applicazioni degli algoritmi genetici al monitoraggio...
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Capitolo5
Capitolo 5
Applicazioni degli algoritmi genetici al
monitoraggio strutturale
5.1. Premessa
Uno degli scopi di questo lavoro è, come si è già detto, una ricerca bibliografica
sull'applicazione degli algoritmi genetici al monitoraggio di opere d’ingegneria
civile.
Nel precedente capitolo 1 si sono espresse le motivazioni che conducono ad
utilizzare questi tipi d’algoritmi rispetto ai tradizionali algoritmi di calcolo, rilevando
quindi le differenze fra i due metodi ed evidenziando, della tecnica in esame, i pregi
ed i difetti: i primi dipendenti dalla facilità d’implementazione dell'algoritmo stesso, i
secondi legati alla difficoltà di un'interpretazione e di un'applicazione pratica dei
risultati ottenuti in via teorica-sperimentale.
Infatti, anche se questi algoritmi sono già in uso da parecchio tempo sia nel campo
della matematica, dell'economia e dell'ingegneria informatica ed elettronica,
nell'ambito dell'ingegneria civile si riscontrano ancora limitazioni nella loro
applicazione dovute proprio alla difficoltà di tradurre in pratica ciò che si ottiene a
livello numerico.
Nei successivi paragrafi sono proposti i pochi ma rilevanti esempi d’applicazioni
pratiche all’ingegneria civile trovati in letteratura.
Pare giusto specificare che di tali articoli si riportano solo i passi principali, ovvero
ciò che meglio chiarisce come gli algoritmi genetici possano essere applicati alle
tecniche di monitoraggio.
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5.2. Algoritmi genetici per la determinazione
del danno strutturale[36]
Introduzione
Scopo principale del monitoraggio è la determinazione e l'identificazione del danno
di un sistema strutturale, per l'intera durata della vita della struttura stessa.
In condizioni normali di servizio, il danno strutturale può essere causato da fenomeni
di corrosione, fatica, invecchiamento, carichi elevati, terremoti e vento.
L'obiettivo dell'identificazione del danno è quello di descrivere qualitativamente o
quantitativamente il deterioramento del sistema; ciò deve avvenire però non tanto
conoscendo i carichi applicati e la risposta della struttura, ma monitorando il
cambiamento nelle risposte strutturali.
Parecchi studi sono stati proposti per identificare il danno partendo direttamente
dall'analisi dei cambiamenti di risposta del modello in esame senza conoscere a priori
nessuna caratteristica del modello del sistema reale [38], [40].
Questi metodi, denominati diretti, sono in grado di identificare l'esistenza del danno,
ma hanno difficoltà nel localizzarlo e nel quantificarlo [34].
Al fine di minimizzare la differenza tra le risposte misurate e quelle calcolate, per
adattare in pratica il comportamento del sistema strutturale, si stabilisce un modello
fisico matematico.
I cambiamenti nel comportamento della struttura dovuti alla presenza del danno,
sono determinati per mezzo di un sistema di tecniche d’identificazione; esse si
compongono di due classi di metodi, parametrici e non parametrici.
I metodi parametrici si riferiscono a stime di parametri, mentre quelli non parametrici
sono caratterizzati dalla proprietà che i modelli risultanti non sono necessariamente
parametrizzati da un vettore di dimensione finita.
Recentemente sono stati applicati al problema della determinazione e
dell'identificazione del danno strutturale metodi d’intelligenza computazionale, quali
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reti neurali e GA, in quanto rispetto ai metodi matematici tradizionali, hanno la
caratteristica di robustezza ed efficienza nel copiare informazioni.
Nel caso in esame gli algoritmi genetici sono impiegati al fine di trovare la soluzione
ottima usando la funzione d'errore.
Alcuni studi hanno applicato con successo i GA nell'identificazione del danno
strutturale [42].
Definizione del problema
Si considera un ponte a travata reticolare al quale si applicano sensori al fine di
monitorarne danni o cambiamenti nella risposta causati dal continuo passaggio dei
veicoli, o dall'azione distruttiva dei maremoti.
I sensori che misurano lo spostamento in condizioni normali di traffico, sono usati
per identificare lo stato del ponte, ossia per determinare i danni; il fatto che il ponte
sia monitorato periodicamente in condizioni di carico di traffico rappresenta una
richiesta specifica per il test di controllo.
