aritmÉtica difusa
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ARITMÉTICA DIFUSA. Números Difusos e Intervalos Difusos Operações Aritméticas Difusas método clássico princípio da extensão Operações binárias: MÍNIMO e MÁXIMO Modelos Difusos. NÚMEROS DIFUSOS. Seja A um conjunto difuso definido para o conjunto R dos números reais da seguinte forma: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Profa. Silvia Modesto Nassar
ARITMÉTICA DIFUSAARITMÉTICA DIFUSA
► Números Difusos e Intervalos Difusos► Operações Aritméticas Difusas
método clássico princípio da extensão
► Operações binárias: MÍNIMO e MÁXIMO► Modelos Difusos
Profa. Silvia Modesto Nassar
NÚMEROS DIFUSOSNÚMEROS DIFUSOS
► Seja A um conjunto difuso definido para o conjunto R dos números reais da seguinte forma:
A : R [0 ; 1]sob determinadas condições A é qualificado como um número difuso.
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NÚMEROS DIFUSOSNÚMEROS DIFUSOS: condições: condições
► Seja o conjunto difuso A e R o conjunto dos números reais de tal forma que:
A : R [0 ; 1]
► Se A possuir as seguintes propriedades então A é qualificado como um número difuso: A deve ser um conjunto difuso NORMAL A deve ser um INTERVALO FECHADO para
todo (0 ; 1] O SUPORTE de A, 0+A, deve ser limitado.
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Números Difusos: Números Difusos: exemplosexemplos
R
A(x)
0
1
a1 a a2R
A(x)
0
1
a
A = {número real crisp} A = {APROXIMADAMENTE a}
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Números Difusos: Números Difusos: exemplosexemplos
R
A(x)
0
1
a R
A(x)
0
1
a
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Número Difuso: Número Difuso: Função de Pertinência
A é um número difuso SSE existe um intervalo fechado[a ; b] tal que:
1 para x [a ; b]s(x) para x (- ; a)r(x) para x (b ;)
A(x) =
Onde:• s é uma função de (-; a) para [0; 1] • monotonicamente crescente• contínua à direita• s(x)=0 para x (-; a1)
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Números Difusos: Números Difusos: convexidade
► Se A é um número difuso então A é um conjunto difuso convexo.
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Intervalos Difusos: Intervalos Difusos: exemplosexemplos
R
A(x)
0
1
a b R
A(x)
0
1
a1 a b b1
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Intervalos Difusos: Intervalos Difusos: exemplosexemplos
R
A(x)
0
1
a b R
A(x)
0
1
a b
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Intervalos Difusos: Intervalos Difusos: Variáveis Lingüísticas
Variáveis DifusasQuantitativas
classes de uma VDQ
Intervalos Difusos
conceitos lingüísticos
Variáveis Lingüísticas
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Intervalos Difusos: Intervalos Difusos: variáveis lingüísticasvariáveis lingüísticas
Baixo Médio Alto
Altura(cm)a1 a2 a3 a4
1
Gra
u de
Per
tinê
ncia
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Números Difusos: propriedades
► Cada conjunto difuso, e em conseqüência cada número difuso, pode ser unicamente e totalmente representado por seus -cuts
► -cuts de números difusos são intervalos fechados para todo (0 ; 1]
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Operações Aritméticas : Operações Aritméticas : métodosmétodos
► Há dois métodos para operações aritméticas em números difusos:
aritmética de intervalos clássica
princípio da extensão
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Operações Aritméticas Difusas: Operações Aritméticas Difusas: definiçãodefinição
► Suposição: os números difusos são representados por funções de pertinência contínuas.
► Sejam A e B números difusos e alguma das quatro operações aritméticas básicas então:
o conjunto difuso resultante da operação A*B é definido por seus -cuts da seguinte forma:
(A*B) = A* B para (0;1]
Quando *=/ supõe-se ainda que 0B (0;1]
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Operações Aritméticas: Operações Aritméticas: A*BA*B
O conjunto difuso resultante da operação A*B pode ser expresso da seguinte forma:
Método Clássico: UNIÃO FUZZY PADRÃO
A*B = (A* B) (0;1]
Princípio da Extensão: onde a FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA é definida por
(A*B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ] z = x*y
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Operações Aritméticas: Operações Aritméticas: exemploexemplo
► Seja A um número difuso definido por A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2}
calcule (A+A).
