aproksymacja i interpolacja

Aproksymacja i interpolacja

PWSZ, Elbląg 2002

Elbąg, PWSZ 2002r. 2

Aproksymacja

Aproksymacja jest to przybliŜanie, zastępowanie jednych wielkości drugimi. Aproksymacja moŜe dotyczyć dowolnych wielkości matematycznych – liczb, funkcji, krzywych, obszarów, wektorów, macierzy. Zastępowanie danej wielkości inną obarczone jest pewnym błędem. Oszacowanie wielkości błędu pozwala na ocenę, czy dane przybliŜenie jest zadawalające, czy teŜ nie.

Niech poszukiwana jest krzywa dla zadanej liczby punktów:

jest opisana równaniem:

Aproksymacja stosowana jest wówczas, gdy ilość zadanych punktów mjest mniejsza od ilości nieznanych współczynników n krzywej F(x).

Zwykle nie moŜna przeprowadzić krzywej przez wszystkie punkty. Poszukiwana jest wówczas najbliŜsza krzywa w sensie minimum kwadratu bł ędu .

)(xFy =),( ii yx

)(...)()()( 2211 xfcxfcxfcxF nn+++=


Regresja liniowa

Najbardziej podstawową i najprostszą metodą aproksymacji średniokwadratowej jest aproksymacja funkcją liniową czyli regresja liniowa. Wówczas:

Pozostałe funkcje:

Dla kolejnych punktów otrzymujemy:

1)(,)( 21 == xfxxf

1)( =xf j

=

=+

=+=+

mmmmn

y

y

y

c

c

x

x

x

ycxc

ycxc

ycxc

ΜΜΜ

2

1

2

12

1

2

2221

1211

1

1

1

lub


Regresja liniowa

co moŜna zapisać w postaci macierzowej Ac=y. Równanie to dla m>n nie ma dokładnego rozwiązania, stąd:

gdzie: r – wektor pionowych odległości pomiędzy poszukiwaną krzywą a zadanymi punktami. Szukane jest takie rozwiązanie, dla którego:

lub macierzowo osiąga minimum.

Stąd:

Acyr −=

∑=

m

iir

1

2 rrT

( ) ( )

AcAcAcyyy

AcAcyAcAcyyy

AcyAcyrr

TTTT

TTTTTT

TT

+−=+−−=

−−=

2


Regresja liniowa

Iloczyn ten osiągnie minimum jeśli:

stąd:

PowyŜsze równanie nazywane jest równaniem aproksymacji .

( ) 00 =+−→= AcAyArrdc

d TTT

( ) yAcAA TT =


Regresja liniowa

Przykład 1:Wyznaczenie prostej aproksymującej punkty o współrzędnych (1,1), (2,2), (4,2), (5,3):

x=[1 2 4 5]; y=[1 2 2 3];

x=x'; y=y';

A=[x ones(size(x))];

c=(A'*A)\(A'*y)

ya=c(1)*x+c(2)

plot(x,y,'o',x,ya,'-')

grid on

xlabel('x')

ylabel('y=F(x)')1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

x

y=F

(x)


Regresja liniowa

W programie MATLAB dzielenie lewostronne jest równoznaczne operacji:

y=A\y=(A’*A)\(A’*y)

JeŜeli macierz A ma wymiar m x n, gdzie m>n program MATLABrozwiązuje zagadnienie regresji liniowej (znajduje współczynniki linii prostej).

Przykład 2:Przedstawione poniŜej polecenia realizują aproksymację funkcją liniową. Wygenerowane dane umieszczono w wektorach kolumnowych x i y . Przy generowaniu danych uŜyto funkcję r and generująca liczby pseudolosowe o rozkładzie normalnym o zadanej wartości średniej i wariancji. Dane generowane są w pętli, w kaŜdym jej kroku zwiększa się średniągenerowanych liczb.


