aszimptotikus analízis - eötvös loránd university · 2. fejezet alapfogalmak 2.4. Állítás....
TRANSCRIPT
Aszimptotikus Analízis
Szakdolgozat
Írta: Kántor Endre
Matematika BSc
Alkalmazott matematikus szakirány
Témavezet®:
Tóth Árpád
egyetemi docens
Analízis Tanszék
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
2011
Köszönetnyilvánítás
Szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek, Tóth Árpádnak, aki hasz-
nos ötleteivel és tanácsaival segített e dolgozat megírásában. Köszönettel
tartozom még a családomnak támogatásukért és bátorításukért.
Budapest, 2011 május 30.
Kántor Endre
Tartalomjegyzék
1. Bevezet® 3
2. Alapfogalmak 4
3. Bessel-függvények 7
3.1. Bessel-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Els®fajú Bessel-függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3. Másodfajú Bessel-függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4. A Bessel-függvény integrál alakja . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése 14
4.1. A Bessel-integrál kiszámítása
komplex vonalintegrálként . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2. A Hankel-függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3. A Hankel-függvények aszimptotikája . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4. J0 és Y0 aszimptotikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. A Bessel-függvény egy alkalmazása 23
Irodalomjegyzék 26
1. fejezet
Bevezet®
Az aszimptotikus analízis célja valós függvények végtelenben történ® viselke-
désének vizsgálata. Gyakran bonyolultabb formában, pl. határozott integrál-
ként vagy Taylor-sorral megadott függvények nagy számokon vett értékeire
adunk elemibb alakot. A dolgozatomban el®ször az aszimptotikus analízis
alapfogalmait ismertetem, majd a Bessel-függvényeken keresztül mutatok be
egy módszert ezek alkalmazására.
3
2. fejezet
Alapfogalmak
2.1. De�níció. Legyenek f(z) és g(z) a komplex sík egy H részhalmazán
értelmezett függvények, z0 ∈ H.
Ekkor f(z) = O(g(z)) (f nagy ordó g), amint z → z0, ha létezik egy K
konstans és z0-nak egy olyan U ⊂ H környezete, hogy minden U-beli z esetén
|f(z)| ≤ K|g(z)|.
2.2. De�níció. Legyenek f(z) és g(z) a komplex sík egy H részhalmazán
értelmezett függvények, z0 ∈ H.
Ekkor f(z) = o(g(z)) (f kis ordó g), amint z → z0, ha minden ε pozitív
számhoz létezik z0-nak olyan Uε környezete, hogy |f(z)| ≤ ε|g(z)| minden
z ∈ Uε-ra.
2.1. Megjegyzés. Ha g(z) nem 0 z0 egy kipontozott környezetében, akkor
f(z) = o(g(z)) azzal ekvivalens, hogy f(z)g(z)→ 0.
2.1. Állítás. Ha f(z) = o(g(z)) amint z → z0, akkor f(z) = O(g(z)) amint
z → z0.
2.2. Állítás. Ha f(z) = O(g(z)), g(z) = O(h(z)), akkor f(z) = O(h(z)).
4
2. fejezet Alapfogalmak
2.3. Állítás. Ha f(z) = o(g(z)), g(z) = o(h(z)), akkor f(z) = o(h(z)).
2.3. De�níció. Legyenek f(z) és g(z) a komplex sík egy H részhalmazán
értelmezett függvények, z0 ∈ H, és g(z) nem nulla z0 egy kipontozott környe-
zetében.
Ekkor f(z) ∼ g(z) (aszimptotikusan egyenl®), ha f(z)g(z)→ 1 amint z → z0.
2.2. Megjegyzés. Ez azzal ekvivalens, hogy f(z) = g(z) + o(g(z)), amint
z → z0.
2.4. De�níció. Legyenek a φn(z) függvények értelmezve a H ⊆ C halmazon,
z0 ∈ H.
Ekkor a {φn(z)} sorozat aszimptotikus sorozat, ha φn+1(z) = o(φn(z)) min-
den n-re, amint z → z0.
