PS-GRADUAO LATO SENSU APERFEIOAMENTO PROFISSIONAL ENGENHARIA DE MANUTENO CONFIABILIDADE APLICADA MANUTENO Prof. Dr. Evaldo Khater Abril/2009 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 2 I - NOES DE ESTATSTICA 1-Fenmenos Aleatrios. Emmuitosfenmenosqueocorrem,comousemainterfernciadohomem,taiscomo: lanamento de uma moeda, jogo de dados, sorteio de uma carta de baralho, nascimento de umacriana,extraodeumaentrevriasbolasdeumaurna,produodepeaem mquina automtica, etc. Observamosque,mesmorepetidosvriasvezes,sobcondiesbemsemelhantes, apresentamresultadoscompletamenteimprevisveis.Tantoistoverdadequealguns destes fenmenos so usados nos jogos de azar ( moeda, dados, cartas, loteria, etc. ) Chamaremos estes fenmenos de fenmenos aleatrios.

2-Conjunto Universo. Evento. 2.1 Definio: O conjunto de todos os resultados possveis de um fenmeno aleatrio chama-se conjunto universo ( ou espao de prova ) do fenmeno e representado por U. Exemplos: 1) Joga-se um dado e l-se o nmero de pontos da face voltada para cima: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2) Joga-se uma moeda e l-se a figura da face voltada para cima: U = { cara, coroa } 3) Jogam-se dois dados ( um branco e outro azul ) e lem-se os nmeros de pontos, respectivamente b e a , que se indica ( b, a ). O conjunto universo o conjunto dos pares ordenados da tabela: ( 1, 1 ) ( 2, 1 )( 3, 1 )( 4, 1 )( 5, 1 )( 6, 1 ) ( 1, 2 ) ( 2, 2 )( 3, 2 )( 4, 2 )( 5, 2 )( 6, 2 ) ( 1, 3 ) ( 2, 3 )( 3, 3 )( 4, 3 )( 5, 3 )( 6, 3 ) ( 1, 4 ) ( 2, 4 )( 3, 4 )( 4, 4 )( 5, 4 )( 6, 4 ) ( 1, 5 ) ( 2, 5 )( 3, 5 )( 4, 5 )( 5, 5 )( 6, 5 ) ( 1, 6 ) ( 2, 6 )( 3, 6 )( 4, 6 )( 5, 6 )( 6, 6 ) 4) Jogam-se duas moedas diferentes e lem-se os resultados das faces voltadas para cima, indicando cara por F e coroa por C: U = { (F, F), (F, C), (C, F), (C, C) } Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 3 5) De uma urna contendo 5 bolas vermelhas ( V1, V2, V3, V4 eV5) e 1 bola branca (B) retira-se uma bola: U = { V1, V2, V3, V3, V4, B} 2.2Definio: Qualquer subconjunto de U chama-se evento. Retomando os exemplos anteriores, temos: 1) A= { 2, 4, 6 } o evento nmero de pontos obtidos no jogo de dado par. B = { 1, 2, 3, 4 } o evento nmero de pontosobtidos no jogo de dado menor ou igual a 4 2) A = { cara} o evento resultou cara no lanamento de uma moeda 3) A = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) } o evento a soma dos pontos no lanamento de dois dados 7. B = { (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) } o evento o dado branco apresentou 2 pontos. 4) A = { (F, F), (C, C) } o evento as duas moedas lanadas apresentaram resultados iguais. 5) A = { V1, V2, V3, V4, V5 } o evento abola retirada da urna vermelha. Notemos que o conjunto vazio ( ) tambm subconjunto de U, portanto, tambm um evento: = evento impossvel Notemos que U U, portanto, tambm um evento: U = evento certo Assim, por exemplo: 1) Ao jogar um dado, obter nmero de pontos maior que 6 um evento impossvel e obter nmero de pontos menor ou igual a 6 um evento certo. 2) de uma urna que contm 5 bolas vermelhas e 1 bola branca, extrair uma bola preta um evento impossvel e extrair uma bola vermelha ou branca um evento certo.

Chama-se complementar do evento A o eventoA tal que

A = U A

Isto , A o conjunto dos elementos de U que no pertencem a A. Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 4 3 - PROBABILIDADE. Consideremos, mais uma vez, o fenmeno aleatrio lanamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Se fizermos n experincias e obtivermos m vezes o resultado cara , diremos que a freqncia absoluta do evento cara, m e a freqncia relativa nm. claro que, jogando-se a moeda uma vez, o resultado absolutamente imprevisvel, porm, a experincia provou que, repetindo-se a experincia em nmero n crescente de vezes, a ocorrncia do evento cara tende a estabilizar-se em torno da metade de n, isto : se n + , ento nm 21

A tabela abaixo mostra os resultados de algumas experincias histricas neste assunto: experimentador KERRICH BUFFONPEARSON M 502511497529504476507528504529204812012 N 1000100010001000100010001000100010001000404025000 m/n 0,5020,5110,4970,5290,5040,4760,5070,5280,5040,5290,506430,5005 Isto significa que no lanamento de uma moeda perfeita (homognea, simtrica, etc.) a chance ou a probabilidade de obter cara ou 50%. Esta e outras experincias aleatrias levaram os matemticos a aceitar uma definio que permita o clculo da probabilidade de um evento A a priori, isto , sem determinar pela experincia o limite da freqncia relativa do evento A quando n tende a infinito. 3.1 -Definio: Se, num fenmeno aleatrio, o nmero de elementos do conjunto universo n(U) e o nmero de elementos do evento A o nmero P(A), tal que, ) () () (U nA nA p = Notemos que: 1) Esta definio s vale se todos os elementos de U tiverem a mesma probabilidade, isto , se o espao de prova equiprobalstico; 2) Sendo assim, n(A) o nmero de casos favorveis a A e n(U) o nmero de casos possveis quando se realiza o experimento. Exemplos: 1) Qual a probabilidade de jogar um dado e obter: Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 5 I.-3 pontos? II. nmero de pontos par? III. nmero de pontos menor ou igual a 4? Soluo: I-U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {3} P(A) = 61) () (=U nA n II-U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 4, 6}

P(B) = 2163) () (= =U nB n III -U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } eC = {1, 2, 3, 4} P(C) = 3264) () (= =U nC n 2) Qual a probabilidadede lanar uma moeda e obter coroa? Soluo: U = {cara, coroa}e A = {coroa} P(A) = ) () (U nA n = 21

3) Qual a probabilidade de lanar um dado branco e outro azul e obter: I-soma dos pontos igual a 7? II-2 pontos no dado azul? Soluo: Vimos que n(U) = 36, ento: I-A= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) } Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 6 P(A) = 61366) () (= =U nA n II-B = { (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) } P(B) = 61366) () (= =C nB n 4) Qual a probabilidade de lanar duas moedas e obter resultados iguais? Soluo: U= {(F, F), (F, C), (C, F), (C, C) }eA = {( F, F), (C, C) } P(A) = 2142) () (= =U nA n 5) Qual a probabilidade de retirar uma bola de uma urna, contendo 5 bolas vermelhas e 1 branca, e obter uma bola vermelha? Soluo: U = { V1, V2, V3, V4, V5, B}e A = { V1, V2, V3, V4, V5 } P(A) =65) () (=U nA n 3.2 Teorema: A probabilidade um nmero real que varia de 0 a 1, ou melhor: 1 .P() = 0 2 .P(U) = 1 3 . 0 P(A) 1 _ 4 . P(A) + P( A ) = 1 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 7 Demonstrao: SeA um evento qualquer ento: A U logo os nmeros de elementos satisfazem desigualdade: n() n(A) n(U)

) ( ) ( ) () () () () () () (U p A p pU nU nU nA nU nn Ento: 0 P(A)1 Por outro lado temos:

