Dispense del corso di Meccanica Applicata alleMacchinePaolo Gallina27 agosto 2002iiIndicePremessa vii1 Sintesi dei meccanismi 11.1 Problema di generazione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Problema di generazione di traiettoria . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Esempi concreti ai quali applicare la sintesi dei meccanismi . . . 112 Principio dei lavori virtuali 132.1 Sistemi ad 1 G.d.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.1 Lavoro virtuale fatto dalle forze inerziali . . . . . . . . 132.1.2 Come si calcolano i rapporti di trasmissione? . . . . . . . 152.1.3 Calcolo del lavoro fatto dalle forze esterne L . . . . . . . 182.1.4 Cinetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.5 Considerazioni sulle forze inerziali . . . . . . . . . . . . . 252.1.6 Perch le forze interne non vengono considerate ai nidellapplicazione del principio dei lavori viruali? . . . . . . 262.1.7 Attuatori lineari e motori operanti su robot . . . . . . . . 272.2 Meccanismi a pi gradi di libert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Metodo Newtoniano 373.1 Forze dinerzia e reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.1 Meccanica del contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Sintesi del volano 474.1 Cenni sulla soluzione del moto attraverso lequazione di Lagrange 484.2 Ipotesi semplicativa che porta alla conservazione dellenergiacinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 Bilanciamento di Rotori 555.1 Bilanciamento statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 Bilanciamento dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 Bilanciamento di manovellismi centrati 676.1 Congurazione tipica in un motore a 4 cilindri . . . . . . . . . . 726.2 Congurazione tipica di un motore a 6 cilindri in linea a 4 tempi 74iiiiv INDICE7 Camme 777.1 Meccanismi equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2 Pianicazione della traiettoria del cedente. . . . . . . . . . . . . 807.3 Sintesi delle camme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3.1 Camma a punteria centrata . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3.2 Calcolo dellangolo di pressione in funzione del prolo dicamma fornito in coordinate polari. . . . . . . . . . . . . 867.3.3 Camma a punteria con piattello . . . . . . . . . . . . . . . 887.3.4 Camma a bilanciere con piattello . . . . . . . . . . . . . . 908 Cuscinetti e guide lineari 938.1 Attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.1.1 Parametri che inuenzano il coeciente dattrito. . . . . 958.1.2 Attrito volvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.1.3 Fenomeno dello stick-slip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.2 Cuscinetti volventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.2.1 Classicazione dei cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . .1008.2.2 Scelta dei cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1018.2.3 Congurazione di montaggio dei cuscinetti . . . . . . . . .1068.3 Guide lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1118.3.1 Tipologia di montaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1128.4 Dimensionamento dei pattini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1139 Ingranaggi 1159.1 Come tracciare il prolo del dente . . . . . . . . . . . . . . . . .1199.2 Forze trasmesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1219.3 Ruote dentate cilindriche a denti elicoidali . . . . . . . . . . . . .1229.3.1 Forze trasmesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1259.3.2 Accoppiamento di ruote elicoidali . . . . . . . . . . . . . .1279.4 Coppie coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1299.5 Riduttore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1329.6 Accoppiamento vite madrevite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1339.6.1 Calcolo della coppia di azionamento del martinetto . . . .1359.6.2 Viti con letto trapezoidale. . . . . . . . . . . . . . . . .1389.7 Rotismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1399.7.1 Rotismo ordinatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1399.7.2 Rotismi epicicloidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1419.7.3 Dierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14410 Cinghie, catene e funi 14510.1 Cinghie non sincrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14510.2 Cinghie sincrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15110.2.1Caratteristiche dimensionali di una trasmissione a cinghia15210.2.2Cinghie a prolo trapezoidale (Dimensionamento) . . . .154INDICE v11 Freni 15912 Modellizzazione attraverso la trasformata di Laplace 16712.1 Trasformata di Laplce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16712.2 Modellizzazione di un attuatore idraulico . . . . . . . . . . . . .17512.3 Ingresso impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17712.4 Stabilit del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17812.5 Analisi in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18112.6 Interconnessione di sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18612.7 Controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187vi INDICEPremessaQuesto documento contiene solamente alcune note riguardo il principio dei lavorivirtuali applicato ai meccanismi piani. Il materiale didattico va a completamentedel testo:M. Giovagnoni, A.Rossi, Una Introduzione allo studio dei meccnismi, Ed.Libreria Cortina Padova.viiviii PREMESSACapitolo 1Sintesi dei meccanismiPer sintesi dimensionale di un meccanismo si intende lindividuazione delle di-mensioni geometriche dei suoi membri in maniera tale che il meccanismo soddisdeterminate speciche cinematiche.Due tipici problemi di sintesi dimensionale riguardanti i quadrilateri artico-lati sono:- problema di generazione di funzioni ;- problema della generazione di traiettoria.1.1 Problema di generazione di funzioniIl membro che genera il moto viene detto membro motore. Solitamente il mem-bro motore azionato da un attuatore come un motore elettrico od un pistone.Il membro condotto un membro che fa parte del meccanismo e la cui posizione legata alla posizione del membro motore.Nel problema della generazione di funzioni si richiede che il moto del membrocondotto sia una funzione matematica del moto del membro motore. Vediamola soluzione del problema attraverso un metodo analitico per un quadrilateroarticolato.Per facilitare la trattazione introduciamo una notazione complessa per rapp-resentare un vettore z. La notazione ei (dove i lunit immaginaria i =1)rappresenta il numero complesso ei = cos () +i sin(). Per cui la quantitz = a ei equivale a z = a(cos () +i sin()). Essa rappresenta un vettorenel piano complesso che ha a cos () come parte reale ed a sin() come parteimmaginaria. La quantit a il modulo del vettore, mentre langolo che ilvettore forma con lasse reale12 CAPITOLO 1. SINTESI DEI MECCANISMIReIm( ) cos a( ) sin aSupponiamo di voler rappresentare un vettore z1 ruotato di una quantit rispetto alla posizione angolare di z. In notazione complessa z1valez1 = a (cos ( +) +i sin( +)) (1.1)in quanto il vettore ruotato z1ha stesso modulo a rispetto a quello di partenzaz ed angolo +.Moltiplichiamo z per la quantit complessa ei . Si ottienez ei = (1.2)= a(cos () +i sin()) (cos () +i sin()) == a(cos () cos () sin() sin() +i (sin() cos () + cos () sin())) == a(cos ( +) +i sin( +))Confrontando le equazioni 1.1 ed 1.2 si deduce che z1 = z ei , ossia perottenere un vettore ruotato di una quantit suciente in notazione vettorialecomplessa moltiplicarlo per loperatore complesso ei .Un altro modo per vederlo consisteva nel rielaborare il vettore ruotato datodalla 1.1.z1 = a(cos ( +) +i sin( +)) == a ei (+)= a ei ei == z ei Rappresentiamo un quadrilatero articolato con i vettori associati ai membricome in gura1.1. PROBLEMA DI GENERAZIONE DI FUNZIONI 31z2z3z4zOABC000In O stata posta lorigine del sistema di riferimento del piano complesso.Poich si tratta di un problema di sintesi, le lunghezze delle aste non sono note,come pure la loro posizione angolare iniziale. Per chiarezza chiamiamo gli angoliche i vettori formano con lasse reale , , e 4.Il movente la manovella OA, il cedente la manovella CB.Nel problema della generazione di funzione si vuole che lincremento del-langolo del cedente si muova con un certo legame rispetto allincrementodellangolo del movente 4 CAPITOLO 1. SINTESI DEI MECCANISMI C 001 2 1 2 Indichiamo con 0 e 0 la posizione angolare iniziale di movente e cedente.0 e 0 non sono noti allinizio; non sono quindi un dato del problema. Comesi vede dalla gura, i e i rappresentano le posizioni angolari delle dueaste relative alla posizione angolare di partenza. Generalmente si vuole chead un incremento 1 corrisponda un incremento 1; se poi, lincrementoangolare del movente arriva ad essere 2, si vuole che il cedente arrivi ad unben previssato valore angolare 2 e cos via.Generalmente il legame tra movente e cedente dato da una relazione deltipo = f () (1.3)Perci la funzione f () un dato del problema. Non si riuscir a costruireil meccanismo in maniera tale che tale legge sia rispettata per ogni , per sipu fare in modo che valga per alcuni incrementi signicativi di . Scegliamoun incremento 1. Langolo che la manovella CB dovr assumere quando ilmovente ruoter di un angolo pari a 1 dato dalla eq 1.3, cio 1 = f (1).Se si considera un altro incremento, si ottiene 2 = f (2). Ripetendo ilragionamento per altri incrementi angolari di movente, si denisce una tabella direlazioni tra gli incrementi angolari del movente e del cedente che rappresentanoquindi dati del problema. Si vedr successivamente quante coppie della tabellautilizzare.angolo movente 12

angolo cedente 12

Scriviamo il poligono di chiusura in notazione complessa chiamando1.1. PROBLEMA DI GENERAZIONE DI FUNZIONI 5z1 +z2z3z4 = 0 (1.4)Questa equazione vettoriale rappresenta il quadrilatero articolato allo statoiniziale. Si ricorda che le incognite del problema sono 6: le componenti reali edimmaginarie dei vettori z1 ,z2 e z3.Imponiamo un incremento angolare pari a 1 alla manovella OA. Il vettorez1, espresso in notazione complessa, diventa z1ei 1. Il quadrilatero cambia lasua congurazione cinematica. Ci che noto che la manovella CB incrementala posizione angolare di una quantit nota 1(dato che si legge dalla tabelladegli incrementi). Il nuovo vettore che rappresenta il cedente diventa z3ei 1.1z2z3z4zOABC1 1 Lequazione di chiusura nella nuova congurazione cinematica ricavata dalquadrilatero articolato ad incremento angolare avvenuto z1ei 1+z2ei 1z3ei 1z4 = 0 (1.5)Notare che 1 indeterminato perch non era stato imposto nessun legameangolare tra la manovella AB e la manovella motore OA. Sottraendo leq.1.5alla 1.4, si ottiene lequazionez1_1 ei 1_+z2_1 ei 1_z3_1 ei 1_ = 0 (1.6)Il motivo della sottrazione risiede nel fatto che, cos facendo, si elimina ilvettore z4.Questa equazione (due equazioni scalari) ha 7 incognite: le parti reali edimmaginarie di tutti i vettori e la quantit 1. Perci si pu trovare unasoluzione nel caso in cui si ssino ad arbitrio 5 valori delle incognite. Come6 CAPITOLO 1. SINTESI DEI MECCANISMIrisultato si avr un quadrilatero articolato in cui, per una determinata cong-urazione cinematica, ad un incremento angolare 1di movente corrisponderun incremento angolare 1di cedente.Se volessimo che per un successivo incremento 2 si determini un incremen-to 2 dato dalla tabella, ripetendo il ragionamento si aggiunge una equazionevettoriale, ottenendo il sistemaz1_1 ei 1_+z2_1 ei 1_z3_1 ei 1_ = 0z1_1 ei 2_+z2_1 ei 2_z3_1 ei 2_ = 0In questo caso le incognite sono 8: i tre vettori , 1e 2. Per risolvere ilsistema si ssa ad arbitrio il valore di quattro incognite. Risolvendo il sistemadi equazioni si ottiene un quadrilatero che rispetta il legame dato dalla eq. 1.3per due incrementi successivi.Proseguendo in questa direzione si potr arrivare al pi ad utilizzare il legametra gli incrementi dato dalla tabella per un numero di 6.z1_1 ei 1_+z2_1 ei 1_z3_1 ei 1_ = 0

