato de cada traza se le asignó el signo positivo, al segundo dato el signo negativo, al tercer dato el signo positivo, al cuarto dato el signo negativo; así sucesivamente hasta que al dato 225 se le asignó el signo contrario al del dato 224.

Hasta este punto se tienen únicamente datos proyectados de δ(τ) con signos

de los incrementos asignados. Pero lo que realmente nos interesaba era tener datos de los precios proyectados (o pronosticados). Por lo tanto, en tercer lugar se calcularon, para cada una de las 300 trazas, los 225 precios promedio del petróleo proyectados cada 15 días hábiles (3 semanas naturales), a partir de los 225 datos de δ(τ) con sus signos positivos y negativos ya asignados.

La fórmula para determinar δ(τ) es δ(τ) = ln(P(t) / P(t-τ)). Entonces, para

determinar el valor del precio, P(t), se utilizó la siguiente expresión matemática:

P(t) = P(t-τ) * exp(δ(τ)). (5.1)

El primer valor de P(t-τ) que se aplicó para calcular los 225 P(t) fue el de 16.69

$/bl. Este valor es el precio promedio de los últimos 15 días hábiles de diciembre de 2003 (12 – 31 de diciembre).


80

Una vez obtenidas las 300 series de tiempo de los precios promedio del petróleo (para cada 15 días hábiles), se hizo lo siguiente para cada una de estas 300 series. Se dividió cada serie en dos subseries. Una subserie con los datos de signo positivo (113 datos), y la otra subserie con los datos de signo negativo (112 datos). Una vez hecho lo anterior, se tenían 300 series de precios promedio con tendencia alcista y otras series de tiempo con tendencia descendente. En el anexo F se presentan algunos precios promedio obtenidos con el procedimiento anterior, a partir de la primera traza que se generó de manera aleatoria con el software Benoit 1.2. Además, en el anexo G se muestran los promedios globales de las 300 series de tiempo con 225 precios cada una.

Una vez realizado lo anterior, para las 300 trazas con los 225 datos se calculó

el valor máximo global y el valor mínimo global para cada punto (ver tabla 5.1); estos 225 valores máximos y 225 valores mínimos representan, respectivamente, los precios más altos y más bajos del petróleo en caso de escenarios en los que se suscitarán guerras, desastres naturales, recesiones económicas, entre muchos fenómenos naturales y sociales.

Tabla 5.1. Valores máximos y mínimos de las 300 series de precios promedio del petróleo.

En lo que respecta a las 300 subseries, tanto con signo positivo como con

signo negativo, se determinó el promedio global de cada uno de los 112 datos (ver

Maximo Mínimo Maximo Mínimo Maximo Mínimo Maximo Mínimo0 16.6900 16.6900 58 41.1782 8.7835 116 33.6998 8.2138 174 46.7203 6.20052 26.9729 14.7486 60 43.7915 8.9926 118 36.4597 8.0528 176 44.3054 6.25634 27.5069 14.1140 62 40.7666 8.4105 120 36.9408 7.8469 178 43.7333 6.51566 27.2003 13.7396 64 41.2658 8.4467 122 40.2784 8.6603 180 45.2940 6.10838 27.4085 13.2257 66 38.6136 7.8031 124 38.3676 8.3045 182 48.8293 6.1580

10 29.8420 13.8361 68 37.8403 8.0709 126 39.8806 8.7774 184 52.7534 6.014512 28.9023 13.2596 70 38.1934 8.7405 128 36.9585 8.1097 186 50.5231 6.213114 29.9278 12.5380 72 36.1998 8.1190 130 38.4789 8.3178 188 50.5242 6.355216 30.3235 12.5600 74 34.4928 7.6197 132 38.3336 8.0872 190 51.1772 6.607218 29.8499 12.2057 76 33.1778 8.0055 134 37.5297 7.3773 192 51.7593 6.311220 29.2394 12.6098 78 32.5994 7.6835 136 38.1680 7.2436 194 52.0307 5.864022 31.7759 12.1320 80 34.3604 8.1443 138 37.9813 7.0534 196 50.5779 6.196624 29.1253 11.9082 82 35.3727 7.7758 140 39.3092 6.7451 198 50.2702 6.057926 31.9331 11.2585 84 38.8264 8.2762 142 39.6160 7.3708 200 50.6988 6.578828 33.0310 10.6155 86 37.8191 7.7684 144 39.7235 7.4322 202 50.1749 6.562730 34.5708 10.7935 88 37.6335 7.6103 146 41.0981 7.5704 204 49.6480 6.163832 34.0813 11.1065 90 39.8520 7.4746 148 41.4915 7.5646 206 51.6514 6.104834 34.6820 11.0641 92 37.7850 7.2926 150 45.2417 7.1018 208 50.7203 6.370936 36.9740 11.4008 94 36.7989 7.4069 152 42.8256 7.2600 210 51.1272 6.517938 37.1301 11.1079 96 37.4884 8.1217 154 42.9679 7.3147 212 47.2470 6.221340 40.3767 11.1677 98 38.3498 7.9568 156 42.0025 7.0434 214 46.4474 6.301342 39.0976 10.9922 100 37.0469 8.5083 158 42.1560 7.0573 216 47.0182 6.162844 36.8048 10.3684 102 36.8364 8.3162 160 43.8855 7.0081 218 48.9111 5.887446 40.0369 9.8014 104 36.7928 8.0238 162 43.9897 7.2606 220 46.9311 5.992648 36.5102 9.7568 106 37.5290 8.2728 164 45.1105 7.0808 222 48.3760 5.899750 34.7427 9.5615 108 37.4372 8.0586 166 42.2776 6.9188 224 45.7452 5.795252 34.7922 9.9009 110 34.3599 7.7552 168 46.7155 6.688354 39.4660 9.9362 112 35.2433 7.8503 170 49.3157 6.384756 39.5675 9.9541 114 35.4722 7.6477 172 46.1426 6.3668


81

tabla 5.2); estos 112 promedios representan el máximo valor y el valor mínimo que podría alcanzar el precio promedio del petróleo en un escenario que supone condiciones de estabilidad. El promedio del valor máximo y el valor mínimo, en cada punto proyectado representa el valor más probable de ocurrir.

Tabla 5.2. Promedios globales de los precios con signos positivos (tendencia alcista) y con

signos negativos (tendencia descendente).

Como los precios proyectados en las tablas 5.1 y 5.2 (desde enero de 2004

hasta noviembre de 2016) son precios promedio mensuales, para poder representar

Promedio (+) Promedio (-) PROMEDIO Promedio (+) Promedio (-) PROMEDIO Promedio (+) Promedio (-) PROMEDIO0 16.6900 16.6900 16.6900 76 17.1803 16.9475 17.0639 152 17.3011 17.0768 17.18892 16.8764 16.6872 16.7818 78 17.1685 16.9254 17.0469 154 17.3288 17.1039 17.21634 16.8945 16.7273 16.8109 80 17.1605 16.9523 17.0564 156 17.2997 17.0756 17.18766 16.8973 16.7146 16.8059 82 17.1810 16.9906 17.0858 158 17.2822 17.0875 17.18488 16.9204 16.7637 16.8421 84 17.1971 16.9968 17.0970 160 17.2953 17.0973 17.1963

10 16.9259 16.7597 16.8428 86 17.1536 16.9361 17.0448 162 17.2722 17.0791 17.175712 16.9619 16.7752 16.8685 88 17.1768 16.9855 17.0812 164 17.2497 17.1204 17.185014 16.9768 16.8016 16.8892 90 17.2077 16.9934 17.1005 166 17.2062 17.0846 17.145416 16.9693 16.8044 16.8869 92 17.2129 16.9719 17.0924 168 17.2221 17.0860 17.154018 16.9616 16.8001 16.8808 94 17.1874 16.9020 17.0447 170 17.2358 17.0891 17.162420 16.9670 16.7916 16.8793 96 17.2161 16.9025 17.0593 172 17.2612 17.1265 17.193922 16.9603 16.7783 16.8693 98 17.2061 16.8900 17.0480 174 17.2643 17.0442 17.154324 16.9862 16.8333 16.9097 100 17.2538 16.9320 17.0929 176 17.2396 17.0188 17.129226 16.9626 16.8224 16.8925 102 17.2510 16.9158 17.0834 178 17.2520 17.0330 17.142528 16.9718 16.8011 16.8865 104 17.2467 16.8893 17.0680 180 17.1985 16.9546 17.076630 16.9778 16.8210 16.8994 106 17.2413 16.9338 17.0876 182 17.1928 16.9217 17.057232 17.0123 16.8659 16.9391 108 17.2643 16.9649 17.1146 184 17.2310 16.9576 17.094334 17.0005 16.8330 16.9167 110 17.2391 16.9355 17.0873 186 17.2459 16.9142 17.080136 17.0425 16.9131 16.9778 112 17.2175 16.9137 17.0656 188 17.2341 16.8947 17.064438 17.0895 16.8806 16.9850 114 17.2428 16.9324 17.0876 190 17.2075 16.8574 17.032440 17.1087 16.9044 17.0066 116 17.2267 16.9252 17.0760 192 17.2564 16.8985 17.077542 17.1238 16.9423 17.0331 118 17.2204 16.8748 17.0476 194 17.2715 16.8959 17.083744 17.1153 16.9536 17.0345 120 17.2546 16.9203 17.0874 196 17.3007 16.9241 17.112446 17.1423 16.9625 17.0524 122 17.2787 16.9876 17.1331 198 17.3410 16.9732 17.157148 17.1259 16.9717 17.0488 124 17.2250 16.9562 17.0906 200 17.3804 17.0278 17.204150 17.1323 16.9539 17.0431 126 17.2694 16.9852 17.1273 202 17.3785 17.0140 17.196352 17.1502 16.9644 17.0573 128 17.3091 17.0315 17.1703 204 17.3911 17.0774 17.234254 17.1606 16.9671 17.0639 130 17.3077 17.0674 17.1875 206 17.3673 17.0410 17.204256 17.1403 16.9628 17.0515 132 17.3134 17.0347 17.1741 208 17.3749 17.0480 17.211558 17.1481 16.9614 17.0547 134 17.3052 17.0361 17.1706 210 17.3642 17.0317 17.198060 17.1437 16.9462 17.0449 136 17.2334 16.9523 17.0928 212 17.3377 17.0041 17.170962 17.1282 16.9118 17.0200 138 17.2637 16.9834 17.1236 214 17.3322 17.0086 17.170464 17.1249 16.8972 17.0110 140 17.3182 17.0183 17.1683 216 17.3500 16.9845 17.167266 17.1516 16.8742 17.0129 142 17.3511 17.0377 17.1944 218 17.3571 16.9536 17.155368 17.1699 16.9143 17.0421 144 17.3392 17.0616 17.2004 220 17.3927 16.9929 17.192870 17.1825 16.9422 17.0624 146 17.3345 17.0909 17.2127 222 17.3717 16.9927 17.182272 17.1503 16.9079 17.0291 148 17.3385 17.0829 17.2107 224 17.3606 17.0021 17.181374 17.1609 16.9666 17.0637 150 17.3057 17.0353 17.1705


82

en una sola gráfica dichos precios con los precios históricos (desde enero de 1986 hasta diciembre de 2003), se obtuvieron los promedios mensuales de los precios históricos.

Todos los precios promedio mensuales del petróleo (históricos y

pronosticados) eran precios a dólares constantes de 1983. Pero para comparar los precios proyectados en este trabajo con los precios generados por firmas especializadas en la materia, fue necesario convertir todos los precios promedio mensuales a dólares constantes de 2003.

La manera de convertir los precios constantes de 1983 a precios constantes

de 2003 fue cambiar el año base; es decir, 1983 dejó de ser el año base (99.96%) y se tomó como año base 2003 (179.35%). Por consiguiente los porcentajes de inflación que se observan en el anexo A tuvieron que cambiar. Para calcular el nuevo porcentaje de inflación de 1983, teniendo como año base 2003, se multiplicó el porcentaje de 1983 (99.96%) por 100, y el producto se dividió entre el porcentaje de 2003 (179.35%), de tal suerte que el nuevo porcentaje de 1983 fue de 55.53% ([99.96*100] / 179.35). El mismo procedimiento se realizó para obtener los nuevos porcentajes de inflación para los años 1984-2002 (ver anexo H).

Una vez obtenidos los nuevos porcentajes anuales de inflación, se multiplicó

cada precio mensual promedio del petróleo por la nueva inflación anual. Por ejemplo, para convertir el precio promedio de enero de 1986 a dólares de 2003, se multiplicó dicho precio (16.8662 $/bl) por la nueva inflación de 1986 (61.11%), dando como resultado un precio de 49.5013 $/bl (dólares de 2003).

En la figura 5.5 se presenta la grafica de los precios históricos mensuales del

petróleo a dólares constantes de 2003. En la figura 5.6 se observan los precios mensuales pronosticados del petróleo,

incluyendo escenarios que contemplan desequilibrios en los precios por movimientos sociales y naturales (curvas de valores máximos y valores mínimos), así como un escenario de precios bajo condiciones de estabilidad del mercado (curva más gruesa). En esta figura se aprecia que es más probable que el impacto de los fenómenos sociales y/o naturales en el comportamiento futuro de los precios del petróleo provoque que estos últimos se disparen hacia arriba (hasta 95 $/bl), en vez de seguir una tendencia hacia la baja (hasta 10 $/bl). Aunque el escenario más probable es que los precios del petróleo se mantengan prácticamente entre los 30 y los 32.5 $/bl).

En la figura 5.7 se muestran las graficas de las figuras 5.5 y 5.6 en una sola

grafica.


83

Figura 5.5. Precios históricos mensuales del petróleo crudo WTI (enero de 1986 a diciembre de 2003) a dólares constantes de 2003.

Figura 5.6. Precios mensuales pronosticados del petróleo crudo WTI (enero de 2004 a noviembre de 2016) a dólares constantes de 2003.

Finalmente, en la figura 5.8 se aprecia únicamente el escenario de precios

promedio proyectados (figura 5.7) bajo condiciones estables del mercado, el cual es el escenario más probable que ocurra.

La figura 5.8 es la base que sirva para comparar los precios generados con la

metodología de predicción desarrollada en este capítulo con los precios presentados por diversas firmas especializadas en la materia, con el propósito de validar la metodología de predicción de precios del petróleo desarrollada.

0

20

40

60

Dic-85 Ene-90 Mar-94 Abr-98 May-02Fecha

Pre

cios

, $/b

l

0

25

50

75

100

Dic-03 Sep-06 Jun-09 Mar-12 Nov-14Fecha

Pre

cios

, $/b

l

M aximas fluctuaciones

M inimas fluctuaciones

Escenario mas probable


84

Figura 5.7. Precios mensuales históricos y pronosticados del petróleo crudo WTI a dólares constantes de 2003.

Figura 5.8. Precios promedio mensuales pronosticados del petróleo crudo WTI (a dólares

constantes de 2003) en condiciones de estabilidad. 5.3 Validación de la metodología de predicción de precios del petróleo La validación de la metodología desarrollada en este capítulo consistió en comparar los precios del petróleo crudo WTI generados con esta metodología con los precios presentados por firmas reconocidas internacionalmente. En la tabla 5.3 se dan a conocer las proyecciones (2004 - 2015) de cinco empresas internacionales, de PEMEX y del presente trabajo (Tesis) para los precios anuales del petróleo crudo WTI, en dólares constantes de 2003.

0

20

40

60

80

100

Dic-85 Ene-90 Mar-94 Abr-98 May-02 Jul-06 Ago-10 Sep-14Fecha

Pre

cios

, $/b

l

Diciembre 2003

30

31

32

Dic-03 Sep-06 Jun-09 Mar-12 Dic-14

Fecha

Prec

ios,

$/b

l

Precio mas probable


85

Tabla 5.3. Proyecciones de cinco empresas internacionales, de PEMEX y del presente trabajo (Tesis) para los precios anuales del petróleo crudo WTI (2004 - 2015), en dólares constantes de 2003.

Cabe hacer algunas aclaraciones sobre la tabla 5.3. Primero, los precios proyectados en esta tabla son dólares americanos que habría que pagar por un barril de petróleo crudo WTI. Segundo, a continuación se dan a conocer los nombres de las cinco compañías internacionales: E(1): Purvin & Gertz NGL Market Outlook, E(2): Global Insight Inc. (antes DRI-WEFA), E(3): Petroleum Industry Research ASS (PIRA), E(4): EIA / Annual Energy Outlook 2004 y E(5): Pace Global Energy Services. Tercero, la información sobre los pronósticos generados por las cinco compañías extranjeras y por PEMEX se obtuvo de un informe preliminar para discusión que emitió PEMEX a finales de 2003, por lo que estos datos no pueden ser considerados como definitivos. Asimismo, por razones de confidencialidad, en el presente trabajo se evita citar la fuente. Finalmente, los pronósticos de precios anuales de esta tesis se determinaron promediando los pronósticos mensuales (del escenario más probable: escenario en condiciones estables del mercado) generados en este capítulo.

Por otra parte, en la figura 5.8 se presentan las curvas de los precios

presentados en la tabla 5.3. De esta figura se concluye lo siguiente:

E (1) E (2) E(3) E(4) E(5) Pemex Tesis2004 24.24 24.08 26.65 26.50 27.94 26.34 30.312005 23.86 24.25 24.54 25.91 24.71 24.45 30.452006 23.45 23.23 24.02 26.05 23.23 23.80 30.702007 23.54 23.51 23.51 26.19 23.03 23.78 30.752008 23.55 23.77 23.92 26.32 23.01 23.89 30.802009 23.54 23.98 24.28 26.46 23.01 23.98 30.882010 23.57 25.28 24.64 26.58 23.10 24.45 30.922011 23.60 25.76 25.31 26.73 22.99 24.41 30.992012 23.63 26.23 25.88 26.85 23.08 24.60 31.072013 23.68 26.70 26.50 26.99 23.08 24.78 30.942014 23.73 27.18 27.01 27.11 23.08 24.95 30.902015 23.84 27.65 27.53 27.24 23.08 25.14 31.10


86

Figura 5.9. Proyecciones de cinco empresas internacionales, de PEMEX y del presente trabajo

(Tesis) para los precios anuales del petróleo crudo WTI (2004 - 2015), en dólares constantes de 2003.

i. Las cinco compañías consultoras y Pemex esperan una reducción en los precios del petróleo crudo WTI durante los tres primeros años, iniciándose una recuperación a partir del año 2008 (excepto la EIA (E(4)), que proyecta dicha recuperación dos años antes).

ii. De estos seis escenarios, el de la EIA es el de mayor nivel de precios

(promediando en el periodo 2004 – 2015, 26.58 $/bl), mientras que el de Purvin & Gertz (E(1)) y el de Pace (E(5)) son los menores (23.69 y 23.61 $/bl, respectivamente). Por su parte, Pemex tiene un promedio en el periodo 2004 – 2015 de 24.53 $/bl.

iii. Los precios proyectados por las cinco consultoras y por Pemex se mantienen

dentro de la canasta básica establecida por la OPEP: 22 – 28 $/bl, lo cual, según los analistas del mercado petrolero, es correcto, ya que OPEP (como se vio en el capítulo 1) durante toda su historia se ha empeñado en mantener los precios del petróleo en esta banda.

iv. En cuanto a los pronósticos de este trabajo (Tesis), éstos proyectan los precios

anuales más altos para el petróleo crudo WTI, promediando en el periodo 2004 – 2015, 30.82 $/bl. Asimismo, estos pronósticos están, en promedio, 4.24 $/bl arriba de los de EIA (Agencia Internacional de Energía, traducido al español).

v. Se considera que lo más probable es que los precios se mantengan constantes

del año 2004 al año 2015, con un nivel de 30.82 $/bl.

22

24

26

28

30

32

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015Año

Prec

io, $

/bl

E (1) E (2) E(3) E(4) 5 Pemex Tesis


87

Dado todo lo anterior, se piensa que los pronósticos de Tesis para los precios del

petróleo crudo WTI, durante el periodo 2004 – 2015, son los más precisos porque son producto de un análisis estadístico y de escalamiento efectuado para identificar y caracterizar los parámetros estadísticos que gobiernan la dinámica de la volatilidad histórica de los precios del WTI.

Sólo el tiempo dirá si se estuvo en lo correcto o no. Para ello habrá que esperar,

por lo menos, hasta que se sepa cuál fuel comportamiento real del precio del WTI durante el año 2004.


88

5.4 Referencias [5.1] D. Sornette & J.V. Andersen. Increments of Uncorrelated Time Series Can Be Predicted With a Universal 75% Probability of Success; Int. Journal of Modern Physics, Vol. VII, 4, 2000, pp. 713-720. [5.2] BENOIT 1.3 http://www.scioncorp.com.

Conclusiones

89

CONCLUSIONES

En primer lugar, los precios constantes diarios del crudo WTI (West Texas

Intermediate) tienen comportamiento aleatorio: distribución (simétrica y de colas ligeras) Logística, y exponente de Hurst H = 0.5, válido para todos los horizontes de tiempo analizados. Además, la función de autocorrelación de precios decrece exponencialmente como ( )0/exp ττ∆∝C , con un tiempo característico 1200 =τ días hábiles (casi la mitad de un año laborable).

En segundo lugar, las volatilidades históricas de los rendimientos logarítmicos,

Vn(δ(τ)) y Vn(δ(τ)), sí se parecen a la volatilidad histórica de precios del petróleo crudo WTI, Vn(t). Esto puede interpretarse como el hecho de que la volatilidad histórica, ya sea de precios o de rendimientos logarítmicos guarda invarianza de escala. En tercer lugar, al analizar el comportamiento de la volatilidad histórica de los precios del petróleo (capítulo 4), dentro de un marco de la cinética del crecimiento de interfases rugosas (tratando a la longitud de la serie como una variable de espacio y al horizonte de la volatilidad como una variable de tiempo), se concluye lo siguiente: a) La volatilidad cambia día a día, de tal forma que las volatilidades históricas a

diferentes intervalos de tiempo parecen ser similares. Asimismo, la volatilidad a corto plazo, 8),( <nVn τ , es antipersistente: distribución (de colas ligeras) Pearson, autocorrelaciones negativas y H < 0.5; mientras que a largo plazo, 18),( >nVn τ , es persistente: distribución (de colas pesadas) Log-logística, los incrementos en la volatilidad están positivamente correlacionados con el número de días hábiles y H = 0.83 + 0.04.

b) Existe una transición de un comportamiento antipersistente a otro persistente, el cual va acompañado de un cambio abrupto en el tipo de distribución estadística que ajusta el comportamiento de la volatilidad histórica.

c) La volatilidad a largo plazo satisface la dinámica de escalamiento de Family-Vicsek ansatz (ecuación 4.2); mientras que a corto plazo satisface la ley generalizada de escalamiento con exponentes que varían continuamente (ecuación 4.30), es decir posee invarianza local de escalamiento.

d) El intervalo de correlaciones en la escala del tiempo de negociación se incrementa con el horizonte de la volatilidad como z

C n∝∆τ , cuando 8>n .

Conclusiones

90

Los hallazgos antes señalados sugieren que la dinámica de la volatilidad histórica de los precios del petróleo está gobernada por un estado crítico auto-organizado (SOC: self-organized criticality), parecido a los que comúnmente ilustran, de manera conceptual, las avalanchas en una pila de arena [C.1]. La característica más esencial del SOC es que el sistema salta de un estado metaestable a otro, mediante la dinámica de avalanchas, hasta llegar a un estado crítico sin alguna fuerza externa. De acuerdo a esto, el sistema evoluciona a través de estados transitorios en horizontes de tiempo n < 18, los cuales no son críticos, hacia un atractor dinámico en equilibrio (dentro del estado crítico) para horizontes a largo plazo. En el largo plazo, cuando la volatilidad histórica de precios obedece a la dinámica de escalamiento de Family-Vicsek ansatz (ecuación 4.2) donde podría ser predecible su comporamiento (en sentido estadístico) [C.2,C.3].