A + A= U n(A) + n( A) = n(U) ) () (U nA n+ n(U)A) ( n = 1 P(A) + P( A) = 1 4- Adio de Probabilidades: 4.1 Definio: Dois eventos A e B so mutuamente exclusivos se, e somente se, A B = . imediata a propriedade: A B = P(A B) = 0 Isto , a probabilidade de ocorrerem simultaneamente dois eventos mutuamente exclusivos nula. Exemplos: 1) Jogando-se um dado, sejam A o evento obter dois pontos na face superior e B o evento obtercinco pontos na face superior. evidente que A e B so mutuamente exclusivos. 2) Uma urna contm 5 bolas vermelhase 1 bola branca. Sejam A o evento extrair uma bola vermelha da urna e B o evento extrair uma bola branca da urna. A e B so mutuamente exclusivos. 3) Um baralho contm 52 cartas. Consideremos os eventos A = retirar do baralho uma carta de ouro Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 8 B = retirar do baralho um rei Os eventos A e B no so mutuamente exclusivos pois AB = {rei de ouro} 4.2- Teorema: Se A e B so dois eventos do conjunto universo U ento, P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) Demonstrao: O nmero de elementos do conjunto AB igual soma dos nmeros de elementos de A e de B, menoso nmero de elementos de AB (que foram computados duas vezes), ento: n(AB) =n(A) + n(B) n(AB) portanto: n(AB)/n(U) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U)-n(AB)/n(U) e decorre a tese: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Exemplos: 1) Qual a probabilidade de jogar um dado e obter 4 pontos ou nmero par de pontos? Soluo: Sejam A= {4} o evento obter 4 pontos e B= {2, 4, 6} o evento obter nmero par de pontos. Sabemosque o conjunto universo U= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto P(AB)= P(A) + P(B) P(AB)= = 61+63-61=21 2) Qual a probabilidade de, num baralho de 52 cartas, retirarmosuma carta de ouro e um rei? Soluo: Sejam os eventos A = retirar uma carta de ouro Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 9 B = retirar um rei AB = retirar o rei de ouro Ento: n(A) = 13, n(B) = 4 en(AB) = 1 portanto: P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) =13452165215245213= = + 4.3 - Teorema: Se A e B so dois eventos mutuamente exclusivos, ento: P(A B) = P (A) + P(B) Esta propriedade uma conseqncia anterior, bastando notar que agora P(AB) = 0. Exemplo: Um grupo de 100 universitrios formado por 52 estudantes de engenharia, 27 de medicina, 10 de filosofia e os demais de direito. Escolhidoao acaso um elemento grupo, qual a probabilidade dele ser de estudantes de engenharia? Soluo: Sejam os eventos: A= escolher estudante de engenharia B=escolher estudante de engenharia e medicina AB = 52,n(B) = 27 en(AB) = 0 Portanto: P(AB) = P(A) + P(B) = 100791002710052= + O teoremaanterior pode ser generalizado: Se A1, A2, A3, ...., Na so eventos dois a dois mutuamente exclusivos, ento : P ( A1 A2 A3 ..... An) = P (A1) + P (A2) + P (A3) + ... + P (An) Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 10 5 - Multiplicao de Probabilidades Considere o seguinte problema: um grupo de pessoas apresenta a composio dada pela tabela homens (H)mulheres(M) argentinos (A)515 brasileiros (B) 10 10 chilenos(C)35 25 Pergunta-se: escolhido um homem do grupo, qual a probabilidade que seja argentino?

P(AH) = ) () (H nH A n = 101505= Isto , o argentino-homem deve ser escolhido no conjunto dos homens, portanto, o elemento procurado pertence ao conjunto A H e o conjunto universo, nesta operao, H. Agora mais fcil compreender a seguinte definio. 5.1- Definio: Chama-se probabilidade condicional de A, relativamente a B, a probabilidade do evento A quando j se verificou o evento B. Indica-se por P(AB). evidente que P(AB) = ) () (B nB A n Ou ainda:

P(AB)= ) () () () () () (B PB A PU nB nU nB A n= e decorre a principal conseqncia da definio P(A B) = P(B) . P(AB) = P(A) . P(BA) Isto , a probabilidade da interseco de dois eventos A e B igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro em relao ao primeiro. Exemplos: 1) Uma urna contm 4 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 3 bolas brancas. Qual a probabilidade de retirarmos uma vermelha e, sem reposio dela , uma branca? Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 11 Soluo: P(V B) = P(V) . P(BV) =15293104= x 2) Jogam-se dois dados iguais. Qual a probabilidade da soma dos pontos ser 7 e um dos dados apresentar 2 pontos? Soluo: Sejam os eventos: A= obter soma dos pontos 7 B= obter 2 pontos em um dos dados Vimos no item 2.1 que : n(A) = 6, n(AB) = 2en(U) =36ento, P(AB) = P(A) . P(BA) = 18162366= x 5.2 - Definio: Dois eventos A e B so independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles independe do fato de ter ou no ocorrido o outro. Neste caso temos: P(AB) = P(A)e P(BA) = P(B) Exemplos: 1) Numa caixa existem 4 bolas vermelhas e uma branca. Os eventos retirar da caixa uma bola vermelha e depois retirar uma bola branca, tendo reposto a bola vermelha na caixa, so independentes. 2) Joga-se um dado duas vezes, obtendo-se os eventos 4 pontos e 2 pontos respectivamente. Estes dois eventos so independentes. 5.3 - Teorema: Se A e B soeventos independentes, ento: P(AB) = P(A) . P(B) Exemplo: Joga-se um dado e lana-se uma moeda. Qual a probabilidade de obter os eventos 6 pontos no dado e cara na moeda? Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 12 Soluo: Chamando os eventos de A e B, respectivamente, evidente que A e B so independentes, ento P(AB) = P(A) . P(B) =1212161= x 6 - LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE Consideremos o problema: uma urna contm 5 bolas brancas, 8 azuis e 2 amarelas; retirando-se 4 bolas sucessivamente, com reposio, qual a probabilidade de obter 3 bolas brancas? Soluo: Sejam os eventos: A = retirar uma bola branca A = retirar uma bola no branca Em qualquer uma das 4 retiradas, tendo em vista que a bola reposta, temos P(A) = 31155=e P( A) 321510= Nas 4 retiradas, devemos obter 3 vezes bola branca e 1 vezbola no branca, isto , satisfazem os conjuntos ( ordenados de acordo com a ordem retirada) :

( A, A, A, A),(A, A,A, A ), ( A,A, A, A )e ( A, A, A, A ) em nmero de C4,3 =||.|

\|34

Com a probabilidade de A (ouA),em qualquer das retiradas, independente da verificao de A (ou A) nas retiradas anteriores pois suas probabilidades so constantes, decorre que em qualquer ordenao a probabilidade de ocorrer 3 brancas e uma no branca igual ao produto das probabilidades, isto : (31)3 . (32)1 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 13 logo, a probabilidade pedida : ||.|

\|34. (31)3 . (32)1 = 4 . 81832.271= 6.1 Consideremos agora uma experincia que se repete n vezes e que em qualquer delas tenhamos

P(A) = pe P( A) = 1-p Qual a probabilidade do evento A ocorrer em i das nexperincias?

Notemos que nas n experincias P(A)e P( A) so constantes e o resultado de cada experincia independente dos resultados das anteriores; sendo assim, a probabilidade de obter ivezes o evento A e n-i vezes o eventoA , em qualquer ordem, o produto das probabilidades, isto : pi . (1-p)n-i Como convm ao problema qualquer conjunto ordenado de n elementos, sendo iiguais a A e n-iiguaisaA, no importando a ordem dos elementos, devemos calcular o nmero de conjuntos ordenados que satisfazem (permutaes de n elementos com i iguais a A e

n-i iguais aA ), isto :

( )! !!i n inque equivale a ||.|

\|in

e multiplicar este nmero pelo produto das probabilidades, obtendo: Pi= ||.|

\|in . pi . (1-p)n-i

denominada Lei Binomial de Probabilidade, porque expressa pelo termo Ti+l do desenvolvimento de [p+ (1-p)]n 6.2 - Notemos que a lei binomial s aplicvel a uma experincia aleatria que obedea s caractersticas seguintes: 1) a experincia deve ser repetida, nas mesmas condies, um nmero n pr-fixado de vezes; 2) cada vez que a experincia feita ocorre evento A ou evento A; Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 14 3) P(A) constante em todas as n vezes; 4) cada experincia independente demais.