In questo metodo si presume che solo la geometria della struttura sia nota e le altre
proprietà quali, moduli elastici e momenti d’inerzia, sono da determinarsi tramite il
monitoraggio.
Il modello matematico proposto per il metodo di monitoraggio è sviluppato
conoscendo la geometria stessa della struttura; le altre proprietà invece sono
determinate tramite i GA mediante la minimizzazione della differenza tra gli
spostamenti misurati e calcolati.
Cambi improvvisi delle suddette proprietà, nella determinazione periodica delle
caratteristiche strutturali, rilevati attraverso il monitoraggio, indicano la presenza di
danno negli elementi.
Cambi graduali delle proprietà tra i successivi episodi di monitoraggio dovrebbero
invece indicare la presenza di fenomeni di deterioramento ed usura.
In pratica si adottano spesso considerazioni che limitano il numero degli spostamenti
che si possono misurare; questo è motivo d’introduzione d’incertezze nella
determinazione del danno, poiché può esistere più di una soluzione che minimizza
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l'errore di uscita, ossia più insiemi di rigidezze combinate con diversi spostamenti
misurati possono dare la stessa risposta.
Metodi proposti
Vengono proposti due metodi per svolgere il monitoraggio strutturale: entrambi i
metodi usano gli algoritmi genetici ed ambedue assumono come dato noto un numero
limitato di spostamenti e ciò, appresenta la limitazione pratica di questi metodi.
Primo metodo
Il primo metodo si basa unicamente sulla differenza fra spostamenti misurati e
spostamenti calcolati; tale differenza è minimizzata tramite gli algoritmi genetici.
Le proprietà dei materiali sono codificate tramite stringhe; per ogni membro della
popolazione è eseguita un'analisi agli elementi finiti usando le proprietà dei materiali
decodificate dalle stringhe dei GA.
La funzione ottimale è quindi definita in termini di errore di uscita tra gli spostamenti
misurati e quelli calcolati dall'analisi agli elementi finiti.
Tale metodo è applicato su un ponte a travata reticolare (Fig.5.1), avente una luce di
2300 m; la mesh del modello per l'analisi agli elementi finiti è costituita da 26
elementi (Fig. 5.2).
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Per determinare il danno si considerano sei condizioni di carico, ossia quelle più
sfavorevoli determinate dal passaggio di mezzi pesanti sull'impalcato, ad esempio dai
camion eccedenti il peso limite(Fig.5.3).
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Figura 5.1: Struttra del ponte
Figura 5.2: Mesh agli elementi finiti
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Figura 5.3: Condizioni di carico sul ponte
Il danno è modellato come una riduzione di rigidezza assiale dell'elemento
danneggiato.
Sono considerati tre casi differenti di danno: nel primo caso si ritiene sia danneggiato
l'elemento 19, nel secondo caso si ritengono danneggiati gli elementi 1 ed 11e infine
si ritengono danneggiati gli elementi 7, 11, 13.
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Per analizzare i risultati si applica l'analisi statica; per ogni caso di danno si eseguono
10 analisi indipendenti, fino ad ottenere una generazione di 200 individui.
I risultati sono presentati in termini di valori medi e deviazioni standard delle
stringhe.
L'algoritmo genetico è applicato per localizzare ed identificare gli elementi
danneggiati nelle tre situazioni di danno sopra elencate; con un indice di danno di 0,8
ad esempio la rigidezza assiale è ridotta al 80% rispetto al caso non danneggiato.
Secondo metodo
Il secondo metodo è stato sviluppato per evitare di dover assumere soluzioni
"costose" per il sistema d’equazioni nell'analisi agli elementi finiti, necessarie per la
valutazione della funzione d’ottimo.
Questo è realizzato codificando, nelle stringhe dei GA, gli spostamenti non misurati e
le proprietà del materiale e lasciando che i valori corretti degli spostamenti non
misurati si evolvano durante il processo dell'algoritmo genetico.
Nella valutazione della funzione ottima ogni membro della popolazione del vettore di
spostamento è noto; gli spostamenti misurati e i valori di quelli non misurati sono
decodificati da stringhe di GA.
Quando le proprietà del materiale e gli spostamenti non misurati sono codificati e
quindi sono fatti variare in accordo con il GA, è più difficile se non impossibile per
l'algoritmo genetico stesso trovare la soluzione corretta, poiché gli spostamenti
misurati sono le sole informazioni disponibili.