z1_1 ei 6_+z2_1 ei 6_z3_1 ei 6_ = 0Il sistema di 12 equazioni ha esattamente 12 incognite. Quindi risolvibilealmeno in linea di principio. Il legame degli incrementi rispettato per 6 valori.La dicolt principale di soluzione di questo sistema consiste nel fatto che leincognite j sono argomenti di seni e coseni. Il sistema perci non lineare.Accontentandosi di un rispetto della relazione degli incrementi per soli trevalori, si potrebbe ssare ad arbitrio 1, 2e 3. Imponendo tre incrementisi ottienez1_1 ei 1_+z2_1 ei 1_+z3_1 +ei 1_ = 0 (1.7)z1_1 ei 2_+z2_1 ei 2_+z3_1 +ei 2_ = 0z1_1 ei 3_+z2_1 ei 3_+z3_1 +ei 3_ = 0che rappresenta un sistema di 6 equazioni scalari in 6 incognite.ESEMPIOSintesi di un quadrilatero articolato in cui vi sia un legame tra gli incrementidegli angoli di movente e cedente dato dalla relazione = f () = 0, 5 + 0, 1 2(1.8)Far rispettare la relazione 1.8 per tre incrementi successivi pari a 1 =0, 3rad, 2 = 0, 6rad, 3 = 0, 9 rad. Si ottiene cos la tabella degli incre-menti1.1. PROBLEMA DI GENERAZIONE DI FUNZIONI 71 = f (1) = 0, 159 rad2 = f (2) =0, 336rad3 = f (3) =0, 531radAssegniamo degli incrementi casuali alla posizione angolare dellasta AB=1 = 0.1 rad; 2 = 0.2 rad; 3 = 0.3 rad. Il sistema nelle coordinatecomplesse 1.7che si ottiene posto in forma matriciale__ 1 ei 11 ei 1ei 111 ei 21 ei 2ei 211 ei 31 ei 3ei 31_____z1z2z3___= 0diventa__ 0.0447 0.2955i 0.0050 0.0998i0.0126 + 0.1583i0.1747 0.5646i 0.0199 0.1987i0.0559 0.3297i0.3784 0.7833i 0.0447 0.2955i0.1377 + 0.5064i_____z1z2z3___= 0Notare che, proiettando sugli assi immaginario e reale, le equazioni sopra,si sarebbe ottenuto un sistema lineare di 6 equazioni. In notazione complessavalgono le stesse regole del caso reale con il vantaggio che lordine della matricedel sistema 3. Il determinante del sistema sopra nullo. Questo era prevedibile,in quanto se fosse stato diverso da 0 la soluzione sarebbe stata z1 = z2 = z3 = 0.Poich manca il termine noto, vi sono innite soluzioni. Bisogna ssare un valoread arbitrio e calcolare le altre incognite. Anche questo fenomeno era prevedibile,poich, per quanto riguarda il legame tra movente e cedente, meccanismi scalatiuno rispetto ad un altro come in gura, hanno stesso comportamento. Rimanequindi unindeterminazione. Lindeterminazione viene superata imponendo unvalore ad uno dei tre valori incogniti.Imponendo una soluzione del tipo z1 = 1, cio una manovella motore dilunghezza unitaria e disposta orizzontalmente (si poteva proporre anche unasoluzione complessa del tutto casuale, del tipo z1 = 3 + 5i, ad esempio) si8 CAPITOLO 1. SINTESI DEI MECCANISMIriconduce il problema a trovare le due incognite complesse z2 e z3. Poich ildeterminante del sistema nullo, signica che una delle tre equazioni combi-nazione lineare delle altre due.Perci basta considerarne solo 2.Scegliamo leultime due imponendo z1 = 1. Si ottiene_ 0.1747 0.5646i0.3784 0.7833i_z1+_ 0.0199 0.1987i0.0559 0.3297i0.0447 0.2955i0.1377 + 0.5064i_ _ z2z3_= 0che risolto fornisce_ z2z3_= _ 0.0199 0.1987i0.0559 0.3297i0.0447 0.2955i0.1377 + 0.5064i_1_ 0.1747 0.5646i0.3784 0.7833i_ == _ 1.2285 + 3.4162i1.1588 + 2.3174i_Non detto che il meccanismo cos trovato sia adeguato dal punto di vistarealizzativo. E necessario vericare che durante il movimento non vi sianocongurazioni di singolarit.1.2 Problema di generazione di traiettoriaLobiettivo della sintesi nel contesto di generazione di traiettoria dato dallin-dividuazione delle caratteristiche geometriche del meccanismo in maniera taleche un punto del meccanismo percorra una traiettoria pressata. Nel caso di unquadrilatero articolato, il problema rappresentato in gura1.2. PROBLEMA DI GENERAZIONE DI TRAIETTORIA 9 1z2z3zOABE 000TRAIETTORIA DESIDERATA D 4z1s 2s 3s 4s 5zIl punto D deve percorrere una traiettoria pressata. Non possibile ricavareun quadrilatero che soddis puntualmente tale condizione, ma senzaltro pos-sibile trovarne uno tale per cui il punto D passi per un numero nito di puntiappartenenti alla traiettoria.La traiettoria pu essere denita a mezzo di incrementi si . Tali quantit(complesse) individuano i punti successivi appartenenti alla traiettoria per iquali il punto D meccanismo forzato a transitare. I si sono un dato delproblema.Indichiamo con i gli incrementi angolari del vettore z1; i gli incrementiangolari del vettore z3 deniti allo stesso modo in cui sono stati deniti nellasintesi di traiettoria. Si noti che gli incrementi angolari del vettore z2 sonouguali a quelli del vettore z4 poich sono vincolati rigidamente tra di loro.Allinizio, la posizione del punto D data daD = z1 +z2(1.9)oppure daD = z5 +z3 +z4(1.10)10 CAPITOLO 1. SINTESI DEI MECCANISMIQuando avviene un incremento di rotazione 1 e si vuole che a tale incre-mento il punto D si sposti di una quantit s1 si ottieneD + s1 = z1ei 1+z2ei 1(1.11)oppureD + s1 = z5 +z3ei 1+z4ei 1(1.12)Sottraendo leq. 1.11 con la 1.9 e la 1.12 con la 1.10, si ottienes1 = z1_ei 11_+z2_ei 11_s1 = z3_ei 11_+z4_ei 11_Estendendo il concetto per uno spostamento j-esimo, si ottienesj = z1_ei j1_+z2_ei j1_sj = z3_ei j1_+z4_ei j1_Di queste equazioni (4 scalari; due vettoriali) se ne possono scrivere tantequanti sono gli spostamenti assegnati.Un procedere molto frequente consiste nel non volere nessun legame tra gliincrementi della manovella motore j ed i punti che percorreranno la traiet-toria. Ci signica che se ad esempio la manovella azionata da un motore cheruota con velocit angolare costante, il punto D passer per i punti di progettosenza rispettare alcuna tempistica.In questo caso j diventano incognite.Il numero di equazioni scalari disponibili ns4, dove ns il numero deglispostamenti che deniscono la traiettoria. Il numero di incognite dato dai4 vettori complessi (otto incognite scalari) pi gli incrementi j, j e j.RiassumendoNumero di equazioni scalari ns4Numero di incognite complessivo 8 + 3 nsSi ha ununica soluzione quando il numero di incognite uguaglia il numero diequazioni, cio quando ns = 8. Ci signica che si pu costruire un quadrilateroarticolato in maniera tale che il punto D passi per 9 punti. Se i punti di passaggiofossero di meno, si potrebbe assegnare ad arbitrio un valore a qualche incognita.Si ricorda inoltre che la soluzione del problema non sempre esiste ed inoltrenon facile da trovare poich il sistema non lineare.Per ottenere un sistema lineare, bisogna assegnare dei valori agli incrementij, j e j, che non sono pi trattati come incognite. Perci in questo caso,le incognite rimangono i valori complessi che deniscono le lunghezze e posizionidei link che sono in numero pari ad 8. Per ottenere un numero di incognite parial numero delle equazioni, sono richiesti solamente 2 incrementi. Signica che siriesce ad ottenere un quadrilatero articolato che permette al punto D di passareal pi per tre punti.1.3. ESEMPI CONCRETI AI QUALI APPLICARE LASINTESI DEI MECCANISMI111.3 Esempi concreti ai quali applicare la sintesidei meccanismiLe foto seguenti rappresentano il meccanismo cinematico di chiusura di unportabagagli. Si pu notare come ai due lati dellauto, al ne di reggere il portel-lone, sono presenti due quadrilateri articolati passivi. Il primo fotogramma siriferisce alla posizione completamente aperta del vano. Si nota come, dai fo-togrammi 2 e 3, il portellone ruota in senso antiorario, sollevandosi leggermente(osservare la punta estrema del portellone). Contemporaneamente il portellonetrasla in avanti, no ad allinearsi con le guarnizioni nellultimo fotogramma.La foto seguente rappresenta linterno del vano. dove si notano le due coppierotoidali in basso. Lunico elemento aggiuntivo un ammortizzatore che ha lafunzione di introdurre una forza viscosa per rallentare la manovra di aperturae chiusura.12 CAPITOLO 1. SINTESI DEI MECCANISMINella progettazione di questo meccanismo, sono state fornite le posizioniaperte e chiuse (congurazioni estreme) del portellone, ed eventualmente unaposizione intermedia. Perci si imposto il passaggio del portellone per tre punticon una ben determinata angolazione. Forniti questi input, stata eettuata lasintesi per generazione di traiettoria.Capitolo 2Principio dei lavori virtuali2.1 Sistemi ad 1 G.d.L.ENUNCIATO: Il lavoro virtuale fatto dalle forze dinerzia e dalle forze esterneagenti sul meccanismo nullo. +Lest = 0 (2.1)Da questo principio, che equivale alle equazioni di Lagrange, si possono ri-cavare le equazioni dinamiche del meccanismo. Si ricorda che le equazioni di-namiche sono delle relazioni matematiche che contengono esplicitamente i valoridelle accelerazioni, delle velocit delle coordinate libere e le coordinate liberestesse. Esplicitiamo a tal riguardo i termini dellequazione 2.1 per capire di cosasi stratta.2.1.1 Lavoro virtuale fatto dalle forze inerziali .Innanzittutto bisogna capire quali sono le forze inerziali di un meccanismo.Fissare il sistema di riferimento assoluto la prima cosa da fare. Per sis-tema di riferimento sintende individuare la direzione degli assi x,y ed un sen-so di rotazione (normalmente si ssa per convenzione il senso antiorario comepositivo).Quando si ha un corpo la cui massa non sia trascurabile, corpo che sot-toposto ad una certa accelerazione, le tre forze inerziali che contribuiscono adeettuare lavoro virtuale sono rappresentate in gura1314 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALIinxFinyFinM SISTEMA DIRIFERIMENTOGNotare che le forze inerziali sono orientate concordemente al sistema di riferi-mento. Le forze inerziali di traslazione lungo x ed y sono applicate nel baricentrodel corpo rigido G. I moduli delle forze inerziali valgonoFinx = m xG(2.2)Finy = m yGMin = IG dove xG, yG, sono le accelerazioni del barcentro del corpo e laccelerazioneangolare. m la massa del corpo ed IG il momento dinerzia del corpo rispettoal polo G. Perci se il meccanismo composto di mc corpi rigidi, si dovrannotenere in considerazione 3 mc contributi dovuti alle forze inerziali per quantoriguarda il calcolo del lavoro virtuale. Le 3 forze inerziali (una in realt unmomento) rappresentano la risultante ed il momento risultante delle inerziedovute a tutte le masse di cui composto il corpo rigido. In altre parole, datoche ogni punto del corpo dotato di massa ed ha una certa accelerazione, essofornisce un piccolo contributo inerziale. Poich i punti sono inniti, le tre forzeinerziali riassumono il contributo di tutti.Il lavoro in generale consiste in un prodotto tra forza e spostamento linearedel punto di applicazione della forza, oppure tra una coppia ed uno spostamentoangolare. Per quanto riguarda il lavoro virtuale, bisogna individuare quali sonogli spostamenti virtuali. Al di l di una denizione formale, gli spostamentivirtuali sono spostamenti innitesimi compatibili con i vincoli imposti dallecoppie cinematiche. Vengono detti virtuali poich sono introdotti solo al nedi applicare il principio dei lavori virtuali. Per chiarire le idee, focalizziamo lanostra attenzione su di un meccanismi ad 1 G.d.L.Se il corpo rigido rappresentato in gura facesse parte di un meccanismo ad1 G.d.L., la posizione del baricentro G del corpo e la sua posizione angolare sarebbero funzioni della coordinata libera q.2.1. SISTEMI AD 1 G.D.L. 15xG = fx (q) (2.3)yG = fy (q) = f (q)La relazione che lega gli spostamenti virtuali del baricentro allo spostamentovirtuale della coordinata libera si ottengono per dierenziazione della 2.3.xG = dfx (q)dqq (2.4)yG = dfy (q)dqq = df (q)dqqLe quantit xG,q =dfx(q)dq, yG,q =dfy(q)dqed ,q =df(q)dqsono i rapporti ditrasmissione delle coordinate x ed y del punto G e della posizione angolare delcorpo rispetto alla coordinata libera.2.1.2 Come si calcolano i rapporti di trasmissione?Ci sono sostanzialmente 2 modi.1) Per dierenziazione diretta. Si esprime il valore della grandezza di cui sivuole esprimere il rapporto di trasmissione rispetto alla coordinata libera. Suc-cessivamente si calcola la derivata rispetto alla coordinata libera. Consideriamoil seguente esempioABl16 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALIin cui il pattino A pu scorrere lungo lasse y ed il pattino B lungo lasse x.Unasta di lunghezze l collega i due pattini. Scegliamo come coordinata libera lacoordinata x del punto B: xB.Calcolare il rapporto di trasmissione yA,xBdellacoordinata y del punto A rispetto alla coordinata libera. La relazione che ciserve per calcolare il rapporto di trasmissione cercato x2B +y2A = l2Derivando rispetto ad xBxB +yAdyAdxB = 0Per cui il rapporto di trasmissione yA,xB = dyAdxB = xByA = xB_l2x2BQuesto modo di procedere pu essere usato solo raramente, in quanto si puapplicare solamente quando le relazioni sono piuttosto semplici.Particolare attenzione va posta nei segni. Consideriamo il seguente esempioA B 1l2lCalcoliamo i rapporti di tramissione della coordinata y dei punti A e Brispetto allangolo scelto come coordinata libera. Le relazioni cinematiche dautilizzare sonoyB = l1 sin()yA = l2 sin()Per cui i rapporti di trasmissione cercati sonoyB, = dyBd= l1 cos ()yA, = dyAd= l2 cos ()2.1. SISTEMI AD 1 G.D.L. 172) Calcolando il rapporto tra la velocit della grandezza considerata e lavelocit della coordinata libera. Vediamone il perch . Immaginiamo di volercalcolare il rapporto di trasmissione della grandezza s rispetto alla coordinatalibera q. s legato da una relazione a qs = f (q) (2.5)Il rapporto di trasmissione che vogliamo calcolare s,q = dfdq(2.6)Derivando rispetto al tempo la 2.5, si ottiene s = dfdq q (2.7)Confrontando la 2.6 con la 2.7 si ricavas,q = s q(2.8)Linterpretazione pratica dellultima relazione che il rapporto di tramis-sione di una grandezza (quota di un punto o posizione angolare di un corpo)di un meccanismo ad 1 G.d.L. si calcola procedendo nel seguente modo. Siimpone una velocit qualsiasi alla coordinata libera. Si calcola la velocit dellagrandezza di interesse attraverso lanalisi di velocit. Inne si fa il rapporto trale velocit.I calcoli potrebbero essere ulteriormente semplicati imponendo alla co-ordinata libera una velocit unitaria ttizia. Infatti, in questo caso, la 2.8diventas,q = s (2.9)Riassumendo per calcolare il rapporto di trasmissione di una grandezzarispetto alla coordinata libera suciente imporre una veloci unitaria allacoordinata libera ed eettuare lanalisi di velocit. Le velocit cos calcolatesono gi i rapporti di trasmissione.Ora che sappiamo come calcolare gli spostamenti virtuali, riarontiamo ilproblema di calcolare il lavoro virtuale fatto dalle forze dinerzia del corpo rigidoconsiderato allinizio del capitolo. Esso valecorpo = FinxxG +FinyyG +MinSostituendo 2.2 ed 2.4 si ottienecorpo = (FinxxG,q +FinyyG,q +Min,q) q ==_m xG xG,qm yG yG,qIG ,q_q18 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALIDato che un meccanismo ha mc corpi rigidi, il lavoro virtuale complessivofatto dalle forze dinerzia la somma dei contributi forniti dalle forze dinerziadi ogni corpo =mc

