Komplex függvények színesábrázolásaTDK dolgozatLó si Levente

http://lo si.web.elte.huTémavezet®: S hipp Feren 2006. november

Tartalomjegyzék1. Bevezet® 32. Komplex függvények ábrázolási módjai 42.1. Kétsíkos (z és w) ábrázolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Vektoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Háromdimenziós ábrázolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Fraktálszínezésekr®l, a Mandelbrot-halmaz . . . . . . . . . . . . . 83. Színes ábrázolás 93.1. A színes ábrázolás elve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Az ImRe színezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. Argumentum alapján � ArgAlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4. Argumentum alapján � ArgKör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5. Abszolút érték alapján . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6. AbsAlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.7. Lép s®sítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.8. Törtrész . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174. Néhány függvény diszkussziója 184.1. Konstans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2. Identitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3. Konjugált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4. Inverzió, re iprok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5. Lineáris függvények,lineáris ra ionális törtfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6. Négyzetfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.7. Polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.8. Négyzetgyökfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.9. Exponen iális függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.10. Logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.11. Szinusz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.12. Szingularitásokról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235. Néhány függvénysorozat 245.1. Egyre magasabb kitev®j¶ hatványok . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2. Az exponen iális függvény Taylor-polinomjai . . . . . . . . . . . 245.3. A szinuszfüggvény Taylor-polinomjai . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4. Egy fraktál �közelítése� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5. További érdekes képek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256. Színezések összehasonlítása 266.1. Nagy abszolút érték¶ függvényértékek . . . . . . . . . . . . . . . 266.2. Zérushelyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3. Következtetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277. A programokról 287.1. Színes Komplex Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2. Képek készítése standard ++ programmal . . . . . . . . . . . . . 307.3. Tervek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

8. Összegzés 348.1. Hivatkozások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.2. Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36A. Komplex függvények színes képei 37A.1. Színezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.2. Néhány függvény diszkussziója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A.3. Néhány függvénysorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.4. Színezések összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2

Komplex függvények színes ábrázolásaLó si LeventeKivonatEzen dolgozatban komplex függvényeknek egy olyan ábrázolási módjátmutatom be, mely azon alapszik, hogy a komplex számsík pontjainakszíneket feleltetünk meg. Így lehet®vé válik komplex függvényeknek 2dimenzióban történ® ábrázolása.Munkámhoz tartozik egy komplex függvények ily módon történ® ábrá-zolását lehet®vé tev® gra�kus felhasználói felület¶ alkalmazás, amely szin-tén saját ++ osztálygy¶jteményre épül. Ez utóbbi segítségével könnyedénkészíthetünk ezentúl komplex függvényekr®l bmp formátumú ábrákat.Dolgozatomban f®leg arra törekszem, hogy kialakuljon bennünk ez azújfajta szemléletmód, ábráink értelmezési készsége, megértsük a színezé-sek elvét. Gyönyörködhessünk abban, hogy ilyen absztrakt dolgok hogyanválnak esztétikus képekké, illetve hogy a szép képek mögött milyen mélytartalom rejlik.1. Bevezet®Mindig törekszünk szemléltetni, lerajzolni, valamiféle képet alkotni különböz®matematikai objektumokról. Ezáltal azok átláthatóbbá, könnyebben tanulha-tóbbá válhatnak, s®t a különböz® ábrák sokszor még esztétikai élményt is nyúj-tanak. Jogosan érezzük tehát fontosnak és érdekesnek komplex függvények áb-rázolását.Eddig ehhez a területhez nem tartoztak túl elegáns és látványos eszközök,valószín¶leg nem sokan látják szemeik el®tt, hogy milyen is egy komplex négy-zetfüggvény, hogyan jelenik meg egy zérushely, egy szakadási pont vagy éppenegy lényeges szingularitás. Talán arról sin s képünk, hogy hogyan közelítikegyre jobban az exponen iális függvényt a 0 körüli egyre magasabb fokú Taylor-polinomjai.Valós-valós függvények ábrázolásának módját a derékszög¶ koordinátarend-szerben már általános iskolás korunkban megismerjük. Elég hozzá két dimenzió,s azt, hogy mihez mit rendeltünk hozzá, leolvashatjuk a függvény gra�konjá-nak pontjai vízszintes illetve függ®leges koordinátáiról. Néhány középiskolábanesetleg megemlítik, hogy létezik az i és a komplex számok. Egyetemi tanul-mányaink során pedig meggy®znek err®l minket, s®t a komplex függvénytanbais belekóstolhatunk. Ekkor merülhet fel bennünk az igény arra, hogy komplexfüggvényeket is valahogyan ábrázoljunk, elképzeljünk.Ez azonban nem egyszer¶ feladat. A komplex számokat ugyanis a hagyomá-nyos módon a komplex számsíkon, azaz 2 dimenzióban szemléltetjük. A vízszin-tes tengelyen a komplex számok valós részét, a függ®legesen pedig a képzetes(imaginárius) részét ábrázoljuk. 3

Vegyünk egy z ∈ C számot. (C a komplex számok halmazát jelöli.) Ekkortehát z felírható a következ® alakban: z = x + iy, ahol z valós része x, képzetesrésze pedig y.Re

Im

z = x + iy

x

y

r

ϕ

Az ábrán szerepl® r-et a z abszolút értékének nevezzük (r = |z|), z argu-mentuma pedig a valós tengelyt®l mért elfordulás szöge (ϕ) radiánban.Mi most komplex (C → C) függvényeket szeretnénk ábrázolni. Ahhoz azon-ban, hogy ezt meg tudjuk tenni � hogy meg tudjuk jeleníteni a pontot az ®képével együtt � összesen 2 + 2 = 4 dimenzióra lenne szükségünk. A hagyomá-nyos R4 Euklideszi-térben való szemléltetést el kell, hogy vessük.Több ötlet is született az évek során arra, hogy a papírlapjainkon, moni-torainkon rendelkezésre álló 2 dimenziót hogyan tehetjük elegend®vé komplexfüggvények ábrázolására.A továbbiakban röviden áttekintjük a legelterjedtebb ábrázolási módokat,megmutatjuk, hogy hogyan alkalmazhatunk színeket éljainkhoz. Bemutatjuktöbb elemi, egyszer¶ és összetettebb függvény képét, értelmezzük azokat. Vé-gezetül ejtünk néhány szót a konkrét implementá ióról, hogyan készíthetünkegyszer¶ standard ++ osztályok segítségével most már magunk is hasonló ké-peket, és hogy hogyan használható a már említett gra�kus alkalmazás.A továbbiakban ismertnek tekintjük az egyszer¶bb komplex függvényeket,és feltételezünk némi jártasságot a komplex függvénytanban.2. Komplex függvények ábrázolási módjaiRöviden áttekintjük, hogy milyen módszerek terjedtek el komplex függvényekszemléltetésére, milyen programok állnak rendelkezésünkre e élból.2.1. Kétsíkos (z és w) ábrázolásValószín¶leg legtöbben analízis tanulmányaink során ezzel a módszerrel talál-kozunk el®ször. Az egyik legkézenfekv®bb módszer, nyomdate hnikailag is alegegyszer¶bb.Képzeljünk el két síkot egymás mellé rajzolva. A bal oldalit nevezzük zsíknak, a másikat pedig w síknak. Az ábrázolás lényege, hogy a z síkra rajzoljuka pontot, a w síkra pedig annak az ábrázolandó függvény szerinti képét. Akáregy nyilat is rajzolhatunk, ezzel is jelezve a hozzárendelés irányát.4

Ezt a módszer így nem érdemes használni, nem kapnánk szemléletes ábrát.Vizsgálhatjuk viszont a z síkon adott bizonyos ponthalmazok (egyenesek, féle-gyenesek, körök, stb.) képét is a w síkon � akár befutási iránnyal együtt. Ezzelmáris jobb képet kaptunk függvényünkr®l. Tehát másképpen: azt mondjuk meg,hogy a függvény milyen ponthalmazokat milyen ponthalmazokba visz át.Vegyük például a komplex négyzetfüggvényt: f : C → C, f(z) = z2. Vizs-gálhatjuk el®ször az imaginárius tengellyel párhuzamos egyenesek képét.Legyen l = {x0 + iy ∈ C | y ∈ R, x0 ∈ R rögzített} egy ilyen egyenes.Pontjainak képe f(x0 + iy) = (x0 + iy)2 = x20 − y2 + 2x0yi = (x2

0 − y2) +2x0yi = u+vi = w. Ez esetben az y kiküszöbölésével � megfelel® körültekintéssel� nyerhetünk összefüggést a w képpont valós (u) és képzetes (v) komponenseközött. Adódik, hogy u = x2

0 − v2

4x2

0

, azaz l pontjainak képei mind ezen a valóstengellyel párhuzamos tengely¶ parabolán vannak, l képe e parabola.Ha több imaginárius tengellyel párhuzamos egyenes képét felrajzoljuk, akkora következ® ábrához hasonlóhoz juthatunk.Hasonlóképpen vizsgálhatjuk a valós tengellyel párhuzamos egyenesek képétis. Ekkor fordított állású parabolákat kapunk.Szokás a fenti két képpárt egyben is felrajzolni, többféle ponthalmaz képétegyütt ábrázolni, amíg az áttekinthet®ség engedi.Természetesen megtehetjük, hogy egyenesek helyett sak szakaszokat né-zünk, vagy például egy négyzethálót. Egy 4 × 4-es négyzetrá s exponen iális,szinusz- és koszinuszfüggvény szerinti képét jeleníti meg egy a következ® ímr®lelérhet® Java applet.http://sunsite.ub . a/LivingMathemati s/V001N01/UBCExamples/ComplexViewer/ omplex.htmlEnnek az ábrázolásnak az el®nye, hogy elég egyszer¶en kivitelezhet®. Akiszámolt függvényértékek alapján a görbék megrajzolása nem okoz túl nagynehézséget. Hátránya, hogy nehezen olvashatók le a függvény egyes jellemz®i,például a zérushelyek, szakadási pontok.5

2.2. VektorosEr®terek ábrázolásához nagyon hasonló módszer. A komplex sík pontjaiba (bi-zonyos közönként) megfelel® irányú és hosszúságú vektorokat rajzolunk, melyekmegfelelnek a képpont � mint komplex szám � irányának (argumentumának) éshosszának (abszolút értékének).Az alábbi ábrán az f(z) = z2 − 1 függvényt szemléltetjük a {z ∈ C | −2 ≤Re z ≤ 2,−2 ≤ Im z ≤ 2} halmazon. Jól látszanak a zérushelyek (az 1 és −1pontokban), valamint például az is, hogy a képzetes tengely mentén a függvény supa negatív (valós) értéket vesz fel. Mivel szemléletesen a negatív valós szá-mok a 0-tól balra vannak, ezért nekik a képen egy balra mutatú nyíl felel meg.Ahol tehát a képen balra mutató nyilakat látunk, ott a függvény szerinti képnegatív valós szám. Az origótól egyre távolodva meg�gyelhetjük a képpontokabszolút értékeinek növekedését is.

