atividades série ouro matemática resoluções 10a · portanto, a solução da equação pertence...

01 bP x x( ) ln( )

P( ) ln( )

P( ) ln

P(

= + sdot += + sdot += + sdot

40 25 1

15 40 25 15 1

15 40 25 16

15)) ln

( ) ln

= + sdot= + sdot sdot

40 25 2

15 40 4 25 2

4

P

Usando a aproximaccedilatildeo ln 2 0 70= temosP

P mmHg

( )

( )

15 40 4 25 0 70

15 110

= + sdot sdot=

PortantoP cmHg( )15 11=

02 a

ln logloglog

log

log

6 66

17910 778

0 7781791

0

10

10

10

10

= =

=

=

e e

e

e 434

03 aCondiccedilotildees de existecircncia dos logaritmostgx e xgt gt0 0cotg

2

log(tgx) log(cotgx)0

1 1

log(tgx) log(cotgx) 0

log(tgx) log(cotgx)

tgx cotgx

1tgx

tgx

tg x 1 tgx 1ou tgx 1(natildeo conveacutem)

=

minus ==

=

=

= rArr = = minus

Para 032

lt ltxπ

temos

tgx x ou x= rArr = =14

54

π π

Portanto o nuacutemero de soluccedilotildees da equaccedilatildeo eacute 204 c

y x= + +log log ( )3 32 6

Trocamos x por y e y por x Em seguida isolamos yx y

x y

y

y

y

f

x

x

x

= + += sdot +

= +

= minus

=minus

minus

log log ( )

log [ ( )]3 3

3

2 6

2 6

3 2 12

2 3 12

3 122

11 32

6( )xx

= minus

05 b

5 150

5 150

1 5 2 3 5

1 5

1

1

2

x

x

x

x

minus

minus

=

=

minus sdot = sdot sdotminus sdot =

log log

( ) log log( )

( ) log log22 3 2 5+ + sdotlog log

( ) log log log log

( ) (log lo

x

x

minus sdot

= + + sdot

minus sdot minus

1102

2 3 2102

1 10 gg ) log log (log log )

( ) ( ) (

2 2 3 2 10 2

1 1 0 30 0 30 0 48 2 1

= + + sdot minusminus sdot minus = + + sdotx minusminusminus sdot = + sdotminus ==

0 30

1 0 7 0 78 2 0 7

0 7 0 7 2 18

0 7 2 88

4 11

)

(x )

x

x

x

Portanto a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo pertence ao intervalo [ [4 5

ObservaccedilatildeoComo 5 1253 = e 5 6254 = entatildeo

5 150 3 1 4 4 51x x xminus = rArr lt minus lt rArr lt lt Assim natildeo era necessaacuterio utilizar logaritmos para saber que a soluccedilatildeo estaacute entre 4 e 5

06 elog ( cos ) log ( cos )

log [( cos ) ( cos )]3 3

32

1 1 2

1 1 2

3

minus + + = minusminus sdot + = minus

=minus

x x

x x

11

19

1

89

2

2

2

minus

= minus

=

cos

cos

cos

x

x

x

sen x x

sen x

sen x

2 2

2

2

1

189

19

= minus

= minus

=

cos

Como 0lt ltx π entatildeo senx =13

Portanto

cos cos

cos

cos

2

289

19

13

21

2 2x senx x sen x senx

x senx

x senx

+ = minus +

+ = minus +

+ =00

9

07 cDe 1 a 2016 existem 4 valores de n para os quais log n eacute um nuacutemero inteiro

n n

n n

n n

n

= rArr = == rArr = == rArr = == rArr

1 1 0

10 10 1

100 100 2

1000

log log

log log

log log

llog logn= =1000 3

Assima a a a1 10 100 1000 2= = = =

Para os outros 2012 valores de n log n natildeo eacute um nuacutemero inteiro Destes

1007 satildeo iacutempares e 1005 satildeo pares

Para n iacutempar ( )minus = minus1 1n

Para n par ( )minus =1 1n

Portantoa a a a

a a a a1 2 3 2016

1 2 3 2

2 2 2 2 1007 1 1005 1+ + + + = + + + + sdot minus + sdot

+ + + +

( )

0016

1 2 3 2016

8 1007 1005

6

= minus +

+ + + + =a a a a

1

Resoluccedilotildees

Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10AExtensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A

10AMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro

08 dComo a meia-vida do Iodo-131 eacute de 8 dias a massa em gramas em fun-ccedilatildeo do tempo t em dias eacute dada por

m t

t

( )= sdot1

12

8

Para que a massa se reduza a 10 6minus g temos

1012

1012

68

1 2

48

6 8

6 8

minus

minus

=

=

minus = sdot minus

minus =

t

t

t

t

log log

(log log )

sdotsdot minus

=minusminus

=

( )

0 0 3

480 3

160t dias

09 aSeja x o valor do consumoAssim

x

x

sdot =

=

133100

150 29

113

Portanto o valor cobrado pelo consumo eacute R$ 11300 e o valor referente aos tributos eacute R R R$ $ $ 150 29 113 00 37 29minus =

Como 113

150 290 75

o valor cobrado pelo consumo eacute aproximadamen-

te 75 do valor total10 13 (01 04 08)

01) CORRETASeja i a taxa de juros mensal cobrada pela loja

2020

120

154

201

201

34

10 1 10 17 1

2

2

2

+++

+=

++

+=

sdot + + = sdot +

i i

i i

i

( )

( )

( ) ( i)

110 10 10 17 34 17

17 24 3

2

2

+ + = + +

+ =

i i i

i i

Substituindo i por 01 no primeiro membro da igualdade temos

17 0 1 24 0 1 17 0 01 2 4 2 57 32sdot + sdot = sdot + = lt( ) Portanto igt 0 1 ou seja a taxa de juros eacute maior do que 10

02) INCORRETANa loja B o produto P custa o dobro do que na loja A Na loja A o produto P custa a metade do que na loja BPortanto na loja B o produto P estaacute com o preccedilo 100 acima do preccedilo praticado pela loja A e que a loja A estaacute praticando um preccedilo 50 menor do que o praticado pela loja B

04) CORRETAComo o nuacutemero de pessoas atingidas por certa doenccedila aumenta 50 a cada mecircs temosn t N

n t N

n t N

t

t

t

( ) ( )

( ) ( )

( )

= sdot +

= sdot

= sdot

1 0 5

1 5

32

08) CORRETA

n t t( )= sdot50 2 Em 8 meses temos

n

n

n

( )

( )

( )

8 50 2

8 50 256

8 12800

8= sdot= sdot=

Portanto eacute provaacutevel que toda a populaccedilatildeo estaraacute doente caso nada seja feiro para debelar o mal

11 11 (01 02 08)01) CORRETO

Sendo X o capital aplicado inicialmente temosX

X

sdot + =

= =

( )

1 0 20 3024

30241 2

2520

O capital aplicado inicialmente foi de R$ 25200002) CORRETO

Precisamos analisar a veracidade das duas proposiccedilotildees a seguirbull ldquoSe as taxas de juros anuais dos dois uacuteltimos anos forem iguais os

montantes obtidos ao final de cada periacuteodo de um ano formam uma progressatildeo geomeacutetricardquo Seja i a taxa comum de juros dos dois uacuteltimos anos AssimM

M i

M i

1

2

32

3024

3024 1

3024 1

== sdot +

= sdot +

( )

( )

Os montantes formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 1+ i bull ldquoSe os montantes obtidos ao final de cada periacuteodo de um ano formam uma progressatildeo geomeacutetrica as taxas de juros anuais dos dois uacuteltimos anos satildeo iguaisrdquoSejam i1 e i 2 as taxas de juros do segundo e terceiro anos respectiva-

mente AssimM

M i

M i i

1

2 1

3 1 2

3024

3024 1

3024 1 1

== sdot += sdot + sdot +

( )

( ) ( )

Como os montantes formam uma PG temos3024 1

30243024 1 1

3024 1

1 1

1 1 2

1

1 2 1

sdot +=

sdot + sdot +sdot +

+ = + rArr =

( ) ( ) ( )( )

i i ii

i i i ii 2Portanto as taxas de juros satildeo iguais

04) INCORRETOPrimeiro rendimento anual 2520 0 2 504sdot =

Segundo rendimento anual 3024 0 4 1209 6sdot =

Portanto a taxa de juros dobrou e o rendimento mais do que do-brou

08) CORRETO

M 323024 1 0 3 5110 56= sdot + =( )

