Felületi mágneses szennyez®kköl sönhatásának elméleti vizsgálataSimon Eszter-Doktori értekezés-

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi KarTémavezet®: Dr. Újfalussy BalázsMTA Wigner Fizikai KutatóközpontSzilárdtestzikai és Optikai IntézetFizika Doktori Iskoladoktori iskola vezet®je: Prof. Csikor Feren Anyagtudomány és szilárdtestzika programdoktori program vezet®je: Prof. Lendvai JánosKészült: Szilárdtestzikai és Optikai IntézetElméleti OsztályBudapest, 2012.

Tartalomjegyzék1. Bevezetés 42. Elméleti háttér 62.1. A s¶r¶ségfunk ionál-elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.1. A köl sönható elektrongáz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2. A Hohenberg-Kohn-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3. Kohn-Sham-egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.4. A lokális s¶r¶ség közelítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Kohn-Sham-egyenletek megoldásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1. A megoldás általános lépései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2. Korringa-Kohn-Rostoker-eljárás alap gondolata . . . . . . . . . . 122.2.3. Egyszeres szórást leíró mennyiségek . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4. Többszörös szórás leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5. Állapots¶r¶ség és a Green-függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Réteges rendszerek és szennyez®k számolása . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1. Rétegek leírása Green-függvényes te hnikával . . . . . . . . . . . . 182.3.2. A szennyez®k számolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3. Ötvözetek leírása koherens poten iál közelítésben . . . . . . . . . 273. Felületi állapot 303.1. A felületi állapot modelljei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1. Elektronok a kristály felületén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2. Közel szabad elektron modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.3. Tamm- és Sho kley-állapot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Átmeneti fémek felületi állapota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.1. Sávszerkezeti tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2. Izotróp By hkov-Rashba-eektus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

3 TARTALOMJEGYZÉK3.2.3. Felületi állapot Cu és Au felületek esetén . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4. Anizotróp By hkov-Rashba-eektus . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.5. Bi/Ag(111) felületi állapot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3. Ötvözetek felületi állapotai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.1. Az állapotok kiszélesedése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.2. Felületi állapot CuxAu1−x felületen . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.3. Felületi állapot CuxPd1−x felületen . . . . . . . . . . . . . . . . . 584. Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k között 604.1. Köl sönhatás tömbi anyagban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.1. A köl sönhatási formula általános alakja . . . . . . . . . . . . . . 614.1.2. RKKY-köl sönhatás analitikus tárgyalása . . . . . . . . . . . . . 634.1.3. Számolt eredmények Cu, Ag és Au tömbi anyagban . . . . . . . . 654.2. Köl sönhatás különböz® irányú Cu és Au felületeken . . . . . . . . . . . 684.2.1. Két dimenziós gázban létrejöv® köl sönhatás . . . . . . . . . . . . 684.2.2. Numerikus számolások részletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.3. Felületi ki serél®dés Co szennyez®k között . . . . . . . . . . . . . 714.2.4. A ki serél®dési köl sönhatás változása az egyes rétegekben . . . . 764.3. Er®sen polarizálható felületeken kialakuló köl sönhatás . . . . . . . . . . 794.3.1. Indukált momentumok és azok hatása . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.2. Pt(111) felületen kialakuló köl sönhatás . . . . . . . . . . . . . . 814.4. Ötvözetek felületein létrejöv® köl sönhatás . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4.1. Köl sönhatás CuxAu1−x felületen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4.2. Köl sönhatás CuxPd1−x felületen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855. Az eredmények összefoglalása, további élkit¶zések 88Köszönetnyilvánítás 91Függelék 92A. Mátrixelemek a k · p perturbá iószámításban 92B. Sta ionárius fázisok módszere 94Irodalomjegyzék 97

1. fejezetBevezetésAz elmúlt évtizedek gyors ütem¶ te hnológiai fejl®désével napjainkra elérhet®vévált nanométeres skálájú szerkezetek mind kísérleti mind pedig elméleti vizsgálata. Ajelenkori zikai alapkutatások közkedvelt élpontjai az olyan nanoméret¶ rendszerekvizsgálata, amelyben az ala sony dimenziós zika jelenségei kerülnek el®térbe. Ezenrendszerek vizsgálata nem sak elméleti szempontból lényeges, ugyanis a vékony rétegekvagy éppen a kisméret¶ nanostruktúrák jelenthetik a modern mágneses adatrögzítésite hnológiák alapjait. A mágneses vékony rétegek terén elért kutatások legnagyobbelismeréseként pedig Albert Fert és Peter Grünberg az óriás mágneses ellenállás felfede-zéséért Nobel díjban részesültek 2007-ben, ezzel is jelezve, hogy a szilárdtestzika egyikf® kutatási irányvonalát jelentik a különböz® mágneses nanoszerkezetek vizsgálata.A mágneses nanoszerkezeteknek a nem mágneses anyagok felületén való viselkedésekülönösen érdekes, ugyanis a spin-pálya köl sönhatás jelent®s mértékben befolyásol-hatja a rendszer elektron- valamint mágneses szerkezetét. Fémek különböz® orientá iójú

1.1. ábra. Kvantum-karám és az elektronhullámfüggvénye [1.

felületén létrejöv® felületi állapotnak továbbiérdekes hatása lehet a nanostruktúrák köl- sönhatásában. Felületi állapotok esetén azelektronok mozgása közel két dimenziós, ez-által egy szemléletes példát kapunk a felüle-ten lev® kvantum-karám belsejében kialakulóelektron állapotokra. [1. Ebben a szerke-zetben a mágneses atomok egy kör vagy sta-dion alakban helyezkednek el szorosan egy-más mellett. A karám belsejében olyan elekt-ron állapotok alakulhatnak ki, amelyek a nem4

5 1. FEJEZET Bevezetésmágneses anyag felületén lev® felületi állapot következtében jönnek létre. A felületi ál-lapotnak a karám belsejében való bezárásával ugyanis különböz® álló hullámok kelet-keznek, ezt szemlélteti az 1.1. ábrán szerepl® kép is. A felületi állapot ugyanakkor másérdekes zikai jelenséget is eredményez, például két mágneses atom közötti köl sönhatástis befolyásolja, így kul sfontosságú szerephez jut.Két mágneses szennyez® közötti ki serél®dési köl sönhatás tömbi anyagban a jól is-mert RKKY-köl sönhatás, amely az atomok távolságától függ®en hol ferromágneses, holantiferromágneses [2, 3, 4. Ez a közvetett ki serél®dés a tömbi anyag vezetési elektronja-inak közvetítésével lejátszódó folyamat, amely 1/R3-nel seng le, miközben osz illál, aholR jelöli a két mágneses szennyez® közti távolságot. Az osz illá ió frekven iáját a tömbianyag Fermi felülete szabja meg [2. Hasonló osz illáló satolás jön létre két mágnesesréteg között is, mágneses multirétegek esetében [5. A multirétegek spe iális struktúrájafolytán két mágneses réteg, amely egy nem mágneses réteggel van elválasztva, a nemmágneses réteg vastagságának függvényében osz illáló köl sönhatás alakul ki. Ebbenaz esetben is az egyes mágneses rétegek momentumának egymáshoz viszonyított irányanem lesz tetsz®leges, hanem szintén hol ferromágneses, hol antiferromágneses. Enneka satolásnak a le sengését a nem mágneses réteg vastagsága határozza meg mégpedig,1/D2 formában, ahol D a nem mágneses réteg vastagsága. Az osz illáló köl sönhatásfrekven iája pedig a nem mágneses réteg elektronszerkezetéb®l adódik. Ezek után afennmaradó kérdés, hogy mi történik két mágneses szennyez® közötti köl sönhatással,ha azokat felületre valamint az egyes rétegekbe helyezzük.A jelen dolgozat erre ad választ egy részletes elméleti vizsgálat keretében. Az ér-tekezés alapvet®en három részre tagolható. Az els® részben a számoláshoz szükségeselméleti hátteret tárgyalom. A második rész a már említett felületi állapotokkal fog-lalkozik behatóbban, míg a harmadik rész tartalmazza két szennyez® ki serél®dési köl- sönhatására kapott numerikus eredményeket. A numerikus eredmények értelmezésévelarra a megállapításra jutottunk, hogy a felületi állapotnak valóban lényeges szerepe vana köl sönhatás kialakításában és mint közvetít® közeg jelenik meg. Hasonlóan a felületiállapotokhoz az indukált momentumok hatására is kialakulhat közvetett ki serél®désiköl sönhatás a két szennyez® között.

2. fejezetElméleti háttér2.1. A s¶r¶ségfunk ionál-elmélet2.1.1. A köl sönható elektrongázAz elektronok közti köl sönhatás meghatározásakor a teljes rendszer Hamilton-operátorával felírt S hrödinger-egyenletnek a megoldásait keressük. A S hrödinger-egyenlet id®független alakját aHψ(r1,R1, s1, r2,R2, s2 . . . rN,RM, sN) = Eψ(r1,R1, s1, r2,R2, s2 . . . rN,RM, sN)(2.1)egyenlettel írhatjuk fel, ahol ψ és E a meghatározni kívánt sokrésze skés rendszer hul-lámfüggvénye valamint energiája az rj és Ri helykoordinátával megadott elektronok ésionok esetén, továbbá feltettük, hogy ebben a sok része skés rendszerben M darab ionés N darab elektron van. Ekkor a rendszert leíró Hamilton-operátor:

H =

M∑

i=1

(− ~2

Mi∇2

i ) +

N∑

j=1

(− ~2

2me∇2

j) +1

2

M∑

i 6=k

Uion−ion(Ri −Rk)

+1

2

N∑

i 6=j

Ue−e(rj − rl) +

M,N∑

i=1,j=1

Uion(Ri − rj). (2.2)Az els® két tag az ionok és elektronok mozgási energiáját írja le, a következ® két tag azionok valamint az elektronok közti Coulomb-köl sönhatását adja meg Ze töltés¶ magesetén azUion−ion(Ri −Rk) =

1

4πǫ0

(Ze)2

|Ri −Rk|, (2.3)

Ue−e(rj − rl) =1

4πǫ0

e2

|rj − rl|(2.4)6

7 2. FEJEZET Elméleti háttérkifejezésnek megfelel®en, az utolsó tag pedig az rj helykoordinátájú elektronoknak azRi helykoordinátájú ionokkal való köl sönhatását határozza meg

Uion(Ri − rj) = − 1

4πǫ0

Ze2

|Ri − rj|. (2.5)Az ilyen formában felírt Hamilton-operátornak a megoldása azonban közel lehetetlenfeladat, elegend®, ha belegondolunk, hogy tipikusan egy anyag 1023 számú atomból épülfel. Ezért a megoldáshoz néhány alapvet® közelítést kell tennünk.Az els® közelítésként, ha az elektronok közti köl sönhatásból származó hatáso-kat kívánjuk megérteni, akkor az ionok mozgásáról elfeledkezünk, és az ionokról fel-tesszük, hogy mereven ülnek az egyensúlyi helyükön, szabályos rá sot alkotva (Born-Oppenheimer-közelítés). Továbbá, alkalmazva az úgynevezett adiabatikus közelítést[74, 73, a köl sönhatásban szétválasztjuk az ionoktól és az elektronoktól származójárulékot, és az ionok egymás közötti Coulomb-köl sönhatását mint additív konstansenergiajárulékot elhagyjuk. Ezekkel a közelítésekkel a Hamilton-operátort a

H = T + U +W =

N∑

i=1

(− ~2

2me∇2

i ) +

N∑

i=1

Uion(ri) + 1

2

N∑

i 6=j

Ue−e(ri − rj) (2.6)formában írhatjuk fel. A hullámfüggvény (2.1) egyenletben lev® kifejezésében az ionoktólvaló függését elhagyva, a ψ(ri, si) alakra egyszer¶södik, ahol i = 1....N , de még ez iskezelhetetlenül sok szabadsági fokot jelentene, ahhoz, hogy az n(r) elektrons¶r¶ségetmeghatározzuk.2.1.2. A Hohenberg-Kohn-tételA sokrésze skés rendszernek a S hrödinger-egyenlettel történ® megoldásánál sokkal élravezet®bb ha valamilyen perturbatív vagy önkonzisztens eljárást alkalmazunk. Tho-mas és Fermi nevéhez köt®dik az els® olyan közelít® eljárás, amelyben az elektronoks¶r¶ségét használják fel, mint egy alapvet® mennyiség az elektronrendszer teljes energi-ájának meghatározásához [6. Modelljükben bármely elektron a többi elektron hatását sak átlagosan érzi, mint egy homogén háttérként. Az elektronok közti ki serél®désiköl sönhatást illetve az azon túlmen® korrelá iós járulékokat pedig elhanyagolták. Ez amodell viszont messzemen®kig nem bizonyult megfelel®nek a fémek elektronszerkezeti le-írásához. Hohenberg valamint Kohn által kidolgozott elmélet jelenti a s¶r¶ségfunk ionál-elmélet alapját [7, amely sikeresnek bizonyult a fémek elektronszerkezeti leírásához.Hohenberg és Kohn két alapvet® tételben fogalmazta meg a köl sönható elektron-rendszer alapállapoti energiája és az elektronok s¶r¶sége közötti egyértelm¶ kap solatot:

2.1. A s¶r¶ségfunk ionál-elmélet 81. Tétel. Egy küls® Uext(r) poten iálban mozgó köl sönható része skék tetsz®leges rend-szerének alapállapoti n0(r) s¶r¶sége egyértelm¶ kap solatban áll a küls® poten iállal. Te-hát egyensúlyban minden zikai mennyiséget meghatároz az alapállapoti s¶r¶ség. 7→Uext(r) ⇔ n0(r)2. Tétel. Deniálható egy E[n] funk ionálja a s¶r¶ségnek mely tetsz®leges küls® poten- iálra érvényes. Egy adott Uext(r) küls® poten iálra az E[n] funk ionált a köl sönhatórendszer alapállapoti n0(r) s¶r¶sége globálisan minimalizálja. 7→ δE[n]|n0 = 0Az els® tétel értelmében tehát minden mérhet® mennyiség alapállapoti várható értékeegyértelm¶ kap solatban áll az alapállapoti s¶r¶séggel, a második tétel pedig azt jelenti,hogy az energia, mint a s¶r¶ség funk ionálja a tényleges alapállapoti s¶r¶ségnél veszifel minimumát. A tétel tetsz®leges küls® poten iálra igaz, de a mi esetünkben a küls®poten iált az elektronoknak az ionokkal való köl sönhatása jelenti.Így, mivel a hullámfüggvény egyértelm¶ funk ionálja a s¶r¶ségnek, a része skékközötti köl sönhatást pedig adottnak véve, az elektronok kinetikus energiáját és egymásközötti köl sönhatását tartalmazó

F [ne(r)] ≡ 〈ψ0|T +W |ψ0〉 (2.7)mennyiség egyértelm¶ funk ionálja az ne(r) s¶r¶ségnek. Valamint az egyrésze skés po-ten iál járulékát is tartalmazóE[ne(r)] = F [ne(r)] + ∫ Uion(r)n(r)dr (2.8)energia is egyértelm¶ funk ionálja a s¶r¶ségnek.2.1.3. Kohn-Sham-egyenletekEgy évvel az áttör®nek számító Hohenberg-Kohn-tétel megjelenése után, mely sze-rint az elektronok s¶r¶sége, mint egy alapvet® mennyiség jelenik meg, Kohn és Shammutatta meg el®ször, hogy hogyan lehet az elektronrendszer alapállapotát meghatározni[8. Láttuk, hogy a Hohenberg-Kohn-tétel alkalmazása után a sokrésze skés feladata fenti (2.8) egyenlettel megadott funk ionálnak a meghatározására redukálódik, amiigen nehéz feladat, ezért ezt egyrésze skés feladatra vezethetjük vissza a Kohn-Sham-egyenletek segítségével. Kohn és Sham feltételezése szerint létezik egy ktív, köl sönnem ható rendszer, mely egy Us(r) egyrésze skés poten iál jelenlétében ugyanazt a -zikai s¶r¶séget adja. Ennek a köl sön nem ható segédrendszernek a része skéi az egy-része skés S hrödinger-egyenletnek tesznek eleget, a s¶r¶séget pedig az egyrésze skés

9 2. FEJEZET Elméleti háttérfüggvényekb®l azne(r) = N

∑

i=1

|φi(r)|2 (2.9)összefüggéssel kapjuk, ahol az összegzést a legala sonyabb állapotokra végezzük. A köl- sön nem ható rendszer teljes energia funk ionálja eltér az igazi E[ne(r)] funk ionáltól.Az ezekb®l ered® korrek iókat nevezzük együttesen ki serél®dési-korrelá iós energiánakés Exc[ne(r)]-rel jelöljük. Kohn és Sham feltételezései alapján tehát az energia, mint azelektrons¶r¶ség funk ionálja:E[ne(r)] = 〈ψs|T |ψs〉+

∫

Uion(r)n(r)dr+ e2

8πǫ0

∫ ∫

ne(r)ne(r′)|r− r′| drdr′ + Exc[ne(r)].(2.10)A Hohenberg-Kohn-tétel szerint ennek a helyes alapállapoti s¶r¶ségnél van minimuma,ami akkor van a helyes ne(r) s¶r¶ségnél, ha

Us(r) = Uion(r) + e2

8πǫ0

∫

ne(r)|r− r′|dr+ Uxc[ne(r)], (2.11)ahol

Uxc[ne(r)] = δExc[ne(r)]δne(r) . (2.12)Ha tehát az egyrésze skés problémában a poten iált így választjuk, akkor az igazi sok-része skés rendszer alapállapotában a s¶r¶ség azonos a (2.9)-ben lev® kifejezéssel, és ígya s¶r¶ség ismeretében a rendszer teljes alapállapoti energiáját megadhatjuk.Megjegyezzük, hogy a fentiekben leírt s¶r¶ségfunk ionál-elméletnek létezik relati-visztikus esetre való kiterjesztése is [13, melynek során a Kohn-Sham-Dira -egyenlethezjutunk. A relativisztikus leírásmód azoknál az anyagoknál lényeges, ahol a relativisztikusjelenségek, mint például a spin-pálya satolás nem elhanyagolható nagyságúak. Ilyenleírásmódot a mágneses anyagoknál szükséges használni. Ebben az estben az elektron-rendszer Hamilton-operátorát a Dira Hamilton-függvénnyel írhatjuk le, melynek pozitívenergiás megoldásai adják a lehetséges energiaszinteket:

H = −icα∇+ βmc2 − ecβγµAµ + Uext(r), (2.13)ahol Aµ(µ = 0, 1, 2, 3) a vektor poten iál, α, β, γµ a megfelel® 4×4-es Dira mátrixok, c afénysebesség valamint Uext(r) a küls® poten iált jelöli. Hasonlóan a nem relativisztikusesethez az energia funk ionál minimalizálása révén a Kohn-Sham-Dira -egyenletekhezjutunk:(

− icα∇ + βmc2 + Uext(r) + Uxc +eµ0

2mΣ ·Beff (r)

)

ψk(r) = ǫkψk(r), (2.14)

2.1. A s¶r¶ségfunk ionál-elmélet 10ahol az eektív mágneses térBeff (r) = Bext(r) +Bxc(r) (2.15)a küls® mágneses tér és a ki serél®dési korrelá iós mágneses tér összegeként írható fel a

σ Pauli-mátrixokkal:Σ =

(

σ 0

0 σ

)

2.1.4. A lokális s¶r¶ség közelítésA Kohn-Sham-egyenletek egy egzakt megoldási módszert ad, azonban alkalmazásasorán eddig nem említettük meg, hogy hogyan válasszuk meg az Exc[ne(r)] mennyiségetés annak funk ionál deriváltját, az Uxc[ne(r)] funk ionált. Az olyan rendszerekben, aholne(r) lassan változik, azt várjuk, hogy ki serél®dési-korrelá iós energia elég jó közelítés-ben sak a lokális s¶r¶ség függvénye:

Exc[ne(r)] = ∫ ne(r)εxc(ne(r))dr. (2.16)A ki serél®dési és korrelá iós energia εxc(ne(r)) s¶r¶ségére különböz® interpolá iós for-mulákat szoktak feltenni. Ezt a közelítést lokális s¶r¶ség közelítésnek (LDA-Lo alDensity Approximation) nevezzük. A leggyakrabban alkalmazott interpolá iós formu-lák közé tartozik S. H. Vosko, L. Wilk és M. Nusair interpolá iós formulája valamint azennél valamivel egyszer¶bb, J. P. Perdew és A. Zunger által javasolt alak [9, 10. Ittjegyezzük meg, hogy a számolások során az általunk használt interpolá iós formula D.M. Ceperley és B. J. Alder nevéhez f¶z®d® interpolá iós formula volt [11.A spinfüggést is gyelembe vev® spins¶r¶ségfunk ionál-módszerben hasonló közelí-tést alkalmazhatunk, ez az úgynevezett lokális spins¶r¶ség közelítés(LSDA). Ilyenkor aki serél®dési-korrelá iós energiát azExc[n↑(r)n↓(r)] = ∫ ne(r)εxc[n↑(r)n↓(r)]dr (2.17)alakban írhatjuk sak a itt az εxc[n↑(r)n↓(r)] s¶r¶ségre sokkal bonyolultabb kifejezéslétezik, mint a spinfüggetlen esetben.

11 2. FEJEZET Elméleti háttér2.2. Kohn-Sham-egyenletek megoldásai2.2.1. A megoldás általános lépéseiA Kohn-Sham-egyenletek révén egy olyan önkonzisztens módszer adódik a köl sön-ható elektronrendszer teljes energiájának meghatározásához, amit numerikus számolá-sokkal el lehet végezni. A megoldás egyes lépéseit a 2.1. ábra mutatja, ahol a sötétteljelzett terület jelzi a megoldás kul sfontosságú lépéseit. A számolás els® lépéseként azelektrons¶r¶ségre teszünk fel egy kezdeti alakot, majd ebb®l a függvényb®l kiindulvaaz eektív poten iált meghatározhatjuk, amit az egyrésze skés S hrödinger-egyenletbebeírva és megoldva egy új n(r) s¶r¶séget kapunk. Ezt az iteratív megoldást addigfolytatjuk míg nem konvergál a két s¶r¶ség. Általában a kezdeti valamint az eljáráslépéséb®l kapott hullámfüggvényb®l kevert alak kerül be újra az iterá ió els® lépésekéntfeltett elektron s¶r¶ség kifejezésébe [14.∫ +

−+= )]r([

|'rr|)r(

)r()r( 2exc

eions nUdr

neUU

)r()r()r(2

)( 22

jjjU

m s φεφ =+∇− h

∑=

=N

jj rrn

1

2|)(|)( φ

Effektív potenciál előállítása

Kohn-Sham egyenlet megoldása

Új elektronsűrűség kiszámítása

Kezdeti elektron s űrűség: )r('n

Konvergencia vizsgálat

Igen

Fizikai mennyiségek

számolása

Nem

Az új és régi elektron

sűrűségek keverése

∫ +−

+= )]r([|'rr|

)r()r()r( 2

exce

ions nUdrn

eUU

)r()r()r(2

)( 22

jjjU

m s φεφ =+∇− h

∑=

=N

jj rrn

1

2|)(|)( φ

Effektív potenciál előállítása

Kohn-Sham egyenlet megoldása

Új elektronsűrűség kiszámítása

∫ +−

+= )]r([|'rr|

)r()r()r( 2

exce

ions nUdrn

eUU

)r()r()r(2

)( 22

jjjU

m s φεφ =+∇− h

∑=

=N

jj rrn

1

2|)(|)( φ

Effektív potenciál előállítása

Kohn-Sham egyenlet megoldása

Új elektronsűrűség kiszámítása

Kezdeti elektron s űrűség: )r('n

Konvergencia vizsgálat

Igen

Fizikai mennyiségek

számolása

Nem

Az új és régi elektron

sűrűségek keverése

2.1. ábra. A Kohn-Sham-egyenlet megoldásának lépéseit szemléltet® folyamat ábra

2.2. Kohn-Sham-egyenletek megoldásai 122.2.2. Korringa-Kohn-Rostoker-eljárás alap gondolataA Kohn-Sham-egyenletek megoldásának egyik módja a többszörös szórás elméle-ten alapuló modell használata. Ekkor a periodikus poten iálban létrejöv® állapotokraJ. Korringa, W. Kohn és N. Rostoker nyomán úgy is tekinthetünk, mintha az elektronállapotok az atomi poten iálokon való sokszoros szórás következtében alakulnának ki[15, 16, amint azt a 2.2. ábra is szemlélteti. A nevükb®l származó KKR-módszer aszórás elméletb®l köl sönzött eljárásokat használ, ezért többszörös szórás elméletének isnevezik. Az eljárást Green-függvényekkel is meg lehet fogalmazni, így Green-függvényeste hnikának is hívják. A többszörös szórás megoldásánál az atom poten iáljának alak-jára a következ®kben feltesszük, hogy gömb alakú, azonban meg kell jegyezni, hogy mamár léteznek olyan Green-függvényes módszerek is, úgynevezett teljes poten iál mód-szerek, amelyekben nem kell ilyen megkötést tenni az atomi poten iálokra [12.A gömbi atomi poten iálokat többféleképpen modellezhetjük. Az egyik ilyen gömbipoten iál például a mun-tin (MT) poten iál, amelyr®l akkor beszélünk ha a poten iál sak az atomok körül egy rMT sugarú, a Wigner-Seitz- ellánál kisebb sugarú gömbön be-lül változik lényegesen és az egyes atomi poten iálok közötti tartományt egy konstanssalközelíthetjük, formálisan ezt az alábbi alakban írhatjuk:VMT (r) =

V (r) r ≤ rMT

VMT = konstans r > rMT .A másik poten iál modellezési lehet®ség, ha a teljes poten iált továbbra is gömbszim-metrikus atomi poten iálok összegeként írjuk fel, azonban a a gömb sugarát a Wigner-Seitz- ella belsejébe írható mun-tin gömb sugara helyett akkorára választhatjuk, hogya gömb térfogata megegyezzen a Wigner-Seitz- ella térfogatával. Bár ezek a gömbök át-fednek, az átfedés elég ki si ahhoz, hogy a hatását elhanyagoljuk. Ekkor ezt atomigömb-közelítésnek (ASA-Atomi Sphere Approximation) nevezzük, a hozzá tartozó gömb su-garát pedig rASA-val jelöljük. Megjegyezzük, hogy réteges rendszerek szóráselmélet-tel történ® leírásánál az ASA-gömb választása szükséges, ezt majd az árnyékolt KKR-módszer leírásánál fogjuk jobban látni, ezért a továbbiakban a szóráselmélet leírásakorASA-gömböket használunk.A KKR-módszer alap gondolatát szemléletesen a mun-tin gömbök alkalmazásamellett érthetjük meg könnyen (2.2. ábra). A teljes rendszer elektronszerkezeténekmeghatározását két lépésben végezzük el. Els® lépésként az atomi törzshöz közeli tar-tományban, az elemi ellán belül oldjuk meg az ottani poten iál jelenlétében az elekt-ronállapotok problémáját. Az ilyen módon izoláltnak képzelt rendszert beágyazzuk egy

13 2. FEJEZET Elméleti háttér

2.2. ábra. A többszörös szórás szemléltetése mun-tin poten iálok esetén. Az ábraalján a piros szaggatott vonal mentén lev® poten iálkonstruk ió szerepel vázlatosan.szabad elektron környezetbe, ugyanis a mun-tin gömbön kívül a poten iált zérusnak(vagy konstansnak) vesszük, amelynek megoldása a szabad Green-függvénnyel írható le.Ezt az egyszeres szórási problémát oldjuk meg úgy, hogy illesztjük a mun-tin gömbönbelüli valamint azon kívüli hullámfüggvényeket. A megoldásban, nem relativisztikusesetben megjelenik a be és kiszóródó hullám közötti δl(ǫ) fázistolás, ahol l az impulzus-momentumot jelöli. A fázistolás felhasználásával deniálhatjuk a t-mátrixot az alábbiformában [17tl(ǫ) = − 1√

ǫsin δl(ǫ)e

iδl(ǫ). (2.18)Második lépésként a teljes rendszer elektronállapotainak meghatározásához az egyszeresszórok közötti tartomány illesztését végezzük el a többszörös szóráselmélet felhasználá-sával. A többszörös szóráselméletben a t-mátrix a szóró poten iállal reprezentálható. Aszabad elektron terjedését az egyes szóró poten iálok között a szabad elektron G0(r, r′, ǫ)Green-függvényével írhatjuk le. Ennek két entrum kifejtéséb®l megkapjuk az úgyneve-zett struktúra konstanst Gnm

0 (ǫ), ahol n és m a rá sindexre utal. A struktúra konstans,mint ahogyan az elnevezés is utal rá, a ellák térbeli elrendez®désére vonatkozólag adinformá iót. A többszörös szórás leírásakor a határfeltétel az, hogy bármelyik mun-tinpoten iálra bejöv® hullám egyensúlyt tart az összes többi szórt hullámmal, a többszörösszórás folyamatát pedig a τnm(ǫ) szórás úthossz operátor jellemzi [18. A következ®kbenbemutatjuk ezeket az alapvet® mennyiségeket b®vebben is, bár egy teljes leírásmódotilyen terjedelemben közel képtelenség adni, de részletes irodalmi hivatkozást adunk azegyes mennyiségekhez. Az alapvet® formulák vázlatos bemutatása azonban szükséges azeljárás részletesebb ismertetéséhez.

