apÉndice a: desarrollo del modelo...
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APÉNDICE A: DESARROLLO DEL MODELOMATEMÁTICO
En este apartado se desarrolla el modelado matemático del sistemafísico del motor de inducción de seis fases, de doble devanado trifásicoindependiente y asimétrico.
A.1 La máquina de doble devando trifásico
La máquina con doble devanado trifásico puede ser analizada consi-derando dos conjuntos de bobinados trifásicos separados espacialmenteentre sí en 30 grados eléctricos, tal como puede apreciarse en el diagra-ma de fases de la Figura 2.1(a). El rotor también puede ser consideradode la misma forma que el estátor, sin embargo, como se muestra en laFigura 2.1(a), debido a que el rotor gira solidariamente con respecto alestátor que permanece fijo, se define un ángulo δr variable en el tiempoentre los bobinados del estátor y del rotor cuando el rotor se encuentraen movimiento.
Para deducir el modelo de la máquina de seis fases asimétrica esnecesario considerar las siguientes suposiciones:
113
El bobinado de la máquina posee una distribución sinusoidal y elrotor es equivalente a un rotor ranurado de seis fases.
La saturación magnética, el efecto de las inductancias mutuas y laspérdidas no afectan en gran medida al modelo de la máquina, y seconsidera que pueden ser despreciables.
Teniendo en cuenta estas consideraciones la ecuación que describe lastensiónes de fase en el estátor, referidas a un sistema de ejes cartesianosligado al propio estátor, se define según la Ec. (1).
us = Rs.is + ddtλs,
us = Rs.is + ddt (λss + λsr) ,
us = Rs.is + ddt (Ls.is + Lsr (δr) .ir) ,
us = Rs.is + Ls · ddt is + ir · ddtLsr (δr) + Lsr (δr) · ddt ir.
(1)
Note que de la misma manera en que fueron definidas las ecuacionesdel estátor, en la Ec. (2) se definen las ecuaciones del rotor.
0 = Rr.ir + ddtλr,
0 = Rr.ir + ddt (λrr + λrs) ,
0 = Rr.ir + ddt (Lr.ir + Lrs (δr) .is) ,
0 = Rr.ir + Lr · ddt ir + is.ddtLrs (δr) + Lrs (δr) · ddt is,
(2)
donde δr es la posición angular de los bobinados del rotor con respectoal estátor de la máquina. La velocidad de giro del rotor se define comola derivada de la posición con respecto al tiempo y queda representadacomo ωr = d
dtδr. Por otro lado, utilizando las corrientes del estátor y lascorrientes del rotor, la ecuación del par de la máquina puede obtenerseutilizando la expresión general que describe el comportamiento del parsegún:
Te = P · iTs ·d
dδrLsr (δr) · ir, (3)
donde P indica el número de pares de polos, δr es el ángulo querepresenta la posición relativa del rotor con respecto al estátor, y elsuperíndice T , representa la transpuesta de la matriz. A partir de la
114
ecuación que describe el comportamiento dinámico del par, es posibleestimar la velocidad de la máquina utilizando la ecuación mecánicaque completa el modelo del accionamiento electromecánico, ésta quedarepresenta da según:
Te − TL =JiP· dωrdt
+B · ωr, (4)
donde TL representa el par de carga, ωr es la velocidad de la máquina, Jies el coeficiente de inercia y B el coeficiente de fricción.
Por otro lado, las corrientes del rotor permiten obtener la expresióndel flujo en el rotor mediante la siguiente ecuación:
λr = λrr + λrs,
λr = Lr · ir + Lrs (δr) · is.(5)
Las ecuaciones presentadas anteriormente describen la dinámica delaccionamiento electromecánico.
