apostila complexos e geometria (parte ii)

8/6/2019 Apostila Complexos e Geometria (Parte II)

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Complexos e Geometria IIIME/ITA

3/29/2011http://dadosdedeus.blogspot.comMarcos Valle (IME)


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2 Dados de Deus Complexos e Geometria

Nessa apostila continuaremos abordando a aplicao dos nmeros complexosna resoluo de problemas de geometria. Ao contrrio da parte I, em que foifeita uma abordagem introdutria e foram apresentados exerccios de nvelbsico, agora iremos propor questes que podem se tornar mais complexas(trocadilhos a parte, rs).A maioria dos problemas foi retirada de provas do IME, da IMO ou outrasolimpadas, alm de grandes livros (vide bibliografia). Recomendamos aindaque os exerccios da parte I sejam totalmente assimilados j quefrequentemente sero citados seus resultados.

Exerccio 1:Seja S o circuncentro e H o ortocentro do . Seja Q o pontotal que S bissecta HQ e denote por , respectivamente, os baricentrosde . Prove que

Soluo:

Fig. 01

Seja S o centro do crculo unitrio de centro na origem dos eixos (S=0) e

os vrtices do . Como as alturas so perpendiculares aos lados,temos que (Fig. 01):
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De fato, satisfaz s 3 condioes acima e, como o ortocentro nico, essa e a unica possibilidade.

possui mesmo mdulo e direo que h, mas sentido contrrio. Logo:

Se t1, t2 e t3 so baricentros, ento:

Assim:

Exerccio 2:(BMO 1984) Seja ABCD um quadriltero inscritvel e HA, HB, HCe HDL os ortocentros dos tringulo BCD, CDA, DAB, e ABCrespectivamente.Prove que os quadrilteros ABCD e HAHBHCHDso congruentes.

Soluo:

Da mesma forma que o exerccio 1, vamos colocar a origem dos eixos nocentro do crculo circunscrito. Assim, podemos afirmar que , , , .Dois polgonos so congruentes se, e somente se seus lados so congruentes.

De fato:


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Exerccio 3: Os tringulos equilteros BCB1, CDC1, e DAD1 so construdosexternamente ao tringulo ABC. Se P e Q so respectivamente os pontosmdios de B1C1 e C1D1 e se R o ponto mdio de AB, prove que PQRissceles.

Soluo:

Fig. 02

Devemos provar que |q - r| = |p - r|.

Mas

Por fim, mostramos que

Exerccio 4:O quadriltero ABCDest inscrito em um crculo de dimetro AC.As retas ABe CD Intersectam-se em M e as tangents ao crculo em B e Dintersectam-se em N. Prove que MN AD.


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5 Dados de Deus Complexos e GeometriaSoluo:

Como um dimetro, . Dos exerccios 5.3 e 5.51, temos que:

Logo: e

Do exerccio 3 temos uma condio de colineriade

De fato:

Assim, .

Exerccio 5:(Reta de Simson) Se A, B, Cso pontos em um crculo, ento osps das perpendiculars traadas de um ponto arbitrrio Ddo crculo aos lados

do ABCso colineares.

Soluo:

Fig. 03

1A partir de agora, todas as referncias a exerccios tratam-se da apostila anterior.


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6 Dados de Deus Complexos e GeometriaTome o circuncentro do ABC como origem. Sejam e os ps dasperpendiculares de D aos lados do tringulo. Do exerccio 5.4, temos:

Da condio de colinearidade (vide excerccio 3):

Logo, os trs pontos esto alinhados, na chamada reta de Simson.

Exerccio 6: (Teorema de Pascal) Se o hexgono ABCDEF inscrivel em umcrculo, prove que os pontos M=ABDE, N=BCEF e P=CDFA socolineares.

Soluo:

Fig. 04

Tome o centro do crculo como origem. Do exerccio 5.5, temos que (jconjugando):

Assim:


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Logo

Mas quando um complexo igual a seu conjugado:

Logo, os pontos M, Ne Pso colineares.

