ap mat potenciacao
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1
Colégio Trilíngüe Inovação
Rua Mato Grosso 420-E
Fone/Fax: (49) 3322.4422
Chapecó – Santa Catarina
CEP. 89801-600
Prof. Denise Ortigosa Stolf
Textos
Sumário
Potenciação ............................................................................................................................................... 2
Potência de um número real com expoente natural .............................................................................. 2
Propriedades ...................................................................................................................................... 2
Potência de um número real com expoente inteiro negativo ................................................................ 6
Sinal de uma potência de base não nula ............................................................................................ 6
Potências de 10...................................................................................................................................... 9
Notação científica ........................................................................................................................... 10
Radiciação ............................................................................................................................................... 12
Raiz enésima de um número real ........................................................................................................ 12
Radical aritmético e suas propriedades ............................................................................................... 14
Propriedades .................................................................................................................................... 15
Simplificando radicais: extração de fatores do radicando .................................................................. 21
Introduzindo um fator externo no radicando....................................................................................... 25
Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais .......................................................................... 27
Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice e de índices diferentes .......... 31
Produtos notáveis ............................................................................................................................ 35
Potenciação de uma expressão com radicais ....................................................................................... 36
Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária ........................................................... 37
Simplificando expressões com radicais .............................................................................................. 39
Potências com expoente fracionário ................................................................................................... 41
Bibliografia ............................................................................................................................................. 43
2
POTENCIAÇÃO
Potência de um número real com expoente natural
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
43421vezesn
n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ... Exemplo: 222224 ⋅⋅⋅=
a é multiplicado por a n vezes
Propriedades
1ª) Produto de potências de mesma base
Exemplos:
mnmn aaa +=⋅
96363 5555 ==⋅ +
73434 )2()2()2()2( −=−=−⋅− +
2ª) Quociente de potências de mesma base
Exemplos:
mnmn aaa −=:
32525 666:6 == −
53838 )10()10()10(:)10( −=−=−− −
3
3ª) Potência de uma potência
Exemplos:
( ) mnmn aa ⋅=
( ) 105252 101010 == ⋅
( )[ ] ( ) ( )15535
3 888 −=−=− ⋅
4ª) Potência de um produto ou de um quociente
Exemplos:
nnn
nnn
baba
baba
:):(
)(
=⋅=⋅
888 56)56( ⋅=⋅
[ ] 4442:)10(2:)10( −=−
Observação:
Para todo número real a, com 0≠a , temos 10 =a
12
22
4222
82222
0
1
2
3
==
=⋅=
=⋅⋅=
12
22
22
4
2
222
42
8
2
2222
82222
0
1
2
3
==
==⋅=
==⋅⋅=
=⋅⋅=
12222
2
2222
22
422222
22
82222
0111
0
1122
1
2133
2
3
====
====
=⋅====
=⋅⋅=
−
−
−
4
EXERCÍCIOS A1
6) Calcule as potências.
a) 3)13(−
b) 1
14116
5
7) Determine o valor de: 0100150 101100 ++− .
8) Se 5
11−=a , qual o valor de 3a ?
9) Qual é o maior: 2)15(− ou 215− ?
10) Calcule os valores das expressões:
a) 10532222 112)26:43( +⋅−⋅
b)
( ) ( )[ ]21033222 135232:55255 −⋅−⋅−⋅⋅−
11) Determine o valor numérico da expressão acb 42 − para 5=a , 9−=b e 4=c .
6
Potência de um número real com expoente inteiro negativo
Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos:
n
nn
aaa
==− 11, em que n é um número natural e
a
1 é o inverso de a.
Observação: n
n
n
n
n
n
nn
n
a
b
a
b
a
b
b
a
b
ab
a
==⋅==
=
−
111
Exemplos:
a) 49
1
7
17 2
2 ==− c) 4
9
2
3
3
222
=
−=
−−
b) 515
1
511
51
151
1
1
=⋅==
=
−
d) ( )343
8
7
2
2
75,3
333 −=
−=
−=−−
−
Sinal de uma potência de base não nula
Para determinar o sinal de uma potência, podemos considerar o sinal da base e verificar se o expoente é par ou ímpar.