16) INCORRETOSendo 30 e 10 as taxas de juros anuais para o segundo e ter-ceiro anosM 3 3024 1 0 3 1 0 1 4324 32= sdot + sdot + =( ) ( )

Sendo 20 a taxa comum de juros dos dois uacuteltimos anos

M 323024 1 0 2 4354 56= sdot + =( )

A diferenccedila entre os valores ocorre pelo fato de 1 3 11 1 43 sdot = en-

quanto 1 2 1 442 =

12 cValor da compra a prazox y z+ +3 5

Desconto obtido na compra agrave vista0 15 0 05 3 0 03 5 0 15 ( )sdot + sdot + sdot = sdot + +x y z x y z

Portanto a razatildeo entre o desconto obtido e a soma x y z+ + eacute de0 15

0 15 ( )

sdot + ++ +

=x y z

x y z

2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A

13 dCerveja73

2 333= (o aumento foi de aproximadamente 1333)

Aacutegua de cocoNatildeo teve alteraccedilatildeo de preccediloCoquetel de frutasO aumento foi de 100Caranguejo 86

1333= (o aumento foi de aproximadamente 333)

Sorvete (uma bola)5

4 51111

= (o aumento foi de aproximadamente 111)

Fileacute de peixe (kg)4530

1 5= (o aumento foi de 50)

Gasolina (litro)2 602 49

1 044

(o aumento foi de aproximadamente 44)

Aacutelcool (litro)1791 65

1 085


Portanto os produtos que tiveram aumento entre 10 e 110 foram coquetel de frutas caranguejo e sorvete e fileacute de peixe

14 eSeja x o custo de produccedilatildeo do bem em reaisAssimMateacuteria-prima 02xMatildeo de obra 08xSe o preccedilo da mateacuteria-prima subir 5 e o da matildeo de obra subir 10 temos que o novo custo de produccedilatildeo do bem seraacute1 05 0 2 11 0 8 1 09 sdot + sdot =x x xComo o custo de produccedilatildeo aumentou 9 (foi multiplicado por 109) o valor de 1 doacutelar tambeacutem deve aumentar 9Portanto1 09 3 20 3 49 $ $ sdotR R

15 b

2000000 1100

1 0 20 2000000

1100

1 2 1

10

sdot minus

sdot + =

minus

sdot =

p

p

( )

( 00 1 2100

1

120 1 2 100

201 2

16 666

minus sdot=

minus =

= =

p

p

p

)

O valor de p eacute aproximadamente igual a 1667

3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A

Atividades Seacuterie Ouro 10

01 a

Existem C C95

94 9 8 7 6

4 3 2 1126= =

sdot sdot sdotsdot sdot sdot

= modos possiacuteveis de os 5 nuacuteme-

ros serem sorteados entre os 9 disponiacuteveis Para o jogador que ano-

tou 2 nuacutemeros existem C 73 7 6 5

3 2 135=

sdot sdotsdot sdot

= modos de acertar 2 nuacute-

meros entre os 5 sorteados Logo a probabilidade de acertar os

2 nuacutemeros anotados eacute igual a C

C73

95

35

126

5

18= = middot No caso do jogador

que anotou 3 nuacutemeros existem C 62 6 5

2 115=

sdotsdot= modos de acertar

os 3 nuacutemeros anotados entre os 5 sorteados Para este jogador a

probabilidade de acerto eacute igual a C

C62

95

15

126

5

42= = middot

A divisatildeo do precircmio seraacute inversamente proporcional agraves probabili-dades pois cada jogador apostou a mesma quantia Assim sendo a e b as quantias que cabem aos jogadores que anotaram 2 e 3 nuacutemeros respectivamente tem-se

5

18

5

421100

sdot = sdot

+ =

a b

a b

b a

a b

= sdot

+ =

7

31100

Substituindo a primeira relaccedilatildeo na segunda equaccedilatildeo tem-se

a a+ sdot =7

31100

3 7 3300sdot + sdot =a a

10 3300sdot =a

a= 330

Portanto o jogador que anotou 2 nuacutemeros receberaacute R$ 3300002 c

Se um dado cuacutebico eacute lanccedilado 3 vezes existem 63 = 216 resultados possiacuteveisSejam os eventos X b eacute sucessor de a Y c eacute sucessor de B X cap Y b eacute sucessor de a e c eacute sucessor de b Assim vamos analisar as quantida-des de resultados para cada eventobull Evento X a natildeo pode ser o nuacutemero 6 e b eacute o uacutenico sucessor de a

5 1 6 = 30

a b c

bull Evento Y b natildeo pode ser o nuacutemero 6 e c eacute o uacutenico sucessor de b

6 5 1 = 30

a b c

bull Evento X cap Y a natildeo pode ser 5 ou 6 b eacute o uacutenico sucessor de a e c eacute o uacutenico sucessor de b

4 1 1 = 4

a b c

Portanto a probabilidade eacute dada porp(X cup Y) = p(X) + p(Y) ndash p(X cap Y)

p X Ycup( ) = + minus30

216

30

216

4

216

p X Ycup( ) = =56

216

7

27

03 aVamos considerar os eventos N U e D segundo os quais a pessoa daacute ne-nhuma volta uma uacutenica volta e duas voltas respectivamente enfrentan-do uma uacutenica fila A probabilidade de a pessoa conseguir dar exatamen-te 4 voltas na montanha-russa enfrentando a fila 3 vezes eacute dada por

p DDN ouUUD( ) = sdot sdot sdot + sdot sdot sdot1

3

1

3

1

33

1

3

1

3

1

33

p DDN ouUUD( ) = + =1

9

1

9

2

9

04 e

Existem C 42 4 3

2 16=

sdotsdot= modos de se escolher duas bolas entre as qua-

tro A temperatura seraacute negativa apenas no caso da escolha das esfe-ras metaacutelicas M e Q Logo a probabilidade de que a temperatura de equiliacutebrio seja negativa eacute igual a 16 Dessa forma a probabilidade de que a temperatura natildeo seja negativa eacute igual a 1 ndash 16 = 56

05 Considerando que haacute 71 cidadatildeos que 7 pertencem agrave famiacutelia Gene-roza e que a ordem em que satildeo selecionados natildeo eacute relevante tem-sebull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos eacute

dado por

C 712 71 70

2 12485=

sdotsdot

=

bull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos da famiacutelia Generoza eacute dado por

C 72 7 6

2 121=

sdotsdot=

Portanto a probabilidade de os 2 cidadatildeos eleitos pertencerem agrave fa-miacutelia Generoza eacute igual a

pC

C= = =7

2

712

21

2485

3

355

06 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA

Cada byte eacute composto de 8 bits e cada bit possui duas infor-maccedilotildees distintas Logo em um byte podem-se armazenar 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 256 informaccedilotildees distintas

02) FALSAA cada segundo satildeo carregados 1024 bits ou

1024

8128= bytes

Em 10 minutos satildeo carregados 10 middot 60 middot 128 = 75 middot 210 bytes = 75 kilobytesComo 1 megabyte = 210 kilobytes tem-se que 75 kilobytes eacute me-nor que 80 megabytes

04) VERDADEIRAO texto ldquoUniversidade Estadual de Maringaacuterdquo eacute constituiacutedo por 32 caracteres incluindo os espaccedilos Como cada caractere ocupa um byte de espaccedilo de memoacuteria o texto ocupa um armazena-mento de 32 bytes Cada byte corresponde a 8 bits de modo que 32 bytes podem ser armazenados em32 middot 8 = 25 middot 23 = 28 bits

08) FALSA1 terabyte = 210 gigabytes = 210 middot 210 megabytes = 220 megabytes16) VERDADEIRAPara cada byte haacute 28 sequecircncias possiacuteveis Logo a probabilidade de que uma determinada letra seja representada por um byte eacute

igual a 1

2 8 Para representar as 3 letras que formam a palavra UEM

1


Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B

10BMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro

nesta ordem a probabilidade eacute igual a

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

28 8 8 8 8 8 24

24

sdot sdot = = = + +

07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA

Sejam x a quantidade de jogadores de defesa e 2x a quantidade de jogado-res de ataque Assim a meacutedia de gols marcados pelos jogadores de defesa e pelos jogadores de ataque eacute respecti-vamente igual a

Defesa 9 7 4 20+ +

=x x

Ataque 7 8 15

2

30

2

15+ += =

x x x

Observando-se que 20 15

x xgt conclui-

-se que a meacutedia dos jogadores de defesa eacute maior do que a meacutedia dos de ataque

