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Estructuras de Datos y Algoritmos

Facultad de Informatica

Universidad Politecnica de Valencia

Curso 2008/2009

Tema 4:

Grafos y arboles

FI UPV: Curso 2008/2009


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TEMA 4. Grafos y arboles

Objetivos

Definiciones, representacion y recorrido de arboles y grafos.

Contenidos

1 Grafos: Definiciones basicas2 Representacion de grafos3 Arboles: Definiciones basicas4 Arboles binarios5 Representacion de arboles6 Recorridos de arboles binarios7 Recorrido de grafos8 Orden topologico en grafos acclicos

Bibliografa

Introduction to Algorithms, de Cormen, Leiserson y Rivest (sec. 5.4, 5.5, 11.4 y 23.1) Estructuras de datos y algoritmos, de Aho, Hopcroft y Ullman (captulos 3, 6 y 7)

FI UPV: Curso 2008/2009 Pagina 4.1


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1. GRAFOS: DEFINICIONES BASICAS

Grafo dirigido: es un par G = (V, A) donde V es un conjunto finito de elementosllamados verticesyA V V es un conjunto de pares ordenados de vertices llamadosaristas.

Si (u, v) es una arista deG, se dice que el vertice v es adyacentea u.

0 1 2

53 4



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Grafo no dirigido: es un par G = (V, A) donde V es un conjunto finito de vertices yA {{u, v} |u, v V v=u}es un conjunto de pares no ordenados de vertices.

Sia= {u, v}es una arista no dirigida, se dice que aunea uyv y quea incideen uy v.

Si {u, v} es una arista de G, se dice que el vertice v es adyacente a u. La relacion essimetrica.

0 1

4 3

2



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Grado:para todo vertice v,

grado de entradaes el numero de aristas que inciden env; grado de salida es el numero de aristas que emergen de v; gradoes la suma de los grados de entrada y salida dev.

El grado de un grafo es el maximo grado de sus vertices.

0 1 2

53 4

Ejem.: El grado de entrada del vertice 1 es 2; el grado de salida es 1; el grado del vertice es 3. El grado del

grafo es 3.



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Camino desde un vertice u V a un vertice v V: es una secuenciav0, v1, . . . , vk devertices de G= (V, A) tal que v0=u, vk =v, (vi, vi+1) A, 0 i < k.La longitud de un camino v0, v1, . . . , vk es el numero de aristas que lo forman.Camino simple: es un camino v0, v1, . . . , vk en el que todos sus vertices son distintos,excepto quizas el primero y el ultimo.Ciclo:es un camino simple v0, v1, . . . , vktal que v0= vk y el camino contiene al menosuna arista.Un bucle es un ciclo de longitud 1.

0 1 2

53 4

Ejem.: El camino0, 3, 1, 4 es simple y tiene longitud 3. El camino 0, 1, 4, 3, 1 no es simple.

Ejem.: El camino1, 4, 3, 1 es un ciclo de longitud 3. El ciclo 5, 5 es un bucle.

Grafo acclico:es un grafo sin ciclos.



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Subgrafo:G = (V, A) es un subgrafo de G= (V, A) siV V A A.Subgrafo inducido: Dado V V , el subgrafo de G inducido por V es G = (V, A)

tal que A ={(u, v) A | u, v V}.

0 1 2

53 4

0 1

3 4

0 1

3 4

Subgrafo Subgrafo inducido por V ={0, 1, 3, 4}



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Vertice alcanzable desde un vertice u: es cualquier vertice v para el que existe uncamino de u a v.

Las componentes conexas en un grafo no dirigido son las clases de equivalencia devertices segun la relacion ser alcanzable.

Un grafo no dirigido es conexo siu, v V, v es alcanzable desdeu. Es decir, si tieneuna unica componente conexa.

Las componentes fuertemente conexas en un grafo dirigido son las clases deequivalencia de vertices segun la relacion ser mutuamente alcanzable.

Un grafo dirigido esfuertemente conexo siu, vV, v es alcanzable desdeu.