Tekintsük meg a komplex exponen iális függvényt is, mivel többször el® fogmég fordulni.

6

Láthatjuk, hogy a valós tengellyel párhuzamosan mínusz végtelen irányábanhaladva a függvényértékek abszolút értékei a nullához tartanak, plusz végtelenfelé haladva pedig az abszolút értékek is a végtelenbe n®nek. A vektorok irányapedig nem változik. Figyeljük meg, hogy egy képzetes tengellyel párhuzamosegyenes mentén végighaladva a függvényértékek abszolút értéke konstans, azargumentumok (a vektorok irányából látszik) pedig 2π-enként ismétl®dnek. Akomplex exponen iális függvény 2πi szerinti periodikusságának szép megjelenéseez. Meggondolhatjuk, hogy mit kapnánk az el®z® módszer szerint a z síkon azegyes tengelyekkel párhuzamos egyenesek képeként. A valós tengellyel párhuza-mos egyenesek képe egy a 0-ból kiinduló félegyenes, melynek a valós tengellyelbezárt szöge az egyenes valós tengelyt®l mért távolságától függ; a képzetes ten-gellyel párhuzamos egyenesek képe pedig egy-egy 0 közep¶ kör, melynek sugaraaz egyenes képzetes tengelyt®l mért távolságától függ. Ez teljes összhangbanvan ez utóbbi ábránkkal is.Ez az ábrázolási mód már nehezebben kivitelezhet®, hasznosabb viszont ab-ból a szempontból, hogy jól láthatók rajta a zérushelyek. A vektorok hosszánakmegállapítása körülményes lehet akkor, ha egy tartományon belül vannak na-gyon ki si és nagyon nagy abszolút érték¶ pontok is.2.3. Háromdimenziós ábrázolásHa külön bontjuk a komplex függvényeket valós, illetve képzetes függvényekre,ezeket már felfoghatjuk R2 ×R2 → R függvényekként. Így külön-külön ábrázol-hatóvá válnak három dimenzióban. (Végül levetítjük ezen ábrákat a síkba.)Ha f(z) = w = u+iv, ahol z = x+iy, akkor legyen f1 : R2 → R, f1(x, y) = u,valamint f2 : R2 → R, f2(x, y) = v.Vegyük ismét példának az exponen iális függvényt.exp z = exp(x + iy) = exp x exp iy = expx(cos y + i sin y) = ex cos y + iex sin y.

f1(x, y) = ex cos y f2(x, y) = ex sin y

Ez elég látványos ábrázolásmód, szép képek adódnak. Megfelel® függvénytábrázolva azt tapasztalnánk, hogy szakadási helyeket is nagyon jól megmutatja,a zérushelyeket már kevésbé. Továbbá ez ellentmond annak a törekvésünknek,hogy egy síkon minél tömörebben tudjuk érzékeltetni függvényeinket.7

A két ábrát össze lehet vonni oly módon, hogy sak például a valós résztábrázolót hagyjuk meg, a függvényérték képzetes részét pedig ugyanerre az áb-rára kódoljuk rá bizonyos színkód használatával. Így azonban elveszíti egyenjo-gúságát a függvényérték képzetes és valós része. Még olvashatatlanabbá válikábránk. Választhatjuk azt a módszert is, hogy a függvény abszolút értékét ábrá-zoljuk, a színekkel pedig a képpontok argumentumát jelezzük. Ezt teszi aMaple omplexplot3d paran sa. Álljon itt példaként a komplex szinuszfüggvény képe.

Egyébként a kép alján a sú sok a zérushelyek (kπ, k ∈ Z valós pontok),továbbá leolvashatjuk, hogy a valós tengely mentén a képpontok abszolút értékeki si (legfeljebb 1) marad, nagyobb képzetes rész¶ vizekre evezve azonban aképpontok abszolút értéke er®teljesen megn®.2.4. Fraktálszínezésekr®l, a Mandelbrot-halmazMi a továbbiakban majd színeket fogunk megfeleltetni a komplex számsík pont-jainak valamilyen szabály szerint. Egy lehetséges ilyen megfeleltetés az, melyetfraktálok ábrázolására gyakran használnak. Ejtsünk néhány szót most err®l.A legegyszer¶bb módszer az, hogy attól függ®en, hogy egy adott pontbólindított valamely iterá ió � e ponthoz rendelt komplex számsorozat � elszalad-ea végtelenbe, vagy korlátos marad, a pontokat fehérre, vagy feketére színezzük.Bizonyos egyszer¶ feltételeknek megfelel® iterá ió esetén meglep®en bonyolultún. fraktálformák alakulnak így ki. (Julia-halmazok, Mandelbrot-halmaz, . . . )Az a pont tartozzon hozzá a halmazhoz, amelyb®l indítva az iterá iót, a kapottsorozat korlátos marad.Az ilyen képet szebbé varázsolhatjuk különböz® színez® módszerekkel, bi-zonyos meg�gyelések alapján. Például meg�gyelhetjük azt, hogy hány lépésután mondhatjuk biztosan, hogy a sorozat nem korlátos; hogy milyen messzekerültünk a tengelyekt®l; stb.Minden bizonnyal a leghíresebb ily módon színezett komplex számhalmaza Mandelbrot-halmaz. Vegyünk egy tetsz®leges z ∈ C számot. Vegyük enneknégyzetét, majd adjuk hozzá az eredeti számot. Majd ismét vegyük az ígykapott számnak a négyzetét és adjuk hozzá az eredeti számot. Ezzel de�niáltunkminden z ∈ C-hez egy sorozatot. Mondjuk azt, hogy z ∈ M , akkor és sak akkorha a z-hez rendelt sorozat korlátos. Ekkor M a Mandelbrot-halmaz.8

A Mandelbrot-halmazEzek voltak a legfontosabb elterjedt komplex függvények ábrázolására szol-gáló módszerek. Egy jó gy¶jtemény található ezekkel kap solatban ahttp://www.usf a.edu/v a/websites.html ímen.3. Színes ábrázolásA továbbiakban rátérünk arra a módszerre, amelynek alkalmazásával magam issokat foglalkoztam, és hozzá programokat is készítettem.Komplex függvénytani tanulmányaim és néhány kollégámmás színes témávalkap solatos munkája indította el gondolataimat. Utánanézve a weben kiderült,hogy a módszer alapgondolata nem új, viszont sikerült néhány saját elképzelés-sel, eszközzel b®vítenem a téma kin sestárát.A Hivatkozások ím¶ fejezetben felsoroltam néhány komplex függvények szí-nes ábrázolásával foglalkozó honlap ímét.3.1. A színes ábrázolás elveEzen ábrázolásmód alapgondolata a következ®.Vegyünk egy síkot � melyre mint a komplex számsíkra gondolunk. Legyenf : C → C egy tetsz®leges függvény. Vizsgáljuk a sík egy z pontját. Számoljukki ebben a pontban a függvényértéket, f(z) ∈ C-t. Bizonyos � a továbbiakbankifejtend® � szabály szerint rendeljünk hozzá valamilyen színt e komplex szám-hoz, és a sík kiválasztott pontját színezzük ilyenre. Ezt végezzük el a sík minden(elég sok) pontjára.Természetesen számítógépen képpontokkal dolgozunk. Ez esetben abból,hogy mekkora felbontású (hány pixelszer hány pixeles) képet szeretnénk, il-letve hogy a komplex számsík mely részén szeretnénk ábrázolni függvényünket,könnyen kiszámolható, hogy adott képpont mely komplex számnak felel meg.Konkrétan egy n × n felbontású kép esetén (melynek i-edik sorának j-edikképpontja ki,j), ha a H = {z ∈ C | x0−δ ≤ Re z ≤ x0+δ, y0−δ ≤ Im z ≤ y0+δ}halmazon szeretnénk látni f : C → C képét, akkor ki,j (0 ≤ i, j ≤ n− 1) annaka zi,j ∈ C számnak feleljen meg, melyre

Re zi,j = x0 − δ +2δj

n,

Im zi,j = y0 + δ − 2δi

n.E képleteket hivatott alátámasztani a következ® ábra, amelyen ráillesztettüka komplex számsík egy 0 közep¶ tartományára a képet megadó mátrixot. (A9

kép bal oldalán � kisebb j értékekkel � a kisebb valós érték¶ helyek a kép fels®részén � kisebb i értékekkel � a nagyobb képzetes rész¶ helyek láthatók.)

Hogy egyszer¶bben le tudjuk írni a kés®bbiekben, hogy képünkön egy függ-vényt mely tartományon ábrázolunk (az iménti H halmaz), vezessük be a kö-vetkez® jelölést (z0 ∈ C, δ ∈ R+):Cz0,δ := {z ∈ C | Re z0 − δ ≤ Re z ≤ Re z0 + δ, Im z0 − δ ≤ Im z ≤ Im z0 + δ}.Már sejtjük, hogy akármilyen is legyen az a módszer, mellyel a komplex szá-moknak színeket feleltetünk meg, sokféle színt várunk, ráadásul minden képpontmás szín¶ lehet. Egy színes négyzetet kapunk. Így ilyen ábrázolási módszertnem használnak el®szeretettel könyvekben, nyomtatott anyagokban. Egysze-r¶en festékpazarló. A továbbiakban mi is sak a legfontosabb helyeken szúrunkbe a szöveg mellé ilyen ábrákat, a többi kép a függelékben tekinthet® meg.A digitális világban viszont nagyon is egyszer¶en megjeleníthet®k ezen amódon a komplex függvények.Alapvet®en a színeket a számításte hnikában egy RGB hármassal (a szín piros,zöld, kék komponensei) ábrázoljuk, ahol a számhármas minden eleme egy 0 és255 közötti egész � mivel egy bájton ábrázoltatik. Így a következ® módszereketfelfoghatjuk C → B

3 függvényeknek is, aholB = {n ∈ Z | 0 ≤ n ≤ 255}.Természetesen más színábrázolási módok is vannak (CMY, HSV, . . . ), de mimost az RGB-t fogjuk használni mint legpraktikusabbat.(A http://www.andrew. mu.edu/user/ oa/i os- omplex.html ímr®l letölt-het® ügyes program többféle színábrázolással is dolgozik.)Most rátérünk azoknak a fontosabb módszereknek (színezéseknek) az ismer-tetésére, melyekkel komplex számokhoz színeket rendelhetünk.10

3.2. Az ImRe színezésVizsgáljuk most meg el®ször az ImRe fed®nev¶ színezést. Ez talán a legkézen-fekv®bb színezés. Nem találhatunk azonban a világhálón olyan ábrákat, aholezt alkalmazták volna. (Hasonló színeket igen, de nem ezen a módon jutottakel oda.) Így ezt bátran nevezhetjük új ötletnek.Alapelve az, hogy a függvényérték (∈ C) valós ill. képzetes részéhez külön-külön � erre utal az elnevezése is � hozzárendelünk egy [0..255]-beli egészet,és ezeket a szín egy-egy komponensének vesszük. Feleljen meg a valós részhezrendelt egész a szín piros (R), a képzetes részhez rendelt pedig a kék (B) kom-ponensének. (Másik két komponenst is választhattunk volna, ez leginkább ízléskérdése.)Már sak azt kell megmondanunk, hogy hogyan rendeljünk egy [0..255]-beliegészet egy valós számhoz � mint valós ill. képzetes részhez. Ehhez használjuk azar us tangens függvény megfelel® transzformáltját, azt, melynek értékkészlete a(0, 256) ∈ R valós intervallum. Majd � hogy egészet kapjunk � vegyük a kapottérték egészrészét. Tehát ez a k : R → B függvény a következ®:

k(x) =

⌊256

π(ar tanx +

π

2)