02) FALSAA fraccedilatildeo da quantidade de gols do time que corresponde aos gols marcados pelos jogadores de ataque eacute igual a

7 8 15

9 7 4 7 8 15

30

50

3

5

+ ++ + + + +

= =

Portanto os jogadores de ataque natildeo marcaram trecircs quartos do total de gols do time

04) VERDADEIRA A probabilidade de um gol ter sido marcado em uma cobranccedila de falta direta eacute igual a

7 8

9 7 4 7 8 15

15

500 30 30

++ + + + +

= = =

08) FALSAA probabilidade de que o gol escolhi-do ao acaso tenha sido marcado em situaccedilatildeo normal de jogo dado que foi marcado por um jogador de defesa eacute igual a

p normal defesa( ) = = =4

200 20 20

16) VERDADEIRAA probabilidade de que o gol escolhido ao acaso tenha sido marcado por um joga-dor de ataque dado que foi marcado em uma cobranccedila de falta ensaiada eacute menor do que 50

p ataque falta ensaiada( ) = lt = =7

16

8

16

1

20 50

08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA

Para a disputa da partida final existem 4 modos de se escolher o melhor joga-dor de um dos grupos e para cada um destes 4 modos de se escolher o melhor jogador do outro grupo Dessa forma pelo princiacutepio multiplicativo existem 4 middot 4 = 16 modos de se escolher os dois jogadores da partida final

02) VERDADEIRA Seratildeo exatamente 2 middot C2

4 = 12 partidas entre membros de um mesmo grupo mais a partida final Portanto haveraacute um total de 12 + 1 = 13 partidas no torneio

04) VERDADEIRA Joatildeo vai se sagrar campeatildeo invicto se ganhar 4 partidas consecutivas Logo a probabilidade de Joatildeo se sagrar campeatildeo invicto do torneio eacute igual a

p= sdot sdot sdot =1

2

1

2

1

2

1

2

1

16

08) VERDADEIRA O nuacutemero de modos de se formar um grupo eacute igual ao nuacutemero de modos de se escolher

4 jogadores dentre os 8 possiacuteveis ou seja C 84 8 7 6 5

4 3 2 170=


=

16) FALSASe Joatildeo e seu irmatildeo natildeo puderem fazer parte do mesmo grupo entatildeo estaratildeo em grupos distintos Vamos supor que se queira calcular a quantidade de maneiras de se formar o grupo A Existem 2 opccedilotildees quanto agrave escolha de qual dos irmatildeos estaraacute no grupo A (Joatildeo ou seu ir-

matildeo) e para cada uma dessas opccedilotildees existem C 63 6 5 4

3 2 120=

sdot sdotsdot sdot

= modos de se escolher os

demais jogadores que compotildeem o grupo Assim existem exatamente 2 middot 20 = 40 maneiras diferentes de se formar um grupo A

09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA

Os elementos da diagonal principal representam as seguintes probabilidades condicionaisp ganhar ganhou ( ) = 0 5

p empatar empatou ( ) = 0 6

p perder perdeu ( ) = 0 4

02) FALSAInicialmente vamos calcular a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo analisando os possiacuteveis resultados do primeiro jogo Se o time ganhou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 G1) = p(G2 e G3 G1) + p(E2 e G3 G1) + p(P2 e G3 G1)p(G3 G1) = 05 middot 05 + 03 middot 02 + 02 middot 03p(G3 G1) = 037Se o time empatou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 E1) = p(G2 e G3 E1) + p(E2 e G3 E1) + p(P2 e G3 E1)p(G3 E1) = 02 middot 05 + 06 middot 02 + 02 middot 03 p(G3 E1) = 028Se o time perdeu o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033Logo a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo depende do resultado do primeiro jogo

04) FALSAA probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo tendo perdido o primeiro eacute superior a 30p(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033 = 33 gt 30

08) VERDADEIRAA probabilidade de o time perder o segundo jogo eacute igual ap(P2) = p(G1 e P2) + p(E1 e P2) + p(P1 e P2)p(P2) = p(G1) middot p(P2 G1) + p(E1) middot p(P2 E1) + p(P1) middot p(P2 P1)p(P2) = 05 middot 02 + 04 middot 02 + 01 middot 04p(P2) = 022 = 22

16) VERDADEIRA

P P P2

0 5 0 3 0 2

0 2 0 6 0 2

0 3 0 3 0 4

0 5 0 3 0 2

0 2 0= sdot =

sdot

6 0 2

0 3 0 3 0 4

P 2

0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0

=sdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot sdot +

3 0 2 0 2 0 4

0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2

sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot00 3 0 2 0 2 0 6 0 2 0 2 0 4

0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3

sdot + sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot +00 3 0 6 0 4 0 3 0 3 0 2 0 3 0 2 0 4 0 4 sdot + sdot sdot + sdot + sdot

2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B

P

p G G p E G p P G

p G E p E E p P E

p G P

23 1 3 1 3 1

3 1 3 1 3 1

3 1

=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(

)) ( ) ( )

p E P p P P3 1 3 1

10 V ndash F ndash V ndash VDo enunciado tem-se p(N) = 23 p(Nc) = 13 p(AN) = 13 p(AcN) = 23 p(ANc) = 16 e p(AcNc) = 561) VERDADEIRA

A probabilidade de que a noite de 1ordm de novembro seja nublada e de que um coelho caia numa armadilha nessa mesma noite eacute igual ap N e A p N p A N( ) = ( ) sdot ( )

p N e A( ) = sdot =2

3

1

3

2

9

2) FALSAA probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha esteja a noite nublada ou natildeo eacute igual a

p A p N e A p N e Ac( ) = ( )+ ( )p A( ) = sdot + sdot =

2

3

1

3

1

3

1

6

5

18

3) VERDADEIRAEm uma noite de novembro em que um coelho caiu em uma ar-madilha a probabilidade de que esta noite seja nublada eacute igual a

p N Ap N e A

p A( ) = ( )

( )

p N A ( ) = = sdot = =

2

95

18

2

9

18

5

4

580

4) VERDADEIRASabe-se que

p R p A e R p A e Rc( ) = ( )+ ( )p R p A p R A p A p R Ac c( ) = ( ) sdot ( )+ ( ) sdot ( )

p R( ) = sdot + sdot =5

18

1

5

13

18

1

10

23

180

Assim a probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha ou de que uma raposa mate um coelho em uma noite de novem-bro eacute igual ap A ouR p A p R p A e R( ) = ( )+ ( )minus ( )

p A ouR( ) = + minus =5

18

23

180

1

18

7

20

11 a) O espaccedilo amostral eacute formado por 63 = 216 elementos pois Soacutecra-tes lanccedilaraacute 3 dados Se Xantipa obteve 5 e 5 entatildeo para que Soacutecrates conquiste um ter-ritoacuterio eacute necessaacuterio que dois de seus dados apresentem o nuacutemero 6 Se dois dados apresentarem o nuacutemero 6 e o uacuteltimo natildeo apresen-tar existem 3 modos ((6 6 ) (6 6) ( 6 6)) de se escolher o dado que natildeo apresenta o nuacutemero 6 e para cada uma destes modos existem 5 modos (1 2 3 4 ou 5) de se escolher o nuacutemero da face que natildeo apresenta o nuacutemero 6 Ou seja existem 3 middot 5 = 15 modos de esse caso acontecer Aleacutem disso existe ainda um uacutenico modo de Soacutecrates obter o nuacutemero 6 nos trecircs dados (6 6 6) No total satildeo portanto 15 + 1 = 16 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio Desta forma a probabilidade eacute igual a

p= =16

216

2

27

b) Se Xantipa obteve 5 e 4 Soacutecrates conquistaraacute o territoacuterio se um de seus dados apresentar o nuacutemero 6 outro dado apresentar um

nuacutemero 5 ou 6 e o terceiro dado apresentar qualquer nuacutemero Vamos analisar alguns casosbull (6 6 6) rarr 1 uacutenico modobull (6 6 ) rarr 3 middot 5 = 15 modos nos quais ldquordquo representa um nuacutemero

diferente de 6bull (6 5 5) rarr 3 modosbull (6 5 ) rarr 3 middot 4 = 24 modos em que ldquordquo representa um nuacutemero

diferente de 5 e 6No total satildeo 1 + 15 + 3 + 24 = 43 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio em disputa Logo a probabilidade eacute igual a

p=43

216

12 Para o lanccedilamento de dois dados existem 62 = 36 resultados possiacute-veis A soma eacute menor que 4 em exatamente 3 resultados (1 1) (12) e (2 1) Assim a probabilidade de a bola ser retirada da caixa branca eacute

igual a 3

36 Por outro lado a probabilidade de a bola ser retirada da

caixa preta eacute igual a 13

36

33

36minus = Portanto nas condiccedilotildees apresenta-

das a probabilidade de se retirar uma bola verde eacute igual ap Bola Verde p CaixaBrancae Bola Verde p Caixa eta e Bola Ver( ) ( ) ( Pr= + dde)

p Bola Verde( ) = sdot + sdot3

36

5

8

33

36

3

5

p Bola Verde( ) = 289

480

13 a) Observe a figura de um hexaacutegono regular (6 lados) inscrito em um ciacuterculo

