aritmetica 1° a 4° - lmv (t)
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3
1Razones y Proporciones
Es la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética (sustracción – división)
RAZÓN
RAZÓN
ARITMÉTICA GEOMÉTRICA
a – b = Ra
Kb=
a antecedente
b consecuente
R y K Valores de las razones
Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase.
En consecuencia se tiene dos clases de proporciones:
PROPORCIÓN
Se forma al igualar dos razones aritméticas.
Ejemplo: Sean los siguientes datos:
Comparando mediante la sustracción
1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA
Auto
Velocidad ( )m/s
A
20
B
17
C
18
D
15
20 – 17 = 18 – 15
Proporción Aritmética
Términosmedios
Términosexternos
Interpretación
La velocidad de A excede a la velocidad de B, tanto como la velocidad de C excede a la velocidad de D.
Observación
La suma de La suma de
losextremos los medios
= 20 + 15 = 18 + 17
Dependiendo de los términos medios se tendrá:
Proporción Aritmética Discreta
Cuando los términos medios son diferentes.
Ejemplo:
Proporción Aritmética Continua
Cuando los términos medios son iguales. Ejemplo:
15 – 11 = 20 – 16
Cuarta diferencial
de 15; 11 y 20
24 – 19 = 19 – 14
Tercera diferencial
de 24 y 19
Media diferencial o Media
aritmética de 24 y 15
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En General
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
DISCRETA CONTINUA
Extremos
a – b = c – d
Medios
d: cuarta
diferencial de
a, b y c
Extremos
a – b = b – c
Medios
b: media
diferencial de
a y c
c: tercera
diferencial de
a y b
Se forma al igualar dos razones geométricas.
Ejemplo:
Sean los siguientes datos:
Comparando mediante la división:
Donde:18 y 10 son los extremos12 y 15 son los términos medios.
Interpretación:
La edad de A es a la edad de B, como la edad de C es a la edad de D.
2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Personas A
18
B
12
C
15
D
10Edades (años)
18 15 3 = = 12 10 2
Observación
El producto de El producto de
losextremos los medios
=
180 180
18 (10) = 15 (12)
Proporción Geométrica Discreta
Cuando los valores de los términos medios son diferentes.
Ejemplo:
Proporción Geométrica Continua
Cuando los valores de los términos medios son iguales. Ejemplo:
15 12 = Cuarta proporcional20 16
de 15, 20 y 12
←
12 18 = 18 27
Media proporcional
de 12 y 27
Tercera proporcional
de 12 y 18
En General
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
DISCRETA CONTINUA
a c
b d= a b
b c=
d cuartaproporcionalde a, b y c
b mediaproporcionalde a y c
c terceraproporcionade a y b
Hipatia de Alejandría(370 – 415)
Filósofa griega, nacida y muerta en Alejandría. Es la primera mujer de la que se tiene noticia que dedicó su vida a las matemáticas. Su muerte en el año 415 a manos de cristianos fanáticos marcó el ocaso de la escuela de Alejandría que inició sus actividades con Euclides (300 a.C.) y continuó con grandes matemáticos como Arquímedes, Apolonio o Pappus. La obra de Hypatía se centró en los comentarios sobre las obras de los matemáticos anteriormente citados y unos trabajos originales sobre curvas cónicas. Hypatía fue la última lumbrera de la biblioteca de Alejandría y su martirio estuvo muy legado de la misma.
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5
Dos números son proporcionales a 2 y 5 si se
aumentan 175 a uno de ellos y 115 al otro se
obtienen cantidades iguales. ¿Cual es el menor?
(UNI 1970)
A una fiesta asistieron 140 personas entre
hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4
hombres. Si se retiran 20 parejas. ¿Cuál es la
razón entre el número de mujeres y el número de
(UNI 1992)
Las edades de 2 personas están en relación de 5
a 7, dentro de 10 años la relación será de 3 a 4.
Hace 10 años ¿cuál era la relación de sus edades?
En un examen los problemas resueltos y no
resueltos están en la relación de 2 es a 3. Dentro
de los problemas contestados, el número de
problemas resueltos correctamente y los que no
,están en la relación de 1 a 2. ¿Cuál es la relación
de los problemas mal contestados con respecto
al total?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
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6
Rpta:
5
Rpta:
6Calcular A + B + C sabiendo que:
A es cuarta proporcional de 8, 18 y 20
B es tercera proporcional de A y 15
C es media proporcional de (A + B) y (B – 3)
Resolución:
La suma de los 4 terminos de una proporción
geometrica continua es 9. Si la diferencia de sus
extremos es 3. Hallar el producto de los cuatro
términos. (UNI 1990)
Resolución:
7. La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de
su producto es 1152.Encontrar el mayor de los
numeros. (UNI 1982–II)
8. En una proporción geométrica continua la suma
de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos
es 54. Hallar la media proporcional.