A.1.1 Modelo de la máquina en variables de faseConsiderando las Ecs. (1) y (2), es posible modelar la máquina en
variables de fase. Mediante esta metodología de modelado se asumeque las tensiones, corrientes y flujos son vectores de seis dimensionesrepresentados de la siguiente manera.
us =
uasudsubsuesucsufs
, is =
iasidsibsiesicsifs
, λs =
λasλdsλbsλesλcsλfs
, (6)
ur =
0
0
0
0
0
0
, ir =
iaridribriericrifr
, λr =
λarλdrλbrλerλcrλfr
. (7)
115
Las matrices de resistencias del estátor y del rotor, que intervienenen el modelo de la máquina representado en variables de fase, implícitasen las Ecs. (1) y (2), se definen según las Ecs. (8) y (9), respectivamente.
Rs = Rs.I6 =
Rs 0 0 0 0 0
0 Rs 0 0 0 0
0 0 Rs 0 0 0
0 0 0 Rs 0 0
0 0 0 0 Rs 0
0 0 0 0 0 Rs
, (8)
Rr = Rr.I6 =
Rr 0 0 0 0 0
0 Rr 0 0 0 0
0 0 Rr 0 0 0
0 0 0 Rr 0 0
0 0 0 0 Rr 0
0 0 0 0 0 Rr
, (9)
donde Rs y Rr , denotan las resistencias del estátor y del rotor,respectivamente y la matriz I6 denota la matriz identidad de orden6 × 6. Las matrices de inductancias del estátor y del rotor, Ls y Lr queintervienen en las ecuaciones del modelo de la máquina, considerando eldiagrama de distribución espacial de las bobinas de la máquina mostradoen la Figura 2.1, quedan representadas según las Ecs. (10) y (11),respectivamente.
Ls = Lls · I6 + Lm =
Lls + Lm Lm.δ1 Lm.δ3 Lm.δ4 Lm.δ6 Lm.δ7Lm.δ8 Lls + Lm Lm.δ2 Lm.δ3 Lm.δ5 Lm.δ6Lm.δ6 Lm.δ7 Lls + Lm Lm.δ1 Lm.δ3 Lm.δ4Lm.δ5 Lm.δ6 Lm.δ8 Lls + Lm Lm.δ2 Lm.δ3Lm.δ3 Lm.δ4 Lm.δ6 Lm.δ7 Lls + Lm Lm.δ1Lm.δ2 Lm.δ3 Lm.δ5 Lm.δ6 Lm.δ8 Lls + Lm
, (10)
116
Lr = Llr · I6 + Lm =
Llr + Lm Lm.δ1 Lm.δ3 Lm.δ4 Lm.δ6 Lm.δ7Lm.δ8 Llr + Lm Lm.δ2 Lm.δ3 Lm.δ5 Lm.δ6Lm.δ6 Lm.δ7 Llr + Lm Lm.δ1 Lm.δ3 Lm.δ4Lm.δ5 Lm.δ6 Lm.δ8 Llr + Lm Lm.δ2 Lm.δ3Lm.δ3 Lm.δ4 Lm.δ6 Lm.δ7 Llr + Lm Lm.δ1Lm.δ2 Lm.δ3 Lm.δ5 Lm.δ6 Lm.δ8 Llr + Lm
. (11)
Las inductancias Lls, Llr y Lm representan la inductancia de fugadel estátor, la inductancia de fuga del rotor y la inductancia demagnetización, respectivamente. Los valores de δx son los cosenos delos ángulos entre los bobinados del estátor, tomando como origen decoordenadas el eje que coincide con la fase a del diagrama de la Figura2.1, que para el caso particular de la máquina de inducción de seis fasesasimétrica quedan definidos de la siguiente manera:
δ1 = cos(π
6
), δ2 = cos
(3π
6
), δ3 = cos
(4π
6
), δ4 = cos
(5π
6
),
δ5 = cos
(7π
6
), δ6 = cos
(8π
6
), δ7 = cos
(9π
6
), δ8 = cos
(11π
6
).
