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-FUNCIONES IMPLICITAS-ECUACION DE LA RECTA TANGENTE MAXIMOS Y MINIMOS

FUNCIONES IMPLICITAS

05/05/2015

JORGE OMAR XOCUA LOPEZ Y LUIS FERNANDO LOPEZ SANCHEZ

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Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece

despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos

incógnitas cuyo segundo miembro es cero .

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro

a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

Por ejemplo al derivar f ( x )=12x+3 xy+x y2

Realizamos las derivadas, hasta que tengamos algún término con y, al derivar y su derivada es igual a y´

f ´ ( x )=12+3 [xy ´+ y ]+[ y2+2 xyy ´ ]

Y los términos con y´ se pasan de un solo lado:

−3 xy´−2 xyy ´=12+3 y+ y2

Y se simplifica factorizando y´:

y ´=−12+3 y+ y2

3 x+2 xy

Aplicación de las derivadas en la Física

La primera derivada:

V(t)=dxdt

La segunda derivada

a (t )=dVdt

Si la ecuación de un movimiento viene dada en función del tiempo:

Al determinar la primera derivada obtenemos la velocidad en cualquier tiempo t.

Y al determinar la segunda derivada obtenemos la aceleración en cualquier tiempo t.

Por ejemplo:

Vo=0 a=2m /s²

0 5

La ecuación del movimiento será:

X ( t )=Xo+Vot+ 12a t 2

X ( t )=5+ 122 t2

Ahora calculemos la velocidad en t=3 seg

La primera derivada de:

X (t )=5+ 122 t2

Será:

X ´ (t )=12∗2∗2∗t

Entonces:

V=12∗2∗2∗3=6m /seg

Ahora calculemos la aceleración

La segunda derivada de:

X ´ ( t )=12∗2∗2∗t

Será:

X ´ ( t )=12∗2∗2

Entonces:

A=2m/s2

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE

La recta tangente es aquella línea recta que pasa de forma tangente respecto a una curva, es decir: que en su trayectoria toca uno solo de los puntos de la curva.

Dada una curva y=x3 + 1 el cálculo de la ecuación de la recta tangente con punto en abscisa 1 (donde la recta

tangente hace contacto) sería:

Se conoce la función (f): f(x)=x3+1

Y el valor de x (abscisa 1): X=1

Podemos encontrar el punto de tangencia, que es el punto donde se encuentra la recta tangente con la

curva:

Necesitamos y, que es f(x):

Se sustituye x (con 1) en la función

Y=f(1)=(1)3+1=2

Tenemos que el punto de tangencia es (1,2)

Se hace la derivada:

f´(x)=2x2

Con esto obtenemos la ecuación para obtener la pendiente de la tangente (mT)

Al sustituir tenemos que:

mT=f´(1)=3(1)3=3

mT=3

Para obtener la ecuación de la recta tangente tenemos la fórmula

y-y1=m(x-x1)

Con los valores del punto de tangencia sustituidos en la ecuación tenemos:

y-2=3x-3

y-2-3x+3=0

Para cambiar el signo de x:

(-1)-3x+y+1=0

3x-y-1=0

Para obtener la ecuación de la recta normal:

Se obtiene la inversa de mT

Entonces:

mN=-1/3

La recta normal y la recta tangente son perpendiculares, lo que quiere decir que se tocan en un punto con un ángulo de 90°: estas dos rectas se juntan en el punto de tangencia. Para encontrar la

ecuación de la recta normal se utiliza la misma fórmula:

y-y1=mN(x-x1)

Y sustituimos para obtener la ecuación de la recta normal:

y-2= - 13 (x-1)

3y-6= -x+1

X+3y-7=0

MÁXIMOS Y MINIMOS

Y= 4x – x2 Ejercicio 1:

(ENCONTRAREMOS LOS PUNTOS CRÍTICOS DE LOS SIGUIENTESS EJERCICIOS.)

Y= x3 + 3x2 - 8Ejercicio 2

Y= 5/3x3 + 5x2 – 15x + 16 Ejercicio 3