articulo c-09-03 20 de julio de 2012 - smie.org.mx · determinar el valor de las reacciones en la...

1

Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

MÉTODO DE EQUILIBRIO DE CORTANTES Y MOMENTOS EN CIMENTACIONES, CON

APLICACIÓN EN COMPUTADORA (MECYMCAC)

Ramón Morales Ross1

RESUMEN

El objetivo de este estudio es calcular los asentamientos diferenciales y los elementos mecánicos en cimentaciones superficiales complejas, mediante dos nuevos modelos estructurales llamados “MEPRI” y “MEPRII”, deducidos en conformidad al principio de superposición, fundamento de las formulaciones teóricas del análisis estructural y a cuya aplicación en la RPC incluyendo las presiones de contacto, se le denomina “MECYMCAC”. Los dos modelos permiten operar con cualquier programa de análisis estructural, en la solución de este tipo de problemas, razón que lo convierte, en un método difícil de ser superado.

ABSTRACT In this paper presents the calculation of differential settlements and the mechanic elements on complex superficial foundations, with two new structural models, named as “MEPRI” and “MEPRII”, based at the principle of superposition as the basis of structural analysis. This applied to the RPC including contact pressure is called “MECYMCAC”. Both models allows to operate with any structural analysis program to solve various problems, it’s the reason to be a difficult method to overcome.

INTRODUCCIÓN

Para obtener la configuración de asentamientos diferenciales y los elementos mecánicos en zapatas corridas con vigas, retícula de vigas, y tableros de losas de cimentación con retícula de vigas, a partir de conocer las cargas gravitacionales y sísmicas actuantes del edificio, peso propio de la cimentación y la distribución de presiones de contacto del suelo, se propone un método sencillo cuyo fundamento emana de un sistema estructural original con su sistema estructural equivalente (Morales, 2010), al cual mediante ajustes particulares en los valores de rigidez kvi (kN/m) en los apoyos elásticos supuestos, permite analizar la estructura de cimentación utilizando un programa comercial de estructuras.

SISTEMA ESTRUCTURAL ORIGINAL (SEO) Y SU SISTEMA ESTRUCTURAL EQUIVALENTE (SEE)

En el análisis elástico se encuentran estructuras originales con estados de cargas diferentes, que pueden resolverse en conformidad al principio de superposición a través de un sistema equivalente, que proporcione los mismos valores en la configuración de deflexiones y elementos mecánicos, que los calculados en la estructura original. En este estudio, nuestro interés es el análisis de sistemas estructurales de cimentaciones superficiales, en los cuales los asentamientos y distribución de presiones de la masa de suelo pueden ser representados por resortes. Es sabido por los especialistas en estructuras, que para la solución de un análisis estructural, en particular una viga continua con apoyos elásticos (SEO) mediante el método de las flexibilidades, existen diversas opciones en la estrategia de solución, en donde cada opción representa un sistema estructural equivalente (SEE). Generalmente en cada SEE deben calcularse giros y flechas en puntos donde se ubican los apoyos, plantear la 1 Miembro del Colegio de Ingenieros Civiles de Tabasco A. C., Ruiseñor No. 101 piso 3 esq. Velódromo de

la Cda. Deportiva C.P. 86180 Tel. (993) 161 3150 y (993) 1613170 Villahermosa Tabasco, e-mail: [email protected]

XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Guerrrero 2012.

2

ecuación matricial de flexibilidades vivivi QF que cumpla con las condiciones de compatibilidad y equilibrio y finalmente calcular las reacciones en cada apoyo, es decir los posibles SEE están formados por la suma de estructuras isostáticas. En (Morales, 2010), se obtiene un SEO y su SEE con características peculiares debido a que es formada por la suma de dos estructuras hiperestáticas, de los cuales emanan los dos nuevos modelos estructurales presentados en este estudio, para ser aplicados al cálculo de los asentamientos diferenciales y elementos mecánicos en cimentaciones superficiales continuas. El sistema estructural original y su sistema estructural equivalente fueron obtenidos mediante un razonamiento deductivo, basado en dos “premisas”: Premisa 1: Inicia con la observación de los resultados calculados en una viga isostática de un claro. Los apoyos son elásticos y la carga vertical puede ser de cualquier forma o distribución. Para determinar la configuración de deflexiones y elementos mecánicos puede procederse de dos maneras; haciendo el análisis en la viga original o aplicando el principio de superposición el cual consiste en descomponer la viga original en dos vigas, la primera con apoyos simples con la carga vertical original aplicada y la segunda viga con los mismos apoyos elásticos de la viga original, cargada con las acciones de las cargas puntuales obtenida en los apoyos simples de la primera viga. Se observa una singularidad para aplicar el principio de superposición en las reacciones del SEE, debido a que el valor de las reacciones del SEO son iguales a las reacciones de la segunda viga del SEE y no a la suma de las reacciones de las dos vigas. En el SEE de la viga isostática, la primera viga con apoyos simples tiene comportamiento elástico y la segunda viga con cargas puntuales en los apoyos elásticos tiene comportamiento de cuerpo rígido. Premisa 2: En (Morales, 2010), se demuestra a través de la solución numérica del SEO y su SEE de una viga continua o hiperestática, la singularidad del principio de superposición observado en la premisa 1. Los apoyos de cada uno de los sistemas mencionados colectan el total de las “cargas verticales aplicadas”, por lo tanto, cuando el Caso: General (SEO), es descompuesto mediante el principio de superposición en la suma de los Casos: “Distribución de momentos”, con apoyos simples sujeto a las cargas verticales del sistema original más el “Particular” con los apoyos elásticos de la estructura original, sujeta a las cargas puntuales provenientes de las reacciones calculadas en los apoyos simples del caso distribución de momentos, puede inferirse por lo mencionado en la premisa 1, que el valor de las reacciones del Caso: Particular deben ser iguales a las reacciones verticales del Caso: General. En otras palabras, la “configuración de deflexiones y elementos mecánicos” del sistema original pueden obtenerse mediante la superposición de los Casos: Distribución de momentos más el Particular, en relación a las reacciones, el principio de superposición tiene que aplicarse conceptualmente diferente según la premisa 1, debido a que las reacciones del caso distribución de momentos son utilizadas como cargas actuantes en el Caso: Particular, obteniéndose en este sistema el valor de las reacciones del SEO o Caso: General. Para el SEE formado por el Caso: Distribución de momentos más el Caso: Particular, en el primer caso la viga tiene comportamiento elástico y en el segundo la viga normalmente tiene comportamiento elástico y de cuerpo rígido. PREMISA 1, VIGA ISOSTÁTICA CON APOYOS ELÁSTICOS

Determinar el valor de las reacciones en la viga de un claro, con carga uniformemente distribuida y apoyos elásticos, (ver figura 1). Para su análisis se procede de las dos maneras posibles, utilizando el método directo en la viga original y mediante el principio de superposición o método indirecto en el sistema estructural equivalente.

L

EI

wL2R =i

g

wL2k

w .- Carga por unidad delongitud (kN/m).

R .- Reacción del apoyo (kN). I .- Momento de inercia (m ). E .- Módulo de elasticidad a

flexión (MPa). k .- Rigidez del resorte (kN/m). EI .- Rigidez a flexión (MPa). K .- Valor que depende de la

sección transversal. G .- Modulo de elasticidad al

corte, G=E/2(1+). A .- Área total de la sección.GA .- Rigidez a corte (kN).

4

w (kN/m)

di

=ig

wL2R =d

g

wL2k =d

g

R =ig R =g Rd

=ig g

d

=

L

EI

wL2R =i

f

w (kN/m)

di

wL2R =d

f

+ik dk EI

di

ik dk

wL2R =i

f wL2R =d

f

LR i

p

wL2k =i

p wL2k =d

p

Para este caso particular R =ig R =i

f R yip R =d

g R =df Rd

p

=R if R d

p=R df

s

cc

Figura 1 Viga isostática original (SEO) con apoyos elásticos y su sistema equivalente (SEE)

3


PREMISA 2, VIGA CONTINUA O HIPERESTÁTICA CON APOYOS ELÁSTICOS

Mediante el ejemplo resuelto en términos de literales, empleando el SEO (Caso: General) y su SEE (Caso: Distribución de momentos + Caso: Particular), se pretende aclarar lo mencionado en el inciso 2, para profundizar en el tema se sugiere consultar, (Morales, 2010). Se propone por sencillez una viga simétrica de dos tramos con carga uniforme y apoyos verticales elásticos, tal como se muestra en la figura 2. Se calculan las reacciones en cada sistema estructural y se explica en qué términos aplica el principio de superposición en el SEE. Caso: General (SEO) En (Morales, 2010), se le llama Caso: General cuando la viga continua por analizar está sujeta a “cualquier tipo de carga vertical”, sus apoyos extremos pueden ser empotrados, simples, con resortes, o combinados y los apoyos intermedios simples o elásticos. En este estudio que concierne a cimentaciones todos sus apoyos serán considerados elásticos.

