1. UNIVERSIDA NACIONAL AUTO NOMA DE MEXICOFACULTAD DE INGENIERIA. APUNTES DEALGEBRA LINEALEDUARDO SOLAR GONZALEZ.LEDA SPEZIALE D.E GUZMANDIVISION DE CIEN.CIAS BASICAS ""'DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS BASICAS . FI/DCB/o '' 041

2. PRiOLOGO!,1~ .. I,.a presente obra, cuyo cohte:nido comprende los conceptos bsicosdel Algebra Lineal, es la.c~ntinuacin de nuestro trabajo publicadobajo el titulo Algebra. (primera parte), aunque es prcticamenteindependiente del mismo.Sin embargo, para un buen ap,rovechamiento del material que compre!!_de este volumen, es necesario que el lector .conozca las propied!! -.des de, los riGmeros reales, i'e. los nGmeros complejos y de los polinomios,incluyendo el clilcuio de ra!ces. Es conveniente tambinque tenga conocimientos de '&lgebra vectorial y de clilculo con funcionesde una variable.En el capitulo V, primero de este volumen, se estudian los sistemasde ecuqciones lineales desde un punto de vista prlictico, proporci2nlindose un mtodo general pcira obtener soluciones.Se aborda despus. de manera )amplia el tema de las matrices, fundamentalmentedesde el punto. d~ vista algebraico. Se estudian lasoperaciones de adicin, multiplicaci6n por un escalar y mult..plic!!cin de matrices 1 as! com.o ~us propiedades, incluyendo el problemade la inversa 1 se presentan .. ademlis algunos tipos especiales de ma-l!,trices de uso frecuente en las aplicaciones.La definicin de determinante se plantea aqu! desdeel Runto devista tradicional. se estud~an sus propiedades fundamentales y sedesarrollan m.todo generale~ para el clculo de determinantes.Se incluyen ademlis un par de aplicaciones al clilculo de la inversa 3. y a la resoluci6n de sistemas de ecuaciones lineales.En el captulo VIII se estudian los principales tipos de estructurasalgebraicas, introduci~ndose adems el importante concepto deisomorfismo.Los ltimos dos capl:tuJos, que son los de mayor extensi6n, compre_!!den los temas centrales del lgebra lineal desde el punto de vistaabstracto.En el. captulo IX se define matemticamente la estructura de espaciovectorial,. se estudian sus propiedades y conceptos. fundamentales.inherentes, ilustrndolos con ayuda de ej.emplos. Estos conce_Etos se aplican a la construcc.i6n de una teora para los sistemasde ecuaciones lineales y al tratamiento algebraico de las. funcio -nes.Se estudian tambin en este captulo los espacios vectoria,les conproducto .interno y los conceptos. mtricos. correspondientes, c'oncl!:!:yendo con un resultado de gran importancia para las aplicaciones.En el captulo X se estudian las transformaciones entre espaciosvectoriales, sus conceptos fundamentales, el lgel:>ra de las transformacioneslineales y la relaci6n de stas con las matrices; h~ -ciendo nfasis en los conceptos de valor y vector caracterstico ysu aplicacin al problema de la diagonaliz.aci6n.Concluye el captulo con el tratamiento de tipos especiales de op~radares en espacios con producto interno, abordando el problema dela diagonalizaci6n en estos espacios, as! como la descomposici6nespectral.En el presente trabajo hemos tratato de conservar la idea del ante 4. rior, en el sentido de buscar.. una presentaci6n para los conceptosfundamentales que sea accesib1e al estudiante,; sin renunciar a laformalidad minima que debe te:ner un libro sobre el tema.Queremos reit~rar aqui nuestro reconocimiento a los profesores conquienes tuvimos el agrado de ~rabajar en la preparaci6n de las notasque, .bajo el titulo de A~untes de .Algebra, public6 la Facultadde Ingenieria de la UNAM durLos sistemas compatibles pueden tener una sola soluc$6n, en cuyocaso diremos que son "defermirtados"; o ms de una soiuci6n, en cuyo caso diremos que son "indeterminados".De acuerdo con esto, los sistemas de ecuaciones lineales puedenclasificarse de la siguiente maneraSIS'l'EMA:S DEECUACIONES LINEALESINCOMPATIBLES(no tienen soluci6n) COMPATIBLES(tienen soluci6n)Transformaciones elementalesDETERMINADOS(una ,sola soluci6n)INDETERMINADOS(ms :de una soluci6.n).Cuando dos sistemas de ecuaciones lineales tienen lae; mismas sol.!!,ciones se dice que son "equivalentes".El mtodo que emplearemos en este capitulo para obte1:1er las solu-cionesde un sistema de ecuaciones lineales se basa en el empleode ciertas transformaciones, llamadas transformaciones element.! -les, que no alteran las soluciones del .s.istema; es decir, tran!. -formaciones que al aplicarse a un sistema dan .corno resultado unsistema equivalente.( 1)(2).En a.l.gurw6 ted.o6 6e emplea l. .tiJun. or 25. 11-211o307las cuales pueden obtenerse a partir de Mo efectuando, con losrenc_.lones, transformaciones 'anlogas a las des'critas con las ecu!!_cienes. Estas transformaciones, conocidas como "transformacioneselementales por rengl6n", consisten en:I) Intercambiar dos renglones.II) Multiplicar: un. rengl6n por un nmero diferente de c.ero.IIli Multiplicar un rengl6n 'p or un nmero y sumarlo a otro rengl6n, reemplazando este ltimo por el resultado obtenido.La ltima de las matrices anteriores (M3) se.dice que est en"forma escalonada" o que es ;una matriz e'scalonada. En general,~is~ dice que una ~atriz est Em forma escalonada si el nmero de-':eros anteriores al primer. eiemento. no nulo de cada ren9,l6n aume!!_~a al pasar de un rengl6n af siguiente, hasta llegar eve.ntualmen-tea renglones cuyos elementos son todos nulos.Por ejemplo, las siguientes matrices tambin son escalonadasr: -4 o 2 1 2 3 4 5 .6 o 3 :o o 23 -1 5 o o 5 -1 3 2 o o 1 1 1o -2 1 o o o o o 4 o o o o oLo o o 1 o o o o o o o o o o oRegresando al mtodo de Gimss, vemos que es conveniente represen-o1oo 26. 308 .-tar al sistema mediante una matriz y efectuar en ella las trans -formaciones necesarias para llevarla a la forma escalonada. Haremos esto para obtener las soluciones del siguiente sistema deecuaciones lineales.13Xl + 3X2 - X3 + X4 + 4xs 4X1 .+ X2 .. X3 - 2x4 - Xs 1 (So)- 2Xl - 2X2 + 2X3 - 3x, - 5xs -3Primero representarnos al sistema por medio de la matrizM o [:-231-2-1121-2-34-1-5La cual'trataremos de llevar hasta la forma escalonada mediantetransformaciones elementales por reng16n.Por lo general, conviene que el primer elemento no nulo de cadarengl6n sea un uno (o un menos uno) para eliminar fcilmente loscoeficients que se encuentran por debajo de l, .multiplicandosimplemente por los simtricos respectivos. Entonces, interca~ -biando .. el primero y segundo renglones de Mo obtenemos la matrizM.l [_:1 13. -1-2 2-2 -11 4-3 -5la cual tiene un uno en la primera posici6n del primer rengl6n.Ahora, mul t.iplicando dicho primer rengl6n por -3 y sumando al_ s~gundo y, a continuaci6n, multiplicando el mismo primer rengl6n~r 2 y sumando al tercero obtenemos la matriz 27. 309[: 1 :1 -2 -1 M2 o .-4 7 7 _Jo 4 -7 -7la cuai puede transform~rse en una matriz escalonada sumando elsegundo rengl6n al tercero, con lo que se obtiene[: 1 ..l. -2 -1 M3 o -4 7 7 :]o o o oEl tercer rengl6n de esta matriz representa a una ecuaci6n de laforma.que, como vimos, es satisfecha por cualquier conjunto de n valo -res. En consecuencia, la matriz M3 representa al siguiente sistema de dos ecuacionesX + X2 + X3 - 2X~ - Xs 1(S)- 4x3 + 7x~ + 7xs 1continuando con la idea del ejemplo anterior, de la segunda ecua-ci6nde S podemos obtener el valor de X3 s6lo que.ahoia este v~lo:r: no es nico,. sino que est en funci6n de los valores que tomen x~ y xs. Asi1 - 7x~. - 7x 5por lo que--- (1) 28. 310Llevando este valor a la primera ecuaci6n de S1 se obtieneX + X2 -xs 1podemos entonces dar cualquier valor a las inc6gnitas X2, Xo yxs y calcular, a partir de (1) y (2), loi valores correspondie~tesde X y x,. sedice por ello que el conjunto de expresi~-nesX(3)Xs Xsconstituye la "soluci6n general" del sistema So que, como se ve,es indeterminado.Si queremos obtener una "soluci6n particular" del sistema So; esdecir, una soluci6n en el sentido de la definici6n v.2.2, bastarcon elegir un conjunto de tres valores para x 2 , x, y Xs; porejemplo 'xs -1 29. 31}:y calcular, a partir de la soluci6n general, los correspo~dientesvalores de x1 y Xh Para los valo.res elegidos se. tiene:5 -3 + .i(4):3' .X o 4 - 4(-1)yX3 - 41 + 47 (4j. + 47 (-1) 5por lo que (0, 3, 5, 4, -1) es un soluci6n de So.Si hacemos ahora x2Xy1, x.5 34 - 1 - 4O y xs1-:.'!1, de (3) se obtene1 3 . por lo que (-2, 1, 2, O, 1) es otra soluci6n del sistema S0 En ocasiones los smbolos. correspondientes a las "variables li ,..bres" suelen reemplazarse por otras literales, las cuales! se con-viertenen parmetros de la si;>luci6n general. As por ej~emplo,para el caso anterior podemos~ expresar la soluci6n general (3) com o5 - + i:b- 3X 4 a 4 e.;..X2 a1 7 7X3 - 4 + 4b+ 4cx. bx 5 = edonde a, b y e pueden tomar c;:alqUier valor.Consideremos ahora el sistema: 30. 312X + 2y - z = 12x + 3z -2- X + 2y - 4z 43x + 2y + 2z -1al cual podemos representar con la matriz1 2 -1 12 o 3 -2-1 2 -4 43 2 2 -1Efectuando en ella transformaciones elementales por rengl6n lallevamos hasta la forma escalonada siguiente2 -1 1 1 2 -1 1 1 2 -1 1o 3 -2 o -4 5 -4 o -4 5 -4+2 -4 4 o 4 -5 5 o o o 12 2 -1 o -4 5 -4 o o o oEn la ltima matriz, el tercer rengl6n representa a una ecuaci6nde la formaOx + Ox + + Ox b, con b - O1 2 nque, como vimos, no tiene soluci6n. En consecuencia, el sistemaen cuesti6n es incompatible.A travs de los ejemplos anteriores hemos mostrado lo que sucedeal emplear el mtodo de Gauss en cada uno de los tres casos co -rrespondientes a la clasificaci6n de los ~istemas de ecuacioneslineales.En resumen podemos decir lo siguiente: 31. 313El mtodo de Gauss consiste en aplicar a un sistema d1~ m ecuacionescon n incgnitas (o a la matriz que lo representa::) una suce -,,sin de transformaciones elementals hasta llevarlo a:' la forma escalonada.Si durante el proceso se obtiene una ecuacin de la t:prmaOx + Ox + . + Ox O1 2 na la que se llama ecuacin nula, sta se desecha pues1to que cual-quierconjunto de n valores es una solucin de la mis;ma.Si durante el proceso se obtiene una ecuacin de la formaOx + ox + + Ox b; con b ;i O1 2 nel sistema es incompatible, puesto que dicha ecuaciri no tiene solucin; de otra manera el sistema es compatible.Si el sistema es compatible y al reducirlo a la forro~ escalonadase obtienen n ecuaciones no nulas, entonces el sistema es determi_;inado y su solucin se obtiene por sustitucin sucesiva de los va-loresde las incgnitas, a partir de la ltima cuyo valor es inmediato.Si el sistema es compatible y al reducirlo a la form1 escalonadase obtienen r < n ecuaciones n.o nulas, entonces el dis.tema es 'i!!.determinado y su solucin general se obtien~ deja~don- r incg-nitaslibres (es decir como parmetros) y expresando'a las otrasr incgnitas en funcin de stas. 32. - 314V.2.3 EJERCICIOS1.- Para la ecuaci6n linealdeterminar cules de los siguientes conjuntos ordenados sonsolucionesa) (~3, -1, 2) b) 1(1, -4, '!' 2) e) (-3, -1, 2, O)d) ('3! , -1, -1, 3) e) (3, 2, -1, -1, 3)2.- Para cada una de las siguientes ecuaciones lineales obtenertodas sus solucionesa) 3x - 2X2 + x, 5 b) 3x - 2X2 + x, oe) Ox + Ox2 + Ox, 5 d) OX + OX2 + Ox 3 oe) ax b; con a t o3.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones linealesX + 2y 3z -5 X + 2x2 - 3x 3 + 2x4 -1y + 2z 5 b) - X - 2x2 + 2x 3 - sx. 1a)-2x + y -11 2X + 4x2 - 5x 3 + 7x 4 -23x + z = 132x + 3y + z = 2 X2 - x, 3e) 2x y + z = 1 3x 1 + X2 + 2x 3 + x. 64x 2y + 2z 4 d) X + x, o2x 1 + X2 + x, + x. 6 33. 