O hexaacutegono possui 6 veacutertices Logo existem C 64 6 5 4 3

4 3 2 115=


=

modos possiacuteveis de se escolher 4 veacutertices dentre os 6 e determinar um quadrilaacutetero inscrito no ciacuterculo Desses 15 modos em apenas 3 o quadrilaacutetero determinado eacute um retacircngulo

Pode-se observar que a quantidade de retacircngulos eacute determinada pelo nuacutemero de escolhas de 2 diagonais que passam pelo centro do hexaacutegono Como existem 3 diagonais que passam pelo centro (me-tade da quantidade de lados) a quantidade de retacircngulos eacute igual a

C 32 3 2

2 13=

sdotsdot= Logo a probabilidade de o quadrilaacutetero ser um re-

tacircngulo eacute igual a

pC

C= = =3

2

64

3

15

1

5

b) Considerando a soluccedilatildeo do item (a) se o poliacutegono possui 1000 la-dos existem C1000

4 quadrilaacuteteros determinados pelos veacutertices do poliacutegono de 1000 lados Dentre as possiacuteveis escolhas que podem ser realizadas exatamente C 500

2 retacircngulos satildeo determinados pois existem 500 diagonais que passam pelo centro do poliacutegono

3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B


Dessa forma a probabilidade eacute igual a

pC

C= 500

2

10004

p=

sdotsdot


500 499

2 11000 999 998 997

4 3 2 1

p=sdotsdot

sdotsdot sdot sdot

sdot sdot sdot500 499

2 1

4 3 2 1

1000 999 998 997

p=1

332001

c) Inicialmente existem C10013 triacircngulos que podem ser determina-

dos por 3 veacutertices quaisquer de um poliacutegono regular constituiacutedo por 1001 lados Sejam k a quantidade de arcos cocircngruos e consecutivos de P ob-servados no ciacuterculo que circunscreve P e a a medida de um acircngu-lo inscrito a esse ciacuterculo e que tambeacutem eacute medida do acircngulo obtuso do triacircngulo determinado pelos veacutertices de P Entatildeo

α = sdot sdot gt1

2

360

100190

k

Consequentementek gt 500 5

Observando que k isin IN tem-se k ge 501O resultado indica que o triacircngulo determinado por 3 veacutertices de P possuiraacute um acircngulo obtuso se considerarmos a medida de no miacutenimo 501 arcos cocircngruos e consecutivos determinados por P no ciacuterculo que o circunscreve Logo existem 1001 modos de se escolher um veacutertice A do triacircngulo e uma vez escolhido esse veacuter-

tice dos 1000 veacutertices restantes existem C C1000 5002

5002

minus = modos possiacuteveis de se escolher os 2 outros veacutertices (B e C) do triacircngulo de modo que o triacircngulo ABC seja obtuso no veacutertice APortanto a probabilidade de o triacircngulo ter um acircngulo obtuso eacute igual a

pC

C=

sdot1001 5002

10013

p=sdot

sdotsdot

sdot sdotsdot sdot

1001500 499

2 11001 1000 999

3 2 1

p= sdotsdotsdot

sdotsdot sdot

sdot sdot1001

500 499

2 1

3 2 1

1001 1000 999

p=499

66614 Soluccedilatildeo

a) Supondo que a banca inicie com nenhuma ficha o desenvolvimen-to do jogo ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas eacute o seguinte

Aacutelvaro Breno Catarina Banca

Iniacutecio 15 14 13 0

1a jogada Aacutelvaro descarta

12 15 14 1

2a jogada Breno descarta

13 12 15 2

3a jogada Catarina descarta

14 13 12 3

Observa-se que apoacutes 3 rodadas a Banca ficou com uma das fichas de cada jogador de modo que a quantidade de fichas de cada jogador

eacute exatamente uma unidade menor do que no iniacutecio Assim a cada 3 rodadas cada jogador tem a quantidade de fichas diminuiacuteda de uma unidade Dessa forma apoacutes 36 rodadas cada jogador teria 12 fichas a menos do que no iniacutecio e as quantidades de fichas seriam as seguintes



3 2 1 36

Na 37a jogada Aacutelvaro descartaraacute 3 fichas e teraacute descartado todas as fichas que possuiacutea Logo Aacutelvaro seraacute o vencedor na 37a jogadab) No iniacutecio as quantidades satildeo as seguintes em que x eacute natural e

1 lt x lt 8


Iniacutecio x 4 4 0

Se x = 1 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento das quantidades de fichas de cada jogador ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria


Iniacutecio 1 4 4 0


2 1 5 1


3 2 2 2


0 3 3 3

Logo necessariamente Aacutelvaro seria o vencedor pois descartaria suas fichas antes dos demais jogadores ao final da 3a jogadaSe x = 2 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria


Iniacutecio 2 4 4 0


3 1 5 1


4 2 2 2


1 3 3 3

Apoacutes 3 jogadas ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas dependendo de quem seria sorteado Nesta situaccedilatildeo a probabilidade de Breno ser o vencedor eacute igual a 12 a probabilidade de Catarina eacute igual a 12 enquanto que a probabilidade de Aacutelvaro eacute igual a 0Se x = 3 deve haver um sorteio para determinar se Breno ou Catarina descartaraacute primeiro 3 de suas fichas Assim um possiacutevel desenvolvi-mento seria


Iniacutecio 3 4 4 0


4 1 5 1


5 2 2 2


2 3 3 3

Na 4a jogada ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Logo nesta hipoacutetese de Aacutelvaro iniciar com 3 fichas a probabilidade


de Aacutelvaro ser vencedor eacute igual a 0 de Breno eacute igual a 12 e Catarina eacute igual a 12 Se x = 4 entatildeo todos os jogadores iniciaratildeo com o mesmo nuacutemero de fichas e portanto deveraacute haver um sorteio para estabelecer o jogador que primeiro descartaraacute as fichas Vamos analisar como se desenvolveria o jogo se Aacutelvaro iniciasse e em seguida Breno descartasse 3 das proacuteprias fichas


Iniacutecio 4 4 4 0


1 5 5 1


2 2 6 2


3 3 3 3

Observa-se que apoacutes 3 jogadas quem for sorteado para descartar as fichas seraacute o vencedor pois descartaraacute suas uacuteltimas 3 fichas Como as probabilidades de descarte satildeo iguais para cada um a probabilidade de cada jogador ser vencedor seria igual a 13 Se x = 5 ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas um possiacutevel desenvolvimento seria o seguinte


Iniacutecio 5 4 4 0


2 5 5 1


3 2 6 2


4 3 3 3

Se a cada 3 jogadas cada jogador ficaria com uma ficha a menos do que possuiacutea apoacutes 6 jogadas teriacuteamos


Apoacutes 6 jogadas 3 2 2 6

Na 7a jogada Aacutelvaro descartaria suas 3 uacuteltimas fichas e seria o vencedorSe x = 6 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos


Iniacutecio 6 4 4 0


Na 8a jogada Breno ou Catarina descartaria suas 3 fichas e seria vence-dor Entatildeo se x = 6 a probabilidade de Aacutelvaro vencer eacute igual a 0(zero)

enquanto Breno e Catarina tecircm chances iguais de vencer sendo igual a 1

2 a probabilidade de Breno eacute igual a 1

2 a probabilidade de Catarina

Se x = 7 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos


Iniacutecio 7 4 4 0


Na 8a jogada ou Breno ou Catarina dependendo de quem for sorteado descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Neste caso Breno teria probabilidade igual a 12 Catarina tambeacutem teria igual a 12 e seria impossiacutevel Aacutelvaro ser vencedor



Iniacutecio 8 4 4 0


Na 8a jogada deve haver um sorteio para estabelecer qual jogador descartaraacute suas 3 uacuteltimas fichas Como as probabilidades satildeo iguais a probabilidade de cada jogador ser vencedor eacute igual a 13Em suma a resposta eacute a seguinte

