apunte estadística

Universidad Tcnica Federico Santa Mara Renato Allende Olivares Departamento de Matemtica Humberto Villalobos Torres

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ANEXO E: INFERENCIA ESTADSTICA

INTRODUCCIN Un aspecto fundamental dentro de la inferencia estadstica, es el que denominamos Prueba de Hiptesis, tambin llamado: Contraste de Hiptesis o Dcima de Hiptesis. En la actualidad, los socilogos, han llegado a denominar a esta poca, como la sociedad del riesgo . Constantemente debemos estar decidiendo entre posibilidades excluyentes, y por lo tanto, asumiendo el riesgo de nuestra decisin, por ejemplo, para la compra de un activo, debemos resolver cul activo adquirir dentro de un conjunto de posibilidades, para posteriormente, decidir cul mtodo de depresin utilizar sobre ste. Estas decisiones implicarn consecuencias a futuro que pueden llevar a un ascenso despido. Este riesgo en la mayora de los casos es completamente subjetivo e imposible de cuantificar con exactitud, en particular en decisiones intimas, existenciales, cmo medir dicho riesgo?. No hay respuesta nica y concluyente para ello. Por lo general, la decisin a tomar es entre un conjunto de resultados, tambin llamados estados de la naturaleza, desconocidos para el decidor, sin embargo, aunque existen tcnicas para la solucin de estos problemas, por el momento, las tcnicas de Pruebas de Hiptesis que estudiaremos estarn limitadas a slo dos estados de la naturaleza posible, que como ya se dijo, son mutuamente excluyentes, es decir, ocurre el estado A o no ocurre (donde ocurrira el estado B). El problema de la toma de decisiones, es a menudo una realidad en la empresa, donde generalmente se enfrentan a la necesidad de tomar decisiones, casi en tiempo real, aunque su necesidad es en tiempo real, lo cual dificulta un proceso acabado para el anlisis y toma de decisiones, sin embargo, no con mucho esfuerzo adicional, estas decisiones pueden estar avaladas por procedimientos estadsticos de muy buen nivel. El desarrollo y anlisis de una prueba de hiptesis siguen un procedimiento similar al utilizado en Intervalos de Confianza. La diferencia puntual entre la prueba de hiptesis e intervalos de confianza, est dada porque en intervalos de confianza, se desconoce informacin con respecto a la caracterstica de inters medible de la poblacin (es decir, un parmetro), la cual se desea estimar (puntual o por intervalo) por algn mtodo basndose en una muestra aleatoria y/o otra informacin si es que el mtodo lo requiere. Sin embargo, en prueba de hiptesis, existe una conjetura con respecto a la caracterstica de inters medible de la poblacin, que se prueba a travs


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de los resultados obtenidos de una muestra aleatoria de la poblacin en estudio, en la cual se aceptar no se aceptar el estado A. Hasta el momento hemos establecido que realizaremos pruebas de hiptesis, para dos estados de la naturaleza, sin establecer diferencia entre estos dos estados. Ahora le asignaremos nombres a estos estados, basados en la conjetura que realizamos acerca de la poblacin (aunque no es una ley). Esto es, la conjetura o suposicin, que realizamos acerca de la poblacin la denominaremos como Hiptesis Alternativa (que se simboliza por H1), siendo el otro estado de la naturaleza, una Hiptesis Nula (que se simboliza por H0). Como claramente se puede advertir, al tomar una decisin entre dos estados de la naturaleza mutuamente excluyentes, existe la posibilidad de equivocarse en la decisin adoptada. Estas equivocaciones pueden ocurrir de dos maneras, tal como se plantea en la Figura 1.

Estado Real de la Naturaleza

H0 es Verdadera H0 es Falsa

No se Rechaza H0 Decisin Correcta Error Tipo II

Dec

isi

n

Se Rechaza H0 Error Tipo I Decisin Correcta

F i g u r a 1 : T i p o s d e E r r o r e s e n t r e d o s d e c i s i o n e s e x c l u y e n t e s . Como se puede apreciar en la Figura 1, en la toma de una decisin entre dos posibilidades excluyentes, se pueden cometer dos tipo de errores. Error Tipo I : Este error se comete al rechazar la hiptesis nula, cuando

corresponde aceptarla por ser sta Verdadera. Este error es conocido simblicamente por: !, y denominado nivel de significacin.