9. Si la razón de la suma con la diferencia de 2
números enteros positivos es 5/3. ¿Cual es el
número mayor si el producto es 64? (UNI 1990)
10. atcerid nóicaler ne nátse C ,B ,A soremún serT
a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos números
respectivamente 130, 260 y n, la nueva relación
directa es como 13, 17 y 19. Determine n.
(UNI 2010–II)
11. La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4. La
razón entre las edades de B y C es 3/7. Si la suma
de las edades de las tres personas es 165. Entonces
la diferencia entre la edad del mayor y menor es:
12. Hallar la suma de los 4 términos de una proporción
geométrica continua si se sabe que la suma de sus
términos extremos es a su diferencia como 17 es a 15
y la diferencia entre el tercer término y la razón es 24.
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7
1. Dos números son entre si como 5 es a 7. Si el
producto de dichos números es 315, hallar el
mayor.
a) 21 b) 35 c) 15
d) 28 e) 12
2. La suma de la media diferencial de 34 y 16 con la
cuarta diferencial de 22; 12 y 16 es igual a:
a) 18 b) 29 c) 31
d) 26 e) 34
3. Si la razón de la suma con la diferencia de 2
números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el
número mayor, si su producto es 64?
a) 4 b) 8 c) 16
d) 32 e) 64
4. Si: a b c d7 13 15 19= = =
Además: a + b + c = 525
Hallar «d»
a) 280 b) 285 c) 300
d) 400 e) 525
5. Si: a b c2 3 5= =
Calcular:
c a ba b
23 8− −+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
6. En una discoteca se observa que por cada 8 mujeres
había 5 hombres, además el número de mujeres
excede al número de hombres en 21. ¿Cuál es la
nueva relación si se retira 16 parejas?
a) 40/19 b) 23/19 c) 12/9
d) 7/11 e) 7/19
7. El dinero que tiene Andrea es al dinero que
tiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40
a Cristina ambas tendrían la misma cantidad.
¿Cuánto tiene Andrea?
a) 220 b) 420 c) 280
d) 200 e) 360
8. La suma, la diferencia y el producto de dos números
están en la misma relación que los números 4; 2 y
15. ¿Cuál es el mayor de los números?
a) 4 b) 10 c) 14
d) 15 e) 16
9. »N« ;9 y 52 ed lanoicroporp aidem al se »M« iS
rallaH .8 y M ,03 ed lanoicroporp atrauc al se
«M + N»
a) 10 b) 19 c) 21
d) 25 e) 30
10. En una reunión se observo que por cada 3 mujeres,
había 7 hombres. Además el número de hombres
excede al de las mujeres en 28. ¿Cuál es la relación
de mujeres a hombres si se retiran 14 parejas?
a) 1/5 b) 1/9 c) 2/7
d) 2/5 e) 3/4
11. En una P. G. continua la suma de los términos
extremos es 29 y su diferencia 21. Hallar la media
proporcional.
a) 24 b) 16 c) 10
d) 8 e) 12
12. En una proporción geométrica continua, la suma
de las raíces cuadradas de los extremos es 7. Si la
diferencia de los extremos es 7. Determinar el valor
de la media proporcional.
a) 8 b) 10 c) 64
d) 16 e) 12
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Razones y Proporciones 3
8
2Serie de Razones Geométricas Equivalentes
Supongamos que tenemos tres toneles cuyas capacidades
son proporcionales a los números 3; 5 y 8. Esto quiere decir
que sus capacidades podrían ser:
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Propiedad 1
Cte. de proporcionalidad
Ejemplo:INTRODUCCIÓN
3x20 = 60 litros
5x20 = 100 litros
8x20 = 160 litros
o también
3x25 = 75 litros
5x25 = 125 litros
8x25 = 200 litros
Como podemos ver existen muchas opciones, pero los
volúmenes siguen guardando la misma proporción. Si “A”
es la capacidad del primer tonel, “B” la del segundo y “C”
la del tercero, podremos escribir las razones geométricas.
A la que denominaremos serie de razones geométricas equivalentes
(S.R.G.E.)
A
3
B
5
C
8= = =K
Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen
el mismo valor.
=12
24
1
2;
4
8
1
2= ;
25
50
1
2= ;
20
40
1
2=
Igualando:
Serie de razones
=12
24
4
8
25
50
20
40
1
2== =
Valor de la razón
En general, podemos escribir:
a1
c1= = =...= =K
a2
c2
a3
c3
an
cn
Donde:
a1,a
2,a
3, ........., a
n : Antecedentes
c1,c
2,c
3, ........., c
n : Consecuentes
K : Constante de porporcionalidad o valor de la razón.
PROPIEDADES
Suma de antecedentes
Suma de consecuentes
Es decir:
a1+a
2+a
3+...+a
n
c1+c
2+c
3+...+c
n=K
* Reconocer los elementos de una serie de razones geométricas equivalentes.
* Construir una S.R.G.E. dado un conjunto de números.
* Aplicar las propiedades adecuadamente.