Se espera que la transición de un estado antipersistente a otro persistente

pueda ser observada en una amplia gama de sistemas que desplieguen una dinámica de escalamiento generalizado con exponentes que estén continuamente variando. Ejemplos de tales sistemas incluyen a los modelos SOC de pilas de arenas [C.4], dinámica de rugosidad de frentes húmedos [C.5], algunos experimentos en la turbulencia [C.6] y muchos otros sistemas gobernados por la dinámica de avalanchas. Asimismo, la transición de la antipersistencia a la persistencia fue observada en la rugosidad generada por el movimiento de un frente húmedo, al realizar experimentos con papel húmedo [C.7].

La existencia de un mecanismo “universal”, que emerja durante la transición

de un comportamiento antipersistente a otro persistente, en sistemas de diferente naturaleza podría proporcionar una nueva perspectiva a la física sobre la dinámica de los sistemas complejos gobernados por la dinámica de avalanchas, conduciendo esto a una dinámica de escalamiento generalizado con exponentes que continuamente estén variando.

En cuarto lugar, con base a los hallazgos del capítulo 4, en el capítulo 5 se

desarrolló una metodología de predicción de los precios del petróleo crudo WTI, la cual fue validada al comparar nuestros pronósticos (Tesis) con los de cinco firmas consultoras y con los de Pemex. Por lo tanto se llegó a las siguientes conclusiones:

a) Los precios proyectados por las cinco consultoras y por Pemex se mantienen

dentro de la canasta básica establecida por la OPEP: 22 – 28 $/bl, lo cual, según los analistas del mercado petrolero, es correcto, ya que OPEP (como se vio en el capítulo 1) durante toda su historia se ha empeñado en mantener los precios del petróleo en esta banda.

b) En cuanto a los pronósticos generados en este trabajo (Tesis), éstos establecen los precios más altos para el petróleo crudo WTI, promediando en el periodo

Conclusiones

91

2004 – 2015, 30.82 $/bl. Asimismo, nuestros pronósticos están, en promedio, 4,24 $/bl arriba de los de Agencia Internacional de Energía.

c) Con base a los pronósticos generados en este trabajo, se cree que lo más probable es que los precios se mantengan constantes del año 2004 al año 2015, con un nivel de 30.82 $/bl.

Dado todo lo anterior, se considera que se cumplió con el objetivo planteado en

este trabajo (capítulo 1). También se piensa que los pronósticos de esta tesis sobre los precios del petróleo crudo WTI, para el periodo 2004 – 2015, son los más precisos, porque son producto de un análisis estadístico y de escalamiento efectuado para identificar y caracterizar los parámetros estadísticos que gobiernan la dinámica de la volatilidad histórica de los precios del WTI.

Como se dijo al final del capítulo 5, sólo el tiempo dirá si se estuvo en lo correcto o

no. Para ello habrá que esperar, por lo menos, hasta que se sepa cuál fuel comportamiento real del precio del WTI durante el año 2004.

Finalmente, se quiere volver a hacer énfasis sobre la importancia que tiene el

crudo marcador WTI para determinar el comportamiento del precio de la mezcla mexicana, ya que el precio de la mezcla mexicana se encuentra aproximadamente 5 $/bl por debajo de lo que cotiza el crudo marcador WTI. Por ende, el poder predecir con mayor precisión el comportamiento del precio del crudo WTI no posibilitara para pronosticar mejor el precio de la mezcla mexicana; de tal suerte que el presupuesto que contemple el gobierno federal mexicano sea más apegado a la realidad y, con ello, se eviten recortes presupuéstales drásticos que afecten al gasto social y a las inversiones en infraestructura.

Conclusiones

92

Referencias [C.1] P. Bak. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality; Copernicus, Nueva York, 1996. [C.2] V. Frette, K. Christensen, A. Malthe-Sorenssen, J. Frder, T. Jossang, & P. Meakin. Avalanche dynamics in a pile of rice; Nature 379, 1996, pp. 49-52. [C.3] M. Peczuski, S. Maslov, & P. Bak. Avalanche dynamics in evolution, growth, and depinning models; Phys. Rev. E 53, 1996, pp. 414-443. [C.4] C. Tebaldi, M. De Menech, & A.L. Stella. Phys. Rev. Lett. 83, 1999, pp. 3952-3955. [C.5] A.S. Balankin & D. Morales. In Emergent Nature; 1st edition, ed. M. M. Novak (World Scientific, London, 2001), Vol. 1, pp.345-356. [C.6] X.-Z. Wu, L. Kadanoff, A. Libchaber, & M. Sano. Phys. Rev. Lett. 64, 1999, pp. 2140-2143. [C.7] A.S. Balankin, D. Morales, O. Susarrey, J. Marquez, & R. García. Development of Interface Roughness in Spontaneous Imbibition Experiments; Phys. Lett. A to be published (2003).

Anexo A

93

ANEXO A

A.1 Inflaciones de Estados Unidos, tomando como año base 1983

Fuente: Banco de Mexico.

Año Inflacion1983 99.601984 103.901985 107.601986 109.601987 113.601988 118.301989 124.001990 130.701991 136.201992 140.301993 144.501994 148.201995 152.401996 156.901997 160.501998 163.001999 166.602000 172.202001 177.102002 178.002003 179.35

Anexo B

94

ANEXO B

B.1 Parámetros de las distribuciones estadísticas de la volatilidad de los

precios del petróleo

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Skewness 7.0418 6.2247 5.5330 5.1231 4.7554 4.4610 4.2380 4.0638 3.9311 3.8172 3.7129 3.6080 3.5246 3.4462 3.3763 3.3173 3.2722 3.2391Kurtosis 117.0213 82.0944 60.8345 49.9517 41.6235 35.4907 31.3129 28.3219 26.2254 24.5595 23.1218 21.7606 20.6485 19.6448 18.7648 18.0200 17.4455 17.0292

Log-Log 5_4_2 2_2_2 1_1_1 1_2_1 1_1_2 1_1_1 1_1_2 2_2_2 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_10.0000 0.2974 0.3361 0.0029 0.0961 0.2383 0.0111 0.0037 0.0045 0.0123 0.0032 0.0038 0.0019 0.0005 0.0311 0.0021 0.0024

γ -0.0079 -0.0063 0.0005 0.0069 0.0344 0.0400 0.0448 0.0470 0.0481 0.0492 0.0513 0.0566 0.0611 0.0648 0.0684 0.0714 0.0740β 0.1149 0.1634 0.1876 0.2049 0.2141 0.2251 0.2357 0.2481 0.2607 0.2728 0.2832 0.2893 0.2958 0.3026 0.3091 0.3161 0.3231α 1.7247 2.2793 2.4395 2.4977 2.3263 2.3443 2.3597 2.4008 2.4499 2.4956 2.5240 2.5177 2.5154 2.5184 2.5222 2.5319 2.5426

SD 0.3039 0.3786 0.3252 0.3269 0.4500 0.4573 0.4655 0.4567 0.4449 0.4365 0.4365 0.4495 0.4610 0.4697 0.4775 0.4822 0.4863Skewness 4.9173 3.5699 3.2938 3.2028 3.4847 3.4531 3.4264 3.3568 3.2771 3.2060 3.1633 3.1726 3.1761 3.1715 3.1660 3.1516 3.1358

Kurtosis 33.5689 20.5710 18.2625 17.5313 19.8447 19.5782 19.3546 18.7779 18.1272 17.5563 17.2180 17.2915 17.3194 17.2829 17.2392 17.1256 17.0019

Pearson5 1_3_5 1_1_1 2_2_2 2_1_2 1_1_1 2_2_1 2_2_2 2_2_1 1_1_1 2_2_2 2_2_20.0000 0.4041 0.0236 0.0021 0.0782 0.0001 0.0053 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000

Shift -0.0509 -0.0570 -0.0523 -0.0442 -0.0383 -0.0323 -0.0300 -0.0300 -0.0309 -0.0324 -0.0338α 2.5461 3.4662 3.6783 3.6496 3.6163 3.5758 3.6116 3.6793 3.7584 3.8485 3.9316β 0.3498 0.6703 0.8034 0.8464 0.8836 0.9104 0.9671 1.0391 1.1166 1.2003 1.2811

SD 0.3062 0.2245 0.2316 0.2487 0.2657 0.2815 0.2917 0.2993 0.3053 0.3099 0.3144Skewness 3.6214 2.7685 2.6360 2.6529 2.6729 2.6979 2.6759 2.6354 2.5901 2.5409 2.4976

Kurtosis 20.5887 13.6941 12.7468 12.8660 13.0076 13.1850 13.0283 12.7425 12.4268 12.0889 11.7958

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100Skewness 3.1996 3.1873 3.1768 3.1665 3.1565 3.1467 3.1386 3.1331 3.1300 3.1283 3.1120 3.2066 3.3622 3.5041 3.5965 3.6365 3.6277Kurtosis 16.5342 16.3791 16.2463 16.1110 15.9737 15.8362 15.7137 15.6178 15.5510 15.5034 15.0037 15.6458 17.1540 18.5349 19.2904 19.4007 18.9953

Log-Log 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_1 1_1_10.0001 0.0000 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

γ 0.0796 0.0830 0.0874 0.0917 0.0940 0.0955 0.0972 0.0992 0.1003 0.1016 0.1230 0.1530 0.1755 0.1864 0.2067 0.2379 0.2587β 0.3364 0.3420 0.3465 0.3508 0.3572 0.3642 0.3708 0.3769 0.3839 0.3906 0.4398 0.4670 0.4962 0.5354 0.5637 0.5793 0.6050α 2.5597 2.5602 2.5516 2.5428 2.5513 2.5655 2.5775 2.5868 2.6034 2.6174 2.6513 2.5841 2.5447 2.5733 2.5442 2.4640 2.4404

SD 0.4957 0.5037 0.5157 0.5279 0.5319 0.5330 0.5349 0.5377 0.5374 0.5382 0.5838 0.6684 0.7450 0.7762 0.8468 0.9686 1.0473Skewness 3.1109 3.1102 3.1227 3.1354 3.1231 3.1026 3.0854 3.0722 3.0490 3.0297 2.9837 3.0761 3.1328 3.0914 3.1335 3.2549 3.2924

Kurtosis 16.8075 16.8017 16.8995 16.9988 16.9027 16.7428 16.6090 16.5071 16.3284 16.1807 15.8314 16.5369 16.9781 16.6560 16.9836 17.9483 18.2509

Pearson5

Shiftαβ

SDSkewness

Kurtosis

Anexo B

95

B.2 Parámetros de las distribuciones estadísticas de la volatilidad histórica de los rendimientos logarítmicos

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Log-Log5,5,2 3,3,3 3,1,2 1,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,1 3,1,1 1,2,1 1,2,1 4,2,1 3,2,1 2,3,1 4,3,1 4,3,1 4,4,1 4,4,1 5,4,2 4,4,2

γ -0.0009 -0.0006 0.0001 0.0011 0.0019 0.0026 0.0030 0.0034 0.0037 0.0038 0.0040 0.0041 0.0042 0.0042 0.0043 0.0045 0.0046 0.0048 0.0049β 0.0129 0.0161 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0152 0.0150 0.0149 0.0150 0.0149 0.0149 0.0150 0.0150 0.0151 0.0150 0.0149 0.0148 0.0147α 1.8116 2.4479 2.6601 2.6959 2.6857 2.6545 2.6355 2.6199 2.6244 2.6447 2.6401 2.6528 2.6760 2.6876 2.6975 2.6892 2.6870 2.6634 2.6428

SD 0.0298 0.0275 0.0218 0.0205 0.0202 0.0204 0.0205 0.0206 0.0204 0.0200 0.0200 0.0198 0.0194 0.0192 0.0191 0.0191 0.0191 0.0194 0.0196Varianza 0.0008 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004

Skewness 4.6570 3.2803 2.9721 2.9253 2.9385 2.9795 3.0051 3.0262 3.0201 2.9926 2.9988 2.9818 2.9511 2.9360 2.9233 2.9340 2.9368 2.9677 2.9952Kurtosis 30.8506 18.1529 15.7434 15.3933 15.4912 15.7996 15.9928 16.1538 16.1074 15.8984 15.9454 15.8169 15.5858 15.4727 15.3777 15.4576 15.4790 15.7102 15.9183

Pearson56,3,4 1,1,1 2,2,1 2,2,2 2,2,2 2,2,2 2,2,2 1,2,2 3,1,2 3,1,2 1,1,2 1,1,2 3,2,1 1,1,2 3,1,2 2,1,2 1,1,2 1,2,1 1,2,1

Shift -0.0060 -0.0063 -0.0052 -0.0039 -0.0029 -0.0024 -0.0020 -0.0017 -0.0015 -0.0014 -0.0013 -0.0013 -0.0013 -0.0012 -0.0011 -0.0010 -0.0009 -0.0008 -0.0007 α 2.8614 4.1869 4.5655 4.5816 4.5481 4.5646 4.5871 4.6216 4.6686 4.7257 4.7966 4.8703 4.9470 4.9937 5.0339 5.0538 5.0743 5.0812 5.0757β 0.0457 0.0837 0.0927 0.0900 0.0870 0.0864 0.0863 0.0866 0.0874 0.0887 0.0905 0.0924 0.0944 0.0955 0.0965 0.0967 0.0971 0.0970 0.0966

SD 0.0264 0.0178 0.0162 0.0156 0.0154 0.0151 0.0150 0.0148 0.0146 0.0144 0.0142 0.0141 0.0139 0.0138 0.0137 0.0137 0.0136 0.0135 0.0135Varianza 0.0007 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002


21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Log-Log3,4,2 4,4,2 4,4,2 5,4,2 5,4,2 3,4,2 4,4,2 4,4,2 4,4,2 5,4,1 4,3,1 4,3,1 4,3,1 4,3,1 5,3,1 2,3,1 3,3,1 5,3,1 3,3,1

γ 0.0050 0.0051 0.0052 0.0052 0.0053 0.0053 0.0053 0.0053 0.0054 0.0054 0.0054 0.0054 0.0054 0.0054 0.0054 0.0054 0.0054 0.0055 0.0055β 0.0146 0.0146 0.0146 0.0145 0.0145 0.0145 0.0145 0.0146 0.0146 0.0146 0.0146 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147α 2.6393 2.6430 2.6445 2.6436 2.6451 2.6548 2.6668 2.6779 2.6897 2.7017 2.7138 2.7253 2.7350 2.7427 2.7496 2.7552 2.7601 2.7633 2.7653

SD 0.0197 0.0196 0.0195 0.0194 0.0194 0.0192 0.0190 0.0188 0.0186 0.0184 0.0182 0.0181 0.0179 0.0178 0.0177 0.0176 0.0175 0.0175 0.0174Varianza 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003


Pearson54,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,1 2,1,1 2,1,1 1,1,2 3,1,2 2,1,2 1,1,2 2,1,2 1,1,2 4,1,2 4,1,2 3,1,2 1,1,2

Shift -0.0007 -0.0006 -0.0006 -0.0005 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0002 α 5.0883 5.1058 5.1206 5.1329 5.1421 5.1675 5.1954 5.2231 5.2533 5.2823 5.3156 5.3492 5.3792 5.4040 5.4251 5.4430 5.4602 5.4732 5.4839β 0.0967 0.0970 0.0972 0.0974 0.0974 0.0979 0.0985 0.0992 0.0999 0.1006 0.1015 0.1024 0.1032 0.1038 0.1043 0.1047 0.1050 0.1053 0.1054

SD 0.0135 0.0134 0.0134 0.0133 0.0133 0.0132 0.0131 0.0131 0.0130 0.0130 0.0129 0.0129 0.0128 0.0128 0.0127 0.0127 0.0127 0.0126 0.0126Varianza 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002


40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

Log-Log1,3,1 2,3,1 2,3,1 1,2,1 2,2,1 2,2,1 2,2,1 2,2,1 4,2,1 3,2,1 1,1,1 2,2,1 3,2,1 1,2,1 2,2,1 1,1,1 1,2,1 2,2,1 2,2,1

γ 0.0055 0.0056 0.0056 0.0056 0.0056 0.0056 0.0057 0.0057 0.0057 0.0057 0.0057 0.0058 0.0058 0.0058 0.0058 0.0058 0.0059 0.0059 0.0059β 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.0146 0.0146 0.0146 0.0146 0.0146 0.0146α 2.7685 2.7723 2.7785 2.7832 2.7871 2.7927 2.7972 2.8010 2.8051 2.8085 2.8120 2.8173 2.8210 2.8240 2.8271 2.8308 2.8356 2.8409 2.8448

SD 0.0174 0.0173 0.0172 0.0171 0.0171 0.0170 0.0169 0.0168 0.0168 0.0167 0.0167 0.0166 0.0165 0.0165 0.0164 0.0164 0.0163 0.0162 0.0162Varianza 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003


Pearson52,1,2 1,1,2 1,1,2 3,1,2 4,4,4 1,1,2 1,1,2 1,1,2 2,1,2 2,1,2 1,1,2 1,1,2 3,1,2 1,1,2 2,1,2 1,1,2 1,1,2

Shift -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0001 0.0038 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002α 5.4944 5.5063 5.5241 5.5388 0.0194 5.5697 5.5862 5.6014 5.6148 5.6265 5.6515 5.6624 5.6705 5.6793 5.7020 5.7161 5.7267β 0.1055 0.1057 0.1061 0.1064 0.0542 0.1070 0.1074 0.1077 0.1080 0.1082 0.1086 0.1088 0.1089 0.1090 0.1093 0.1096 0.1097

SD 0.0126 0.0125 0.0125 0.0125 0.0116 0.0124 0.0124 0.0123 0.0123 0.0123 0.0122 0.0122 0.0122 0.0121 0.0121 0.0121 0.0120Varianza 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

Skewness 1.9367 1.9337 1.9292 1.9255 1.7967 1.9178 1.9137 1.9100 1.9067 1.9039 1.8979 1.8953 1.8933 1.8912 1.8858 1.8825 1.8801Kurtosis 8.3669 8.3504 8.3259 8.3057 8.3802 8.2640 8.2419 8.2218 8.2040 8.1888 8.1562 8.1421 8.1318 8.1206 8.0917 8.0740 8.0608

Anexo B

96

59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

Log-Log1,2,1 1,2,1 2,2,1 3,2,1 2,2,1 2,2,2 2,2,3 4,2,3 1,2,4 1,3,4 1,3,4 3,3,4 3,3,4 1,3,4 1,3,4 1,3,5 3,3,5 3,3,5 4,3,5

γ 0.0059 0.0059 0.0060 0.0060 0.0060 0.0060 0.0061 0.0061 0.0061 0.0062 0.0062 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.0063 0.0064 0.0064 0.0064β 0.0146 0.0146 0.0146 0.0146 0.0146 0.0145 0.0145 0.0145 0.0145 0.0145 0.0144 0.0144 0.0144 0.0144 0.0144 0.0143 0.0143 0.0143 0.0142α 2.8474 2.8494 2.8511 2.8521 2.8525 2.8526 2.8533 2.8538 2.8550 2.8568 2.8580 2.8587 2.8596 2.8592 2.8578 2.8552 2.8517 2.8513 2.8500

SD 0.0161 0.0161 0.0160 0.0160 0.0160 0.0159 0.0159 0.0159 0.0158 0.0158 0.0158 0.0157 0.0157 0.0157 0.0157 0.0157 0.0157 0.0157 0.0157Varianza 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002


Pearson54,1,2 2,1,2 1,1,2 2,1,2 3,1,2 1,1,1 1,1,1 1,1,1 2,1,1 4,1,1 4,1,1 1,1,1 1,1,1 2,1,1 4,1,1 2,1,2 2,1,2 1,2,1 1,1,2

Shift 0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0005 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0007 0.0007 0.0007 0.0008 0.0008 0.0054 0.0009α 5.7333 5.7387 5.7441 5.7468 5.7483 5.7484 5.7512 5.7538 5.7585 5.7638 5.7681 5.7713 5.7751 5.7758 5.7749 5.7719 5.7667 -4.1743 5.7648β 0.1098 0.1098 0.1098 0.1096 0.1095 0.1093 0.1092 0.1091 0.1091 0.1091 0.1090 0.1089 0.1089 0.1087 0.1085 0.1082 0.1079 0.5683 0.1075

SD 0.0120 0.0120 0.0120 0.0119 0.0119 0.0119 0.0119 0.0118 0.0118 0.0118 0.0118 0.0118 0.0117 0.0117 0.0117 0.0117 0.0117 0.0112 0.0116Varianza 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

Log-Log3,3,5 4,3,5 4,3,5 4,3,5 4,3,4 3,3,4 4,4,4 4,4,4 4,4,5 4,4,5 4,4,5 4,4,5 4,4,5 5,4,5 1,4,5 2,3,4 4,4,5 3,4,5 3,4,5

γ 0.0065 0.0065 0.0065 0.0066 0.0066 0.0066 0.0066 0.0067 0.0067 0.0067 0.0068 0.0068 0.0068 0.0069 0.0069 0.0069 0.0070 0.0070 0.0070β 0.0142 0.0142 0.0142 0.0142 0.0141 0.0141 0.0141 0.0141 0.0140 0.0140 0.0140 0.0140 0.0139 0.0139 0.0139 0.0139 0.0138 0.0138 0.0138α 2.8498 2.8497 2.8490 2.8480 2.8472 2.8460 2.8449 2.8432 2.8404 2.8371 2.8347 2.8314 2.8279 2.8243 2.8215 2.8186 2.8163 2.8137 2.8112

SD 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0156 0.0157 0.0157 0.0157 0.0157Varianza 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002


Pearson52,1,3 2,1,3 1,1,2 1,1,2 2,1,2 4,2,1 1,1,2 3,1,2 3,1,2 3,1,2 2,2,2 1,1,2 1,1,2 2,2,2 4,2,2 3,1,1 3,2,2 4,2,2 1,2,2

Shift 0.0010 0.0010 0.0010 0.0011 0.0011 0.0011 0.0012 0.0012 0.0012 0.0013 0.0013 0.0014 0.0014 0.0014 0.0015 0.0015 0.0015 0.0016 0.0016α 5.7658 5.7675 5.7680 5.7684 5.7696 5.7691 5.7695 5.7675 5.7630 5.7574 5.7532 5.7471 5.7411 5.7351 5.7304 5.7258 5.7237 5.7203 5.7169β 0.1074 0.1073 0.1071 0.1070 0.1069 0.1067 0.1066 0.1064 0.1061 0.1058 0.1056 0.1052 0.1049 0.1046 0.1044 0.1041 0.1039 0.1037 0.1035

SD 0.0116 0.0116 0.0116 0.0116 0.0115 0.0115 0.0115 0.0115 0.0115 0.0115 0.0115 0.0115 0.0114 0.0114 0.0114 0.0114 0.0114 0.0114 0.0114Varianza 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


97 98 99 100

Log-Log4,4,5 4,4,4 4,4,4 4,4,4

γ 0.0071 0.0071 0.0071 0.0071β 0.0138 0.0137 0.0137 0.0137α 2.8079 2.8059 2.8040 2.8033

SD 0.0157 0.0157 0.0157 0.0157Varianza 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002

Skewness 2.7877 2.7901 2.7923 2.7931Kurtosis 14.3867 14.4041 14.4196 14.4256

Pearson52,2,2 2,2,2 2,2,2 2,3,1

Shift 0.0017 0.0017 0.0017 0.0017α 5.7120 5.7099 5.7090 5.7114β 0.1032 0.1030 0.1029 0.1029

SD 0.0114 0.0114 0.0113 0.0113Varianza 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


Anexo B

97

B.3 Parámetros de las distribuciones estadísticas de la volatilidad histórica del valor absoluto de los rendimientos logarítmicos

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Log-Log3,3,3 2,2,2 2,2,1 2,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,2 1,1,2 2,1,2 3,2,2 4,2,2 3,2,2 4,2,2 4,3,2 4,3,2 4,3,2 3,4,2 1,4,3