Error Tipo II : Este error se comete al no ser rechazada la hiptesis nula, cuando

corresponde rechazarla por ser sta Falsa. Este error es conocido simblicamente por: ".

El trmino !, es decir, el error tipo I, es el mismo que utilizaba en intervalos de confianza para determinar, disculpando de redundancia, la confianza del intervalo. Este trmino juega un rol fundamental en la prueba de hiptesis, pues es ste, el error que el experimentador controla y puede manejar. Adems desde el punto de vista de la experiencia es supuestamente el menos daino (aunque esto suele ser discutible, pues es cuestin de percepcin). Supongamos por ejemplo, el hecho de una persona que se encuentra en juicio, La hiptesis del juez es que la persona es


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inocente, al menos que exista suficiente evidencia, como para pensar que la persona es culpable. Por lo tanto se tiene que la persona es inocente, es la hiptesis nula; mientras que la persona es culpable, representa la hiptesis alternativa. Por tanto, el error tipo I, representa rechazar que la persona es inocente, cuando realmente lo es, lo cual implica crcel para un inocente; mientras el error tipo II, representa no rechazar que la persona es inocente cuando este es culpable, lo cual implica libertad para un culpable. Es decir, es preferible dejar libre a un culpable, que mandar a la crcel a un inocente. El no rechazo de una hiptesis, implica tan slo, que los datos no proporcionan evidencia suficiente para refutarla. Por otro lado, el rechazo de dicha hiptesis, implica que la evidencia que presenta la muestra es suficiente como para rechazarla. Sin embargo, el rechazo de la hiptesis, no implica necesariamente que sta sea falsa, si no que existe una alta probabilidad de que esa hiptesis sea falsa. Visto lo anterior desde el punto de vista de la hiptesis nula y alternativa, se deben tener claros ciertos conceptos. Como por ejemplo: el rechazo de la hiptesis nula cuando en realidad sta es verdadera, es cuantificable probabilsticamente, a travs del error tipo I, que se puede simbolizar esta probabilidad a travs de !. Sin embargo, el no rechazo de la hiptesis nula cuando sta es falsa, tambin llamada error tipo II, no es posible cuantificar, al menos que se conozca un valor especifico de la hiptesis alternativa, situacin que es por lo general difcil de tener, pues la conjetura o suposicin tiende a ser abierta (muchas posibilidades). Ante esta situacin, se pueden generar curvas para que permitan establecer el error tipo II, para distintas posibilidades que se presente en la hiptesis alternativa. Una funcin del error tipo II, cuyo fundamento parece ser ms aceptado, es el que entrega la funcin de potencia, que se define a continuacin: Funcin de Potencia : La funcin de potencia de una prueba, es la probabilidad de

rechazar la hiptesis nula dado que la alternativa es la correcta. Para los posibles valores de la hiptesis alternativa.

Cuando se toma un punto especfico de la hiptesis alternativa, ya no se habla de funcin de potencia, sino de la potencia de la prueba. A continuacin se muestra la relacin entre la funcin de potencia y el error tipo II. Funcin de potencia 1()) = 1 " = 1 [No rechazar H0 / H0 es Falsa] = 1 {1 - [Rechazar H0 / H0 es Falsa]} = 1 1 + [Rechazar H0 / H0 es Falsa] = [Rechazar H0 / H0 es Falsa] = [Rechazar H0 / H1 es Verdadera]