=
OBJETIVOS:
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9
Ejemplo:
=12
24
4
8=
25
50=
20
40
⇒ 12+4+25+20
24+8+50+40
= =61
122
1
2
Propiedad 2
(Cte. de proporcionalidad)nProducto de antecedentes
Producto de consecuentes
Donde “n” es el número de antecedentes o consecuentes
que se multiplican.
=
Es decir:
a1. a
2. a
3. ... a
n
c1. c
2. c
3. ... c
n=K
n
Ejemplo:
=12
24
4
8=
25
50=
20
40
⇒ 12 x 4 x 25 x 20
24 x 8 x 50 x 40=
1
2
4
OBSERVACIÓN:
Una serie de razones geométricas de la forma:
= = = =...=Ka
b
b
c
c
d
d
e
Se denomina serie de razones geométricas continuas. En
esta serie continua también se cumplen las propiedades
mencionadas.
Ejercicio 1
En una serie de razones geométricas, los consecuentes son
5; 7; 10 y 12. Si la suma de los dos primeros antecedentes
es 84; halla los otros antecedentes.
Resolución
Formamos la serie con los datos proporcionados:
= = = =Ka
5
b
7
c
10
d
12; a+b= 84
Por el dato que nos dan (suma) aplicamos la propiedad 1:
=Ka+b
5+7
84
12=K → K=7
Luego:
c=70 d=84
c
10=K=7
d
12=K=7
Ejercicio 2
Si se cumple que:
halla: “J+E+S+I”
= = = = =KJ
972
E
J
S
E
I
S
4
1
Resolución
Si observamos con cuidado veremos que cada letra aparece
como antecedente y consecuente de las diferentes razones,
entonces si multiplicamos todos los antecedentes y todos
los consecuentes resultará:
Luego podemos escribir :
J.E.S.I.4
972.J.E.S.I=K
5
=K54
972
1
243=K
5 → K=
1
3
= = = = =J
972
E
J
S
E
I
S
4
1
1
3
324 108 36 12
324 108 36 12
⇒ J + E + S +I=324+108+36+12
J + E + S +I=480
Mi amigo Rogelio tiene una gran afición a las matemáticas. Su obsesión son los números. Vive siempre con su mente ocupada al menos por una docena de dígitos. El otro día descubrió una curiosa relación. Comprobó que los núneros de su casa y los de las casas de sus amigas Silvia y Lucía eran primos consecutivos. Si se multiplicaban los tres entre sí, el resultado era el saldo de su cuenta bancaria. La casa de Rogelio está entre las de Silvia y Lucía. El saldo de la cuenta comienza con 6 y tiene un total de cinco cifras. ¿Cuál es el número de la casa de Rogelio y el saldo de su cuenta en el banco?
El saldo de la cuenta de Rogelio
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10
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Si se cumple:
Halla “a+b+c”
Tres números A, B, C están en relación directa
a 5, 7 Y 11. Si sumamos a dichos números
respectivamente 130, 260 y n, la nueva relación
directa es como 13, 17 y 19. Determine n.
(UNI 2010–II)
Si:
4a
7b
8c
9d
= = =
además: ab + cd = 1600. Halle “b”
(UNFV 2011–II)
Si en la serie:
Se cumple: a+b+c-d=120 , halla: “a.d”
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
= = = a
15
20
b
18
27
8
c
= = = a
15
b
12+n
d
7
c
10-n
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11
Rpta:
5
Rpta:
6Si: ba
dc
fe k2
= = = y bdek
R2
2
= , (R>0).
Hallar: acf
(UNI 1995–II)
Resolución:
Dada la serie de razones:
Halla “R+I+T+A”
Resolución:
7. La suma, la diferencia y el producto de dos números
están en la misma relación que los números 7; 4 y
33. ¿ Cuál es la razón aritmética de los números?
8. En una serie de razones iguales, los antecedentes
son 3; 5; 6 y 9; y el producto de los consecuentes
es 65610. Halla la suma de los consecuentes.
9. En la siguiente serie:
Calcula “a+b”
10. Dada la serie de razones:
Halla:
11. Si se cumple:
Halla:
12. Dada la serie:
para la que: a2+c2+e2=324
Calcula:
R
96
I
R
T
I= = = =
A
T
3
A
3a+b
9= =
34 - b
7
a+b
4
A
a
B
b
C
c
D
d= = = y
A10+B10+C10+D10
a10+b10+c10+d10M=
A.B.C.D
a.b.c.d= 4096,
a2+b2+c2
d3+e3+f3
a3+b3+c3
d2+e2+f2M= .
a
d
b
e
c
f= =
a.b.c
d.e.f=
1
27;
a
b
c
d
e
f= =
ab+cd+ef
b2+d2+f2M=
2
3
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12
1. Si:
a + b = 48 , halla “c.d”
a) 576 b) 1728 c) 288
d) 864 e) 3456
2. Dada la serie:
y se cumple que: a.b.c = 810 , halla “a + b + c”
a) 32 b) 35 c) 30
d) 36 e) 48
3. Los consecuentes de tres razones geométricas
equivalentes son 12; 5 y 10. Si el producto de
los antecedentes es 16 200, halla la suma de los
antecedentes.