i=1i = (2.10)=mc

i=1(FinxixGi,q +FinyiyGi,q +Minii,q) q ==mc

i=1_mi xGi xGi,qmi yGi yGi,qIGi i i,q_q2.1.3 Calcolo del lavoro fatto dalle forze esterne LLe forze che agiscono su di un meccanismo possono essere esterne ed interne. Leforze esterne sono generalmente generate da un attuatore (sistema in grado digenerare forza o coppia). A volte si parla di forze generalizzate comprendendosia le forze propriamente dette (che si misurano in N) che le coppie (che simisurano in Nm).Le forze vanno valutate ad un determinato istante; in quellistante il mecca-nismo si trover in una determinata congurazione. Si deve avere tanta fantasiada poter visualizzare mentalmente i vettori delle forze esterne generalizzate.Pensiamo ora di fotografare la situazione.Supponiamo di bloccare il tempo edi riuscire a muovere il meccanismo agendo sulla coordinata libera.In questamaniera riusciamo a valutare gli spostamenti virtuali dei punti ai quali sonoapplicate le forze rispetto allo spostamento virtuale della coordinata libera.Le forze esterne sono applicate in un punto di un membro del meccanismo.Tale punto si pu spostare virtualmente, perci ha senso calcolare il contributofornito dalla forza al lavoro virtuale PifiC2.1. SISTEMI AD 1 G.D.L. 19Nella gura rappresentato parte del meccanismo. La forza esterna fi agiscesul punto P mentre la coppia Ci (ricordare che la coppia non agisce su un punto)agisce sullo stesso membro. Il loro lavoro virtuale Li = fxi xPi +fyi yPi +Ci iIntroducendo i rapporti di trasmissione, si ottieneLi = (fxi xPi,q +fyi yPi,q +Ci i,q) qSe il meccanismo soggetto ad nfe forze esterne ed nCe coppie esterne illavoro virtuale fatto dalle forze esterne sarLest = nfe

i=1(fxi xPi,q +fyi yPi,q) q + nCe

i=1(Ci i,q) q (2.11)La formula completa esplicitata che esprime il princio dei lavori virtuali siottiene sostituendo la 2.11ed 2.10 nella 2.1 +Lest = 0=mc

i=1(FinxixGi,q +FinyiyGi,q +Minii,q) q+nfe

i=1(fxi xPi,q +fyi yPi,q) q + nCe

i=1(Ci i,q) q = 0Si pu pensare di semplicare lo spostamento virtuale della coordinata libera,ottenendo il risultato nalemc

i=1FinxixGi,q +FinyiyGi,q +Minii,q+ (2.12)nfe

i=1fxi xPi,q +fyi yPi,q + nCe

i=1Ci i,q = 0Questa formula che ha un aspetto complicato, in realt molto semplice dainterpretare. Essa esprime che:la somma dei prodotti di tutte le forze agenti sul meccanismo (forze din-erzia + forze esterne) moltiplicate per il rapporto di tramissione (del punto diapplicazione della forza rispetto alla coordinata libera) nulla.20 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI2.1.4 CinetostaticaFocalizziamo la nostra attenzione su un meccanismo ad un grado di libert. Ilproblema cos posto: data la legge oraria della coordinata libera, calcolare laforza o la coppia che permette tale atto di moto ad un determinato istante.Per risolvere questo problema (si tratta di un problema dinamico) si utiliz-za lequazione scalare 2.12. Essendo ununica equazione, deve avere ununicaincognita che rappresenta la grandezza da determinare. Nella maggior parte deicasi si tratta della coppia che un motore elettrico deve produrre o la forza che unpistone pneumatico deve generare. Tutte le altre forze agenti nel meccanismodevono essere note.La legge oraria data da una funzione del tipo (funzione che deve esserenota)q = fl (t)Allistante t = t , per derivazione si ottiene q = dfl (t)dt q = d2fl (t)dt2Attraverso lanalisi di velocit si calcolano le velocit dei punti dove sonoapplicate le forze esterne (e le forze dinerzia) e dividendo per q si calcolano irapporti di trasmissione.Attraverso lanalisi di accelerazione si calcolano le accelerazioni dei baricen-tri dei corpi dotati di massa non trascurabile e le accelerazioni angolari deimedesimi. Queste accelerazioni servono per calcolare le forze dinerzia.A questo punto tutti i termini della 2.12 sono noti tranne la forza generaliz-zata da determinare: la forza dellattuatore che determina il moto.EsempioConsideriamo un meccanismo molto semplice come un biella-manovella2.1. SISTEMI AD 1 G.D.L. 21qAqBqCGMGli unici corpi la cui massa non sia trascurabile sono la biella BC ed il pattinoC. Il punto G il baricentro della biella. Calcolare la coppia M da applicare allamanovella allistante t = 0 per avere la legge oraria q (t) = 48 + 5 sin(30 t) [].DATI: AB = 0, 3 m; BC = 0, 9 m; mBC = 1Kg; mC = 0.6KgNotare che la coppia M da applicare stata orientata in senso orario (sensoopposto alla convenzione addottata). Non si tratta di un errore. La coppia,essendo un incognita, pu essere orientata a piacimento. Se ne terr conto inseguito, considerando che il lavoro virtuale della coppia sar negativo.Le forze inerziali del meccanismo sono la forza inerziale di traslazione lungox e lungo y della biella BC, la forza inerziale di rotazione della biella e la forzainerziale di traslazione del pattino C lungo x.Le forze esterne sono la coppia M e la forza peso della biella BC.Nota che ci sarebbe anche la forza peso del pattino C (di modulo mC ged orientata verso il basso), ma questa non contribuisce al lavoro virtuale inquanto il vincolo del pattino non permette alcun spostamento virtuale verticaledel punto di applicazione CyC = 0=mC g yC = 0Rappresentiamo le forze22 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALIqAqBqCGMinxCFinxGFg mBCinyGFinMApplicando il P.L.V., lequazione 2.12 assume la formaFinxG xG,q +FinyG yG,q +Min 2,q +Finxc xC,qM mBC g yG,q = 0Esplicitando le forzemBC xG xG,qmBC yG yG,q+ (2.13)IG 2 2,qmC xC xC,q+M mBC g yG,q = 0Notare che la coppia preceduta da un segno - poich non concordeallorientazione scelta per il sistema di riferimento.Bisogna determinare i rapporti di trasmissione e le accelerazioni. La velocite la accelerazione della manovella allistante iniziale valgonoq = 48[] = [rad] q = 5 cos (30 t) 30 = 150[/s] q = 0ANALISI CINEMATICA DI POSIZIONE2.1. SISTEMI AD 1 G.D.L. 23AqBqC1z2z3zHCalcolo dellangolo della biella e della posizione del pattino CBH = z1 sin(q) = 0, 22m2 = arcsin_BHz2_= 2, 89radz3 = z1 cos (q) z2 cos (2) = 1, 07mANALISI DI VELOCITAz1 cos (q) z2 cos (2) z3 = 0z1 sin(q) z2 sin(2) = 0derivandoz1 sin(q) q +z2 sin(2) 2 ` z3 = 0z1 cos (q) q z2 cos (2) 2 = 0si ricava immediatamente 2 =z1 cos (q)z2 cos (2) q = 0, 6rad/s` z3 = z1 sin(q) q +z2 sin(2) 2 = 0, 718rad/sPer calcolare i rapporti di trasmissione servono le velocit del baricentrodella biella, la cui posizione G = z3 + z22xG = z3 + z22 cos (2)yG = z22 sin(2)24 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALILa velocit del baricentro xG = ` z3 z22 sin(2) 2 = 0, 65m/s yG = z22 cos (2) 2 = 0, 26m/sRAPPORTI DI TRASMISSIONExG,q = xG q= 0, 249m/radyG,q = yG q= 0, 1m/rad2,q = 2 q= 0, 23xC,q = xC q= ` z3 q= 0, 27ANALISI DI ACCELERAZIONE (notare che laccelerazione di manovella nulla)z1 cos (q) q2+z2 cos (2) 22 +z2 sin(2) 2 z3 = 0z1 sin(q) q2z2 sin(2) 22z2 cos (2) 2 = 0Dalla seconda 2 = z1 sin(q) q2+z2 sin(2) 22z2 cos (2)1, 66rad/s2 z3 = z1 cos (q) q2+z2 cos (2) 22 +z2 sin(2) 2 = 1, 32m/s2Le accelerazioni del baricentro e del punto C sono xG = z3 z22 cos (2) 22 z22 sin(2) 2 = 1, 35m/s2 yG = z22 sin(2) 22 + z22 cos (2) 2 = 0, 76m/s2 xC = z3 = 1, 32m/s2Sostituendo nella 2.13 si esplicita lunica incognita dellequazioneM = mBC xG xG,qmBC yG yG,qIG 2 2,qmC xC xC,qmBC g yG,q = 1, 43Nmdove IG =112mBC BC22.1. SISTEMI AD 1 G.D.L. 252.1.5 Considerazioni sulle forze inerzialiConsideriamo il lavoro virtuale fatto dalle forze dinerzia di un corpo rigidovincolato al telaio attraverso una coppia rotoidale attorno alla quale pu ruotare.rGASi era visto che le forze dinerzia forniscono 3 contributicorpo = m xG xGm yG yGIG (2.14)Poich il punto A sso al telaio si pu calcolarexG = r cos ()yG = r sin()Dierenziando si ottiene xG = r cos () 2r sin() yG = r sin() 2+r cos () Gli spostamenti virtuali del baricentro possono essere legati allo spostamentovirtuale dellangoloxG = r sin() yG = r cos () Sostituendo nellequazione 2.14, si ha26 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALIcorpo = m _r cos () 2r sin() _(r sin() ) +m _r sin() 2+r cos () _(r cos () ) +IG corpo = m r2 IG == _m r2+IG_ Con lultima formula si dimostrato che i tre contributi al lavoro virtualedovuto alle forze dinerzia sono stati sostituiti da un unico contributo. Nota cheIA = m r2+IG il momento dinerzia del corpo rigido rispetto al punto ssoA.Operativamente, quando si ha un meccanismo con un corpo rigido aventeun punto sso a telaio, non necessario calcolare tutti e 3 i contributi delleforze dinerzia. E suciente considerare ununica coppia dinerzia (calcolandoil momento dinerzia rispetto al punto sso)GAGAGx m & & Gy m& & & &GI & &AI 2.1.6 Perch le forze interne non vengono considerate aini dellapplicazione del principio dei lavori viruali?Le forze interne non intervengono nel calcolo del lavoro virtuale perch noncompiono lavoro. Vediamolo in dettaglio con un esempio2.1. SISTEMI AD 1 G.D.L. 27P PSupponiamo di avere un corpo rigido facente parte di un meccanismo. Sup-poniamo inoltre che il meccanismo possa solo traslare orizzontalmente per comesono ssati i vincoli. Sappiamo che una forza interna una forza di reazioneche si genera allinterno dei membri stessi (ce ne sono innite ovviamente).Isoliamone una a caso nel seguente modo.Pensiamo di spezzare il corpo gu-rativamente. La parte di sinistra del corpo agisce con una forza interna sullaparte di destra del corpo. Ma per il principio di azione e reazione anche laparte di destra agisce con una forza interna uguale e contraria. Entrambe leforze agiscono sul punto P i cui spostamenti lungo x sono legati alla coordinatalibera qxP = f (q)Indichiamo con f il modulo della forza interna. Il lavoro virtuale fatto dalledue forze interne L = f xP + (f) xP = 0Il segno - che precede la seconda forza interna stato inserito poich il vettoreche rappresenta la forza orientato nella direzione opposta rispetto allasse dellax.Perci il lavoro delle forze interne nullo, qualunque sia il valore della forzainterna. Notare che quanto visto valido solamente per corpi rigidi.2.1.7 Attuatori lineari e motori operanti su robotConsideriamo il caso di un meccanismo composto, tra gli altri organi, di unpistone pneumatico od idraulico come in gura28 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALIABzPFPF1zViene da chiedersi come calcolare il contributo dato dalla forza prodotta dalpistone al lavoro virtuale. La pressione prodotta allinterno della camera delcilindro produce una forza FP sulla base del cilindro nel punto A ed una forzauguale e contraria sul punto B del pistone. Si nota una somiglianza con il casodelle forze interne. Esiste una importante dierenza. Mentre nel caso di dueforze interne uguali e contrarie, le forze agiscono sullo stesso punto, nel caso delpistone idraulico (o pneumatico) le forze uguali e contrarie agiscono su punti chepossono allontanarsi od avvicinarsi tra di loro. Per questo motivo forniscono uncontributo al lavoro virtuale e devono essere considerate come forze esterne.Il lavoro virtuale prodotto Lest = FP A FP B = (2.15)= FP _A B_dove il prodotto un prodotto scalare tra due vetori e A rappresenta lospostamento virtuale vettoriale e del punto A e non altro che una notazione picompatta per esprimere A = (xA, yA). Allo stesso modo FP = (FPx, FPy)Introduciamo il vettore z = AB. Consisderando gli spostamenti virtuali,si ottiene dalla relazione precedente che A B = z . Per cui il lavoro virtualediventa Lest = FP z.A B = z ha il seguente signicato: lo spostamento virtuale del vettoreche congiunge i punti A e B (il vettore z) la dierenza degli spostamentivirtuali dei due punti.Adesso suciente esplicitare i termini racchiusi allinterno della formuladello spostamento virtuale.Sapendo chez = z_ cos ()sin()_2.1. SISTEMI AD 1 G.D.L. 29si riesce ad esplicitare lo spostamento virtuale del vettore zz = dzdqq = __ cos ()sin()_ dzdq +z_ sin()cos ()_ ddq_qLa forza FP orientata seconto la direzione del pistone FP = FP_ cos ()sin()_.Calcoliamo il contributo al lavoro virtualeLest = FP _A B_== FP_ cos ()sin()_