γ -0.0004 0.0001 0.0004 0.0011 0.0013 0.0015 0.0016 0.0016 0.0018 0.0019 0.0020 0.0020 0.0020 0.0021 0.0022 0.0022 0.0024 0.0026β 0.0094 0.0098 0.0100 0.0096 0.0095 0.0096 0.0097 0.0098 0.0097 0.0098 0.0098 0.0099 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0099 0.0097α 2.2257 2.4121 2.5193 2.4456 2.4706 2.5022 2.5252 2.5574 2.5314 2.5580 2.5685 2.5882 2.5962 2.5997 2.6026 2.6043 2.5823 2.5109

SD 0.0249 0.0178 0.0155 0.0164 0.0158 0.0152 0.0149 0.0145 0.0148 0.0145 0.0144 0.0141 0.0141 0.0140 0.0140 0.0140 0.0142 0.0152Varianza 0.0006 0.0003 0.0002 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002

Skewness 3.6717 3.3382 3.1702 3.2841 3.2446 3.1960 3.1614 3.1142 3.1523 3.1133 3.0982 3.0703 3.0590 3.0541 3.0501 3.0478 3.0786 3.1829Kurtosis 21.4546 18.6245 17.2725 18.1834 17.8655 17.4764 17.2030 16.8330 17.1316 16.8261 16.7087 16.4921 16.4054 16.3679 16.3369 16.3194 16.5565 17.3729

Pearson54,4,1 1,1,1 1,1,1 1,1,2 1,2,2 2,2,2 2,2,2 2,2,1 2,2,1 1,2,1 1,1,1 2,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,1 3,1,1 2,2,1 4,2,1

Shift -0.0028 -0.0035 -0.0030 -0.0025 -0.0020 -0.0018 -0.0016 -0.0016 -0.0015 -0.0014 -0.0013 -0.0013 -0.0012 -0.0012 -0.0011 -0.0010 -0.0010 -0.0008 -0.0007 α 2.2021 3.4724 3.8155 3.9527 3.9739 4.0495 4.1070 4.1746 4.2298 4.2664 4.3261 4.3600 4.4009 4.4303 4.4436 4.4427 4.4358 4.4085 4.3724β 0.0178 0.0395 0.0448 0.0466 0.0462 0.0472 0.0481 0.0494 0.0504 0.0510 0.0522 0.0528 0.0535 0.0541 0.0543 0.0543 0.0541 0.0535 0.0527

SD 0.0329 0.0132 0.0118 0.0113 0.0110 0.0108 0.0107 0.0105 0.0104 0.0104 0.0103 0.0102 0.0102 0.0101 0.0101 0.0101 0.0101 0.0101 0.0101Varianza 0.0011 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Log-Log4,4,3 4,4,3 4,4,2 4,4,1 5,4,1 3,4,1 4,4,1 4,4,1 4,4,1 6,4,1 5,4,1 4,4,1 2,3,1 4,3,1 1,3,1 3,3,1 3,3,1 1,3,1 1,3,1

γ 0.0028 0.0029 0.0029 0.0030 0.0030 0.0030 0.0030 0.0031 0.0031 0.0031 0.0031 0.0031 0.0032 0.0032 0.0032 0.0032 0.0032 0.0032 0.0033β 0.0095 0.0095 0.0095 0.0095 0.0095 0.0095 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097α 2.4669 2.4623 2.4605 2.4655 2.4739 2.4854 2.4946 2.4990 2.5076 2.5181 2.5253 2.5274 2.5287 2.5308 2.5387 2.5464 2.5533 2.5576 2.5600

SD 0.0158 0.0159 0.0159 0.0158 0.0157 0.0155 0.0153 0.0152 0.0151 0.0149 0.0148 0.0148 0.0148 0.0147 0.0146 0.0145 0.0144 0.0143 0.0143Varianza 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002


Pearson53,2,1 1,2,1 2,2,1 2,2,2 3,2,2 4,2,2 1,2,2 1,2,2 1,2,2 2,2,2 2,1,2 2,1,2 3,1,2 3,1,2 4,1,2 4,1,2 1,1,2 3,1,2 4,1,2

Shift -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 α 4.3613 4.3738 4.3817 4.3968 4.4175 4.4493 4.4804 4.5037 4.5300 4.5563 4.5790 4.5942 4.6099 4.6241 4.6445 4.6653 4.6851 4.6995 4.7124β 0.0524 0.0526 0.0527 0.0529 0.0532 0.0538 0.0544 0.0548 0.0553 0.0558 0.0562 0.0565 0.0568 0.0570 0.0574 0.0578 0.0581 0.0584 0.0586

SD 0.0101 0.0101 0.0101 0.0101 0.0100 0.0100 0.0099 0.0099 0.0098 0.0098 0.0098 0.0098 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0096 0.0096 0.0096Varianza 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

Log-Log4,3,1 2,3,1 1,3,1 1,3,1 5,3,1 4,3,1 3,3,1 4,3,1 6,2,2 6,2,2 6,2,2 5,2,2 6,2,3 6,2,3 6,2,3 6,2,3 4,2,3 4,2,3 4,2,3

γ 0.0033 0.0033 0.0033 0.0034 0.0034 0.0034 0.0034 0.0035 0.0035 0.0035 0.0035 0.0035 0.0035 0.0035 0.0035 0.0035 0.0036 0.0036 0.0036β 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097α 2.5628 2.5631 2.5636 2.5667 2.5675 2.5720 2.5735 2.5729 2.5759 2.5808 2.5846 2.5917 2.5984 2.6038 2.6098 2.6153 2.6212 2.6263 2.6291

SD 0.0142 0.0142 0.0142 0.0141 0.0141 0.0140 0.0140 0.0140 0.0140 0.0139 0.0138 0.0137 0.0136 0.0136 0.0135 0.0134 0.0134 0.0133 0.0133Varianza 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002


Pearson52,1,2 1,1,2 2,1,2 3,1,2 2,1,2 1,1,2 1,1,2 2,1,2 2,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,1 3,1,1 2,1,1 1,1,1 1,1,1 3,1,1 3,1,1 3,1,1

Shift -0.0004 -0.0004 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0001 -0.0001 α 4.7249 4.7339 4.7431 4.7555 4.7666 4.7812 4.7919 4.7995 4.8092 4.8215 4.8318 4.8475 4.8625 4.8736 4.8866 4.8989 4.9127 4.9247 4.9312β 0.0588 0.0589 0.0590 0.0592 0.0594 0.0596 0.0598 0.0599 0.0600 0.0602 0.0604 0.0607 0.0609 0.0611 0.0613 0.0615 0.0617 0.0619 0.0620

SD 0.0096 0.0095 0.0095 0.0095 0.0095 0.0095 0.0094 0.0094 0.0094 0.0094 0.0094 0.0093 0.0093 0.0093 0.0093 0.0093 0.0092 0.0092 0.0092Varianza 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


Anexo B

98

59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

Log-Log4,2,3 3,2,2 3,2,3 5,2,3 3,2,3 6,2,4 6,2,4 4,2,4 6,2,4 1,5,5 3,2,4 2,3,4 1,3,4 1,3,4 1,3,4 2,3,4 1,3,4 3,3,4 2,3,4

γ 0.0036 0.0036 0.0036 0.0037 0.0037 0.0037 0.0038 0.0038 0.0038 0.0038 0.0038 0.0038 0.0039 0.0039 0.0039 0.0039 0.0039 0.0039 0.0040β 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0097 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096α 2.6313 2.6325 2.6332 2.6316 2.6292 2.6249 2.6274 2.6289 2.6310 2.6346 2.6384 2.6418 2.6454 2.6480 2.6493 2.6500 2.6493 2.6525 2.6551

SD 0.0132 0.0132 0.0132 0.0132 0.0132 0.0132 0.0132 0.0131 0.0131 0.0130 0.0130 0.0129 0.0129 0.0129 0.0128 0.0128 0.0128 0.0128 0.0127Varianza 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002


Pearson53,1,1 4,1,2 4,1,2 4,1,2 5,1,2 3,1,2 4,1,3 5,1,3 5,1,3 3,1,3 2,1,3 3,1,3 6,1,3 5,1,3 6,1,3 4,1,3 4,1,3 6,1,3 5,1,2

Shift -0.0001 -0.0001 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0004α 4.9357 4.9386 4.9406 4.9377 4.9331 4.9260 4.9288 4.9299 4.9331 4.9380 4.9447 4.9502 4.9578 4.9634 4.9669 4.9687 4.9682 4.9740 4.9773β 0.0620 0.0620 0.0619 0.0618 0.0616 0.0614 0.0614 0.0613 0.0613 0.0613 0.0614 0.0614 0.0615 0.0615 0.0615 0.0615 0.0614 0.0615 0.0615

SD 0.0092 0.0092 0.0092 0.0092 0.0091 0.0091 0.0091 0.0091 0.0091 0.0091 0.0091 0.0090 0.0090 0.0090 0.0090 0.0090 0.0090 0.0090 0.0090Varianza 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

Log-Log3,3,3 1,3,3 1,3,3 2,3,3 2,3,3 3,3,2 1,3,2 2,3,1 4,3,2 2,3,2 2,3,2 3,3,1 4,3,1 5,3,1 6,3,1 6,3,1 5,2,1 5,3,1 5,3,1

γ 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0041 0.0041 0.0041 0.0041 0.0041 0.0041 0.0042 0.0042 0.0042 0.0042 0.0042 0.0042β 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0096 0.0095 0.0095 0.0095α 2.6581 2.6605 2.6629 2.6647 2.6667 2.6681 2.6694 2.6702 2.6696 2.6686 2.6687 2.6683 2.6681 2.6676 2.6678 2.6683 2.6691 2.6693 2.6693

SD 0.0127 0.0127 0.0126 0.0126 0.0126 0.0125 0.0125 0.0125 0.0125 0.0125 0.0125 0.0125 0.0125 0.0125 0.0125 0.0125 0.0124 0.0124 0.0124Varianza 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002


Pearson56,1,2 3,1,2 5,1,2 5,1,2 3,1,2 4,4,1 3,1,3 1,1,3 1,1,3 4,3,1 3,1,3 2,1,3 2,1,3 3,1,2 2,1,2 2,1,3 1,1,2 2,1,2 1,1,2

Shift 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 0.0008 0.0008α 4.9826 4.9874 4.9918 4.9946 4.9981 4.9998 5.0011 5.0005 4.9964 4.9913 4.9880 4.9832 4.9784 4.9734 4.9696 4.9669 4.9662 4.9637 4.9612β 0.0615 0.0616 0.0616 0.0616 0.0616 0.0616 0.0616 0.0615 0.0614 0.0612 0.0611 0.0610 0.0608 0.0607 0.0605 0.0604 0.0604 0.0603 0.0602

SD 0.0089 0.0089 0.0089 0.0089 0.0089 0.0089 0.0089 0.0089 0.0089 0.0125 0.0089 0.0089 0.0089 0.0089 0.0088 0.0088 0.0088 0.0088 0.0088Varianza 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


97 98 99 100

Log-Log5,3,1 5,2,1 5,3,1 5,3,1

γ 0.0042 0.0043 0.0043 0.0043β 0.0095 0.0095 0.0095 0.0095α 2.6692 2.6691 2.6697 2.6709

SD 0.0124 0.0124 0.0124 0.0124Varianza 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002


Pearson53,1,2 3,1,2 4,1,2 4,2,2

Shift 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008α 4.9583 4.9559 4.9563 4.9582β 0.0601 0.0600 0.0600 0.0600

SD 0.0088 0.0088 0.0088 0.0088Varianza 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001


Anexo C

99

ANEXO C

C.1 Programa desarrollado en Fortran 95 para el cálculo de la función de

autocorrelación program auto_correlacion USE imslf90 !Esta subrutina calcula la funcion de autocorrelacion de una serie de tiempo estacional implicit none CHARACTER (LEN=20) archivo_entrada, archivo_salida INTEGER np, eof, i REAL (KIND=8) dato, media REAL (KIND=8), DIMENSION(20000) :: precio, acv, ac, seac READ*, archivo_entrada, archivo_salida open (1, FILE=archivo_entrada); OPEN(2, FILE=archivo_salida) np=0 READ(1, *, IOSTAT=eof)dato !Lectura del primer registro do WHILE (eof==0) !Cuenta numero de registros np=np+1 precio(np)=dato READ(1, *, IOSTAT=eof)dato end do call dacf(np, precio, 3, 1, 1, media, np-1, acv, ac, seac) !Calculo de autocorrelacion write (2, '(i10, 3g12.5)')1, acv(1), ac(1) do i=2, np WRITE(2, '(i10, 3g12.5)')i, acv(i), ac(i), seac(i-1) end do stop END program auto_correlacion

Anexo D

100

ANEXO D

D.1 Exponente de Hurst para los precios del petróleo

4,260 2,130 1,065 532 266 132 66 PromedioR/S 0.529 0.539 0.527 0.531 0.553 0.538 0.420 0.520R-L 0.444 0.415 0.412 0.445 0.372 0.381 0.412VG 0.454 0.449 0.466 0.468 0.453 0.469 0.460

W_Z 0.540 0.560 0.546 0.567 0.551 0.566 0.568 0.557W_T 0.537 0.545 0.555 0.568 0.538 0.546 0.584 0.553

0.501 0.502 0.501 0.516 0.493 0.500 0.524 0.500

"H" PRECIOS WTI (1986 - 2002)

Anexo D

101

D.2 Exponente de Hurst para la volatilidad histórica de los precios del petróleo

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20RS 0.403 0.436 0.426 0.465 0.527 0.553 0.580 0.675 0.696 0.770 0.798 0.773 0.795 0.811 0.780 0.793RL 0.287 0.425 0.397 0.445 0.487 0.528 0.568 0.659 0.724 0.724 0.767 0.772 0.795 0.820 0.850 0.880VG 0.587 0.622 0.631 0.671 0.705 0.698 0.691 0.710 0.709 0.730 0.744 0.741 0.737 0.746 0.741 0.748

W_Z 0.411 0.516 0.590 0.665 0.718 0.782 0.827 0.854 0.893 0.944 0.987 0.986 0.968 0.948 0.922 0.917W_T 0.491 0.571 0.651 0.710 0.770 0.820 0.860 0.894 0.927 0.925 0.996 0.978 0.959 0.948 0.923 0.919

0.436 0.514 0.539 0.591 0.641 0.676 0.705 0.758 0.790 0.819 0.858 0.850 0.851 0.855 0.843 0.851

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 360.812 0.889 0.911 0.928 0.936 0.937 0.941 0.942 0.944 0.947 0.951 0.906 0.921 0.936 0.946 0.955

RS 0.910 0.935 0.954 0.964 0.966 0.953 0.955 0.954 0.951 0.956 0.964 0.975 0.988 1.005 1.021 1.037RL 0.758 0.755 0.763 0.770 0.763 0.770 0.776 0.770 0.772 0.767 0.773 0.778 0.777 0.784 0.790 0.789VG 0.898 0.888 0.874 0.849 0.839 0.838 0.829 0.826 0.846 0.829 0.826 0.821 0.818 0.817 0.810 0.810

W_Z 0.907 0.896 0.879 0.870 0.869 0.860 0.852 0.859 0.854 0.850 0.847 0.846 0.837 0.835 0.828 0.826W_T 0.857 0.873 0.876 0.876 0.875 0.872 0.871 0.870 0.873 0.870 0.872 0.865 0.868 0.875 0.879 0.883

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 520.962 0.972 0.981 0.990 0.997 1.003 1.012 1.019 1.028 1.031 1.033 1.036 1.042 1.049 1.057 1.068

RS 1.053 1.070 1.087 1.104 1.116 1.026 1.033 1.040 1.047 1.056 1.064 1.071 1.080 1.090 1.103 1.117RL 0.794 0.801 0.807 0.806 0.810 0.807 0.810 0.812 0.809 0.813 0.817 0.822 0.821 0.824 0.822 0.822VG 0.819 0.812 0.814 0.822 0.829 0.820 0.818 0.806 0.789 0.799 0.796 0.781 0.786 0.791 0.799 0.783

W_Z 0.821 0.823 0.816 0.822 0.814 0.823 0.818 0.829 0.817 0.823 0.813 0.817 0.795 0.807 0.797 0.795W_T 0.890 0.896 0.901 0.909 0.913 0.896 0.898 0.901 0.898 0.904 0.905 0.905 0.905 0.912 0.916 0.917

53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 681.075 1.084 1.090 1.093 1.091 1.091 1.091 1.055 1.063 1.081 1.087 1.095 1.105 1.112 1.118 1.118

RS 1.141 1.141 1.152 1.160 1.163 1.165 1.166 1.171 1.176 1.180 1.187 1.197 1.208 1.220 1.229 1.235RL 0.826 0.831 0.830 0.833 0.834 0.835 0.832 0.833 0.830 0.832 0.831 0.835 0.835 0.838 0.839 0.843VG 0.774 0.766 0.772 0.772 0.786 0.787 0.794 0.808 0.798 0.806 0.812 0.798 0.813 0.803 0.808 0.807

W_Z 0.792 0.788 0.788 0.793 0.782 0.788 0.787 0.799 0.789 0.804 0.800 0.803 0.792 0.795 0.784 0.788W_T 0.922 0.922 0.926 0.930 0.931 0.933 0.934 0.933 0.931 0.941 0.943 0.946 0.951 0.954 0.956 0.958

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 841.116 1.119 1.112 1.111 1.110 1.108 1.106 1.107 1.109 1.112 1.112 1.117 1.118 1.117 1.116 1.118

RS 1.239 1.245 1.244 1.241 1.235 1.229 1.225 1.227 1.230 1.235 1.241 1.245 1.246 1.247 1.248 1.250RL 0.847 0.848 0.848 0.850 0.851 0.849 0.850 0.852 0.852 0.854 0.856 0.857 0.856 0.856 0.857 0.857VG 0.797 0.789 0.786 0.788 0.781 0.776 0.788 0.774 0.794 0.784 0.790 0.785 0.783 0.795 0.798 0.779

W_Z 0.778 0.785 0.766 0.773 0.769 0.773 0.765 0.782 0.776 0.789 0.783 0.796 0.787 0.786 0.781 0.778W_T 0.955 0.957 0.951 0.953 0.949 0.947 0.947 0.948 0.952 0.955 0.956 0.960 0.958 0.960 0.960 0.956

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 PromedioRS 1.123 1.127 1.128 1.129 1.131 1.132 1.133 1.135 1.136 1.135 1.137 1.132 1.131 1.131 1.129 1.129 0.987RL 1.252 1.254 1.257 1.258 1.256 1.257 1.257 1.255 1.254 1.255 1.257 1.263 1.264 1.263 1.265 1.271 0.820VG 0.856 0.857 0.859 0.861 0.863 0.864 0.863 0.865 0.866 0.868 0.866 0.868 0.869 0.870 0.872 0.873 0.806

W_Z 0.768 0.770 0.774 0.776 0.773 0.786 0.786 0.782 0.786 0.775 0.783 0.785 0.777 0.768 0.771 0.764 0.801W_T 0.766 0.766 0.757 0.758 0.749 0.761 0.760 0.771 0.772 0.786 0.783 0.808 0.801 0.808 0.795 0.791 0.809

0.953 0.955 0.955 0.956 0.954 0.960 0.960 0.962 0.963 0.964 0.965 0.971 0.968 0.968 0.966 0.966 0.892

Anexo E

102

ANEXO E

E.1 Exponente de Hurst para el valor absoluto de rendimientos logarítmicos

n R/S P-S R-L VG WV_Zo WV_TD 0.5 Promedio2 0.242 0.098 0.013 0.468 0.484 0.5 0.2613 0.236 0.119 0.113 0.320 0.251 0.5 0.2084 0.221 0.132 0.215 0.095 0.044 0.5 0.1415 0.233 0.192 0.249 0.034 0.075 0.5 0.1576 0.232 0.216 0.360 0.091 0.178 0.5 0.2157 0.305 0.221 0.338 0.168 0.185 0.5 0.2438 0.319 0.244 0.362 0.237 0.244 0.5 0.2819 0.283 0.266 0.350 0.290 0.331 0.5 0.304

10 0.344 0.297 0.338 0.360 0.368 0.5 0.34111 0.310 0.310 0.347 0.366 0.386 0.5 0.34412 0.290 0.320 0.325 0.408 0.397 0.5 0.34813 0.316 0.332 0.319 0.416 0.413 0.5 0.35914 0.412 0.343 0.304 0.412 0.440 0.5 0.38215 0.320 0.349 0.305 0.422 0.444 0.5 0.36816 0.331 0.349 0.209 0.442 0.448 0.5 0.35617 0.388 0.331 0.292 0.428 0.428 0.5 0.37318 0.339 0.292 0.287 0.425 0.425 0.5 0.35419 0.417 0.294 0.286 0.422 0.406 0.5 0.36520 0.392 0.300 0.285 0.445 0.409 0.5 0.36621 0.400 0.004 0.306 0.290 0.442 0.406 0.5 0.30822 0.356 0.011 0.314 0.298 0.454 0.410 0.5 0.30723 0.430 0.020 0.314 0.304 0.470 0.414 0.5 0.32524 0.454 0.024 0.319 0.302 0.466 0.425 0.5 0.33225 0.453 0.028 0.326 0.304 0.479 0.444 0.5 0.33926 0.471 0.039 0.333 0.311 0.475 0.464 0.5 0.34927 0.455 0.043 0.334 0.313 0.484 0.470 0.5 0.35028 0.457 0.041 0.334 0.311 0.480 0.488 0.5 0.35229 0.470 0.043 0.340 0.316 0.497 0.497 0.5 0.36130 0.487 0.049 0.356 0.323 0.508 0.506 0.5 0.37231 0.472 0.054 0.367 0.331 0.514 0.503 0.5 0.37432 0.494 0.056 0.365 0.337 0.518 0.506 0.5 0.37933 0.476 0.061 0.366 0.323 0.507 0.495 0.5 0.37134 0.488 0.062 0.367 0.323 0.509 0.500 0.5 0.37535 0.469 0.065 0.363 0.324 0.503 0.487 0.5 0.36936 0.477 0.074 0.368 0.333 0.506 0.503 0.5 0.37737 0.475 0.077 0.373 0.335 0.492 0.493 0.5 0.37438 0.475 0.083 0.378 0.344 0.478 0.494 0.5 0.37539 0.482 0.087 0.381 0.348 0.482 0.486 0.5 0.37840 0.487 0.091 0.382 0.352 0.466 0.481 0.5 0.377

