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Applicazioni in economiaApplicazioni in economia Le funzioni marginali e l’elasticità delle funzioni
La determinazione del massimo del profitto
Le funzioni marginaliLe funzioni marginali
Data una funzione di più variabili, le sue derivate rispetto alle variabili indipendenti da cui essa dipende vengono dette funzioni marginali.
Se la domanda di un bene dipende dal prezzo e dal reddito del consumatore ad esempio, le funzioni marginali saranno le due derivate della domanda rispetto al prezzo ed al reddito.
La funzione marginale del prezzo indica come varia la domanda al variare del prezzo, mentre la funzione marginale del reddito indica come varia la domanda del bene al variare del reddito del consumatore
Le funzioni marginaliLe funzioni marginali
Calcoliamo le due funzioni marginali:
Esempio 1 (Libro ‘Matematica.rosso’ 2013 – Zanichelli; Pag. 1130).
La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p e dal reddito r del
consumatore secondo la legge:
prrpd 64 22
prd
rpd
r
p
93
912
Per un prezzo p = 40 ed un reddito r = 50 valgono:
14040650250,40
2050640850,40
r
p
d
d
Esempio 2 (Libro Pag. 1161).
Calcoliamo le due funzioni marginali:
La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p e dal reddito r del
consumatore secondo la legge:
prrpd 95,16 22
prd
rpd
r
p
62
68
Per un prezzo p = 60 ed un reddito r = 75 valgono:
31560975375,60
45759601275,60
r
p
d
d
L’elasticità delle funzioniL’elasticità delle funzioni
Data una funzione z di più variabili, si definisce
grado di elasticità parziale rispetto ad una delle
variabili indipendenti xi la quantità:
Questa grandezza quantifica la sensibilità di z
nei confronti di una variazione di xi, cioè di
quanto varia z al variare di xi
i
i
i
i xi
xz
x
xz zz
xz
,
L’elasticità delle funzioniL’elasticità delle funzioni
Calcoliamo i gradi di elasticità parziali:
Esempio 3 (Libro Pag. 1131).
La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p1 di quel bene, dal
prezzo p2 di un altro bene, e dal reddito r del consumatore secondo la legge:
rppd 02,06,04800 21
La quantità è negativa, il ché significa che la domanda del primo bene decresce al crescere del suo prezzo.
La quantità invece è positiva, il ché vuol dire che se cresce il prezzo del secondo bene aumenta la domanda del primo. In pratica il consumatore, potendo scegliere, si orienta verso un maggior consumo del primo bene poiché vede l’altro aumentare di prezzo.
La quantità è infine positiva, e ciò vuol dire che al crescere del reddito del consumatore aumenta il consumo del primo bene.
rppr
dr
dr
rrd
rpp
p
d
p
d
p
ppd
rpp
p
d
p
d
p
ppd
d
d
d
02,06,04800,
02,06,04800,
02,06,04800,
21
21
222
22
21
111
11
02,002,0
6,06,0
44
1, pd
2, pd
rd ,
L’elasticità delle funzioniL’elasticità delle funzioni
Calcoliamo i gradi di elasticità parziali:
Esempio 4 (Libro Pag. 1162).
La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p1 di quel bene, dal
prezzo p2 di un altro bene, e dal reddito r del consumatore secondo la legge:
rppd 05,0641600 21
Calcoliamo queste quantità per p1 = 50, p2 = 60 ed r = 2000:
rppr
dr
dr
rrd
rpp
p
d
p
d
p
ppd
rpp
p
d
p
d
p
ppd
d
d
d
05,0641600,
05,0641600,
05,0641600,
21
21
222
22
21
111
11
05,005,0
66
44
054,005,0
194,06
108,04
18602000
,
186060
,
186050
,
2
22
1
11
dr
rrd
d
p
ppd
d
p
ppd
d
d
d
1860200005,06065041600 d
L’elasticità incrociataL’elasticità incrociata
Quando la domanda di un bene dipende anche dal prezzo di un altro
bene, come negli ultimi due esempi proposti, si introduce
l’elasticità incrociata, ossia l’elasticità della domanda del bene
rispetto al prezzo del secondo bene.
Beni succedanei, complementari, non in relazione:
Si dice che due beni
sono succedanei quando l’elasticità incrociata è positiva (sono
beni cioè alternativi: caffè/orzo, legna/gas, ecc..);
sono complementari quando l’elasticità incrociata è negativa
(sono beni legati tra loro: caffè/zucchero, pasta/pelati, ecc..)
non sono in relazione quando l’elasticità incrociata è pari a zero
L’elasticità incrociataL’elasticità incrociata
Calcoliamo i gradi di elasticità parziali:
Riconsideriamo l’esempio 3 (Libro Pag. 1132).