⌋

.Az ar us tangens függvény képe (f(x) = ar tanx):A transzformált ar us tangens függvény képe (f(x) = 256

π (ar tanx + π2 )):

Az alábbi ábra segítségével talán még világosabbá válik módszerünk lényege.Tehát a komplex sík egy ábrázolandó részének pontjain � adott közönként �végighaladva kiszámoljuk ott a függvényértéket, megnézzük, hogy a képponthozmilyen szín tartozik, majd a sík vizsgált pontját ilyen szín¶re festjük.11

Most már minden összeállt, hogy bemutassuk els® ilyen módszerrel készí-tett ábránkat, mely a komplex identitás függvényt (f(z) = z) ábrázolja a C0,6halmazon.

f(z) = z (z ∈ C0,6), ImReLásd még: függelék, 1. ábra.Figyeljük meg, hogy ahogy a valós tengellyel párhuzamosan pozitív irányban(a képen jobbra) haladunk, úgy n® a színekben a piros összetev® mennyisége. (Afeketét®l a piros, a kékt®l a lila felé haladunk.) A képzetes tengellyel párhuzamo-san pozitív irányban (a képen felfelé) haladva pedig a kék összetev® növekedésétláthatjuk. (A feketét®l a kék, a pirostól a lila felé haladunk.)Az egyes síknegyedekre lebontva a következ®ket mondhatjuk:• Az els® síknegyedben a lila az uralkodó szín, mivel a képpontok valós ésképzetes része is pozitív, a hozzájuk rendelt színben sok a piros és a kék.• A második síknegyedben a kék dominál. A képpontok valós része nega-tív, a képzetes rész pozitív, a hozzájuk rendelt színekben kevés a pirosösszetev®, viszont sok a kék. 12

• A harmadik síknegyedben mindkét komponensb®l kevesebb van � a valósés képzetes rész is negatív.• A negyedik síknegyed pirosas színe indoklásának részletezését ezek utánnyugodt szívvel hagyjuk el.(A sok, illetve kevés fogalmakat intuitíven, a színösszetev®k mennyiségénekhozzávet®leges jellemzésére használtuk.) Meg�gyelhetjük, hogy zöldes árnyalatnem jelenik meg. Nem is vártuk, ugyanis sak a piros és kék színkomponensekethasználtuk, a zöld értéke mindvégig 0 volt.A 0 pontban a függvény a 0 értéket veszi fel. Ez � sajnos nem túl felt¶n®módon � egyfajta sötétlila szín¶. A függelékben megtekinthet® a konstans nullafüggvény e szín érzékeltetése éljából. (2. ábra)Láthatjuk azt is, hogy a képen nin senek hirtelen ugrások, élek, hanem átme-netes. Ezt a vizsgált függvény folytonosságának megjelenéseként értelmezhetjük.Ha a színábrázolás miatt nem kellene egészrészt vennünk, akkor könny¶meggondolni, hogy különböz® komplex értékekhez különböz® szín tartozna, azaza színezés injektív lenne.Az identitás függvény nagyon praktikus, f®leg amikor újabb színezéseketmutatunk be a továbbiakban. El is felejthetjük, hogy közben egy függvényhelyettesítési értékét is számoltuk, minden pontnál az �® saját színe� jelenikmeg.Amikor pedig kevésbé triviális függvények képeit fogjuk vizsgálni, akkorpillantsunk közben rá a megfelel® színezés¶ f(z) = z függvény képére, hogykönnyen leolvashassuk, hogy vizsgált függvényünk mit rendel egy adott pont-hoz. (A pont színét keressük meg az identitás képén.)3.3. Argumentum alapján � ArgAlapEz a színezés igazságosabb mint az ImRe, egyenl® mértékben használja az RGBszínösszetev®ket, és nem közösíti ki az egyiket. (Például a zöldet.) Ezen színezéshasználatával sem találkozhatunk máshol, pedig bizonyos függvények ábrázolá-sára nagyon élszer¶.Képzeljük el, hogy a szivárvány színeit � a vöröst®l/pirostól a sárgán, zöldönát az ibolyáig � feltekerjük a komplex számsík 0 pontja köré, hogy az ibolyaután visszaérjünk a vöröshöz. A 0 argumentumú számoknak a piros, a π

3 argu-mentumúaknak a sárga, stb.(Egy z = r cosϕ + ir sin ϕ komplex szám argumentuma ϕ.)Ez a leképezés a komplex számsíkról a színekre nem injektív, tegyük azzá.Az adott komplex érték abszolút értékét®l (0 ≤ |z| < +∞) függ®en elsötétít-hetjük eddigi élénk színeinket, például az f : R+0 → (0, 1), f(x) = 2

πar tanxfüggvénynek megfelel®en. Ahol egyhez közeli értékeket vesz fel e függvény, otta majdnem teljesen élénk színeket használjuk, ahol 0 közelieket, ott majdnem afeketéig sötétülnek színeink.13

f(x) = 2πar tanxA sötétítés m¶veletét tehát egy p ∈ (0, 1) ⊆ R számmal paraméterezzük, akövetkez®képpen m¶ködik. A szín minden c ∈ B összetev®jére:

csötétített := ⌊pc⌋ .Minden szónál többet mond, ha ábrázoljuk most ezzel a színezéssel az iden-titás függvényt.

f(z) = z (z ∈ C0,6),ArgAlapLásd még: függelék, 3. ábra.Pontosításra szorul, hogy az argumentumból hogyan számoljuk ki a hozzátartozó telített (még nem sötétített) színt. Mindhárom összetev®t (RGB) egy Π3hosszúságú szakaszonként lineáris függvénnyel de�niáljuk. Ezt jeleníti meg akövetkez® három ábra.

RGBEnnél a színezésnél sokkal határozottabban jelenik meg a zérushely.A továbbiakban erre a színezésre az ArgAlap néven hivatkozunk.14

3.4. Argumentum alapján � ArgKörEz az a színezés, mellyel a legtöbbször találkozhatunk a neten. Talán nem vé-letlenül ennyire elterjedt, jól láthatóvá teszi a zérushelyeket, a szingularitásokat.Nem olvastam sehol leírást a konkrét C → B megfeleltetésr®l, saját algoritmustdolgoztam ki e hozzárendelés megvalósítására. Az eredményül kapott képek-nek a neten találhatókkal való összehasonlítása után arra jutottam, hogy a kétmódszer nem teljesen ugyanaz.Ha az el®bbi színezésnél túl sok volt a sötétítés, most világosítsunk is.Ugyanazokból a színekb®l indulunk ki, mint az el®bb. Tehát el®ször hatá-rozzuk meg az adott komplex szám argumentumának megfelel® telített színeket,majd ezután változtassunk a fényességén. Legyen a határ az 1. Az ennél kisebbabszolút érték¶ komplex számok esetén sötétítsük, ennél nagyobbaknál világo-sítsunk. A telített színeket tehát az egységkör mentén fedezhetjük majd fel.

f(z) = z (z ∈ C0,6),ArgKörLásd még: függelék, 4. ábra.A fényesség megváltoztatásához tehát egy olyan függvényre van szükségünk,mely 0-ban 0-t vesz fel, 1-ben 1-et, addig szigorúan monoton n®, majd 1 utánszigorúan monoton sökken, a +∞-ben 0-hoz tart. Ezzel tudjuk az eddigivelmegegyez® módon paraméterezni a sötétítést. Ilyen függvény például a követ-kez®:f : R

+0 → (0, 1), f(x) =

2x

x2 + 1.

Természetesen több ilyen tulajdonságú függvény létezik, lehetne kísérleteznimásokkal is. A weben található ilyen színekben pompázó képek valószín¶legvalamely más ilyen függvényt használnak.15

Most megmutatjuk, hogy a sötétítéshez hasonlóan egy p ∈ (0, 1) ⊆ R szám-mal paraméterezett világosítást hogyan lehet megvalósítani. Azt szeretnénk,hogy annál jobban világosítsunk, minél kisebb p, és határesetben a fehér színt(minden összetev® 255) kapjuk. A szín minden c ∈ B összetev®jére:cvilágosított := ⌊c + (255 − c)(1 − p)⌋ .A továbbiakban erre a színezésre az ArgKör néven hivatkozunk.Figyeljük meg mit tapasztalunk, ha a valós tengely mentén végighaladunkpozitív irányban. (Vízszintesen a kép közepén.) A valós identitás függvényt� f(x) = x (x ∈ R) � látjuk. Világos iántól a telített iánon (x = −1) át,annak elsötétülésével a feketén keresztül eljutunk a pirosig (x = +1), ami ismétkivilágosodik. Tehát ennél a színezésnél elég határozottan látható, hogy a függ-vény hol vesz fel valós értékeket: ahol az ábra a ián vagy a piros árnyalataibanpompázik. A ián a negatív valósaknak felel meg, a piros a pozitívaknak.A valós �számegyenes� ArgKör színekkel.Az ArgAlap színezésnél is meg�gyelhetünk hasonlót. Az ImRe színezés ese-tén viszont elég nehéz látni a valós értékeket, mivel az ezeknek megfelel® pirosas-lilás, sötétlilás, sötétkékes színek nem különülnek annyira el a környezetükt®l.Konkrét függvények vizsgálatánál is meg�gyeljük majd, hogy a valós tengelymentén milyen színeket tapasztalunk. Ezáltal bemutatjuk, hogy hogyan jelenikmeg például a komplex szinuszfüggvény képén a valós szinuszfüggvény.A többi kevésbé lényeges, de érdekes színezésr®l rövidebben írunk. Legtöbb-ször elhagyjuk a felhasznált függvények pontos leírását.3.5. Abszolút érték alapjánTegyük fel, hogy sak a függvény abszolút értékének változása érdekel minket.Ekkor megtehetjük, hogy a függvényértékek abszolút értékeinek feleltetünk megegy B-beli értéket. Mivel az |z| ≥ 0, használhatjuk az ar us tangens függvénymegfelel® transzformáltját. Legyen f : R

