armónicas de la red eléctrica - respuesta de elementos

Análisis Armónico en Análisis Armónico en Redes EléctricasRedes Eléctricas

Respuesta de Elementos a las Respuesta de Elementos a las ArmónicasArmónicas

Dr. Manuel Madrigal MartínezDr. Manuel Madrigal Martínez

Programa de Graduados e Investigación en Ingeniería EléctricaPrograma de Graduados e Investigación en Ingeniería EléctricaINSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIAINSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA

MORELIA, MEXICOMORELIA, MEXICO

WEBINARWEBINARLeonardo Energy en EspañolLeonardo Energy en Español

19 octubre 2010 – 9h00 México – 16h00 España 19 octubre 2010 – 9h00 México – 16h00 España

M. MadrigalM. Madrigal 11Instituto Tecnológico de Morelia, MéxicoInstituto Tecnológico de Morelia, México

ContenidoContenido IntroducciónIntroducción Definición de FasorDefinición de Fasor Definición de impedanciaDefinición de impedancia Resonancia serie y paraleloResonancia serie y paralelo Driving-point impedance de redes eléctricasDriving-point impedance de redes eléctricas Armónicas en Voltaje y CorrienteArmónicas en Voltaje y Corriente Filtros SintonizadosFiltros Sintonizados ConclusionesConclusiones



IntroducciónIntroducción El estudio de propagación de armónicas en redes El estudio de propagación de armónicas en redes

eléctricas requiere de un buen entendimiento de las eléctricas requiere de un buen entendimiento de las impedancias que presenta la red eléctrica a impedancias que presenta la red eléctrica a diferentes frecuencias.diferentes frecuencias.

Para ello la definición de Fasor y de Impedancia son Para ello la definición de Fasor y de Impedancia son la base.la base.

La comprensión de los efectos de las corrientes La comprensión de los efectos de las corrientes armónicas sobre las redes eléctricas, se es más fácil armónicas sobre las redes eléctricas, se es más fácil si se tiene una buena base del análisis de circuitos si se tiene una buena base del análisis de circuitos eléctricos en C.A.eléctricos en C.A.

( ) cos( )mf t F t es la amplitud de la función

es la frecuencia angular

2 donde es la frecuencia en Hz

es ángulode fase

mF

f f

Considerando la siguiente función senoidal Considerando la siguiente función senoidal ff((tt))


Definición de FasorDefinición de Fasor

( )

cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

j

j t

e j

e t j t

( )( ) Re Re Rej t j j t j tm mf t F e F e e Fe

Definiendo a el fasor como:Definiendo a el fasor como:


( ) cos( )

(polar)

(rectangular) cos sin

jm m

m

m m

f t F t F F e

F F

F F jF

jmF F e

Por tanto la representación fasorial de la función senoidal Por tanto la representación fasorial de la función senoidal esta dada por:esta dada por:

Propiedades:Propiedades:


2 2

2 2

2

( ) cos( )

( ) Re

Re

( ) Re ( )

( ) Re ( )

( ) sin( )

n n

n n

jm m

j j td dmdt dt

j j t jm m

j j t jd dm mdt dt

j j t n jd dm mdt dt

jm m

f t F t F F e

f t F e e

j F e e F j F e

f t F e e F j F e

f t F e e F j F e

g t G t G jG e

( / 2) / 2

( ) sin( ) cos( / 2)

(cos( / 2) sin( / 2))

(0 sin( / 2))

m m

j j jm m

jm

jm

jm

g t G t G t

G G e G e e

G e j

G e j

jG e

TeoremaTeorema: : La suma algebraicaLa suma algebraica de cualquier número de funciones de cualquier número de funciones senoidales de la senoidales de la misma frecuencia angularmisma frecuencia angular, sea , sea ωω, y cualquier , y cualquier número de sus derivadas de cualquier orden, da como resultado número de sus derivadas de cualquier orden, da como resultado una senoidal de la una senoidal de la misma frecuencia angularmisma frecuencia angular ωω. .