0 1

4 3

2

0 1 2

53 4



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Grafo completo:es un grafo G= (V, A) en el que u, v V, u=v, (u, v) A.Grafo etiquetado: es un grafo G = (V, A) acompanado de una funcion f : A E,

donde Ees un conjunto cuyas componentes se denominanetiquetas.Grafo ponderado:es un grafo etiquetado con numeros reales (E R).Un grafo se consideradenso si|A| |V|2.Un grafo se consideradispersosi|A|


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2. REPRESENTACION DE GRAFOS: Matriz de adyacencias

Un grafo G = (V, A) se representa como G: matriz[V, V] de booleanos. La componenteG[u, v] es 1 si(u, v) A; sinoG[u, v] = 0.

Memoria:O(|V|2) grafos densos|A| |V|2.Tiempo de acceso: O(1). Lista adyacentes:O(|V|). Lista incidentes:O(|V|).

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53 4

0

0

0

0

0

0

1 0 1 0 0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

2

3

4

5

0 1

4 3

2

1 0 0 1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

2

3

4

0

1

0

0

1



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1 // Representacion de Grafos: Matriz de adyacencia

2 #include

3 #include

4 using namespace std;

5 class grafoDirigidoBitMat {6 int numVert;

7 vector vec;

8 int indice(int u, int v) const { return u*numVert+v; }

9 public:

10 grafoDirigidoBitMat(int nvert) : numVert(nvert),vec(nvert*nvert) {}

11 void insertar_arista(int u, int v) { vec[indice(u,v)] = true; }

12 bool existe_arista(int u, int v) const { return vec[indice(u,v)]; }13 void imprime(ostream &s) const;

14 };

15 void grafoDirigidoBitMat::imprime(ostream &s) const {

16 for (int u=0; u < numVert; ++u) {

17 for (int v=0; v < numVert; ++v)

18 s


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22 ostream& operator v ) { // lectura de aristas

33 if (0


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2. REPRESENTACION DE GRAFOS: Listas de adyacencia

Un grafoG = (V, A)se representa como unvector de listas de verticesindexado por vertices;es decir, G: vector[V] de V . Cada componente G[v] es una lista de los vertices emergentes

y/o incidentes de/a v V.Memoria:O(|V| + |A|) grafos dispersos|A|


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1 // Representacion de Grafos: Listas de adyacencia

2 #include

3 using namespace std;

4 class grafoListaAd {

5 struct arista {6 int vertice_destino;

7 arista *sig;

8 arista (int v, arista *s) { vertice_destino=v; sig=s; }

9 };

10 int numVert;

11 arista **vec;

12 public:13 grafoListaAd(int numVert);

14 bool existe_arista(int u, int v) const;

15 void insertar_arista(int u, int v, bool nueva=false);

16 void imprime(ostream &s) const;

17 };

18 grafoListaAd::grafoListaAd(int numVert) {

19 this->numVert = numVert;

20 vec = new arista*[numVert];

21 for (int i=0; i < numVert; i++) vec[i] = 0;

22 }



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23 bool grafoListaAd::existe_arista(int u, int v) const {

24 for (const arista *r = vec[u]; r != 0; r = r->sig)

25 if (r->vertice_destino == v) return true;

26 return false;

27 }28 void grafoListaAd::insertar_arista(int u, int v, bool nueva) {

29 if (nueva || !existe_arista(u,v))

30 vec[u] = new arista(v,vec[u]);

31 }

32 void grafoListaAd::imprime(ostream &s) const {

33 for (int i=0; i < numVert; i++) {

34 s


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45 int main(int argc, char *argv[]) {

46 if (argc != 2) {

47 cerr > v ) { // lectura de aristas

53 if (0


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Resumen: Representacion de grafos

Espacio

Matriz de adyacencia (|V|2)Listas de adyacencia (|V| + |A|)

Construccion del grafo (u, v) AMatriz de adyacencia (|V|2) (1)

Listas de adyacencia (|V| + |A|) (grado salida(u))

Recorrido sucesores Recorrido predecesoresMatriz de adyacencia (|V|) (|V|)Listas de adyacencia (grado salida(u)) (|V| + |A|)Listas de incidencia (|V| + |A|) (grado entrada(u))



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Ejercicio: Grafo traspuesto

El grafo traspuesto de un grafo dirigido G = (V, A) es un grafoGt = (V, At)donde(u, v) At si y solo si(v, u) A. Escribe dosalgoritmos que permitan construir el grafo traspuesto Gt a partirde G:

En el primer algoritmo los grafos se representaran mediante

matrices de adyacencia.En el segundo algoritmo los grafos se representaran mediantelistas de adyacencia.