a) 72 b) 75 c) 81
d) 96 e) 120
4. Si:
y a2 + b2 + c2 = 1206 , halla “a + b + c”
a) 36 b) 45 c) 58
d) 54 e) 72
5. En una serie de tres razones geométricas
equivalentes continuas, el producto de las tres
razones es 1/27. Si la suma de los consecuentes es
234, halla el mayor antecedente.
a) 54 b) 48 c) 72
d) 64 e) 60
6. Si se cumple:
Halla: “K + A + R + Y”
a) 50 b) 60 c) 80
d) 100 e) 120
7. En una carrera de 2000 metros, José ganó a Pedro por 400 metros y Pedro ganó a Luis por 500 metros. ¿ Por cuántos metros ganó José a Luis?
a) 800 b) 1000 c) 10000d) 1100 e) 1200
8. En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5, 7 y 8, y el producto de los consecuentes es 13440. Halla el consecuente mayor.
a) 16 b) 24 c) 18
d) 32 e) 12
9. Sabiendo que:
y además:
halla:
a) 8/25 b) 8/125 c) 2/5
d) 4/25 e) 2/125
10. Dada la serie:
y se cumple: A + B + C = 80 ; a + b + c = 128 Halla:
a) 25/36 b) 16/25 c) 16/49d) 25/64 e) 4/9
11. En la siguiente serie de razones equivalentes:
se cumple: A+B+C+D= 63 ; m+n+p+q=175 Halla:
E= A.m + B. n + C.p+ D.q
a) 105 b) 210 c) 51
d) 315 e) 21
12. Si:
(a + b)(c + d)(e + f) = 221
Halla:M=
3a.c.e +
3 b.d.f
a) 64 b) 96 c) 128d) 154 e) 196
= = =a
3
b
5
c
8
d
6
a
15
b
10
c
25= =
a
2
b
7
c
9= =
K
64
A
K
R
A
Y
R= = = =
2
Y
M
L
E
O
N
R= =
M+E+N=28,
T+O+R=70,
M.E.N
T.O.R
A
a
B
b
C
c= =
A2+B2+C2
a2+b2+c2
A
m
B
n
C
p
D
q= = =
a
b
c
d
e
f= = y
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13
3Promedios
Una media de un conjunto de datos es un valor que puede
representar o substituir a todos los elementos del conjunto
sin alterar una cierta característica de la misma.
Dicho valor se encuentra comprendido entre el mínimo y
máximo dato del conjunto.
En general, para “n” datos:
se tiene:
MEDIAS MÁS USUALES
1. Media Aritmética (MA)
La media aritmética del conjunto de “n” datos a1; a2;
..., an es:
Ejemplo:
Calcule la media aritmética de las notas 11; 16 y 18.
Resolución:
2. Media Geométrica (MG)
La Media Geométrica del conjunto de “n” datos positivos
a1, a2, ..., an es:
Ejemplo:
Halle la Media Geométrica de los números 8; 12 y 18.
PROMEDIOS O MEDIAS
1 2 3a a a ... an≤ ≤ ≤ ≤a an1 ≤ ≤media
(promedio)
1 2 na a ... aMA
n
+ + +=
Resolución:
11 16 18MA
3
+ += MA 15∴ =
n1 2 nMG a a ...a=
3MG 8 12 18 MG = 12= ⋅ ⋅ ∴
3. Media Armónica (MH)
La Media Armónica de los “n” datos positivos a1, a2,
..., an es:
Ejemplo:
Determine la media armónica de las velocidades:
20 m/s y 30 m/s
Resolución:
PROPIEDADES DE LA MEDIAS
Para un conjunto de datos:
1. Si no todos los datos son iguales
2. Si todos los datos son iguales
3. Para dos datos a y b
i)
ii)
1 2 n
nMH
1 1 1...
a a a
=+ + +
2MH
1 1
20 30
=+
MH 24 m / s∴ =
Media Media Media < <
Armónica Geométrica Aritmética
<MH MG MA
<
MA MG MH DATO= = =
( )2MA MH MG a b× = = ×( ) ( ) ( )2a b 4 MA MG MA MG− = + −
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14
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3En Cibertec, el promedio de las cuatro prácticas
de un curso, para aprobar debe ser exactamente
14. Si un alumno ha obtenido 16; 10 y 11 en las
tres primeras,¿cuánto debe obtener en la cuarta
práctica para lograr el promedio exigido.
El promedio de 50 numerales es 38, siendo 45 y 55
dos de los numerales, eliminando estos numerales,
el promedio de los restantes es:
La media aritmética de dos números enteros es
los 5/4 de su media geométrica. Hallar la razón de
dichos números. (UNFV 2011–II)
El producto de dos números es 64 y la suma de sus
raíces cuadradas positivas es 6. Calcule la media
armónica de dichos números. (UNMSM 2010–II)
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
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15
Rpta:
5
Rpta:
6La media aritmética de dos números es 20 y
su media geométrica es 18. Hallar su media
armónica.