__ cos ()sin()_ dzdq +z_ sin()cos ()_ ddq_q == FPdzdqq == FP zDallultima relazione ci si rende conto che la trattazione matematica tantocomplicata quanto semplice il risultato: il lavoro virtuale fatto da un pistone dato dal prodotto della forza che il pistone produce per lallungamento virtualedel pistone z. Notare che al posto del vettore z si sarebbe potuto prendereil vettore z1che congiunge le estremit di attacco del pistone. Il motivo chegli allungamenti virtuali sono gli stessi z = z1 e quindi il lavoro virtuale noncambia.ESEMPIOM1z2zCalcolare la forza che il pistone deve produrre per equilibrare la coppia M.Diamo per scontato lanalisi di velocit ed il calcolo dei rapporti di trasmis-30 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALIsione e concentriamoci sulla scrittura dellequazione di equilibrio. Essendo ilmeccanismo fermo, non ci sono forze inerziali. Lequazione di equilibrio fornisceM 1 +Fpz2 = 0e se si scegli langolo di manovella come coordinata libera si ottieneM+Fpz2,1 = 0Se orientiamo z2 nellaltro verso, il risultato non cambia,in quanto z2rappresenta lallungamento virtuale che rimane cos invariato.Se Fp assume un valore negativo, signica che il pistone deve tirare permantenere lequilibrio.Consideriamo ora il caso tipico di un motore elettrico calettato tra duemembri. E una situazione simile a quella del pistone121z2zIl motore esercita una coppia C sul secondo membro. Per il principio diazione e reazione, il motore esercita una coppia uguale e contraria sul primomembro. Perci vi sono due forze da tenere in considerazione ed il lavorovirtuale L = C 2C 1 = C (21)Poich in un sistema reale viene spesso scelta come coordinata indipendentelangolo compreso tra i due link: = 21, si usa esprimere il lavoro virtualein funzione dello spostamento virtuale di questa variabileL = C Perci il lavoro virtuale eseguito da un motore calettato tra due link vincolatia mezzo di una coppia rotoidale dato dal prodotto dell coppia prodotta perlo spostamento virtuale della posizione angolare relativa di un link rispettoallaltro.2.2. MECCANISMI A PI GRADI DI LIBERT 312.2 Meccanismi a pi gradi di libertNel caso di meccanismi ad n gradi di libert il principio dei lavori virtuali ugualmente valido:Il lavoro virtuale fatto dalle forze dinerzia e dalle forzeesterne agenti sul meccanismo nullo per qualsiasi combinazione di spostamentivirtuali. +Lest = 0 (2.16)Basta solamente usare un po di cautela nellidenticazioni degli spostamentivirtuali.Consideriamo un semplice esempio 1z2zcF2P1M2MCalcolare le coppie che i due motori (i cui assi coincidono con le coppierotoidali) devono fornire per equilibrare staticamente il carico Fc.Scriviamo il lavoro virtuale fatto dalle forze esterne moltiplicando come alsolito forze esterne per spostamenti virtuali dei punti di applicazioneM11 +M2 (21) +Fcx xP +Fcy yP = 0 (2.17)In alternativa si potiva arrivare alla stessa equazione mettendo in praticaquanto visto per quanto riguarda il lavoro virtuale compiuto da un motoreelettrico calettato tra due link, cioM11 +M2 +Fcx xP +Fcy yP = 0Apparentemente si scritto ununica equazione. In realt,esplicitandogli spostamenti virtuali si vedr come sia possibile ottenere 2 equazione chepermettano di calcolare le 2 coppie fornite dai motori.Mentre per un sistema ad 1 G.d.L. uno spostamento virtuale legato allospostamento virtuale della coordinata libera attraverso il rapporto di trasmis-sione, nei sistemi ad n gradi di libert lo spostamento virtuale legato agli nspostamenti virtuali delle coordinate libere.32 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALINellesempio le coordinate libere sono 1 e 2.Lo spostamento virtuale delpunto di applicazione della forza Fc si pone in funzione dello spostamentovirtuale delle coordinate libere

P = z1_ cos (1)sin(1)_+z2_ cos (2)sin(2)_=

P = z1_ sin(1)cos (1)_1 +z2_ sin(2)cos (2)_2Sostituendo nelleq. 2.17M11 +M2 (21) + (2.18)+Fcx (z1 sin(1) 1z2 sin(2) 2) +Fcy (z1 cos (1) 1 +z2 cos (2) 2)= 0Il lavoro virtuale deve essere nullo per qualunque combinazione di sposta-menti virtuali consentiti dai vincoli. Poich ci sono 2 G.d.L. i due spostamentivirtuali possono essere scelti indipendentemente luno dallaltro. Scegliamo ditener fermo il primo corpo e di muovere solamente il secondo. Si ottiene lacombinazione 1 = 0, 2 ,= 0. Questo spostamento virtuale solo uno tra gliinniti ammissibili, ma se lo si applica alla 2.18 si ottiene(M2Fcx z2 sin(2) +Fcy z2 cos (2)) 2 = 0 (2.19)Ripetendo il ragionamento con una combinazione di spostamenti virtuali1 ,= 0, 2 = 0, si ottiene la seconda equazione indipendente dalla prima(M1M2 +Fcx z1 sin(1) +Fcy z1 cos (1)) 1 = 0 (2.20)Semplicando i due spostamenti virtuali si ottiene un sistema di due equazioniin 2 incognite: M1 ed M2.M2Fcx z2 sin(2) +Fcy z2 cos (2) = 0M1M2 +Fcx z1 sin(1) +Fcy z1 cos (1) = 0Nel caso generale con n gradi di libert si opera nel seguente modoSia fi o una forza esterna generalizzata agente sul meccanismo (componentedi una forza lungo x, lungo y od una coppia), oppure una forza dinerzia (lungox, lungo y oppure un coppia dinerzia).Di queste fi ce ne sono n di incognite.Sia si o la coordinata x od y del punto di applicazione della forza fi , oppurelangolo del corpo al quale la coppia applicata.2.2. MECCANISMI A PI GRADI DI LIBERT 33Sia nf il numero delle forze (od equivalentemente dei corrispettivi sposta-menti virtuali)Il lavoro virtuale, utilizzando una notazione cos sintetica nf