L

EI

R ig






4

w (kN/m)

ci

ik ck

L

d

dk

Rcg Rd

gi d

EI L =i L = Ldk =i k =c k = kd

g

Viga continua de sección prismática

s

cc

Figura 2 Viga hiperestática de dos claros, carga uniforme y apoyos elásticos

Considerando como reacción redundante a cgR , la expresión encontrada en (Morales, 2010) es:

c

IIcrcf

Mcr

Mcv

Mcv

Pcr

Wcc

Wcfg

c

kyy

Rddi

111

(1)

gcR .- es la reacción del apoyo elástico central de la viga del modelo individual W

icdR , del Caso: General Para determinar las deflexiones en la viga isostática pueden utilizarse dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía. Para este ejemplo particular se emplean las fórmulas deducidas en (Morales, 2010) y un método de energía. Cálculo del término W

cf :

EIwLEILwEIwLtWcf 245384253845 444 (2)

Utilizando el método del trabajo virtual calculamos el término W

cc

Lx Desde xLwwxwLV v 0)(,21

L

cscs

L

csWcc GAwLKGAdxxLwKGAvVdxK

0

2

022122 (3)


4

Cálculo de Pcr :

kwLP

drPcr

Pir (4)

Cálculo de 1yf :

EILLLLLEILLLLLEILLy didif 62126 322222221 (5)

Cálculo de 1yc :

cscdisc GALKLGALLKy 21 (6)

Cálculo de IIcr :

kII

drIIcr

IIir 21 (7)

Cálculo de la reacción del apoyo elástico central, c

gR :

0 ddii Mcr

Mcv

Mcr

Mcv (8)

c

IIcrcf

Pcr

Wcc

Wcfg

c

kyy

R1

11 (9)

kGALKEILkwLGAwLKEIwLR

cs

csgc 236

22453

24

(10)

Por simetría y de la ecuación de estática 0 vF obtenemos:

22 g

cgd

gi

RwLRR (11)

Caso: Distribución de momentos En (Morales, 2010), se le llama Caso: Distribución de momentos del sistema equivalente, cuando la geometría y cargas de la viga por analizar son idénticas a la de la viga original (Caso: General), la diferencia es que los apoyos elásticos verticales son sustituidos por apoyos simples, sus apoyos de extremo pueden ser empotrados o combinación de resortes helicoidales con apoyo simple.

L

EI

R if



flexión (MPa). EI .- Rigidez a flexión (MPa). K .- Valor que depende de la



4w (kN/m)

ci

L

d

Rcf Rd

fi d

EI L =i L = Ld

fViga continua de sección prismática

s

cc

Figura 3 Viga de dos claros con apoyos simples

5


Para la solución de este Caso, la “ec. 10” ya deducida es utilizada para el cálculo de la reacción en el apoyo simple central, basta considerar en los términos de la ecuación que contiene la constante elástica del resorte un valor muy alto de ""k para representar un apoyo simple, de tal manera que 0kwL y 023 k , obteniéndose Rc

f.

cs

csfc GALKEIL

GAwLKEIwLR

6

22453

24

(12)

f

cR .- es la reacción del apoyo simple central de la viga en estudio, del caso: Distribución de momentos Por simetría y de la ecuación de estática 0 vF obtenemos:

22 f

cfd

fi

RwLRR (13)

Caso: Particular

En (Morales, 2010), se le llama Caso: Particular del sistema equivalente, cuando la geometría y los apoyos elásticos verticales de la viga por analizar son idénticas a la de la viga original (Caso: General), la diferencia es que la carga aplicada, es puntual y está ubicada en cada apoyo elástico, la magnitud de cada carga corresponde al valor de las reacciones del Caso: Distribución de momentos Ri

f, Rcf y Rd

f. Siempre, el valor de las reacciones verticales obtenidas del análisis, serán iguales a los de la viga original denominado Caso: General”.

L

EI

R ip

R .- Carga concentrada (kN). R .- Reacción del apoyo (kN). I .- Momento de inercia (m ). E .- Módulo de elasticidad a




4

ci

ik ck

L

d

dk

Rcp Rd

pi d

EI L =i L = Ldk =i k =c k = kd

p

R if Rc

f Rdf

fViga continua de sección prismática

s

cc

Figura 4 Viga de dos claros con cargas concentradas Rnf en los apoyos elásticos

Considerando como reacción redundante a la reacción del apoyo central, la expresión encontrada en (Morales, 2010) es:

c

IIcrcf

Pcr

Pcv

Pcv

Pcr

Pcc

PcvfP

c

kyy

Rddi

111

(14)

Rc

P.- Reacción del apoyo elástico central de la viga del modelo individual PicdR , del Caso: Particular

Calculando cada una de las deflexiones correspondiente a los términos de la “ec. 14” y operando las cantidades algebraicas, se obtiene la siguiente expresión:

kGALKEIL

kwLGAwLKEIwLRcs

csPc 236

22453

24

(15)


6

Valor idéntico obtenido en la viga original, mediante la aplicación del Caso: General Por simetría y de la ecuación de estática 0 vF obtenemos:

22 f

cfd

fi

RwLRR (16)

2P

cf

df

cf

iPd

Pi RRRRRR (17)

Por simetría en geometría y cargas actuantes: Ri

f= Rdf = (2wL – Rc

f )/2 y sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene finalmente: Ri

P= RdP = (2wL – Rc

P )/2 valores similares a los del Caso: General, ya que Rc

P = Rcg, con lo que queda demostrado, que las reacciones calculadas en el Caso: General son iguales

a las calculadas en el Caso: Particular, tal como lo señala la Premisa 1. Sí en un sistema estructural continuo (ver figura 2) se le agregará la configuración de presiones de contacto del suelo, los resultados obtenidos analizándola con el Caso: General (SEO) serán los mismos, que los calculados utilizando el SEE. Con los casos: General, distribución de momentos y particular queda explicado y demostrado en qué consiste el SEO y su SEE, para un sistema hiperestático con apoyos elásticos. Cuando el análisis se lleve a cabo con el Caso: General, en el sistema estructural original por convencionalismo reconoceremos que se empleó el método directo, cuando el análisis se realice en el sistema estructural equivalente, diremos que el método utilizado es indirecto.

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS MECÁNICOS EN CIMENTACIONES SUPERFICIALES COMPLEJAS

En el análisis estructural de una RPC, la transmisión de las presiones o reacciones (kPa) del suelo de los tableros de losa a la retícula de vigas (kN/m), las cargas actuantes del edificio, el peso propio de la cimentación y la continuidad de las vigas de la retícula, forman un sistema hiperestático que aunado a la carencia de apoyos discretos es poco amigable para analizar. En el pasado el problema fue resuelto por A. L. L. Baker: (Olvera, 1966), (Flores-Esteva, 1970) y por el Dr. L. Zeevaert con la VCC, (Zeevaert, 1973), (Zeevaert, 1980). MÉTODO DE A. L. L. BAKER En 1937 A. L. L. Baker en su “método de la línea del suelo”, propuso un modelo estructural de análisis compuesto por un SEO representado por una viga de cimentación sin apoyos discretos y su SEE consistente en tres etapas de análisis acorde al comportamiento suelo-estructura de cimentación, el análisis se lleva a cabo en el SEE, en el cual al finalizar el primer ciclo se le aplica una corrección a la distribución de la reacción del suelo, mediante este procedimiento iterativo va ajustando la configuración de reacciones y como consecuencia calcula los elementos mecánicos. Un estudio concerniente a este método puede ser consultado en: (Flores-Esteva, 1970), donde señalan sus inconvenientes y en un intento por eliminarlos, los autores sugieren mejoras al mismo mediante un método de ajustes sucesivos, proponiendo además, un procedimiento para la obtención de la configuración de asentamientos totales, diferenciales y de las presiones del suelo en cimentaciones complejas constituidas por losas y retículas de vigas de geometría rectangular y cuadrada, sujetas a la acción de cargas verticales. En lo concerniente a la obtención de los elementos mecánicos conocida la distribución de presiones del suelo, el SEE del método de A. L. L. Baker consiste de dos etapas: -Etapa 1.- La primera etapa del método de A. L. L. Baker, consiste en considerar la viga de cimentación con “apoyos ficticios” en los puntos de ubicación de las columnas del edificio, cargada con la configuración de presiones del suelo, dando como resultado una viga continua con “apoyos simples ficticios”, en la cual se determinan el valor de las reacciones Qi. -Etapa 2.- En la segunda etapa A. L. L. Baker al suponer la viga sin apoyos la condiciona a un estado de aparente inestabilidad a cualquier tipo de carga que no sea vertical. La viga está cargada puntualmente con el desequilibrio de fuerzas debido a la acción de las cargas del edificio Pi con las cargas Qi del suelo, existe