Exemplos 1)Lana-se uma moeda 5 vezes. Qual a probabilidade de se obter 3 caras e 2 coroas? Soluo: Seja A o evento obter cara num lanamento. Temos P(A) = p =21,n=5 i=3, ento: P= ||.|

\|35 . (21)3 . (1- 21 )5-3= 10 . (21)5 =3210= 165 2)Joga-se um dado 4 vezes. Qual a probabilidade de se obter 5 pontos pelo menos 2 vezes? Soluo: Seja A o evento obter 5 pontos numa jogada. Temos: P(A) =61, n = 4 e i = 2ou3ou 4 Ento: i = 2 P2 = ||.|

\|24 . (61)2 . (25)2 = 216150 i = 3 P3 = ||.|

\|34 . (61)3 . (65)1 = 21620 i = 4 P4 = ||.|

\|44 . (61)4 . (65)0 =2161 P = P2 + P3 + P4 = 2419216171= Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 15 7 - Aproximao de Funes -Mtodo dos Mnimos Quadrados -Introduo Abordaremosoproblemadeaproximarumafunofporumafunogdeumafamlia previamente escolhida. Trataremosquando a funo f tabelada Domnio discreto-. Estudaremosomtododosmnimosquadradoscomeandopelocasoparticulardeajustede uma reta a uma tabela e depois generalizando o raciocnio para aproximar uma funo fpor uma gda famlia G das funes conhecidas, no nulas, gk, k = 0,1,.....,m, g(x)= =mkk kx g a0) ( A seguir, daremos uma idia de como podemos tratar do ajuste de uma funo por outra no linearnosparmetros.Trataremostambmdocasoparticularemqueasfunesgkso polinmiosortogonaisentresiedocasoemquegksofunestrigonomtricas,conhecido como aproximao trigonomtrica ou anlise harmnica. 7.1-Generalidades Quandosetratadefazerumaaproximao,surgemnaturalmentealgumasperguntas, como: Por queaproximar? Qual famlia de funes escolher? Como aproximar? Nestaseotentaremosresponderestasperguntasejustificar,assim,aescolhadomtodo dos mnimos quadrados. Por que aproximar? Quandoestamosfazendoumexperimento,normalmenteconhecemosafamliadafuno que descreve o fenmeno envolvido. Em geral, os valores obtidos j so afetados de erros e, portanto,afunodesejadanonecessitafornecerexatamenteosvaloresmedidos.Basta achar,entreosdiversoselementosdafamlia,aquelequemelhoraproximaofenmeno medido. Umaoutracircunstnciaquandoseconheceaformaanalticadafunoquedescreveum fenmenoeprecisamossubstitu-laporumaoutrafuno(porexemplo,parafacilitaro tratamentomatemticodomodelo)porm,queseaproximerazoavelmentedafuno original. Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 16 Qual famlia de funo escolher? A escolha da famlia aproximadoraG deve levar em conta os seguintes fatores: -ascaractersticasqueafunoaproximadoradeveterparafacilitarosclculos.Por exemplo:polinmiossofacilmenteintegrveis;adies,subtraes,multiplicaese translaes de polinmios resultam em polinmios; -ocomportamentodasfunesdafamliaGdeveseaproximardocomportamentoda funofomaispossvel,porm,comformaanalticaconveniente.Porexemplo, periodicidade da funo pode ser obtida com funes trigonomtricas. Aescolhadafamliaaproximadoranosertratadanestetexto.Omtododosmnimos quadrados assume que a famlia G foi escolhida a contento. Como aproximar? Ao aproximar uma funo f por uma funo g de uma famlia G estaremos introduzindo um erro r que ser chamado de resduo.

Assim R(x) = f(x)- g(x)(1.1) Aparentemente,umaboaaproximaoseriaobtidafazendo =xx r 0 ) ( .Analisaremostal afirmao. Para simplificar, suponha que foi realizado um experimento em que se levantouos pontos p1, p2, p3 e p4. Sabendo-se que o fenmeno descrito por uma reta, vamos determin-la de modo a satisfazer=xx r 0 ) ( . O problemaque estamos enfrentado com esse critrio o fato dos erros positivos cancelarem oserrosnegativos.Portanto,sedeixarmosdeconsiderarosinaldoserros,evitaremoseste problema.Issopodeserfeitotrabalhandocomovalorabsolutodosresduoseexigindoque xx r ) (seja mnimo. Achar o mnimo desta funo nos levaa uma dificuldade matemtica nodesejada.Umoutrocritriocomamesmacaracterstica,pormcomtratamento matemtico mais simples, exigir que) (2x rx seja mnimo. O mtodo para aproximar uma funofporumagGutilizandoesseltimocritriodenominadomtododosmnimos quadrados. Existemoutroscritriosparaaescolhadafunoaproximadorag:porm,nestetexto, trataremos apenas do mtodo dos mnimos quadrados. Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 17 7.2-Regresso linear Nossoobjetivoagoraaproximarumafunofporumafunogdafamliaa+bxpelo mtodo dos mnimos quadrados. Nesta seo vamos nos preocupar apenas em aproximar uma funo ftabelada nos pontos xi, i = 1, 2,......,n, n2, por uma reta, utilizando o mtodo dos mnimos quadrados. Este caso particular conhecido como regresso linear.

Aproximarumafunoftabeladanospontosxi,i=1,....,n,pelomtododosmnimos quadrados,significadeterminarosparmetrosaebdaretaa+bxdemodoqueasomados quadrados dos erros em cada ponto seja mnima. O resduo em cada ponto (xi, yi ) = (xi, f(xi)) dado por: R(xi) = ri = yi- g(xi) ( 2.1) Portanto, queremos determinar a e b que minimizam: M(a,b) = =niir12= 21) (iniibx a y =(2.2) Para isto necessrio que : 0) , (=ab a M e 0) , (=bb a M(2.3) ou seja, ) 1 )( ( 21 =niibx a y= 0(2.4) e 0 ) )( ( 21= =nii i ix bx a y

Portanto:

= = == +niiniiniy x b a1 1 11 (2.5) e

iniiniiniix y x b x a = = == +1 121 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 18 ou, usando a notao matricial, temos o seguinte sistema linear:

= == =niiniiniinix xx1211 11

ba =

==nii iniiy xy11(2.6) Este sistema denominado sistema normal. Veremosmaisadiantequeestesistematemdeterminantepositivo,portantosempretem soluo. Seconsiderarmosxcomoumvetorem) (n nx comcomponentesx1,x2,.....,xn;yn , com componentes y1, y2,.........yn e o vetor 1 n , com componentes 1, podemosnotar que os somatrios indicados em 2.6 podem ser escritos como produtos escalares em n :

=ni 11= (1/1)(2.7)

=niix1= (1/X) (2.8)

=niix12= (X/X)(2.9) =niiy1= (1/Y)(2.10)

=nii iy x1=(X/Y) (2.11) Reescrevendo o sistema (2.6), obtemos:

) / ( ) / 1 (' X X X(1/y) (1/1)

ba=

) / () / 1 (Y XX (2.12) Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 19 cuja soluo dada por :

2) / 1 ( ) / )( 1 / 1 () / )( / 1 ( ) / )( / 1 (X X XY X X X X Ya= (2.13)

2) / 1 ( ) / )( 1 / 1 () / 1 )( / 1 ( ) / )( 1 / 1 (X X XX Y Y Xa=(2.14) Vamosverificarque( a ,b )calculadosem(2.13)e(2.14)correspondemaumpontode mnimo da funo M(a,b) = (r/r). Para isto, basta verificar que: ) , (22b aaM>0 (2.15) det

) , ( ) , () , ( ) , (22 2222b abMb ab aMb aa bMb aaM > 0 (2.16) j que ( a , b ) foram determinados a partir de (2.3) A relao (2.15) : 0 2 ) 1 / 1 ( 2 ) , (22> = =n b aaM(2.17) e a relao (2.16) fica:

det

) / ( 2 ) / 1 ( 2) / 1 ( 2 ) 1 / 1 ( 2X X XX = 4[n(X/X) (1/X)2](2.18) Para provar que a expresso obtida em(2.18) positiva, vamos considerar o produto escalar ( . ), 1 / 1 + + X X ( ) / ( ) / 1 ( 2 ) 1 / 1 ( ) 1 / 12X X X X X + + = + + (2.19) Este produto escalar estritamente positivo, pois s poderia ser nulo se X = - 1 , ou seja, x1= x2 =....=xn =- , caso que no ser considerado, pois corresponde ao ajuste de umaretaaumnicoponto,eestamossupondoqueafunosempreconhecidaempelo menos dois pontos. Portanto, Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 20 = =+ +ninii ix x n1 12 22 >0, (2.20) Comoainequaodo2ograuem obtidaem(2.20)verdadeira,odiscriminanteda equao do 2ograu correspondente negativo, isto ,