2 2 1 4 35

( ) 2cos(2 60 ) 4sin 2 2sin 2

2cos 2 cos 60 2sin 2 sin 60 4sin 2 4cos 2

cos 2 3 sin 2 4sin 2 4cos 2

5cos 2 (4 3)sin 2

5 (4 3) cos 2 tan

7.6cos(2 48.8 )

ddtf t t t t

t t t t

t t t t

t t

t

t

Usando fasores: Usando fasores:


60 0 0

( ) 2cos(2 60 ) 4sin 2 2sin 2

2 4( ) 2 ( 2 )

2cos60 2sin 60 4 4

2(1/ 2) 2( 3 / 2) 4 4

5 (4 3)

7.6 48.8 7.6cos(2 48.8 )

ddt

j j j

f t t t t

e je j je

j j

j j

j

t

( ) ( )jm

m

VVZ e Z R jX

I I

Re( ) parte real de la impedancia

Im( ) parte imaginaria de la impedancia

R Z

X Z

La impedancia, en redes pasivas lineales, esta definida como la La impedancia, en redes pasivas lineales, esta definida como la

razón del fasor de voltaje con el fasor de corriente, esto es:razón del fasor de voltaje con el fasor de corriente, esto es:


I

V( ) cos( )

( ) cos( )

jm m

jm m

v t V t V V e

i t I t I I e

Definición de ImpedanciaDefinición de Impedancia

div L

dt

Re

Re

j t

j t

i Ie

v Ve

Impedancia de elementos pasivos:Impedancia de elementos pasivos:


Re Re Re

por tanto:

j t j t j tdVe L Ie j LIe

dt

V j LI X j L

para inductor

1para capacitor

para resistencia

2 frecuencia en Hz

L

C

X j L

X jC

R

f f

jm

jm

I I e

V V e

Respuesta de elementos Respuesta de elementos pasivos: Resistencia, pasivos: Resistencia, reactancia inductiva y reactancia inductiva y reactancia capacitivareactancia capacitiva

Resistencia (ohms)

Frecuencia (Hz)

ReactanciaInductiva (ohms)

Frecuencia (Hz)

Frecuencia (Hz)

Reactanciacapacitiva (ohms)

cteR

LX j L

1CX j

C


Magnitud Z (ohms)

fres Frecuencia (Hz)

Se le llama Se le llama Resonancia Serie Resonancia Serie cuando la impedancia de un cuando la impedancia de un circuito LC se hace cero a una frecuencia dada. A dicha circuito LC se hace cero a una frecuencia dada. A dicha frecuencia se le llama frecuencia de resonancia.frecuencia se le llama frecuencia de resonancia.

CL jXjXRZ

XC

XL

R


Resonancia Serie y ParaleloResonancia Serie y Paralelo

Magnitud Z (ohms)

fres Frecuencia (Hz)

Se llama Se llama Resonancia ParaleloResonancia Paralelo cuando la impedancia de un cuando la impedancia de un circuito LC paralelo se hace infinito a una frecuencia dada. A circuito LC paralelo se hace infinito a una frecuencia dada. A dicha frecuencia se le llama frecuencia de resonancia.dicha frecuencia se le llama frecuencia de resonancia.

CL

LC

jXjXRjXRjX

Z )(

R

XL

XC


M. MadrigalM. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, MéxicoInstituto Tecnológico de Morelia, México 1414

-jXC

jXL

1 24.000 1.0417

2 10.500 2.3810

3 5.3333 4.6875

4 2.2500 11.111

5 0

6 1.8333 13.6364

7 3.4286 7.2917

8 4.8750 5.1282

serie paraleloX X

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j j

1 H

1 1F

25

L

C

X L L

X CC

Ejemplo: Respuesta a la frecuencia de elementosEjemplo: Respuesta a la frecuencia de elementos

X (ohms)

1 2 3 4 5 6 7 8 (h)

serie L CX jX jX

( )( )C Lparalelo

L C

jX jXX

jX jX


I

V

( )V

Z jI

Driving-point impedance: Driving-point impedance: Es la impedancia a la frecuencia angular Es la impedancia a la frecuencia angular ωω, obtenida de la razón de los fasores de entrada y salida de corriente y , obtenida de la razón de los fasores de entrada y salida de corriente y voltaje en una red de un puerto. voltaje en una red de un puerto.

