aplicacion de los polinomios de legendre -...

Universidad de Buenos Aires

Facultad De Ingenierıa

7 de agosto de 2011

Ecuaciones Diferenciales (61.18)

Aplicacion de los polinomios deLegendre

Correccion de huellas dactilares

Autor:Cuomo, Joaquın M.

Idea y Colaboracion:Lopez, Federico L.

61.18 - Ecuaciones Diferenciales Ing. Juan Sacerdoti

Facultad de Ingenierıa Ecuaciones Diferenciales (61.18)

.

Este trabajo no pretende ser original sino simplemente una compilacion de informacion, por lotanto todos los contenidos son propiedad de los autores de las fuentes

(aquellos que figuren en la bibliografıa).

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Indice

1. Identificacion de personas mediante sus huellas dactilares 4

1.1. Contextualizacion historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Metodo de autentificacion dactilar 5

2.1. Huellas dactilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Modelo matematico en el procesamiento de imagenes 6

3.1. Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1. Momentos Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.2. Momentos de Zernike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.3. Momentos de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. Breve desarrollo matematico de los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . 11

4. Aplicacion de las tecnicas de procesamiento de imagenes en la deteccion de

huellas dactilares 12

4.1. Deteccion de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2. Rotacion de huellas dactilares utilizando momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3. Generacion de funciones base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.5. Mediciones de performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5. Desarrollo ingenieril en identificacion criminal 18

5.1. Fluorescencia de rayos X para hallar huellas dactilares . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2. Nanotecnologıa para hallar huellas dactilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3. Bacterias para hallar huellas dactilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Bibliografıa 19

3


1. Identificacion de personas mediante sus huellas

dactilares

Es muy comun, ya en estos tiempos, la verificacion de identidad personal por huellas dac-tilares por cuestiones de comodidad, rapidez y fiabilidad. En general, esta tecnica consta detres etapas, la obtencion de la huella, su interpretacion y la posterior codificacion en formatodigital. La segunda etapa mencionada es, en general, de las mas complejas y en los ultimos anosse ha puesto mucho interes en este campo de investigacion.

1.1. Contextualizacion historica

Ya en las antiguas Babilonia y Persia se usaban las impresiones dactilares para autenticarregistros en arcilla, pues ya se conocıa su caracter unico.

En 1883, el frances Alphonse Bertillon 1 propuso un metodo de identificacion de personasbasado en el registro de las medidas de diversas partes del cuerpo. Su metodo, adoptado por lapolicıa de Francia y otras partes del mundo, tuvo un estrepitoso fracaso cuando se encontrarondos personas diferentes que tenıan el mismo conjunto de medidas.

El uso de los relieves dactilares fue por primera vez objeto de un estudio cientıfico por el an-tropologo ingles Francis Galton 2 , quien publico sus resultados en el libro “Huellas dactilares”(1892). Los mismos verificaron tanto la invariabilidad de las huellas digitales a lo largo de todala vida de un individuo, como su caracter distintivo aun para gemelos identicos. Los estudios deGalton estuvieron orientados a la determinacion de las caracterısticas raciales hereditarias delas personas (sobre las que las huellas digitales no podıan dar informacion) y determino algunascaracterısticas de las huellas que todavıa se usan hoy en dıa para su clasificacion. En base alas mismas, Galton propuso usarlas para la identificacion personal en reemplazo del inexactosistema Bertillon, entonces en uso.

Los 40 rasgos propuestos por Galton para la clasificacion de las impresiones digitales fueronanalizados y mejorados por el investigador de la Policıa de la provincia de Buenos Aires JuanVucetich 3 , a quien el Jefe de Policıa de la Provincia de Buenos Aires Guillermo Nunez, lehabıa encomendado sentar las bases de una identificacion personal confiable.

Vucetich uso inicialmente 101 rasgos de las huellas para clasificarlas en cuatro grandes gru-pos. Logro luego simplificar el metodo basandolo en cuatro rasgos principales: arcos, presillasinternas, presillas externas y verticilos. En base a sus metodos, la policıa bonaerense inicio en1891, por primera vez en el mundo, el registro dactiloscopico de las personas. En el ano 1892hizo por primera vez la identificacion de una asesina, en base a las huellas dejadas por sus dedosensangrentados (en particular por su pulgar derecho) en la escena del crimen de sus dos hijos,en la ciudad de Necochea (provincia de Buenos Aires). La misma, de nombre Francisca Rojas,habıa acusado de los asesinatos a su marido.