Probabilidade de vitoacuteria

x Aacutelvaro Breno Catarina

1 1 0 0

2 0 12 12

3 0 12 12

4 13 13 13

5 1 0 0

6 0 12 12

7 0 12 12

8 13 13 13

15 a

Existem C 205 20 19 18 17 16

5 4 3 2 115504=

sdot sdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot

= modos possiacuteveis de os 5

representantes serem escolhidos Existem 4 middot 4 middot 4 middot 4 middot 4 = 45 = 1024 modos de escolher 5 representantes sendo um de cada municiacutepio Logo a probabilidade eacute igual a

p= =1024

15504

64

969

16 dI A probabilidade de duas caras em dois lanccedilamentos de uma moeda

comum eacute igual a

p I( ) = sdot = = =1

2

1

2

1

40 25 25

II A probabilidade de trecircs caras e uma coroa em quatro lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a

p II P( ) = sdot sdot sdot sdot = sdot = = =1

2

1

2

1

2

1

2

1

16

4

3

1

40 25 254

3

III A probabilidade de cinco caras e trecircs coroas em oito lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a

p III P( ) = sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot = sdotsdot

= =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

256

8

3 5

7

320 218

3 5

8875 21 875=

Logo os resultados I e II satildeo igualmente provaacuteveis (e o resultado III eacute o menos provaacutevel)

17 17 (01 16)01) VERDADEIRA

Se nos 6 primeiros lanccedilamentos natildeo se definiu o vencedor entatildeo certa-mente ocorreram 3 caras e 3 coroas Com o resultado do 7ordm lanccedilamen-to teremos 4 caras ou 4 coroas e portanto seraacute definido o vencedorSatildeo necessaacuterios no maacuteximo sete lanccedilamentos para se determinar o vencedor

02) FALSAA probabilidade de ocorrerem 4 caras nos 4 primeiros lanccedilamen-

tos eacute igual a 1

2

1

16

4 = A probabilidade de ocorrerem 4 coroas

nos 4 primeiros lanccedilamentos eacute igual a 1

2

1

16

4 = Logo a proba-



bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-

mentos eacute igual a 1

16

1

16

2

16

1

8+ = =

A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados

iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11

8

7

8

04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias

R R R Rrarr sdot sdot sdot =1

2

1

2

1

2

1

2

1

16

K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32

R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32

R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32

R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a

p Tiago( ) = + sdot = =1

164

1

32

6

32

3

16

Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a

p Pedro( ) = minus =13

16

13

16

08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair

ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1

2 mesma probabili-

dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA

A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja

63 36

1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P

2 64 16 = = =

O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-

lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1

2

5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1

16 16 16 2= minus = gt =

18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA

Existem C122 12 11

2 166=

sdotsdot

= modos de se escolher 2 pacientes dis-

tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-

bilidade eacute igual a 23

66

02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta

forma a probabilidade eacute igual a 32

66

16

33=

04) FALSA

O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9

2 145=

sdotsdot=

08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a

60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21

66

7

22=

19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por

p= sdot = =1

2

1

2

1

425

b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos

bull FF rarr 1

2

1

2

1

4sdot =

bull FRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull RFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por

p F

p F

( )

( )

= + + + + +

=

1

4

1

8

1

8

1

16

1

16

1

1611

16

O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos

bull RRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =


Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por

p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16

A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11

16 de R$ 20000

ou seja 11

16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber

5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R

20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte

1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3

Na urna B a quantidade de bolas seria

10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3

Dessa forma conclui-se que p = q

21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a

p C coroap C e coroa

p coroa( ) = ( )

( )


p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )

( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =

xx x y2 8 4 0minus minus =

Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2

2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=

sdot = minus rArr minus = rArr = == minus

sdot minus = minus rArr minus + = rArr =

Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-

gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)

C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3

+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =

+ minus =

minus + minus( ) rr r r

C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =

+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus

+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =

+ minus minus = rArr = rArr =( )

Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3

a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que

tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy

0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s

As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0

03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2

04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x

xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=

= minus sdot + = minus

2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )

Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus

Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42

Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0

O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos

r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )

( ) ( )

x y

x y

minus + minus minus =

minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =

+ minus =+ = rArr = minus

+ minus = rArr + minus minus = rArr

rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus

O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2

06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =

A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3

A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3

Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-

recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b

O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B

C

r

=minus + +

= minus

=minus minus + minus

=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13

Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

x x y y

x

minus minus + minus =

+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d

A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4

A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3

1


Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C

10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro

Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo

x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y

x

1

4

Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3

Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7

= πsdot minus πsdot= πminus π= π

09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =

minus+ minus = rArr =

Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-

secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO

Se alt 0 entatildeo xaa

22

2 10=

minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-

ccedilatildeo eacute ( )0 1minus

02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus

Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2

22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt

Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus

22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =

Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus

22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt

Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus

04) CORRETO

Se a=12

o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-

recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO

a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =

= minus rArr = minus minus =

12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )

Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0

16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y

Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos

( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA

O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1

Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y

x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=

+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =

04) INCORRETA

d=sdot minus sdot minus

+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )

08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros

Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m

16) INCORRETA7 4 10 7

4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =

Portanto os pontos satildeo colineares11 c

2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus

= minus rArr =+ =+ = rArr = minus

Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )

12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =

= minus + minus rArr = minus

1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3

Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares

2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C

C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =

+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =

+ minus =

minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r

O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1

Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s

d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2

Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13

a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2

+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =

+ minus =

+ minus = rArr = rArr =

A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2

x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4

+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =

+ minus =

+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1

y

x

1

0

2

2

b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir

y

xP

s

r

1

0

2

2

O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares

k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =

Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0

14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =

minus = minus rArr =

minus = rArr =

+ minus =

+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20

14

12

O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12

0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =

+ minus =minus = rArr =


+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =

+ = rArr minus = rArr = =

Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12

12

y

x

Q

P 12

12

As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees

x =12

e y =12

Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-

tas satildeo perpendiculares entre si

3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C


15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β

Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x

x x

minus = minus= + rArr =1 3

2 3 1 2

A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute

( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2

O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-

ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1

2 3 1 1

minus = += minus rArr =y y

y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5

Seja 2x a medida da corda AB Assim

10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC

Ax

xABC = sdot = = sdot =2 52

5 5 5 3 25 3

Volume do tetraedro ABCV

V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q

Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim

BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +

= minus rArr = rArr =

32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22

03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos

h

a a a= sdot = sdot =2 63

123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3

04) VERDADEIRODo item anterior A

abase =

2 32

08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-

tro triacircngulos equilaacuteteros Aa

atotal = sdot =43

22 3

22

16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota

04 cA

B

P

D

a C

Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos

V V V V V

A H A d A

ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP

base base ba

= + + +

sdot sdot = sdot sdot + sdot13

13

131 sse base based A d A d

d d d d H

sdot + sdot sdot + sdot sdot

+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13

05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos

tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =

Volume do prisma ABCDEF

V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3

06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim

43

49 3 9 3

22sdot = rArr = rArr =a

a a

Observe uma das faces do tetraedro

Q P

3

Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32

(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente

QR RS SP= = = 32

Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432

6sdot =


1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D

10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro

07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)

a2

a2a2

xx

h

No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos

x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +

rArr = minus = rArr =

22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24

O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular

Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3

08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-

lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular

II CORRETA

y

x

x

xh

Aacuterea total do octaedro regular

Ax

x= sdot =83

42 3

22

Volume do octaedro regular

yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f

= = =minus + = minus + =

10 20 12

10 20 12 2

IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo

09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos

ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3

Portanto h d= sdot23

(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)

b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33

10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9

6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A

Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13

92

913

2 6272

4192

11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas

Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)

0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11

( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus

= minusminusminus

nn n

O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1

240 25 20 2 1 40000 2 40001

nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt

Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando

gt rArr gt rArr gt sdot

=

gt sdot rArr

gtgt rArr gtminus40 2 4010n

Como 25 = 32 e 26 = 64 temos

2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge

Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =

2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn

ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus

Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos

2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge

2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D

12 e

x5

3

5

5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm

Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm

VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π

13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L

2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot

sdot= rArr sdot = sdot

ππ

π

14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone

22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44

πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot

= π minus π = π

15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma

r

a a

a

A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma

ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3

16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH

O

5

AH

V

No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )

( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =

= minus = minus rArr =

= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm

Assim a altura da piracircmide eacute 94

cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto

23

piracircmide1 6 3 3 9 81 3

V cm3 4 4 8

sdot sdot= sdot sdot =

17

m m

r

m

O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto

com raio da base m2

e geratriz de medida m

O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m

rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β

A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA

A

total

total

= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot

= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2

π α β α π β α π α β π β

π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus

= sdot + = sdot sdot + = sdot +

αβ α αβ β β

π α αβ π α α β πα α

2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B

O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto

2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18

= πsdot sdot + sdotπsdot sdot

= π + π= π

20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim

Sh

hS= sdot rArr =NN2

2

A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto

2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3

= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot

= sdotπsdot sdot +

π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N

N NN


01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1

Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0

As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo

x x2 1 0+ + =

Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =

02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x

minus minus minus + + +

minus minus minus minus minus

minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=

minus minus = rArr = = minus

= rArr + = rArr =minus

0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2

Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53

1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )

03 d+ + + =

+ + + =+ + + =

= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =

sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus

sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus

+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6

x x x x x x x x x x x x m

1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36

Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )

04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k

Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122

05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim

minus+ + = minus

minus + + + == rArr =

1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==

b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos

1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0

x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus

Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo

1 3 1 1 3minus +

06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim

+ + =

sdot + sdot + sdot = minus

sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )

( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q

x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )

07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3

4 7

le le +le le

n

n

08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz

1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =

sdot minus sdot sdot =sdot =

1


Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E

10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro

Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =

x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1

minus + == + = minus

Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais

09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

= sdot minus sdot minus sdot minus

= minus sdot minus +

= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2

3 2 minusminus + minus

= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )

Dividimos p(x) por xminus3

3 1 ndash6 11 ndash6

1 ndash3 2 0

O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x

p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus

minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =

minus = minusminus =

minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3

Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos

1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus

Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)

entatildeo b =minus +1 5

2

Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt

b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus

Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0

2 8 4 2 4 0

8

3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus

( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq

x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo

geomeacutetricaAssimxq

x xq

x x

sdot sdot = minus

= minus rArr = minus

8

8 23

Como x = minus2 eacute uma raiz temos

ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4

+ + == minus = minus

Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e

1 1a b

a bab

+ =+

Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim

+ + + =+ + minus + + =+ =

sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus

minus sdot = minus= minus

1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12

Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ

lt4

entatildeo

θπ

lt4

04) CORRETO+ + = minus

+ + minus + = minus= minus minus

1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4

Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira

2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E

08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos

+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus

sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus

minus = minus rArr = minus

1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5

Portanto a c= 16) INCORRETO

Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real

15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3

Portanto apenas a afirmativa II eacute correta

3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E


01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito

02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito

03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito

04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS

05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito

08 dComo a meia-vida do Iodo-131 eacute de 8 dias a massa em gramas em fun-ccedilatildeo do tempo t em dias eacute dada por

m t

t

( )= sdot1

12

8

Para que a massa se reduza a 10 6minus g temos

1012

1012

68

1 2

48

6 8

6 8

minus

minus

=

=

minus = sdot minus

minus =

t

t

t

t

log log

(log log )

sdotsdot minus

=minusminus

=

( )

0 0 3

480 3

160t dias

09 aSeja x o valor do consumoAssim

x

x

sdot =

=

133100

150 29

113

Portanto o valor cobrado pelo consumo eacute R$ 11300 e o valor referente aos tributos eacute R R R$ $ $ 150 29 113 00 37 29minus =

Como 113

150 290 75

o valor cobrado pelo consumo eacute aproximadamen-

te 75 do valor total10 13 (01 04 08)

01) CORRETASeja i a taxa de juros mensal cobrada pela loja

2020

120

154

201

201

34

10 1 10 17 1

2

2

2

+++

+=

++

+=

sdot + + = sdot +

i i

i i

i

( )

( )

( ) ( i)

110 10 10 17 34 17

17 24 3

2

2

+ + = + +

+ =

i i i

i i

Substituindo i por 01 no primeiro membro da igualdade temos

17 0 1 24 0 1 17 0 01 2 4 2 57 32sdot + sdot = sdot + = lt( ) Portanto igt 0 1 ou seja a taxa de juros eacute maior do que 10

02) INCORRETANa loja B o produto P custa o dobro do que na loja A Na loja A o produto P custa a metade do que na loja BPortanto na loja B o produto P estaacute com o preccedilo 100 acima do preccedilo praticado pela loja A e que a loja A estaacute praticando um preccedilo 50 menor do que o praticado pela loja B

04) CORRETAComo o nuacutemero de pessoas atingidas por certa doenccedila aumenta 50 a cada mecircs temosn t N

n t N

n t N

t

t

t

( ) ( )

( ) ( )

( )

= sdot +

= sdot

= sdot

1 0 5

1 5

32

08) CORRETA

n t t( )= sdot50 2 Em 8 meses temos

n

n

n

( )

( )

( )

8 50 2

8 50 256

8 12800

8= sdot= sdot=

Portanto eacute provaacutevel que toda a populaccedilatildeo estaraacute doente caso nada seja feiro para debelar o mal

11 11 (01 02 08)01) CORRETO

Sendo X o capital aplicado inicialmente temosX

X

sdot + =

= =

( )

1 0 20 3024

30241 2

2520

O capital aplicado inicialmente foi de R$ 25200002) CORRETO

Precisamos analisar a veracidade das duas proposiccedilotildees a seguirbull ldquoSe as taxas de juros anuais dos dois uacuteltimos anos forem iguais os

montantes obtidos ao final de cada periacuteodo de um ano formam uma progressatildeo geomeacutetricardquo Seja i a taxa comum de juros dos dois uacuteltimos anos AssimM

M i

M i

1

2

32

3024

3024 1

3024 1

== sdot +

= sdot +

( )

( )

Os montantes formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 1+ i bull ldquoSe os montantes obtidos ao final de cada periacuteodo de um ano formam uma progressatildeo geomeacutetrica as taxas de juros anuais dos dois uacuteltimos anos satildeo iguaisrdquoSejam i1 e i 2 as taxas de juros do segundo e terceiro anos respectiva-

mente AssimM

M i

M i i

1

2 1

3 1 2

3024

3024 1

3024 1 1

== sdot += sdot + sdot +

( )

( ) ( )

Como os montantes formam uma PG temos3024 1

30243024 1 1

3024 1

1 1

1 1 2

1

1 2 1

sdot +=

sdot + sdot +sdot +

+ = + rArr =

( ) ( ) ( )( )

i i ii

i i i ii 2Portanto as taxas de juros satildeo iguais

04) INCORRETOPrimeiro rendimento anual 2520 0 2 504sdot =

Segundo rendimento anual 3024 0 4 1209 6sdot =

Portanto a taxa de juros dobrou e o rendimento mais do que do-brou

08) CORRETO

M 323024 1 0 3 5110 56= sdot + =( )

16) INCORRETOSendo 30 e 10 as taxas de juros anuais para o segundo e ter-ceiro anosM 3 3024 1 0 3 1 0 1 4324 32= sdot + sdot + =( ) ( )

Sendo 20 a taxa comum de juros dos dois uacuteltimos anos

M 323024 1 0 2 4354 56= sdot + =( )

A diferenccedila entre os valores ocorre pelo fato de 1 3 11 1 43 sdot = en-

quanto 1 2 1 442 =

12 cValor da compra a prazox y z+ +3 5

Desconto obtido na compra agrave vista0 15 0 05 3 0 03 5 0 15 ( )sdot + sdot + sdot = sdot + +x y z x y z

Portanto a razatildeo entre o desconto obtido e a soma x y z+ + eacute de0 15

0 15 ( )

sdot + ++ +

=x y z

x y z

2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A

13 dCerveja73




Sorvete (uma bola)5

4 51111





1 044



1 085




15 b

2000000 1100

1 0 20 2000000

1100

1 2 1

10

sdot minus

sdot + =

minus

sdot =

p

p

( )

( 00 1 2100

1

120 1 2 100

201 2

16 666

minus sdot=

minus =

= =

p

p

p

)