(12)
Por otro lado, la matriz de inductancia del estátor referido al rotorLsr queda definida en función al ángulo (δr), tal como se muestra en lasiguiente ecuación:
Lsr =
cos (δr) Lm.ζ1 Lm.ζ3 Lm.ζ4 Lm.ζ6 Lm.ζ7Lm.ζ8 cos (δr) Lm.ζ2 Lm.ζ3 Lm.ζ5 Lm.ζ6Lm.ζ6 Lm.ζ7 cos (δr) Lm.ζ1 Lm.ζ3 Lm.ζ4Lm.ζ5 Lm.ζ6 Lm.ζ8 cos (δr) Lm.ζ2 Lm.ζ3Lm.ζ3 Lm.ζ4 Lm.ζ6 Lm.ζ7 cos (δr) Lm.ζ1Lm.ζ2 Lm.ζ3 Lm.ζ5 Lm.ζ6 Lm.ζ8 cos (δr)
, (13)
donde δr es el ángulo del rotor con respecto al estátor, y los valores ζx
117
representan los cosenos del ángulo del rotor con respecto al estátor quepara el caso particular de la máquina de seis fases asimétrica se definencomo:
ζ1 = cos(π
6+ δr
), ζ2 = cos
(3π
6+ δr
),
ζ3 = cos
(4π
6+ δr
), ζ4 = cos
(5π
6+ δr
),
ζ5 = cos
(7π
6+ δr
), ζ6 = cos
(8π
6+ δr
),
ζ7 = cos
(9π
6+ δr
), ζ8 = cos
(11π
6+ δr
).
(14)
Finalmente, la matriz que define la inductancia del rotor con respectoal estátor Lrs , puede calcularse de manera análoga al caso anterior, yqueda representada por la siguiente ecuación:
Lrs =
cos (δr) Lm.ζ8 Lm.ζ6 Lm.ζ5 Lm.ζ3 Lm.ζ2Lm.ζ1 cos (δr) Lm.ζ7 Lm.ζ6 Lm.ζ4 Lm.ζ3Lm.ζ3 Lm.ζ2 cos (δr) Lm.ζ8 Lm.ζ6 Lm.ζ5Lm.ζ4 Lm.ζ3 Lm.ζ1 cos (δr) Lm.ζ7 Lm.ζ6Lm.ζ6 Lm.ζ5 Lm.ζ3 Lm.ζ2 cos (δr) Lm.ζ8Lm.ζ7 Lm.ζ6 Lm.ζ4 Lm.ζ3 Lm.ζ1 cos (δr)
. (15)
A partir de las ecuaciones que definen la dinámica del accionamientoelectromecánico (Ecs. (1) - (2)), y si se tiene en cuenta las matricesdefinidas anteriormente, el modelo matemático de la máquina envariables de fase, queda representado por las ecuaciones que semuestran a continuación.
118
[us0
]=
[Rs + Ls · p d
dtLsr (δr) + Lsr (δr) · pddtLrs (δr) + Lrs (δr) · p Rr + Lr · p
]·[isir
],
Te = P · is · ddδrLsr (δr) · ir,
Te − TL = JP · dωrdt ,
ωr = ddtδr,
(16)donde p representa el operador derivada, con respecto al tiempo (p = d
dt ).Estas ecuaciones describen el comportamiento dinámico de la máquinaen variables de fase. Sin embargo, como puede apreciarse, para estudiarel comportamiento de la máquina debe resolverse a priori un conjuntode doce ecuaciones diferenciales no lineales y en adición la ecuación delpar. Por esta razón, en el siguiente apartado se aborda una metodologíade modelado matemático equivalente, que simplifica el sistema global,proponiendo una matriz de transformación, utilizando la teoría VSD.