1Alphonse Bertillon (1853-1914), trabajo como preceptor en Escocia y, a su regreso a Francia, trabajo parala policıa de Parıs. Investigador e impulsor de metodos de individualizacion antropologica

2Sir Francis Galton (1822-1911), fue un polımata, antropologo, geografo, explorador, inventor, meteorologo,estadıstico, psicologo britanico con un amplio espectro de intereses.

3Ivan Vuccetic (isla de Hvar, actual Croacia, 1858 - Dolores, Argentina, 1925), nacionalizado argentino conel nombre de Juan Vucetich, desarrollo y puso por primera vez en practica un sistema eficaz de identificacionde personas por sus huellas digitales

4


2. Metodo de autentificacion dactilar

La biometrıa provee informacion sobre la verificacion de la identidad de una persona, es-tos sistemas normalmente estan basados en el estudio detallado de una o mas caracterısticasfisiologicas (huellas dactilares, geometrıa de la mano, iris, geometrıa facial) o patrones de com-portamiento (voz, firma) unicos en cada individuo. Estos sistemas reconocen a las personas enfuncion de quienes son a traves de sus propias caracterısticas y no de lo que traen consigo.

Para la correcta autenticacion de huellas dactilares se deben realizar varios procedimientossecuenciales como se ilustra en el diagrama de bloques de la figura 1. Como primera instancia,se debe realizar la adquisicion y digitalizacion de las huellas dactilares 4 . En la segunda fasese realiza un pre procesamiento de la imagen el cual consiste en eliminar detalles que son inne-cesarios en la identificacion biometrica y resaltar otras caracterısticas que son fundamentalesen el proceso de discriminacion e identificacion. En este ultimo punto es en el que se basa elpresente trabajo, donde se mostrara como se corrige la imagen mediante tecnicas matematicas.Las imagenes pre procesadas son almacenadas en una base de datos para posteriormente utili-zar un filtro y finalmente obtener la identificacion de la huella. Esta etapa en la que se buscancoincidencias se puede realizar mediante espectros, correlacion, autocorrelacion y co-ocurrencia.

Figura 1: Diagrama de bloques para la autentificacion de las huellas dactilares

2.1. Huellas dactilares

Se pueden observar tres tipos de caracterısticas en una imagen de huella digital, los patrones,que son las caracterısticas macroscopicas de la huella (orientacion de los surcos y patrones); lasminucias, que son los puntos donde un surco se bifurca o termina; y los poros, contornos, plie-gues y detalles permanentes, objetos propios de cada huella obtenida. Mientras que las minuciasson los rasgos que se utilizan para individualizar cada persona, los flujos de los surcos (i.e., lasorientaciones) sirven para clasificar las huellas en diferentes tipos y facilitar la busqueda enbases de datos (usualmente enormes).

La creacion y comparacion contra estos perfiles no es tarea sencilla, dado que es practica-mente imposible ubicar el dedo siempre en la misma posicion: la huella leıda puede aparecerrotada, corrida, con ruido, etc., haciendo muy complicado su reconocimiento. Una manera desolucionar esto es buscando marcas de referencia en las huellas para luego poder alinearlas ycompararlas. A estas marcas se las denomina puntos singulares (PS) y se ubican en regionesen donde el flujo de surcos es discontinuo. Para encontrar, entonces, los puntos singulares, serecurre a la identificacion de la orientacion de los surcos, formando de esta forma una suerte demapa de la huella donde se encuentran todas las caracterısticas mencionadas. Desafortunada-mente, sobre todo en imagenes de baja resolucion, es difıcil lograr ver estas orientaciones, porlo que se recurre al suavizado y procesamiento de la imagen.

4Esta parte del proceso es una de las mas investigadas debido a la dificultad que muchas veces conllevarecoger huellas de ciertas superficies o por haber tenido un deterioro o alteracion adrede

5


3. Modelo matematico en el procesamiento de imagenes

Content Based Image Retrieval 5 (CBIR) es un area importante en el procesamiento deimagenes debido a sus diversas aplicaciones en Internet, imagenes medicas y prevencion deldelito.

La extraccion de caracterısticas visuales como por ejemplo la textura, color y forma soncomponentes importantes de CBIR. De estos, la forma es una de las principales. Para su ex-traccion existen los descriptores de forma, que se pueden clasificar en dos categorıas:

• Descriptores de forma basados en contornos (DFBC).

• Descriptores de forma basados en la region (DFBR).