Anexo E

103

n R/S P-S R-L VG WV_Zo WV_TD 0.5 Promedio

41 0.467 0.090 0.377 0.340 0.456 0.469 0.5 0.36742 0.475 0.089 0.372 0.338 0.462 0.457 0.5 0.36643 0.477 0.095 0.376 0.344 0.459 0.471 0.5 0.37044 0.455 0.096 0.381 0.345 0.448 0.472 0.5 0.36645 0.456 0.101 0.389 0.357 0.478 0.493 0.5 0.37946 0.461 0.100 0.391 0.358 0.459 0.494 0.5 0.37747 0.467 0.103 0.394 0.365 0.472 0.490 0.5 0.38248 0.450 0.103 0.394 0.368 0.494 0.514 0.5 0.38749 0.488 0.103 0.394 0.367 0.493 0.514 0.5 0.39350 0.500 0.104 0.397 0.366 0.506 0.516 0.5 0.39851 0.501 0.109 0.400 0.356 0.528 0.509 0.5 0.40152 0.486 0.113 0.402 0.358 0.532 0.520 0.5 0.40253 0.483 0.110 0.398 0.355 0.534 0.515 0.5 0.39954 0.483 0.108 0.398 0.355 0.528 0.515 0.5 0.39855 0.491 0.113 0.395 0.352 0.525 0.501 0.5 0.39656 0.490 0.114 0.395 0.352 0.527 0.500 0.5 0.39657 0.488 0.113 0.394 0.353 0.506 0.480 0.5 0.38958 0.494 0.117 0.401 0.359 0.517 0.501 0.5 0.39859 0.503 0.116 0.404 0.363 0.530 0.494 0.5 0.40260 0.502 0.121 0.410 0.372 0.527 0.494 0.5 0.40461 0.492 0.127 0.414 0.377 0.530 0.475 0.5 0.40362 0.503 0.132 0.416 0.381 0.527 0.483 0.5 0.40763 0.504 0.135 0.412 0.381 0.522 0.469 0.5 0.40464 0.500 0.025 0.409 0.377 0.522 0.464 0.5 0.38365 0.500 0.023 0.405 0.375 0.519 0.462 0.5 0.38166 0.500 0.137 0.408 0.375 0.520 0.467 0.5 0.40167 0.507 0.139 0.407 0.375 0.499 0.467 0.5 0.39968 0.497 0.143 0.407 0.380 0.503 0.483 0.5 0.40269 0.494 0.144 0.408 0.381 0.498 0.490 0.5 0.40370 0.501 0.143 0.408 0.381 0.507 0.506 0.5 0.40871 0.505 0.141 0.405 0.377 0.509 0.505 0.5 0.40772 0.500 0.140 0.402 0.375 0.491 0.513 0.5 0.40473 0.494 0.141 0.396 0.373 0.494 0.498 0.5 0.39974 0.498 0.146 0.498 0.377 0.501 0.511 0.5 0.42275 0.491 0.149 0.399 0.378 0.481 0.495 0.5 0.39976 0.489 0.155 0.406 0.382 0.507 0.508 0.5 0.40877 0.497 0.158 0.407 0.384 0.490 0.504 0.5 0.40778 0.498 0.160 0.406 0.382 0.488 0.519 0.5 0.40979 0.503 0.159 0.402 0.379 0.497 0.517 0.5 0.41080 0.480 0.158 0.401 0.378 0.493 0.511 0.5 0.40481 0.490 0.161 0.405 0.380 0.502 0.517 0.5 0.40982 0.483 0.158 0.405 0.379 0.502 0.513 0.5 0.40783 0.510 0.162 0.407 0.383 0.511 0.520 0.5 0.416

Anexo F

104

ANEXO F F.1 Precios promedio obtenidos a partir de la primera traza que se generó

de manera aleatoria con el software Benoit 1.2

ln(P(t-τ)) +/- ln(P(t-τ)) P(t) + (P(t)) - (P(t))0 16.6900 0 16.6900 16.6900

0.1691 0.1691 1 19.7654 2 19.7654 17.18820.1397 -0.1397 2 17.1882 4 19.3697 16.86040.1195 0.1195 3 19.3697 6 19.0258 16.87890.1387 -0.1387 4 16.8604 8 18.0761 17.30670.1208 0.1208 5 19.0258 10 19.4820 17.26910.1197 -0.1197 6 16.8789 12 18.1432 16.32340.0685 0.0685 7 18.0761 14 17.8442 16.27690.0435 -0.0435 8 17.3067 16 18.3419 16.94610.1184 0.1184 9 19.4820 18 17.7399 17.73960.1206 -0.1206 10 17.2691 20 18.4799 17.78710.0494 0.0494 11 18.1432 22 18.2440 17.84070.1057 -0.1057 12 16.3234 24 19.9348 18.58550.0891 0.0891 13 17.8442 26 19.1581 18.24220.0919 -0.0919 14 16.2769 28 18.8236 17.55230.1194 0.1194 15 18.3419 30 17.9231 16.42960.0791 -0.0791 16 16.9461 32 18.3276 16.14710.0458 0.0458 17 17.7399 34 17.4830 16.83290.0000 0.0000 18 17.7396 36 17.5154 16.50550.0409 0.0409 19 18.4799 38 17.6409 16.25480.0382 -0.0382 20 17.7871 40 17.7343 16.15380.0254 0.0254 21 18.2440 42 18.5029 15.78090.0224 -0.0224 22 17.8407 44 19.6346 16.46260.1110 0.1110 23 19.9348 46 19.8924 16.26210.0701 -0.0701 24 18.5855 48 20.0528 17.43190.0303 0.0303 25 19.1581 50 20.3487 17.92330.0490 -0.0490 26 18.2422 52 21.1299 17.41890.0314 0.0314 27 18.8236 54 21.7602 17.26370.0699 -0.0699 28 17.5523 56 21.7700 17.24210.0209 0.0209 29 17.9231 58 21.1094 16.67990.0870 -0.0870 30 16.4296 60 21.6419 16.70300.1093 0.1093 31 18.3276 62 22.2209 17.44030.1267 -0.1267 32 16.1471 64 21.8476 17.29260.0795 0.0795 33 17.4830 66 21.6419 16.74280.0379 -0.0379 34 16.8329 68 21.2087 16.34210.0397 0.0397 35 17.5154 70 21.9835 16.48020.0594 -0.0594 36 16.5055 72 21.2541 15.37020.0665 0.0665 37 17.6409 74 21.2881 14.97000.0818 -0.0818 38 16.2548 76 20.5059 15.24560.0871 0.0871 39 17.7343 78 20.2757 14.61100.0933 -0.0933 40 16.1538 80 19.2343 14.24960.1358 0.1358 41 18.5029 82 18.5792 14.50050.1591 -0.1591 42 15.7809 84 18.3824 13.86200.2185 0.2185 43 19.6346 86 18.6562 14.13150.1762 -0.1762 44 16.4626 88 18.4065 13.46120.1892 0.1892 45 19.8924 90 17.4806 13.56280.2015 -0.2015 46 16.2621 92 17.3282 13.72300.2095 0.2095 47 20.0528 94 18.5144 13.19870.1401 -0.1401 48 17.4319 96 18.0826 13.37460.1547 0.1547 49 20.3487 98 18.2015 13.56190.1269 -0.1269 50 17.9233 100 18.4643 14.16010.1646 0.1646 51 21.1299 102 18.7855 14.53650.1931 -0.1931 52 17.4189 104 19.0134 15.39180.2225 0.2225 53 21.7602 106 19.8557 15.75720.2315 -0.2315 54 17.2637 108 19.8620 16.23350.2319 0.2319 55 21.7700 110 19.2874 16.25980.2332 -0.2332 56 17.2421 112 19.3124 15.89320.2024 0.2024 57 21.1094 114 19.7267 17.36840.2355 -0.2355 58 16.6799 116 20.1334 17.59450.2604 0.2604 59 21.6419 118 19.8430 17.75240.2590 -0.2590 60 16.7030 120 20.4198 17.7441

Anexo F

105

ln(P(t-τ)) +/- ln(P(t-τ)) P(t) + (P(t)) - (P(t))0.2854 0.2854 61 22.2209 122 18.7239 16.16700.2423 -0.2423 62 17.4403 124 18.9443 16.60260.2253 0.2253 63 21.8476 126 17.9205 16.66790.2338 -0.2338 64 17.2926 128 18.4612 16.72090.2244 0.2244 65 21.6419 130 18.8269 17.02210.2567 -0.2567 66 16.7428 132 19.7379 16.69440.2364 0.2364 67 21.2087 134 19.1409 16.03140.2607 -0.2607 68 16.3421 136 19.7411 15.73250.2965 0.2965 69 21.9835 138 20.0017 15.70350.2881 -0.2881 70 16.4802 140 20.3761 15.19580.2544 0.2544 71 21.2541 142 20.4605 16.35350.3241 -0.3241 72 15.3702 144 21.0216 15.83410.3257 0.3257 73 21.2881 146 20.1489 15.85260.3521 -0.3521 74 14.9700 148 19.8852 16.20880.3147 0.3147 75 20.5059 150 19.5951 15.47650.2964 -0.2964 76 15.2456 152 20.2203 15.64590.2851 0.2851 77 20.2757 154 18.8218 15.93220.3276 -0.3276 78 14.6110 156 18.8508 16.32810.2749 0.2749 79 19.2343 158 19.2532 16.05880.3000 -0.3000 80 14.2496 160 19.1160 15.80420.2653 0.2653 81 18.5792 162 18.9168 16.42200.2479 -0.2479 82 14.5005 164 18.8381 16.73890.2372 0.2372 83 18.3824 166 19.6602 17.30950.2822 -0.2822 84 13.8620 168 19.8486 17.45050.2970 0.2970 85 18.6562 170 19.4105 17.21440.2778 -0.2778 86 14.1315 172 19.8564 17.35300.2643 0.2643 87 18.4065 174 19.8630 17.46880.3129 -0.3129 88 13.4612 176 20.0266 16.41750.2613 0.2613 89 17.4806 178 20.0735 16.32860.2538 -0.2538 90 13.5628 180 21.0721 17.21540.2450 0.2450 91 17.3282 182 22.2036 17.94290.2333 -0.2333 92 13.7230 184 23.0464 17.84810.2995 0.2995 93 18.5144 186 22.7910 18.48280.3384 -0.3384 94 13.1987 188 23.9334 17.17400.3148 0.3148 95 18.0826 190 23.0992 17.08160.3016 -0.3016 96 13.3746 192 24.2393 16.80870.3081 0.3081 97 18.2015 194 23.8034 16.77380.2942 -0.2942 98 13.5619 196 23.6653 16.61580.3086 0.3086 99 18.4643 198 24.0520 15.96220.2654 -0.2654 100 14.1601 200 23.2898 16.70230.2827 0.2827 101 18.7855 202 22.8600 16.10920.2564 -0.2564 102 14.5365 204 21.9292 16.26700.2685 0.2685 103 19.0134 206 22.4426 15.78060.2113 -0.2113 104 15.3918 208 22.5627 16.52910.2547 0.2547 105 19.8557 210 22.6477 16.28430.2312 -0.2312 106 15.7572 212 21.6915 15.69510.2315 0.2315 107 19.8620 214 22.2897 15.25910.2017 -0.2017 108 16.2335 216 22.9098 15.25560.1724 0.1724 109 19.2874 218 23.5010 14.87720.1708 -0.1708 110 16.2598 220 22.5285 14.53640.1721 0.1721 111 19.3124 222 22.5704 14.39760.1949 -0.1949 112 15.8932 224 21.7297 14.00980.2161 0.2161 113 19.7267 226 22.64120.1273 -0.1273 114 17.36840.1477 0.1477 115 20.13340.1348 -0.1348 116 17.59450.1203 0.1203 117 19.84300.1113 -0.1113 118 17.75240.1400 0.1400 119 20.41980.1405 -0.1405 120 17.74410.0538 0.0538 121 18.72390.1468 -0.1468 122 16.16700.1585 0.1585 123 18.94430.1319 -0.1319 124 16.60260.0764 0.0764 125 17.92050.0725 -0.0725 126 16.66790.1022 0.1022 127 18.46120.0990 -0.0990 128 16.72090.1186 0.1186 129 18.82690.1008 -0.1008 130 17.0221

Anexo F

106

ln(P(t-τ)) +/- ln(P(t-τ)) P(t) + (P(t)) - (P(t))0.1480 0.1480 131 19.73790.1675 -0.1675 132 16.69440.1368 0.1368 133 19.14090.1773 -0.1773 134 16.03140.2082 0.2082 135 19.74110.2270 -0.2270 136 15.73250.2401 0.2401 137 20.00170.2419 -0.2419 138 15.70350.2605 0.2605 139 20.37610.2933 -0.2933 140 15.19580.2975 0.2975 141 20.46050.2241 -0.2241 142 16.35350.2511 0.2511 143 21.02160.2834 -0.2834 144 15.83410.2410 0.2410 145 20.14890.2398 -0.2398 146 15.85260.2266 0.2266 147 19.88520.2044 -0.2044 148 16.20880.1897 0.1897 149 19.59510.2360 -0.2360 150 15.47650.2674 0.2674 151 20.22030.2565 -0.2565 152 15.64590.1848 0.1848 153 18.82180.1667 -0.1667 154 15.93220.1682 0.1682 155 18.85080.1437 -0.1437 156 16.32810.1648 0.1648 157 19.25320.1814 -0.1814 158 16.05880.1743 0.1743 159 19.11600.1903 -0.1903 160 15.80420.1798 0.1798 161 18.91680.1414 -0.1414 162 16.42200.1373 0.1373 163 18.83810.1181 -0.1181 164 16.73890.1609 0.1609 165 19.66020.1273 -0.1273 166 17.30950.1369 0.1369 167 19.84860.1288 -0.1288 168 17.45050.1064 0.1064 169 19.41050.1201 -0.1201 170 17.21440.1428 0.1428 171 19.85640.1348 -0.1348 172 17.35300.1351 0.1351 173 19.86300.1284 -0.1284 174 17.46880.1366 0.1366 175 20.02660.1987 -0.1987 176 16.41750.2011 0.2011 177 20.07350.2065 -0.2065 178 16.32860.2550 0.2550 179 21.07210.2021 -0.2021 180 17.21540.2545 0.2545 181 22.20360.2131 -0.2131 182 17.94290.2503 0.2503 183 23.04640.2556 -0.2556 184 17.84810.2445 0.2445 185 22.79100.2095 -0.2095 186 18.48280.2584 0.2584 187 23.93340.3319 -0.3319 188 17.17400.2964 0.2964 189 23.09920.3018 -0.3018 190 17.08160.3500 0.3500 191 24.23930.3661 -0.3661 192 16.80870.3479 0.3479 193 23.80340.3500 -0.3500 194 16.77380.3442 0.3442 195 23.66530.3537 -0.3537 196 16.61580.3699 0.3699 197 24.05200.4100 -0.4100 198 15.96220.3778 0.3778 199 23.28980.3325 -0.3325 200 16.7023

Anexo F

107

ln(P(t-τ)) +/- ln(P(t-τ)) P(t) + (P(t)) - (P(t))0.3138 0.3138 201 22.86000.3500 -0.3500 202 16.10920.3084 0.3084 203 21.92920.2987 -0.2987 204 16.26700.3218 0.3218 205 22.44260.3522 -0.3522 206 15.78060.3575 0.3575 207 22.56270.3112 -0.3112 208 16.52910.3149 0.3149 209 22.64770.3299 -0.3299 210 16.28430.2867 0.2867 211 21.69150.3236 -0.3236 212 15.69510.3508 0.3508 213 22.28970.3790 -0.3790 214 15.25910.4064 0.4064 215 22.90980.4066 -0.4066 216 15.25560.4321 0.4321 217 23.50100.4572 -0.4572 218 14.87720.4150 0.4150 219 22.52850.4381 -0.4381 220 14.53640.4400 0.4400 221 22.57040.4496 -0.4496 222 14.39760.4116 0.4116 223 21.72970.4389 -0.4389 224 14.00980.4800 0.4800 225 22.6412

Anexo G

108

ANEXO G

G.1 Precios promedio obtenidos a partir de las 300 trazas que se generaron

de manera aleatoria con el software Benoit 1.2

PROM PROM PROM PROM PROM0 16.6900 51 17.3359 102 16.9158 153 17.5537 204 17.07741 17.0657 52 16.9644 103 17.6041 154 17.1039 205 17.69362 16.6872 53 17.3541 104 16.8893 155 17.5237 206 17.04103 17.0617 54 16.9671 105 17.5488 156 17.0756 207 17.70194 16.7273 55 17.3178 106 16.9338 157 17.4768 208 17.04805 17.0800 56 16.9628 107 17.5637 158 17.0875 209 17.69666 16.7146 57 17.3347 108 16.9649 159 17.4933 210 17.03177 17.0772 58 16.9614 109 17.5426 160 17.0973 211 17.67128 16.7637 59 17.3411 110 16.9355 161 17.4653 212 17.00419 17.0922 60 16.9462 111 17.5213 162 17.0791 213 17.655710 16.7597 61 17.3447 112 16.9137 163 17.3789 214 17.008611 17.1487 62 16.9118 113 17.5531 164 17.1204 215 17.715612 16.7752 63 17.3525 114 16.9324 165 17.3278 216 16.984513 17.1520 64 16.8972 115 17.5282 166 17.0846 217 17.760714 16.8016 65 17.4291 116 16.9252 167 17.3581 218 16.953615 17.1342 66 16.8742 117 17.5659 168 17.0860 219 17.792616 16.8044 67 17.4255 118 16.8748 169 17.3824 220 16.992917 17.1231 68 16.9143 119 17.5890 170 17.0891 221 17.750718 16.8001 69 17.4229 120 16.9203 171 17.3960 222 16.992719 17.1424 70 16.9422 121 17.5698 172 17.1265 223 17.719120 16.7916 71 17.3928 122 16.9876 173 17.4844 224 17.002121 17.1422 72 16.9079 123 17.4938 174 17.044222 16.7783 73 17.3552 124 16.9562 175 17.460523 17.1390 74 16.9666 125 17.5536 176 17.018824 16.8333 75 17.4132 126 16.9852 177 17.471025 17.1028 76 16.9475 127 17.5868 178 17.033026 16.8224 77 17.4116 128 17.0315 179 17.442327 17.1425 78 16.9254 129 17.5480 180 16.954628 16.8011 79 17.3686 130 17.0674 181 17.463829 17.1346 80 16.9523 131 17.5922 182 16.921730 16.8210 81 17.3714 132 17.0347 183 17.504431 17.1586 82 16.9906 133 17.5743 184 16.957632 16.8659 83 17.3975 134 17.0361 185 17.577633 17.1680 84 16.9968 135 17.5144 186 16.914234 16.8330 85 17.3712 136 16.9523 187 17.573635 17.1720 86 16.9361 137 17.5440 188 16.894736 16.9131 87 17.3681 138 16.9834 189 17.557637 17.2984 88 16.9855 139 17.6181 190 16.857438 16.8806 89 17.4219 140 17.0183 191 17.614339 17.3130 90 16.9934 141 17.6645 192 16.898540 16.9044 91 17.4538 142 17.0377 193 17.647141 17.3053 92 16.9719 143 17.6168 194 16.895942 16.9423 93 17.4728 144 17.0616 195 17.677343 17.2770 94 16.9020 145 17.5781 196 16.924144 16.9536 95 17.5296 146 17.0909 197 17.708845 17.3221 96 16.9025 147 17.5941 198 16.973246 16.9625 97 17.5222 148 17.0829 199 17.733147 17.2802 98 16.8900 149 17.5761 200 17.027848 16.9717 99 17.5757 150 17.0353 201 17.743049 17.3107 100 16.9320 151 17.5253 202 17.014050 16.9539 101 17.5861 152 17.0768 203 17.7047

Anexo H

109

ANEXO H

H.1 Inflaciones de Estados Unidos, tomando como año base 2003

Año Inflacion1983 55.531984 57.931985 59.991986 61.111987 63.341988 65.961989 69.141990 72.871991 75.941992 78.231993 80.571994 82.631995 84.971996 87.481997 89.491998 90.881999 92.892000 96.012001 98.742002 99.252003 100.00

Anexo I

110

ANEXO I

I.1 Publicaciones A.S. Balankin, O. Morales, E. Galvez, & A. Pérez. Crossover from antipersistet to persistent behavior in time series prossessing the generalyzed dynamic scaling law; Phys. Review E, Vol. 69, No. 3, 2004. O. Morales, E. Gálvez, A.S. Balankin, A. Pérez. Dinámica Fractal y Predicción de Precios del Mercado Petrolero; Revista Científica, Vol. 7, No. 3, 2003, pp. 139-154.

Crossover from anipersistent to persistent behaviour in time series possessing the generalyzed dynamic scaling law

Alexander S. Balankin,1,2 Oswaldo Morales Matamoros,1

Ernesto Gálvez M.,3 and Alfonso Pérez A.2

1 Sección de Posgrado e Investigación, ESIME, Instituto Politécnico Nacional, México

D.F. 07738, México

2 Instituto Mexicano de Petróleo, México D.F. 07730, México

3 Departamento de Economía, Universidad de Sonora, Sonora 83000, México

We analyze the behavior of crude oil price volatility within a conceptual framework of

kinetic roughening of growing interfaces. We find that the persistent long-horizon

volatilities satisfy the Family-Viscek dynamic scaling ansatz, whereas the mean-reverting

in time short horizon volatilities obey the generalized scaling law with horizon varying

scaling exponent. We also found that the crossover from antipersistent to persistent

behaviour is accompanied by a change in the type of volatility distribution. These

phenomena are attributed to the complex avalanche dynamics of crude oil markets and so

a similar behavior may be observed in a wide variety of physical systems governed by

avalanche dynamics.

PACS: 05.40.-a, 05.45.Tp, 89.65.Gh, 89.75.Da

1

Dynamics of all realistic complex systems always exhibits some part of randomness,

either due to internal reasons, specific for nonlinear dynamical systems, or caused by

external stochastic noise. Examples include many physical, biological, computer, social,

and economic systems.1 These systems commonly exhibit dynamic scaling invariance,

i.e. their behaviour does not change under rescaling of variables (for example, space and

time) combined with an appropriate rescaling of the observables and the control

parameters.23 This allows us to use the dynamic scaling approach to study the kinetic

roughening of growing interfaces4, as well as the financial time series.

The dynamics of financial markets has recently becomes a focus of interest to physicists

because of its rich and complex scaling behavior analogous to that commonly observed in

physical systems with many interacting units.5 Many statistical properties of financial

markets have already been explored, and have revealed striking similarities between price

volatility dynamics and the kinetic roughening of growing interfaces.6 Accordingly,

physical models have been shown to have wide application to understanding the

dynamics of stock markets.7 On the other hand, the statistical analysis of economic time

series might yield novel results, providing new insights into dynamics of very different

complex systems.8

In this work, the general dynamic scaling approach is used to study the scaling behavior

of daily records of the spot prices (see Fig. 1a) and the price volatilities V (see

Figs. 1b-d) of the West Texas Intermediate Cushing crude oil.

)(tP )(tn

9 Specifically, we analyse

time records of realized volatility,10 [ ] 2/122 )()()(nn

tPtPt −=nV , for different time

2

horizons , where is the business time, i.e., weekends and business

holidays are excluded and

700,...,3,2=n t

n... denotes the business time average within a window of

size . Thus 699 different time series of length n 4096=T days were constructed for time

horizons varied in the range 7002 ≤≤ n

n

(see Figs. 1b-d). One can see that price

volatility changes from day to day in such a way that time series of volatilities V

realized at different time intervals look similar.

)(tn

2/1

R()( nn tVtV −=),τ

τ

),τ

( ) [nfnn /(,τ β∝σ xf )( 1>>x 1<<

To detect and quantify the dynamic scaling behavior of price volatility within a

framework of interface roughening dynamics, the volatility horizon n is treated as an

analog of time variable, while the business time t is treated as an analog of the lateral

extent of growing interface. Accordingly, the price volatility fluctuations may be

characterized by the analog of interface height fluctuations [4] defined as

[ ]2)(nτ

σ , where τ

... denotes the business time average within a

window of size , and R

... denotes the average over different realizations.

Typically, it is expected that the dynamic scaling invariance implies that fluctuations

(σ n satisfy the celebrated Family-Viscek dynamic scaling ansatz, 11

]z)τ , where , if , and β−= x 1)( ≈xf , if , (1) x

3

commonly applied to describe the kinetic roughening of growing interfaces [4]; here β is

the growth exponent, β/Hz = is the dynamic exponent, and H is the local “roughness”

(or Hurst) exponent.

The scaling form (1) is valid for a large variety of systems far from equilibrium, as well

as for critical phenomena [1]. However, generally, a simple power-law scaling (1) does

not hold, instead there is an evidence that the logarithms of the parameters can be used to

produce a data collapse [2,3]. Sittler and Hinrichsen [3] have suggested the general

dynamic scaling form with continuously varying scaling exponents.12

In this work, the local scaling (Hurst) exponents, H , of , as well as of each time

record V , were determined by five methods adopted from the BENOIT 1.3

software:

)(tP

H2

)(tn

13 the rescaled-range analysis ( ), power-spectrum ( ),

roughness length ( ), variogramm (Var ), and wavelet methods. The

growth exponent

H)τ

∝

SR (/ ∝

(

12)/1( −−∝ HP τ

HSD )(τ∝

)(

)τ

τβ was determined from the scaling behavior for

different intervals

)() τβn∝,( τσ n

τ .