2.2. Kohn-Sham-egyenletek megoldásai 142.2.3. Egyszeres szórást leíró mennyiségekAmint azt el®bb említettük, els® lépésként egyszeres szórás problémát kell numeri-kusan megoldani az n. rá spontban. Ennek az egyszeres szórási problémának a ψn(r, ǫ)energiafügg® megoldását izolált V n(r) poten iál mellett a Lippmann-S hwinger egyen-lettel írhatjuk fel [22, 23:ψn(r, ǫ) = ψ0(r, ǫ) +

∫

Ωn

d3r′G0(r, r′, ǫ)V n(r)ψn(r, ǫ) (2.19)ahol ψ0(r, ǫ) a szabad elektron, vagyis a nem perturbált rendszer hullámfüggvénye, ame-lyet ψ0(r, ǫ) = eikr alakban írhatunk fel V n(r) = 0 poten iál mellett. A szabad elektronGreen-függvényét az alábbi egyenlet adja meg [23:

G0(r, r′, ǫ) = −e

−i√ǫ|r−r′|

4π|r− r′| (2.20)Gömbi poten iál feltételezése esetén, vagyis, amikor a poten iál egy rmax sugarúgömbön kívül zérus vagy állandó értéket vesz fel, a szórási probléma megoldását impul-zusmomentum reprezentá ióban írhatjuk fel,ψnL(r, ǫ) = Rn

l (r, ǫ)YL(r), (2.21)ahol Rnl (r, ǫ) a radiális hullámfüggvényt, valamint YL(r) a gömbi harmonikus függvénytjelöli, az indexben szerepl® impulzusmomentum pedig bevezettük az L = (l, m) jelölést.A radiális hullámfüggvény aszimptotikus alakjára a szabad elektron Green-függvényénekimpulzusmomentumbeli kifejtéséb®l a következ®t kapjuk [23:

Rnl (r, ǫ) = jl(

√ǫr)− i

√ǫh+l (

√ǫr)tnl (ǫ), (2.22)amely a radiális S hrödinger-egyenlet reguláris megoldását adja az r ≥ rmax tartomány-ban. A fenti kifejezésben a jl valamint h+l Bessel és Hankel függvények mellett megjelenika tnl (ǫ) egyszeres szórás mátrixa is, amely a V n(r) poten iálon való szóródást jellemzi ésmeghatározza a bejöv® és a szórt hullám közti fázistolást. Az irreguláris megoldást a

Hnl (r, ǫ) = h+l (

√ǫ, r) (2.23)összefüggés adja. A radiális S hrödinger-egyenlet irreguláris valamint reguláris megoldá-sainak felhasználásával a megfelel® egyszeres szórást megadó Green-függvényre kapunkkifejezést

Gn0 (r, r

′, ǫ) = −i√ǫ∑

l

Rnl (r<, ǫ)H

nl (r>, ǫ), (2.24)

15 2. FEJEZET Elméleti háttérbevezetve a | r<(>) |= min(max)(| r |, | r′ |) jelölést. Ezzel teljesen ekvivalens leírásmódot ad, hogyha az el®bb látott reguláris valamint irreguláris megoldást az alábbiformában írjuk fel:Zn

l (r, ǫ) = jl(√ǫr)tnl (ǫ)

−1 − i√ǫh+l (

√ǫr), (2.25)

Jnl (r, ǫ) = jl(

√ǫ, r). (2.26)E két jelölésmód sak konven ió kérdése, a fenti egyenletekb®l látszik, hogy a kett®között kap solatot a Zn

l = Rnl (t

nl )

−1 és Jnl = Rn

l + i√ǫHn

l tnl összefüggések adják, atovábbiakban mi is ezt a jelölésmódot fogjuk alkalmazni.2.2.4. Többszörös szórás leírásaAhelyett, hogy a fent is tárgyalt Lippmann-S hwinger egyenletb®l kapott hullám-függvényt illesztenénk a megfelel® határfelületekhez, sokkal élravezet®bb és egyszer¶bbmódszer, ha az egyes szórópoten iálokat megadó Green-függvényt az egyszeres szórásGreen-függvényének felhasználásával a Dyson-egyenlettel írjuk le [17, 22, 23,

Gn(ǫ) = G0(ǫ) +G0(ǫ)VnGn(ǫ). (2.27)Miután az egyszeres szórás tnl (ǫ) t-mátrixának segítségével tudjuk elvégezni az Rn

l (r, ǫ)reguláris megoldás illesztését az rmax helyen, ezért egy expli it összefüggést írhatunk fela tn(ǫ) és Gn(ǫ) között [22, 23:Gn(ǫ) = G0(ǫ) +G0(ǫ)t

n(ǫ)G0(ǫ). (2.28)Hasonló egyenlet adja meg tetsz®legesen sok entrum Green-függvényét is:G(ǫ) = G0(ǫ) +G0(ǫ)V G(ǫ)

= G0(ǫ) +G0(ǫ)T (ǫ)G0(ǫ), (2.29)amib®l észrevehetjük, hogy az az egyszeres szórást leíró tn(ǫ) operátorral valamint azegyes entrumok közötti terjedést leíró G0(ǫ) szabad elektron Green-függvénnyel a teljesrendszert fel tudjuk bontani a T -mátrix segítségével. A szórási probléma leírásáhozezért a T -mátrixszal egy úgynevezett τnm(ǫ) szórási út operátort (SPO- S attering PathOperator) használhatunk [18:T (ǫ) =

∑

nm

τnm(ǫ), (2.30)

2.2. Kohn-Sham-egyenletek megoldásai 16ahol τnm(ǫ) írja le az össze szórási eseményt amely az n. helyre bejöv® hullámmal az m.helyig történik. Ezt a folyamatot leíró egyenletet impulzusmomentum reprezentá iórais ki lehet terjeszteni és így mátrix alakban az alábbi formában írhatjuk [18:τnm(ǫ) = tn(ǫ)δnm +

∑

k 6=n

tn(ǫ)G0(ǫ)τkm(ǫ), (2.31)ahol az aláhúzott mátrix jelöli az impulzusmomentum indexszel is rendelkez® mátrixotmegkülönböztetésül. Véges rendszerek esetén a τ mátrix meghatározása egy mátrixinverziós egyenletre vezet [19:

τ(ǫ) = [t(ǫ)−1 −G0(ǫ)]−1. (2.32)A fenti egyenletben még deniálhatunk egy M = [t(ǫ) − G0(ǫ)] mátrixot, amelyet va-lós térbeli KKR-mátrixnak is szoktak nevezni. A dupla aláhúzás jelöli, hogy a mátrixmind impulzusmomentumtól, mind pedig rá shelyt®l függ. A 2.32. egyenlettel felírtinverznek véges rendszerre egzakt megoldása létezik. A mátrix méretét nyilvánvalóanmeghatározza egyrészt, hogy mekkora rendszert vizsgálunk, másrészr®l az, hogy az im-pulzusmomentum szerinti kifejtésben mennyi elektron pályát veszünk gyelembe.2.2.5. Állapots¶r¶ség és a Green-függvényAz egyszeres valamint a többszörös szórási probléma megoldásával a retardált egyelektron Green-függvény két entrumú kifejtését, itt nem részletezett, ki sit hosszadal-masabb számolások után az alábbi formában írhatjuk fel [20, 21:

G(r+Rm, r′ +Rn, ǫ) =∑

L,L′

ZnL(r, ǫ)τmn

LL′(ǫ)ZmL′(r′, ǫ)× − δnm

∑

L

ZnL(r<, ǫ)Jn

L(r>, ǫ)×,(2.33)ahol r, r′ az n. illetve m. entrum körüli koordináták, a fels® indexben szerepl® ×a konjugálást jelöli és r< = min(r, r′), r> = max(r, r′). Észrevehetjük, hogy a fentikifejezésben az indexben L szerepel, holott a (2.24) egyenletnél látott egy entrumúGreen-függvény alakjában mindvégig l indexet használtunk. A két jelölésmód között azfL(r, ǫ) ≡ fl(r,

√ǫ)YL(r) (fl = jl, h

+l ), (2.34)valamint

τnmLL′ =

∫

d3rn

∫

d3rmjL′(ǫ, rn)×τnm(ǫ)jL(ǫ, rm) (2.35)

17 2. FEJEZET Elméleti háttérdení ióval kapunk egy kap solatot. Ezekkel a jelölésekkel mind az egy entrumú, mindpedig a több entrumú kifejtésben áttérhetünk az L indexre. Tekintve, hogy az így ka-pott Green-függvény az n. valamint m. koordinátájú rá spontot köti össze, ezért struk-túra konstansnak hívjuk. A rendszert jellemz® zikai mennyiségeket a valós energi-ákra értelmezett Green-függvény segítségével tudjuk kiszámolni. Ilyen alapvet® zikaimennyiség például az állapots¶r¶ség és a része ske s¶r¶ség vagy akár a mágneses s¶r¶ségis. Általánosan, bármely zikai mennyiség várható értékét felírhatjuk az〈A〉 = −1

π

∫ ∞

−∞dǫf(ǫ) Tr(AG+(r, r, ǫ)) (2.36)alakban, ahol G+(r, r, ǫ) a Green-függvény pozitív energiás megoldásait jelöli, f(ǫ) aFermi-függvény. Amennyiben a fenti kifejezésbe az A helyére az I identitás mátrixotírjuk, akkor az elektronok számát kapjuk meg:

〈N〉 = −1

πIm

∫ ∞

−∞dǫf(ǫ) TrG+(r, r, ǫ). (2.37)A fenti egyenletb®l az állapots¶r¶séget könnyen ki tudjuk olvasni:

n(ǫ) = −1

πImTrG+(r, r, ǫ), (2.38)vagy másképpen

n(ǫ) = −1

π

∫

Ωn

d3r Im(G+(r, r, ǫ)). (2.39)Hasonló módon a része ske s¶r¶séget is fel tudjuk írni:ρ(r) = −1

π

∫ ǫF

dǫ Im(G+(r, r′, ǫ)). (2.40)A valós energiákra értelmezett Green-függvényre pedig megmutatható a (2.33) egyen-letben szerepl® kifejezésb®l valós hullámfüggvények esetén, hogyImG+(rn +Rn, rn +Rn, ǫ) =

∑

LL′

ZnL(rn, ǫ) Im τnnLL′(ǫ)Zn

L′(rn, ǫ)+, (2.41)amib®l az állapots¶r¶ségre a (2.39) egyenlet alapján kapjuk:

n(ǫ) = −1

π

∫

d3r ImG+(r, r, ǫ) = −1

π

∑

n

∫

d3rn ImG+(rn +Rn, rn +Rn, ǫ). (2.42)A fenti egyenletbe beírva a valós energiákra felírt Green-függvény (2.41) egyenletbenszerepl® alakját,n(ǫ) = −1

π

∑

n

tr(F n(ǫ) Im τnn(ǫ)), (2.43)

2.3. Réteges rendszerek és szennyez®k számolása 18ahol a tr jelölés az impulzusmomentumok összegzésére vonatkozik valamint bevezettükazF nLL′ =

∫

d3rnZnL(ǫ, rn)

+ZnL(ǫ, rn), (2.44)a megfelel® szórási probléma reguláris megoldásait megadó mátrixok szorzatának integ-rálját.Fontos azonban megjegyezni, amint az a fentiekb®l is kiderült, hogy az állapot-s¶r¶ség illetve része ske s¶r¶ség felírásakor elegend® az egyenletekben szerepl® τ SPO-mátrixnak sak a diagonális elemeit meghatározni. Az elektronszerkezet feltérképezéséreaz állapots¶r¶ségnél létezik egy sokkal részletesebb informá iót hordozó mennyiség, az

A(ǫ,k) Blo h-spektrál függvény, amely az állapots¶r¶séggel a [20n(ǫ) =

1

ΩBZ

∫

ΩBZ

d3kA(ǫ,k) (2.45)kap solatban van ésA(ǫ,k) = −1

π

∑

L

Fl(ǫ) Im τ 00LL(ǫ,k), (2.46)alakban írható [20, 17, 53. Ennek a mennyiségnek a továbbiakban fontos szerepe lesz azelektron állapotok feltérképezésében, ugyanis teljesen rendezett rendszerek esetén Dira -delták összességeként áll el®. Ezek a δ(ǫ − ǫk) adják az elektron állapotokhoz tartozóǫk diszperziós relá iót. A Blo h-spektrál függvény alakjában lev® τ mátrix diagonáliselemeit jelöli az egyszer¶ség kedvéért a τ 00LL kifejezés, valamint

Fl(ǫ) =

∫ SASA

0

r2drZl(ri, ǫ)2, (2.47)a reguláris megoldások ASA gömbre vett integrálja.2.3. Réteges rendszerek és szennyez®k számolása2.3.1. Rétegek leírása Green-függvényes te hnikávalA Green-függvénnyel történ® leírásmód legnagyobb el®nye, hogy olyan félvégtelenrendszerek leírása válik lehet®vé, amelynek segítségével réteg rendszerek számolását pe-riodikus határfeltételek alkalmazása nélkül tudjuk elvégezni. A rétegek számolására ki-fejlesztett egyik módszer az úgynevezett árnyékolt vagy az angol elnevezésb®l származóSKKR (S reened KKR)-módszer a félvégtelen rendszerek leírására adott megfelel® ésviszonylag könnyen kezelhet® leírásmódot [78, 79. Megjegyezzük, hogy a szoros kötés¶

19 2. FEJEZET Elméleti háttérmodellekkel (Tight Binding) való analógia miatt ezt az eljárást TB-KKR-módszernek isszokták nevezni.Rétegek esetén a három dimenziós eltolási invarian ia sérül, például ha a rétegünkaz xy-síkban helyezkedik el, akkor ez a szimmetria a z irányban sérül. Éppen ezért amegfelel® zikai mennyiségeknek sak a két dimenziós Fourier-transzformáltját tudjukfelírni. A réteg rendszert a legegyszer¶bben két dimenziós rá svektorokkal építhetjükfel, jelölje L|| azon rá svektorok összességét amely a réteg két dimenziós vektoraiból áll.A rendszert leíró rá svektort ideális rá sszerkezet esetén azRm = cp +Ti , cp = pc0, (2.48)alakban írhatjuk fel, ahol Ti ∈ L|| és cp a p. réteg generáló vektora, amellyel a különböz®rétegek rá spontjait egymással fedésbe hozhatjuk. Nem ideális rendszert is leírhatunkebben a formában, azzal a különbséggel, hogy a réteg generáló vektora, cp egy tetsz®-legesen megadott vektor lehet, nem kell a fenti egyenl®ségnek teljesülnie. A p. rétegheztartozó rá svektorok összességére pedig vezessük be ezek alapján a

Lp ≡ Rm|Rm = cp +Ti, Ti ∈ L|| (2.49)jelölést, ahol a p index utal a réteg sorszámára, így a továbbiakban az ennek megfelel®indexet réteg indexnek fogjuk hívni. A valós térbeli Green-függvény vagy a más névenvalós térbeli struktúra állandót (az irodalomban leginkább ezzel az elnevezéssel lehettalálkozni) réteg indexekkel jelölve Rm = cp +Ti és Rn = cq +Tj eseténG0(cp +Ti − cq −Tj) ≡ Gpq

0 (Ti −Tj) = G0(Rm −Rn) = Gmn0 . (2.50)Miután Gpq

0 (Ti−Tj) sak a Ti−Tj különbségt®l függ, a struktúra állandó két dimenziósrá s Fourier-transzformáltját a következ®képpen deniálhatjuk:Gpq

0 (k||) ≡∑

Ti∈L||

Gpq0 (Ti)e

ik||Ti. (2.51)Bevezetve még a következ® jelölést is:Gpi,qj

0 = G0(cp +Ti, cq +Tj), (2.52)a valós térbeli struktúra állandót kifejezhetjük aGpi,qj

0 =1

ΩFBZ

∫

FBZ

d2k||Gpq0 (k||)e

−ik||(Ti−Tj) (2.53)

2.3. Réteges rendszerek és szennyez®k számolása 20formában, aholΩFBZ jelöli a két dimenziós (felületi) Brillouin-zóna (FBZ) térfogatát, va-lamint k|| ebben a két dimenziós Brillouin-zónában lev® re iprok rá svektor, ami egybenarra is utal, hogy az inverz Fourier-transzformáltat mindig a réteg síkjában értelmezzük,nem pedig arra mer®legesen. Réteges rendszerek esetén felírhatjuk a réteg indext®l isfügg® mátrixokat egy kompakt alakban:t = tpδpq, G0(k||) = Gpq

0 (k||) τ(k||) = τ pq(k||), (2.54)amelynek felhasználásával a (2.32) egyenletben felírt τ -mátrix inverzét megadó egyenle-tet az alábbi formában írhatjuk:τ (ǫ,k||) =

(

t(ǫ)−1 −G0(ǫ,k||)

)−1

. (2.55)A három dimenziós szabad elektron Green-függvény (2.20) egyenletben felírt alak-ját tekintve észrevehetjük, hogy vezet® rendben az 1/|r − r′| le sengés folytán hosszúhatótávolságú és emiatt felületek, vékony rétegek, tehát két dimenziós transzlá iós szim-metriával rendelkez® rendszerek esetén az SPO-mátrixnak a (2.55) egyenletben szerepl®invertálása egzaktul nem végezhet® el. Egyes módszerekkel, ilyen például a linearizáltmun-tin pályák módszer, a struktúra konstansok hatótávolsága térben lokalizálható[80, 81, de az SKKR-te hnika egy olyan konzisztens módszert ad, amellyel ezek a loka-lizáló transzformá iók elkerülhet®ek [78, 79, 77. Az elmélet alapját az képezi, hogy arendszer Green-függvény mátrixa felírható tetsz®leges referen ia rendszert használva. ADyson-egyenletb®l is megállapítható az, hogy nin sen semmilyen megkötés arra vonatko-zólag, hogy referen ia rendszerként mit válasszunk. A szabad elektron Green-függvényhelyett éppen ezért referen ia rendszerként választhatunk akár egy, az atomi hely körülitaszító poten iált is. Jelölje r index a referen ia rendszert, az ezt leíró Green-függvénymátrixot árnyékolt struktúra konstansnak nevezzük:Gr(ǫ,k||) = G0(ǫ,k||)[I−tr(ǫ)Gr(ǫ,k||)]

−1, (2.56)ahol tr(ǫ) a referen ia rendszer t-mátrixa, az árnyékolt t-mátrixot valamint az árnyékoltSPO-mátrixot az alábbi egyenletek adják meg:∆t = t(ǫ)− tr(ǫ), (2.57)

τ∆(ǫ,k||) = [∆t(ǫ)−1 −Gr(ǫ,k||)]−1. (2.58)Az árnyékolt KKR-módszer esetén referen ia rendszerként egy Vr(r) taszító poten- iált választunk, amely az atomi hely körül különbözik zérustól. Ezt a poten iált a tr(ǫ)

21 2. FEJEZET Elméleti háttérKristály Felület

V(r)

Vr

Vákuum

2.3. ábra. Az árnyékoló poten iál Vr(r) valamint a kristály poten iál sematikus rajza akristály belsejében, a felületen illetve a vákuum tartományban.mátrixszal reprezentálhatjuk. Ennek a taszító poten iálnak a kristály poten iáljávalvaló viszonyát mutatja sematikusan a 2.3. ábra, melyen jól látható az ASA-közelítésszükségessége, ugyanis a mun-tin gömbök közötti tartományt a felület közelében nemtudnánk egy konstanssal jellemezni. Általában a referen ia rendszert egy Vr ∼ 2 − 3Ry nagyságú, a leírni kívánt rendszer valen ia sávja felett elhelyezked® poten iál írjale. Ilyen taszító poten iál alkalmazásakor numerikusan kimutatható, hogy a referen- ia rendszer struktúra konstansa egy exponen iálisan le seng® viselkedést fog mutatni,ezáltal rövid hatótávolságú lesz [78, 79, 77. Ennek a módszernek másik nagy el®nyetovábbá, hogy a számolási id® jelent®sen megrövidül. Miután a rendszer számolásáhozmeg kell oldani a (2.55) egyenletben is felírt mátrix invertálást, ez a rendszer méretévelez O(N3atom) hatvánnyal is skálázódhat, ahol Natom az atomok számát jelöli. Beláthatóazonban, a gyorsan le seng® struktúra konstans folytán, hogy a struktúra konstansokblokk tridiagonális alakban írhatók, így egyszer¶ lineáris algebrai m¶veletek alkalmaz-hatóak az inverz diagonális blokkjainak meghatározásához [76. Ezáltal a számolási id®a mátrix méretével illetve a rétegek számával lineárisan skálázódik.Ebben a módszerben a rendszert három részre osztjuk szét, a középs® részt kétfélvégtelen tartomány fogja közre. Ez a felbontás a KKR-mátrixban (M = [t−1 − G0])is megjelenik:

M =

MB,B MB,I 0

M I,B M I,I M I,J

0 MJ,I MJ,J

Az indexben szerepl® bet¶k értelemszer¶en az egyes tartományokra utalnak. A B indexa bal oldali, I a középs®, valamint J a jobb oldali tartományt jelöli. Ahhoz, hogy a

2.3. Réteges rendszerek és szennyez®k számolása 22középs® részben lev® rendszer zikai tulajdonságait meghatározzuk, az alábbi inverziósegyenletet kell megoldani [78:τ∆I,I =

[

M I,I −M I,B(MB,B)−1MB,I −M I,J(MJ,J)

−1MJ,I

]

, (2.59)ahol belátható, hogy sak [(MB,B)−1]00 és [(MJ,J)

−1]n+1,n+1 elemek különböznek zérus-tól. A rendszernek ilyen módon történ® felbontását szemlélteti a 2.4. ábra, valamint azegyes tartományok a következ®képpen épülnek fel:bal oldali félvégtelen rész, amely tömbi atomokból épül fel (B) ,középs®, véges méret¶ rész, amely tartalmazza a réteg és felület esetén az üres,vákuum gömböket (I) ,jobb oldali félvégtelen rész, amely felületnél vákuum atomokból épül fel (J).JB I

1. 2. N.

2.4. ábra. A réteges struktúra három részre osztása. A fekete valamint az üres körökaz atomi és a vákuum poten iálokat szimbolizálják, a középs® tartományban, a vizsgáltrendszert adó részben lev® gömbök megkülönböztetésül szürke színnel vannak jelölve.A számok a középs® tartományban elhelyezked® rétegek számozását jelentik.Az így felosztott tartományban az I alrendszer tartalmazza a rendszernek azon részét,amelynek zikai tulajdonságai minket érdekelnek, vagyis a számolni kívánt részt, ezáltalaz SPO-mátrixnak sak az erre a rendszerre vett vetülete kerül kiszámításra a (2.59)egyenletnek megfelel®en míg a két széls® tartomány (B és J) a szórási folyamatok ha-tárfeltételeit biztosítják. Az árnyékolt struktúra konstans le sengése folytán bevezethe-tünk egy úgynevezett alap réteget, amely n darab egymást követ® atomi rétegekb®l áll.Tesztszámolások alapján ezt az alap réteget tipikusan három atomi réteg vastagságú-nak választjuk [78, 79, ami elegend® pontossággal veszi gyelembe a struktúra konstansle sengését.

23 2. FEJEZET Elméleti háttérTekintve, hogy a középs® tartomány tartalmazza a zikai rendszert, így ennek mé-rete, a benne található rétegek száma az adott problémától függ. Abban az esetbentehát, ha arra vagyunk kíván siak, hogy egy adott zikai probléma a felülett®l távo-lodva hogyan változik, mint például a felületi állapot változása az egyes rétegekben,minél nagyobb rendszert, minél több réteget kell a középs® tartományban számolnunk.Tömbi tulajdonságok feltérképezésére természetesen elegend® kisebb rendszert vennünk.a)

[110]

[110]

x

y

x

[110]

[100]

y

b) c)

y

x

[110]

[110

]

a)

[110]

[110]

x

y

a)

[110]

[110]

x

y

x

[110]

[100]

y

[110]

[100]

y

b) c)

y

x

[110]

[110

]

c)

y

x

[110]

[110

]

(100)(110) (111)

2.5. ábra. Az elemi ella a három, különböz® irányú réteg esetén és az ezekhez tartozókoordináta rendszer.A számolások három, kristálytani szempontból lényeges irányokban illetve felülete-ken történtek lap entrált köbös rendszerben (Fa e Centered Cubi -FCC) . Ez a három,különböz® Miller-index¶ felület az (100), (110) és (111) felület. Az eredmények leírása-kor sokszor fogunk hivatkozni, hogy az egyes felületeken milyen irányt vizsgálunk illetve,hogy a két szennyez® közötti köl sönhatást milyen irányban nézzük, ezért a 2.5. ábramutatja FCC esetén a három különböz® irányú felülethez tartozó elemi ellát és az ahhoztartozó koordináta rendszert valamint a számolás szempontjából lényeges irányokat.2.3.2. A szennyez®k számolásaA szóráselméleti formalizmus valamint a réteg rendszerek leírásához használt mód-szer bemutatása után a következ®kben ismertetjük azt az eljárást, ami lehet®séget adfelületre illetve az egyes rétegekbe helyezett szennyez®k számolására periodikus határ-feltétel gyelembe vétele nélkül. A szennyez®t szubsztitú iós módon beágyazzuk a többiatom közé, ezáltal a szennyez® a réteg illetve kristály meghatározott helyein lehet sak.Nézzük el®ször azt az esetet, amikor sak egy darab szennyez® atomot ágyazunk be atöbbi atom közé. Ekkor tegyük fel, hogy az i0 helyen található szennyez® atom poten-

2.3. Réteges rendszerek és szennyez®k számolása 24 iálja V sz különbözik annak a rendszernek a V host poten iáljától, amibe a szennyez®tbeágyaztuk vagyis a teljes rendszer poten iálja:Vi(ri) =

V hosti (ri) i 6= i0

V szi (ri) i = i0,illetve rövidebb írásmódban:

Vi(ri) = V hosti (ri)(1− δii0) + V sz

i (ri)δii0 . (2.60)Megjegyezzük, hogy a fenti egyenletben szerepl® V hosti az egyes rá spontokon külön-bözhet is egymástól, de mi itt most sak azt tételezzük fel, hogy az egyes rétegekheztartozhat különböz® atomi poten iál. Hasonlóan a poten iálhoz, a t-mátrix is felírható:

ti(ǫ) =

tihost(ǫ) i 6= i0

tisz(ǫ) i = i0,Vezessük be az alábbi jelölést a megfelel® t-mátrixok inverzére vonatkozólag

∆ti(ǫ)−1 = (ti0

host(ǫ)−1 − tisz(ǫ)−1)δii0 . (2.61)A teljes rendszer SPO-mátrixát pedig az el®bb bevezetett jelölést felhasználva a követ-kez®képpen írhatjuk:

τ(ǫ) = τhost

(ǫ)[I−∆t(ǫ)−1τhost

(ǫ)]−1, (2.62)amit még kifejthetünkτ(ǫ) = τ

host(ǫ)[I +∆t(z)−1τ

host(ǫ) + ∆t(ǫ)−1τ

host(ǫ)∆t(ǫ)−1τ

host(ǫ) + · · · ] (2.63)alakban is. A 2.62 egyenletbe beírva a ∆t(ǫ)−1 mátrix (2.61) egyenlettel megadottdení ióját, az SPO-mátrixot az alábbi formában írhatjuk:

τ i0,i0(ǫ) = τ i0,i0host(ǫ)[I−(ti0host(ǫ)−1 − ti

sz(ǫ)−1)τ i0,i0host(ǫ)]−1. (2.64)A fenti kifejezés segítségével a szennyez® valamint a host atomok közötti szóródási fo-lyamatokat le tudjuk írni, azonban a szennyez® atom és a környezete közti köl sönhatástelhanyagoltuk. Azért, hogy ezt gyelembe tudjuk venni az el®bb tárgyalt módszert kikell terjeszteni tetsz®leges számú szennyez®k esetére is. Ekkor a szennyez® atomot kö-rülvev® poten iálokat különböz®nek tételezzük fel és a szennyez®vel együtt egy nagyobbklaszterként újra beágyazzuk a rendszerbe.