2.5. De�níció. Legyen {φn(z)} egy aszimptotikus sorozat.
Ekkor∞∑n=0
anφn(z)
az f(z) függvény aszimptotikus sora, ha minden N-re
f(z) =N∑n=0
anφn(z) + o(φN(z)), amint z → z0
2.6. De�níció. Az f(x) = a0 + a1x
+ a2x2
+ a3x3
+ . . . alakú kifejezés az f(x)
függvény aszimptotikus hatványsora, ha minden rögzített n-re
f(x) = a0 +a1x
+a2x2
+ . . .+an + εn(x)
xn
ahol εn(x)→ 0, ha x→∞.
5
2. fejezet Alapfogalmak
2.4. Állítás. Néhány egyszer¶ tulajdonság:
1. Legyen Sn(x) =∑n
k=0akxk, ahol ak az f függvény aszimptotikus hatvány-
sorának együtthatói. Ekkor f(x)− Sn−1(x) = o( 1xn
).
2. f és g aszimptotikus hatványsorainak összege f + g aszimptotikus hat-
ványsora.
3. Egy adott függvénynek egyértelm¶ az aszimptotikus hatványsora.
4. Ugyanakkor két különböz® függvényhez tartozhat ugyanaz az aszimpto-
tikus hatványsor.
Pl. e−x aszimptotikus hatványsora 0 + 0 + . . ., ezért f(x) és f(x) + e−x
aszimptotikus hatványsora ugyanaz.
5. Egy függvénynek nem feltétlenül létezik aszimptotikus hatványsora.
Pl. ex-nek nem létezik aszimptotikus hatványsora, mert ex → ∞, ha
x→∞.
6. Legyen f(x) olyan függvény, melynek létezik az összes deriváltja az x =
0 pontban. Ekkor az
f(x) = f(0) + xf ′(x) +x2
2!f ′′(x) + . . .
kifejezésbe 1x-et helyettesítve kapjuk, hogy:
f
(1
x
)= f(0) +
f ′(0)
x+f ′′(0)
x2+ . . .
ami az f(1/x) aszimptotikus hatványsora. ([5] 282.o. 11.4.Tétel)
6
3. fejezet
Bessel-függvények
Ebben a fejezetben a Bessel-függvényeket és néhány alaptulajdonságukat te-
kintjük át. A Bessel-függvényeket el®ször Bernoulli használta, kés®bb Fried-
rich Bessel német matematikus és csillagász általánosította a 19. század-
ban. A több tömegponttal rendelkez® rendszerek gravitációjának vizsgálata-
kor dolgozta ki az elméletet. Ezen kívül a �zika sok területén alkalmazzák
a Bessel-függvényeket, ugyanis bizonyos di�erenciálegyenletek megoldásánál
nagyon fontosak. Ilyenek pl. a h®terjedés, elektromosság vagy hullámok ter-
jedése, hengerszer¶ testek viselkedése, membránok rezgése, hidrodinamika és
még számos egyéb terület.
3.1. Bessel-egyenlet
A fentebb említett problémák gyakran vezetnek a következ® másodrend¶
közönséges lineáris di�erenciálegyenletre:
x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0 (3.1)
7
3. fejezet Bessel-függvények
Egy másik, ekvivalens felírása az egyenletnek:
y′′ +1
xy′ +
(1− n2
x2
)y = 0 (3.2)
Mivel az egyenlet másodrend¶, két lineárisan független megoldása van. Ezek
meghatározzák az els®- és másodfajú Bessel-függvényeket (Jn(x) és Yn(x)).
3.2. Els®fajú Bessel-függvények
A Bessel-egyenlet azon megoldásait nevezzük els®fajú Bessel-függvényeknek,
amelyek regulárisak az origóban (a másodfajú Bessel-függvények szingulári-
sak az x = 0 pontban).
Szokás még hatványsorral de�niálni a Bessel-függvényt, ekkor
Jn(x) =∞∑m=0
(−1)m
m!(m+ n)!