The Hurst exponent gives an indication of whether a time series are random ( ) or

display persistence ( 0 ) or antipersistence (

5.0=H

15. << H )5.00 <≤ H . Accordingly, we also

studied the autocorrelation functions, T

ttPC )()(τ +=T

PtP (/)() 2τ and

Tnnn VtVC )()( ττ += nTtVt )(/)( 2 , where the angle brackets denotes the time average.

Furthermore, the statistical distributions of crude oil price and realized price volatilities

4

were analyzed with help of @RISK software14, which ranks the fitted distributions using

three test statistics: Chi-square, Anderson-Darling, and Kolmogorov-Smirnov statistics.

We find that the autocorrelation function of crude oil price record (Fig. 2a) decays

exponentially (see insert in Fig. 2a) as ( )0/exp ττ∝C , with a characteristic time

1200 =τ business days (about the half business year). Accordingly, we find that the

Hurst exponent of price record is equal to 02.050.0 ±=H (see Fig. 2b-d).15 This means

that, there are no long-range correlations in the crude oil price record. This is consistent

with the finding that the crude oil spot price distribution is a symmetric logistic

distribution (see Fig. 3a), which provides the best fitting of data according to three test

statistics mentioned above.

At the same time, we find that the realized volatilities (Fig. 1b-d) possess a statistical

self-affine invariance within wide ranges of business time scale ( )(3 nCττ << )

characterized by well defined Hurst exponent for each horizon (see Fig. 4a-d): nH n

nH n 0621.0= , when 12≤n , (2)

and

04.083.0 ±=nH , when . (3) 18≥n

Our finding means that the long horizon realized volatilities ( ) are persistent, i.e.,

volatility increments are positively correlated in business time, whereas the short-horizon

8>n

5

volatilities ( ) are antipersistent, i.e., V displays negative autocorrelations in

business time.

8<n )(8 tn<

4096∝

( =τσ 18=n

25.0= 25.0=β

Cτ

),τ

18<n

Furthermore, we find that the transition from anti-persistent to persistent volatility at

is accompanied by an abrupt change in the behaviour of

versus (Fig. 5a), nevertheless the time-average and the standard deviations of

8=n )}4096({min =TVnn

(n )τnV

have no anomaly at (see Fig. 5b). Specifically, the time averaged volatility behaves

as

8=n

5.0

4096=

)(τ n=τ

T

Vn up to , while the standard deviation of realized volatility

behaves as up to

700=n

25.0) n∝ , but it scales as , when the

realized volatility is characterized by the constant Hurst exponent

5.0n∝σ

04.083.0 ±=H .

Moreover, we find that the growth exponent behaves as (see Fig. 5b,c):

ττβ /C if )(nCττ < and if )(nCττ > , when , (4) 18<n

while 5.0=β for any τ , when (5) 18>n

We also find that the interval of correlations, , in the business time scale increases

with the horizon of volatility as , where the dynamic exponent is a function of

and

(τ nzC n∝

n τ if , while 66.1/ == βHz for long horizons, n (see Fig 5d). 18>

6

Accordingly, we find that the long-horizon volatility ( ) satisfies the Family-Viscek

dynamic scaling ansatz (1), whereas for horizons smaller than 18 business days the crude

oil price volatility satisfies the generalized dynamic scaling law [

18≥n

3]:

],)¨[(),( )()( τβττσ nFn nH∝ , (6)

with continuously varying scaling exponents (2) and (4), which are quasi-homogeneous

functions satisfying the partial differential equation [12]

1)ln()ln(

)ln()ln(

=∂∂

−=∂∂

τβ

nH n . (7)

This implies that scaling function possesses a local scaling invariance [F 12], i.e.,

],)¨[(])(,)[( )()()()( τβτβ τλλλτ nFnF nHnH = , (8)

where λ is a dilatation parameter and Cn ττ << ,18 .

The crossover from antipersistent to persistent behavior indicates the existence of

intrinsic horizon scale of price volatility (see Ref.16), 8≈Cn . To get a deeper insight into

price volatility dynamics, we also perform the statistical analysis of volatilities, )(τnV ,

and avalanches defined as )()(),( 1 τττ nn VVnS −= + .

7

We find that for small time horizons, 8≤n , the conditional probability of realised

volatility is best fitted by the light-tailed Pearson distribution (Fig. 3c), whereas for the

larger time horizons, , the conditional probability of realised volatility is the log-

logistic distribution (Fig. 3d), i.e., the long-horizon volatility distribution is fat tailed

( 0

8>n

7.055.2 ±=γ ),17 but it is well outside the stable Lévy range 20 << γ .18

Furthermore, we find that the statistical distribution of avalanches is also best fitted by

the log-logistic distribution with 0=φ , and 68.075.0 −= nρ 02.046.1 ±=γ , obeying a

power law tail (see Fig. 3b):

46.11)}]({/)([ −−∝ SSmedianSF ττ . (8)

This indicates that observed behaviour of crude oil price volatility can be interpreted in

terms of scale-free avalanches, which define the intrinsic horizon scale and build up long-

range correlations in the price volatility.19 Such a behavior can be modeled with use the

Kuramoto-Sivashinsky equation with white or correlated noise (see Refs. ).

Our findings have potentially wide-ranging implications in econophysics,20 as well as in

statistical physics of complex systems. Specifically, we expect that the crossover from

antipersistent to persistent behavior should be observed in a wide variety of systems

displaying generalized scaling dynamics with continuously varying exponents.21

Examples of such systems include certain self-organized critical sand pile models22, ion

sputtering of surfaces,23 wetting front roughening dynamics,24 some experiments in

turbulence25, DLA-related growth processes26, and many other systems governed by

8

avalanche dynamics. Specifically, the crossover from the antipersistent to persistent

roughness of moving wet front was observed in paper wetting experiments.

The existence of “universal” mechanism which gives rise to crossover from antipersistent

to persistent behavior in systems of different nature could provide a new insight to the

physics of complex systems governed by avalanche dynamics leading to generalized

scaling dynamics with continuously varying exponents.

The authors would like to thank J. M. Lopez for useful discussions. This work has been

supported by the CONACYT of the Mexican Government (Project No. 3495-U).

1 Fist Last, Fist2 Last2, and Fist3 Last3, Title Vol, pages (2000).

2 J. J. Ramasco, J. M. López, and M. A. Rodríguez, Phys. Rev. Lett. 84, 2199 (2000).

3 L. Sittler and H. Hinrichsen, J. Phys. A: Math. Gen. 35, 10531 (2002).

4 A. S. Balankin, O. Susarrey, and J. Marquez Gonzales, Phys. Rev. Lett. 90, 0961011

(2003); A. S. Balankin, D. Morales, and I. Campos, Phil. Mag. Lett. 80, 165 (2000); A. S.

Balankin, A. Bravo Ortega, and D. Morales Matamoros, ibid 80, 503 (2000); A. S.

Balankin and D. Morales Matanoros, ibid 81, 495-503 (2001).

5 R. N. Mantegna and H. E. Stanley, Nature 376, 45-50 (1995); J. P. Sethna, K. A.

Dahmen, and Ch. R. Myers, Nature 410, 242-250 (2001); Y. Lee, L.A. Nunes Amaral, D.

Canning, M. Meyer, and H. E. Stanley, Phys. Rev. Lett. 81, 3275-3278 (1998); V. Plerou,

9

P. Gopikrishnan, B. Rosenow, L.A. Nunes Amaral, and H. E. Stanley, Phys. Rev. Lett.

83, 1471-1474 (1999); R. Friedrich, J. Peinke, and Ch. Renner, Phys. Rev. Lett. 84, 5224-

5227 (2000); V. Plerou, P. Gopikrishnan, and H. E. Stanley, Nature 421, 130 (2003).

6 Y. Liu, P. Gopikrishnan, P. Cizeau, M. Meyer, Ch.-K. Peng, and H. E. Stanley, Phys.

Rev. E 60, 1390-1400 (1999); V. Plerou, P. Gopikrishnan, L.A. Nunes Amaral, M.

Meyer, and H. E. Stanley, Phys. Rev. E 60, 6519-6529 (1999); P. Gopikrishnan, V.

Plerou, L.A. Nunes Amaral, M. Meyer, and H. E. Stanley, Phys. Rev. E 60, 5305-5316

(1999); V. Plerou, P. Gopikrishnan, L. A. N. Amaral, X. Gabaix, and H. E. Stanley, Phys.

Rev. E 62, R3023-R3026 (2000); V. Plerou, P. Gopikrishnan, X. Gabaix, and H. E.

Stanley, Phys. Rev. E 66, 0271041-0271044 (2002); K. Matia, L. A. N. Amaral, S. P.

Goodwin, and H. E. Stanley, Phys. Rev. E 66, 0451031-0451034 (2002); X. Gabalx, P.

Gopikrishnan, P. Plerou, and H. E. Stanley, Nature 423, 267-270 (2003).

7 B. B. Mandelbrot, Fractals and Scaling in Finance, (Springer, New York, 1997); J. P.

Bouchaud and M. Potters, Theory of Financial Risk: From Statistical Physics to Risk

Management, (Cambridge University Press, Cambridge, 2000).

8 Since there is a huge amount of high frequency economic data available, which can be

treated with methods developed in physics of complex systems.

9 Bloomberg L.P.@, http://www.bloomberg.com (2003).

10 Although it is common to talk about the price volatility, there is no single universally

accepted definition of this parameter. Various measures of price volatility can be

constructed, in particular the absolute values of price (or logarithms of price) returns, the

standard deviation of price returns, etc. [5-7] In finance, it is typically characterized in

10

terms of the standard deviation of prices at a particular timescale (see, for example, G.

Bomer, Active Trarder 2, 86 (2003)).

11 A.-L. Barabási and H.E. Stanley, Fractal Concepts in Surface Growth (Cambridge

University Press, Cambridge, 1995).

12 It should be pointed out that the functional form of scaling exponents cannot be chosen

freely; rather their functional dependence is constrained by a group homomorphism

linking the concepts of generalized and ordinary scaling [3].

13 W. Seffens, Science 285, 1228-1229 (2000).

14 @RISK 4.5, http://palisade.com (2002).

15 This value was determined by all methods mentioned above and it is not sensitive to

the sampling period. Moreover, we also determine the global scaling exponent α (see

Ref. 2) from the scaling behavior . We find

thatα .

αTtPtPRRTtTt ∝−= ∈∈ )(min)(max

03.050.0 ±== H

16 Wen-Tau Juan and Lin I., Phys. Rev. Lett. 80, 3073-3076 (1998).

17 We find that γ is independent on the horizon of volatility for time lags . 8>n

18 It should be pointed out that the parameters of volatility distributions (see Fig. 3

caption), as well as the scaling exponents in equations (1) and (2) are not sensitive to the

sampling period.

19 Our findings suggest that the dynamics of price volatility is governed by self-organized

criticality (SOC), similar to that which is commonly illustrated conceptually with

avalanches in a pile of sand grains. The most essential feature of the SOC is that the

11

system jumps from one metastable state to another by avalanche dynamics up to critical

state without external forcing. Accordingly, the price volatility evolves through transient

states at time horizons n < 18, which are not critical, to a dynamical attractor poised at

criticality for long-time horizons, when volatility obeys the Family-Viscek dynamic

scaling (2) and could therefore be predictable in statistical sense.

20 Accurate modeling and forecasting of commodity price volatility is of paramount

importance in the risk management and option pricing.

21 We note that Monte Carlo simulations of reactive ion etch-front roughening21 described

by the Kuramoto-Sivashinsky equation predict the generalized scaling dynamics with

time dependent roughness exponent and continuous transition from antipersistent to

persistent front roughness regime. This allows a possibility to use a similar model for

simulations of realized and employed volatility of crude oil prices. Unfortunately, the

crossover from antipersistent to persistent roughness was not discussed in ref. 21.

22 C. Tebaldi, M. De Menech, and A.L. Stella, Phys. Rev. Lett. 83, 3952-3955 (1999).

23 J.T. Drotar, Y.-P. Zhao, T.M. Lu, and G.-C. Wang, Phys. Rev. E59, 177-185 (1999).

24 A. S. Balankin and D. Morales Matamoros, in Emergent Nature, 1st edition, edited by

M. M. Novak (World Scientific, London, 2001), Vol. 1, p.345-356.

25 X.-Z. Wu, L. Kadanoff, A. Libchaber, and M. Sano, Phys. Rev. Lett. 64, 2140-2143

(1999).

26 B. Hinnemann, H. Hinrichsen, and D. Wolf, Phys. Rev. Lett. 87, 135701-135704

(2001).

12

3

Figure 1. (a) Time record of WTI oil spot price in the 1983 constant dollars and (b-d)

realized price volatility for different horizons: (b) , (c) =n , and (d)

business days.

=n 8 18=n

)(

Figure 2. (a) Autocorrelation function of price record shown in Fig. 1a (insert shows

in semi-log coordinates) and (b-d) fractal graphs of price record obtained by: (b)

the rescaled-range, (c) the roughness length, and (d) the power spectrum methods.

τC

3

Figure 3. (a-c) Fractal graphs of price volatilities records shown in Figs 1b-c obtained

by: (a) the roughness length, (b) the variogram, and (c) the rescaled-range methods

(numbers correspond to different horizons: 1- =n , 2- , and 3 ). (c) Horizon

dependence of the Hurst exponent (in the semi-log coordinates).

8=n 20=n

Figure 2. Results of the scaling analysis of crude oil price volatility: (a) Standard

deviations of realized volatility versus time interval, , for different horizons: (1)

, (2) n ,

and (3) ; (b) Hurst exponent of realized

volatility versus time lag, ;(c) mean (1) and standard deviation (2,3) of realized

volatility versus time lag, (points – experimental data, lines – power law fittings:

(1) , (2) , and (3)

); (d) minimum of realized volatility versus time horizon

τ∆

( ) 9657.0,084.0,3 2124.0 =∆== RSDn τ ( ) 9946.0,035.0,8 250.0 =∆== RSD τ

( ) 9954.0,017.0,20 2836.0 =∆== RSDn τ

n

n

999.0,5.1)( 25.0 == RnVn ττ 995.0,18.0 226.0 == RnSD

998.0,1.0 245.0 == RnSD

13

97.0,10)min( 295.35 == − RnVn

993.0,014.0)min( 266.0 == RnVn

3=n 18=n

(points – experimental data, lines – power law fits: (1)

and (2) ).

Figure 3. Conditional probability distributions of realized volatility for horizons: (a)

and (b) (bins - experimental data, solid lines – fitting by: (a) the Pearson

distribution (p-value 0.41): , with γ ,

, and where is gamma-

function; and (b) the log-logistic distribution (p-value 0.38):

with and

(c) Cumulative distribution of avalanches (circles –

experimental data, solid lines – power law fit by eq. (3))

−Γ

−= −

+−

ρφ

γρφγ

γnn

nVV

Vf exp)(

)()(

)1(

1.06.3 ±=

)95.0(48.0 234.0 == Rnρ ),97.0(13.0 269.0 == − Rnφ )(γΓ

[ ][ ]{ }2

1

/)(1

/)()(

γ

γ

ρφρ

ρφγ

−+

−=

−

n

nn

V

VVf 07.055.2 ±=γ ),998.0(104.0 2385.0 == Rnρ

).996.0(0082.0 2744.0 == Rnφ

14

Figure 1.

15

Figure 2

16

Figure 5

17

Dinámica Fractal y Predicción de los Precios del Mercado Petrolero Oswaldo Morales Matamoros1 Ernesto T. Gálvez Medina2 Alexander Balankin1 Alfonso Pérez Arellano3 1)Sección de Estudios de Posgrado, ESIME-Zacatenco, Instituto Politécnico Nacional (IPN). Unidad Profesional “Adolfo López Mateos”, Av. IPN, Col. Lindavista, Edificio 5, 3er piso, C.P. 07738, México, D.F. 2)Departamento de Economía, Universidad de Sonora, Blvd. Transversal s/n, Col. Centro, C.P. 83600, Hermosillo, Sonora 3)Gerencia de Planeación Estratégica, Instituto Mexicano del Petróleo (IMP), Av. Eje Central Lázaro Cárdenas # 152, Apartado Postal 14-805, 07730, México, D.F. MEXICO. Tels. (1, 2) 5729 6000 ext. 54589 (3) 3003 8559 1 Resumen Preguntas sobre la persistencia de la volatilidad del precio de un commodity son importantes para la economía y la física estadística. La afirmación de la memoria a largo plazo de los cambios en el precio de un commodity va más allá de la simple afirmación de una dependencia estadística que podría mejorar la predicción de los precios. Esta afirmación establece que las correlaciones entre los cambios de precios desaparecen gradualmente, por lo que los movimientos reales en el mercado son influenciados estocásticamente, tanto por el pasado reciente como por el lejano. Muchas propiedades estadísticas de los mercados financieros han sido ya exploradas, y han revelado extraordinarias similitudes entre la dinámica de precios y el comportamiento de los sistemas físicos con muchas unidades que interactúan. En este trabajo se reportan algunos hallazgos novedosos concernientes a la dinámica de la volatilidad de los precios del petróleo. Específicamente, se encontró que la volatilidad a corto plazo es anti-persistente en el tiempo (regresión de la media), mientras que la volatilidad a largo plazo despliega persistencia. El comportamiento de la volatilidad, desde la anti-persistencia hasta la persistencia, cuando el horizonte de tiempo se ha ampliado, es acompañado por un cambio en el tipo de su distribución estadística. Este fenómeno puede

ser atribuido a la dinámica compleja de avalancha en el mercado petrolero. 2 Abstract Questions about the persistence of the commodity price volatility occupy an important place in economics, as well as in statistical physics. The claim of long-memory on commodity price changes goes further than the simple claim of some statistical dependence that could improve the predictability of the prices: it states that correlations between price changes die out very slowly, so that the actual movements in the market are stochastically influenced by both the recent and the distant past. Many statistical properties of financial markets have already been explored, and have revealed striking similarities between price dynamics and behavior of physical systems with many interacting. Here are reported some novel observations concerning the dynamics of the crude oil price volatility. Specifically, it was found that the short-horizon volatility is anti-persistent (mean-reverting) in time, whereas the long-horizon volatility displays persistence. The crossover from anti-persistence to persistence in the volatility behavior, when the time horizon increased, is accompanied by the change in the type of statistical distribution of volatility. These phenomena can be attributed to the complex avalanche dynamic in the oil market. 3 Introducción Desde finales del siglo XIX, el petróleo ha sido la principal fuente de energía para el ser humano, y es el recurso natural más ampliamente usado en la producción de energía. El mercado petrolero mundial se encuentra inmerso en un ambiente de capital intensivo caracterizado por las interacciones complejas de una gran gama de productos, el transporte y almacenamiento de los mismos, así como una estricta regulación ambiental. El consumo mundial de petróleo excede los 500 billones de dólares, aproximadamente 10 % del PIB de Estados Unidos. El petróleo es también el commodity más comercializado en el mundo, abarcando cerca del 10 % del comercio mundial [1-3]. El petróleo y sus productos refinados no sólo son importantes para los agentes del mercado petrolero, sino también para los gobiernos y la sociedad. Los desequilibrios violentos y repentinos en los precios de los energéticos han sido frecuentemente citados como los causantes de los impactos macroeconómicos adversos a la producción global y al empleo en varios países del

1

mundo. Además, los movimientos en los mercados petroleros afectan la oferta y demanda de los otros energéticos e incentivan o desincentivan la inversión para desarrollar fuentes alternas de energía. Desde los dos más grandes incrementos en los precios en la década de 1970, la demanda mundial del petróleo ha crecido mucho más moderadamente, en relación a la demanda que se tenía antes del primer desequilibrio en 1973. Productores y consumidores de energía regularmente intentan pronosticar la dinámica que tendrá el mercado petrolero mundial a través de la predicción de los precios del petróleo, carbón y otros recursos naturales para horizontes de tiempo de hasta 20 o 30 años. Por una parte, los productores realizan estos pronósticos para efectos de su planeación estratégica y para evaluar decisiones de inversión relacionadas con la exploración de recursos, el desarrollo de reservas y la producción. Por otra parte, los consumidores industriales, tales como las compañías petroquímicas o generadoras de electricidad, realizan estos pronósticos para evaluar decisiones de inversión, tales como determinar si una planta generadora de electricidad empleará petróleo o carbón quemado o elegir los productos a fabricar [3]. Para predecir la dinámica del petróleo, teóricos y analistas económicos han empleado, desde la década de 1970 hasta la de 1990, muchos modelos de diferentes tipos, los cuales han sido agrupado en cuatro grandes rubros: (i) modelos informales (oferta vs demanda), (ii) modelos de simulación (modelos ideales), modelos teóricos (modelación de los niveles de producción) y (iv) modelos econométricos (estructura del mercado) [4]. No obstante, estos modelos han fallado en sus predicciones porque no han considerado que los mercados energéticos están caracterizados por niveles extremadamente altos de volatilidad. Esta volatilidad de los energéticos es causada por desequilibrios entre la oferta y la demanda, provocados, a su vez, por variables exógenas (guerras, cambios en los regimenes políticos, crisis económicas, incumplimiento a acuerdos comerciales firmados, patrones inesperados del clima, etcétera). Además, en los mercados de los commodities que son almacenados (como el petróleo), los inventarios juegan un papel crucial en la fijación de los precios. Como en las industrias manufactureras, los inventarios son empleados para reducir los costos por cambios en los niveles de producción, en respuesta a las fluctuaciones en la demanda (predecibles o no),

y para disminuir los costos de comercialización, a fin de asegurar puntualmente las entregas y evitar la falta de reservas. Los productores deben determinar sus niveles de producción en conjunto con el consumo total y la reposición esperados de sus inventarios. Estas decisiones son realizadas en función de dos precios: un precio para la venta del propio commodity, y un precio para almacenamiento. Aunque el precio de almacenamiento no es directamente fijado, este puede ser determinado a partir de la brecha entre el precio spot (para compras y ventas inmediatas) y el precio futuro (para inventarios conservados tanto por productores como por consumidores de petróleo). A inicios de la década de 1990, se empezaron a aplicar los modelos dinámicos ARCH/GARCH para predecir la volatilidad de los precios del petróleo. Estos modelos captan la heterocedasticidad (existencia de una varianza no constante en las perturbaciones aleatorias de un modelo econométrico) de los rendimientos financieros y ofrecen una explicación de la persistencia en la volatilidad [5]. Sin embargo, a pesar de que estos modelos son adaptativos, no proporcionan un cuadro completo de la dinámica del mercado que se refleje en una distribución de probabilidad distintiva. De hecho, los modelos ARCH/GARCH normalmente asumen que el mercado se comporta de manera gaussiana con una varianza, en función del tiempo, desconocida; de tal forma que se ajusta a si misma para obtener predicciones. Por otra parte, la habilidad para predecir el estado futuro de un sistema, dado su condición presente, permanece en los cimientos del conocimiento científico, con implicaciones relevantes en economía, mecánica y física. El estudio de los mercados económicos recientemente ha llegado a ser un área de investigación de mucho interés para los físicos debido a que los mercados constituyen sistemas complejos dinámicos para los cuales las variables que los caracterizan son fácilmente cuantificables y a que se cuenta con herramientas de computo capaces de analizar datos de alta frecuencia disponibles (a partir de que cada transacción es registrada). Estudios recientes, llevados a cabo por físicos, han encontrado que la mayoría de las series de tiempo financieras no son aleatorias [1-2,6-11]. A saber, la dinámica compleja del precio es normalmente caracterizada por fluctuaciones anómalas colectivas, conocidas como evidencias empíricas universales (stylized facts), que mantienen muy presente los recuerdos de los fenómenos críticos: las fluctuaciones de precios no siguen un simple proceso aleatorio, más bien su distribución es de

2

cola gruesa y la volatilidad del precio despliega autocorrelaciones a largo plazo. Esto es un gran principio para tener posibilidades de detectar eventos raros catastróficos, tales como burbujas y choques en los mercados financieros, que no pueden ser reconocidos en la distribución normal (trayectoria aleatoria). Entender el origen de las fluctuaciones anómalas continuas, emergiendo desde la dinámica compleja de las fluctuaciones de precios, implica nuevos retos fascinantes en la física estadística [9-11]. Retos que han motivado a la elaboración de este trabajo, esperando aportar conocimientos, concretamente, sobre la caracterización estadística de la dinámica compleja del mercado petrolero. 4 Desarrollo 4.1 El mercado petrolero mundial El mercado petrolero mundial está inmerso en un ambiente de capital intensivo y se caracteriza por interacciones complejas, derivadas de una gran gama de productos, aspectos de almacenamiento y transporte y una estricta regulación ambiental. Una vez que el petróleo es extraído de la tierra, éste es colocado en oleoductos localizados en el campo petrolero; enviado a las refinerías, a través de oleoductos o buques, para su refinación y la obtención de sus derivados. A pesar del dominio percibido de la Organización de Países Exportadores de Petróleo (OPEP), muchos países subdesarrollados, como México, Colombia y Malasia, han llegado a ser significativos productores de petróleo en los últimos años. Los precios del petróleo han estado fluctuando dramáticamente en los últimos 25 años, afectando decisiones de inversión, no sólo en el sector petrolero, sino también en otras industrias de energía. Los cambios en los precios del petróleo han sido atribuidos parcialmente a la interacción entre las prácticas de producción de la OPEP (la cual ha limitado su producción para elevar los precios del petróleo) y a los crecientes volúmenes de producción de los países que no pertenecen a la OPEP (no-OPEP). La volatilidad del precio del petróleo tiene un impacto significativo en las decisiones estratégicas y en el presupuesto de las compañías petroleras. Es común para las compañías productoras desarrollar algún plan de cobertura para protegerse contra un colapso en los precios del petróleo [3].