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La forma que tomar la funcin de potencia de la prueba depender especficamente de cmo este expresada la hiptesis alternativa de la prueba. De ser esta ltima especfica, deja de ser funcin y se convierte en un valor de fcil clculo. La aplicacin que analizremos en el futuro se basa en que la muestra aleatoria proviene de una Distribucin Normal, en otro caso, de debe tener una muestra lo suficientemente grande (n > 30) como para poder aplicar el Teorema de Lmite Central, y poder aplicar la teora normal sobre alguna serie especfica (media, varianza, Coeficiente de simetra, etc.) Bajo esta expectativa, se tiene que la distribucin del promedio, bajo la suposicin de la hiptesis nula se encuentra modelada por un Distribucin Normal, que para un ! dado, bajo el proceso de estandarizacin es sencillo obtener el punto que permite que al rea bajo la curva desde este punto a infinito sea !, como se muestra a continuacin:

La figura anterior, muestra el rea correspondiente a !, es decir, la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando est es correcta. El trasfondo es que el rechazo de esta hiptesis, es que se est aceptado la hiptesis alternativa, razn por la cul la hiptesis alternativa juega un rol fundamental, que es el de definir la regin de rechazo, es decir, se rechazar la hiptesis nula cuando la alternativa diga que mayor (caso de la figura anterior); menor, en donde ! estar en la parte inferior de la cola; distinto, en donde ! estar dividido en partes iguales en la cola inferior y superior. Supongamos, el hecho de hiptesis alternativa fija respecto a una media poblacional, es decir, la hiptesis nula nos dice que la media (.) es igual al punto .0, mientras que la hiptesis alternativa nos dice que la media (.) es igual al punto .1, donde, es decir:

H0 : . = .0 v/s H1 : . = .1 (.0 < .1)


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Como se puede apreciar, al especificar la hiptesis alternativa, es posible determinar el error tipo II, por lo tanto tambin es posible disminuir este error, con la consecuencia de un aumento del error tipo I, como se muestran en las siguientes figuras:

Lamentablemente plantear una hiptesis alternativa especfica (tambin conocida como simple), no es comn, habitualmente esta hiptesis es abierta (tambin conocida como compuesta), la cul entrega infinitas posibilidades distribucionales (normales) para esta alternativa, es as como si se piensa que la media poblacional de cierto proceso es mayor que .0, las hiptesis a contrastar estn dadas por:

H0 : . = .0 v/s H1 : . > .0

En este ltimo caso ya no es posible determinar el error tipo II, situacin que se presenta en la prctica, pues ste depende la cada una de las infinitas


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distribuciones bajo la hiptesis alternativa, es entonces donde la funcin de potencia juega un rol fundamental, pues se determina el error tipo II para distintas posibilidades bajo la hiptesis alternativa, para luego graficar estos puntos y obtener un funcin suave, que permite determinar la potencia de la prueba, en distintas posibilidades de la hiptesis alternativa. Observar que la potencia el la probabilidad de un acierto, por lo tanto se querr que sta sea siempre lo ms cercana a uno posible. De manera similar si se piensa que la media poblacional de cierto proceso es menor que .0, las hiptesis a contrastar estn dadas por:

H0 : . = .0 v/s H1 : . < .0

Como se muestra en la siguiente figura, tambin es posible querer probar hiptesis nula cuando la alterativa es simplemente distinta a la opcin de la hiptesis nula. Este es un caso especial, pues la igualdad que se encuentra en la hiptesis nula, se contrasta con el total desconocimiento de la alternativa, es decir, esta ltima puede ser mayor o menor, a priori a los resultados muestrales, lo cual entrega distribuciones


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bajo la hiptesis alternativa que son mayores a la propuesta bajo la hiptesis nula como menores a sta,: Ejemplo 1 : En un problema relacionado con las ventas de una compaa, se piensa

que esta cubre el 40% de la demanda de un producto en cierta rea. Se considera razonable la suposicin a menos que en una muestra de 18 consumidores elegidos aleatoriamente, se tenga que:

eW. {x X / X 3 X 12}, donde

X : N de consumidores que compran a la compaa.

Plantee las hiptesis de acuerdo al problema y determine el error tipo I, para la regin crtica establecida.