Los descriptores de forma basados en contornos utilizan solamente la informacion de loslımites e ignoran el contenido interior, mientras que los descriptores de forma basados en laregion utilizan pıxeles interiores de la forma. Estos ultimos se pueden aplicar a las formas masgenerales, en tanto que los DFBR tienen limitaciones respecto a la extraccion de formas com-plejas. Por lo tanto, los descriptores de forma basados en contornos son los que se prefierenpara representar el contenido de la forma de una imagen. Un descriptor eficiente debe ser afın,robusto, compacto y facil de obtener y compatibilizar. Como descriptores estadısticos [6] de losDFBC se utilizan los momentos.

3.1. Momentos

Los momentos son un concepto derivado de la fısica. En esta existen diversas definicionespara momentos (momento de una fuerza o torque, momento angular, momento de inercia, mo-mento magnetico, etc.), aunque siempre representan una magnitud que relaciona vectores yun punto, una recta o un plano. Como contraparte, tambien existen diferentes definiciones demomentos en matematica. En particular, las areas dedicadas al procesamiento de imagenesentienden por momento a aquellas funciones encargadas de extraer de una imagen cierta infor-macion, otorgando a sus pıxeles cierto peso. Ademas estas funciones suelen presentar ciertaspropiedades y permiten realizar interpretaciones que no se derivan directamente de la imageny son utiles para el trabajo en este area.

Definicion 1 Se define una imagen como una funcion continua f : R2 → C. En general, sepuede expresar una funcion de momentos cualquiera φpq del siguiente modo:

φpq =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

Ψpq(x, y)f(x, y)dxdy (1)

donde φpq es la funcion encargada de realizar la ponderacion de la imagen.

Los distintos tiops de momentos se pueden clasificar en tres grupos:

• Momentos ortogonales : obtienen esta categorıa aquellos momentos cuya funcion describeun conjunto de polinomios que conforman una base ortogonal completa. Existen varios

5Traduccion: Recuperacion del contenido de la imagen base

6


momentos de este tipo, entre los que se puede considerar los de Legendre 6 , Tcheby-chev 7 y Zernike 8 .

• Momentos geometricos : dentro se incluyen los momentos regulares, momentos centrales,momentos invariantes, etc. Al no ser ortogonales entre sı existe una redundancia en lainformacion devuelta por los momentos de diverso orden.

• Momentos complejos : presentan algunas ventajas frente a los momentos geometricos. Sinembargo presentan una desventaja similar a la de los momentos geometricos, no sonortogonales. Por esto se considera que la reconstruccion de una imagen a partir de losmomentos complejos de la misma es algo tedioso.

Los momentos que comunmente se utilizan para los descriptores de forma basados en con-tornos y regiones son:

• Momentos Invariantes (IM): es pobre en la representacion de la forma de la imagendebido a su no-ortogonalidad.

• Momentos de Zernike (ZM): tienen propiedades deseables como la invariancia a larotacion, robustez al ruido, eficacia y la posibilidad de utilizar varios niveles para describirvarias formas de patrones (la invariancia de escala se puede lograr con una normalizacionadecuada). Tiene una performance superior en ambos descriptores (DFBC y DFBR) peroes computacionalmente complejo en comparacion con Momentos de Legendre.

• Momentos de Legendre (LM): al igual que los de Zernike, son ortogonales, permi-tiendo representar una imagen con la mınima cantidad de redundancias.

Como se menciono, parte importante en el procesamiento de imagenes es encontrar los ejescoordenados adecuados para centrar las imagenes, siendo esta la principal y mas importantefuncion de los descriptores estadısticos.

3.1.1. Momentos Invariantes

Definicion 2 Se define centro de masa o centroide a las coordenadas p(x, y) de un conjuntode n pıxeles donde:

X =1

n

N∑k=1

xk Y =1

n

N∑k=1

yk (2)

Definicion 3 Se define momento central de orden (k, i):

µk,i =1

n

N∑k=1

(xk −X)k(yk − Y )i (3)

6Adrien-Marie Legendre (Parıs, 18 de septiembre de 1752 - Auteuil, Francia, 10 de enero de 1833) fue unmatematico frances. Hizo importantes contribuciones a la estadıstica, la teorıa de numeros, el algebra abstractay el analisis matematico.

7Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821 Rusia), creador de varias escuelas matematicas: teorıa de numeros, teorıade probabilidades, teorıa de aproximacion de funciones, teorıa de mecanismos y maquinas, etc.