│Z│

ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 … ωn

Driving-point impedance de redes Driving-point impedance de redes eléctricaseléctricas


1

2

i

j

k

n

Ih

+

Vh

_

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

h h h h h

V Z I V Z

V Z I V Z

V Z I V Z

( ) cosh h hi t I t

1.0hI


1 1,1,1 1,2 1, 1,

2 2,1 2,2 2, 2, 2,

,1 ,2 , , ,

,1 ,2 , ,

0

0

1

0 0

ii nh hh h h h

i n ih h h h h h

i i i i i ni i ih h h hh h

n n n i n nnh h h hh

V ZZ Z Z Z

V Z Z Z Z Z

Z Z Z ZV Z

Z Z Z ZV

j1

2

i

k

n

Ih

+

Vh

_

1 1 1

2 2 2

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

nodal nodal nodal

nodal nodal nodal

nodal nodal nodalh h h

V Z I

V Z I

V Z I


Los elementos de la diagonal de la matriz de impedancias son las Los elementos de la diagonal de la matriz de impedancias son las impedancias de Thevenin de los nodos de la red, y si estas impedancias impedancias de Thevenin de los nodos de la red, y si estas impedancias se obtienen para diferentes frecuencias, entonces se obtiene el driving-se obtienen para diferentes frecuencias, entonces se obtiene el driving-point impendance de la red.point impendance de la red.

En la grafica se muestra el driving-point impedance de los nodos En la grafica se muestra el driving-point impedance de los nodos ii y y j.j.

1 2 3 4 5 6 … h

,1i iZ

,2i iZ

,3i iZ

,4i iZ

,5i iZ

,6i iZ

,i ihZ

,1j jZ

,2j jZ ,

3j jZ

,4j jZ

,5j jZ ,

6j jZ

,j jhZ


1

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

nodal nodal nodalh h h

nodal nodal nodal nodal nodalh h h h h

I Y V

V Y I Z I

[ ] [ ][ ][ ]nodal Th pY A Y A

[ ] matriz de incidencia de orden

[ ] matriz primitiva de orden p

A n ne

Y ne ne

n número de nodos de la redne número de elementos de la redMatriz [A] esta formada por 1 y -1Matriz [Yp] es diagonal con los valores de admitancias de las ramas de la red

Obtención de la matriz de impedanciasObtención de la matriz de impedancias


1

2

3

4

5

0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0

[ ] 0 0 0 0 ; [ ] 1 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0

p

y

y

Y y A

y

y

1

2

3

4

1

2

1

2

3

4

/( 1)

/( 2)

L

L

L

L

C

C

X j L

X j L

X j L

X j L

X j C

X j C

1 1

2 2

3 3

4 1

5 2 4

1/( 1 )

1/( 2 )

1/( )

1/( / )

1/( / ) 1/( )

L

L

L

C

C L

y R hX

y R hX

y hX

y X h

y X h hX

1 3 1

1 1 2 4 2

2 2 5

0

[ ] [ ][ ][ ]

0

nodal Tp

y y y

Y A Y A y y y y y

y y y


60 Hz =2

1 0.01 2 0.02

1 0.1mH 2 0.5mH 3 1 mH 4 1 mH

1 600 F 2 400 F

f f

R R

L L L L

C C

0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

h

ma

gn

itud

Z1,1

Z2,2

Z3,3


clear all

f=60; w=2*pi*f; H=15; dH=0.3;R1=0.01; R2=0.02;L1=0.1e-3;L2=0.5e-3;L3=1e-3; L4=1e-3;C1=600e-6;C2=400e-6; XL1=j*w*L1; XL2=j*w*L2; XL3=j*w*L3;XL4=j*w*L4; XC1=-j/(w*C1); XC2=-j/(w*C2); k=1;for h=1:dH:H y1=1/(R1+h*XL1); y2=1/(R2+h*XL2); y3=1/(h*XL3); y4=1/(XC1/h); y5=1/(XC2/h)+1/(h*XL4); Ynodal=[y1+y3 -y1 0 -y1 y1+y2+y4 -y2 0 -y2 y2+y5];