Calcula el coste computacional de los dos algoritmos.



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Se puede modificar el propio grafo:

1 void grafoDirigidoBitMat::trasponer () { // in place2 for (int u=0; u < vertices; ++u)

3 for (int v=0; v < u; ++v) {

4 bool aux = vec[indice(u,v)];

5 vec[indice(u,v)] = vec[indice(v,u)];

6 vec[indice(v,u)] = aux;

7 }

8 }

Coste: Recorrer la matriz (|V|2)



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O bien devolver otra instancia de la clase:

1 grafoListaAd* grafoListaAd::trasponer() const { // devuelve OTRO grafo2 grafoListaAd* resul = new grafoListaAd(numVert);

3 for (int u=0; u < numVert; ++u)

4 for (const arista *r = vector[u]; r != 0; r = r->sig) {

5 int v = r->vertice_destino;

6 // le decimos true para no subir el coste innecesariamente:

7 resul->insertar_arista(v,u,true);

8 }9 return resul;

10 }

Coste: Recorrer la matriz (|V| + |A|)



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Ejercicio: Cuadrado de un grafo

El cuadrado de un grafo dirigido G = (V, A) se define comoG2 = (V, A) tal que (u, w) A si y solo si para algun v V secumple que (u, v) A y (v, w) A en el grafo G.

Escribe dos algoritmos para calcularG2 a partir deG, suponien-do que este ultimo esta representado como una matriz deadyacencia y como lista de adyacencia.

Calcula el coste temporal de los algoritmos resultantes, justif-icandolo adecuadamente.



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Solucion con matriz de adyacencia:

1 grafoDirigidoBitMat* grafoDirigidoBitMat::cuadrado() const {

2 // devuelve otro grafo3 grafoDirigidoBitMat *resul = new grafoDirigidoBitMat(numVert);

4 for (int u=0; u


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Solucion con listas de adyacencia:

1 grafoListaAd *grafoListaAd::cuadrado() const {

2 grafoListaAd *resul = new grafoListaAd(vertices);3 for (int u=0; usig)

5 for (const arista* s=vec[r->vertice_destino]; s!=0; s=s->sig)

6 resul->insertar_arista(u, s->vertice_destino);

7 return resul;

8 }


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3. ARBOLES: DEFINICIONES BASICAS

Bosque:es un grafo no dirigido acclico.

Arbol libre:es un grafo no dirigido acclico conexo.Arbol de recubrimiento de un grafo no dirigido G = (V, A): es un arbol libreT = (V, A) tal que V =V y A A.

Grafo Bosque Arbol


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Teorema (Propiedades de los arboles libres):

Sea G= (V, A) un grafo no dirigido. Los siquientes predicados son equivalentes:

1. G es un arbol libre.2. Cualquier par de vertices esta conectados por un unico camino.3. Ges conexo, pero si se elimina cualquier arista deA, el grafo resultante

no es conexo.

4. G es conexo y tiene|V| 1 aristas.5. G es acclico, y tiene|V| 1 aristas.6. G es acclico, pero si se anade una arista, se crea un ciclo.

Arbol


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Arbol enraizado

Un arbol enraizado es un arbol libre con un vertice (o nodo) distinguido denominado raz.

7

3

8 12

10 4

11 2

56 1

9

raz

Si existe un camino de un nodo xa un nodo y en un arbol T, se dice quexes antecesorde y, y que y es sucesor de x.Si (x, y) es el ultimo arco en el camino desde la raz r del arbol T hasta el nodo y,entonces x es el padre de y, e y es el hijo de x. La raz es el unico nodo en T que notiene padre. Si dos nodos tienen el mismo padre son hermanos.


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Arbol enraizado

Un nodo sin hijos lo denominaremos hoja. El resto son nodosinternos.El gradode un nodo es el numero de hijos que tiene.Se llama profundidadde un nodo a la longitud del camino desde la raz a ese nodo.La alturade un arbol es la profundidad del nodo mas profundo.

7

3

8 12

10 4

11 2

56 1

9

profundidad 0

profundidad 1

profundidad 2

profundidad 3

profundidad 4

altura=4


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4. ARBOLES BINARIOS

Un arbol binario es un arbol en el que el maximo numero de hijos de cada

nodo es 2 (hijo izquierdoe hijo derecho).3

2

4 1

7

5

6

profundidad 0

profundidad 1

profundidad 2

profundidad 3

altura=3

Un arbol binario se dice que escompleto (o lleno) si todas las hojas tienenla misma profundidad y todos los nodos internos tienen grado 2.