3154.- Para-cada uno d~ los siguientes sistemas ~e ecuasiones lineales2x - y - kz o kx + ya) X - y - 2z 1 b) X + k y- X + 2y + Oz k X + yDeterminar para qu valores de k,el sistema es:i) Incompat-ibleii) Compatible determinadoiii) Compatible indeterminado+; z = 1,,+ ,'1, z = 1' + kz 15.- Determinar para qu condiciones de a y b tiene sqlucin el siguiente sistema..,Si tales condiciones se cump~e~ Cul es la.,solucin del sistema?'- X + X2 + Xs bX - :!t2 +. Xs ia6. - Un sistema de ecuaciones lineales en el que todo$ los trminos!independientes son nulos s'e dice_. que es "homogn4o". Un sis-temahomogneo siempre es compa~ible puesto que ~dmite la so-,,lucin ... X X = = X o, 11ama4a solucin trivial.1 2 1 n "Para cada uno de los siguientes sistemas homogn7os, determinarsi el sistema a4mite soluciones no triviales!:{ en casoafirmativo obtenerlas2X + X2 - Xs o 2x + 6y + z = oa). X + 2x2 + 4xs o b) X + 3y o.,3X + 2x2 + 3xs = o - x - '3y + 4z =. o 34. CAPITULO VI MATRICESINTRODUCCIONEl estudio de los sistemas de ecuaciones lineales es un terna quede manera natural nos lleva al concepto de matriz. As1, en el e~p1tulo V se introdujeron las matrices corno una ayuda para repr~ -sentar, en forma tabular, un sistema de ecuaciones lineales, y f~cilitar con ello el empleo de las transformaciones elementales.A diferencia del capitulo anterior, en ste nos ocuparemos de lasmatrices corno entes matemticos con existencia propia, indepe~ -dientede los sistemas de ecuaciones lineales; ;:tunque encuentranen stos sus principales aplicaciones.Definiremos la manera corno las matrices pueden sumarse, multiplicarsey multiplicarse por escalares; analizando las principalesconsecuencias de dichas definiciones. Estudiaremos adems alg~nos t6picos y tipos especiales de matrices que son importantes enel campo de las aplicaciones. 35. 317Desde un punto de vista algebraico, las matrices rompen ~on la monoton1a establecida por. los diversos sistemas numricos, iya que1la multiplicaci6n viol,a una de las leyes que tradicionalipente se.haban cumplido en dichos sistemas:. la ley conmutC~:tiva. Esto.!itrae. como consecuencia que, en algunos aspectos, las mat~ices se1 separen del conocido comportamiento algebraico de los n~eros.VI.l CONCEPTOS GENERALESMatrizPodemos decir que una matriz es una "tabla" o ~arreglo rectangu -il -lar" de elementos que, usualmente, son nmeros reales o fomplejos.El concepto de matriz, sin embargo, puede generali'zarse ;!11 caso:en que los elementos sean polinomios, funciones, operadores ocualquier otro tipo de "entes matemticos" conservando fU val.!_-:1 dez la mayora de los conceptos y propiedades presentados en estecapitulo, en el cual se consider a la matriz como un arfeglo denmeros.- ",!VI.l.l DEFINICIONUna matriz de mxn con elementos en.C es un arregI.ode la formaam1donde a 1 1, a u,a mza mnana zna mnE e y m, n E z. 36. 318Una matriz de mxn (lase "m por n") se dice tambin que es de "orden" rnxn.En forma abreviada, la matriz de la definici6n anterior:puede ex-presarsecomodonde i 1, 2, . , m y 1, 2, , n.Renglones y columnasAl arreglo horizontal . ''.se le conoce coma el primer rengl6n de la matriz, al arr~glo2 1 2 2 a J . 2n[ a acomo el segundo rengl6n, y en general al arreglo horizontal[ a. a . a.] J.l J.2 J.nse le conoce como el i-simo rengl6n de la matriz.En forma anlog.a, al arreglo verticalra .. IJa ...2 ]Larnjse le conoce como la j-sima columna.As1, en una matriz de mxn pueden distinguirse m renglones - ~ -(i = 1, 2, , m) y n columnas (j = 1, 2, , n). En particular 37. 319si m = n se dice que la matriz es "cuadrada" de orde"" ri.Comnmente se representa a las matrices con letras rn~ysculas y aisus elementos con letras minsculas. Corno ejemplos de matrices tenernos las siguientesl+i 2 -3i lli 2 o 4i 7 [1 J ,.l-3i ,o = l' 3 1-j :]B = o e-1 l-2i 3 4 12 2 -1;!-2 o 5 o l'donde A es una matriz de 4x3, B. es una matriz. de lx3 i (conocida co. ~rno "matriz rengln" o "vecto:- rengln"), e es una rnattiz de 4xl(conocida corno "matriz columna" o "vector columna"), 1'y D es una~ ~:matriz cuadrada de orden t:r;e.!l.La igualdad de matrices.'Se dice que dos matrices son iguales cuando tienenmentes y ~stos se encuentran dispuestos de la mismabes arreglos.lqs' mismos ele!i manera en arn-''Esta idea puede expresarse en trminos ms precisos don ayuda dellsmbolo aij' que representa al elemento que se encuentra en la P2sicin correspondiente al rengln i y a la columna j de la matrizA. As!, por ejemplo, para las matrices A, B, C y D c;:i.tadas anteriormentese tiene quea23 7a u l-2ibl3 .1 =-'!c33 no existe 38. 320d33 = O, etc.En consecuencia, la igualdad de matrices se define formalmente ceme sigueVI.1.2 DEFINICIONy dos matrices de mxn conelementos en c. Diremos que A y B son iguales, lo.querepresentaremos con A = B, si:a ..l.Jb ..l.Jpara iAs!, por ejemplo, las matricesA1, 2, .. , m y jy B1, 2, ," nno son iguales, a pesar de que son del mismo orden y tienen losmismos elementos ya que, aunque se cumplen las igualdadesa 11 buse tiene adems quea22 '1 b22ypor lo que A y B no satisfacen la condici6n de igualdad establecidapor la definici6n VI .l. 2. 39. 321Tambi~n de VI.1.2 se sigue que, para las matricesM y Nla igualdad M = N se cumple si y s6lo si x = -1, ~ = O y z' = w.;VI.2 ADICION DE MATRICES Y MULTIPLICACION POR UN ' ESCALARLa adici6n de matricesLa primera.de las operaciones con matrices que estudiaremos, y!'tambi~nla ms sencilla, es la adici6n. Esta operaqi6n puedeiefectuarse cuando las matrices son del mismo orden ~ el resultado11se obtiene sumando los elementos correspondientes d~ ambas matri-ces,de acuerdo con la siguiente definici6n.VI. 2.1 DEFINICIONSean A = [aij] [bi~ 1 y B = dos matrice~ de mxn conelementos en C. La suma A + B es una matriz' S = [siJ de mxn, definida pora .. + b .. 1,2, ,m y ::1;S .. ; para i 1, 2, n.~ J ~]~]As1, por ejemplo, para las matricesA [ : ::i] B = [-~ _: ]-2i 4 3 -4o[- 1 it ,.7+:i;5y e 40. 322se tiene queA + B [3+1-2::~-2)-5+2 ]l+i+ (-i)4+(-4)mientras que la adici6n de A yc no puede efectuarse, ya que lasmatrices no son del mismo orden. Se dice por ello que A y C "noson conformables" para la adici6n y, en consecuencia, la sumaA + e no existe.La adici6n de matrices, definida por VI.2.1, satisface las propi~dades que se enuncian a continuaci6n.VI.2.2 TEOREMASi A, B y C son matrices de mxn cuyos elementos son nmeros com-plejos,entonces:i) A+ (B + C) (A + B) + e asociatividadii) A+ B = B + A conmutatividadiii) Existe una matriz O de mxn tal queA+ o = A elemento idnticoiv) Existe una matriz -A de mxn tal queA + (-A) = o elementos inversosDEMOSTRACIONSe demostrarn a continuaci6n las propiedades ii), iii) y iv).ii) Sean A= [ai~tos en c.y B = [bi~. dos matrices de mxn con elemen - 41. 323-Por VI.2.1 se tiene queA + ByB + A[ aij + bij][ bij + a.i~' ' Como aij y b.ij son nmeros complejos '1- i, j; por iii) deII. l. 4t .. = b .. +a .. =a .. + b ..lJ lJ l] l] lJpor lo que, de VI.l.2A+B=B+Aiii) Sea A= [aiJ una matriz de mxn con elementos en y.Si definimos la matriz O= [oiJ como oij = O (cero) parai = 1,2, , m y j = 1,.2, , n; entoncesA+ O [aij + oij] por VI. 2.1;:[aij + o] p,or defini9i6n de[ aij] por iv) d,e II. l. 4A + O A como se qu~ra.oA la matriz O, que es una matriz de mxn cuyos elementos sontodos nulos,de mxn.se le conoce como "matriz nula" o "m~triz cero","iv) Sea A= [ai~ una matriz de mxn con elementos en C.y laSi definimos la matriz -A= [viJ como vijentoncesA+(-A) [ aij + (v ij )J por[ aij + (-aij)J por[o J , >. i, j porA+(-A) o porprueba termina.-a .. i.'l- i, j;l J ,VI. 2:1definicin dei:V) de II.l. 4'de f inii': i6n de;1-Ao 42. 324A la matriz -A, que es una matriz de mxn cuyos elementos son lossimtricos de los elementos de A; se le conoce como la "simtricade A" o la "negativa de A".DLa sustraccin de matricesLa resta o sustraccin qe matrices puede definirse ahora, a paE -tir de la adicin y de iv) de VI.2.2, como sigueVI.2.3 DEFINICIONSean A = [ a 1j]elementos en C.y B = [b1J dos matrices de mxn conLa diferencia A - B se define comoA - B A + (-B)De acuerdo con esta definicin, para obtener la diferencia A - Bbastar con restar a los elementos de la matriz A los elementoscorrespondientes de la matriz B, puesto queA - B = A+ (-B) = [aij + (-bij~As, por ejemplo, para las matricesB [-~ _: 13 -4que vimos anteriormente, se tieney eA - B-5-2 j l : ::2ij-3- 2i 8l+i- (-i)4- (-4)mientras que la diferencia A - C no existe. 43. 325De la definici6n VI.2.3 se sigue que dos matrices sort conformables para la resta si y s6lo si son del mismo orden.,!1La multiplicaci6n por un escalarEn ocasiones, y particularmente desde el punto de vi~ta de lasl.aplicaciones, se requiere multiplicar una matriz por!: un nmero, ,, .al que genricamente se le conoce como "escalar". E~ta operaci6n,denominada "multiplicaci6n por un escalar", se defin~ formalmentecomo sigueVI.2.4 DEFINICION~~Sean A -[a J - ij una matriz de mxn con elementbs en e ,,y a E C. El producto aA es una matriz E = [e. l1 1jjde mxn, definida pore .. para i1, , m y j1JAs!, por ejemplo, el producto del escalar a 2i porl la matrizes la matrizaA = (2i) [-ii -3(2i) (1) J 2(2i) (l+i) =; ~21 J [ (2i) (-i)1+i = (2i) (i) -6io (2i) (O) o(2i) (-3)La multiplicaci6n por un escalar satisface las siguientes propie-dades. 44. - 326VI.2.5 TEOREMASi A y B son matrices de mxn con elementos en Cy a, B F; e, entonces:i)ii)a(A + B)(CI + fl)ACIA + CIBCIA + BAiii) a(BA) = (aB)ADEMOSTRACIONSe demostrar a continuaci6n la propiedad i), dejando al lectorcomo ejercicio la demostraci6n de las restantes.i) y B = [bi~ dos matrices de mxn con ele -mentes en C y a un escalar de C, entoncesA+ B [aij + bi~ por VI. 2.1a(A + B) [a(aij + bij ~ por VI."2.4= [a a i j + Clbi~ por vi) de II.l.4[aai j] + [abi~ por VI. 2.1a(A + B) CIA + CIB por VI. 2.4como se queria.oVI.2.6 EJERCICIOS1.- Para las siguientes matricesA = [: -: a: 3] B = [~~ _: -:] e [-~ : :: J2 -1 -3 b31 1 3 5 1' 3Jdeterminar los valores de a 23 , b 31 y c 23 que verifican laigualdad A + 3B = 2C 45. 3272.- Para las siguientes matrices.3.-calcular A+ B; A- B,'B- A, ~A- el i 2t]e = 2-i lt.,-1 Ji 'iy 3B + 2e. r,,Demostrar que si, A, By e' son matrices de mxn cuyo~ elemen-tosson nm~ros complejos, entonces:A + (B + e) = (A + B) + e4.- De~ostrar que si A es una matriz de mxn con elementos en ey a, 6 E e, entonces:a) (a + 6)Ab) a(6A)aA + 6A(a6)A !15.- Demostrar que si A y B son matrices de mxn cuyos ,e}ementosson nmero.s compleje,s, entonces:a) A- Bb) A- Be) OAA + (-l)B- (B - A)o 46. 328VI. 3 MULTIPLICACION DE MATRICESConsideremos nuevamente el sistema de ecuaciones lineales20x1 + 100x2 + 40x3 400--- (1)Ox + ovisto al inicio de la secci6n V.2; y formemos ahora una matrizcon los coeficientes de las ecuaciones, a la que llamaremos A;otra con las inc6gnitas, a la que llamaremos X, y una tercera conlos trminos independientes, a la que llamaremos B. Esto es40] -[X] -l X - X2X3lOOA B1Con ayuda de estas matrices podemos representar al sistema deecuaciones (1) mediante la expresi6nAX = B ---(2)siempre y cuando tengamos una definici6n adecuada para el produc-teAX.Las condiciones que establece el sistema (1) son equivalentes,por VI.l.2, a la siguiente igualdad entre matrices[20x1 + 100x2 + 40x3J = [400]Ox + x 2 - x, O ,de donde se sigue que la expresi6n (2) representar al sistema(1) si y s6lo siAX [20x1 + lOOx2 +Ox 1 + x2 -40x3Jx,Veamos ahora c6mo puede obtenerse la matriz AX a partir de las ma 47. 