armÓnicos aspectos bÁsicos de teorÍa. armÓnicos: teorÍa armÓnicos: “distorsiones periódicas...

ARMÓNICOS

ASPECTOS BÁSICOS DE TEORÍA

ARMÓNICOS: TEORÍA ARMÓNICOS: “Distorsiones periódicas de formas de ondas de corriente o tensión en sistemas eléctricos”

FUNCIÓN PERIÓDICA:

T es el período de la función periódica x(t)

Ejemplo:

)()( txTtx

x/(t)

t

-T/2

T/2

ARMÓNICOS: TEORÍA

donde k es un entero

Si dos funciones x1(t) y x2(t) tienen el mismo periodo T, luego la

función:

donde a y b son constantes, también tiene el periodo T.

También es cierto que la función:

también es periódica

)()( txkTtx

)()()( 213 tbxtaxtx

x(t)=constante

ARMÓNICOS: TEORÍA COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:La serie de Fourier de una función periódica x(t) tiene la siguiente expresión:

En esta expresión a0 constituye el valor medio de la función x(t),

mientras que an y bn, los coeficientes de la serie, son las

componentes rectangulares del nth armónico.

El correspondiente nth vector armónico es:

Con una magnitud:

y un ángulo de fase:

10

22cos)(

nnn T

ntsenb

Tnt

aatx

nnnn jbaA 22nnn baA

n

nn a

b1tan

ARMÓNICOS: TEORÍA COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:Puede demostrarse que para una función dada x(t) el coeficiente constante a0 es:

También puede verificarse que:

para los n=1

2

20 )(

1 T

Tdttx

Ta

2

2

2cos)(

2 T

Tn dtTnt

txT

a

2

2

2)(

2 T

Tn dtTnt

sentxT

b

ARMÓNICOS: TEORÍA FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:Un vector rotando uniformemente (A/2)e+j tiene una magnitud constante A/2 y un ángulo de fase el cual esta variando en el tiempo de acuerdo a:

donde es el ángulo de fase inicial cuando t=0. Un segundo vector (A/2)e-j rotará en la dirección opuesta al anterior. Este aumento negativo de cambio en el ángulo de fase puede ser considerado como una frecuencia negativa.

La suma de estos dos vectores estará siempre a lo largo del eje real, con la magnitud oscilando entre A y –A a:

ft2

cos22

AeA

eA jj

ARMÓNICOS: TEORÍA FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:Reescribiendo la serie de Fourier como:

Donde x(t) es periódica con período T y

=2/T=2f, la componente nth de esta

serie, correspondiente a la armónica a una

frecuencia de fn=nf, es dado por:

Donde es el vector unitario y X(fn) da la

amplitud y fase para el vector armónico.

Amplitud instantánea

Máxima amplitud (A)

Im

Re

A/2

--

2/

2/

2)(1

)(T

T

tfjn dtetx

TfX n

tfj ne 2

.....)2()()( 22110 tsenAtsenAatx

ARMÓNICOS: TEORÍA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:En el caso donde la función en el dominio del tiempo es una función muestreada la expresión toma la forma:

Se asume que la función es periódica con un total de N muestras por período. Esta forma discreta de la Transformada de Fourier es la apropiada para evaluación numérica por cálculo digital.

La ecuación anterior puede también escribirse como:

donde W=e-j2/N

1

0

/2)(1

)(N

n

Nknjnk etx

NfX

1

0

)(1

)(N

n

knnk Wtx

NfX

ARMÓNICOS: TEORÍA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:Sobre todas las componentes de frecuencia la ecuación anterior adquiere la siguiente forma matricial:

En esta ecuación, [X(fk)] es un vector representando los N componentes de la función en

el dominio de la frecuencia, mientras que [x(t)] es un vector representando las N muestras de la función en el dominio del tiempo.

El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras requiere un total de N2 multiplicaciones complejas para implementar la forma anterior.

)(

.

)(

.

)(

)(

.

..1

......

..1

......

..1

1.1.11

1

)(

.

)(

.