Un arbol binario escasi-completosi el arbol es completo, a excepcion quizasen el nivel de las hojas, en el cual todas las hojas estan tan a la izquierdacomo sea posible.


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Propiedades de los arboles binarios completos

0

1

2

3

h=3

1=2_0

2=2_1

4=2_2

8=2_3

profundidad num. nodos

Arbol binario completo de altura h= 3, con 8 hojas y 7 nodos internos

Numero de nodos: La raz tiene 2 hijos de profundidad 1, cada uno de los cuales tienen 2hijos de profundidad 2, etc. Nodos de profundidad i = 2i.

hojas:2h y nodos internos:20 + 21 + + 2h1 =h1

i=0 2i = 2h 1

nodos total:n=

hi=0 2i =2h+1 1

. . . y la altura

n= 2h+1 1 h= log2 n


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Propiedades de los arboles binarios

El maximo numero de nodos de profundidad i es 2i.

El maximo numero de nodos en un arbol binario de altura h es2h+1 1. El maximo numero de nodos internos es2h 1. El maximonumero de hojas es2h.

La altura mnima de un arbol binario con n nodos es log2 n.

Para cualquier arbol binario no vaco, si n0 es el numero de hojas y

n2 es el numero de nodos de grado 2, entonces n0=n2+ 1.

Ejercicio. Arboles k-arios. Un arbol k-ario es un arbol en el que elmaximo numero de hijos de cada nodo es k (as, un arbol binario es unarbol k-ario con k = 2). Cuantas hojas tiene un arbol k-ario completo

de altura h? Y cuantos nodos internos?


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5. REPRESENTACION DE ARBOLES

Arboles (numero de hijos sin acotar)

Listas (ordenadas) de hijos.

Hijo mas a la izquierda-Hermano derecha: variables dinamicaso vectores.

Con vectores y direccion del padre.

Otros . . .

Arboles binarios

Hijo izquierdo e Hijo derecho para cada nodo: variablesdinamicas o vectores.

Arbol binario (casi-completo): vector (heaps).

Otros . . .


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Listas (ordenadas) de hijos

1

3

10

5 6 7 11 12

2 9

4 8

1

2

3

4

5

6

7

10

8

9

10

11

12

NIL

5 6 NIL7

NIL

11 12 NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

2 3 NIL9

4 8 NIL

raz


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Hijo mas a la izquierda-Hermano derecha: variables dinamicas o vectores

B I

D H

A

C

J

E F G K L

2

3

4

....

8

9

10

....

12

13

14

16

17

....

15

K

F

LE

16

12

715

3

17

8

NIL

NIL

13

NIL

14

C

D

A

H

I

G

J

10

9

2B

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

raz

clave

hizq her_d

A

C

E F G K L

D H

B I

J

raz

hizq her_d

clave


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Con vectores y direccion del padre

1

10

5 6 7 11 12

4 8

2 91

10

5 6 7 11 12

4 8

2 9

33

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 3 31 1 94 4 4 10 103

El nodo i es la raz del arbol si T[i] =i. Cada nodo apunta a supadre: T[i] =padre(i).


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Arboles binarios: variables dinamicas o vectores(opcionalmente, puntero al padre)

C

B

D A

G

E

F

2

3

4

....

8

9

10

....

12

13

14

16

17

....

15 F

E

15

3

17

A

D

C

G

2B

NIL

12

NIL

raz 8

NIL NIL

NIL

NIL NIL

NIL

c ave

hderhizq

C

B

D A E

F

G

hizq hder

clave

raz


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Arboles binarios (casi-completos): vector

raiz: T[1]

padre[i]=[i/2]

hizquierdo[i]=2i

hderecho[i]=2i+1

A

B C

G

KH I J L

FED

1

5

8 9 10 11 12

6 7

32

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A ID H JE F G K L

13 14 ...

CB

hizquierdo

talla=12razpadre

hderecho


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6. RECORRIDOS DE ARBOLES BINARIOS

A veces puede interesar un recorrido sistematico y eficiente de todos los nodos del arbol.