En el futuro, continuará esta volatilidad por circunstancias políticas y económicas impredecibles. Es bien sabido que las tensiones en Medio Oriente pueden provocar interrupciones en la producción y cambios en los patrones de comercialización. Por otra parte, precios reales más altos frenan el consumo y fomentan la búsqueda de grandes fuentes de petróleo, mediante el desarrollo tecnológico en exploración y explotación, así como el uso de otras formas de energía (como el gas natural); pero cuando los precios son muy bajos sucede lo contrario. Sin embargo, no se espera un escalamiento de precios del petróleo a corto plazo. Las proyecciones más sobresalientes de la EIA (Energy Information Energy) [12], en un escenario base, para el mercado petrolero mundial son las siguientes: • El precio del petróleo se incrementará más de 4

usd/bl para el 2003, seguido de un aumento promedio anual del 0.6 % de 2003 a 2020.

• El Atlántico emergerá como la mayor fuente para la producción del petróleo, tanto en Latinoamérica como en África. La tecnología y la disponibilidad de recursos pueden sustentar grandes incrementos en la capacidad productiva de petróleo a precios proyectados en el escenario base. Pero el ambiente de precios bajos de 1998 y 1999 retraso el desarrollo de algunas áreas promisorias, especialmente en la región del Caspio.

• El desarrollo económico en Asia es crucial para el crecimiento del mercado petrolero a largo plazo. La evolución de la demanda de petróleo fortalecerá los lazos económicos entre los proveedores del Medio Oriente y los mercados asiáticos.

• Aunque la participación de la OPEP en la oferta petrolera mundial aumentará significativamente en las próximas dos décadas, se espera que la fuerzas competitivas serán lo suficientemente fuertes como para evitar un escalamiento significativo en los precios del petróleo. Las fuerzas competitivas operan dentro de la OPEP, entre las fuentes de abastecimiento de la OPEP y la no-OPEP, y entre las fuentes de petróleo y otras fuentes energéticas (particularmente el gas natural).

• La guerra internacional contra el terrorismo, la incertidumbre sobre la recuperación económica de los países asiáticos en desarrollo y del Japón, el éxito de las reformas económicas en China y su situación política, el impacto de Brasil en la demás economías de Latinoamérica, y las perspectivas de recuperación económica de los países de la ex Unión Soviética, aumentan el riesgo político a muy corto plazo que ocasionaría que el

3

mercado petrolero se comportara muy diferente a lo proyectado en el escenario base.

4.1.1 Dinámica de los precios del petróleo Al igual que otros commodities comercializados internacionalmente, los precios del petróleo son determinados en los mercados mundiales por la interacción de la oferta y la demanda. Por una parte, la demanda es independientemente determinada por los consumidores de manera global, de acuerdo a cómo ellos responden a sus necesidades de petróleo al precio prevaleciente. Por otra parte, la oferta es estimada de acuerdo a una diversidad de productores, quienes intentan satisfacer las necesidades mundiales en el contexto de precios prevalecientes. Si más petróleo es demandado que ofertado, el precio aumentará; si hay más petróleo ofertado que demandado, el precio disminuirá. En un mercado competitivo, los tres factores –oferta, demanda y precio- fluctuaran conforme los niveles de la oferta y la demanda sean constantemente ajustados, a fin de alcanzar un equilibrio en la dinámica del mercado petrolero. Durante los últimos años, este proceso de ajuste ha generado precios muy volátiles. En la Figura 1 se presenta el comportamiento del precio del petróleo de 1900 a 2002, a dólares corrientes y constantes de 1998. Esta figura muestra un incremento uniforme en el precio del petróleo antes del año de 1973. Hasta la década de 1960, los precios del petróleo fueron muy estables desde que, entre otras cosas, su determinación estuvo continuamente marcada por la colonización de varios países exportadores y por el poderío de las compañías petroleras transnacionales. Un hecho importante, durante el periodo de 1930 a 1970, es que la producción y los precios del petróleo fueron producto de una organización muy bien integrada y reglamentada por las siete compañías petroleras más grandes (Shell, Exxon, Mobil, Chevron, Texaco, Gulf y British Petroleum). La formación de la OPEP en la década de 1960 marcó una nueva era para los precios del petróleo. Entre 1973 y 1974, el precio del petróleo se incrementó repentinamente de 2.90 dólares por barril (usd/bl) a 12.00 usd/bl debido a un embargo petrolero, consecuencia del cambio de dueños del energético. Entre 1974 y 1978, los precios del petróleo continuaron elevándose más gradualmente; pero las crisis de 1978 y 1979 en Irán originaron un aumento repentino en el precio de 12 a 30 usd/bl.

La OPEP ahora producen cerca del 40 % del petróleo mundial y sus exportaciones representan casi 60 % del petróleo internacionalmente comercializado. Al controlar la oferta, la OPEP tiene una gran influencia en los precios del petróleo y un gran impacto en la industria petrolera.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

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65

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

US$00 US$ CORRIENTES

PRIMERAGUERRAMUNDIAL(1914/18)

LA GRANDEPRESIÓN(1929)

FORMACIÓNDE LAOPEP (1960)

CONFLICTOARABE ISRAELÍ (1973)

REVOLUCIÓNIRANÍ (1979)

GUERRADELGOLFO(1990)

PRECIOSNETBACK(1986)

CRISISASIATICA"EL NIÑO"(1997/98)

SEGUNDA GUERRAMUNDIAL1940/45

Figura 1. Evolución del precio del petróleo 1900-2000.

(Precios de 2000 en usd/bl) Los precios del petróleo han promediado 19.27 usd/bl, en dólares constantes de 1996, durante el periodo de 1947 a 1997. Los precios sólo han excedido 22 usd/bl, en respuesta a la guerra o conflicto del Medio Oriente. Los mayores desequilibrios de los precios durante este periodo fueron causados por: el embargo petrolero de Arabia Saudita en 1973, los eventos en Irán e Irak de 1978 y 1980 y la invasión de Irak a Kuwait en 1990. Como resultado de la guerra del Yom Kippur (Día de la Redención), el precio del petróleo, el cual había permanecido entre 2.50 y 3.00 usd/bl desde 1948, se cuadruplicó de 3 usd/bl en 1972 a 12 usd/bl al final de 1974. La Revolución Iraní y la subsiguiente guerra entre Irán e Irak casi duplicaron los precios de 14 usd/bl en 1978 a 35 usd/bl en 1981. La consecuente recesión mundial y el desarrollo de fuentes alternas de energía provocaron un descenso en la demanda y una caída en los precios en casi toda la década de 1980. Los esfuerzos de la OPEP para fijar cuotas de producción, en un intento por aumentar los precios, fracasaron rotundamente porque sus miembros frecuentemente rebasaban los límites establecidos. Por ejemplo, en 1986 Arabia Saudita elevó su producción de 2 millones de barriles por día (mmbpd) a 5 mmbpd, causando que los precios del petróleo se precipitaran por debajo de los 10 usd/bl. Los precios se volvieron volátiles de nuevo en 1990 y 1991 debido a la incertidumbre creada por la invasión de Irak a Kuwait, pero se estabilizaron en la víspera de una resolución militar encabezada por Estados Unidos y, como consecuencia, de un

4

incremento en la oferta por parte de los demás países. La recesión en los Estados Unidos vio los precios decrecer, y en 1994 los precios constantes llegaron a su más bajo nivel desde 1973. Posteriormente, una fuerte economía norteamericana y el crecimiento económico en los países asiáticos motivaron una fuerte alza en la demanda. La demanda mundial del petróleo creció 2.8 % en 1995 y 2.2 % en 1996, por lo que los precios se incrementaron aproximadamente 6 usd/bl durante ese año. A pesar de que Irak volvió a tener actividad en el mercado mundial en diciembre de 1996, la recuperación del precio prosiguió en 1997, hasta que el precio cayó bruscamente a 10 usd/bl en 1998, debido a la crisis económica en Asia y a que el invierno de 1997 a 1998 no fue severo ni prolongado. El precio del petróleo ha fluctuado bruscamente en los últimos años, cayendo en 2001 a 21.55 usd/bl por una débil demanda, mayor producción no-OPEP de lo que se anticipaba, algunas trampas de los miembros de la OPEP con relación a sus estrategias para administrar el mercado y la decisión de Arabia Saudita de posponer recortes en su producción, consecuencia de los ataques terroristas del 11 de septiembre en ese año a EUA. Se espera un aumento promedio anual en el precio del 0.6 % desde el 2003 hasta el 2020. La EIA [13], ha estimado tres escenarios para el precio en 2020 (a dólares de 2000): 24.68 usd/bl en el escenario base (42 usd/bl en dólares corrientes de 2020); 17.41 usd/bl en el escenario de precio bajo; y 30.50 usd/bl en el escenario de precio alto por una alta penetración de otras fuentes alternas de energía que podrían ser viables a ese nivel de precio. Los recursos no son una limitante crítica en la demanda mundial hasta el 2020. Pero, circunstancias políticas, económicas y ambientales podrían definir el rumbo de la oferta y la demanda [12]. 4.1.2 Oferta y demanda A partir del último trimestre de 2001, los precios del petróleo estuvieron por debajo de lo establecido por la OPEP en su canasta, debido a tres factores. Primero, algunos miembros de la OPEP no redujeron sus cuotas de producción. Segundo, hubo un incremento anticipado en la producción no-OPEP por el aumento de precios en 2000 y 2001. Tercero, el crecimiento continuo de la demanda mundial se frenó. Rusia, Noruega, México, Omán y Angola están comprometidos a recortar su producción para estabilizar los precios. A pesar de que la OPEP ha alcanzado algunos de sus objetivos para fijar

el precio del petróleo recientemente, la estrategia de los recortes en la producción tradicionalmente sólo ha tenido éxito esporádicamente. El consumo mundial de petróleo en 2001 se elevó casi 100,000 barriles diarios (b/d), canalizándose más hacia los países industrializados (Europa Occidental) y hacia los países en desarrollo (Latinoamérica). La demanda global del petróleo en 2002 creció en casi 600,000 b/d [12]. Los miembros de la OPEP (con excepción de Irak), han acordado realizar recortes que reducirán los niveles de producción actual por casi 1.7 mmbpd, en respuesta a señales de la debilidad del precio en el mercado a muy corto plazo a fin de mantener el rango establecido por la OPEP en su canasta. Históricamente, las estrategias de administración del mercado de la OPEP han fallado frecuentemente. El éxito reciente de la OPEP ha sido el resultado de las condiciones de escasez y de la disciplina de sus miembros para respetar sus cuotas de producción. Sin embargo, la producción no-OPEP aumentará en un futuro inmediato; además, algunos miembros de la OPEP planean incrementar su capacidad de producción en los próximos años. En un mercado petrolero con capacidad sobrada de producción, será más difícil para la OPEP lograr consenso entre sus miembros. Aunque los productores no-OPEP han reaccionado lentamente a los altos precios, existe producción potencial, a nivel mundial, sin utilizar. Pese a que hay un defasamiento entre los precios más altos y el incremento en la actividad de perforación, que parece haberse manifestado más en el ambiente de precios bajos de 1998 y 1999, la producción no-OPEP aumentó 1.1 mmbpd en 2000, 700,000 b/d en 2001, y casi 1 mmbpd en 2002. Casi la mitad de la producción no-OPEP provino de los países de la ex Unión Soviética. Cuando se recuperen completamente las economías asiáticas, la demanda en los países en desarrollo experimentará un crecimiento sólido y sustentable. La demanda mundial de petróleo alcanzará casi los 119 mmbpd en el 2020, requiriendo un incremento en la capacidad mundial de producción de 44 mmbpd, en relación a la capacidad actual. La mayor parte de la demanda será provista por la OPEP, pero los países OPEP aumentarán su participación significativamente. 4.1.3 El papel de los crudos marcadores El petróleo no es una mercancía homogénea. Existen diversos tipos de crudo que se diferencian, principalmente, por el grado de viscosidad (grado API) y su contenido de azufre. Mientras más ligero

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(mayor grado API), es mayor la proporción de combustibles ligeros, de mayor valor, que puede obtenerse mediante procesos simples de destilación. Mientras más pesado (menor grado API), es menor la proporción de hidrocarburos volátiles (de 5 a 10 átomos de carbono) y mayor los requerimientos de procesos adicionales para obtener combustibles ligeros. El contenido de azufre igualmente impacta en la complejidad del proceso de refinación y en la calidad de los productos obtenidos [14]. Actualmente, a pesar de la variedad de crudos que se ofrecen en el mercado, solamente algunos de ellos, llamados crudos marcadores, sirven de referencia para la fijación de precios, ya sea sobre la base de diferenciales respecto a un crudo específico o mediante fórmulas que integran una canasta de crudos. En general, se observa una gran correlación, aunque no perfecta, entre los precios de los diversos tipos de petróleo, lo que refleja una alta elasticidad de sustitución, pero también la posible influencia de factores específicos como condiciones locales, costos de transporte o de demanda relativa. De esta manera, a partir de 1987, las cotizaciones de los marcadores se utilizan como una especie de unidad de cuenta para los demás tipos de crudo en las negociaciones internacionales. Los crudos que sirven como “marcadores” en las condiciones actuales del mercado son: (1) el West Texas Intermediate (WTI), para el mercado de EUA, que se negocia en el New York Mercantile Exchange (NYMEX) desde 1983, (2) el Brent, para el mercado europeo, que se negocia en el London’s International Petroleum Exchange (IPE) desde 1988, y (3) el Dubai, para el mercado asiático, que se negocia en el Mercado de Singapur. Alrededor de ellos se ha gestado una infraestructura de transporte, almacenamiento y servicios, así como facilidades de información, regulaciones y modalidades de contratos, que permiten que el comercio se realice con eficiencia y certidumbre. Además, estos crudos se negocian bajo modalidades de entrega física (spot), contratos adelantados, futuros, opciones y otros derivados, que facilitan la administración de riesgos. Hoy en día, en el mercado petrolero mundial existen dos crudos “marcadores” que establecen los precios: el WTI y el Brent. La interacción de estos dos marcadores, cuando ambos empiezan a comercializarse (comercio sincronizado) ó cuando sólo el Brent está comercializándose (comercio desincronizado), es importante

porque la mayoría de los participantes toman posiciones en dichos mercados. La importancia del WTI y del Brent como marcadores no radica en el volumen físico de su producción, ni de su comercio, los cuales son un tanto marginales respecto del total mundial, sino en que el mercado les ha asignado una función referencial de valor para las negociaciones del resto de los tipos de crudo. Asimismo, el WTI y el Brent reúnen requisitos de calidad en grados API y en contenido de azufre. Además, el volumen que se negocia diariamente paras estos dos marcadores, en los mercados de futuros o a través de contratos adelantados, supera la producción mundial diaria de petróleo. En el caso de México, para fijar los precios de referencia para exportación del petróleo crudo, de acuerdo al Catálogo de Fórmulas de Precios y Tarifas Interorganismos de Pemex [15], se emplean las siguientes fórmulas: Crudo de exportación a América Puntos de transacción: Cayo Arcas, Dos Bocas, Nuevo Teapan, Pajaritos. Precios de referencia para exportación: Maya = 0.4 (WTS + FO No. 6, 3 % S) + 0.1 (LLS + Brent DTD) + K1 usd/bl Istmo = 0.4 (WTS + LLS) + 0.2 (Brent DTD) + K2 usd/bl Olmeca = 0.333 (WTS + LLS + Brent DTD) + K3 usd/bl Donde: WTS: Precio spot del crudo West Texas Sour en Midland, Platt’s Crude Oil Marketwire (usd/bl) LLS: Precio spot del crudo Lousiana Light Sweet, Platt’s Crude Oil Marketwire (usd/bl) Brent DTD: Precio spot del crudo Brent dated, Platt’s Crude Oil Marketwire (usd/bl) FO No. 6, 3 % S: Precio Spot del Fuel Oil No. 6, con 3 % de azufre CNGM, Platt’s U.S. Oilgram Marketscan (usd/bl) Crudo de exportación a Europa Puntos de transacción: Cayo Arcas, Dos Bocas, Nuevo Teapan, Pajaritos. Precios de referencia para exportación: Maya = 0.527 (Brent DTD) + 0.467 (FO No. 6, 3.5 %S) - 0.25 (FO No. 6, 1 %S - FO No. 6, 3.5 %S) + K4 usd/bl Istmo = 0.887 (Brent DTD) + 0.113 (FO No. 6, 3.5 %S) - 0.16 (FO No. 6, 1 %S - FO No. 6, 3.5 %S) + K5 usd/bl Donde:

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Brent DTD: Precio spot del crudo Brent dated, Platt’s Crude Oil Marketwire (usd/bl) FO No. 6, 3.5 % S: Precio Spot del Fuel Oil No. 6, con 3.5 % de azufre, NW Europe cargo es CIF, Basis ARA, Platt’s European Marketscan (usd/bl) FO No. 6, 1 % S: Precio Spot del Fuel Oil No. 6, con 1 % de azufre, NW Europe cargo es CIF, Basis ARA, Platt’s European Marketscan (usd/bl) Para obtener el precio de la mezcla mexicana, primero se multiplica el precio de cada crudo por su volumen comercializado; después se suman los tres productos obtenidos (Maya, Istmo y Olmeca); finalmente, se divide el total de los tres productos entre el volumen total de las tres mezclas, siendo este cociente el precio de la mezcla mexicana. 4.1.4 Mercado de futuros En el mercado líquido, las compras y las ventas del petróleo para entrega inmediata son realizadas a un cierto precio, al cual denominaremos el “precio spot”. Debido a que el precio del petróleo es muy volátil, productores y consumidores buscan formas de administrar este riesgo. En respuesta a esta necesidad, han aumentado considerablemente los mercados que permiten administrar el riesgo de negociación de este commodity. Los instrumentos negociados en estos mercados incluyen futuros, contratos adelantados, opciones, swaps y otros derivados. Los contratos de futuros están entre los derivados más importantes, ya que proporcionan información relevante sobre los mercados líquidos (de pago en efectivo) y de almacenamiento [16]. Un contrato adelantado es un acuerdo para entregar una cantidad especificada de un commodity con una fecha futura definida y a un precio previamente establecido (el “forward price”) que será pagado en el momento de la entrega. Las especificaciones del commodity y del punto de entrega (así como la cantidad, precio y fecha de entrega) son definidas claramente en el contrato. Existen dos partes involucradas en un contrato: el comprador (posición larga), quien recibirá el commodity y pagará el precio pactado, y el vendedor (posición corta), quien entregará el commodity. Los contratos adelantados son frecuentemente negociados directamente entre los productores y los consumidores industriales del commodity. Estos contratos tienen dos limitantes: (1) falta de liquidez (por ejemplo, si después de un mes

se descubre que no hay petróleo, entonces no se necesitara mantener vigentes los contratos adelantados), y (2) el riesgo de que no cumpla la contra parte. Los contratos futuros están diseñados para salvar estas dos limitantes [16]. Un contrato de futuros es también un acuerdo para entregar una cantidad especificada de un commodity con una fecha futura definida y a un precio previamente establecido (el “futures price”) que será pagado en el momento de la entrega. Los pagos, sin embargo, son hechos al final de cada día de negociación, conforme cambia el precio de los futuros. Por ende, los contratos de futuros están definidos por el mercado, lo cual significa que hay un “ajuste” entre compradores y vendedores al final de cada día de negociación. De tal suerte que alguien puede usar precios de futuros para medir la ganancia marginal. Los contratos futuros son normalmente negociados en mercados organizados de intercambios, tal como el NYMEX, por lo que tienden a ser más líquidos que los contratos adelantados [17]. Los intentos por formar un mercado de futuros de la energía se remontan a los años 1935 y 1942, cuando se negociaron contratos de petróleo crudo en el Commodity Exchange; en 1971 de propano en NYMEX, para entrega en Rótterdam; y en 1974, en plena crisis energética, la misma bolsa introdujo contratos de futuros de petróleo crudo para entrega en el mismo puerto europeo [14]. Sin embargo, fue hasta 1981 cuando el NYMEX introdujo contratos de futuros de gasolina y en 1983 los de petróleo crudo; otras bolsas en el mundo han ofrecido contratos de fuentes de energía, como la IPE, que ofrece de petróleo crudo Brent, Dubai y Nafta, y la Singapure International Monetary Exchange (SIMEX) radicada en Singapur, que negocia petróleo crudo tipo Dubai y crudo con alto contenido de azufre. El NYMEX ofrece actualmente contratos de combustible para calefacción, gasolina y gas natural, cada uno con sus propias modalidades. En sus inicios el mercado no tuvo éxito entre los inversionistas, porque la escasa volatilidad de los precios en los mercados al contado no hacía atractiva la inversión en esos contratos. Además, durante la década de 1970, la OPEP tenía una influencia preponderante en la fijación del precio del petróleo crudo a nivel mundial. A principios de 1980, las modalidades de comercialización de petróleo mostraban los desacuerdos entre compradores y vendedores al definir los términos de los contratos para entrega inmediata. La volatilidad de los precios que surgió en 1986, trajo implicaciones de importancia para el mercado: los compradores aceptaban el riesgo de formalizar

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contratos a plazo, negociando descuentos en compras de contado. La necesidad de manejar el riesgo entre las compras al contado y las de plazo futuro, implicó que las compañías refinadoras de petróleo pusieran una mayor atención en el mercado de futuros, incrementando el volumen de contratos negociados a partir de ese año. La negociación de futuros de petróleo ha traído cambios en la comercialización de los distintos tipos, al utilizar la cotización como marcador en el mercado. Así, las condiciones cambiantes en que se mueven la demanda y oferta de petróleo crudo y de otros petrolíferos, son rápidamente transmitidas por el mercado de futuros, influyendo éste sobre el posicionamiento de los distintos participantes en el mercado spot. Además del precio, principal indicador en un mercado de futuros, el análisis de mercado también considera tanto el volumen como el interés abierto (representa el número total de posiciones abiertas o no compensadas que existen al final de una sesión). El WTI no se comercializa en los mercados internacionales, sino solamente en el mercado de EUA, compitiendo frente a las importaciones y representando el precio de referencia para el voluminoso comercio de petróleo al interior de la economía estadounidense, dada su condición de gran país consumidor. El mercado spot WTI se fragmenta, en la práctica, en dos mercados: un centro de actividad se encuentra en la localidad de Cushing, Oklahoma, donde se negocian y se cruzan contratos de entrega inmediata con otros contratos tipo forward, e incluso con contratos de futuros. En esa localidad se encuentra una importante infraestructura de oleoductos y de servicios relacionados con el transporte de productos petrolíferos, y también se realiza la eventual entrega física comprometida en los contratos de futuros [14]. El otro centro de actividad importante se encuentra en Midland, Texas, desde donde pueden hacerse embarques de petróleo tanto hacia Cushing como a la costa del Golfo de México, donde se hallan varios puertos que son puntos de embarque establecidos en los contratos de entrega inmediata. Los precios WTI spot se cotizan en ambos centros, y cuando las diferencias en las cotizaciones muestran una desviación igual o superior a 25 centavos de dólar, la brecha es cubierta mediante negociaciones sobre premios y descuentos, de acuerdo a las necesidades de los compradores y vendedores. En este caso,

cobra importancia en el marco de las negociaciones el punto de destino del crudo, por lo que los costos de embarque y de transporte tienen una especial relevancia. El Brent, por su parte, sí se llega a negociar y desplazar en las principales plazas petroleras del mundo. Por sistema Brent se conoce a un conjunto de 19 campos de explotación petrolera, de los cuales se extrae crudo que es enviado vía oleoductos hacia la terminal de Sullom Voe, ubicada en las Islas Shetland. Además de los futuros, el Brent se negocia bajo tres modalidades: Dated Brent, 15 Day Brent y Contratos por diferencias [14]. Finalmente, es importante señalar que el mercado de futuros del petróleo observa una fuerte presencia de agentes especuladores (los refinadores de Wall Street) que manejan sus posiciones en función de la volatilidad que presentan los actuales precios del crudo en el ámbito internacional. 4.2 Física Estadística en las fluctuaciones

financieras La aplicación de métodos de análisis estadístico y fractal en el estudio de las fluctuaciones de precios de diferentes activos (acciones, índices accionarios, divisas), ha revelado un número de características robustas que en la física estadística se conocen como “evidencias empíricas universales [18]. A continuación se enlistan los más relevantes [19]: • Los cambios relativos en los precios, en una

buena aproximación, no están correlacionados más allá de una escala de tiempo del orden de 10 minutos (en los mercados líquidos). La distribución de los cambios relativos de precios n es no-gaussiana: existen distribuciones que pueden ser caracterizadas por las colas de Pareto (ley de potencia) η-1-µ con un exponente µ cercano a 3 para los mercados líquidos. Los mercados emergentes poseen aún más eventos extremos en las colas, con un exponente µ que puede ser menor a 2 (en tal caso la volatilidad es infinita).