+0 → B, f(x) =

⌊256·2

π ar tanx⌋.Válasszuk most a szín zöld (G) összetev®jét az ábrázoláshoz.Az ábrát lásd a függelékben. (5. ábra)Erre a színezésre a továbbiakbanAbsTiszta névvel hivatkozunk, mivel tisztánaz abszolút értéket szemlélteti.3.6. AbsAlapAz abszolút értéket megjeleníthetjük még az ImRe színezésen is, mivel ott azo-nos negyedbeli nagyobb abszolút érték¶ komplex számok közötti különbség ha-mar eltörpül. Használhatnánk a még érintetlen zöld komponenst is, de inkábba világosítást választottuk. (Minél messzebb kerülünk a 0-tól, annál világosabblesz.)Az ábrát lásd a függelékben. (6. ábra)A zöld komponens használata ellen az szólt, hogy az így készült képekre isugyanígy elmondhattuk a fenti kritikát, és ráadásul elég visszataszító színárnya-latok jelentek meg. 16

3.7. Lép s®sítésNem kell kihasználnunk az összes rendelkezésre álló árnyalatot, mondhatjuk azt,hogy a B halmaz sak néhány értékét használjuk, úgymond lép s®sítünk. Ehhezhasonló leképezésekre kell gondolnunk ilyen esetekben:Ezt a lép s®sítést alkalmazhatjuk az ImRe színezésre, az AbsTiszta színe-zésre, valamint az argumentum alapján történ® színezésekre is.Természetesen a lép s®zés mértékét tetszés szerint változtathatjuk.Lásd: függelék, 7., 8., 9. ábra.Az ImRe színezés lép s®sítésekor el®bukkanó élesebb határvonalak jelenté-sének részletes magyarázatával most nem foglalkozunk. Csupán annyit jegyez-zünk meg ezekr®l, hogy nem azonosak a kétsíkos ábrázolás esetén a w síkonáltalunk ábrázolt vonalakkal, azaz nem valamely tengellyel párhuzamos egyenesképei. Itt a tengelyekkel párhuzamos egyenesek képeit egyszer¶en a tengelyek-kel párhuzamos egyeneseken a színeket �gyelve olvashatjuk le. Ha a megjelen®határvonalakat követjük (a z síkon), akkor a képpontok színének piros illetvekék összetev®je végig változatlan, azaz a függvényértékek valós illetve képzetesrésze konstans, azaz valamely tengellyel párhuzamos egyenes mentén haladtunkvégig (a w síkon). E határvonalak tehát az ábrázolt függvény inverze esetén �ha a függvény invertálható � felelnek meg a tengelyekkel párhuzamos egyenesekképeinek.3.8. TörtrészAz elkészített programjaim a már tárgyalt színezésekkel, azok variá ióival dol-goznak. Ezeket használva képesek megjeleníteni komplex függvények képeit.Variá iót jelenthet például, hogy az ArgKör színezés esetében melyik iránybansötétítünk, merre világosítunk; mennyire lép s®sítünk, stb.Érdekes ábrákat kaphatunk azonban akkor is, ha a törtrész függvényhezhasonló függvényt használunk R → B leképezéseinkhez. Ezt teszi � sak ezt �az A színes ábrázolás elve ím¶ alfejezet végén már említett program.A törtrész függvény:A legfontosabb színezéseket ismertettük. Létezik azonban más színezés is. . .17

4. Néhány függvény diszkussziójaA következ®kben megvizsgálunk néhány konkrét függvényt, függvényosztályt.F®leg arra helyezzük a hangsúlyt, hogy az ábrákat értelmezni tudjuk. Igyek-szünk elég szemléletesek maradni, a függvényeknél az ott látható legfontosabbtulajdonságokra felhívni a �gyelmet.4.1. KonstansA konstans függvény minden helyen ugyanazt az értéket veszi fel, a kép mindenpontja egyforma szín¶ lesz. Kapunk egy nagy egyszín¶ négyzetet.A függelékben megtalálható a konstans 0 függvény. (2. ábra)4.2. IdentitásA komplex identitás függvényen keresztül mutattuk be az el®z® részben a kü-lönböz® színezéseket, most nem szólunk róla többet, supán a teljesség kedvéértbevesszük a sorba.Ismét emlékeztetünk azonban arra, hogy a további függvények vizsgálatasorán, azok képeinek értelmezése éljából élszer¶ kéznél tartani egy megfelel®színezés¶ identitás függvényt.Függelék: i. ábra, ahol i ∈ {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 9, n 6= 2}.4.3. KonjugáltA komplex konjugált függvény:f(z) = z (z ∈ C).Szemléletesen a komplex konjugált függvény tükrözi a komplex számsík pont-jait a valós tengelyre.Ezt �gyelhetjük meg a konjugált függvényt ábrázoló 10., 11. ábra, és amegfelel® színezés¶ identitás függvényt ábrázoló 1., 4. ábra összevetése során.(A használt két színezés az ImRe és az ArgKör.)4.4. Inverzió, re iprokTekintsük a következ® függvényt:

f(z) =1

z(z ∈ C \ {0}).Az inverzió valójában már ennek az f függvénynek megfelel® geometriaitranszformá iónak a neve. Az egységkör pontjai helyben maradnak, a körönbelüli és kívüli pontok helyet serélnek. Pontosabban egy z komplex számra és

w képére a következ®k teljesülnek:• w = 1

z = 1z

zz =

1

|z|2︸︷︷︸

α>0

·z = α · z. Tehát z és w egyazon 0 pontból indulófélegyenesen vannak. 18

• |z| · |w| = |z| · 1|z| = 1. Vagyis abszolút értékük szorzata 1.A 12. és 13. ábra szemlélteti f -et.A 0-ban nin s értelmezve f . Itt szingularitása van, méghozzá egy els®rend¶pólusa.Ez az ImRe színezés esetén a négy szín (fekete, piros, kék, lila) viszonylagéles határú találkozásaként jelenik meg. (A zérushelyeknél is � lásd identitás �találkozott ez a négy szín, de átmenetesen, �sötétlilásan�.)Az ArgKör színezés esetén pedig a fehér szín (nagyon világos � nagy abszolútérték) jelzi a pólust. Talán észrevehet® a kép közepén, a 0-ban egy apró feketepont is.Ha az ArgKör színezett képen végighaladunk a valós tengely mentén pozitívirányban, akkor azt látjuk, hogy egyre világosabb ián árnyalatok jelennek mega 0-ig, attól jobbra pedig a piros egyre sötéted® árnyalatait �gyelhetjük meg.Megkaptuk a valós 1x re iprok függvényt. (Kihasználtuk, hogy egy valós számkonjugáltja önmaga.)

f(x) = 1x (x ∈ R \ {0})A komplex re iprok függvény:

f(z) =1

z=

(1

z

)

(z ∈ C \ {0}).Tehát egy komplex szám re iproka az inverzió szerinti képének konjugáltja.Szemléletesen az inverzió képét tükrözzük a valós tengelyre.A 14. ábrán a re iprok függvényt láthatjuk.4.5. Lineáris függvények,lineáris ra ionális törtfüggvényekBizonyos spe iális lineáris függvényeknek egyszer¶ geometriai transzformá iókfelelnek meg.• Legyen f1(z) = z + b, ahol b ∈ C. Ez egy eltolás / transzlá ió.• Legyen f2(z) = az, ahol a ∈ C és |a| = 1. Ez egy forgatás / rotá ió.Méghozzá ha a = sin ϕ + i cosϕ, akkor egy 0 pont körüli ϕ szög¶ forgatáspozitív (az óramutató járásával ellentétes) irányban.• Legyen f3(z) = az, ahol a ∈ R. Ez nyújtás (zsugorítás) / dilatá ió.19

Egy a ∈ C számról tudjuk, hogy felírható a = reiϕ alakban, ahol r, ϕ ∈ R.Továbbá ∣∣eiϕ

∣∣ = 1.Vegyünk egy tetsz®leges f(z) = az + b (a, b ∈ C) lineáris függvényt. Ekkor

f felírható a fenti három függvényosztály egy-egy elemének kompozí iójaként,azaz geometriailag f megfelel egy forgatás, egy nyújtás, és egy eltolás egymás-utánjának. Ugyanis:f(z) = az + b = reiϕz + b =

(r ·

(eiϕ · z

))+ bLineáris ra ionális törtfüggvényekre, azaz

f(z) =az + b

cz + d(z ∈ C \ {−d

c}, c 6= 0, ad − bc 6= 0)típusú függvényekre rövid számolás után adódik, hogy geometriailag szinténfelírhatók néhány egyszer¶ transzformá ió egymásutánjaként. (Itt az el®bbihárom mellé az inverzió és a tükrözés is bejön.)Ezek az eredmények tükröz®dnek a 15-17. ábrákon.Lineáris ra ionális törtfüggvények esetén el®fordulhat, hogy egy eltolás utánhajtunk végre egy inverziót. Ekkor megjelenik egy pólus és egy zérushely is.(Erre példa a 17. ábra. Zérushely a 2, pólus a −2.)A valós tengely mentén ezt látjuk:

f(x) = x−2x+2 (x ∈ R \ {−2})4.6. NégyzetfüggvényA komplex négyzetfüggvényr®l van szó: f(z) = z2, ahol z ∈ C.Tekintsük meg a 18-20. ábrákat.Jól látszik, hogy a négyzetfüggvény nem invertálható. Több ponthoz is tar-tozik ugyanaz a szín (z2 = (−z)2). Azt is meg�gyelhetjük, hogy például a

T = {z ∈ C | Re z > 0 vagy z = ti, t ∈ R+0 } tartományra lesz¶kítve már inver-tálható � minden szín pontosan egyszer jelenik meg.A 18. ábráról leolvasható, hogy az egyes �síknyol adok� számai melyik síkne-gyedbe képz®dnek. Ahol az ábra lila, ott a képpontok az 1. síknegyedbe esnek,ahol az ábra kék, ott a képpontok a 2. síknegyedbe esnek, és így tovább.A lép s®s 19. ábrán megjelen® határvonalak jelentése � a Lép s®sítés ím¶részben leírtak alapján: a négyzetfüggvény e hiperbolaívek mentén konstansvalós [képzetes℄ rész¶ értékeket vesz fel. A négyzetgyökfüggvény � mint a négy-zetfüggvény megfelel® lesz¶kítésének inverze � rendel tehát a tengelyekkel pár-huzamos egyenesekhez ilyen hiperbolaíveket.20