25 2. FEJEZET Elméleti háttérA szennyez® körüli környezet gyelembevétele azért is lényeges, miután egy szeny-nyez® önmaga körüli host atomok elektron szerkezetét megváltoztathatja. Ilyen meg-változás például mágneses szennyez® hatására a nem mágneses host atomon indukáltmomentum, vagy a szennyez® által a vákuum gömbökre leadott elektrons¶r¶ség. Aszennyez® valamint környezetét egy soportként illetve klaszterként kezeljük és tegyükfel, hogy ebben a klaszterben N darab atom található, ekkor a ∆t(ǫ)−1 dení iója alap-ján ebben az esetben:∆t(ǫ)−1ij =

∑

n∈CN

(tnhost(ǫ)−1 − tn

sz(ǫ)−1)δinδij , (2.65)ahol CN jelöli a klaszterben lev® N atom helykoordinátáit. Az így deniált ∆t(ǫ)−1mátrix ∞×∞ méret¶ lesz, amelynek N darab diagonális eleme különbözik zérustól,∆t−1(ǫ) =

. . . . . .. . . 0 0

0 ti1host(ǫ)−1 − ti1

sz(ǫ)−1 0

0. . . . . .. . . tiN

host(ǫ)−1 − tiNsz(ǫ)−1 0

. . .0 0. . . . . .

.

Helyettesítsük be a 2.65 kifejezést a 2.63-ba, így megkapjuk a teljes rendszer SPO-mátrixát:τ ij(ǫ) = τ ijhost(ǫ) +

∑

k∈CN

τ ikhost(ǫ)∆tk(ǫ)−1τ kjhost(ǫ)

+∑

l,m∈CN

τ ilhost(ǫ)∆tl(ǫ)−1τ lmhost(ǫ)∆tm(ǫ)

−1τmjhost(ǫ) + · · · . (2.66)Tekintve, hogy a klaszter áll egyrészt a szennyez® atomokból, másrészr®l a host atomok-ból, ezért a klaszter SPO-mátrixát külön is felírhatjuk:

τC(ǫ) = τChost

(ǫ)[IN×N −∆tC(ǫ)−1τ Chost

(ǫ)]−1, (2.67)aholτChost

(ǫ) ≡ τ ij(ǫ) i, j ∈ CN , (2.68)∆tC(ǫ)−1ij ≡ [ti

host(z)−1 − ti(ǫ)−1]δij i, j ∈ CN . (2.69)

2.3. Réteges rendszerek és szennyez®k számolása 26Vákuum

Szennyező

Hordozó

Vákuum

Szennyező

Hordozó2.6. ábra. Felületre helyezett szennyez® elhelyezkedése valamint a szennyez®t körülvev®hordozó és a vákuum atomok szemléltetése.Az el®z®ekben felírt formulák általános szennyez®kre vonatkoznak, a numerikusszámolások során azonban mágneses szennyez®ket vizsgáltunk. Megjegyezzük, hogymágneses szennyez®k esetére is kiterjeszthetjük a fentieket és ekkor a (2.14) egyenlettelfelírt Khon-Sham-Dira -egyenletet kell megoldani. A mágneses szennyez® momentumá-nak irányát pedig az egyenletben szerepl® Beff(r) mágneses téren keresztül állíthatjukegy adott irányba.Felületre helyezett szennyez® valamint az azt körülvev® atomok (host és vákuum)elrendezését mutatja sematikusan a 2.6. ábra, mely jelzi többek között azt is, hogy a szá-molás során nem kell gyelemebe venni semmilyen periodikus vagy egyéb határfeltételt,ami jelent®sen megkönnyíti a számolást. Ez a fent leírt módszernél is megállapítható,ugyanis a poten iálnak a megfelel® rá spontban történ® megváltozását szükséges sakmeghatározni a rendszer τ mátrixának kiszámításához. Összességében tehát azt mond-hatjuk, hogy egy tetsz®leges réteges rendszer illetve klaszter önkonzisztens számolásaegy kezdeti V0 poten iálból az alábbiak szerint történik:V0 → τ0(ǫ) → V1 → τ1(ǫ) → · · · → Vq → τq(ǫ) → · · · ,ahol τq(ǫ) és Vq az q. iterá ióban kapott SPO-mátrixot illetve poten iált jelöli. Az esetektöbbségében ugyanakkor, mint azt a Kohn-Sham-egyenletek megoldásánál is említettükitt is az egyes iterá iókban a megfelel® poten iálok keveréséb®l áll el® a következ® ite-rá ióhoz tartozó poten iál [14. Abban az estben, ha nem így tennénk, akkor az egyesiterá iókban az egyre növekv® töltés s¶r¶ség miatt divergálna ez az önkonzisztens eljá-rás [82. Az önkonzisztens számolás után a rendszerre kapott poten iál felhasználásávalmeg tudjuk határozni két vagy akár több szennyez® közötti köl sönhatást. Azonbanha gyelembe vesszük azt a tényt, hogy az egy atomra jutó teljes energia egy elektronrendszerben körülbelül 10 000 eV/atom nagyságrendbe esik, akkor ebb®l a köl sönha-

27 2. FEJEZET Elméleti háttértási energia meghatározása amelynek nagysága ehhez képest 10−5− 10−6, látható, hogyigen nehéz feladat lenne. Ezért az úgynevezett mágneses energia tételt használhatjukfel a köl sönhatási energia számolásához, amely értelmében a köl sönhatási energiát akülönböz® mágneses kongurá iók közötti sávenergia különbsége adja [83. Így, abbanaz esetben, ha a ki serél®dési köl sönhatást akarjuk számolni a két szennyez® között,akkor elegend® a két kongurá ió közötti nagykanonikus energia különbséget nézni,J(R) = Es(↑↑)− Es(↑↓), (2.70)ahol Es a sáv energia, amely T = 0 h®mérsékleten:Es =

∫ ǫF

ǫv

(ǫ− ǫF )n(ǫ)dǫ. (2.71)Az integrál a valen ia sáv aljáról (ǫv) a betöltöttségi szintet adó Fermi szintig (ǫF ) tart,az n(ǫ) pedig a megfelel® kongurá iókhoz tartozó állapots¶r¶ség. A ki serél®dési köl- sönhatás dení iójából látható, hogy J(R) < 0 esetén antiferromágneses, míg J(R) > 0esetén ferromágneses satolás jön létre a két szennyez® között.2.3.3. Ötvözetek leírása koherens poten iál közelítésbenÖtvözeteket az azokat alkotó atomok elrendez®dését®l függ®en alapvet®en két so-portba, rendezett valamint rendezetlen ötvözetekre bonthatjuk. Rendezetlenség egyrész-r®l kémiai rendezetlenséget jelenthet, az alkotó atomok véletlenszer¶en helyezkednek ela rá sban, másrészr®l mágneses rendszerekben a mágneses momentumok random el-oszlása is adhat rendezetlenséget. Attól függetlenül, hogy az ilyen módon rendezetlenrendszerben az atomok ideális rá shelyen ülnek, az eltolási invarian ia és így a Blo h-tétel is sérül. Az ötvözeteket még megkülönböztethetjük aszerint is, hogy helyettesítésesvagy intersti iós ötvözetr®l van-e szó. Intersti iós ötvözet akkor jön létre, ha az egyikalkotóelem atomja lényegesen kisebb a másiknál, és a kisebb atomok beférnek a nagyobbatomok közti (rá sközi) helyekre. Helyettesítéses ötvözeteknél az alkotó elemek atomjaihasonló méret¶ek, ezáltal a kristályrá sban egymást egyszer¶en helyettesíthetik.A koherens poten iál közelítés (CPA-Coherent Potential Approximation) a ren-dezetlen helyettesítéses ötvözetek átlagtér elmélete. A CPA-elmélet kifejlesztése el®ttsokféle módszer létezett az ötvözetek számolására. A legels® módszerben az atomi po-ten iálokra vonatkozólag végeztek átlagolást, ezt nevezzük virtuális kristály közelítés-nek, majd ennek egy továbbfejlesztett változatában a t mátrixok átlagolását végeztékel, ismertebb nevén ATA (Averaged t-matrix Approximation). A CPA-elmélet azonban

2.3. Réteges rendszerek és szennyez®k számolása 28ezeken is túl megy, ebben a módszerben a Green-függvénynek a kongurá iós átlagátképezzük. Ennek a módszernek a legnagyobb el®nye, hogy az átlagos Green-függvényértelmezésével a rendszer elektron szerkezetét le tudjuk írni (a rendszer Blo h-spektrálfüggvényét ennek felhasználásával tudjuk értelmezni).A CPA-elmélet tetsz®leges számú alkotóelemb®l álló ötvözetre alkalmazható, de azegyszer¶ség kedvéért vegyünk egy két komponens¶ ötvözetet. Ebben a két komponens¶rendszerben, AcB1−c tegyük fel hogy az A komponens cA = c kon entrá ióval, míg amásik, B komponens cB = (1 − c) kon entrá ióval van jelen. Az elmélet alap gondo-lata az, hogy ezt a két alkotóelemb®l álló ötvözetet egy eektív közegnek képzeljük el,amelynek zikai tulajdonsága nem változik abban az esetben ha az A atom illetve a Batom van az i. helyen. Az egyes alkotóelemek beágyazását ezáltal egymástól függetlenülelvégezhetjük, ezt szemlélteti a 2.7. ábra. Az ilyen módon képzett feltételes átlago-+ (1−c)c A B =

2.7. ábra. Koherens poten iál közelítés alap gondolatát szemléltet® ábra: az egyik alkotókomponens behelyezésével a CPA-közeg tulajdonsága nem változik.lást a KKR-módszerben az SPO-mátrixokkal három dimenziós eltolási invarian iávalrendelkez® rendszerek esetére meg lehet fogalmazni az alábbi formában [26, 27, 28:c〈τ ii(ǫ)〉A + (1− c)〈τ ii(ǫ)〉B = 〈τ ii(ǫ)〉. (2.72)Feltéve, hogy a vizsgált ella éppen a rendszer középpontjában helyezkedik el, vagyis

i = 0, ekkor a CPA-feltételt így is írhatjuk:cτ 00A (ǫ) + (1− c)τ 00B (ǫ) = τ 00c (ǫ), (2.73)vagy másképpen:cDA(ǫ) + (1− c)DB(ǫ) = 1, (2.74)ahol

Dα(ǫ) = [1 + τ 00c (ǫ)(t−1α (ǫ)− t−1

c (ǫ))]−1 α = A,B , (2.75)

29 2. FEJEZET Elméleti háttérvalamint az eektív közeg SPO-mátrixára a (2.32) egyenlet alapjánτ 00c (ǫ)

1

ΩBZ

∫

[t−1c (ǫ)−G(k, ǫ)]−1dk. (2.76)Megjegyezzük, hogy az így deniáltDα mátrixot szennyez® mátrixnak is nevezik, miutánez a mennyiség határozza meg, hogy az adott rá spontban éppen az egyik szennyez®atom, vagyis az ötvözet egyik komponense ül vagy sem. Ezzel a mátrixszal tehát azegyes SPO-mátrixokat az alábbi kompakt formában írhatjuk fel:

〈τ ij(ǫ)〉(i,α;j,β) = Dα(ǫ)τ ijc (ǫ)Dβ(ǫ), α, β = A,B , (2.77)illetve〈τ ii(ǫ)〉(i,α) = Dα(ǫ)τ 00c (ǫ) (2.78)ahol a (i, α) feltétel azt jelenti, hogy az i pozí ión egy α típusú atomot rögzítünk,valamint

Dα(ǫ) = [I+τ 00c (ǫ)(t−1α (ǫ)− t−1

c (ǫ))]−1, (2.79)Dα(ǫ) = [I + (t−1

α (ǫ)− t−1c (ǫ))τ 00c (ǫ)]−1. (2.80)A CPA-egyenletek iteratív megoldására számos módszer létezik [29, 30. Mindegyikbenközös, hogy az iterá ió els® lépéseként az ATA közelítést használják, mely szerint tCPA

start =

cAtA + cBtB. Az iterá ió végeredményében megkapjuk a kívánt tc(ǫ) mátrixot.Rétegek esetén is használható ugyanez az eljárás, ugyanakkor nem szabad gyelmenkívül hagyni azt a tényt, hogy felület illetve határréteg jelenléte folytán a kon entrá iókakár rétegenként is változhatnak. Ezáltal N darab réteg esetén, melyeket np számúkomponens cαp (α = 1, . . . np) kon entrá ió jellemez, a CPA-feltételt így írhatjuk fel:np∑

α=1

cαp 〈τ p0,p0(ǫ)〉p0,α = τ p0,p0c (ǫ) (p = 1, . . . , N). (2.81)A CPA-módszer széles körben alkalmazott és sikere a rendezetlen helyettesítésesötvözetek leírására annak köszönhet®, hogy olyan zikai mennyiséggel dolgozik, aminekátlagát egyszer¶en lehet képezni. Például, a Kohn-Sham-egyenletek egyrésze skés meg-oldásai nem átlagolhatóak, míg a Green-függvény és ezáltal az elektrons¶r¶ség illetveállapots¶r¶ség átlagolható mennyiségek.

3. fejezetFelületi állapot1932 elején jelent meg az els® ikk, On the possible bound states of ele trons on a rystal surfa e ímmel, melyben els®ként számoltak be arról, hogy a kristály felületén,az inverziós szimmetria sérülése folytán létrejöhet egy olyan elektronállapot, amelynekenergiaszintjei a felületen illetve annak közelében véges érték¶ek, a felülett®l távolodvapedig exponen iálisan le sengenek [32. Ezt az elektronállapotot a kés®bbiekben, a ikkszerz®jér®l, Igor Evgenievi h Tammról, Tamm-állapotnak nevezték. Tamm a legels® mo-delljében a kristály poten iáljának el®állítására az úgynevezett Kronig-Penney-modelltalkalmazta, melyben az atomi poten iálokat Dira -δ poten iálok összességeként írta fel,a felületet pedig egy véges érték¶ poten iál gáttal adta meg. A hullámfüggvények meg-felel® illesztése után jutott arra az eredményre, hogy felület közelében egy lokalizáltállapot jön létre. A felfedezését követ®en nagyon sok zikus elkezdett ezzel a témávalfoglalkozni, de egészen 1939-ig egyik®jük sem tudta megmondani, hogy a felületi állapotlétrejötte az atomi pályáktól, illetve az elektronszerkezett®l hogyan függ. Sho kley voltaz els®, aki az atomi pályák átfedésével tudta értelmezni a felületi állapotokat, eredmé-nye folytán a mai napig az átmeneti fémek és a félvezet®k felületén található felületiállapotokat Sho kley-állapotnak nevezzük [47. A felületi állapot f®ként a félvezet® hete-rostruktúrák esetében kapott nagyobb jelent®séget, de ma már számos kísérleti valamintszámolási eredményt is lehet találni a megfelel® orientá iójú fémek felületén kialakuló fe-lületi állapotokról, amelyeknek térbeli kiterjedése néhány atomi réteg vastagságú részrekon entrálódik.Fémek különböz® orientá iójú felületén található felületi állapotok egy érdekes ha-tása, mint majd látni fogjuk, a felületre helyezett mágneses szennyez®k közötti köl sön-hatásban gyelhet® meg. Ezért ebben a fejezetben olvashatunk azokról a számolásieredményekr®l, amelyeket az átmeneti fémek felületi állapotára vonatkozólag azért vé-30

31 3. FEJEZET Felületi állapotgeztem, hogy a szennyez®k közti köl sönhatás kialakulását az egyes felületeken jobbanmegértsük. A spin-pálya köl sönhatás következtében a felületi állapot energiaszintjeifelhasadnak, ennek felfedez®ir®l ezt a jelenséget By hkov-Rashba-eektusnak nevezzük[33, 34. Els®ként az Au(111) felületen gyeltek meg kísérletileg Rashba-felhasadást,[39, amelyet kés®bb elméleti úton is igazoltak [41, 42, 43. A By hkov-Rashba-eektusértelmezése és vizsgálata napjainkban f®ként az egyes spintronikai alkalmazásoknál kerülel®térbe [72, de a felületen kialakuló köl sönhatásban is jelent®s szerepe lesz.3.1. A felületi állapot modelljei3.1.1. Elektronok a kristály felületénA felületi állapot szemléltetéséhez el®ször vegyünk egy egyszer¶ példát. Vizsgáljuka 3.1. ábrának megfelel® elrendezést, melyben a kristályt valamilyen periodikus poten- iállal írhatjuk le, a vákuumot pedig egy tetsz®leges állandójú V0, úgynevezett vákuumpoten iállal. A kristályban (x > 0) lev® hullámfüggvény alakja,ψc(x) = Auk(x)e

ikx +Bu−k(x)e−ikx, (3.1)valamint a vákuum tartományban (x ≤ 0) lev® hullámfüggvény,

ψv(x) = Dek0x, (3.2)ahol uk(x) egy periodikus függvény, valamint k0 = (V0−E)1/2 az egy pozitív valós szám,ugyanis a poten iál gát nagyságára, amellyel a felületet modellezzük érvényesnek kelllennie : V0 > E. Illesszük ezeket a hullámfüggvényeket valamint deriváltjukat az x = 0

x=0

V(x)

x

Kristály Vákuum

V(x)=V0V(x)=V(x+na)

3.1. ábra. Sematikus ábra a felület és a poten iálok megválasztásáról egy dimenziósesetben.

3.1. A felületi állapot modelljei 32helyen, ekkor a következ® egyenletrendszert kapjuk:Auk(0) +Bu−k(0) = D (3.3)

A[u′k(0) + ikuk(0)] +B[u′−k(0)− iku−k(0)] = Dk0. (3.4)A megoldásban két esetet kell megkülönböztetni, amikor k valós és amikor k komplex.Amennyiben nem lenne felület, a határfeltételt a Born-Kármán-féle periodikus határfel-tétellel írhatnánk le és ekkor a megoldást a periodikus határfeltétel miatt sak k valósértékeire kéne értelmezni. Valós k esetén a fenti két egyenletrendszert kell megoldaniA, B és D ismeretlenekre. Ekkor, mint ahogy azt a 3.2. ábra bal oldali része is szem-lélteti azok a megoldások, amik a kristály belsejében megoldások, azok a felületen ismegoldások lesznek, vagyis minden állapot, ami a kristály belsejében a megengedettállapotokhoz tartoznak, az a felületen is a megengedett állapothoz fog tartozni. Komp-lex k esetén, azonban az egyenletrendszer megoldása más eredményre vezet. Legyenk = p+ iq és írjuk be a hullámfüggvény alakjába, ekkor:

ψc(x) = Auk(x)eipxe−qx +Bu−k(x)e

−ipxeqx, (3.5)ahol x → ∞ esetben a k hullámszám képzetes részének el®jelét®l függ®en A vagy Bzérus értéket vesz fel. Ezáltal a kristálybeli hullámfüggvény valós része exponen iálisan3.2. ábra. A megfelel® hullámfüggvények illesztése folytán kapott megoldások valós k(bal oldali rész) illetve komplex k (jobb oldali rész) esetén.le seng, miközben osz illál. A komplex hullámfüggvényre vonatkozó megoldást a 3.2.ábra jobb oldali részén láthatjuk, melynek során a felület közelében megjelenik egyállapot, amely mind a kristály mind pedig a vákuum oldalon elt¶nik. Tehát ebben azesetben azon állapotok, amik a felületen megjelennek, azok a kristály belsejében tiltottenergiasávhoz tartoznak.Következésképpen, azon elektron állapotokat, amelyek a felülethez közel találha-tóak és a kristály belsejében tiltott energiasávhoz tartoznak, azokat felületi állapotnak

33 3. FEJEZET Felületi állapotnevezzük. A fenti eset tárgyalásakor a szemléltetés kedvéért a legegyszer¶bb példán, egydimenzióban mutattuk be a felületi állapot kialakulásának magyarázatát. Ezt kiterjeszt-hetjük felületekre is és általánosságban azt mondhatjuk, hogy a felületi állapothoz olyanállapot hullámfüggvénye tartozik, amely a rétegre mer®leges irányban exponen iálisanle seng, a felülettel párhuzamos komponense pedig megmarad.3.1.2. Közel szabad elektron modellA felületi állapotok értelmezésekor láttuk, hogy ezek a felületi állapotok a kristálybelsejében egy tiltott sávhoz tartoznak. Ilyen tiltott sáv (gap) jelenik meg a közelszabad elektron modellben a Brillouin-zóna szélén is a vezetési elektronok és ionok közöttlétrejöv® poten iál perturbáló hatása miatt. Maue volt az els®, 1935-ben, aki a közelszabad elektronmodellt használta a felületi állapotok tanulmányozására, illetve vizsgáltaezen modell keretein belül a felületi állapot hatását a fémek elektromos vezet®képességére[37, mégis a Sho kley által levezetett formula adta meg a teljes magyarázatot [38.További tárgyalásban is, az egyszer¶ség kedvéért az egy dimenziós esetben írjuk fela periodikus poten iált illetve a Blo h-függvényeket:V (x) =

∞∑

−∞Vne

i(2πn/a)x

ψk(x) = eikauk(x)

uk(x) =∞∑

−∞cnke

i(2πn/a)x.A fentieket felhasználva a S hrödinger-egyenlet megoldásából,∞∑

n=−∞cnkǫnke

i(2πn/a)x +∞∑

n,n′=−∞cnkVn′ei(2π(n+n′)/a)x = E

∞∑

n=−∞cnke

i(2πn/a)x, (3.6)ǫnk =

~2(k + 2πn

a)2

2m,az egyes sajátértékeket és a hullámfüggvényt megadó egyenlet:

E±(k) =1

2[ǫ0k + ǫ−1k]± 1

2([ǫ0k − ǫ−1k]

2 + 4V 2)1/2 (3.7)ψk(x) =

c0k√Na

[eikx +V

E − ~2(k−2π/a)2m

]ei(k−2π/a)x, (3.8)

3.1. A felületi állapot modelljei 34ahol N egy normálási faktor. Az els® Brillouin-zóna szélén, azaz amikor k = π/a azenergia sajátértékre megkapjuk azt a közismert tényt, hogy a felhasadás mértéke aperturbáló poten iállal arányos:E±(k =

π

a) =

~2π2

2ma2± |V |, (3.9)a hullámfüggvény pedig:

ψ±(x) =1√Na

[eiπx/a ± (sgnV )e−iπx/a]. (3.10)A fentiekb®l észrevehetjük, hogy a poten iál el®jele fogja megszabni, hogy a Brillouin-zóna szélén a hullámfüggvény milyen alakú lesz. A 3.1. táblázatban összefoglaltuk, hogya megfelel® poten iál el®jelekhez és energiához milyen alakú hullámfüggvény tartozik.Láthatjuk, hogy pozitív poten iál esetén a nagyobb energiájú állapothoz páros hullám-E ψ

V > 0 V < 0~2π2

2ma2+ |V | cos(πx/a) sin(πx/a)

~2π2

2ma2− |V | sin(πx/a) cos(πx/a)3.1. táblázat. A poten iál el®jelét®l függ®en kialakuló hullámfüggvények a Brillouin-zóna szélén.függvény, a kisebb energiájú állapothoz páratlan hullámfüggvény tartozik, míg negatívpoten iál esetén a helyzet éppen fordított lesz. Azt a tiltott sávot, ahol a nagyobbenergiájú állapothoz páros hullámfüggvény a kisebb energiához pedig páratlan hullám-függvény tartozik azt inverted gap-nek hívjuk. Ellenkez® esetben, tehát, amikor a fels®hullámfüggvény páratlan, az alsó pedig páros, akkor direkt gap-r®l beszélünk, szemlél-tetésként a 3.3. ábra mutatja a tiltott energia sáv két szélén lev® hullámfüggvényeket akét esetben.Amint az már többször említettük egy felületi állapotnak egy ilyen tiltott energiasávban kell elhelyezkednie a kristály belsejében, ezért használjuk fel az eddigieket ésírjuk fel a megfelel® hullámfüggvényeket. A vákuum oldalon, tehát x > 0 esetén ahullámfüggvény:

ψ(x) = αe−k0x, (3.11)k0 =

√

V0 − E.

35 3. FEJEZET Felületi állapotp

a.) b.)

Energia gap Energia gap

p s

s3.3. ábra. A tiltott energia sáv két szélén lev® hullámfüggvények a két esetben: a.)ábra: direkt gap esetén a fels® hullámfüggvény páratlan (p-típusú), az alsó pedig páros(s-típusú), b.) ábra: inverted gap esetén a fels® hullámfüggvény páros (s-típusú), mígaz alsó hullámfüggvény páratlan (p-típusú).A poten iálra pedig feltesszük, hogy a vákuum oldalon valós, a kristályban, amikorx < 0, pedig valamilyen periodikusan váltakozó függvény:

V (x) =

−2V cos(πax) x < 0

V0(> E) x > 0A kristály oldalon, felhasználva a (3.8) egyenletet valamint, hogy az els® Brilloiun-zónában a hullámszámvektor komplex alakja: k = iµ + π/a, ahol µ ≥ 0, a hullámfügg-vény alakja:ψ(x) = βeµx[eiπx/a +

V

E − ~2(π/a−iµ)2

2m

e−iπx/a]. (3.12)Vegyük észre a fenti egyenletben, hogy a zárójelben lev® V

E− ~2(π/a−iµ)2

2m

kifejezés éppena hullámfüggvénynek a határfelületen történ® szóródásakor fellép® fázistolását fejezi ki.Ugyanis vákuum oldalon, miután a függvény valós, így az árams¶r¶sége is zérus és ígya bejöv® hullám árams¶r¶sége:jin =

~

mIm(e−i(k−iµ)x d

dxei(k−iµ)x) =

~k

m, (3.13)a reektált hullámé pedig:

jrefl =~− 2π/a

m

∣

∣

∣

∣

V

E − ~2(k−2π/a−iµ)2

2m

∣

∣

∣

∣

. (3.14)A bemen® valamint visszavert hullám arányának R = |jin||jrefl| , vagyis a visszaver®désvalószín¶ségének egynek kell lennie, mivel elnyel®dés nem történik, így bevezethetünk

3.1. A felületi állapot modelljei 36ennek megfelel®en a hullámfüggvényben egy fázisfaktort, amelyet δ -val jelölve fennáll:e−2iδ =

V

E − ~2(k−2π/a−iµ)2

2m

(3.15)kifejezés, ahol δ(−π < δ < π) , így a hullámfüggvény alakja a kristály oldalon:ψc(x) = βeµx cos(πx/a+ δ). (3.16)Ahhoz, hogy megkapjuk a felületi állapotra vonatkozó energia sajátértékeket, illesztenikell a két hullámfüggvényt, a (3.11) egyenlettel megadott vákuum oldalon lev® valaminta (3.16) egyenlettel felírt kristály hullámfüggvényt. A felület legyen az x = x0 pontban ésezen a helyen végezzük el a hullámfüggvények megfelel® illesztését. Ekkor a ψ′(x)/ψ(x)-re kapott illesztés eredménye:

(π/a) tan(πx0/a+ δ) = (µ+ k0). (3.17)Vegyünk észre két spe iális esetet:x0 = 0 =⇒ (π/a) tan δ = (µ+ k0)

x0 = −a/2 =⇒ (π/a) cot δ = −(µ + k0).Miután az elején feltettük, hogy µ pozitív, illetve k0 is mindig pozitív, így a fenti kétegyenletnek akkor lesz megoldása, ha 0 ≤ δ ≤ π/2 valamint −π/2 ≤ δ ≤ 0. Követ-kezésképpen kapunk egy feltételt a felületi állapot kialakulására, x0 = −a/2 esetbenV < 0 feltétellel, míg x0 = 0 esetben V > 0-nak kell lennie. Általánosságban aztfelületi állapotot, mely e szerint a modell szerint az x0 = 0 helyen jön létre és így apoten iálnak pozitívnak kell lennie, tehát az állapot egy direkt gap-ben alakul ki, aztTamm-állapotnak nevezzük. Abban az esetben, mikor az illesztést az x0 = −a/2-nélvégezzük és így a poten iál negatív, ekkor a felületi állapot egy inverted gap-ben ke-letkezik, Sho kley-állapotról beszélünk, miután Sho kley volt az els®, aki magyarázatotadott arra, hogy egy két, s és p pályájú atomból álló rendszerben, hogyan alakulhat kiinverted gap [38. Sho kley is a két sáv modell alkalmazta a magyarázatához, melynekrészleteit most mell®zve, szemléletesen a következ®: amikor a két atom egymástól messzevan, akkor a hullámfüggvényeik nem lapolnak át, energiaszintjeik diszkrétnek tekinthe-t®k, az atomokat egymáshoz közelítve, a rá sállandót sökkentve e két sáv hibridizálnifog, létrejön egy indirekt gap, melyben felületi állapotot alakul ki.