A.1.2 El modelo de la máquina basado en la teoría VSD
El modelo de la máquina basado en la teoría VSD se centra en lautilización de una matriz de transformación T (Ec. (2.5)), que transformael sistema original dado en variables de fase, a un sistema de tres sub-espacios ortogonales entre sí. Aplicando la matriz de transformación alas ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de la máquina(1 ) y (2), se obtiene el modelo del accionamiento electromecánico encoordenadas (α − β), (x - y) y (z1 - z2). Reescribiendo estas ecuacionesse obtienen:
T · us = T ·Rs · T−1 · T · is + T · Ls · T−1 ·d
dtT · is+
T · ir ·d
dtT · Lsr (δr) · T−1 + T · Lsr (δr) · T−1 ·
d
dtT · ir, (17)
119
0 = T ·Rr · T−1 · T · ir + T · Lr · T−1 ·d
dtT · ir+
T · is ·d
dtT · Lrs (δr) · T−1 + T · Lrs (δr) · T−1 ·
d
dtT · is, (18)
donde las tensiones y corrientes son vectores en el nuevo sistema dereferencia (α - β), (x - y) y (z1 - z2) y se definen como:
T · us =
uαsuβsuxsuysuz1suz2s
, T · is =
iαsiβsixsiysiz1siz2s
, (19)
T · ur =
0
0
0
0
0
0
, T · ir =
iαriβrixriyriz1riz2r
, (20)
las matrices de resistencias e inductancias, luego de la transformaciónquedan definidas de la siguiente manera:
T ·Rs · T−1 = Rs · I6 =
Rs 0 0 0 0 0
0 Rs 0 0 0 0
0 0 Rs 0 0 0
0 0 0 Rs 0 0
0 0 0 0 Rs 0
0 0 0 0 0 Rs
, (21)
120
T · Ls · T−1 = Lls · I6 + Lm · T ·
1 δ1 δ3 δ4 δ6 δ7δ8 1 δ2 δ3 δ5 δ6δ6 δ7 1 δ1 δ3 δ4δ5 δ6 δ8 1 δ2 δ3δ3 δ4 δ6 δ7 1 δ1δ2 δ3 δ5 δ6 δ8 1
· T−1 =
= Lls · I6 + Lm ·
3 0 0 0 0 0
0 3 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
=
=
Lls + 3 · Lm 0 0 0 0 0
0 Lls + 3 · Lm 0 0 0 0
0 0 Lls 0 0 0
0 0 0 Lls 0 0
0 0 0 0 Lls 0
0 0 0 0 0 Lls
,
(22)
T · Lsr · T−1 =
3 · Lm · cos (δr) −3 · Lm · sen (δr) 0 0 0 0
3 · Lm · sen (δr) 3 · Lm · cos (δr) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, (23)
T ·Rr · T−1 = Rr · I6 =
Rr 0 0 0 0 0
0 Rr 0 0 0 0
0 0 Rr 0 0 0
0 0 0 Rr 0 0
0 0 0 0 Rr 0
0 0 0 0 0 Rr
, (24)
121
T · Lr · T ·−1 = Llr · I6 + Lm · T ·
1 δ8 δ6 δ5 δ3 δ2δ1 1 δ7 δ6 δ4 δ3δ3 δ2 1 δ8 δ6 δ5δ4 δ3 δ1 1 δ7 δ6δ6 δ5 δ3 δ2 1 δ8δ7 δ6 δ4 δ3 δ1 1
· T−1 =
Llr · I6 + Lm ·
3 0 0 0 0 0
0 3 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
=
Llr + 3 · Lm 0 0 0 0 0
0 Llr + 3 · Lm 0 0 0 0
0 0 Llr 0 0 0
0 0 0 Llr 0 0
0 0 0 0 Llr 0
0 0 0 0 0 Llr
, (25)
T · Lrs · T−1 =
3 · Lm · cos (δr) 3 · Lm · sen (δr) 0 0 0 0
−3 · Lm · sen (δr) 3 · Lm · cos (δr) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
. (26)
Considerando estas ecuaciones, el modelo de la máquina puede serestudiado en tres sub-espacios ortogonales entre sí denotados por (α -β), (x - y) y (z1 - z2), el cual será abordado en el sub-espacio (α - β) acontinuación.
Modelo de la máquina en el sub-espacio (α - β)
Las ecuaciones de tensión del estátor y del rotor en el sub-espacio (α- β) quedan representadas según las Ecs. (27) y (28), respectivamente.