Znodal=inv(Ynodal); Z1(k)=Znodal(1,1); Z2(k)=Znodal(2,2); Z3(k)=Znodal(3,3); k=k+1;end h=1:dH:H;plot(h,abs(Z1),'--o',h,abs(Z2),'--o',h,abs(Z3),'--o');grid; xlabel('h'); ylabel('magnitud');

0 5 10 150

5

10

15

20

25

h

mag

nitu

d

)()()(

)3cos()2cos()cos()(

3210

3322110

tftftff

tAtAtAAtf

n

nA

tnAtf

n

n

nnn

armónicaladeángulo

armónicalademagnitud

:por define se

)cos()( armónica La


Armónicas en Voltaje y Armónicas en Voltaje y CorrienteCorriente

Armónicas en voltajeArmónicas en voltaje


+Vo

v1(t)

v2(t) v(t)

v3(t)

_

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 3

0 1 1 2 2 3 3

( ) cos( ) cos(2 ) cos(3 )

( ) ( ) ( )

, , , ,

v t V V t V t V t

V v t v t v t

V V V V

Armónicas en la corrienteArmónicas en la corriente


i(t)

Io i1(t) i2(t) i3(t)

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 3

0 1 1 2 2 3 3

( ) cos( ) cos(2 ) cos(3 )

( ) ( ) ( )

, , , ,

i t I I t I t I t

I i t i t i t

I I I I

Magnitud Z (ohms)

hω

La función del filtro sintonizado es que presente una La función del filtro sintonizado es que presente una impedancia casi nula a la frecuencia de sintonización.impedancia casi nula a la frecuencia de sintonización.

El filtro esta conformado por un reactor y un capacitor.El filtro esta conformado por un reactor y un capacitor.

/L CZ R jhX jX h

XC

XL

R


Filtros SintonizadosFiltros Sintonizados

X (ohms)

R 1 2 3 4 5 6 7 8 (h)


1 9.2928

2 4.0656

3 2.0651

4 0.8712

5

6 0.7099

7 1.3275

8 1.8876

filtroh Z

R j

R j

R j

R j

R

R j

R j

R j

2

2

20

440

440 / 20000 9.68

6.68 / 5 0.3872

cap

LL

C

L

Q KVAr

V V

X

X

Ejemplo: Filtro de 5ª armónicaEjemplo: Filtro de 5ª armónica

(0.3872 9.68 / )filtroZ R j h h

2440 / 9.2928 20.83filtroQ KVAr

XC

XL

R

La resistencia La resistencia RR por lo por lo general es la propia general es la propia del reactor (muy del reactor (muy pequeña)pequeña)

Trayectoria de las armónicas ante filtrosTrayectoria de las armónicas ante filtros

M. MadrigalM. Madrigal

2828Instituto Tecnológico de Morelia, MéxicoInstituto Tecnológico de Morelia, México

i(t)

i3(t) i5(t) i7(t)

3 3 5 5 7 7( ) cos(3 ) cos(5 ) cos(7 )i t I t I t I t

XC3

XL3

XC5

XL5

3 3

5 5

/ 9

/ 25L C

L C

X X

X X

Efecto de las armónicas de Efecto de las armónicas de corriente sobre el voltajecorriente sobre el voltaje

Por lo general las armónicas se generan en Por lo general las armónicas se generan en las corrientes provenientes de las cargaslas corrientes provenientes de las cargas

La magnitud de las corrientes armónicas La magnitud de las corrientes armónicas dependen de la operación de los equipos dependen de la operación de los equipos que las generanque las generan

Las armónicas de corriente al circular por la Las armónicas de corriente al circular por la red eléctrica, circulan por las ramas que les red eléctrica, circulan por las ramas que les ofrecen menor resistencia a su paso y ofrecen menor resistencia a su paso y obedecen a las LCK.obedecen a las LCK.


