apunte resumen

7/21/2019 Apunte Resumen

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ndice general

1. Funciones Vectoriales 51.1. El EspacioRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Funciones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Operaciones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Lmites, derivadas e integrales. . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2.1. Teoremas bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Curvas y Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Longitud de arco y reparametrizacin de una curva. . . . . . . 141.5. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2. El vector aceleracin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.3. *Ecuaciones de Frenet para una curva plana. . . . . . . 21

2. Campos Escalares en R2 y R3 242.1. Grfica dez = f(x, y). Curvas y superficies de nivel. . . . . . . 24

2.1.1. Superficies cudricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Lmites y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2. Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3. El plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.4. El concepto de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4. La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.1. El vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6. Mximos y Mnimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6.1. Criterio para determinar extremos de funciones de dosvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6.2. Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.7. *Temas de Lectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7.1. Campos Escalares y Campos Vectoriales . . . . . . . . . 65

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2.7.2. Derivada en una direccin de un campo escalar en Rn.Derivadas direccionales y parciales. . . . . . . . . . . . . 66

2.7.3. Diferenciabilidad de un campo escalar en Rn. . . . . . . 682.7.4. Regla de la cadena para campos escalares en Rn. . . . . 712.7.5. Derivada en una direccin de un campo vectorial. Deriva-

da direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.7.6. Diferenciabilidad de un campo vectorial . . . . . . . . . 742.7.7. Regla de la cadena para campos vectoriales. . . . . . . . 762.7.8. Frmula de Taylor de orden dos para campos escalares . 802.7.9. Naturaleza de un punto crtico teniendo como criterio los

valores propios de la matriz Hessiana . . . . . . . . . . . 822.7.10. Criterio para determinar extremos de funciones de dos

variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.7.11. Ley de la conservacin de la energa. Campos conservativos 85

3. Integrales Mltiples 873.1. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1.1. Propiedades de la Integral doble . . . . . . . . . . . . . 88

3.1.2. Integracin en regiones ms generales . . . . . . . . . . 893.1.3. Clculo de integrales dobles: reas y volmenes. . . . . . 913.1.4. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.1.4.1. La frmula del cambio de variable . . . . . . . 973.2. Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2.1. Regiones ms generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2.2. Cambio de variable en integrales triples. . . . . . . . . . 104

3.2.2.1. Coordenadas cilndricas. . . . . . . . . . . . . . 1053.2.2.2. Coordenadas esfricas. . . . . . . . . . . . . . . 106

3.3. Aplicaciones de las integrales mltiples. . . . . . . . . . . . . . 1073.3.1. Momentos y centros de masa. . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.2. Densidad y masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3.3. Momento de Inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.3.4. Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.3.4.1. Valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4. Integrales de Lnea. reas de Superficies e Integrales de Su-perficie 1174.1. Integral de Lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.1.1. Propiedades de la Integrales de lnea . . . . . . . . . . 1194.2. El concepto de trabajo como integral de lnea . . . . . . . . . . 1214.3. Campos conservativos y funciones potenciales . . . . . . . . . . 1234.4. El teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.5. rea de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.6. Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

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4.6.1. Integral de superficie de una funcin escalar . . . . . . . 1334.6.2. Integral de superficie de un campo vectorial . . . . . . . 134

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Captulo 1

Funciones Vectoriales

En este captulo combinaremos el lgebra lineal y los mtodos fundamentalesdel clculo para estudiar algunas aplicaciones de las curvas y algunos problemasde Mecnica.

1.1. El Espacio Rn

El espacio Rn es el conjunto de todas las n-uplas de nmeros reales:

Rn = {(x1, x2,...,xn) : xi R, i= 1, 2, 3, ...n)} .

Los elementos de Rn se le llaman vectores.

En Rn definimos la suma de vectores y producto por escalares. Si a = (x1, x2,...,xn)y

b = (y1, y2,...,yn)entoncesa + b es el elemento de Rn dado por

a + b = (x1+ y1, x2+ y2,...,xn+ yn).Para cada escalar R, el vector a es definido por

a = (x1, x2,...,xn).

El producto escalar entre dos vectores de Rn est definido por

a b =n

i=1

xiyi.

Recordemos algunas propiedades del producto escalar:

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a b = b a(a + b) c = a c + b c

a b = a

b = a

b

La longitud o norma de un vector de Rn es definida por

||a || =a .a =

(x1)

2+ (x2)

2+ ... + (xn)

2

o

||a ||2 = a a .

La distancia entrea yb se define por

dist(a , b) =a

b

,

para cadaa yb RnPropiedades importantes de la definicin de longitud o norma son las siguientes:

||a || 0,a Rn||a || = || ||a ||

||a + b | | | |a || + ||b ||a b ||a ||||b ||

El ngulo entre los vectores a ybest dado por la relacin.

cos =a b

a b

En el caso que a yb R3 definiremos otro producto entre vectores conocidocomo producto vectorial que se denota pora b y lo definimos como

a b =

i j k

x1 x2 x3y1 y2 y3

= (x2y3 x3y2, x3y1 x1y3, x1y2 x2y1).

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Recordemos algunas propiedades del producto vectorial

a b a y a b ba b = b a

(a + b)

c = a

c + b

ca

b c = (a c) b a b c(a) b =

a b = a b (a b) c = a

b c

.

La norma dea b est dada por

||a b || = ||a ||||b ||sen

donde es el ngulo comprendido entre estos vectores.

1.2. Funciones Vectoriales

Una

F :J Rn dondeJes un conjunto de nmeros reales, se llama funcinvectorial.El valor de la funcin

F ent lo designaremos corrientemente por

F(t).Puesto

que

F(t) Rn F(t) = (f1(t), f2(t),...,fn(t))

donde cada fi es una funcin real fi : J R, i = 1, 2, ...n.Las funcionesfi son llamadas las componentes de la funcin vectorial

F . As, cada funcin

vectorial da origen a n funciones reales f1, f2,...,fn. Indicaremos esta relacin

por

F = (f1, f2,..,fn).Llamamos a la variable t el parmetro de la funcin.

La ecuacinx =F(t) dondex = (x1, x2,...,xn) Rn

, nos permite definirlas ecuaciones

x1 = f1(t)x2 = f2(t)

...xn= fn(t)

llamadasecuaciones paramtricas con parmetrot.En algunos casos representaremos las funciones vectoriales como combinacinlineal de la base usual en Rn. Por ejemplo cuando n = 2 algunas veces uti-lizaremos la representacin

F(t) = (x(t), y(t)) =x(t)i+y(t)jdonde i= (1, 0)

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y j= (0, 1) y cuando n = 3 utilizaremos

F(t) = (x(t),y(t),z(t)) =x(t)i +y(t)j+z(t)kdonde i= (1, 0, 0), j= (0, 1, 0), k =(0, 0, 1).

Ejemplo 1.2.1 Consideremos el caso de la ecuacin de una recta que pasapor el puntoP

0= (a,b,c)y tiene vector director

a = (l,m,n) . Las ecuaciones

paramtricas de la recta estn dadas por

x = a + lt,

y = b + mt,

z = c + nt.

Estas variables las podemos escribir en forma vectorial de la siguiente maneraF(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a+lt,b+mt,c+nt) = (a,b,c)+ t(l,m,n) = P0+t

a,donde el parmetro t R. As , laecuacin vectorial de la rectadefine la

funcin vectorial F(t) = P0+ t

a .

Ejemplo 1.2.2 Si consideramos las ecuaciones paramtricas dadas por x =cos t yy = sent, 0 t 2, obtenemos la funcin vectorial

F(t) = cos ti +sen tj.

La norma o longitud deF(t) para cada t est dada porF(t)= cos2 t+sen2t= 1.

El vector

F(t) describe una circunferencia de radio 1 en sentido contrario alas manecillas del reloj dando una vuelta completa cuando t aumenta de 0 a2.

1.2.1. Operaciones algebraicas.

Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las funcionesvectoriales. Sean

F ,

G , funciones vectoriales definidas sobre un dominio comn

y funa funcin real, entonces definimos las funciones

F +G, f

F ,

F G,

mediante F +

G

(t) =F(t) +

G(t),

fF(t) = f(t)

F(t),

F G

(t) =F(t) G(t).

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(El producto aqu considerado es el de producto escalar).Observemos que el producto escalar de funciones vectoriales es una funcinreal.Adems en el caso de que

F y

G tengan sus valores en R3 podemos definir el

producto vectorial F G (t) = F(t) G (t).1.2.2. Lmites, derivadas e integrales.

Los conceptos fundamentales de lmite, continuidad, derivadas e integral puedengeneralizarse naturalmente para funciones vectoriales.Si

F = (f1, f2,..,fn)es una funcin vectorial yL= (l1, l2,...,ln) Rn, definimos

el lmite por

lmta

F(t) = L lm

taf1(t) = l1, lm

taf2(t) =l2, lm

tafn(t) = ln

siempre que los lmites existan.Diremos que

F es continua en a si lm

ta

F(t) =

F(a).Es decir,

F es continua

en a si y solo si cada componente es continua en a.Si una funcin vectorial continua est definida en el intervalo[a, b], entonces ca-da componente real es continua en[a, b]y por lo tanto integrable. As podemosdefinir b

a

F(t)dt=

ba

f1(t)dt,

ba

f2(t)dt, ...,

ba

fn(t)dt

Igualmente, la derivadaF(t) de una funcin vectorial

F(t) se define exacta-

mente de la misma forma que la derivada de una funcin real, es decirF(t)es

diferenciable en t, si

F(t) = lmh0F(t+ h)

F(t)

h

existe. De acuerdo a la definicin del l mite para funciones vectoriales podemos

decir que la funcin vectorialF(t)es diferenciable si y slo si cada componente

es diferenciable. En este caso

F(t) = (f1(t), f

2(t),...,f

n(t))

Diremos queFes continua, derivable o integrable en un intervalo si cada com-

ponente lo es. De acuerdo a estas definiciones muchos de los resultados sobrelmites, continuidad, derivacin e integracin de funciones reales son vlidospara las funciones vectoriales.

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Denotaremos las derivadas por

F(t) = Dt

F =

dF

dt .

En el caso de n = 2,si

F(t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j,

F(t) =Dt

F =

dF

dt =

dx

dt,dy

dt

=

dx

dti +

dy

dtj.

En el caso de n = 3,si

F(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)i + y(t)j+z(t)k,

F(t) = Dt

F =

dF

dt =

dx

dt,dy

dt,dz

dt

=

dx

dti +

dy

dtj+

dz

dtk.

1.2.2.1. Teoremas bsicos

Teorema 1.2.1 Si

F ,

G , funciones vectoriales y f una funcin real son

diferenciables, entonces lo mismo ocurre con las funcionesF+G, fF ,FG,y tenemos

(F +

G) =

F+

G

(fF) = f

F + f

F

F G

=F G + F G

Si

F y

G tienen valores enR3, entoncesF G

=

F G + F G

Demostracin.Vamos a demostrar la segunda propiedad. Las dems se prue-ban de manera similar.

(fF) = ((f f1)

, (f f2) , ..., (f fn)

)

= (ff1+ f f1, ff2+ f f2,...,f

fn+ f fn)

= f(f1, f2,...,fn) + f(f1, f2,...,f

n)

= fF + f

F

El siguiente es un teorema muy importante y caracteriza las funciones vectori-ales que tienen longitud constante.