Tale metodo è applicato al ponte già descritto in precedenza, ma risulta essere un
problema ben più difficile del precedente, sia per quanto riguarda la determinazione
degli spostamenti non misurati e la determinazione simultanea delle proprietà dei
materiali, che le sole proprietà dei materiali come nel primo metodo.
Per ottenere una soluzione unica del problema inverso di un ponte a travata reticolare
(Fig.5.4) si usa un modello d’analisi agli elementi finiti di 19 elementi (Fig.5.5).
La condizione di carico usata per determinare il danno (Fig.5.6)è rappresentata dal
carico statico causato dal passaggio sul ponte di un camion eccedente il carico limite.
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Per l'analisi si assume che l'elemento 13 sia danneggiato e che la sua rigidezza assiale
è ridotta del 20% rispetto alla rigidezza assiale corrispondente al caso non
danneggiato.
L'analisi statica è applicata per analizzare i risultati, i valori medi e le deviazioni
standard delle stringhe.
In direzione y sono misurati tutti gli spostamenti nodali verticali, numericamente
calcolati con la simulazione agli elementi finiti.
La rimanenza degli spostamenti nodali, cioè in direzione x, non è misurata.
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Figura 5.4: Struttura del ponte
Figura 5.5: Mesh agli elementi finiti.
Figura 5.6: Condizioni di caricosul ponte
ponte.
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Fattori che influenzano l'affidabilità del monitoraggioLa determinazione e l'identificazione del danno strutturale partendo dalle risposte di
misura è influenzata da diversi fattori quali: la misurazione del rumore e la scelta del
luogo esatto in cui effettuare le misure.
Misurazioni del rumore
I problemi d’identificazione e determinazione del danno strutturale sono in funzione
dell'accuratezza con cui si rilevano i dati; in generale il danno si può misurare come
cambiamento di risposta nella struttura.
Tuttavia è anche suscettibile alla misurazione del rumore, infatti l'esistenza del
rumore nei dati misurati non solo influenza la determinazione e la localizzazione del
danno, ma è anche responsabile dei cambiamenti nelle risposte strutturali attribuibili
ai vari punti di localizzazione del danno.
In generale, poiché i livelli elevati di misurazione del rumore indeboliscono la
capacità di localizzare il danno, è dimostrabile che gli algoritmi genetici sono in
grado di assolvere la loro funzione anche in presenza di rumore.
Misurazioni incomplete
Un numero limitato di dati misurati è un altro fattore che influenza l'identificazione e
la determinazione del danno strutturale.
I dati misurati disponibili possono non essere sufficienti e adeguati per le diagnosi
del danno, in quanto possono essere meno sensibili al danno.
Avendo a disposizione misurazioni incomplete, la determinazione e l'identificazione
del danno risultano assai difficili ed è quindi necessario capire se tali procedimenti
permettono di risalire ad un effettivo valore del danno stesso.
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ConclusioniE' stato dimostrato che, usando un piccolo numero di spostamenti statici simulati e
misurati, il metodo proposto è in grado di localizzare e quantificare con successo il
danno e gli spostamenti nodali non misurati, evitando di eseguire analisi complete
agli elementi finiti.
Gli schemi di rappresentazione utilizzati mostrano che, usando gli algoritmi genetici
l'intero procedimento è ripetibile e si basa su analisi statistiche anche se le
informazioni iniziali sono generate in maniera casuale.
Il monitoraggio delle vibrazioni di base può giocare un ruolo importante nel
miglioramento costo-efficacia di ispezione e mantenimento ed assicurare integrità
strutturale a larga scala dei sistemi di infrastrutture civili.
Un modello di base agli elementi finiti (FE) ben costruito è essenziale per ottenere
con successo un buon monitoraggio strutturale, che è un modello di analisi strutturale
aggiornato da correlare con i dati misurati.
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5.3. Tecniche stocastiche d’ottimizzazione che utilizzano misure di vibrazioni ottenute tramite prove non distruttive sui ponti[44]
Introduzione
Il monitoraggio basato sulle vibrazioni può giocare un ruolo importante nel
miglioramento del sistema "costo-efficacia" ed assicurare integrità strutturale a larga
scala dei sistemi d’infrastrutture civili.