h=1h=1

3030

1 10

9 0.05h

h

h I A

h I A

1

2

3

1.58 91.60.004 0.24 0.001 0.23 0.004 0.15 0

0.001 0.23 0.007 0.25 0.000 0.17 0 1.74 91.2

0.004 0.15 0.000 0.17 0.004 0.24 10 2.47 88.9

V j j j

V j j j

j j jV

1

2

3

0.12 96.20.16 1.53 0.16 2.03 0.27 2.52 0

0.16 2.03 0.17 2.23 0.29 2.77 0 0.13 96.1

0.27 2.52 0.29 2.77 0.49 5.56 0.05 0.27 84.9

V j j j

V j j j

j j jV

h=9h=9

3( ) 2.47cos( 88.9 ) 0.27cos(9 84.9 )v t t t

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-4

-2

0

2

4

tiempo [seg]

volta

je [

volts

]

Voltaje armónicos en el nodo 3

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-4

-2

0

2

4

tiempo [seg]

volta

je [

volts

]

Voltaje total en el nodo 3

20 MVA X=9.6% X/R=100

4.2 MVAr

8 MW, FP 0.88

13.8 KV

009141.0100/

3429.452.48.13

9141.020

8.13100

6.9100

%

22

22

TT

C

T

XRMVArKV

X

MVAKVX

X

hX

jjhXR

jhXRh

Xj

ZC

TT

TTC

eq

Magnitud Zeq

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h

j6.98 - 0.00411

j9.00 - 0.0110

j13.00 - 0.029

j25.20 - 0.118

j519.14 + 617

j0.20 + 0.126

j9.21 + 0.045

j5.40 + 0.024

j3.35 + 0.013

j1.99 + 0.012

j0.93 + 0.011eqZh


20 MVA X=9.6% X/R=100

4.2 MVAr

8 MW, FP 0.88

13.8 KV

AI

I

AI

I

AI

I

AFPV

WI

57.3411

33.547

06.765

33.38088.08.133

8000

3

111

17

15

1

heqhh ZIV ,3

0.4134.57j6.98 - 0.00411

00j9.00 - 0.0110

00j13.00 - 0.029

00j25.20 - 0.118

49.133.54j519.14 + 617

00j0.20 + 0.126

1.206.76j9.21 + 0.045

00j5.40 + 0.024

00j3.35 + 0.013

00j1.99 + 0.012

13.833.380j0.93 + 0.011 KVVIZh hheq

3232M. MadrigalM. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, MéxicoInstituto Tecnológico de Morelia, México

20 MVA X=9.6% X/R=100

4.2 MVAr

8 MW, FP 0.88

13.8 KV

2

45.34290.9254

497C

reactor

XX

Creactor T T

eqC

T T reactor

XjhX j R jhX

hZ

XR jhX jhX j

h

1 0.01 + j0.93

2 0.01 + j2.00

3 0.01 + j3.52

4 0.03 + j7.01

5 10.79 -j156.7

6 0.00 - j3.15

7 0 + j0.00

8 0 + j1.40

9 0 + j2.35

10 0.01 - j9.00

11 0.004 - j6.98

eqh Z


Magnitud Zeq

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h

ConclusionesConclusiones


Los conceptos básicos de circuitos eléctricos (LVK, Los conceptos básicos de circuitos eléctricos (LVK, LCK, definición de impedancia, análisis fasorial) son LCK, definición de impedancia, análisis fasorial) son claves en la comprensión de la propagación de claves en la comprensión de la propagación de armónicasarmónicas

Los voltajes y corrientes armónicas obedecen a las Los voltajes y corrientes armónicas obedecen a las LVK y LCKLVK y LCK

La distorsión armónica en el voltaje se da La distorsión armónica en el voltaje se da principalmente por efecto de las corrientes principalmente por efecto de las corrientes armónicasarmónicas

La red presenta diferentes impedancias a distintas La red presenta diferentes impedancias a distintas armónicas, de aquí que las armónicas puedan seguir armónicas, de aquí que las armónicas puedan seguir distintas trayectoriasdistintas trayectorias

La función de los filtros es proporcionar una La función de los filtros es proporcionar una trayectoria de muy baja impedancia a la corriente trayectoria de muy baja impedancia a la corriente armónica de sintonización.armónica de sintonización.