4.7. PolinomokTermészetesen az imént tárgyalt négyzetfüggvény is egy polinom (s®t az identi-tás is), de most általánosabban szólunk ezekr®l.A 21. ábrán egy harmadfokú polinomot látunk. Keressük meg a zérushe-lyeket. Tudjuk, hogy bármely n-edfokú komplex polinomnak van n db komplexgyöke. (Lehetnek egyez®k.)Ha tudjuk egy ábráról, hogy az egy polinomot ábrázol, akkor könnyen megtudjuk állapítani, hogy hányadfokú. Elég ha egy megfelel®en nagy sugarú 0közep¶ körön � konstans abszolút érték¶ komplex számokon � egyszer körbe-haladunk és megszámoljuk, hogy hányszor ismétl®dött a piros�lila�kék�feketeszínnégyes. (Vagy éppen a szivárvány színei az argumentum alapján való színe-zéseknél.) A megfelel®en nagy sugár jelentse azt, hogy a körben benne van azösszes zérushely.Egy zérushelyet körbejárva szintén a színek ismétl®dését �gyelve megálla-píthatjuk, hogy e zérushely hányszoros. Például a 20. ábrán szerepl® négyzet-függvénynek a 0 kétszeres zérushelye, a 21. ábrán látható polinomnak mindenzérushelye egyszeres, a 64. ábrán megtekinthet® ötödfokú polinomnak pedig 1db kétszeres, valamint 3 db egyszeres zérushelye van.(Hasonló megállapításokat tehetünk pólusok rendjér®l is. A 14. ábrán lát-ható re iprok függvénynek a 0 els®rend¶ pólusa, a 31. és 32. ábrákon pedigmásod- és harmadrend¶ pólusokat látunk. Egy pólus körül a színek fordítottsorrendben ismétl®dnek, mint egy zérushely körül.)4.8. NégyzetgyökfüggvényA komplex négyzetgyökfüggvényt akkor kapjuk, ha invertáljuk aT = {z ∈ C | Re z > 0 vagy z = ti, t ∈ R

+0 }halmazra megszorított négyzetfüggvényt. Képét a 22. ábrán láthatjuk. Sajnosnem áll fent olyan könnyen látható kap solat függvény és inverze között, mintvalós esetben (tükrözés).Az imént de�niált függvény a komplex négyzetgyökfüggvény f®ága. (Mástartományokra megszorítva a négyzetfüggvényt megkapjuk a négyzetgyökfügg-vény többi ágát.)A 22. és 23. ábrán jól látható, hogy a

{z ∈ C | Im z = 0, Re z < 0}halmaz pontjai a négyzetgyökfüggvény f®ágának szakadási helyei.4.9. Exponen iális függvényAz exponen iális függvénynek már több ábrázolási mód szerint láttuk a képét.Vessük össze ezeket a 24. és 25. ábrán látható képekkel. Mindkett®n meg�-gyelhetjük, amiket már korábban is (komplex függvények ábrázolási módjainál)említettünk.• Az exponen iális függvény (2πi-enként) periodikus. (Így nem invertál-ható.) 21

• Ha Re z −→ −∞, akkor exp z −→ 0.• Ha Re z −→ +∞, akkor exp z −→ ∞.• Figyeljük meg (f®leg a 25. ábrán) a valós tengely egyenesét. Mínusz vég-telent®l plusz végtelen felé haladva a színek feketét®l piroson át a fehérigváltoznak. Ez a színsorozat megfelel a való exponen iális függvény függvé-nyértékei változásának (0 � fekete, 1 � piros, +∞ � fehér). Így felfedeztük akomplex exponen iális függvény képében a valós exponen iális függvényt.

f(x) = expx (x ∈ R)4.10. LogaritmusLegyen Ta = {z ∈ C | a − π < Im z ≤ a + π}. Az exponen iális függvényt bár-mely a ∈ R-re a Ta halmazra megszorítva már invertálható lesz. E függvényekinverzei a komplex logaritmusfüggvény ágai. Az a = 0 esetben kapjuk a f®ágat.A f®ág képeit a 26. és 27. ábrán láthatjuk. A következ®kre szeretnénkrámutatni:• Az 1 zérushely.• A {z ∈ C | Im z = 0, Re z < 0} halmaz pontjai szakadási helyek. Esetlege vonal mentén a színeket megvizsgálva és az identitás függvény megfelel®színezés¶ képével összevetve felfedezhetjük a f®ág értékkészletének hatá-rait.• Figyeljük meg (f®leg a 27. ábrán) a valós tengely pozitív felét és ismerjükfel a valós logaritmus függvényt. A színek fehért®l a iánon, feketén át azegyre világosabb piros árnyalatok felé haladnak. Ez a változás megfelel avalós logaritmus függvény függvényértékei változásának.

f(x) = log x (x ∈ R+)22

4.11. SzinuszMost a trigonometrikus függvények közül sak a szinuszt tárgyaljuk, a koszinuszegyébként teljesen hasonló. (Mint valós esetben.) A szinusz képeit a 28. és 29.ábrán tekinthetjük meg. Meg�gyeléseink:• A szinusz periódikus. (Periódusa 2π.)• Zérushelyei: kπ, ahol k ∈ Z.• Minden komplex értéket felvesz.• A 29. ábrán felfedezhetjük az el®z® függvényekhez hasonlóan a valós szi-nuszfüggvényt. A színek változása a valós tengely mentén: fekete, piros,fekete, ián, fekete, piros, stb. (A megfel® valósak: 0, 1, 0, −1, 0, 1, stb.)

f(x) = sin x (x ∈ R)4.12. SzingularitásokrólMost megvizsgáljuk, hogy hogyan jelenik meg ábráinkon a komplex függvényekviselkedése izolált szingularitásainak közelében.4.12.1. Megszüntethet® szingularitásokA 30. ábrán szerepl® sin z

zfüggvénynek a 0 pont megszüntethet® szingularitása.4.12.2. PólusokAz inverzió tárgyalásakor már láttunk példát els®rend¶ pólusra. Az a pólus

n-edrend¶, ha a függvény a körüli Laurent-sorában a (−n)-nél kisebb index¶tagok együtthatói mind nullák, a −n index¶ pedig nem nulla. Emlékeztet®ülegy a ∈ C Laurent-sor a következ®képpen írható fel:f(z) =

+∞∑

k=−∞

ck(z − a)k,ahol feltesszük, hogy f deriválható egyT = {z ∈ C | 0 < r < |z − a| < R < +∞}tartományon.Polinomok vizsgálatakor említettük, hogy egy pólus rendje és az ®t megke-rülve látott színek ismétl®désének száma között szoros összefüggést �gyelhetünkmeg.Tekintsük meg a 17. ábrán a −2 pontot, mint els®rend¶ pólust, valamint�gyeljük meg a 31. ábrán a cos z

z2függvény másodrend¶ pólusát a 0 pontban, és23

a 32. ábrán szerepl® i

z3(z − 2)2függvény harmadrend¶ pólusát a 0 pontban ésmásodrend¶ pólusát a 2 pontban. Ahányadrend¶ a pólus, annyiszor ismétl®dnekkörülötte a különböz® árnyalatok.4.12.3. Lényeges szingularitásokEgy a pont az f függvénynek lényeges szingularitása, ha f a körüli Laurent-sorában végtelen sok negatív index¶ nem nulla együtthatós tag van.Pi ard tétele kimondja, hogy ilyenkor f az a pont bármilyen kis ε sugarúkörnyezetében legfeljebb egy kivételével minden komplex értéket felvesz. Tehátazt várjuk, hogy egy ilyen pont közelében nagyon változatos színek jelennekmeg.Ezt támasztja alá a 33. és 34. ábra, melyeken a 0 pont lényeges szingulari-tás.5. Néhány függvénysorozatEbben a részben bemutatjuk néhány függvénysorozat képeit. Célunk supánrávilágítani ezen ábrázolási módszer kifejez®erejére. Mindössze pár mondatnyimagyarázatot f¶zünk az egyes képsorozatokhoz. Minden függvénysorozatból egyoldalnyi, azaz 6 db képet láthatunk.Egymástól sak kis mértékben eltér® függvényekr®l készült képeket egy errealkalmas programmal egymás után f¶zhetünk. Komplex animá iót kapunk.5.1. Egyre magasabb kitev®j¶ hatványokFüggelék 35-40. ábrák. A következ® függvénysorozatról van szó:

fn(z) = zn/3 (z ∈ C, n ∈ Z+).Ennek els® 6 elemér®l láthatunk képet. A 3. és 6. a már megismert identitás-illetve négyzetfüggvény. Ezek kivételével a többinek a valós tengely negatív felénszakadása van.5.2. Az exponen iális függvény Taylor-polinomjaiIsmerjük az exponen iális függvény hatványsorát: ∀z ∈ C : exp z =

+∞∑

k=0

zk

k! .Jelöljük Tn-nel a függvény n-edfokú 0 körüli Taylor-polinomát. Esetünkben:Tn exp z =

n∑

k=0

zk

k!(n ∈ N).A függelék 41-46. ábráin Ti-t láthatjuk az i = 3, 5, 8, 12, 17, 23 értékekre. Jóllátszik, ahogy ezek közelítik az exponen iális függvényt (lásd 24. ábra) a 0 körül.

24

5.3. A szinuszfüggvény Taylor-polinomjaiHasonlóképpen szeretnénk megmutatni a szinuszfüggvény Taylor polinomjait is.LegyenTn sin z =

n∑

k=0

z2k+1

(2k + 1)!(n ∈ N).A függelék 47-52. ábráin egy eddig még nem sokszor használt színezéssel, azArgAlappal színeztük a szinuszt közelít® polinomokat. A képeken n értékerendre 0, 1, 2, 4, 6 valamint a hatodik ábrán magát a szinusz függvényt láthat-juk. (Felfoghatjuk úgy is, hogy n = +∞.) A polinomok foka pedig 2n + 1, azaz

1, 3, 5, 9, 13.5.4. Egy fraktál �közelítése�Most rekurzív módon megadunk egy függvénysorozatot.M0(z) = z

Mn+1(z) = (Mn(z))2

+ z (n = 0, 1, 2, . . . )Ez nem véletlenül t¶nhet ismer®snek.Vizsgáljuk meg egy adott z ∈ C pontban az Mi(z), i = 0, 1, 2, . . . függvé-nyértékek sorozatát. Az els® maga z, a többit pedig úgy kapjuk, hogy az el®z®tnégyzetre emeljük, és hozzáadunk még z-t. Ez pedig pont ugyanaz a sorozat,amely segítségével az 1.4. fejezetben az M Mandelbrot-halmazt de�niáltuk.Pontosan azok a z-k elemei M -nek, amelyekre e sorozat korlátos.Másképpen elmondva ugyanezt, képzeljük el, hogy az M -et de�niáló iterá iótnem egyesével végezzük el a komplex sík pontjaira, hanem egyszerre végzünkel egy iterá iós lépést minden komplex számmal; és vesszük azt a függvényt,amely minden z-hez az n-edik iterá iós lépésben z-b®l kapott komplex számotrendeli.Vegyük észre, hogy Mk egy pontosan 2k-adfokú polinom. (Teljes induk ióvalrögtön adódik.) Ahol a z-b®l indított iterá ió nem korlátos, azon a helyen azMk polinomok is a végtelenhez tartanak, ez a függelék 53-58. ábráin (ArgKörszínezést használva) úgy jelenik meg, hogy egyre világosabbak lesznek � �elfe-hérednek� e pontok. Ahol az iterá ió korlátos, ott �színesek� maradnak a képpontjai. (Az ábrákon Mi-ket i = 1, 2, 3, 5, 7, 9 értékekre ábrázoltuk.)Tehát bármennyire is ellentmondásosnak t¶nik, végeredményben azt mond-hatjuk, hogy egy halmazt közelítettünk kett®hatványfokú polinomokkal.Más hasonló fraktálokat de�niáló iterá iókat is elképzelhetünk ezentúl így,az iterá iós lépéseket a sík összes pontjára egyszerre végezve, ily módon egyfüggvénysorozatot de�niálva.5.5. További érdekes képekA függelék 59-64. ábráin még néhány függvény képét ábrázoltuk, f®leg a élból,hogy megmutassuk, milyen lehet®ségek vannak még a színezések módosítására,továbbá hogy lássunk egy-két érdekes ábrát.