• Otra extraordinaria característica es la naturaleza intermitente de las fluctuaciones: explosiones localizadas de la volatilidad pueden ser claramente identificadas. Esta característica, conocida como agrupación de la volatilidad (volatility clustering) invoca fluctuaciones intermitentes similares en flujos turbulentos [20]. Este efecto puede ser analizado más cuantitativamente: la función de correlación temporal de la volatilidad diaria puede ser ajustada por una potencia inversa del desplazamiento, con un exponente pequeño en el

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rango 0.1 – 0.3 [21]. Este lento decrecimiento de la función de correlación de la volatilidad conduce a un comportamiento multifractal de los cambios de precios [22]: la kurtosis de la diferencia de los logaritmos de los precios sólo decrece como una pequeña potencia del tiempo, en lugar de la inversa del tiempo como sería el caso si la volatilidad fuera constante o tuviera correlaciones en el corto plazo. Este lento decrecimiento de la kurtosis tiene importantes consecuencias en la teoría de opciones de precios [21].

• El volumen negociado también muestra correlaciones a largo plazo, muy similares a aquellas observadas en la volatilidad. Esto no es sorprendente a partir de que la volatilidad y el volumen negociado están fuertemente correlacionados [23].

• Los cambios de precios pasados y las futuras volatilidades están negativamente correlacionados, esto es llamado el “efecto de apalancamiento” (leverage effect), lo que refleja el hecho de que los mercados llegan a ser más activos después de una caída en el precio, y se apaciguan cuando el precio es alto. Esta correlación es más visible en los índices accionarios y es caracterizada por una escala de tiempo del orden de 10 días [24]. El efecto de apalancamiento conlleva a un sesgo anómalo negativo en la distribución de cambios de precios como una función del tiempo y es también importante para las opciones de precios [25].

• Las tasas de interés correspondientes a diferentes etapas de madurez también evolucionan de una manera correlacionada, lo cual es análogo al movimiento de una cuerda elástica sujeta a ruido.

El mensaje más importante de estos estudios empíricos para diferentes grados de madurez es que el precio se comporta muy diferente a un simple movimiento browniano geométrico, que fue tomado como piedra angular de las matemáticas financieras: los eventos extremos catastróficos son mucho más probables y se observan correlaciones no lineales interesantes (volatilidad–volatilidad y precio–volatilidad). 4.3 Metodología del análisis estadístico y

fractal de precios. 4.3.1 Métodos de Análisis Estadístico El análisis estadístico de las series de tiempo ha sido un problema de suma importancia recientemente. Las distribuciones de Lévy y el análisis espectral, los modelos multifractales, por nombrar algunos, han sido usados como

“herramientas” para entender la esencia matemática en esas series de tiempo financieras. El objetivo básico de todas esas metodologías es el de entender las propiedades matemáticas de la memoria “a largo plazo” contra la memoria “a corto plazo” del mercado (correlaciones a largo plazo contra correlaciones a corto plazo). De acuerdo a los estudios sobre precios de los commodities, tales como el de Hall, Brorsen e Irving [26], el de Chambers y Bailey [27] y el de Williams y Wright [28], las series de tiempo de los precios en efectivo de los commodities tienen dos características en común. En primer lugar, estas despliegan una autocorrelación considerablemente positiva; periodos con precios altos tienden a seguir con altos precios, y periodos con bajos precios tienden a seguir con bajos precios. En segundo lugar, estas tienen picos –periodos en los que el precio brinca abruptamente a un nivel muy alto o a un nivel muy bajo, relativo a su promedio a largo plazo. 4.3.1.1 Distribuciones de Ley de Potencia La variación del precio de un activo financiero puede ser arbitraria. Con el fin de describir un proceso estocástico f(P), para el cual el resultado es un número real, se emplea una densidad de probabilidad f(P), tal que la probabilidad de que Pi esté dentro de un pequeño intervalo de amplitud dP alrededor de P = p es igual a f(p)dp. La investigación empírica en econometría se ha enfocado principalmente en la modelación de la distribución incondicional F(X) = Pr(x < X). La función de densidad probabilística (fdp) es, por lo tanto, definida como su derivada . dXdFXf /)( = La descripción probabilística de los precios financieros, comenzada por Bachelier (1900), inicialmente se enfocó en la independencia y la distribución gaussiana de los cambios de precios. Los analistas financieros han reconocido dos grandes discrepancias entre el modelo de Bachelier y los datos financieros actuales. Primero, los datos financieros normalmente despliegan dependencia temporal en la alternancia de periodos de grandes cambios en los precios con periodos de cambios más pequeños. Segundo, las colas de un histograma de datos analizados son típicamente más gruesas que las pronosticadas por la distribución gaussiana. Mandelbrot [29] señaló la limitación de la distribución normal para modelar la distribución marginal de las series de tiempo financieras y su carácter de cola pesada. Muchas distribuciones empíricas halladas en la economía y otros campos de investigación muestran un comportamiento de ley de potencia. Las distribuciones de ley de potencia no varían ante un a cambio en la escala de tiempo, en el sentido de que la probabilidad relativa

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para observar un evento de cierto tamaño y un evento diez veces más grande es independiente de la escala de referencia [30]. La más antigua y más famosa ley de potencia en la economía es la distribución de la riqueza de Pareto [30]. La distribución de la riqueza individual F(X) es frecuentemente descrita, en su cola asintótica, por una ley de potencia:

010 ,)( XX

XX

XF >>≅ +µ

µ,

donde µ caracteriza el decrecimiento de la distribución para las grandes riquezas (X’s): conforme el valor de µ es más pequeño, el decrecimiento es más lento, y es más grande la brecha entre los más ricos y los más pobres. En resumen, en una población de Pareto de tamaño N, el cociente de la riqueza más grande y la riqueza típica (mediana) crece como N1/µ. En el caso de µ < 1, la riqueza promedio diverge: esta corresponde a una economía en donde una fracción finita de la riqueza total está en manos de muy pocos individuos. Por el contrario, cuando µ > 1, los individuos más ricos sólo poseen una fracción de la riqueza total (en el limite cuando N → 1). Empíricamente, el exponente µ está en el rango 1 2≤≤ µ . Esta cola de Pareto también describe la distribución del ingreso, el tamaño de las compañías, los fondos de pensión, etcétera. Las distribuciones estables de Lévy han aumentado a partir de la generalización del teorema del límite central hacia clases más amplias de distribuciones [30]. Considérese la suma parcial ∑ =

=n

i in XS1

S

de variables

aleatorias , independientes y distribuidas

idénticamente. Si las variables tienen momentos finitos de segundo orden, el teorema del límite central es válido y es distribuida como una gaussiana en el límite cuando

. Si las variables aleatorias están caracterizadas por una distribución, teniendo un comportamiento de ley de potencia asintótico

iX

iX

X

n

∞→n i

F(Xi) ~ Xi

-(1+µ), donde µ < 2, entonces convergerá hacia un proceso estocástico estable de Lévy, de índice

nS

µ en el limite cuando . Excepto para casos especiales, tales como la distribución de Cauchy (

∞→n

1=µ ), las distribuciones estables de Lévy no pueden ser expresadas en forma cerrada. Estas distribuciones son frecuentemente

expresadas en términos de sus trasformadas de Fourier o de sus funciones características. Si X tiene una distribución de ley de potencia, entonces en una gráfica log-log de F(X) o en una función de distribución acumulativa complementaria, asintóticamente el comportamiento será el de una línea recta. Esto proporciona una prueba empírica simple para determinar si una variable aleatoria tiene un comportamiento de ley de potencia, dada una muestra apropiada. Las distribuciones de colas gruesas han sido halladas en muchas variables económicas, desde los rendimientos de acciones hasta el tamaño de las quiebras de las corporaciones. Las colas gruesas son ligeramente definidas arbitrariamente. Intuitivamente, una distribución de colas gruesas es aquella que tiene más peso en las colas que alguna distribución de referencia. El decrecimiento exponencial de la cola es generalmente considerado como la frontera que separa a las distribuciones de colas gruesas de aquellas de colas ligeras. En la literatura, las distribuciones con un decrecimiento de ley de potencia en sus colas son conocidas como distribuciones de colas pesadas. Es a veces aceptado que la distribución de referencia es gaussiana (normal), pero esto no es satisfactorio; ya que implica que las distribuciones exponenciales sean de colas gruesas porque las colas gaussianas decrecen al cuadrado de una exponencial y, por ende, decrecen mas rápido que una exponencial. 4.3.1.2 Autocorrelación La relación esperada entre el valor de una serie en el tiempo t y sus valores en el tiempo t + τ es una medida de la correlación presente en una serie. Una serie de tiempo estacionaria tiene una correlación que sólo depende del periodo de tiempo τ entre las dos observaciones y el decrecimiento hasta cero, lo suficientemente rápido para que τ aumente, reflejando el hecho de que la influencia de los valores anteriores disminuye con los intervalos considerados. La velocidad de este decrecimiento es una medida de la “memoria” del proceso estocástico. Las correlaciones a largo plazo en las series de tiempo son cuantificadas por una función de autocovarianza,

)(tX

ttXtXCov )()()( ττ += , donde

t...

0 t

denota el tiempo promedio en el intervalo

2/T≤≤ :

. )()(1lim)(2/

0∫ +=

∞→

T

TdttXtX

TCov ττ

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Aquí T representa el tiempo total y τ representa un cambio en el tiempo. En la práctica, una medida estadística de correlación más adecuada, contenida en una función, es la función de autocorrelación

)0(/)()( == τττ CovCovC , la cual puede oscilar entre -1 (correlación negativa muy alta) y 1 (correlación positiva muy alta); por ejemplo 1)(1 ≤≤− τC . Desde que las series de tiempo financieras están conformadas por datos discretos, { } , tal que

NkkX ≤≤0

)( 0τkXX k = , donde τ0 es el intervalo mínimo de tiempo, la función de autocorrelación debería ser definida como:

)0()()(

CovnCovnC = ,

donde

∑=

+∞→=

2/

0,1lim)(

N

knkkN

XXN

nCov

y

∑=

∞→=

2/

0

2 ,1lim)0(N

kkN

XN

Cov

donde N representa el número total de datos. El comportamiento de las funciones de autocorrelación, cuando 0→τ ( ) y 0→n

∞→τ ( ), determina las propiedades locales de las series de tiempo. Para un ruido blanco, donde el valor en un instante no está correlacionado con algún valor previo, la función de autocorrelación es C(τ) = 0 para τ > 0.

`∞→n

Muchas de las series de tiempo no estacionarias están caracterizadas por correlaciones a corto plazo con una escala de tiempo característica, τ0, y una función de autocorrelación decreciente exponencialmente, por ejemplo

( )./exp)( 0τττ −∝C Si la función de autocorrelación C(n) escala con el intervalo n como

β−∝ nnC )( , para n muy grande, donde 0 < β < 1, entonces

es llamada correlación a largo plazo ó proceso con memoria a largo plazo. La razón de emplear estos términos es que C(n) decrece muy

lentamente, de tal forma que ∑ diverge

cuando

{ iX }

n)=

N

nC

1(

∞→N .

H n2 1−+nC )( ∝

0 ≤≤ H

Hn21−)1(2 Hn −−

(τX ∆+

Si una serie de tiempo posee una invarianza estadística auto-afín (tal como el movimiento browniano fraccional), se comporta como )(nC

( )HH nn 22 21 −+ donde 1 es el llamado exponente de Hurst. Por lo tanto, la función de autocorrelación de series auto-afínes despliega un comportamiento de escalamiento de la forma:

nC )( ∝ si 0→n)(nC ∝ si ∞→n .

Para detectar la existencia de memoria en las series de tiempo de la volatilidad del precio, )(τX , se empleó la función de autocorrelación

)(/)())( 2 ττττ XXC =∆ . 4.3.2 Métodos de Análisis Fractal Si se compara el perfil del crecimiento de interfaces rugosas en medios desordenados con el trazado de las fluctuaciones en el precio de algún commodity, se puede observar que ambas curvas tienen geometrías complejas e irregulares. El concepto de fractales está estrechamente relacionado a los conceptos de “renormalización de grupos”, “solución auto-similar” y “asíntota intermedia”. En años recientes, para entender la naturaleza de las estructuras desordenadas y su formación mediante procesos aleatorios, se han desarrollado los conceptos fractales, introducidos por B. B. Mandelbrot [2]. Los conceptos de fractales se han aplicado a las ciencias naturales por varias razones. La auto-similaridad y la auto-afinidad son los conceptos que unifican áreas como fractales, ley de potencias y caos. La auto-similaridad, o invarianza bajo cambios de escala o tamaño isotrópico, es un atributo de muchas leyes de la naturaleza y de una infinidad de fenómenos en el mundo que nos rodea. De hecho, la auto-similaridad es una de las simetrías fundamentales que rigen el universo. De igual manera, la auto-afinidad, o invarianza bajo cambios de escala o tamaño anisotrópico, y es un atributo de muchas superficies e interfaces que se presentan en algunos fenómenos naturales y económicos. 4.3.2.1 Exponente de Hurst Un indicador para determinar si un fenómeno o una serie de tiempo presentan un comportamiento

11

fractal es el exponente de Hurst “H”, que mide la intensidad de dependencia a largo plazo de una serie de tiempo. Se dice que el fenómeno analizado es aleatorio cuando H = 0.5 (ruido blanco), que es persistente cuando 0.5 < H < 1 (existe invarianza en la escala asociada a correlaciones positivas a largo plazo), y que es anti-persistente cuando 0 < H < 0.5 (existe invarianza en la escala asociada a correlaciones negativas a largo plazo). Algunos métodos de análisis fractal de trazado auto-afín para determinar el exponente de Hurst son los siguientes: del Rango Reescalado ( ), del Espectro de Potencia ( ), de Rugosidad-Longitud ( ), del Variograma (V ) y de Ondoletas (

HSR τ∝/12 −−∝ HP τ

[ ]

HSD τ∝H2τ∝

2/1,( +HaW ) ∝b

ab)( =aXW ).

4.3.2.2 Análisis del Rango Reescalado El método estadístico del rango reescalado (R/S), propuesto por Mandelbrot y Wallis [31] y basado en un previo análisis hidrológico de Hurst [32], permite el cálculo del parámetro de auto-similitud H para medir la intensidad de dependencia a largo plazo de una serie de tiempo. Para una serie de tiempo de longitud n,

, R/S es definido como el cociente del rango máximo normalizado de la señal integrada R(n) entre la desviación estándar S(n):

{ ntXX t ,...,2,1: == }

{ } { }

, )(

,...,2,1:,0min,...,2,1:,0max)()(

2 nS

ntrntrnSnR tt =−=

=

donde ∑ ∑= =

−=k

t

n

t ttk XnkX

1 1r

y . 11)(2/12

1 1

−= ∑ ∑

= =

n

t

n

ttt X

nX

nnS

Una medición confiable de S(n) requiere de una muestra de datos con un intervalo constante dn, ya que la diferencia esperada entre los valores constantes de X es una función de la distancia que separa a éstas. Si el trazo es auto-afín, el valor esperado de R/S tiene un escalamiento cuando Hn ∞→n . La exactitud en la determinación de H, en todos los intervalos de tiempo, depende del número de datos que sean utilizados en el cálculo. Si dicho número es razonablemente grande (es decir, cuando el intervalo del tiempo máximo es trazado varias veces), se espera que la curva R/S

proporcione información sobre la auto-similitud de todos los intervalos de tiempo. El mayor inconveniente del análisis R/S es que la teoría de la distribución asintótica no ha sido derivada para el parámetro H. 4.3.2.3 Método del Espectro de Potencia Otro método de determina la existencia de dependencia a largo plazo en las series de tiempo, es con base en la forma espectral de un proceso dependiente a largo plazo. Los métodos del espectro de potencia, que tienen su origen en el análisis espectral, pueden ser aplicados a los datos de series de tiempo. La función de densidad del análisis espectral para datos aleatorios describe los datos en términos de la densidad espectral del valor del cuadrado de su media para diferentes frecuencias. La función de densidad del espectro de potencia es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación:

∑∞

=

+=1

2cos()(2)0()(n

nnCCS πωω )

α−

.

Si obedece a una relación de escalamiento de ley de potencia, entonces , donde

)(nCωω ∝)(S

βα −= 1 para pequeños ω . Para las series auto-afines tenemos que .21 H+1 =−= βα 4.3.2.4 Método de Rugosidad-Longitud Este método es muy parecido al R/S. En el método rugosidad-longitud (R-L) se toma en cuenta la desviación estándar, o rugosidad de la raíz cuadrada de la media de los datos (RMS) en las ventanas de tamaño w, en vez del rango vertical [33]. Para un trazado auto-afín, la rugosidad RMS, SD, (donde S es la desviación estándar) medida en una ventana de tamaño w es relacionada al exponente de Hurst H como sigue:

HSD τ∝ 4.3.2.5 Método del Variograma La distribución del tiempo de Xi puede ser caracterizada por una función de semivarianza, llamada variograma, la cual se define como

22/

0)(

21)( ni

N

ii XX

NnV +

=

−= ∑ ,

donde N es el número de parejas de puntos separados por un intervalo n (el defasamiento del intervalo). Cuando la semivarianza estimada es graficada contra n, esta puede aproximarse asintóticamente a un valor constante (umbral) o puede incrementarse sin límites conforme se

12

incremente n. Los variogramas sin límites sugieren que la variación esta dándose en un rango continuo de escalas de tiempo. Tanto el variograma transitivo, con un umbral finito, y los variogramas sin límites pueden ser analizados en una gráfica log-log. Si el logaritmo de una semivarianza es graficado contra el logaritmo de n, entonces la pendiente es 2H. Un problema con el método del variograma es que el intervalo de la muestra n y la determinación de la pendiente pueden afectar la estimación del exponente de Hurst H. 4.3.2.6 Método de Ondoletas Las ondoletas son una extensión del análisis de Fourier, y la transformada de las ondoletas es computacionalmente similar, en principio, a la transformada rápida de Fourier (FFT: fast Fourier transform). La FFT utiliza cosenos, senos y exponentes para representar una señal, y es la más usada para analizar funciones lineales. A partir de que se sabe que muchas series de tiempo despliegan un comportamiento caótico no lineal, el análisis de Fourier es menos apropiado para analizar dichas series. El objetivo de la transformada de las ondoletas es el de expresar una señal de entrada en una serie de coeficientes de “energía” especificada. Los números discretos, asociados con cada coeficiente, contienen toda la información necesaria para describir completamente la serie, en la que uno conoce qué análisis de ondoletas fue empleado para la descomposición. El método del coeficiente promedio de la ondoleta (AWC: the Average Wavelet Coefficient Method) utiliza la transformada de la ondoleta [34] para medir la auto-afinidad temporal de las correlaciones; es decir, es el método para medir la exponente de Hurst H. Esto se hace mediante la transformación de la serie de tiempo, X(t), al dominio de las ondoletas , donde denota un parámetro de escala y b indica trazados. El método AWC consiste, para una escala dada de

, en encontrar una “energía” (ondoleta) representativa o amplitud a una escala especifica. Esto puede ser realizado al tomar el promedio aritmético de W sobre todos los trazados del parámetro b , correspondiente este último a un valor de en la misma escala. Se puede, por ende, construir, a partir de la transformada de la ondoleta de X(t), el espectro de AWC W , que sólo depende de la escala , y que fue definido anteriormente. Si X(t) es un proceso auto-afín, caracterizado por H, este espectro se escalaría como sigue

);]([ baXW

)]([ aX

a

);b

a

](aX[

a

a

[ ] .

]([X

),()( 2/1+∝= Hb

abaWaXW

Luego entonces, si nosotros graficamos W , en una escala logarítmica, la pendiente debería ser H + ½, si la señal es auto-afín. Se puede decir que este método es de multi-escala, en el sentido de que el comportamiento a diferentes escalas no tiene influencia de ninguna manera significativa; o sea, el método desacopla escalas.

)a

El análisis de ondoletas es una herramienta para analizar variaciones de potencia localizadas, mediante la descomposición de una serie de tiempo en el espacio de frecuencia de tiempo, con el fin de determinar los modos dominantes de la variación y cómo estos modos cambian con el tiempo. Este método es apropiado para el análisis de series de tiempo no estacionarias; es decir, en donde la varianza no permanece constante con el tamaño de la cantidad de datos analizados. Las propiedades fractales están presentes donde el espectro de potencia de la ondoleta es una función de ley de potencia de la frecuencia. El método de las ondoletas se sustenta en la propiedad de trazado auto-afín de las transformadas de las ondoletas, estas últimas con propiedades de auto-afinidad. 4.4 Análisis y discusión de resultados 4.4.1 Definición del objeto de estudio Para el presente trabajo se analizaron las propiedades estadísticas de los precios spot “constantes” del WTI, sin tomar en cuenta fines de semana ni días festivos. Estos registros comprenden del 02 de enero de 1986 al 30 de diciembre de 2002 (4,300 datos), los cuales se obtuvieron de la base de datos Bloomberg L.P.@ [35]. Se estudiaron los precios spot del WTI porque, junto con el crudo Brent, hoy en día es el crudo marcador que establece los precios en el mercado petrolero mundial, incluyendo los tres crudos mexicanos y la mezcla mexicana. Cuando los economistas analizan la evolución del precio de algún commodity en el tiempo, consideran los precios constantes porque en éstos está implícito el efecto inflacionario en el tiempo. Los precios constantes se obtienen a partir de los precios corrientes (precios vigentes en el mercado al momento de realizar la transacción). En este trabajo todos los precios spot corrientes fueron convertidos a precios constantes, considerando la inflación de Estados Unidos de 1983 como base. Las inflaciones mensuales de ese país, desde 1986, fueron proporcionadas por la Gerencia de Planeación Estratégica del Instituto Mexicano del Petróleo (IMP).