X B(18, p) H0 : p = 0,4 v/s H1 : p 0,4 Error tipo I = [ Rechazar H0 / H0 es Verdadera] = [ X 3 X 12 / p = 0,4] = [ X 3 / p = 0,4] + [ X 12 / p = 0,4] = [ X 3 / p = 0,4] + 1 [ X < 12 / p = 0,4] = [ X 3 / p = 0,4] + 1 [ X 11 / p = 0,4] = 0,033 + 1 0,98 = 0,053 Luego, basndonos en la regla de decisin establecida, la probabilidad de rechazar la hiptesis nula con respecto a que la proporcin de consumidores que adquiere el producto de la compaa sea del 40%, cuando en realidad esta proporcin es distinta al 40%, es del 0,053. Determine un valor para el error tipo II, en algn valor de p elegido por Ud. donde p es la proporcin de consumidores que adquiere los productos de la compaa. Entonces, supongamos que p = 0,8 para el clculo de algn valor de " Error tipo II = [ No rechazar H0 / H0 es Falsa] = 1 [ Rechazar H0 / H0 es Falsa] = 1 [ X 3 X 12 / p = 0,8] = 1 [[ X 3 / p = 0,8] + [ X 12 / p = 0,8]] = 1 [ X 3 / p = 0,8] [ X 12 / p = 0,8] = 1 [ X 3 / p = 0,8] [1 [ X < 12 / p = 0,8]] = 1 [ X 3 / p = 0,8] 1 + [ X 11 / p = 0,8] = [ X 11 / p = 0,8] [ X 3 / p = 0,8] = 0,051 0,000 = 0,051


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Luego se va a estar aceptando la conjetura con respecto a la proporcin de consumidores que adquiere los productos de la compaa, cuando en realidad es falsa 5,1% de las veces. Grafique aproximadamente la funcin de potencia para al menos 5 valores de p, para la grfica de la curva de potencia se considerarn los valores de p dados en la Tabla 1: Considerando que la funcin de potencia est dad por:

C (p) = 1 " = 1 [ No rechazar H0 / H0 es Falsa] = 1 + [ X 3 / p = )] [ X 11 / p = )]

Luego:

p C (p) 0.9 0.999 0.8 0.949 0.6 0.375 0.4 0.053 0.1 0.902

p

C (p)

0,4

0.053


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En el caso anterior, la regla de decisin utilizada para el rechazo ( no rechazo) de la hiptesis nula, se haba entregado, situacin arbitraria y no comn. En adelante deduciremos buenas reglas de decisin sobre la base del conocimiento establecido en intervalos de confianza. Particularmente, las cantidades pivotales utilizadas en intervalos de confianza, juegan un rol fundamental en prueba de hiptesis, pues de stas se deducirn las reglas de decisin, siempre pensando en el caso de variables modeladas por una distribucin normal, o tamaos de muestra lo suficientemente grandes para utilizar el Teorema del Lmite Central. Supongamos, que se establece un mximo error de tipo I, !, para una hiptesis nula establecida, entonces el punto c, es el punto crtico a establecer, con el cual se rechazara la hiptesis nula cuando esta el verdadera sobre la base de resultados muestrales. Como se sabe, el mejor estimador de . es X , cuando se esta bajo la teora normal clsica, por lo tanto, cada vez que se encuentre un x mayor de c, se rechazar la hiptesis nula. Como resulta tradicional, cuando se est bajo una distribucin normal, lo usual es la estandarizacin, donde, se puede observar, que el punto c, ahora es un punto conocido, como se muestra en la figura siguiente, cuando las hiptesis a contrastar son las siguientes:

H0 : . = .0 v/s H1 : . > .0

Por lo tanto la regla de decisin para el rechazo de la hiptesis nula estara dada por:

eW:{ X / n

0 X > Z1 !} eW:{ X / X > Z1 ! n

+ .0} Con lo que se puede concluir, que para una muestra aleatoria, donde se

obtenga un promedio mayor que el punto Z1 ! n + .0, entonces se rechazar la

hiptesis nula.