Exerccio 7:O crculo com centro em O est inscrito em um tri ngulo ABC etoca os lados AB, BC, CA em M, K, Erespectivamente. Seja P a intersecoentre MKe AC. Prove que OPBE.Soluo:Tome o circuncentro do tringulo abccomo origem. Do exerccio 5.3,temos que:

Como os pontos m, k e p so colineares e mk corda do crculo unitrio,podemos aplicar o resultado do exerccio 5.2:

Note agora que , de modo que pelo exerccio 3, temos:

Igualando (I) e (II), obtemos:

Para finalizar, basta provarmos que

. Mas:


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E

Exerccio 8:O crculo com centro em O est inscrito em um quadriltero ABCDe toca os lados AB, BC, CDe DA respectivamente em K, L, Me N. As retas KLe MNintersectam-se em S. Prove que .

Soluo:Assuma que o crculo inscrito em abcd unitrio. Do exerccio 5.3,temos que:

, ,

,

(1)

Do exerccio 5:

(2)

Do exerccio 1 suficiente mostrar que:

De (1):

(3)E

(4)

De (2):

(5)

Comparando (3), (4) e (5) finalizamos a prova.


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9 Dados de Deus Complexos e GeometriaExerccio 9: (Olimpada Chinesa - 98) Seja D um ponto no interior de umtringulo acutngulo ABC, com DA DB AB+ DBDCBC+ DCDACA =

AB BC CA. Determine quais so as possveis posies que Dpode ocupar.

Soluo: Sejam a, b, c, e 0 as coordenadas complexas de A, B, C e D,

respectivamente. Temos, ento que DA DB AB+ DBDCBC+ DCDA CA = AB BC CA (*)))()(()()()( cabcabcaacbccbabba Como

))()(()()()( cabcabcacabcbcabab , sendo ),(1 ababw

32132132 (*)),(),( wwwwwwcacawbcbcw e portanto, w1, w2, w3

esto alinhados.

Assim, existem reais positivos e tais que

)()(

)()(

)()(

)()(

31

21

cacabb

bccaba

cacaabab

bcbcabab

ww

ww

,ca

cb

b

a

isto ,

DBABCA

180 e, analogamente,

DCACBA

180 e

.180 DCBCAB O nico ponto Dno interior de um tringulo acutngulo

que satisfaz essas condies o ortocentro.

Exerccio 10:(Teorema de Bottema) Dado ABCqualquer, constroem-se osquadrados ABDEe BCFGexternamente sobre os lados ABe BCdo tringulo.Prove que o ponto mdio Mde EF independente de Be AMC issceles ereto.

Soluo:

Fig. 05

Tome A como origem. Como AE perpendicular a BA e CF perpendicular aBC, temos que:


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10 Dados de Deus Complexos e Geometria Com isso determinamos o ponto M:

E

Logo, m independente de B, e .


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11 Dados de Deus Complexos e GeometriaQuestes extras

1-) No plano do tringulo A1A2A3 o ponto P0 dado. Seja As= As3, paratodo nmero natural s> 3. A sequncia de pontos P0, P1, P2, . . . construdade modo que o ponto Pk+1 obtido pela rotao do ponto Pkde um ngulo de120 no sentido horrio em torno do ponto Ak+1. Prove que se P1986 = P0,ento o tringulo A1A2A3 issceles.

2-) (IMO Shortlist 1992) Seja ABCDumquadriltero convexo para o qual AC=BD. Tringulos equilteros so construdos sobre os lados do quadriltero.Sejam O1, O2, O3, e O4 os centros dos tringulos construdos sobre AB, BC,CD, e DA, respectivamente. Prove que as linhas O1O3 e O2O4 soperpendiculares.

3-) Dado um quadriltero inscritvel ABCD, denote por P e Q os pontossimtricos a Cem relao a ABe AD, respectivamente. Prove que a reta PQ

passa pelo ortocentro do ABD.

4-) (IMO Shortlist 1998) Seja ABC um tringulo, H seu ortocentro, O seuincentro e R o raio da circunferncia circunscrita. Seja Do ponto simtrico a Aem relao a BC, E o ponto simtrico a B em relao a CA e F o pontosimtrico a Cem relao a AB. Prove que os pontos D, Ee Fso colinearesse, e somente se, OH = 2R.

