apresentação circulo e circunferência
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Álgebra e Geometria
• Uma circunferência é formada por todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto do mesmo plano (centro) é sempre a mesma.
• Todo segmento que liga dois pontos da
circunferência e passa pelo centro é
chamado de diâmetro da
circunferência.
• O centro não faz parte da
circunferência.
• Todo segmento que liga um ponto da circunferência ao centro é chamado de raio da circunferência.
• Todo diâmetro mede o dobro
do raio.
• Todos os raios têm a mesma
medida de comprimento.
• Círculo é a região plana limitada por
uma circunferência.
Circunferência e círculo
A
B
D
O
1
Álgebra e GeometriaCircunferência, ângulo central, círculo e setor circular
CircunferênciaÂngulo central emuma circunferência
CírculoSetor circular
2
Álgebra e Geometria
Construção de polígonos regulares
Exemplo:
Vamos construir um pentágono regular:
360º 5
7–35 10
2º
–10
0
Divisão da circunferência em partes iguais
72º
3
Álgebra e Geometria
A reta u é externaà circunferência.
d > rr
A reta s é secanteà circunferência.
d < rr
A
B
A reta t é tangenteà circunferência.
d = rr
C
Posições relativas de uma reta e de uma circunferência
4
Álgebra e GeometriaPropriedades da tangente
1ª propriedade: Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência
rO
s
T
s é tangente à circunferência, então s é perpendicular a 𝑂𝑇
Álgebra e GeometriaPropriedades da tangente
Exemplo: Tendo como base a figura abaixo, calcular as medidas x, y e z, sendo a reta s tangente à circunferência no ponto A.
𝑥+ 𝑦+𝑧=180 °
90 °+50 °+ 𝑧=180°
𝑧=180 ° −90 ° −50 °
𝑧=40 °
Álgebra e GeometriaPropriedades da tangente
2ª propriedade: Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os segmentos , tangentes a essa circunferência nos pontos A e B, temos que são congruentes.
Álgebra e GeometriaPropriedades da tangente
Veja a figura:
Os triângulos PAO e PBO são congruentes pelo Caso Especial, já que:
(lado comum)
90
AO BO
OP OP
OAP OBP
Daí,
Álgebra e GeometriaPropriedades da tangente
Exemplo: Qual o valor de x na figura?
Aplicando a 2ª propriedade:
𝑚𝑒𝑑 (𝑃𝑅 )=𝑚𝑒𝑑 (𝑅𝐴 )=3 cm
𝑚𝑒𝑑 (𝑃𝑄 )=𝑚𝑒𝑑 (𝑄𝐵 )=2 cm
𝑥=𝑚𝑒𝑑 (𝑃𝑅 )+𝑚𝑒𝑑 ( 𝑃𝑄 )
𝑥=3 cm+2 cm
𝑥=5 cm
Álgebra e Geometria
Circunferência inscritano quadrado
Circunferência circunscritano hexágono
Circunferência inscrita e circunferência circunscrita a um polígono
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Álgebra e Geometria
O O O
O O O
P
O ponto P é pertencenteà circunferência
P
O ponto P é internoà circunferência
P
O ponto P é externoà circunferência
P
P pertenceà circunferência
r
d
P
P é interno
r
d
d = r d < r
Pr
d
P é externo
d > r
Posições relativas entre um ponto e uma circunferência
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Álgebra e Geometria
O1 ≡ O2C2
C1
r1
r2
r1 r2AO1 O2
d
O2O1
A
d
Tangentes externas:d = r1 + r2
Tangentes internas:d = r1 – r2, com r1 > r2
Circunferências com um só ponto comum
Circunferências concêntricas
Posições relativas de duas circunferências
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Álgebra e Geometria
O2O1
r1 – r2 < d < r1 + r2, com r1 ≥ r2
Circunferências com dois pontos comuns
Circunferências sem pontos comuns
A Br1 r2
dAB
d
O1 O2
A
B
r1r2
dO1
O2
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Externas: d > r1 + r2 Internas: d < r1 – r2, com r1 > r2
Álgebra e Geometria
Ângulo central
• O vértice O é o centro da circunferência.
Ângulos em uma circunferência
O
x
A
B
360º – x
• (laranja): arco de medida angular 360º – x.
• : ângulo central de medida x.
• Seus lados determinam dois raios da
circunferência ( e ).
• (em azul): arco de medida angular x.
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S
Álgebra e Geometria
Ângulo inscrito
• O vértice F é um ponto da circunferência.
F
E
G
• O arco correspondente não contém o vértice.
• Os lados determinam duas cordas na
circunferência ( e ).
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Álgebra e GeometriaRelação entre ângulo central e ângulo inscrito de mesmo arco
Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência têm omesmo arco correspondente, então a medida do ângulo central é o dobroda medida do ângulo inscrito.
Demonstração:
Logo, x = y + y ou x = 2y, como queríamos demonstrar.
A
O
y
Bx
C
é um diâmetro da circunferência.
é um ângulo central de arco e medida x.
é um ângulo inscrito também de arco emedida y.
Como é um ângulo externo do , sua medida x é igual à soma dasmedidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele (y + y).
O é isósceles, pois (raios). Logo,
também mede y.
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Álgebra e GeometriaÂngulos de segmento
Um ângulo com o vértice na circunferência, com um dos lados sobre uma tangente e o outro sobre uma secante, determinando uma corda, é chamado ângulo de segmento.
O
B
C
A
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