37 3. FEJEZET Felületi állapot3.1.3. Tamm- és Sho kley-állapotAz el®z®ekben láthattunk egy egyszer¶ modellt a felületi állapot kialakulására ésmegállapítottuk, hogy az olyan felületi állapotot, ami direkt gap-ben alakul ki, aztTamm-állapotnak, ami pedig inverted-gap-ben, azt Sho kley-állapotnak hívunk. Nap-jainkban ezt a két állapotot az irodalomban ritkán különböztetik meg, f®leg Sho kley-állapotokról beszélünk, de néhány dologban van eltérés e két állapot között. Annakérdekében, hogy megvizsgáljuk a felületi állapot tulajdonságait a felülett®l távolodvailletve a felületen, a Blo h-spketrál függvény változását fogjuk végigkövetni. A Blo h-spektrál függvény, mint azt az elméleti bevezet®ben is írtuk, nem más, mint a re iproktérben felírt állapots¶r¶ség ( lásd 2.46 egyenlet). A teljes Brillouin-zónára vett integ-rálja pedig az állapots¶r¶séget adja meg. Ez a függvény az állapot helyén egy Dira -delta-szer¶ sú sot ad, így a sú s helyének meghatározásával mind a felületi állapotdiszperziós relá ióját [67, mind pedig a kristály Fermi-felületét fel tudjuk térképezni. ABlo h-spektrál függvényben lev® sú s változását mutatja be a 3.4. ábra kétféle felületiállapot, Tamm és Sho kley-állapot esetén. Az ábra bal oldalán egy Tamm-típusú, a

S-4

S-3

S-2

S-1

S

S+1

A(

k)

S-4

S-3

S-2

S-1

S

S+1

3.4. ábra. A Blo h-spektrál függvény sú sának változása az egyes rétegekben, egyTamm-típusú felületi állapot esetén (bal oldali ábra), illetve a jobb oldali ábrán,Sho kley-állapot esetén. Az S bet¶ a legfels® atomréteget jelöli (S-Surfa e angol szóból).

3.2. Átmeneti fémek felületi állapota 38jobb oldalon egy Sho kley-típusú felületi állapot esetén a Blo h-spektrál függvénybenmegjelen® sú s változása látható az egyes rétegekben. Észrevehetjük, hogy a Tamm-állapot lényegében a felület közelében, lokalizáltan jelenik meg, míg a Sho kley-állapota felülett®l három atomréteg (S − 3. rétegben) távolságban is jelent®s. A két felületiállapot atomi pályák szerinti felbontásában is különbség adódik éppen ezért. Amíg aTamm-állapot f®ként d-típusú pályákat tartalmaz, addig a Sho kley-állapotban nagyobbarányban s és p típusú pályák találhatók.Általában Tamm-állapot azokban a kristályokban alakulhat ki, ahol az atomokegymástól olyan messze vannak, hogy hullámfüggvényeik nem keverednek, így a pályákhibridizálása kisebb valószín¶séggel következik be, ezáltal inverted gap sem alakul ki.A legtöbb kristályban így f®ként Sho kley-állapot alakul ki, a létrejöv® felületi állapo-tok száma pedig a hibridizált pályák számától fog függni. Kísérletileg már kimutattakátmeneti fémek felületein is Tamm-típusú felületi állapotokat [48, 49, de ezek a leg-többször nem betöltött felületi állapotok, így érdekesebb jelenségeket a Sho kley állapotjelenlétekor gyelhetünk meg, ezért a továbbiakban a Sho kley-típusú felületi állapotottárgyaljuk, mint felületi állapot.3.2. Átmeneti fémek felületi állapota3.2.1. Sávszerkezeti tulajdonságokOlyan átmeneti fémekre, amelyekre az jellemz®, hogy az egy atomra jutó valen iaelektronok száma kisebb, mint az atomra jellemz® koordiná iós szám, a Brillouin-zónabizonyos magas szimmetriájú pontjaiban tiltott energia sávok alakulhatnak ki, így fe-lületi állapot jöhet létre. Ilyen felületi állapot található a réz, ezüst és az arany (111)felületén az L pont körüli kon entrikus körben, az (110) felületen a Brillouin-zóna szé-lén egy ellipszisben, valamint (100) felületen az X pont körüli negyedkörben. Az egyesfelületeknek megfelel® két dimenziós Brillouin-zónát, illetve a három dimenziós Fermi-felület magas szimmetriájú pontjainak megfelel® két dimenziós Brillouin-zóna határánakjelölését láthatjuk a 3.5. ábrán, ahol a sötét színnel jelzett terület a megfelel® tiltottenergia sáv vetületét jelzi.Ezek a tiltott sávok megjelennek az adott irányban a sávszerkezetben is. A 3.6. ábraa Cu általam számolt sávszerkezetét mutatja a három f® irányban. Észrevehetjük, hogymíg félvezet®kben a vezetési sáv és a vegyérték sáv közötti tiltott sáv a kristály mindenirányában jelen van, addig itt sak a Brillouin-zóna magasabb szimmetriájú pontjaiban

39 3. FEJEZET Felületi állapotM

(110) (111)(100)

Γ X

X

Y

S

Γ Γ M

K

3.5. ábra. Az (100), (110) valamint az (111) felületre vonatkozó két dimenziós Brillouin-zóna sematikus rajza. A sötét színnel jelölt terület jelzi a tiltott energia sávnak amegfelel® irányú felületre vett vetületét.alakulnak ki, melyek közül kett® esetén a Γ (111 felület) és az Y (110 felület) pontokkörnyékén lev® felületi állapot lesz betöltött, a Fermi-energia alatt fog elhelyezkedni. A

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

X gap

E-E

F (Ry)

kzX0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

Y gap

E-E

F (Ry)

kz Y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

E-E

F (Ry)

kz

gap

3.6. ábra. A réz számolt sávszerkezete a három f® irányban, (100), (110) valamint (111)felületen a megfelel® felület normálisának irányában.

3.2. Átmeneti fémek felületi állapota 40továbbiakban is e két, betöltött felületi állapottal fogunk foglalkozni Au és Cu felületekesetén. Ezek a felületi állapotok, mint majd látni fogjuk közel szabad elektrongáznaktekinthet®k, a diszperziós relá ióra parabolikus alakot tételezhetünk fel.3.2.2. Izotróp By hkov-Rashba-eektusA spin-pálya köl sönhatás hatására a felületi állapot diszperziós relá iója felhasadkét részre, felfedez®ir®l ezt a jelenséget By hkov-Rashba-eektusnak nevezzük [33, 34.Egy nem mágneses anyag hullámfüggvényének állóhullámok szerinti kifejtése:ϕks(r) =

1√Nχse

ikr, (3.18)ahol χs egy spinor, k = (kx, ky) az a felületi Brillouin-zónának egy két dimenziós vek-tora, N pedig normálási faktor. Ez a hullámfüggvény saját állapota lesz a spin-pályaköl sönhatást leíró HSP Hamilton-operátornak,HSP = − ~

4m2c2(∇V × p)σ =

~

4m2c2(∇V × σ)p, (3.19)ezt hattatva a ϕks(r) hullámfüggvényre:

HSPϕks(r) =~2

4m2c2√N((∇V × σχs)ke

ikr. (3.20)A spin-pálya köl sönhatás mátrixelemeit kifejthetjük az alábbiak szerint:〈k′s′|HSP |ks〉 = δkk′(αk × σs′s)k, (3.21)ahol αk az úgynevezett Rashba-paraméter, amely:αk =

~2

4m2c2

∫

WS

e−ikr∇V (r)eikr, (3.22)az integrálás a teljes Wigner-Seitz-sugárra vonatkozik. Az egyszer¶ség kedvéért nézzükazt az esetet, melyben sak a mer®leges komponenst vesszük gyelembe a poten iálgradiensében,∇V (r) ≃ ez

dV (z)

dz(3.23)és ekkor a Rashba-paraméter αk = α:

α =~2

4m2c2

∫

WS

d3rdV (z)

dz. (3.24)A spin-pálya köl sönhatás operátorát ennek felhasználásával a következ® alakban írhat-juk fel:

HSP (k) = α(ez × σ)k = α(σxky − σykx). (3.25)

41 3. FEJEZET Felületi állapotA Hamilton-operátor alakjából pedig az alábbi sajátérték egyenletet kapjuk:[E0 +

~2k2

2m∗ + α(σxky − σykx)]ψk = Ekψk, (3.26)[

E0 +~2k2

2m∗ α(ky + ikx)

α(ky − ikx) E0 +~2k2

2m∗

]

ψk = Ekψk,amelyb®l a két megoldás:E±

k = E0 +~2k2

2m∗ ± αk, (3.27)vagyis a Rashba-eektus értelmében a felületi állapot diszperziós relá iója felhasad kétrészre, úgy, mintha a két parabola egymásba lenne ágyazva, ezt szemlélteti a 3.7. ábrais. Egy másik alternatív értelmezés szerint azonban e két egymásba ágyazott parabola-0.14

-0.070.00

0.070.14

-0.01

0.00

0.01

-0.14-0.07

0.000.07

0.14

E-E

F [Ry]

k y

kx

-0.10.0

0.1

-0.02

-0.01

0.00

0.01

-0.1

0.00.1

E-E

F (Ry)

k ykx3.7. ábra. Rashba-eektus hatása a felületi állapot diszperziós relá iójára, a bal oldaliábra mutatja a diszperziós relá iót spin-pálya köl sönhatás nélküli esetben, míg a jobboldali ábra a Rashba-eektus hatására felhasadt diszperziós relá iót mutatja.tekinthet® két parabolának is, melyek közül egy a pozitív k értékek irányában van eltolvaés a másik pedig a negatív k mentén. A továbbiakban mi inkább az el®bbi értelmezéstfogjuk követni.3.2.3. Felületi állapot Cu és Au felületek eseténAhogy az a sávszerkezeti számolásokból is kit¶nt, réz valamint arany (110) illetve

(111) felületén kialakulnak betöltött felületi állapotok. Ezeknek a felületi állapotoknaka diszperziós relá ióját a Blo h-spektrál függvény sú sának meghatározásával tudjuk

3.2. Átmeneti fémek felületi állapota 42megadni. Amint azt már az elméleti bevezet®ben valamint a Sho kley-állapotok leírá-sánál is említettük a Blo h-spektrál függvényt rendezett rendszer esetén az elektronál-lapot helyén egy Dira -delta jellemzi, így a felületi állapot is a Brillouin-zóna egy adottk pontjában Dira -deltaként jelenik meg. Ezáltal a diszperziós relá ió meghatározá-sát a Blo h-spektrál függvény ilyen sú sának megkeresése jelenti a Brillouin-zóna egyadott irányában. Miel®tt azonban az egyes diszperziós relá iókat bemutatnánk, a fe-lületi állapot egy további érdekes tulajdonságát adja meg az, hogy a felülett®l milyenmélyen, hány atomi rétegben jelenik meg ez az állapot. A felületi állapotnak az egyesrétegekben történ® változását mutatja be a 3.8. ábra Cu(111) felületen kialakuló felü-leti állapotra vonatkozólag. Az ábrán valójában a Blo h-spektrál függvényben szerepl®Dira -delta-szer¶ sú s változása szerepel, de a továbbiakban erre, mint felületi állapotrafogunk hivatkozni. Észrevehetjük, hogy a felületi állapot a felülett®l távolodva valóbanegyre kisebb lesz, nem kizárólag sak a felületre kon entrálódik, hanem a mélyebben

A(ε

,k)

ε

S+1

S

S−1

S−2

S−3

S−4

S−5

S−6

3.8. ábra. Cu(111) felületi állapot (Blo h-spektrál függvény sú sának) változása afelülett®l távolodva az egyes rétegekben.

43 3. FEJEZET Felületi állapotfekv® rétegekben is jelen lesz, bár hatása a felülett®l mért távolsággal jelent®sen sök-ken. Kísérleti mérések esetén a felületi állapotot sak a vizsgált anyag felületén tudjákdetektálni, az állapotnak az egyes rétegekben való viselkedésére nem nagyon léteznekmérési módszerek, ezért is tartottuk fontosnak megemlíteni, hogy numerikus számolásokalapján milyen viselkedés tapasztalható.A felületi állapot felhasadásának mértéke a spin-pálya köl sönhatás nagyságátólés így anyagi tulajdonságtól függ. Arany esetén ez a felhasadás jelent®sen nagyobb,mint réz esetén, a nagyobb spin-pálya köl sönhatás folytán. Emissziós spektrumbóla felhasadás kísérletileg jól nyomon követhet® [39, 40, illetve a felületi állapot disz-perziós relá iójára illesztett függvényb®l a Rashba-paraméter meghatározható. IzotrópRashba-felhasadás esetén a Rashba-paraméter minden irányban ugyanakkora, hullám-számtól független mennyiség. Az izotróp felhasadásra a legszemléletesebb példát azAu(111) felületi állapot esetében láthatunk. Azonban léteznek olyan fém felületek, aholnem elegend® a (3.25) egyenlettel felírt eektív Hamilton-operátor a jelenség magya-rázatához, ugyanis a Rashba-paraméter egy hullámszámtól függ®, anizotróp mennyiséglesz. Ilyen fém felület többek között a Bi/Ag(111) felület [50 illetve az Au(110) felüle-ten található felületi állapot is [65. Anizotrópiát okozhat egyfel®l az, hogy a poten iálgradiense, amivel a Rashba-paramétert jellemeztük, nem mer®leges a felületre, van pár-huzamos komponense, másrészr®l pedig az elektron állapotok felületre mer®leges végeskiterjedésének gyelembe vétele is anizotrópiához vezethet.A Blo h-spektrál függvény sú sának a Brillouin-zóna egy adott irányában valómegadásával réz és arany (111) valamint (110) felületen lev® felületi állapotok disz-perziós relá ióját tudtam meghatározni. A diszperziós relá ióra mindvégig a a (3.27)egyenletnek megfelel® görbéket illesztettem. Az illesztésb®l az eektív tömeget valamintFelület m∗/me kF [1/Å−1] α[meV ·Å]111 0.225 0.152/0.195 790Au 110-x irány 0.120 0.096/0.123 850110-y irány 0.351 0.178/0.197 174111 0.357 0.167/0.176 116Cu 110-x irány 0.206 0.136/0.140 101110-y irány 0.592 0.229/0.235 453.2. táblázat. Az illesztésb®l számolt paraméterek különböz® irányú felületek esetén

3.2. Átmeneti fémek felületi állapota 44E

k

kF

EF

E

k

kF

EF

3.9. ábra. Sematikus ábra a diszperziós relá ióból leolvasott extremális kF Fermi-vektorróla Rashba-paramétert egyszer¶en meg lehetett határozni. A 3.2. táblázat tartalmazzaezeket az illesztési eredményeket. További fontos paramétere a felületi állapotnak aFermi-energiánál leolvasott kF Fermi-hullámszám, amely a táblázatban szintén szere-pel. Ez a vektor mint extremális vektor jelenik meg, így, mint majd látni fogjuk aszennyez®k köl sönhatásánál lényeges szerepe lesz. Ezt a Fermi-vektort sematikusan a3.9. ábra mutatja.Az egyes felületeken lev® felületi állapot diszperziós relá iójára vonatkozó számolásieredményeket valamint az azokra illesztett görbéket a 3.10. ábrán láthatjuk. Azt tapasz-talhatjuk ezen az ábra sorozaton, hogy réz esetén valóban lényegesen kisebb a spin-pályaköl sönhatás folytán létrejöv® Rashba-felhasadás az aranyhoz képest. Az (111) felülete-ken mindkét hordozó esetén a felhasadás izotróp, azaz minden irányban ugyanakkora.Azonban az (110) felületen ez a megállapítás nem lesz igaz. A Brillouin-zónában a kxirány mentén a felhasadás lényegesen nagyobb, mint a ky irányban, a felhasadás irány-tól függ®, anizotróp. Ekkor valóban a Rashba-paraméter nem jellemezhet® egy skalárszámként, valami más leírás szükséges.Az irodalomban nagyon sok kísérleti és számolási eredményeket találhatunk az (111)felületi [39, 41, 43, 40 valamint az (110) felületi [42, 44, 45 állapotra vonatkozólag.Ezekben a munkákban megadott eektív tömegekkel a saját eredményeink jó egyezéstmutatnak, ha összehasonlítjuk ®ket. Kis mérték¶ eltéréseket a kísérleti eredményekt®lezért kapunk, mert ezeknél a számolásoknál nem vettünk gyelembe réteg relaxá ióseektusokat.A relaxá ió gyelembevételével olyan, a felületre jellemz® zikai mennyiséget tu-

45 3. FEJEZET Felületi állapot

−400

−200

0

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

Cu(110) ky irány

k(1/Å)

−400

−200

0

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

Cu(110) kx irány

E−E

F(m

eV)

−400

−200

0

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

Au(110) ky irány

k(1/Å)

−400

−200

0

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

Au(110) kx irány

−300

−200

−100

0

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

Au(111)−300

−200

−100

0

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

Cu(111)

3.10. ábra. Au, Cu (111) és (110) felületek esetén a számolt diszperziós relá iók. Aszimbólumok a számolt értékeket jelzik, folytonos valamint szaggatott vonal az illesztettgörbét mutatja.dunk a kísérleti értékekkel összhangban megadni, mint a kilépési munka. A kilépésimunkának a kísérleti értékt®l való eltérése f®ként abból adódik, hogy a számolásokbangömbi közelítést alkalmazunk a felület közelében is. Relaxá ió többféle lehet, a kilépésimunkát a legjelent®sebben a réteg relaxá ió módosítja, amelynek során a rétegek tá-volsága a rétegekre mer®leges irányban sökken vagy n®. Ezért annak érdekében, hogya diszperziós relá ióra illesztett paraméterek a kísérletekkel jobb egyezést mutassanak,Au(111) felületre számolásokat végeztem arra vonatkozólag, hogy a réteg relaxá ió ho-gyan módosítja a felületi állapot diszperziós relá ióját. A felületi állapot diszperziósrelá iójának változását mutatja a 3.11. ábra, ahol láthatjuk hogy +10%-os réteg re-

3.2. Átmeneti fémek felületi állapota 46

−400

−300

−200

−100

0

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

E−E

F(m

eV)

k(1/Å)

Ideális felület

Relaxált réteg

3.11. ábra. Au(111) felületi állapot diszperziós relá iója ideális valamint relaxált rétegesetén.laxá ió esetén a parabola alját jellemz® energia, vagy más néven a felületi állapot kötésienergiája jóval kisebb lesz a nem relaxált esethez képest. Az így kapott E0 = −410eV kö-tési energia már a mérési eredményekb®l kapott [39, 43 E0 = −487eV kötési energiávaljobb egyezést mutat.Mint azt említettük az (111) felületen a Γ pont körül egy kon entrikus kör mentén,míg az (110) felületen az Y pont körül egy ellipszis mentén található egy betöltött felületiállapot. A 3.12. ábra mutatja Au esetén a két pontban lev® felületi állapot k-térbelimetszetét a Fermi-energiánál. Az ábrán szintén látható, hogy 110 felületen lev® felületiállapot esetén a Rashba-felhasadás anizotróp lesz.

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

k y(1/Å

)

kx(1/Å)0.66 0.72 0.78 0.84 0.90

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

k y (1/Å

)

kx (1/Å)3.12. ábra. Felületi állapot Rashba-felhasadása a Fermi-energiánal (111) felület estén aΓ körül (bal oldali ábra) és az (110) felületen Y körül (jobb oldali ábra) Au esetén. Akét görbe a bels® valamint a küls® parabola ághoz tartozó diszperziót jelöli.

47 3. FEJEZET Felületi állapot3.2.4. Anizotróp By hkov-Rashba-eektusAz anizotróp felhasadás értelmezésére a Budapesti M¶szaki Egyetem Elméleti Fizikaosztályán, Zaránd Gergely ötlete alapján k · p perturbá iószámítást végeztünk. A k · pperturbá iószámítás alap gondolata az, hogy a perturbá iószámítást két lépésben végez-zük el. Az els® lépésben a spin-pálya köl sönhatást még nem vesszük gyelembe, hanema Hamilton-operátorban egy hullámszámtól függ® tagot kezelünk perturbá ióként, majdezt a problémát tetsz®leges rendben megoldjuk. Második lépésben a spin-pálya köl sön-hatást vesszük gyelembe mint perturbá iós tagot, amire feltételezzük, hogy ki si, ezért sak els® rendben végezzük el a perturbá iószámítást, amihez az els® lépésben kapotthullámfüggvényt használjuk fel. Attól függ®en, hogy az els® lépésben hányad rendigmentünk el, kapjuk az ennek megfelel® eektív Hamilton-mátrixot.Ezt a perturbá iószámítást a fent is látott C2v szimmetriájú Au(110) felületen kiala-kuló anizotróp Rashba-felhasadás magyarázatához végeztük el [65. Az Au(110) Blo h-állapotait a diszkrét eltolási szimmetria miatt kifejthetünk az alábbiak szerint,ψQ+k(r) = eikrφQ,k(r), (3.28)ahol Q hullámszámvektor megfelel a Brilloiun-zóna szélén lev® Y pontnak és φQ,k(r) az

y irányban rá s-periodikus függvény (3.5. ábra). Az így kifejtett hullámfüggvény sajátállapota lesz aH =

p2

2m+ V (r) +HSP (3.29)Hamilton-operátornak, ahol HSP a spin-pálya köl sönhatást jelöli, amely,

HSP (r) =~2

4m2c2[∇V (r)× p]σ. (3.30)Következésképpen a kifejtésben szerepl® φQ,k(r) hullámfüggvény eleget tesz az alábbiS hrödinger-egyenletnek,

[

p2

2m+ V (r) +

~2k2

2m+

~

mk · p+ HSP (k, r)

]

φQ,k(r) = ǫkφQ,k(r), (3.31)ahol bevezettük az eektív spin-pálya köl sönhatás Hamilton-mátrixát,HSP (k, r) = HSP (r) +

~

4m2c2[∇V (r)× ~k]σ. (3.32)A k ·p perturbá iószámítás feltevése szerint tehát k = 0 értéknél HSP (k, r) = 0 eektívspin-pálya satolásnál a perturbálatlan hullámfüggvény megoldásait a

[

p2

2m+ V (r)

]

φn(r) = ǫnφn(r) (3.33)

3.2. Átmeneti fémek felületi állapota 48

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

E-E

F (Ry)

kz

Y gap

s,py,px,dz2,dxz,dx2-y2

pz,dxy,dyz

s,dz2,dxz

,dx2-y2

py,p

x

Au

3.13. ábra. Au(110) sávszerkezetének szimmetria szerint felbontott sávjai a Y gap kör-nyékén.S hrödinger-egyenlet adja. A mátrix elemek számolásához gyelembe kell vennünk aC2v szimmetria esetén kialakuló atomi pályák szimmetria szerinti felbontását. Tekintveazonban, hogy a felületi állapot közel szabad elektron gáz, így a felületi állapot pertur-bálatlan hullámfüggvényére, amelyet φ0-al jelölve, feltehetjük, hogy s-típusú pályákbóláll. A gap szélén lev® hullámfüggvények pedig px és py típusúak, amelyet a sávszerkezetszimmetria szerint felbontott sávjain is jól látható a 3.13. ábrán.A perturbá iószámítás els® lépésében a perturbá iónak a

∆H1k =

~

mpk (3.34)operátort tekintjük. Amennyiben a spint is gyelembe vennénk, akkor degenerált per-turbá iószámítást kellene alkalmazni, de mivel sem az alap állapoti Hamilton-függvény,sem pedig a perturbá ióként kezelt ∆H1

k nem tartalmaz spinfügg® részt, így a térszer¶részben végzünk nem degenerált perturbá iószámítást. Az energia sajátérték els® köze-lítésében adódó E10(k) járuléka elt¶nik, mivel a k-nak nin s z komponense. A megfelel®mennyiségek alsó indexében szerepl® 0 arra utal, hogy nin s spin-pálya satolás.

E10(k) = 〈φ0|∆H1

k|φ0〉 = 0. (3.35)Az els® rendben kapott sajátfüggvény pedig,φ0,k = φ0 +

~

m

∑

α,nα 6=0

∑

i=x,y

〈φpi,ni|pi|φ0〉

ǫ0 − ǫα,nα

, (3.36)

49 3. FEJEZET Felületi állapotahol a kifejezésben szerepl® α az atomi pályákat indexeli és nα az összegzésben sze-repl® pályák számát jelöli. Az energia sajátértékre második közelítésében a következ®egyenletet kapjuk,E2

0(k) = ǫ0 +~2

2m∗x

k2x +~2

2m∗y

k2y, (3.37)ahol az egyes eektív tömegek,1

m∗x

=1

m+

2

m

∑

npx

〈φpx,nx|px|φ0〉|2ǫ0 − ǫpx,npx

, (3.38)1

m∗y

=1

m+

2

m

∑

npy

〈φpy,ny |py|φ0〉|2ǫ0 − ǫpy,npy

. (3.39)A perturbá iószámítás második lépésében a spin-pálya köl sönhatást az el®z®ekbenels® közelítésként felírt hullámfüggvény felhasználásával, degenerált perturbá iószámí-tással vesszük gyelembe. Perturbá iónak a (3.32) egyenletben felírt eektív spin-pálya satolást tekintjük,HSP (k, r) =

~

4m2c2[∇V (r)× ~k]σ +

~

4m2c2[∇V (r)× p]σ. (3.40)A fenti egyenlet els® tagját jelöljük H iso

sp (r,k), a második tagot pedig Hanisosp (r,k). Fel-használva tehát az el®z® lépésb®l kapott els®rend¶ hullámfüggvényt, valamint megha-tározva az el nem t¶n® mátrix elemeket, amelyr®l az A. Függelékben olvashatunk rész-letesebben, végeredményben a két tagra els®rendben az alábbi formulákat kapjuk,

H isosp (r,k) =

~2

4m2c2(〈φ0|∇V (r)|φ0〉 × k)σ

=~2

4m2c2〈φ0|

∂V

∂z|φ0〉(ez × k)σ

= αR(kxσy − kyσx), (3.41)Haniso

sp (r,k) = λxσykx + λyσxky, (3.42)aholλx = 2

~

m

∑

px,py

Re

〈φpx,npx|px|φ0〉

ǫ0 − ǫpx,npx

〈φ0|ay(r)|φpx,npx〉 (3.43)

λy = 2~

m

∑

px,py

Re

〈φpy,npy|py|φ0〉

ǫ0 − ǫpy ,npy

〈φ0|ax(r)|φpy,npy〉

. (3.44)A fenti kifejezésben bevezettük a spin-pálya satolást jellemz®, a = ~

4m2c2[∇V (r) × p]operátort. Észrevehetjük, hogy az els® tag adja els® rendben az izotróp tagot, míg amásodik tag az anizotrópiát.