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Operações Aritméticas Operações Aritméticas Clássicas:Clássicas:intervalosintervalos
► Sejam os intervalos [a,b] e [c,d] então: [a,b]+[c,d] = [a+c , b+d]
[a,b]-[c,d] = [a-d , b-c]
[a,b].[c,d] = [min (ac,ad,bc,bd), max (ac,ad,bc,bd)]
[a,b]/[c,d] = [min (a/c,a/d,b/c,b/d), max (a/c,a/d,b/c,b/d)]
para 0 [c,d]
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Operação Aritmética - Operação Aritmética - AdiçãoAdição: : exemploexemplo
Calcule a soma dos números difusos, A e B, definidos por:
(x+2)/2 para -2 x 0
(2-x)/2 para 0 x 2
0 para outros valores
A(x) =
(x-2)/2 para 2 x 4
(6-x)/2 para 4 x 6
0 para outros valores
B(x) = -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1A(x)B(x)A+B(x)
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Operações Aritméticas Operações Aritméticas Clássicas:Clássicas:intervalosintervalos
► Sejam os intervalos A=[a1,a2] ; B=[b1,b2] ; C=[c1,c2] e 1=[1,1] então:
Comutatividade:►A+B=B+A e A . B=B . A
Associatividade:►(A+B)+C=A+(B+C) e (A.B).C=A.(B.C)
Identidade:►A=0+A=A+0 e A.1=1.A
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Operações Aritméticas Clássicas: Operações Aritméticas Clássicas: intervalosintervalos
Subdistributividade:►A.(B+C) A.B+A.C
Distributividade: ►se b.c 0 para b B e c C então
A.(B+C) A.B+A.C
0 A-A e 1 A/A
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Operações Aritméticas ClássicasOperações Aritméticas Clássicas
Se AC e BD
►A+B C+D►A-B C-D►A.B C.D►A/B C/D (monotonicamente inclusive)
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Operações Aritméticas : Operações Aritméticas : função de função de pertinênciapertinência
► Existem algoritmos para obter a função de pertinência: algoritmo DSW (Dong, Shah e Wong, 1985) algoritmo DSW Modificado (Givens a Tahani,
1987)
Ross, TJ. Fuzzy Logic with Engineering Applications. McGraw-Hill, 1995.
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Operações de Operações de MÍNIMO e MÁXIMOMÍNIMO e MÁXIMO
► Números Reais► Números Difusos
► Notação:
Números Reais
Números Difusos
min max
MIN MAX
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Operações de Operações de MÍNIMO MÍNIMO ee MÁXIMO: MÁXIMO: clássicaclássica
► Números Reais: para todo par (x,y) R
min (x, y) =x se x y
y se y x
max (x, y) =y se x y
x se y x
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Operações de Operações de MÍNIMO e MÁXIMO: Difusa
► Números Difusos: a função de pertinência é definida por
MIN (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ]z = min( x, y)
MAX (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ]z = max( x, y)
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Operação MÍNIMO: Operação MÍNIMO: exemploexemplo
► Sejam A e B números difusos definidos por A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2}
B = { 0.1/ 1 + 1/2 + 0.1/3} calcule MIN(A,B).
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MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO: propriedadespropriedades
► Comutatividade MIN (A,B) = MIN(B,A) e MAX (A,B) = MAX(B,A)
► Associatividade MIN[MIN (A,B), C] = MIN[A, MIN(B,C)] MAX[MAX (A,B), C] = MAX[A, MAX(B,C)]
► Distributividade MIN[A, MAX (B, C)]= MAX[MIN(A,B), MIN(B,C)] MAX[A, MIN (B, C)]=MIN[MAX(A,B), MAX(B,C)]
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MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO: propriedadespropriedades
► Idempotência MIN (A,A) = A MAX (A,A) = A
► Absorção MIN[A, MAX (A,B)] = A MAX[A, MIN (A,B)] = A
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Modelos DifusosModelos Difusos
► os modelos são construídos com operações aritméticas difusas
► os coeficientes são números difusos desconhecidos
Dr.