= =

= niiniix n x12214 2 < 0(2.21) Portanto, 4n21 124

> = =niiniix x (2.22) o que prova que 4[n(X/X) (1/X)2] > 0.Acabamos de mostrar, tambm, o que o sistema normal (2.12) tem uma nica soluo, uma vezqueodeterminantedamatrizdoscoeficientesdosistemanormal(2.12)/edadopor n(X/X) (1/X)2. Exemplo 2.1 Comoresultadodealgumexperimento,suponhaqueobtivemososseguintesvaloresparaa funo f : x 01234 F(x)01144 Vamosdeterminar a reta quemelhorse ajusta a esta funo segundo o mtodo dos mnimos quadrados. O sistema (2.6) (ou(2.12)) correspondente ;

30 1010 5

ba =

3110 que tem soluoa = -1/5 eb = 11/10. Portanto, g(x) = 511511 x a reta aproximadora obtida. Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 21 II CONFIABILIDADE APLICADA MANUTENO 1.1 - Introduo SegundoWielandKroener(1990)setomarmoscomoexemploavelocidadede deslocamentodohomemnosmilniosdesuaexistnciaconstatamosqueenquanto durante 8 mil anos no ocorreu nenhuma variao digna de referncia, a partir do invento da primeira mquina muita coisa mudou e cada vez mais depressa. Ainvenodocomputadoresuautilizaogeneralizadaapartirdosanos60foio pontodepartidaparatodaumaevoluotecnolgicasemaqualaEraEspacialseria inimaginvel. E foi justamente a conquista do espao que levou ao alto nvel tecnolgico dehoje,porqueaexignciadecomponentescadavezmenores,maislevesecommais informaes acabou levando a uma infinidade de invenes. Esta evoluo tem e ter influncia cada vez maior sobre a manuteno, pois aliada altatecnologiaestaexignciadealtssimaprodutividade.Juntamentecoma produtividadeimprescindvelqueosmeiosdeproduoapresentemflexibilidadee confiabilidade.Confiabilidade diz respeito a todas as caractersticas de um produto que podem mudar comotempoou,ainda,comapossibilidadededeixardeserconforme,apsumcerto perodo. Nasimplesperguntasobreagarantiadeumdeterminadoeletrodomsticoqueuma dona de casa est comprando, est implcita a questo sobre a confiabilidade. Daobservaodeaplicaodeestudosobjetivandoaumentaraconfiabilidadede ativos, temos a possibilidade de identificar casos de sucesso e tambm de fracasso. Muitas diferentes ferramentas metodolgicas so aplicadas e diversas alternativas de modificao dos seus critrios de implantao tem sido tentadas. Entretanto,temostambmobservadoqueaaplicaodeRCM,ReliabilityCentred Maintenance,temsidoachaveparaseatingiraconfiabilidadeeosdesempenhos operacionaisdecadainstalao,processoouequipamento,conformerequeridospelos usurios.AEngenhariadaConfiabilidade,temtambmcomoobjetivo,possibilitaruma afetivaanlisedosriscosassociados,minimizandoeeliminandoeventoscom conseqncias no que diz respeito segurana e meio ambiente (Moubray, 1991). Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 22 1.2 - Objetivos OusodetcnicasdeEngenhariadaConfiabilidadeforneceferramentastericase prticasquepermitamespecificar,projetar,testaredemonstraraprobabilidadeea capacidade,segundoaqual,componentes,produtosesistemasdesempenharosuas funes, por perodos determinados de tempo, em ambientes especficos e sem apresentar falhas. Com o custo e a complexidade cada vez maiores dos muitos sistemas industriais e de defesa,aimportnciadaconfiabilidadecomoumparmetrodeeficincia,tornou-se evidente (Lafraia, 2001). Benefcios com a aplicao da Confiabilidade: -Menos paradas no programadas; -Menos custos de manuteno/operao; -Menos possibilidades de acidentes. 1.3 - REVISO BIBLIOGRFICA 1.3.1 - Teoria da Confiabilidade 1.3.1.1- Introduo Oprincipal objetivo da engenharia , em princpio, proporcionar meios materiais que maximizemobem-estarhumano.Porm,istoenglobaumagrandequantidadederestries. Estas restries tornam impossveis o planejamento e a operao de maneira ideal da grande maioriadossistemasouprocessosfsicos.Conseqnciasnaturaisdestesfatoresrefletem-se de uma forma implcita na noo de risco. Adefinio de risco est amplamente ligada presenade situaes indesejveis. As medidas adequadas contra essas situaes s podem ser implantadas se houver uma avaliao criteriosa no que diz respeito ao nvel de risco envolvido, indicando assim os pontos "falhos" deumdeterminadoprodutoousistema,sugerindoaespreventivasoucorretivasmais eficazes. a avaliao probabilstica do risco/falha de um sistema ou produto que caracteriza o aspecto fundamental da chamada Anlise da Confiabilidade. (Lafraia, 2001). Esta anlise proporciona um bom desempenho funcional com baixo ndice de falhas de um determinado produto. A maior parte das variveis que fazem parte de um projeto so valores que no podem ser precisamente definidos. Variveis estas aleatrias que requerem um mtodo probabilstico Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 23 para o problema. O objetivo fornecer parmetros para tratar estes aspectos no projeto, j que para um produto em produo ou distribuio praticamente nada pode ser feito para melhorar a confiabilidade. 1.3.1.2- Fundamentos Umprodutoouoprojetodeste,muitasvezesnoconsideraasdiversasvariveis existentes. Elas no se constituem valores bem definidos. Destaforma,oprocessomaisaceitvelnestestiposdeaplicaesseriaum procedimento estatstico. Adiferenaprincipalentreoprojetodeumprodutoeoenfoqueprobabilsticoseria quenesteltimoconsideradoumapossibilidadedefalha.Oprocedimentoestatsticodeve ser considerado mais prximo da realidade. Aconfiabilidadeestenfocadanaconfianaquetemosemumdeterminadoproduto, equipamentoousistema,ouseja,queestesnoapresentemfalhas.Destaforma,umadas finalidades da confiabilidade seria a de definir a margem de segurana a ser utilizada. SegundoLafraia(2001),Oconceitoestatsticodeconfiabilidade:aprobabilidade dequeumcomponenteousistemafuncionandodentrodoslimitesespecificadosdeprojeto, nofalheduranteoperododetempoprevistoparaasuavida,dentrodascondiesde agressividade ao meio. 1.3.1.3- A Confiabilidade e a Qualidade Hojeemdia,oconsumidorestcientedafaltadeperfeionoqueserefere confiabilidade de produtos domsticos e outros mais. Companhiasareas,setoresmilitares,instituiesvoltadasparaasadepblica,etc., tambm esto cientes destes custos. Adificuldadeaparecequandosetentamensurarvaloresconfiveisparaosvrios nveis de confiabilidade. O ponto de vista mais simples na confiabilidade aquele em que o produto avaliado contra uma especificao e, se passar, enviado ao consumidor. Oconsumidor,aceitandooproduto,aceitatambmofatodequeelepodefalhar futuramente. Para satisfazer este temor do cliente o fabricante oferece um perodo de garantia. Caso o seu produto falhe diversas vezes, o fabricante absorver altos custos de garantia e os clientes tero uma grande dor de cabea com o inconveniente. Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 24 Em qualquer das situaes, o fabricante ter uma perda de reputao que refletir nos seus negcios futuros. No podemos falar de qualidade e confiabilidade separadamente. Confiabilidadedizrespeitoatodasascaractersticasdeumprodutoquepodem mudar com o tempo ou com a possibilidade de deixar de ser conformes aps um certo perodo de tempo. (Lafraia, 2001). Desta forma conclumos que confiabilidade um aspecto da incerteza da engenharia. Se um item vai desempenhar sua funo durante um certo perodo de tempo, isto pode ser respondido com uma Probabilidade. 1.3.1.4- Histrico Com o aparecimento da indstria aeronutica aps a Primeira Guerra Mundial, deu-se incioaodesenvolvimentodeprocedimentosparaanlisesdetempoatravsdaaplicaoda confiabilidade. Nadcadade40,surgiuodesenvolvimentodeteoriasmatemticasrelacionadasaos problemas.OmatemticoRobertLusserdesenvolveuumaequaorelacionada confiabilidadedeumsistemaemsrie.Surgiramasprimeirastentativasdealcanara melhoria de qualidade associada a uma manuteno preventiva. Na dcada de 50, com o aparecimento da indstria aeroespacial e eletrnica associada implantaodaindstrianuclear,ocorreuumsaltoconsidervelnodesenvolvimentode metodologiasdeclculoeaplicaesdaconfiabilidade.Nessapocaosanalistas reconheceramque aconfiabilidadedeveser aplicada,principalmente,noprojeto.Ocorreram nestapocaasprimeirasinvestigaesdeconfiabilidadeassociadaaocomportamento humano. Nadcadade60,tantoosdesenvolvimentosprticoscomotericoscontinuarama avanar, com destaque para a proposio de H.A.Watson, da teoria de Anlise de rvore de Falhas,em1961.Sobofocodaaplicaoprtica,foramestabelecidososfundamentosda anlisedeconfiabilidadeemsistemasmecnicos(estruturas),baseadosemmodelos denominadosesforoseresistncia,assimcomopreliminaresestudosdeconfiabilidadeem sistemas computacionais (hardware). Na dcada de 70, houve a consolidao desta anlise em diversas reas, com destaque para a rea nuclear. Surgiram tambm os primeiros modelos de anlise de confiabilidade em programas computacionais (software). Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 25 Apartirdadcadade80,ospasespossuidoresdetecnologiaavanadaimplantaram definitivamente as tcnicas de anlise de confiabilidade em diversas reas da engenharia. NoBrasil,houveumaaplicaoprticadaconfiabilidadenossetoresde telecomunicaes, eltrico, de armamento e nuclear. 1.3.1.5- A Origem das Falhas Os equipamentos falham devido a 3 fatores bsicos: -Falha de projeto; -Falha de fabricao; -Falha de utilizao. Asfalhasdeprojetoocorremquandooprojetistanoconsegueidentificaras necessidadesdoclienteouquandoestasnoestoidentificadas,ouainda,quandonose consegue ou no possuem mtodos para modelar corretamente o problema. Uma vez que o projeto tenha sido adequadamente abordado, a fase de fabricao pode provocar falhas quando os processos de fabricao/montagem so inadequados. Por ltimo, o uso incorreto do produto, que inclui manuteno inadequada, por falta de instruo do fabricante ou de treinamento do cliente. Tcnicas e atividades para anlise de falhas: -Investigao de acidentes, queixas e incidentes; -Confiabilidade do produto; -FMEA ( Anlise de Modo de Falha e Efeito); -Anlise de rvore de falhas. Tcnicas para eliminar no projeto os pontos de falha potenciais na operao: -Construindo operaes com recursos crticos redundantes; -Tornar as atividades da operao prova de falhas; -Manter as instalaes fsicas da operao. Tcnicas para melhorar a confiabilidade das operaes: -Eliminar no projeto os pontos de falhas potenciais na operao; -Construindo operaes com recursos crticos redundantes; -Tornar as atividades da operao prova de falhas; Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 26 -Manter as instalaes fsicas da operao. 1.3.2- Parmetros da Confiabilidade 1.3.2.1- Introduo Matematicamente,confiabilidadedefinidacomo:probabilidadedequeum componenteousistema cumprasua funocom sucesso,porumperododetempoprevisto, sob condies de operao especificadas.Adefiniodefalha(queoinversodaconfiabilidade),nocontextoda confiabilidade, : impossibilidade de um sistema ou componente cumprir com sua funo no nvel especificado ou requerido.Taxadefalhas():freqnciacomqueasfalhasocorrem,numcertointervalode tempo, medida pelo nmero de falhas para cada hora de operao ou nmero de operaes do sistema ou componente. (Lafraia, 2001). O inverso da taxa de falhas conhecido como Tempo Mdio Entre Falhas (TMEF). A expresso matemtica do TMEF : TMEF = 1/ 1.3.2.2- A Curva da Banheira Estacurvaapresentaasfasesdavidadeumcomponente.Elasvlidapara componentes individuais. Nesta curva um componente apresenta 3 perodos da vida caractersticos: mortalidade infantil, perodo de vida til e perodo de desgaste. Noperododemortalidadeinfantil,ocorremasfalhasprematuras.Processosde fabricaodeficientes,controledaqualidadedeficiente,mo-de-obradesqualificada, Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 27 amaciamentoinsuficiente,errohumano,instalaoimprpria,etc.,representamalgumasdas origens destas falhas. O perodo de vida til, caracterizado por falhas de natureza aleatria, pouco podendo serfeitoparaevit-las.Interfernciaindevidatenso/resistncia,fatordesegurana insuficiente,cargasaleatriasmaioresqueasesperadas,resistnciamenorqueaesperada, erros humanos durante o uso, etc., so algumas das causas de falhas neste perodo. Jnoperododedesgaste,inicia-seotrminodavidatildoequipamento.Algumas dascausasdesseperodoso:envelhecimento,degradaoderesistncia,fadiga,corroso, manuteno deficiente, etc. Nemtodosostiposdecomponentes/sistemasapresentamsempretodasasfases.Um exemplo de sistema que apresenta apenas o perodo de mortalidade infantil um programa de computador;namedidaemqueoserrosdeprogramaosocorrigidos,asfalhasvo desaparecendo. Componenteseletrnicosapresentamnormalmentefalhasaleatrias;nestetipode falha deve haver a substituio da pea quando houver uma quebra. Componentesmecnicosapresentamas3fasesenormalmentedevesemedirasua taxa para se evitar que estas passem ao perodo de desgaste. 1.3.2.3- Definies Ligadas Confiabilidade TempoMdioparaFalha(TMPF):otempoparafalhadecomponentesqueno podem ser reparados.TempoMdioparaReparo(TMPR):otempoparaoreparodecomponentes, obtido de uma amostra nas mesmas condies de uso do componente desejado. Disponibilidade (D): a probabilidade de que um componente que sofreu manuteno cumprasuafunosatisfatoriamenteparaumdadoperododetempo.representado matematicamente pela expresso: D = TMEF/ (TMEF+TMPR) 1.3.3 - Benefcios da Confiabilidade: Fornecer solues s necessidades atuais das indstrias como: -Aumento da produo de produtos/unidades mais lucrativas; -Flexibilidade para utilizao de diversos tipos de cargas; -Responder rapidamente s mudanas nas especificaes dos produtos; Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 28 -Cumprir com a legislao ambiental, de segurana e higiene. Permitir a aplicao de investimento com base em informaes quantitativas: -Segurana; -Continuidade operacional; -Meio ambiente. Eliminaodecausasbsicasdeparadasnoprogramadasdeindstrias,usinasou instalaes: -Diminuir os prazos de paradas programadas; -Atravs do aumento da mantenabilidadedas instalaes. Atuao nas causas bsicas dos problemas e no nos sintomas atravs de: -Histrico de falhas nos equipamentos; -Determinao das causas bsicas das falhas; -Preveno de falhas em equipamentos similares; -Determinao de fatores crticos para a mantenabilidade dos equipamentos. Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 29 III - Distribuies Aplicadas Confiabilidade 1 - Distribuio Discretas Seumavarivelxpodeassumirumconjuntodevaloresx1,x2...xk,comas probabilidadesp1,p2,p3+...pk,respectivamente,sendop1+p2+p3+...+pk=1,diz-se queestdefinidaumadistribuiodeprobabilidadediscretadex.Afunop(x)que assumeosvaloresp1,p2,p3, ...pk,respectivamente,parax=x1,x2 ...xk,denominada funodeprobabilidades,elefrequentementedenominadovarivelaleatriadiscreta. A varivel aleatria tambm conhecida como varivel casual ou estocstica. Exemplo: Suponha-seolanamentodeumpardedadoshonestosequexindiqueasomados pontos obtidos. Ento, a distribuio de probabilidades dada pela Tabela 1. Tabela 1 x p(x) 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36 Porexemplo,aprobabilidadedeobter-seasoma5de4/36=1/9.Ento,pode-se esperar que em 900 lances dos dados, 100 lances dem a soma 5. Note-sequeissoanlogoaumadistribuiodefreqnciasrelativas,comestas substitudaspelasprobabilidades.Poressarazo,pode-seimaginarasdistribuiesde probabilidades como uma forma terica ou de limite ideal das distribuies de freqncias relativas,quandoonmerodeobservaesfeitastorna-semuitogrande.Porestarazo, pode-se imaginar que as distribuies de probabilidade referem-se a populaes, ao passo que as distribuies de freqncias relativas referem-se a amostras delas extradas.Adistribuiodeprobabilidadepodeserrepresentadagraficamente,mediantea locao de p(x) em relao a x, da mesma forma que a distribuio de freqncia relativa. 1.1 - Distribuio Binominal Adistribuiobinominaldescreveasituaoemqueshdoisresultadospossveis, comofalhaounofalha,eaprobabilidadesemantmamesmaparatodasastentativas. Portanto,esta funo muitoutilizadaem confiabilidade econtroledequalidade.Af.d.p. dada por: Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 30 ( )( )( ) x n xx n xnq p x f=! !! Est a probabilidade de se obter x itens bons e (n x) itens defeituosos, numa amostra de n itens, onde a probabilidade de obter-se um item bom p e um item defeituoso q. A mdia dada por: p n . = e o desvio padro, ( )2 / 1. . q p n = 1.2- Distribuio de Poisson SeoseventossodistribudosdeacordocomPoisson,elesocorremataxasmdias constantes,comsomenteumdedoisresultadospossveis,ouseja,onmerodefalhasno tempo ou defeitos por comprimento : ( ) ( ) = exp! xxx f