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Teorema 1.2.2 Una funcin vectorial

F(t) diferenciable tiene longitud con-

stante en un intervalo abierto I, si y slo si

F(t) F(t) = 0. Esto significa quelos vectores

F(t) y

F(t) son perpendiculares para cada t I.

Demostracin. Vamos inicialmente a suponer que la longitud de

F(t) es

constante. Definamos la funcin g(t) =||F(t)||2 =F(t) F(t). De acuerdo ala hiptesis g(t) = c para todo t I donde c es una constante. Por lo tantog(t) = 0en I. Comog es un producto escalar, tenemos que

g(t) =F(t) F(t) + F(t) F(t) = 2F(t) F(t) = 0,

entonces

F(t) F(t) = 0en I.Para mostrar el recproco consideremos que

F(t) F(t) = 0en Iy definamos

g(t) =F(t)2. Derivandog (t)tenemos queg (t) = 2F(t) F(t)y aplicando

la hiptesis tenemos que g (t) = 0 para todo t I. As la longitud deF(t)esconstante.

Los siguientes teoremas se demuestran teniendo en cuenta las propiedades delos vectores y los teoremas bsicos de derivadas de una variable como la reglade la cadena y los teoremas fundamentales del clculo.

Teorema 1.2.3 (Regla de la cadena para funciones vectoriales). SeaG =

F u dondeFes una funcin vectorial yu es una funcin real. Siu es

continua ent y

F es continua enu(t) entoncesG es continua ent. Adems si

u es diferenciable ent yFes diferenciable enu(t)entonces

G es diferenciable

en t y G(t) =

F(u(t))u(t).

Teorema 1.2.4 (Primer Teorema Fundamental del Calculo para funciones

Vectoriales) SeaF : [a, b] Rn

una funcin vectorial continua y definamosA (t) =

ta

F(s)ds, a t b

EntoncesA existe y

A(t) =

F(t).

Teorema 1.2.5 (Segundo Teorema Fundamental del Calculo para funciones

Vectoriales). Supongamos que la funcinF tiene derivada continua

F en un

intervaloI. Entonces para cada t I tenemos ta

F(s)ds=

F(t) F(a)

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oF(t) =

F(a) +

ta

F(s)ds.

1.3. Curvas y Tangentes

A las funciones vectoriales diferenciables las llamaremoscurvasy las denotare-mos con la letra r en lugar de la letra F. As, una curva en Rnes una funcinr : I Rn diferenciable; la curva es regular, sir (t)=0 para todo t. A noser que se diga lo contrario, nuestras curvas siempre sern regulares. Tambinllamaremos curva o trayectoria al rango o conjunto imagen de la funcinr,esto es, al conjunto Cdefinido por

C= {x : x = r(t)para algn t I}.

En este caso, la funcinr se denomina parametrizacinde C, y diremos quela curva Cest descrita paramtricamente (o parametrizada) porr. Cuandon = 2 3 podemos representar geomtricamente la curva. Por ejemplo, en elcaso den = 3, la curva descrita por r(t) =P+ ta es una lnea recta que pasapor el punto Py tiene vector director

a.

Observacin 1.3.1 El grfico de cualquier funcin real y = f(x) puede serdado en forma paramtrica mediante las ecuaciones: x = t y= f(t)o en formavectorial como

r(t) = (t, f(t)).

Definicin 1.3.1 La derivadar (t0)de una curvar ent0 est ligada al con-

cepto de tangencia, como en el caso de una funcin real. Formamos el cocientede Newton r(t0+ h) r(t0)

h ,

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Investigamos el comportamiento de este cociente cuando h 0. El cociente esel producto del vectorr(t0+h) r(t0)por el escalar 1/h. Observemos queel numerador es paralelo a este cociente. Si hacemos que h 0tenemos que

lmh0

r(t0+ h) r(t0)h

=r (t0)

suponiendo que este lmite exista. La interpretacin geomtrica sugiere la sigu-iente definicin.

Definicin 1.3.2 SeaCla curva parametrizada porr = r(t). Si la derivadar existe y no es nula, la ecuacin de la recta tangente que pasa por el puntor(t0) y tiene vector director

r (t0) est dada porr(t) = r(t0) + t

r (t0). El

vectorr (t0) se llamavector tangente aC enr(t0).

Ejemplo 1.3.1 Recta. Consideremos la funcin vectorialr(t) = P + ta,siendoa= 0, tenemos quer = a , as que la recta tangente coincide con lacurva der.

Ejemplo 1.3.2 Circunferencia. Si

r(t) describe una circunferencia de radioR y centro en el punto P, entonces||r(t) P|| = R. El vectorr(t) Pgeomtricamente representa un vector que va desde el punto P al puntor(t).Puesto que este radio vector tiene longitud constante, tenemos quer(t) Py su derivada (r(t) P) =r (t) son perpendiculares y por lo tanto el radiovector es perpendicular a la recta tangente. As pues, para una circunferenciala definicin de tangente coincide con aquella dada en la geometra elemental.

Puede pensarse que la curvaCes la trayectoria de una partcula que se mueveen el espacio a medida que transcurre el tiempo t, as,r(t) es la posicinde la partcula en el tiempo t.

r (t) es entonces la velocidadde la partcula,

que tambin denotamos v(t). La norma de la velocidad v(t) se denomina

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rapidezde la curva y se denota v(t). La segunda derivadar(t)es la aceleracin

de la curva y se denotaa(t).Si conocemos la aceleracin de una partcula en un tiempo t y si tambin sabe-mos su velocidad y su posicin en un tiempo especfico t0, entonces podemosconocer su velocidad y su posicin en cualquier tiempo t, como se muestra en

el siguiente ejemplo.Ejemplo 1.3.3 Se sabe que la aceleracin de una partcula que se mueve en

el espacio est dada pora(t) = 2ti +sentj + cos2tk . Si su velocidad yposicin en t= 0 estn dados porv(0) = i yr(0) = j, hallar su posicinen cualquier tiempo t.

Solucin. Puesto quea(t) = v (t), entoncesv(t) = a(t)dt= (2ti +sentj +cos2tk)dt= t2icos tj + 12sen2tk+c,donde la constantec = (c1, c2, c3). Por un lado v(0) = (0, 1, 0)+(c1, c2, c3) =(c1, c21, c3)y por otro lado, v(0) = (1, 0, 0), de tal manera quec1 = 1, c2= 1yc3 = 0, y la velocidad es entonces

v(t) = (t2+ 1)i +(1

cos t)j + 12sen2t

k.

Ya podemos hallar su posicin puesto que

r(t) =v(t)dt= ( t

3

3 + t)

i + (t sent)j 1

4cos 2t

k + (c1, c2, c3)

y puesto que por hiptesisr(0) = (0, 1, 0), y por otro lado r(0) = (c1, c2, 14+c3) tenemos que la posicin en un tiempo t est dada por

r(t) = ( t3

3 + t)

i +

(t sent+ 1)j + (14 14cos 2t)k.

1.4. Longitud de arco y reparametrizacin de una

curva.SeaCuna curva parametrizada porr = r(t), t [a, b]. Si reemplazamostpor una funcin diferenciable h : [c, d] [a, b], creciente o decreciente de otravariable u, t = h(u), obtenemos una nueva parametrizacin der de la forma (u) = r(h(u)),esto es, la composicin de r conh.Nota: A veces, para simplificar la notacin y cuando no haya peligro de con-fusin, denotaremos la reparametrizacin con la misma letrar y en lugarde escribir t = h(u) escribimos t = t(u) as:r(u) =r(t(u)); lo mismo parala inversa u = h1(t) escribimos u = u(t). Si h es creciente, diremos que elcambio de parmetro preserva la orientacin y si h es decreciente, diremos que

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hinvierte la orientacin.

Ejemplo 1.4.1 Sabemos que la ecuacin y =

1 x2, x [1, 1] repre-senta la mitad superior de un crculo de radio 1. Podemos parametrizar di-cho semicrculo porr(t) = (t, 1

t2), t

[

1, 1] con orientacin del

punto (1, 0) al punto (1, 0). Escribiendo t = t(u) = cos u obtenemos lareparametrizacinr(u) = (cos u, 1 cos2 u) = (cos u, senu). Si tomamosu [0, ] = [arc cos(1), arc cos(1)] obtenemos una reparametrizacin que in-vierte la orientacin pues en dicho intervalo cos es decreciente.

La longitudde una curvar = r(t)parat [a, b]se define por

L(r) =b

a

||r (t)||dt

En los casos n = 2 y n = 3, esto es, cuandor(t) = (x(t), y(t)) yr(t) =(x(t), y(t), z(t)), sus longitudes son

L(r) =

b

a

x(t)2 + y(t)2dt

y

L(r) = ba

x(t)2 + y(t)2 + z(t)2dt

Por ejemplo, en el crculor(t) = (acost, asent),para t [0, 2], tenemos quer(t) = (asent, acost)y||r (t)|| =a por lo que su longitud es

L(r) = 20

adt= 2a

y en el caso de la hlicer(t) = (acost, asent,bt), su longitud desde el punto(1, 0, 0)hasta el punto (1, 0, 2)es 2

0

a2 + b2dt= 2

a2 + b2.

Ntese que al reparametrizar una curva, ni su forma ni su longitud cambian.Esto ltimo se deduce del hecho de que haciendo t = h(u) y suponiendo hcreciente

dc

(u) du=d

c

r (h(u))h(u) du=d

c

||r (h(u))||h(u)du=b

a

r (t) dt

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El estudiante puede hacer algo anlogo para h decreciente.Sin embargo, escribiendor(u) = r(t(u))se tiene que

drdu

=

drdt

dt

du

lo que muestra que su rapidez s cambia por el factor dt

du; incluso la velocidadpuede invertir su sentido en el caso en que t = t(u)sea decreciente pues en este

caso dt

du 0, s(t)es una funcin creciente y comos(a) = 0 y s(b) = L (su longitud total), su inversa t = t(s) es creciente condominio[0, L]. Utilizando esta inversa como cambio de parmetro, obtenemosla parametrizacinr(s) =r(t(s)) en donde el parmetro es la longitud delarcos. La velocidad de esta parametrizacin es

drds

=dr

dt

dt

ds

Como dt

ds=

1dsdt

= 1r (t) , tenemos que

drds = 1. As vemos que cuando la

curva est parametrizada por longitud de arco, su rapidez es constante e igual

a 1. Recprocamente, sir = r(t)es una curva tal quer (t)= 1, entonces

s=

t

0

r (u)

du =

t

0du = t, es decir el parmetro tes la longitud del arco

s. Hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 1.4.1 Una curvar = r(t)est parametrizada por longitud de arcosi y solo si

r (t) = 1.Ejemplo 1.4.2 Parametrizar por longitud de arco el crculo de radioa, r(t) =(a cos(t), a sen(t)),t [0, 2].Tenemos que

r (t) = (a sen(t), a cos(t))y

r (t)= a. As,s= t0r (u) du=t

0a du = at. Despejando t tenemos que t =

s

a y reemplazando obtenemos

r(s) = (a cos( sa

), a sen(s

a)) es la parametrizacin pedida.

