Università di Pisa – Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche,

Naturali

A.A.

2009/2010

Appunti di Fisica Nucleare

e Subnucleare I Guido Cioni

2

Sommario Proprietà generali dei nuclei Atomici ............................................................................................................... 4

Modello e-p del nucleo (Thomson) ............................................................................................................... 4

Reazioni Nucleari ........................................................................................................................................... 5

Sezione d’urto ............................................................................................................................................ 5

Bersaglio Sottile (Target Thickness) ........................................................................................................... 6

Sezione d’urto Rutherford ......................................................................................................................... 7

Sezione d’urto Mott ................................................................................................................................. 10

Fattore di Forma , Distribuzione di carica nei nuclei ............................................................................... 10

Atomo idrogenoide...................................................................................................................................... 13

Atomo idrogeno con nucleo finito (non puntiforme) .............................................................................. 13

Spostamento (shift) isotopico delle righe K dei raggi X ............................................................................... 15

Atomo Muonico ....................................................................................................................................... 16

Nuclei Speculari ........................................................................................................................................... 17

Decadimento radioattivo dei nuclei ............................................................................................................ 18

Legge del decadimento radioattivo - Attività .......................................................................................... 18

Tipi di decadimento ................................................................................................................................. 20

Datazione con il radiocarbonio ................................................................................................................ 21

Energia di legame del nucleo ....................................................................................................................... 22

Modello a goccia del nucleo e formula semiempirica di massa .................................................................. 24

Interazione Nucleare ...................................................................................................................................... 26

Cenni di Meccanica Quantistica .................................................................................................................. 26

Momento angolare .................................................................................................................................. 26

Operatori di salita e discesa .................................................................................................................... 28

Sistema di due fermioni identici .............................................................................................................. 29

Operatore di Parità .................................................................................................................................. 30

Deutone ....................................................................................................................................................... 30

Proprietà sperimentali ............................................................................................................................. 30

Autostati del potenziale nucleare ........................................................................................................... 30

Spin .......................................................................................................................................................... 33

Momento di quadrupolo nucleare (asimmetricità del nucleo) ................................................................... 34

Momento di quadrupolo nucleare del Deutone ..................................................................................... 34

Momento magnetico di dipolo ................................................................................................................ 35

Forze nucleari non centrali (correzione tensoriale) .................................................................................... 36

Vettori e scalari ........................................................................................................................................ 36

3

Operatore tensoriale 𝑺𝟏𝟐 ....................................................................................................................... 37

Momento magnetico dei nucleoni .............................................................................................................. 38

Scattering Nucleone-Nucleone .................................................................................................................... 39

Sviluppo ad onde parziali ......................................................................................................................... 41

Approssimazione semiclassica ................................................................................................................. 42

Caso di potenziale centrale a corto raggio .............................................................................................. 44

Lunghezza di scattering ........................................................................................................................... 45

Principali proprietà degli scattering p-p , n-n .............................................................................................. 46

Scattering p-p .............................................................................................................................................. 46

Sezione d’urto .......................................................................................................................................... 47

Scattering Coulombiano .......................................................................................................................... 47

Simmetria di carica .................................................................................................................................. 48

Spin isotopico ( o isospin) ............................................................................................................................ 49

Funzione d’onda di due Nucleoni ............................................................................................................ 50

Struttura dei nuclei ......................................................................................................................................... 51

Modello del nucleo a Gas di Fermi .............................................................................................................. 51

Energia totale e pressione ....................................................................................................................... 53

Miscela di due gas di fermi ideali ................................................................................................................ 54

Modello a Shell del nucleo .......................................................................................................................... 55

Numeri Magici ......................................................................................................................................... 56

Autostati del potenziale nucleare ............................................................................................................... 56

Potenziale a Buca infinita ........................................................................................................................ 57

Potenziale armonico ................................................................................................................................ 58

Potenziale di Saxon-Woods ..................................................................................................................... 58

Potenziale con interazione spin-orbita .................................................................................................... 58

Momenti magnetici nel modello a shell ...................................................................................................... 60

4

Proprietà generali dei nuclei Atomici

Modello e-p del nucleo (Thomson) Nell’atomo alla Thomson il nucleo è composto da A protoni e 𝐴 − 𝑍 elettroni ( non erano stati ancora scoperti i neutroni). La massa del nucleo si può calcolare come 𝑀 = 𝐴𝑚𝑝 + 𝐴 − 𝑍 𝑚𝑒~𝐴𝑚𝑝 mentre la

carica come 𝑄 = 𝐴𝑒 − 𝐴 − 𝑍 𝑒 = +𝑍𝑒. Questo modello risultò non soddisfacente in quanto vennero evidenziate le seguenti problematiche.

1. Energia di legame degli elettroni nucleari. Nell’atomo di Thomson il raggio è dell’ordine dei femtometri (fm) : 𝑅~5 𝑓𝑚 . Le distanze caratteristiche in questo sistema sono Δ𝑥~𝑅 quindi la relazione di indeterminazione Δ𝑥 ⋅ Δ𝑝𝑥 ≥ℏ/2 da 𝑝𝑥~ℏ/2𝑅 . Con questa approssimazione si può stimare l’energia cinetica dell’atomo , data da

𝑝𝑐 = 𝑐 𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦

2 + 𝑝𝑧2 =

3

2

ℏ𝑐

𝑅∼ 34,6 MeV

La quantità ℏ𝑐 è conosciuta e vale circa 200 𝑀𝑒𝑉 ⋅ 𝑓𝑚 . L’energia totale dell’elettrone è quindi data da 𝐸𝑒 = 𝑝𝑒𝑐

2 + 𝑚𝑒𝑐2 2 1/2 , quindi l’energia cinetica si può trovare togliendo l’energia

a riposo : 𝑇𝑒 = 𝐸𝑒 − 𝑚𝑒𝑐2~34 𝑀𝑒𝑉 , in accordo con quanto osservato prima. Ora dobbiamo

determinare la relazione tra questa energia e la potenziale di tipo Coloumbiano. Per una distribuzione a simmetria sferica si ha

𝑈𝑐𝑜𝑙𝑜𝑢𝑚𝑏 = −1

4𝜋𝜀0

𝐴𝑒2

𝑅= −

𝑒2

4𝜋𝜀0 ℏ𝑐

𝐴

𝑅

Possiamo definire, per semplicità, la quantità adimensionale

𝛼 ≡𝑒2

4𝜋𝜀0ℏ𝑐=

1

137 ∶ Costante di sruttura fine

In questo caso 𝑈𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 ~ − 12 𝑀𝑒𝑉 , quindi l’elettrone non viene mantenuto in orbita poiché l’energia cinetica è maggiore dell’attrazione Coulombiana. Secondo questo modello, dunque, l’atomo dovrebbe collassare in un tempo molto piccolo.

2. Spin del nucleo Il momento angolare del nucleo sarà dato dalla somma di tutti i momenti angolari delle

particelle che lo compongono : 𝐽 = 𝑆 + 𝐿 , dove S rappresenta i momenti di spin e L i momenti angolari orbitali. Si prenda ad esempio il caso del nucleo di Azoto 14 : in questo caso vi saranno 14 protoni e 7 elettroni. Seguendo la teoria, il momento angolare dovrebbe risultare semiintero mentre sperimentalmente si verifica che 𝐽𝑠 𝑁

14 = 1.

3. Momento di dipolo magnetico del nucleo

L’elettrone ruota attorno al nucleo , quindi è equivalente ad una spira di momento magnetico

𝜇 = 𝑖𝑆 =𝑒

2𝑚𝑙 ⟹

𝜇 𝑙 = 𝑔𝑙

𝑒ℏ

2𝑚 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑜𝑛𝑒

𝑙

ℏ

𝜇 𝑠 = 𝑔𝑠𝑒ℏ

2𝑚

𝑠

ℏ

5

Nel caso in cui 𝑚 = 𝑚𝑒 ⟹ 𝜇𝐵 =𝑒ℏ

2𝑚𝑒≡ magnetone di Bohr , altrimenti se 𝑚 = 𝑚𝑝 ⟹ 𝜇𝑁 =

𝑒ℏ/2𝑚𝑝 . Ci si aspettava che nuclei contenenti elettroni non appaiati avessero un momento

magnetico molto grande di quello osservato : in un atomo di deuterio , ad esempio , ci si aspetterebbe che il nucleo avesse un momento magnetico circa uguale a quello dell’elettrone mentre quello osservato sperimentalmente è circa la due millesima parte dello stesso.

Reazioni Nucleari Si definiscono reazioni nucleari1 i processi in cui vengono inviate particelle su un target (materiale) e vengono raccolti i prodotti della reazione (tipicamente su uno schermo sensibile). Il processo di diffusione delle particelle prodotte dalla reazione è detto scattering. Vi sono diversi tipi di reazioni : negli scattering elastici 𝑌 , 𝑏 si trovano nel loro stato fondamentale , viceversa negli scattering anelastici le particelle prodotte sono nel loro stato eccitato.

𝑎 + 𝑋 → 𝑋 + 𝑎 : scattering elastico 𝑎 + 𝑋 → 𝑋∗

𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑒𝑐𝑐𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜

+ 𝑎 → 𝑋 + 𝛾 + 𝑎 : scattering anelastico

Altri esempi di scattering anelastico sono dati da

𝑎 + 𝑋 → 𝑌 + 𝑏𝑊 + 𝑐

𝑍 + 𝑑 + 𝑓

Con le lettere maiuscole abbiamo indicato il materiale del target. Queste reazioni permettono di ricavare informazioni sulla struttura interna del bersaglio ed è per questo che sono importanti. Le osservabili misurate in una reazione nucleare sono date da

Energia delle particelle prodotte Direzione di emissione delle particelle prodotte Distribuzione angolare delle particelle prodotte

In particolare combinando queste tre osservabili si ottiene una variabile che rappresenta, nella sua interezza, il processo fisico di scattering. La sezione d’urto ( o , più precisamente, sezione d’urto differenziale ) è ottenuta dalla probabilità di osservare la particella 𝑏 con una certa energia e ad un certo angolo (𝜗, 𝜑) con riferimento all’asse del fascio.

Sezione d’urto

Introduciamo ora il concetto di sezione d’urto di una reazione del tipo 𝑎 + 𝑋 → 𝑌 + 𝑏 . Indichiamo con 𝐼𝑎 il numero di particelle a inviate (per unità di tempo) , con 𝑅𝑏 il numero di particelle b prodotte (sempre nell’unit{ di tempo) e con 𝑁𝑥 il rapporto tra il numero di nuclei bersaglio X e la superficie F dove si fa la misura. Con queste nuove notazioni possiamo definire la sezione d’urto come

𝜍 ≡𝑅𝑏

𝐼𝑎𝑁𝑥

1 Nel seguito indicheremo gli elementi chimici con la seguente notazione

𝑋𝑁𝑍𝐴

dove Z sono i protoni , N i neutroni (insieme formano i nucleoni) , 𝐴 = 𝑍 + 𝑁 . Nuclei che hanno lo stesso Z sono chiamati isotopi , con lo stesso A sono isobari mentre nuclei con lo stesso N sono detti isotoni

6

Osserviamo che, dimensionalmente, 𝜍 =superficie ; nei processi di fisica nucleare si sceglie come unità di misura il barn : 1 𝑏𝑎𝑟𝑛 = 102 𝑓𝑚2 = 10−24𝑐𝑚2 La sezione d’urto è proporzionale alla probabilità che la reazione avvenga : per questo è molto importante il suo studio sperimentale. Si osservi che la densità di

particelle diffuse cambia al variare dell’angolo solido (non è detto che la diffusione sia isotropa) quindi conviene definire una sezione d’urto differenziale in modo da poter tener di conto di variazioni infinitesime. Indichiamo con 𝜗 l’angolo di diffusione sullo schermo e con 𝑑Ω l’angolo solido infinitesimo che sottende una porzione dello schermo : vale quindi l’immediata relazione tra i due angoli.

𝑑Ω = sin 𝜗 𝑑𝜗𝑑𝜑 La sezione d’urto differenziale è quindi data da

𝑑𝜍 Ω =𝑑𝑅𝑏𝐼𝑎𝑁𝑥

=1

𝐼𝑎𝑁𝑥⋅ ℱ 𝜗, 𝜑 ⋅

𝑑Ω

4𝜋

Con ℱ 𝜗, 𝜑 abbiamo indicato la funzione di distribuzione angolare che deve essere determinata. Integrando sull’angolo solido ovviamente si ha che

1

4𝜋 ℱ 𝜗, 𝜑 𝑑Ω = 𝑅𝑏

per normalizzazione. La sezione d’urto differenziale si può quindi scrivere come

𝜍 Ω =𝑑𝜍

𝑑Ω=

1

4𝜋⋅ℱ 𝜗, 𝜑

𝐼𝑎𝑁𝑥⟹ 𝜍 = 𝜍 Ω 𝑑Ω ; 𝜍 = 𝑏𝑎𝑟𝑛/𝑠𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑

A volte conviene fare una misura dell’energia con cui arrivano le particelle dopo la reazione : a tale scopo si introduce la sezione d’urto doppiamente differenziale.