Resolución:
Si la media geométrica de dos números enteros
positivos es igual a tres veces la media armónica
de los mismos, halle la suma de los cuadrados de
las razones que se obtienen con los dos números
positivos. (UNMSM 2012–I)
Resolución:
7. El promedio aritmético de las edades de 6
profesores es 27 años. si ninguno de ellos tiene
menos de 24 años?¿Cuál es la máxima edad que
podría tener uno de ellos?
8. La edad promedio de 30 alumnos del 5to. «A» es
14 años, del 5to. «B» que tiene 28 alumnos es 16
años y del 5to. «C» que tiene 40 alumnos es 15
años. Hallar el promedio de las tres secciones.
9. De 500 alumnos de un colegio cuya estatura
promedio es 1,67m, 150 son mujeres. Si la estatura
promedio de las mujeres es 1,60m. ¿Calcular la
estatura promedio de los varones?
10. El promedio aritmético de 50 números es 16.
Si a cada uno de los 20 primeros se le aumenta
7 unidades y a cada uno de los 30 restantes se
le disminuye 3 unidades. ¿Cuál será el nuevo
promedio?
11. Tres números enteros m, n, p tienen una media
aritmética de 10 y una media geométrica de 9603
Halle aproximadamente la media armónica de
estos números, si n. p =120 (UNI 2009–I)
12. Las normas académicas de una institución educativa
– Aprobado: Nota ≥ 14 ; – Desaprobado: 9 ≤ Nota < 14
– Reprobado: Nota < 9
fueron. 40% de aprobados, con nota promedio: 16
puntos; nota promedio de los desaprobados: 11 puntos;
y nota promedio de los reprobados: 6 puntos. Si la
nota promedio obtenido en el curso fue de 11 puntos,
entonces el porcentaje de alumnos reprobados es:
(UNI 2009–I)
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16
1. Si el promedio aritmético de 20; 32; N y 48 es 29.
Hallar el valor de «N»
a) 18 b) 16 c) 14
d) 24 e) 19
2. El promedio de 6 números es 10. Si la suma de los
cinco primeros es 28, el último número es:
a) 31 b) 30 c) 28
d) 29 e) 32
3. Ricardo ha obtenido en las cuatro primeras
prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál
debe ser la nota en la quinta práctica, para que su
promedio sea 13?
a) 16 b) 20 c) 18
d) 21 e) 19
4. Mario calcula el promedio de sus 5 primeras
prácticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes
prácticas obtuvo 14 y 16, ¿cuál es su promedio
ahora?
a) 13,42 b) 13,57 c) 12,58
d) 14,25 e) N. A.
5. El mayor promedio de dos números es 100,
mientras que su menor promedio es 36. Hallar la
diferencia de dichos números.
a) 180 b) 160 c) 120
d) 150 e) 100
6. El promedio aritmético de las edades de 5 hombres
es 46 años. Si ninguno de ellos tiene menos de 43
años.¿Cuál es la máxima edad que podría tener
uno de ellos?
a) 56 años b) 68 c) 58
d) 70 e) 64
7. El promedio de 30 alumnos de la clase «A» es 16,
de la clase «B» que tiene 40 alumnos es 14 y de la
clase «C», que tiene 50 alumnos es 12. Hallar el
promedio de las tres clases.
a) 13,2 b) 13,4 c) 13,6
d) 14,2 e) 14,6
8. El promedio de las notas de un curso de 30 alumnos
fue 5,2; los primeros 6 obtuvieron un promedio
de 8,0 y los 10 últimos sacaron 3,1. Calcular el
promedio de los alumnos restantes.
a) 5,5 b) 6,3 c) 4,9
d) 6,2 e) 5,8
9. El promedio aritmético de dos números es 76 y su
razón aritmética 18. Halla el número mayor.
a) 48 b) 85 c) 92
d) 106 e) 72
10. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Si
se retiran dos personas cuyas edades son 31 y 36
años. ¿Cuál es el promedio de las restantes?
a) 21 años b) 20,2 c) 21,5
d) 19,8 e) 20,4
11. La media aritmética de 100 números consecutivos
es 69,5. Hallar el número menor.
a) 30 b) 25 c) 20
d) 19 e) 16
12. La MG de dos números es el triple del menor y
la MA es inferior en 36 unidades que el mayor.
Calcule la MH de los números.
a) 16 b) 16,1 c) 16,2
d) 16,3 e) 16,4
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17
4Magnitudes Proporcionales
Ejemplo:
Dos magnitudes son proporcionales si al variar el valor de
una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud
varía proporcionalmente.
1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES (D.P.)
Sean A y B dos magnitudes cuyos valores correspondientes
se observan en la tabla:
A a1
a2
a3
B
an
...
b1
b2
b3
bn
...