Expoente Base positiva Base negativa
Par Potência positiva
625555554 =⋅⋅⋅=
Potência positiva
625)5()5()5()5()5( 4 =−⋅−⋅−⋅−=−
Ímpar Potência positiva
322222225 =⋅⋅⋅⋅=
Potência negativa
27)3()3()3()3( 3 −=−⋅−⋅−=−
7
EXERCÍCIOS A2
1) Determine o valor de:
a) 117− c) 5
31
−
−
b) 4)6( −− d) 6
23
−
−
2) Escreva cada número sob a forma de potência com expoente inteiro negativo:
a) 310
1 c)
1
16
7
b) 516
1− d) 6
1
xy
3) Calcule o valor de 3
21
4
44−
−− +.
4) Calcule o valor das expressões:
a) 21
32
23
1
3
13 −− +
+
⋅
b) 2121 )322( −−−− ++
5) Simplifique a expressão algébrica 22
11
−−
−−
−+
yx
yx.
6) Aplique as propriedades de potências e simplifique as expressões:
a) 34 −⋅ aa c) 4076 :)( −− aa
b) 211)( −a d) 3
42)(−a
ab
8
7) Aplique as propriedades de potência e reduza as expressões a uma só potência:
a) 1717 22 ⋅+n c) ( )[ ] 475
−n
b) 31
2
1:
2
1+−
−
−nn
d) nn aa :1−
8) Simplifique as expressões e calcule o valor de cada uma delas:
a) 4
3242
3:3
1
3
2
3
2 −−
+
⋅
c) n
n
5
555 121 −+ ⋅⋅
b) ( ) ( ) ( )
2
4253435
10
10:101010 −−− +⋅ d)
1
33
7
321−
−− ⋅n
nn
9
Potências de 10
Para facilitar a escrita de número com muitos dígitos iguais a zero, podemos utilizar potências de 10.
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 positiva, indica que iremos “aumentar” o número de zeros à direita ou “movimentar” para a direita a vírgula tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
54 x 105 = 5400000 Acrescentamos 5 zeros à direita do 54
2050 x 102 = 205000 Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050
0,00021 x 104 = 2,1 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a direita
0,000032 x 103 = 0,032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a direita
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos “diminuir” o número de zeros à direita ou “movimentar” a vírgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
54 x 10-5 = 0,00054 “Movimentamos” a vírgula 5 casas para a esquerda
2050 x 10-2 = 20,5 “Movimentamos” a vírgula 2 casas para a esquerda. Lembrando que 20,5 = 20,50
0,00021 x 10-4 = 0,000000021 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a esquerda
0,000032 x 10-3 = 0,000000032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a esquerda
32500000 x 10-4 = 3250 “Diminuímos” 4 zeros que estavam à direita
Exemplos:
1) A distância da galáxia de Andrômeda à Terra é de aproximadamente:
2.200.000 anos-luz.
2.200.000 = 22 ⋅ 100.000 = 22 ⋅ 105 anos-luz
2) O raio de um átomo mede aproximadamente: 0,00000000005 mm.
0,00000000005 mm = 5 ⋅ 0,00000000001 mm = 5 ⋅ 10-11 mm
10
Notação científica
Físicos, químicos, biólogos, engenheiros, astrônomos e outros cientistas utilizam números com muitos zeros. Como já vimos, estes números podem ser escritos de várias maneiras, usando potências de 10.
A distância do Sol à Terra, por exemplo, é, aproximadamente, 150000000 km e pode ser indicada por 610150⋅ Km ou 71015⋅ Km ou 8105,1 ⋅ Km ou 91015,0 ⋅ Km.
A espessura de um vírus é, aproximadamente, 0,0008 mm ou 4108 −⋅ mm ou 3108,0 −⋅ mm ou 110008,0 −⋅ mm.
Nos trabalhos científicos, para facilitar os cálculos e a comunicação, quando aparecem números com muitos zeros, esses números são escritos numa forma padrão chamada notação científica.
Um número escrito na notação científica é o produto de um número entre 1 e 10 por uma potência de 10.
Assim, a distância do Sol à Terra, em notação científica, é aproximadamente 8105,1 ⋅ km e a espessura
de um vírus é 4108 −⋅ mm.
11
EXERCÍCIOS A3
1) Escreva os seguintes números usando potência de dez:
a) dez bilhões c) um milionésimo
b) 14.400.000 d) 0,00000014
2) Calcule:
a) 5100,00532⋅
b) 310:41,7
c) 31042,3 −⋅
3) Escreva os seguintes números usando notação científica:
a) 7 500 000 000 c) 106 000
b) 0,0000192 d) 0,005024
12
RADICIAÇÃO
Raiz enésima de um número real
Consideremos um número real a e um número natural n, com n ≥ 2.