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16/107

1.5. Curvatura

La curvatura es el concepto ms importante de la teora de curvas y midequ tanto se dobla una curva en un punto determinado. Puesto que la formacomo se dobla una curva tiene que ver con su concavidad, es apenas naturalpensar que la segunda derivada tiene que estar involucrada, esto es, la razn decambio del vector tangente. Definiremos inicialmente la curvatura de una curvaparametrizada por la longitud de arco s y luego deduciremos una frmula parala curvatura de una curva con cualquier parmetro t.

Definicin 1.5.1 SeaC una curva parametrizada porr =r(s) dondes =t0

r (u) du. Definimos la curvatura deC pork(s) =

r(s) (1.1)Ejemplo 1.5.1 Calcular la curvatura del crculo de radioa, r(t) = (a cos t, asent).En el ejemplo anterior vimos que la parametrizacin por longitud de arco del

crculo esr(s) = (a cos( s

a

), a sen(s

a

)). Tenemos entonces que la segunda

derivada der es r(s) =

1a

cos(s

a), 1

asen(

s

a)

y por lo tanto k(s) =r(s)= 1

a.

Nota.Esta definicin solo es vlida para curvas parametrizadas por longitud de arcoy no sirve como definicin de curvatura de una curva con cualquier parmetro

t(es decir, escribir k(t) =r(t)). Para ver porqu esto es as, vea el ejercicio

y la observacin al final de esta seccin.

En principio, si queremos calcular la curvatura de una curva con cualquier

parmetro t, deberamos primero reparametrizarlapor longitud de arco y aplicarla ecuacin 1.1 como se hizo en el ejemplo anterior. Esto no es prctico por ladificultad en el clculo de la integral involucrada o porque a menudo es muydifcil o virtualmente imposible invertir dicha integral. Para encontrar una fr-mula de la curvatura con cualquier parmetro t, definamos el vector tangenteunitario de una curva parametrizada porr = r(t)as:

T(t) =

r (t)r (t) (1.2)

Reparametrizando entonces por longitud de arco, tenemos que r(s) = r(t(s))dondet = t(s)es la inversa de la funcin longitud de arcos = s(t); se tiene en-

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tonces tambin que el vector tangente unitario tiene la formaT(s) =

T(t(s)).

Entonces

r (s) =T(s) y la segunda derivada der es

r(s) =

T(s) =

dT

dt

dt

ds=

T(t)

r (t)y puesto que la curvatura es la norma de este vector, tenemos que

k(t) =

T(t)r (t) . (1.3)Esta frmula nos permite calcular la curvatura de una curva cualquiera sin tenerque reparametrizarla por longitud de arco. Podemos encontrar una frmulams sencilla que slo involucre r y sus derivadas (y no el vector

T) dada en el

siguiente teorema.

Teorema 1.5.1

k(t) =

r (t) r(t)r (t)3 (1.4)

Demostracin. Escribiendo v(t) =r (t) tenemos quer (t) = v(t)T(t);

derivando obtenemos

r(t) =v (t)

T(t) + v(t)

T(t)

.Entonces

r

r = v

T v

T + vT=vv

T T + v2T T

=v2T T

Por lo tanto

r r =v2 T T = r 2 T T sen(/2)puesto que

T es perpendicular a

T. Y como

T

= 1 se tiene que

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r r= r 2 T .Dividiendo a ambos lados de esta ltima ecuacin por

r

3

se obtiene la fr-

mula deseada.

La curvatura de una curva con cualquier parmetro t est bien definida porla ecuacin 1.3, en el sentido de que es independiente de la parametrizacinelegida, es decir, que para calcular la curvatura no interesa qu parametrizacintomemos. Esto se demuestra de la siguiente manera: si es una reparametrizacinder, esto es, (u) =r(h(u)) con h(u) = t y llamamos k,kr,Ty Tr a lascurvaturas y al vector tangente unitario en las dos parametrizaciones, entonces:

k(u) =

T(u)(u)

=

Tr(h(u))h(u)r (h(u))h(u)

=

Tr(t)r (t)

=kr(t)

Note que si en la ecuacin 1.3 hacemost = s obtenemos la ecuacin 1.1.

Puede probarse fcilmente que si la curvatura de una curva es cero en todossus puntos, dicha curva es una linea recta, que es efectivamente lo que nosdice la intuicin. Para ello notemos que como la curvatura es independiente

de la parametrizacin, podemos suponerr (t) = 1. Si k = 0, entonces por

la ecuacin 1.1 debe ser

r(t) = 0. Integrando entre t0 y t se obtiene quer (t) =

r (t0)e integrando de nuevo obtenemos r(t) r(t0) = (t t0)r(t0)

esto es,r(t) = (t t0)r(t0) + r(t0)que ciertamente es una lnea recta.

1.5.1. Triedro de Frenet

Para una curvar = r(t)definimos el vector normal unitario por

N(t) =

T(t)T(t) (1.5)

Note queNTpuesto queT= 1. Definimos tambin el vector binormal

por

B (t) =

T(t) N(t)

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vector que es perpendicular tanto aTcomo a

N. La tripla

T ,

N ,

B

se de-

nominatriedro de Frenety juega un papel central en el estudio de la geometrade curvas.

El plano generado por el par

T ,N

se denomina plano osculador .


N ,B

se denomina plano normal.


T ,B

se denomina plano rectificante.

Las ecuaciones de dichos planos en un puntor(t0)sonplano osculador: (x r(t0)) B (t0) = 0.plano normal: (x r(t0)) T(t0) = 0.plano rectificante: (x r(t0)) N(t0) = 0.1.5.2. El vector aceleracin.

Si escribimosv = r y v =r , tenemos quev = vT. Derivando a ambos

lados de esta ecuacin, obtenemos:

v = a =vT + vT

ComoT=

TN =kvN, entoncesa =v T + kv2N

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EscribiendoaT =vy aN=kv2 tenemos que la aceleracin es una combinacinlineal de los vectores

T y

N de la formaa = aTT +aNN, lo que nos dice

que el vector aceleracin est siempre sobre el plano osculador.Podemos encontrar expresiones para aT y aN en trminos solamente de lasderivadas der as:

v a = vT

vT + kv2N

= vvT T + kv3T N

= vv

As, aT =v =v a

v =

r rr .

ParaaN, observemos que aN =kv2 =

r r r 2r3 =

r rr

.

El estudiante puede demostrar fcilmente que tambin se tiene que

a

2=

a2T+ a2N.

1.5.3. *Ecuaciones de Frenet para una curva plana.

Las ecuaciones de Frenet expresan la variacin de los vectores

T yNen tr-

minos de ellos mismos y desempean un papel fundamental en el estudio de lageometra de las curvas. Deduciremos estas ecuaciones en el caso de una curvaplana.

De la ecuacin 1.5 obtenemosT =

TN y reemplazando Tpor lo dadoen la ecuacin 1.3 tenemos que

T= vkN (1.6)dondev =

r .Esta es la primera ecuacin de Frenet. Por otro lado como

N= 1 tenemosque

N Ny como la curva es plana, entoncesN es paralelo aT y por lo

tanto existe un escalar tal queN =

T . Al multiplicar a ambos lados de

esta ecuacin por

T, obtenemos que =

T N. Por otro lado, derivando laecuacin

T N = 0 obtenemosT N + T N = 0 lo que es equivalente a

kvN N+ T N = 0por la primera ecuacin de Frenet (ecuacin 1.6) y as,

=T N= vk, y obtenemos la segunda ecuacin de Frenet

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N= vkT (1.7)

Las ecuaciones 6 y 7, llamadas Ecuaciones de Frenet se pueden escribir en laforma matricial

TN

=

r 0 kk 0T

N

Ejercicio

Demostrar que si una curva tiene curvatura k = 1

a(constante) entonces es un

crculo de radio a (con centro en algn punto

P).Puesto que la curvatura es independiente de la parametrizacin, podemos

suponer v(t) =r (t) = 1. Para demostrar quer es un crculo de radio

a con centro en

P, debemos probar quer(t) +aN(t) =P pues entoncesr(t) P =aN(t) y as,

r(t) P

= a, como se observa en la figura

abajo.

Para ver esto, observe que d

dt(r(t) +aN(t)) =r (t) +aN(t). Pero la se-

gunda ecuacin de Frenet (ecuacin 1.7) es

N(t) = 1a

T(t), por lo tanto

r (t) + a

N(t) =

T(t) a. 1

a

T(t) = 0y por lo tanto r(t) + aN(t) =constante.

Llamando

Pa dicha constante, se tiene lo que se quiere demostrar.

Observacin.

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Se defini la curvatura de una curva parametrizada por longitud de arco comola norma del cambio en el vector tangente (ecuacin 1.1). Esta definicin nofunciona para una curva con cualquier parmetro t. Para ver esto basta observar

quer(t)

= 2(constante) para la parbola r(t) = t, t2, lo que significaraque la parbola es un crculo!!

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Captulo 2

Campos Escalares en R2 y R3

Una funcin denvariables campo escalar, es una funcinf :U Rn R. Si(x1, x2, . . . , xn) U, su imagen por fes un nmero real xn+1 = f(x1, x2, . . . , xn).En este curso solo estudiaremos los casos n = 2 y n = 3y entonces escribire-mosz = f(x, y)y w = f(x, y, z) respectivamente.Ues el dominio de fy es unsubconjunto del plano del espacio.

Ejemplo 2.0.2 Hallar el dominio def(x, y) = x ln y.Es claro quexpuede tomar cualquier valor real, mientras queysolo puede tomarvalores positivos; por lo tanto el dominio defes el conjunto U ={(x, y)|xR, y R+}, esto es, el semiplano superior del plano R2.

Ejemplo 2.0.3 Hallar el dominio def(x, y) =

1 x2 y2.Puesto que1 x2 y2 0, fsolo puede ser calculado en los puntos del discox2 + y2 1.

2.1. Grfica de z= f(x, y). Curvas y superficies

de nivel.

La grfica de una funcin de dos variables es un subconjunto de R3 y se definepor

Graf(f) = {(x, y, f(x, y))|(x, y) U} R3La grfica dez = f(x, y)la denominamossuperficie. Dibujar "a mano" una su-perficie es difcil y lo mejor es recurrir a un computador. Sin embargo, podemoshacernos una idea de cmo es una superficie (o por lo menos las ms utilizadasen la prctica), viendo las curvas que se forman al cortar la superficie con planosparalelos a los planos coordenados, llamadas trazas. En particular, las trazas

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con planos paralelos al planoxy se denominancurvas de nivel,que se obtienenintersectando la grfica de fcon los planos z = c (constante), esto es, la curvade nivel en el nivel c es el subconjunto del plano definido por

Lf(c) = {(x, y)|f(x, y) =c} R2

Para las trazas con planos paralelos a los planos coordenados xz y yzhacemosy = c y x = c. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.1.1 Seaf : R2 R definida por

z= f(x, y) = x2 + y2.

Dado un nmero realc, lacurva de nivel al nivelc def est dada por

Lf(c) =

{(x, y) : x2 + y2 =c

}.

Claramente si c < 0, Lf(c) = (vaco); si c = 0, Lf(c) ={(0, 0)}; paracualquier c > 0, los conjuntos de nivel son circunferencias con centro en elorigen de radio

c. La figura muestra las circunferencias concntricas

En el ejemplo anterior, las curvas de nivel son crculos que se expanden amedida que aumentamos el valor de c. En la siguiente grfica, a la derechavemos una imagen tridimensional de estos crculos; cada uno de ellos estsobre el plano z = c.