329trices A y X.El primer elemento de AX; es decir, el que se encuentra en el pr!mer rengln y primera columna de dicha matriz, se obtie1ne sumandolos productos de los elementos del primer rengln de A por suselementos correspondientes en la primera columna de X. En formaesquemtica:(---~~~=[::j=~~=~-~0:~_:_100x2 + 40x3'~ ( ,- x, -------------------- [20 100 4o]Anlogamente, el elemento que se encuentra en el segundo renglny primera columna de AX se obtiene sumando los productos de loselementos del segundo rengln de A por los de la primera columnade X. As[:: ]Ox1 + lx2 + (-l)x3[o 1 -1]En general, si A y B son dos matrices tales que el nme:~o de co -lumnas .de A coincide con el nmero de renglones de B, el elemento:que se encuentra en la posicin correspondiente al reng:~n i y lacolumna j de la matriz producto AB,. se obtiene sumando los produs_tos de los elementos del rengln i de la matriz A por sj.J.s elemen-toscorrespondientes en la columna j de la matriz B. 48. 330Asf, si A y B son las matricesa a a b b 11 1 2 In 11 1 2 ~ ~ a a a b b ?.d 21 2 2 2n 2 1 2 2A B = ~~ -i ~b bn2 * na m a ID2 bde mxn y nxq respectivamente, el elemento ubicado en el renb 2qb nqgl6n i y columna j de la matriz producto AB, al que representare-mascon pij' serP.. a b +a. b . + +a. b .l.J i1 1j J.2 2J J.n nJque, en forma compac.ta, puede expresarse comoLa multiplicaci6n de matricesFormalmente, se tiene la siguiente definici6n para la multiplica-ci6nde matrices.VI.3.1 DEFINICIONSean A = [a i j] y B = [ bi~ dos matrices con elementosen C, de mxn y nxq respectivamente. El producto AB esuna matriz P de mxq, definida porpara i 1, .. ,m y j 1, . ,q. 49. 331A manera de ejemplo, para las matrices5 3 -1 o 1 -3 B [-: :] l' e = yA o-2 o 1 -11 -1 3se tiene que AB = [pij] es una matriz de 4x2, dondep113;k=la blk kla b11 11+ a b1 2 2 1+ a b13.315 (2) + (3) (-3) + (-1) (-1) = 10 -9 + 1 23;k=la b = a b + a b + a blkk2 1112 1222,1332(5) (O) + (3) (4) + (-,.1) (3) o + 12 -3 9y de manera similar se calculanp (O) (2)2 1 + (1) (-3) + (-3) (-1) o -3 + 3 = op 22 (0) (O) + (1) (4) + (-3) (3) = o + 4 -9 -5p31 (-2) (2) + (O) (-3) + (1) (-1) -4 + o -1p (-2) (O) + (O) (4) + 32 (1) (3) = o + o + 3 = 3p 41 (1) (2) + (-1) (-3) + (3) (-1) 2 + 3 -3 2p (1) (0) + (-1) (4) + 42 (3) (3) = o -4 + 9 = 5por lo que2 9o -5AB-5 32 5-52 o _:] -3. i,!El producto AC no puede obtenerse, puesto que el nmero de col~inas de A no es igual al nmero de renglones de C. Se ~ice enton-cesque las matrices A y e "no son conformables para el productoAC". 50. . 332Curiosamente, estas mismas matrices s! resultan conformables parael producto CA.En efecto, como puede verificarse fcilmenteCA [-2 -4 4]= -6 1 -2De lo anterior se sigue que la multiplicaci6n de matrices no esconmutativa/ es decir, no puede establecerse que pa~a dos matri ~ces A y B (conformables para el producto AB) se tenga que AB = BA.Puesto que AB y BA representan en general matrices diferentes, esimportante hacer nfasis en el orden en que se multiplican. As!,en el producto AB se dice.que la matriz A "premultiplica" a lamatriz B; mientras que en el producto BA se dice que A. "postmult.!_ -plica a B.En algunos casos, como el del ejemplo anterior, la multiplicaci6npuede efectuarse en un sentido, digamos AB, pero no en el otro,es decir BA. En otros casos la multiplicaci6n puede efectuarsetanto en un sentido como en el otro, pero los resultados puedens.er diferentes o iguales segn las matrices de que se trate.Cuando dos matrices A y B son tales que AB = BA se dice que son"permutables" (tambin suele decirse que "conmutan").Por ejemplo, para las matricesA = [0 -1] y B = [1 2]3 -1 3 4 51. 333se tiene que[-3 -:] BA = ~ 6 -3] AB = O yLl2 -7por lo que A y B no son permutables; mientras que pariJ.{ -1] [3 A y e _:]-1 -3se tiene queAC = [3 :J y CA [: :J -6po~ lo que A y e son permutables.La multiplicaci6n de matrices satisface la ley asociativa que es-tableceel siguiente enunciado.VI.3.2 TEOREMASean A, B y C matrices de mxn, nxp y pxq respectiv~mente, cuyos elementos son nmeros complejos, ;;en ton-ces:A(BC) (AB)CDEMOSTRACIONY e = [ c1.1JJ matrices de mxn,:' nxp y pxq,respectivamente. Entonces, por VI.3.1 52. 334donde BC es una matriz de nxq. EntoncesA(BC)aih ( t bhkck ~ k= 1 J[h~l p[hL( E aihbhkckj ~k=l[k~l n( E aihbhkckj ~h=lc~l n( E aihbhk)ckJh=lA(BC) ; (AB)Cy la prueba termina.Dpor VI.3.1por v) de li.l.4puesto que podemos su -mar en cualquier orden.por vi) de II.l.4por VI.3.1Para verificar el teorema anterior en un caso particular, consideremos las matricesA Y e [-~ : l3 -2 JObtengamos primero el productoBCy, posteriormente, premultipliquemos ste por la matriz A, con loque se obtieneA(BC) -l: : J l: :] {: : J 53. 335Por otra parte, obtengamos primero el productoAB = tl 3 2] [-1 o . 3 :] . [: 2 83J. ,,1 -2 -1:,y, a continuaci6n, postrnultipliqurnoslo por C, con ~o que se ob -,,tiene:(AB)C [: _: _: J t: J r: : Jy. hemos llegado al mismo resultado, corno cabia espe;,! ar del teore-rnaVI. 3. 2 ',Con fundamento en dicho teorema podernos escribir sirriplernente!ABCya que no importa cual de los productos (AB o BC) sej efecte pri-mero.Consideradas sirnul tneamente, la adici6n y la rnul tipill.icaci6n detimatrices tienen las propiedades que se enun~ian a cohtinuaci6n,;conocidas corno leyes distributivas de la multiplicac~6n sobre laadici6n.VI.3.3 TEOREMASean A, B y e matrices de rnxn, nxp y nxp, retpectiv~rne~te, y D, E y F matrices de rnxn, rnxn y nxp, r~spectiva -~ !1 -mente, cuyos elementos son nrners cotplejos entnces:i)ii)A(B + C)(D + E)F DF + EF: 54. 336DEMOSTRAeiONSe demostrar a continuaci6n la distributividad por la izquierda(propiedad i), dejando al lector corno ejercicio la dernostraci6nde la distributividad por la derecha (propiedad ii) Sean A ~ [a 1 ~ , B = [bi~ y e = [ c 1 ~ matrices de mxn, nxp y nxp,respectivamente; entoncesB + e = [bijA(B + e) L~lL~lL~l- [ nl:k=lA(B + e) = AB +y la prueba termina.Matriz identidad+c. J lJaik (bkj + ckj )](aikbkj + aikck~)Jnaikbkj + l: aikckj]k=laikbkj] ~n + l: aikckJk=1A eDpor VI.2.1por VI.3.1por vi) de II.1.4por ii) y iii) deII.1.4por VI.2.1por VI. 3.1Se conoce como "matriz identidad" de orden n a una matriz cuadra-dade orden n que es de la forma1 oo 1o oo ooo1oooo1 55. 337Como puede verse, esta matriz est formada con unos :Y ceros nicamente. Los elementos iguales a uno son aquellos en .que coinciden,el nmero del rengl6n y el de la columna donde se encuentran, ytodos los dems elementos son iguales a cero.Lo anterior permite establecer la siguiente definic6n para la matriz identidad.VI.3.4 DEFINICIONSe llama matriz identidad de orden n a la ma'~riz cuadrada de orden n In = [oij], tal queo .. 1,l.Jsi i jyo. o o, si i '1 j l.JAl simbolo o .. de la definici6n anterior se le conoc~ como "delta J.)de Kronecker".1i,La matr{z identidad juega un papel muy importante em el lgebra1: de matrices, ya que constituye un elemento idntico para la multiplicaci6n.Por ejemplo, si premultiplicamos la matrizApor la matriz identidad de orden tres se tendr 56. 338Si ahora postm~ltiplicamos dicha matriz por I2 se tendr tambinEn general, se tiene el siguiente teoremaVI.3.5 TEOREMASi A es una matriz de mxn con elementos en C entonces:i)ii)DEMOSTRACIONI AmAInAASe demuestra a continuaci6n la parte i) dejando como ejercicio allector la demostraci6n de ii).i) Sea A= [aiJ una matriz de mxn con elementos en e y seaIm = [6~~.I AmI A -m[k~l 6ikakJ[ 6 iiaij][laij][aij]por VI. 3.1por VI.3. 4por VI.3.4por iv) de II.l.4como se quera.o 57. 339VI.3.6 EJERCICIOS1.- Para las siguientes matricesA e rl -1 3]L 1 2 -1!11calcular, de ser posible, AB, BA, BC, CB, ABC, CBA y BCA.2.- Demostrar que si A, B y e son matrices de mxn, nxp y nxp, respectivamente,y D, E y F son matrices de mxn, mxn ~'y nxp, res -!1 -pectivamente, cuyos elementos son nmeros complejos, entonces:a) (D + E)Fb) A(B - C)e) (D - E) FDF + EFAB - ACDF - EF3.- Si A y B son dos matrices de mxn y nxp, respectivamente~ y alies un nmero complejo cualquiera, entonces:a(AB) (aA)B A(aB)) Ilustrar el enunciado anterior mediante un ejemplo.b) Demostrar dicho enunciado.4.- Demostrar que si A es una matriz .de mKn,con elementos en e,entonces:Al An 58. 3405.- Para las siguientes matrices["'' 3 -2l [b" o h:,l A -1 2 -1 B -1 21 o o -2 3 b3 3determinar los valores de a 11 , b 11 , b2 3 y b 33 que satisfacenla igualdadAB = I 59. 341VI.4 INVERSA DE UNA MATRIZEn ciertos casos, para una matriz A es posible hall~r una matrizX tal que XA = I = AX,Por ejemplo, para la matrizse tiene que la matrizX= 2 -1]~5 3es tal queXA [ 2 -1 J [ 3 1]. = [. 1 0 ]-5 3 5 2 o 1AX = [ 3 1 J ~2 -1] [ 1 O]5 2 ~5 3 o 1,,Se dice entonces que X es "inversa" de l: matriz A lii se represen-tacon A-1 VI.4.1 DEFINICIONSea A una matriz de nxn con elementos en C. Unamatriz X se dice que es inversa de A siXA Iny se representa con A-1 AX 60. 342Cabe hacer notar que la igualdad XA = AX slo es posible cuandoA y X son matrices cuadradas del mismo orden; en consecuencia, p~ra que una matriz A tenga inversa es condicin necesaria que seacuadrada. Adems, la inversa deber ser tambin cuadrada y delmismo orden que A.La definicin VI.4.1 establece lo que deber entenderse por inversa de una matriz cuadrada, pero no dice que toda matriz cuadradatenga inversa, ni que dicha inversa (en caso de existir) sea ni-ca.En lo que se refiere al primer punto, se puede demostrar, median-teun ejemplo, que no todas las matrices cuadradas tienen inversa.En efecto, para la matrizA [: :]una matriztal que XA = I deber cumplir con[::: :j [: :] [: :] 61. 343esto es[3x113x2 1 :] -t : Jigualdad que, como puede verse no se satisface para ningn valorde los elementos x x 11 , 12 ,X 'X2 1 .22ra la matriz propuesta.Luego, no existe ,-inversa p!!_A las matrices que tienen inversa les llamamos "no singulares"*y a las que no tienen inversa "singulares".VI. 4. 2 DEFINICION.Sea A una matriz de nxn con elementos en C. S~ dice:que A es no singular si existe. A-1 , en caso cofttrariose dice que A es singular .- ,En lo que se refiere a la unicidad, se puede demostrar:: que la inversade una matriz cuadrada (si existe) e; nica, cornil> lo esta -~1blece el siguiente teorema, en el que se enuncian adems otraspropiedades impor.tantes de la inversa. 1:Al.gurwl> cmtoJLU emplean d :tM.m.i.rw "Jr.egulAJr." en vez de "rw 4.lglLlaJL". 62. 344VI.4.3 TEOREMASi A y B son dos matrices no singulares del mismoorden y A e C, entonces:i) l1 es nicaii) (A-1 )-1 = Aiii) (AB)-1 = a-1 A-1'A , si A '1 oiv) (AA)-1 = 1 A-1DEMOSTRACIONSe demuestran a continuaci6n i) y iii) dejando al lector comoejercicio la demostraci6n de ii) y iv).i) sea A una matriz de nxn no singular, y sean X, Y dos inversasde A entonces, por VI.4.1XA=I =AXnPor otra parteX XInX(AY)(XA)YI ynX yyporporporporporYA Inii) de VI. 3. 5hip6tesisVI. 3. 2hip6tesisi) de VI. 3.5y en consecuencia la inversa es nica.AYiii) Sean A y B dos matrices de nxn no singulares. Por VI.4.2 63. 