A

B C

D E F

GH I

J

Recorrido enpreorden: A B D E H J I C F G

Recorrido en inorden: D B H J E I A F G C

Recorrido enpostorden: D J H I E B G F C A

Recorrido enniveles: A B C D E F H I G J

Coste de todos los algoritmos(n), siendonel numero de nodos del arboldespues de lallamada inicial, la funcion se llama recursivamente exactamente 2 veces para cada nodo delarbol: una vez para su hijo izquierdo y otra para su hijo derecho.


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6. Recorridos de arboles binarios: PREORDEN

La clave de la raz se imprimeantes de los valores de sus subarboles

A

B C

D E F

GH I

J

9 void nodo_abb::preorden() {

10 cout preorden();

13 }


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6. Recorridos de arboles binarios: INORDEN

La clave de la raz se imprimeentrelos valores de su subarbol izquierdo y derecho

A

B C

D E F

GH I

J

14 void nodo_abb::inorden() {

15 if (h_izq != 0) h_izq->inorden();16 cout


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6. Recorridos de arboles binarios: POSTORDEN

La clave de la raz se imprimedespues de los valores de sus subarboles

A

B C

D E F

GH I

J

19 void nodo_abb::postorden() {

20 if (h_izq != 0) h_izq->postorden();21 if (h_der != 0) h_der->postorden();

22 cout


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6. Recorridos de arboles binarios: NIVELES

En lugar de una pila (recursion) se utiliza una cola.

24 void abb::por_niveles() {25 cola *c = new cola(); // una cola de nodo_abb*26 nodo_abb *n;

27 c->insertar(raiz);

28 while (c->extraer(n)) {

29 if ( n ! = 0 ) { // se puede poner if (n) {

30 cout valor insertar(n->h_izq);

32 c->insertar(n->h_der);

33 }

34 }

35 delete c;

36 }


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Ejemplo arboles binarios: arbol de expresiones

Utilizacion de la estructura AB para representar expresiones aritmeticas con operadoresbinarios.

raz: operador principal

nodos internos: operadores de subexpresiones

hojas: operandos

(niveles: precedencia relativa de evaluacion)

x

+ -

e

a b

dc/

Recorrido en preorden: + / a b c d enotacion prefija o polaca

Recorrido en inorden:(((a/b) + c) (d e))notacion infija

Recorrido en postorden: a b / c + d e notacion postfija o polaca inversa


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7. RECORRIDOS DE GRAFOS

Metodo para recorrer de forma sistematica y eficiente un grafo.

Recorrido en profundidad: generalizacion del recorrido en preorden deun arbol

Recorrido en amplitud: generalizacion del recorrido en niveles de unarbol

En todos los algoritmos de recorrido de grafos supondremos que el grafoesta implementado con listas de adyacencia.


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Recorrido en profundidad de un grafo

Dado un grafo G= (V, A) y un vertice vV, la estrategia de recorrido

en profundidad (Depth-First Search (DFS)), explora sistematicamentelas aristas deGde manera que primero se visitan los vertices adyacentesa los visitados mas recientemente. De esta forma, se vaprofundizandoen el grafo; es decir, alejandose progresivamente dev.Este proceso continua hasta que todos los vertices alcanzables desde elvertice de la llamada original han sido descubiertos.

Esta estrategia admite una implementacion simple de forma recursiva yproporciona:

Ordenamientos de los vertices.

Clasificacion de las aristas.

Algunas aplicaciones:

Calcularun posibleorden topologico y comprobar si el grafo es acclico.

Encontrar las componentes fuertemente conexas de un grafo.


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El algoritmo DFS asocia los siguientes datos a cada vertice v del grafo:

d[v] instante en que el vertice v es descubierto

f[v] instante en que finaliza la exploracion del vertice v

pr[v] el vertice predecesor de v en el arbol generado (arbol deexploracion primero en profundidad, es un subgrafo del grafo original).

Elcolor asociado al vertice, que puede ser de 3 tipos:

WHITE cuando nunca ha sido explorado, GRAY mientras esta siendo explorado,

BLACK cuando ya ha sido explorado.

Al principio todos los vertices se ponen de color WHITE. Se utiliza unatributo time como contador para marcar los instantes.