fii=1si = 0Usando una notazione matricialefTs = 0 (2.21)dove fT=_ f1... fnf_ ed s =___s1...snf___.Gli spostamenti virtuali sono legati agli spostamenti virtuali delle coordinatelibere.Infatti, poich si = si_ q1, ..., qn _, si ottiene si =siq1 q1 + ... +siqnqn. Per cui, considerando tutti gli spostamenti virtuali___s1...snf___=__s1q1...s1qn......snfq1snfqn_____q1...qn___(2.22)La matrice Ws=__siq1...siqn......snfq1snfqn__ detta matrice dei rapporti divelocit poich vale anche la propriet s =Ws q.Sostituiamo la 2.22 nella 2.21fTWs q = 0 (2.23)Nota che fTWs un vettore riga.Poich la scelta degli spostamenti virtuali delle coordinate libere arbitraria,n combinazioni del tipo q1 = _ 1 0 ... 0 0 _, q2 = _ 0 1 0 ... 0 _, ..., qn =_ 0 0 ... 0 1 _. Sostituendo la prima combinazione nella 2.23, si ottieneche la prima componente del vettore fTWs deve essere nulla. Sostituende laseconda combinazione q2, si ottiene che la seconda componente deve esserenulla, e cos via. Perci si arriva al risultatofTWs =_ 0 0 0 ... 0 _che rappresenta un sistema di n equazioni nelle n incognite.Allo stesso modo si pu utilizzare la notazioneWTsf =___0...0___34 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALINota che non tutte le componenti di f sono incognite; alcune rappresentanoforze dinerzia ed altre rappresentano forze note.Come si calcolano praticamente i termini della matrice delle velocit?Un modo per farlo consiste nel sfruttare la propriet s =Ws q. Se compiamolanalisi di velocit considerando una velocit ttizia delle coordinate libere paria q =1, 0, 0, ..., 0T, signica che si sono tenute ferme tutte le coordinate liberedel meccanismo tranne la prima che ha una velocit unitaria. In questo caso siottiene s =Ws q =Ws___10...0___=___Ws11Ws21...Wsnf1___ossia, le velocit s sono la prima colonna della matrice Ws. Per calcolarela seconda colonna si procede allo stesso modo. Si impone una velocit ttiziain cui tutte le coordinate libere sono ferme tranne la seconda la quale vienefatta muovere con velocit unitaria. Si eettua lanalisi di velocit calcolando levelocit di tutti i punti di interesse.Queste velocit rappresentano la secondacolonna della matrice Ws.Una volta ricavata la matrice dei rapporti di velocit, risulta molto semplicerisolvere il sistemaWTsf =___0...0___Scomponiamo il vettore delle forze,dividendo le n forze incognite (rag-gruppate nel vettore f1),dalle forze note (raggruppate nel vettore f2). f1 ha ncomponenti, mentre f2 ha nf n componenti.f =_ f1f2_Dividiamo la matrice dei rapporti di velocit nel seguente modoWTs= _WTs1 WTs2dove WTs1 un blocco della matrice WTs(le n righe per le prime n colonne),metre WTs2 il blocco di destra della matrice WTs , cio le n righe per le ultimenf n colonne. Nota che la matrice WTs1 quadrata.Con questa notazione il sistema viene riscrittoWTsf=_WTs1 WTs2_ f1f2_== WTs1f1 +WTs2f2 = 02.2. MECCANISMI A PI GRADI DI LIBERT 35Per cui il risultato cercato f1 = _WTs1_1WTs2f236 CAPITOLO 2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALICapitolo 3Metodo NewtonianoConsideriamo sempre il caso piano. Il concetto che sta dietro al metodo newto-niano molto semplice. Il meccanismo viene scomposto ed ogni singolo membroviene considerato come un corpo rigido a s. In quanto tale, le forze di reazioneche gli altri membri esercitano su di esso vengono considerate forze esterne. In-dividuate tutte le forze esterne, basta imporre lequilibrio dinamico. La partepi delicata riguarda lindividuazione delle forze esterne.3.1 Forze dinerzia e reazioni vincolariConsideriamo il membro in gura che fa parte di un meccanismo pi complesso.Il membro vincolato agli altri due membri contigui attraverso una coppiarotoidale ed una coppia prismatica.3738 CAPITOLO 3. METODO NEWTONIANOLa coppia rotoidale rappresenta un vincolo. Essa impedisce a due punti (unodi un corpo ed uno di un altro corpo) di non manifestare moti relativi tra diloro. Intuitivamente si capisce che un corpo esercita sullaltro una forza. E peril principio di azione e reazione, la stessa forza viene percepita dal primo cor-po. Immaginiamo di scomporre il meccanismo ed inseriamo le forze di reazionedovute alle coppie cinematicheyR1yR1xR1xR12R2R2C2CGx m& & G GI & &Gy m& & 1b2bLe forze di reazione della coppia rotoidale sono uguali e contrarie, nel sensoche, se il corpo di sinistra esercita sul corpo centrale una forza lungo x pari adRx, il corpo centrale esercita su quello di sinistra una forza pari a -Rx. Anchuna coppia rotoidale impedisca il moto relativo lungo x ed y di due punti, devononascere delle reazioni lungo i due assi.Per la coppia prismatica le cose sono diverse. Poich il pattino pu scorrereliberamente lungo la sua sede, i corpi non si scambiano alcuna forza lungoquella direzione di scorrimento. Ancora, osservando la gura, anch il corpodi destra possa scorrere, quello di sinistra non deve esercitare alcuna forza lungola direzione di scorrimento. Invece il corpo di destra non pu ruotare. Perimpedirlo, il corpo di sinistra esercita sul corpo di destra una coppia di reazione.Inoltre il corpo di destra non pu traslare lungo la direzione perpendicolareallasse di scorrimento. Da cui si capisce come sia presente anche una forza direazione R come in gura.In realt in luogo di forze e momenti pi corretto parlare di risultante emomento risultante delle azioni che un corpo esercita sullaltro.3.1. FORZE DINERZIA E REAZIONI VINCOLARI 39( ) fxRyRIn gura rappresentato un accoppiamento rotoidale. A sinistra c il per-no, mentre a destra rappresentata la sede. I due corpi sono distanziati persemplicit graca, ma si intende che il perno ruota allinterno della sede. Lasupercie della sede esercita sulla supercie del perno una pressione locale f()che varia al variare dellangolo ed perpendicolare alla supercie di contatto.La risultante di questa pressione lincognita che interessa nellanalisi dinamica(per quanto riguarda il metodo newtoniano). Le risultanti sono (notare che lapressione assunta positiva quando comprime la supercie del perno)Rx =2 _0f() cos () r l d (3.1)Ry =2 _0f() sin() r l d(r il raggio del perno ed l la lunghezza del perno).Il metodo newtoniano porta al calcolo delle reazioni vincolari e delle forzeattive che generano il moto. Attraverso il metodo newtoniano non si riesce astabilire come siano puntualmente distribuite le pressioni di reazione tra i duecorpi a contatto.Vediamo come viene realizzata una coppia prismatica.40 CAPITOLO 3. METODO NEWTONIANORMA1f2fNella gura soprastante, lasta pi lunga che appartiene ad un corpo vin-colata a scorrere allinterno di un pattino che appartiene ad unaltro corpo. Peril particolare vincolo, nellipotesi che non vi sia attrito, i due corpi si scambianodelle reazioni che sono perpendicolari allasse di scorrimento lungo tutta la su-percie di contatto. Poniamo un sistema di riferimento nel punto A. Il versoredel sistema di riferimento che chiameremo s orientato lungo lasse di scorri-mento; l perpendicolare. In gura sono rappresentate le pressioni puntualiesercitate dal pattino sul corpo che scorre su ambo i lati. Queste pressioni vari-ano lungo lasse e quelle di un lato sono diverse da quelle dellaltro. Indichiamolecon f1(s) ed f2(s)La risultante lungo la perpendicolare allasse data daR =sf_sif2(s) t ds sf_sif1(s) t dsdove si ed sf sono gli estremi del pattino e t lo spessore del pattino. Ilmomento risultante rispetto al polo A M =sf_sis f2(s) t ds sf_sis f1(s) t dsPerci le azioni che i due corpi si scambiano sono equivalenti ad una coppiaed una forza applicata nel punto A. La forza di reazione avr una componentelungo x ed una lungo y: R = Rx, Ry . Il metodo Newtoniano permette dicalcolare la risultante ed il momento risultante delle azioni calcolate, ma non3.1. FORZE DINERZIA E REAZIONI VINCOLARI 41il valore della pressione puntuale. La distribuzione della pressione pu esserecalcolata attraverso la teoria della meccanica del contatto.Riconsideriamo il corpo nella prima gura. Per esso si possono scrivere 3equazioni di equilibrioR1x +Finx +R2x = 0R1y +Finy +R2y = 0C2 +Min +b1 R1 +b2 R2 = 0dove Finx = m xG, Finy = m yG ed Min = IG. La terza equazionerappresenta lequilibrio alla rotazione rispetto al baricentro del corpo. Si potevascegliere qualsiasi altro polo rispetto al quale applicare lequilibrio dinamico. b1e b2 sono i bracci delle reazioni rispetto al baricentro. Di queste equazioni se nepossono scrivere tante quanti sono i corpi di cui composto il meccanismo.Ilvantaggio del metodo Newtoniano rispetto al metodo energetico che forniscedirettamente il valore delle reazioni vincolari. Lo svantaggio che aumentano ilnumero di equazioni e quindi le dimensioni del sistema.ESEMPIOConsideriamo un braccio telescopico per applicazioni cinematograche. Cal-colare le reazioni vincolari sul primo troncone telescopico, la coppia necessariaa sollevare il braccio nonch la forza di spinta per estendere il troncone.Il meccanismo viene cos schematizzato (per comodit stato capovolto adestra)42 CAPITOLO 3. METODO NEWTONIANOq1z3zAGDyRxRMMPPCNN2zIl baricentro del primo troncone coincide con il punto di rotazione A. Ilbaricentro del tratto estendibile nel punto G. La telecamera posta nel puntoD. Nella gura di sinistra sono rappresentate le forze di reazione e le forze esterneapplicate al sistema:la coppia C e la forza di allungamento P. (Si noti che ilsistema ha 2 GdL)DATI: q = 48; z1 = 1, 1m; z2 = 1, 2m; z3 = 1, 5m; IA =34Kgm2IG= 32Kgm2mG= 98Kg; mD= 10Kg; mA=70Kg; q = 10/s; z1 = 0, 5m/s; q = 1/s2; z1 = 0, 1m/s2;Si calcolano le forze dinerzia e le forze peso3.1. FORZE DINERZIA E REAZIONI VINCOLARI 43MinA = IA qFinGx = mG xGFinGy = mG yGMinG = IG qFinDx = mD xDFinDy = mD yDpG = mG gpD = mD gpA = mA gNotare che i vettori che rappresentano le forze peso sono orientati verso le ypositive; notare inoltre che la forza dinerzia alla rotazione della telecamera noncompare in quanto la sua massa concentrata nel punto D. Calcoliamo ora legrandezze di interesseG = (z1 +z2)_ cos (q)sin(q)_= _ 1, 341, 49_mG = z1_ cos (q)sin(q)_+ (z1 +z2)_ sin(q)cos (q)_ q = _ 0, 0750, 605_m/sG = z1_ cos (q)sin(q)_+ z1_ sin(q)cos (q)_ q (z1 +z2)_ cos (q)sin(q)_ q2+ (z1 +z2)_ sin(q)cos (q)_ q =_ 0, 0640, 11_m/s2Per quanto riguarda il punto DD = (z1 +z2 +z3)_ cos (q)sin(q)_ =_22, 23_mD = z1_ cos (q)sin(q)_+ (z1 +z2 +z3)_ sin(q)cos (q)_ q = _ 0, 0540, 722_m/sD = z1_ cos (q)sin(q)_+ z1_ sin(q)cos (q)_ q (z1 +z2 +z3)_ cos (q)sin(q)_ q2+ (z1 +z2 +z3)_ sin(q)cos (q)_ q = _ 0, 0980, 099_m/s2Equazioni di equilibrio applicate al primo corpoRxP cos (q) N sin(q) = 0RyP sin(q) +N cos (q) +pA = 0C +MinAM +N z2 = 044 CAPITOLO 3. METODO NEWTONIANONotare che lultima equazione rappresenta lequilibrio dei momenti rispettoal polo A; di conseguenza le reazioni Rx, Ry e la forza P non danno contributo(avendo braccio nullo).Equilibrio del secondo corpoP cos (q) +FinGx +FinDx +N sin(q) = 0P sin(q) +FinGy +FinDyN cos (q) +pG +pD = 0M +MinG +N z1 + (pD +FinDy) z3 cos (q) FinDx z3 sin(q) = 0Lequilibrio ai momenti stato calcolato rispetto al polo G. Poniamo ilsistema in forma matriciale__1 0cos (q)sin(q) 0 00 1sin(q) cos (q) 0 00 0 0 z2110 0 cos (q) sin(q) 0 00 0 sin(q) cos (q) 0 00 0 0 z10 1_____RxRyPNCM___=___0pAMinAFinGxFinDxFinGyFinDypGpDMinG(pD +FinDy) z3 cos (q) +FinDx z3 sin(q)___Invertendo il sistema si ottiene___RxRyPNCM___=___7 N1758 N791 N722 N1512 Nm789 Nm___3.1.1 Meccanica del contattoCi si potrebbe chiedere come sono distribuite le pressioni le cui azioni deter-minano la reazione di contatto della 3.1. Il calcolo della distribuzione dellepressioni non di facile soluzione.E necessario introdurre il concetto di elas-ticit del materiale. Una teoria interessante, che fa uso di ipotesi semplicative, la Teoria Hertziana. Essa si applica quando si ha a che fare con un contattopuntiforme (sfera contro piano o sfera contro sede sferica) o lineare (cilindrocontro cilindro). Le altre ipotesi introdotte sono:- i solidi in contatto sono isotropi;- le deformazioni sono elastiche;3.1. FORZE DINERZIA E REAZIONI VINCOLARI 45- le dimensioni dellarea di contatto sono piccole rispetto al raggio di cur-vatura dei corpi non deformati;Prendiamo in considerazione un solido che va in contatto con un piano, comein gura.xyAl solido per il momento non applicata alcuna forza, perci si pu pensareche il contatto sia puntiforme.La supercie del solido, rispetto ad un sistemadi riferimento con origine nel punto di contatto espressa dalla relazionez = f (x, y)Poich nel punto di contatto il piano tangente alla supercie, le derivateparziali della funzione devono essere nullef (0, 0) = fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0Si ipotizza inoltre che il sistema di riferimento sia orientato in maniera taleche2fxy (0, 0) = 0. Si pu dimostrare che esiste sempre una orientazione delsistema di riferimento per cui lultima relazione sia valida.Sviluppando attraverso la serie di Taylor la funzione, troncando al secondoordine, si ottienez 122fx2 (0, 0) x2+ 122fy2 (0, 0) y2Da questultima relazione si deduce che le curve di livello del solido (cio lecurve che si generano dallintersezione del solido con un piano parallelo al pianodi contatto), in prossimit del punto di contatto sono ellissi.Applichiamo una forza P al corpo perpendicolarmente al piano. Il corpoinizier a deformarsi ed il contatto non sar pi puntiforme. E sostanzialmentecorretto pensare che anche le superci di contatto abbiano forma ellitticaHertz dimostr che la distribuzione delle pressioni data dalla relazione46 CAPITOLO 3. METODO NEWTONIANOp = = 32P a b_1 _xa_2_yb_2(3.2)dove a e b sono i semiassi dellellisse di contatto.Questo risultato valido anche nel caso in cui il corpo sia in contatto conuna supercie diversa da un piano. Questo il caso ad esempio di un pernoallinterno di un alloggiamento cilindrico o di una sfera a contatto con la pistadi un cuscinetto.Nel caso di un cilindro a contatto con una sede cilindrica, leq. 3.2 degeneranella seguentep = = 32P a b_1 _xa_2in quanto uno dei due assi dellellisse tende allinnito. Attraverso ques-ta teoria possibile calcolare la pressione puntuale che il perno trasmette allasede. Notare per che quando perno e sede hanno allincirca lo stesso raggio, lasupercie di contatto aumenta e viene cos a mancare unipotesi fondamentalesu cui si fonda la teoria di Hertz. In questi casi necessario indagare la dis-tribuzione delle pressione con altri strumenti, ad esempio attraverso una analisiagli elementi niti.Capitolo 4Sintesi del volanoPer introdurre largomento appoggiamoci ad un semplice esempio: un manov-ellismo centrato.Tutti gli organi del meccanismo hanno massa non trascurabile.A B C Lenergia cinetica del meccanismo sarT = 12IA q2+ 12mBC_ x2G + y2G_+ 12IBC2BC + 12mC x2Cdove IA il momento dinerzia della manovella AB rispetto al polo A, mBCed mC sono le masse della biella BC e del pattino C, q la posizione angolaredella manovella, (xG, yG) sono il baricentro della biella ed xC la posizione delpattino. Introducendo i rapporti di trasmissione riferiti alla coordinata libera qlenergia cinetica pu essere riscritta come4748 CAPITOLO 4. SINTESI DEL VOLANOT = 12IA q2+ 12mBC_2xG,q +2yG,q_ q2+ 12IBC 2BC,q q2+ 12mC 2xC,q q2== 12_IA +mBC 2xG,q +mBC 2yG,q +IBC 2BC,q +mC 2xC,q_ q2== 12A q2Il termine tra parentesi rotonda A viene denito inerzia ridotta alla coor-dinata libera q. Esso dato dalla somma delle varie inerzie moltiplicate per ilrapporto di trasmissione al quadrato. Viene detta inerzia ridotta poich con-globa tutti i contributi delle varie inerzie, sostituendoli con uno solo, come se ilmeccanismo, ai ni dinamici, fosse assimilabile ad uno ttizio composto da unasola manovella con momento dinerzia variabile pari ad A. Poich i rapporti ditrasmissione dipendono solamente dalla congurazione cinematica che varia conq, anche linerzia ridotta una funzione di qA = A(q)4.1 Cennisulla soluzione delmoto attraversolequazione di LagrangeSupponiamo che il meccanismo sia posto nel piano orizzontale, in maniera taleche lenergia potenziale rimanga costante. Sulla manovella presente una coppiamotrice pari a Cm, mentre sul pattino presente una forza di attrito costantepari ad fa. Utilizziamo lequazione di Lagrange per ricavare lequazione delmotoddt_L q_ Lq = Qdove L = T V la funzione di Lagrange. Nel nostro caso, non essendocienergia potenziale, si ha L = T=12A(q) q2. Q il lavoro delle forze nonconservative rapportato a q, cio Q = CmfaxC,q. Esplicitiamo lequazioneddt_L q_ Lq = ddt_12A(q) q2_ q_12A(q) q2_(4.1)ddt (A(q) q) 12 dAdq q2= dAdq q2+A(q) q 12 dAdq q2(4.2)= A(q) q + 12 dAdq q2== Cm faxC,qQuesta equazione integrabile e fornisce un certo risultato q = q (t).Lin-tegrazione pu essere fatta per via numerica, e non sempre di facile soluzionepoich si tratta di unequazione non lineare.4.2. IPOTESI SEMPLIFICATIVACHE PORTAALLACONSERVAZIONE DELLENERGIACINETICA494.2 Ipotesi semplicativa che porta alla conser-vazione dellenergia cineticaCome introdotto allinizio del paragrafo precedente, supponiamo che il mecca-nismo sia posto nel piano orizzontale, in maniera tale che lenergia potenzialerimanga costante. Sulla manovella presente una coppia motrice pari a Cm,mentre sul pattino presente una forza di attrito costante pari ad fa.Introduciamo unipotesi che avr delle conseguenze interessanti. Ipotizziamoche per un certo angolo di manovella q percorso, il lavoro fatto dalla coppiamotrice sia uguale allenergia dissipata dalla forza dattrito, cio q_0Cm dq =xC( q)_0fadxC(4.3)Al di l dei formalismi matematici per esprimere il concetto, ci che importa che durante il moto tutta lenergia fornita dalla coppia motrice viene spesaper vincere le forze di attrito. Se perci il meccanismo, allistante iniziale, hauna certa velocit e quindi una certa energia cinetica, questa energia cineticasi manterr costante anche negli istanti successivi, in quanto non viene fornitaaltra energia al sistema. Quando il meccanismo transita per il punto inizialeanche la velocit sar uguale a quella di partenza. Il fatto che ogni volta chela manovella transita per uno stesso angolo la velocit sia uguale, non signicache la velocit durante la rotazione sia costante.Indichiamo con tp il periododi tempo che la manovella impiega a fare un giro. Per la periodicit detta vale q (t) = q (t +tp) .Proviamo a trovare la soluzione del moto. (In questo caso particolare si ri-esce a ricavarla per via analitica senza ricorrere allintegrazione numerica) Comecondizione iniziale supponiamo che la manovella sia disposta orizzontalmente(q0 = 0) con una velocit angolare iniziale pari a q0. Per il bilancio energetico,il lavoro fatto dalle forze esterne deve essere pari allincremento di energia ci-netica del meccanismo.Perci quando la manovella avr una posizione q valela relazioneLest = T (q) T(0)dove il lavoro delle forze esterne nullo per leq. 4.3 Lest =q_0Cm dq xC(q)_0fadxC = 0.Come risultato si ha che lenergia cinetica iniziale rimane costante durantetutto il moto della manovella. Questo risultato piuttosto intuitivo. Se tutto illavoro della coppia motrice viene usato per vincere la forza di attrito, chiaro chelenergia (e nel nostro caso lenergia del sistema solo cinetica) del meccanismo50 CAPITOLO 4. SINTESI DEL VOLANOsi mantiene invariata. Dalla costanza dellenergia cinetica si pu calcolare lavelocit della manovella durante il cicloT (q) = T(0) (4.4)12A(q) q2= 12A(0) q20 q =_A(0)A(q) q0Calcoliamo la velocit in un esempio concreto. Consideriamo un meccanismobiella manovella in cui AB = 0.4 m; BC = 1, 2 m; IA = 0.2667Kgm2; mC =12Kg. La massa della biella BC trascurabile. Il velocit angolare della manovel-la quando q = 0 q0 = 6rad/s. Il rapporto di trasmissione della coordinata xdel pattino rispetto alla coordinata libera (basta fare una analisi di velocit)xC,q = (cos (q) tan(2) sin(q)) ABdove 2 la posizione angolare della manovella e dallanalisi cinematicadi posizione si ricava 2 = arcsin_ABBC sin(q)_. Conoscendo il rapporto ditrasmissione in funzione dellangolo di manovella si calcola linerzia ridottaA(q) = IA +mC 2xC,qA questo punto si ha tutto per gracare landamento della velocit angolarein funzione dellangolo q utilizzando la 6.10 2 4 6 8 10 12012345678q&qIl graco stato ricavato con il seguente programma in matlab%DATI4.2. IPOTESI SEMPLIFICATIVACHE PORTAALLACONSERVAZIONE DELLENERGIACINETICA51AB=0.4;BC=1.2;IA=0.2667;mC=12qpunto0=6n=300;q=0;% calcolo di A0% quando la manovella orizzontale il rapporto di trasmissione nulloA0=IA;delta_q=2*2*pi/nfor i=1:nphi2=-asin((AB/BC)*sin(q));tau=(cos(q)*tan(phi2)-sin(q))*AB;A=IA+mC*tau^2;vet_q(i)=q;vet_qpunto(i)=sqrt(A0/A)*qpunto0;q=q+delta_q;endplot(vet_q,vet_qpunto)gridaxis equalSi nota che la velocit della manovella varia tra un massimo di 6rad/s edun minimo di 2rad/s. In molte applicazioni, anch il motore non sia soggettoa forti cambiamenti di velocit richiesto che lescursione della velocit siacontenuta allinterno di alcuni valori ben pressati. Questo limite espressomatematicamente nel seguente modo . Si indica la velocit massima e minimacon qmax, qmin. Si denisce velocit media la quantit qmed = qmax+ qmin2. Il gradodi irregolarit della velocit angolare denito comeg = qmax qmin qmedNellesempio nostro il grado di irregolarit g = 624= 1;Una tecnica adottata per diminuire il grado di irregolarit consiste nel-laumentare la componente inerziale costante dellinerzia ridotta. Fisicamentequesto viene ottenuto calettando un disco alla manovella. Se il disco ha inerziaID, la nuova inerzia ridotta diventa A(q) + ID e landamento della velocit dato dalla formula q =_A(0) +IDA(q) +ID q0(4.5)Si vede dalla formula che allaumentare di ID la velocit della manovella du-rante il moto tende ad avvicinarsi a quella iniziale, diminuendo quindi il grado di52 CAPITOLO 4. SINTESI DEL VOLANOirregolarit. Continuando lesempio, calettiamo un disco avente momento din-erzia ID = 0.2Kgm2. Modicando il programma (aggiornando linerzia ridotta)si ottiene il nuovo andamento della velocit0 2 4 6 8 10 12012345678q&qgracato in rosso. Si vede come la velocit minima sia arrivata al valoredi 2, 925rad/s. Il grado di irregolarit sceso al valore g = 0, 69. I gradi diregolarit richiesti dipendono dal tipo di applicazione. Qui di seguito vienefornita una tabella.Tipologia di macchina pompe e ventilatori motori alternatorig richiesto120 1301100 13001300Nel nostro esempio il disco che viene detto volano stato calettato allamanovella di un manovellismo centrato per uniformare il moto. Lo stesso con-cetto pu essere applicato anche a macchine diverse, in tutti i casi in cui lamacchina operi in maniera ciclica e linerzia equivalente del meccanismo non siacostante.Notare che il grado di irregolarit non dipende dalla velocit iniziale. Infatti,pensiamo ad esempio, di considerare un sistema con una velocit iniziale q01aumentata di k volte rispetto a quella utilizzata nella formula 4.5, cio q01 =k q0. Il nuovo graco dellandamento della velocit sar dato sempre dallaconsueta formula q =_A(0) +IDA(q) +ID q01 ==_A(0) +IDA(q) +IDk q04.2. IPOTESI SEMPLIFICATIVACHE PORTAALLACONSERVAZIONE DELLENERGIACINETICA53Di conseguenza anche le velocit massime nuove saranno k volte le velocitmassime e minime ottenuta con velocit iniziale pari a q0 qmax 1 = k qmax qmin1 = k qminE vero che la dierenza tra velocit massima e minima adesso k voltequella precedente qmax1 qmin1 = k ( qmax qmin), per il grado di irregolaritrimane inalteratog = qmax1 qmin 1( qmax1 qmin1) /2 = qmax qmin( qmax qmin) /254 CAPITOLO 4. SINTESI DEL VOLANOCapitolo 5Bilanciamento di RotoriIn molte applicazioni sono presenti rotori di dimensioni considerevoli posti inrotazione a velocit costante. Basti pensare a turbine, ventilatori, le ruotestesse di automobili. Se i rotori non sono perfettamente bilanciati, lo squilibriointroduce delle forze inerziali centrifughe che si scaricano sui supporti. Tali forzesono fonte di vibrazione e determinano una sollecitazione armonica che riducela vita dei sostegni (per fatica). Si parla di sbilanciamento statico quando ilbaricentro del rotore non passa per lasse di rotazione. In questo caso, il rotore,lasciato libero di ruotare, si comporter come un pendolo, oscillando ntantochil baricentro non sar sul piano verticale passante per lasse di rotazione.statico.jpgSupponiamo di inserire una massa aggiuntiva appropriata (vincolandola alrotore) in qualunque piano normale allasse di rotazione in maniera tale dariportare il baricentro sullasse di rotazione. In qualunque posizione angolaresi ponga ora il rotore, esso rimarr in tale posizione. Si dice che il rotore equilibrato staticamente. Ma se il rotore viene posto in rotazione, la dissimetria5556 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORIdelle masse introduce delle forze inerziali che tendono a sbilanciare il rotorecome in gura. In questo caso il rotore viene detto sbilanciato dinamicamente.dinamico.jpgSolitamente ci si accontenta di equilibrare staticamente il rotore quando siha a che fare con rotori molto corti rispetto al diametro del rotore. Per alberilunghi richiesto in ogni caso il bilanciamento dinamico.5.1 Bilanciamento staticoPrima di comprendere come intervenire per annullare lo sbilanciamento statico,analizziamo che tipo di sollecitazione esercita un rotore sbilanciato sui suppor-ti. Poniamoci nel piano perpendicolare allasse di rotazione. Supponiamo chesul rotore di massa uniforme (quindi con baricentro appartenente allasse dirotazione) siano presenti delle masse sbilancianti. Non sono conosciuti n ilvalore delle masse, n la loro posizione.Lobiettivo del bilanciamento quellodi calettare una ulteriore massa in maniera tale da bilanciare staticamente ilsistema.5.1. BILANCIAMENTO STATICO 57 i ir m2iOgni massa sbilanciante introduce una forza centrifuga in modulo pari admi2ri, dove mi il valore della massa, = la velocit di rotazione (il rotoreruota a velocit costante) ed ri la distanza della massa dal centro. i laposizione angolare della massa sbilanciante rispetto ad un riferimento noto delrotore. Nel problema del bilanciamento non interessa conoscere lentit di tuttequeste masse e come sono disposte; inoltre, nella maggioranza dei casi non sihanno masse puntiformi, ma distribuzioni di massa. Ci che importa leettocomplessivo di tutte le masse.Le componenti lungo x e lungo y della somma delle forze centrifughe dellemasse sbilancianti (forze che agiscono sul rotore) sono date dalla formulaF = _ FxFy_ =