345existen A-1 y B-1 y puede formarse el productopara el cual se tiene que(B-1 A-1 ) (AB.) = (B-1 A-1 ) [(A) (B)]= [x] [a + (-a) ] X por ii) de VI.2.5O X por v) de I~.l.4aX + (-a)X o por 5.c) de,VI.2.6de donde(-a) X = - (aX) por iv) de VI.2.2Llevando este resultado al desarrollo anterior podemos es9ribir(-3)X + AX -Bde donde se sigue que(-3) (IX) + AX = -B[!-3) I] X + AX -B(-3I)X + AX -B(-3I + A)X = -B:ipor i) de VI.3.5por 3 de VI. 3. 6por lo que acabamosde demostrarpor ii) de ~I.3.3Finalmente, para despejar X premultiplicamos por la inversa de(-3I +A), lo cual es vlido s6lo si dicha matriz es no singular.Asi:Si a (-3I + A)-1 se tiene que(-3I + A)-1 [ (-3I + A) X J (-3I + A)-1 (-B)y en consecuencia 78. J60[J. i y a. # a. si i # j~ ~ )As!, para la permutacin p1 del ejemplo anterior se tiene quea 1, a2 2 y 3mientras que para p 4 se tiene quea 2, a2 = 3 ycuando en una permutacin todos los nGmeros aparecen en el ordennatural, corno en p 1 , se dice que l!sta es la- "permutacin princ.!_-pal" del conjunto. 144. l426En ge.neral, (a 1, a 2 , , an) es la permutacin principal del con -junto S; {1, 2, ... , n} si a.~i, V. i.Respecto al nmero de permutaciones de un conjunto se tiene el si-guienteteoremaVII.1.2 TEOREMAEl conjunto S; {1, 2, ... , n} tienen! permutaciones diferentesDEMOSTRACION (por induccin)Para n 1 se tiene una sola permutac~n (1!).Para n ; k se supone que el conjunto tiene k! permutaciones dife -rentes.Sea ahora S {1, 2, ... , k+1}, y consideremos una permutacin arbitraria de SEl primer elemento (a 1 ) puede ser seleccionado de k+1 maneras dif~rentes, y para cada una de ellas los k elementos restantes puedenarreglarse, po"r hiptesis, de k! maneras diferentes. En consecuencia, se tienen(k+1) (k!) (k+1)permutaciones diferentes y la prueba termina.DEn una permutacin se dice que hay una "inversin" por cada dos n 145. 427meros que se encuentren en un orden diferente al natural. As!,por ejemplo, en la permutaci6n~(3, 1, 4._,_ ....2. )se tienen tres inversiones; es d~cir, podemos encontrar tres pare-jas(3, 1) (3, 2) y (4, 2)donde el primer elemento es mayor que el segundo y ,aparece antesque ste en la permutaci6n.Se tiene al respecto la siguiente definici6nVII.l.3 DEFINICIONi) Una permutaci6n (a 1 , a 2 , , an) tiene m inversiones si existen m parejas (ai' aj) tales quei < y a. > a.l. Jii) Una permutaci6n es de clase par si tiene un nmeropar de inversiones; en caso contrario se dice quees de clase impar.As!, por ejemplo, para las permutaciones del conjunto S = { 1, 2,se tiene quep (1, 2, 3) es de clase par (cero inversiones)P2 (1, 3, 2) es de clase impar (una inversi6n)P3 (2, 1, 3) es de clase impar (una inversi6n)P (2, 3, 1) es de clase par (dos inversiones)Ps (.3, 1, 2) es de clase par (dos inversiones)P6 (3, 2, 1) es de clase impar (tres inversiones)3} 146. 428En genera'!, de las n! permutaciones de un conjunto - - - - - - - -S= {1, 2, ... , n} la mitad son de clase/par y la mitad de cl2se impar.Definici6n de determinante.Recordemos ahora las expresiones que definen a los determinantesde segundo y tercer orden.Para n 2 se tieney para n 3 se tienea a 2 a 3a21 a22 a23a31 a32 a33Podemos observar que en ambos casos:1) El determinante es la suma ?e n! productos, la mitad de elloscon singo + y la mitad con signo -2) Cada uno de los productos consta de n factores.3) En cada producto hay un elemento de cada rengl6n y un elementode cada columna.4) Si los factores se ordenan de tal manera que los primeros ndices formen una permutaci6n principal, corresponde el signo + alos productos cuyos segundos ndices forman una permutaci6n declase par y corresponde el signo - a los productos cuyos segundos~dices forman una ~ermutaci6n de clase impar. 147. Ahora, para establecer una ley general consideremos la siguientematriz cuadrada de. orden n~.11 a2 ana21 a2 2 a2nAan 1 an 2 anny un producto arbitrario de n de sus elementos, en el cual hayaelemento de cada rengln y un elemento de cada columna; esto esundonde (a 1, a 2, , an) es una permutacin de los ndices---- -{1, 2, ... , n}.Corno el conjunto S= {1, 2,.~., n} tienen! permutaciones diferentespodernos formar, para cada una de ellas, un producto de este tipo; esto esanakn' donde k 1, 2, ... , n!En cada uno de dichos productos los elementos estn ordenados demanera que los primeros ndices forman una permutacin principal ylos segundos ndices forman una permutacin - - -pk = (a k 1, a k 2, . , . Ukn) Para dicha permutacin hacernossi pk es de clase parsi pk es de clase impary formarnos con ello un producto provisto de signo, esto es 148. 430al que podemos representar, de manera compacta, conn11 a.i=l J.akiA la suma de los n! productos de este tipo se le conoce como el determinante de A. Se tiene as! la siguiente definici6nVII.l.4 DEFINICIONSea A = [ aij] una matriz de nxn con elementos en e,. ysea Pk = (ak, ak 2 , , aknl una permutaci6n del conju~to {1, 2, . , n}. Se llama determinante de A al nmerodet Adonden11 a.i=l l.Qkisi pk es de clase parsi pk es de clase imparPara calcular el valor de un determinante a partir de la defini -ci6n anterior, podemos proceder de la siguiente manera:Se obtiene el "trmino principal", que es el productode los elementos de la diagonal principal con los factores ordenados de tal manera que tanto los primeroscomo los segundos !ndices formen una permutaci6np:dncipal.A partir del trmino principal se obtienen los dem~strminos dejando fijos los primeros !ndices y perm~ -tando los segundos de todas las maneras posibles. Como de los segundos ndices hay n! permutaciones dife-rentesse obtendrn n! trminos, correspondindoles____ _j 149. 431el signo + o el signo - segan sea la permutaci6n declase par o de clase impar.As!, por ejemplo, para obtener el desarrollo del determinante detercer ordendet Aa a12 a13a21 a22 a23au a~2 a33escribimos el trmino principaly permutamos los segundos !ndices de todas las maneras posiblespk clase de pk E(pk)p (1, 2, 3) par +P2 (1, 3, 2) imparPs (2, 1, 3) imparP (2, 3, 1)' par +Ps (3, 1., 2) par +P& (3, 2, 1,) imparcon lo que se obtienen los seis trminos del desarrollo; esto esdet AEsta expresi6n coincide con la definici6n que ten!amos para el determinante de tercer orden. 150. 432VII.l.S EJERCICIOS1.- Determinar cuntas inversiones tiene cada una de las siguie~tespermutacionesa) (1, 5, 3, 2, 4)b) (3, 2, 1, 4)2.- a) Escribir la permutaci6n de los cinco primeros nameros naturales que tiene el mayor namero de inversiones.b) Demostrar que el m~yor namero de inversiones que puede te-neruna permutaci6n de n nGrneros esn(n - 1)23.- Determinar la condici6n que debe cumplir .n para que la perm~ -taci6n(n-1, n, n-2, n-3, n-4, , 1)sea de clase impar.4.- Calcular, a partir de la definici6n VII.1.4, el valor del d~terminantede la matriz 151. 433VII. 2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTESLas principales propiedades de los determinantes pueden ser conside~adas en dos grupos: Las primeras se refieren a las ~ondicionesbajo las cuales se puede concluir que un determinante es nulo m~ -diante la pimple inspeccin de las lneas de la matriz (renglonesy columnas), as como a los efectos producidos en el determinanteal efectuar transformaciones elemental~s con las lneas de la ma 7triz. El segundo grupo se refiere a las propiedades del determi -nante en relacin con las operaciones definidas para las matrices.Para demostrar algunas de estas propiedades se requieren ciertosresultados relativos a intercambios de nfimeros en una permutacin,los cuales presentaremos a continuacin a manera de lemas.Al intercambiar dos nfimeros adyacentes en una permutacin de clasepar sta se transforma en una permutacin de clase impar y viceveEsa. Se dice por ello que se obtiene una permutacin de "paridad"diferente.En efecto, si los nmeros a intercambiar se encuentran inicialmenteen el orden natural, despus del intercambio la permutacin tendr una inversin ms ya que el resto de las inversiones no se alteranpor ser adyacentes los nmeros que se intercambian; por otraparte, si los .nmeros no se encuentran inicialmente en el orden natural, despus del intercambio la permutacin tendr una inversinmenos. En ambos casos se obtiene una permutacin de paridad dife:...rente.Generalizando el resultado anterior a un nmero impar de intercambiosse obtiene el siguiente resultado 152. 434 . -LEMA 1Al efectuar en una permutaci6n un nGmero impar de intercambios denftmeros adyacentes se obtiene una permutaci6n de paridad dife -rente.Con ayuda de este lema podemos probar a su vez el siguiente enun -eiadoLEMA 2Al intercambiar en una permutaci6n dos nGmeros cualesquiera seobtiene una permutaci6n de paridad diferente.DEMOSTRACIONSeauna permutaci6n del conjunto S= {1, 2, .. , n}.~n>Para intercambiar los nGmeros ar y as' colocamos primero a as en -tre ar-l y ar(a ,1para lq cual es necesario efectuar (s-1)-(r-1)de nGmeros adyacentes.a )ns-r intercambiosA continuaci6n se requiere colocar a ar entre as-l Y as+l 153. 435para lo cual debemos efectuar (s-1)-rros adyacentes.s-r-1 intercambios de nameEn consecuencia, el total"de intercambios de nGrneros adyac~ntes ser~(s-r) + (s-i-1) 2(s-r)-lque es un nGmero impar; por lo que, del Lema 1, se obtiene una peEmutaci6n de paridad diferente.DRespecto al nGmero de intercambios necesario para llevar una perm~taci6n cualquiera a la permutaci6n principal se tiene el siguienteenunciadoLEMA,3Si una permutaci6n tiene m inversiones, se requieren m intercambiosde nGmeros adyacentes para transformarla en la'permutaci6nprincipal.DEMOSTRACIONConsideremos una permutaci6n del conjunto Sun total de m inversiones; entonces:{1, 2, ... , n} conel nGmero n estar antes de j0 nGmeros menores que l,el nGmero n-1 estar antes de j 0 _ 1 nGmeros menores que l,el nGmero 2 estar antes de j 2 nGmeros menores que l,de tal forma que 154. 436n: jr mr=2Esto significa que para colocar al nmero n en la 'posici6n que lecorresponde en la permtitaci6n principal, debern efectuarse jn intercambiosde nmeros adyacentes; para colocar al nmero n-1 debernefectuarse jn-i intercambios,. y asf hasta co.locar al nmero 2en su posicin correspondiente. Al final del proceso se habrnefectuado un total deintercambios de nmeros adyacentes.DUna primera propiedad de los. determinantes consiste en "descomp~ -ner" el determinante de una matriz A en la suma de dos determinantes, de acuerdo con el siguiente enunciado.VII.2.1 TEOREMASi los elementos del rengln r de una matriz Apueden expresarse comoa . b . + e .rJ rJ rJentoncesdet A = det B + det edonde B [bij] y e [ cij] son tales queaij, para i ,. r aij' para i ,. rb .. y e ..1] 1]brj'para i = r e rj' para i = r 155. 4 37Podemos "visualizar" esta propiedad con ayuda de l.~ siguiente ex -presi6na a 2 a1na21 a2 2 a2nrengln ... b r +e r b r2 +e r2 b rn +e rnran 1 an2 anna a2 an a a 2 ana. a22 a2n a21 a22 a2n+brl br2 brn Cr 1 Cr 2 Crnan an2 ann an1 an 2 annDEMOSTRACIONDe VII. l. 4 se tiene quen!det A : e:(pk) aa a2a a ak=l k k2 rakr naknpero arakrbrakr+ erakr, por lo quen!det A ;= : E: (Pk) a 1 a k ' a a k 2 (b + e ak=l rakr rakr nakny en consecuencian!det A : e:(pk) aakaak ... b a +k=l rakr naknn!+ : e:(pk) artk aak2 ... e ak=l rakr nakn 156. se tendrdet An!+ ; E: (pk)k=1por lo que, de VII.l.4 nuevamentedet A det B + det e438[ cij] son tales quec.;-j' para i rDA continuacin se presentan, en el teorema VII.2.2, las propied~-des que hemos considerado del primer grupo 157. 