Si A es directamente proporcional a B (A D. P. B) se cumple:
a1
b2
=a
2
b2
=a
3
b3
=...=a
n
bn
B
A
b3
b2
b1
a1
a2
a3
Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, si el valor
de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de la otra
magnitud también se duplica; si se reduce a su mitad una de
ellas, la otra también se reduce a su mitad; así sucesivamente.
La tabla muestra los valores de dos magnitudes directamente proporcionales.
A 24 48 72 36
B 16 32 48 24
x2
÷2x2
÷2
Se cumple:
24
16=
48
32
=72
48
=36
24
A 18 x 9 x+y
B 12 10 y z
Resolución:
Se cumple
18
12=
x
10
=9
y
=x+y
z⇒ x=15; y =6
Luego 18
12=
15+6
z⇒ z=14
Se pide x+y+z=15+6+14=35
Ejemplo 2:
Sabiendo que A es directamente proporcional a B;
encuentra el valor de A, para B = 81, sabiendo que cuando
A es 24, B es 36.
Resolución:
A
B
24
36
x
81=:⇒ ⇒x=36
Ejemplo 1:
Halla x + y + z si A y B son directamente proporcionales.
A D.P. B
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18
Ejemplo 3:
Se conoce la gráfica de dos magnitudes directamente
proporcionales. Si a+b+c = 72, encuentra el valor de x-a.
a b c x
8
16
b
12
8
a=
12
b=
16
c
=b
x
Sumando antecedentes y consecuentes tenemos:
8
a=
12
b=
16
c=
b
x
8+12+16
a+b+c= =
36
72
=1
2
72
⇒ a = 16, b = 24, c = 32
Luego x = 48.
Piden hallar x - a= 48 - 16 = 32
Sean M y N dos magnitudes cuyos valores correspondientes
se observan en la tabla:
M m1
m2
m3
N
mk
...
n1
n2
n3
nk
...
Si M es inversamente proporcional a N, se cumple
m1n
1=m
2n
2=m
3n
3=...m
kn
k
n1
n2
n3
m1
m2
m3 M
N
Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, si el
valor de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de
la otra magnitud se reduce a su mitad; si se triplica una de
ellas la otra se reduce a su tercera parte, así sucesivamente.
Ejemplo:
La tabla muestra dos magnitudes inversamente
proporcionales.
Se cumple:
10x60 = 20x30 = 40x15 = 8x75
Ejemplo 1:
Halla a + b si las magnitudes A y B son inversamente
proporcionales.
A
B
a a-10
20 30 b
a+20
Resolución:
Se cumple:
ax20 = (a-10)x30 = (a+20)xb
Resolviendo: 2a = 3a - 30 ⇒ a = 30
Reemplazando:
30 x 20 = 20 x 30 = 50 x b
Se obtiene: b = 12
Luego: a + b = 30 + 12 = 42 ETNEMASREVNI SEDUTINGAM.2
PROPORCIONALES (I.P.)
M 10 20
N
40 8
60 30 15 75
x2x2
÷2÷2
Ejemplo 2:
Dos magnitudes inversamente proporcionales A y B son
tales que A es 24, cuando B es 15. ¿Qué valor le corresponde
a la magnitud A, cuando B aumenta 3 unidades. ¿Y qué
valor cuando B disminuye 3 unidades?
Resolución:
A I.P. B ⇒ Valores de A x Valores de B = constante
⇒ 24 x 15 = a1 (15 + 3) = a
2 (15 -3)
Ejemplo 3:
proporcionales mostradas, encuentra a + b.
36
6
a
b 6 b+11
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Resolución:
36 x b = 6 x 6 = a x (b + 11)
36
36 =a (1 + 11)
Se obtiene b = 1,
donde a = 3.
Se desea hallar a + b = 3 + 1 = 4.
3 . P R O P I E DA D E S D E M A G N I T U D E S
PROPORCIONALES
1. Si A D.P. B ⇒ B D.P. A
A I. P. B ⇒ B I. P. A
2. Si A I. P. B ⇒ A D. P. 1/B
3. Si A D.P. B ⇒ An D.P. Bn
A I.P. B ⇒ An I.P. Bn
4. Si A D.P. B ⇒ (cuando C es
constante)
y A D.P. C ⇒ (cuando B es
constante)Se obtiene A D.P. B x C
Ejemplo 1:
A es D.P. a B y C, además cuando A es 24, B es 10 y C es 8.
Calcula el valor de B si A es 15 y C es 12.
Resolución:
A D.P. B
A D.P. C}A D.P. BxC
Se cumple = constanteA
BxC
24
10 x 8
15
X x 2= ⇒ X = 25
Ejemplo 2:
A es directamente proporcional a B2 y a C. Si cuando A es
24, B es 2 y C es 3. Halla A cuando B sea 3 y C sea 2.