7


equilibrio global en la estructura ya que Fv=0. La manera de determinar la fuerza cortante y el momento flector en la viga de cimentación es mediante planteamientos matriciales, según Flores (1968) o con la aplicación del método de Ritter según Olvera (1966). MÉTODO DE LA VIGA DE CIMENTACIÓN CONDENSADA, (ZEEVAERT, 1980) La interpretación de la transformación de VCC hiperestática a viga condensada isostática puede visualizarse de la siguiente manera, por ejemplo, cuando se calculan las reacciones hiperestáticas en una viga continua (ver figura 2), se está en condiciones de obtener los elementos mecánicos empleando las ecuaciones de estática en cualquier sección de la viga, por lo tanto puede decirse que la viga continua se transformó en una viga isostática. En la VCC, la cual es el medio estructural con el que se realiza el análisis de la ISE, durante este proceso la viga de cimentación apoyada en resortes es hiperestática, al finalizar el cálculo de la ISE, se obtienen las reacciones en los puntos discretos previamente elegidos, finalmente estas reacciones son representadas en términos de la distribución de presiones del suelo, por lo tanto, por similitud con la viga continua, se dice que la VCC es isostática. El método de la viga condensada isostática para determinar los elementos mecánicos en la retícula de vigas de cimentación, aplica para cuando la configuración de presiones del suelo se obtiene mediante la ISE. El procedimiento de la viga condensada es un método útil para calcular aproximadamente en la dirección longitudinal o en la transversal, la fuerza cortante y momento flector en cualquier sección, ocasionados por la totalidad de las cargas actuantes en la cimentación. En otras palabras, se analiza la ISE en cada dirección y con estas distribuciones de presiones y el total de las cargas actuantes, se determinan los elementos mecánicos en las vigas de cimentación condensadas longitudinal y transversal. NUEVO MODELO PARA EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE VIGAS CONTINUAS Y RETÍCULAS PLANAS DE CIMENTACIÓN, MEPR La adaptación del análisis estructural a través del Caso: General o su sistema equivalente para análisis en computadora de sistemas complejos de cimentaciones, se lleva a cabo, agregando la carga vertical representada por la configuración de presiones del suelo, la cual se considera que ya fue determinada, los apoyos elásticos se ubican en los puntos de localización de las columnas y se asignan valores arbitrarios en las constante kv (kN/m) de los apoyos verticales elásticos supuestos. La hipótesis de colocar los “apoyos elásticos reales” en la ubicación de las columnas, en lugar de ubicarlos en otros puntos, proporciona una mejor comprensión a la naturaleza del problema, debido a que en el análisis estructural de cimentaciones es normal que las descargas en las columnas sean diferentes a la reacción del suelo en esos puntos (cuando la distribución de presiones del suelo no se calcula con la ISE a través del método de la VCC), produciéndose un desequilibrio en las fuerzas actuantes, que es necesario equilibrar. MODELO ESTRUCTURAL PARTICULAR CON RESORTES I (MEPRI) Para fines de este estudio se le denomina modelo estructural con resortes de extremo o de control o MEPRI al grupo de resortes con valores arbitrarios en sus propiedades elásticas verticales kvi (kN/m) y horizontales khi (kN/m), colocados en los puntos extremos e intermedios de la viga o retícula de vigas de cimentación (ver figura 5) coincidente con la ubicación de columnas. Siendo infinito el valor de la constante vertical kvi (kN/m) que puede ser asignado a los resortes extremos o de control, para fines prácticos de ingeniería en este estudio se utilizaron cinco valores de kvi, comprendidos en un rango de valores previamente definidos, que pueden utilizarse para la aplicación confiable del “MECYMCAC”. En el ejemplo resuelto se utilizan los valores arbitrarios en las constantes de resorte de kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m. Con estos valores de kvi (kN/m) elegidos en este estudio (dentro de los muchos probables), se obtuvieron cinco soluciones en donde la magnitud de la configuración de asentamientos diferenciales y elementos mecánicos son comparados, obteniéndose para fines de ingeniería resultados idénticos.


8

La demostración numérica, para validar la suposición de utilizar los resortes o apoyos elásticos discretos en el sistema complejo de cimentación conforme al MEPRI (ver figura 5), a través de asignarles valores arbitrarios, se realiza resolviendo diversos problemas de estructuras de cimentación, la mayoría fueron seleccionados de la literatura existente. La inclusión de los resortes de extremo o de control, descargan las fuerzas desequilibradas del sistema de cargas suelo-cimentación-edificio en la primera corrida del programa, a la cual se le designa como descargar-alterando (perturbando). Para restaurar las condiciones iniciales del medio o eliminar la presencia teórica de los resortes, se considera un estado de cargas puntuales aplicada en la ubicación de los resorte con el mismo valor y sentido de sus reacciones para eliminar su efecto. A esta segunda y última corrida se le llama cargar-anulando.

9806.65 kN/m(1000 ton/m)(1.00 ton/m)

9.81 kN/m

k =9.81 kN/mh1

(1.00 ton/m)W1 kPa

W2 kPa W3 kPa W4 kPa W5 kPa W6 kPa W7 kPaW8 kPa

i

P (kN)B B B B

B

1 P (kN)2 P (kN)3 P (kN)4 P (kN)5

T1 2 3 4

k vi k vd

R (kN)vi R (kN)vf

= R (kN)vfvfA= R (kN)viviA

k vi k vd= R =vi R vf

k vck vck vc

k vc= 0.01 kN/mR = 0vc R = 0vc R = 0vc

Figura 5 MEPRI, reacciones en los apoyos elásticos (descargar-alterando) y las cargas Ajn (cargar-anulando) de igual valor y dirección que las Rjn en la VCC y VCCE

Secuencia de cálculo con el MEPRI, en la aplicación del “MECYMCAC” a) Se utiliza el artificio de colocar apoyos elásticos reales en los puntos de ubicación de columnas en la viga continua (ver figura 5) o en retículas de vigas con o sin diafragmas rígidos de cimentación. b) El valor de la constante kvi (kN/m) de cada resorte vertical en los extremos de la viga continua o de la retícula de vigas de cimentación es arbitrario, con valores asignados, comprendidos en el rango de 9.81 kN/m kvi 9806.65 kN/m. Para el análisis de los problemas propuestos se seleccionó de manera arbitraria cinco valores dentro de este rango kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m, que deberán ser consistentes durante el proceso de cálculo. El valor de la constante de cada resorte vertical intermedio es de kvi= 0.01 kN/m, esto es con el fin de que no haya interferencia en la distribución de cortantes y momentos en los nudos interiores y como consecuencia en los exteriores de la estructura de cimentación. c) La suposición de considerar apoyos elásticos es el “primer artificio” que permite auxiliarse de una computadora personal para llevar a cabo la obtención de asentamientos diferenciales, fuerzas cortantes, momentos flectores y momentos torsionantes, ocasionados por el estado original de cargas que consisten; en las cargas del edificio, peso propio de la cimentación y la distribución de presiones del suelo en la cimentación superficial en estudio. En la primera corrida del programa (ciclo 1), los resortes o apoyos elásticos de extremo toman la carga vertical que proviene del desequilibrio de las cargas actuantes en la estructura de cimentación. d) Como fase final del método, el “valor” de las reacciones en los resortes calculadas en el ciclo 1, deben eliminarse para restaurar el efecto perturbador ocasionado por la inclusión de los resortes, restableciendo las condiciones de compatibilidad y equilibrio entre el estado original de cargas exteriores en el medio suelo-cimentación-edificio y fuerzas internas de la cimentación. Para lograr lo antes mencionado, se aplica el “segundo artificio” que consiste en considerar un nuevo estado de cargas en la cimentación, aplicada puntualmente en los apoyos elásticos de extremo con igual valor y mismo signo al correspondiente a su reacción del ciclo anterior. El valor de las reacciones en los resortes intermedios son cero, por lo que puede omitirse la colocación de estos resortes.