𝑑2𝜍 Ω, 𝐸𝑏

𝑑Ω 𝑑𝐸𝑏=

𝐹 Ω, 𝐸𝑏

4𝜋𝐼𝑎𝑁𝑥

Bersaglio Sottile (Target Thickness)

Cerchiamo infine di capire la condizione per cui il bersaglio si può considerare sottile. Fissato il bersaglio e proiettile possiamo avere diversi canali di reazione (reazioni di diverse) : definiamo quindi come sezione d’urto totale le somme di tutte le possibili sezioni d’urto dei canali di reazione, ovvero 𝜍𝑡𝑜𝑡 = 𝜍𝑖

𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑖 . Supponiamo ora di aver praticato il vuoto nel semispazio negativo delle z di un sistema

cartesiano di assi coodinati : inviamo un fascio di particelle su un bersaglio X che consideriamo dapprima di spessore infinito. Vogliamo capire quali sono le particelle a che troviamo ad una certa profondità z . A tal scopo consideriamo quindi la probabilità che la particella venga assorbita in uno spessore 𝑑𝑧 : 𝑃𝑎𝑑𝑧 . Il numero di particelle comprese in questo spessore è quindi dato da

7

𝑑𝒩𝑎 = −𝒩𝑎 𝑧 𝑃𝑎𝑑𝑧

Definendo 𝑛𝑥 come il numero di nuclei X su unità di volume possiamo scrivere la probabilità come 𝑃𝑎 = 𝑛𝑥𝜍𝑡𝑜𝑡 . Definiamo ora la quantità 𝜆𝑎 = 1/𝑃𝑎 = 1/𝑛𝑥𝜍𝑡𝑜𝑡 : è immediato verificare che questa quantità ha le dimensioni di una lunghezza , infatti viene definita come libero cammino medio delle particelle. Dall’equazione precedente si ricava quindi (risolvendo la differenziale) che il numero di particelle decresce in maniera esponenziale , quindi

𝒩𝑎 𝑧 = 𝒩𝑎 0 ⋅ exp{−𝑧/𝜆𝑎} Con Δ𝒩𝑎 = 𝒩𝑎 0 − 𝒩𝑎 𝑧 = 𝒩𝑎 0 [1 − 𝑒

−𝑧/𝜆𝑎 ] si indica la variazione del numero di particelle e con 𝒩𝑏 𝑧 = (𝜍𝑏/𝜍𝑡𝑜𝑡 ) 𝒩𝑎 0 [1 − 𝑒

−𝑧/𝜆𝑎 ] il numero di particelle b ; con 𝜍𝑏 invece abbiamo indicato la sezione d’urto delle particelle b prodotte. Dunque per caratterizzare la definizione di “sottile” dobbiamo confrontare il libero cammino medio con lo spessore del bersaglio : se il libero cammino medio è minore dello spessore allora il bersaglio è sottile ed è lecito supporre che non vi siano scattering multipli che modificherebbero ulteriormente l’angolo di deflessione. Quindi nel limite 𝑧 ≪ 𝜆𝑎 ( spessore sottile) 𝒩𝑏 𝑧 → 𝜍𝑏/𝜍𝑡𝑜𝑡 𝒩𝑎 0 𝑧/𝜆𝑎 , ovvero

𝜍𝑏 =𝒩𝑏

𝒩𝑎 0 ⋅ 𝑛𝑥 ⋅ 𝑧

Sezione d’urto Rutherford

Ora che abbiamo definito la sezione d’urto possiamo ritornare all’esperimento di Geiger per ricavare in maniera classica la sezione d’urto Rutherford. Ci riferiremo ad una situazione particolare in cui abbiamo un centro scatteratore ( non più un bersaglio colpito da particelle).

Supponiamo che le particelle incidano con un parametro d’impatto b e che vengano deflesse di un angolo Θ , per cui l’angolo solido è 𝑑Ω =sin Θ𝑑Θ 𝑑Φ . Supponiamo inoltre che il bersaglio abbia massa molto grande in modo che si possa considerare immobile. Il numero delle particelle che vengono raccolte sarà proporzionale al numero di quelle che vengono inviate per la superficie 𝑏𝑑Φ𝑑𝑏 , dove db è una variazione infinitesima del parametro d’impatto . Quindi la sezione d’urto differenziale è data da

𝑑𝜍 = 𝜍 Ω 𝑑Ω = 𝑏𝑑Φ𝑑𝑏𝐼

𝐼⟹ 𝜍 Ω =

𝑑𝜍

𝑑Ω=

𝑏𝑑𝑏

sin Θ 𝑑Θ=

𝑏

sin Θ

1𝑑Θ

𝑑𝑏

8

Indichiamo con Θ = Θ(𝑏) la funzione di deflessione che ci interessa ora ricavare. A questo scopo consideriamo la Lagrangiana del sistema definendo un sistema di assi cartesiani con asse z invertito rispetto a quello precedente ( gli angoli polare e azimutale sono 𝜗, 𝜑 )( Per una trattazione completa dell’argomento vd. Landau Vol.1 pg.93). La Lagrangiana è data da

ℒ =1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜗 2 − 𝑉(𝑟)

quindi dobbiamo studiare un moto in campo centrale. Riprendendo alcuni concetti di meccanica analitica sappiamo che gli integrali primi del moto sono dati dall’energia e dal momento angolare. Scriviamo quindi queste due leggi di conservazione ( 𝑝 = 𝑚𝑟𝜗 2 ) :

𝐸 =1

2𝑚𝑟 2 +

𝑙2

2𝑚𝑟2+ 𝑉 𝑟 =

1

2𝑚𝑟 2 + 𝑉eff(𝑟)

𝑙 = 𝑚𝑣∞𝑏 = 𝑝𝑏 = 2𝑚𝐸𝑏

dove 𝑣∞ rappresenta 𝑣 𝑟 = ∞ .

Quindi possiamo esplicitare dalle relazioni seguenti 𝑟 , 𝜗 :

𝑟 =𝑑𝑟

𝑑𝑡=

2

𝑚 𝐸 − 𝑉eff 𝑟

𝜗 =𝑑𝜗

𝑑𝑡=

𝑙

𝑚𝑟2

Quindi

𝑑𝜗

𝑑𝑟=

𝑑𝜗

𝑑𝑡⋅𝑑𝑡

𝑑𝑟=

𝑙

𝑚𝑟2⋅

1

2

𝑚 𝐸 − 𝑉eff(𝑟)

Integrando tra due raggi 𝑟 ed 𝑟0 si ottiene la legge di variazione temporale

𝜗 − 𝜗0 = 𝑙 𝑑𝑟′

𝑟′2 2𝑚 𝐸 − 𝑉eff(𝑟)

𝑟

𝑟0

𝑙 = 2𝑚𝐸𝑏 ⟹ 𝜗 = 𝜗0 + 𝑏 𝑑𝑟′

𝑟′2 1 −𝑉 𝑟 ′

𝐸−

𝑏2

𝑟 ′ 2

𝑟

𝑟0

Esisterà un valore 𝑟𝑚𝑖𝑛 per cui 𝐸 = 𝑉𝑒𝑓𝑓 𝑟𝑚𝑖𝑛 : se la

regione della variazione di r è limitata dalla sola condizione 𝑟 ≥ 𝑟𝑚𝑖𝑛 il moto della particella è infinito : la sua traiettoria proviene dell’infinito e torna all’infinito. Se invece 𝑟 < 𝑟𝑚𝑖𝑛 il moto è possibile e si sviluppa entro due limiti ( ci interessa considerare solo 𝑟𝑚𝑖𝑛 in questo caso). Nel nostro caso per immediate considerazioni di simmetria Θ = 𝜋 − 2𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛 , quindi

Θ = 𝜋 − 2𝑏 𝑑𝑟′

𝑟′2 1 −𝑉 𝑟 ′

𝐸−

𝑏2

𝑟 ′ 2

𝑟𝑚𝑖𝑛

∞

9

Prendiamo quindi come potenziale la funzione 𝑉 𝑟 = 𝛼/𝑟 , dove 𝛼 ≡ 𝑍𝑒2𝑧/4𝜋𝜀0 ( z numero atomico particella, Z numero atomico nucleo). Con questa scelta l’integrale si riduce a

𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛 =acos

𝛼

2𝐸𝑏

1 + 𝛼

2𝐸𝑏

2= acos

𝑥

1 + 𝑥2

Da cui si ricava che

1 = 𝑥2 tan2 𝜗 ; 𝑥 =𝛼

2𝐸𝑏⟹ 𝑏2 =

𝛼2

4𝐸2tan2 𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛

Poiché 𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛 = (𝜋 − Θ)/2 si ha che

tanΘ

2=

1

𝑏

𝛼

2𝐸

Abbiamo ricavato la funzione di deflessione, possiamo quindi esplicitare la sezione d’urto differenziale ( sezione d’urto Rutherford) :

𝜍 Ω =𝑑𝜍

𝑑Ω=

𝛼

4𝐸

2 1

sin4Θ

2

~𝑍2

𝐸2

1

sin4Θ

2

L’andamento di questa funzione è ben visibile nel grafico seguente.

Come già detto il procedimento di scattering può essere utilizzato per avere informazioni sulla natura fisica del nucleo. Sappiamo che l’elettrone ha doppia natura ( corpuscolare e ondulatoria ) : alla particella , oltre alla carica , è associata una lunghezza d’onda data dalla relazione di De Broglie 𝜆 = /𝑝 . Quindi per avere informazioni sul nucleo devo scegliere particelle che abbiano lunghezza d’onda confrontabile ( preferibilmente minore) del raggio atomico : 𝜆 ≤ 𝑅 . Utilizzando la dimensione del raggio atomico possiamo trovare il limite superiore per l’onda incidente :

𝜆 =

𝑝~𝑅 ⟹

2𝜋ℏ𝑐

𝑝𝑐~𝑅 ⟹ 𝑝𝑐~

2𝜋ℏ𝑐

𝑅≈ 250 𝑀𝑒𝑉

10

Quindi dobbiamo utilizzare fasci che abbiano almeno questa energia. Utilizzando la relazione più generale per l’energia dell’elettrone si può quindi ricavare l’energia cinetica :

𝐸 = 𝑝𝑐 2 + 𝑚𝑐2 2 1/2 ⟹ 𝑇 = 𝐸 − 𝑚𝑐2 Se inviamo un fascio di elettroni a 𝐸 = 420 𝑀𝑒𝑉 possiamo studiare la figura di diffrazione dell’Ossigeno 16. I massimi e minimi di questa figura possono essere facilmente calcolati considerando il nucleo come piatto e utilizzando quindi la formula per la diffrazione attraverso un foro circolare :

sin 𝜗 = 1,22 𝜆

2𝑅⟹ 𝑅~2,6 𝑓𝑚

Sezione d’urto Mott

La sezione d’urto Mott si definisce come una generalizzazione di quella di Rutherford. La formula valida per un nucleo puntiforme è la seguente :

𝑑𝜍

𝑑Ω

𝑀𝑜𝑡𝑡=

𝑑𝜍

𝑑Ω 𝑅𝑢𝑡

1 −𝑣2

𝑐2sin2

𝜗

2

𝑣

𝑐→1

𝑑𝜍

𝑑Ω 𝑅𝑢𝑡

cos2𝜗

2

Non verrà esposto il calcolo che porta alla derivazione di questa formula ( che deriva comunque dalla considerazione di effetti relativistici e di spin) ; vogliamo però correlare questa formula con la sezione d’urto rilevata sperimentalmente. Per questo ci servir{ introdurre un nuovo concetto.

