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Facultad de Ingeniera
Matemtica II
APLICACIONES DE LA DERIVADA
ANLISIS DE LA GRFICA DE
FUNCIONES
Lic. Martha Armas Aguilar
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Logro de la sesin
Al finalizar la sesin de aprendizaje el estudiante:
Localiza los intervalos de crecimiento, los extremos relativos
de una funcin en un intervalo abierto haciendo uso de la
primera derivada.
Determina la concavidad y los puntos de inflexin de una
funcin haciendo uso de la segunda derivada
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Contenidos
Extremos de una funcin
Criterio de la primera derivada para extremos
Criterio de la segunda derivada para extremos
Criterio de la segunda derivada para concavidad
Puntos de Inflexin
Ejemplos explicativos
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Extremos de una funcin
Es el punto del dominio donde la funcin alcanza su valor
mximo o mnimo. Para encontrarlos se usa el criterio de la
primera derivada.
PUNTO CRTICO DE UNA FUNCIN
Sea : una funcin real, () es un punto crticode la funcin si:
() = 0 () no existe
Nota: Para encontrar todos los puntos extremos de una funcin
polinomial se debe resolver la ecuacin:
=
-
Determine los puntos crticos de las funciones
a) = 3 + 52 + 6
b) = 34 62
c) = 2 3 23 en el intervalo 1; 3
d) = 3 cos en el intervalo 0; 2
Ejemplos explicativos
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Criterio de la primera derivada para
extremos locales
i. Si () > para
todo en (, ) y
() < para todo
en (, ), entonces
() es un valor
mximo local de .
f'(c) = 0
a c b
Sea : una funcin real, Dom() es un punto crtico dela funcin, si:
-
ii. Si () < para todo en (, ) y () > para todo
en ( , ), entonces () es un valor mnimo local de .
f'(c) = 0
f'(x) >
0f'(x) < 0
a c b
f(x) crecef(x)
decrece
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Determinar los intervalos de crecimiento, los extremos relativos y
construir la grfica de las siguientes funciones.
a) = 35 53
b) =4
2+4
c) = 3 62 + 9 2
d) = (2 1)2
e) = 2 +16
Ejemplos explicativos
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Criterio de la segunda derivada para
extremos locales
Supngase que y existen en todo punto de un intervalo
abierto (, ) que contiene a y supngase que () = 0.
i. Si () < entonces () es un valor mximo local de .
ii. Si () > entonces () es un valor mnimo local de .
-
a) = 2 6 + 5
b) =2
2+1
c) = 6 34
d) = 5/3 2/3
e) = 4 23
Determine los valores mximos y mnimos locales de las
siguientes funciones, haciendo uso de la segunda derivada:
Ejemplos explicativos
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Criterio de la segunda derivada para
concavidad
i. Si () > para toda en
( , ), entonces es cncava
hacia arriba en ( , ).
ii. Si () < para toda en
( , ), entonces es cncava
hacia abajo en ( , ).
Sea dos veces derivable en el intervalo abierto ( , )
a b
a b
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Punto de inflexin
Sea continua en . Llamamos a (, ()) un punto de inflexin
de la grfica de , si es cncava hacia arriba a un lado de y
cncava hacia abajo del otro lado de .
Punto de
Inflexin
Punto de
Inflexin
c
f(c)
f
(c, f(c))
c
f(c)
f
(c, f(c))
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Determine los intervalos de crecimiento, los extremos, los
intervalos de concavidad, puntos de inflexin y construir la
grfica de las siguientes funciones:
a) =1
33 2 3 + 4
b) = (1 2)3
c) = (2 4)3
d) = 4 62 + 9
Ejemplos explicativos