3.2. Átmeneti fémek felületi állapota 503.2.5. Bi/Ag(111) felületi állapotAu(110) felületre vonatkozólag a perturbá iószámítást els®rendig végeztük, viszontvannak olyan felületek, ahol a perturbá iószámítás magasabb rendjéig kell elmenni a fe-lületi állapot anizotrópiájának modellezéséhez. Ilyen felület a Bi/Ag(111) felület is. Astés munkatársai voltak az els®k [50, akik Ag(111) felületre Bi réteget növesztve vizsgáltáka felületi állapot diszperzióját, majd azt találták, hogy az így kialakuló felületi állapoter®sen anizotróp. Kés®bb ugyanezt a rendszert Premper és munkatársai modelleztékközel szabad elektronmodellel [51. Ennek a rendszernek úgynevezett (√3×√3)

R30szuperszerkezete van, amelyet a 3.14. ábra is mutat. Látható, hogy ebben a szerkezet-ben egy bizmut atomot hat ezüst atom vesz körül. Ezen a felületen kialakuló felületi30)33( R×

3.14. ábra. Bi/Ag(111) szerkezetének felülnézeti rajza. Az ábrán kék szín¶ körrel azezüst atomok, míg naran ssárga színnel a bizmut atomok vannak jelölve.állapotra én is végeztem numerikus számolásokat, hogy a fent leírt k ·p perturbá iószá-mítást más szimmetriájú, jelen esetben C3v szimmetriára is kiterjeszthessük valamint amagasabb rend¶ tagok jelenlétét is kimutathassuk. Az erre vonatkozó perturbá iószá-molásról részletesen a [52-es munkában olvashatunk, ezért ebben a fejezetben f®kénta kapott numerikus eredményeket mutatom be valamint a számolás f®bb eredményeitírom le, de teljesen analóg módon lehet elvégezni itt is a számolást, mint az el®z® fe-jezetben szerepl® Au(110) esetében, azzal a különbséggel, hogy a hullámfüggvények aC3v szimmetriának megfelel®en adódnak. A perturbá iószámítás els® rendjében kapotthullámfüggvény:

H ′1(k) = α1 (kxσy − kyσx) , (3.45)míg a harmadrend¶ tag:

H ′3(k) = α1

3 k2 (kxσy − kyσx) + α2

3

(

k3x − 3kxk2y

)

σz, (3.46)

51 3. FEJEZET Felületi állapotahol az egyes együtthatókα13 =

~4

4m4c2∑

nE ,mE

〈φ0| px | φ+nE〉〈φ+

nE|∂zV |φ+

mE〉φ+

mE|px|φ0〉

(E0 − EnE)(E0 − EmE

), (3.47)

α23 =

~4

4m4c2∑

nE ,mE

〈φ0| px | φ+nE〉〈φ+

nE|∂xV |φ−

mE〉〈φ−

mE|px|φ0〉

(E0 − EnE)(E0 − EmE

). (3.48)Az összegzésben a φ0 perturbálatlan hullámfüggvényhez tartozó φ+

nE, φ−

nEkét dimen-ziós irredu ibilis ábrázolások szerepelnek. Észrevehetjük, hogy a harmadrend¶ tag els®tagja vissza adja az izotróp Rashba-modellt, ugyanis az α1

3 együtthatóban szerepl® par- iális deriválás sak z irányra vonatkozik, míg az anizotróp tagban az x irányú par iálisderiválás jelenik meg.A felületi állapotnak az SKKR-módszerrel számolt diszperzióját mutatja kx iránymentén a 3.15. ábra, amir®l láthatjuk, hogy az itt kialakuló felületi állapot más jelleg¶,mint az eddigiekben bemutatott felületi állapot diszperziója, ugyanis ebben az esetben az

E−E

F (

meV

)

kx (1/Å)

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

3.15. ábra. Bi/Ag(111) felületen kialakuló felületi állapot diszperziós relá iója, amelyeta Blo h-spektrál függvény két dimenziós ábrázolásából kaptunk.eektív tömeg negatív, de ez az alkalmazott modellt természetesen nem befolyásolja. Afelületi állapot anizotrópiáját jól mutatja egyrészr®l a 3.16. ábra, amelyen két energiánál,E1 = −1.09eV valamint E1 = −1.22eV energiaértékeknél rajzoltuk fel a Blo h-spektrálfüggvényt két dimenziós ábrázolásban, amelyb®l azt a következtetést vonhatjuk le, hogy

3.2. Átmeneti fémek felületi állapota 52

−0.2 0 0.2

kx (1/Å)

−0.2

0

0.2

k y (

1/Å

)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

kx (1/Å)

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k y (

1/Å

)3.16. ábra. A Blo h-spektrál függvény két dimenziós ábrázolása két energiánál(A(kx, ky)). A jobb oldali E1 = −1.09eV, a bal oldali ábra E1 = −1.22eV energia-értéknél vett ábrázolást mutatja.a felületi állapot kötési energiájától távolodva az állapot egyre inkább anizotróp lesz,az E1 energiánál kapott két kör- ahol még érvényes az izotróp Rashba-modell- nagyobbenergiánál jelent®sen módosul vagyis az izotróp modell nem lesz elegend® a diszperzióleírásához. Ez a megállapítás másrészr®l a diszperzióra illesztett függvényb®l is adódik.Ehhez használjuk fel, hogy a (3.46) egyenlettel megadott Hamilton-operátorhoz tartozósajátértékek a következ® alakúak [52, 66:

E±(k) = E0 +~2k2

2m∗ ±√

k2 (α1 + α13 k

2)2+ (α2

3)2k6 cos2 3ϕ. (3.49)A fenti egyenletb®l képezzük az alábbi különbségnégyzetet a megfelel® sajátenergia ér-tékekre:

(

∆E

2

)2

=

(

E+(k)− E−(k)

2

)2

= k2(

α1 + α13 k

2)2

+(

α23

)2k6 cos2 3ϕ. (3.50)A felületi állapot kx irányban (amely megfelel cosϕ = 1 esetnek) valamint a ky irány-ban (amikor cosϕ = 0 ) vizsgált diszperziójára elvégezve a fenti egyenletnek megfelel®illesztést, a 3.17. ábrán látható eredményt kapjuk. Ezen az ábrán a (3.50) egyenletnekmegfelel® illesztés mellett az izotróp Hamilton-modellb®l kapott energia diszperzió is felvan tüntetve, szemléltetve, hogy az izotróp modell a teljes diszperzió sak kis részét írjale jól, a megfelel® leíráshoz a magasabb rend¶ tagok is szükségesek.Felmerül azonban a kérdés, hogy az ugyanilyen szimmetriával rendelkez® Au(111)valamint Cu(111) felületen kialakuló felületi állapot esetében miért nem jelenik meg

53 3. FEJEZET Felületi állapot

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.20.000

0.015

0.030

0.045

0.060

y-irány x-irány

( k - 13 k

3)2 + ( 23)

2 k6

( k - 13 k

3)2 ( k)2

o

(E+ - E -)2 /4

(e

V 2 )

k (1/A)3.17. ábra. A megfelel® sajátértékek különbségének a négyzetére végzett illesztés kx(kék görbe és szimbólum) valamint ky (piros görbe és szimbólum) irányban. A feketepontozott görbe az izotróp modellb®l kapott illesztés eredményét mutatja.hasonló módon a magasabb, harmadrend¶ tag, miért elegend® sak az izotróp Rashba-modell. Vizsgáljuk meg ehhez a (3.48) egyenlettel megadott α23 nevez®jét. Láthatjuk,hogy a nevez®ben szerepl® energiakülönbségben, E0 −En

E, két állapot közti különbség,a perturbálatlan, felületi állapot hullámfüggvényéhez tartozó energia, valamint a gapszélén lev®, az adott szimmetriához tartozó irredu ibilis ábrázolás sajátenergiája jelenikmeg. A két energia különbsége, melyet ∆E-vel jelölünk a továbbiakban, Au(111) felületiállapot esetén ∆EAu(111) = 1.77 eV, míg Bi/Ag(111) felületi állapotra vonatkozólag

∆EBi/Ag(111) = 0.27 eV. Ezáltal mondhatjuk azt, hogy Au(111) esetén a lényegesennagyobb energiakülönbség és így a nagyobb nevez® miatt a harmadrend¶ tag lényegesenkisebb járulékot ad, mint Bi/Ag(111) rendszer esetén.3.3. Ötvözetek felületi állapotai3.3.1. Az állapotok kiszélesedéseAmint azt az elméleti bevezet®ben is említettük, az elektron állapotok feltérké-pezését a Blo h-spektrál függvény segítségével tehetjük meg. Rendezetlen ötvözetekesetében a Blo h-spektrál függvény értelmezését lehet®vé teszi az, hogy a CPA-elmélet

3.3. Ötvözetek felületi állapotai 54a Green-függvény átlagának képzésén alapul, ezáltal az átlagos Green-függvénnyel aBlo h-spektrál függvényt is tudjuk deniálni valamint sávszerkezetet is értelmezhetünk.Továbbá a Blo h-spektrál függvényt nem egy éles Dira -delta-szer¶ sú s jellemzi ha-nem lesz egy, a rendezetlenségt®l függ® kiszélesedése. Ez összhangban van azzal a zikaiképpel, amit várunk is, hogy a rendezetlenség hatására az egyes állapotok véges valószí-n¶séggel lehetnek egyik vagy másik helyen.A Green-függvény átlagolása során megjelennek az átlaghoz tartozó diagonális ésnem diagonális részek [20. A következ®kben bemutatjuk ezt a két részt majd pedig azebb®l felírható a Blo h-spektrál függvény teljes alakját. Tekintsünk két komponens¶,AcB1−c ötvözetet az egyszer¶bb leírásmód végett, de ez is általánosítható úgy, mint akoherens poten iál közelítés, tetsz®leges komponens számú ötvözetre. A Green-függvénymegoldását adó (2.33) egyenlet alapján felírhatjuk a Green-függvény átlagát,〈G(r, r′, E)〉 =

∑

L,L′

[cAZAL (rn, E)〈τnnLL′〉AZA

L′(r′n, E) + cBZBL (rn, E)〈τnnLL′〉BZB

L′(r′n, E)]

−∑

L

[cAZAL (rn, E)J

AL (r

′n, E) + cBZ

BL (rn, E)J

AB (r

′n, E)], (3.51)ahol r és r′ ugyanahhoz az n. ellához tartoznak valamint 〈τnnLL′〉A és 〈τnnLL′〉B az SPO-mátrix feltételes átlagát adja, abban az esetben, amikor az n. ellában sak az A vagy sak a B komponens van. Vegyük észre, hogy az így képzett átlagban az SPO-mátrixnak sak a diagonális elemei szerepelnek, ezért az ebb®l kapott átlagolás fogja adni a dia-gonális részét a Blo h-spektrál függvénynek. Az SPO-mátrixot a koherens poten iálmódszer leírásánál látottakhoz hasonlóan az (2.78) egyenlet alapján, a szennyez® mát-rixszal írhatjuk fel,

〈τnnLL′〉n = Dnτ 00c = τ 00c Dn, n = A,B, (3.52)ahol tehát a szennyez® mátrix,

Dn = [I+τ 00c (t−1n − t−1

c )]−1. (3.53)Végeredményben ezek felhasználásával megkapjuk a Green-függvény átlagának diago-nális részéhez tartozó elemeket. Ezt Gc(r, r′, E)-vel jelölve az ezt kifejez® egyenlet:Gc(r, r′, E) = trFc(rn, r

′n)τ

00c

−∑

L

[cAZAL (rn, E)J

AL (r

′n, E) + cBZ

BL (rn, E)J

AB (r

′n, E)], (3.54)ahol

Fc(rn, r′n) = cAF

A(rn, r′n)D

A + cBFB(rn, r

′n)D

B, (3.55)

55 3. FEJEZET Felületi állapotilletve FA(rn, r′n), FB(rn, r

′n) a szórási probléma megfelel® reguláris megoldásainak aszorzata,

F nLL′(rn, r

′n) = Zn

L(r′n, E)Z

nL′(r′n, E). (3.56)A nem diagonális elemek meghatározásához induljunk ki a Green-függvény

G(r, r′, E) =∑

LL′

ZnL(rn, E)τ

nmLL′Zm

L′(r′m, E) (3.57)alakjából, ahol r az n. míg r′ az m. ellához tartozik. Az így felírt Green-függvényátlaga:〈G(r, r′, E)〉nm = trF nm(rn, r

′m)〈τnm〉nm. (3.58)Ebben az esetben a F nm(rn, r

′m) mátrix elemei

F nmLL′(rn, r

′m) = Zm

L (r′m, E)ZnL′(r′n, E). (3.59)Az átlagolást az összes lehetséges állapotra végezzük el az m. valamint n. ellára,

〈G(r, r′, E)〉 = tr[c2AFAA(rn, r

′m)〈τnm〉AA + c2BF

BB(rn, r′m)〈τnm〉BB

+ cAcBFAB(rn, r

′m)〈τnm〉AB + cAcBF

BA(rn, r′m)〈τnm〉BA]. (3.60)A fenti egyenletben szerepl® 〈τnm〉nm átlagát az alábbiak szerint képezhetjük [31,

〈τnm〉nm = Dnτnmc Dm. (3.61)Az ilyen módon felírt átlag képzésekor azt a közelítést tettük, hogy az ötvözet egyes kom-ponenseinek átlagait egymástól függetlenül vehetjük, az egyik komponens behelyezésévelaz eektív poten iállal jellemzett rendszer nem változik meg. Ennek felhasználásával anem diagonális részhez tartozó Green-függvény átlaga a megfelel® iklikus permutá iókelvégzése után,Gc(r, r′, E) = trFcc(rn, r

′m)τ

nmc , (3.62)ahol

Fcc(rn, r′m) = c2AD

AFAA(rn, r′m)D

A + c2BDBFBB(rn, r

′m)D

B

+ cAcBDBFAB(rn, r

′m)D

A + cAcBDAFBA(rn, r

′m)D

B. (3.63)A Blo h-spektrál függvény a Brillouin-zónában értelmezett mennyiség, amelyetAB(E,k) = −1

πImGc(k,k′, E), (3.64)

3.3. Ötvözetek felületi állapotai 56egyenlet deniál, ahol a Green-függvény Fourier-transzformáltja háromdimenziós eltolásiszimmetriával rendelkez® rendszerek esetén az alábbi,Gc(k,k

′, E) = δ(k− k′) ·∑

Rn

eikRnGc(r, r+Rn), (3.65)amelybe beírva a Green-függvény átlagának a (3.54) és (3.62) egyenletekkel megadottalakját,Gc(k,k

′, E) = trF cc∑

Rn 6=0

eik·Rnτ 0nc + trF cτ 00c −Q(E), (3.66)ahol a kifejezésben szerepl® Q(E) a Green-függvény átlagát megadó (3.54) egyenletnek amásodik tagja, amely valós, igy a Blo h-spektrál függvény meghatározásánál ezt elhagy-hatjuk. Az SPO-mátrix Fourier-transzformáltját pedig az alábbi formában írhatjuk,τc(E,k) =

∑

Rj

e−ik·Rijτ ijc (3.67)amib®l egyértelm¶en látszik, hogy a diagonális τ -mátrixra fennáll aτ 00c =

∑

k

τc(E,k) (3.68)összefüggés. Felhasználva az így felírt formulákat, végeredményben a Blo h-spektrálfüggvényre kapott kifejezés,AB(E,k) = −1

π

(

∑

n=A,B

cn Im[Tr(Dnτ 00c Fnn)]

+∑

n,m=A,B

cncm Im[Tr(Dnτ(E,k)DmF nm]

)

, (3.69)ahol bevezettük az azonos átalakításokból kapott τ(E,k) kifejezést,τ(E,k) =

∑

Rj 6=0

τ 0jc + τ 00c − τ 00c

=∑

Rj

τ ijc − τ 00c

= τc(E,k)− τ 00c . (3.70)Viszonylag könnyen látható a fenti egyenletb®l, hogy abban az esetben amikor sak azegyik komponens van jelen, vagyis nem ötvözetr®l van szó, akkor visszakapjuk a Blo h-spektrál függvény már jól ismert, (2.46) egyenletben látott alakját.A Blo h-spektrál függvény (3.69) egyenlettel felírt kifejezésének a KKR programbavaló beépítése lehet®vé tette ötvözetek felületi állapotának vizsgálatát. A következ®kbenbemutatunk két típusú ötvözet felületein létrejöv® felületi állapotnak a kon entrá iótólvaló függését.

57 3. FEJEZET Felületi állapot3.3.2. Felületi állapot CuxAu1−x felületenMind a réz, mind pedig az arany felületén létrejön felületi állapot, Fermi-felületüknagyon hasonlóak, így az (111) irány mentén mindkett® esetében megtalálható az aFermi-nyak, amelyben kialakul a felületi állapot. Ezért e két anyag ötvözésekor aztvárjuk, hogy az ötvözet felületén továbbra is megjelenik felületi állapot, ugyanis a Fermi-nyak az ötvözés hatására nem t¶nik el, sak az átmér®je változik. Eltérés a két ötvöz®anyagban a spin pálya köl sönhatás tekintetében van, ugyanis arany esetében a diszper-ziós relá ió felhasadása, a Rashba-felhasadás lényegesen nagyobb, mint réz esetében anagyobb spin-pálya satolás folytán. A diszperziós relá ió változását (111) normális irá-nyú felületen az ötvözés hatására a 3.18. ábrán követhetjük nyomon, amelyen két dolgotis észrevehetünk amellett, hogy a felületi állapot minden egyes kon entrá iónál betöltöttlesz. Egyrészr®l, hogy az arany kon entrá iójának növelésével a spin-pálya köl sönhatásCu90Au10

(E−E

F)

(meV

)

−0.14 −0.07 0 0.07 0.14

−300

−150

0

Cu75Au25

−0.14 −0.07 0 0.07 0.14

−300

−150

0

Cu50Au50

k (1/Å)

−0.14 −0.07 0 0.07 0.14

−300

−150

0

Cu25Au75

k (1/Å)

−0.14 −0.07 0 0.07 0.14

−300

−150

0

3.18. ábra. A felületi állapot diszperziós relá iójának változása az arany kon entrá ió-jának növelésével.

3.3. Ötvözetek felületi állapotai 58és ezáltal a Rashba-felhasadás is egyre nagyobb lesz. Másrészr®l a felületi állapot sávjaegyre jobban kiszélesedik a rendezetlenség növelésével. A legrendezetlenebb állapotban,Cu50Au50 esetén a legnagyobb ez a kiszélesedés amely a rézben illetve aranyban gazdagrész fele haladva egyre kisebbé válik a rendezetlenség sökkenésével.3.3.3. Felületi állapot CuxPd1−x felületen

CuxPd1−x (111) felületén viszont a felületi állapot diszperziós relá iójának válto-zásában másféle viselkedés gyelhet® meg az ötvöz®anyagok drasztikusan különböz®Fermi-felületéb®l adódóan. Míg réz (111) irányú Fermi-metszetén található Fermi-nyak folytán betöltött felületi állapot alakul ki, addig palládium (111) felületén- sakúgy, mint platina felületén- a felületi állapot betöltetlen [70, valamint nem találhatóFermi-nyak. Réznek palládiummal való ötvözésével ezáltal a Fermi-nyak átmér®jeCu85Pd15

(E−E

F)

(meV

)

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

−600

−300

0

300

600

Cu75Pd25

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

−600

−300

0

300

600

Cu65Pd35

k (1/Å)

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

−600

−300

0

300

600

Cu50Pd50

k (1/Å)

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

−600

−300

0

300

600

3.19. ábra. A felületi állapot diszperziós relá iójának változása a palládium kon entrá- iójának növelésével.

59 3. FEJEZET Felületi állapotváltozik számottev® mértékben [71, amely a felületi állapot diszperziós relá iójára isjelent®s hatással lesz. A 3.19. ábrán láthatjuk a felületi állapot diszperziós relá iójánakváltozását a palládium kon entrá iójának növelésével. Palládium hatására meggyel-het® hogy a felületi állapot kötési energiája egyre inkább a Fermi-energia fölé tolódikezáltal a kezdetben betöltött felületi állapot betöltetlen lesz. A diszperziós relá iónakez a változása összhangban van azzal a képpel is, hogy a Fermi-nyak a palládium-ban gazdag oldal fele haladva egyre jobban záródik össze. Már viszonylag kevés, 15%kon entrá iójú palládium nagy mértékben módosítja a diszperziós relá iót, majd 25%esetén a felületi állapot betöltetlenné válik. Magasabb palládium kon entrá iónál pediga Fermi-energiánál a nyak be is záródik.

4. fejezetKi serél®dési köl sönhatás mágnesesszennyez®k közöttFelületre helyezett mágneses szennyez®k zikai tulajdonságainak vizsgálata nem sak elméleti szempontból fontos jelent®ség¶, hanem kísérleti vonatkozásban is, ugyanisa jelenség alapvet®bb megismerése nagyban el®segítené a felületre helyezett mágneses,véges méret¶ nanostruktúrák mágneses adattárolásban betöltött szerepének jobb meg-értését. A kísérletek egyre nagyobb mérv¶ fejl®désével pedig elérhet®vé vált akár kisebb,néhány atomból álló atom soportok mágneses és zikai tulajdonságainak mérése külön-böz® felületeken [61. További lényeges kérdés, hogy mi befolyásolhatja és hogyan afelületre helyezett mágneses szennyez® atomok közötti köl sönhatást. Ennek érdekébennumerikus számolásokat végeztem különböz® irányú és tulajdonságú felületeken.Két, egymástól elegend®en messze lev® mágneses atom közötti köl sönhatást a kris-tály belsejében a közismert RKKY-köl sönhatás szabja meg, amely az atomok távol-ságával 1/R3 szerint seng le, miközben osz illál, ahol R a két mágneses atom köztitávolság [2, 3, 4. Az, hogy a két atom elegend®en messze legyen azt jelenti, hogy amegfelel® hullámfüggvények között ne legyen átfedés, a közvetlen ki serél®dés elhanya-golhatóvá váljon. Az osz illá ió periódusát, ami az irodalomban is közismert tény, akristály Fermi-felülete szabja meg az adott irány mentén, az amplitúdó nagyságát pediga Fermi-felület görbülete határozza meg. A felületi számolások megkezdése el®tt szá-molásaimmal ezt is igazoltam, majd a vizsgálatokat a különböz® orientá iójú felületrevalamint az egyes rétegekben kialakuló ki serél®dés meghatározására is kiterjesztettem.Ebben a fejezetben a tömbi anyagban kialakuló köl sönhatásról olvashatunk egyrövid átfogó képet, majd rátérek a saját numerikus eredményeimre. A köl sönhatás ki-alakulását, amint azt látni fogjuk, az adott felületi tulajdonságok -ilyen például a felületi60

61 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k közöttállapot jelenléte a különböz® orientáltságú felületeken illetve a mágneses szennyez® hatá-sára létrejöv® indukált momentumok- jelent®s mértékben befolyásolják. Ezért végeztünkrészletes vizsgálatokat az el®z® részben tárgyalt felületi állapotokra vonatkozólag vala-mint ezért fogjuk megvizsgálni az indukált momentumokat és azok hatásait ebben afejezetben.4.1. Köl sönhatás tömbi anyagban4.1.1. A köl sönhatási formula általános alakjaÁltalánosan egy nem köl sönható elektronrendszer állapots¶r¶ségét, amint azt azelméleti bevezet® (2.39) egyenletében is láthattuk, az úgynevezett Lloyd-formulával ír-hatjuk fel [36, amelynek felhasználásával a szennyez® hatására megváltozott állapots¶-r¶séget tudjuk meghatározni. Helyezzünk két szennyez®t nem mágneses anyagba szubsz-titú iós módon, ekkor ebben a leírásmódban a két szennyez® perturbá ióként kezelhet®.Továbbá tételezzük fel, hogy az így kristályba helyezett mágneses atom sak a kristálydiszkrét rá spontjaiban helyezkedik el, illetve a perturbá ióra feltesszük, hogy energia-független. Ilyen energiafüggetlen köl sönhatás például a mágneses atom hatására létre-jöv® Zeeman-felhasadás. Másrészr®l pedig - a szoros kötés¶ közelítést is felhasználva - eza perturbá ió a kristályt leíró Hamilton-operátor olyan elemeire hat sak amelyek azo-nos bázishoz tartoznak, vagyis a szennyez® és a kristály hullámfüggvénye közti átfedéstelhanyagoljuk. Ekkor a perturbált rendszer Hamilton-függvénye:H = H0 +∆H, (4.1)ahol H0 a nem perturbált rendszer (szennyez®k nélküli kristály) Hamilton-operátora és

∆H = ∆H1+ ∆H

2a két szennyez®t megadó perturbá ió. Hasonlóan, mint ahogyanazt az elméleti részben tárgyaltaknál bevezettük, itt is a dupla aláhúzás jelenti, hogyaz adott mennyiség rá s indext®l valamint impulzusmomentumtól is függ. Abban azesetben, ha az impulzusmomentum mellett a spinfüggést is gyelembe vesszük, akkormágneses szennyez®k esetére is kib®víthetjük a leírást. Az egyszer¶ség kedvéért általánosszennyez®kre mutatjuk meg a köl sönhatás analitikus formáját.Általánosan, i darab szennyez® esetén a perturbáló operátor alakja:

∆Hnn′

=∑

i

∆H iδniδn′i, (4.2)

4.1. Köl sönhatás tömbi anyagban 62amelyben n,n′ a szennyez® helyét indexeli. A perturbá ió hatására megváltozott álla-pots¶r¶ség felírásához használjuk fel a Lloyd-formulát [35:∆n(ǫ) = n(ǫ)− n(ǫ0) =

1

π

d

dǫImTr lnT (ǫ), (4.3)ahol n(ǫ) a perturbált rendszer, n(ǫ0) pedig a referen ia rendszer állapots¶r¶sége. Aszóráselméletb®l jól ismert T (ǫ) szórás mátrix alakját,

T (ǫ) = [I−∆H G0(ǫ)]−1∆H = ∆H [I−G0(ǫ)∆H ]−1, (4.4)a (4.3) egyenletbe beírva és kihasználva, hogy ∆H energiafüggetlen, az állapots¶r¶ségmegváltozása:

∆n(ǫ) =1

π

d

dǫImTr ln[I−∆H G0(ǫ)]

−1. (4.5)Ezekb®l tehát a perturbált rendszer teljes (integrált) állapots¶r¶ségét valamint a nagy-kanonikus poten iálból származtatott energiáját, az f(ǫ) Fermi-eloszlásfüggvénnyel azalábbi formában írhatjuk:N(ǫ) = N0(ǫ)−

1

πImTr ln[I−∆H G0(ǫ)], (4.6)

Ω = −∫ ∞

−∞dǫf(ǫ)N0(ǫ)−

1

πIm

∫ ∞

−∞dǫf(ǫ) Tr ln[I−∆H G0(ǫ)]. (4.7)Két szennyez® esetén a perturbált rendszer nagykanonikus energiája

Ω = −∫ ∞

−∞dǫf(ǫ)N0(ǫ)−

1

πIm

∫ ∞

−∞dǫf(ǫ) Tr ln[I−(∆H1 +∆H2)G0(ǫ)], (4.8)az integráljel mögött kifejezésben végezzük el az alábbi átalakításokat:

I−(∆H1 +∆H2) G0(ǫ) = [I−∆H1 G0(ǫ)][I−∆H2 G0(ǫ)]−∆H1 G0(ǫ)∆H2 G0(ǫ)

= [I−∆H1 G0(ǫ)][I−T1(ǫ) G0(ǫ)T2(ǫ) G0(ǫ)][I−∆H2 G0(ǫ)] .(4.9)Vezessük be a következ® jelöléseket:Ω = Ω0 +∆Ω1 +∆Ω2 + Ω12, (4.10)ahol Ω0 a referen ia rendszer energiája:Ω0 = −

∫ ∞

−∞dǫf(ǫ)N0(ǫ), (4.11)valamint

∆Ωi =1

πIm

∫ ∞

−∞dǫf(ǫ)d(ǫ)[I−∆Hi G0(ǫ)] (i = 1, 2) . (4.12)A két szennyez® közötti köl sönhatást megadó energia végeredményben:

Ω12 =1

πIm

∫ ∞

−∞dǫf(ǫ) Tr ln[I−T1(ǫ) G0(ǫ)T2(ǫ) G0(ǫ)]. (4.13)

63 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k között4.1.2. RKKY-köl sönhatás analitikus tárgyalásaA köl sönhatás analitikus alakjának megadásához induljunk ki a (4.13) egyenlet-b®l és a szórási folyamat során tekintsünk sak els®rend¶ folyamatokat és mivel a kétszennyez® közötti köl sönhatást aszimptotikus határesetben akarjuk leírni (vagyis ami-kor a két szennyez® egymástól elegend®en távol van) ezt joggal meg is tehetjük. Hasz-náljuk fel aln(1− x) = −

∞∑

m=1

xm

m(4.14)sorfejtési alakot és írjuk fel ezzel els® rendben a (4.13) egyenletet, ekkor:

Ω12 = −1

πIm

∫ ∞

−∞dǫf(ǫ) Tr[T1(ǫ)G0(ǫ)T2(ǫ)G0(ǫ)]. (4.15)Megjegyezzük, hogy ez a közelítés a szóráselméletben is jól ismert Born-közelítésnekfelel meg. Az így kapott (4.15) egyenletben, feltéve, hogy a két szennyez® az i. és j.rá spontban van, az integráljel mögötti mennyiséget még az alábbi alakban is írhatjuk:

Tr[T1(ǫ)G0(ǫ)T2(ǫ)G0(ǫ)] = Tr[G0ij(ǫ)T1

jj(ǫ)G0ji(ǫ)T2

ii(ǫ)]. (4.16)A Green-függvény Fourier-transzformáltjának az alábbi alakját véve és komplex z =

ǫ+ iδ energiákra kiterjesztve:G0

ij(z) =1

VBZ

∑

k

G0(z,k)e−ik|Ri−Rj| =

1

VBZ

∑

k

∑

µ

|µ,k〉〈µ,k|z − ǫµ(k)

e−ikRl , (4.17)ahol vezessük be az egyszer¶ség kedvéért az Rl = |Ri − Rj| és Aµ(k) = |µ,k〉〈µ,k|jelöléseket. A Green-függvény fenti alakját a (4.16) egyenletbe behelyettesítve kapjuk:Tr[T1(ǫ)G0(z)T2(ǫ)G0(z)] =

1

V 2BZ

∑

k,k′

∑

µ,µ′

Tr[Aµ(k)T1jj(ǫ)Aµ′(k′)T2

ii(ǫ)]

[z − ǫµ(k)][z − ǫµ′(k′)]e−i(k−k′)Rl ,(4.18)amelyben deniálhatjuk az alábbi mennyiséget:

Tµµ′(k,k′, ǫ) ≡ Tr[Aµ(k)Tjj1 (ǫ)Aµ′(k′)T ii

2 (ǫ)]. (4.19)Ezeket a kifejezéseket felhasználva végeredményben megkapjuk a két szennyez® közöttiköl sönhatási energiára vonatkozó egyenletet:Ω12 = −1

πIm

∫ ∞

−∞dǫf(ǫ)

1

V 2BZ

∫

d3k

∫

d3k′Tµµ′(k,k′, ǫ)

[ǫ− ǫµ(k) + iδ][ǫ− ǫµ′(k′) + iδ]e−i(k−k′)Rl .(4.20)

4.1. Köl sönhatás tömbi anyagban 64Ahhoz, hogy a fenti egyenletb®l megtudjuk a köl sönhatás aszimptotikus le sen-gését, el kell végezni a megfelel® energia és térfogati integrálokat. Ennek a levezeté-sét részletesen a [53-as referen iában megadott kurzus tárgyalja, ezért most ennek ahosszadalmas levezetésnek a leírásától eltekintünk, de a levezetésben lev® néhány fontoslépést érdemes megemlíteni. Az energia integrál elvégzésekor kihasználjuk egyrészr®l,hogy a fenti egyenlet nevez®jének egy adott ǫµ(k) értéknél szingularitása van, másrész-r®l Rl → ∞ esetén az exponen iális kifejezés egy gyorsan osz illáló függvény, így azintegrált elegend® a pólusok környékén elvégezni, ugyanis a többi nullára átlagolódike két, gyorsan változó és szingularitással rendelkez® függvény szorzatakor. A térfogatiintegrál meghatározásakor is kihasználjuk, hogy az exponen iális kifejezés az aszimpto-tikus tartomány folytán egy gyorsan osz illáló függvény, ezáltal az integrál elvégzéséhezaz optikában jól ismert sta ionárius fázisok módszerét használhatjuk fel. Amennyibenrendszerünket a rétegekhez hasonlóan vesszük fel Rl = L · z, a Brillouin-zónát pedig k‖illetve k⊥ részre bontjuk, ekkor a térfogat integrálást az alábbiak szerint vehetjük:∫

d3k =

∫

A

d2k‖

∫ πd

−πd

dk⊥.Tekintve, hogy a sta ionárius fázisok alkalmazásával az integrál végeredményében atávolság re iprokja (1/L) jelenik meg (b®vebben a sta ionárius fázisokról a Függelék-ben olvashatunk) a megfelel® térfogati, amelyb®l az 1/L2 le sengést kapjuk és energiaintegrál- amely további 1/L tagot jelent- elvégzése után a két szennyez® közötti köl sön-hatás aszimptotikus alakjára a következ®t kapjuk:Ω12 ∼

1

L3eiQ(ǫF )L, (4.21)ahol Q(ǫF ) azt a maximális (extremális) méret¶ vektort jelenti, amelyet az elektron-rendszer Fermi-metszete határoz meg. A 4.1. ábrán láthatunk sematikusan egy Fermi-metszetet és az ahhoz rendelhet® extremális vektorokat. Észrevehetjük, hogy egy Fermi-metszet akár több extremális vektort tartalmazhat, ezt mindig az adott irányban vizsgáltFermi-metszet görbülete illetve topológiája határozza meg. Egyszer¶bb Fermi-felület¶anyagoknál, mint például a réz, arany vagy akár az ezüst, az extremális vektorokat azegyes irányokban viszonylag könny¶ meghatározni, valamint az irodalomban is könnyenfellelhet®k [5.