Fattore di Forma , Distribuzione di carica nei nuclei

Si nota che la sezione d’urto sperimentale è data da

𝑑𝜍

𝑑Ω 𝐸𝑥𝑝

= 𝑑𝜍

𝑑Ω 𝑀𝑜𝑡𝑡

𝐹 𝑞 2

dove 𝑞 è il vettore impulso e 𝐹 𝑞 è una funzione dell’impulso detta fattore di forma nucleare. Matematicamente la 𝐹 𝑞 è la trasformata di Fourier della distribuzione di carica, ovvero

𝐹 𝑞 = 1

𝑍𝑒 𝑒𝑖𝑞 ⋅𝑟 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

con ovvia notazione dei simboli utilizzati. Il fattore di forma può essere ricavato a seconda della particolare situazione sperimentale. Consideriamo ora il caso in cui si ha uno scattering elastico con

angolo di deviazione 𝜗 . Indichiamo con 𝑘 = 𝑝 /ℏ l’impulso della particella che incide sul nucleo. L’impulso totale trasferito dopo la deviazione è dato dalla somma vettoriale dei due impulsi ( uguali in

modulo per l’elasticit{ dello scattering ma diversi in direzione ) : 𝑞 = 𝑘 − 𝑘 ′ . Con ovvie considerazioni

geometriche (triangolo isoscele con lati 𝑘 , 𝑘 ′ , 𝑞 ) si può ricavare il modulo di q che equivale a

𝑞 = 2𝑘 sin𝜗

2

Ora che abbiamo il modulo di q possiamo dedicarci a trovare la forma analitica per F. Ovviamente questa deriva dalla distribuzione di carica del nucleo 𝜌 𝑟 quindi prima dobbiamo trovare una funzione che la approssimi bene. La distribuzione di carica sferica

11

𝜌 𝑟 =

𝜌0 =

𝑍𝑒4

3𝜋𝑅3

, 𝑟 < 𝑅

0 , 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒

ha come trasformata la seguente funzione

𝐹 𝑞 = ℱ 𝜌 𝑟 =3

𝑞3𝑅3 3 sin 𝑞𝑅 − 𝑞𝑅 cos 𝑞𝑅

Infatti si deve calcolare l’integrale seguente

𝐹 𝑞 = 𝑒𝑖𝑞 ⋅𝑟 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

Indicando con 𝜗 l’angolo polare e con 𝜑 l’angolo azimutale si ha che 𝑞 ⋅ 𝑟 = 𝑞𝑟 cos 𝜗 (ricordiamo che abbiamo calcolato il modulo di q in precedenza!). Si ha quindi ( utilizzando le coordinate sferiche) :

𝐹 𝑞 = 𝑒𝑖𝑞𝑟 cos 𝜗𝑟2 sin 𝜗 𝑑𝜗𝑑𝜑𝑑𝑟

𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

= 2𝜋 𝜌 𝑟 𝑟2𝑑𝑟∞

0

𝑒𝑖𝑞𝑟 cos 𝜗 sin 𝜗+𝜋/2

−𝜋/2

𝑡=cos 𝜗 2𝜋 𝜌 𝑟 𝑟2𝑑𝑟

∞

0

𝑒𝑖𝑞𝑟𝑡 𝑑𝑡+1

−1

= 2𝜋 𝜌 𝑟 𝑟2𝑑𝑟∞

0

⋅ 𝑒𝑖𝑞𝑟𝑡

𝑖𝑞𝑟 −1

+1

= 4𝜋 𝑟2 sin 𝑞𝑟

𝑞𝑟𝜌 𝑟 𝑑𝑟

∞

0

=4𝜋

𝑞𝜌0 𝑟 sin 𝑞𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

=3

𝑞3𝑅3 sin 𝑞𝑅 − 𝑞𝑅 cos 𝑞𝑅

Abbiamo ricavato il risultato esposto prima. In realtà sperimentalmente conviene considerare una distribuzione di carica del tipo

𝜌 𝑟 =𝜌0

1 + exp 𝑟−𝑅

𝑎

∶ distribuzione di Saxon-Woods

La costante R indica la distanza radiale alla quale 𝜌 𝑟 si riduce alla metà del suo valore a 𝑟 = 0 e può quindi essere considerata come il raggio medio del nucleo atomico. Per nuclei medi e pesanti il numero di nucleoni per unità di volume è circa costante e vale

𝜌𝑁 =𝐴

4

3𝜋𝑅3

⟹ 𝑅 = 𝑟0𝐴1/3 , 𝑟0 = 1,2 fm

La costante a è determinata sperimentalmente. Si riporta il grafico della distribuzione di carica per alcuni nuclei.

12

Si voglia inoltre calcolare il raggio quadratico medio di carica per una distribuzione a simmetria sferica. La densità di carica è , con buona approssimazione , sferica e dunque vale la seguente

𝜌 𝑟 =

𝜌0 =

𝑍𝑒4

3𝜋𝑅3

𝑝𝑒𝑟 𝑟 ≤ 𝑅

0 𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅

Il raggio quadratico medio si calcola con la definizione statistica usuale :

𝑅2 =∫ 𝑟2𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

∫ 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

L’integrazione del denominatore è banale poiché 𝜌 𝑟 = 𝜌(𝑟) e l’integrazione sul solo volume produce la carica totale presente nella sfera, ovvero 𝑍𝑒 . Per calcolare l’integrale al numeratore basta passare a coordinate sferiche su una sfera : l’elemento infinitesimo di volume diventa

𝑑3𝑟 = 𝑟2 sin 𝜗 𝑑𝜗𝑑𝜑𝑑𝑟

dove –𝜋/2 ≤ 𝜗 ≤ 𝜋/2 , 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 . Si ottiene quindi

𝑅2 =∫ 𝑟2𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

∫ 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟=

2𝜋𝜌0 ∫ sin 𝜗 𝑑𝜗𝜋

0 ∫ 𝑟4𝑑𝑟

𝑅

0

𝑍𝑒=

4𝜋𝜌0𝑅5

𝑍𝑒5=

4𝜋𝑅5

𝑍𝑒5⋅

𝑍𝑒4

3𝜋𝑅3

=3

5𝑅2 ⟹ 𝑅2 1/2 =

3

5𝑅

Si noti infine che si può sviluppare il termine esponenziale del fattore di forma tramite un’espansione in serie :

𝑒𝑖𝑞 ⋅𝑟 = 𝑖 𝑞 ⋅ 𝑟 𝑛

𝑛!

+∞

𝑛=0

13

Calcolando l’integrale i termini con n dispari vengono soppressi ( poiché hanno integrale nullo ) quindi rimangono solo i contributi con n pari. Possiamo quindi sviluppare la F in termini della 𝑞2 :

𝐹 𝑞2 = 1 −1

6𝑞2 𝑅2 + ⋯ 𝑐𝑜𝑛 𝑅2 = −6

𝑑𝐹 𝑞2

𝑑 𝑞2 𝑞2=0

Dove 𝑅2 rappresenta il termine calcolato prima.

Atomo idrogenoide L’atomo idrogenoide è la più semplice schematizzazione della struttura atomica : un elettrone di carica

– 𝑒 si muove intorno ad un nucleo di carica +𝑍𝑒 . Vogliamo studiare questo sistema da un punto di vista quantistico. L’Hamiltoniana del sistema è banale :

𝐻 =𝑝2

2𝑚+ 𝑉 𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑉 𝑟 = −

1

4𝜋𝜀0

𝑍𝑒2

𝑟

In questa prima parte supporremo che il nucleo possa essere considerato come puntiforme. Se indichiamo con 𝜓𝑛 𝑟 la funzione d’onda che descrive il moto dell’elettrone si avr{ che

𝐻𝜓𝑛 𝑟 = 𝐸𝑛𝜓𝑛 𝑟 Poiché il sistema ha simmetria sferica possiamo scrivere la funzione d’onda come prodotto di una funzione che dipende dal raggio e di una funzione con sola dipendenza angolare, ovvero 𝜓𝑛 𝑟 = 𝑅𝑛ℓ 𝑟 𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑 , dove 𝑛, ℓ, 𝑚 sono

rispettivamente il numero quantico principale , secondario(ℓ : momento angolare) e magnetico (m). Gli autostati di energia dell’elettrone si possono calcolare con la media dell’Hamiltoniana rispetto alla funzione d’onda dello stesso , ovvero

𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 𝐻 𝜓𝑛 ⇒ 𝐸𝑛 = −𝐸Ryd𝑍

2

𝑛2

La costante 𝐸Ryd è definita da

𝐸Ryd =𝑚𝑒𝑒

4

2 4𝜋𝜀0 2ℏ2

=1

2𝛼2𝑚𝑒𝑐

2 ≅ 13,6 eV

dove 𝛼 è la costante di struttura fine definita precedentemente. All’orbitale 1s, unico orbitale disponibile in un atomo idrogenoide , è associata la funzione d’onda seguente :

𝑌00 𝜗, 𝜑 =1

4𝜋⟹ 𝜓1𝑠 𝑟 =

1

4𝜋 2

𝑍

𝑎0

3/2

𝑒−

𝑍𝑟

𝑎0 ; 𝑎0 ≡4𝜋𝜀0ℏ

2

𝑚𝑒𝑐2

= 0,529 ⋅ 10−10m = 5,29 ⋅ 104fm

Atomo idrogeno con nucleo finito (non puntiforme)

In questo caso cambia il potenziale all’interno della distribuzione di carica sferica. Risolvendo l’equazione

di Maxwell ∇ ⋅ 𝐸 = 𝜌/𝜀0 con le opportune condizioni al contorno si ha quindi che

14

𝑉 𝑟 = −1

4𝜋𝜀0×

𝑍𝑒2

𝑅

1

2 3 −

𝑟2

𝑅2 𝑝𝑒𝑟 𝑟 ≤ 𝑅

𝑍𝑒2

𝑟 𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅

Con questo potenziale la nuova Hamiltoniana si scrive come

𝐻 =𝑝2

2𝑚𝑒+ 𝑉 𝑟 = 𝐻 + Δ𝑉 𝑟 = 𝐻 + 𝑉 𝑟 − 𝑉 𝑟

Δ𝑉

Quindi dobbiamo utilizzare , come prima 𝐻 𝜓 𝑛 𝑟 = 𝐸 𝑛𝜓 𝑛 𝑟 ; 𝐸 𝑛 = 𝜓 𝑛 𝐻 𝜓 𝑛 . Nel seguito

utilizzeremo un’approssimazione tipica della teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Riscriviamo l’energia come

𝐸 𝑛 = 𝜓 𝑛 𝐻 𝜓 𝑛 + 𝜓 𝑛 Δ𝑉 𝜓 𝑛 Se la perturbazione 𝜓 𝑛 Δ𝑉 𝜓 𝑛 è piccola , la funzione d’onda non è disturbata quindi possiamo approssimare 𝜓 𝑛 ≅ 𝜓𝑛 ottenendo 𝐸 𝑛 ≅ 𝜓𝑛 𝐻 𝜓𝑛 + 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 . Consideriamo ora l’effetto di questa perturbazione indicandolo con Δ𝐸𝑛 = 𝐸 𝑛 − 𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 . Dobbiamo calcolare questo valore di aspettazione per valutare gli effetti dovuti a questa perturbazione. Indicando con Ω l’angolo si ha

Δ𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 = 𝜓𝑛∗ 𝑟 Δ𝑉𝜓𝑛 𝑟 𝑑

3𝑟 = 𝑑ΩΩ

𝑟2 𝜓𝑛 𝑟 2Δ𝑉 𝑟 𝑑𝑟

∞

0

= 4𝜋 ⋅1

4𝜋 4

𝑍

𝑎0

3

𝑟2 𝑒−

2𝑍𝑟

𝑎0 Δ𝑉 𝑟 𝑑𝑟∞

0

= −1

4𝜋𝜀0⋅ 4 ⋅

𝑍

𝑎0

3

𝑍𝑒2 𝑟2𝑒−

2𝑍𝑟

𝑎0 3

2𝑅−

𝑟2

2𝑅3−

1

𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

Poiché 0 < 𝑟 < 𝑅 ∼ 10 fm , possiamo trascurare il rapporto 𝑟/𝑎0 , visto che quest’ultimo è dell’ordine di 104 𝑓𝑚 ( vd.sopra). Quindi l’esponenziale può essere posta uguale a 1 in quanto l’argomento è quasi nullo. Si ha quindi

Δ𝐸𝑛 = −1

𝜋𝜀0

𝑍

𝑎03 𝑍𝑒

2 𝑟2 3

2𝑅−

𝑟2

2𝑅3−

1

𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

Con una semplice integrazione si ricava

Δ𝐸1𝑠 =2

5

1

4𝜋𝜀0

𝑍4𝑒2

𝑎03 𝑅

2 ⟹ Δ𝐸 =4

5𝐸𝑅𝑦𝑑

𝑍4𝑅2

𝑎02

Vogliamo quindi vedere quanto sia influente questa correzione rispetto al valore dell’energia per il livello 1s : si tratta di stimare il rapporto

Δ𝐸1𝑠𝐸1𝑠

=4

5 𝑍2

𝑅2

𝑎02

Per il 𝐶12 questo scarto vale 6 ⋅ 10−8 mentre per 𝑃𝑏208 vale 7 ⋅ 10−5 , quindi questo è trascurabile e l’approssimazione risulta efficiente. Inoltre anche inserendo correzioni relativistiche si ottengono valori differenti nell’ordine di Δ𝐸/𝐸 dunque anche questi effetti sono trascurabili.