La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p1 di quel bene, dal
prezzo p2 di un altro bene, e dal reddito r del consumatore secondo la legge:
rppd 02,06,04800 21
Valutiamo queste quantità per p1 = 40, p2 = 50 ed r = 2000:
rppr
dr
dr
rrd
rpp
p
d
p
d
p
ppd
rpp
p
d
p
d
p
ppd
d
d
d
02,06,04800,
02,06,04800,
02,06,04800,
21
21
222
22
21
111
11
02,002,0
6,06,0
44
710200002,0506,0404800 d
056,002,0
042,06,0
23,04
7102000
,
71050
,
71040
,
2
22
1
11
dr
rrd
d
p
ppd
d
p
ppd
d
d
d
Poiché è una quantità positiva
concludiamo che i due beni sono
succedanei, cioè alternativi tra loro.
2, pd
2, pd è l’elasticità incrociata
L’elasticità incrociataL’elasticità incrociata
Calcoliamo i gradi di elasticità parziali:
Riconsideriamo l’esempio 4 (Libro Pag. 1162).
La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p1 di quel bene, dal
prezzo p2 di un altro bene, e dal reddito r del consumatore secondo la legge:
rppd 05,0641600 21
Calcoliamo queste quantità per p1 = 50, p2 = 60 ed r = 2000:
rppr
dr
dr
rrd
rpp
p
d
p
d
p
ppd
rpp
p
d
p
d
p
ppd
d
d
d
05,0641600,
05,0641600,
05,0641600,
21
21
222
22
21
111
11
05,005,0
66
44
054,005,0
194,06
108,04
18602000
,
186060
,
186050
,
2
22
1
11
dr
rrd
d
p
ppd
d
p
ppd
d
d
d
1860200005,06065041600 d
Poiché è una quantità positiva
concludiamo che i due beni sono
succedanei cioè alternativi tra loro.
2, pd
Il massimo del profittoIl massimo del profitto
Riguardo alla massimizzazione del profitto di un produttore possiamo distinguere tra tre scenari diversi:
Beni in regime di concorrenza perfetta
Beni in regime di monopolio
Un bene con due prezzi diversi
Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta
Dove p1 e p2 sono i prezzi di mercato dei
due beni prodotti, mentre q1 e q2 sono le
quantità immesse sul mercato di tali beni. 2211 qpqpR
Per due beni in regime di concorrenza perfetta un produttore si pone il problema di
individuare quale sia la quantità da produrre che gli permetta di massimizzare il suo
profitto.
Non è possibile in tale forma di mercato fissare il prezzo dei beni in quanto esso è
determinato dall’incontro della domanda e dell’offerta.
Viene indicata con C la funzione di costo di produzione, che dipenderà dalle quantità
prodotte e che deriva dal tipo di bene, dai macchinari, dalle materie prime, dal costo della
manodopera, ecc..
Viene indicata con R la funzione di ricavo, data dal prodotto delle quantità vendute
moltiplicate per il prezzo unitario.
Infine si indica con U la funzione di utile del produttore, data dalla differenza tra ricavi e
costi.
CRU La funzione di utile è data dalla differenza
tra l’incasso dalla vendita dei due beni ed il
costo sostenuto dal produttore.
Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta
Si evince da tale funzione che
ovviamente il costo di produzione
aumenta all’aumentare delle quantità
prodotte dei due beni.
2
221
2
121 24180300 qqqqqqU
Esempio 5 (Libro Pag. 1132).
2
221
2
1 24 qqqqC
Ricaviamo la funzione di utilità:
A questo punto, per determinare il massimo del profitto, occorre trovare il massimo, se
esiste, di questa funzione nelle due variabili q1 e q2 (che fungono da x ed y), dato che p1 e
p2 sono dei valori fissati dal mercato e pari, in questo caso, a p1 = 300 e p2 = 180.
Consideriamo un’impresa che produce due beni diversi in regime di concorrenza
perfetta e che sostenga, per la produzione, un costo dato da:
2
221
2
12211 24 qqqqqpqpCRU
Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta
2
221
2
121 24180300 qqqqqqU
Troviamo i punti stazionari, in cui le due derivate parziali, rispetto a q1 e q2, si
annullano.
70
20
022180022180
028300
22180
28300
2
1
28
2300
8
2300
1
21
21
21
21
2
2
2
1
q
q
q
q
qqU
qqU
q
q
q
q
A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (20,70):
01241622
28
2
2
8
21
22
11
H
U
U
U
E’ punto di Max/min.
0811
qqU E’ punto di Max.
Quindi il punto (20,70), che corrisponde ad una produzione di 20 unità del primo bene e
di 70 unità del secondo, massimizza l’utile dell’impresa, che perciò vale:
930070702022047018020300 22 U
Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta
2
221
2
121 5,3773556 qqqqqqU
Esempio 6 (Libro Pag. 1164).