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Sin embargo, esto no es suficiente. Necesitamos ver las trazas con los planoscoordenados yz yxz. Para ver el corte con el plano yz, hacemos x = 0 en la

funcinf; tenemos entonces que dicho corte es la parbolaz = y2. Igualmente,para el corte con el plano xz, hacemosy = 0 para obtener la parbolaz = x2.

Abajo puede verse la grfica de dicha funcin, llamada paraboloide.

Ejemplo 2.1.2 Hagamos la grfica de la funcinz= f(x, y) =

x2 + y2.

Las curvas de nivel estn dadas por el conjunto

Lf(c) = {(x, y) :

x2 + y2 =c} = {(x, y) : x2 + y2 =c2}

esto es, crculos concntricos de radio c.

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Observe que esta grfica aparentemente es igual a la del paraboloide, sin em-bargo la grfica defno es un paraboloide como lo muestran los cortes con losotros planos coordenados: Six = 0, obtenemosz=

y2 = |y|, esto es, las dos

rectasz = y y z =

y. De la misma manera, siy = 0 obtenemos las rectas

z = x, yz = x. Vemos la grfica abajo, que evidentemente es uncono.

Ejemplo 2.1.3 Veamos ahora la funcinz = y2 x2.Las curvas de nivel son las hiprbolasy2 x2 =c, como se observa en la figuraabajo.

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Note que en el caso c = 0 obtenemos la hiprbola degenerada x2 = y2 quecorresponde a las dos rectasy = x yy=

x.

El corte con el plano yz es la parbola z = y2 y el corte con el plano xz esla parbola z =x2. Esta grfica se llamaparaboloide hiperblico o silla demontar y tiene el aspecto que se muestra abajo.

Ejemplo 2.1.4 Veamos la grfica de la superficie dada por la ecuacinz = y2.Observe que en la ecuacin no aparece la variablex; esto significa quex toma

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todos los valores reales. Superficies de este tipo se llaman cilindros. Cualesson las curvas de nivel? Su grfica puede verse abajo.

Para el caso de una funcin de tres variables w = f(x, y, z), su grfica se definepor el conjunto

Grf(f) = {(x, y, z, f(x, y, z)) |(x, y, z) U} R4

Por supuesto no podemos hacer un dibujo de ella por estar en el espacio cu-atridimensional R4. Sin embargo tenemos el concepto de superficie de niveldefinido de forma anloga al de curva de nivel as:

Sf(c) = {(x, y, z) |f(x, y, z) = c} R3

y aunque no podamos despejar z explcitamente en trminos de x y de y, spodemos encontrar las trazas con los planos coordenados. Veamos ejemplos deesto.

Ejemplo 2.1.5 Consideremos la funcin de tres variables w = f(x, y, z) =x2 +y2 +z2. La superficie de nivel en el nivel 1 es el conjunto {(x, y, z) :x2 + y2 + z2 = 1}. Haciendoz = c, obtenemos crculosx2 + y2 = 1 c2 de radio

1 c2 por lo que debemos tener1 c 1. En la figura abajo se muestranestas curvas.

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De la misma manera obtenemos crculos al cortar la superficie con planos par-alelos a los otros dos planos coordenados. La figura obtenida es una esfera de

radio 1.

Ejemplo 2.1.6 Las superficies de nivel de la funcinf(x, y, z) = x2 + y2 z2es el conjunto de nivel{x, y, z) : x2 + y2z2 =c}. El lector no tendr dificultaden comprobar que las grficas que se muestran abajo corresponden ac = 1, c=0, c =1 respectivamente, llamadas hiperboloide de una hoja, doble cono ehiperboloide de dos hojas.

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Observemos que la grfica de una funcin de dos variables puede verse comola superficie de nivel de una funcin de tres variables. Si f : R2 R,recordemos que la grfica def es

Gf = {(x, y, z) R3 :z = f(x, y), (x, y) }Gf = {(x, y, z) R3 : (x, y) , z f(x, y) = 0} =Lg(0)

dondeg(x, y, z) = z f(x, y).As la grfica de una funcin de dos variables esuna superficie de nivel de una funcin de tres variables.

2.1.1. Superficies cudricas.

Consideremos las funciones de tres variables sobre R3 que son de tipo polinomial

f(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy+ Exz + F yz + Hx + Iy + Jz+ K,

dondeA, B, C, D, E , F , G, H, I , J, K son constantes. Si A,B.C,D,E,Fno sonsimultneamente cero las superficies de nivel

Lf(c) = {(x, y, z) R3 :Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+F yz+Hx+Iy +Jz+K= c

se llaman superficies cudricas.Si A = B = C = D = E = F = 0, tenemos que la superficie de nivel de f

determina como superficie un plano dado por H x + Iy + Jz+ K= cEn general estas superficies cudricas pertenecen a nueve tipos diferentes: Elelipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el cono, elparaboloide elptico, el paraboloide hiperblico, el cilindro elptico, el cilindrohiperblico.

2.2. Lmites y Continuidad

Utilizamos la notacin lm(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = Lpara indicar que podemos aprox-

imar la funcin f(x, y) tanto como queramos a un nmero Lsiempre y cuan-do tomemos (x, y) suficientemente cerca del punto (x0, y0) pero con (x, y)=

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(x0, y0). En otras palabras,f(x, y)est cerca deLsi(x, y)est cerca de(x0, y0)y entre ms cerca est (x, y)de (x0, y0), ms cerca est f(x, y)de L. Esto sig-nifica que podemos tomar la distancia entre f(x, y) y L tan pequea comoqueramos siempre y cuando la distancia entre (x, y) y (x0, y0) sea lo suficien-temente pequea. Tenemos entonces la equivalencia

lm(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = L lm||(x,y)(x0,y0)||0

|f(x, y) L| = 0

que podemos escribir tambin en la forma

f(x, y) Lcuando(x, y) (x0, y0)|f(x, y) L| 0cuando(x x0)2 + (y y0)2 0.

As, el lmite de una funcin de dos variables se reduce al lmite usual delclculo de una variable, y es por esta razn que las propiedades usuales de loslmites unidimensionales tambin son vlidas para lmites de funciones de dosvariables. Claramente se ve que la definicin anterior de lmite es vlida paracualquier campo escalar en Rn, con solo reemplazar la pareja (x, y) por un

vectorx Rn

y la pareja(x0, y0)por cualquier vectora Rn

.Las propiedades de los lmites y de la continuidad las resumimos en los sigu-ientes teoremas:

Teorema 2.2.1 Si lmxaf(x ) = b y lmxa g(

x ) =c, entonces

1. lmxa(f(x ) + g(x )) = b + c,

2. lmxaf(x ) =b para todo escalar ,

3. lmxaf(x )g(x ) = b c,

4. lmxa |f(x )| = |b| ,Definicin 2.2.1 Diremos que un campo escalarfes continuo ena si lmxa f(

x ) =f(a).As como con las funciones de una sola variable, tambin son continuas lassumas, productos y cocientes de funciones continuas (una vez que, en el ltimocaso, se evite la divisin entre cero).

Teorema 2.2.2 Si una funcing de n-variables es continua ena y una fun-cin fde una variable es continua en g(a), entonces la funcin compuestaf g, definida por(f g)(x ) = f(g(x ))es continua ena .

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Decir quefes continua sobre un conjunto Usignifica que f(x )es continua encada punto del conjunto.

Para calcular un lmite, existe la dificultad de que (x, y)puede aproximarse a(x0, y0)por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual soloexisten dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y paraque el lmite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de acercamiento.Es claro entonces, que el lmite no existe si por dos caminos distintos se ob-tienen lmites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.2.1 Para probar que lm(x,y)(0,0)

x2 y2x2 + y2

(que es de la forma 0

0) no

existe, observamos resultados distintos si nos acercamos al origen por el ejexy por el ejey as:Acercamiento por el ejex: tomamosy= 0

lm(x,0)(0,0)

f(x, 0) = lmx0

x2

x2 = 1

Acercamiento por el ejey: tomamosx= 0

lm(0,y)(0,0)

f(0, y) = lmy0

y2y2

= 1

Son continuas las funciones f(x, y) = x, f(x, y) = y, todos los polinomios de

la formaf(x, y) =

aijxiyj y en general todas las posibles combinaciones de

sumas, productos, cocientes y composiciones de las funciones elementales, conexcepcin posiblemente de los puntos en donde los denominadores sean ceroo el lmite no exista. Por ejemplo, la funcin F(x, y) = cos(x3 4xy+ y2) escontinua en todo punto del plano, puesto que la funcin g(x, y) = x34xy + y2es continua (como un polinomio) en toda su extensin y tambin f(t) = cos tescontinua para todo nmero t R.Por supuesto, la funcin dada en el ejemploanterior no es continua en el origen.

Ahora introducimos algunos conceptos relativos a conjuntos en el espacio deR

n . Seana Rn yr >0. El conjuntoB(x; r) = {x Rn : x a < r}.

se llama una n-bola abierta de radio r y centroa . En el espacio R2,unabola abierta es el interior de un crculo; en R3 es el interior de una esfera. Unpuntoa es un punto interior de un conjunto Usi existe una bola abiertaB(a; r)contenida enU. Todos los puntos interiores de Uforman el interior deU. Por otra parte, a es unpunto fronteradeUsi toda bola abierta con centroen a contiene puntos que pertenecen a Uy otros que no pertenecen. Todos lospuntos de frontera de U forman la frontera de U. Finalmente, un conjunto

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es abierto si todos sus puntos son interiores y un conjunto es cerradosi contiene todos sus puntos frontera. Por ejemplo en los nmeros reales , R,los tipos ms sencillos de conjuntos abiertos son los intervalos abiertos. Launin de dos o ms intervalos abiertos es tambin abierto. El intervalo [a, b]es un intervalo cerrado. El conjunto U= (

x, y) :x2 + y2 1es un conjuntocerrado en R2 .2.3. Funciones Diferenciables

De la misma manera que la existencia de una recta tangente est ntimamenterelacionado con el concepto de diferenciabilidad de una funcin de una variable,la existencia de un plano tangente, que definiremos ms adelante, tiene que vercon el concepto de diferenciabilidad de una funcin de dos variables. Para llegara este concepto definiremos inicialmente las derivadas parciales.

2.3.1. Derivadas parciales

Si en una funcin de dos variables z = f(x, y) consideramos una variable,por ejemploy, como constante, obtenemos una funcin que depende exclusiva-mente de la variable x. As, si escribimosy = y0 (constante) yh(x) =f(x, y0),la derivada h(x0) se denomina derivada parcial de f con respecto a x en el

punto (x0, y0)y se denota f

x(x0, y0)

f

x|(x0,y0). De la misma manera, si es-

cribimosg(y) = f(x0, y), entonces la derivada parcial de fcon respecto a y en

el punto(x0, y0)ser la derivada g (y0)y se denota f

y(x0, y0)

f

y|(x0,y0).

Notacin. Si las derivadas parciales se calculan en un punto genrico (x, y),

escribimos f

x y

f

yen lugar de

f

x(x, y)y

f

y(x, y). Estas derivadas tambin

se denotanfx y fy , Dxf y Dyf.