5-) Dado um tringulo ABC, a tangente em A ao crculo circunscrito intersecta abase mdia paralela a BCno ponto A1. Analogamente, definimos os pontos B1e C1. Prove que os pontos A1,B1,C1 esto sobre uma reta paralela reta de

Euler do ABC.

6-) (IMO Shortlist 1996) Seja ABCum tringulo acutngulo tal que BC> CA.Seja Oo crculo circunscrito, Ho ortocentro e Fo p da perpendicular CH. Se aperpendicular de Fat OFintersecta CA em P, prove que 7-) (IME - 1987) Sejam A,B,C,D e E os vrtices de um pentgono regular

inscrito num crculo e M um ponto qualquer sobre o arco . Unindo-se Macada um dos vrtices do pentgono, mostre que os segmentos satisfazem

8-) Sejam A, B, C, Dquatro pontos em um crculo. Prove que a interseco dareta de Simson correspondente a A em relao ao tringulo BCDe a reta deSimson correspondete a Bem relao ao tringulo ACDpertence reta quepassa por Ce pelo ortocentro do ABD.

9-) (Teorema de Brokard) Seja ABCDum quadriltero inscritvel. As retas ABeCDintersectam-se em E, as retas AD e BCintersectam-se em Fe as teras ACe BDintersectam-se em G. Prove que O o ortocentro do tringulo EFG.

10-) (Ir 2005) Seja ABCum tringulo equiltero tal que AB= AC. Seja P oponto sobre o prolongamento do lado BCe sejam Xe Yos pontos sobre ABeACtais que


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Seja To ponto mdio do arco BC. Prove que PT .11-) Seja ABCD um quadriltero inscritvel e sejam K, L, M e N os pontosmdios de AB, BC, CA e DA, respectivamente. Prove que os ortocentros deAKN, BKL, CLM, DMNformam um paralelogramo.

12-) (Teorema de Newton) Dado um quadriltero circunscritvel ABCD, sejam Me Nos pontos mdios das diagonais ACe BD. Se S o incentro, prove que M,N, e Sso colineares.

13-) Seja ABCDum quadriltero cujo crculo inscrito toca os lados AB, BC, CDe DA nos pontos M, N, P e Q. Prove que as retas AC, BD, MP e NQ soconcorrentes.

14-) Assuma que o crculo de centro Itoca os lados BC, CA e ABdo ABCnospontos D, E, Frespectivamente. Assuma que as retas AIe EF intersectam-seem K, as retas EDe KC em L e as retas DF e KBem M. Prove que LMparalelo a BC.

15-) (25o Torneio das Cidades) Dado um tringulo ABM, denote por H seuortocentro, Io incentro, Oo circuncentro e Ko ponto de tangncia entre BCe ocrculo inscrito. Se as retas IOe BCso paralelas, prove que AOe HKsoparalelas.

16-) (IMO 2000) Sejam AH1, BH2 e CH3 as alturas do tringulo acutngulo

ABC. O crculo inscrito em ABCtoca os lados BC, CA, ABrespectivamente emT1, T2e T3. Sejam I1, I2, I3 as retas simpetricas a H2H3, H3H1, H1H2emrelao a T2T3, T3T1 e T1T2 respectivamente. Prove que as retas I1, I2, I3determinam um tringulo cujos vrtices pertencem ao crculo inscrito em ABC.

17-) (Teorema da Borboleta) Seja Mo ponto mdio de uma corda PQde umcrculo, no qual duas outras cordas ABe CDso traadas. ADcorta PQem XeBCcorta PQem Y. Prove que Mtambm ponto mdio de XY.

S escravo do saber,

se queres ser verdadeiramente livre.

(Sneca)


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13 Dados de Deus Complexos e GeometriaREFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

Hahn, Liang-shin Complex Numbers and Geometry, The Mathematical

Association of America, 1994

Andreescu, Titu Complex Numbers From A to Z, Birkhuser, 1956

http://www.wildstrom.com/susan/COMPLEXNUMBERSPROP.pdf

http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf

http://www.imomath.com/tekstkut/cnum_mr.pdf

http://www.ime.eb.br
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