Un modello di base agli elementi finiti (FE), che è un modello d’analisi strutturale
aggiornato da correlare con i dati misurati, se è ben costruito, è essenziale per
ottenere con successo un buon monitoraggio strutturale.
Tuttavia, i dati misurati e il modello d’analisi strutturale possono includere una
considerevole quantità d’errori, che possono facilmente portare a soluzioni o a
divergenze [35].
Tecniche euristiche d’ottimizzazione, che nei decenni passati prevedevano calcoli
d’impossibile soluzione, stanno diventando sempre più popolari per i problemi
ingegneristici grazie al rapido sviluppo di nuove tecniche di calcolo.
Nel caso in esame sono state applicate tre tecniche d’ottimizzazione stocastica,
partendo da dati noti di vibrazioni, per aggiornare un modello FE di un nuovo ponte
sopraelevato; esse includono gli algoritmi genetici, gli SA (simulated annealing), e i
TS (tabu search).
Queste tre tecniche hanno i seguenti punti in comune:
1. Essendo algoritmi euristici, non garantiscono una soluzione statistica
ottimale, ovvero nessun teorema ne garantisce la convergenza.
2. Non riconoscendo il raggiungimento della soluzione ottima, bisogna
imporre loro l'arresto.
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3. Si possono implementare per qualsiasi problema d’ottimizzazione;
richiedono soltanto una rappresentazione adatta della soluzione, una
funzione di costo, ed un meccanismo per sondare lo spazio delle
soluzioni.
4. Essi convergono asintoticamente ad una soluzione ottimale sotto
determinate condizioni.
Questi algoritmi euristici sono stati abitualmente applicati per problemi
d’ottimizzazione strutturale nell'ingegneria civile [41].
Esempio di studioIl ponte e il modello preliminare FE
In questo studio gli approcci stocastici discussi n precedenza, vengono applicati per
stabilire un modello di base per il ponte Jamboree Road Overcrossing che si trova nel
Eastern Transportation Corridor in Irvine in California, dotato di strumenti per il
monitoraggio (accelerometri e sensori).
Esso è un ponte a tre campate continue con cavi di precompressione post-tesi ed
impalcato a cassone; la lunghezza totale è di 111.9 m e la lunghezza d’ogni campata
è rispettivamente di 35.5, 46.1, 30.3 metri.
Il ponte è supportato da due colonne singole in cemento armato ed è collegato alle
spalle tramite apparecchi d'appoggio mobili.
Tali apparecchi consentono lo scorrimento del ponte, il suo ritiro, dilatazioni
termiche e contrazioni.
In totale sono stati installati 15 accelerometri sull'impalcato e su una delle due
colonne (Fig. 5.7).
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E' stato sviluppato un modello agli elementi finiti come riportato nella seguente
Fig.5.8.
La struttura è stata modellata con elementi frame 3-D tramite il programma
SAP2000.
Nella tabella di seguito riportata sono espressi i parametri dei momenti d'inerzia e
dell'area delle sezioni trasversali considerate (colonna e impalcato).
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Figura 5.7: Disposizione degli accelerometrisulla struttura
Figura 5.8: Modello agli elementifiniti.
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Elementi Area(m2) Momenti di inerzia (m4)Ix Iy Iz
Impalcato 5.94 7.63 3.01 59.36Colonna 3.53 2.51 0.72 1.51
Tabella 5.1: Parametri strutturali.
Verifiche numericheIndice strutturale
Per determinare l'efficacia delle tre tecniche stocastiche d’ottimizzazione si sono
effettuate simulazioni numeriche, aventi anche lo scopo di aggiornare il modello di
analisi strutturale preliminare FE il quale si basa sui dati di vibrazioni misurate.
In questa simulazione, si assume un modello strutturale di prova per il ponte in
esame diverso dal modello strutturale preliminare; più precisamente si sono assunte
per il modello di prova, frequenze naturali e forme modali tali per cui risultassero
essere quelle ottenute dalla misura delle vibrazioni.
Otto parametri strutturali sono stati scelti per correlare il modello di analisi
preliminare con i dati delle vibrazioni misurate, essi sono: due sezioni (c1Aimp, c2Acol),
quattro momenti di inerzia(c3I impy c4I col
y c5I impz , c6I col
x ), una molla lineare per le spalle
(c7K spallel ) e una molla rotazionale per le fondazioni (c8K spalle
r ), dove ci sono i
coefficienti di correzione di questi parametri strutturali.