15

Spostamento (shift) isotopico delle righe K dei raggi X In generale la presenza di termini aggiuntivi nel potenziale 𝑉(𝑟) comporta uno slittamento (o shift) dei livelli energetici. Nel capitolo precedente è stato osservato che lo spostamento relativo al termine che tiene conto della dimensione fisica del nucleo è trascurabile. Esistono casi invece in cui lo splitting energetico è ben visibile e può essere sfruttato per ricavarne importanti proprietà sulla struttura atomica. Con il guscio K intendiamo il guscio più interno dell’atomo. Possiamo misurare l’energia del passaggio dall’orbitale 1s al 2p in due diversi isotopi dello stesso elemento. Con questa misura si ottengono risultati diversi visto che il raggio cambia tra isotopi diversi. Utilizziamo quindi le quantità primate 𝐴′ , 𝑍′ per l’isotopo e le quantit{ (𝐴, 𝑍) per l’elemento principale. Le energie emesse dai due elementi sono date da

𝜀𝑋 𝐴 = 𝐸 2 𝐴 − 𝐸 1 𝐴 ; 𝜀𝑋 𝐴′ = 𝐸 2 𝐴

′ − 𝐸 1 𝐴′

Quindi la differenza di energia nello stesso processo per i due elementi è data da

𝜀𝑋 𝐴 − 𝜀𝑋 𝐴′ = 𝐸 2 𝐴 − 𝐸 1 𝐴 − 𝐸 2 𝐴

′ + 𝐸 1 𝐴′

Dobbiamo ora fare alcune considerazioni sulle quantità presenti in questa formula : in realtà , grazie ad un’argomentazione che illustreremo subito nel seguito , si possono eliminare le quantit{ 𝐸 2 𝐴 , 𝐸 2 𝐴

′ poiché risultano pressoché identiche. Per dimostrare questo utilizzeremo la funzione d’onda per l’orbitale 2p in cui compare la parte radiale.

𝑅2𝑝 𝑟 =1

3⋅

𝑍

2𝑎0

3/2 𝑍

𝑎0 𝑟 𝑒

−𝑍𝑟

2𝑎0

Le due energie in esame si possono scrivere come

𝐸 2 𝐴 = 𝜓2𝑝 𝐻 𝐴 𝜓2𝑝 ; 𝐸 2 𝐴′ = 𝜓2𝑝 𝐻 𝐴′ 𝜓2𝑝

Le due Hamiltoniane differiranno solo per la parte potenziale 𝑉 𝐴 ≠ 𝑉 𝐴′ . Quindi ogni integrale sarà calcolato come

𝑟2𝑅2𝑝2 𝑟 𝑉 𝐴 𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

, 𝑟2𝑅2𝑝2 𝑟 𝑉 𝐴′ 𝑟 𝑑𝑟

𝑅′

0

trascurando la parte cinetica. Studiando la funzione integranda ci si accorge che :

i. La funzione 𝑟2𝑅2𝑝2 (𝑟) è limitata , ha massimo in un punto vicino a

𝑍𝑟

𝑎0= 5 e tende a 0 molto

velocemente verso gli estremi. ii. I potenziali elettrostatici , d’altra parte, differiscono solo per 𝑟 ≤ 𝑅 .

Quindi i potenziali differiscono di molto solo in una zona dove la funzione 𝑟2𝑅2𝑝

2 (𝑟) che moltiplica è

nulla, quindi non perdiamo di generalità supponendo che

𝑟2𝑅2𝑝2 𝑟 𝑉 𝐴 𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

≅ 𝑟2𝑅2𝑝2 𝑟 𝑉 𝐴′ 𝑟 𝑑𝑟

𝑅′

0

Possiamo quindi dire che 𝐸 2 𝐴 = 𝐸 2 𝐴

′ con buona approssimazione, in modo da ottenere

16

𝜀𝑋 𝐴 − 𝜀𝑋 𝐴′ = −𝐸 1 𝐴 + 𝐸 1 𝐴

′ = 𝐸1 𝐴′ + Δ𝐸1 𝐴

′ − 𝐸1 𝐴 − Δ𝐸1 𝐴 = Δ𝐸1 𝐴′ − Δ𝐸1 𝐴

=4

5 𝐸𝑅𝑦𝑑

𝑍4

𝑎02 𝑅′2 − 𝑅2 =

4

5 𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍

4𝑟0

2

𝑎02 𝐴

′2

3 − 𝐴2

3

Negli ultimi passaggi abbiamo utilizzato l’ulteriore approssimazione 𝐸1(𝐴

′) ≅ 𝐸1 𝐴 che risulta appropriata in virtù della poca differenza in massa efficace. Inoltre è stata messa in evidenza la dipendenza di A utilizzando la legge 𝑅 = 𝑟0𝐴

1/3. Graficando i risultati sperimentali si può quindi arrivare ad una stima della costante 𝑟0 : in realt{ si osserva che l’andamento ottenuto è corretto ma il valore della costante 𝑟0 non è quello atteso. Questo si spiega osservando che la funzione d’onda dell’orbitale 1s utilizzata nel calcolo non è una buona approssimazione della vera funzione d’onda.

Atomo Muonico

La particolarit{ di questo atomo è che al posto dell’elettrone (atomo idrogenoide) è presente un muone , una particella con stessa carica elettrica e spin dell’elettrone ma con una massa pari a 207 volte quella dell’elettrone. Poiché i muoni sono sensibili soltanto alle forze deboli, elettromagnetiche e gravitazionali, gli atomi muonici sono governati con precisione elevatissima dall'interazione elettromagnetica : non ci sono complicazioni derivanti da forze forti tra il muone e il nucleo. Dato che un muone è più massivo di un elettrone, le orbite di Bohr sono più vicine al nucleo in un atomo muonico rispetto a un atomo ordinario e le correzioni dovute all'elettrodinamica quantistica sono più rilevanti. Lo studio dei livelli energetici degli atomi muonici così come i tassi di transizione dagli stati eccitati allo stato fondamentale permettono dunque test sperimentali riguardo all'elettrodinamica quantistica. Il muone non è stabile ma decade con la reazione 𝜇− → 𝑒− + 𝜈𝑒

− + 𝜈𝜇 con una vita media di 𝜏 ≅ 2,2 ⋅ 10−6𝑠 . Un fascio di muoni è

ottenibile dal decadimento di altre particelle, come vedremo tra poco. Studiamo ora le caratteristiche di quest’atomo. Analogamente a quanto fatto per il raggio di Bohr possiamo calcolare

𝑎𝜇 = 4𝜋𝜀0ℏ

𝑚𝜇𝑒=

𝑚𝑒𝑚𝜇

𝑎0 ≅1

207 𝑎0

Gli autostati dell’energia si trovano utilizzando 𝐻𝜓𝑛 = 𝐸𝑛𝜓𝑛 , quindi

𝑝2

2𝑚−

1

4𝜋𝜀0

𝑍𝑒2

𝑟 𝜓𝑛 = 𝐸𝑛𝜓𝑛 ⟹ 𝐸𝑛 = −

𝑚𝜇

𝑚𝑒

𝐸𝑅𝑦𝑑

𝑛2𝑍2 𝑛 = 1,2,3 …

Vogliamo innanzitutto capire per quali Z il muone avr{ un’orbita compresa nel nucleo. Indichiamo con

ℛ𝑛𝑒 =

𝑛2

𝑍𝑎0

il raggio atomico dell’atomo idrogenoide. Nel caso dell’atomo muonico si ha quindi

ℛ𝑛𝜇

=𝑚𝑒𝑚𝜇

𝑛2

𝑍𝑎0

Il caso che ci interessa è quello dell’orbitale 1s , dove 𝑛 = 1 : in questo stato il muone è nell’orbita più bassa e vicina al nucleo. Quindi ℛ1

𝜇= 𝑚𝑒𝑎0/𝑚𝜇𝑍 . Vogliamo che questo raggio sia uguale al raggio del

nucleo , indicato come 𝑟0𝐴1/3 . Da queste due relazioni si ottiene

𝑍𝐴1/3 =𝑚𝑒𝑚𝜇

𝑎0𝑟0

⟹ 𝑍3𝐴 = 𝑚𝑒𝑚𝜇

3

𝑎0𝑟0

3

Nell’approssimazione 𝑁 ≅ 𝑍 ⟹ 𝐴 = 2𝑍 si ottiene

17

2𝑍4 = 𝑚𝑒𝑚𝜇

3

𝑎0𝑟0

3

⟹ 𝑍 ≅ 47

Quindi con un nucleo con 𝑍 ≥ 47 (i.e. l’argento) il raggio dell’orbita muonica cade dentro al nucleo. Consideriamo adesso un atomo muonico di Ferro. Vogliamo calcolare le quantità caratteristiche del processo di shift isotopico ovvero l’energia emessa dai raggi X nella transizione del muone 2𝑝 → 1𝑠 nel caso di nucleo puntiforme , il Δ𝐸 dovuto alla correzione per un nucleo di dimensione finita e la differenza

di energia dello shift isotopico tra i due isotopi del ferro 𝐹𝑒𝜇56 e 𝐹𝑒𝜇58 . Per il primo punto utilizziamo le formule gi{ considerate per gli autostati dell’energia. 𝜀𝑋 = 𝐸2𝑝 − 𝐸1𝑠 =3

4

𝑚𝜇

𝑚𝑒 𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍

2𝑍 𝐹𝑒 =26 1,427 MeV

La correzione dovuta al nucleo puntiforme si calcola come

Δ𝐸 =2

5

1

4𝜋𝜀0

𝑍4𝑒2

𝑎𝜇3 ℛ

2 =4

5

𝑚𝜇

𝑚𝑒

3

𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍4ℛ2

𝑎02

=4

5

𝑚𝜇

𝑚𝑒

3

𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍4𝑟0

2

𝑎02 𝐴

2/3

≅ 0,33 MeV ⟹ Δ𝐸1𝑠𝐸1𝑠

≅ 10%

Infine per i due diversi isotopi si ha Δ𝜀𝑋 = 𝜀𝑋 𝐴 − 𝜀𝑋 𝐴

′

=4

5

𝑚𝜇

𝑚𝑒

3

𝑍4𝑟0

2

𝑎02 𝐴

′2

3 − 𝐴2

3

≅ 8 KeV Nel seguente grafico è riportato lo shift isotopico per alcuni isotopi del ferro.

Nuclei Speculari Un altro processo che ci permette di stabilire il valore di 𝑟0 è lo studio dei nuclei speculari, ovvero nuclei che si ottengono scambiando il numero di protoni con il numero di elettroni. Per due atomi con nuclei speculari abbiamo quindi che 𝑍, 𝑁, 𝐴 = 𝑁 + 𝑍 ⟹ 𝑍′ = 𝑁, 𝑁′ = 𝑍 , 𝐴′ = 𝐴 . Nel seguito considereremo

nuclei speculari che differiscono di una sola unità : 𝑁713

6 ↔ 𝐶613

7 ; 𝐶𝑎2039

19 ↔ 𝐾1939

20 . Se gli atomi differiscono di una sola unità significa che 𝐴 = 𝑍′ + 𝑁′ = 𝑍 − 1 + 𝑍 = 2𝑍 − 1 , infatti 𝑍′ = 𝑍 − 1 , 𝑁′ =𝑁 + 1 . La massa totale del nucleo sarà data da 𝑀 = 𝑚𝑖𝑖 − 𝐵 , dove B è una costante ricavata sperimentalmente : attraverso la misura della massa si potrà risalire alla differenza di energia tra i due nuclei. Questa differenza può essere imputata alla sola differenza di energia Coulombiana poiché gli altri termini , come già detto, non sono rilevanti. L’energia di Coulomb per una sfera uniformemente carica di raggio 𝑅 è data da

𝐸𝑐 =3

5

1

4𝜋𝜀0

𝑄2

𝑅

La variazione di energia tra i due nuclei speculari è data da

18

Δ𝐸𝑐 =3

5

𝑒2

4𝜋𝜀0

1

𝑟0𝐴1

3

𝑍2 − 𝑍′2 =3

5

𝑒2

4𝜋𝜀0

1

𝑟0𝐴1

3

𝑍2 − 𝑍 − 1 2 =3

5

𝑒2

4𝜋𝜀0

1

𝑟0𝐴1

3

2𝑍 − 1 =3

5

𝑒2

4𝜋𝜀0

1

𝑟0 𝐴1/3

Dall’esperienza si ricava 𝑟0 ≅ 1,22 𝑓𝑚 , avendo misurato Δ𝐸𝑐 come differenza di massa.