439VII. 2. 2 TEOREMASea A [ aij] una matriz de nxn con elementos en e:i) Si los elementos de una l!nea de A (rengl6n o columna) son todos nulos, entonces det A = O.ii) Si B se obtiene de A multiplicando los elementosde una de sus l!neas por un n(mero A E e, enton-cesdet B = A det A.iii) Si B se obtiene de A intercambiando dos l!neasparalelas (dos renglones o dos columnas), enton-cesdet B det A.iv) ~a dos lneas paralelas de A son proporcionales,entonces det A = O.v) Si B se obtiene de A sumando a los elementos deuna l!nea los elementos de una l!nea paralela~ultiplicad~s por un n(mero A'E e, entoncesdet B = det A.DEMOSTRAeiONSe demuestran a continuaci6n las propiedades para el caso de losrenglones; en el caso de las columnas la demostraci6n es similar.i) De VII.1.4 se tiene quen!det A E E(pk) a1a azak=l k kzEn consecuencia, si todos los elementos del rengl6n r soniguales a cero, cada uno de los trminos del desarrollo ant~rior tendr al menos un factor igual a cero (el factor -ara ), por lo quekr 158. 440det A = Oii) Sea B = [ bij] una matriz obtenida a partir de A multiplica!!do los elementos del rengln r por un nmero A; esto esiii) Sea B = [ bij] una matriz obtenida a partir de A intercam -biando los renglones r y s, donde r < s; es deciraij' para i , r, Sb. o a S j 1para i = r~]a rj' para i = Sy consideremos un trmno cualquiera del desarrollo de det Bsegn la definicin VII.1.4; esto esdonde el signo c(pk) depende de la permutacin 159. 441sustituyendo los elementos de B por su e.xpresi6n en t~rminosde los de A se obtieneque puede .escribirse comoEsta expresi6n constituye tambi~n un trmino en el desarrollode det A, salvo el signo e:(pk)_; puesto que et;1 dicho desarro -llo al productole corresponde el signo e:(qk) que depende de la permutaci6nla cual puede obtenerse a partir de pk intercambiando los nmerosakr y aks" En consecuencia, por el Lema 2 pk y qk sonde paridad diferente, .Por lo quese tiene por tanto quen!E e:(pk) bak=l kn!E -e: (pk) aa a2ak=l k k2y en consecuenciadet, B - det A 160. 442iv) Sea A = [ aij] una matriz cuyo rengl6n s es igual al ren -gl6n r multiplicado por. un nmero A; es'to esy formemos una matriz B cuyos elementos sean iguales a los deA salvo los del rengl6n s, que sern iguales a los del ren -gl6n r; e~to esaij' para i - Sbijarj' para i = SEntonces, por la propiedad ii)det A = A det BAhora, si formamos una matriz e intercambiando en B los ren -glones r y s, se tendr que B e y por, tantodet B det epero por la propiedad iii) se tendr tambin quedet B - det epor lo cualdet B = 9y en consecuenciadet A = AXO = Ov) Sea B = [ bij] una matriz obtenida a partir de A sumando alos elementos del rengln r los elementos del rengln s multiplicados por un nmero A; esto es: 161. 443a ..~J, para i 1 rarj + Aasj' para i rEntonces por VII.2.1, podernos expresar al determinante de Bcornodet B = det A + det edonde e = [ cij] es tal que1a .. 1 para i 1 r~Je .. =~JA asj' para i = ry sus renglones r y s son proporcionale~; en consecuencia,de la propiedad iv)det e o ..y por tantodet B = det ADVeremos ahora las propiedades respecto a las operaciones con rnatricesVII. 2. 3 TEOREMASi A = [ aij] y B = [ bij] son dos matrices de nxncon elementos en e, entonces:i) det A = det ATii) det().A)iii) d~t (AB) (detA) (detB) 162. ~ 444DEMOSTRACIONi) Sea AT = [cij] , dpnde cij = aj.i. por VI.7.7; y consideremosun trmino cualquiera del desarrollo de det AT segGn la definici6nVII. l. .4:e::(pk) C!Q C2ak 1 k2donde e: (pk) .depende de la permutaci6nsustituyendo cij por aji se obtieneordenando los factores de tal manera que los primeros !ndices(que forman la permutaci6n pk) formen una permutaci6n principal,se obtendr& la expresi6ndonde ahora los segundos !ndices .forman una permutaci6nComo se ve, dicha expresi6n constituye tambin un trmino ene1 .desarrollo de det A salvo, posiblemente, el .signo. e: (pk);puesto que a este producto le corresponde el signo e::(qk) enel desarrollo de det A.Ahora bien; si pk es de clase impar, por el Lema 3 se requiereun namero impar de intercambios de nGmeros adyacentes parallevarla a la permutaci6n principal, mismo nGmero de interca~bios que se efectGan en la permutaci6n de los segundos !ndi - 163. 445ces, que es la permutaci6n principal, para obtenr qk, por loque qk es tambi~ de clase impar. Mediante un razonamientoan&logo se concluye que si pk es de clase par entonces qk estambin de clase par1 por lo quese tiene por tanto quen!I E(pk) Cta C2ak=l kt k2n!I E (qk) aq3 a2Bk=l kt k2y en consecuenciar det A.= det Aii) La prueba es inmediata si consideramos que AA es una matrizque se obti~ne de A multiplicando por A cada uno de sus nrenglones1 entonces, aplicando reiteradamente ii) de VII.2.2se conctuye quedet(AA) A0 det Aiii) La prueba de esta propiedad requiere de la generalizaci6n, an sumandos, del teorema VII.2.1. El lector podr aceptar fcilmente dicha generalizaci6n o, si lo prefiere, realizar laprueba por inducci6n.Sean ahora dos.matrices cualesquiera de nxn 164. 446A yan 1 an2Bbll bl2b2! b22bnl bn2y consideremos una particin de B escribindola comoB donde Bi = (bil, bi2, ... binlEl product0 AB tambin puede escribirse como.ABe ndonde eibnnEntonces, considerando los n sumandos que constituy~n 'el ler.rengln de AB, por la generalizacin del ~eorema VII.2.1 pod~mes escribir ~1 determinante de AB como la suma de n determinantes;esto esdet(AB)e n+e n+ +alnBne nSi llamamos D 1 , D 2, ... , . Dn a tales determinantes se tendrlidet(AB) D1 + D2 + + Dn 165. 447Considerando ahora los n sumandos que constituyen elrengl6n de cadadeterminantes,O02D na 11 B1a21B1ena 2B2a21B1e nanBna21B 1e n+++una de las matricespodemos escribira 11 B1a2 2B2e na 2B2a22B2e nanBna22B2e n+ .. ++ .. ++ . +a 1B1a2nBne na 2B2a2nBne nanBri a2nBne ncorrespondientesO + 02 + ... +021 + 022 + .. +Dn + Dn2 + . +segundoa dichosDnD2nDnny podemos continuar este proceso hasta considerar lo~ n sumandos del filtimo rengl6n. Al final de dicho proceso se obten -dr que det(AB) es la suma de nn determinantesD. . . J 1 J 2 J n j 1 1, 21 . 1 nj2 = 1, 2, ... ' ndondejn 1, 2, .. 1 nde los cuales la mayor parte es igual a cero por tener re~ -glones que son proporcionales (considre~e, por ejemplo, 0 11cuyos dos primeros renglones son proporcionale~) . De hecho,s61o pueden llegar a ser diferentes de cero los n! determi - 166. 448nantes para. los cuales j 1, j z, , jn constituyen una permut!!_cin de los nmeros {1, 2, , n}.Entoncesn!det(AB) k=: l Da k ' akz, . , akndonde (ak 1, ak 2 , , aknl es una permutacin de {1, 2, , n}Tomando en cuenta la estructura de D , , . , podemos esak akz akncribirdet(AB)n!:k=lpor lo que, aplicando reiteradamente ii) de VI.2.2, se tienequen!det(AB) l: a1a azak=l k 1 kz.Obsrvese en esta expresin que el determinante de la derechapuede transformarse en det B mediante el intercambio de ren -glones hasta lograr que la permutacinse transforme en una permutacin principal. As!, si pk es de.clase par dicho determinante es igual a det By si pk es de 167. 449clase impar es igual a- det B.En con'se,cuencia, podemos escribirdet(AB)esto es. n!det(AB) det ~ E E(pk) a1a. a2ak=l k k2(det B) (det A)det(AB) = (det A) (det B)como se quera.DVII.2.4 EJERCICIOS1.- Determinar cuntos intercambios de nGmeros adyacentes son necesarios para transformar en la permutaci6n principal cada unade las siguientes permutacionesa) (3, 1, S, 4, 2)b) (4, 2, 1, 3)2.- A partir de VII.2.2 y tomando en cuenta que21143 -2o -1o 2 1 oa b 2a 3b13a + 39b. 168. 450Obtener el valor de los siguientes determinantes2 -1 3 -2 2+ai l+bi 3+2ai -2+3bi1 -4 o -1 1 4 o -1a) b)o -2 1 o o 2 1 oa -b 2a 3b a b 2a 3b,2 1 3 -2 2 1 3 -23a 3b 6a 9b 1 4 o -1e) d)o 2 1 o o o o oa b 2a 3b a b 2a 3b3 1 2 -2 2 1 3 -2O, 4 1 -1 i 4i o -ie) f)1 2 o o o 2i i o2a b a 3b ai bi 2ai 3bi3.- Demostrar quex-a d X X d ay-b d y = y d bz-c d z z d e4.- Proponer dos matrices A y B de 2x2 tales quedet(A + B) t det A + det By verificar que para dichas matricesdet(AB) = (det Al (det B) 169. 451VII. 3 CALCULO DE DETERMINANTESComo el lector se habr .dado cuenta a l.o largo de la secci6n VII.l,el empleo de la definici6n VII.l.4 para calcular el valor de un determinante resulta un proceso demasiado laborioso; especialmenteen los casos de ejemplos numricos, en los cuales se requiere obt~ner primero la expresi6n del desarrollo correspondiente al ordende la matriz en cuesti6n, para posteriorment identificar los nm~ros que co,rresponden a cada uno de los elementos en el desarrolloy efectuar las operaciones indicadas.Es por ello que no se acostumbra en la prctica el empleo de la d~finici6n para el clculo de determinantes; a cambio se han desarrollado otro~ mtodos cuya aplicaci6n resulta ms ~imple y que conducen a los mismos r~sultados.Regla de SarrusEl ms sencillo de tales mtodos es el que se conoce coma "regla de Sarrus", el cual posiblemente habr sido utilizado ya por ellector. Este mtodo se emplea para calcular determinante e' de se gundo.y de tercer orden.'Para calcular el valor de un determinante de segunde orden emplea12_do la regla de Sarrus, se efecta el producto de los ~lementos dela diagonal principal y a sfe se resta el productr e~ los eleme~-tos de la "diagonal s~cundaria". En forma esquemt~c:como se ve,el resultado que arroja la regla de Sarrus coincide 170. 452ia definicin de determinante de segundo orden.As', por e)emplo, para calcular el determinante de la matrizempleando la regla de Sarrus'se procede como sigue5 4det A (5) (-3) - (-2) (4) -15 + 8 -7-2 -3con lo que se llega al mismo resultado que se obtuvo en la sec -cin VII.l.Para calcular el valr de un determinante de tercer orden emplean-dola regla de Sarrus, se efecta el producto de ,los elementos dela diagonal principal .Y de las dos "diagonales paralela~" a ella;el t~rmino "diagonales paralelas" se debe a que, cuando se empleael artificio que .consiste en volver a escribir los dos primerosrenglones a continuacin del tercero, los elementos en cuestinapareen formando "diagonales" paralelas a la principal. 'A' la su-made dichos productos se restan los productos de los elementos dela diagonal secundaria y de las dos "paralelas" a ella. En formaesquemtica: 171. 4536El desarrollo ,anterior 'coincide, salvo en el orden de algunos fac-toresy trminos, con la definicin de determinante de tercer or -den.A manera de ejemplo, c~lculernos el determinante de la matrizempleando la ,regla de Sarrusl o -3det A -4 5 21 -2 o(1) (5) (0)+(-4) (-2) (-3)+(1) (2) (O)- (1) (5) (-3) ~ (-2) (2) (1)- (O) (O) (-4)o -24 + o + 15 + 4 -o = -5se obtiene as! el mismo resultado de la seccin VII.1.Es importante subr'ayar que la regla de Sarrus slo se aplica a de-terminantesde segundo y de tercer orden. En ocasiones se preton-deerrneamente "generalizar" esta regla para calcular determinan-tesde orden mayor; sin embargo, se puede comprobar fciln:ente que 172. 