Recordemos que la definicin usual de derivada es

h(x0) = lmx0h(x0+ x) h(x0)

xAl escribir dicha frmula en trminos de fobtenemos

f

x(x0, y0) = lmx0

f(x0+ x, y0) f(x0, y0)x (2.1)

De la misma manera tenemos que

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f

y(x0, y0) = lmy0

f(x0, y0+ y) f(x0, y0)y . (2.2)

Puesto que las derivada parciales son tambin funciones de las variables x y y ,podemos tambin derivarlas parcialmente para obtener derivadas parciales de

segundo orden denotadas como se muestra a continuacin:

x

f

x

=

2f

x2,

y

f

y

=

2f

y2,

x

f

y

=

2f

xy,

y

f

x

=

2f

yx.

Las derivadas parciales que involucran las dos variables x y y se denominanderivadas parciales mixtas. Un hecho importante es que bajo ciertas condicionesestas derivadas mixtas son iguales como lo dice el siguiente teorema.

Teorema 2.3.1 Si las derivadas parciales mixtas son continuas en un conjuntoabiertoUque contiene un punto (x0, y0), entonces

2f

xy (x0, y0) =

2f

yx (x0, y0).

Las derivadas parciales dez = f(x, y)se interpretan geomtricamente como laspendientes de las tangentes a las curvas interseccin de la grfica de fcon losplanosx =constante yy =constante como se observa en las grficas abajo.

2.3.2. Superficies parametrizadas

En el captulo anterior definimos curva (parametrizada) en el espacio como unafuncinr : I R R3. En este caso, como el dominio es un subconjunto de

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la recta real, tenemos un solo parmetro que denotamos con la letra ty escribi-mosr(t) = (x(t), y(t), z(t)). Anlogamente tenemos el concepto de superficieparametrizada como una funcinr : U R2 R3. Como el dominio es unsubconjunto del plano, tenemos ahora dos parmetros que denotamos con lasletrasu y v , y escribimos

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

x,y y z son por supuesto, funciones de Uen R. Las ecuacionesx = x(u, v), y=y(u, v), z = z(u, v)son las ecuaciones paramtricas. La grfica abajo ilustra lasituacin.

Ejemplo 2.3.1 1. El cilindro.Un cilindro de radio a se puede parametrizar en la forma

r(u, v) = (a cos u, a sen u, v), u [0, 2], < v <

La secuencia siguiente muestra cmo se transforma el rectngulo[0, 2][0, 1] en el cilindro.

2. La esfera.Para la parametrizacin de la esfera observe la grfica abajo.

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En el tringulo rectnguloOAB se tiene quex= h cos yy = h sen y en el tringulo rectngulo

OBC se tiene quez = a cos . Pero de

nuevo enOBC se tiene queh = a sen, de manera que lasecuaciones paramtricas de la esfera son

x = a cos sen y = a sen sen z = a cos

en donde [0, 2] y [0, ]. As la funcinr tiene la formar(, ) = (a cos sen, a sen sen, a cos )

3. La grfica de z = f(x, y).Anlogo a la parametrizacin de la grfica de una funcin de una variabley= f(x)como la curva

r(t) = (t, f(t)), la grfica de una funcin de dos

variablesz = f(x, y)se puede ver como una superficie parametrizada solocon tomarx = u, y = v, z = f(u, v), esto es,

r(u, v) = (u, v, f(u, v))4. Ejercicio(para los curiosos).

Pruebe que una parametrizacin del hiperboloide de una hojax2+y2z2 =1 est dada por las ecuaciones

x = cos u cosh vy = sen u cosh vz = senh v

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parau [0, 2], < v


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En el caso particular en el que tenemos la grfica de z = f(x, y), con la

parametrizacin r(x, y) = (x, y, f(x, y))tenemos quer

x

r

y

= 1, 0,f

x

0, 1,f

y

=

f

x, f

y, 1

. Si escribimos z0 = f(x0, y0), la ecuacin del

plano tangente es

z = f(x0, y0) + f

x(x0, y0)(x x0) + f

y(x0, y0)(y y0) (2.3)

2.3.4. El concepto de diferenciabilidad

Recordamos inicialmente el concepto de diferenciabilidad para una funcin deuna variable y = f(x), para luego, de forma anloga, abordar el caso z =f(x, y).

Diferenciabilidad de y= f(x).

Sabemos que en el caso de una funcin de una variable de la forma y = f(x),la derivada defen un punto x0 se define como

f(x0) = lmx0f(x0+ x) f(x0)

xen caso de que dicho lmite exista. Si esto ltimo es cierto, la pendiente de larecta secante est cercana a la pendiente de la tangente sixes pequeo as:

f(x0+ x) f(x0)x f

(x0)

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El error cometido en la aproximacin est dado por

=f(x0+ x) f(x0)

x f(x0)

Entre ms pequeo seax, menor es el error. La expresin anterior se puedeescribir en la forma

f(x0+ x) f(x0)x =f

(x0) +

donde 0 cuandox 0. Si escribimosy = f(x0 +x)f(x0),obtenemos la ecuacin

y= f(x0)x + x (2.4)donde 0cuandox 0.Si escribimosx = x0+ x, entoncesf(x) = f(x0) + yy la ecuacin 2.4 tomala forma

f(x) = f(x0) + f(x0)(x x0) + (x x0)donde 0cuandox x0. Podemos escribir entonces

f(x) f(x0) + f(x0)(x x0)si x est cerca de x0. Entre ms cerca est x de x0 ms pequeo es el errorcometido en la aproximacin . La expresin de la derecha en la aproximacinanterior es lineal en x, esto es, la funcin

L(x) = f(x0) + f(x0)(x x0)

es una linea recta. As,

f(x) L(x)cerca dex0 y esta es exactamente la idea de diferenciabilidad:

Una funciny =f(x) es diferenciable en un punto x0, si el incremento eny,y se puede escribir como en la ecuacin 2.4, es decir, si localmente (esto es,en cualquier vecindad dex0) se puede aproximar por una recta, ms especfi-camente, por la recta tangente enx0; hablando claro, si localmente, la grficadefes "casi" una recta.

En un computador se puede comprobar esto. Dibuje la grfica de, por ejemplo,f(x) = x2 con un programa de clculo simblico (MuPad por ejemplo) y haga

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zoom cerca del origen de coordenadas. Se dar cuenta de que entre mayor seael zoom, la grfica de la parbola ser cada vez ms recta.Esto no sucede por ejemplo con la funcin f(x) = |x|pues no importa qu tancerca se est del origen, la grfica de fsiempre se ver como una punta (dosrectas).

El primer sumando en el miembro derecho de la ecuacin 2.4 se denominadiferencial de fy se denota dfo ms comnmente dy, as, la diferencial encualquierx es

dy= f(x)xy se toma generalmente como una aproximacin paray; entre ms pequeoseaxmejor es la aproximacin.

Diferenciabilidad de z= f(x, y).

De la misma manera como la diferenciabilidad de una funcin de una variabley = f(x)tiene que ver con la existencia de una funcin lineal (una recta) L(x)

que aproxima a f en una vecindad de un punto x0, la diferenciabilidad dez = f(x, y)en un punto (x0, y0)tiene que ver con la existencia de una funcinlineal (un plano)L(x, y)que aproxima afen una vecindad de(x0, y0),esto es,algo como

f(x, y) A + Bx + Cy.Para encontrar tal aproximacin, le aplicamos el mismo anlisis anterior a lasderivadas parciales, ecuaciones 2.1 y 2.2, y obtenemos formas anlogas a laecuacin 2.4 para los incrementos parciales

f(x0+ x, y0) f(x0, y0) = fx

(x0, y0)x + 1x

f(x0, y0+ y) f(x0, y0) = fy

(x0, y0)y+ 2y

donde1y 2 0cuandoxyy 0.

Tenemos as aproximaciones lineales para los incrementos parciales. Parece nat-ural pensar que el incremento defen ambas variables simultneamente, puedaaproximarse por la suma (ya que necesitamos que la aproximacin sea lineal)de las dos aproximaciones parciales. Esto no siempre sucede, pero cuando esas, tenemos nuestra definicin de diferenciabilidad:

Una funcin de dos variables z = f(x, y) es diferenciable en (x0, y0), si el

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incremento dez ,z = f(x0+ x, y0+ y) f(x0, y0) puede escribirse en laforma

z = fx

(x0, y0)x + fy

(x0, y0)y+ 1x + 2y (2.5)

donde(1, 2) (0, 0) cuando (x,y) (0, 0).

Si escribimos x = x0 + x y y = y0 + y, entonces la ecuacin 2.5 tomala forma

f(x, y) = f(x0, y0)+f

x(x0, y0)(xx0)+ f

y(x0, y0)(yy0)+1(xx0)+2(yy0)

(2.6)donde(1, 2) (0, 0)cuando (x, y) (x0, y0).

La ecuacin 2.6 explica el concepto de forma clara: si escribimos

L(x, y) = f(x0, y0) + fx (x0, y0)(x x0) + fy (x0, y0)(y y0)

tenemos entonces la aproximacin lineal

f(x, y) L(x, y)en una vecindad de (x0, y0). Note que la funcin L es precisamente el planotangente en el punto (x0, y0)(vea de nuevo la ecuacin 2.3). Tenemos as, quef es diferenciable si puede linealizarse localmente, esto es, si en una vecindadde un punto (x0, y0) la grfica de f se ve casi plana, siendo dicho planoprecisamente el plano tangente.Los dos primeros trminos de la derecha de la ecuacin 2.5 se denomina ladiferencial defy se denota dfo ms comnmente dz as:

dz=f

x(x0, y0)x + f

y(x0, y0)y

y es una aproximacin para el incremento z. Si le aplicamos esta definicin alas variables independientes xy y obtenemos que dx =

x

xx+ x

yy = x

y de la misma manera, dy =y. Por esta razn, es comn que la diferencialen cualquier punto (x, y)se escriba en la forma

dz =f

xdx +

f

ydy. (2.7)

Nota. A veces, por abuso de notacin, la ecuacin 2.7 se escribe

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dz = z

xdx +

z

ydy

Sifes diferenciable en(x0, y0), de la ecuacin 2.6 se deduce de forma inmediataque fes continua en dicho punto pues claramente f(x, y) f(x0, y0) cuando(x, y) (x0, y0).Contrario a lo que sucede en el caso de una variable en el que la existenciade la derivada es suficiente para garantizar la existencia de la recta tangente,para una funcin de dos variables la sola existencia de las derivadas parcialesno implica la existencia del plano tangente. Por ejemplo, la funcin

f(x, y) =

xyx2 + y2

si (x, y) = (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

no es diferenciable en (0, 0) pues aunque f

x(0, 0) =

f

y(0, 0) = 0, la funcin

no es continua en(0, 0). Abajo se muestra su grfica generada por MuPad parax[0.01, 0

.

01]y y[0.01, 0.01].

El teorema siguiente establece las condiciones suficientes para la diferenciabil-idad.

Teorema 2.3.2 Si las derivadas parciales dez = f(x, y)existen y son contin-uas en (x0, y0) entoncesfes diferenciable en dicho punto, es decir,z puedeescribirse como en la ecuacin 2.5.