(1
2x
)2m+n
(3.3)
n = 0 speciális esetben
J0(x) = 1− x2
22+
x4
2242− x6
224262+ . . . (3.4)
3.1. Állítás. J ′0(x) = −J1(x)
Bizonyítás:
J ′0(x) =
(∞∑m=0
(−1)mx2m
(m!)222m
)′=
∞∑m=1
(−1)m2mx2m−1
(m!)222m=
=∞∑m=0
(−1)m+12(m+ 1)x2m+1
((m+ 1)!)222m+2= −2x
22
∞∑m=0
(−1)m(m+ 1)x2m
((m+ 1)!)222m=
8
3. fejezet Bessel-függvények
= −x2
∞∑m=0
(−1)mx2m
m!(m+ 1)!22m= −J1(x)
3.2. Állítás. (xJ1(x))′ = xJ0(x)
Bizonyítás:
(xJ1(x))′ =
(x2
2
∞∑m=0
(−1)mx2m
m!(m+ 1)!22m
)′=
(1
2
∞∑m=0
(−1)mx2(m+1)
m!(m+ 1)!22m
)′=
=1
2
∞∑m=1
(−1)m2(m+ 1)x2m+1
m!(m+ 1)!22m=
∞∑m=0
(−1)mxx2m
m!m!22m= xJ0(x)
3.3. Állítás. J0(x) kielégíti a Bessel-egyenletet.
Bizonyítás: xJ ′′0 (x) +J ′0(x) +xJ0(x) = (xJ ′0(x))′+xJ0(x) = −(xJ1(x))′+
xJ0(x) = −xJ0(x) + xJ0(x) = 0
3.1. Megjegyzés. Általánosabban, valós α-ra is de�niálhatjuk Jα(x)-et:
Jα(x) =∞∑m=0
(−1)m
m!Γ(m+ α + 1)
(1
2x
)2m+α
(3.5)
ahol Γ(z) a Gamma-függvény.
9
3. fejezet Bessel-függvények
3.3. Másodfajú Bessel-függvények
A másodfajú Bessel-függvény a Bessel-egyenlet Jn-t®l lineárisan független
megoldása.
Legyen v = Jn(x) az egyik megoldás, és u a másik. Ekkor
xu′′ + u′ + xu = 0 (3.6)
xv′′ + v′ + xv = 0 (3.7)
Vegyük v × (3.6)− u× (3.7)-t:
x(u′′v − uv′′) + u′v − uv′ = 0 (3.8)
d
dx[x(u′v − uv′)] = 0 (3.9)
Így x(u′v − uv′) = B konstans. Osszunk xv2-tel:
B
xv2=u′v − uv′
v2=
d
dx
(uv
)(3.10)
u
v= A+B
∫dx
xv2(3.11)
Átrendezve, és v = Jn(x)-et behelyettesítve:
u = AJn(x) +BJn(x)
∫dx
xJ2n(x)
= A′Jn(x) +B′Yn(x) (3.12)
ahol Yn(x) a másodfajú Bessel-függvény.
10
3. fejezet Bessel-függvények
3.4. A Bessel-függvény integrál alakja
Gyakran célszer¶bb egy határozott integrálként felírni Jn-t, pl. amikor a
következ® fejezetben az aszimptotikus viselkedését vizsgáljuk.
A következ® két formulát használjuk fel:
eix sin θ = 1 +ix sin θ
1!+
(ix sin θ)2
2!+ . . . (3.13)
∫ 2π
0
sinn θdθ =
0 ha n páratlan(n−1)(n−3)···3·1n(n−2)···4·2 ha n páros
(3.14)
Ezekb®l:
∫ 2π
0
eix sin θdθ =
∫ 2π
0
(1 +
ix sin θ
1!+
(ix sin θ)2
2!+ . . .
)dθ =
=
∫ 2π
0
dθ +
∫ 2π
0
ix sin θ
1!dθ +
∫ 2π
0
(ix sin θ)2
2!dθ + . . . =
11
3. fejezet Bessel-függvények
= 2π + 0 + 2π(ix)2
2!
1
2+ 0 + 2π
(ix)4
4!
3 · 14 · 2
+ . . . =
= 2π
(1− x2
22+
x4
4222− x6
624222± . . .