9


MODELO ESTRUCTURAL PARTICULAR CON RESORTES II (MEPRII) Como consecuencia de los principios en que se basa “el modelo estructural con resortes extremos o de control e intermedios”, se infiere que es racional pensar que en estructuras de cimentación del tipo aquí estudiado, la colocación de los resortes o del resorte puede realizarse en otros puntos singulares de la cimentación, más aun, puede reducirse el número de resortes. Con esto en mente y considerando que el punto singular clave en el análisis de cimentaciones para cargas gravitacionales es el lugar geométrico donde se encuentra aplicada la resultante de las cargas actuantes del edificio, la cual debe coincidir con la resultante de la distribución de presiones del suelo, como consecuencia a esta condición se presentan dos casos: a) Coincidencia con el centroide de la cimentación, al cual, se le denominara caso concéntrico y b) a la no coincidencia con el centroíde de la cimentación, se le denominara caso excéntrico. Para el análisis de la cimentación por carga sísmica el punto singular se ubica en el centroide de la cimentación. Por lo tanto, para el análisis estructural de cimentaciones superficiales sujetas a cargas gravitacionales y sísmicas, se propone como modelo alternativo, la colocación en estos puntos singulares de un grupo de resortes con rigideces elásticas en sentido vertical, horizontal y rotacional, (ver figura 6). A este grupo de resortes colocados en el punto singular correspondiente se le denomina “apoyo elástico individual o resorte individual”, representa el número mínimo de resortes a utilizar en la aplicación del “MECYMCAC”. Podría quedar restringida su aplicación en el SEO para cuando los puntos singulares queden fuera de los elementos resistentes, como puede ser el caso de retículas de zapatas corridas con vigas (se soluciona colocando un elemento estructural que vincule toda la cimentación) o cuando el programa señale inestabilidad por el tamaño de la cimentación.

krci

P (kN)B B B B

B

1 P (kN)2

P (kN)3

P (kN)4 P (kN)5

T1 2 3 4

k =9.81 kN/mh1

k vc

(1.00 ton/m)

k rc

i

P (kN)B B B B

B

1 P (kN)2 P (kN)3 P (kN)4 P (kN)5

T1 2 3 4

k k =9.81 kN/mh1

R (kN)vps

= R (kN)vpsvpsA

k vc(1.00 ton/m)

Centroide

Pi

Wi

Pi

Wi

e

d/2

Vm

Vb

HmRh h

P (kN)1 P (kN)2

P (kN)3

P (kN)4 P (kN)5s s

s

s s

O M =V HT m mv

krc

k vc

k =9.81 kN/mh1(1.00 ton/m)

M (kN-m)rvps

M (kN-m)rvps

c) Carga sísmica

a) Carga gravitacional concéntrica

b) Carga gravitacional excéntrica

g gg g g

g gg

g

g g

g

M (kN-m)rvpsR (kN)vps

= R (kN)vpsvpsA

W kPa1 W kPa2 W kPa3 W kPa4

W kPa5 W kPa6 W kPa7 W kPa8

ss s s

ss

ss

W kPa1g W kPa2

g W kPa3g W kPa4

g W kPa5g W kPa6

g W kPa7g W kPa8

g

W kPa1g

W kPa2g

W kPa3g

W kPa8g

W kPa7g

W kPa6gW kPa5

g

W kPa4g

Punto singular y/o Centroide

Punto singular

i

R (kN)vps

g

g

gg

gg

g g

g g

gg

s

M (kN-m)rvpss

= R (kN)vpsvpsA

M (kN-m)rvpsA rvps=s s

s s

A rvps=

M (kN-m)rvpsA rvps =

k vc (1.00 ton/m)

9806.65 kN/m k vc= 0.01 kN-m/rad9.81 kN/m(1000 ton/m) Punto singular y/o Centroide

Figura 6 Representación grafica de la ubicación del resorte individual para formar el MEPRII en una viga de cimentación sujeta a cargas gravitacionales, distribución de presiones y carga sísmica.


10

Secuencia de cálculo con el MEPRII, en la aplicación del “MECYMCAC” I) Se utiliza el artificio de colocar un apoyo elástico real en el centro de gravedad de la estructura de cimentación (ver figura 6). II) El valor de la constante de cada resorte ubicado en el centro de gravedad de la estructura de cimentación es arbitrario, pero deberá ser consistente durante el proceso de cálculo. El rango de las constantes elásticas utilizadas es el mismo empleado en los resortes de control 9.81 kN/m kvi 9806.65 kN/m, para el análisis del los problemas propuestos se seleccionó de manera arbitraria cinco valores dentro de este rango kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m. III) La suposición de considerar apoyos elásticos es el “primer artificio” que permite auxiliarse de una computadora personal para llevar a cabo la obtención configuración de asentamientos diferenciales, fuerzas cortantes, momentos flectores y momentos torsionantes, ocasionados por el estado original de cargas que consisten en las cargas del edificio, peso propio de la cimentación y la configuración de presiones del suelo en la cimentación superficial en estudio. En la primera corrida del programa (ciclo 1), el resorte o apoyo elástico individual (ver figura 6) ubicados en el punto singular toman carga vertical y momentos residuales (descargar-alterando) que proviene del desequilibrio de cortantes y momentos en la estructura de cimentación provocado por los mismos resortes que al utilizarlos perturban el estado de esfuerzos en la estructura original. En los resultados obtenidos al finalizar la corrida del programa podrá constatarse que las reacciones vertical y de momento del resorte son muy pequeñas. IV) El “valor” de las reacciones calculadas en los resortes en el paso anterior (ciclo 1) debe eliminarse para restaurar los efectos en términos de la configuración de asentamientos diferenciales y de los elementos mecánicos producidos por el estado original de las cargas en la estructura de cimentación plana o espacial. Para lograr lo antes mencionado, se aplica el “segundo artificio” que consiste en considerar un nuevo estado de cargas en la cimentación (cargar-anulando), aplicada concentradamente en el apoyo elástico individual con igual valor y mismo signo al correspondiente a sus reacciones. ALGUNAS OBSERVACIONES DEL MODELO ESTRUCTURAL GENERAL DEL MÉTODO DE BAKER (MEGB) EN COMPARACIÓN AL MEPRI - La aplicación del método de A. L. L. Baker ha sido utilizado para calcular indirectamente y de forma manual, Olvera (1966), los elementos mecánicos en vigas de cimentación a través de la superposición de las etapas 1 y 2, no realizan el análisis directamente porque la solución del modelo de la estructura original es poco amigable. En la adaptación de la segunda etapa de la estructura equivalente de este método para al cálculo de los elementos mecánicos en las estructuras de cimentación, Olvera (1966), no se considera la participación de la rigidez de la losa de cimentación, los efectos de corte y torsión son ignorados. Sin embargo, los valores calculados en el análisis efectuado son considerados válidos para el diseño de la retícula de cimentación. En el “MECYMCAC”, se considera la participación de la losa aunque puede omitirse si la distribución de presiones de contacto es supuesta uniforme, se considera el efecto por corte, se determinan los asentamientos diferenciales y los elementos mecánicos, tales como, fuerza cortante, momentos flexionantes y momentos torsionantes, con la ventaja adicional que el análisis se realiza en la estructura original. - El Caso: General (SEO) y su sistema equivalente (SEE) tienen aplicación en el análisis de cualquier sistema estructural con apoyos elásticos, en este estudio se demuestra que mediante consideraciones especiales en la ubicación y valores de las constantes kvi (kN/m) en los apoyos elásticos (MEPRI y/o MEPRII), se obtienen los asentamientos diferenciales y elementos mecánicos en la estructura de cimentación, en cambio la validez del modelo de A. L. L. Baker aplica exclusivamente en el análisis de cimentaciones, como las aquí mencionadas. - Aunque A. L. L. Baker (1937) concibió su modelo para determinar la distribución de presiones en el suelo, es asombrosa la caracterización que propuso, debido a que el sistema original y su sistema equivalente (hiperestático) fueron descubiertos en Morales (2010). Caracterizar el comportamiento del suelo-cimentación en etapas proponiendo apoyos simples ficticios a la viga de la primera etapa fue una de las claves de su exitoso modelo. Lo complicado y laborioso del análisis de la viga sin apoyos de la segunda etapa del sistema

11


equivalente o de la viga original también sin apoyos, para calcular los elementos mecánicos de la cimentación, aunado a que no determina los asentamientos diferenciales y momentos torsores, hace poco amigable su aplicación. - En función del parecido del SEO y del SEE, en los modelos de A. L. L. Baker y el MEPRI, se concluye que estos dos modelos representan un caso particular de la viga con apoyos elásticos y su sistema equivalente (MEGR). - El modelo estructural general con resortes (MEGR) es la base de donde se caracteriza el MEPR y como consecuencia el MEPRI, por lo tanto debe inferirse que para el análisis de sistemas de cimentaciones superficiales complejas existen variedad de modelos particulares del MEGR y que el modelo de A. L. L. Baker aquí llamado MEGB debe considerarse como uno de los muchos posibles, con la diferencia que no tiene aplicación en computadora por lo laborioso y complicado de construir un programa de análisis estructural en conformidad a los lineamientos de su SEE. En este estudio se exponen los modelos que se consideran fáciles de aplicar y que permiten tener una compresión más clara de la naturaleza del problema. - Si bien es cierto, que el MEGB y el MEPR con su derivación del MEPRI son conceptualmente parecidos, el proceso de análisis es diferente. El análisis estructural de la segunda etapa del MEGB es muy poco amigable de realizar, en (Olvera, 1966) puede consultarse la manera de proceder utilizando el método de Ritter, podrá constatarse que la aplicación del método se lleva a cabo nudo a nudo, liberando el nudo en estudio y dejando empotrados los nudos extremos, se calculan los cortantes y momentos en los extremos de la barra que coinciden en dicho nudo hasta encontrar el equilibrio de ambos en ciclos consecutivos, el proceso es iterativo de aproximaciones sucesivas. En cambio en el MEPR con su derivación del MEPRI, los apoyos elásticos supuestos, actúan como elementos que concentran las fuerzas desequilibradas, las cuales son de magnitud pequeña por tratarse el análisis de sistemas de cimentación, la solución empleada en el MECYMCAC es el método de rigideces. Diagrama descriptivo del MEGB vs MEPRI y métodos de análisis en las cimentaciones superficiales