Decadimento radioattivo dei nuclei Consideriamo il processo di decadimento più generale

𝐴 𝑀

→ 𝑎1 𝑚1

+ 𝑎2 𝑚2

Prendiamo come riferimento il sistema a riposo della massa M : possiamo scrivere la conservazione dell’energia 𝑐 = 1 :

𝑀 = 𝑒10 + 𝑒20 = 𝑚1 + 𝐾10 + 𝑚2 + 𝐾20 ≥ 𝑚1 + 𝑚2 Definiamo il Q-valore del decadimento come

𝑄 = 𝑀 − 𝑚1 + 𝑚2

questo indice ci dice quanta energia iniziale è stata trasferita in energia cinetica delle particelle. Affinché il processo possa avvenire spontaneamente occorre quindi che 𝑀 − 𝑚1 + 𝑚2 > 0 : non è detto comunque che , con valori di Q strettamente positivi, la reazione avvenga, e in tempi ragionevolmente brevi. L’energia nei due riferimenti delle masse 𝑚1 , 𝑚2 sarà invece

𝑒10 =

𝑀2 + 𝑚12 − 𝑚2

2

2𝑀

𝑒20 =𝑀2 − 𝑚1

2 + 𝑚22

2𝑀

Nel caso particolare del decadimento Λ → 𝑝 + 𝜋− 𝑜 𝑛 + 𝜋0 si ottiene 𝑄 = 37,7 𝑀𝑒𝑉 . Il processo di decadimento radioattivo si può quindi schematizzare con la reazione 𝐴 → 𝐵 + 𝑏 , dove A è il nucleo madre, B il nucleo figlio e b un altro prodotto della reazione.

Legge del decadimento radioattivo - Attività

Ovviamente il processo è di natura statistica : possiamo considerare una densità di probabilità 𝜆 costante nel tempo che esprime il tasso di variazione dei nuclei tra gli istanti 𝑡 e 𝑡 + 𝑑𝑡 . Se individuiamo con 𝑁(𝑡) il numero di nuclei totali avremo quindi che 𝑑𝑁 = −𝑁 𝑡 𝜆 𝑑𝑡 , da cui si ricava la differenziale di immediata risoluzione

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜆𝑁 𝑡 ⟹ 𝑁 𝑡 = 𝑁0 𝑒

−𝜆𝑡

Tale relazione va sotto il nome di “Legge del decadimento radioattivo”. Avendo enunciato questa legge risulta immediato individuare con 𝜏 ≡ 1/𝜆 la vita media della particella. Ovviamente quando 𝑡 = 𝜏 ⟹𝑁 𝜏 = 𝑁0/𝑒 . Un’altra quantit{ che si definisce è il tempo di dimezzamento della reazione ricavabile dalla seguente : 𝑁(𝑇1/2) = 𝑁0/2 ⟹ 𝑇1/2 = 𝜏𝑙𝑜𝑔 2 ≅ 0,693 𝜏 . Generalmente la vita media può variare di

svariati ordini di grandezza : l’uranio 236 per esempio ha 𝜏 ≅ 23,4 ⋅ 106 𝑦𝑟 mentre esistono particelle che esistono solo per pochi microsecondi. In realtà la variazione 𝑑𝑁/𝑑𝑡 assume un importante significato nelle reazioni nucleari : per questo viene definita come attività della reazione.

19

𝒜 ≡ 𝑑𝑁

𝑑𝑡 = 𝜆𝑁(𝑡)

Se definiamo poi con 𝒜0 ≡ 𝜆𝑁0 ⟹ 𝒜 = 𝒜0𝑒

−𝜆𝑡 . In realtà sperimentalmente non si riesce a misurare l’attivit{ ad un certo istante , ma solo l’attivit{ mediata su un periodo. In altre parole non è possibile misurare direttamente N ma solo il numero di nuclei che decadono in un certo intervallo temporale. Si ottiene quindi che il numero di nuclei che decadono in un tempo Δ𝑡 è dato dalla variazione

Δ𝑁 = 𝑁 𝑡 − 𝑁 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 1 − 𝑒−Δ𝑡/𝜏

Se l’intervallo di misura Δ𝑡 ≪ 𝑇1/2 allora Δ𝑁 ≃ 𝜆𝑁0𝑒

−𝜆𝑡Δ𝑡 , quindi l’attività media può essere definita

come 𝒜 = 𝜆𝑁0𝑒−𝜆𝑡 . L’unit{ di misura è ovviamente il rapporto del numero di decadimenti con il tempo :

vengono utilizzati il Curie = Ci = 3,7 ⋅ 106 decadimenti/s o il Bequerel = Bq = 1 decadimenti/s . Utilizzando questa definizione è immediato verificare che integrando l’attivit{ sul tempo si ottiene il numero di nuclei iniziale :

𝒜 𝑡 = 𝜆𝑁 𝑡 ⟹ 𝒜 𝑡 𝑑𝑡∞

0

= 𝑁0

Inoltre ,per verificare le definizioni date prima, possiamo calcolare il tempo medio di decadimento (ovvero la vita media ) verificando che questo valore è proprio 𝜏 . Si ha infatti

𝑡 =∫ 𝑡𝒜 𝑡 𝑑𝑡

∞

0

∫ 𝒜 𝑡 𝑑𝑡∞

0 𝑁0

=1

𝑁0 𝜆𝑡𝑁 𝑡 𝑑𝑡

∞

0

=1

𝑁0 𝜆𝑡𝑁0𝑒

−𝜆𝑡𝑑𝑡∞

0

=1

𝜆= 𝜏

Consideriamo ora un nucleo che decade in due diverse reazioni :

𝐴 → 𝐵1 + 𝑏1 𝜆1 , 𝐴 → 𝐵2 + 𝑏2 𝜆2 La variazione dei nuclei è data dalla somma delle variazioni dei due processi , quindi si ha che

𝑑𝑁 = −𝜆1𝑁𝑑𝑡 − 𝜆2𝑁𝑑𝑡 = − 𝜆1 + 𝜆2 𝑁𝑑𝑡 Se definiamo 𝜆 ≡ 𝜆1 + 𝜆2, il risultato precedente si scrive come

𝑑𝑁 = −𝜆𝑁𝑑𝑡 ⟹ 𝑁 𝑡 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡

La vita media totale è data da

𝜏 =1

𝜆=

1

𝜆1 + 𝜆2

Se definiamo poi con 𝜏𝑖 𝑖 = 1,2 le vite medie individuali possiamo riscrivere la relazione precedente come

𝜏 =1

1

𝜏1+

1

𝜏2

=𝜏1𝜏2

𝜏1 + 𝜏2

𝜆1≫𝜆2⟹𝜏1≪𝜏2 𝜏1

Conviene definire un parametro noto come “branching ratio” , ovvero il rapporto tra il tempo di decadimento totale e quello individuale del componente :

20

𝑅𝑖 =𝜆𝑖𝜆

=𝜏

𝜏𝑖 𝜏 = 𝜏𝑖

𝑖

, 𝜆 = 𝜆𝑖𝑖

Per il Berillio 𝐵𝑒10 ad esempio vale 𝑅 = 0,849. Ora che abbiamo individuato i parametri utili per descrivere la reazione possiamo supporre che il nucleo figlio B della reazione 𝐴 → 𝐵 + 𝛽 𝜆𝐴 sia a sua volta instabile (ipotesi più realistica)e che decada anch’esso 𝐵 + 𝛽 → 𝐶 + 𝛾 𝜆𝐵 . Possiamo considerare la variazione dei nuclei per i diversi componenti ed in seguito unire le due relazioni per ricavare quella più generale

𝑑𝑁𝐵 = 𝜆𝐴𝑁𝐴𝑑𝑡 − 𝜆𝐵𝑁𝐵𝑑𝑡 ⟹𝑑𝑁𝐵𝑑𝑡

= 𝜆𝐴𝑁𝐴 − 𝜆𝐵𝑁𝐵

Visto che 𝑁𝐴 𝑡 = 𝑁𝐴

0𝑒−𝜆𝐴 𝑡 , si ottiene

𝑑𝑁𝐵𝑑𝑡

= 𝜆𝐴𝑁𝐴0𝑒−𝜆𝐴 𝑡 − 𝜆𝐵𝑁𝐵 ⟹

𝑑𝑁𝐵𝑑𝑡

+ 𝜆𝐵𝑁𝐵 = 𝜆𝐴𝑁𝐴0𝑒−𝜆𝐴 𝑡

Questa differenziale è risolta da una soluzione composta da una soluzione generale 𝐶𝑒−𝜆𝐵 𝑡 e da una particolare 𝐷𝑒−𝜆𝐴 𝑡 , delle quali dobbiamo determinare i coefficienti. Sostituendo nell’equazione differenziale si ricava il valore della costante D :

𝐷 =𝜆𝐴

𝜆𝐵 − 𝜆𝐴𝑁𝐴

0

Quindi la soluzione generale è data da

𝑁𝐵 𝑡 = 𝐶𝑒−𝜆𝐵𝑡 +

𝜆𝐴𝜆𝐵 − 𝜆𝐴

𝑁𝐴0 ⋅ 𝑒−𝜆𝐴 𝑡

Infine per ricavare la costante C dobbiamo porre la condizione iniziale 𝑁𝐵

0 ≡ 𝑁𝐵 0 da cui si ricava

𝐶 = 𝑁𝐵0 −

𝜆𝐴𝜆𝐵 − 𝜆𝐴

𝑁𝐴0

Si può scrivere quindi la soluzione come

𝑁𝐵 𝑡 = 𝑁𝐵0𝑒−𝜆𝐵 𝑡 +

𝜆𝐴𝜆𝐵 − 𝜆𝐴

𝑁𝐴0 𝑒−𝜆𝐴 𝑡 − 𝑒−𝜆𝐵 𝑡

Tipi di decadimento

Riportiamo ora una lista dei decadimenti che verranno studiati nel seguito : Decadimenti 𝛼 :

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍−2𝐴−4

𝑁−2 + 𝛼 , 𝛼 ≡ 𝐻𝑒224

Decadimenti 𝛽−:

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍+1𝐴

𝑁−1 + 𝑒− + 𝜈 𝑒

Dentro al nucleo avviene una reazione del tipo 𝑛 → 𝑝 + 𝑒− + 𝜈 𝑒 (𝑄 > 0)

21

Decadimenti 𝛽+:

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍−1𝐴

𝑁+1 + 𝑒+ + 𝜈𝑒

Dentro al nucleo avviene una reazione del tipo 𝑝 → 𝑛 + 𝑒+ + 𝜈𝑒 . Poiché per questa reazione 𝑄 < 0 il processo non avviene spontaneamente.

Cattura elettronica ( 𝜀 ) : Uno dei protoni del nucleo può catturare uno degli elettroni atomici

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍−1𝐴

𝑁+1 + 𝜈𝑒 Nel nucleo avviene il processo 𝑝 + 𝑒− → 𝑛 + 𝜈𝑒

Decadimento 𝛾 :

𝑋𝑍𝐴

𝑁∗ → 𝑌𝑍

𝐴𝑁 + 𝛾

Fissione spontanea

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍1𝐴1 + 𝑊𝑍2

𝐴2 + 𝑘 ⋅ 𝑛 (𝑘 = 1,2)

Datazione con il radiocarbonio

I primi studi per la datazione di reperti tramite l’utilizzo di radiocarbonio sono dovuti a Libby (1952). In natura esistono due isotopi stabili del Carbonio : Carbonio 12 ( 98,89 % ) ed il Carbonio 13 (1,11 %) . Gli isotopi instabili (Carbonio 9-10-11) costituiscono solo una piccola parte della composizione ed hanno un tempo di dimezzamento di circa 30 minuti. L’isotopo del 𝐶14 ha un’abbondanza ( definita come rapporto

tra i nuclei di 𝐶14 ed i nuclei totali di carbonio ) 𝑥 ≅ 1,2 ⋅ 10−12 . Essendo un elemento instabile tende

inoltre a decadere in Azoto con un decadimento di tipo 𝛽 : 𝐶14 → 𝑁14 + 𝑒− + 𝜈 𝑒 con 𝜏 = 8227 yr =

2,609 ⋅ 1011s . L’esistenza del 𝐶14 è dovuta alla sua sintesi durante le reazioni che hanno portato alla formazione del sistema solare. La sua permanenza al giorno d’oggi è dovuta all’esistenza di un meccanismo che continuamente provvede a formarne di nuovo : questo processo è dovuto ai raggi cosmici , una radiazione di grande energia composta da protoni , particelle 𝛼 ed elettroni che ,attraversando la zona superiore dell’atmosfera, frammentano il nucleo delle particelle ivi presenti. Vengono prodotti mediamente 2 neutroni al secondo per 𝑐𝑚2 : questi interagiscono con altri nuclei dell’atmosfera e vengono rallentati fino a quando passano ad energie dell’ordine di 0,025 eV . Quindi i neutroni incontrano un nucleo di Azoto e innescano le reazione 𝑁14 + 𝑛 → 𝐶14 + 𝑝 . Dopo che il 𝐶14 si è formato questo viene trascinato nella bassa atmosfera in tempi molto lunghi ( dell’ordine di 1000 anni) e viene assorbito dalla specie naturali. Definiamo con Q il rate di formazioni di 𝐶14 da 𝑁14 e supponiamo

che questo sia costante nel tempo. Se indichiamo con 𝑁(𝑡) il numero di nuclei di 𝐶14 presenti ad un tempo t la variazione ad un tempo infinitesimo è data da

𝑑𝑁 𝑡

𝑑𝑡= 𝑄 − 𝜆𝑁 𝑡 ⟹ 𝑁 𝑡 =

𝑄

𝜆 1 − 𝑒−𝜆𝑡

Quindi per 𝑡 → ∞ si raggiunge l’equilibrio alla concentrazione 𝑄/𝜆 . Fin tanto che un organismo è in vita il carbonio 14 viene riprodotto tramite processi di fotosintesi, etc… Quando l’organismo muore però la

produzione di 𝐶14 si ferma. Utilizziamo quindi la legge del decadimento radioattivo integrando tra gli istanti 𝑡1 (di misura) e 𝑡0 di produzione.