,... 3 , 2 , 1 , 0 = x ondeataxadeocorrncia.AdistribuiodePoissonpodeserconsideradacomouma variao da distribuio binomial na qual n tende ao infinito. Uma aproximao da distribuio de Poisson dada por: ( )( )( ) np x fxxnp = exp! p n . = e ( )2 / 1 2 / 1. = = p n 2 - Distribuies Contnuas Setraarmososvaloresobtidosnumamedioqualquerumhistograma,deuma determinada amostra, obteremos as figuras 1 (a/c). Neste caso, 30 itens foram medidos e a freqncia de ocorrncia de cada valor medido como mostrado. Os valores variam de 2 a 9, com a maioria dos itens possuindo valor entre 5 e 7.Outraamostraaleatriade30medidasdamesmapopulaoirusualmentegerarum histograma diferente, mas a forma geral provavelmente muito similar, exemplo figura 1 (b). Senstraarmosumnicodiagramamostrandoacombinaovriasamostras,masagora Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 31 comintervalosdemediode0,5,obteremosafigura1(c).Temosagoraumaidiamelhor dosvaloresdadistribuio,poisobtivemosainformaodeumaamostrabemmaior.Se prosseguirmosmedindomaispontosediminuirmosaindamaisointervalodemedio,o histograma tende a uma curva que descrever a funo de densidade de probabilidades (f.d.p.) ou,simplesmente,adistribuiodosvalores.Afigura2mostraumadistribuiode probabilidadesunimodal,onde(x)adensidadedeprobabilidadedeocorrnciaexa varivel relacionada. O valor de x que d (x) mximo denominado moda da distribuio. Figura1a)Histogramadefreqnciadeumaamostradeumaamostraaleatria.b)Histogramadefreqnciadeoutra amostra da mesma populao. c) Dados de muitas amostras, mostrando valores em intervalos de 0,5. Figura 2 Distribuio de probabilidades contnua A rea sobre a curva igual a um, pois descreve a probabilidade de todos os valores possveis de x, portanto: f(x) x fdp Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 32 + ( ) 1 = dx x f A probabilidade de um valor ocorrer entre x1 e x2 a rea compreendida neste intervalo (ver figura 1.3), isto : P (x1< x < x2) = 21xx( )dx x f O resultado da expresso anterior corresponde rea escura da figura 3. Figura 3 Distribuio da probabilidade continua A mdia da distribuio, , dada por: ( )+ = dx x xf que anlogo a achar o centro gravidade (c.g.) da f.d.p Adispersoouespalhamentodafunomedidapelasuavarincia.Parauma amostra n a varincia de uma distribuio contnua dada por ( ) ( ) dx x f x22 = onde chamado de desvio padro. Afunodedistribuioacumulada(f.d.a.),F(x),forneceaprobabilidadedequeo valor medido fique entre - e x: x1 x2 f (x) fdp Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 33 ( ) ( ) dx x f x Fx = A figura 4 mostra a forma tpica de uma f.d.a., com F(x)1 com x. Figura 4 Funo de distribuio de probabilidade acumulada f.d.a 2.1 - Distribuio Normal ou de Gauss A funo distribuio de probabilidade (f.d.p.) dada por: ( )( )( )

=22121exp2 / 1 xx f onde o parmetro de localizao, igual mdia. O parmetro de forma igual a . Fazendo uma mudana de varivel, a expresso anterior passa a ser: ( ) ( ) =xx f1 onde, ( )( )||.|