MEGR

MEPC

MEGB

ETAPA 2ETAPA 1

DISTRIBUCIÓNDE MOMENTOS

MÉTODO DERITTER

MÉTODO INDIRECTO

MEPR

MEPRI MEPRII

MECYMCAC

MÉTODOS: DIRECTOO INDIRECTO

Figura 7 Diagrama descriptivo del MEGB vs MEPRI

Donde: MEGR.- Modelo Estructural General con Resortes. MEPC.- Modelo Estructural Particular en Cimentaciones. MEPR.- Modelo Estructural Particular con Resortes. MEGB.- Modelo Estructural General de Baker. MEPRI.- Modelo Estructural Particular con Resortes I. MEPRII.- Modelo Estructural Particular con Resortes II. Método directo.- En este estudio se le denomina así, al análisis en la estructura original. Método indirecto.- En este estudio se le denomina así, al análisis en la estructura equivalente.


12

EJEMPLO NUMÉRICO DE UNA RETÍCULA PLANA DE CIMENTACIÓN, UTILIZANDO EL MECYMCAC CON LOS MODELOS ESTRUCTURALES MEPRI Y MEPRII

Para este ejemplo en particular se considera una cimentación superficial tipo cajón con las dimensiones geométricas en planta mostradas en la figura 8.

Corte a-a´

A B C D E

0.40m

6.25m 6.25m 6.25m 6.25m25.00m

0.40mLosa de fondo

0.40m0.40m0.40m0.40m

Eje neutro

Sección transversal del cajón de cimentación en el sentido longitudinal considerada en el modelo de RPC

X2.00m

PiPiPiPi Pi

Pi = Carga gravitacional actuante en cada columna en cada columna

N.D.C.

N.D.C. = Nivel de desplante de cimentación

8.00m 8.00m 8.00m 8.00m 8.00m

1 2 3 4 5 640.00m

6.25m

6.25m

6.25m

6.25m

A

B

C

D

E

25.00m

0.40m 0.40m 0.40m 0.40m 0.40m 0.40m0.40m

0.40m

0.40

0.40m

0.40m

Col 0.70x0.70m(Tipo)

Z

X

0.40m0.40m0.40m0.40m0.40m0.40m

Centroide de lalosa de cimentación

c'c

a

a'

Figura 8 Planta geométrica del cajón de cimentación y corte a-a’ del modelo estructural de la RPC omitiendo la losa tapa, según el STAAD Pro

Para fines de análisis, las cargas admisibles gravitacionales consideradas en la RPC son: Cargas puntuales de la superestructura y cimentación (ver figura 9) y distribución de presiones de contacto suelo-cimentación obtenidas con la VCCE, los valores son proporcionados en la tabla 1 con referencia a la figura 10. La sección transversal de las vigas CT-1 en la RPC son b= 0.40 m (40 cm) y h= 2.00 m (200 cm). El espesor de la losa de fondo es de 0.40 m (40 cm), no se considera la losa tapa. Las propiedades mecánicas del concreto reforzado para el análisis estructural son: Módulo de elasticidad del concreto Ec= 21712.45 MPa (221467 kg/cm2), resistencia a la compresión f’c= 24.51 MPa (250 kg/cm2) y el módulo de Poisson )17.0( .

Figura 9 Isométrico de cargas concentradas gravitacionales de la superestructura y cimentación en kN (ton) con la distribución de presiones del suelo obtenidas con la VCCE en kPa (ton/m2)

13


145.900 kPa 87.550 kPa 88.730 kPa 88.350 kPa 88.720 kPa



(28.510 ton/m²)

(14.882 ton/m²)

(14.781 ton/m²)

(14.366 ton/m²)

(17.109 ton/m²)

(8.930 ton/m²)

(8.870 ton/m²)

(8.619 ton/m²)

(17.338 ton/m²)

(9.050 ton/m²)

(8.989 ton/m²)

(8.735 ton/m²)

(17.264 ton/m²)

(9.012 ton/m²)

(8.951 ton/m²)

(8.698 ton/m²)

(17.336 ton/m²)

(9.049 ton/m²)

(8.988 ton/m²)

8.734 ton/m²

279.510 kPa167.730 kPa169.980 kPa169.260 kPa169.96 kPa




a,a a,1 a,2 a,3 a,4 a,5 a,6 a,7 a,8 a,b

1,a 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,b

2,a 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,b

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,b

4,a 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,b

5,a 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,b

6,a 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,b

b,a b,1 b,2 b,3 b,4 b,5 b,6 b,7 b,8 b,b

(14.366 ton/m²) (8.619 ton/m²) (8.735 ton/m²) (8.698 ton/m²) 8.734 ton/m²140.820 kPa 84.500 kPa 85.630 kPa 85.270 kPa 85.630 kPa

(14.366 ton/m²)(8.619 ton/m²)(8.735 ton/m²)(8.698 ton/m²)8.734 ton/m²140.820 kPa84.500 kPa85.630 kPa85.270 kPa85.630 kPa

(14.781 ton/m²) (8.870 ton/m²) (8.989 ton/m²) (8.951 ton/m²) (8.988 ton/m²)144.91 kPa 86.960 kPa 88.130 kPa 87.76 kPa 88.120 kPa

(14.781 ton/m²)(8.870 ton/m²)(8.989 ton/m²)(8.951 ton/m²)(8.988 ton/m²)144.91 kPa86.960 kPa88.130 kPa87.76 kPa88.120 kPa

(14.882 ton/m²) (8.930 ton/m²) (9.050 ton/m²) (9.012 ton/m²) (9.049 ton/m²)145.900 kPa 87.550 kPa 88.730 kPa 88.350 kPa 88.720 kPa

(14.882 ton/m²)(8.930 ton/m²)(9.050 ton/m²)(9.012 ton/m²)(9.049 ton/m²)145.900 kPa87.550 kPa88.730 kPa88.350 kPa88.720 kPa

(28.510 ton/m²)279.510 kPa 167.730 kPa 169.980 kPa 169.260 kPa 169.96 kPa 279.510 kPa167.730 kPa169.980 kPa169.260 kPa169.96 kPa

(17.109 ton/m²) (17.338 ton/m²) (17.264 ton/m²) (17.336 ton/m²) (28.510 ton/m²)(17.109 ton/m²)(17.338 ton/m²)(17.264 ton/m²)(17.336 ton/m²)

3,a


8.00m 8.00m 8.00m 8.00m 8.00m

1 2 3 4 5 6

6.25m

6.25m

6.25m

6.25m

A

B

C

D

E

25.00m

40.00m

4.00m 8.00m 8.00m 8.00m 8.00m 4.00m

3.13

6.25

6.25

6.25

3.13

(28.510 ton/m²)

(14.882 ton/m²)

(14.781 ton/m²)

(14.366 ton/m²)

(17.109 ton/m²)

(8.930 ton/m²)

(8.870 ton/m²)

(8.619 ton/m²)

(17.338 ton/m²)

(9.050 ton/m²)

(8.989 ton/m²)

(8.735 ton/m²)

(17.264 ton/m²)

(9.012 ton/m²)

(8.951 ton/m²)

(8.698 ton/m²)

(17.336 ton/m²)

(9.049 ton/m²)

(8.988 ton/m²)

8.734 ton/m²

Figura 10 Planta de distribución de presiones de contacto del suelo en las dovelas de cimentación en kPa (ton/m2)