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2.4. La Regla de la Cadena

Seaz = f(x, y)un campo escalar diferenciable en un conjunto abierto U R2,y supongamos que x = x(t) y y = y(t) son funciones diferenciables de t. Setiene entonces que z = z(t) = f(x(t), y(t)), esto es, tenemos la composicinz(t) =f

h(t)donde h es la funcin vectorial definida por h(t) = (x(t), y(t)).

El teorema siguiente establece la forma como se calcula la derivada z (t):

Teorema 2.4.1 En las condiciones del comentario anterior, se tiene que

dz

dt =

f

x

dx

dt +

f

y

dy

dt (2.8)

Demostracin. Puesto que fes diferenciable se tiene que

z= fx

x + fy

y+ 1x + 2y

donde(1, 2) (0, 0)cuando (x, y) (0, 0).Dividiendo ambos miembros de la ecuacin por ty tomando el lmite cuandot 0obtenemos

dz

dt =

f

x lmt0

xt +

f

y lmt0

yt + lmt01

xt + lmt02

yt (2.9)

donde(1, 2) (0, 0)cuando (x, y) (0, 0).Por un lado, lm

t0xt =

dx

dt y lm

t0yt =

dy

dt. Por otro lado,

lmt0

x= lmt0

x(t+ t) x(t) = 0

puesto quex = x(t)es una funcin continua (por ser diferenciable). De la mis-ma manera, lm

t0y= 0, lo que significa que lm

t01 = lmt0

2= 0por lo que

la ecuacin 2.9 se convierte en la ecuacin 2.8.

Nota. A veces, por abuso de notacin, la regla de la cadena se escribe as:

dz

dt =

z

x

dx

dt +

z

y

dy

dt

En el caso en que x y y sean funciones diferenciables de dos variables s y t,x= x(s, t), y = y(s, t), entonces z = z (s, t) =f(x(s, t), y(s, t))y las derivadasparciales dez con respecto a s y t estn dadas por:

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d

dt

z

y

=

2z

xy

dx

dt +

2z

y2dy

dt

reemplazando estas dos expresiones en la ecuacin 2.12, asumiendo que lasderivadas parciales mixtas son iguales y reduciendo trminos semejantes, obten-

emos la expresin

d2z

dt2 =

2z

x2

dx

dt

2+ 2

2z

xy

dx

dt

dy

dt +

2z

y2

dy

dt

2+

z

x

d2x

dt2 +

z

y

d2y

dt2

La regla de la cadena para una funcin de tres variables w= w(t) =f(x(t), y(t), z(t))tiene una forma anloga a la ecuacin 2.8:

dw

dt =

w

x

dx

dt +

w

y

dy

dt +

w

z

dz

dt (2.13)

2.4.1. El vector gradiente

Observe que la ecuacin 2.8 puede escribirse en la forma

dz

dt =

f

x,f

y

dx

dt,dy

dt

El vector

f

x, f

y

se denomina gradiente de fen(x, y)y se denotaf, as:

f=

f

x,f

y

Nota. La notacin fsignificaf(x, y).

Si calculamos el gradiente en un punto (x0, y0)escribimos

f(x0, y0) =

fx

(x0, y0),fy

(x0, y0)

Si escribimosr(t) = (x(t), y(t)), entoncesr(t) =

dx

dt,dy

dt

y la ecuacin

2.8, calculada en un punto t0, toma la forma

dz

dt|t=t0 =

d

dt|t=t0f(r(t)) = f(r(t0))

r (t0) (2.14)

Podemos utilizar la forma de la regla de la cadena como la expresa la ecuacin2.14 para probar que el vector gradiente dez = f(x, y)en un puntoP= (x0, y0)es perpendicular a la curva de nivelf(x, y) = k que pasa porP.Para ver esto,

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supongamos que dicha curva de nivel est descrita por la funcin vectorialr(t) = (x(t), y(t)) que pasa por P en un tiempo t0, esto es, P =r(t0) =(x0, y0). Es claro entonces que debe ser f(x(t), y(t)) = f(

r(t)) = k. Derivandoa ambos lados de esta ecuacin tenemos que

d

dtf(r(t)) = 0 (2.15)

Aplicando la frmula 2.14 para el lado izquierdo de la ecuacin 2.15 en el puntoP, tenemos que

f(x0, y0) r (t0) = 0

lo que prueba lo afirmado. La grfica abajo ilustra la situacin.

De la misma manera, el vector gradiente de una funcin de tres variablesw = F(x, y, z) en un punto P = (x0, y0, z0) es perpendicular a la superfi-cie de nivel S definida por la ecuacin F(x, y, z) = k que pasa por P. Sir(t) = (x(t), y(t), z(t))es cualquier curva sobreSque pasa porPen un tiem-po t0, entoncesF(

r(t)) = k y de nuevo

F(x0, y0, z0) r (t0) = 0 (2.16)

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Como la ecuacin 2.16 es vlida para todas las curvassobreSque pasan porP,resulta natural definir el plano tangente a Sen el punto Pcomo el plano quepasa porP(x0, y0, z0)y que tiene por vector normal el gradiente F(x0, y0, z0),por lo que su ecuacin ser

(x

P)

F(P) = 0

siendo su expresin cartesiana

F

x(x0, y0, z0)(x x0) + F

y(x0, y0, z0)(y y0) + F

z(x0, y0, z0)(z z0) = 0.

(2.17)Observe que como la grfica de una funcin de dos variables z = f(x, y)puedeverse como la superficie de nivel F(x, y, z) = 0donde F(x, y, z) =f(x, y) z,al aplicar la ecuacin 2.17 a esta Fen particular, obtenemos la ecuacin 2.3.

2.5. Derivadas Direccionales

Recordemos que la derivada parcial con respecto a x de una funcin de dosvariables z = f(x, y)se define por

f

x(x0, y0) = lm

t0f(x0+ t, y0) f(x0, y0)

t

Esta es la misma ecuacin 2.1 en donde hemos reemplazadox por t. Estaexpresin puede escribirse en la forma

f

x(x0, y0) = lm

t0f((x0, y0) + t(1, 0)) f(x0, y0)

t

Si escribimosx0 = (x0, y0)yi = (1, 0)obtenemos

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f

x(x0) = lm

t0f(x0+ ti ) f(x0)

t

De la misma manera, escribiendoj = (0, 1)la derivada parcial con respecto a

y se escribe

f

y(x0) = lm

t0f(x0+ tj) f(x0)

t

Esta forma de expresar las derivadas parciales muestran que dichas derivadasse calculan tomando la variacin de fa lo largo de las rectas (t) = x0+ tiy

(t) =x0+ tj, esto es, rectas paralelas a los ejes coordenados que pasanporx0. Podemos pensar en generalizar esto, calculando la variacin de f alo largo de cualquier recta que pase por x0, esto es, una recta de la formar(t) =x0+ tu dondeu es un vector unitario cualquiera. Esto nos conduceal concepto de derivada direccional en la direccin de un vector unitario u enun puntox0, denotadaDu f(x0)y definida de la manera natural

Du f(x0) = lm

t0f(x0+ tu ) f(x0)

t (2.18)

y se puede interpretar geomtricamente como la pendiente de la tangente dela curva de interseccin de la grfica de fcon un plano perpendicular al planocoordenado xy en el puntox0.

Es claro entonces que

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f

x(x0) = Dif(x0)

f

y(x0) = Djf(x0)

esto es, las derivadas parciales son las derivadas direccionales en las direccionesi yj , que corresponden a las pendientes de las tangentes de las curvas deinterseccin de la grfica de fcon planos perpendiculares al plano coordenadoxyparalelos a los planos coordenadosxzy yzrespectivamente, como se explicen la seccin 2.3.1.

Una forma sencilla de calcular la derivada direccional en la direccin de unvector unitariou de una funcin f la da el siguiente teorema:Teorema 2.5.1

Du f(x0) = f(x0) u (2.19)

Demostracin.Si llamamosr(t) = x0+ tu a la recta que pasa porx0 convector directoru , entoncesr(0) = x0 y

r (0) = u . Entonces

d

dt|t=0f(r(t)) = lm

t0f(r(t)) f(r(0))

t

= lmt0

f(x0+tu ) f(x0)t

= Du f(x0)

Pero, por la regla de la cadena (ecuacin 2.14) se tiene que

d

dt|t=0f(r(t)) = f(r(0))

r (0)

= f(x0) ulo que demuestra el teorema.

Nota. Observe que la definicin de derivada direccional (ecuacin 2.18) suexpresin en trminos del gradiente (ecuacin 2.19) es vlida para cualquiercampo escalarfdefinido en Rn.

La derivada direccional de un campo escalar fen un puntox0 en la direccinde un vectoru (unitario), representa la tasa de cambio de f en dicho puntoen la direccin dada. Podemos preguntarnos por la direccin en la cual dichatasa de cambio es mxima mnima. Podemos encontrar la razn de cambiomxima y mnima de fa partir de la ecuacin 2.19. Puesto queu = 1,

Du f(x0) = f(x0) u

= f(x0) cos

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dnde es el ngulo entre f(x0)y u . Puesto que el coseno oscila entre 1y1, la razn mxima se obtiene cuandocos = 1, esto es = 0, es decir, cuandou y f(x0)tienen la misma direccin y es mnima cuando cos = 1, esto es= , es decir, cuandou yf(x0)tienen direcciones opuestas. Resumiendo,la derivada direccional mxima se obtiene en la direccin del gradiente, esto es,

u = f

f y su valor esD f||f|| f= f; la derivada direccional mnima seobtiene en la direccin opuesta al gradiente y su valor es f .

2.6. Mximos y Mnimos.

1. f(a) es un valor mximo global de f en U si f(a)f(x, y) para todo(x, y) U.

2. f(a) es un valor mnimo global de f en U si f(a)f(x, y) para todo(x, y) U.

3. f(a)es un valor extremo global def enUsi es un valor mximo globalo mnimo global.

Son vlidas las mismas definiciones, sustituyendo la palabra global por local en(1) y (2), cuando las desigualdades se cumplen en alguna vecindad abierta dea .La definicin es una generalizacin natural de las mismas nociones para fun-ciones de una sola variable; y an ms, las generalizaciones para funciones detres y ms variables son claras.

Teorema 2.6.1 (Existencia de mximo o mnimo)) Si f es continua en undominio cerrado y acotadoU, entoncesfalcanza tanto un valor mximo globalcomo un mnimo global enU.

A continuacin definiremos lo que son puntos frontera, puntos crticos y puntossingulares.

1. Puntos frontera.Vea la seccin 2.2

2. Puntos crticos. Decimos quea es un punto crtico si es interior en Udondefes diferenciable y f(a) = 0.En dicho punto, el plano tangentees horizontal.

3. Puntos singulares. Decimos que a es un punto singular si es interior enUdondefno es diferenciable (por ejemplo, un punto de la grfica dondeftiene una esquina aguda).

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Teorema 2.6.2 (Condiciones necesarias para los extremos) Seaf unafuncin definida en un conjunto U que contiene aa . Si f(a) es un valorextremo, entoncesa deber ser un punto frontera deU, o un punto crtico def, o un punto singular def.