• A négyzetfüggvényt láthatjuk az ArgKör színezés egy változatával. Egy-részt lép s®sítettük, másrészt ezúttal a nulla felé közelítve nem sötétítettüka színeket, hanem világosítottuk ®ket, mint a végtelen felé haladva.25

• Az ábrázolt függvény a tg z =sin z

cos z. Most már nem is rajzoljuk le a valósesetet, olvassuk le a képr®l a szingularitások jellegével együtt.

• A következ® két példán az ImRe színezés olyan változatait láthatjuk, ahol�kiengeszteljük� az egyébként elhanyagolt zöld komponenst.Az ábrázolt függvény azf(z) =

1

exp(z − 2) + exp−z − 2.A zöld és kék (GB) összetev®ket használtuk, és lép s®sítést is alkalmaztunk.

• Az exp sin z függvényt láthatjuk piros és zöld színeket használva. Ez azonkevés ábra közé tartozik, ahol nem a 0 pont egy környezetében ábrázoltuka függvényt. (Pusztán azért, mert ezen a tartományon érdekesebb.)• Olyan függvény ez, melynek a 0 pont egy másodrend¶ pólusa, az i pedigegyszeres zérushelye. Nevezetesen:

1

z2 − iz.

• Kép egy ötödfokú polinomról. Ezúttal az ArgKör színezésnél fel seréltükaz irányokat, a nulla felé világosítunk, a végtelen felé sötétítünk. Az egykétszeres gyök az i, a három egyszeres gyök: −i, 1 + 310 i, −1 + 3

10 i.P (z) = i(z − i)2(z + i)(z − 1 − 3

10i)(z + 1 − 3

10i).6. Színezések összehasonlításaEbben a fejezetben rávilágítunk az ismertetett színezések el®nyeire és hátránya-ira, érzékeltetjük, hogy mikor melyiket érdemesebb használni.6.1. Nagy abszolút érték¶ függvényértékekTekintsük azt az esetet, amikor olyan függvényt ábrázolunk, mely az ábrázolásitartomány nagy részén nagy abszolút érték¶ komplex számokat vesz fel, és efüggvényértékekr®l � azon kívül, hogy nagyok � szeretnénk látni azt is, hogymerre helyezkednek el a komplex számsíkon.Ekkor az ArgKör színezéssel készített képen ezek a helyek mind fehérek lesz-nek, nem látható, hogy hol milyen argumentumú a kép. Legfeljebb következ-tethetünk erre a kép még színes részeib®l. Az ImRe színezés¶ képen viszont jóllátszik, hogy a képpontok mely síknegyedbe esnek, valamint ArgAlap színezésesetén is kapunk informá iót a képpont argumentumáról.E jelenségre példaként tekintsük el®ször az exponen iális függvényt. A 25.ábrán ArgKör színezéssel látjuk. A kép jobb oldala elég egységesen fehéres szín¶,míg a 24. ábrán ImRe színezéssel jól elkülönülnek a különböz® síknegyedekbeképz®d® pontok. Jól leolvasható e képpontok argumentuma a 65. ábráról is,ahol ArgAlap színezéssel ábrázoltuk az exponen iális függvényt.Meg�gyelhetjük ugyanezt egy viszonylag nagyobb tartományon ábrázolt po-linom esetében is. Az f(z) = (z+1)(z−1)2 függvényt láthatjuk a 67-69. ábrákonrendre ImRe, ArgAlap és ArgKör színezéssel ábrázolva a C0,6 tartományon.26

6.2. ZérushelyekMost megvizsgáljuk, hogy a zérushelyek (illetve kis abszolút érték¶ helyek) ho-gyan jelennek meg különböz® színezések használata esetén.Az argumentum alapján való színezésekr®l elmondhatjuk, hogy jól látha-tóvá teszik a zérushelyeket. A zérushely közelében sötét árnyalatokat látunk,a zérushely teljesen fekete. Az ImRe színezés esetén sajnos nem mindig látjukpontosan, hogy hol is van zérushely. Ezt az magyarázhatja, hogy a 0 körüliértékek mind lilás szín¶ek, nem jól megkülönböztethet®ek.Tekintsünk néhány példát.• A 65. ábrán ImRe színezéssel látjuk a z−2

z+2 függvényt. A pólus jól látszik,de nem tudjuk olyan jól behatárolni a zérushelyet, mint azt a 17. ábránmegtehettük ugyanezen függvényt ArgKör színekkel ábrázolva.• Míg az ImRe színezett Taylor-polinomok ábráin (41-46.) nehezen tudjukelkülöníteni a zérushelyeket, addig az ArgAlap színezett hasonló ábrasoron(47-52.) elég határozottan látszódnak a zérushelyek.• Bizonyos esetekben, például a 21. ábra harmadfokú polinomfüggvényeesetén, persze az ImRe színezés is elegend® a zérushelyek lokalizálásához.Ahol a függvény kis abszolút érték¶ komplex értékeket vesz fel, ott az eset-leges változatosságot ebben a formájában sem az ImRe, sem az ArgAlap, semaz ArgKör színezés nem tárja fel. (Az els® lila, a többi fekete árnyalatokat ad.)Ekkor megtehetjük, hogy úgy módosítjuk az ArgAlap színezést, hogy ne a kis,hanem a nagy abszolút értékek felé sötétedjen. Ennek eredményét mutatja a 70.ábra, ahol így ábrázoltuk a 67-69. ábra polinomját, sak kisebb tartományon.Látható, hogy hogyan viselkednek a függvényértékek a zérushelyek közelében �a színekb®l kiolvasható az argumentumuk.Nézzük meg a 71. és 72. ábrán látható sin i

z függvényt ImRe illetve ArgKörszínezéssel, és elemezzük az egyes színezések használata által kialakuló különb-ségeket.A gyorsan változó színek által mindkét ábráról leolvasható, hogy egy lénye-ges szingularitást látunk. Az ArgKör színezés¶ ábrán jobban felismerhet®k atartományban a zérushelyek � fekete foltok. A fehér � nagy abszolút érték¶ �területeken viszont nem kapunk informá iót a függvényértékek elhelyezkedésé-r®l, míg az ImRe színezés¶ ábrán megkülönböztethetjük a különböz® síknegye-dekbe képz®d® részeket. A képek szélén kisebb abszolút érték¶ függvényértékekvannak, ezek helye a komplex síkon viszont jobban látszódik a második ábrán,az els® összemosódó lilás árnyalataival ellentétben.6.3. KövetkeztetésÖsszességében azt mondhatjuk, hogy mindegyik színezésnek megvan a létjogo-sultsága. Vannak függvények, ahol az egyiket, vannak, ahol a másikat érdeme-sebb használni, attól függ®en, hogy a függvénynek milyen tulajdonságát akarjukvizsgálni, kiemelni.Nagyon tetszet®s ábrákat kaphatunk az ImRe színezéssel, alkalmanként an-nak lép s®sítésével, de dekoratív képeket eredményeznek az argumentum alap-ján való színezések is. 27

7. A programokrólDolgozatomhoz szorosan kap solódik egy komplex függvények ábrázolására hasz-nálható gra�kus felület¶ alkalmazás, valamint ++ fájlok egy olyan gy¶jteménye,mellyel � szemléletének megértése után � könnyedén alkothatunk magunk is amár látottakhoz hasonló képeket.A következ®kben egy rövid felhasználói útmutatót adunk a gra�kus alkal-mazáshoz; majd bemutatjuk a komplex függvényábrázoló osztályaink gy¶jte-ményét. Végül megfogalmazzuk közelebbi és távolabbi terveinket ezekkel kap- solatban.A programok letölthet®k a http://lo si.web.elte.hu/ omplex ímr®l.7.1. Színes Komplex FüggvényekEz lett a neve az általam készített gra�kus programnak, mellyel felhasználóbarátkörnyezetben ábrázolhatunk komplex függvényeket. A Visual Studio .NET 2003fejleszt®i környezetet használtam elkészítéséhez, ennélfogva használatához .NETFramework szükséges. Ez manapság már nem jelent túl nagy extra követelményta felhasználó felé. A továbbiakban e programra SzKF néven hivatkozunk.Az SzKF programmal úgynevezett bemutatókat készíthetünk, menthetünk el( f formátumban � színes komplex függvények angolul rövidítve), nyithatunkmeg. Egy bemutatóban több komplex függvény képe szerepel, mindegyikheztartozik egy név, egy rövid leírás, megjegyzés, valamint magának a képnek abeállításai � mely függvényt ábrázolja, a komplex számsík mely halmazán, va-lamint milyen színezést alkalmazunk, és hogy milyen felbontású (n× n pixel) akép.Az SzkF f®ablakaEgy bemutatón belül tehát több függvény szerepel, ezeket elmenthetjük abemutatóhoz, hozzáadhatunk új függvényeket, törölhetjük ®ket a bemutatóból,valamint permutálhatjuk sorrendjüket a bemutatón belül. Természetes elkészít-hetjük a képet is � mely egy új ablakban jelenik meg. A legutoljára lerajzoltképet exportálhatjuk bmp vagy jpg formátumban.Ha egy függvény beállításait módosítani szeretnénk, el®ször is ki kell vá-lasztanunk ®t a függvények listájából. A beállításokat a Beállítások ablakbanszerkeszthetjük. (A Beállítások ablakot tetszés szerint eltüntethetjük, ismétmegjeleníthetjük.) Miután ezt megtettük, ne felejtsük el menteni e függvénybeállításait.