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APLICACIN 7.17: Rendimiento de neumticos probados por una empresa lder. Los datos siguientes corresponden a una investigacin realizada por una empresa internacional, lder en la fabricacin de neumticos, en la cual se mide la duracin, en miles de kilmetros [MKM], de 51 neumticos del Tipo A y 101 neumticos del Tipo B. Los resultados obtenidos fueron:

Duracin Tipo A Tipo B 22,15 - 23,85 1 7 23,85 - 25,65 3 12 25,65 - 27,45 13 41 27,45 - 29,25 19 26 29,25 - 31,05 15 15

Definiendo claramente las variables, y supuestos pruebe si es posible suponer que la duracin media de los neumticos, en ambas marcas, es superior a 26,5 [MKM], con un 5% de significancia. X : Duracin de neumticos [MKM] en tiendas distribuidoras del tipo A. Y : Duracin de neumticos [MKM] en tiendas distribuidoras del tipo B.

Supuestos: X N ( x , 2x ) Y N ( y , 2y )

Datos: x = 28,10 [MKM] 2xs = 3,26 [MKM]2 xn = 51

y = 27,09 [MKM] 2ys = 3,63 [MKM]2 yn = 101

H0 : x = 26,5 v/s H1 : x > 26,5

e.W. : { X / X > z 1 - 2x

x

sn

+ ( x )H0}}

e.W. : { X / X > 1,645 2 3, 2651

+ 26,5} { X / X > 26,92} Se rechaza H0. Existe evidencia muestral suficiente como para suponer que la duracin media de los neumticos de la marca A es superior a 26,5 [MKM], con un 5% de significancia. H0 : y = 26,5 v/s H1 : y > 26,5

e.W. : { Y / Y > z 1 - 2y

y

sn

+ ( y )H0}}

e.W. : { Y / Y > 1,645 2 3,63101

+ 26,5} { Y / Y > 26,81}


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Se rechaza H0. Existe evidencia muestral suficiente como para suponer que la duracin media de los neumticos de la marca B es superior a 26,5 [MKM], con un 5% de significancia. Es posible suponer que la variabilidad en la duracin del neumtico Tipo A, medida a travs de la varianza, es inferior a 5 [MKM]2, con un 10% de significancia?. H0 :

2x = 5 v/s H1 : 2x < 5

eW : { 2xS / 2xS < Z0,10 Bajo Ho

421

xn +

2x Bajo H0}

eW : { 2xS / 2xS < Z0,10 22 5

50 + 2x Bajo H0}

eW : { 2xS / 2xS < 1,2815 1,00 + 5} { 2xS / 2xS < 3,718}

Se rechaza H0. Existe evidencia muestral suficiente como para suponer que la variabilidad en la duracin del neumtico Tipo A, medida a travs de la varianza, es inferior a 5 [MKM]2, con un 10% de significancia. Existe evidencia muestral suficiente como para suponer que en los neumticos Tipo B, la proporcin de veces que la duracin de un neumtico es superior a 29,25 [MKM], es de a lo menos un 10%, con un 4% de significancia?. S2 : N de distribuidoras tipo B cuyas ventas fueron superiores a 29,25 [$MUS]. Supuestos: X b (101, p2) H0 : p2 = 0,1 v/s H1 : p2 > 0,1

e.W. : { 2p / 2p > z1 - 0

1 12

H

p (1 p )101 + (p2)H0}}

e.W. : { 2p / 2p > 1,75 20,1 0,9

101 + 0,1} { 2p / 2p > 0,1522}

Considerando que 2p = 0,1485, no se rechaza H0. Existe evidencia muestral suficiente como para suponer que en los neumticos de la marca Tipo B, la proporcin de veces en que la duracin de un neumtico es superior a 29,25 [MKM], es de a lo menos un 10%, con un 4% de significancia.