2
221
2
1 5,377 qqqqC
Dati i prezzi di mercato dei due beni pari a p1 = 56 e p2 = 35, calcoliamo la
funzione di utilità:
che è pari a:
La funzione di costo sostenuta da un’impresa per la produzione dei due beni che
essa immette sul mercato è data da:
2
221
2
12211 5,377 qqqqqpqpCRU
Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta
La funzione da studiare è quindi:
2
3
0773507735
071456
7735
71456
2
1
214
756
14
756
1
21
21
21
21
2
2
2
1
q
q
q
q
qqU
qqU
q
q
q
q
A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (3,2):
049499877
714
7
7
14
21
22
11
H
U
U
U
Punto di Max/min.
01411
qqU Punto di Max.
Quindi il punto (3,2), che corrisponde ad una produzione di 3 unità del primo bene e di 2
unità del secondo, massimizza l’utile dell’impresa. L’utile vale quindi:
119223737235356 22 U
2
221
2
121 5,3773556 qqqqqqU
Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio
Le quantità dei due beni richieste dal mercato
dipendono dal loro prezzo. Comunemente al
crescere del prezzo di un determinato bene la
sua richiesta diminuisce. Alcuni beni,
soprattutto quelli di lusso, talvolta non
rispondono a questa previsione.
2122
2111
,
,
ppfq
ppfq
Per due beni in regime di monopolio un produttore si pone il problema di individuare sia
la quantità da produrre che il prezzo, in modo da massimizzare il suo profitto. Questo
poiché essendo monopolista può decidere liberamente sia il prezzo che le quantità.
Le quantità da produrre in questo caso sono funzione del prezzo che non è fisso, infatti al
variare del prezzo cambia la richiesta del mercato di un determinato bene.
Vengono indicate con C la funzione di costo di produzione e con R la funzione di ricavo,
che restano definite come nel caso di concorrenza perfetta, come anche l’utilità U.
Tuttavia in questo tipo di mercato si introducono anche le funzioni di domanda e di
offerta.
I due beni possono essere succedanei, complementari oppure non in relazione,
a seconda dell’elasticità incrociata. Tuttavia riguardo alla massimizzazione del
profitto trascuriamo di considerare questo fattore.
Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio
Sostituendo i prezzi trovati nella funzione di utilità si ottiene:
5,22
5,45,2137 47255,46
2125,22
99005,43
15,22
108005,16 222121
212121 345270
qqqqqqqqqqqqqqU
Esempio 7 (Libro Pag. 1133).
21221121 345270345270 qqqpqpCRUqqC
A questo punto per definire la funzione di utilità, al fine di eliminare il fattore
prezzo, dobbiamo considerare le funzioni della domanda e dell’offerta che
dipendono dal mercato e che, per questo esempio, valgono:
Consideriamo un’impresa che produce due beni diversi in regime di monopolio e
che sostenga, per la produzione, un costo dato da:
5,22
99005,43
2
5,22
108005,16
1
5,1
5,4 1500
12
5,1
5,4 1500
2
212
211
21
21
11
11
631200631200
5,15,41500qq
pq
pq
p
p
pq
p
ppq
ppq
Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio
Troviamo a questo punto i punti stazionari, in cui le due derivate parziali della
funzione, rispetto a q1 e q2, si annullano:
50
375
095,21375,40
0
2
1
212
5,44725
12
5,44725
1
5,22
95,21375,4
5,22
47255,412
5,22
95,21375,4
5,22
47255,412
2
2
21
21
21
2
21
1
q
q
q
q
U
Uq
q
q
q
A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (375,50):
0317,025,506
75,87
5,22
25,20108
5,22
5,4
5,22
912
5,229
5,22
5,4
5,22
5,4
5,2212
5,22
5,4
5,229
5,2212
22
2
2
21
22
11
H
U
U
U
Punto di
Max/min
05,22
12
11
qqU Punto di Max.
Quindi la produzione di 375 unità del primo bene e di 50 del secondo massimizza l’utile
dell’impresa. Tale utile si calcola sostituendo tali valori alla funzione di utilità.
41750U
5,22
5,45,213747255,46 222121
21 qqqqqq
U
I prezzi di vendita sono: 7,3761 p e 3802 p
Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio
Sostituendo i prezzi trovati nella funzione di utilità si ottiene:
Esempio 8 (Libro Pag. 1165).
21221121 6012060120 qqqpqpCRUqqC
Consideriamo le funzioni della domanda e dell’offerta che valgono:
Consideriamo un’impresa che produce due beni diversi in regime di monopolio e
che sostenga, per la produzione, un costo dato da:
30
15000
2
15
12000
1
22
11
2
1
3015000
1512000q
q
p
p
pq
pq
30
132002 20400
21230
15000
115
12000 222
21121 60120
qqqqqqqqqqU
Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio
Troviamo i punti stazionari, in cui le due derivate parziali, rispetto a q1 e q2, si
annullano:
A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (5100,6600):
0800,00
0
0
2252
15
2
151
152
302
304
2
21
22
11
H
U
U
U
qqPunto di
Max/min
0304
11
qqU Punto di Max.
