хичээлийн сэдэвхичээлийн сэдэв::

«Арифметик «Арифметик прогресспрогрессийн ийн бодлогууд бодлогууд »»

Историческая справкаИсторическая справка АрифметикАрифметик прогрессипрогрессийн түүхээс йн түүхээс

В клинописных табличках вавилонян, в египетских В клинописных табличках вавилонян, в египетских пирамидах ( пирамидах ( llllв.до н.э.) встречаются примеры геометрических в.до н.э.) встречаются примеры геометрических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахимеса:Ахимеса:

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна 1/8 меры.соседом равна 1/8 меры.

Вот формула, которой пользовались египтяне:Вот формула, которой пользовались египтяне: aa= = SS//nn - ( - (nn-1) -1) dd/2 (/2 (SS= (= (aa++bb) ) nn/2 )/2 ) Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были

связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Некоторые формулы, продуктов, деление наследства и др. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. индийским ученым.

Ариабхатта (Ариабхатта (V V в.) применял формулы общего числа, суммы в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202 г. впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202 г. (Леонардо Пизанский).(Леонардо Пизанский).

Цээж дасгалуудЦээж дасгалууд1.1. ААрифметикрифметик прогрессипрогрессийн тодорхойлолтйн тодорхойлолт. . 2.2. ААрифметик прогрессирифметик прогрессийн ялгаварйн ялгавар..3.3. - арифметик- арифметик прогресспрогресс , , олох нь олох нь : : dd

4.4. ААрифметикрифметик прогресспрогрессийн рийн рекуррентекуррент томъёо томъёо 5.5. ААрифметикрифметик прогресспрогрессийн ийн nn--р гишүүний томъёо.р гишүүний томъёо. 6.6. - арифметик прогресси- арифметик прогрессийн хувьд йн хувьд -ийг олоорой.-ийг олоорой. 7.7. ААрифметик прогрессирифметик прогрессийн хйн характеристикарактеристик шинжүүд шинжүүд 8.8. - арифметик прогресс- арифметик прогрессийн хувьд ийн хувьд ба ба dd -ийг олоорой-ийг олоорой9.9. Арифметик прогрессийн хувьд бол ба Арифметик прогрессийн хувьд бол ба nn--р р

гишүүний нийлбэрийг ол.гишүүний нийлбэрийг ол.10. Хэрэв бол 10. Хэрэв бол арифметик арифметик прогрессипрогрессийн нийлбэрийг йн нийлбэрийг

ол.ол.

.42,44 2221 −=−= аа

.4,3 21 =−= аа

10а )( nа

)( nа

.2,8 79 −== аа 8а

nS.5,13 101 −=−= аа

)( nа

Бодлогууд Бодлогууд

• №№1414 • ААрифметикрифметикииййнн прогресси прогрессийн йн а1=7, а1=7, dd=5. 132 =5. 132 нь нь

прогрессипрогрессийн гишүүн мөн болохыг тогтоож, хэрэв мөн йн гишүүн мөн болохыг тогтоож, хэрэв мөн бол хэддүгээр гишүүн болохыг ол.бол хэддүгээр гишүүн болохыг ол.

• №№33 • Болд 2-оос эхэлсэн натурал тоон дараалал,Болд 2-оос эхэлсэн натурал тоон дараалал, О Орхон рхон

хэдэн тооны нийлбэр нь хэдэн тооны нийлбэр нь 306 306 байх вэ? гэж асуухад байх вэ? гэж асуухад Болд хэд гэж хариулсан вэ? Болд хэд гэж хариулсан вэ?

№№14 14 бодолтбодолт::

хариу хариу : : мөн байнамөн байна..

.26

,5:130

,52132

,557132

),1(57132

),1(1

==

+=−+=−+=−+=

n

n

n

n

n

ndaan

№ №3 3 бодолтбодолт::

.34322

18,17

0306

,306

,2:)22(306

,2:)224(306

,2,2

17

21

2

2

1

=+=∉−==

=−++=+=

−+===

а

Nnn

nn

nn

nn

nn

dа

хариу хариу : 34.: 34.

№№1 а)1 а) ААрифметической прогрессирифметической прогрессийн йн , ,

бол 28 дугаар гишүнийг ол.бол 28 дугаар гишүнийг ол.

№№2 б)2 б) Геометри Геометрийн бодлогойн бодлого..