Gli altri parametri strutturali non sono considerati, poiché essi non influiscono sul
comportamento strutturale.
Ad esempio il momento torsionale d'inerzia dell'impalcato (I impy ) non è stato
considerato in quanto non risulta decisivo per il comportamento flessionale
dell'impalcato sia in direzione verticale che trasversale.
Anche il momento torsionale d'inerzia della colonna (I colz ) non é stato esaminato
sempre per le suddette ragioni.
Il problema può essere descritto come segue: trovare i coefficienti di correzione dei
parametri strutturali (ci's) che minimizzano la funzione obiettivo, definita come
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differenza fra le frequenze naturali misurate e quelle calcolate sotto condizioni di
discrepanza delle forme modali.
Ad esempio:
Trova ci , i = 1,2,…8
Minimizza 2821
1
))),...,,((( cccffwJ ci
mi
N
ii
Sottoponi a : lkmlk
mlk ccc ),...,( 821 con max,min, iii ccc
dove:
fi e ji , sono le frequenze naturali e j è l'ampiezza modale del modo i-esimo; m e c
stanno per "misurato" e "calcolato", ci ,min e ci,max sono rispettivamente legati a ci.
Un indice di base del modello strutturale è stato assunto come nella seguente tabella.
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8
0.95 1.05 0.97 1.04 0.95 1.05 1.500 0.500
Tabella 5.2: Coefficienti di correzione dell’indice strutturale.
Nella tabella successiva invece si riportano le differenze fra le frequenze naturali
calcolate e le frequenze del modello preliminare FE; si può notare che tali differenze
variano in un range di 1.2-1.9% per i modi verticali e di 8.2-9.2% per i modi
trasversali.
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Tabella 5.3:Frequenze naturali calcolate e modello di prova preliminare (Hz).Modi Modi verticali Modi trasversali
1 2 3 4 1 2Modello
di prova
2.937 4.708 5.797 9.526 2.924 4.623
Modello
FE
2.888
(1.639)
4.619
(1.908)
5.726
(1.224)
9.407
(1.249)
3.165
(8.246)
4.199
(9.170)
Note: i valori fra parentesi rappresentano la differenza (%) fra il valore delle
frequenze naturali calcolate e quelle del modello di prova preliminare FE
Studi parametrici
Le tecniche d’ottimizzazione stocastica richiedono la determinazione dei parametri
euristici, parametri che vanno analizzati caso per caso.
Inizialmente si era detto che tali parametri erano rappresentati dai GA, dagli SA e dai
TS; noi ci occuperemo soltanto dei GA.
Tramite gli algoritmi genetici vengono esaminate le seguenti situazioni:
tre probabili punti di crossover (Cp=0.4, 0.6, 0.8)
tre probabili tassi di mutazione (mp=0.01, 0.02, 0.03)
Il numero della popolazione, il numero delle generazioni e la scelta del metodo, sono
rispettivamente: 50, 100 e scelta casuale ( roulette).
Quindi il numero totale delle generazioni è stata assunta pari a 5000; la soluzione
migliore corrisponde a Cp=0.6, mp=0.01.
Si è trovato che quello con un inferiore capacità di crossover, converge lentamente e
che quello con un'alta capacità di mutazione, si satura prima.
Per l'aggiornamento del modello FE, la probabilità di crossover e di mutazione sono
state assunte pari a Cp=0.6, mp=0.01.
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Risultati del modello aggiornato
Nella tabella successiva vengono comparati i valori degli errori stimati con i valori
della funzione obiettivo della soluzione finale ( indicej
stimj cc , ) per i tre algoritmi euristici
trattati; anche se noi abbiamo esaminato solo il caso degli algoritmi genetici, pare
interessante riportare i risultati relativi ai tre metodi per effettuare un confronto fra
questi.
GA SA TS Errore stimato 3.5452 8.6730 5.9487 Funzione obiettivo 0.5960x10-7 0.0213x10-7 0.3576x10-7
Tabella 5.4: Paragone fra errore stimato e funzione obiettivo.