65 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k közöttQ1(εF)

Q2(εF)

Q1(εF)

Q2(εF)

4.1. ábra. Sematikus ábra a Fermi-metszetben lev® extremális vektorokról. A Fermi-metszet több extremális vektort tartalmazhat, ezt a Fermi-felület topológiája határozzameg. Egy adott irányú extremális vektor nagyságát pedig a Fermi-metszetb®l olvasha-tunk le.4.1.3. Számolt eredmények Cu, Ag és Au tömbi anyagbanA felületi számolások megkezdése el®tt megvizsgáltam milyen extremális vektorok-nak megfelel® osz illá iók jelennek meg két Co szennyez® atom közötti ki serél®désiköl sönhatásban Cu, Ag valamint Au tömbi anyagban. Ezeknek a számolásoknak a jólismert RKKY eredményeket kell visszaadniuk, mind a le sengés, mind pedig frekven iatekintetében [2, 3, 4, 73, ezért az itt közölt eredmények els®sorban ellen®rzési élokatszolgáltak.A fent említett anyagokat azért is érdemes volt együtt vizsgálni, mert Fermi-fe-lületük nagyon hasonló, valamint könnyen értelmezhet®, így az extremális vektorokmeghatározása és a Fermi-felület feltérképezése viszonylag egyszer¶en elvégezhet®. AFermi-metszetek elkészítéséhez a felületi állapotoknál látott Blo h-spektrál függvénythasználhatjuk fel, azzal a különbséggel, hogy jelen esetben egy energiánál, a Fermi-energiánál kell megadni a Brillouin-zóna egy adott pontjában lev® felületi állapotot.Ezáltal a Brillouin-zóna teljes metszetét kell végig pásztázni az állapotok megkeresésé-hez, így érezhet®, hogy ez eléggé hosszadalmas feladatot jelentett a Green-függvényesmódszer alkalmazásával. Megjegyezzük azonban, hogy azokban a módszerekben aholaz elektron állapotokat hullámfüggvénnyel írják fel, mint például a linearizált mun-tin pálya módszerben, az energia diszperzió a teljes Brillouin-zónában közvetlenül iskiszámítható.A Fermi-felület metszetét a három (100), (110) és (111) irányra mer®legesen mutatjaa 4.2. ábra réz esetén, amelyen jelölve vannak a Fermi-metszethez tartozó extremális

4.1. Köl sönhatás tömbi anyagban 66

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

6

Q1(110)

Q(111)

Q2(100)

Q1(100)

k [001

] (1/Å

)

k[110] (1/Å)0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

6

k [010

] (1/Å

)

k[100] (1/Å)

Q1(100)

Q4(110)

1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

Q3(110)

Q2(110)

k [-110

] (1/Å

)

k[11-2] (1/Å)4.2. ábra. Réz Fermi-felületének metszetei, (110) irányra (bal föls® ábra), (100) irányra(jobb föls® ábra) valamint (111) irányra (alsó ábra) mer®legesen.vektorok is. Az ábráról leolvasható, hogy [100 irányban kett®, Q1(100), Q2

(100), [110irányban négy, Q1(110), Q2

(110), Q3(110), Q4

(110), míg [111 irányban sak egy, Q(111) ext-remális vektor található, megegyez®en az irodalomban is megtalálható Cu-ra vonatkozómetszetekkel [5. Annak érdekében, hogy össze tudjuk vetni az extremális vektorokat aköl sönhatás frekven iájával, számolásokat végeztem a kialakuló köl sönhatásra vonat-kozólag a három f® irány [100, [110 és [111 mentén. A 4.3. ábra a számolt ki serél®désiköl sönhatásra illesztett görbéket mutatja, a jobb szemléltethet®ségért a numerikusanszámolt eredményeket az ábrán nem tüntettük fel. Az illesztett függvényeket mindenesetben J(R) ∼ cos(2kF · R)/R3 alakúnak választottam. Megállapítható, hogy példáulha az [110 irány mentén vizsgáljuk a köl sönhatást akkor sak a Q1(110) extremális vek-tornak megfelel® osz illá ió jelenik meg mindhárom anyag esetén, [100 irányban pedig

67 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k között

300 400 500

-0.2

0.0

0.2

J(R) (

eV)

R (Å)

Réz Arany Ezüst

Q1(100)

200 300 400-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Q1(110)

J(R) (

meV

)

R(Å)

Réz Arany Ezüst

200 300 400

-0.2

0.0

0.2Q1

(111)

J(R) (

eV)

R(Å)

Réz Arany Ezüst

4.3. ábra. Cu, Ag és Au tömbi anyagban kapott ki serél®dési köl sönhatás két Coszennyez® között három irány mentén. A szimbólumok a számolt értékeket, míg a görbeaz illesztés eredményét jelöli sak a Q1(100) vektornak megfelel®. Az a tény, hogy az adott irányban vizsgált ki seré-l®désben sak egy frekven ia jelenik meg, az abból ered, hogy az egyes frekven iák nemazonos súllyal (amplitúdóval) vannak jelen a Fermi-felület görbületét®l függ®en. Ezáltalel®fordulhat, hogy az egyik frekven ia járuléka lényegesen nagyobb a többi frekven iá-hoz képest, így az osz illá ióban sak egy frekven ia jelenik meg (illetve egy frekven iátlátunk). Az [111 irány az összehasonlítás szempontjából a legegyszer¶bb eset, ugyanisebben az irányban sak egy extremális vektor van, így ennek megfelel®en az osz illá ió-ban is sak ez az egy vektor található meg.Ahhoz, hogy jobban szemléltethet® legyen e két érték, az extremális vektorok, va-lamint az illesztésb®l meghatározott 2kF frekven iák azonossága, a 4.1. táblázatbanfoglaltuk össze a megfelel® értékeket. A táblázatból leolvasható az, hogy e két értékegész jó egyezést mutat egymással, vagyis kijelenthetjük, hogy számolási módszerünk

4.2. Köl sönhatás különböz® irányú Cu és Au felületeken 68megfelel®en adja vissza az elméletb®l várt köl sönhatási tulajdonságot, alkalmasan hasz-nálható további, felületi számolásokra is.Q1

(100)(1/Å) 2kF (1/Å)Cu 0.548 0.569Ag 0.540 0.518Au 0.348 0.317 Q1(110)(1/Å) 2kF (1/Å)Cu 2.377 2.370Ag 2.046 2.058Au 2.143 2.133

Q1(111)(1/Å) 2kF (1/Å)Cu 0.619 0.616Ag 0.317 0.287Au 0.544 0.5474.1. táblázat. A Femi-metszetb®l leolvasott extremális vektorok valamint az azzal meg-egyez® irányban vizsgált köl sönhatás frekven iája.Amint azt az elméleti bevezet®ben írtuk, a szennyez®k számolásánál a köl sönhatásienergia valójában a két spinkongurá ió közötti teljes sávenergia különbség. Természe-tesen meg lehet határozni a köl sönhatást tetsz®leges spin¶ kongurá ióra is, vagyisamikor nem sak a parallel valamint az antiparallel irányok közti energia különbségetnézzük [54. Ekkor a köl sönhatásból olyan tagok nagyságrendje is meghatározható,mint a Dzyaloshinsky-Moriya-tag is [55, 56. Jelen munka során ugyanakkor nem azvolt a él, hogy megvizsgáljuk a köl sönhatás magasabb rend¶ tagjainak nagyságát,hanem az, hogy kapjunk egy átfogó képet a mágneses szennyez®k köl sönhatásánakalakulásáról.4.2. Köl sönhatás különböz® irányú Cu és Au felüle-teken4.2.1. Két dimenziós gázban létrejöv® köl sönhatásMiel®tt a felületen kialakuló köl sönhatásra kapott számolási eredményeket bemu-tatnánk, nézzük meg mi történik két mágneses szennyez® közötti köl sönhatással ha aszennyez®ket egy két dimenziós gázba helyezzük. Ez azért is lényeges kérdés, mivel afelületi állapotot is egy ilyen két dimenziós, közel szabad elektrongázként tudjuk értel-mezni. Az RKKY-köl sönhatás két dimenziós gázban történ® leírására többféle analiti-

69 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k közöttkus vizsgálatok is léteznek [84, 85, 86. A leírás során ha feltételezzük, hogy ennek a kétdimenziós gáznak a Hamilton-operátora a Rashba-típusú spin-pálya satolással írhatóle- amelyet a felületi állapotoknál is alkalmaztunk- akkor erre az alábbi alakot írhatjuk:H0 = − ~

2

2m∇2 + α(−i~∇× z)σ, (4.22)ahol α az izotróp Rashba-paraméter, z egységvektor a z irány mentén és σ a Pauli-mátrix. A vezetési elektronok Green-függvényének momentum térbeli alakjára a fentiHamilton-operátort felhasználva a következ®t írhatjuk

G(k, z) =

[

z −(

~2k2

2mσ0 + α(k× z) · σ

)]−1

, (4.23)ahol σ0 egységmátrix. A két lokalizált spint S1 és S2-vel jelölve, a két spinhez rendelthelyvektorokra pedig az R1 és R2 mennyiséget bevezetve, a spinek valamint az elektronrendszer közötti satolás Hamilton-operátorát aH1 = J

∑

i=1,2

δ(r−Ri)Si · σ (4.24)kifejezéssel írhatjuk le, ahol J reprezentálja az elektron rendszer és a két lokalizált spinközötti satolás vagy más néven s-d satolás er®sségét. A rendszer teljes Hamilton-operátorát a (4.22). egyenletben megadott H0 valamint a fenti H1 operátor összegeadja. Abban az esetben ha a J satolási állandó ki si, akkor a H1 operátor pertur-bá iónak tekinthet® a H0 operátorhoz képest és ekkor az RKKY-köl sönhatást a kétspin között perturbá iószámítással számíthatjuk ki. Megmutatható, hogy másodrend¶perturbá ió számítás után a két szennyez® atom közötti RKKY-köl sönhatást megadóegyenlet aszimptotikusan [86:HRKKY

1,2 = − J2m

2π2~2

sin2kFR

R2

[

cos θ1,2S1S2 + sin θ1,2(S1 × S2)y + 1− cos θ1,2Sy1S

y2

]

,(4.25)amelyben θ1,2 = 2mαR/~2. A fenti egyenletben látható három tag rendre a Heisenberg-,Dzyaloshinsky-Moriya- (DM) valamint az Ising-tag. Mindhárom tag le sengése a tömbiRKKY-köl sönhatáshoz képest a két spin távolságának négyzetével fordított arányban seng le. Azonban, míg tömbi osz illá iók esetén, mint láttuk a Fermi-felület extremálisvektora határozza meg a frekven iát, addig ebben az esetben a felületi állapot Fermi-vektora fogja azt megszabni, ezt a vektort láthattuk a felületi állapotoknál a 3.9. ábránis. Megjegyezzük, hogy kollineáris spinek z irányú elrendezésekor, amely szerint a szá-mítások is történtek, a DM-tag zérus a keresztszorzat folytán valamint az Ising-tag is,így két dimenziós gázban sak a Heisenberg-tag jelenik meg az osz illá iókban.

4.2. Köl sönhatás különböz® irányú Cu és Au felületeken 704.2.2. Numerikus számolások részleteiMiel®tt bemutatnánk részletesen a felületi számolások eredményeit, érdemes meg-említeni néhány dolgot amely a numerikus számolásokra lényeges hatással lehet. Anumerikus eljárásból adódóan az egyik meghatározó jelent®ség¶ a k-konvergen ia vizs-gálat. A szennyez®k köl sönhatási energiájának számításához ugyanis a (2.66) egyenlet-tel megadott SPO-mátrixnak a valós térbeli reprezentá ióját kell megadni. Ehhez pedigaz SPO-mátrix két dimenziós Brillouin-zónában vett integrálját kell elvégezni,τ pi,qj(ǫ) =

1

ΩBZ

∫

BZ

d2k||e−ik||(Ri−Rj)τ i,j(ǫ,k||), (4.26)ahol p és q a rétegeket indexeli valamint ΩBZ a Brillouin-zóna térfogatát jelöli. A rend-szer pont soport szimmetriáját kihasználva az integrált átírhatjuk irredu ibilis Brillouin-zónára vett integrállá [77 és ekkor az irredu ibilis Brillouin-zónában (IBZ) kell elvégeznia megfelel® integrálást. Látható a fenti egyenletb®l, hogy az exponen iális kifejezés, aszennyez®k egymáshoz képest nagy távolsága esetén egy nagyon gyorsan osz illáló függ-vény, így numerikusan nehéz elvégezni az integrált, ezáltal lényeges, hogy hány k pontotveszünk az IBZ-ben. A köl sönhatási energiának az IBZ-ben vett pontok számától valófüggését mutatja példaként a 4.4. ábra Cu(100) felületen a szennyez®k R = 50 Å tá-volságánál. Láthatjuk, hogy valóban lényeges nagy számú k pontot venni. A k pontokszáma a vizsgált rendszer numerikus tulajdonságaitól, illetve a két szennyez® közöttitávolságtól függ. Általában azokon a felületeken, ahol nin s felületi állapot illetve atömbi köl sönhatás számolásakor elegend® volt maximálisan 4000 k pontot venni, azon-

800 1600 2400 3200 4000

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

J(R) (

eV)

k pontok száma az irreducibilis Brillouin-zónában4.4. ábra. k-konvergen ia vizsgálat a szennyez®k köl sönhatásának számolásakor

71 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k közöttban olyan felületeken ahol felületi állapot van, ott lényegesen nagyobb, körülbelül 24000k pontot kellett venni az irredu ibilis Brillouin-zónában. Ebb®l talán érezhet®, hogykét szennyez® közötti köl sönhatás meghatározása numerikusan rendkívül munka és id®igényes volt. Elegend®, ha abba belegondolunk, hogy ezt a konvergen ia vizsgálatot akét szennyez® közti távolság minden értékénél meg kellett nézni, illetve egyre nagyobbtávolságnál egyre több pontot kellett venni az IBZ-ben.A szennyez®k köl sönhatásának számítását több lépésben végezzük el. Els®ként ön-konzisztens számolással meghatározzuk a tömbi anyag Fermi-energiáját, majd egy újabbönkonzisztens számolással a rétegre vonatkozólag megkapjuk a vákuum poten iál szintetés a réteg poten iálokat. Ezt felhasználva végzünk még egy önkonzisztens számolást,hogy megkapjuk a szennyez®(k) poten iálját. A szennyez®k poten iáljára vonatkozólagkét közelítéssel élhetünk. Az egyik közelítés szerint az önkonzisztens számolásból kapottegy-szennyez® poten iált használjuk mindkét szennyez® atomra, minden egyes távolság-hoz. Az ehhez tartozó köl sönhatási energiát jelöljük J1i-vel. A másik lehet®ség szerintaz önkonzisztens számolást mindkét atomra minden egyes távolságnál elvégezzük és azebb®l kapott poten iált használjuk a J2i köl sönhatás számolására. A számolásokbanaz els® közelítést alkalmaztuk és amint azt a 4.2. táblázatból leolvasható, a szennyez®knagy távolságánál mindegy, hogy melyik közelítéssel élünk. A szennyez®k poten iáljánakmeghatározása után a köl sönhatási energiát számoljuk ki .

R/a J1i J2i1 -197 meV -106 meV10 -24.5 µeV -24.3 µeV20 1.29 µeV 1.31 µeV4.2. táblázat. Ki serél®dési köl sönhatás két Co szennyez® atom között néhány távol-ságnál Cu(111) felületen a két közelítés alkalmazásával.4.2.3. Felületi ki serél®dés Co szennyez®k közöttAz el®z® fejezetben részletesen is olvashattunk a felületi állapotokról és láthattuk,hogy milyen felületeken találhatunk betöltött és betöltetlen felületi állapotokat. Azo-kon a felületeken, ahol betöltött felületi állapot van, ott ez a két dimenziós szabadelektron gáz, az el®zetes várakozásaink szerint a mágneses szennyez®k köl sönhatásátaszimptotikusan nagy mértékben befolyásolni fogja, mégpedig úgy, hogy a két atom

4.2. Köl sönhatás különböz® irányú Cu és Au felületeken 72távolságának (R) a függvényében a köl sönhatás 1/R2 szerint fog le sengeni. Ezért abetöltött felületi állapottal rendelkez® felületek esetén, a köl sönhatásra illesztett függ-vényt J(R) ∼ cos(2kF · R)/R2 alakúnak választottuk. Ahhoz, hogy megvizsgáljuk afelületen kialakuló köl sönhatást, részletes numerikus vizsgálatot végeztem a ki serél®-dési köl sönhatásra vonatkozólag (111), (110) valamint (100) irányú Cu és Au felületekenkét kobalt szennyez® atom távolságának függvényében az aszimptotikus tartományban.A számolásokból az volt tapasztalható, hogy ez az aszimptotikus tartomány körülbelül80 Å-nél kezd®dött. Mindhárom felületen a ki serél®dést a két atom közötti x iránymentén néztük ami (100) és (111) esetén az [110 irányt, míg (110) felület esetén a [001irányt jelenti ( lásd még a 2.5. ábrán). A 4.5. ábrán láthatjuk a numerikus számolásbólkapott ki serél®dési köl sönhatást és az ezekre illesztett görbéket mindhárom irányú Cuvalamint Au felületre a két szennyez® távolságának függvényében.Cu(111) felületen (4.5. ábra fels® részének bal oldalin része) osz illáló köl sönhatásttapasztalunk, ami a felületi állapot következménye. Az osz illá ió frekven iája a felületiállapotból jöv® Fermi-vektorral jó egyezést mutat, le sengése pedig visszaadja az ana-litikusan is várt 1/R2-es le sengést. Stepanyuk és munkatársai végeztek el®ször STM,valamint numerikus vizsgálatot (111) felületre, igaz sak Cu felületre vonatkozólag [58,[59. Ezekkel a munkákkal összhangban mi is osz illáló köl sönhatást kaptunk, aminekfrekven iája: kF = 0.175 1/Å. Ez a frekven ia egy kissé eltér az [58 és [59 referen ia ikkekben közölt, kF = 0.22 1/Å, értékt®l, ami valószín¶leg abból adódott, hogy azáltalunk végzett számoláskor az impulzusmomentum legnagyobb értéke, lmax = 2 volt,míg a jelzett ikkben lmax = 3.Az aszimptotikus köl sönhatás Au(111) esetén szintén 1/R2-es osz illá iót mutat,bár itt egy ki sit bonyolultabb esetr®l van szó, ugyanis az osz illá ióban láthatóan kétfrekven ia is megjelenik. Ezt az el®z® fejezetben is részletesen tárgyalt By hkov-Rashba-felhasadással magyarázhatjuk [33. Abban a spe iális esetben, amikor a két frekven iá-nak megfelel® amplitúdó közel azonos, akkor a két frekven ia együttes jelenléte könnyenlátható és a 4.5. ábra fels® részének jobb oldali részén lev® osz illá ióval megegyez®ki serél®dési köl sönhatást kapunk. Ez a két frekven ia k1F = 0.105 1/Å, k2F = 0.1361/Å, szintén jó egyezést mutat a felületi állapot Fermi-vektoraival, bár, amint azt máremlítettük a két vektor különbsége, ∆kF = 0.031 1/Å, kissé nagyobb, mint amit az errevonatkozó mérések adnak [39, 41, 42. Ez abból adódik, hogy a számolásokban sehol semvettünk gyelembe a réteg relaxá iót, ami befolyásolja a felületi állapot Fermi-vektorát,így a szennyez®k között kialakuló osz illá ió frekven iáját is módosíthatja, azonban errenem végeztünk már számolásokat.

73 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k közöttAmint azt Petersen és munkatársai mérésekkel is igazoltak, Cu(110) felületen a kétdimenziós Brillouin-zóna határán szintén Sho kley-féle betöltött felületi állapot van [57.Ez a felületi állapot közvetíti Cu(110) és Au(110) felületen az osz illáló köl sönhatást,ahogy azt a 4.5. ábra középs® része mutatja. A felület C2v szimmetriája miatt a felületiállapot Fermi-metszete nem kör alakú, úgy mint az (111) felület esetén, hanem ellipszisalakú, ezért az osz illá ió frekven iája irányfügg®, vagyis a két szennyez® közti távolságirányától függ® ki serél®dési köl sönhatást kapunk [64. Az osz illá ió irányfüggésénekszemléltetéseként a 4.6. ábrán láthatjuk a ki serél®dést Cu(110) felületen két irány[001 és [110 mentén. Ebben a két, egymásra mer®leges irányban az illesztésb®l kapottfrekven iák, k[001]F = 0.140 1/Å, k[110]F = 0.168 1/Å, éppen a felület szimmetriájának−1

0

1

50 100 150

Cu(111)

−1

0

1

50 100 150

Cu(110)

J(R

) (µ

eV)

−3

0

3

50 100 150

Au(111)

−1

0

1

50 100 150

Au(110)

−60

−30

0

25 50 75 100

Au(100)

R (Å)

−60

−30

0

25 50 75 100

Cu(100)

R (Å)4.5. ábra. Számolt ki serél®dési köl sönhatás (szimbólum) két felületre helyezett Coszennyez®k között (111), (110) és (100) Cu valamint Au felületeken és az egyes illesztettgörbék.

4.2. Köl sönhatás különböz® irányú Cu és Au felületeken 74−1

0

1

50 100 150

J(R

) (µ

eV)

R (Å)4.6. ábra. Ki serél®dés köl sönhatás Cu(110) felületen Co szennyez®k között két irány-ban: (001) irány mentén (fekete kör), (110) irányban (fekete téglalap), valamint azezekre illesztett görbék.megfelel® ellipszis alakú Fermi-metszet két tengelyét adják jól vissza, valamint érzékeltetiaz osz illá ió irányfüggést.Hasonlóan irányfügg® osz illá iót kapunk Au(110) esetében is, azzal a különbséggel,hogy itt is, mint (111) felületen megjelenik a By hkov-Rashba-felhasadás, viszont eza felhasadás irányfügg® lesz, [001 irányban nagyobb felhasadást kapunk, mint [110irányban [65. Éppen ezért abban az irányban, ahol nagyobb a felületi állapot Rashba-felhasadása, ott a ki serél®désben is két frekven ia jelenik meg, k1F = 0.098 1/Å, k2F =

0.118 1/Å, érdekes numerikus eredmény, hogy a két frekven ia amplitúdója nem egyezikmeg, így nehezen látható a 4.5. ábrából a két frekven ia együttes jelenléte. A kisebbfelhasadás irányában a ki serél®désre illesztett görbe sak egy darab frekven iát ad,kF = 0.151 1/Å, a másik frekven iából jöv® járulék valószín¶leg elhanyagolható tagotjelent az osz illá ióban.Éles ellentétben az el®z® eredményekkel, a 4.5. ábra alsó részén azt vehetjük észre,hogy mindkét esetben, Cu(100) és Au(100) felületen nem alakult ki osz illáló köl sön-hatás, hanem az exponen iálisan le seng, ez annak a következménye, hogy ezen a fe-lületen nin sen betöltött felületi állapot. Ezekre az eredményekre illesztett függvényebben az esetben J(R) ∼ exp(−R) alakú volt. Szintén Stepanyuk és munkatársai vol-tak azok, akik Cu(100) felület esetére végeztek számolásokat, de ebben a munkábana két szennyez® közötti távolság (R) nem volt elegend®en nagy, hogy az aszimptoti-kus tartományt megfelel®en leírja, hiszen a köl sönhatást sak R < 10Å tartománybanadták meg [60. Mind ez idáig és a továbbiakban is kobalt atomok közötti köl sön-

75 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k között−4

−2

0

2

4

50 100 150

J(R

) (µ

eV)

R (Å)4.7. ábra. Fe (szaggatott vonal) és Co szennyez® atomok közti ki serél®dés.hatást nézünk mind tömbi anyagban, mind pedig a felületeken. Ennek oka az a tény,hogy az osz illá ió frekven iája független attól, hogy milyen szennyez® atomokat vizs-gálunk, ez mindössze annak az anyagnak a Fermi-energia közeli elektron szerkezetét®lfügg, amelybe a szennyez®ket beágyazzuk. Ezt bizonyítja a 4.7. ábra, amelyen az (110)felületen kialakuló ki serél®dést mutatja Fe és Co atomok között. Látható, hogy sakamplitúdóban és fázisban különbözik a kialakuló ki serél®dési köl sönhatás, vagyis azosz illá ió frekven iája valóban független a szennyez® atomok zikai tulajdonságától.Összegzésképpen ezáltal a fenti eredményekb®l azt a következtetést vonhatjuk le,hogy azon a két felületen (111) és (110), ahol betöltött felületi állapotot találunk, ottosz illáló köl sönhatás alakul ki, ugyanis ezen a közel két dimenziós elektrongázon ke-resztül a két mágneses szennyez® köl sönhat, hasonlóan, mint ahogy a tömbi anyagvezetési elektronjain keresztül is. Az osz illá ió frekven iáját a felületi állapot Fermi-vektora szabja meg minden esetben, ezt a két értéket összehasonlításképpen mutatjaa 4.3. táblázat. A köl sönhatás le sengése pedig ezeken a felületeken 1/R2. Azon aFelület Illesztett frekven ia (1/Å) Felületi állapot Fermi-vektora (1/Å)Cu(111) 0.175 0.176Cu(110) 0.140 0.140Au(111) 0.105/0.136 0.106/0.148Au(110) 0.098/0.118 0.096/0.1234.3. táblázat. A köl sönhatásra illesztett frekven iák valamint a felületi állapot diszper-ziós relá iójából leolvasott Fermi-hullámszámok az egyes felületeken x-irány mentén.