122
uαβs = Rαβs · iαβs + Lαβs ·d
dtiαβs + iαβr ·
d
dtLαβsr (δr) +
Lαβsr (δr) ·d
dtiαβr,
(27)
0 = Rαβr · iαβr + Lαβr ·d
dtiαβr + iαβr ·
d
dtLαβrs (δr) +
Lαβrs (δr) ·d
dtiαβs,
(28)
donde
uαβs =
[uαsuβs
], iαβs =
[iαsiβs
], iαβr =
[iαriβr
],
Rαβs =
[Rs 0
0 Rs
], Rαβr =
[Rr 0
0 Rr
],
Lαβs =
[Lls + 3 · Lm 0
0 Lls + 3 · Lm
],
Lαβsr = 3 · Lm[cos (δr) −sen (δr)
sen (δr) cos (δr)
],
Lαβr =
[Llr + 3 · Lm 0
0 Llr + 3 · Lm
],
Lαβrs = 3 · Lm[
cos (δr) sen (δr)
−sen (δr) cos (δr)
].
(29)
Haciendo una analogía con el modelo de la máquina en variablesde fase presentado en el apartado anterior, puede observarse que esposible definir una nueva inductancia de magnetización LM = 3 ∗ Lm,tal que introduciéndola en las Ecs. (29), da lugar a las ecuaciones que semuestran a continuación:
123
Lαβs =
[Lls +M 0
0 Lls +M
], Lαβsr = LM ·
[cos (δr) −sen (δr)
sen (δr) cos (δr)
],
Lαβr =
[Llr +M 0
0 Llr +M
], Lαβrs = LM ·
[cos (δr) sen (δr)
−sen (δr) cos (δr)
].
(30)Considerando las Ecs. (27) - (30), las ecuaciones que definen las
tensiones en el estátor y en el rotor del accionamiento electromecánicode seis fases en coordenadas estáticas (α - β) quedan representadas comosigue:
[uαβs
0
]= Φ ·
[iαβsiαβr
], (31)
donde
[Φ] =
[Rαβs + Lαβs · p p · Lαβsr (δr) + Lαβsr (δr) · p
p · Lαβrs (δr) + Lαβrs (δr) · p Rαβr + Lαβr · p
].
Finalmente, las siguientes ecuaciones completan el modelo dinámicodel accionamiento electromecánico en coordenadas estáticas (α - β)utilizando la técnica de descomposición de vectores.
[uαβs
0
]= Φ ·
[iαβsiαβr
],
Te = P · iαβs · ddδrLsr (δr) · iαβr,
Te − TL = JP · dωrdt ,
ωr = ddtδr.
(32)
Modelo de la máquina en el sub-espacio (x - y)
El modelo de la máquina en el sub-espacio (x - y) es más simple, yanálogamente al caso anterior puede obtenerse directamente a partir delas Ecs. (17) - (26). El modelo del convertidor en este sub-espacio quedarepresentado por las siguientes ecuaciones:
124
[uxsuys
]=
[Rs + Lls · p 0
0 Rs + Lls · p
]·[ixsiys
],
[0
0
]=
[Rr + Llr · p 0
0 Rr + Llr · p
]·[ixriyr
].
A.2 Modelo del convertidor de potencia
El modelo matemático del convertidor de potencia empleado, deltipo VSI se obtiene de forma análoga al caso trifásico. Aplicando unafunción de conmutación que puede ser definida como Si ∈ {1, 0}, dondei representa cada fase de la máquina (i = a, x, b, y, c, z) conformese muestra en la Figura 2.2, las señales de disparo, que definen losvectores de tensión aplicados a la máquina quedan representadas porlas siguientes ecuaciones:
Sa =
{1, si S1 = 1 y S7 = 0,
0, si S1 = 0 y S7 = 1,
Sb =
{1, si S3 = 1 y S9 = 0,
0, si S3 = 0 y S9 = 1,
Sc =
{1, si S5 = 1 y S11 = 0,
0, si S5 = 0 y S11 = 1,
(33)
Sd =
{1, si S2 = 1 y S8 = 0,
0, si S2 = 0 y S8 = 1,
Se =
{1, si S4 = 1 y S10 = 0,
0, si S4 = 0 y S10 = 1,
Sf =
{1, si S6 = 1 y S12 = 0,
0, si S6 = 0 y S12 = 1.