Regresja liniowa

%% Przygotowanie danych do obliczen

clear

x=[0.1:0.1:10]';

[m,n]=size(x);

for i=1:m

y(i,1)=i*0.1*rand(1,1);

end

plot(x,y,'.');

%% poszukiwanie funkcji y=ax

%% najlepiej w sensie sumy kwadratów

%% przyblizajace te dane

a=x\y;

plot(x,y,x,a*x);

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Regresja liniowa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Aproksymacja

Równanie aproksymacji:

jest prawdziwe dla dowolnej funkcji aproksymacji:

gdzie: - nieznane współczynniki, - funkcje bazowe, zaśmacierze A, c i y:

( ) yAcAA TT =

)(...)()()( 2211 xfcxfcxfcxF nn+++=

jc ( )xf j

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

=

=

mnmnmm

n

n

y

y

y

y

c

c

c

c

xfxfxf

xfxfxf

xfxfxf

AΜΜ

ΚΜ

ΚΚ

2

1

2

1

21

22221

11211

,,


Aproksymacja

Przykład 3:Dla zadanego zbioru punktów poszukiwana jest funkcja aproksymująca:

x=[0.955 1.380 1.854 2.093 2.674 3.006 3.255]';

y=[5.722 4.812 4.727 4.850 5.011 5.253 5.253]';

A=[1./x x]; %przygotowanie macierzy A

c=(A'*A)\(A'*y)

%funkcja linspace generuje wektor%wierszowy o elementach równoodleglych

%w zadanym zakresie

xa=linspace(min(x),max(x),100);

xa=xa';

Aa=[1./xa xa]; ya=Aa*c;

xcx

cy 2

1 +=


Aproksymacja

plot(x,y,'o',xa,ya,'-');

xlabel('x'); ylabel('y=F(x)');

legend('dane','aproksymacja')

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

5

5.5

6

x

y=F

(x)

daneaproksymacja


Aproksymacja wielomianem

Aproksymacja funkcją liniową moŜe okazać się nie wystarczająca wówczas, gdy między danymi występuje bardziej złoŜona zaleŜność. Stosuje się wówczas zazwyczaj aproksymacj ę wielomianem :

którą w programie MATLAB moŜna zrealizować przy pomocy funkcjipolyfit :

a=polyfit(x,y,r)

dla danych wektorów x i y wyznaczającej współczynniki wielomianu stopnia r przybliŜającego najlepiej w sensie średniokwadratowym zaleŜność między serią danych x a y .

( ) 011

1 ... axaxaxaxW rr

rr ++++= −

−


Aproksymacja wielomianemPrzykład 4:Przedstawione poniŜej polecenia generują dane losowe, a następnie przybliŜają zaleŜność pomiędzy nimi wielomianami stopni od 1 do 10:

clear

close all

x=[0.1:0.1:10]';

[m,n]=size(x);for i=1:m

y(i,1)=(sin(0.05*i)+2*cos(0.08*i))*rand(1,1);

end

d=1

for N=1:d:10figure(N)

a=polyfit(x,y,N);

ya(:,N/d)=polyval(a,x);

plot(x,y,'.',x,ya);

end


Aproksymacja wielomianem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5


Interpolacja

Interpolacja polega na poszukiwaniu funkcji pomiędzy znanymi punktami (podobnie jak aproksymacja). W odróŜnieniu jednak od aproksymacji funkcja ta przechodzi przez te punkty. JeŜeli poszukiwana jest funkcja poza zakresem zadanych punktów mamy do czynienia z ekstrapolacj ą.

Wybrane metody interpolacji:1) interpolacja wielomianem:

2) interpolacja wielomianem Lagrange’a:

3) interpolacja wielomianem Newtona:

( ) nnnn

n cxcxcxcxP ++++= −−−

− 12

21

11 Κ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∏≠=

− −−=+++=

n

jkk kj

kjnnn xx

xxxLgdziexLyxLyxLyxP

,122111 ,Κ

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )nnn xxxxxxcxcxxcxxccxP −−−++−−+−+=− ΛΚ 212131211


Interpolacja


Interpolacja

Interpolacja wielomianami sklejanymiW interpolacji wielomianami sklejanymi zamiast stosowania jednego wielomianu dla wszystkich danych punktów stosowane jest wiele wielomianów niskiego poziomu dla danego przedziału danych:

Punkty łączenia wielomianów nazywamy węzłami . We węzłach sprawdzane są warunki ci ągłości (np. ciągłość pochodnych).