4.2. Köl sönhatás különböz® irányú Cu és Au felületeken 76felületen, ahol nin sen betöltött felületi állapot, mint az (100) felület esetében, nin senhosszú távú osz illáló köl sönhatás, mind rézre, mind pedig aranyra. Ez a köl sönhatásexponen iálisan le seng a két szennyez® távolságának függvényében, a közvetít® közeghiánya folytán.Felmerülhet jogosan ezek után az a kérdés, hogy miért nem tárgyaltuk a réz és aranymellett az ezüst felületén kialakuló köl sönhatást. Erre a kérdésre a válasz a választottszámolási módszerben rejlik, ugyanis az atomi poten iálokat, mint azt az elméleti beve-zet®ben említettük is, gömbi poten iálokkal írjuk le. Ez a közelítés a legtöbbször és alegtöbb anyagnál elegend®en jó leírásnak bizonyul még a felület közelében is, azonbanaz ezüst esetén a gömbi poten iálok használata a felület közelében azt a hibát okozza,hogy a felületi állapot betöltetlen lesz, holott az kísérleti eredmények alapján betöltött[46. Számolásokat ezüstre vonatkozólag is végeztem, a felületi állapot hiánya folytána felületen mindig exponen iálisan le seng® osz illá ió volt látható, összhangban a fentleírt következtetésekkel.4.2.4. A ki serél®dési köl sönhatás változása az egyes rétegek-benKét Co szennyez® közötti köl sönhatás további vizsgálataként azt néztem meg, hogymi történik a köl sönhatással abban az esetben ha a két szennyez®t a felülett®l távolodvaegyre mélyebb rétegekbe helyezzük. Ez a vizsgálat azért is lényeges, mivel a kísérletekjelenlegi állása szerint ennek megállapítására nin s mód és analitikus vizsgálatok semállnak rendelkezésre az egyes rétegbeli köl sönhatás leírására. A felületen létrejöv® osz- illá iót a felületi állapot jelenlétekor könnyen tudtuk értelmezni, tömbi anyagban pedigmég analitikus vizsgálatok is léteznek a köl sönhatás leírására. Továbbá mindkét eset-ben, tehát mind a felületen, mind pedig tömbi anyagban az elméleti várakozásokkalegyez® eredményeket kaptunk. A felületi valamint bulk tartomány közötti köl sönha-tásra azt várjuk, hogy azokon a felületeken, ahol betöltött felületi állapot van, ez azállapot a felülett®l távolodva néhány atomi rétegben még befolyásolni fogja a köl sön-hatást, ugyanis, mint láttuk a mélyebben fekv® rétegekben is jól meggyelhet® a felületiállapot jelenléte (3.8. ábra). Abban az esetben viszont, amikor nin s felületi állapot,ott azt sejtjük, hogy már közvetlenül a felület alatti rétegekben inkább a tömbi osz illá- ió fog dominálni. Numerikus számolásokkal és az azokra illesztett függvényekkel e kéttartomány közötti viselkedést követhetjük nyomon az alábbi ábra sorozatokon a háromf® orientáltságú Cu felületen.

77 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k között

−10

0

10

50 75 100

S−1

R (Å)

−60

−30

0

25 50 75

S+1J(R

) (µ

eV)

−40

−20

0

20

40

50 75 100

bulk

R (Å)

−5

0

5

50 75 100 125 150

S

4.8. ábra. Ki serél®dési köl sönhatás változása az egyes rétegekben Cu(100) eseténvalamint az illesztett göbék.Talán a legérdekesebb jelenséget Cu(100) felületen (4.8.ábra) kapjuk, ugyanis, mígfelületen a köl sönhatás a felületi állapot hiánya miatt exponen iálisan le seng, addigközvetlenül a felület alatt már osz illáló köl sönhatás alakul ki. Amint említettük [110irányban (ami megfelel az (100) felületen az x-iránynak) négy darab extremális vektoravan a Fermi-felületnek. Ezen négy vektor közül a tömbi köl sönhatásban a jellegzeteskutya- sont alakú Fermi-metszet átmér®je jelenik meg (Q1110 vektor), míg érdekes mó-don numerikusan azt kaptuk, hogy közvetlenül a felület alatt a frekven ia jó egyezéstmutat a jóval kisebb Fermi-nyak átmér®jével ( Q2

110 vektor), le sengése pedig visszaadja a tömbi anyagban ismert 1/R3 szerinti le sengést.Cu(110) esetén a vizsgált irány éppen az [111 irány volt, ugyanis tömbi anyagbanezen irány mentén sak egy extremális vektor van, így azt várjuk, hogy az egyes réte-gekben lev® osz illá ió a felületi állapot Fermi-vektorából vagy ebb®l az egy extremálisvektorból adódik. Ebben az esetben ki sit nehezebben választható szét az egyes réte-gekben a köl sönhatás alakulása, hiszen a felületi állapot hatására kialakuló osz illá iófrekven iája majdnem ugyanakkora, mint a bulk érték frekven iája amint azt a 4.9.ábráról azt megállapíthatjuk. A bulk réteg fele haladva az amplitúdó egyre kisebb leszés olyan, mintha a felületi állapot hatása a mélyebb rétegekben is meggyelhet® lenne,

4.2. Köl sönhatás különböz® irányú Cu és Au felületeken 78

−0.5

0

0.5

33 66 99

S−1

R (Å)

−1.5

0

1.5

33 66 99

S+1J(R

) (µ

eV)

−0.2

0

0.2

33 66 99

bulk

R (Å)

−0.5

0

0.5

33 66 99

S

4.9. ábra. Ki serél®dési köl sönhatás változása az egyes rétegekben Cu(110) eseténvalamint az illesztett görbék.miután az illesztésb®l az adódott, hogy a köl sönhatás le sengése ezekben a rétegekbeninkább 1/R2, mint 1/R3. Ez a jelenség összhangban van a 3.8. ábra által bemutatottfelületi állapot mélyebb rétegekben való változásával.Azt már láttuk az el®z®ekben, hogy (111) felületen a felületi állapot hatására szin-tén osz illáló köl sönhatás jön létre. Ebben az esetben a választott irány hasonlóan az(100) felülethez, itt is az x irány volt. A 4.10. ábra mutatja a köl sönhatás változásátaz egyes rétegekben. A felületi ki serél®déssel megegyez® frekven iájú osz illá ió a rétegalatt közvetlenül megjelenik, le sengése is inkább 1/R2, mint 1/R3, de numerikusan azadódott, hogy mintha két közeli frekven ia is megjelenne az osz illá ióban. Ez valószí-n¶leg a felületi állapot Rashba-felhasadásából adódik, amely felületen is megjelenik sakekkor a két frekven iához tartozó amplitúdó lényegesen eltér, míg ebben az esetben akét amplitúdó nagyságában kisebb eltérés adódott. A felületi állapot felhasadása ter-mészetesen lényegesen kisebb, mint arany esetén, de két nagyon közeli frekven ia akkoris megjelenhet az osz illá ióban. Az ezt követ® rétegben már a bulk-nak megfelel® frek-ven iájú osz illá ió alakul ki, igaz kisebb amplitúdóval, mint ami a tömbi osz illá ióhoztartozik, ez az amplitúdó azután a bulk tartományhoz közelítve növekszik, míg el neméri a bulk értéket.

79 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k között

−5

0

5

60 80 100

S−1

R (Å)

−1

0

1

50 100 150

S+1J(R

) (µ

eV)

−20

0

20

60 80 100

bulk

R (Å)

−1

0

1

50 75 100

S

4.10. ábra. Ki serél®dési köl sönhatás változása az egyes rétegekben Cu(111) eseténvalamint az illesztett görbék.4.3. Er®sen polarizálható felületeken kialakuló köl sön-hatás4.3.1. Indukált momentumok és azok hatásaAz eddigi vizsgálatok értelmezésekor a mágneses szennyez® által indukált momentu-mokat elhanyagolhatónak tekintettük, hiszen ezeknek a nagysága, mint majd azt látnifogjuk lényegesen kisebb a mágneses atom momentumához képest. Azonban vannakolyan anyagok, amik a Stoner-kritérium közelében helyezkednek el. Ezek az anyagokmajdnem mágneses tulajdonságokkal rendelkeznek valamint a mágneses szennyez® ha-tására indukált momentumok nem elhanyagolható nagyságúak. Ilyen anyag például aplatina vagy a palládium is. Az indukált momentum létrejöttének zikai magyarázatahasonlít ahhoz az eektushoz, amikor egy paramágneses anyagot küls® mágneses térbehelyezünk, ezáltal indukált mágneses momentum keletkezik. Jelen esetben az anyagbabeágyazott mágneses szennyez® az, ami okozza a mágneses teret.Az általunk megválaszolandó kérdés, hogy mi befolyásolhatja a felületen kialakulóköl sönhatást a platina felületen. A vizsgált felület els®sorban Pt(111) felületet jelent,ugyanis a köl sönhatás alakulására kísérleti eredmények léteznek [70. A másik ok, hogy

4.3. Er®sen polarizálható felületeken kialakuló köl sönhatás 80a felületi állapot hatását ebben az esetben teljesen gyelmen kívül hagyhatjuk, tekintve,hogy a felületi állapot ebben az esetben betöltetlen lesz [87, amelyet számolásokkal isigazoltam, így els®sorban az indukált momentumok révén jöhet létre közvetít® közeg.Annak érdekében, hogy feltérképezzük az indukált momentumok nagyságát, vala-mint hatását a felületen, meghatároztuk egy kobalt szennyez® körül indukált mágnesesmomentumok nagyságát. A betöltetlen felületi állapot folytán, a legkézenfekv®bb az,ha olyan felülettel vetjük össze mind a köl sönhatást, mind pedig az indukált momen-tumokat, ahol szintén nin s felületi állapot. Ezért a Pt(111) felületet Cu(100) felülettelfogjuk össze vetni, miután, mint azt láttuk is az el®z® részben, Cu(100) felületen nemalakul ki osz illáló köl sönhatás. A felületre helyezett mágneses szennyez® körüli atomiszomszédokon indukált momentumot mutatja a 4.11. ábra az egyes rétegekben. Láthat-juk, hogy platina esetén az indukált momentum a felület alatti rétegekben is jelent®s,illetve nagyobb, mint réz esetén. A felület alatti rétegben platina esetén az indukáltmomentum mindP t ∼ 0.092µB/atom, míg réz esetén mind

Cu ∼ 0.007µB/atom, a két nagyságközött körülbelül tizennégyszeres különbség adódik, így valóban megállapítható, hogyaz indukált momentum platina esetén lényegesen nagyobb. Valamint ha felhasználjukazt a tényt, hogy mind platina, mind pedig réz felületen a kobalt szennyez® mágnesesmomentuma mCo ≃ 2µB/atom, akkor a platina felületen indukált momentum valóbannem elhanyagolható nagyságrend¶. Továbbá az is egy fontos jelent®ség¶ eredmény, hogy

0

20

40

60

80

100

Indu

kált

mom

entu

m (1

0-3/atom) Cu(100)

Pt(111)

S S-1 S-2 S-34.11. ábra. Indukált momentumok a felülett®l távolodva Cu(100) valamint Pt(111)esetén.

81 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k közöttnem sak a felület alatt közvetlenül van jelen a réznél nagyobb mágneses momentum,hanem az alsóbb rétegekben is és sak a felület alatti negyedik rétegben (S − 3) lesz arézzel megegyez® nagyságú.4.3.2. Pt(111) felületen kialakuló köl sönhatásAbból adódóan, hogy a kobalt atom körül indukált momentum markánsan meg-gyelhet® a felülett®l távolodva is, azt várhatjuk, hogy ez az eektus hatással lesz két atomköl sönhatására. Hasonlóan, mint ahogy azokon a felületeken, ahol van felületi állapot,ez a felületi állapot mint egy közvetít® közeg jelenik meg, a mágneses szennyez®k általindukált momentum felh® is egy közvetít® közeget jelenthet. Ezek után felmerülhet akérdés, hogy míg a felületi állapot által közvetített osz illá ióban egy jól meghatározottfrekven ia, a felületi állapot Fermi-vektora jelenik meg, addig ebben az esetben a frek--5

0

5

50 75 100

-5

0

5

-20

0

20

S+1

J(R)(

eV)

R(Å)

bulk

S

4.12. ábra. Ki serél®dési köl sönhatás változása az egyes rétegekben Pt(111) esetén.

4.3. Er®sen polarizálható felületeken kialakuló köl sönhatás 82ven iát mi határozza meg. Azt gondoljuk, hogyha az indukált momentumok révén jönlétre osz illá ió, akkor továbbra is a platina Fermi-felülete lesz az, ami meghatározza aköl sönhatás frekven iáját, így a tömbi ki serél®déshez hasonló köl sönhatás alakul kia felületen is.Ezt a várakozást er®síti meg a 4.12. ábrán látott viselkedése a ki serél®désnek. Felü-leten valamint az alatti rétegben a tömbi osz illá ióval megegyez® frekven iájú osz illálóköl sönhatás alakul ki, különbség sak a fázisban valamint az amplitúdóban tapasztal-ható. A tömbi anyag esetén kialakuló osz illá ióra illesztett függvényb®l az osz illá iófrekven iája, kPt(111)F = 0.68 1/Å, minden egyes rétegben egyformán, a tömbi frekven i-ának adódott. A köl sönhatás le sengése a tömbi anyagban meggyelhet® 1/R3 szerintile sengéssel egyezik meg.Platina esetén az extremális vektorokat meghatározni, hasonlóan, mint ahogy Cu,Au és Ag esetén tettük, elég bonyolult, mivel viszonylag komplikált Fermi-felülete van.A 4.13. ábra bal oldali részén lev® ábra mutatja a platina egy más módszerrel számoltFermi-felületének három dimenziós képét [88, míg a jobb oldalon az általam számoltmetszet szerepel az (111) irányra mer®legesen. Látható, hogy valóban jóval bonyolul-tabb szerkezetr®l van szó, az extremális vektorok megadása szinte lehetetlenné válik, ígybármelyik vektorból adódhat az osz illá ió frekven iája, részletes analízist erre vonat-kozólag nem tudunk tenni.

(111)

0.5 1.0 1.5 2.0

1.5

2.0

2.5

k [-110

] (1/Å)

k[11-2 (1/Å)4.13. ábra. Platina három dimenziós Fermi-felülete (bal oldali ábra) és a Fermi-felületmetszete (111) irányra mer®legesen (jobb oldali ábra).Elképzelésünk szerint tehát az indukált momentumok révén a tömbi osz illá iós jel-leg megmarad az egyes platina rétegekben valamint még a felületen is. Ahhoz, hogy eztbizonyítsuk egy gondolat kísérletet kell végeznünk. Természetesen az indukált momen-

83 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k közötttumokat nem tudjuk eltüntetni teljesen a rendszerb®l, de mi történik ha valahogy ezta momentum felh®t" ki sit megzavarjuk úgy, hogy egy olyan atomot viszünk a rend-szerbe amin biztosan nem keletkezik indukált momentum. A legegyszer¶bb megoldáserre, ha vákuum résszel elválasztjuk a két szennyez® atomot, mintha egy vákuum falathúznánk a két szennyez® atom közé. Ezt a vákuum falat valójában 15 üres gömbb®lálló lán alkotja egy rétegben. Ennek az üres gömbökb®l álló lán nak az egymás alattirétegekbe való beágyazásával kapjuk a vákuum falat. Ezáltal a rendszer szimmetriájais megváltozik, a momentum felh® nem lesz szimmetrikus a két atom körül és azt gon-

50 100 150-15

-10

-5

0

5

10

15

J(R

)(µe

V)

R()

50 100 150

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

J(R

) (µ

eV)

R()

50 100 150

-0.2

0.0

0.2

0.4

J(R

)(µe

V)

R()

50 100 150-15

-10

-5

0

5

10

15

J(R

)(µe

V)

R()

50 100 150

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

J(R

) (µ

eV)

R()

50 100 150

-0.2

0.0

0.2

0.4

J(R

)(µe

V)

R()4.14. ábra. A köl sönhatás változása a vákuum fal mélységének változtatásával. A jobboldali ábra a vákuum fal elhelyezkedését jelzi (fehér színnel) sematikusan.

4.4. Ötvözetek felületein létrejöv® köl sönhatás 84doljuk, hogy így ha nem is sz¶nik meg teljesen a köl sönhatás de lényegesen kisebblesz. A 4.14. ábrán láthatjuk, hogy valójában ez történik a köl sönhatásban. Az ábramutatja még sematikusan a vákuum fal elhelyezkedését is. A szennyez®ket a falhoz ké-pest egymástól szimmetrikusan távolítottuk el mindvégig, a vákuum fal a két szennyez®közötti távolság közepén helyezkedett el. Észrevehetjük, hogy már egy atom mélység¶vákuum fal behelyezésével az amplitúdó jelent®sen le sökken, míg 3 atom vastagságúfal hatására szinte egy nulla körüli, nagyon ki si érték¶ köl sönhatás alakul ki. Ezzela modellel tehát alátámasztottuk azt a tényt, hogy az indukált momentumok révén atömbi osz illá iós jelleg megmarad a felületen.4.4. Ötvözetek felületein létrejöv® köl sönhatás4.4.1. Köl sönhatás CuxAu1−x felületenÖtvözetek felületén kialakuló köl sönhatás a két ötvöz® anyag felületi tulajdonsá-gától függ. Els®ként CuxAu1−x(111) felületen vizsgáljuk a két szennyez® közötti köl- sönhatást. Cu(111) valamint Au(111) felületen egyaránt a felületi állapot hatásáraalakul ki osz illáló köl sönhatás, azzal a különbséggel, hogy Au(111) esetén a By hkov-Rashba-felhasadás miatt két frekven ia együttesen jelenik meg a köl sönhatásban jólelkülönülve. Cu(111) esetében viszont jóval kisebb a spin-pálya felhasadás. Azáltal,hogy a spin-pálya köl sönhatás különbözik, a két komponens kon entrá iójának válto-zásával elérhet®, hogy a spin-pálya satolás nagyságát változtassuk, így az osz illá iófrekven iáját is módosítsuk hasonlóan, mint ahogy a felületi állapot diszperziós relá- iójának a felhasadása is módosul (3.18. ábra). A különböz® kon entrá iójú felületenlétrejöv® köl sönhatás gyelhet® meg a 4.15. ábrán a tiszta Cu(111) felülett®l a tisztaAu(111) felületig. Rézben gazdag esetben (Cu90Au10) az arany hatása a frekven iábanmég nem nagyon jelentkezik, de egy exponen iális le sengés jól érzékelhet®, így az il-lesztésnél a választott függvény az ötvözet felületén minden esetben a következ® alakúvolt:J(R) =

1

R2cos(kFR + φ)e−R, (4.27)ahol az 1/R2-es le sengés a felületi állapot jelenléte miatt adódik és az osz illá ió frekven- iáját és hullámhosszát a felületi állapot határozza meg. Az aranyban gazdag felületen(Cu25Au75) ez az exponen iális le sengés még jobban látható. Mint azt a felületi álla-potnál is láttuk a rendezetlenség növelésével a felületi állapot sávjai kiszélesednek. Arendezetlenség ebben az esetben az exponen iális tag jelenlétében nyilvánul meg.

85 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k között

−1

0

1

60 90 120

Cu25Au75(111)

R (Å)

−1

0

1

50 100 150

Cu(111)J(R

) (µ

eV)

−3

0

3

50 100 150

Au(111)

R (Å)

−1

0

1

60 80 100

Cu90Au10(111)

4.15. ábra. Ki serél®dési köl sönhatás változása CuxAu1−x(111) ötvözet felületén a kon- entrá ió változtatásának hatására.4.4.2. Köl sönhatás CuxPd1−x felületenKét különböz® me hanizmus adja az osz illá iót Cu(111) és Pd(111) felületen,így egy érdekes átmenet gyelhet® meg ezen két köl sönhatási me hanizmus közöttCuxPd1−x felületen a kon entrá ió változtatásának hatására. Míg réz esetén a felületiállapot folytán van osz illáló köl sönhatás, addig palládium esetében az indukált mo-mentumok révén marad meg a tömbi anyagban is meggyelhet® hosszú távú osz illálóköl sönhatás. Réznek palládiummal való ötvözésekor a felületi állapotoknál azt láttuk,hogy a felületi állapot egyre jobban a Fermi-szint fölé tolódott a palládium kon ent-rá iójának növelésével azáltal, hogy a Fermi-nyak záródik össze. A ki serél®désbenis meggyelhet® ez a jelenség, a 4.16. ábra mutatja az osz illá ió változását a rézbengazdag esett®l (Cu95Pd5) a palládiumban gazdag esetig (Cu25Pd75). Látható, hogymár viszonylag kevés palládium kon entrá ió (15 %) jelent®sen módosítja a ki serél®-dést, a palládium kon entrá iójának növelésével az exponen iális le sengés mellett azosz illá iós tag nagysága egyre jobban n® és 75 %-os palládium kon entrá iónál márészrevehet®en kialakul egy osz illáló köl sönhatás. Az illesztett függvények a rézbengazdag esetekben mindvégig a (4.27) egyenletnek megfelel®en választottuk, a palládi-umban gazdag esetekben az 1/R2 le sengés helyett az 1/R3 szerinti illesztés adott jobberedményt, ami szintén igazolja a tömbi osz illá ió megmaradását a felületen.

4.4. Ötvözetek felületein létrejöv® köl sönhatás 86

−0.2

0

0.2

50 75 100

Cu75Pd25(111)

R (Å)

−2

−1

0

1

2

50 75 100

Cu95Pd5(111)J(R

) (µ

eV)

−0.2

0

0.2

50 75 100

Cu25Pd75

R (Å)

−1

0

1

2

50 75 100

Cu85Pd15(111)

4.16. ábra. Ki serél®dési köl sönhatás változása CuxPd1−x(111) ötvözet felületén a kon- entrá ió változtatásának hatására.Rétegek esetében az egyes határrétegek keveredése folytán nagy jelent®ség¶ kérdésvolt, hogy hogyan módosul az osz illáló satolás abban az esetben ha a nem mágne-ses réteg keveredik a mágneses réteggel és így mágneses-nem mágneses ötvözet alakulki két mágneses réteg között. Ilyen például a kísérletileg valamint elméletig is vizs-gált CuxNi1−x határréteg vastagságának és az egyes alkotóelemek kon entrá iójánakváltoztatásával járó osz illáló satolás [62, 63. Rétegekre vonatkozó analitikus eredmé-nyek alapján ha a két mágneses réteg között egy ilyen mágneses-nem mágneses ötvözetvan, akkor a köl sönhatás le sengésében megjelenik egy exponen iális tag, és a satolásaszimptotikus alakját az alábbi alakban írhatjuk fel [5:J(D) =

1

D2

∑

i

Ai cos(QiD + φi)e−(D/Λi), (4.28)ahol D a rendezetlen ötvözetnek a vastagsága, Qi az osz illá ió frekven iája, Λi az ötvö-zetben lev® elektronállapotokra jellemz® élettartam, Ai az osz illá ió amplitúdója illetve

φi egy fázistag. Látható a kifejezésb®l, hogy az exponen iális tag D > Λ esetén domi-náns, ezáltal rétegek esetében anyagtól függ®en jelenik meg az exponen iális le sengés.Például CrxV1−x ötvözet esetén nem gyelhet® meg az exponen iális tag jelenléte azosz illá ióban [68, 69.

87 4. FEJEZET Ki serél®dési köl sönhatás mágneses szennyez®k közöttKét szennyez® között, analitikus vizsgálat hiányában a köl sönhatást nem tud-juk ilyen alakban felírni, de azt láttuk mindkét ötvözet felületén, hogy hasonlóan arétegekhez- azáltal, hogy a felület egy rendezetlen ötvözet- az exponen iális le sengésmegjelenik.