01 a

Existem C C95

94 9 8 7 6

4 3 2 1126= =





3 2 135=

sdot sdotsdot sdot




C73

95

35

126

5



2 115=




C62

95

15

126

5

42= = middot


5

18

5

421100

sdot = sdot

+ =

a b

a b

b a

a b

= sdot

+ =

7

31100


a a+ sdot =7

31100


10 3300sdot =a

a= 330



5 1 6 = 30

a b c


6 5 1 = 30

a b c


4 1 1 = 4

a b c



216

30

216

4

216

p X Ycup( ) = =56

216

7

27



3

1

3

1

33

1

3

1

3

1

33


9

1

9

2

9

04 e

Existem C 42 4 3

2 16=




dado por

C 712 71 70

2 12485=

sdotsdot

=


C 72 7 6

2 121=

sdotsdot=


pC

C= = =7

2

712

21

2485

3

355

06 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA



1024

8128= bytes




igual a 1


1





1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

28 8 8 8 8 8 24

24

sdot sdot = = = + +

07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA


Defesa 9 7 4 20+ +

=x x

Ataque 7 8 15

2

30

2

15+ += =

x x x


x xgt conclui-



7 8 15

9 7 4 7 8 15

30

50

3

5

+ ++ + + + +

= =



7 8

9 7 4 7 8 15

15

500 30 30

++ + + + +

= = =



200 20 20



16

8

16

1

20 50

08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA






2

1

2

1

2

1

2

1

16



4 3 2 170=


=



3 2 120=

sdot sdotsdot sdot



09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA







16) VERDADEIRA

P P P2

0 5 0 3 0 2

0 2 0 6 0 2

0 3 0 3 0 4

0 5 0 3 0 2

0 2 0= sdot =

sdot

6 0 2

0 3 0 3 0 4

P 2

0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0


3 0 2 0 2 0 4

0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2


0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3



P

p G G p E G p P G

p G E p E E p P E

p G P

23 1 3 1 3 1

3 1 3 1 3 1

3 1

=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(

)) ( ) ( )

p E P p P P3 1 3 1




3

1

3

2

9



2

3

1

3

1

3

1

6

5

18


p N Ap N e A

p A( ) = ( )

( )

p N A ( ) = = sdot = =

2

95

18

2

9

18

5

4

580




18

1

5

13

18

1

10

23

180



18

23

180

1

18

7

20


p= =16

216

2

27





p=43

216


igual a 3



36

33




36

5

8

33

36

3

5


480



4 3 2 115=


=



C 32 3 2

2 13=



pC

C= = =3

2

64

3

15

1

5







pC

C= 500

2

10004

p=

sdotsdot


500 499

2 11000 999 998 997

4 3 2 1

p=sdotsdot

sdotsdot sdot sdot


2 1

4 3 2 1

1000 999 998 997

p=1

332001



α = sdot sdot gt1

2

360

100190

k




5002


pC

C=

sdot1001 5002

10013

p=sdot

sdotsdot

sdot sdotsdot sdot

1001500 499

2 11001 1000 999

3 2 1

p= sdotsdotsdot

sdotsdot sdot

sdot sdot1001

500 499

2 1

3 2 1

1001 1000 999

p=499






12 15 14 1


13 12 15 2


14 13 12 3





3 2 1 36


1 lt x lt 8


Iniacutecio x 4 4 0



Iniacutecio 1 4 4 0


2 1 5 1


3 2 2 2


0 3 3 3



Iniacutecio 2 4 4 0


3 1 5 1


4 2 2 2


1 3 3 3



Iniacutecio 3 4 4 0


4 1 5 1


5 2 2 2


2 3 3 3





Iniacutecio 4 4 4 0


1 5 5 1


2 2 6 2


3 3 3 3



Iniacutecio 5 4 4 0


2 5 5 1


3 2 6 2


4 3 3 3






Iniacutecio 6 4 4 0








Iniacutecio 7 4 4 0





Iniacutecio 8 4 4 0





1 1 0 0

2 0 12 12

3 0 12 12

4 13 13 13

5 1 0 0

6 0 12 12

7 0 12 12

8 13 13 13

15 a

Existem C 205 20 19 18 17 16

5 4 3 2 115504=




p= =1024

15504

64

969



p I( ) = sdot = = =1

2

1

2

1

40 25 25



2

1

2

1

2

1

2

1

16

4

3

1

40 25 254

3



= =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

256

8

3 5

7

320 218

3 5

8875 21 875=


17 17 (01 16)01) VERDADEIRA




2

1

16



2

1

16

4 = Logo a proba-





16

1

16

2

16

1

8+ = =



8

7

8



2

1

2

1

2

1

2

1

16


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



164

1

32

6

32

3

16



16

13

16



2 mesma probabili-



63 36


2 64 16 = = =



2


16 16 16 2= minus = gt =

18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA

Existem C122 12 11

2 166=

sdotsdot




66



66

16

33=

04) FALSA


2 145=

sdotsdot=



66

7

22=


p= sdot = =1

2

1

2

1

425


bull FF rarr 1

2

1

2

1

4sdot =

bull FRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull RFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =


p F

p F

( )

( )

= + + + + +

=

1

4

1

8

1

8

1

16

1

16

1

1611

16


bull RRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =



p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16


16 de R$ 20000

ou seja 11


5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R


1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3


10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3




p coroa( ) = ( )

( )



( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5












13 dCerveja73




Sorvete (uma bola)5

4 51111





1 044



1 085




15 b

2000000 1100

1 0 20 2000000

1100

1 2 1

10

sdot minus

sdot + =

minus

sdot =

p

p

( )

( 00 1 2100

1

120 1 2 100

201 2

16 666

minus sdot=

minus =

= =

p

p

p

)




01 a

Existem C C95

94 9 8 7 6

4 3 2 1126= =





3 2 135=

sdot sdotsdot sdot




C73

95

35

126

5



2 115=




C62

95

15

126

5

42= = middot


5

18

5

421100

sdot = sdot

+ =

a b

a b

b a

a b

= sdot

+ =

7

31100


a a+ sdot =7

31100


10 3300sdot =a

a= 330



5 1 6 = 30

a b c


6 5 1 = 30

a b c


4 1 1 = 4

a b c



216

30

216

4

216

p X Ycup( ) = =56

216

7

27



3

1

3

1

33

1

3

1

3

1

33


9

1

9

2

9

04 e

Existem C 42 4 3

2 16=




dado por

C 712 71 70

2 12485=

sdotsdot

=


C 72 7 6

2 121=

sdotsdot=


pC

C= = =7

2

712

21

2485

3

355

06 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA



1024

8128= bytes




igual a 1


1





1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

28 8 8 8 8 8 24

24

sdot sdot = = = + +

07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA


Defesa 9 7 4 20+ +

=x x

Ataque 7 8 15

2

30

2

15+ += =

x x x


x xgt conclui-



7 8 15

9 7 4 7 8 15

30

50

3

5

+ ++ + + + +

= =



7 8

9 7 4 7 8 15

15

500 30 30

++ + + + +

= = =



200 20 20



16

8

16

1

20 50

08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA






2

1

2

1

2

1

2

1

16



4 3 2 170=


=



3 2 120=

sdot sdotsdot sdot



09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA







16) VERDADEIRA

P P P2

0 5 0 3 0 2

0 2 0 6 0 2

0 3 0 3 0 4

0 5 0 3 0 2

0 2 0= sdot =

sdot

6 0 2

0 3 0 3 0 4

P 2

0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0


3 0 2 0 2 0 4

0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2


0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3



P

p G G p E G p P G

p G E p E E p P E

p G P

23 1 3 1 3 1

3 1 3 1 3 1

3 1

=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(

)) ( ) ( )

p E P p P P3 1 3 1




3

1

3

2

9



2

3

1

3

1

3

1

6

5

18


p N Ap N e A

p A( ) = ( )