Vamos examinar o conceito de raiz enésima desse número, indicada pela expressão:
Temos dois casos a examinar:
1º Caso: O índice n é par.
Observe alguns exemplos:
• 981= , pois 819992 =⋅=
• 2164 = , pois 16222224 =⋅⋅⋅=
• 37296 = , pois 72933333336 =⋅⋅⋅⋅⋅=
Já vimos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois ao elevarmos um número real ao quadrado não obtemos um número real negativo. Esse fato se estende quando temos a raiz quarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava,... e assim por diante, de um número real negativo.
Assim:
• 4− não se define em �.
• 4 81− não se define em �.
• 6 1− não se define em �.
Podemos dizer que:
Quando o número real a é positivo (a > 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos que a expressão n a é igual ao número real positivo b tal que abn = .
Quando o número real a é negativo (a < 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos
que a expressão n a não é definida no conjunto dos números reais.
13
É importante notar a diferença entre as expressões 9− e 9− .
9− é o oposto de 9 ; logo, 39 −=− .
9− não se define no conjunto �.
É importante, também, notar a diferença entre as expressões 2)5(− e 25− .
52525)5( 2 ==+=− .
2552 −=− , que não se define no conjunto �.
2º Caso: O índice n é ímpar.
Observe os exemplos:
• 283 = , pois 822223 =⋅⋅=
• 283 −=− , pois 8)2()2()2()2( 3 −=−⋅−⋅−=−
• 531255 = , pois 31255555555 =⋅⋅⋅⋅=
• 531255 −=− , pois 3125)5()5()5()5()5()5( 5 −=−⋅−⋅−⋅−⋅−=−
Através dos exemplos dados, podemos dizer:
Dado um número real a e sendo n é um número natural ímpar, a expressão n a é um único número
real b tal que abn = .
14
EXERCÍCIOS B1
Radical aritmético e suas propriedades
Toda expressão matemática da forma n a , com � � ��, � � � e 2≥n , recebe o nome de radical aritmético.
Observe: n mn
m
aa = (m > 0, n > 0)
Assim:
No radical 5 , o índice é 2 e o radicando é 5.
No radical 3 10 , o índice é 3 e o radicando é 10.
15
Propriedades
1ª) Propriedade
aan n = , com � � ��, � � � e 1>n
Exemplos:
a) 2232 5 55 ==
b) 7749 2 ==
c) 3381 4 44 ==
2ª) Propriedade
pn pmn m aa: := , com 0≠p e p divisor de m e n.
pn pmn m aa⋅ ⋅=
Exemplos:
a) 42:8 2:28 2 333 ==
b) 5 33:15 3:915 9 777 ==
c) 6 632 322 444 == ⋅ ⋅
3ª) Propriedade
nmm n aa ⋅= , com � � ��, � � �, � � �, 1>m e 1>n .
Exemplos:
a) 422 555 == ⋅
b) 24466 4 222 == ⋅
16
4ª) Propriedade
nnn baba ⋅=⋅ , com � � ��, � ��, � � � e 1>n .
Exemplos:
a) 5555 434312 ⋅=⋅=
b) 63232 =⋅=⋅
5ª) Propriedade
n
n
n
b
a
b
a = , com � � ��, � � �� , � � � e 1>n .
Exemplos:
a) 4
4
4
7
5
7
5 =
b) 113
3
3
3 ===
17
EXERCÍCIOS B2
18
19
20
21
Simplificando radicais: extração de fatores do radicando Observe as seguintes expressões:
a) 75757575 22 =⋅=⋅=⋅
b) 333 33 333 33 221732732732 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅
c) 10101010101010 223 =⋅=⋅=
d) 33 23 233 42222232 =⋅=⋅=
e) 29262913229132 22 =⋅⋅=⋅⋅
f) 3 23 2333 243 222 ababaaba =⋅⋅⋅=⋅⋅ Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses fatores podem ser
extraídos do radicando e escritos como fatores externos (sem o expoente).