5. fejezetAz eredmények összefoglalása, további élkit¶zésekDolgozatomban látszólag két témakört vizsgáltam részletesen, azonban e két téma-kör, a felületi állapotok, valamint a ki serél®dési köl sönhatás kialakulása a különböz®irányú illetve tulajdonságú felületeken szorosan összefügg. A felületi állapot értelmezésenélkül a felületen kialakuló köl sönhatást sem tudnánk minden esetben értelmezni, ígynagyon fontos része munkámnak.A köl sönhatás valamint a felületi állapotok számolásához a KKR-módszert hasz-náltam. A szennyez®ket a felületre, az egyes rétegekbe valamint a tömbi anyagba szubsz-titú iósan helyeztük, periodikus határfeltétel gyelembe vétele nélkül. A köl sönhatásienergiát pedig a két spinkongurá ió közötti sávenergia különbségb®l származtattuk.A felületi állapotok tulajdonságainak feltérképezésekor egy fontos eredmény volt,hogy nem sak izotróp Rashba-eektus létezik, hanem aszimmetrikus felhasadás is, ame-lyet els®ként Au(110) felületen láttunk, majd Bi/Ag(111) felületen is. Ezt egy mikrosz-kopikus modellel, a k · p perturbá iószámítás segítségével meg tudtuk magyarázni. Amásik lényeges eredmény volt, hogy ötvözetek felületein is létrejön felületi állapot éskiszélesedése a rendezetlenséggel volt összhangban.A mágneses szennyez®k ki serél®désére vonatkozó numerikus eredmények értelme-zése során arra a következtetésre jutottunk, hogy alapvet®en háromféle ki serél®désiköl sönhatási me hanizmus alakul ki a különböz® felületeken a felületi tulajdonságoktólfügg®en. Az egyik me hanizmus azokon a felületeken tapasztalható, ahol a felületennin sen betöltött felületi állapot és a mágneses szennyez® hatására indukált momen-tumok elhanyagolható nagyságúak, ilyen mint láttuk a Cu(100) és az Au(100) felület.Azokon a felületeken, ahol van felületi állapot, ott osz illáló köl sönhatás jelenik meg,88

89 5. FEJEZET Az eredmények összefoglalása, további élkit¶zésekamelynek frekven iáját és le sengését is ez a két dimenziós elektrongáz határozza meg.Ez a második me hanizmus, amelyet Cu(110), Au(110) valamint Cu(111) és Au(111)felületek esetében lehetett látni. A harmadik me hanizmus során az indukált momentu-mok hatására a felületen és az egyes rétegekben szintén osz illáló köl sönhatás alakultki, amely a tömbi köl sönhatással azonos le sengés¶ és frekven iájú. Ez a me hanizmus,mint láttuk a Pt(111) felületen alakul ki. Továbbá az is érdekes és fontos kérdés volt,hogy mi történik abban az esetben, ha olyan felületre helyezzük a szennyez®ket, aholadott esetben a háromféle köl sönhatási me hanizmus közül akár több is jelen lehet,illetve a két me hanizmus közötti átmenetet láthatjuk, ezért kétféle ötvözeten is meg-néztük a kialakuló köl sönhatást. CuxAu1−x(111) ötvözet felületén azt láttuk, hogy azeltér® spin-pálya köl sönhatás folytán az aranyban gazdag oldal fele haladva megjele-nik két frekven ia a köl sönhatásban, egyez®en a Rashba-felhasadással. CuxPd1−x(111)felületen pedig a két eltér® köl sönhatási me hanizmus közötti átmenetet gyelhettükmeg.A két szennyez® között kialakuló köl sönhatás független a szennyez®k zikai tu-lajdonságaitól, ez pusztán a közeg tulajdonságaitól függ sak. Erre vonatkozólag isláttunk egy példát, amikor a vas és kobalt atomok közötti köl sönhatást hasonlítottukössze felületen. Csak az amplitúdóban és fázisban adódott eltérés.Mindvégig sak két szennyez® közötti köl sönhatás meghatározására szorítkoztunk,azonban ezt lehetne általánosítani több atomból álló rendszer, atomi klaszterek kö-zötti köl sönhatására vonatkozólag is. Ez a kísérletek számára adna fontos informá iót,ugyanis ha megnézzük az [61-es referen ia ikkben megadott kísérleti elrendezést, abbanis láthatjuk, hogy atomokból álló lán és egy atom között mérték meg a köl sönhatást.Az említett ikkben közölt mérési eredmények alapján Pt(111) felületen szintén osz il-láló köl sönhatás alakul ki, amelynek hullámhossza λkísérleti = 3 nm, igaz eltér az általamszámolt hullámhossztól λszámolt = 0.93 nm, de a kísérleti adatok nem az aszimptotikustartományra vonatkoznak, ez lehet az eltérés egyik oka. A munka lehetséges folytatá-saként tehát nem sak két mágneses szennyez® között lehetne nézni a köl sönhatást,hanem atomi klaszterek vagy egyéb struktúrák, mint például lán és szennyez® között.Az els®dleges várakozásaink szerint azonban attól, hogy más struktúrát vagy több atomközötti köl sönhatást nézünk, az osz illá ió frekven iája nem fog megváltozni, ugyanisa felületi tulajdonságok sem nagyon változnak. Valószín¶leg amplitúdóban adódhat je-lent®s növekedés, azáltal, hogy több atom vesz részt a köl sönhatás kialakításban és ígykísérletileg az jobban kimérhet® lenne.A munka egy másik lehetséges folytatását az jelenthetné még, hogy nem sak a két

90spinkongurá ióhoz- tehát a parallelhez és antiparallelhez- tartozó energiakülönbségetnéznénk a felületi mágneses szennyez®k között, hanem tetsz®leges irányú spinkongu-rá iót is és így a magasabb rend¶ tagok nagyságát is meg lehetne határozni. Atomiklaszterekben a Dzyaloshinsky-Moriya-köl sönhatás szerepe lényeges lehet valamint atávolságtól való függését is lehetne igazolni két dimenziós gázban kialakuló köl sönhatásesetére [86. Amennyiben tetsz®leges spinkongurá ióra határozzuk meg a ki serél®dést,akkor a ki serél®dési köl sönhatás nem sak egy skalárral jellemezhet®, hanem általáno-sabban tenzorként írható le [89,Jij = Jij I +J

Sij + JA

ij , (5.1)amelynek felhasználásával az i. és j. helyen lev® atom köl sönhatását tudjuk felírni. Afenti tenzor három tagot tartalmaz, az els® az izotróp ki serél®dés, a második szimmetri-kus rész az anizotróp ki serél®dés, a harmadik, aszimmetrikus rész pedig a Dzyaloshinsky-Moriya-köl sönhatás.A jelen dolgozatban a f® hangsúly azon volt, hogy a köl sönhatást az aszimptoti-kus tartományban adjuk meg. Ez sokszor zikailag érdekes jelenséget adott, viszont akísérletek számára nehezen hozzáférhet®, elegend®, ha megnézzük az egyes köl sönha-tások amplitúdójának a nagyságrendjét. Ugyanakkor a nem aszimptotikus tartománymeghatározásával a mágneses rendszer alapállapotára illetve akár Curie-h®mérsékletérevonatkozólag megadott eredmények kísérletekkel összehasonlíthatók. A köl sönhatástenzorként történ® meghatározása után érdekes, spin dinamikai szimulá iókat tudunkszámolni. Ehhez meg kell oldani a mágneses momentum id®beli változását leíró Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG)-egyenletet [90. Ennek részleteibe most nem akarunk belemenni,tekintve, hogy ez nem tárgya szorosan a dolgozatnak, de érdemes néhány mondatbanmegemlíteni, jelezve, hogy ezt a munkát sokféleképpen is lehetne folytatni. Az (5.1)egyenletben megadott tenzorelemeknek a számolásával meg tudjuk adni tetsz®leges i ésj párra vonatkozólag a ki serél®dési köl sönhatást, akár egy teljes rétegre is. A köl sön-hatási energia momentum szerinti deriváltjából pedig megkapjuk azt az eektív mágne-ses teret, amellyel megoldhatjuk a momentum mozgásegyenletét (az LLG egyenletet).Zérus h®mérsékleten a mozgásegyenletb®l nyilván az alap állapotot kapjuk meg, mígvéges h®mérsékleten a momentumok nagyságának változásából a Curie-h®mérsékletet.

KöszönetnyilvánításKöszönetet szeretnék mondani els®sorban témavezet®mnek, Újfalussy Balázsnak az érde-kes témafelvetésért, valamint azért, hogy munkámat folyamatosan gyelemmel kísérte,hasznos ötletei és javaslatai nagyban hozzásegítettek a munka létrejöttében, kérdése-imre mindig fáradhatatlanul válaszolt. Továbbá, Lazarovits Ben ének, aki a munkakezdetén praktikus taná sokkal látott el, valamint megismertetett a programmal. SzilvaAttilának a sikeres közös munkáért, és Szunyogh Lászlónak a támogató észrevételeiért,valamint azért, hogy a munka befejezéséhez nyugodt légkört teremtett számomra. Vé-gezetül pedig Palotás Krisztiánnak és Tegze Miklósnak a dolgozat gondos átnézéséért ésa helyesírási hibák kijavításáért.

91

A. FüggelékMátrixelemek a k · pperturbá iószámításbanC2v soport elemei a következ®ek g ∈ C2, Ry, Rx, vagyis egy z tengely körüliforgatást, valamint két tükörsíkot tartalmaz. A pont soport karakter táblája:

χα(g) E C2 Ry Rx

s,pz,dz2 1 1 1 1px 1 -1 1 -1py 1 -1 -1 1dxy 1 1 -1 -1A k · p perturbá iószámítás során az eektív Hamilton-operátor két tagjában (H iso

sp ésHaniso

sp ) kétféle operátor jelenik meg, amelyre vezessük be a következ® jelöléseket:a(r) = ∇V (r)× p, (A.1)b(r) = ∇V (r)× k. (A.2)A perturbá iószámításkor a fenti operátoroknak a megfelel® szimmetriájú hullámfügg-vényekkel vett mátrixelemeit kell kiszámolni. A nem elt¶n® elemeket a soportelméletsegítségével viszonylag könnyen ki tudjuk számolni. Ehhez használjuk fel azt az egy-szer¶ tényt, hogy az impulzus operátor és a skalárfüggvény gradiense polárvektorként,míg a fenti a(r) axiál vektorként transzformálódik. Felhasználva továbbá a polárvek-torra valamint az axiálvektorra vonatkozó transzformá iós szabályokat, a két operátortranszformá ióját a következ®képpen írhatjuk:bi(r

′) = r(g)ibi(r), (A.3)92

93 A. Mátrixelemek a k · p perturbá iószámításbanai(r

′) = det(g)r(g)iai(r), (A.4)ahol az indexben szerepl® i a helyvektorokat, r(g) pedig az egyes soportelemeket jelöli,valamintdet(g) =

1 forgatásokra−1 tükrözésekre.A fenti transzformá iós szabályok segítségével a következ® feltételeket kapjuk a bi mát-rixelemeire:

〈φβ|bi|φα〉 =∫

d3rφ∗β(r)biφ

∗α(r) = r(g)i〈φβ|bi|φα〉χα(g)χβ(g), (A.5)ahol kihasználtuk, hogy a szimmetria adaptált függvények:

φα = χα(g)φα(r). (A.6)Az egyenlet átrendezéséb®l kapjuk, hogy[1− r(g)iχα(g)χβ(g)]〈φβ|bi|φα〉 = 0, (A.7)vagyis bi-nek azon mátrixelemeire t¶nnek el, amelyre igaz, hogy r(g)iχα(g)χβ(g) = 1minden soportelemre. Hasonlóan az ai mátrixelemire pedig a következ® összefüggésírható fel:

[1− det(g)r(g)iχα(g)χβ(g)]〈φβ|bi|φα〉 = 0, (A.8)Elvégezve a megfelel® mátrixok diadikus szorzását, a fenti feltételekkel egyez®en a kö-vetkez® mátrix elemek különböznek zérustól:〈φs|ax|φpy〉 6= 0, 〈φs|ay|φpx〉 6= 0, 〈φs|az|φdxy〉 6= 0, (A.9)

〈φpx|ax|φdxy〉 6= 0, 〈φpy |ay|φdxy〉 6= 0, 〈φpx|az|φpy〉 6= 0, (A.10)valamint〈φs|bx|φpx〉 6= 0, 〈φs|by|φpy〉 6= 0, (A.11)

〈φpy |bx|φdxy〉 6= 0, 〈φpx|by|φdxy〉 6= 0, (A.12)〈φα|bz|φβ〉 = δαβ . (A.13)

B. FüggelékSta ionárius fázisok módszereA sta ionárius fázisok módszerével egy gyorsan osz illáló függvény integrálját tudjukkiszámolni. Ez a tömbi osz illá iók meghatározásánál lényeges, ugyanis végeredménybenaz osz illá ió távolságtól függ® le sengését kapjuk meg az aszimptotikus tartományban.Vegyük az alábbi függvényt,h(x, y) = g(x, y)eiφ(x,y)L, (B.1)ahol L −→ ∞ valamint a következ® térfogati integrált akarjuk meghatározni,∫

Ω

g(x, y)eiφ(x,y)Ldxdy. (B.2)Amennyiben a fenti integrálban szerepl® φ(x, y) függvénynek az (x0, y0) helyen sta io-nárius pontja van,∂φ

∂x

∣

∣

∣

∣

x0,y0

= 0,∂φ

∂y

∣

∣

∣

∣

x0,y0

= 0, (B.3)akkor a φ(x, y) függvényt Taylor sorba fejthetjük. A másodrend¶ sorfejtése:φ(x, y) = φ(x0, y0)+

1

2

∂2φ

∂x2

∣

∣

∣

∣

x0,y0

(x−x0)2+∂2φ

∂x∂y

∣

∣

∣

∣

x0,y0

(x−x0)(y−y0)+∂2φ

∂y2

∣

∣

∣

∣

x0,y0

(y−y0)2+· · ·(B.4)Vezessük be az alábbi jelöléseket:∂2φ

∂x2

∣

∣

∣

∣

x0,y0

= a,∂2φ

∂x∂y

∣

∣

∣

∣

x0,y0

= b,∂2φ

∂y2

∣

∣

∣

∣

x0,y0

= c, (B.5)az új integrálási változók pedig: x =√L(x − x0), y =

√L(y − y0). A meghatározandóintegrál ezáltal a

∫

Ω

g(x, y)eiφ(x,y)Ldxdy =1

Lh(x0, y0) I (B.6)94

95 B. Sta ionárius fázisok módszerealakot ölti, aholI =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞ei

12(ax2+2xy+cy2)dxdy. (B.7)Az exponen iális kifejezésben szerepl® tagot mátrix alakban is írhatjuk,

(ax2 + 2xy + cy2) = (x, y)

(

a b

b c

)(

x

y

)

.A fenti bilineáris kifejtésben azA =

(

a b

b c

)mátrix valós szimmetrikus, ezáltal sajátértékei is valósak valamint sajátvektorai ortogo-nálisak, így egy U unitér transzformá ióval diagonalizálhatóU−1AU =

(

λ1 0

0 λ1

)

.Az unitér transzformá ió alkalmazásával deniáljuk a következ® új változókat,(x, y)U−1 = (u, v), U

(

x

y

)

=

(

u

v

)

.A (B.7) egyenletben szerepl® integrál ezáltalI =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞ei

12(λ1u2+λ2v2)dudv (B.8)Általánosan a fenti integrál a

I0 =1

√

12|λ

∫ +∞

−∞eiw

2

dw, w =

√

1

2|λ (B.9)integrál meghatározását jelenti, amely a λ sajátérték el®jelét®l függ®en, ha λ > 0, akkor

1√

12|λ

√πei

π4 , (B.10)amennyiben pedig λ < 0

1√

12|λ

√πe−iπ

4 . (B.11)Végeredményben tehát a keresett integrálra kapott eredmény:∫

Ω

g(x, y)eiφ(x,y)Ldxdy =1

Lh(x0y0)ν

2π√

|λ1λ2|, (B.12)

96aholν =

i ha λ1 > 0 és λ2 > 0

1 ha λ1 < 0 és λ2 > 0

1 ha λ1 > 0 és λ2 < 0

−i ha λ1 < 0 és λ2 < 0

Irodalomjegyzék[1 S.V. Byers, M.D. Byers, "Gravity, Inertia and Radiation"; (1995) STM Image of aQuantum Coral; http://home.net om. om/ sbyers11/mirage2.jpg (2001).[2 M.A. Ruderman and C. Kittel, Phys. Rev. 96, 99 (1954).[3 T. Kasuya, Prog. Theor. Phys. 16, 45 (1956).[4 K. Yosida, Phys. Rev. 106, 893 (1957).[5 N.N. Lathiotakis, B.L. Gy®ry, B. Újfalussy, Phys. Rev. B 61, 6854 (2000).[6 L. H. Thomas, Math. Pro . Cambridge Philos. So , 23, 542 (1927).[7 P. Hohenberg, W. Kohn, Phys, Rev 136, 864 (1964).[8 W. Kohn, L. J. Sham, Phys. Rev 140, 1133 (1965).[9 J. P. Perdew, Y. Wang, Phys. Rev B, 45, 13244 (1992).[10 S. H. Vosko, L. Wilk and M. Nusair, Can. J. Phys. 58 1200 (1980).[11 D. M. Ceperley, B. J. Alder, Phys. Rev. Lett. 45 566 (1980).[12 S. Bei der Kellen, A. J. Freeman, Phys. Rev. B, 54 11187 (1996).[13 G. Vignale, M. Rasolt, Phys. Rev B, 37, 10685 (1988).[14 D. D. Johnson, Phys. Rev B, 38, 12807, (1988).[15 J. Korringa, Physi a, 13, 392 (1974).[16 W. Kohn and N. Rostoker, Phys. Rev. 94, 1111 (1954).[17 A. Gonis, Green fun tion for ordered and disordered systems, Elsevier S ien e Ltd.,North Holland, (1992). 97

IRODALOMJEGYZÉK 98[18 B. L. Gy®ry, M. J. Stott, Band Stru ture spe tros opy of metals and alloys, A a-demi Press, London-New York (1972).[19 J. S. Faulkner, J. Phys. C: Solid State Phys. 10, 4661 (1977).[20 J. S. Faulkner, G. M Sto ks, Phys. Rev B 21, 3222 (1980).[21 P. Weinberger, Ele tron s attering theory of ordered and disordered matter, Cla-rendon, Oxford (1990).[22 A. Gonis and W. H. Butler, Multiple s attering in solids, Graduate Texts in Con-temporary Physi s (Springer, Berlin, 1999).[23 J. Zabloudil, R. Hammerling, L. Szunyogh, and P. Weinberger, in Ele tron S at-tering in Solid Matter, Vol. 147 of A Theoreti al and Computational Treatise ofSpringer Series in Solid-state S ien es (Springer, Berlin, 2005).[24 A. Zunger, S-H Wei, L. G. Ferreira, J. E. Bernard, Phys. Rev. Lett. 65, 352 (1990).[25 J. M. San hez, F. Du astelle, D. Gratias, Physi a A, 128, 334 (1984).[26 P. Soven, Phys. Rev. 156, 809 (1967).[27 B. L. Gy®ry, Phys. Rev B, 5, 2382 (1972).[28 W. H. Butler, Phys. Rev. B, 31, 3260 (1985).[29 B. Ginatempo and J. B. Staunton, J. Phys. F Met. Phys. 18, 1827 (1988)[30 R. Mills, L. J. Gray, and T. Kaplan, Phys. Rev. B 27, 3252 (1983).[31 M. Lax, Phys. Rev. B, 85, 621 (1952).[32 I. E. Tamm, Phys. Z. Sovjet. 1, 733, Z. Physik 76, 849 (1932).[33 Y. A. By hkov and E. I. Rashba, JETP Lett. 39, 78 (1984).[34 E. I. Rashba, Sov. Phys. Solid State 2, 1109 (1960).[35 A. Lodder, P. J. Braspenning, Phys. Rev. B 49, 10215 (1994).[36 P. Lloyd, Pro . Phys. So . 90, 90, 207 (1967)[37 A. W. Maue Z. Physik 94, 717 (1935)

99 IRODALOMJEGYZÉK[38 W. Sho kley, Phys. Rev. 56, 317 (1939)[39 S. LaShell, B. A. M Dougall, and E. Jensen, Phys. Rev. Lett. 77, 3419 (1996).[40 G. Ni olay, F. Reinert, S. Hüfner and P. Blaha: Phys. Rev. 65, 033407 (2001)[41 F. Reinert, G. Ni olay, S. S hmidt, D. Ehm, and S. Hüfner, Phys. Rev. B 63,115415 (2001).[42 L. Petersen and P. Hedegård, Surf. S i. 459, 49 (2000).[43 J. Henk, A. Ernst, P. Bruno, Phys. Rev B 68, 165416 (2003).[44 A. Nuber, M. Higashigu hi, F. Forster, P. Blaha, K. Shimada, F. Reinert, PhysRev. B 78, 195412 (2008).[45 M. Nagano, A Kodama, T. Shisidou, T, Ogu hi, J. Phys.: Condens. Matter 21,064239 (2009).[46 H. Hövel, B. Grimm, B. Reihl, Surf. S i. 477, 43 (2001).[47 S. G. Davison, M Stesli ka, Basi theory of surfa e states, Oxford University Press(1992).[48 P. Heimann, J. Hermanson, H. Miosga, and H. Neddermeyer, Phys. Rev. B 20,3059 (1979).[49 V. Dose, U. Kola , G. Borstel, and G. Thörner, Phys. Rev. B 29, 7030 (1984).[50 Christian R. Ast, Jürgen Henk, Arthur Ernst, Lu a Mores hini, Mihaela C. Falub,Daniela Pa ile, Patri k Bruno, Klaus Kern, Mar o Grioni, Phys. Rev Lett. 98,186807 (2007)[51 J. Premper, M. Trautmann, J. Henk, P. Bruno, Phys. Rev B 76, 073310 (2007)[52 Vajna Szabol s, Szakdolgozat (2010)[53 L. Szunyogh, Elektronszerkezet számítások, egyetemi kurzus[54 J. B. Staunton, B. L. Györy, J. Poulter, P. Strange, J. Phys. C: Solid StatePhys.21 1595-1611 (1988).[55 Dzyaloshinsky I. J. Phys. Chem. Solidr 4, 241 (1958).

IRODALOMJEGYZÉK 100[56 Moriya T. Phys. Rev. Lett. 4, 5 (1960)[57 L. Petersen, B. S haefer, E. Laegsgaard, I. Stensgaard, F. Besenba her, Surf. S i-en e 457, 319 (2000).[58 V. S. Stepanyuk, A. N. Baranov, D. V. Tsivlin, W. Hergert, P. Bruno, N. Knorr,M. A. S hneider, and K. Kern, Phys. Rev. B 68, 205410 (2003).[59 V. S. Stepanyuk, L. Niebergall, R.C. Longo, W. Hergert, and P. Bruno, Phy. Rev.B 70, 075414 (2004).[60 V.S. Stepanyuk, A.N. Baranov, W. Hergert, P. Bruno, Phys. Rev. 68, 205422(2003).[61 F. Meier, Zhou LH, J. Wiebe, R. Wiesendanger, S ien e 320, 82-85 (2008).[62 S.N. Okuno and K. Inomata, Phys. Rev. Lett. 70, 1711 (1993).[63 N.N. Lathiotakis, B.L. Gy®ry, J.B. Staunton, B. Újfalussy, J. Magn. Magn. Mater.185, 293-304 (1998).[64 E. Simon, B. Újfalussy, A. Szilva, L. Szunyogh, Journal of Physi s: Conferen eSeries 200, 032067 (2010).[65 E. Simon, A. Szilva, B. Ujfalussy, B. Lazarovits, G. Zarand, and L. Szunyogh, Phys.Rev. B 81, 235438 (2010).[66 Sz. Vajna, A. Szilva, E. Simon, K. Palotas, B. Ujfalussy, G. Zarand, L. Szunyogh(to be published)[67 B. Lazarovits, B. Újfalussy, L. Szunyogh, B. L. Györy, P. Weinberger, J. Phys.:Condens. Matter 17, S1037 (2005)[68 F-J. Bobo, L. Hennet, M. Pie u h, and J. Hubs h, Europhys. Lett. 24, 139 (1993);J. Phys.: Condens. Matter 6, 2689 (1994).[69 S.S.P. Parkin, C. Chappert, and F. Herman, Europhys. Lett. 24, 71 (1993)[70 J. Wiebe, F. Meier, K. Hashimoto, G. Bihlmayer, S. Blügel, P. Ferriani, S. Heinze,and R. Wiesendanger, Phys. Rev. B 72, 193406 (2005)[71 L. F. Chollet, I. M. Templeton, Phys. Rev. B, 170, 656 (1968)

101 IRODALOMJEGYZÉK[72 I. Zuti , J. Fabian, S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 76, 323 (2004)[73 Sólyom J. , A modern szilárdtestzika alapjai I-III. (ELTE Eötvös Kiadó, Budapest)[74 N. W. Ash roft, N. D. Mermin, Solid State Physi s[75 Y. Luke, Integrals of Bessel Fun tions (M Graw-Hill, New York) (1962)[76 E. M Godfrin, J. Phys. Cond. Mat. 3, 7843 (1991)[77 L. Szunyogh, MTA doktora értekezés (2000)[78 L. Szunyogh, B, Újfalussy, P. Weinberger, J. Kollár, Phys. Rev B 49, 2721 (1994)[79 R. Zeller, P.H. Dederi hs, B. Újfalussy, L. Szunyogh, P. Weinberger, Phys. Rev. B52, 8807 (1995)[80 O. K. Andersen, O. Jepsen, Phys. Rev . Lett. 53, 2751 (1984)[81 W. R. L. Lambre ht, O. K. Andersen, Surf. S i. 178, 256 (1986)[82 P. H. Dederi hs, R. Zeller, Phys. Rev B 28, 5462 (1983)[83 H. J. Jansen Phys. Rev B, 38, 8022 (1988)[84 B. Fis her, M. W. Klein, Phys. Rev. B, 11, 2025 (1975)[85 V. I. Litvinov, V. K. Dugaev, Phys. Rev. B, 58, 3584 (1998)[86 H. Imamura, P. Bruno, Y. Utsumi, Phys. Rev B, 69, 121303 (2004)[87 J. Wiebe, F. Meier, K. Hashimoto, G. Bihlmayer, S. Blügel, P. Ferriani, S. Heinze,R. Wiesendanger, Phys. Rev B 72, 193406 (2005)[88 http://www.phys.u.edu/fermisurfa e/[89 L. Udvardi, L. Szunyogh, K. Palotás, P. Weinberger, Phys. Rev B, 68, 104436(2003)[90 B. Skubi , J. Hellsvik, L. Nordström, O. Eriksson, J. Phys. Condens. Matter, 20,315203 (2008)

Felületi mágneses szennyez®k köl sönhatásának vizsgálataSimon Eszter-Összefoglalás-Dolgozatomban két szennyez® között kialakuló köl sönhatást vizsgáltam felületeken va-lamint az egyes rétegekben. Ezekhez a számolásokhoz az árnyékolt KKR-módszert hasz-náltam, melynek felhasználásával lehet®vé vált félvégtelen rendszerek egzakt vizsgálata.A szennyez®t szubsztitú iós módon beleágyaztuk az egyes rétegekbe, a köztük lev® köl- sönhatást a parallel valamint az antiparallel kongurá iók közti sávenergiák különb-ségéb®l származtattuk. Az eredmények értelmezésekor azt találtuk, hogy az átmenetifémek felületein kialakuló felületi állapotok kul sfontosságú szerephez jutnak a köl sön-hatás kialakításában. Ezért a különböz® fémek felületi állapotainak vizsgálata nagyonfontos része volt munkámnak.Egy rövid bevezet® után a második fejezetben a számoláshoz szükséges elméleti hát-teret mutattam be. A harmadik fejezetben ismertettem a felületi állapotok tulajdonsá-gait. Az irodalomban eddig fellelhet® vizsgálatokban, a felületi állapotnak a spin-pályaköl sönhatás hatására bekövetkez® felhasadását, a Rashba-felhasadást izotróp eektus-nak kezelték. Azonban numerikusan megmutattam, hogy átmeneti fémek felületén iskialakul anizotróp Rashba-felhasadás. Ilyen anizotróp felhasadás gyelhet® meg arany(110) felületen, valamint bizmut felületen is ezüst (111) felületére helyezve. Implementál-tam az ötvözetek esetére vonatkozó Blo h-spektrál függvény kifejezését, amely lehet®vétette ötvözetek felületén létrejöv® felületi állapotok diszperziós relá iójának vizsgála-tát. Két típusú ötvözetre határoztam meg a felületi állapot diszperziós relá ióját ésigazoltam, hogy ötvözetek felületein is kialakulhat felületi állapot.A negyedik fejezetben foglaltam össze a köl sönhatásra vonatkozó numerikus ered-ményeket. El®ször arany valamint réz felületeken határoztam meg a köl sönhatást,amelynek során azt kaptam, hogy azokon a felületeken ahol betöltött felületi állapotvan, ott ez a felületi állapot, mint egy közvetít® közeg jelenik meg a szennyez®k köl- sönhatásában. A felületi állapot eredményeképpen osz illáló köl sönhatás alakul ki,melynek le sengése, 1/R2 , ahol R a mágneses szennyez®k távolsága. Felületi állapot,és így közvetít® közeg nélkül a köl sönhatás exponen iálisan le seng. A vizsgálatokatkiterjesztettem platina felületre is, ahol az indukált momentumok folytán alakult ki afelületen valamint az egyes rétegekben tömbi jelleg¶ osz illáló köl sönhatás. Az indukáltmomentumok hatását a köl sönhatásra vonatkozólag egy egyszer¶ numerikus modellelszemléltettem. Kétféle ötvözet felületén is megvizsgáltam a kialakuló köl sönhatást,amelyekben egy exponen iális le sengés is megjelent a rendezetlenség folytán.

Ex hange intera tion between impurities at surfa esEszter Simon-Summary-In this thesis I studied the ex hange intera tion between impurities near surfa es using arst-prin iples based approa h. First, I used the s reened KKR method to al ulate theGreen's fun tion of a semi-innite host material exa tly. Than the impurities were em-bedded into the layers this semi-innite host to al ulate the intera tion energy denedas the dieren e between the band energy of the parallel and anti-parallel onguration.We found, that the surfa e states of the host plays a very signi ant role in the ex hangeintera tion. Therefore I also studied the surfa e states in great detail as well.After a short introdu tion, in the se ond se tion I introdu ed the method andtheoreti al framework of the al ulations. In the third se tion I presented my resultsregarding the surfa e states of opper and gold. It is ommon knowledge, that the surfa estates may split due to spin-orbit oupling, alled the Rashba splitting. In most studiesthe Rashba splitting is thought to be isotropi . However, I demonstrated numeri allythat there an be an anisotropi Rashba ee t. At gold (110) surfa e as well as at thesurfa e of Bi/Ag(111) overlayers, there is an anisotropi ontribution to the Rashbasplitting. I also implemented the al ulation of the Blo h spe tral fun tion withinthe CPA theory for an alloy surfa e, whi h enabled the al ulation of the dispersionrelation of surfa e states at surfa es of CuxAu(1−x)(111) and CuxPd(1−x)(111) randomsubstitutional alloys for the rst time. This al ulation also predi ts the existen e ofsurfa es states in su h systems.In the fourth se tion I summarized the numeri al results for the ex hange intera tionbetween two magneti impurities on surfa es of pure materials and alloys. At rst Idetermined the ex hange intera tion between magneti impurities at gold and oppersurfa es. From theses al ulation I on luded that, where the surfa es states do exist,and are o upied, they mediate the (ex hange) intera tion between the impurities. Inthis ase the ex hange intera tion os illates with the distan e of impurities (R) andde ays as 1/R2. Without surfa e states the ex hange intera tion de ays exponentially.This observation is further veried by alloying, where the surfa e state dispersion anbe varied, or an be made to disappear altogether. On alloy surfa es I also found anadditional exponential de ay of the intera tion due to disorder. My al ulations forimpurities on the surfa e of Pt(111) found os illatory oupling without surfa e states.I found strong eviden e, that this is due to the large platinum indu ed moments. Thefrequen y and the de ay of the os illatory ex hange intera tion is found to be same as inbulk. I demonstrated the role of the indu ed moments with a simple numeri al model.