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APLICACIN 7.18: Lmites de velocidad en una Comuna. Un estudio en una carretera de una comuna de particular importancia, se llev a cabo para fijar el lmite de velocidad de sta. El Ingeniero de Transporte, conocedor de los procedimientos estadsticos, tom una muestra de 15 vehculos, a los cuales se registro su velocidad en su paso por la carretera [kmts/hora]. Los datos fueron los siguientes:

88,8 84,9 91,0 95,1 94,8 81,3 96,9 86,1 94,4 85,7 87,2 83,2 82,6 89,1 86,9

El Ingeniero de Transporte cree que la verdadera velocidad media con la que los vehculos pasan por la carretera es inferior a 90 [kmts/hora]. Apoyan los datos muestrales est afirmacin con un 5% de significancia?. X : Velocidad con la que pasan los vehculos por la carretera [Kmts/hr]. Supuestos: X N(., 52) Datos: x = 88,53 [Kmts/hr] s = 4,93 [Kmts/hr] n = 15 H0 : . = 90 [Kmts/hr] v/s H1 : . < 90 [Kmts/hr]

e.W. : { X / X < 1 ( 1) snn

t + H0}

e.W. : { X / X < 0,954,93 (14)

15t + 90}

e.W. : { X / X < 1,761 4,9315

+ 90} { X / X < 87,76} Considerando que x = 88,53, no se rechaza H0. No Existe evidencia muestral suficiente como para suponer que la verdadera velocidad media con la que los vehculos pasan por la carretera es inferior a 90 [Kmts/hr]. Contextualice el error tipo II en este problema y determine la probabilidad de cometer este error, cuando la verdadera velocidad media con la que los vehculos pasan por la carretera es de 88,88 [kmts/hora]?. Contextualizacin: Aceptar que la velocidad media es de 90 [Kmts/hr] cuando en

realidad es menor que 90 [Kmts/hr].

[No Rechazar H0/ H1 es Verdadera] = [ X 87,76 / . = 88,88]

= X 88,88 87,76 88,884,93/ 15 4,93/ 15

= 1 [T14 -0,877] [T14 0,877] = 0,8.


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APLICACIN 7.19: Consumo de marihuana, riesgo social. Hace solo 10 aos atrs, el consumo de marihuana por comuna en riesgo social en una ciudad era de a lo ms de 15% en promedio. Sin embargo, en los ltimos aos y a pesar de todos los programas de mejoramiento psicosocial, y el acceso que la poblacin tiene a ellos, se cree que el consumo medio ya ha superado ese valor. Suponga que se extrajo una muestra aleatoria de 9 comunas de esta poblacin, y se determin que el consumo medio de marihuana de los habitantes de esta poblacin es del 18[%], con una varianza del 25[%]2. Definiendo las variables y supuestos asociados al problema: Establece hiptesis adecuadas y pruebe el supuesto acerca del consumo de marihuana utilizando un nivel de significacin del 5%.

X: Porcentaje de la comuna que consume marihuana. X N(; 2)

H0 : = 15 v/s H1 : > 15

eW : { X / X > t0,95 (8) 53

+ 15} (t0,95 (8) = 1,86)

eW : { X / X > 18,1[%]} Considerando que x = 18,0, no se rechaza H0. No Existe evidencia muestral suficiente como para suponer que el consumo medio de marihuana por comuna en riesgo social en una ciudad es mayor al 15% [%]. Si el consumo medio actual en realidad hubiera aumentado slo en 2,663[%]. Cul es la probabilidad de cometer un error de tipo 2?. = [No rechazar H0/ H1 es Verdadera]

= [ X 18,1]= X 17,663 18,1 17,6639 95 5

= [T8 0,2622] 0,6000 Es posible suponer que la varianza en la proporcin de consumo de marihuana en las comunas es mayor al 20[%]2 con un 10% de significancia?.

H0 : 2 = 20 v/s H1 : 2 > 20

eW : { 2S / 2S > 20,9 (8) 208 } ( 20,9 (8) = 13,36)

eW : { 2S / 2S > 33,4[%]2} No se Rechaza H0. Considerando que s2 = 25, no se rechaza H0. No Existe evidencia muestral suficiente como para suponer que la varianza en la proporcin de consumo de marihuana en las comunas es mayor al 20[%]2.

apunte estadística

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