imi2ri_ cos ( +i)sin( +i)_(5.1)dove la posizione angolare del rotore, cio la posizione angolare delriferimento (associato al rotore) rispetto allorizzontale.Questo sistema di masse ha lo stesso eetto dinamico di ununica mas-sa equivalente posta nel baricentro del sistema. La stessa forza data dalleq.5.1, sarebbe quindi prodotta da ununica massa sbilanciante (il cui valore meq= imi) posizionata nel baricentro del sistema costituito da tutte lemasse sbilancianti. Questa massa equivalente introdurrebbe una forza centrifugaagente sul rotore pari aF = meq 2rG_ cos ( +G)sin( +G)_(5.2)dove ed rG la distanza del baricentro del sistema delle masse sbilanciantidal centro di rotazione. G la posizione angolare del baricentro rispetto alriferimento.Per quanto detto le eq. 5.1 e 5.2 forniscono lo stesso valore al variare della po-sizione angolare del rotore. Si ribadisce che non sono note n le posizioni dellemasse sbilancianti, n tanto meno la posizione angolare della massa sbilancianteequivalente od il suo valore.58 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORIIn notazione complessa la 5.2 diventaF = meq 2rG ej Gej (5.3)Perci F = 2meq rG ej Gej una forza che ruota con langolo , pro-porzionale al quadrato della velocit angolare. Dato che lasse di rotazione delrotore non si muove, il perno al quale vincolato il rotore deve esercitare unaforza uguale e contraria a quella fornita dalla eq. 5.3. Lequilibrio delle forze rappresentato nella gura seguente. G eqr m2GyFFORZA GENERATA DAL SUPPORTO Attraverso la misura della forza generata dal supporto si riesce quindi arisalire a quella fornita dalla eq. 5.3. Un altro punto di vista consiste nel direche la forza centrifuga equivalente F si scarica a terra attraverso i supporti.Solitamente in un bilanciamento statico si misura la componente y delle forzescaricate a terra dal rotore attraverso i supporti: Fy. Fissiamo la seguenteconvenzione: Fy positiva quando il sensore registra una forza che tende atirare il rotore verso il basso od, in altre parole, quando il rotore tende a tirareil supporto verso lalto. Impostando lequilibrio lungo lasse y si ottiene che Fy pari al valore della componente y di meq 2rG, cioFy () = meq 2rGIm_ej Gej _ = (5.4)Fy () = meq 2rGsin(G +)Un modo molto semplice ed ecacie per misurare Fy consiste nellutilizzareuna cella di carico (sensore di forza) ed uno oscilloscopio. Sul rotore vienemontato un sensore induttivo (una specie di fotocellula) in corrispondenza delriferimento scelto, in maniera tale che quando il sensore induttivo passa perlorizzontale signica che = 0. Quando questo evento avviene, loscilloscopioinizia a misurare il valore di Fy al variare del tempo.Perci si potr ottenereun graco simile a quello in gura.Dal graco di Fy () si legge:5.1. BILANCIAMENTO STATICO 59 G eqr m2GG0yF60 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORI- il valore della forza massima FyMAX ;- il valore di Fy quando il sensore induttivo attraversa lorizzontale, cioFy (0). Questo valore lo si legge direttamente dal graco sopra ed Fy0.Dalla equazione 5.4 si deduce cheFyMAX = meq 2rG(5.5)Fy0 = Fy (0) = meq 2rGsin(G)Dato che FyMAXed Fy0 vengono misurati (letti dal graco) e la velocitangolare nota, si ricavameq rG = FyMAX2Il passo successivo consiste nel determinare la posizione angolare di questamassa equivalente sbilanciante. Sfruttando la seconda delle eq. 5.5, si ricavaG = arcsin_Fy0meq 2 rG_ = arcsin_Fy0FyMAX_Introduciamo ora una massa nota m per equilibrare il sistema. Il suocontributo centrifugo Fm = m 2r_ cos ( +)sin( +)_ = m2r ejejdove la posizione angolare della massa equilibratrice rispetto al sistemadi riferimento.Anch la massa equilibri lazione delle masse sbilancianti, necessario cheF +Fm = 0per cuimeq 2rG ej Gej +m 2r ejej= 0meq rG ej G= m r ejRisolvendo lequazione sopra (i moduli e le fasi dei due vettori devono essereuguali ) si riesce a ricavare la distanza dal centro di rotazione della massa mequilibratricer = meq rGm= FyMAX2 m(5.6)e la posizione angolare rispetto al riferimento5.2. BILANCIAMENTO DINAMICO 61ej= ej G = G +infatti i due vettori devono essere uno orientato in maniera opposta allaltroe quindi sfasati di 180. Si poteva alternativamente bilanciare il rotore intro-ducendo una massa di valore non noto posta ad una distanza r nota dal centro.In questo caso la posizione angolare si calcolava come sopra mentre bisognavacalcolare il valore della massa rimaneggiando leq. 5.6m = meq rGr= FyMAX2 r5.2 Bilanciamento dinamicoNella gura sottostante rappresentato un rotore con asse di rotazione coinci-dente con lasse z del sistema di riferimento assoluto e supportato nei punti A eB. Supponiamo che vi siano delle masse sbilancianti. In gura rappresentatasolo una di queste. Vediamo come sia possibile equilibrare dinamicamente ilrotore vincolando due masse m1 ed m2 al rotore rotanti su due piani qualsiasi.i ir m2iAB1m2mxyzARBRCome nel caso statico possibile misurare le forze trasmesse dai supporti aterra nei punti A e B. Supponiamo esse abbiano un andamento dato da62 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORI

RA =___RA cos (A)RA sin(A)0___, RB =___RB cos (B)RB sin(B)0___(5.7)se espresse rispetto al sistema di riferimento assoluto. Formalmente RA ed

RB rappresentano le forze che i supporti esercitano sul rotore.E pi conveniente esprimere solamente le componenti lungo x ed y usandouna notazione complessa (asse x reale; asse y immaginario). Per cui

RA = RA ej A RB = RB ej B(5.8)Questi valori sono misurati quando il riferimento passa per lo zero, cioquando la posizione del rotore = 0 + 2k. Figurativamente si tratta discattare una istantanea delle forze in gioco quando il riferimento del rotoretransita per uno stesso punto dopo aver compiuto un giro. Si gi visto nelcaso statico come sia possibile ricavare dal graco delle forze scaricate a terrain funzione dellangolo di rotazione del rotore, il valore del modulo della forzascaricata ai supporti RA ed RB, come pure gli sfasamenti A ed B. Le forze

RA ed RB non sono altro che leetto dei contributi delle masse sbilancianti.Viene da chiedersi quale sia la relazione matematica tra le reazioni vincolarie le forze centrifughe prodotte dalle masse sbilancianti. La trattazione che segueha lo scopo di mostrare quale sia la relazione matematica che lega le forze direazione (5.7) e le forze inierziali indotte dalle masse sbilancianti.E necessario calcolare anche i momenti delle forze di reazione. Calcoliamocome esempio il momento della forza di reazione

RA rispetto allorigine delsistema di riferimento (cio prendendo lorigine come polo attorno al quale cal-colare il momento). Esso dato dal prodotto vettoriale del vettoreOA per RA.Esso ha modulo pari al modulo diOA per il modulo di RA, dato cheOA ed RAsono perpendicolari. Inoltre ha direzione perpendicolare sia allasse di rotazione(direzione del vettore OA) che al vettore RA (applicare la regola della manodestra). Se indichiamo con bA la distanza di A da O, seguendo le indicazionisopradette, si ottiene OA RA = bA RA ej Aej2. Si ricorda che si stannoconsiderando le forze allistante in cui il riferimento del rotore passa per lo zero.Il prodotto vettorialeOA

RA un vettore; quindi denito da tre componen-ti. Per, dato che questo vettore non ha componente lungo lasse z per quantodetto, lo si rappresenta attraverso una notazione complessa (che esprime solodue componenti), in maniera tale che la parte reale del numero complesso bARA ej Aej2 sia la componente x diOA