)(

)(

1

1

0

)1()1(1

)1(

1

1

1

0

2

2

N

n

NkNN

Nkkk

Nk

N

k

tx

tx

tx

tx

WWW

WWW

WWW

N

fX

fX

fX

fX

)(.1

)( nkn

k txWN

fX

ARMÓNICOS: TEORÍA Fase de la Matriz W para n=8

0 0 0 0 0 0 0 0

0 -45 -90 -135 -180 135 90 45

0 -90 -180 90 0 -90 -180 90

0 -135 90 -45 -180 45 -90 135

0 -180 0 -180 0 -180 0 -180

0 135 -90 45 -180 -45 90 -135

0 90 180 -90 0 90 180 -90

0 45 90 135 -180 -135 -90 -45

ARMÓNICOS: TEORÍA FRECUENCIA DE NYQUIST Y ALIASING:

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1

-0.5

0

0.5

1

Intervalo de muestreo

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1

-0.5

0

0.5

1

Intervalo de muestreo

ARMÓNICOS: TEORÍA

Filtro pasa-bajo

INTERARMÓNICOS: Frecuencias armónicas que no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental

SUBARMÓNICOS: valores de frecuencia que están por debajo de la frecuencia fundamental

X(f)

-f f

fc

1

DEFINICIONES Y ASPECTOS BÁSICOS

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS VALOR RMSSeñal continua:

Señal discreta:

O, en término de los valores rms de los armónicos:

T

rms dttvT

V0

22 )(1

N

kkrms tV

NV

1

21

2hrmsrms VV

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)

A partir de lo cual:

k

hhrms

rmsVV V

VTHDTDT

2

2

1

1

k

hhrms

rmsII I

ITHDTDT

2

2

1

1

21 100/1 Vrmsrms THDVV

21 100/1 Irmsrms THDII

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEPOTENCIA ACTIVA:

En el caso senoidal:

T

dttitvT

P0

).().(1

h

hhh CosIVP ..

CosIVP ..

22.. PSSenIVQ

22. PQIVS

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE:En el caso NO-senoidal:

Budeanu:

En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia:

IVS .

h

hh

h IVS 22 .

h

hhh senIVQ ..

)( 2222 QPSD

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEAlguna características de la definición de Potencia Reactiva en condiciones senoidales:

1.- La potencia reactiva es proporcional a la diferencia entre la energía eléctrica almacenada en los inductores y la energía almacenada en los condensadores

2.- Si la potencia reactiva es reducida a cero, el factor de potencia se hace uno

3.- La potencia reactiva completa el triángulo de potencia:

4.- La suma de todas las potencias reactivas en un nodo de un sistema de potencia es cero.

5.- La potencia reactiva puede ser expresada por los términos V, I y sen.

6.- La potencia reactiva puede ser positiva o negativa (el signo especifica si la carga es inductiva o capacitiva)

7.- La potencia reactiva puede ser reducida a cero insertando componentes inductivos o capacitivos

8.- La caída de tensión de una línea de un sistema de potencia es aproximadamente proporcional a la potencia reactiva.

222 QPS

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEDos corrientes son ortogonales si:

El cuadrado del valor rms de la suma de ambas:

Una corriente dividida en componentes ortogonales, multiplicada por el rms de tensión:

T

ba dtiiT

0.1

T

bab

T

ba

T

a

T

ba

IIdtiT

dtiiT

dtiT

dtiiT

I

2222

22

1..2

11

)(1

222222 )( baba SSIIVS

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEPOTENCIA REACTIVA:

Budeanu

Fryze

h h

hhhh SenIVQQ 22

222 .

hhhh

h h hhhhhh SenIVCosIVIVS

2222 QPSD

vV

Pia .

2 ar iii

22ra III

22222222 )(. QPIIVIVS ra

POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEGRUPO DE TRABAJO IEEE (1996):

Orientación clara a la medición. Se separan las cantidades de la fundamental de la de las armónicas:

Con lo cual la potencia aparente es:

Donde:

Se define una potencia no activa N:

El resto se denomina potencia aparente no fundamental y es:

V1IH : Potencia de distorsión de corriente VHI1 : Potencia de distorsión de tensión

1

221

221

2

hhH VVVVV

1

221

221

2

hhH IIIII

221

21

211

22 )()()()()( HHHH IVIVIVIVVIS

2111

2111

21

21

21

211 )()cos()( senIVIVQPSIV

22 PSN

21

2221

21

2 )()()( SSIVIVIVS HHHHN

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS


POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEGRUPO DE TRABAJO IEEE (1996):

Al tercer término se lo denomina potencia aparente armónica y se puede expresar como:

Donde:

Puede de aquí sacarse un elemento que indica la operación de la red:

Factor de Potencia Total Desplazamiento de Factor de Potencia

2222 )( HHHHH NPIVS

1

cosh

HHHH IVP

222

2

11

2

1

2

1

2

1

.VTHDITHDVTHDITHDIVIV

VV

II

SS HHHHN

S

PP

S

PPF H )( 1

11

1 cosS

PdPF

VIHHH THDTHD

IV

IV

S

S.