28

A Beállítások ablakEzeket szabályozhatjuk itt:• Hogy milyen függvény képére vagyunk kíván siak. Választhatunk 12 be-épített alapvet® függvény közül, vagy megadhatunk tetsz®leges �saját�függvényt is. Az elfogadott függvénykifejezések szintaktikáját hamarosanmegadjuk.• Változtathatjuk a nézetet, hogy a komplex számsík mely részén szeretnénklátni a függvényünk képét. A már használt jelöléssel, Cz0,δ kifejezésben, ha

z0 = x0 + iy0, akkor megadhatjuk x0-t, y0-t, δ-t. Továbbá, hogy mekkoralegyen a kép felbontása. (120 ≤ n ≤ 640)• Kiválaszthatjuk, hogy milyen színezést alkalmazunk, valamint az egyes szí-nezések �nomhangolását is elvégezhetjük � lép s®sítés, átmenet nyújtása,világosodás / sötétedés. Az ImRe színezést Alap néven találjuk.Ha nem a standard színeket szeretnénk látni, akkor rávehetjük a progra-mot, hogy meg serélje a színkomponenseket (pl. RGB -> GBR).Most megadjuk, hogy milyen kifejezéseket fogad el a program, néhány pél-dával együtt.<kifejezés> → <tag> + <kifejezés> |<tag> - <tag> | <tag><tag> → <tényez®> * <tag> |<tényez®> / <tényez®> | <tényez®><tényez®> → <elem> | ( <kifejezés> )<elem> → sin( <kifejezés> ) | os( <kifejezés> ) |exp( <kifejezés> ) | log( <kifejezés> ) |re( <kifejezés ) | im( <kifejezés> ) | onj( <kifejezés> ) | inv( <kifejezés> ) |pow( <kifejezés>, <kifejezés> ) |pol( <kifejezés>, <lista> ) |polr( <lista> ) | <szám> | z<lista> → <szám> | <szám>, <lista><szám> → [-℄<valós> | < [-℄<valós>, [-℄<valós> >A program a felülr®l lefelé elemz® rekurzív leszállás algoritmusát használjaa szintaktikai helyesség eldöntésére, és a megfelel® Számoló összerakásához.A <valós> egy tetsz®leges, de limitált hosszúságú tizedestört alakban adottszám, tizedesponttal (pl. 12.032, 435, 0.876). Elé tehetünk egy negatív el®jelet.Ha egy komplex számot akarunk leírni, akkor külön adjuk meg a valós és képzetesrészét, például az i-t így írjuk: <0,1>.29

Egy <elem> sokféle lehet, ezek közül a legtöbb magáért beszél � sin, log, im, onj, stb. Magyarázatra szorulnak talán a következ®k:inv(E) inverzió, 1/Epow(E1,E2) hatvány, E1E2.pol(E, 1, 2, 3) polinom, c1 · E2 + c2 · E + c3polr( 1, 2, 3) olyan polinom, melynek gyökei c1, c2, c3Változónk megnevezésére a z bet¶t használjuk.Példák:z2 z*z vagy pow(z,2)Im (cos z) im( os(z))z3 + 5z − 2 pol(z,1,0,5,2)(z − 2)(z + i)2 polr(2,<0,-1>,<0,-1>)1

z2− iz inv(z*z) - <0,1>*z7.2. Képek készítése standard ++ programmalNem részletezzük az egyes osztályokat, de�ní iójukat. Használatuk bemutatásaa élunk. Ez és a header fájlok alapján már elkészíthetjük saját ábráinkat.Az egész �könyvtár� objektumorientált szemlélet¶, és használja az STL ve tor-át. Erre épül az SzKF is. Ezekkel az osztályokkal azonban lehet®ségeink sokkalszélesebbek, mint az SzKF-ben.7.2.1. FájlokA következ® néhány fájlra van szükségünk: abra.h, abra. pp, bmp reator.h,bmp reator. pp, omplex.h, pixel.h, szamolo.h, szamolo. pp, szinezo.h,szinezo. pp, szinvalto.h.A omplex.h-ban megmondjuk, mi egy komplex szám, és néhány m¶veletétmegadjuk. A pixel.h-t expli ite nem használjuk, a pixel egy képpontnak(RGB) megfelel® struktúra.Az abra.* fájlok megfogalmazzák, hogy mit várunk egy komplex függvényképét®l, minden KomplAbra típusú változóhoz tartozik egy Számoló, egy Színez®,és egy Színváltó.A bmp reator.* egy olyan osztályt deklarál és valósít meg, amely a .bmpfájlok könny¶ elkészítését teszi lehet®vé.A szamolo.*-ban találjuk a Számolókat. Sokféle van bel®lük, nagyjából azel®z® részben ismertetetteknek megfelel®k. Például IdSzamolo, PolinomSzamolo,GyokSzamolo, SinSzamolo. Ezek mind a nevükben szerepl® függvény szerintiképét adják vissza a kapott z komplex számnak. Vannak olyan Számolók, me-lyek lehet®vé teszik e fentiek kombinálását (összegzés � SumSzamolo, kompozí ió� ComboSzamolo). Mind egy absztrakt Szamolo osztály leszármazottai.A szinezo.*-ban pedig a megismert színezéseknek megfelel® jól hangolhatóSzínez®ket találjuk. �k pedig mind egy absztrakt Színez® osztály leszárma-zottai, örökölték és különféleképp megvalósították annak virtuális metódusát,amely egy komplex számra megmondja a hozzárendelt színt. (A kapott színekpermutálására használhatjuk a szinvalto.h forrásban megadott osztályokat.)30

7.2.2. Felhasználás, m¶ködésEzen osztályok használatának elve a következ®:• #in lude "abra.h"• Legyen egy KomplAbra típusú változónk, állítsuk be, hogy mekkora le-gyen majd a kép, és hogy mely halmazon érdekel minket a függvény képe.(Esetleg tehetünk tengelyt is a képre.)• Rakjuk össze a függvényünknek megfelel® Számolót, és adjuk át az ábrá-nak. (Alapértelmezésben az ábránknál egy IdSzamolo van.)• Vegyünk egy alkalmas Színez®t, paraméterezzük fel, és szintén adjuk át azábrának. (Alapértelmezésben az ábránknál egy AlapSzamolo van.)• Ha szeretnénk, egy megfelel® SzinValto-t is vehetünk.• Készíttessük el az ábránkkal a képet.• Írjuk ki a merevlemezre .bmp formátumban.Egy ábra elkészítését az KomplAbra osztály a következ®képpen valósítja meg.Végighalad a kívánt méret¶ kép pontjain, kiszámolja, hogy az aktuális pontnakmely komplex szám felel meg. A számolója segítségével kiszámolja a függvényér-téket, a színez®je segítségével meghatározza a hozzá tartozó színt, a színváltójasegítségével permutálja a szín összetev®it. A megkapott színt pedig továbbítjaa BMPCreator-ának. Legvégül következhet az alkotott kép kiírása.7.2.3. PéldákA fentieket �gyelembe véve nézzünk egypár példakódot. Egy programozási esz-köz elsajátításához a leghasznosabbak mindig ezek.Az exponen iális függvényr®l a C0,4 halmazon egy ImRe színezés¶ 480×480felbontású kép elkészítése:#in lude "abra.h"using namespa e std;int main(){ KomplAbra* a = new KomplAbra(0,0,4,480);ExpSzamolo* e = new ExpSzamolo();AlapSzinezo* sz = new AlapSzinezo();a->SetFuggveny(e);a->SetSzinezes(sz);a->SetTengely(true);a->CreateAbra();a->KiirBMP("exp.bmp");return 0;} 31

Az 64. ábrán szerepl® függvény képének elkészítése következik. A gyökö-ket adjuk meg, és változtatjuk ki sit a színeket � fel seréljük a kék és piroskomponenseket. Emlékeztet®ül a függvény:P (z) = i(z − i)2(z + i)(z − 1 − 3

10i)(z + 1 − 3

10i).#in lude "abra.h"#in lude <ve tor>using namespa e std;int main(){ KomplAbra* a = new KomplAbra(0,0.2,2,480);PoliGyokSzamolo* p = new PoliGyokSzamolo();ve tor< omplex> v;v.push_ba k( omplex(0,1));v.push_ba k( omplex(0,1));v.push_ba k( omplex(0,-1));v.push_ba k( omplex(-1,0.3));v.push_ba k( omplex(1,0.3));p->SetRoots(v); // megadtuk a fenti gyökökkel bíró polinomotMulSzamolo* m = new MulSzamolo(p,new KonstSzamolo( omplex(0,1)));// megszoroztuk i-velArgKorSzinezo* = new ArgKorSzinezo(); ->SetNyujtas(2); ->SetNulla(true); // a 0 felé világosodjunk ->SetVegtelen(false); // a végtelen felé sötétedjünkSzinValtoBGR* szv = new SzinValtoBGR();// seréljük meg a kék és piros komponensta->SetFuggveny(m);a->SetSzinezes( );a->SetSzinvaltas(szv);a->SetTengely(false);// átadtuk ábránknak e dolgokata->CreateAbra();a->KiirBMP("poli.bmp");return 0;} Legvégül mindenféle kommentár nélkül szeretnénk bemutatni a Mandelbrot-halmazt közelít® kett®hatványfokú polinomok közül az els® tíz képét elkészít®kódot. Nem pontosan ugyanúgy, mint a függelékben szerepl® 53-58. ábrákon.Ott ugyanis a fehér a nagy abszolút érték¶ komplex számoknak felel meg, afekete pedig a ki si abszolút érték¶eknek. E kód által el®állított képek eseténpedig ez pont fordítva van. 32

#in lude "abra.h"#in lude <iostream>#in lude <string>#in lude <sstream>using namespa e std;int main(){ KomplAbra* a = new KomplAbra(-0.6,0,2,120);IdSzamolo* id = new IdSzamolo();NegyzetSzamolo* ne = new NegyzetSzamolo();CompoSzamolo* o = new CompoSzamolo(ne,id);SumSzamolo* os = new SumSzamolo( o,id);ostringstream fn; string fnev;for (int sz=0; sz<10; sz++){ // fájlnévfn.str("");fn << "mand" << sz << ".bmp";fnev = fn.str();// színez®ArgKorSzinezo* = new ArgKorSzinezo(); ->SetNyujtas(2); ->SetNulla(true); ->SetVegtelen(false);// elkészítésif ( sz == 0 ) a->SetFuggveny(id); else a->SetFuggveny(os);a->SetSzinezes( );a->SetTengely(false);a->CreateAbra();a->KiirBMP(fnev);// függvényváltoztatásif ( sz > 0 ){ o = new CompoSzamolo(ne,os);os = new SumSzamolo( o,id);} out << ".";}return 0;}7.3. TervekE programokkal kap solatos közelebbi illetve távlati fejlesztési terveim a követ-kez®k.• Részletes felhasználói és feljeszt®i dokumentá ió készítése a gra�kus alkal-33