Errore stimato: 2
1
Nm
jesattoj
stimj
esattoj
ccc
Funzione obiettivo: 2
1
mi
mi
ci
Nm
ii f
ffw
Misura dei dati di vibrazione
Dalla misura dei dati d’accelerazione ottenuti posizionando accelerometri sulla
struttura, si sono ottenuti i parametri e le forme modali come viene riportato in
Fig.5.9 e in tabella 5.5.
Le differenze tra le frequenze naturali misurate e calcolate, variano in un range di
1.5-8.9% per i modi verticali e 9.8 -14.2 % per i modi trasversali.
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Tabella 5.5: Stima delle frequenze naturali (Hz).
Modi Modi verticali Modi trasversali1 2 3 4 1 2
Misurate 2.932 4.549 6.291 8.783 2.772 4.658Modello
FE
2.888
(1.498)
4.619
(1.523)
5.726
(8.981)
9.407
(7.103)
3.165
(14.19)
4.199
(9.872)
Note: i valori fra parentesi rappresentano la differenza (%) fra il valore delle
frequenze naturali calcolate e quelle misurate
Risultati del modello aggiornato
In figura 5.10 sono riportate le curve di convergenza dei coefficienti di correzione
stimati con i Ga, gli SA ed i TS.
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Figura 5.9: Forme modali: + misurate – calcolate.
Figura 5.10: Stima dei coefficienti dicorrezione strutturale.
Capitolo5
I coefficienti di correzione stimati variano in un range di 0.95-1.05, presupponendo
che i valori di rigidezza flessionale calcolati dallo schema disegnato, siano
abbastanza accurati.
Tuttavia i coefficienti di correzione, per la rigidezza delle spalle e delle fondazioni
sono rispettivamente di 1.6 e 0.4, presupponendo che gli stessi, se usati nei modelli
analitici preliminari, siano rispettivamente incrementati del 60% e ridotti del 60%.
Le frequenze naturali del ponte sono state ricalcolate usando un modello di base
(modello FE) tramite i GA, gli SA e i TS.
La tabella 5.6 paragona queste frequenze con quelle calcolate per il modello
preliminare strutturale FE e quelle ottenute dai dati di vibrazioni misurati.
Gli errori per il modello di analisi preliminare ( differenza fra frequenze calcolate e
misurate) variano in un range di 1.5-9.0% per i modi verticali e in un range di 9.8-
14.2% per i modi trasversali.
Tuttavia, l'errore per i modelli di base calcolati con la tecnica degli algoritmi genetici
sono ridotti in un range variabile fra lo 0.5 e l'8.3%, per i modi verticali e fra 0.2 e
1.4% per i modi trasversali.
Si riportano inoltre anche gli errori per i modelli di base calcolati con le tecniche SA
e TS.
L'efficacia delle tre tecniche sono state dimostrate aggiornando un modello analitico
FE basato su misurazione delle vibrazioni.
Tabella5.6: Paragone fra le frequenze naturali (Hz).Modi Modi verticali Modi trasversali
1 2 3 4 1 2Misurate 2.932 4.549 6.291 8.783 2.772 4.658Modello
FE
2.888
(1.498)
4.619
(1.523)
5.726
(8.981)
9.407
(7.103)
3.165
(14.19)
4.199
(9.862)Baseline
con GA
2.916
(0.574)
4.723
(3.830)
5.791
(7.943)
9.516
(8.346)
2.768
(0.164)
4.723
(1.400)Baseline
con SA
2.915
(0.600)
4.718
(3.707)
5.796
(7.862)
9.540
(8.617)
2.770
(0.090)
4.718
(1.280)Baseline
con TS
2.965
(1.117)
4.746
(4.328)
5.876
(6.591)
9.660
(9.978)
2.750
(0.801)
4.660
(0.029)
Note: i valori fra parentesi rappresentano la differenza (%) fra il valore delle
frequenze naturali calcolate e quelle misurate
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Conclusioni
Tre tecniche d’ottimizzazione stocastica (GA, SA e TS) sono state applicate per
aggiornare il modello preliminare FE di un ponte.
Sulla base delle simulazioni numeriche e degli studi sperimentali effettuati, le
osservazioni conclusive che se ne traggono sono le seguenti:
1) Nel caso di GA, la probabilità di crossover è efficace per il controllo della
convergenza ed un'alta probabilità di mutazione può causare una saturazione
del problema.