Resolución:
A D.P. B2
A D.P. C }A D.P. B2 x C ⇒ A
B2 x C= constante
Luego = ⇒24
22x3
X
32x2X = 36
Ejemplo 3:
Una magnitud M es directamente proporcional a N y N es
inversamente proporcional a Q3. Si cuando M es 4, N es 16
y Q es 3, halla Q cuando N y M sean respectivamente 2 y 4.
Resolución:
Si M D.P. N ⇒ N D.P. M2
(según propiedades)
16 x 33
42
2x X3
42 ⇒Luego: = X = 6
1) El precio de impresión de un libro es directamente
proporcional al número de ejemplares que se imprimen.
Se editarán 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas
costando S/. 6.00 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar
un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de
360 páginas?
a) S/.500 b) S/.800 c)S/.400
d) S/.700 e) S/.600
Resolución:
c x n
p6 x 2000
400
c2 x 1800
360= k ⇒ =
c2 = S/. 6.00
Rpta.: e
2) Un superpanetón en forma de paralelepípedo pesa 2160
g. El peso en gramos de un minipanetón de igual forma,
pero con sus dimensiones reducidas a la tercera parte
es:
a) 40 g b) 50 g c)60 g
d) 70 g e) 80 g
Resolución:
El peso es D.P. al volumen
P
V= k
3b3c
3a
P1 =
2160 g
2160
(3a)(3b)(3c)
P2
abc=
b ca
P2 =
??
P2 =
80 g
Rpta.: e
Luego = cte.N D.P. M2
N I. P. Q3}Nx Q3
M2⇒
EJERCICIOS RESUELTOS
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20
3) La rapidez de A es igual a 3 veces la rapidez de B y a
su vez esto es 4 veces la rapidez de C. Si A hace un
triángulo en 9 min y 15 s, ¿en cuánto tiempo lo hará
C?
a) 1h 40' b) 2h
b) 1h 41' 15" e) N. A.
c) 1h 51'
Resolución:
Rapidez: r y tiempo: t
rA
tA
= rC
tC
; rA
= 3r
B
rB = 4r
C ⇒
r
A =
12r
C⇒ 12 rC
(9 + 0,25)=rC
x tC
tC
= 111'
tC
= 1h' 51'
Rpta.: c
4) Se sabe que la producción de un cierto artículo es
proporcional al número de horas diarias destinadas
a dicha producción e inversamente proporcional a
la cantidad de productos x que pueden sustituir el
artículo indicado. Si en un inicio se trabaja 8 horas
diarias, haciendo en el mercado 5000 productos x;
pero al incrementarse en 4375 unidades los productos
x, se aumenta el número de horas diarias de modo
que la producción actual y anterior se encuentren
en la relación de 2 a 3. ¿Cuántas horas diarias se ha
aumentado?
Resolución:
Producción x # Prodx#horas diarias= cte.
(3P)x5000
8
(2P)(5000+4375)
(8+x)⇒ =
Anterior Actual
Resolviendo: x = 2
Rpta.: 2
5) Un pastelero prepara una porción de turrón de Doña
Pepa de 60 cm x 40 cm, de cuya venta se propone
obtener S/. 48.00. Si se vende una porción de 30 cm
x 30 cm por S/. 15.00. ¿A cuánto debe vender cada
porción de 5 cm x 5 cm para obtener lo que esperaba
en un principio?
a) S/. 0.22 b) S/. 0.55 c) S/. 0.88
d) S/. 0.33 e) S/. 0.44
Resolución:
30
1030
30 30
40
El área total es: 60 x 40 = 2400 cm2
Vende: 30 x 30 = 900 cm2
Queda: 2400 - 900 = 1500 cm2
Ya vendió por S/. 15, el resto debe vender en
48 - 15 = S/. 33.00
Cada porción tiene 5 x 5 = 25 cm2 de área.
De los que queda salen 1500 ÷ 25 = 60 porciones.
Cada porción debe venderse en:
33
60= S/.0.55
Rpta.: b
Promedios
El origen de la palabra promedio se remonta a la época en que los viajes por mar implicaban gran riesgo. Era frecuente que los barcos, durante una tormenta, tirasen una parte de la carga. Se
podían reclamar con justicia una indemnización a expensas de aquéllos que no habían sufrido disminución en sus bienes. El valor de los bienes perdidos se pagaba mediante un acuerdo entre todos los que tenían mercaderías en el mismo buque.El daño causado por el mar se conocía como «Havaria» y la palabra llegó a aplicarse naturalmente al dinero que cada individuo tenía que pagar como compensación por el riesgo. De esta palabra latina se deriva la moderna palabra average (promedio). La idea de un promedio tiene por raíces en los primitivos seguros.
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"x" varía en razón directa a "y" e inversa al
cuadrado de "z". Cuando x = 10, entonces y = 4,
z = 14. Halla "x" cuando y = 16 y z = 7.