Demostracin.Supongamos que a = (x0, y0)no es punto frontera ni singular(por lo que a ser un punto interior en el que fexiste) y veremos si f(a) =0 Puesto que ftiene un valor extremo en (x0, y0),la funcin g (x) =f(x, y0)

tiene un valor extremo enx0.Adems,g es diferenciable en x0puesto quef loes para(x0, y0)y por lo tanto, por el teorema del punto crtico para funcionesde una variable,

g(x0) = fx(x0, y0) = 0

En forma anloga, la funcin h(y) = f(x0, y) tiene un valor extremo en y0 ysatisface la expresin

h(x0) = fy(x0, y0) = 0

El gradiente es cero, ya que ambas derivadas parciales son 0.

Ejemplo 2.6.1 Encuentre el valor mximo o mnimo local def(x, y) =x2 2x + y2/4.

Solucin La funcin dada es derivable en todo el plano xy. Por lo tanto,los nicos puntos crticos posibles son los puntos crticos que se obtienen aligualar a cero fx(x, y) y fy(x, y). Pero fx(x, y) = 2x 2 y fy(x, y) = y /2soniguales a cero slo cuando x = 1 e y = 0. Falta por decidir si (1, 0) es unmximo, un mnimo o nada de esto. Pronto desarrollaremos un instrumentopara esto, pero por ahora debemos proceder con un poco de ingenio. Obsrvesequef(1, 0) = 1y que

f(x, y) = x2 2x + y2

4 =x2 2x + 1 y

2

4 1 = (x 1)2 + y

2

4 1 1

Por lo tanto, f(1, 0) es en realidad un mnimo global de f. No hay valoresmximos locales.

Ejemplo 2.6.2 Encuentre los valores mximo o mnimo locales def(x, y) =x2/a2 + y2/b2.Solucin. Los nicos puntos crticos se obtienen al igualar a cero fx(x, y) =2x/a2 y fy(x, y) = 2y/b2.Esto produce el punto (0, 0)que no da mximo nimnimo (vea la figura 11). Se llama punto de silla. Debe notarse que en todavecindad de (0, 0) hay puntos en los que f(x, y) < f(0, 0), y otros puntos enlos quef(x, y)> f(0, 0).La funcin dada no tiene extremos locales.Este ejemplo ilustra la dificultad de que f(x0, y0) = 0no garantiza que existaun extremo local en(x0, y0).Por fortuna, existe un criterio regular para decidirlo que sucede en un punto crtico. El prximo teorema es un anlogo a la pruebade segunda derivada para funciones de una variable.

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2.6.1. Criterio para determinar extremos de funciones dedos variables

Teorema 2.6.3 [Condiciones suficientes para los extremos] Supngase quef(x, y)tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad dea R2 y que

f(a) = 0. SeaA = 2f(a)

x2 , B =

2f(a)xy , C =

2f(a)y2 y seaHf(a)

la matriz definida por

Hf(a) =

A BB D

EscribamosD(a) = det(Hf(a)). Entonces

1. SiD(a)> 0 y 2f(a)x2

>0, entonces tiene un mnimo relativo ena .

2. SiD(a)> 0 y 2f(a)x2

0, se tiene entonces que 2f(a)x2

2f(a)

y2 >

2f(a)

xy

2 0, por lo que las dos derivadas

2f(a)x2

y 2f(a)

y2

deben tener el mismo signo. As, si 2f(

a)

x2 > 0, se tiene concavidad haciaarriba en las direcciones de ambos ejes, por lo que se puede sospechar que

ena existe un mnimo. Y si 2f(a)x2

< 0, se tiene concavidad hacia abajo

en la direccin de ambos ejes, por lo que se puede sospechar la existenciade un mximo ena . En el caso 3, en el cual D(a) < 0, el producto delas dos derivadas

2f(a)x2

y 2f(a)

y2 debe ser negativo y por lo tanto deben

tener signos opuestos; de tal manera que tenemos concavidad hacia arriba en ladireccin de uno de los ejes y concavidad hacia abajo en la direccin del otro,por lo que sospechamos un punto silla ena. Se deja al estudiante comprobarla parte 4.

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Ejemplo 2.6.3 Encuentre los extremos, si los hay, de la funcin f(x, y) =3x3 + y2 9x + 4y.Solucin. Puesto quefx(x, y) = 9x29y fy(x, y) = 2y + 4,los puntos crticosque se obtienen al resolver las ecuaciones simultneas fx(x, y) = fy(x, y) = 0son(1,

2)y (

1,

2).Ahora bien,fxx(x, y) = 18x, fyy(x, y) = 2y fxy(x, y) =

fyx(x, y) = 0.Por lo tanto, en el punto crtico (1, 2)tenemosD(1, 2) = fxx(1, 2)fyy(1, 2) f2xy(1, 2) = 18(2) 0 = 36> 0

Adems,fxx(1, 2) = 18> 0,por lo que segn el teorema anterior, f(1, 2) =10es un valor mnimo local def .En la comprobacin de la funcin dada enotro punto crtico(1, 2)encontramos quefxx(1, 2) =18, fyy(1, 2) =2yfxy(1, 2) = 0, lo cual produceD(1, 2) = 36< 0. Entonces,(1, 2)es un punto de silla y f(1, 2)no es valor extremo.Ejemplo 2.6.4 Encuentre los valores mximo y mnimo de f(x, y) = 2x2 +y2 4x 2y+ 5 en el conjunto cerrado U= {(x, y)| x2 + y2/2 1}.Solucin. Como fx(x, y) = 4x

4y fy(x, y) = 2y

2,el nico punto crtico

posible es (1, 1). Sin embargo, este punto est fuera de U,entonces puede serignorado. La frontera de Ues la elipse x2 +y2/2 = 1, que se puede describirparamtricamente por

x= cos t, y=

2sen t, 0 t 2Deseamos maximizar o minimizar la funcin de una variable

g(t) = f(cos t,

2sen t), 0 t 2Por la regla de la cadena,

g(t) = f

x

dx

dt +

f

y

dx

dt = (4x 4)(sen t) + (2y 2)(

2cos t)

= (4 c os t 4)(sen t) + (22 sen t 2)(2cos t) = 4 sen t 22cos tHaciendo g(t) = 0 obtenemos tan t =

2/2 con los dos soluciones t1 =

arctan(

2/2) y t2 = + t1. De donde g(t) tiene los cuatro puntos crticos0, t1, t2 y 2 en el intervalo [0, 2]. Estos, a su vez, determinan los tres pun-tos (1, 0), (2/

6, 2/

6) y (2/6, 2/6) en la frontera de U. Los valores

correspondientes de f son

f(1, 0) = 3, f

2

6,

26

2,101, f

26

,2

6

11,899

Luego, concluimos que el valor mnimo de f en Ues 2.101 y el valor mximoes 11.899.

54


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Ejemplo 2.6.5 Encuentre la distancia mnima entre el origen y la superficiez2 =x2y+ 4.

Solucin.Sea P(x, y, z)un punto cualquiera de la superficie dada. El cuadra-do de la distancia entre el origen y P es d2 = x2 +y2 +z2. Busquemos lascoordenadas de P que hagan que d2 (y por lo tanto d ) sea mnima. PuestoquePpertenece a la superficie, sus coordenadas satisfacen la ecuacin de sta.Sustituyendoz2 =x2y + 4en d2 =x2 + y2 + z2 resultad2 como funcin de dosvariables x e y

d2 =f(x, y) = x2 + y2 + x2y+ 4

Para obtener los puntos crticos, hacemos fx(x, y) = 0 y fy(x, y) = 0, con loque se obtiene

2x + 2xy= 0 y 2y+ x2 = 0

Por eliminacin dey entre esas ecuaciones, se tendr2x x3 = 0.Por lo tanto,x= 0o x = 2.Sustituyendo estos valores en la segunda ecuacin se obtieney = 0 e y =1. Luego, los puntos crticos son (0, 0), (2, 1) y (2, 1).Para probar cada uno de ellos, necesitamos fxx(x, y) = 2 + 2y, fyy(x, y) =

2, fxy(x, y) = 2x y D(x, y) = fxxfyy f2

xy = 4 + 4y 4x2

. Puesto queD(2, 1) =8 < 0, ni (2, 1) ni (2, 1) producen un extremo. Sinembargo, D(0, 0) = 4 > 0 y fxx(0, 0) = 2 > 0; por lo tanto, (0, 0) produce ladistancia mnima. Sustituyendox = 0e y = 0en la expresin de d2,obtenemosd2 = 4.Luego, la distancia mnima entre el origen y la superficie dada es 2.

2.6.2. Extremos condicionados.

Ahora distinguimos entre dos clases de problemas. Encontrar el valor mnimode f(x, y) es un problema de extremo libre. Encontrar el mnimo de f(x, y)sujeto a una condicin g (x, y) = 0es un problema de extremo condicionado ode extremo restringido. El ejemplo 2.6.5 de la seccin anterior fue un proble-ma de extremo condicionado. Se nos pidi encontrar la distancia mnima entre

la superficie z2

= x2

y + 4 al origen. Formulamos el problema de minimizard2 =x2 + y2 + z2 sujeta a la restriccin z2 =x2y+ 4.Manejamos el problemasustituyendo el valor de z2 de la restriccin en la expresin de d2 y despusresolvimos el problema de valor extremo libre que result. Sin embargo, confrecuencia sucede que no es fcil despejar una de las variables en la ecuacin derestriccin y, an cuando pueda lograrse, puede ser ms prctico otro mtodo.Este es el mtodo de multiplicadores de Lagrange.

El mtodo de Lagrange proporciona un recurso algebraico para encontrar lospuntos extremos restringidos. Sip0es un extremo restringido, entonces la curvade nivel y la restriccin son tangentes en dicho punto. Las grficas abajo ilustranesta situacin.

55


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Dichas curvas tienen una recta tangente comn y, por consecuencia, tienen unaperpendicular comn. Pero en cualquier punto de una curva de nivel, el vectorgradientefes perpendicular a ella (ver seccin 2.4.1) y en forma similar ges perpendicular a la curva de restriccin g (x, y) = 0, pues dicha curva puedeverse como curva de nivel de la funcin z = g(x, y). Por lo tanto, fy gsonparalelos en p0, es decir,

f(p0) =0g(p0)para algn nmero no nulos 0. Esto sugiere la siguiente formulacin del mtodode Lagrange.

Mtodo de multiplicadores de Lagrange. Si un campo escalar f(x1, x2,...,xn)tiene un extremo (mximo o mnimo) sujeto a la restriccin g(x1, x2,...,xn) = 0,entonces existe un escalar tal que

f=g

en dicho punto extremo. El nmero se llamamultiplicador de Lagrange.

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Teniendo en cuenta el mtodo de multiplicadores de Lagrange observemos quepodemos formar la siguiente funcin

L(x1, x2,...,xn, ) = f(x1, x2,...,xn) g(x1, x2,...,xn)conocida como funcin de Lagrange. En este caso los puntos extremos son

puntos crticos de Ly por lo tanto las derivadas parciales de la funcin L soncero en estos puntos.

Ejemplo 2.6.6 Encuentre el punto del plano 2x 2y+ z = 4 que est msprximo al origen.