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1 void grafo::dfs_visit(int u) {// algoritmo recursivo del DFS

2 color[u] = GRAY;

3 d[u] = ++time;

4 for (arista *r = vec[u]; r != 0; r = r->sig) {


6 if (color[v] == WHITE) { pr[v] = u;

7 dfs_visit(v); }

8 }

9 color[u] = BLACK;

10 f[u] = ++time;

11 }

12 void grafo::dfs() {

13 for (int u=0; u < numVert; ++u) { color[u] = WHITE;

14 pr[u] = -1; }

15 time = 0;

16 for (int u=0; u < numVert; ++u)

17 if (color[u] == WHITE) dfs_visit(u);18 }

Coste (|V| + |A|)


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Recorrido en profundidad de un grafo: Ejemplo

Grafo:

8 verticesaristas:

0 1

0 2

0 3

0 4

1 4

2 33 1

3 4

5 6

6 7

5 7

7 5


EDA-4


48/60


dfs_visit(0)

(0,4) is a TREE EDGE

dfs_visit(4)


dfs_visit(3)

(3,4) is a FORWARD/CROSS EDGE


dfs_visit(1)


(0,2) is a TREE EDGEdfs_visit(2)



dfs_visit(5)


dfs_visit(7)

(7,5) is a BACK EDGE(5,6) is a TREE EDGE

dfs_visit(6)



EDA-4


49/60


v d[v] f[v] pr[v]

0 1 10 -1

1 5 6 3

2 8 9 0

3 4 7 0

4 2 3 05 11 16 -1

6 14 15 5

7 12 13 5


EDA-4


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Clasificacion de las aristas. Una arista(u, v) es de tipo:

TREE o del arbol: si el vertice v ha sido descubierto a traves de

dicha arista. Estas aristas definen el bosque del recorrido primero enprofundidad, formado por uno o mas arboles.

BACK o hacia atras: siv es unantecesordeu en el arbol del recorridoprimero en profundidad.

FORWARD o hacia adelante: siv es undescendientede uen el arboldel recorrido primero en profundidad.

CROSS o de cruce: ningun vertice es antecesor del otro.

El recorrido DFS puede ser utilizado para clasificar las aristas a medidaque las va procesando. Cuando desde un verticeu se considera la arista(u, v), se puede observar el color del vertice destinov:

WHITE indica que es una arista del arbol o TREE.GRAY indica que es una arista hacia atras o BACK.

BLACK indica que es hacia delante o de cruce. Sid[u]< d[v]es haciadelante y si d[u]> d[v] es de cruce.


EDA-4


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Relacion de tipo parentesis: en la busqueda primero en profundidad,dados dos vertices del grafo u y v, se cumple exactamente una de estastres posibilidades:

los intervalos [d[u], f[u]] y [d[v], f[v]] son enteramente disjuntos. Eneste caso, niues descendiente dev en el arbol DFS ni v descendientede u.

el intervalo [d[u], f[u]] esta contenido enteramente dentro del inter-valor [d[v], f[v]] y ues descendiente de v en el arbol DFS.

el intervalo[d[v], f[v]]esta contenido enteramente dentro del intervalor[d[u], f[u]] y v es descendiente deu en el arbol DFS.

La relacion de estos intervalos tambien sirve para clasificar las aristas,as la arista(u, v) es:

del arbol si d[u]< d[v]< f[v]< f[u]

hacia atras si d[v]< d[u]< f[u]< f[v]

de cruce si d[v]< f[v]< d[u]< f[u]


EDA-4


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Orden topologico

Un orden topologico de un grafo dirigido acclico G = (V, A) es unaordenacion de los vertices de forma que si(u, v) A, entoncesu aparece

antes que v. (La solucion no es unica.) Ejem.: prerrequisitos de losestudios.

No es posible la ordenacion topologica cuando existen ciclos!

c

b

ed

a

a b d e c

d a e b c

Orden no unico.

Ordenacion de vertices en eje horizontal con las aristas de izquierda a derecha.


EDA-4

O


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Orden topologico

Dado un grafo G = (V, A), el DFS puede usarse para determinar si esacclico y, en ese caso, obtenerunorden topologico.

El grafo es acclico si no tiene ninguna arista hacia atras.El orden en que finaliza la exploracion de los vertices (valor guardadoen f[v]) es un orden topologico invertido.