454al aplicar la supuesta "regla de Sarrus" a un determinante de or -den superior al tercero se obtiene un desarrollo que no coincidecon el de la definicin.El mtodo que veremos a continuacin, conocido como "desarrollopor cofactores, no slo es aplicable al clculo de,determinantesde cualquier orden, sino que constituye el fundamento de todos losmtodos de aplicacin prctica.Desarrollo por cofactbresCon el propsito de familiarizar al lector con las ideas fundamentalesdel desarrollo por cofactores, consideremos nuevamente eldesarrollo del determinante de tercer orden obtenido al final dela seccin VII.l:det AComo en cada trmino. hay un elemento de cada rengln y de cada columna,podemos seleccionar una lfnea cualquiera y factorizar loselementos de sta. Por ejemplo, eligiendo el prime~ rengln podemosfactorizar sus elementos y escribirdet ACada uno de los factores que multiplican a los elementos del pr~ -mer rengln en la expresin anterior constituye el desarrollo deun determinante de segundo orden. Asf:para a tenemos que 173. 455para a12 tenemos que(-1)para a 13 tenemos quea~1 a22Cada uno de estos determinantes puede ser obtenido de la matrizoriginal suprimiendo el rengln y .la columna en que se encuentrael elemento correspondiente.. Tales determinantes reciben el nom -.bre de "menores".As, por ejemplo, elmenor de a 12 se puede obtener de la siguientemaneraRegresando a la expresin anterior para det A, vemos que los fact~res que mul'tiplican a los elementos del primer rengln no son, entodos los casos, los menores correspondientes.En el caso de a 12 dicho factor es igual al menor con el signo cam-biado.Esto se identifica con el hecho de que tal elemento. es de"caracterstica impar"; es decir que.la suma del nmero del ren-glny de la columna en que se encuentra es un nmero impar(1+2=3).Slo tenemos un elemento de caracterstica impar en el desarrollo 174. 456anterior por haber elegido el primer rengl6n para factorizar suselementos. Si hubisemos elegido el segundo rengl6n tendrfamosdos elementos de caracterfstica impar (a 21 y a 23 ) y, en tal caso,.los factores que multiplican a stos en el desarrollo del determinanteserfan iguales a sus correspondientes'menores con el signocambiado.Surge as el concepto de "cofactor", como el factor que multiplicaal elemento en el desarrollo del determinante. Dic.ho cofactor esigual al menor, o al negativo de ste, segn sea par o impar la ca'ract'erstica del elemento.Finalmente, el determinante de A puede expresarse comodet A a (-1) 1+ 1 +Expresin que se conoce como el "desarrollo por cofactores segnel primer rengl6n". Es claro que pueden obtenerse desarrollos similarespara cada uno de los otros 'renglones y columnas de la ma -triz A. 175. 457VII.3.1 DEFINICIONSea A = [ aij] tina matriz de nxn con elementos en C.i) Se llama menor del elemento aij' y se representacon Mij' al determinante de la matriz que se obt:iene suprimiendo en A el rengl6n i y la colum -na j.ii) Se llama cofactorsenta con Cij' aldel elemento aij' y seproducto (-1) i+jM ...1]As!, por ejemplo, para la matrizAel menor del elemento a 23 es el determinante1 -3 oo -1 1 i -9i -Bi3i o '-imientras que su cofactor es el productol -3 o(-1)2+3 o -1 1 (-1) (-Bi) Si3i o -iPara el elemento a 2 , se tienerepre- 176. 4581 -3 2iM2~ o -1 i -2 + 9 -6 1Ji o 2yC2 ~ (-1) 6 (1) (1) (1) 1etc.VII . 3.2 TEOREMASi A = [ aiJ es. una matriz de nxn con elementos en Cy r es un nmero entero tal que 1 ~ r ~ n, entonces:ni) det A = l: a rj crjj=1nii) det A l: a. c.i=1 ~r ~rDEMOSTRACIONSe aemuestra primero la parte i)De VII. l. 4 se tiene quen!det A l: e: (pk) ala a2a ak=1 k k2 rakra (1)nakny en consecuencia, cada trmino del desarrollo de det A tiene unoy slo un factor a correspondiente al rengln r, cuyo segundorakrndice akr recorre todos ios valores 1, 2, , n a lo largo de losn! trminos. Podemos en consecuencia escribirdet A= a r F +a F + + a F 1 r 1 r 2 r 2 rn rn(2)y debemos probar que los Frj(j = 1, 2, . , n) son los cofactoresde los elementos arj en el sentido de la definicin VII.3.1. 177. 459Como el factor F . se obtiene s~ando los t~rminos del desarrollorJ(1) en los cuales aparece el elemento arj y factorizando ~s.te, setendr que Frj es una suma de productos formados por n-1 factoresentre los cuales no hay elementos del rengl6n r ni de la columnaj: esto es(n-1)!t ~(pk) a1a azak=l k1 kza( r-~ )ak( r-1)a(r+1 )ak(r-tl)(3)Donde qk = (ak 1.' ak 2 , ... , ak(r-1 ), ak(r+l)'"""' akn) es una perm_!!tacin del conjunto {1, 2, . , j-1, j+1, , n} que se obtiene s~primiendo en pk = (ak1, ak 2 , , akr'""".' akn) el rillmero akr (quees igual ajen los t~rminos correspondientes a F.).rJEn consecuencia, con la posible excepcin del signo E(pk) la expresin(3) corresponde al desarrollo del menor Mrj' de acuerdo conla definicin VII.3.1Para mostrar la relacin que existe entre E(pk) y E(qk), consideremosla permutaciny traslademos a akr hasta el Gltimo lugar por medio de n-r inteE -cambios de nllrileros adyacentes, se obti.ene as la permutacincuyo signo, respecto al de pk, est dado porE ( pk') = (- 11 n-r E ( pk )Por otra parte, los primeros n-1 rillmeros de pk coinciden con la 178. 460perrnutaci6nj, en Pie habr n-j ntimeros mayores que akr y que seencuentran antes que ste en la permutaci6n, por lo que P.ic tienen-j inversiones ms que qk y, en consecuenciapor lo que, respecto al signo de pk tendremos(-1) n-j (-1) n-r E (pk) = (-1)2n-r-j E (pk)o lo que es equivalenteFinalmente, llevando este resultado al desarrollo (3) se obtienepor lo que, de VII.3.1F = e . rJ rJcomo se quera.La parte ii) del teorema se sigue inmediatamente de la parte i)del mismo y de la propiedad i) qel teorema VII.2.3.D.De acuerdo con el teorema VII.3.2, el valor de un determinantepuede obtenerse a partir de los elementos de una cualquiera de suslneas, sumando los productos de stos por sus respectivos cofactores. 179. 461Por ejemplo, para calcular el determinante de la matriz. 2 1 -5 24 -6 o 1Ao 2 -1 o-1 6 -7 1Podemos elegir cualquier rengl6n o columna para desarrollar por e~factores. En este caso, un. somero anlisis de la matriz dada nossugiere la elecci6n del. tercer rengl6n en virtud de que dos de suselementos son nulos y el producto de ~stos por sus respectivos cefactoresser igual a cero, sea cual fuere el valor de los cofactores, por lo que no ser necesario calcularlos.As!, se tendr quedet A= OxC31 + 2xC 32 + (-l)xC33 + OxC3~ = 2C32 - C332 -5 24 o 1-1 -7 12 1 24 -6-1 611Los cofactores sern entonces17 ypor lo queo - 56 + 5 - o + 14 + 20- 12 + 48 - 1 - 12 - 12 - 47-177 180. det A 2xl7 - 7- ' 46227En el caso general, el desarrollo por cofactores transforma el pr~blema de. calcular un determinante de orden nen el de calcular ndeterminantes de orden n-1. Cada uno de estos determinantes puededesarrollarse a su vez por cofactores,. obtenindose menores de ordenn-2, y as sucesivamente. Se acostumbra continuar el pl;'ocesohasta obtener menores de orden 3 o de orden 2, cuyo valor puede obtenerse empleando la regla.de Sarrus.Condensaci6nEl desarrollo por cofactores, aunque de aplicaci6n general, no esun mtodo eficiente dada lagran cantidad de. determinantes de OEdenmenor que se requiere calcular. Por ejemplo, para un determinantede quinto orden se. tendrn 5 menores de cuarto orden, y paracada uno de ellos 4 menores de tercer orden; por lo que se requierecalclar un total de 20 determinantes de tercer orden.Como se vio en el ejemplo ant,erior, en ciertos casos especialespuede evitarse el clculo de algunos cofactores cuando los elementoscorrespondientes son nulos; en especial, si alguna de las 1!reas tuviese todos.los elementos excepto uno iguales a cero, sinduda escogeramos dicha lnea para efectuar el' desarrollo por cofactores,ya que s6lo requeriramos calcular uno de ellos (el co -rrespondiente al elemento distinto de cero). Esta situaci6n, claramentedeseable, puede lograrse con ayuda de las propiedades queestablece el teol.'ema VII.2.2; en particular, mediante la aplic~ -'ci6n reiterada de la propiedad v).El mtodo que se propone a continuaci6n, conocido como "mtodo de 181. 463condensaci6n", se basa precisamente en esta idea y consiste en losiguiente:1) Elegir una linea que contenga.el mayor nGmero de ceros posible.2) Elegir un elemento no nulo de dicha linea (de preferenciaun 1 o un -1) y aplicar reiteradamente la propiedad v) deVII.2.2 hasta reducir a cero todos los dems elementos dela linea.3) Desarrollar por cofactores segGn dicha linea.4) Repetir los tres pasos anteriores hasta obtener un determ!nante de tercer orden (o de segundo si se prefiere) y obtener su valor mediante la regla de Sarrus.A manera de ejemplo, usaremos a continuaci6n el mtodo de condensaci6n para calcular el determinante de la matrizA-1 1 -5 -2 33 211 -12o 211 24o -:-11 o3 -1o 1Elegimos la cuarta columna para efectuar el desarrollo po.r tenersta dos elementos nulos, y seleccionamos como "pivote" al tercerelemento de dicha columna por tratarse de un uno. Entonces, mult!plicando por 2 y por -3 el tercer.rengl6n y sumndolo al.prirnero yal cuarto renglones, respectivamente, se obtiene 182. 464..-1 1 -5 -2 3 (2) 1 -1 -1 o 33 2 1 o -1 3 2 1 o -1~,det A 1 -1 2 1 1'~o * 1 -1 2 1 oo 2 1 3 -1 (-3) -3 5 -5 o -11 2 4 o 1 1 2 4 o 1En consecuencia, desarrollando por cofactores seg.(in la cuarta columna1 -1 -1 3det A (1) (-1) 7 3 2 1 -1-3 5 -5 -11 2 4 1Para calcular el valor de ste determinante de cuarto orden, eleg!_mos ahora el primer rengl6n para el desarrollo y la primera colum-nacomo pivote, por lo que sumando sta a la segunda y tercera co-lumnas,multiplicndola por -3 y sumndola a la cuarta se obtiene... l..l_.l- -1 -1 3 1 o o o3 2 1 -1 3 5 4 -lOdet A (-1) (-1)-3 5 -5 -1 -3 2 -8 81 2 4 1 1 3 5 -2* (1) (1) (-3)y desarrollando por cofactores seg(in el primer rengl6n5 4 -10det A (-1) (1) (-1) 2 .2 -8 83 5 -2 183. 465Para continuar con el proceso, seleccionarnos ahora el segundo ren-gl6npara el desarrollo y la primera columna corno pivote, con loque5 4 -lO 5 24 -30det A (-1) ...,,.-"t~J -8 8 (-1) 2 o o3 5 -2 3 17 -14* (4) (-4)Finalmente, desarrollando por cofactores y empleando la regla deSarrus se obtiene24 -30det A (-1) (2) (-1) 3 2(-336 + 510) - 34817 -14que es el valor del determinante.Corno puede verse, el mtodo de condensaci6n ofrece en cada cicloun gran nmero de posibilidades para la selecci6n de la lnea ydel elemento pivote. Una selecci6n adecuada en cada caso puedecontribuir notablemente a simplificar los clculos correspondie~ -tes.Determinante de una matriz triangular.El clculo del determinante de una matriz triangular resulta part~cularrnente sencillo, ya que su valor es igual al producto de loselementos de su diagonal principal, corno lo establece el siguienteteorema. 184. 466VII. 3. 3 TEOREMASi A= [aij] es una matriz triangular superior(inferior), entoncesdet ADEMOSTRACIONnni=ta ..11Haremos una prueba por inducci6n en el caso de una matriz .triangu-larsuperior.Para n = 2 se tieney por la regla de Sarrusdet A2Sea ahoraa a12 ano a2 2 a2nA no o a nnDesarrollando por cofactores segG.n el G.ltimo rengl6n se tiene quea a2 al ,n-1det A a (-1) n+n o a22 n nn a 2,n- 1o o a n-1 ,n-1 185. pero, por hip6tesis de inducci6na an 12o a22o oy en consecuenciadet Ana .t,n-1a 2,n- 1a n- t,n-1(alla2 2467a11 a22a n-1 ,n-1a )=n- 1 ,n- 1Por otra parte, si A es triangular inferior entonces AT es triang~lar superior; en consecuencia por i) de VII.2.3 y el resultado an-teriorse tendr quedet A = det ATnJIi=la .. . l.l. Esto completa la demostraci6n.DLa facilidad con que se calcula el determinante de una matriztriangular sugiere otro mtodo general para el clculo de determinantes, elcual consiste en transformar la matriz dada.en una ma-triztriangular empleando las propiedades del teorema VII.2.2, ycalcular el determinante de ~sta multiplicando los elementos de sudiagonal principal. Debido a que una matriz triangular es una matriz escalonada, el procedimiento resulta similar al m~todo deGauss para la resoluci6n de sistemas; sin embargo, se debe tenerpresente que en este caso las transformaciones del tipo I y del tipo II pueden alterar el valor del determinante.A manera de ejemplo, calcularemos a partir de este m~todo el valordel determinante que empleamos para ilustrar el m~todo de conden - 186. 