Quindi la produzione di 5100 unità del primo bene e di 6600 del secondo massimizza
l’utile dell’impresa.
3186000U I prezzi di vendita sono: 4601 p e 2802 p
30
132002 20400 222
211 qqqq
U
6600
5100
0
0
2
1
213200
2
420400
1
30
2 13200
30
4 20400
30
2 13200
30
4 20400
2
1
2
2
1
1
q
q
q
q
U
Uq
q
q
q
q
q
Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi
La quantità del bene richiesto dai due mercati
dipende chiaramente dal prezzo. In questo caso
per il produttore la quantità da produrre è unica
e pari alla somma delle due sui due mercati.
21
2122
2111
,
,
qqq
ppfq
ppfq
Nel caso di un produttore che immetta su due mercati diversi, quindi anche con due
prezzi diversi, uno stesso bene da lui prodotto, si pone il problema di individuare quali
siano i prezzi che rendano massimo il suo profitto.
La quantità da produrre in questo caso è unica e data dalla somma dei beni immessi
sull’uno e l’altro mercato. Anche in questo caso la richiesta del mercato è funzione del
prezzo, infatti al variare dei prezzi cambiano le quantità vendute.
Vengono indicate sempre con C la funzione di costo di produzione e con R la funzione di
ricavo, insieme all’utilità U. Anche in questo tipo di mercato si introducono le funzioni di
domanda e di offerta.
In questo caso i due fattori che permetteranno al produttore di massimizzare il
suo guadagno non saranno tanto le due quantità da produrre ma bensì i due
prezzi di mercato, da stabilire in maniera opportuna.
Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi
Sostituendo i prezzi trovati nella funzione di utilità si ottiene:
25005,48605,15855,02502500 41110 835 21
2
22
2
11
2
21212211 qqqqqqqqqqqqqqU
Esempio 9 (Libro Pag. 1134).
2
2211
2 5,025025005,02502500 qqqpqpCRUqqC
Per poter definire la funzione di utilità in rapporto alle quantità immesse sui due
mercati dobbiamo, anche in questo caso, considerare le funzioni della domanda e
dell’offerta, diverse per i due mercati, che valgono:
Consideriamo un’impresa che produce un unico bene su due mercati diversi che
sostenga, per la produzione, un costo dato da:
225,0
5,277
2
11
22
11
41110
835
25,05,277
8351 qp
qp
pq
pqq
Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi
Troviamo i punti stazionari della funzione trovata, in cui le due derivate
parziali, rispetto a q1 e q2, si annullano:
77
169
035859860
3585
09860
03585
9860
3585
2
1
11
12
21
21
21
21
2
1
q
q
qqU
qqU
q
q
A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (169,77):
02612791
13
1
9
3
21
22
11
H
U
U
U
Punto di
Max/min
0311
qqU Punto di Max.
Quindi la produzione di 169 unità per il primo mercato e di 77 per il secondo massimizza
l’utile dell’impresa. Tale utile si calcola sostituendo tali valori alla funzione di utilità.
80050U I prezzi di vendita sono: 6661 p e 8022 p
25005,48605,1585 21
2
22
2
11 qqqqqqU
Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi
Sostituendo i prezzi trovati nella funzione di utilità si ottiene:
21
2
22
2
11
2
21212211 23000330023003003000 2600 600 qqqqqqqqqqqqqqU
Esempio 10 (Libro Pag. 1166).
2
2211
2 30030003003000 qqqpqpCRUqqC
Consideriamo le funzioni della domanda e dell’offerta che valgono, per i due
mercati:
Consideriamo un’impresa che produce un unico bene su due mercati diversi che
sostenga, per la produzione, un costo dato da :
25,0
300
2
11
22
11
2600
600
5,0300
6002 qp
qp
pq
pqq
Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi
Troviamo i punti stazionari della funzione, in cui le due derivate parziali,
rispetto a q1 e q2, si annullano:
30
60
26300026300
024300
26300
24300
2
1
4
2300
2
4
2300
1
12
21
12
21
2
2
2
1
q
q
q
q
qqU
qqU
q
q
q
q
A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (60,30):
02042462
24
2
6
4
21
22
11
H
U
U
U
Punto di
Max/min
0411
qqU Punto di Max.
Quindi la produzione di 60 unità per il primo mercato e di 30 per il secondo massimizza
l’utile dell’impresa.
10500UI prezzi di vendita risultano,
in questo caso, uguali: 5401 p e 5402 p
21
2
22
2
11 2300033002300 qqqqqqU