8Zernike, Frits (1888 - 1966), fısico holandes; se especializo en fısica matematica y mecanica racional. En elcampo de la optica fısica invento el microscopio de contraste de fase de gran utilidad en el estudio de las celulasvivas.

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Definicion 4 Se define momento de orden (p, q) de una imagen en escala de grises como:

mp,q =∑∑

pq

xpyqf(x, y) (4)

siendo f(x, y) el nivel de gris del pixel representado por el punto de coordenadas (x, y).

El teorema de representacion de los momentos dice que el conjunto infinito de momentosdeterminan unıvocamente f(x, y) y viceversa.

Los momentos centrales se usan para reconocer una imagen independientemente de su si-tuacion en un eje de coordenadas.

Definicion 5 Se define momento centrado de orden (p, q):

µp,q =∑∑

pq

(x−X)p(y − Y )qf(x, y) (5)

Se puede observar que son invariantes a las traslaciones, µ10 y µ01 son cero y los valores deµ20 y µ02 aumentan cuanto mayor sea la componente horizontal y vertical de una figura res-pectivamente. A partir de los momentos centrales se pueden construir siete momentos en 2-Dinvariantes a cambio de escala, simetrıas y rotaciones. Sin embargo, el kernel no es ortogonalpor lo tanto existe redundancia en la imagen con la representacion de estos momentos.

3.1.2. Momentos de Zernike

Los Momentos de Zernike son momentos ortogonales y se pueden utilizar para representarel contenido de la forma de una imagen con una mınima cantidad de redundancias en la infor-macion. Permite la reconstruccion exacta de la imagen y lo hace optimamente (por el hechode no tener informacion extra). El Momento de Zernike complejo se deriva mediante la proyec-cion de la funcion imagen en un polinomio ortogonal sobre el interior de un cırculo unitario.Los detalles del mapeo exceden este trabajo por tanto no son detallados, aunque vale la penacomentar que es una transformacion a coordenadas polares de los polinomios de Zernike.

Definicion 6 Se define momento de Zernike como:

λp,q =n+ 1

π

∫ 1

−1

∫ 1

−1

V ∗nm(x, y)f(x, y)dxdy (6)

donde Vnm(x, y) es el polinomio de Zernike.

Una limitacion importante al recuperar las imagenes en escala de grises es que los pıxelesque quedan fuera del cırculo unidad no se utilizan en el calculo.

3.1.3. Momentos de Legendre

Debido a que el uso de los momentos geometricos es muy costoso y sobre todo propenso agrandes errores de calculo, lo cual lo hace practicamente inviable y poco fidedigno, y que losmomentos de Zernike tiene alta complejidad algorıtmica, surge la utilizacion de los momentosde Legendre en la manipulacion de imagenes.

8


Definicion 7 Se define momento de Legendre de orden (p, q) como:

λp,q =(2p+ 1)(2q + 1)

4

∫ 1

−1

∫ 1

−1

Pp(x)Pq(y)f(x, y)dxdy (7)

siendo Pp(x) el polinomio de Legendre de orden p con x ∈ [−1, 1] obtenido mediante la formulade Olindo Rodrigues 9 10.

El problema que se plantea es como reconstruir una imagen si solo se dispone de un conjuntofinito de momentos. Los polinomios de Legendre Pp(x) son un conjunto completo ortogonalestablecido en el intervalo [−1, 1]∫ 1

−1

Pp(x)Pq(x)dx =2

2p+ 1δpq (8)

donde δpq es la delta de Kronecker 11 , tal que δpq = 1 si p = q y 0 en otro caso.

Entonces, como f(x, y) es continua sobre la imagen plana, se puede escribir la funcion deimagen f(x, y) como una expansion de series infinitas truncada al momento de orden maximoque se considere, y usando una version discreta aproximada de los momentos de Legendre:

λp,q =

Mmax∑p=0

p∑q=0

λp−q,qPp−q(x)Pq(y) (9)

La cantidad de momentos utilizados en la reconstruccion de la imagen para un orden dadoes:

Ntotal =(Mmax + 1)(Mmax + 2)

2(10)

Las ventajas antes mencionadas son validas siempre y cuando se utilice una funcion real dela imagen analogica. En la practica, los momentos de Legendre se calculan a partir de muestras,es decir, se produce un conjunto de muestras f(xi, yj) dentro de una matriz de (M,N) pıxeles.

λp,q =(2p+ 1)(2q + 1)

4

M∑i=1

N∑j=1

Pp(xi)Pq(yi)f(xi, yi)∆x∆y (11)

donde ∆x y ∆y son intervalos de muestreo en direcciones rectangulares.