468saci6n.Multiplicando por 3 el primer rengl6n y' sumndolo al segundo, y sumando el primer rengl6n al tercero y al quinto se obtienedet A-131o112-122-51214-2o13o3-1o-11-1oooo15o23-5 -2-14 -6-31-1-13-2383-14umando al segundo rengl6n el quinto multiplicado por -2 y, a continuaci6n,multiplicando por 2 y por 3 el s'egundo rengl61) y suman-doal cuarto y quinto renglones, respectivamente, se obtienedet A =-1oooo1-1o23-5 -2-12 -2.-13o-3 31-13 '-1-2 4-1oooo1-1ooo-5 -2-12 -2-3 -1-23 -1-37 -83o3-14Multiplicando el tercer rengl6n por -2~3 y por -3~7 y sumndolo alcuarto y al quinto renglones. y, a continuaci6n, multiplicando por-13 ' 20 el cuarto rengl6n y sumndolo al quinto se obtienedet A~1oooo1-1ooo-5 -2-12 -2-3oo-120~1333o3-24-33-1oooo1-1ooo-5 1 -2-12 -2-3oo..;1203o3o3-24-87-s- 187. 469por 1o que, finalmentedet A = (-1)(-1)(~3)(~) (~) 348.que es el valor buscado.VII.3.4 E~ERCICIOS1.- Aplicar ~a regla de Sarrus para calcular el valor de los si -guientes determinantesa -3a 3 b -ea) b) -2 1 -12 1-9 e 3b2.- Obtener el menor y el cofactor de los elementos azz y az3 dela matrizA [: : ~:]-2 1 23.- Obtener el valor del determinante4 -6 o 1o 2 -1 o2 1 -5 21 6 :..7 1a) desarrollando por cofactores segdn la tercera columnab) aplicando lo que ser!a ia regla de Sarrus para un determ!nante de 4o. orden.Y comparar estos resultados con el obtenido en el problema 4de VII.l.S 188. 4704.- Calcular el determinante del problema anterior, desarrollandopor cofactores segn el segundo rengl6n.5.- Calcular el valor del determinante2 1 o1 o -2.-4 -1 31 2 o-2 1 42 -1o 31 -54 3o 1a) por el mtodo de condensaci6nb) transformando a una matriz triangular.6.- Demostrar que el valor dea az o oa21 a22 o ob bz as s oC Cz es a,,es independiente de los valores de b, bz, e, Cz y es 189. 471VII.4 ALGUNAS APLICACIONESCorno complemento a las secciones anteriores, en las cuales se pr~sentaron los principales aspectos relativos al concepto de deter-rninante,en sta veremos dos de sus principales aplicaciones: alclculo de la inversa de una matriz y a la resoluci6n de sistemasde ecuaciones lineales. corno consecuencia del desarrollo de es -tos t6picos se obtendrn adems algunas 'propiedades adicionalesque son de gran utilidad en el empleo de los determinantes.Clculo de la inversa por medio de la adjuntaSe conoce corno adjunta de una matriz cuadrada A a la transpuestade la matriz que se obtiene reemplazando los elementos de A porsus respectivos cofactores, corno lo establece la siguiente definici6nVII.4.1 DEFINICIONSea A = [ aij] una matriz de nxn con elementos en C,y sea Cij el cofactor del elemento aij"Adjunta de A a la matrizAdj A = [ b ij] , dondeSe llamaqiAs!, por ejemplo, para obtener la adjunta de la matrizA ~ -: :]se calculan los cofactores de todos sus elementos 190. 472-1 4 3 4 3 -1C -4, Cu = (-1) 8, C1a '5,1 o o 2 1o 2 1 2 1 oC21 (-1) -4, C23 = (-1)1 o 2 o 2 1o 2 1 2 1 oCu 2, C32 (-1') 2, C33 -1,-1 4 3 4 3 -1y se ordenan de la siguiente maneraAdjALa adjunta tiene la siguiente propiedad importante. Si multipli~carnes la matriz A del ejemplo anterior por su adjunta obtenemosA(Adj A)=[~ _: :] [: _: :]= [:. : :l 6~ : ~2 1 o 5 -1 -1 o o ~ L; o ~y cabe preguntarse que relaci6n tiene el nmero 6 con la matriz .dada. Si calculamos su determinante encontramos quedet AEs decir queA(Adj A)1 o3 -12 124o(det A) Is6-1, 191. 473Esta expresin no slo es vlida para la matriz del ejemplo ante-riorsino que constituye un resultado general, como lo estableceel siguiente teoremaVII. 4. 2 TEOREMASi A es una matriz de nxn con elementos en e, entoncesA(Adj A) = (Adj A)A = (det A)InDEMOSTRACIONSea A = [ aiJDe VII.4 .1Adj A = [ biJ , dondepor lo que, de VI.3.1A(Adj A) = [ p.l 1jj.dondeEn consecuencia, para ib ..1]c .. ]1se tiene queque es el desarrollo por cofactores, segli~ el i-E!!simo re.ngln,del determinante de A; por lo que, de i) de VII.3.2pH = det A (1)Probaremos ahora que pij = O cuando i # jPor i) de VII.3.2 se tiene que 192. 474a a 2 ani ail ai2 a inaj 1 cj 1 + a. c. + .. + a. c.J 2 J 2 JU JU,aj1 aj2 ajnan an2 annpor lo que, haciendo ajk aik tenemosa a2 ani ai1 ai2 a ina. c. + a. c. + ... + a. e11 J 1 12 J 2 1n jnai1 ai2 a inan1 an2 annPero este determinante tiene dos renglones iguales por lo que, deiv) de VII.2.2, su valor es cero ya e +a e + ... +a e oil jl i2 j2 in jnEsta expresi6n nos indica que la suma de los productos de los el~mentas de un rengl6n por los cofactores de los elementos de otrorengl6n es igual a cero.En consecuencianpij : aik cjk o, si i , j (2)k=1As! que, de (1) y (2) 193. 475det A, si i jO si i # jpor lo que, de VI.3.4 y VI.2.4A(Adj A) = (det A)I0La prueba de(Adj A)A (det A) I 0es similar y se sugiere al lector intentarla como ejercicio.DCon ayuda de este resultado puede demostrarse. el importante teorema que se enuncia a continuaci6nVII. 4. 3 TEOREMASea A una matriz de nxn con elementos en C:A- 1 existe si y s6lo si det A # ODEMOSTRACIONa) De VII.4.2 se tiene queA(Adj A) = (det A)Inpor lo que, si det A # O de la expresi6n anterior se siguequede~ A [ A(Adj A) J Inesto es 194. 476A [de! A (Adj A) J = InEn consecuencia, de VI.4.1-1 1 .A = det A(AdJ A) (1)y A- 1 existe, ya que la adjunta de A existe para toda matrizA.Entoncesdet A '/ O =) :; A - 1 (2)b) Si A- 1 existe, entoncesA A- 1 = In por vr. 4.1det(A A-1) det I n(det A) (det A -1) = det I n .POr iii) de VII.2.3(det A) (det A- 1 ) 1 por VII.3.3 (3)por lo que det A 'f O; esto es:; A - 1 ) det A '/ O (4)Finalmente, de (2) y (4) se sigue que:;A -1 < > det A '/ Ocomo se quera demostrar.DLa expresin (1) de la demostracin anterior sugiere un mtodo p~ra calcular la inversa de una matriz, el cual consiste en mult~-plicar el recproco del determinante por la adjunta. Puntualiza- 195. 477mos dicho resultado en el .siguiente corolarioVII.4.4 CORO~RIOsi det A 1 O, entonces A-1 . 1 .de"EA(AdJ A)As,, por ejemplo, la inversa de la matrizes-4 2 2l -2 1 13 3 36" 8 -4 _:J - 3 3 3A-1 1 4 -2 15 -1 5 -1 16 1 -6Otro resultado importante que puede derivarse dedel teorema VII.4.3 es el siguiente.VII.4.5 COROLARIOsi ~A - 1 entonces det A-l 1det Ala demostraci6nEsta propiedad es consecuencia inmediata de la expresi6n (3).Regla de CramerPara terminar este captulo enunciaremos formalmente el m~todo p~ra resolver sistemas de ecuaciones lineales sugerido al principiode la secci6n VII.1, el cual nos sirvi6 como motivaci6n para la 196. 47!!definici6n general de determinante.VII.4.6 TEOREMA (REGLA DE CRAMER)Sea ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..un sistema de n ecuaciones lineales con n inc6gnitas,. y seaA = [a1J su matriz de coeficientes.Si det A ~ O entonces xkdonde Ak [ cij] es tal quedet AkaetA, (k 1, 2, , n)aij' para j ~.kb1 , para j kEs decir que, si det A ~ O, entonces el valor de la k-sima inc6~nita en la soluci6n dE;!l sistema puede .calcularse como el cocientede los determinantes de las matrices ~ y A, donde Ak se obtienereemplazando en A. la k-sima columna por el vector de trminos independientes.DEMOSTRACIONEl sistema es equivalente a la expresi6nAX Bdonde 197. 479a11 a12 a1n XI blaz1 azz azn Xz bzA X y Ban1 anz ann Xn bnEntonces, si det A t O por VII.4.3 3 A-l y se tendr quepor lo que, de VII.4.4Esto esAs! queX [de~ A (Adj A) J BXX1det Apero, por VII.3.2, la expresi6nbe +be + ... +be1 1 k 2 zk n nk1, 2, .. , n)corresponde al desarr.ollo por cofactores, segn la k-sima column~,de una matriz que se obtiene a parti~ de A reemplazando los 198. 480elementos de la k-sima columna por el vector de trminos indepe!!_dientes; es decir quel.aij' para,bi , paraf. ke ..1]lo que demuestra el teorema. o.As!, por ejemplo, para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales empleando la regla de Cramer- X - X2 + 2X3 3X + 2X2 - X3 -2calculamos primerodet A =2-113-12-12-1Como det A f. O calculamos ahora1 3 -1det At 3 -1 2-2 2 -1'2 1 -1det A2 -1 3 21 -2 -1-2-104k 199. 4812 3 1det A, -1 -1 3 -61 2 -2por lo que la so1uci6n esX -10 5, 4 -2, -6 3 --=2 X2 -2 X -2'VII. 4. 7 EJERCICIOS1.- Obtener la matriz A para la cualAdj A y [ ~ ::: :::]-1 3 12.- Para cada una de las siguientes matrices determinar si existesu inversa, e~ caso afirmati~o calcularla por el mtodo de laadjunta y verificar que se cumple el corolario VII.4.5a)A [: ~: : Jb) r-: : ~ll-1 5 4B3.- Demostrar que si A es una matriz. no singular de 3x3, entoncesdet A = J det (Adj A) 200. 4826.- Una compa!a recibi6 de cuatro proveedores los siguientes pr~supuestos:Prov. A Prov. B Prov. C Prov. DNo. compresoras 2 o 1 1No. medidores o 4 2 2No. vlvulas 4 4 o 4No. reguladores 1 2 2 oCosto total enmillones de pesos 6 5 5 4Sabiendo que los proveedores tienen los. mismos precios para cada art!culo; Cuntos millones de pesos cuesta cada ~mpresora?Qu ventajas presenta en este caso el empleo de la regla deCramer sobre el m'todo de Gauss? 201. CAPITULO VIII ESTRUCTURAS ~LGEBRAICASINTRODUCCIONEn captulos anteriores hemos tratado con diferentes tipos de en.:..tes matemticos tales como n!imeros complejos, 'polinomios y matrices,y hemos efectuado con ellos ciertas operacione.s; sin emba!_ -go, no todas las operaciones se comportaron de la misma manera:,ia multiplicaci6n de polinomios, por ~jemplo, result6 ser una op~raci6n conmutativa mientras que la muitiplicaci6n de matrices nolo es. En este captulo analizaremos los aspectos ms relevantesen eL comportamiento de las llamadas "operaciones binarias".Cuando un conjunto esta provisto de una o varias operaciones binarias se tiene un "sistema algebraico". Dicho sistema posee cierta"estructura" que est determinada por las propiedades de lasoperaciones definidas en el conjunt.Es posible que dos conjuntos formados por elementos de diferentenaturaleza y provistos de operaciones distintas tengan, sin embargo, el mismo "comportamiento algebraico"; es decir, que las oper!!_ 202. 484cienes obedezcan a las mismas leyes. Se dice en tal caso que am-bossistemas pose~n la misma "estructura algebraica".A ciertas estructuras fundamentales se les han asignado nombresespecficos como el de ''grupo'', ''anillo'' o .''campo''.No se pretende realizar aqu un estudi,o exhaustivo de las diver -sas estructuras algebraicas existentes, sino ms bien presentarlos conceptos bsicos que nos permitan identificar y comprenderla estructura algebr'aica de los sistemas ms comunes en matemti-cas.vm.1 OPERACIONES BINARIAS Y SUS PROPIEDADESEl concepto de operacin binaria es fundamental para el estudiode las estructuras algebraicas; en consecuencia, necesitamos emp~zar por definir formalmente lo que entenderemos por una operacinbinaria.No Se trata ya de una operacin en particular, como la adicin denmeros complejos o la multiplicacin de matrices, sino del conceEto 'mismo de operacin binaria; es decir, de aquello que es co,mna todas las operaciones d~ este tipo que conocemos.,Qu tienen en comn operaciones como la adicin de nmeros racionales, la sustraccin de polinomios. y la multiplicacin de matri-ces,por ejemplo?1' Fundamentalmente lo siguiente:.Se aplican a dos elementos de la misma especie (de. ah el trmino ''binaria").Asignan a dichos elementos un nico "resultado", que es otroL 203. elemento de la misma especie, por medio de un criterio determinado.En general, el resultado asignado.depende no slo dequines sean los elementos sino tambin del orden en el questos sean considerados.Podemos decir entonces que una operacin binaria es una regla queasigna a cada par ordenado de elementos de un conjunto un nico elemento de dicho conjunto. Con ayuda del concepto de funcin,la definicin de ?Peracin binaria puede enunciarse de la siguie!!