)∫ 2π
0
eix sin θdθ = 2πJ0(x)
Tehát:
J0(x) =1
2π
∫ 2π
0
eix sin θdθ (3.15)
3.2. Megjegyzés. Néhány ekvivalens alak:
J0(x) =1
π
∫ π2
−π2
eix sin θdθ (3.16)
J0(x) =1
π
∫ π
0
eix cos θdθ (3.17)
J0(x) =2
π
∫ π2
0
cos(x sin θ)dθ (3.18)
J0(x) =2
π
∫ π2
0
sin(x cos θ)dθ (3.19)
3.3. Megjegyzés. Általánosabban, egész n-re:
Jn(x) =1
π
∫ π
0
cos(nθ − x sin θ)dθ (3.20)
Jn(x) =1
2π
∫ π
−πe−i(nθ−x sin θ)dθ (3.21)
12
3. fejezet Bessel-függvények
3.4. Megjegyzés. Valós α-ra:
Jα(x) =1
π
∫ π
0
cos(nθ − x sin θ)dθ − sin(απ)
π
∫ ∞0
e−x sinh(t)−αtdt (3.22)
vagy ha α > −12:
Jα(x) =1
2α−1Γ(α + 12)√πxα
∫ x
0
(x2 − θ2)α−12 cos θdθ (3.23)
3.1. De�níció. Jn fentebb írt alakjait nevezik Bessel-integrálnak is.
13
4. fejezet
A Bessel-függvények
aszimptotikus viselkedése
Most az a célunk, hogy valami egyszer¶bb alakot találjunk Jn(x)-nek és
Yn(x)-nek (pl. elemi függvényre vezessük vissza), ha x nagyon nagy.
Ehhez a komplex függvénytanban ismert módszereket használunk. Vesszük
J0 integrál alakját, és egy végtelenbe nyúló Jordan-görbe mentén számoljuk
ki az értékét.
4.1. A Bessel-integrál kiszámítása
komplex vonalintegrálként
Tekintsük J0 következ® alakját:
J0(x) =1
π
∫ π2
−π2
eix sin θdθ (4.1)
14
4. fejezet A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése
Legyen t = sin θ, dθ = dt√1−t2 . Ekkor
J0(x) = limδ→0
1
π
∫ 1−δ
−1+δ
eixt√1− t2
dt (4.2)
Legyen
y(x) = limδ→0
∫ 1−δ
−1+δ
eixt√1− t2
dt (4.3)
Ekkor y megoldása a Bessel-egyenletnek:
y′ = limδ→0
∫ 1−δ
−1+δ
iteixt√1− t2
dt (4.4)
y′′ = limδ→0
∫ 1−δ
−1+δ
−t2eixt√1− t2
dt (4.5)
xy′′ + y′ + xy = x(y′′ + y) + y′ = limδ→0
∫ 1−δ
−1+δ
(xeixt
1− t2√1− t2
+iteixt√1− t2
)dt =
= limδ→0
∫ 1−δ
−1+δ
(xeixt√
1− t2 +iteixt√1− t2
)dt = lim
δ→0
∫ 1−δ
−1+δ−id[√
1− t2eixt]dt
dt =
= limδ→0−i[√
1− t2eixt]1−δt=−1+δ
= −i[√
1− t2eixt]1t=−1
(4.6)
Most tekintsük az
y =
∫[a,b]
eixt√1− t2
dt (4.7)
komplex vonalintegrált. Ekkor, mint el®bb,
xy′′ + y′ + xy =[−i√
1− t2eixt]ba
(4.8)
15
4. fejezet A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése
Ha a→ 1 vagy a→ −1, és b = iη, η →∞, akkor
[−i√
1− t2eixt]ba
= −i(√
1− b2eixb − 0)
= −i√
1− i2η2eixiη =
= −i√
1 + η2e−xη → 0 (4.9)
Legyen γ az ábrán látható ABCDEF pontok által meghatározott görbe.
γ ∪ intγ-n eixt√1−t2 reguláris, ezért a Cauchy-tétel miatt
∫γ
eixt√1− t2
dt = 0 (4.10)
16
4. fejezet A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése
Az AB, CD és EF vonalakon az integrál értéke a 0-hoz tart, ha R → ∞
és r → 0, így
∫[−1+iR,−1+ir]
eixt√1− t2
dt+
∫[−1+r,1−r]
eixt√1− t2
dt+
∫[1+ir,1+iR]
eixt√1− t2
dt→ 0
(4.11)
ha r → 0 és R→∞.