(34)
Para obtener el modelo del inversor de tensión, se denotará VaN comola tensión asociada a la fase a del estátor, Va al potencial en el punto a(conexión al bobinado a del inversor, ver Figura 2.2) y VN al potencialasociado al punto neutro del devanado a − b − c. De forma análoga, se
125
denotan las tensiones VbN y VcN . Obsérvese en la Figura 2.2, que para losbobinados d−e−f , se tiene un neutro distinto al de las fases a−b−c, y sedenota como N , de forma que las tensiones VdN , VeN y VfN se interpretande la misma manera que anteriormente, aunque tomando los potencialeseléctricos de d − e − f y N . Considerando ambos devanados estatóricoscon neutros independientes y desfasados en 30 y si además se asume unsistema equilibrado se tiene:
VaN + VbN + VcN = 0, (35)
VN =Va + Vb + Vc
3. (36)
Así mismo, el modelo del VSI para la fase a queda definido por laecuación siguiente:
VaN = Va − VN =2
3Va −
1
3(Vb + Vc) . (37)
La Ec. (37) puede representarse en función al estado de los interrup-tores del VSI (Sa, Sz) y, de forma análoga, se pueden calcular las tensio-nes VbN y VcN , obteniéndose:
VaN =2
3Sa · Vdc −
1
3(Sb · Vdc + Sc · Vdc) , (38)
VbN =2
3Sb · Vdc −
1
3(Sa · Vdc + Sc · Vdc) , (39)
VcN =2
3Sc · Vdc −
1
3(Sa · Vdc + Sb · Vdc) , (40)
El mismo razonamiento para las fases d − e − f da lugar a lassiguientes ecuaciones:
VdN ′ =2
3Sd · Vdc −
1
3(Se · Vdc + Sf · Vdc) , (41)
VeN ′ =2
3Se · Vdc −
1
3(Sd · Vdc + Sf · Vdc) , (42)
VfN ′ =2
3Sf · Vdc −
1
3(Sd · Vdc + Se · Vdc) . (43)
126
Las Ecs. (38) - (42) representan las tensiones de fase aplicadas ala máquina a partir de los potenciales impuestos en los terminalesestatóricos. El módulo VSI queda modelado matemáticamente mediantela matriz M representada por la Ec. (44). Obsérvese que el resultado deresolver M , proporciona los valores de las tensiones aplicadas al estátorde la máquina en variables de fase.
M =V dc
3·
2 0 −1 0 −1 0
0 2 0 −1 0 −1
−1 0 2 0 −1 0
0 −1 0 2 0 −1
−1 0 −1 0 2 0
0 −1 0 −1 0 2
·
SaSdSbSeScSf
. (44)
Si se desea obtener los valores de tensión en coordenadas (α -β) y(x - y) es necesario combinar la matriz M con la matriz T dada por laecuación de transformación 2.5. Esta combinación da lugar a la Ec. (45).
Mαβxy = T ·M. (45)
De esta manera, el resultado de la Ec. (45) es un vector que contienelos valores de tensión en coordenadas (α -β) y (x - y) (Mαβxy = [uαsuβs uxs uys 0 0]T ). El modelo del VSI queda caracterizado por 26 = 64
vectores posibles de disparo (60 activos y 4 nulos). Estos vectores sonproyectados en los sub-espacios (α -β) y (x - y) como se muestran enla Figura 2.3, donde todos los posibles estados son identificados pordos números octales correspondientes a los números binarios [SaSbSc y[SdSeSf ], respectivamente.
Resulta importante resaltar en este apartado dos aspectos importan-tes:
Para el caso de la máquina en estudio, con neutros aislados, losvectores de tensión en el sub-espacio (z1 - z2) son nulos, por loque no tienen influencia alguna en el algoritmo de control a serimplementado.
En el caso del accionamiento electromecánico hexafásico (n = 6 y
127
r = 15), se tienen ε = 2n − r = 49 vectores no redundantes (verFigura 2.3).
Se observa entonces la naturaleza discreta del sistema, donde elesfuerzo de control es proporcionado por la aplicación de uno de losvectores representados en la Figura 2.3 en cada instante de muestreo.
128