1 void grafo::dfs_visit(int u) {

2 color[u] = GRAY;

3 d[u] = ++time;4 for (arista *r = vec[u]; r != 0; r = r->sig) {


6 if (color[v] == WHITE) { pr[v] = u;

7 dfs_visit(v);

8 } else if (color[v] == GRAY) es_aciclico = false;

9 } // es_aciclico esta a true antes de empezar DFS

10 color[u] = BLACK;11 f[u] = time;

12 topologic_sort.push_front(u); // insertar al ppio

13 }


EDA-4

R id f did d d f Ej l 2


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Recorrido en profundidad de un grafo: Ejemplo 2

Grafo:11

0 1

0 2

1 3

2 4

3 2

3 4

3 5

5 7

4 6

4 7

1 8

1 9

8 10

9 10

dfs_visit(0)


dfs_visit(2)


dfs_visit(4)


dfs_visit(7)


dfs_visit(6)


dfs_visit(1)


dfs_visit(9)


dfs_visit(10)


dfs_visit(8)



dfs_visit(3)


dfs_visit(5)





EDA-4

R id f did d d f Ej l 2


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Recorrido en profundidad de un grafo: Ejemplo 2

v d[v] f[v] pr[v]

0 1 22 -1

1 10 21 0

2 2 9 0

3 17 20 1

4 3 8 25 18 19 3

6 6 7 4

7 4 5 4

8 15 16 1

9 11 14 1

10 12 13 9

Un posible orden topologico: 0 1 3 5 8 9 10 2 4 6 7


EDA-4

O l i l d l i i DFS


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Otro algoritmo para el orden topologico, sin DFS

1 void grafo::orden_topologico_sin_dfs() { // test aciclicidad

2 int u,v; arista *r;

3 for (v=0; v < numVert; ++v) grado_entrada[v] = 0;

4 for (v=0; v < numVert; ++v)

5 for (r = vec[v]; r != 0; r = r->sig)

6 grado_entrada[r->vertice_destino]++;

7 col->vaciar();

8 for (v=0; v < numVert; v++)

9 if (grado_entrada[v] == 0) col->insertar(v);

10 for (n = 0; col->extraer(u); n++) {

11 topologic_sort.push_back(u); // insertar al final


13 grado_entrada[r->vertice_destino]--;

14 if (grado_entrada[r->vertice_destino] == 0)

15 col->insertar(r->vertice_destino);

16 }

17 }18 es_aciclico = (n == numVert);

19 }


EDA-4

R id lit d d f


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Recorrido en amplitud de un grafo

Dado un grafo G = (V, A) y un vertice s V, la estrategia derecorrido en amplitud o en anchura (Breadth-First Search (BFS)),explora sistematicamente las aristas deG de manera que primero sevisitan los verticesmas cercanos a v.

Algunos algoritmos importantes de grafos tienen una estructura similaral BFS. Por ejemplo, el algoritmo de Prim para encontrar el arbol deexpansion de mnimo coste, o el algoritmo de Dijkstra para encontrarlos caminos mas cortos desde un vertice dado.

El algoritmo BFS explora todos los vertices a distancia k del verticeorigen s antes de empezar a explorar los vertices a distancia k+ 1.Al igual que DFS, se utiliza un vector de tipo color para marcar losvertices del grafo como no visitados (WHITE), visitandose (GRAY) oya visitados (BLACK).

Tambien se genera un vector de predecesores para obtener un arbol.


EDA-4

R id lit d d f


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Recorrido en amplitud de un grafo

1 void grafo::bfs(int vertice) {

2 cola.clear();

3 for (int u=0; u < numVert; ++u) {

4 color[u]=WHITE; pr[u]=-1; d[u]=numVert+1;

5 // numVert+1> cualquier distancia en el grafo

6 }

7 cola.push_back(vertice);

8 d[vertice] = 0;

9 while (!cola.empty()) {

10 int u = cola.front(); cola.pop_front(); // extraer



13 if (color[v] == WHITE) {

14 color[v]=GRAY; d[v]=d[u]+1; pr[v]=u;

15 cola.push_back(v);

16 }

17 }18 color[u] = BLACK;

19 }

20 }


EDA-4

R id lit d d f Ej l


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Recorrido en amplitud de un grafo: Ejemplo

Grafo:

110 1

0 2

1 3

2 4

3 2

3 4

3 55 7

4 6

4 7

1 8

1 9

8 10

9 10


EDA-4

R id lit d d f Ej l


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Recorrido en amplitud de un grafo: Ejemplo

Cola: salen< 0

arboles-091018235654-phpapp01.pdf

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