13

Para convertir los precios spot corrientes del WTI a precios constantes de 1983, se multiplicó el precio spot corriente por el cociente resultante de dividir la inflación de 1983 (año base) entre la inflación del mes en que se encuentra el precio corriente. Por ejemplo, el precio spot corriente del 24 de diciembre de 2002 fue 32.13 usd/bl, la inflación de 1983 fue 99.60 % y la inflación de diciembre de 2002, respecto a 1983, fue de 181.95 %; entonces el precio constante del 24 de diciembre de 2002, a valor de 1983, es de 17.59 usd/bl (31.13*[99.60 / 181.95]). En la Figura 2a se muestra el comportamiento de los precios spot del WTI como precios corrientes (curva superior ‘punteada’) y como precios constantes de 1983 (curva inferior “continua”).

Figura 2 . (a) Evolución de precios WTI (1986–2002): (b) Rendimientos logarítmicos de precios,

indicando grandes fluctuaciones en estos. (c) Volatilidad de precios WTI, siendo la Guerra del

Golfo Pérsico el evento que más volatilidad generó. En esta figura se presenta la evolución del precio del WTI (1986–2002), en donde se señalan con flechas los diez eventos que han

propiciado mas volatilidad en el mercado petrolero mundial: (1) fracaso en la negociación de la OPEP (marzo, 1986), (2) restablecimiento de cuotas y recuperación parcial (septiembre, 1987), (3) entrada en operación del campo Frigg del Mar del Norte (octubre, 1998), (4) invasión de Kuwait por Irak (septiembre, 1990), (5) la Agencia Internacional de Energía aplica plan de contingencia al iniciar Guerra del Golfo Pérsico (marzo, 1991), (6) caída más drástica de la demanda en la década (marzo, 1994), (7) recuperación económica e invierno frío (noviembre, 1996), (8) recesión de las economías asiáticas (octubre, 1998), (9) disciplina en la OPEP y negociación con productores no-OPEP (septiembre, 2000) y (10) recesión mundial y en Estados Unidos (desde 2001). 4.4.2 Análisis Estadístico El análisis estadístico de precios y volatilidad consistió en determinar si el comportamiento de algunos parámetros estadísticos indica la existencia de distribuciones de colas pesadas (persistencia).

5

15

25

35

45

1986 1990 1994 1998 2002

Prec

io, $

/b 2

3

4

56

107

8

9

1

a

-0.3

-0.2

0.0

0.2

0.3

1986 1990 1994 1998 2002

Log-

retu

rn, δ

b

0.0

2.0

4.0

1986 1990 1994 1998 2002

Vola

tilid

ad, σ

c

Precios Se dividieron los precios en horizontes de tiempo con una variación de diez en diez, a partir de un intervalo de diez datos: 10, 20, 30,…, 280, 290 y 300. Se calculó para cada horizonte la kurtosis. Se obtuvo el promedio de este estadístico en cada horizonte, graficándolo en escala log-log. En la Figura 3 se observa que el exponente de la ecuación, en la gráfica de la kurtosis, es negativo, indicando que no existe comportamiento de ley de potencia (exponente mayor a 0.5); además, el valor promedio global de la kurtosis es negativo (-0.26), señalando que los precios por si mismos no se comportan como una distribución de colas pesadas.

y = 0.328x-0.1825

R2 = 0.02990.01

0.10

1.00

1 10 100

Figura 3. Kurtosis de precios WTI. Asimismo, se aplicó el software @Risk 4.0 [36] para ajustar los precios a la mejor distribución de probabilidad, que resultó ser la distribución Logística simétrica (Figura 4).

14

0

0.04

0.08

0.12

0.16

5 15 25

Figura 4. Distribución de probabilidad para precios:

Logística (α = 13.9726 y β = 1.6231) @Risk, desarrollado para analizar situaciones sensibles al riesgo, ordena las distribuciones de probabilidad, empezando con las que mejor ajustan los datos, a través de tres criterios estadísticos: el de la Chi-square, el de Anderson-Darling, y el de Kolmogorov-Smirnov. Volatilidad El término volatilidad representa una medida general de la magnitud de las fluctuaciones del mercado. La volatilidad de precios se manifiesta en la mayoría de los instrumentos financieros, por lo que es importante en los modelos de fijación del precio de los activos y en la dinámica de las estrategias de cobertura, así como en la determinación de opciones de precio [37]. Diferentes estimadores pueden ser usados para medir las fluctuaciones de los precios. En finanzas, la volatilidad es típicamente caracterizada en términos de la desviación estándar de los precios para una escala de tiempo en particular (ver Figura 1c). Por lo que también se calcularon las volatilidades históricas de los precios, para diferentes horizontes de tiempo: n , con la ecuación

100,...,3,2=

( )∑ =− −+−=

n

in PiPnV1

221 )()()1()( τττ ,

donde el valor promedio de P2(τ) denota el tiempo promedio de negociación y τ es el tiempo para realizar las transacciones (excluyendo fines de semana y días festivos). Para saber si existen distribuciones de colas pesadas, se dividieron los datos de la volatilidad en horizontes de tiempo de cinco datos, a partir de un intervalo de cinco: 5, 10, 15,…, 415, 420 y 425; se calculó, para cada horizonte la kurtosis, obteniéndose sus promedios y graficándolos en escala log-log (Figura 5).

En la Figura 5 se observa que el exponente de la ecuación que describe la curva de la kurtosis es mayor que 0.5 (1.2042), lo que indica que la volatilidad se comporta como una distribución de colas pesadas. Además, entre mayor es el rango de datos analizados, aumenta el valor de la kurtosis; por ejemplo, para un rango de 5 datos, su valor es de y 0.49, mientras que para un rango de 425, su valor es de 37. Finalmente, se aplicó el software @Risk [36] para ajustar los datos a la mejor distribución de probabilidad. Se analizaron los parámetros estadísticos de las cinco distribuciones mejor calificadas y más repetidas, mediante el criterio del exponente de Hurst, con el fin de determinar en qué momento ocurría un cambio en el tipo de distribución para la volatilidad; en otras palabras, se estudió en qué momento ocurre un cambio de comportamiento anti-persistente a persistente, o viceversa.

y = 0.0258x1.2042

R2 = 0.92040.1

1

10

100

1 10 100 1000

Figura 5. Kurtosis de volatilidad de precios WTI. 4.4.3 Análisis Dinámico-Fractal Para el análisis dinámico-fractal, se aplicaron dos enfoques: (i) función de autocorrelación y (ii) exponente de Hurst H, a través de cinco métodos de análisis fractal de trazado auto-afin. Función de autocorrelacion. La relación esperada entre el valor de una serie en el tiempo t y sus valores en el tiempo t + τ es una medida de la correlación presente en una serie. En el presente trabajo, para detectar la existencia de memoria en los precios y en la volatilidad ) , se empleó la siguiente expresión matematica para calcular la función de autocorrelación

(τX

)(/)()()( 2 τττττ XXXC ∆+=∆ .

Cabe señalar que se desarrolló un programa en el Lenguaje Fortran 95 para obtener la función de autocorrelacion de los datos analizados.

15

Cálculo del exponente de Hurst H. Un indicador para determinar si un fenómeno o una serie de tiempo presentan un comportamiento fractal, es el exponente de Hurst “H”, que mide la intensidad de dependencia a largo plazo de una serie de tiempo. Se dice que el fenómeno analizado es aleatorio cuando H = 0.5 (ruido blanco), que es persistente cuando 0.5 < H < 1 (existe invarianza en la escala asociada a correlaciones positivas a largo plazo), y que es anti-persistente cuando 0 < H < 0.5 (existe invarianza en la escala asociada a correlaciones negativas a largo plazo). Los métodos de análisis fractal de trazado auto-afín empleados para determinar H fueron: rango reescalado (R ), espectro de potencia ( 1P ), rugosidad-longitud ( SD ), variograma (V ) y ondoletas (

HS τ∝/

∝

2 −−∝ Hτ

[ ]

Hτ∝H2τ

2/1+= W ),(b

ba)(aX ∝ HaW ). Los valores de H

en todos los métodos fueron obtenidos con el software Benoit 1.3 [33]. Precios Para obtener la función de autocorrelación de los precios, se aplicó el programa desarrollado en Fortran a la serie de precios, graficando los datos de autocorrelación obtenidos (Figura 6). La autocorrelación de precios tiene variaciones de valores positivos a negativos y viceversa. Por tal motivo, fue necesario hallar y analizar el punto en el cual la curva sigue comportándose como una ley de potencia (último valor positivo antes de ocurrir el primer cambio de signo.

-0.3

0

0.3

0.6

0.9

0 1000 2000 3000 4000 Figura 6. Función de autocorrelación para precios.

Para el análisis dinámico-fractal se dividió la serie de tiempo (4,300 datos) en intervalos de 4,260, 2,130, 1,065, 532, 266, 132 y 66 datos; se obtuvo H para cada intervalo u horizonte y de manera global, mediante cada uno de los métodos de análisis fractal de trazado auto-afín señalados. En la Tabla 1, se demuestra que los precios, por si mismos, tienen un comportamiento aleatorio (impredecible), ya que las H’s de todos los

rangos y métodos fluctuaron alrededor de 0.5, en tanto que la H promedio global fue de 0.5. Volatilidad Para calcular la función de autocorrelación de la volatilidad, se determinó la volatilidad de precios por semana; es decir, el precio inicial fue el primer día hábil de la semana y el precio final el último día hábil. Se aplicó el programa desarrollado en Fortran a los valores de volatilidad. Finalmente, se graficaron los valores de autocorrelación. En la Figura 7 se presenta la gráfica de autocorrelación para la volatilidad. Al igual que en el caso de precios (cambios de valores positivos a negativos y viceversa), se analizó el último punto (antes del primer cambio de signo).

Tabla 1. Exponente de Hurst H para los precios WTI (1986 – 2002)

4,260 2,130 1,065 532 266 132 66 PromedioR/S 0.529 0.539 0.527 0.531 0.553 0.538 0.420 0.520R-L 0.444 0.415 0.412 0.445 0.372 0.381 0.412VG 0.454 0.449 0.466 0.468 0.453 0.469 0.460

W_Z 0.540 0.560 0.546 0.567 0.551 0.566 0.568 0.557W_T 0.537 0.545 0.555 0.568 0.538 0.546 0.584 0.553

0.501 0.502 0.501 0.516 0.493 0.500 0.524 0.500

-0.1

0.1

0.3

0.5

0 200 400 600 800

Figura 7. Función de autocorrelación para volatilidad. La volatilidad presenta correlación a largo plazo (H global = 0.706). Entre mayor sea el número de datos para calcular la volatilidad, se incrementa el valor de H obtenido por cualquiera de los métodos. Por ejemplo, para la escala de n = 5, la H promedio fue de 0.436 (anti-persistencia), en tanto que para n = 100, H promedio fue de 0.966 (persistencia). 4.4.4 Análisis y discusión de resultados En la Figura 8 se observa que la función de autocorrelación de los precios decrece exponencialmente como ( 0/exp )ττ∆∝C , con un tiempo característico 1200 =τ días hábiles (casi la mitad de un año laborable). Además, se encontró que el exponente de Hurst para los precios es H = 0.50 + 0.02 (Tabla 1). Por lo tanto, no existen correlaciones a largo plazo en los precios. Esto es

16

consistente con el hallazgo de que la distribución de precios es una logística simétrica (Figura 4). Asimismo, es importante resaltar que estos hallazgos se cumplen para todas las muestras analizadas ( τ∆ ).

,5.0 R

(n

n

0642.0

=n

La volatilidad histórica está en función de dos variables: x (n) y y ( τ∆ ). En la Figura 9 se presentan las volatilidades históricas (con τ∆ = 4096, constante) para n = 3 (a), n = 8 (b) y n = 20 (c), en donde se aprecia que la volatilidad cambia día a día, de tal forma que las volatilidades históricas a diferentes intervalos de tiempo parecen ser similares. Figura 8. Precios spot constantes del WTI en dólares.

La figura insertada muestra que la gráfica R/S se ajusta a una ley de potencia:

. 9953.0/ 2 =∝SR τ

De igual forma, se halló que la volatilidad histórica posee una invarianza estadística auto-afín en un rango amplio de horizontes de tiempo. Esto es V , para 0.01<λ<100 ( significa igualdad en sentido estadístico), donde H cuando

, pero H , si n (ver Figuras 10a y 10b). Por lo tanto, el hallazgo en este trabajo es que la volatilidad a corto plazo,

)() τλλτ VnH≅

04.083.0 ±=991.0n 12≤

≅

n18≥n

),(Vn

=

8<nτ , es anti-persistente, es decir, despliega autocorrelaciones negativas; mientras que a largo plazo la volatilidad histórica es persistente, en otras palabras, los incrementos en la volatilidad están positivamente correlacionados con el numero de días hábiles. Además, se ha encontrado que la transición de la volatilidad, de un estado anti-persistente a uno persistente en , está acompañada de un cambio abrupto en el comportamiento de la función

8

( )}4096{min =∆τnn V versus n (ver Figura 10d). Sin embargo, el tiempo promedio y las desviaciones estándar de )(τnV no son

anómalas en 8=n (ver Figura 10c). A decir, la volatilidad promedio se comporta como

5.0)( nVn ∝τ

τ hasta 700=n ; en tanto que la desviación estándar de la volatilidad histórica se comporta como { })(Vn ∝τ 25 18.0nSD hasta n , pero ésta escala como

=

{ }) 5.0n∝(VSD n τ

04.0

, cuando la volatilidad histórica es caracterizada por la constante 83.0 ±=H (ver Figura 10c). De acuerdo con esto, se infiere que la volatilidad a largo plazo ( 18=n ) satisface la dinámica de escalamiento de la celebre familia Viscek ansatz [38]:

( ) [ ]z)τ

1) ≈x

nVSD

β−= x

nfn β

1>>x

/(∆∝

(fxf )( <<x

=β

66.1=/= βHz

zC n∝τ 8>

,

5

20

35

02/01/1986 06/11/1992 11/09/1999Fecha

Prec

io, $

/bll

y = 0.9985x0.502

R2 = 0.99531

10

100

1 100 10000τ

R/S donde , si , y , si , comúnmente aplicada para describir la rugosidad del crecimiento de interfaces; en este caso,

1

5.0 es el exponente de crecimiento y es el exponente dinámico. También se encontró que el intervalo de correlaciones en la escala de tiempo de negociación se incrementa con el horizonte de la volatilidad como ∆ , cuando n (ver Figura 10a).

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096Dias

Vn

n = 8

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096Dias

Vn

n = 20

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096

Dias

Vn

n = 3

Figura 9. Volatilidades históricas para diferentes horizontes de tiempo: (a) n = 3, (b) n = 8 y (c) n = 20.

17

H = 0.0642n0.991

R2 = 0.99010

0.25

0.5

0.75

1 10 10

H=0.5

H=0.83bH

Defasamiento en el tiempo, n

a2

1

0.1

1

10 100 1000

3

Intervalo de tiempo ∆τ, dias

SD

1

c

2

0.01

1

100

1 100 10000

3

Defasamiento en el tiempo, n

mea

n, S

D

2

1

0.001

0.1

10

1 100 10000

d

Defasamiento en el tiempo n

min

(Vn)

Figura 10. Escalamiento de volatilidad: (a) desviación estándar de volatilidad histórica vs

intervalo de tiempo τ∆, =SD

035 ∆

( )∆τ

, para diferentes horizontes de tiempo: (1) n , (2)

y (3) ; (b) H de

volatilidad histórica versus intervalo de tiempo n; (c) media (1) y desviación estándar (2 y 3) de volatilidad histórica versus intervalo de tiempo, n (puntos: datos experimentales, líneas: ajustes a ley de potencia): (1)

( ) 95.0,084.03 213.0 =∆= Rτ

( ) 98.0,.0 250.0 == Rτ

99.0,017.0 283.0 == R,8= SDn

,20 SD=n

999.0,) 25. == Rτ

τ

995.018.0 2 == R

998.,45.0 R

97.0,) 295. == RVn

993.0,) 266.0 == Rnn

5.1 0n

,26.0n

02 =

10 35− n

014.0

(Vn

SD

1.0= n

min(

min(V

, (2)

y (3) ; y (d) mínimo de

volatilidad histórica vs horizonte de tiempo (puntos: datos, líneas: ajustes a leyes de potencia): (1)

y (2) ).

SD

Por otra parte, también se investigó la distribución de probabilidad de las volatilidades, descubriéndose que para pequeños intervalos de tiempo, , la probabilidad condicional de la volatilidad histórica es mejor ajustada por la distribución de colas ligeras Pearson (ver Figura 11a):

8≤n

−Γ

−= −

+−

ργ

αργ

α

αnn

nVV

exp)(

)()

)1(

Vf ( =, con 1.06.3 ±α ,

) y 95.0(48.0 234.0 == Rnρ (13.0 69.0= − Rnγ ).97.02 = Donde es la función gama, mientras que para intervalos de tiempo , la probabilidad condicional de la volatilidad histórica es la distribución Log-logística (ver Figura 11b):

8>n

[ ]

[ ]{ }2

1

/)(1

/)()(

α

α

ργρ

ργα

−+

−=

−

n

nn

V

VVf , 0

con 07.055.2 ±=α , y

),

2

998.0(104.0 2385.0 == Rnρ).996.0(0082 2744.0 =Rn.0=γ

0

b

1

2

0 0,5 1 1,5

V18

fa

0

1

2

3

0 0,5 1 V3

f

Figura 11. Distribuciones de probabilidad de volatilidad para horizontes de: (a) n = 3 y (b) n = 18: (a) distribución Pearson (p=0.41); (b) distribución Log-logistica (p=0.38) Entonces, la distribución de volatilidad a largo plazo es de colas pesadas, pero está fuera del rango de la distribución estable de Lévy [37] 0 << α (nótese que es independiente del horizonte de la volatilidad para , y las distribuciones para diferente n colapsan en una curva, (ver Figura 12). El aparente comportamiento de escalamiento de la distribución de volatilidad Log-logística podría ser atribuido a amplia persistencia de su función de autocorrelación.

8>n

0.001

0.01

0.1

1

1 10S/median(S)

1 - F

100

Fig. 12. Volatilidad normalizada a largo plazo.

18

5 Conclusiones Al analizar los precios constantes del crudo WTI (1986–2002), se concluye que los precios por si mismos tiene comportamiento aleatorio: distribución logística simétrica, valor negativo de kurtosis (-0.46) y exponente de Hurst = 0.5). Lo anterior es válido para todos los horizontes de tiempo analizados. Además, la función de autocorrelación de precios decrece exponencialmente como )( 0/exp ττ∆∝

120=C , con un

tiempo característico 0τ días hábiles (casi la mitad de un año laborable). Con respecto a la volatilidad de precios, se concluye lo siguiente: a) La volatilidad cambia día a día, de tal forma

que las volatilidades históricas a diferentes intervalos de tiempo parecen ser similares. Asimismo, se concluye que la volatilidad a corto plazo, V , es anti-persistente (distribución Pearson, despliega autocorrelaciones negativas y H < 0.5); mientras que a largo plazo es persistente (distribución Log-logística, los incrementos en la volatilidad están positivamente correlacionados con el número de días hábiles y H = 0.83

8),( <nn τ

+ 0.04). b) La volatilidad a largo plazo satisface la

dinámica de escalamiento de la celebre familia Viscek ansatz

( ) [ ]zn nfnVSD )/( τβ ∆∝

β−= xxf )( 1>>x (f

, donde , si , y , si 1) ≈x 1<<x ,

comúnmente aplicada para describir la rugosidad del crecimiento de interfaces; en este caso, 5.0=β es el exponente de crecimiento y 66.1=/= βHz es el exponente dinámico.

c) El intervalo de correlaciones en la escala de

tiempo de negociación se incrementa con el horizonte de la volatilidad como ∆ , cuando .

zC n∝τ

8>n d) Los hallazgos presentados en este trabajo

sugieren que la dinámica de la volatilidad de precios está gobernada por un estado crítico auto-organizado (SOC: self-organized criticality), parecido a los que comúnmente ilustra, de manera conceptual, las avalanchas en una pila de arena [39]. La característica más esencial del SOC es que el sistema evoluciona a un estado crítico sin algún cambio aparente en sus parámetros. El sistema salta de un estado metaestable a otro a través de la dinámica de avalanchas.

e) La distribución de avalanchas, definida como

, mejor se ajusta por la

distribución Log-logística con )()(),( 1 τττ nn VVnS −= +

0=γ , y 68.075.0 −= nρ 46.1 02.0±=α , obedeciendo a

una cola de ley de potencia F . 46.1−S1−∝ f) La volatilidad del precio evoluciona a través de

estados transitorios, sin llegar al estado crítico, hasta alcanzar un atractor dinámico en equilibrio (dentro del estado crítico). Este comportamiento puede ser interpretado en términos de avalanchas a cualquier escala [40,41], que permiten la construcción de correlaciones a largo plazo en la volatilidad de los precios.

g) Las simulaciones Monte Carlo de la rugosidad

frontal del reactivo ion etch [42] predice una dinámica de avalancha similar, conduciendo al régimen de rugosidad frontal a una transición continua de anti-persistencia a persistencia. Esto nos posibilita para emplear un modelo similar para simulaciones de la volatilidad histórica de los precios del petróleo.

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19

[9] Sethna, J. P., Dahmen, K. A. & Myers, Ch. R. Crackling noise, Nature 410, 242-250 (2001).

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[34] Simonsen, I. Measuring Anti-Corrrelations in the Nordic Electricity Spot Market by Wavelets. arXiv:cond-mat/0108033 v1 (agosto, 2001)

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20

dynamics in a pile of rice, Nature 379, 49-52 (1996).

[40] Peczuski, M., Maslov, S. & Bak, P. Avalanche dynamics in evolution, growth, and depinning models, Phys. Rev. E 53, 414-443 (1996).

[41] Drotar, J. T, Zhao, Y.-P., Lu, T.-M. & Wang, G.-C. Mechanisms for plasma and reactive ion etch-front roughening Phys. Rev. B 61, 3012- 3021 (2000).

21

Anexo J

148

ANEXO J

J.1 Congresos Oswaldo Morales M., Alexander S. Balankin, Ernesto Gálvez M., Alfonso Pérez A. Dinámica Fractal de la Volatilidad del Precio del Petróleo; 70 Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas, ESIME-IPN, México (2003). Ernesto Gálvez M., Oswaldo Morales M., Alexander S. Balankin, Análisis Fractal en Mercados Accionarios, 70 Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas, ESIME-IPN, México (2003).

Anexo J

149

Anexo J

150

Anexo K

151

ANEXO K

K.1 Reconocimientos

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL COORDINACION GENERAL DE POSGRADO E INVESTIGACION

CARTA CESION DE DERECHOS En la Ciudad de México, Distrito Federal, el día 13 del mes de enero del año 2004, el (la) que suscribe Oswaldo Morales Matamoros, alumno(a) del Programa de Doctorado en Ciencias con especialidad en Ingeniería Mecánica, con número de registro A 020337, adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME Unidad Zacatenco, manifiesta que es autor(a) intelectual del presente Trabajo de Tesis bajo la dirección del Dr. Alexander Balankin y cede los derechos del trabajo intitulado: Modelos mecánicos de la dinámica fractal del mercado petrolero, al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación. Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, graficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección: [email protected]. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo. _____________________________________

Oswaldo Morales Matamoros

“modelos mecanicos de la dinamica fractal del...

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