\|=2exp2212 / 1zz e =xz Avarivelzmedeodesvioemrelaomdia,emunidadesdedesviopadro,e denominadavarivelreduzidaeumaquantidadeabstrata(i.e.,independedasunidades usadas). 0 1 f (x) xIcap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 34 Seosdesviosemrelaomdiaforemdadosemunidadesdedesviopadro,diz-se que esto expressos em unidades ou escores reduzidos. Umgrficodestacurvanormalreduzidaestindicadonafigura5.Nestegrfico,as reasincludasentrez=-1,e+1,z=-2e+2,z=-3e+3soiguais,respectivamente,a 68,27%, 95,45% e 99,73% da rea total que unitria. Figura 5 F.d.p e F.d.a da funo normal Umapopulaoqueseajustedistribuionormaltemvariaessimetricamente dispostasaoredordamdia.Umarazoimportanteparaaaplicaodadistribuionormal advmdofatodequequandoumvalorestsujeitoamuitasvariaesquesesomam, independentementedecomoestasvariaessodistribudas,oresultadodadistribuio composta normalmente distribudo. Isto o que demonstra o teorema do valor central. Afigura6mostraafunodedensidadedeprobabilidadeeafunodedensidade acumulada da funo normal. A funo densidade acumulada dada pela expresso: ( ) ( )xF x= Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 35 Figura 6 reas notveis sob a normal 2.2 - Distribuio Log-Normal Estaumadistribuiomaisverstilqueadistribuionormal,poistemumaforma maisvariada,oquepossibilitamelhorajustedapopulao.Umexemplodeaplicaoem peas sujeitas a desgaste. Tambm no tem a desvantagens de trabalhar com valores de x 1 No h confiabilidade intrnseca. Significa que em t = 0 a probabilidade de falha 0 Taxa de falhas decrescente, possivelmente devida baixos coeficientes de segurana na carga. Taxa de falhas constante, falhas de origem aleatrias. Taxa de falhas crescente, desgaste iniciando logo que o componente entra em servio > 0 < 1 0,5 0,8 > 1 H perodo de garantia, durante o qual no ocorre falha. O componente possui confiabilidade intrnseca Desgaste do tipo fadiga ou similar Fadiga de baixo ciclo Fadiga de alto ciclo Desgaste do tipo eroso < 0 < 1 > 1 H vida de prateleira, o componente pode falhar antes de serusado Desgaste do tipo fadiga, iniciado antes do componente entrar emem servio Desgaste devido contnua reduo da resistncia = 1 (t) < 1 > 1 log Tempo Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 44 IV- ANLISE DE SISTEMAS COM COMPONENTES EM SRIE E EM PARALELO At aqui, nos preocupamos com taxa de falhas de apenas um componente. Iremos abordar neste tpico, no mais a confiabilidade de um nico elemento, mas a de um grupo formando umconjuntofuncional.Esteconjuntoserformadopelainterdependnciadevrios elementos. Para tal anlise, algumas consideraes bsicas sobre probabilidade: Sendo E1 e E2 dois eventos independentes, com probabilidade de ocorrncia P(E1) e P(E2), ento, para que ambos os eventos ocorram, ser necessrio:( ) ( ) ( )2 1 2 1E P E P E E P =Se ambos os eventos ocorrerem simultaneamente, a probabilidade de que tanto E1 com E2, ou ambos venham a ocorrer ser: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1E P E P E P E P E E P + = Nocasodoseventosseremmutuamenteexclusivos,ouseja,aocorrnciadeum implica necessariamente na no ocorrncia do outro, ento: ( ) ( ) ( )2 1 2 1E P E P E E P + = Se, temos apenas as alternativas dadas por E1 e E2: ( ) ( ) ( ) 12 1 2 1= + = E P E P E E P 1.1 Sistema em Srie Oscomponentessoconsideradosemsriequandoafalhadequalquerumdeles provocarafalhadetodoosistema,ficandocompletamenteinoperante.Logo,o funcionamentodosistemadependerdaplenacapacidadedecadacomponente.Sua representao dada a seguir, em analogia com os circuitos eltricos. Figura 3.1 Sistema em srie Oscomponentes1,2,3,4,.......,NtemconfiabilidadeC1(t),C2(t),....,CN(t) respectivamente. 12 *** N Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 45 Considerandodoiscomponentesemsrie,comrespectivasconfiabilidadesC1(t)e C2(t), a probabilidade de que ambos os componentes sobrevivam ao tempo t, ser:( ) ( ) ( ) t C t C t C2 1 0 x=onde C0(t) a confiabilidade de sistema. ChamandoP1(t),P2(t)aprobabilidadedefalhadoscomponentes1e2,a confiabilidade do sistema poder ser reescrita como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t P t P t C2 1 01 1 =Usando a expresso anteriormente deduzida: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] dt t f dt t f t C2 1 0exp exp = Se (t) = Cte, temos a distribuio exponencial e vm: ( )xt xte e t C2 10 = ( )( )xte t C2 10 + = Assim, a taxa mdia de falhas ser dada pela soma das taxas mdias de falhas de cada componente que compe o sistema. Generalizando obtemos: ( )( ) t ie t C =0 ComotemosC1(t),C2(t),C3(t),...., C0(t)somenoresdoque1,aconfiabilidadedo sistema ser menor que a confiabilidade do seu componente mais fraco. Por exemplo: ( ) ( ) ( ) 85 , 0 ; 8 , 0 ; 9 , 03 2 1= = = t C t C t C ( ) 85 , 0 9 , 0 8 , 00 = t C ( ) 612 , 00= t C Normalmente,ovaloresperadodotempomdio igualaoinversodataxamdiade falhas, ou seja, TMEF=1/. Assim, para = 0,0001, tem-se TMEF = 10 horas. Deve-seprocurar,nosobrecarregaremdemasiainicialmenteosistema,paraquea taxamdiadefalhasnoassumavaloresaltos,procurandoreduzironveldechoquese vibraes.Quantomenoronmerodecomponentesaumenta-seaconfiabilidade,ea manuteno torna-se mais simples. De maneira mais geral: ( ) ( ) ( ) ( ) t C t C t C t Cn...2 1 0 = Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 46 Se todos os componentes tm a mesma confiabilidade: ( ) ( ) ( ) ( ) t C t C t C t Cn m= = = = ...2 1 Portanto, ( ) ( )nmt C t C =0 ondenonmerototaldecomponenteseCm(t)aconfiabilidadedecadaumdos componentes. Nafiguraabaixo,observa-secomovariaaconfiabilidadedosistemaemfunoda confiabilidade e nmero de componentes. Figura 3.2 Confiabilidade de Sistema em srie 1.2 Sistema em Paralelo Os componentes sero considerados em paralelo quando a falha do sistema s ocorrer quando todos os componentes falharem ou o sistema continuar operando.Neste sistema, a confiabilidade atingir altos valores. O sistema poder ser representado pela figura a seguir. Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 47 Figura 3.3 Sistema em paralelo Logo,fcilconstatarmedianteafiguraqueafalhadosistemaocorrerapenas quando todos os componentes falharem. Aprobabilidadedefalha,considerando2componentescomfalhasindependentes, ser: ( ) ( ) ( ) t P t P t P2 1 0 = Onde: ( ) ( )( ) ( ) t C t Pt C t P2 21 111 = = Generalizando, obteremos: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] { } t C t C t C t C Cn = 1 ... 1 1 1 13 2 1 0 Se todos os componentes tm a mesma confiabilidade: ( ) ( ) ( ) ( ) t C t C t C t Cn m= = = = ...2 1 Portanto, ( ) ( ) [ ]nmt C t C = 1 10 ondenonmerototaldecomponenteseCm(t)aconfiabilidadedecadaumdos componentes. Nafiguraabaixo,observa-secomovariaaconfiabilidadedosistemaemfunoda confiabilidade e nmero de componentes. 1 2 3 N Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 48 Figura 3.4 Confiabilidade de sistema em paralelo Exemplo Determinar a confiabilidade de 4 elementos em paralelo: ( )( )( )( ) 7 , 095 , 09 , 08 , 04321====t Ct Ct Ct C Suas respectivas probabilidades sero: ( )( )( )( ) 3 , 0 7 , 0 105 , 0 95 , 0 11 , 0 9 , 0 12 , 0 8 , 0 14321= == == == =t Pt Pt Pt P De acordo com: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] t P t P t P t P C4 3 2 1 0 1 = 3 , 0 05 , 0 1 , 0 2 , 0 1 ) (0 = t C ( ) 9997 , 00= t C Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 49 1.3 Sistema em Srie Paralelo Como foi visto, em sistemas em srie, se um componente falhar, toda a linha pra. Isto jnoocorreemsistemasemparalelo,aondeosistemasomentefalharsetodosos componentes falharem. Logo, um estudo de sistema em srie paralelo ser de grande utilidade. Por exemplo, representando um sistema com 5 elementos, conforme a figura abaixo:

Figura 3.5 Sistema misto: srie-paralelo Fazendo uma analogia com sistemas eltricos: ( ) ( ) ( ) ( ) t C t C t C t Clinha 3 2 1 1 = ( ) ( ) ( ) t C t C t Clinha 4 5 2 = Logo: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] t C t C t Clinha linha 2 1 01 1 1 = Portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t C t C t C t C t C t C t C t C t C t C t C5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 0 = Exemplo ( )( )( )( )( )( )( ) 7408 , 085 , 0 7 , 0 5 , 0 8 , 0 9 , 0 85 , 0 7 , 0 5 , 0 8 , 0 9 , 085 , 07 , 05 , 08 , 09 , 00054321= + ======t Ct Ct Ct Ct Ct Ct C Adotando este conceito para um sistema, poderemos aumentar a sua confiabilidade. Estudo de caso: 123 54 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 50 Em um sistema hidrulico, se um componente falhar, o conjunto inteiro falhar. Logo, devem ser procuradas alternativas. Determine essas alternativas. 1 Filtro 1 = 0,3 x 10-6 2 Bomba 2 = 10 x 10-6 3 Redutor3 = 0,3 x 10-6 4 Vlvula alvio4 = 5,7 x 10-6 5 Vlvula5 = 4,6 x 10-6 6 Cilindro 6 = 0,2 x 10-6 Para os elementos ligados em srie, teremos: Figura 3.6 Sistema hidrulico Paraumtempode10horaseumfatordeagressivadadede100,aconfiabilidadede cada elemento dada por: ( )t xy kje t C = Sendo kj = 100 e t = 10 horas, teremos: ( )( )( )( )( )( ) 9998 , 09954 , 09943 , 09997 , 09900 , 09997 , 0654321======t Ct Ct Ct Ct Ct C Este sistema est instalado dentro de um avio comercial. Como foi visto, a taxa mdia defalhas,paraacidentesdaordemde1x10-6/houotempomdioentrefalhas106h.O vo tem durao de 10 horas. Adotando-sequeoaviopossui6sistemas,determinandoaconfiabilidadedecada sistema,teremos,supondoqueossistemastenhamamesmaconfiabilidadeentresi,a confiabilidade do avio : 10 6 10 0 xe e Ct = = 99999 , 00 = CA confiabilidade de cada sistema ser: 123456 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 51 9999984 , 099999 , 06 / 1==CC Logo, o sistema hidrulico dever ter uma confiabilidade mnima de 0,9999984. A confiabilidade do conjunto apresentado : 9998 , 0 9954 , 0 9943 , 0 9900 , 0 9997 , 00x x x x C =9771 , 00 = CV-sequeosistemaconsideradopossuiumaconfiabilidadebeminferioraomnimo desejado de 0,9999984. Paraaumentaraconfiabilidade,foipropostaumautilizaoemsrieparalelode elementos, conforme a figura abaixo. Figura 3.7 Sistema srie-paralelo: 1a. alternativa Atravsdataxamdiadefalhas,conclui-sequeoselementos2,4e5deveriamter tripla redundncia. Paradeterminarmosaconfiabilidadedoconjunto,prticoutilizarataxadefalhas equivalente para associao em paralelo vista anteriormente. ( )10 =n nt n t f Onde n o nmero de elementos em paralelo ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )9 - 126 -68 236 -58 236 -48 - 126 -37 236 -2-8 12-6110 8 10 100 10 2 , 0 210 92 , 2 10 x100 x10 x4,6 x310 55 , 5 10 x100 x10 x5,7 x310 8 , 1 10 100 10 3 , 0 210 0 , 3 10 x100 x10 x10 x310 8 , 1 10 100 10 3 , 0 2 = = = = = = = = = = = =x x fffx x ffx x f A taxa mdia de falhas : 6 5 4 3 2 1 0f f f f f f f + + + + + = 6 6 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 1 1 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 52 -7010 x287 . 4 = fA confiabilidade do sistema ser dada por: t x fe C00=10 x7 - 10 x287 , 40= e C9999957 , 00 = C Observa-sequeaconfiabilidadedosistemahidrulicoaumentousensivelmente, porm, fica ainda abaixo da confiabilidade mnima admissvel, que 0,9999984. Logo,umnovoestudodeverserfeito,comautilizaodemaiscomponentes, analisandoataxamdiadefalhasdecadaelementoobtidaanteriormente,afimdegarantir uma confiabilidade de 0,9999984. Aumentando-se o n de elementos conforme a figura abaixo: Figura 3.8 Sistema srie-paralelo: 2a. alternativa ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )12 - 236 -610 - 346 -510 - 346 -412 - 236 -39 - 346 -2-12 23-4110 4 , 2 10 x100 x10 0,2 310 79 , 1 10 x100 10 4,6 410 22 , 4 10 x100 x10 5,7 410 1 , 8 10 x100 x10 0,3 310 4 10 x100 x10 10 410 1 , 8 10 x10 0,3 3 = = = = = = = = = = = =ffffff A taxa mdia de falhas ser: 10 x4,6196 9 -06 5 4 3 2 1 0=+ + + + + =ff f f f f f f 6 6 2 2 2 4 4 4 1 1 1 2 3 3 3 4 5 5 5 5 6 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 53 A confiabilidade do sistema ser: 99999995 , 0010 9 10 x6196 , 40== Ce C Assim,aconfiabilidadedosistemaestaracimadamnimaadmissvel,podendoser esta a alternativa adotada. Obviamente existem outras alternativas, porm, este exemplo visa a demonstrar como deve ser o estudo em busca de solues. Deve ser verificado se o aumento do peso no ser crtico para o caso do avio com a utilizaodosistemaemsrieparalelo.Amanutenomaiscomplicadaepodemsurgir interferncias indesejadas com outros componentes do sistema. 1.4- Tipos Genricos de Configuraes Redundantes As configuraes redundantes podem ser dos tipos 1)Ativas a)Total b)Parcial c)Condicional 2)Stand-by a)Unidades idnticas. b)Unidades diferentes. Redundncias Parcialmente Ativas Considere trs unidades idnticas com confiabilidade R (ver Figura 2.6). Sabendo que R+P=1ondePaprobabilidadedefalhas.Aexpressobinomial(R+P)3desenvolvida produz: ( ) ( ) ( )3 2 2 3 3 2 2 31 , 1 3 , 1 3 , R , 3 Q, 3 , R R R R R ou Q RQ R R Figura 3.9 Redundncias parcialmente ativas A B C Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 54 Esta expresso descreve a probabilidade de 0,1,2,3 falhas de uma unidade.A confiabilidade do mesmo sistema para redundncia total ativa dada por: 1-(1-R)3. Esta expresso consistente com as expresses acima pois igual a 1 menos o ltimo termo. A soma dos termos a confiabilidade do sistema e, portanto a soma dos trs primeiros termos, conduzindo a 0,1,2 falhas a confiabilidade do sistema. Emmuitoscasosderedundncia,entretanto,onmerodeunidadesquepodefalhar antesdafalhadosistemamenordoquenocasoderedundnciatotal.Nocasodastrs unidades exemplificadas, o sistema funciona com apenas uma unidade em funcionamento. No casoderedundnciaparcial,osistemanecessitasemprepelomenosdeduasunidadesem funcionamento. Portanto, a confiabilidade pode ser obtida do desenvolvimento binomial para 0 ou 1 falhas. Portanto: ( )3 2( ) 3 1 R sistema R R R = + Geralmente, se m itens podem falhar de n a confiabilidade a soma dos m + 1 termos da expresso binomial. Portanto: ( )( )x n xmxR Rx n xnRs==1!!10 Redundncias Condicionais Ativas Amelhormaneiradeseexplicarestecasoatravsdeumexemplo.Considerea figura abaixo: Figura 3.10 Redundncias condicionais ativas Trs unidades de processamento digital (A, B e C) possuem confiabilidade R. Elas so triplasparagarantiraredundncianocasodefalhaesuassadasidnticasalimentamuma unidade de votao 2/3. Se dois sinais idnticos so percebidos pela unidade de votao estes soreproduzidos na sada. Assumindo que a unidadede votao muito mais confivel que asunidadesdeprocessamentodigitaldeformaquesuaprobabilidadedefalhapodeser descartada. A questo que resta determinar se o sistema tem: A B C 2/3 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 55 a)Redundncia parcial1 unidade pode falhar e somente uma. b)Redundncia total2 unidades pode falhar. Arespostadependedomododefalha.Seduasunidadesfalharemnomesmomodode falha, ento a resposta da unidade de votao ser a mesma das duas falhas e o sistema falhar comoumtodo.Se,poroutrolado,duasunidadesfalharemdemodosdiferentes,aunidade restanteproduzirumarespostacorreta.EstasituaorequeroteoremadeBayesparaa determinao da confiabilidade. Ento: ( ) / / ... / R sistema Rx a Pa Rx b Pb Rx n Pn = + + + Neste caso, a soluo : R(sistema) = R(confiabilidade do sistema no caso de falhas idnticas) (Probab. falha idntica de 2 unidades). Portanto, ( )3 2( ) 3 1 R sistema R R R = + ( )31 1 Pa R Pb + Assumindoque a probabilidade de ambos os modos de falha idntico deforma que Pa = Pb = 0,5, ento, 3( ) 3 / 2 R sistema R R = Redundncias Stand-by Uma unidade Operando para n Stand-by . Figura 3.11 sistema em stand-by Atentosomenteforamconsideradossistemascomredundnciasativasondetodas as unidades esto operando e o sistema pode continuar operando a despeito da perda de uma ou mais unidades. Redundncia em stand-by implica na existncia de unidades adicionais que 1 2 3 N + 1 Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 56 soativadassomentequandohfalhadeunidadesoperao.Umgrandeganhode confiabilidadeesperadosobreossistemascomredundnciasativasjqueotempode operaodasunidadesemstand-bybemmenor.Afiguranapgina99mostranunidades idnticas com 1 item ativo. Se alguma falha for detectada ento a unidade 2 ser colocada em operao. Inicialmente, as seguintes consideraes so necessrias: 1.Omecanismodedetecodefalhaemudanaparaaunidadeemstand-by considerado isento de falha. 2.As unidades em stand-by so consideradas como idnticas e com a mesma taxa de falhas. 3.As unidades em stand-by no falharo enquanto estiverem paradas. 4.Comonoscasosderedundnciasativas,asunidadesfalhasnosero reparadas. A confiabilidade dada pelos primeiros n termos da expresso de Poisson: () ( )( ) ( )( )1 1 2 2( ) exp 1 ...2! 1 !n nt tR sistema R t t tn | |= = + + + + | |\ . Para 1 unidade em stand-by ( ) ( ) ( )( ) exp 1 R sistema R t t t = = + Para 2 unidades em stand-by ( ) ( )2 2( ) exp 12!tR sistema R t t t | |= = + + |\ . N Unidade Operando para n Stand-by Figura 3.12 Sistema em stand-by 1 1 N N Icap del ReiFundamentos de Confiabilidade Prof. Dr. Evaldo Khater 57 Para 1 unidade em stand-by () ( )( ) ( ) exp 1 R sistema R t N t N t = = + Para 2 unidades em stand-by () ( )2 2 2( ) exp 12!N tR sistema R t N t N t | |= = + + |\ . Para n unidades em stand-by () ( )( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 2( ) exp 1 ...2! 1 !n n n tN t N tR sistema R t N t N tn | |= = + + + + | |\ . V REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS CABRERA, L. C. Q. Transio 2000 Tendncias e Estratgias, Ed. Makron Books, 1993. CARTER,A. Mechanical Reliability, MacMillan Educations Ltd., 1986. KHATER,E.ConfiabilidadeAplicadaaosManipuladores,ConfernciaInternacionalde Aplicaes Industriais do IEEE,VI INDUSCON, 2004. 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