Tabla 1 Distribución de presiones de contacto en la losa de fondo de la RPC en kPa

a 1 2 3 4 5 6 7 8 b

a 279.51 167.73 169.98 169.26 169.96 169.96 169.26 169.98 167.73 279.51

1 145.90 87.55 88.73 88.35 88.72 88.72 88.35 88.73 87.55 145.90

2 144.91 86.96 88.13 87.76 88.12 88.12 87.76 88.13 86.96 144.91

3 140.82 84.50 85.63 85.27 85.63 85.63 85.27 85.63 84.50 140.82

4 140.82 84.50 85.63 85.27 85.63 85.63 85.27 85.63 84.50 140.82

5 144.91 86.96 88.13 87.76 88.12 88.12 87.76 88.13 86.96 144.91

6 145.90 87.55 88.73 88.35 88.72 88.72 88.35 88.73 87.55 145.90

b 279.51 167.73 169.98 169.26 169.96 169.96 169.26 169.98 167.73 279.51

OBTENCIÓN DE LOS ELEMENTOS MECANICOS Y ASENTAMIENTOS VERTICALES CON EL MEPRI Determinar la configuración de asentamientos verticales y los elementos mecánicos de la RPC mostrada en la figura 9, utilizando el MECYMCAC. El cajón de cimentación está formado por la losa de fondo y una retícula de vigas ortogonales, se omite la losa tapa. Se utilizan las presiones mostradas en la tabla 1 (ver figura 10) y el modelo estructural con resortes de extremo o de control o MEPRI, con valores arbitrarios y diferentes en las rigideces de los resortes en sus propiedades elásticas verticales kvi (kN/m) y horizontales khi (kN/m), colocados en los puntos extremos de la retícula plana (ver figura 11). Se realizan análisis de la RPC para cinco diferentes valores arbitrarios en las constantes de los resortes verticales de extremo o de control, siendo kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m. Para los resortes horizontales se utilizó como valor invariable khi= 9.81 kN/m. Para el análisis estructural se utiliza el programa comercial STAAD.Pro que considera seis grados de libertad en los apoyos elásticos. Para el caso del MEPRI en la RPC se liberan los grados de libertad FX , FY y FZ . Por ejemplo, para valores asignados de kvi= 9.81 kN/m serían: kN/m KFY 81.9 , y como valores invariables en los análisis subsecuentes

kN/m KFX 81.9 y kN/m KFZ 81.9 . La tabla 2 muestra la ventana de creación de los apoyos en el programa STAAD Pro y las constantes que definen el valor del apoyo elástico, el caso que se presenta es cuando se toma un valor en la constante de kN/m KFY 33.490 y kN/m KFZKFX 81.9 .


14

Tabla 2 Valores asignados a las constantes de resorte de los apoyos extremos

Create Support Fixed But Release Define Spring FX KFX: 9.81 kN/m FY KFY: 490.33 kN/m FZ KFZ: 9.81 kN/m MX KMX: kN-m/deg MY KMY: kN-m/deg MZ KMZ: kN-m/deg

Los elementos mecánicos así como la configuración de asentamientos diferenciales, se estudian en un componente resistente elegido aleatoriamente, siendo el seleccionado la viga de cimentación del eje A y E tramo 1-6 (ver figura 8) para los distintos valores de kvi antes mencionados.

Figura 11 Isométrico de la RPC con todas las cargas actuantes gravitacionales con la ubicación de los apoyos elásticos extremos KFX, KFY y KFZ

Primer ciclo de análisis de la estructura de la figura 11, mediante la utilización del MEPRI a cuya aplicación se le denomina MECYMCAC utilizando el programa comercial STAAD.Pro En la figura 12, se observan las cinco deformadas de los asentamientos diferenciales encontrados para los diferentes valores considerados en la constante (kvi en kN/m) de los resortes extremos. Tabla 3 Configuración de asentamientos diferenciales verticales calculados con reacciones diferentes

de cero en la viga del eje A = eje E

kvi (kN/m) Reacciones (kN)

Asentamientos (mm) en los nudos de las viga en los ejes A y E

Extremos Intermedios R1 y R25

R11 y R30 1 - 49 3 - 51 5 - 53 7 - 55 9 - 57 11 - 59

9.81 ------ 0.02 0.018 -2.075 -103.108 -174.520 174.517 -103.100 1.865

490.33 ------ 0.02 0.018 -0.043 -101.240 -172.623 -172.623 -101.239 -0.037

980.67 ------ 0.02 0.018 -0.022 -101.218 -172.604 -172.604 -101.218 -0.019

4903.33 ------ 0.02 0.018 -0.004 -101.204 -172.588 -172.587 -101.203 -0.004

9806.65 ------ 0.02 0.018 -0.002 -101.202 -172.585 -172.586 -101.201 -0.002

15


-183.469

k = 9.81 kN/mk = 490.33 980.67 4903.33 9806.65 kN/mvi

Deformada de la viga con el MEPRI

-51.747

-103.108

-145.144-174.5200

-51.538

-103.100

-144.941-174.517

-2.076 -1.865

1, 49 3, 51 5, 53 7, 55 9, 5711, 59

2, 50 4, 52 6, 54 8, 56 10, 58

36 40 X (m)32284 8 12 16 20 240

-30

-60

-90

-120

-150

-180

-210

-240

-270

-300

Y (mm)

Eje neutro de la viga de cimentaciónen el eje A = eje B =y

Nudo0

30

k = 9.81 kN/mvi

Eje de referencia del MEPRI

Figura 12 Asentamientos diferenciales del primer ciclo en las vigas de los ejes A y E, considerando kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m en el resorte individual

Segundo ciclo de análisis de la estructura de la figura 11, mediante la utilización del MEPRI a cuya aplicación se le denomina MECYMCAC utilizando el programa comercial STAAD.Pro En la figura 13, se observan las cinco deformadas de los asentamientos diferenciales ajustadas o medidas en el mismo eje de referencia, por el hecho de hacer cero las reacciones calculadas en el primer ciclo de análisis. Tabla 4 Configuración de asentamientos diferenciales verticales calculados con reacciones iguales a

cero en la viga del eje A = eje E

kvi (kN/m) Asentamientos (mm) en los nudos de las viga en los ejes A y E

Extremos Intermedios 1 - 49 3 - 51 5 - 53 7 - 55 9 - 57 11 - 59

9.81 (1 ton/m) ------ -0.033 -101.113 -172.571 -172.616 -101.246 -0.057

490.33 (50 ton/m) ------ -0.003 -101.200 -172.584 -172.585 -101.202 -0.001

980.67 (100 ton/m) ------ -0.001 -101.198 -172.585 -172.585 -101.199 0.000

4903.33 (500 ton/m) ------ 0.000 -101.200 -172.584 -172.584 -101.200 0.000

9806.65 (1000 ton/m) ------ 0.000 -101.200 -172.583 -172.584 -101.199 0.000

-49.707

-101.246

-143.063-172.616

-0.033 -0.057

-49.728

-101.113

-143.172-172.571

-181.544

1, 49 3, 51 5, 53 7, 55 9, 5711, 59

2, 50 4, 52 6, 54 8, 56 10, 58

36 40 X (m)32284 8 12 16 20 240

-30

-60

-90

-120

-150

-180

-210

-240

-270

-300

Y (mm)

Eje neutro de la viga de cimentaciónen el eje A = eje B =y

Nudo0

30

k = 9.81 kN/mk = 490.33 980.67 4903.33 9806.65 kN/mvi

vi

Deformada de la viga con el MEPRI

Eje de referencia del MEPRI

Figura 13 Asentamientos diferenciales del segundo ciclo en las vigas de los ejes A y E, considerando kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m en los resortes extremos

En las figuras 14 y 15, se observan los cinco diagramas de fuerza cortante y momento flector del último o segundo ciclo, por el hecho de hacer cero las reacciones calculadas en el primer ciclo de análisis. En general, estos cinco valores son cuasi idénticos entre si (kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m) y a los calculados en el primer ciclo de análisis. En otras palabras, desde el primer ciclo de análisis en los que se utilizan cincos valores arbitrarios en las constantes de los resortes, los valores de los elementos mecánicos obtenidos son cuasi iguales entre si, al eliminar la pequeña magnitud de la acción perturbadora calculada en


16

los resortes de control se obtienen los nuevos valores que para fines de ingeniería puede considerarse idénticos a los primeros.