Para estimar el orden, un algoritmo podrıa ser el metodo MEM (Maximum Entropy Prin-ciple):

9ver [5] pagina 16.10Olindo Rodrigues (Burdeos, 1794-Parıs, 1851). Economista y matematico frances. Seguidor de Saint-Simon,

a la muerte de este fundo “El productor” (1825-1826) para difundir las ideas saint-simonianas. Como matematicoestudio las lıneas de curvatura de una superficie (formula de Rodrigues, 1815) e introdujo la representacionesferica en la teorıa de las superficies.

11Leopold Kronecker (n. en Liegnitz actual Legnica en Polonia, 7 de diciembre de 1823 - Berlın, Alemania,29 de diciembre de 1891). Matematico y logico, Kronecker defendıa que la aritmetica y el analisis deben estarfundados en los numeros enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios. Fue autor de una frase muyconocida entre los matematicos: “Dios hizo los naturales; el resto es obra del hombre”.

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1. Inicializar N.

2. Dividir la imagen original en bloques de (k x l).

3. Repetir:

4. Aumentar N.

5. Evaluar en cada bloque los momentos de Legendre.

6. Estimar la funcion densidad de imagen de cada bloque.

7. Unir las estimaciones dentro de la imagen completa para el orden utilizado.

8. Evaluar la Entropıa de Shannon hasta cumplir el error permitido

Para imagenes libres de ruido, la funcion de entropıa aumenta monotonamente hasta uncierto orden optimo donde se recrea la maxima informacion de imagen, y luego se vuelve rela-tivamente constante.

En cuanto al error que se produce en la reconstruccion de imagenes mediante este metodosera mayor o menor, comparado con el de Zernike, dependiendo del tipo de imagen (forma,color, ruido, etc).

Figura 2: Aplicacion de los momentos de Legendre para mejorar la calidad de una imagen. (a)imagen original, las imagenes reconstruidas a partir de (b)a (l) representan a ordenes de 10,

20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 y 110, respectivamente.

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3.2. Breve desarrollo matematico de los polinomios de Legendre

Las ecuaciones diferenciales de Legendre, llamadas ası por el matematico frances Adrien-Marie Legendre, se encuentran frecuentemente en Fısica. Particularmente aparecen cuando seresuelve la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas mediante el metodo de separacion devariables.

(1− x)2y′ − 2xy′ + λy = 0 (12)

Como caso particular de las soluciones si λ = ν(ν + 1) con ν = n ∈ N una de dichassoluciones es un Polinomio de Legendre de orden n. Y si ν = n ∈ N ∪ 0 resulta:

Pn(x) =∑(

N

k

)(N + k

k

)x− 1

2

2

(13)

Un particularidad de las funciones de Legendre es que bajo ciertas condiciones son ortogona-les. El teorema de Sturm-Liouville enuncia que dos soluciones de una Ecuacion Diferencial quecumpla con la Hipotesis 1 (tener la Forma Autoadjunta de Sturm-Liouville) y con la Hipotesis2 (Condiciones de Contorno), son ortogonales.

Hipotesis 1

(ry′)′ + (λp+ q)y = 0r, r′, p, q : R→ Rr′, p, q ∈ Rp(x) ≥ 0

Hipotesis 2

(λ1, y1) ∈ S(λ2, y2) ∈ S : rW (y2y1)|ba = 0

La ecuacion diferencial 12 satisface la H1 cuando: r = 1 − x2, p = 1, q = 0 en cuanto quela H2 la puede satisfacer de diferentes maneras.

Una expresion utilizada para generar los polinomios de Legendre es la de Olinde Rodriguez:

Demostracion 1 Expresion de Olinde Rodriguez

(x2 − 1)n = [(x− 1)(x+ 1)]n

= [z(z + 2)]n = zn(z + 2)n

=n∑

k=0

(n

k

)zk+n2n−k

D(n)(x21)n =n∑

k=0

(n

k

)(k + n)(k + n− 1)...(k + 1)zn2n−k

= 2nn!n∑

k=0

(n

k

)(n+ k

k

)z

2

k+n

= 2nn!Pn(z)

D(n)(x21)n = 2nn!Pn(z) =⇒ Pn(z) =1

2nn!D(n)(x21)n (14)

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4. Aplicacion de las tecnicas de procesamiento de

imagenes en la deteccion de huellas dactilares

4.1. Deteccion de puntos singulares

La huella dactilar se compone de patrones de crestas y valles que forman la replica de lapunta de los dedos humanos. La imagen adquirida representa un sistema de textura orientada ytiene informacion estructural muy rica dentro de su dominio. El patron de flujo es generalmenteextraıdo del estilo de los valles y las crestas detectadas. La topologıa de la huella dactilar secompone de un campo con orientacion bastante suave, sin embargo, en algunas areas la orienta-cion aparece de manera discontinua. Estas regiones se llaman singularidades o puntos singulares.