111


POTENCIAS TRIFÁSICAS

Donde, para 4 conductores:

Si son 3 conductores:

Al igual que en el caso monofásico:

Donde:

eee IVS 3

3

222cba

e

VVVV

3

222cba

e

IIII

9

222cabcab

e

VVVV

221

2eHee VVV 22

12

eHee III

3

21

21

212

1cba

e

VVVV

3

21

21

212

1cba

e

IIII


POTENCIAS TRIFÁSICAS y:

Aquí también:

y redefiniendo:

El grado de desequilibrio de potencia aparente fundamental puede dividirse en:

1

2222

3h

chbhaheH

VVVV

1

2222

3h

chbhaheH

IIII

221

2eNee SSS

1e

eHeV V

VTHD

1e

eHeI I

ITHD

222

2

1

. eVeIeVeIe

eN THDTHDTHDTHDS

S

21

2

121 ue SSS


POTENCIAS TRIFÁSICAS

Se SeN

Se1

P

N

S10

S1-

Sd1

P1+

N1+

S1+


FACTORES DE CRESTA

1

2

1

2

V

VVCF

I

ICCF

hh

hh

)1(

)1(

11

11

VCFVVV

CCFIII

hhpico

hhpico

VCFV

V

V

VV

V

VV

CCFI

I

I

II

I

II

picopicopicopupico

picopicopicopupico

1

1

11

1

1)(

11

1

1)(

DEFINICIONES BÁSICAS

RESONANCIA: En un circuito RLC se producirá resonancia cuando:

La frecuencia de resonancia será:

Y el orden armónico al cual se produce la resonancia:

CXLX

rCrrLr

1

LCr

1

L

cr X

Xf

LC

f

LCf 0

0

0

2

1

L

Crr X

X

LCf

fh

00

1


RESONANCIA SERIE:

La impedancia equivalente será:

Para cualquier armónico h:

El módulo de la impedancia:

Para la frecuencia resonante:

El Factor de Calidad Q:

CL XXjRZ

h

XhXjRhZ C

L)(

2

2

h

XhXRhZ C

L

rr

CLr X

h

XXh

L

Cr X

Xh

C

LXXX CLr 2

C

LXXX CLr

R

XQ r


RESONANCIA SERIE:

0 500 1000 1500 2000 25000.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frecuencia [Hz]

IZI [

Oh

m]


RESONANCIA PARALELO:

La impedancia equivalente será:

La impedancia para cualquier armónico será:

CLCL

CL

CL

CL

CL

CL

XjXXXR

XjRX

XX

XXjR

XX

XRXj

Z

2

2

CLC

L

CL

CLC

L

CL

XXh

XhXR

XRXhZ

XjXh

XhXR

XjRXhZ



En resonancia:

Y el Factor de Calidad:

rr

CLr X

h

XXh

L

Cr X

Xh

C

LXXX

C

LXXX

CLr

CLr

2

rX

RQ



0 500 1000 1500 2000 25000

5

10

15

20

Frecuencia [Hz]

IZI [

Ohm

]

Q=0,5Q=1Q=3

0 500 1000 1500 2000 2500-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

Frecuencia [Hz]

Fase

[º]

Q=0,5Q=1Q=3

DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:

“Las tensiones o corrientes de un sistema trifásico pueden descomponerse como la suma de dos sistemas trifasicos, una de

secuencia positiva y otro de secuencia negativa, mas una componente homopolar”

Lógicamente esto es aplicable a los armónicos:

Donde:a =-0,5+j0,866=1120, y a2=-0,5-j0,866=1240

2

1

0

2

2

1

1

111

I

I

I

aa

aa

I

I

I

c

b

a

012* IAI abc abcIAinvI *)(012

DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Tercer armónico

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

R

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

S

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

T

DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Quito armónico

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

R

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

S

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

T

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -0.5

0

0.5

DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Séptimo armónico

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

R

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

S

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

T

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -0.5

0

0.5

DEFINICIONES BÁSICASCOMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Secuencias de los componentes armónicos:

h 1 2 3 4 5 6 7

Sec + - 0 + - 0 +

h 8 9 10 11 12 13 14

Sec - 0 + - 0 + -

h 15 16 17 18 19 20 21

Sec 0 + - 0 + - 0

armÓnicos aspectos bÁsicos de teorÍa. armÓnicos: teorÍa armÓnicos: “distorsiones periódicas...

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