_te maneraVm .1.1 DEFINICIONUna operacin binaria.* definida en un conjunto Ses una funcin de sxs en s. La imagen del parordenado (a,b) bajo la operacin * se representaLa adicin de nmeros racionales, por ejemplo, es u~a fu.ncin deQxQ en Q, denotada por.el smbolo+, que asigna a cada par orden~do de nmeros racio nales (ba ' de ) un nico nmero racional represe!!.tado por E + ~ al que se conoce como 11 la suma 11 de E y ~ .La expresinad + bebdde la definicin I.4.4 especifica como obtener el nmero E+ ~apartir de los nmeros E y ~: es decir, especifica la regla o criteriode asignacin. 204. 486Al aplicar dicha regla al par ordenado O}{O}{O, 1, -1}as! como tambin lo es el propio Q; mientras que los siguientessubconjuntos no son cerrados respecto a dicha operaci6n{x 1 X Q, X < 0}{0, 1, 2}Respecto a la operaci6n ~ definida por la expresi6n (1), el conjuntoN no tiene subconjuntos errados salvo el propio N."Para la operaci6n. o definida por la tabla (2), el conjunto 208. L_490{S, y} es el nico subconJunto de G que no es cerrado respecto adicha operaci6n.Elementos idnticosVIJI. 1. 3 DEFINICIONSea * una operaci6n binaria definida en un conjunto S:i) Un elemento e E S es un idntico izquierdo para * sie*a = a, V a E Sii) Un elemento e E S es un idntico derecho para * sia*e = a, V a E Siii) Un elemento e E S es un idntico para * si esidntico izquierdo e idntico derecho.As!, por ejemplo, para la multiplicaci6n definida en el conjuntoM de todas las matrices de mxn con elementos en C, la matriz I _mes un idntico izquierdo ya queI AmA, V A E My la matriz In es un idntico derecho puesto queA, V A E MEl nmero cero es un elemento idntico para la adici6n definidaen Q, ya que0 + X XyX + 0 x, V x E Qy el nmero uno lo es para la multiplicaci6n definida en dicho--------------------- 209. 491.conjunto, puesto que1 X = XljX 1 = X, V X E QEl conjunto N no tiene idntico izquierdo para la operaci6n 6 definidapor la expresin (1) , ya que la condicine 6 n = nes equivalente, por definici6n de la operaci6n 6, a la expresine + 2n no seae -nEntonces, si n E N se tendr que -n t N, por lo que 6 no tieneidntico izquierdo en N.Dicha operaci6n tampoco tiene idntico derecho en N, ya quen 6 e= n, V n'es equivalente an + 2e = n2e oe oy el cero no es un elemento de N.Como otro ejemplo consideremos la misma regla de correspondenciapara la operaci6n 6, pero definida ahora en el conjunto de los nGmeros enteros; esto esm 6 n = m + 2n; ~ m, n E Z 210. 492Al buscar un idntico izquierdo para ~ en el conjunto Z partirnosde la condici6ne ~ n = ny llegarnos nuevamente a la expresi6ne -ndonde ahora, si n e Z se tiene que -n e Z.Sin embargo, de acuerdo con dicha expresi6n cada elemento tendrfasu "propio" idntico izquierdo, y el "idntico izquierdo'~ de u'nelemento no lo ,serfa para otro diferente.Por ejemplo, un "idntico izquierdo" para 1 sera -1 ya que-1 ~ 1 1pero para 2 se tendra que-1 ~ 2 = 3En consecuencia, la operaci6n ~ no tiene idntico izquierdo en Z.Por otra parte, el nmero cero es un idntico derecho para la op~raci6n ~ definida en Z ya quen ~ O .n, V n e Zy adems O e Z.Finalmente, para la operaci6n o definida por la tabla. (2), el co~junto G tiene dos idnticos izquierdos (que son a y y) y no tieneidntico derecho. 211. 493Elementos inversosVDI.l.4 DEFINICIONSea una operacin binaria definida en un conjunto s, y:i) Sea e un id~ntico izquierdo para * Un elemen'to a 'E Ses un inverso izquierdo del elemento a E S siii) Sea e un idntico der.echo para *.:,..Un elemento a E Ses un inverso derecho del elemento a E- S siiii) Sea e un idntico para un-elemento a E S es uninverso del elemento a ES sie y eC.omo se sigue de la definicin anterior, para poder hablar de elementes inversos se requiere que existan elementos id~nticos .As!pues, como la operacin _8 definida en N por la expresin (1)no tiene idntico. izquierdo, no puede haber inversos izquierdospara dicha operacin; y como. tampoco existe idntico derecho., ni!!_g~n elemento de N podr tener inverso qerecho para la operacin 8.Para la operacin o definida en G por la tabla (2) se tiene lo sigui~nte:Como a y y son idnticos izquierdos, entonces a tiene dos inver -sos izquierdos, que son a y y, ya que 212. 494a o a = ay o a = ae no tiene inverso izquierdoy tiene. dos. inversos izquierdos, que son a y y, ya quea o y yy o y yCorno no hay idntico derecho ningdn elemento qe G tiene inverso.derecho.Para la adicin en Q .el cero es un elemento. idntico por lo que,para dicha operacin,. un inverso del ndrnero )[ E Q es el ndrnero-x E Q !llamado su simtrico), ya que-x +.x o y x + (-x) = OPara la multiplicacin en Q, corno el ndrnero uno es un elementoidntico, un inverso del ndrnero racional x # O es el ndrnero! E Q (llamado su recproco), puesto queX1 XX = 1Asociativida4VDI.l.S DEFINICIONyxx1 1Sea * una operacin binaria definida en un conjunto SSe dice que * es asociativa si 213. 495Consideremos, por ejemplo, la operaci6n o definida en G por latabla (2). Esta operaci6n no es asociativa ya que, para los elementosB, B y y se tiene queyB o (B o y)(B o Bl o yB o a = BB o y = apor lo queB o !B a y) '1 !B o Bl o yy, en consecuencia, existe al menos un caso para el cual no secumple la igualdad de la defini::i6n vm .l. 5, igualdad qu debecumplirse en todos los casos para que la operaci6n sea asociativa.La adici6n y la multiplicaci6n en Q son operaciones asociativas,ya queyx + (y + z)x (yz)(X + y) + Z(xy) zpara todos los valores de x, y, z E Q, como lo establecen losteoremas I.4.5 y I.4.8; mientras que la sustracci6n en Q no loes, ya que la igualdadx - (y - z) = (x - y) - zno se cumple en todos los casos;Para dete~inar si la operaci6n d definida por la expresi6n (1)es asociativa o no lo es, debemos analizar para que valores dem, n y p se satisface la igualdad 214. m 6 (n 6 p)496(m 6 n) 6 pPor una parte tenemos quem 6 (n 6 p) m 6 (n + 2p) m + 2 (n + 2p)y por otra(m 6 n) 6 p (m + 2n) 6 p = m + 2n + 2pm+ 2n +-4presultados que nunca sern iguales puesto que p no puede. valercero.Cabe hacer notar que cuando una operaci6n * es asoc.iativa pod~ -mos escribirsin que exista ambigedad respecto al significado de la expresi6n,puesto que en cualquier orden. que coloquemos los parntesis seobtendr el mismo resultado.ConmutatividadVDI.1.6 DEFINICIONSea * una operaci6n binaria definida en un conjunto S.Se dice que * es conmutativa si'J. a, b E S:La operaci6n o definida por la tabla (2) tampoco es conmutativaya que, como vimos 215. 497a oy=ayy o 13 13por lo que13oytyol3y existe al menos un caso para el cual no se cumple la igualdadde la definici6n vnr.l.6.La adici6n y la multiplicaci6n en Q son operaciones conmutativasya queX + y y + XIJ xy = yxpara todos los valores de x, y E Q, como lo establecen los teoremas 1.4.5 y 1.4.8, mientras que la divisi6n en Q no lo es, yaque la igualdadX .. y y .. Xno se cumple en todos los casos.Para determinar si la operaci6n 1!. definida por la expresi6n (1).es conmutativa o no lo es, debemos analizar para qu valores dem y n se satisface la igualdadm 1!. n n 1!. mPor una parte tenemos quem 1!. n = m + 2n 216. 498y por otran 6 m n + 2mresultados que ser~n iguales s6lo cuando m y n sean iguales y nopara todos los valores de m y n, por lo que la operaci6n 6 no esconmutativa.VDI.1.7 EJERCICIOS1.- Para cada uno de los siguientes conjuntos determinar si * esuna operaci6n binaria definida en S:2.-a) S {x 1 X E z, X < 0}, y * es la multiplicaci6n en z.b) S {-1, o, 1}, y * -1 o 1-1 1 o -1o o o o1 -1 o 1e) S es el conjunto de matrices de 3x2 con elementos en R,y * es la multiplicaci6n de matrices.Para el conjunto L = {a, b, c}y la6 a b eoperaci6n 6 definida por la tabla,a a e aobtener todos los subconjuntos deb a b bL que son cerrados para 6.e e b e3.- Sea o la operaci6n definida en Z comoa ob =a+ 3b + 1; V. a, b E z.Determinar si dicha operaci6n:a) Es asociativab) Tiene idntico derechoe) Tiene inverso derecho para todo elemento de z. 217. 4994.- Sea S el conjunto de los ngulos que puede girar la recta rde la primera figura conservando la simetra del tringuloequilteror1.1Considrese la suma de dos de tales ngulos como el giro fi -nal que experimenta la recta a partir de su posicin orig~ -nal. Construir una tabla que defina a dicha operacin, y de-terminarsi sta:a) Es conmutativab) Es asociativa (Se sugiere verificar nicamente tres o cuatro de los veintisiete casos posibles que deberan verificarse en una prueba formal)e) Tiene idnticod) Tiene inverso para todo elemento de S. 218. 500vm.2 ESTRUCTURA DE GRUPOLa estructura algebraica ms simple que consideraremos en este capftulo es la de grupo.Se emplea el nombre de grupo para designar la estructura que p~ -seen los sistemas formados por un conjunto y una operaci6n bin~ -ria cuando dicha operaci6n es asociativa, est dotada de elementoidntico y todo elemento del conjunto tiene inverso para la oper~ci6n.Definici6n de grupoLa definici6n que se presenta a continuaci6n est constituida portres postulados independientes que, en conjunto, son suficientespara deducir todas las propiedades caracterfsticas de la estructura de grupo.vm.2.1 DEFINICIONSea G un conjunto no vacfo y sea * una operaci6n binaria definida en G. El sistema (G,) tiene estructura de grupo si:i) ~ a, b, e e: Gii) :; e e: G tal que ea = a, ~ a e: Giii) ~ a e: G, :; a e: G tal queEl postulado i) de la definici6n nos dice que la operaci6n * debeser asociativa.El postulado ii) nos indica que debe existir un elemento de G quesea idntico izquierdo para la operaci6n' Conviene, al respec-to,hacer un par de observaciones: 219. 5011) Aunque el s:.mbolo 3 e se lee "existe un e", t debe inte!: -pretarse como "existe al menos un e". Para indicar queexiste exactamente un elemento e se dice "existe uno y s6lo un e", para lo cual no se tiene un s:.mbolo adoptadouniversalmente.2) Aunque .el postulado ii) s6lo exige la existencia de (almenos) un idntico izquierdo, dicho elemento es tambinun id~ntico derecho y, adems, es nico. La demostraci6nse ver ms adelante en las "propiedades elementales delos grupos".El postulado iii) de la definici6n vm.2.1 nos indica que todoelemento de G debe tener (al menos) un inverso izquierdo. Nuevamente,como se demostrar ms adelante, dicho inverso izquierdoes tambin inverso derecho y, adems, es nico.Ejemplos de gruposLos ejemplos ms conocidos de grupos los encontramos entre:los diversos sistemas numricos ,que ya hemos manejado.El conjunto de los nmeros enteros y la operaci6n de adici6