𝑡1 − 𝑡0 = 𝜏 ln𝑁0

𝑁 𝑡1

22

Per risolvere questa formula dobbiamo però determinare la costante 𝑁0 ,ovvero il numero di nuclei di carbonio alla sua formazione. Non è quindi possibile calcolare direttamente questa quantità ma si può supporre che questa debba mantenersi costante, in modo che 𝑁 𝑡1 + 𝑁𝐵 𝑡1 = 𝑁0 𝑁𝐵 𝑡0 = 0 , dove abbiamo indicato con 𝑁𝐵 il numero di nuclei di azoto. Quindi il problema si risolve calcolando il numero di nuclei di azoto: questo è possibile grazie alla tecnica AMS (accelerator mass spectroscopy). La legge viene quindi modificata come segue

𝑡1 − 𝑡0 = 𝜏 ln 1 +𝑁𝐵 𝑡1

𝑁 𝑡1

Un altro metodo consiste nel misurare l’attivit{.

𝑡1 − 𝑡0 = 𝜏 ln 𝒜0

𝒜 𝑡1

supponendo che l’attività specifica di un essere vivente si mantenga costante, ovvero che 𝒜 0 = 𝒜 viv 𝑡1 . In questo caso dobbiamo quindi valutare l’attivit{ specifica di un campione di carbonio.

𝒜 ≡𝒜

1 g di carbonio naturale

Sapendo che la massa molecolare del carbonio è 𝑀 ≅ 12,011 g potremo ricavare il numero di atomi di carbonio in 1 g :

𝑁 =𝒩𝐴

12,011 𝑔 𝑥 ≅ 6,016 ⋅ 1010

nuclei

g

Quindi l’attivit{ specifica è uguale a

𝒜 = 𝑁 ⋅ 𝜆 =𝑁

𝜏≅ 0,23 ⋅

Bq

g= 14

decadimenti

minuto⋅g

Ma poiché gli eventi sono evidentemente radi (14/minuto) le fluttuazioni statistiche sono molto evidenti : occorrerà quindi una misura molto precisa per ridurre gli errori statistici. In realtà la supposizione che la concentrazione di carbonio 14 non cambi non è del tutto esatta. Tale inesattezza è evidente soprattutto se si confrontano alcuni risultati di questa tecnica con quelli ottenuti tramite la dendrocronologia , ovvero la datazione fatta utilizzando gli anelli dei tronchi d’albero. Facendo combaciare vari campioni si ha infatti un andamento generale su scale di 1000 anni e si verifica che su tempi molto grandi la tecnica del carbonio 14 tende a sottostimare la datazione effettiva. Le motivazioni dell’inesattezza di questa misura sono principalmente le seguenti :

i. Attività solari : macchie solari o esplosioni sulla superficie solare influenzano la produzione di carbonio 14.

ii. Emissione di prodotti dall’utilizzo di combustibili fossili. iii. Attività nucleare eccessiva : la corsa agli armamenti nucleari durante la guerra fredda segnò un

rapido incremento della produzione di Carbonio 14. Infatti nelle esplosioni vengono liberati neutroni che possono dare luogo alla formazione del carbonio ( come succede nell’alta atmosfera) . Ecco perché per rendere più accurate le misure si utilizzano dati di concentrazione risalenti agli anni 50.

Energia di legame del nucleo Supponiamo di avere N particelle di massa a riposo 𝑚𝑖 , provenienti da distanza infinita. Supponiamo di avvicinarle e di creare un sistema di una particella legata. In generale non è vero che la massa di questa

23

particella legata M è la somma delle masse delle singole particelle. In effetti vale solo la conservazione dell’energia :

𝐸 = 𝑐2𝑀 = 𝑐2 𝑚𝑖𝑖

+ 𝐸𝑐𝑖𝑛 + 𝐸𝑖𝑛𝑡 ⟹ 𝐸′ ≡ 𝑐2 𝑀 − 𝑚𝑖

𝑖

= 𝐸𝑐𝑖𝑛 + 𝐸𝑖𝑛𝑡 < 0 (stato legato)

Definiamo l’energia di legame , B (binding Energy) , come

𝐵 = −𝐸′ = 𝑚𝑖𝑖

− 𝑀 𝑐2 > 0

Vediamo di analizzare quindi il caso particolare del nucleo. L’energia di legame , in questo caso, è data da

𝐵 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀

dove M è la massa del nucleo. Dobbiamo riscrivere questa relazione in funzione della massa dell’atomo

𝑀𝑎 𝑋𝐴 . Poiché anche l’atomo è un sistema composto possiamo riscrivere la massa come 𝑀𝑎 𝑋

𝐴 =

𝑀 + 𝑍𝑚𝑒 − 𝐵𝑒 , dove abbiamo indicato con 𝐵𝑒 l’energia di legame di tutti gli elettroni nell’atomo. Quindi

𝐵 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 + 𝑍𝑚𝑒 − 𝐵𝑒 − 𝑀𝑎 𝑋𝐴 = 𝑍 𝑚𝑝 + 𝑚𝑒 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝑋

𝐴 − 𝐵𝑒= 𝑍 𝑀𝑎 𝐻

1 + 𝑏𝑒 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝑋𝐴 − 𝐵𝑒

Infatti la massa dell’atomo di idrogeno è data da 𝑀𝑎 𝐻

1 = 𝑚𝑝 + 𝑚𝑒 − 𝑏𝑒 , dove 𝑏𝑒 è l’energia di

legame dell’elettrone nell’atomo di idrogeno. Si ottiene quindi

𝐵 = 𝑍𝑀𝑎 𝐻1 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝑋

𝐴 + 𝑍𝑏𝑒 − 𝐵𝑒

La parte 𝑍𝑏𝑒 − 𝐵𝑒 è trascurabile rispetto all’energia totale ( rispettivamente ordine di KeV e MeV )

quindi 𝐵 ≅ 𝑀𝑎 𝐻1 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝑋

𝐴 . Nella tabella seguente riportiamo alcuni dati sperimentali

Z N A Nucleo 𝑩(𝑴𝒆𝑽) 𝑩/𝑨

1 1 2 2H 2,22 1,11 2 1 3 3He 7,72 2,57 2 2 4 4He 28,30 7,07 3 3 6 6Li 32 5,33

24

Visto che l’energia di legame cresce (quasi) linearmente con A , non è raro graficare l’energia media per nucleone , 𝐵/𝐴 , come funzione di 𝐴 , come visualizzato nel seguente grafico. Si nota innanzitutto che la curva è relativamente costante eccetto che per nuclei molto leggeri.

Secondariamente si nota che la curva raggiunge un massimo per 𝐴 ≃ 60 , dove i nuclei sono saldamente legati : questa separazione porter{ all’elaborazione della fusione e della fissione nucleare. Lo studio più attento della relazione che intercorre tra 𝐵 ed 𝐴 porta invece alla formulazione di un nuovo modello.

Modello a goccia del nucleo e formula semiempirica di massa Dalla figura si vede che l’energia di legame ed il numero atomico A non sono legati (quasi) in alcun modo : questa indipendenza suggerisce di ipotizzare un modello “a goccia” per il nucleo atomico. Infatti, come nelle gocce d’acqua il calore di evaporazione (grandezza che stima la probabilit{ che una particella d’acqua si vaporizzi, lasciando la goccia) non dipende dalla sua grandezza , così nel modello a goccia del nucleo l’energia che lega le particelle esterne a quelle interne non dipende da A. La formula accurata per questo tipo di modello è data da

𝐵 = 𝑎𝑟𝐴 − 𝑎𝑠𝐴2/3 − 𝑎𝐶

𝑍2

𝐴1/3− 𝑎𝑠𝑦𝑚

𝑁 − 𝑍 2

𝐴+ 𝛿

Vediamo di discutere il significato fisico di ogni termine.

i. (𝑎𝑟𝐴) : Il raggio del nucleo è del tipo 𝑅 = 𝑟0𝐴1/3 , come già visto in precedenza . Quindi il primo

termine , dominante, è proporzionale alle dimensioni del nucleo ( ~𝑅3 ) . ii. (−𝑎𝑠𝐴

2/3) : I nucleoni posti sulla superficie sono meno legati rispetto a quelli presenti nel centro, in quanto risentono meno della attrazione con gli altri. Questi nucleoni non contribuiscono a B come quelli posti nel centro , quindi bisogna sottrarre al primo termine (di volume) un termine proporzionale all’area del nucleo , ovvero ∝ 𝑅2 . Visto che 𝑅 ∝ 𝐴1/3 allora il termine dovrà essere proporzionale a 𝐴2/3 .

iii. (𝑎𝐶 𝑍2/𝐴1/3) : Il terzo termine tiene conto dell’attrazione Couloumbiana. Per capire l’andamento

di questo termine si può prendere come modello una goccia uniformemente carica e calcolare il lavoro necessario per assemblare una distribuzione del genere. A meno di costanti moltiplicative questo dipende da 𝜌2/𝑟 .

𝐸𝐶~𝑍2𝑒2

𝑅~

𝑍2

𝑅~

𝑍2

𝐴1/3 = 𝑍2𝐴−1/3

Quindi il termine Couloumbiano è dato da 𝑍2𝐴−1/3 . Il segno negativo è dovuto al fatto che la repulsione dei protoni tende a renderli meno legati, quindi a diminuire l’energia di legame.

iv. (𝑎𝑠𝑦𝑚 𝑁 − 𝑍 2/𝐴) : c’`e una tendenza in natura ad una simmetria tra Z e (A − Z), almeno per

nuclei leggeri. Questo fatto ci induce ad introdurre un termine, proporzionale ad A e dipendente

25

da 𝛽 ≡ (𝐴 − 𝑍)/𝑍 , che abbia un minimo per A = 2Z . Tali proprietà vengono soddisfatte dalla funzione

𝑎𝑠𝑦𝑚 𝑁 − 𝑍 2

𝐴

Ovviamente questo termine è legato fortemente a quello Couloumbiano.

v. (𝛿): L’ultimo contributo è detto termine di pairing :

𝛿 =

𝑎𝑝𝐴−3/4 , 𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑖 − 𝑝𝑎𝑟𝑖

0 , 𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑖 − 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖

−𝑎𝑝𝐴−3/4, 𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 − 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖

Dove con le diciture pari, dispari si intendono i casi in cui 𝐴 − 𝑍 e Z sono rispettivamente pari o dispari. L’atomo più sfavorito è quello dispari-dispari.

La formula, che riportiamo nuovamente , è detta formula semi-empirica di Bethe-Weizsaker.

𝐵 = 𝑎𝑟𝐴 − 𝑎𝑠𝐴2/3 − 𝑎𝐶

𝑍2

𝐴1/3− 𝑎𝑠𝑦𝑚

𝑁 − 𝑍 2

𝐴+ 𝛿

Dai dati sperimentali si ricavano i valori 𝑎𝑟 ≅ 15,68 MeV , 𝑎𝑠 ≅ 28,56 MeV, 𝑎𝐶 = 0,717 MeV , 𝑎𝑠𝑦𝑚 =

28,1 MeV , 𝑎𝑝 ≅ 34 MeV . Se consideriamo nuclei isobari ( A costante ) possiamo combinare la formula

della massa

𝑀 𝐴, 𝑍 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝐵 𝐴, 𝑍

26

e utilizzare la formula semi-empirica per la Binding Energy , ricavando così la formula semi empirica di massa , la cui dipendenza da Z è evidenziata nella seguente schematizzazione

𝑀 𝑍 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑎𝑟𝐴 + 𝑎𝑠𝐴2/3 + 𝑎𝐶

𝑍2

𝐴1/3+ 𝑎𝑠𝑦𝑚

𝑁 − 𝑍 2

𝐴− 𝛿~𝛼𝑍2 + 𝛽𝑍 + 𝛾 − 𝛿

Graficando questa funzione ( per A dispari ) si ottiene una parabola con centro nello stato stabile 𝑍0 :

tutti i nuclei del lato decrescente tendono a decadere , attraverso decadimenti 𝛽− , nello stato 𝑍0 ; viceversa sull’altro lato si verificano decadimenti di tipo 𝛽+ , come mostrato nella figura seguente.