2) Per le simulazioni numeriche, la funzione obiettivo minima trovata è nell'ordine
di 10-8 con gli SA, mentre quella per i GA e TS è nell'ordine di 10-7.
I coefficienti di correzione stimati tramite i GA, sono i migliori tra i tre algoritmi
proposti.
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5.4. Metodo spettrale agli elementi finiti ed algoritmi genetici per la rilevazione di incrinature nelle travi [39]
Introduzione
Negli ultimi vent’anni sono stati sviluppati diversi metodi interessanti per rilevare il
danno in maniera non distruttiva per la struttura; contemporaneamente si sono
sviluppate parecchie tecniche d’analisi modale [37].
Queste tecniche sono state applicate con successo al monitoraggio strutturale quando
la presenza del danno è causa di cambiamenti delle frequenze naturali e delle forme
modali; è risaputo che un piccolo danno, produce un piccolo cambiamento dei
parametri modali.
Questi cambiamenti spesso sono paragonabili all'entità degli errori misurati.
Negli ultimi anni si è fatto parecchio lavoro al fine di giungere ai metodi di
rilevazione basati sui modelli dell'onda di propagazione [43].
Questi modelli si adattano bene per la rilevazione anche di veri piccoli difetti, poiché
sono molto sensibili ai cambi nell'impedenza dinamica locale.
Qui di seguito si presenta un metodo applicabile per rivelare piccole incrinature nelle
travi di una struttura; tale metodo si basa sui cambiamenti di propagazione delle onde
all’interno delle strutture.
In questo approccio la misura della risposta dinamica della struttura è comparata con
il valore calcolato usando il nuovo “spectral beam finite element” con aperture
trasversali e incrinature non propaganti.
Viene proposta una strategia iterativa per determinare e rilevare la presenza di
incrinature, basata sugli algoritmi genetici.
La funzione obiettivo usata dagli AG si basa sulla differenza fra la risposta dinamica
misurata e la risposta dinamica calcolata.
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Elemento finito di tipo “spectral beam finite element”
Un elemento spectral beam finite con apertura trasversale e incrinatura non
propagante è rappresentato in Fig.5.11.
Figura 5.11: Modello agli elementi finiti con incrinatura trasversale.
L’elemento ha due nodi e due gradi di libertà per nodo: spostamento trasversale e
rotazione.
La lunghezza dell’elemento è L, l'area della sezione trasversale è A=BH.
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La frattura è sostituita con una molla adimensionale la cui flessibilità q è calcolata
usando il teorema di Castigliano e con leggi della meccanica della frattura.
Gli spostamenti spettrali del nodo hanno la seguente forma dalla parte destra alla
sinistra della trave
)(4
)(3211
11)(ˆ xLKxLiKxKxiK nnnn eAeAeAeAxu per x 1,0 L
)((8
))((7
)(6
)(52
1111)(ˆ xLLKxLLKxLKxLiK nnnn eAeAeAeAxu per x LL ,1
dove: L1 denota la posizione dell'incrinatura, L è la lunghezza totale della trave e Kn è
il numero d'onda calcolato come segue:
41
EJAK nn
dove: r è la densità del materiale, A è l'area della sezione trasversale, E il modulo di
Young, J il momento d'inerzia dell'elemento della sezione trasversale ed wn è la
frequenza.
I coefficiente Ai, (i=1,…,8) possono essere calcolati come funzione degli spostamenti
spettrali del nodo, considerando le seguenti condizioni estremanti:
- All'estremo sinistro dell'elemento (x=0)
11 ˆ)(ˆ qxu
21 ˆ)(ˆ
qxxu
- Nell'incrinatura (x= L1 per u1(x) e x= 0 per u2(x) )
)(ˆ)(ˆ 21 xuxu
2
22
12 )()(ˆ)(ˆx
xuxxu
xxu
91
Capitolo5
2
22
21
2 )()(ˆx
xux
xu
3
23
31
3 )()(ˆx
xux
xu
- All'estremo destro dell'elemento (x= L-L1)
32 ˆ)(ˆ qxu
21 ˆ)(ˆ
qxxu
dove: q1 - q4 indicano gli spostamenti spettrali del nodo, mentre q è la flessibilità
della posizione dell’incrinatura.
Funzione obiettivo
La funzione obiettivo usata qui di seguito si basa sui cambiamenti delle risposte
dinamiche (spostamenti, velocità o accelerazioni) della trave.