( )xPi

1+≤≤ ii xxx


Interpolacja

Interpolacja kawałkami liniowa

Przykład 5:x1=linspace(0,2*pi,100);x2=linspace(0,2*pi,6);

plot(x1,sin(x1),x2,sin(x2))

grid onxlabel('x')

ylabel('plot(x,sin(x)')

legend('x=linspace(0,2*pi,100)',...

'x=linspace(0,2*pi,6)')

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

plot

(x,s

in(x

)

x=linspace(0,2*pi,100)x=linspace(0,2*pi,6)


Interpolacja

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

plot

(x,s

in(x

)

x=linspace(0,2*pi,100)x=linspace(0,2*pi,6)


Interpolacja

Interpolacja kawałkami sze ścienna – Hermite’a

gdzie: są poszukiwanymi współczynnikami, dla których sąspełnione we węzłach następujące warunki:1) ciągłości:

2) znane są wartości pierwszej pochodnej i jej ciągłość:

Interpolacja kawałkami sze ścienna – splajnyMetoda ta w odróŜnieniu od interpolacji Hermite’a nie wymaga znajomości pochodnych we wszystkich punktach węzłowych, muszą być jednak spełnione następujące warunki:

( ) ( ) ( ) ( )32iiiiiiii xxdxxcxxbaxP −+−+−+=

iiii dcba ,,,

( ) ( )iiii xPxP =−1

( ) ( )iiii xPxP ′=′−1


Interpolacja

1) ciągłość drugiej pochodnej:

2) pierwsze pochodne (nachylenia krzywej) muszą być znane na końcachprzedziału

- ustalone nachylenie:

- naturalne nachylenie:

- nachylenie nieznane:

( ) ( )iiii xPxP ′′=′′−1

( ) ( )nn xPxP ′′ ,11

( ) ( ) ,2,111 stxPstxP nn =′=′

( ) ( ) ,011 =′′=′′ nn xPxP

( ) ( ) ( ) ( )22212221 xPxPixPxP ′′′=′′′′′′=′′′


Interpolacja

Program MATLAB realizuje interpolację za pomocą następujących metod:1) interpolacja kawałkami liniowa i sześcienna,2) interpolacja za pomocą funkcji sklejanych.

Funkcja interp1 :

yi=interp1(x, y, x1, ‘metoda’)

Funkcja interp1 umoŜliwia wykonanie interpolacji funkcji jednej zmiennej w punktach określonych wektorem xi . Węzły interpolacji określone sąparametrami x i y . Parametr ‘ metoda ’ umoŜliwia wybór metody interpolacji:1) ‘linear’ – interpolacja funkcją łamaną (kawałkami liniowa),2) ‘spline’ – interpolacja funkcjami sklejanymi trzeciego stopnia,3) ‘cubic’ – interpolacja wielomianami trzeciego stopnia (kawałkami

sześcienna),


Interpolacja

Elementy wektora x muszą tworzyć ciąg rosnący, dodatkowo w przypadku interpolacji wielomianami trzeciego stopnia przyrosty wartości elementów wektora x muszą być sobie równe.

Przykład 6:Interpolacja róŜnymi metodami:

x=0:20; y=sin(x)+sin(2*x);

xi=0:0.2:20;

yi=interp1(x,y,xi,'linear');

plot(x,y,'o',xi,yi,xi,sin(xi)+sin(2*xi));

xlabel('x');

ylabel('y');

title('Interpolacja kawalkami liniowa')


Interpolacja

figure(2)

yi=interp1(x,y,xi,'cubic');


xlabel('x');

ylabel('y');

title('Interpolacja kawalkami szescienna')

figure(3)

yi=interp1(x,y,xi,'spline');


xlabel('x');

ylabel('y');

title('Interpolacja funkcjami sklejanymi')


Interpolacja

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

Interpolacja kawalkami liniowa


Interpolacja

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

Interpolacja kawalkami szescienna


Interpolacja

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Dziękuję za uwagę

aproksymacja i interpolacja

Documents