Solucin. Se desea minimizar la distancia d =

x2 + y2 + z2 sujeta a 2x 2y+z4 = 0.Para facilitar el problema se minimiza el cuadrado de la distanciad2 =x2 + y2 + z2.La funcin de Lagrange ser

L(x, y, z, ) = x2 + y2 + z2 (2x 2y+ z 4)

Luego, el sistema de ecuaciones de Lagrange es

Lx

= 2x 2= 0, Ly

= 2y+ 2= 0, L

z = 2z = 0,

L

= 2x + 2y z+ 4 = 0

Si se sustituyen los valores de 2x, 2y y z de las tres primeras ecuaciones en lacuarta, se obtiene

2 2 2

+ 4 = 0, o 92

+ 4 = 0, o =8

9

Por tanto, x = 8/9, y =

8/9 y z = 4/9, as (8/9,

8/9, 4/9) es el punto

requerido, y la distancia de dicho punto al origen es64 + 64 + 16

81 = 4

4 + 4 + 1

81 = 4

1

9=

4

3

Ejemplo 2.6.7 Cual es el rea mxima que puede tener un rectngulo si lalongitud de su diagonal es 2?

Solucin. Coloque el rectngulo en el primer cuadrante con dos de sus ladosa lo largo de los ejes coordenados; entonces, el vrtice opuesto al origen tendrcomo coordenadas (x, y), siendo positivas x e y. La longitud de su diagonalser

x2 + y2 = 2 y su reaxy. Entonces podemos formular el problema como

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maximizacin def(x, y) = xy sujeta a la restriccin g(x, y) = x2 + y2 4 = 0.Formando la funcin de Lagrange

L(x, y, ) =xy x2 + y2 4llegamos al sistema de ecuaciones

Lx

=y 2x= 0, Ly

=x 2y= 0, L

= 4 x2 y2 = 0

Si multiplicamos la primera ecuacin por y y la segunda por x, obtenemosy2 = 2xy y x2 = 2xy, por lo que y2 = x2. De la tercera ecuacin paray2 = x2 encontramos x =

2 e y =

2; y sustituyendo estos valores en

x 2y = 0, y 2x = 0 resulta = 1/2. Entonces, la solucin del sistema, conservando positivas xe y, es x =

2, y =

2, = 1/2.Concluimos que el

rectngulo de mxima rea con diagonal 2 es el cuadrado cuyos lados miden2.Su rea es 2.

Observacin 2.6.1 El definir la funcin de Lagrange tiene su ventaja cuandotenemos que hallar los extremos de una funcinf(x1, x2,...,xn) sujetos am

restriccing1(x1, x2,...,xn) = 0, g2(x1, x2,...,xn) = 0, ..., gm(x1, x2,...,xn) = 0donde suponemosm < n. La funcin de la Lagrange en este caso est definidapor

L (x1, x2,...,xn, 1, 2,...,m) = f(x1, x2,...,xn) + 1g1(x1, x2,...,xn)

+2g2(x1, x2,...,xn) + ... + mgm(x1, x2,...,xn)

Ejemplo 2.6.8 Hallar el mximo de la funcinf(x, y, z) = x + y+ z sobre lacurva determinada por el plano x + 2y+ 3z = 0 y el cilindro x2 + y2 = 1

Solucin:Observemos que las funciones que se determinar para definir las re-stricciones son g1(x, y, z) = x + 2y z y g2(x, y, z) = x2 + y2 4.Entonces la funcin de Lagrange es definida por

L(x, y, z, 1, 2) = x + y+ z+ 1(x + 2y z) + 2 x2 + y2 1Calculando las derivadas parciales e igualando a cero para hallar los puntoscrticos de L obtenemos

(1) L

x = 1 + 1+ 22x= 0

(2) L

y= 1 + 21+ 22y= 0

(3) L

z = 1 1 = 0

(4) L

1=x + 2y z = 0

(5) L

2=x2 + y2 1 = 0

58


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Al tomar 1 = 1 (de (3)) en (1)obtenemos 2x=1,o sea que x = 1/2.Similarmente,(2) nos da y= 3/(22).Substituyendo en (5) tenemos

1

(2)2 +

9

4 (2)2 = 1

as que (2)2

= 13/4, 2 =

13/2.Por tanto x = 213

, y = 313

y de (4)

tenemosz =x + 2y = 513

.Los valores que le corresponden para la funcinf son

213

313

513

= 1013

.

El valor mximo de f es 1013

.

Ejemplo 2.6.9 Utilizar el software MuPad para hallar el mximo de la funcinf(x, y) = x3 xy+ y2 + 3 con la restriccinx2 + 2y2 = 1. Hacer las grficasque muestren que los extremos se obtienen en los puntos en donde las curvasde nivel son tangentes a la curva de restriccin.

Solucin.

Definimos las funciones fy g como sigue:

F:=x^3-x*y+y^2+3-z

x3 xy+ y2 z+ 3

g:=x^2+2*y^2-1

x2 + 2y2 1

Dibujamos la superficie que corresponde a F en z = 0:

plot(

plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2))

59


59/107

Recordemos que las curvas de nivel se obtienen intersectando la superficie conplanosz = constante. Abajo se ve un ejemplo para z = 3,5:

plot(

plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Surface([x,y,3.5],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2,Color=RGB::Yellow),plot::Implicit3d(F|z=3.5, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=3.45..3.55))

Resolvemos el sistema

f(x, y) = g(x, y)g(x, y) = 0

que corresponde al sistema

60


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3x2 y = 2xx + 2y = 4yx2 + 2y2 = 1

tt:=numeric::solve([3*x^2-y=2*a*x,-x+2*y=4**y,x^2+2*y^2=1],[x,y,])

[x = 0.2359 - 0.5446 i, y = -0.7918 - 0.0811 i, = 0.5562 - 0.1777 i],[x = 0.2359 + 0.5446 i, y = -0.7918 + 0.0811 i, = 0.5562 + 0.1777 i],[x = 0.9468, y = -0.2275, = 1.5403],[x = 0.5440, y = 0.5933, = 0.2707],[x = -0.9853, y = -0.1207,= -1.5392],[x = -0.3106, y = 0.6721, = 0.6155]

Como se ve, se tienen dos soluciones complejas y cuatro reales. Aislamos lascuatro reales en la siguiente tabla:

table(1=tt[3],2=tt[4],3=tt[5],4=tt[6])

1234

x= 0,9468 y= 0,2275 = 1,5403x= 0,5440 y = 0,5933 = 0,2707

x= 0,9853 y= 0,1207 = 1,5392x= 0,3106 y = 0,6721 = 0,6155

Reemplazando los valores dex y y en la funcin f(x, y), obtenemos los cuatrovalores:

table(1=F|(x=0.9468,y=-0.2275,z=0),2=F|(x=0.5440,y=0.5933,z=0),3=F|(x=-0.9853,y=-0.1207,z=0),4=F|(x=-0.3106,y=0.6721,z=0))

1234

4,11583,19021,93903,6305

La grfica siguiente muestra las cuatro curvas de nivel y la curva de restriccincon los puntos de tangencia en donde se encuentran los extremos.

plot(plot::Implicit2d(F|z=4.1158,x=-2..2,y=-2..2),plot::Implicit2d(g,x=-2..2,y=-2..2,Color=RGB::Black),plot::Implicit2d(F|z=3.1902,x=-2..2,y=-2..2,Color=RGB::Green),plot::Implicit2d(F|z=3.6305,x=-2..2,y=-2..2,Color=RGB::Red),plot::Implicit2d(F|z=1.939,x=-2..2,y=-2..2,Color=RGB::Brown),plot::Point2d([0.94,-0.22],Color=RGB::Blue),plot::Point2d([0.54,0.59],Color=RGB::Green),

61


61/107

plot::Point2d([-0.98,-0.12],Color=RGB::Brown),plot::Point2d([-0.31,0.67],Color=RGB::Red))

Las cinco grficas siguientes muestran la superficie con su restriccin y las

curvas de nivel correspondientes a los cuatro valores anteriores, vindose clara-mente que los extremos se obtienen en los puntos de tangencia.plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue))

plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),

62


62/107

plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(F|z=4.1158, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=4.1..4.2),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue),plot::Implicit3d(F|z=4.1158,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1))

plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(F|z=3.1902, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=3.1..3.2),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue),plot::Implicit3d(F|z=3.1902,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1))

plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),

63


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plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(F|z=1.939, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=1.9..2),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue),plot::Implicit3d(F|z=1.939,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1))

plot(plot::Curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t),(cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t = 0..2*PI,LineWidth=1),plot::Surface([x,y,F|z=0],x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2),plot::Implicit3d(F|z=3.6305, x =-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,z=3.6..3.7),plot::Implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1,LineColor=RGB::Blue),plot::Implicit3d(F|z=3.6305,x=-2..2,y=-2..2,z=0..0.1))

Tenemos entonces el mximo z = 4,1158 en el punto (0,9468, 0,2275) y elmnimoz = 1,9390en el punto (0,9853, 0,1207).

64


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Observe en este ejemplo que existen otros dos puntos de tangencia en dondeno hay extremos; esto demuestra que la condicin de tangencia de la curva denivel con la curva de restriccin para la existencia de un extremo, es solamenteuna condicin necesaria pero no suficiente.

2.7. *Temas de Lectura

2.7.1. Campos Escalares y Campos Vectoriales

En este captulo consideramos las funciones de subconjuntos U Rn (n >1)a Rm (m 1) .Cuando m = 1, las funciones

f : U Rn Rx f(x )x = (x1, x2,...,xn), le llamaremos campos escalares o funciones de varias vari-ables. Un campo escalar asigna a cada vectorx un nmero real f(x ) R.Cuandom >1, definiremos los campos vectoriales como funciones

F : U Rn Rm

x F(x )F(x ) = (f1(x ), f2(x ),...,fm(x ))

donde cada una de las componentes de

F, fi : U Rn R son camposescalares o funciones de varias variables. Hablaremos de un campo vectorialsobre Rn cuando

F : U Rn Rn. Un campo vectorial asigna a cada

vector x un vector F(x ) Rm.Ver la figura en caso de campo vectorial sobreR2 y R3 respectivamente.

65


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De acuerdo a la definicin de campo vectorial, podemos inicialmente hacer unanlisis de los campos escalares que naturalmente extenderemos a los camposvectoriales.Veamos algunos ejemplos de campos escalares y campos vectoriales:

Ejemplo 2.7.1 En el plano xy el dominio natural de

f(x, y) =

y x2

x2 + (y 1)2

esU= {(x, y) : y x2} (0, 1).

Ejemplo 2.7.2 Siz = f(x, y) = 13

36 9x2 4y2 y observemos quez 0.El dominio defes el conjunto

U= {(x, y) : 36 9x2 4y2 0}.

Ejemplo 2.7.3 En el caso dez = y2 x2, el dominio U= R2.

Definicin 2.7.1 El rango de una funcin de varias variablesf : UR

ocampo vectorial F : U Rn Rm es el conjunto representado porRfo R

F definido por

Rf= {f(x ) R : x U}

oR

F = {F(x ) Rm : x U}

respectivamente.

Definicin 2.7.2 Dada una funcin de varias variables o campo escalar f :U Rn R, la grfica def es definida como el conjunto

Gr(f) =

{(x1,x2,...,xn, xn+1) : xn+1 = f(x1,x2,...,xn), (x1,x2,...,xn)

U

}.

De esta definicin po

apunte resumen

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