mazáshoz. Esetleg a standard ++ változathoz is.• Egy formula-kiértékel® és paraméter-kiértékel® készítése a konzolos válto-zathoz, hogy mindig új program írása, fordítása, futtatása helyett a pro-gramnak paraméterekként lehessen megadni a különböz® beállításokat.• Lehet®vé tenni SzKF-ben az iterá iók, paraméteres függvények kezelését.• Újabb színezéseket elérhet®vé tenni.• Egy tetszet®s honlap készítése ezen programoknak, dokumentá ióknak.8. ÖsszegzésKomplex függvényeknek egy olyan ábrázolási módját mutattam be, mely azonalapszik, hogy a komplex számsík pontjainak színeket feleltetünk meg. Így lehe-t®vé válik komplex függvényeknek egyetlen sík segítségével történ® ábrázolása.A komplex számokat hagyományosan egy síkon, azaz két dimenzióban szem-léltetjük. A vízszintes tengelyen a komplex számok valós részét, a függ®legesenpedig a képzetes (imaginárius) részét ábrázoljuk. Így ahhoz, hogy komplex függ-vényeket ábrázolhassunk � hogy meg tudjuk jeleníteni együtt a pontot és az ®képét � összesen 2+2=4 dimenzióra lenne szükségünk.Több ötlet is született az évek során arra, hogy a papírlapjainkon, moni-torainkon rendelkezésre álló 2 dimenziót hogyan tehetjük elegend®vé komplexfüggvények ábrázolására. Ezen módszerek rövid áttekintése után rátértünk aszínes ábrázolásra, bemutattuk alapgondolatát, valamint néhány elképzelhet®konkrét színezési módot.E színes ábrázolás bizonyos tekintetben �atal téma, amit mi sem mutatjobban, mint az, hogy még nin sen beleépítve az ismertebb szimbolikus mate-matikai program somagokba, amilyen a Maple és a Mathematika.A színes ábrázolás alapvet®en nem új, elve eddig is létezett, több helyentalálhatunk a világhálón ezzel foglalkozó oldalakat. Sikerült azonban néhánysaját elképzeléssel, eszközzel b®vítenem a téma kin sestárát. Ilyenek például abemutatott ImRe, valamint ArgAlap színezések, amelyek alkalmazására eddignem láthattunk példát. Továbbá más színezések pontos algoritmusai is sajátkútf®b®l származnak, sak az eredményt láttam � hogy hogyan néz ki a készkép.Az ImRe és az ArgAlap színezések el®nye abban nyilvánul meg, hogy a nagyabszolút érték¶ komplex értékeket felvev® függvények ábráiról könnyedén leol-vasható a függvényértékek argumentuma vagy hogy melyik síknegyedbe esnek.Megvizsgáltuk több egyszer¶ és összetettebb függvény, valamint néhány függ-vénysorozat képeit is. Igyekeztünk elég szemléletesek maradni, a függvények-nek az ábrákról leolvasható legfontosabb tulajdonságaira felhívni a �gyelmet.Legf®bb élunk az volt, hogy kialakuljon bennünk ez az újfajta szemléletmód,ábráink értelmezési készsége, megértsük a színezések elvét.Munkámhoz tartozik egy gra�kus felhasználói felület¶ alkalmazás, mely lehe-t®vé teszi komplex függvények ily módon történ® ábrázolását, és amely a szinténsaját ++ osztálygy¶jteményre épül. (Ez utóbbi segítségével könnyedén írhatunkezentúl komplex függvényekr®l bmp formátumú ábrákat készít® programot.) Egy34

rövid felhasználói útmutatót is adtunk ezek használatához. Fontosnak ítélem eprogramokat, eddig ugyanis nem létezett segédeszköz a dolgozatban leírt színesábrázolásmódok (színezések) alkalmazásához.Az analízis oktatásában is, valamint a komplex függvénytan egyéni elsajátí-tásában, gyakorlásában is hasznos segédeszköz lehet mind e módszer ismerete,mind az említett programok.És végül ne feledkezzünk meg arról sem, hogy a kapott ábrák mily szemetgyönyörködtet®ek lehetnek. Egyfajta sodálatos találkozása e terület a mate-matika absztrakt világának és a m¶vészetnek.További lehet®ségekRendkívül sok irány van, amerre tovább lehet menni ezen ábrázolásmód megis-merése és implementálása után.• Lehetne kísérletezni a színes ábrázolási módszernek a beillesztésével, hoz-zákap solásával, integrálásával a népszer¶ matematikai program soma-gokba.• Érdekes elemzési területet kínálhat annak vizsgálata is, hogy az ismerte-tett színezések paramétereinek állítgatása, a felhasznált függvény változ-tatása � például az ar us tangens helyett valamely ra ionális törtfüggvény,vagy szakaszonként lineáris függvény használata � milyen következmények-kel jár a kapott ábrára nézve.Vajon jobban ki tudjuk hangsúlyozni egyes függvények lényeges tulajdon-ságait, vagy érdekesebb, esetleg szebb ábrákat tudunk létrehozni?• Elképzelhet®, hogy komplex függvények bizonyos osztályait vizsgáló kuta-tásoknak is új és hasznos segédeszközét adná e módszer.• Természetesen az ismertetett programokat is lehet továbbfejleszteni. Ké-szíthet® lenne például egy olyan dinamikus weboldal is, amely a felhasz-náló által beírt képlet által de�niált komplex függvény ábrázolását tennélehet®vé.8.1. HivatkozásokSok komplex függvényekkel, azok vizualizálásával kap solatos érdekes anyag ta-lálható a világhálón, többek között ezeken a helyeken:• http://math.fullerton.edu/mathews/ 2003/ComplexGraphi sBib/Links/ComplexGraphi sBib_lnk_1.html• http://www.usf a.edu/v a/websites.html• http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_analysis• http://www.andrew. mu.edu/user/ oa/i os- omplex.html• http://www.math.ohio-state.edu/ edgar/domain/domain.html• http://users.ar zip. om/pergler/mp/do uments/ptr/• http://www. s.berkeley.edu/ flab/ omplex/gallery.html• http://sorzal-df.f .unesp.br/ edvaldo/en/index.htm35

8.2. KöszönetnyilvánításKöszönetemet szeretném kifejezni Szili László tanár úrnak, aki rendszeres kon-zultá ióink során sok jó taná sal látott el, segítette munkámat. És komplexfüggvénytani el®adásaival motiválta e téma iránti érdekl®désemet.Köszönöm S hipp Feren tanár úrnak, hogy elvállalta a témavezet®séget.Valamint hálás vagyok szobatársam, Sztupák Sz. Zsolt programozási te hni-kák terén nyújtott önzetlen segítségéért.

36

A. Komplex függvények színes képeiA.1. Színezések

1. f(z) = z 2. f(z) = 0z ∈ C0,6, ImRe z ∈ C0,3, ImRe

3. f(z) = z 4. f(z) = zz ∈ C0,6, ArgAlap z ∈ C0,6, ArgKör

5. f(z) = z 6. f(z) = zz ∈ C0,6, AbsTiszta z ∈ C0,12, AbsAlap37

7. f(z) = z 8. f(z) = zz ∈ C0,6, ImRe + Lép. z ∈ C0,6, ArgKör + Lép.

9. f(z) = zz ∈ C0,6, AbsTiszta + Lép.A.2. Néhány függvény diszkussziója

10. f(z) = z 11. f(z) = zz ∈ C0,3, ImRe z ∈ C0,3, ArgKör38

12. f(z) = 1z 13. f(z) = 1

zz ∈ C0,1, ImRe z ∈ C0,2, ArgKör

14. f(z) = 1z 15. f(z) = (2 + i)z + 2

z ∈ C0,3, ImRe z ∈ C0,3, ImRe

16. f(z) = 4z+i(2−3i)z−5 17. f(z) = z−2

z+2 (Zsukovszkij)z ∈ C1+i,1, ImRe z ∈ C0,5, ArgKör

39

18. f(z) = z2 19. f(z) = z2

z ∈ C0,3, ImRe z ∈ C0,3, ImRe + Lép.

20. f(z) = z2 21. f(z) = (z − 2)(z + i)(z + 2 − i)

z ∈ C0,3, ArgKör z ∈ C0,4, ImRe

22. f(z) =√

z f®ág 23. f(z) =√

z f®ágz ∈ C0,3, ArgKör z ∈ C0,3, ImRe

40

24. f(z) = exp z 25. f(z) = exp zz ∈ C0,4, ImRe z ∈ C0,4, ArgKör

26. f(z) = log z 27. f(z) = log zz ∈ C0,2, ImRe z ∈ C0,3, ArgKör

28. f(z) = sin z 29. f(z) = sin zz ∈ C0,3, ImRe z ∈ C0,6, ArgKör

41

30. f(z) = sin zz 31. f(z) = cos z

z2

z ∈ C0,6, ArgKör z ∈ C0,3/2, ImRe

32. f(z) = iz3(z−2)2 33. f(z) = cos 1

z

z ∈ C1,2, ArgKör z ∈ C0,1, ArgAlap

34. f(z) = exp 1z2

z ∈ C0,1, ImRe42

A.3. Néhány függvénysorozatA.3.1. Egyre magasabb kitev®j¶ hatványok

35. f(z) = z1/3 36. f(z) = z2/3

z ∈ C0,3, ArgKör z ∈ C0,3, ArgKör

37. f(z) = z1 38. f(z) = z4/3

z ∈ C0,3, ArgKör z ∈ C0,3, ArgKör

39. f(z) = z5/3 40. f(z) = z2

z ∈ C0,3, ArgKör z ∈ C0,3, ArgKör43

A.3.2. Az exponen iális függvény Taylor-polinomjai

41. f(z) = T3 exp z 42. f(z) = T5 exp zz ∈ C0,8, ImRe z ∈ C0,8, ImRe

43. f(z) = T8 exp z 44. f(z) = T12 exp zz ∈ C0,8, ImRe z ∈ C0,8, ImRe

45. f(z) = T17 exp z 46. f(z) = T23 exp zz ∈ C0,8, ImRe z ∈ C0,8, ImRe44

A.3.3. A szinuszfüggvény Taylor-polinomjai

47. f(z) = T0 sin z 48. f(z) = T1 sin zz ∈ C0,8, ArgAlap z ∈ C0,8, ArgAlap

49. f(z) = T2 sin z 50. f(z) = T4 sin zz ∈ C0,8, ArgAlap z ∈ C0,8, ArgAlap

51. f(z) = T6 sin z 52. f(z) = T∞ sin zz ∈ C0,8, ArgAlap z ∈ C0,8, ArgAlap45

A.3.4. Egy fraktál �közelítése�

53. f(z) = M1(z) 54. f(z) = M2(z)z ∈ C−3/5,2, ArgKör z ∈ C−3/5,2, ArgKör

55. f(z) = M3(z) 56. f(z) = M5(z)z ∈ C−3/5,2, ArgKör z ∈ C−3/5,2, ArgKör

57. f(z) = M7(z) 58. f(z) = M9(z)z ∈ C−3/5,2, ArgKör z ∈ C−3/5,2, ArgKör46

A.3.5. További érdekes képek

59. f(z) = z2 60. f(z) = tg z = sin zcos z

z ∈ C0,6, ArgKör + Lép. ' z ∈ C0,3, ArgAlap

61. f(z) = 1exp(z−2)+exp−z−2

62. f(z) = exp sin z

z ∈ C0,5, ImRe + Lép. ' z ∈ Cπ

2,π, ImRe '

63. f(z) = 1z2 − iz 64. f(z) = P (z)

z ∈ C0,2, ArgKör z ∈ C 1

5i,2, ArgKör '47

A.4. Színezések összehasonlítása

65. f(z) = exp z 66. f(z) = z−2z+2

z ∈ C0,4, ArgAlap z ∈ C0,5, ImRe

67. f(z) = (z + 1)(z − 1)2 68. f(z) = (z + 1)(z − 1)2

z ∈ C0,6, ImRe z ∈ C0,6, ArgAlap

69. f(z) = (z + 1)(z − 1)2 70. f(z) = (z + 1)(z − 1)2

z ∈ C0,6, ArgKör z ∈ C0,2, ArgAlap '48

71. f(z) = sin iz 72. f(z) = sin i

zz ∈ C0,1, ImRe z ∈ C0,1, ArgKör

49