4.2. A Hankel-függvények
4.1. De�níció. Legyenek:
−π2H
(1)0 (x) = lim
R→∞,r→0
∫[1+ir,1+iR]
eixt√1− t2
dt (4.12)
−π2H
(2)0 (x) = lim
R→∞,r→0
∫[−1+iR,−1+ir]
eixt√1− t2
dt (4.13)
H(1)0 (x) és H(2)
0 (x) az úgynevezett Hankel-függvények.
4.24 miatt
J0(x) =1
2
(H
(1)0 (x) +H
(2)0 (x)
)(4.14)
Most a komplex síkbeli szakasz helyett szeretnénk egy valós intervallumon
integrálni, és szebb alakra hozni a kapott kifejezést.
Legyen t = 1 + iη, dt = idη. Ekkor:
√1− t2 =
√−2iη + η2 =
√−2i
(η +
1
2iη2)
=√−2i
√η +
1
2iη2 (4.15)
−π2H
(1)0 (x) =
∫[F,H]
eixt√1− t2
dt =
∫ ∞0
eix(1+iη)idη√−2i
√η + 1
2iη2
=
17
4. fejezet A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése
=eixi√2√−i
∫ ∞0
e−xη√η + 1
2iη2
dη =eixi√2e−
π4
∫ ∞0
e−xη√η + 1
2iη2
dη (4.16)
H(1)0 (x) = − 2
π
eixi√2e−
π4
∫ ∞0
e−xη√η + 1
2iη2
dη =−i√
2eix+π4i
π
∫ ∞0
e−xη√η + 1
2iη2
dη =
=
√2
πe−
π2iei(x+
π4)
∫ ∞0
e−xη√η + 1
2iη2
dη =
√2
πei(x−
π4)
∫ ∞0
e−xη√η + 1
2iη2
dη (4.17)
Most helyettesítsünk be u = xη-t. Így η = ux, dη = du
x. Ekkor
H(1)0 (x) =
√2
πei(x−
π4)
∫ ∞0
e−u√ux
+ 12i(ux
)2 dux =
√2
πei(x−
π4)
∫ ∞0
e−u√ux
√1 + iu
2x
du
x=
=
√2
πei(x−
π4)
∫ ∞0
e−u√x
√u√
1 + iu2x
du
x=
√2
π√xei(x−
π4)
∫ ∞0
e−u√u
(1 +
iu
2x
)− 12
du
H(1)0 (x) =
(2
πx
) 12 1√
xei(x−
π4)
∫ ∞0
e−u√u
(1 +
iu
2x
)− 12
du (4.18)
Hasonló módon kijön, hogy
H(2)0 (x) =
(2
πx
) 12 1√
xe−i(x−
π4)
∫ ∞0
e−u√u
(1− iu
2x
)− 12
du (4.19)
Azaz H(1)0 (x) és H(2)
0 (x) egymás konjugáltjai, és a valós részük J0(x). Be
lehet látni azt is, hogy a képzetes részük Y0(x). Összefoglalva:
H(1)0 (x) = J0(x) + iY0(x) (4.20)
H(2)0 (x) = J0(x)− iY0(x) (4.21)
18
4. fejezet A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése
J0(x) =1
2
(H
(1)0 (x) +H
(2)0 (x)
)(4.22)
Y0(x) = −1
2i(H
(1)0 (x)−H(2)
0 (x))
(4.23)
4.3. A Hankel-függvények aszimptotikája
Írjuk H(1)0 (x)-t a következ® alakban:
H(1)0 (x) =
√2
πx
1√xei(x−
π4)f
(1
x
)(4.24)
ahol
f(x) =
∫ ∞0
e−u√u
√1 +
iux
2du (4.25)
2.4/6-et szeretnénk alkalmazni f(x)-re, hogy megkapjuk H(1)0 (x) aszimpto-
tikus hatványsorát. Ehhez azt kell belátni, hogy f(x)-nek létezik az összes
deriváltja az x = 0 pontban.
f ′(x) =
∫ ∞0
e−u√u
(1 +
iux
2
)− 12 1
2
iu
2du
f ′′(x) =
∫ ∞0
e−u√u
(1 +
iux
2
)− 32 1
2
(−1
2
)(iu
2
)2
du
...