22
EXERCÍCIOS B3
23
24
25
Introduzindo um fator externo no radicando Observe os seguintes exemplos:
a) Se 32322 =⋅ , então 3232 2 ⋅=
b) Se 33 3 5775 =⋅ , então 3 33 7557 ⋅=
c) Se 55 55 65 2222264 =⋅== , então 55 65 55 6422222 ==⋅= Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um
expoente igual ao índice do radical. Veja agora:
a) 753253535 2 =⋅=⋅=
b) 15 45 3 35 3 xxxxx =⋅=
26
EXERCÍCIOS B4
27
Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais Observe os seguintes exemplos: a)
35
3)111510(
331135310
=+−+
=+−+
b)
75
7151
7)32(5)56(
73557256
+
=+
=+−+−
=+−−
Observações: a)
46,387,4
46,364,223,2
1275
≠≠+
≠+
b)
73,182,0
73,141,123,2
325
≠≠−
≠−
c)
92,673,4
73,1473,13
3433
≠⋅≠+
≠+
Veja agora como simplificar algumas expressões: a)
28
2)35(
2325
3252
185022
=+
=+
=⋅+⋅
=+
28
b)
3
3
333
3 333 333 33
3 43 43 4
4
)235(
235
235
827125
xyx
xyxxx
xyxxyxxyx
yxxyxxyxx
yxyxyx
=+−
=+−
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
=+−
c)
57212
5)310(2)210(
5322510210
5322552252
5322552522
458500200222222
+
=−++
=−++
=−+⋅+⋅
=⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅
=−++
d)
2
1
314
37
314
3532
372
3532
732
5332
1472
7512
2
22
=
=+
=⋅+
=⋅
⋅+⋅
=+
29
EXERCÍCIOS B5
30
31
Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice e de índices diferentes • Se os índices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais. Exemplos:
a) 3333 142727 =⋅=⋅
b) 63:183:18 == c)
5103
5253
55235
)523(5
2
−
=−⋅
=⋅−⋅
=−⋅
d)
6317
2062653
21062653
2523222353
252232225333
)253()223(
22
−−
=−+−
=⋅−+−
=⋅−⋅+⋅−
=⋅−⋅+⋅−⋅
=−⋅+
32
EXERCÍCIOS B6
33
34
• Se os índices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para depois efetuar as operações.
Exemplos:
a) 1212121264 72989832 =⋅=⋅=⋅
b) 66666 2005:10005:10005:10 ===
EXERCÍCIOS B7
35
Produtos notáveis a) Quadrado da soma de dois termos: 222 2)( yxyxyx ++=+ b) Quadrado da diferença de dois termos: 222 2)( yxyxyx +−=− c) Produto da soma pela diferença dois termos: 22)()( yxyxyx −=−⋅+
EXERCÍCIOS B8
36
Potenciação de uma expressão com radicais
( ) n mrm
n r aa ⋅= Exemplos:
a) ( ) 55 335 822 ==
b) ( ) 7 67 232
7 3 555 == ⋅
EXERCÍCIOS B9
37
Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária
No conjunto dos números reais existem frações que apresentam um radical no denominador, como, por
exemplo 3
1.
Agora veja: 3
1 é aproximadamente
7320508,1
1, que é um cálculo difícil de fazer.
Multiplicando por 3 o numerador e o denominador de 3
1 encontraremos uma fração equivalente a
3
1, que vai facilitar o cálculo. Veja:
3
3
3
3
33
31
3
12
==⋅
⋅=
Esse procedimento é chamado de racionalização do denominador. Veja que é mais simples efetuar
3
7320508,1.
Exemplos:
a) 2
2
2
2
22
21
2
12
==⋅
⋅=
b) 7
72
7
72
77
72
7
22
==⋅
⋅=
c) 2
45
2
45
22
25
2
5 3
3 3
3
3 23
3 2
3==
⋅⋅=
d) 2
2
6
23
6
32
32
18
32
18
332
36
32
6 2
2==⋅=
⋅==
⋅⋅=
e) 9
5832
516
5832
)5(4
5832
)54()54(
)54(8
54
822
−=−
−=−−=
−⋅+−⋅=
+
38
EXERCÍCIOS B10
39
Simplificando expressões com radicais Vamos usar as operações com radicais para simplificar algumas expressões. Exemplos: a)
32
6
79
7373
)7(3
)73()73(
)73)(73(
)73(1)73(1
73
1
73
1
22
==−
++−
=−
++−
=−+
+⋅+−⋅
=−
++
b)
2222
2
22
22
22
2
2
2
462
46
2
436
2
4218
2
418
2
463
2
2
==
=⋅
⋅
==−
=−
=−
=−⋅
=−
=−⋅
40
EXERCÍCIOS B11
41
Potências com expoente fracionário
Observe: n mn
m
aa = (m e n inteiros e 0≠n ) Exemplos:
a) 332
1
=
b) 552
1
=
c) 33 23
2
3666 ==
d) 28)8( 33
1
−=−=−
EXERCÍCIOS B12
42
43
BIBLIOGRAFIA
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática . São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.