1, 49 3, 51 5, 53 7, 55 9, 5711, 59

2, 50 4, 52 6, 54 8, 56 10, 58-200

F (kN)

4 8 12 16 20 24 28 32 36 400 X (m)

y

(Nudos)-400-600-800

-1000-1200-1400-1600-1800-2000

200400600800

100012001400160018002000

254.316

-1291.778

78.815

-1010-822

491.934

-491.934

1010.822

-78.815 -254.318

1291.780

Figura 14 Diagrama de fuerzas cortantes del último o segundo ciclo, con reacciones en los resortes extremos (MEPRI) iguales a cero

1, 49 3, 51 5, 53 7, 55 9, 5711, 59

2, 50 4, 52 6, 54 8, 56 10, 58

-1000

1000

0 X (m)

(Nudos)

M (kN-m)

4 8 12 16 20 24 28 32 36

z

40

-2000

-3000

-4000

-5000

-6000

-7000

-8000

-9000

-10000

2000415.569

1432.8351251.925

-4262.049-3915.193

-4060.322-3946.793

-8103.604-8053.715

-6085.978 -4262.049-3915.193

-4060.322-3946.793

-8103.604-8053.715

415.5681432.8381251.928

0

Figura 15 Diagrama de momentos flectores del último o segundo ciclo, con reacciones en los resortes extremos (MEPRI) iguales a cero

OBTENCIÓN DE LOS ELEMENTOS MECANICOS Y ASENTAMIENTOS VERTICALES CON EL MEPRII Los valores arbitrarios considerados de la constante del resorte individual vertical fueron kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m. El programa comercial STAAD.Pro considera seis grados de libertad en apoyos elásticos, para retícula de vigas de cimentación se liberan los 6 grados de libertad FX, FY, FZ, MX, MY Y MZ. Por lo tanto, los valores arbitrarios asignados en el resorte individual para el primer cálculo de este ejemplo son: KFX = 9.81 kN/m, KFY = 9.81 kN/m, KFZ = 9.81 kN/m, KMX=KMY=KMZ= 0.01 kN-m/deg (ver tabla 5). Los valores de KFX, KFZ, KMX, KMY y KMZ KFZ, son invariables en los cálculos subsecuentes. Por ser simétrica la RPC, el punto singular de ubicación del resorte individual es el centroide. Primer ciclo de análisis de la estructura de la figura 16, mediante la utilización del MEPRII a cuya aplicación se le denomina MECYMCAC utilizando el programa comercial STAAD.Pro

Tabla 5 Valores asignados a las constantes del resorte en el apoyo individual

Create Support Fixed But Release Define Spring FX KFX: 9.81 kN/m FY KFY: 490.33 kN/m FZ KFZ: 9.81 kN/m MX KMX: 0.01 kN-m/deg MY KMY: 0.01 kN-m/deg MZ KMZ: 0.01 kN-m/deg

17


En la figura 16 se muestra el modelo de la RPC con las cargas de la superestructura y cimentación concentradas en cada punto de ubicación de las columnas y la distribución de presiones de contacto del suelo, considerando el apoyo elástico individual en el centroíde (C.L.) de la losa de fondo de la cimentación. Se realizaron cinco diferentes análisis en función del valor en la constante elástica del resorte vertical KFY. La RPC con resorte individual (MEPRII) mostrada en la figura 16, al igual que la RPC resuelta con el MEPRI (ver figura 11), tiene la característica de estar formado por una losa de fondo y una retícula de vigas ortogonales, sin tomar en cuenta la losa tapa. Los elementos mecánicos así como la configuración de asentamientos diferenciales, corresponden a la viga de cimentación del eje A y E, tramo 1-6 (ver figura 8) para los diferentes valores de kvi.

C.L.

Figura 16 Isométrico de la RPC con todas las cargas actuantes gravitacionales con la ubicación del apoyo elástico individual KFX, KFY, KFZ, KMX, KMY y KMZ

Al realizar un primer análisis de la RPC se obtienen reacciones desbalanceadas o una perturbación en el resorte individual, sobre el eje global Y y alrededor de los ejes globales X y Z. De lo anterior se deduce que al tomar el apoyo elástico vertical, toda la carga gravitacional de la superestructura y cimentación, conlleva a tener un desequilibrio en el sistema estructural de la RPC y por lo tanto un desbalanceo en la misma, el cual es equilibrado por los otros componentes del resorte individual. En la figura 17 se observa las reacciones desequilibradas obtenidas del primer análisis para todos los casos estudiados.

Figura 17 Isométrico de las reacciones desequilibradas en el resorte individual de la RPC En la tabla 6 y figura 18 se presentan los valores de los asentamientos diferenciales de la viga del eje A y E, para los diferentes valores de la constante elástica KFY del resorte individual.


18

Tabla 6 Configuración de asentamientos diferenciales verticales obtenidas en el 1er ciclo en la viga del eje A = eje E, considerando kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m en el resorte individual

kvi en kN/m (ton/m) Reacciones RF (kN) y

RM (kN-m) Asentamientos y (mm) en los nudos de las viga en los ejes

A y E

MEPRII RFy30 RMx30 RMz30 1 - 49 3 - 51 5 - 53 7 - 55 9 - 57 11 - 59

9.81 (1 ton/m) 0.079 0.080 -0.014 -2928.663 -1887.330 -817.675 324.267 1537.703 2780.254

490.33 (50 ton/m) 0.079 0.080 -0.014 -2920.847 -1880.284 -809.886 331.882 1545.044 2788.016

980.67 (100 ton/m) 0.079 0.080 -0.014 -2920.774 -1880.191 -809.811 331.964 1545.121 2788.088

4903.33 (500 ton/m) 0.079 0.080 -0.014 -2920.714 -1880.138 -809.749 332.024 1545.181 2788.151

9806.65 (1000 ton/m) 0.079 0.080 -0.014 -2920.707 -1880.132 -809.741 332.033 1545.189 2788.161

-2928.663

-2407.075-1887.330

-1358.845

-817.675

-255.560

324.267

925.039

1537.703

2159.900

2780.25436 40 X (m)32284 8 12 16 20 240

Y (mm)

Eje neutro de la viga de cimentaciónen el eje A = eje B

=y

Nudo1, 49 0

k = 9.81 kN/m

k = 490.33 980.67 4903.33 9806.65 kN/mvi

vi

-3000

-300

-600

-900

-1200

-1500

-1800

-2100

-2400

-2700

3000

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

Eje de referencia del MEPRII3, 51 5, 53 7, 55 9, 57 11, 592, 50 4, 52 6, 54 8, 56 10, 58

Figura 18 Asentamientos diferenciales del primer ciclo en las vigas de los ejes A y E, considerando kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m en el resorte individual

Segundo ciclo de análisis de la estructura de la figura 16, mediante la utilización del MEPRI a cuya aplicación se le denomina MECYMCAC utilizando el programa comercial STAAD.Pro Para tener equilibrio en las cargas actuantes en el sistema estructural de la RPC, es necesario aplicar (segundo artificio) en el modelo de análisis otro nuevo sistema de cargas con la misma dirección de las calculadas en el primer ciclo en cada componente del resorte individual (ver figura 17). Se procede a efectuar el segundo ciclo de análisis verificando que los valores de las reacciones en el resorte individual sean igual a cero, dando por finalizado el procedimiento de cálculo. En la figura 19 y tabla 7 se muestran los valores ajustados a un mismo eje de referencia de los asentamientos diferenciales para los distintos valores de KFY. En la figura 19, se observan las cinco deformadas de los asentamientos diferenciales ajustadas o medidas en el mismo eje de referencia.

19


205.946

154.620

112.03382.131

73.175

204.348

153.223

111.63181.930

255.430253.63136 40 X (m)32284 8 12 16 20 240

-30

Y (mm)

Eje neutro de la viga de cimentaciónen el eje A = eje B

=y

Nudo0

k = 9.81 kN/m

k = 490.33 980.67 4903.33 9806.65 kN/mvi

vi Deformada de la viga con el MEPRIIEje de referencia del MEPRII

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

1, 49 3, 51 5, 53 7, 55 9, 57 11, 592, 50 4, 52 6, 54 8, 56 10, 58

Figura 19 Asentamientos diferenciales del segundo ciclo en las vigas de los ejes A y E, considerando kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m en el resorte individual

La tabla 7 muestra los valores de las 5 deformadas ajustadas en el segundo ciclo para los diferentes valores de kvi, que representan los asentamientos diferenciales verticales, se observa que los asentamientos diferenciales son prácticamente iguales.

Tabla 7 Configuración de asentamientos diferenciales verticales ajustados, calculados con reacciones iguales a cero, obtenidas en el ultimo ciclo en la viga del eje A = eje E, considerando kvi= 9.81, 490.33,

980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m en el resorte individual

kvi en kN/m (ton/m) Asentamientos y (mm) en los nudos de las viga en los ejes A y E

MEPRII 1 - 49 3 - 51 5 - 53 7 - 55 9 - 57 11 - 59

9.81 (1 ton/m) 255.430 154.620 82.131 81.930 153.223 253.631

490.33 (50 ton/m) 255.376 153.796 82.051 81.676 152.695 253.523

980.67 (100 ton/m) 255.366 153.807 82.045 81.678 152.693 253.517

4903.33 (500 ton/m) 255.365 153.798 82.043 81.674 152.686 253.513

9806.65 (1000 ton/m) 255.366 153.797 82.044 81.674 152.686 253.514

En las figuras 20 y 21, se observan los cinco diagramas de fuerza cortante y momento flector del último o segundo ciclo, por el hecho de hacer cero las reacciones calculadas en el primer ciclo de análisis. En general, estos cinco valores en cada sección de la retícula son cuasi idénticos entre si (kvi= 9.81, 490.33, 980.67, 4903.33 y 9806.65 kN/m). Al eliminar la pequeña magnitud de la acción perturbadora calculada en el apoyo individual, se obtienen los nuevos valores de fuerza cortante y momento flector que son cuasi idénticos a los del primer ciclo y que para fines de ingeniería pueden considerarse exactos.