f (n)(x) =
∫ ∞0
(−1)n−1e−u√u
(1 +
iux
2
) 12−n
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2n
(iu
2
)ndu
Azért tudunk bederiválni, mert az integrandus egyszerre folytonos x-ben és
u-ban is.
f (n)(0) = (−1)n−11 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2n
(i
2
)n ∫ ∞0
e−uun−12du =
19
4. fejezet A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése
= (−1)n−11 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2n
(i
2
)nΓ
(n+
1
2
)=
= (−1)n−11232 · · · (2n− 1)2in√π
8n(4.26)
Tehát f (n)(0) létezik minden n-re, ezért nagy x-ekre f(1x
)a következ®
aszimptotikus hatványsorral írható fel:
f
(1
x
)= f(0) +
f ′(0)
1!x+f ′′(0)
2!x2+ . . . =
=√π − i
√π
8x+
1222
2!
i2√π
(8x)2− 123252
3!
i3√π
(8x)3+ . . . =
=√π
(1− i
8x+
1222
2!
i2
(8x)2− 123252
3!
i3
(8x)3+ . . .
)(4.27)
Ezt 4.24-be behelyettesítve kapjuk, hogy
H(1)0 (x) =
√2
πxei(x−
π4)
(1− i
8x+
1222
2!
i2
(8x)2− 123252
3!
i3
(8x)3+ . . .
)(4.28)
és i helyére −i-t írva:
H(2)0 (x) =
√2
πxe−i(x−
π4)
(1 +
i
8x+
1222
2!
i2
(8x)2+
123252
3!
i3
(8x)3+ . . .
)(4.29)
4.4. J0 és Y0 aszimptotikája
J0 aszimptotikus sorát a Hankel-függvények segítségével fogjuk meghatá-
rozni. Legyen
P = 1− 1232
2!
1
(8x)2+
12325272
4!
1
(8x)4− . . . (4.30)
20
4. fejezet A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése
Q =1
8x− 123252
3!
1
(8x)3+ . . . (4.31)
Ekkor a Hankel-függvények aszimptotikus sorát a következ® alakban írhatjuk:
H(1)0 (x) =
√2
πxei(x−
π4) (P − iQ) (4.32)
H(2)0 (x) =
√2
πxe−i(x−
π4) (P + iQ) (4.33)
Ezeket 4.14-be behelyettesítve a következ®t kapjuk:
J0(x) =1
2
(H
(1)0 (x) +H
(2)0 (x)
)=
1
2
√2
πx
(ei(x−
π4)(P−iQ)+e−i(x−
π4)(P+iQ)
)=
=1
2
√2
πx
[(cos(x− π
4
)+ i sin
(x− π
4
))(P − iQ)+
+
(cos(x− π
4
)− i sin
(x− π
4
))(P + iQ)
]=
=1
2
√2
πx
[2P cos
(x− π
4
)+ 2Q sin
(x− π
4
)]=
=
√2
πx
[P cos
(x− π
4
)+Q sin
(x− π
4
)](4.34)
Hasonló gondolatmenettel kijön 4.23-b®l, hogy
Y0(x) =
√2
πx
[P sin
(x− π
4
)−Q cos
(x− π
4
)](4.35)
A 2.5 de�níció miatt:
J0(x) =
√2
πx
[(1 + o(1)
)cos(x− π
4
)+
(1
8x+ o
(1
8x
))sin(x− π
4
)]
21
4. fejezet A Bessel-függvények aszimptotikus viselkedése
Ezért az alábbi egyszer¶bb alakok írhatók:
J0(x) =
√2
πx
[cos(x− π
4
)+ p(x)
](4.36)
Y0(x) =
√2
πx
[sin(x− π
4
)+ q(x)
](4.37)
ahol p(x) és q(x) tartanak 0-hoz, ha x→∞.