La deteccion de estos puntos se realiza mediante la orientacion, filtrado y derivacion de lospixeles obteniendose resultados como los que muestra la Figura 3.

Figura 3: Proceso por el cual se detecta un punto singular

Las huellas dactilares no vienen en los mismos tamanos, tomas diferentes para el mismodedo puede generar distintos tamano y orientaciones de la imagen de la huella. Puesto queel area cerca del punto singular contiene informacion correcta y eficiente acerca de la huelladactilar, poniendo el punto singular como centro, se extrae una sub-imagen. Ademas, esto redu-cira el tiempo de calculo y el tamano de almacenamiento. Las imagenes deben estar alineadascorrectamente para garantizar una superposicion de la region comun de las dos imagenes dehuellas dactilares. Esto se logra mediante la rotacion de la imagen con orientacion cero en elpunto singular.

Figura 4: Direccion y posicion de diferentes pixeles respecto al de interes

12


4.2. Rotacion de huellas dactilares utilizando momentos

Para la aproximacion de una funcion discreta f(x, y), el metodo desarrollado propone usaruna combinacion lineal de n funciones base. Entonces, para cada punto xi = (xi, yi) se puedeaproximar la funcion de la siguiente manera:

f(x, y) ≈n∑

j=0

ajφj(x, y) (15)

Sea

Φ(xi) = [φ0(x) φ1(x) · · · φn(x)] (16)

el vector fila que contiene la serie de funciones base [φ0(x) φ1(x) · · · φn(x)] evaluadaspara una coordenada dada x = (x, y). Usando esta notacion, se define la matriz V

V =

Φ(x1)Φ(x2)

...Φ(xi)

=

φ0(x1) φ1(x1) · · · φn(x1)φ0(x2) φ1(x2) · · · φn(x2)

......

. . ....

φ0(xi) φ1(xi) · · · φn(xi)

(17)

Donde el tamano de dicha matriz esta dado por la cantidad i de coordenadas (puntos de lahuella) y n funciones base. Ademas, se definen los vectores

a = [a1, a2, . . . , an]T (18)

de parametros, y

f = [f(x1), f(x2), . . . , f(xi)]T (19)

de funciones f(xk) evaluadas en xk = (xk, yk).

Para obtener f , se utiliza el metodo de cuadrados mınimos.En este caso, la mejor aproxi-macion estara dada por los valores que minimicen a F :

F =i∑

j=1

ωj

[Φ(xj)a

T − f(xj)]2

(20)

donde a cada pıxel x = (x, y) se le asigna un peso ω, dado que no todos los puntos tienenel mismo valor al buscar una solucion.

Como el numero de puntos de la imagen es mucho mas grande que el numero de funcionesbase, se utiliza la tecnica de la inversa generalizada de Moore-Penrose (pseudoinversa) paraestimar una solucion:

a =(VTWV

)−1VTWf (21)

donde W = diag(ω1 , . . . , ωi) es la matriz diagonal de pesos que contiene los pesos ωi decada coordenada.

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4.3. Generacion de funciones base

Suavizar huellas dactilares y la orientacion de las crestas implica una discrepancia. Suavizardemasiado poco puede resultar en ruido en los campos de orientacion, por otro lado, suavizaren exceso dana las areas de mucha curvatura, especialmente los puntos singulares (SP).

Se utilizan los Polinomios de Legendre como funciones base, ya que son ortogonales en elintervalo [−1, 1], simples de generar y rapidos para evaluar computacionalmente. En efecto, cadaPolinomio de Legendre Pn(x) puede ser generado utilizando la formula de Olinde Rodrigues:

φn(x) =1

2nn!

dn

dxn[(x2 − 1

)n](22)

Figura 5: Grafico de algunos Polinomios de Legendre (Ver Tabla 1)

n Polinomio Pn de Legendre

0 1

1 x

2 3x2−12

3 5x3−3x2

4 35x4−30x2+38

5 63x5−70x3+15x8

Tabla 1: Seis primeros Polinomios de Legendre

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La generalizacion a dos dimensiones puede hacerse utilizando el metodo de variables separa-bles. Si consideramos los polinomios de Legendre φn−m(x) y φm(y), podemos computar la seriede funciones base para el polinomio de k − esimo orden:

φnm = φn−m(x)φn(y) (23)

(n = 0, 1, 2, . . . , km = 0, 1, 2, . . . , n

)

4.4. Optimizacion

La optimizacion para la obtencion de los parametros finales de los datos vectoriales se rea-liza en dos pasos. En una primera parte los parametros de los modelos son aproximados con lasolucion de forma cerrada que se describe en la ecuacion 21. En segundo paso, un refinamientono lineal permite obtener parametros mas exactos.

Sean a y b los parametros deseados de la expansion de Legendre de los datos en senos ycosenos, respectivamente. Entonces, la orientacioncion del campo puede ser calculada como sedescribe:

O(xj) =1

2arctan

Φ(xj)aT

Φn(xj)bT(24)

Se puede observar que a y b estan acoplados e influyen en la orientacion de forma no lineal,por lo tanto, el conjunto de parametros no se puede calcular de forma independiente entresı. Ademas, la amplitud de cada polinomio puede cancelarse por la division, haciendo que laspequenas amplitudes sean mas sensibles al ruido y errores de aproximacion. Por otra parte, lano linealidad de la funcion arco tangente propaga un posible error.

La verdadera medida para ajustar un modelo de orientacion de crestas a la orientacion delas huellas dactilares debe ser directamente calculado utilizando el angulo de orientacion opo-niendose a su seno o su coseno (esta optimizacion solo se puede llevar a cabo mediante unatecnica no lineal).

Aparece una relacion de compromiso debido a que una optimizacion no lineal consumedemasiado tiempo; ademas, este metodo necesita un trato especial en los mınimos locales. Porello se pueden usar metodos hıbridos que combinan metodos veloces con optimizaciones nolineales (no se detallan dichos metodos porque exceden los objetivos del presente trabajo, paramas informacion ver [10]).

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4.5. Mediciones de performance

En general, para medir la calidad de un algoritmo de deteccion de puntos singulares, lasdos cualidades de interes son la cantidad de detecciones correctas y la cantidad de deteccionesincorrectas. Desafortunadamente, no hay un estandar establecido para evaluar la calidad yperformance de los algoritmos para detectar PS. Se definen entonces algunas magnitudes paraevaluar estos parametros 12:

Recall =V P

V P + FN(25)

Precision =V P

V P + FP(26)

Compensacion = 2RecallPrecision

Recall + Precision(27)

La primera cualidad de interes, la proporcion de PS detectados, esta dada por Recall. Lasegunda cualidad de interes es el numero de detecciones correctas relativas al total de detec-ciones correctas, y esta dada por la Precision. Por ultimo, Compensacion da una ponderacionde los dos parametros anteriores, dandole ası igual importancia a ambos al momento de unacomparacion.

Como se puede ver en la Figura 6 los resultados son bastante satisfactorios.

Figura 6: De izquierda a derecha: Imagen de una huella dactilar obtenida, orientacionextraıda sin procesamiento previo, suavizado y aproximacion obtenida utilizando los

polinomios de Legendre.

Se ve como la aproximacion soluciona el problema de la mala calidad de la imagen en elcentro, donde peor quedaron registrados los surcos de la huella.

Comparando este metodo con otros ya existentes, se ve que su desempeno es superior enmuchos casos (ver Figura 7, 8, 9).

12VP es “verdadero positivo”, FP es “falso positivo”, FN es “falso negativo”.

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Figura 7: Recall para diferentes metodos de aproximacion. En el eje vertical se da el umbralpara obtener las medidas de performance mencionadas.

Figura 8: Precision para diferentes metodos de aproximacion. En el eje vertical se da elumbral para obtener las medidas de performance mencionadas.

Figura 9: Compensacion para diferentes metodos de aproximacion. En el eje vertical se da elumbral para obtener las medidas de performance mencionadas.

Los experimentos muestran que en comparacion con otros metodos, este ha mejorado lacapacidad de orientacion suavizando, especialmente en areas de alta curvatura.

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5. Desarrollo ingenieril en identificacion criminal

Como se menciono anteriormente la mayor dificultad reside en tomar buenas muestras conlo que se ahorrarıa parte del procesamiento digital (aunque no lo de ubicacion de puntos singu-lares y las rotaciones ya que las huellas siguen siendo tomadas en cualquier posicion y tamano),por lo que se ha dedicado un gran esfuerzo en mejorar este aspecto. A continuacion se explicanbrevemente alguno de estos avances que resultan de interes por ser muy recientes.