Al seleccionar un filtro se debe de verificar otras Al seleccionar un filtro se debe de verificar otras posibles resonancias.posibles resonancias.

E. Acha, M. Madrigal. E. Acha, M. Madrigal. Power Systems Harmonics: Computer Modelling and AnalysisPower Systems Harmonics: Computer Modelling and Analysis, John Wiley & Sons, 2001., John Wiley & Sons, 2001. R. C. Dugan, M. F. McGranaghan, and H. W. Beaty. Electrical Power Systems Quality, McGraw-Hill, New York, 1996. R. C. Dugan, M. F. McGranaghan, and H. W. Beaty. Electrical Power Systems Quality, McGraw-Hill, New York, 1996. G. T. Heydt, G. T. Heydt, Electric Power QualityElectric Power Quality, Stars in a Circle Publications, West LaFayette, IN, 1991. , Stars in a Circle Publications, West LaFayette, IN, 1991. IEEE Standard 519-1992, IEEE Standard 519-1992, Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in Electrical Power SystemsRecommended Practices and Requirements for Harmonic Control in Electrical Power Systems, The Institute of Electrical and Electronics Engineers, 1993., The Institute of Electrical and Electronics Engineers, 1993. T. H. Ortmeyer, "Harmonic Analysis Methodology," T. H. Ortmeyer, "Harmonic Analysis Methodology," IEEE PES Tutorial CourseIEEE PES Tutorial Course, , Course Text 84 EH0221-2-PWRCourse Text 84 EH0221-2-PWR, February, 1984, pp. 74-84. , February, 1984, pp. 74-84. Gary W. Chang Paulo F. Ribeiro, Gary W. Chang Paulo F. Ribeiro, Harmonics TheoryHarmonics Theory, Modeling and Simulation of Power System Harmonics, Transmission & Distribution Committee, IEEE Power Engineering Society, 1999., Modeling and Simulation of Power System Harmonics, Transmission & Distribution Committee, IEEE Power Engineering Society, 1999. Thomas H. Ortmeyer, M. Fayyaz Akram, Takashi Hiyama, Thomas H. Ortmeyer, M. Fayyaz Akram, Takashi Hiyama, Harmonic Modeling of NetworksHarmonic Modeling of Networks, Modeling and Simulation of Power System Harmonics, Transmission & Distribution Committee, IEEE Power Engineering Society, 1999., Modeling and Simulation of Power System Harmonics, Transmission & Distribution Committee, IEEE Power Engineering Society, 1999. T. Hiyama, M. S. A. A. Hammam and T. H. Ortmeyer. "Distribution System Modeling with Distributed Harmonic Sources. T. Hiyama, M. S. A. A. Hammam and T. H. Ortmeyer. "Distribution System Modeling with Distributed Harmonic Sources. IEEE Transactions on Power DeliveryIEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 4, No. 2 , April 1989, pp. 1297-1304. , Vol. 4, No. 2 , April 1989, pp. 1297-1304. Task force on Harmonics Modeling and Simulation. The modeling and simulation of the propagation of harmonics in electric power networks Part I: Concepts, models and simulation techniques", Task force on Harmonics Modeling and Simulation. The modeling and simulation of the propagation of harmonics in electric power networks Part I: Concepts, models and simulation techniques", IEEE Trans. on Power Delivery,IEEE Trans. on Power Delivery, Vol. 11, No. 1, Jan. 1996, pp. 452-465. Vol. 11, No. 1, Jan. 1996, pp. 452-465.

BibliografíaBibliografía


Manuel Madrigal Martínez, Manuel Madrigal Martínez, PhD., MC., Ing., IEEE Senior MemberPhD., MC., Ing., IEEE Senior Member

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