4.1. Megjegyzés. Ez nem is annyira meglep® eredmény, hiszen J−1/2(x) és
J1/2(x) minden x-re
J−1/2(x) =
√2
πxcosx (4.38)
J1/2(x) =
√2
πxsinx (4.39)
22
5. fejezet
A Bessel-függvény egy
alkalmazása
Egy egyenletes n húzóer®vel kifeszített kör alakú membrán szabadrezgését
vizsgáljuk. A membrán anyaga homogén, tömegeloszlása egyenletes, állandó
h vastagsága és ρ s¶r¶sége van. Jelölje w(r, θ, t) az id®t®l és helyt®l függ®
rezgésalakját a körmembránnak. A következ® di�erenciálegyenletet írhatjuk
fel w-re:
4w =ρh
n
∂2w
∂t2(5.1)
Tegyük fel, hogy a keresett mozgás valamilyen harmonikus rezg®mozgások
összege. Így w-t
w(r, θ, t) = w(r, θ) cosωt (5.2)
alakban kereshetjük. Ekkor w deriváltjai a következ®k:
∂w(r, θ, t)
∂t= − sin(ωt)ωw(r, θ)
∂2w(r, θ, t)
∂t2= − cos(ωt)ω2w(r, θ)
23
5. fejezet A Bessel-függvény egy alkalmazása
Ezt 5.1-be helyettesítve abból kiejthet® kiejthet® az id®t®l függ® szorzóté-
nyez®:
4w(r, θ, t) = 4w(r, θ) cos(ωt) = −ρhn
cos(ωt)ω2w(r, θ)
4w(r, θ) = −ρhnω2w(r, θ) (5.3)
Az egyenletet átrendezve egy kétváltozós, paraméteres homogén di�erenciál-
egyenletet kapunk:
4w(r, θ) +ρh
nω2w(r, θ) = 0 (5.4)
Hogy egyszer¶sítsük, tegyük fel hogy
w(r, θ) = wk(r) cos(kθ) (5.5)
alakú, ahol k = 0, 1, 2, . . .
Ezt 5.4-be helyettesítve, és 4w-t polárkoordinátákkal felírva:
4w =1
r
∂
∂r
(r∂w
∂r
)+
1
r2∂2w
∂θ2=
1
r
∂w
∂r+∂2w
∂r2+
1
r2∂2w
∂θ2
∂w(r)
∂r=∂wk(r)
∂rcos(kθ)
∂2w(r)
∂r2=∂2wk(r)
∂r2cos(kθ)
∂w(r)
∂θ= −wk(r) sin(kθ)k
∂2w(r)
∂θ2= −wk(r) cos(kθ)k2
4w(r, θ) =1
r
∂wk(r)
∂rcos(kθ) +
∂2wk(r)
∂r2cos(kθ)− k2
r2wk(r) cos(kθ)
1
r
∂wk(r)
∂rcos(kθ)+
∂2wk(r)
∂r2cos(kθ)−k
2
r2wk(r) cos(kθ)+
ρhω2
nwk(r) cos(kθ) = 0
24
5. fejezet A Bessel-függvény egy alkalmazása
A θ-tól függ® tagot kiejtve:
∂2wk∂r2
+1
r
∂wk∂r
+
(ρhω2
n− k2
r2
)wk = 0 (5.6)
Az
x = rω
√ρh
n
helyettesítéssel az alábbi Bessel-egyenletet kapjuk:
∂2wk(x)
∂x2+
1
x
∂wk(x)
∂x+
(1− k2
x2
)wk(x) = 0 (5.7)
Ennek az egyenletnek megoldásai a Jk(x) és Yk(x) függvények. De mivel a
másodfajú Bessel-függvények az x = 0 pont közelében a végtelenhez tartanak,
ezért ebben a konkrét �zikai feladatban nem lehetnek megoldások. Ezért a
membrán szabadrezgését csak az els®fajú Bessel-függvények adják:
wk(x) = CJk(x) (5.8)
ahol C tetsz®leges konstans.
25
Irodalomjegyzék
[1] Frank Bowman: Introduction to Bessel Functions
[2] Andrew Grey & G. B. Mathews: A treatise on Bessel Functions and their
Applications to Physics
[3] B. G. Korenev: Bessel Functions and Their Applications
[4] Simon J.A. Malham: An introduction to asymptotic analysis
[5] Laczkovich - T. Sós: Analízis I.
[6] Dr. Heged¶s István: Síkmembránok kis lehajlásai és rezgései
[7] http://en.wikipedia.org
[8] http://mathworld.wolfram.com
26