5.1. Micro fluorescencia de rayos-X [7]

Micro fluorescencia de rayos-X desarrollada por C. Worley, consiste en detectar las salespresentes en las huellas dactilares. Dichas sales son detectadas en funcion de su posicion en lasuperficie, de tal manera que puede obtenerse una imagen de la huella formada por los puntosen los que las sales se han depositado, siguiendo los patrones dactilares.

El metodo tiene ventajas sobre otras alternativas, ya que no requiere el uso de sustanciasinvasivas para hacerla visible por lo que permite posteriores analisis. Las huellas de ninos sonespecialmente difıciles de detectar porque carecen de la sustancia aceitosa segregada por lasglandulas sebaceas, que captura a los agentes de mejora del contraste. Por supuesto, no esla panacea, ya que algunas huellas no contienen elementos quımicos detectables en suficientecantidad.

5.2. Nanotecnologıa para hallar huellas dactilares imposibles [8]

Cientıficos australianos desarrollaron un metodo utilizando nanotecnologıa para detectarhuellas de cualquier edad y en cualquier superficie, donde las tecnicas tradicionales no lo logra-ban. Consiste en revelar restos de aminoacidos, moleculas que se encuentran habitualmente enel sudor, gracias a la precisision y ’discretizacion’ que aporta la nanotecnologıa.

5.3. Identificacion individual a traves de las bacterias dactilares [9]

El Profesor N. Fierer y otros colaboradores han desarrollado una nueva tecnica forense deidentificacion a partir de las comunidades bacterianas de la mano y su alto grado de variabilidadinterindividual. Las bacterias de los dedos que se depositan en los objetos al tocarlos permitenrelacionar el objeto con el usuario, puesto que una mano puede tener hasta 150 especies bacte-rianas, pero de ellas solo un 13 % son compartidas por dos personas diferentes.

Las bacterias pueden ser facilmente recuperadas de las superficies y la estructura de estascomunidades se pueden utilizar para diferenciar los objetos manipulados por personas diferen-tes, puesto que se mantienen intactas a temperatura ambiente hasta 2 semanas.

La investigacion arrojo un resultado de entre un 70 %-90 % de acierto y se espera que seincremente a medida que la investigacion avance.

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Bibliografıa

[1] Asenjo, Corpas Martosm, Fernandez Martınez, Gutierrez Segura; “Momentos”.

[2] El Fadili, Zenkouar, Qjidaa; “Lapped Block Image Analysis via the Method of Legendre

Moments”;2003.

[3] Cura, Ezequiel A.; “Analisis de los momentos complejos de Zernike como descriptores de

imagenes”;2010.

[4] Fierera, Christian L. Lauberb, Nick Zhoub, Daniel McDonaldc, Elizabeth K. Costelloc,

y Rob Knightc; “Forensic identification using skin bacterial communities”, articulo de la

National Academy of Sciences ; 15 de Marzo del 2010.

[5] Ing. Sacerdoti, Juan; “Polinomios y Funciones de Legendre”; 2002.

[6] M.S. Khalil, “Fingerprint verification using statistical descriptors, Digital Signal Pro-

cess”;2009.

[7] “Nueva tecnologıa de deteccion de huellas dactilares”.

[8] “Nanotecnologıa para hallar huellas dactilares imposibles”.

[9] “Nueva tecnica de identificacion forense por bacterias”.

[10] Ram Surinder, Bischof Horst, Birchbauer Josef; “Curvature Preserving Fingerprint Ridge

Orientation Smoothing using Legendre Polynomials”;

[11] Srinivasa R., Srinivasa K., Chandra M.; “Content Based Image Retrieval Using Excat

Legendre Moments And Support Vector Machine”; 2010.

[12] Wikipedia; “Fingerprints”.

[13] Zhou J. D., Shu H. Z., Luo L. M., Yu W. X.; Two new algorithms for efficient computation

of Legendre moments, Pattern Recognition, Vol.35, paginas 1143 a 1152; 2002.

19

http://www.solociencia.com/quimica/05033013.htm

http://actualidadynuevastecnologias.blogspot.com/

http://criminalistica-cienciasforenses.blogspot.com/2010/03/nueva-tecnica-de-identificacion-forense.html

aplicacion de los polinomios de legendre -...

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