1, 49 3, 51 5, 53 7, 55 9, 5711, 59

2, 50 4, 52 6, 54 8, 56 10, 58-200

F (kN)

4 8 12 16 20 24 28 32 36 400 X (m)

y

(Nudos)-400-600-800

-1000-1200-1400-1600-1800-2000

200400600800

100012001400160018002000

254.327

-1291.770

78.819

-1010-819

491.934

-491.935

1010.818

-78.820 -254.326

1291.770

Figura 20 Diagrama de fuerzas cortantes del último o segundo ciclo, con reacciones en el resorte individual (MEPRII) iguales a cero


20

1, 49 3, 51 5, 53 7, 55 9, 5711, 59

2, 50 4, 52 6, 54 8, 56 10, 58

-1000

1000

0 X (m)

(Nudos)

M (kN-m)

4 8 12 16 20 24 28 32 36

z

40

-2000

-3000

-4000

-5000

-6000

-7000

-8000

-9000

-10000

2000415.568

1432.8751251.964

-4261.980-3915.120

-4060.220-3946.700

-8103.500-8053.600

-6085.870 -4261.990-3915.120

-4060.230-3946.710

-8103.500-8053.600

415.5681432.8741251.961

0

Figura 21 Diagrama de momentos flectores del último o segundo ciclo, con reacciones en el resorte individual (MEPRII) iguales a cero

COMPARACIÓN DE RESULTADOS ENTRE EL MEPRI vs MEPRII EN LA APLICACIÓN DEL MECYMCAC

Para comparar los asentamientos diferenciales en la viga del eje A y E con los modelos MEPRI y MEPRII, se puede proceder de varias maneras, en este ejemplo en particular se realizó de la siguiente forma: se traslada el eje de referencia horizontal (XII) del MEPRII al eje de referencia horizontal (XI)del MEPRI, a partir del cual se miden los asentamientos y de esta forma se comprueba que la deformada de ambos modelos son iguales cuando se comparan entre si (ver figura 22).

Tabla 8 Comparación de la configuración de asentamientos diferenciales verticales ajustados, calculados con el MEPRI y MEPRII

kvi en kN/m (ton/m) Modelos Asentamientos y (mm) en los nudos de las viga en los ejes A y

E

1 - 49 3 - 51 5 - 53 7 - 55 9 - 57 11 - 59

9.81 (1 ton/m) MEPRI -0.033 -101.113 -172.571 -172.616 -101.246 -0.057

9.81 (1 ton/m) MEPRII 0.000 -100.810 -173.299 -173.500 -102.207 -1.799

490.33 (50 ton/m) MEPRI -0.003 -101.200 -172.584 -172.585 -101.202 -0.001

490.33 (50 ton/m) MEPRII 0.000 -101.580 -173.325 -173.700 -102.681 -1.853

980.67 (100 ton/m) MEPRI -0.001 -101.198 -172.585 -172.585 -101.199 0.000

980.67 (100 ton/m) MEPRII 0.000 -101.559 -173.321 -173.688 -102.673 -1.849

4903.33 (500 ton/m) MEPRI 0.000 -101.200 -172.584 -172.584 -101.200 0.000

4903.33 (500 ton/m) MEPRII 0.000 -101.567 -173.322 -173.691 -102.679 -1.852

9806.65 (1000 ton/m) MEPRI 0.000 -101.200 -172.583 -172.584 -101.199 0.000

9806.65 (1000 ton/m) MEPRII 0.000 -101.569 173.322 -173.692 -102.68 -1.852

21


X II

X I

36 40 X (m)32284 8 12 16 20 240

-30

-60

-90

-120

-150

-180

-210

-240

-270

-300

Y (mm) =y

Nudo1 2 3 4 5 60

30

Eje de referencia delMEPRII, deformada0

60

90

120

150

180

210

240

270

300

205.946154.620

112.03382.131 73.175 81.930 111.631

153.223204.348

253.631255.430

-49.484

-100.81-143.397

-51.082

-102.207-143.799

-173.299

-173.50-182.255

-1.799

-181.544

-172.616-143.063

-101.246

-49.707

-0.057

-172.571-143.172

-101.113

-49.728

-0.033

Eje de referencia delMEPRI y MEPRII (STAAD.Pro)

7 8 9 10 11

Figura 22 Diagrama comparativo de las deformadas ajustadas con los modelos del MEPRI y MEPRII En las figuras 23 y 24 se muestran los elementos mecánicos calculados con los 5 valores elegidos arbitrariamente como constante del resorte vertical utilizado en el MEPRI y MEPRII constatándose que la fuerza cortante y momento flector en cada sección transversal de la RPC son iguales en cada uno de los modelos y que la diferencia entre los dos es casi nula. En este ejemplo queda demostrado que el MEPRI y MEPRII cuya aplicación es el MECYMCAC son métodos de análisis novedosos, que proporcionan resultados que para fines de ingeniería pueden considerarse exactos.

1-200

F (kN)

4 8 12 16 20 24 28 32 36 400 X (m)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y

(Nudos)-400-600-800

-1000-1200-1400-1600-1800-2000

200400600800

100012001400160018002000

MEPRI

MEPRII

Figura 23 Diagrama comparativo de fuerzas cortantes del último o segundo ciclo obtenidas con el MEPRI y MEPRII

1

-1000

1000

0 X (m)

(Nudos)

M (kN-m)

4 8 12 16 20 24 28 32 36

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

z

40

-2000

-3000

-4000

-5000

-6000

-7000

-8000

-9000

-10000

2000

0

MEPRII

MEPRI

Figura 24 Diagrama comparativo de momentos flectores del último o segundo ciclo obtenidas con el MEPRI y MEPRII


22

COMENTARIOS FINALES

Si en el MEPRI en vez del resorte, se considera apoyo simple (kvi= 90E+30 kN/m) el ajuste de los asentamientos diferenciales en los extremos en toda la estructura sería directo, pero al colocar la carga puntual con el mismo valor y sentido puede interpretarse como una acción forzada para eliminar la reacción desequilibrada en el resorte ya que por condición debe ser cero. Esta es una de las razones por la que no se recomienda valores de kvi (kN/m) muy altos que representen apoyos simples, porque se puede perder la interpretación física del proceso, la otra es la posibilidad de confundirlos con la suposición de “apoyos simples ficticios” de la primera etapa de A. L. L. Baker y como consecuencia la violación al principio de superposición, debido a que los apoyos elásticos se suponen ubicados en puntos singulares del sistema estructural original (SEO). Es comprensible que en la solución de estos tipos de problemas, no es necesario considerar 5 valores en las constantes del resorte, por lo que se sugiere utilizar un valor arbitrario comprendido entre los siguientes límites 980.67 kN/m (100ton/m) kvi 9806.65 kN/m (1000ton/m). Una vez definida las presiones de contacto por cargas gravitacionales o sísmicas, el peso propio de la cimentación y las cargas actuantes del edificio, el MEPRI y el MEPRII a cuya aplicación se le denomina MECYMCAC nos proporcionan de manera sencilla y elegante los valores numéricos de la configuración de asentamientos diferenciales y elementos mecánicos en cimentaciones superficiales de cualquier tipo. En cimentaciones de forma irregular, tales como, trapecial, triangular y circular, se sugiere la utilización del MEPRI en la aplicación del MECYMCAC. El MECYMCAC es un procedimiento eficaz, sencillo e ingenioso para obtener la configuración de asentamientos diferenciales y los elementos mecánicos en las estructuras de cimentaciones superficiales complejas y sin duda alguna servirá para una mejor y más confiable interpretación de la relación suelo-estructura de cimentación-edificio. Permitirá al analista a no dudar en la colocación de los armados o refuerzos de acero en la etapa de diseño y de poner atención a otras partes del proyecto estructural.

REFERENCIAS Flores V. A. (1968), “Análisis de cimentaciones sobre suelo compresible”, Instituto de Ingeniería de la UNAM, Informe 171. Flores V. A. y Esteva L. (1970), “Análisis y diseño de cimentaciones sobre terreno compresible”, Facultad de Ingeniería, UNAM, México. Morales R. R. (2010), ”Método de subestructuración iterativa para el análisis de vigas continuas”. CICT-UPCH. Research Engineers, Int. Headquarters, A Bentley solutions Center, “STAAD.Pro 2004”, USA. Zeevaert L. (1980), “Interacción suelo-estructura de cimentación”, Editorial Limusa, México.

articulo c-09-03 20 de julio de 2012 - smie.org.mx · determinar el valor de las reacciones en la...

Documents