Interazione Nucleare

Cenni di Meccanica Quantistica

Momento angolare

Definiamo l’operatore momento angolare2 come ℓ = 𝑟 × 𝑝 = −𝑖ℏ 𝑟 × ∇ .

Possiamo scomporre sulle componenti x,y,z per ottenere

2 Per semplicità di notazione ometteremo il simbolo di vettore su ℓ e su tutti gli operatori quantistici vettoriali , ℓ

≡ ℓ

27

ℓ →

ℓ 𝑥 = 𝑦𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦 = −𝑖ℏ 𝑦

𝜕

𝜕𝑧− 𝑧

𝜕

𝜕𝑦

ℓ 𝑦 = −𝑖ℏ 𝑧𝜕

𝜕𝑥− 𝑥

𝜕

𝜕𝑧

ℓ 𝑧 = −𝑖ℏ 𝑥𝜕

𝜕𝑦− 𝑦

𝜕

𝜕𝑥

Possiamo introdurre l’operatore momento angolare quadrato definito da ℓ 2 = ℓ𝑥2 + ℓ𝑦

2 + ℓ 𝑧2 . Passando

in coordinate polari 𝑟, 𝜗, 𝜑 quest’ultimo operatore si può scrivere come

ℓ 2 = −ℏ2 1

sin𝜗

𝜕

𝜕𝜗 sin 𝜗

𝜕

𝜕𝜗 +

1

sin2 𝜗

𝜕

𝜕𝜑

Tale operatore ci sarà utile per le sue proprietà di commutazione. Vediamo prima i commutatori per li momento angolare. Si ha che 𝑥 , 𝑝 𝑥 = 𝑖ℏ , quindi segue che

ℓ 𝑥 , ℓ 𝑦 = 𝑖ℏ ℓ 𝑧 ; ℓ 𝑦 , ℓ𝑧 = 𝑖ℏℓ 𝑥 ; ℓ 𝑧 , ℓ 𝑥 = 𝑖ℏℓ 𝑦

La relazione di commutazione tra il momento angolare ed il suo operatore quadrato è data da

ℓ 2, ℓ 𝑧 = 0 , quindi i due operatori ammettono una base ortonormale di autostati comuni. Si osserva che

gli autostati di ℓ 2 sono definiti da

ℓ 2 ℓ, 𝑚ℓ = ℏℓ ℓ + 1 ℓ, 𝑚ℓ Il numero quantico ℓ per il momento angolare assume valori dati da ℓ = 0,1,2,3 … . Fissato ℓ si hanno

dunque 𝑖ℓ𝑖=0 = 2ℓ + 1 valori di 𝑚ℓ per la singola componente poiché ad esempio ℓ 𝑧 ℓ, 𝑚ℓ =ℏ𝑚ℓ ℓ, 𝑚ℓ . Per quanto riguarda il momento angolare intrinseco(spin) si può definire l’operatore (quadrato)

𝑠 2 = 𝑠 𝑥2 + 𝑠 𝑦

2 + 𝑠 𝑧2

Si può mostrare che valgono le stesse regole di commutazione già viste per il momento angolare, in particolare 𝑠 2 , 𝑠 𝑧

2 = 0 . Quindi anche per questi operatori si trova una base di autostati comuni e

𝑠 2 𝑠, 𝑚𝑠 = ℏ2𝑠 𝑠 + 1 𝑠, 𝑚𝑠

fissato s si ha , analogamente, 𝑠 𝑧 𝑠, 𝑚𝑠 = ℏ𝑚𝑠 𝑠, 𝑚𝑠 .E’ noto che s può assumere valori semi interi (fermioni) o interi (bosoni), in particolare 𝑚𝑠 = 𝑠, 𝑠 − 1, … , −𝑠 . Combinando due o più momenti angolari si ottiene un momento angolare risultante : i numeri quantici di questa risultante si ottengono facilmente

considerando la composizione dei due sottospazi relativi alle due particelle . Prendiamo quindi 𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2

. In termini di operatori si ha che 𝐽 2 = 𝐽 𝑥2 + 𝐽 𝑦

2 + 𝐽 𝑧2 ⟹ 𝐽 2 , 𝐽 𝑧 = 0 . Gli autostati comuni sono quindi dati

da

𝐽 2 𝐽, 𝑚𝐽 = ℏ2𝐽 𝐽 + 1 𝐽, 𝑚𝐽

Una volta fissati i valori di 𝑗1 , 𝑗2 i valori di J dovranno essere quantizzati :

𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2 , 𝑗1 + 𝑗2 − 1 , … , 𝑗1 − 𝑗2 Quindi 𝑚𝐽 = 𝐽, … , −𝐽 = 𝑚𝑗1 + 𝑚𝑗2 .

28

Operatori di salita e discesa

Riferiamoci prima ad un momento angolare generico 𝐽 a cui è associato l’operatore 𝐽 2 , 𝐽 𝑧 . Si definisce l’operatore di salita come 𝐽 + ≡ 𝐽 𝑥 + 𝑖𝐽 𝑦 ; viceversa quello di discesa è dato da 𝐽 − ≡ 𝐽 𝑥 − 𝑖𝐽 𝑦 . Con queste

definizioni è facile verificare che 𝐽 +† = 𝐽 − , quindi questo operatore non è Hermitiano3. Si possono

dimostrare le relazioni di commutazione seguenti

𝐽 +, 𝐽 − = 2ℏ𝐽 𝑧 ; 𝐽 𝑧 , 𝐽 ± = ±𝐽 ± ; 𝐽 2 , 𝐽 ± = 0

Se indichiamo con 𝐽, 𝑚𝐽 gli autostati di 𝐽

2 e 𝐽 𝑧 e applichiamo a questi l’operatore di salita si ottiene

𝐽 + 𝐽, 𝑚𝐽 = 𝐽 − 𝑚𝐽 𝐽 + 𝑚𝐽 + 1 ℏ 𝐽, 𝑚𝐽 + 1

Notiamo che se 𝑚𝐽 = 0 ⟹ 𝐽 + 𝐽, 0 = 0 . Applicando l’operatore di discesa si ottiene invece

𝐽 − 𝐽, 𝑚𝐽 = 𝐽 + 𝑚𝐽 𝐽 − 𝑚𝐽 + 1 ℏ 𝐽, 𝑚𝐽 − 1

Per quanto riguarda lo spin possiamo identificare i due stati di spin “up” e “down” con la notazione

𝑠 =1

2 ; 𝑠, 𝑚𝑠 =

1

2,1

2 ≡ ↑ → 𝑢𝑝

1

2, −

1

2 ≡ ↓ → 𝑑𝑜𝑤𝑛

Quindi applicando 𝑠 + ↑ = 0 , 𝑠 + ↓ = ℏ ↑ e analogamente 𝑠 − ↑ = ℏ ↓ , 𝑠 − ↓ = 0 . Nel caso particolare dello spin gli operatori di salita e di discesa si possono scrivere quindi come

𝑠 + ≡ ℏ ↑ ↓ ; 𝑠 − ≡ ℏ ↓ ↑ Uno stato generico può essere quindi scritto come combinazione lineare :

𝜒 = 𝑚𝑠 𝑚𝑠 𝜒

𝑚𝑠

= ↑ ↑ 𝜒 + ↓ ↓ 𝜒 = 𝜒↑ ↑ + 𝜒↓ ↓ = 𝜒↑𝜒↓

Il vettore 𝜒 = 𝜒↑𝜒↓

viene detto spinore. Con questa notazione segue immediatamente che

↑ = 10 ; ↓ =

01

Ovviamente ad un generico operatore 𝑥 è associata una matrice definita da 𝑥𝑛𝑚 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑎𝑚 . Nel caso

dello spin 𝑠 =ℏ

2𝜍 , 𝜍 = 𝜍𝑥 , 𝜍𝑦 , 𝜍𝑧 , dove 𝜍𝑖 sono le matrici di Pauli definite da

𝜍𝑥 = 0 11 0

; 𝜍𝑦 = 0 −𝑖𝑖 0

; 𝜍𝑧 = 1 00 −1

; 𝜍0 = 1 00 1

Gli operatori di salita e discesa dello spin si possono scrivere come

𝑠 + = ℏ 0 10 0

; 𝑠 − = ℏ 0 01 0

3 Con la notazione † si intende il complesso coniugato dell’operatore considerato.

29

Possiamo infine notare che valgono le regole seguenti

𝜍𝑖𝜍𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 + 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜍𝑘 ; 𝜍𝑖2 = 𝕀 ; 𝜍 2 = 𝜍𝑥

2 + 𝜍𝑦2 + 𝜍𝑧

2 = 3𝕀

ove abbiamo indicato con 𝜀𝑖𝑗𝑘 il tensore di Levi-Civita definito dalla seguente

𝜀𝑖𝑗𝑘 =

+1 se 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1,2,3 , 2,3,1 , (3,1,2)

−1 se 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 3,2,1 , 1,3,2 , (2,1,3)0 per le altre combinazioni di (𝑖, 𝑗, 𝑘)

Il caso di particolare interesse è quello in cui 𝑠1 = 𝑠2 = 1/2 , ovvero quello di due fermioni identici.

Sistema di due fermioni identici

Supponiamo di poter dividere le variabili nella funzione d’onda del sistema, ovvero

𝜓 𝑟 , 𝑆 = 𝜓 𝑟 1 , 𝑟 2 𝜒 𝑠 1 , 𝑠 2 ; 𝑆 = 𝑠 1 + 𝑠 2

Consideriamo inoltre gli operatori 𝑆 2, 𝑆 𝑧 = 0 . Gli autostati sono dati da 𝑆, 𝑚𝑆 . Utilizziamo le regole

di composizione dei momenti angolari : 𝑆 = 1,0 poiché 𝑆 = 𝑠1 − 𝑠2 e ci troviamo in presenza di fermioni ( 𝑠𝑖 = ±1/2 ) . Consideriamo lo stato associato ad 𝑆 = 1 : per questo il numero 𝑚𝑆 può valere

𝑚𝑆 = 1 ⟹ 1,1

0 ⟹ 1,0

−1 ⟹ 1, −1

Nel secondo caso 𝑆 = 0 ⟹ 𝑚𝑆 = 0 ⟹ 0,0 . Identificando 𝑠1 , 𝑚1 ≡ 𝑚1 , 𝑠2 , 𝑚2 ≡ 𝑚2 , possiamo trovare 4

𝑆, 𝑚𝑆 = 𝑚1 , 𝑚2 𝑚1𝑚2 𝑆, 𝑚𝑆

𝑚1 ,𝑚2

= 𝑐1 ↑ ↑ + 𝑐2 ↑ ↓ + 𝑐3 ↓ ↑ + 𝑐4 ↓ ↓

1. Consideriamo ora il caso in cui 𝑆 = 1 , 𝑚𝑆 = 1 ⟹ 𝜒 = 1,1 . L’unico stato che da contributo è il

primo : 1,1 = 𝑐1 ↑ ↑ . Possiamo porre 𝑐1 = 1 poiché è una costante di normalizzazione. Applichiamo a questo stato l’operatore di discesa : questo sar{ dato dalla composizione degli operatori di discesa per le particelle indipendenti : 𝑆 − = 𝑠 1− + 𝑠 2− . Quindi

1,0 = 𝑆 − 1,1 = 𝑠 1− + 𝑠 2− ↑ ↑ = 𝑠 1− ↑ ↑ + 𝑠 2− ↑ ↑ = 𝑠 1− ↑ ↓

↑ + ↑ 𝑠 2− ↑ ↓

= ↓ ↑ + ↑ ↓ Quindi normalizzando si ottiene

1,0 =1

2ℏ ↓ ↑ + ↑ ↓ ⟹ 2ℏ 1,0 = 𝑆 − 1,1

Applicando nuovamente l’operatore di discesa a questo stato si ottiene 𝑆 − 1,0 = 𝑆 − 1, −1 = ↓ ↓ .

2. Consideriamo invece lo stato in cui 𝑆 = 0 , 𝑚𝑆 = 0 : questo può essere scritto in funzione degli spin delle particelle .

4 Con il prodotto ↑ ↑ si intende ovviamente il prodotto diretto dei due spinori relativi ai due sottospazi della

particella 1 e 2. Si utilizzano anche le notazioni equivalenti ↑ 1 ↑ 2 o , ancora , ↑↑ .

30

0,0 =1

2 ↑ ↓ − ↓ ↑ }

Ovvero una combinazione antisimmetrica rispetto alla precedente.