Тэгш өнцөгтийн талуудын урт нь Тэгш өнцөгтийн талуудын урт нь арифметик прогресси арифметик прогрессийн дэс дараалсан гурван йн дэс дараалсан гурван гишүүнтэй тэнцүү бөгөөд периметр нь 120 бол прогрессийн ялгаврыг ол. гишүүнтэй тэнцүү бөгөөд периметр нь 120 бол прогрессийн ялгаврыг ол.

)( nа .30,5 127 == аа

Бодолт Бодолт ::

1-1-рр аргаарга.. 2-2-р аргар арга..

.1108030

),1228(5

.5

5530

,55

),712(

28

1228

12

712

=+=−+=

=+=+=

−+=

a

aa

d

d

da

daa

+=+=

;11

,6

112

17

daa

daa

−=−=

;1130

,65

1

1

da

da

−=−=−;65

,113065

1 da

dd

=+−=−=

=

.11013525

,25

,5

28

1

a

a

d

Хариу Хариу : 110.: 110.

ГГеометрийеометрийн бодлогын бодолтн бодлогын бодолт : : dd прогрессийн ялгавар прогрессийн ялгавар, , d d нь тэгээс ихнь тэгээс их..

>+=−+

=−+++

.0

,)()(

,120222

d

dadaa

dadaa

>=+−

=

.0

,04

,12032

d

dad

a

>=−

=

.0

,01601600

,402

d

d

a

==

.10

,40

d

a

Хариу Хариу : : dd=10=10

Бие даалтын бодлогуудБие даалтын бодлогууд.. 1 Вариант1 Вариант1) 1) ААрифметикрифметик прогрессипрогрессийн 4-р гишүүнийг олйн 4-р гишүүнийг ол: 13, 9, …: 13, 9, … А. 0. Б. 6. В. -1. Г. 1.А. 0. Б. 6. В. -1. Г. 1.2) 2) ААрифметик прогресс -3,5; -2; … 59,5рифметик прогресс -3,5; -2; … 59,5 нь прогреесийн хэддүгээр гишүүн болохыг нь прогреесийн хэддүгээр гишүүн болохыг

олоорой.олоорой... А. 44. Б. 43. В. 34. Г. А. 44. Б. 43. В. 34. Г. Дугаар олдохгүйДугаар олдохгүй..3) 3) ААрифметикрифметик прогрессипрогрессийн эхний 16 гишүүний нийлбэр нь аль вэ?.йн эхний 16 гишүүний нийлбэр нь аль вэ?. А. 864. Б.848. В. 792. Г. 716.А. 864. Б.848. В. 792. Г. 716.4) 4) ААрифметик прогрессирифметик прогрессийн хоёр, гуравдугаар гишүүний нийлбэр нь йн хоёр, гуравдугаар гишүүний нийлбэр нь 16, 16, ялгавар нь ялгавар нь 4 4 бол бол

прогрессипрогрессийн эхний гишүүнийг олйн эхний гишүүнийг ол.. А. 2. Б. 4. В. 5. Г. 6.А. 2. Б. 4. В. 5. Г. 6.

2 Вариант2 Вариант1)1)ААрифметик прогрессирифметик прогрессийн эхний гишүүнийг олйн эхний гишүүнийг ол: , , 4, 8, …: , , 4, 8, … А. 1. Б. 12. В. -4. Г. -1.А. 1. Б. 12. В. -4. Г. -1.2) 2) ААрифметик прогресс 8,2; 6,6; … рифметик прогресс 8,2; 6,6; … бол бол прогрессипрогрессийн хэддүгээр гишүүн нь йн хэддүгээр гишүүн нь 15,815,8 –тэй тэнцүү –тэй тэнцүү

вэ?вэ? А. 16. Б. 14. В. 17. Г. А. 16. Б. 14. В. 17. Г. дугаар олдохгүйдугаар олдохгүй..3) 3) ААрифметикрифметик прогрессипрогрессийн эхний 14 гишүүний нийлбэр нь аль вэ?.йн эхний 14 гишүүний нийлбэр нь аль вэ?. А. 511. Б. 497. В. 1022. Г. 1400.А. 511. Б. 497. В. 1022. Г. 1400.4) 4) ААрифметик прогрессирифметик прогрессийн гуравдугаар гишүүн нь йн гуравдугаар гишүүн нь 6, 6, тавдугаар нь тавдугаар нь 1010 бол бол арифметик арифметик

прогрессипрогрессийн эхний гишүүнийг олйн эхний гишүүнийг ол. . А. 1. Б. 2. В. -1. Г. 0.А. 1. Б. 2. В. -1. Г. 0.