I valori misurati vengono paragonati con quelli ottenuti dai calcoli nelle varie
posizioni dell'incrinatura.
La forma della funzione obiettivo dipende dal numero dei punti in cui sono misurate
le risposte dinamiche.
Il numero minimo di tali punti per cui la posizione e la forma dell'incrinatura può
essere esattamente determinata, è due.
Quindi per tali punti la funzione obiettivo ha la seguente forma:
2
1 21 ww
dove: w1 e w2 sono calcolati tramite le seguenti relazioni:
N
i ie
im
uu
w1 ,,1
,,11 per ieim uu ,,1,,1 oppure
N
i im
ie
uu
w1 ,,1
,,11 per imie uu ,,1,,1
N
i ie
im
uu
w1 ,,2
,,22 per ieim uu ,,2,,2 oppure
N
i im
ie
uu
w1 ,,2
,,22 per imie uu ,,2,,2
92
Capitolo5
dove: 1,2 sono i punti in cui la risposta dinamica u è calcolata, m indica i valori di
risposta misurati, e denota quelli calcolati, N è il numero degli intervalli discreti di
tempo.
Per la funzione obiettivo così definita, il suo valore resta nel range 0-1, dove 1 indica
che non esiste correlazione e 0 indica uno scontro tra i modelli dei cambiamenti delle
risposte dinamiche.
Il valore minimo della funzione obiettivo determina la locazione precisa e la misura
dell'incrinatura.
Risultati dei calcoli numerici
Sono stati eseguiti calcoli numerici per una trave a sbalzo la cui lunghezza é di 2m,
mentre l'area della sezione trasversale era 0.0004m2 (B=0.02 m, H=0.02m).
La trave è in acciaio con modulo di Young pari a 210 Gpa, raggio di Poisson = 0.3 e
densità di massa di 7850 Kg/m3.
La colonna è stata eccitata da vibrazioni aventi impulso di forza trasversale e
magnitudo 10 Hz agenti ogni 0.000195 sec.
Le accelerazioni sono state misurate all'estremo libero della trave e a 0.5 m.
dall'estremo incastrato.
La figura 5.12 presenta le misure d’accelerazione per i due casi sopra citati.
93
Capitolo5
Figura 5.12: Andamento delle accelerazioni
Il primo disegno rappresenta l'accelerazione ottenute senza l'incrinatura; il secondo
invece l'accelerazione con la frattura posizionata ad un metro dall'estremo libero con
una profondità pari al 5% dell'altezza totale della trave.
L'ultima figura mostra la differenza fra i due segnali.
Tutti i segnali sono stati sottoposti a rumore casuale con magnitudine fino al 5% del
segnale vergine.
94
Capitolo5
Il problema inverso (ricerca di una frattura profonda in una determinata posizione) è
stato risolto nel seguente modo.
Poiché il primo dato misurato è stato simulato con calcoli per conoscere la posizione
e la misura di una frattura, i valori di base delle risposte dinamiche sono stati di
conseguenza generati.
I dati misurati si riferiscono ad una frattura posizionata a 0.3 m dall'estremo
incastrato della trave con profondità pari al 2% dell'altezza della trave stessa.
La popolazione iniziale era di 60 membri; un membro aveva 30 bit ossia, 15 bit per
ogni parametro (posizione e profondità).
Durante i calcoli numerici si è assunto che la probabilità del crossover è il 95% e
quella di mutazione è lo 0.05%; i risultati del processo di ricerca è riportato in
Fig.5.13.
Figura 5.13: Risultati del processo di ricerca con gli AG.
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Capitolo5
Conclusioni Questo testo ha presentato un approccio di propagazione dell'onda per rivelare
incrinature nelle travi.
E' stato elaborato con successo un nuovo modello di beam spectral finite element con
apertura trasversale e incrinatura non propagante.
Nel testo viene proposto un processo di ricerca utilizzante gli algoritmi genetici.
La funzione obiettivo utilizzata dai GA è basata sui cambi delle risposta dinamica
della struttura.
I risultati ottenuti indicano che l'approccio corrente è in grado di individuare fratture
anche di misura minima anche in presenza di errori di misurazioni
considerevolmente elevati.
E’ da notare però che questi risultati sono stati ottenuti in laboratorio in condizioni di
lavoro costanti e ben note.
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