El precio de un televisor a color varía en forma
D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz
cuadrada de la energía que consume. Si cuando
su tamaño es de 14 pulgadas y consume «E» de
energía, su precio es de $360. ¿Cuánto costará
un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas y
consume E/4 de energía?
Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales
representados mediante el siguiente gráfico,
halla "x".
Se sabe que A es directamente proporcional a B2
y B es inversamente proporcional a C.
Halla: x+y+z de la tabla mostrada:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
A
B20 x4
40
a
16
AB
=κ AxB =k
A 24 x 96
B
2
y 3 4 1
C 9 6 z 3
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
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22
Rpta:
5
Rpta:
6
Resolución:
La rueda "A" de 40 dientes en grana con otra
rueda "B" de 60 dientes. Fija el eje de esta hay
otra rueda "C" de 80 dientes que engrana con otra
rueda "D" de 30 dientes. La rueda "A" da en un
minuto 30 vueltas mas que "D". ¿En que tiempo
"D" dará 3 200 vueltas? (CALLAO 2001)
Resolución:
7. Se sabe que A es D.P. a B e I.P. a 3 C . Además
cuando A es 14 entonces B = 64 y C = B. Halla
A cuando B sea 4 y C sea el doble de B.
8. Dadas dos magnitudes A y B se observa que A
es directamente proporcional a B para valores
de A menores o iguales a 24 y B es inversamente
proporcional a A cuando los valores de A son
mayores o iguales a 24. Si cuando A = 6, entonces
B = 14, calcula el valor de B cuando A es 168.
9. Una rueda A de 64 dientes engrana con otra B de
72 dientes y ésta con otra C de 48 dientes. Si entre
las tres dan 580 vueltas en un minuto, ¿cuántas
vueltas dará A en 5 minutos?
10. El precio de una joya varía proporcionalmente con
el cuadrado de su peso. Una joya de este tipo que
cuesta S/. 24000 se rompe en dos pedazos que están
en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la pérdida sufrida
al romperse dicha joya?
11. En la siguiente gráfica que relaciona magnitudes
proporcionales; A y B son rectas y C es una
hipérbola. Determina "m", si a+b+c+m= 60.
12. Dadas las magnitudes A, B y C si A D.P. B (cuando
"C" permanece constante); A I.P. C2 (cuando "B"
permanece constante). Si en un determinado
momento el valor de B se duplica y el valor de C
aumenta en su doble, el valor de A varía en 35
unidades. ¿Cuál era el valor inicial de A?
n
a-2 a 2a
24
2m
4 a
m
b c
A
B
C
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23
1. Sabiendo que "A" es D. P. a "B2" y que las variaciones de las magnitudes "A" y "B" se muestran en el siguiente cuadro. Halla "a + d".
a) 48 b) 51 c) 50d) 47 e) 54
2. Se sabe que (x + 2) varía proporcionalmente con (y - 3). Si cuando x = 10, entonces y = 19. Halla el valor de "x" si y = 31.
a) 21 b) 23 c) 20d) 19 e) 18
3. Se tienen tres magnitudes "A", "B" y "C" tales que "A" es D. P. a "C" e I. P. a B. Halla "A" cuando
B=C2, sabiendo que si A=10, B=144 y C=15.
a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) 15
4. Si "P" y "Q" son magnitudes proporcionales
Halla "y - x".
a) 12b) 36c) 24d) 20e) 30
5. Conocida la gráfica, halla a + b.
a) 50 b) 60 c) 72d) 80 e) 96
6. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos tiempo cuadruplicará su sueldo?
a) 20 años b) 25 años c) 36añosd) 18años e) 10años
7.
a) 27b) 32c) 41d) 18e) 20
8. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Carlos si su rendimiento es como 8 y faltó 3 dias?
a) S/.960 b) S/.1 440 c) S/.1 080 d) S/.980 e) S/.1 280
9. Se tiene una rueda A1
que engrana con A2, la
cual está unida mediante un eje con A3. ¿Cuántas
vueltas da esta última si entre las ruedas A1 y A
2
han dado 280 vueltas y el número de dientes de la rueda A
k está dado por D
k = (10k + 5)x2?
a) 120 b) 125 c) 150d) 155 e) 105
10. Si el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso, ¿cuánto se ganará o perderá en un diamante que vale S/.720 que se parte en dos pedazos, uno el doble del otro?
a) Gana S/.240 b) Gana S/.320a) No gana ni pierded) Pierde S/.240 e) Pierde S/.320
11. La presión a la cual está sometido un gas es directamente
proporcional al volumen que ocupa. Si el volumen se reduce a su tercera parte, entonces la presión:
a) Aumenta en su doble b) Aumenta en su triple c) Aumenta en su cuádruplo
d) Aumenta una vez su valor e) No varía
12. Dado el siguiente gráfico, halla x + y +z.
a) 50 b) 60 c) 72d) 80 e) 96
A 27 75 d
B
192
a 5 4 8
P
Qyx4
26
18
2a
a b
a
12
15
12
20a c
x
yz4
6 9 18 M
N
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