RA e la parte immaginaria di bA RAej Aej2 sia la componente y di OA RA.Facendo lequilibrio delle forze inerziali e delle reazioni lungo x, y e lequi-librio ai momenti, si ottiene un sistema di due equazioni complesse.5.2. BILANCIAMENTO DINAMICO 63RA ej A+RB ej B+

imi2ri ej i= 0 (5.9)bA RA ej Aej2 +bB RB ej Bej2 +

imi2ri bi ej iej2 = 0Cio forze sbilancianti e reazioni devono equilibrarsi.Nota che la quantitej2 pu essere semplicata. Sono state introdotte le quantit: bA la distanzadel supporto A dallorigine del sistema, bB la distanza del supporto B dallo-rigine del sistema e bi la distanza della massa i-esima dallorigine lungo lassez.Posto in forma matriciale il sistema 5.9 fornisce_1 1bAbB_ _ RA ej ARB ej B_= ___

imi2ri ej i

imi2ri bi ej i___Elaborando la matrice si ottiene che le forze di reazione sono_ RA ej ARB ej B_= 1(bBbA)_bB1bA1____

imi2ri ej i

imi2ri bi ej i___(5.10)Dalla relazione sopra si vede come il contributo delle masse sbilancianti gen-era due reazioni vincolari che agiscono perpendicolarmente allasse di rotazionee ruotano in fase con il rotore.In realt le forze sbilancianti (cio la posizione delle masse sbilancianti) nonsono note e ci che si conosce sono semplicemente i valori misurati RA ed RBquando il riferimento del rotore passa per lorizzontale. Leq. 5.10 ha la solafunzione di mostrare che i contributi di molte masse sbilancianti hanno leettodi far generare ai supporti due sole forze rotanti nei punti A e B che agisconosul rotore per tenerlo in asse.Per come sono stati introdotti, RA ed RB sono i valori delle reazioni che iltelaio esercita sul rotore.Il problema del bilanciamento consiste nel leggere lereazioni vincolari ed inserire successivamente un sistema di masse in manieratale da annullare le reazioni vincolari stesse.Vista qual lorigine di RA ed RB si passa adesso a capire come eliminarle.Per eliminare lo sbilanciamento serve conoscere in particolare i moduli RA edRB e gli sfasamenti A ed B. Come nel caso statico si inseriscono due sensoridi misura nei supporti A e B. Questi sensori registrano la componente lungo y di

RA ed RB. Concentriamoci sul supporto A; per il supporto B valgono analogheconsiderazioni. In particolare, lampiezza del segnale misurato il valore RA,mente il segnale misurato (che pu venir indicato con RA0) quando il riferimento64 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORIpassa per lorizzontale RA0 = RA cos (A). Da questa ultima formula si ricavalo sfasamento A = arccos (RA0/RA).Per equilibrare il sistema, introduciamo due masse rispettivamente ad unadistanza b1 e b2 dal piano perpendicolare allasse di rotazione e passante perlorigine del sistema di riferimento. Le distanze b1 e b2 individuano quindi ipiani di equilibratura. Tali masse devono dare un contributo uguale alle reazionivincolari registrate nei supporti in maniera tale da compensarle. In altre parole,

RA ed RB sono le forze che il telaio deve esercitare sul rotore per mantener-lo in sede quando il rotore non bilanciato; si possono introdurre due massein maniera tale che abbiano lo stesso eetto sul rotore delle forze di reazione

RA ed RB. Infatti, se queste due masse producono le stese azioni lungo x elungo y delle RA ed RB, signica che il rotore, una volta bilanciato (cio unavolta inserite le masse) non scaricher pi alcuna forza sui supporti. Per cui,uguagliando le risultanti delle forze delle masse bilancianti e delle reazioni, siottiene (considerare come polo lorigine del sistema di riferimento)RA ej A+RB ej B= m12r1 ej 1+m22r2 ej 2bA RA ej Aej2 +bB RB ej Bej2 = m12r1 b1 ej 1ej2 +m22r2 b2 ej 2ej2Solitamente si ssano ad arbitrio i valori delle distanze dallasse di rotazionedelle due masse bilancianti, cio r1 ed r2. Le incognite del sistema sono m1,m2, 1 e 2.Poniamo il sistema in forma matriciale ed introduciamo le due incogniteausiliarie z1 = m1 ej 1e z2 = m2 ej 2_r1r2r1 b1r2 b2__ z1z2_ =12_RA ej A+RB ej BbA RA ej A+bB RB ej B_Il sistema risolvibile e fornisce la posizione angolare delle masse bilanciantie la loro distanza dal centro di rotazione._ z1z2_=12 (b2b1) r1 r2_r2 b2r2r1 b1r1__RA ej A+RB ej BbA RA ej A+bB RB ej B_Dai vettori calcolati si ottienem1 = |z1| , m2 = |z2|dato che z1 = m1 ej 1|z1| = m1__ej 1__ = m1. Per quanto riguarda leposizioni angolari rispetto a cui posizionare le masse sbilancianti basta osservareche Re (z1) = m1 cos (1) ed Im(z1) = m1 sin(1). Combinando le due relazionisi ottiene5.2. BILANCIAMENTO DINAMICO 651 = arctan2 (Im(z1) , Re (z1))2 = arctan2 (Im(z2) , Re (z2))Per avere unidea di come viene eettuato il bilanciamento in ambienteindustriale, dare unocchiata al seguente ?? .66 CAPITOLO 5. BILANCIAMENTO DI ROTORICapitolo 6Bilanciamento dimanovellismi centratiQuesto capitolo riguarda i metodi per ridurre le forze di reazione o parte diqueste che la manovella di un manovellismo centrato scarica a telaio. Ridurre leforze scaricate a telaio auspicabile: da una parte gli elementi costruttivi di cuisono costituite le coppie cinematiche sono meno sollecitati, dallaltra insorgonomeno vibrazioni dellintero meccanismo.Calcoliamo prima di tutto quali sono le forze di reazione. A B C rlIl meccanismo pi semplice che tratteremo costituito da una manovella,una biella ed un pattino. Il punto A solitamente chiamato perno di banco,il punto B perno di manovella o bottone di manovella ed il punto C piede dibiella. Esso pu essere semplicato introducendo delle masse concentrate inluogo dei corpi rigidi continui. Per quanto riguarda la manovella AB, di massamAB e momento dinerzia IAB (rispetto al baricentro della manovella) si opera6768 CAPITOLO 6. BILANCIAMENTO DI MANOVELLISMI CENTRATIin questa maniera. Si sostituisce la manovella con una manovella priva di massalungo il segmento AB e con due masse m1 ed m2 concentrate agli estremi, masseil cui valore da determinare . I valori di queste due masse vengono determinatiin maniera tale da lasciare inalterato il baricentro della manovella e la massatotale della manovella, perci deve valerem1a1 = m2 a2m1 +m2 = mABda cuim1 =a2a1 +a2mABm2 =a1a1 +a2mABdove a1 ed a2 sono le distanze delle masse (co dei punti A e B) dal baricentrodella manovella.Per quanto riguarda i ni dinamici, la nuova manovella non ha lo stessocomportamento di quella originale, in quanto non ha stesso momento dinerzia,ma lapprossimazione suciente per i nostri ni.La stessa schematizzazione pu essere fatta per la biella (la cui massa mBC)m3 =a4a3 +a4mBCm4 =a3a3 +a4mBCdove m3 la massa sostitutiva nel punto B ed m4 nel punto C. a3 ed a4 sonole distanze degli estremi della biella dal suo baricentro.In questa maniera, nel punto B del meccanismo equivalente c una massaconcentrata pari admB = m2 +m3e nel pattinomC = m4 +mPdove mP la massa del pattino.E necessario calcolare laccelerazione del piede di biella xC. Chiamiamo ladistanza r = AB edl = BC.Il moto del pistone dato daxC = r cos () +_l2r2 sin2() = (6.1)= r cos () +l_1 _rl_2sin2()69Lequazione pu essere approssimata considerando che, poich nella maggiorparte dei casi r ha valore di molto inferiore ad l, la quantit s =_rl_2sin2() molto piccola. Perci consideriamo la funzione f(s) =1 s. Linearizziamolanellintorno dellorigine (dove s piccolo). Si ottiene f(s) f(0) +dfdss=0s =1 12s. Applicando queste considerazioni alla 6.1, si ottiene (considerare an-che che cos2() sin2() = cos (2) _1 sin2()_ sin2() = cos (2)sin2() = (1/2) (1 cos (2))xC = r cos () +l_1 12_rl_2sin2()_== r cos () +l_1 12_rl_2_12 cos (2)2__= (6.2)= l r24l +r cos () + r24l cos (2) (6.3)Se indichiamo con = la velocit angolare della manovella e consideriamola velocit angolare costante, laccelerazione vale xC = 2r cos () 2r2lcos (2)Consideriamo ora i tre corpi come in gura e calcoliamo le reazioni vinco-lari. Supponiamo che la coppia sia applicata alla manovella (un esempio diapplicazione il compressore). Per semplicit si introduce lipotesi che al pi-stone non sia applicato nessun carico. Perci la coppia M produce un atto dimoto per cui la velocit angolare di manovella costante. Si trascurano le forzepeso.xRyRB Bx m & & B B y m & & C Cx m & & SM1R2R1R2R3R4R3R4R70 CAPITOLO 6. BILANCIAMENTO DI MANOVELLISMI CENTRATILe equazioni di equilibrio che si possono ricavare sono (nota che sono su-cienti 8 equazioni dato che ci sono 8 incognite)Rx +R1 = 0Ry +R2 = 0M +R2 r cos () R1 r sin() = 0R1 +R3mB xB = 0R2 +R4mB yB = 0R4l +R3r sin() = 0S R4 = 0R3mC xC = 0Lequazione ai momenti della manovella considera come polo il punto A,della biella invece il punto B.Nel ricavare la sesta equazione si applicata lipotesi che langolo che labiella forma con lasse di scorrimento sia piccolo in maniera tale da considerareil braccio rispetto al polo B della forza di reazione R4 circa pari ad l.La Rx si trova immediatamente (sfruttando in sequenza la prima, la quartae lottava)Rx = R1 = R3 +mB xB = mC xC +mB xBDalla sesta e la settima si haS = R4 = R3r sin()l= r sin()lmC xCInne, dalla seconda e dalla quinta (e sfruttando i risultati precedenti) si haRy = R2 = R4 +mB yB = r sin()lmC xC +mB yBPerci le forze di reazione che il telaio esercita sul meccanismo sono leseguenti rappresentate in guraACB Bx m & &B B y m & &C Cx m & &( )C Cx mlsin r& &( )C Cx mlsin r& &71Nota che mB xBed mB yB(si ricorda che queste forze sono le reazioniprodotte dal telaio sul perno di manovella) sono le componenti che produr-rebbe una massa mB nel punto B ruotando. Perci se si inserisce una ulterioremassa mu (calettata sulla manovella) sfasata di 180 rispetto alla posizione dimB si riesce ad eliminare completamente queste due componenti lungo x edy. Il valore della massa mu deve essere tale per cui il baricentro del sistemacomposto dalla massa mu ed mB stia nel punto A. Per cui la relazione seguentedeve essere soddisfattamB r = mu rudove ru la distanza di mu dal punto A.Le due forze di modulorsin()lmC xC producono una coppia sul telaio chein generale trascurabile rispetto alle forze che si scaricano a telaio nel puntoA.Vediamo nel seguito come annullare la forza mC xC. Essa si compone di duecontributimC xC = mC 2r cos () mC 2r2lcos (2) (6.4)Il primo contributo viene detto forza alternata del primo ordine; il secondoforza alternata del secondo ordine.Si ricorda che questa forza rappresenta la forza che il telaio esercita sulmeccanismo, perci la forza che il meccanismo esercita sul telaio va cambiata disegno.Un metodo per annullare la forza alternata del primo ordine consiste nel-lutilizzare due masse controrotanti alla velocit in maniera tale da produrreuna forza complessiva lungo lasse delle x in grado di bilanciare il valore mC2r cos () . A ( ) cos2r mC d dr m2d dr m2FORZA CHE IL MECCANISMO SCARICA SUL TELAIO 72 CAPITOLO 6. BILANCIAMENTO DI MANOVELLISMI CENTRATILa massa pi in alto ruota in senso antiorario; quella in basso in senso orario.Queste due masse, per poter compensare la forza devono avere una posizioneangolare pari a rispetto allorizzontale. In questo caso il contributo delle duemasse fornisce in modulo il valore2 md rd2cos ()Per equilibrare la forza orizzontale le due masse e le loro distanze dal centrodi rotazione devono soddisfare la sequente equazione2 md rd = mC rIn molti casi pratici la forza alternata del primo ordine viene eliminata nellacongurazione in cui si hanno pi cilindri in linea come nel caso che segue, senzaricorrere quindi alle due masse controrotanti.6.1 Congurazione tipica in un motore a 4 cilin-driConsideriamo un motore a 4 cilindri in linea in cui lalbero a gomiti piano (unalbero a gomiti detto piano quando i perni di manovella appartengono ad unpiano). Analizziamo le forze che il meccanismo scarica sul telaio. Generalmentele forza centrifuga rotante bilanciata dalla massa mu calettata sulla manovella(bilanciamento prodotto dalle maschette). Tras