Operatore di Parità

Supponiamo di avere un sistema fisico e di volerlo descrivere in un sistema di coordinate 𝑥, 𝑦, 𝑧 . L’operazione di parit{ consiste nell’invertire il senso degli assi , mandando ogni coordinata nel suo opposto : 𝑟 → −𝑟 . Questa operazione equivale a passare da un sistema destrorso ad uno sinistrorso. Utilizzando coordinate polari 𝑟, 𝜗, 𝜑 la parit{ si può esprimere come l’operatore che applica i seguenti cambiamenti di coordinate : 𝑟 → 𝑟 , 𝜗 → 𝜋 − 𝜗 , 𝜑 → 𝜑 + 𝜋 . La descrizione del sistema fisico iniziale può essere fatta tramite la funzione 𝜓 𝑟 . Indichiamo quindi con 𝑃 l’operatore di parit{ : questo agisce sulla funzione d’onda invertendo la coordinata 𝑟 , ovvero

𝑃 𝜓 𝑟 = 𝜓 −𝑟 = 𝜋𝜓 𝑟 ; 𝑃 2𝜓 𝑟 = 𝑃 𝜓 −𝑟 = 𝜓 𝑟 ⟹ 𝑃 2 = 𝕀 Con 𝜋 sono stati indicati gli autovalori dell’operatore parità che sono, ovviamente, 𝜋 = ±1 . Si definisce quindi , più generalmente

𝑃 𝜓 𝑟 = 𝜓 −𝑟 = +𝜓 𝑟 → 𝜋 = 1 → 𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎

−𝜓 𝑟 → 𝜋 = −1 → 𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

In realtà si può trovare una stretta corrispondenza tra la parità ed il momento angolare orbitale , infatti 𝜋 = −1 ℓ . Per un sistema di due particelle la parità del sistema totale si scrive come 𝜋 = 𝜋1𝜋2 −1

ℓ , dove 𝜋𝑖 sono le parità intriseche delle particelle e −1

ℓ è la parità legata al momento angolare complessivo delle due particelle. In generale si avrà che ( n : numero di particelle totali nel sistema )

𝜋𝑡𝑜𝑡 = −1 ℓ𝑖

𝑛−1𝑖 𝜋𝑖

𝑛

𝑖

Deutone

Il deutone ( 𝐻2 ) è formato da un neutrone e da un protone e rappresenta l’esempio più semplice di stato

legato dei nucleoni , ovvero un sistema ideale per studiare l’interazione nucleone-nucleone.

Proprietà sperimentali

𝐵 = 2,225 MeV

𝐽 = 1

𝜋 = +1 : parità intrinseca.

𝜇𝑑 = 0,857393𝜇𝑁 , dove 𝜇𝑁 ≡𝑒ℏ

2𝑚𝑝≅ 3,15 ⋅ 10−14MeV/Tesla

𝑄 = 0,00282 Barn : momento di quadrupolo (normalizzato)

𝑟𝑑2 1/2 = 2,1 fm : raggio quadratico medio

Autostati del potenziale nucleare

Per studiare il sistema dobbiamo risolvere l’equazione di Schroedinger tridimensionale.

−ℏ2

2𝑚∇2𝜓 + 𝑉𝜓 = 𝐸𝜓

31

dove V è la funzione che tiene conto dell’interazione tra le particelle : questa dipende solo da 𝑟 = 𝑟 = 𝑟 1 − 𝑟 2 . Passiamo a coordinate sferiche 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑟, 𝜗, 𝜑 : il Laplaciano si trasforma in

∇2=1

𝑟2 ∇𝑟

2 + ∇𝜗 ,𝜑2 ; ∇𝑟

2=𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 ; ∇𝜗 ,𝜑

2 =1

sin 𝜗

𝜕

𝜕𝜗 sin 𝜗

𝜕

𝜕𝜗 +

1

sin2 𝜗

𝜕2

𝜕𝜑2= −

1

ℏ2 ℓ 2

Possiamo riscrivere la funzione d’onda separando le variabili :

𝜓 𝑟, 𝜗, 𝜑 = 𝑅ℓ 𝑟 𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑 La parte angolare restituisce l’equazione agli auto valori per il momento angolare che si può riscrivere come

ℓ 2𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑 = ℓ ℓ + 1 ℏ2𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑

Quella radiale invece è l’equazione agli auto valori per l’energia ed è data da

−ℏ2

2𝑚

1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 + 𝑉 𝑟 +

ℓ ℓ + 1 ℏ2

2𝑚𝑟2 𝑅ℓ 𝑟 = 𝐸𝑅ℓ(𝑟)

Se definiamo una funzione d’onda radiale ridotta 𝑢ℓ 𝑟 = 𝑟𝑅ℓ(𝑟) possiamo ricavare un’equazione differenziale per ricavare la soluzione :

−ℏ2

2𝑚

𝜕2

𝜕𝑟2+ 𝑉 𝑟 +

ℓ ℓ + 1 ℏ2

2𝑚𝑟2 𝑢ℓ 𝑟 = 𝐸𝑢ℓ 𝑟

Supponiamo ora che lo stato fondamentale (legato) del deutone abbia ℓ = 0 ( visto che l’energia deve essere minima5) . L’equazione precedente con ℓ = 0 diventa

𝑑2

𝑑𝑟2 𝑢 𝑟 +

2𝑚

ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 𝑢 𝑟 = 0

Tale equazione deve essere risolta specificando l’andamento del potenziale nell’atomo. Possiamo supporre che V sia del tipo6 𝑉0 > 0 , 𝑐 > 0 , 𝑏 > 0 :

𝑉 𝑟 =

∞ , per 𝑟 < 𝑐 → 𝐼−𝑉0 , per 𝑐 < 𝑟 < 𝑐 + 𝑏 → 𝐼𝐼

0 , per 𝑟 ≥ 𝑐 + 𝑏 → 𝐼𝐼𝐼

dove abbiamo indicato con 𝑐 la dimensione del nocciolo interno dell’atomo e con b la distanza oltre il quale il potenziale è nullo a causa della bassa interazione con il nucleo : ovviamente questo rappresenta una schematizzazione del potenziale reale che decrescerà con continuità. Il problema si riduce quindi a trovare una soluzione per la funzione d’onda in una buca di potenziale. Dividiamo i casi per i 3 intervalli.

I. Per 𝑟 < 𝑐 , 𝑢𝐼 𝑟 = 0 , per normalizzazione. II. Per 𝑐 < 𝑟 < 𝑐 + 𝑏 , 𝑉 𝑟 ≡ −𝑉0 , 𝐸 = −𝐵 visto che ci troviamo in uno stato legato, quindi

l’equazione da risolvere è

5 Il deutone non ha stati eccitati ma solo stati legati , quindi ci troviamo nello stato fondamentale.

6 Sul testo di riferimento (vd. Krane , pg.82) il potenziale è ulteriormente semplificato : non viene considerata la

dimensione interna del nocciolo 𝑐 : in questo caso si vuole dare una descrizione più appropriata del potenziale nucleare.

32

𝑑2

𝑑𝑟2 𝑢 𝑟 +

2𝑚

ℏ2 𝑉0 − 𝐵 𝑢 𝑟 = 0

Definendo 𝑘 ≡ 2𝑚 𝑉0−𝐵

ℏ si ottiene la soluzione

𝑢𝐼𝐼 𝑟 = 𝒜 sin 𝑘 𝑟 − 𝑐 + 𝒜

′ cos 𝑘 𝑟 − 𝑐 Ma per la continuità a c deve valere che 𝑢𝐼𝐼 𝑐 = 0 , quindi la soluzione corretta è data da

𝑢𝐼𝐼 𝑟 = 𝒜 sin 𝑘 𝑟 − 𝑐

III. Per 𝑟 > 𝑐 + 𝑏 ⟹ 𝑉 = 0 , quindi l’equazione diventa

𝑑2

𝑑𝑟2𝑢 𝑟 −

2𝑚

ℏ2𝐵 𝑢 𝑟 = 0

Definiamo quindi 𝜒 ≡ 2𝑚𝐵/ℏ per ottenere la soluzione

𝑢𝐼𝐼𝐼 = ℬ𝑒−𝜒𝑟

Applicando la condizione di monodromia si ha quindi

𝑟 = 𝑐 + 𝑏 ∶ 𝑢𝐼𝐼(𝑐 + 𝑏) = 𝑢𝐼𝐼𝐼(𝑐 + 𝑏)

𝑢𝐼𝐼′ (𝑐 + 𝑏) = 𝑢𝐼𝐼𝐼

′ (𝑐 + 𝑏) ⟹ 𝑘 cot 𝑘𝑏 = −𝜒

La relazione tra i parametri della buca e l’energia di legame è quindi data da

𝑉0 − 𝐵 cot 𝑏 2𝑚 𝑉0 − 𝐵

ℏ = − 𝐵

Questa relazione NON dipende da c e lega 𝑉0 = 𝑓(𝑏; 𝐵) : fissato b si trova quindi 𝑉0 . Tale equazione però non è risolvibile analiticamente quindi occorre trovare un’altra relazione matematica che lega i due parametri in modo da trovare un punto di intersezione tra le due funzioni che definiscono implicitamente la soluzione. Cerchiamo quindi di ricavare il raggio quadratico medio del deutone

𝑟𝑑2 =

∫𝑑3𝑟 𝑟

2

2 𝜓 𝑟 2

∫ 𝑑3𝑟 𝜓 𝑟 2

Al numeratore abbiamo 𝑟/2 poiché il raggio quadratico medio viene calcolato rispetto al centro di massa del sistema costituito da neutrone e protone. Sappiamo che 𝜓 = 𝑅ℓ𝑌ℓ𝑚 , quindi ci conviene passare all’integrazione sull’angolo solido.

𝑑3𝑟 𝑟

2

2

𝜓 𝑟 2 = 𝑌002

4𝜋

𝑑Ω 𝑟2𝑑𝑟𝑟2

4

𝑢 𝑟 2

𝑟2 = 𝑑𝑟

𝑟2

4 𝑢 𝑟 2

=𝒜

4 𝑑𝑟 𝑟2 sin2 𝑘 𝑟 − 𝑐 +

ℬ

4 𝑑𝑟 𝑟2 𝑒−2𝜒𝑟

+∞

𝑐+𝑏

𝑐+𝑏

𝑐

Normalizzando la funzione d’onda si ottiene invece

33

1 = 𝑑3𝑟 𝜓 𝑟 2 = 𝒜2 𝑑𝑟 sin2 𝑘 𝑟 − 𝑐 𝑐+𝑏

𝑐

+ ℬ2 𝑑𝑟 𝑒−2𝜒𝑟+∞

𝑐+𝑏

⇒𝒜

2 𝑏 −

1

2𝑘sin 2𝑘𝑏 +

ℬ2

2𝜒 𝑒−2𝜒 𝑐+𝑏 ≡ 1

Componendo questa equazione con quella di continuità in (𝑐 + 𝑏) si ottiene il sistema

𝒜

2 𝑏 −

1

2𝑘sin 2𝑘𝑏 +

ℬ2

2𝜒 𝑒−2𝜒 𝑐+𝑏 = 1

𝒜 sin 𝑘𝑏 = ℬ 𝑒−𝜒 𝑐+𝑏

dal quale si ricavano le due ampiezze

𝒜2 =

2𝜒

1 + 𝜒𝑏

ℬ2 =2𝜒 sin2 𝑘𝑏 𝑒2𝜒 𝑐+𝑏

1 + 𝜒𝑏

Quindi si ricava il raggio quadratico medio

𝑟𝑑2 =

1

8𝜒2−

1

8𝜒2+

2𝑐 + 𝑏 (1 + 𝜒𝑏)

8𝜒+

𝑐2

4−

𝜒𝑏3

24 1 + 𝜒𝑏

Ricordando che 𝜒 ≡ 2𝑚𝐵/ℏ e che sperimentalmente 𝑟𝑑2 1/2 ≅ 2,1 𝑓𝑚 si può sostituire

nell’equazione precedente per ottenere una nuova relazione che ci permette di risolvere il problema.

Spin

Vediamo infine cosa possiamo ricavare dal calcolo del momento angolare : 𝐽 = ℓ + 𝑆 = ℓ + 𝑠 1 + 𝑠 2 . Sperimentalmente si osserva che ℓ = 0 , 𝑆 = 1 ⟹ 𝐽 = 1 ; invece lo stato con 𝐽 = 0 (ℓ = 0 , 𝑆 = 0) non è stato mai osservato : con spin antiparallelo dunque l’interazione dipende anche dallo spin. Aggiungiamo quindi nel potenziale un termine che dipende dallo spin :

𝑉NN = 𝑉1 𝑟 + 𝑉 2 𝑟 𝑠 1 ⋅ 𝑠 2 = 𝑉1 𝑟 + 𝑉2 𝑟 