( )

p N A ( ) = = sdot = =

2

95

18

2

9

18

5

4

580




18

1

5

13

18

1

10

23

180



18

23

180

1

18

7

20


p= =16

216

2

27





p=43

216


igual a 3



36

33




36

5

8

33

36

3

5


480



4 3 2 115=


=



C 32 3 2

2 13=



pC

C= = =3

2

64

3

15

1

5







pC

C= 500

2

10004

p=

sdotsdot


500 499

2 11000 999 998 997

4 3 2 1

p=sdotsdot

sdotsdot sdot sdot


2 1

4 3 2 1

1000 999 998 997

p=1

332001



α = sdot sdot gt1

2

360

100190

k




5002


pC

C=

sdot1001 5002

10013

p=sdot

sdotsdot

sdot sdotsdot sdot

1001500 499

2 11001 1000 999

3 2 1

p= sdotsdotsdot

sdotsdot sdot

sdot sdot1001

500 499

2 1

3 2 1

1001 1000 999

p=499






12 15 14 1


13 12 15 2


14 13 12 3





3 2 1 36


1 lt x lt 8


Iniacutecio x 4 4 0



Iniacutecio 1 4 4 0


2 1 5 1


3 2 2 2


0 3 3 3



Iniacutecio 2 4 4 0


3 1 5 1


4 2 2 2


1 3 3 3



Iniacutecio 3 4 4 0


4 1 5 1


5 2 2 2


2 3 3 3





Iniacutecio 4 4 4 0


1 5 5 1


2 2 6 2


3 3 3 3



Iniacutecio 5 4 4 0


2 5 5 1


3 2 6 2


4 3 3 3






Iniacutecio 6 4 4 0








Iniacutecio 7 4 4 0





Iniacutecio 8 4 4 0





1 1 0 0

2 0 12 12

3 0 12 12

4 13 13 13

5 1 0 0

6 0 12 12

7 0 12 12

8 13 13 13

15 a

Existem C 205 20 19 18 17 16

5 4 3 2 115504=




p= =1024

15504

64

969



p I( ) = sdot = = =1

2

1

2

1

40 25 25



2

1

2

1

2

1

2

1

16

4

3

1

40 25 254

3



= =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

256

8

3 5

7

320 218

3 5

8875 21 875=


17 17 (01 16)01) VERDADEIRA




2

1

16



2

1

16

4 = Logo a proba-





16

1

16

2

16

1

8+ = =



8

7

8



2

1

2

1

2

1

2

1

16


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



164

1

32

6

32

3

16



16

13

16



2 mesma probabili-



63 36


2 64 16 = = =



2


16 16 16 2= minus = gt =

18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA

Existem C122 12 11

2 166=

sdotsdot




66



66

16

33=

04) FALSA


2 145=

sdotsdot=



66

7

22=


p= sdot = =1

2

1

2

1

425


bull FF rarr 1

2

1

2

1

4sdot =

bull FRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull RFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =


p F

p F

( )

( )

= + + + + +

=

1

4

1

8

1

8

1

16

1

16

1

1611

16


bull RRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =



p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16


16 de R$ 20000

ou seja 11


5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R


1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3


10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3




p coroa( ) = ( )

( )



( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5












01 a

Existem C C95

94 9 8 7 6

4 3 2 1126= =





3 2 135=

sdot sdotsdot sdot




C73

95

35

126

5



2 115=




C62

95

15

126

5

42= = middot


5

18

5

421100

sdot = sdot

+ =

a b

a b

b a

a b

= sdot

+ =

7

31100


a a+ sdot =7

31100


10 3300sdot =a

a= 330



5 1 6 = 30

a b c


6 5 1 = 30

a b c


4 1 1 = 4

a b c



216

30

216

4

216

p X Ycup( ) = =56

216

7

27



3

1

3

1

33

1

3

1

3

1

33


9

1

9

2

9

04 e

Existem C 42 4 3

2 16=




dado por

C 712 71 70

2 12485=

sdotsdot

=


C 72 7 6

2 121=

sdotsdot=


pC

C= = =7

2

712

21

2485

3

355

06 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA



1024

8128= bytes




igual a 1


1





1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

28 8 8 8 8 8 24

24

sdot sdot = = = + +

07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA


Defesa 9 7 4 20+ +

=x x

Ataque 7 8 15

2

30

2

15+ += =

x x x


x xgt conclui-



7 8 15

9 7 4 7 8 15

30

50

3

5

+ ++ + + + +

= =



7 8

9 7 4 7 8 15

15

500 30 30

++ + + + +

= = =



200 20 20



16

8

16

1

20 50

08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA






2

1

2

1

2

1

2

1

16



4 3 2 170=


=



3 2 120=

sdot sdotsdot sdot



09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA







16) VERDADEIRA

P P P2

0 5 0 3 0 2

0 2 0 6 0 2

0 3 0 3 0 4

0 5 0 3 0 2

0 2 0= sdot =

sdot

6 0 2

0 3 0 3 0 4

P 2

0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0


3 0 2 0 2 0 4

0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2


0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3



P

p G G p E G p P G

p G E p E E p P E

p G P

23 1 3 1 3 1

3 1 3 1 3 1

3 1

=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(

)) ( ) ( )

p E P p P P3 1 3 1




3

1

3

2

9



2

3

1

3

1

3

1

6

5

18


p N Ap N e A

p A( ) = ( )

( )

p N A ( ) = = sdot = =

2

95

18

2

9

18

5

4

580




18

1

5

13

18

1

10

23

180



18

23

180

1

18

7

20


p= =16

216

2

27





p=43

216


igual a 3



36

33




36

5

8

33

36

3

5


480



4 3 2 115=


=



C 32 3 2

2 13=



pC

C= = =3

2

64

3

15

1

5







pC

C= 500

2

10004

p=

sdotsdot


500 499

2 11000 999 998 997

4 3 2 1

p=sdotsdot

sdotsdot sdot sdot


2 1

4 3 2 1

1000 999 998 997

p=1

332001



α = sdot sdot gt1

2

360

100190

k




5002


pC

C=

sdot1001 5002

10013

p=sdot

sdotsdot

sdot sdotsdot sdot

1001500 499

2 11001 1000 999

3 2 1

p= sdotsdotsdot

sdotsdot sdot

sdot sdot1001

500 499

2 1

3 2 1

1001 1000 999

p=499






12 15 14 1


13 12 15 2


14 13 12 3





3 2 1 36


1 lt x lt 8


Iniacutecio x 4 4 0



Iniacutecio 1 4 4 0


2 1 5 1


3 2 2 2


0 3 3 3



Iniacutecio 2 4 4 0


3 1 5 1


4 2 2 2


1 3 3 3



Iniacutecio 3 4 4 0


4 1 5 1


5 2 2 2


2 3 3 3





Iniacutecio 4 4 4 0


1 5 5 1


2 2 6 2


3 3 3 3



Iniacutecio 5 4 4 0


2 5 5 1


3 2 6 2


4 3 3 3






Iniacutecio 6 4 4 0








Iniacutecio 7 4 4 0





Iniacutecio 8 4 4 0





1 1 0 0

2 0 12 12

3 0 12 12

4 13 13 13

5 1 0 0

6 0 12 12

7 0 12 12

8 13 13 13

15 a

Existem C 205 20 19 18 17 16

5 4 3 2 115504=




p= =1024

15504

64

969



p I( ) = sdot = = =1

2

1

2

1

40 25 25



2

1

2

1

2

1

2

1

16

4

3

1

40 25 254

3



= =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

256

8

3 5

7

320 218

3 5

8875 21 875=


17 17 (01 16)01) VERDADEIRA




2

1

16



2

1

16

4 = Logo a proba-





16

1

16

2

16

1

8+ = =



8

7

8



2

1

2

1

2

1

2

1

16


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



164

1

32

6

32

3

16



16

13

16



2 mesma probabili-



63 36


2 64 16 = = =



2


16 16 16 2= minus = gt =

18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA

Existem C122 12 11

2 166=

sdotsdot




66



66

16

33=

04) FALSA


2 145=

sdotsdot=



66

7

22=


p= sdot = =1

2

1

2

1

425


bull FF rarr 1

2

1

2

1

4sdot =

bull FRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull RFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =


p F

p F

( )

( )

= + + + + +

=

1

4

1

8

1

8

1

16

1

16

1

1611

16


bull RRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =



p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16


16 de R$ 20000

ou seja 11


5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R


1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3


10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3




p coroa( ) = ( )

( )



( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5













1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

28 8 8 8 8 8 24

24

sdot sdot = = = + +

07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA


Defesa 9 7 4 20+ +

=x x

Ataque 7 8 15

2

30

2

15+ += =

x x x


x xgt conclui-



7 8 15

9 7 4 7 8 15

30

50

3

5

+ ++ + + + +

= =



7 8

9 7 4 7 8 15

15

500 30 30

++ + + + +

= = =



200 20 20



16

8

16

1

20 50

08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA






2

1

2

1

2

1

2

1

16



4 3 2 170=


=



3 2 120=

sdot sdotsdot sdot



09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA







16) VERDADEIRA

P P P2

0 5 0 3 0 2

0 2 0 6 0 2

0 3 0 3 0 4

0 5 0 3 0 2

0 2 0= sdot =

sdot

6 0 2

0 3 0 3 0 4

P 2

0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0


3 0 2 0 2 0 4

0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2


0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3



P

p G G p E G p P G

p G E p E E p P E

p G P

23 1 3 1 3 1

3 1 3 1 3 1

3 1

=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(

)) ( ) ( )

p E P p P P3 1 3 1




3

1

3

2

9



2

3

1

3

1

3

1

6

5

18


p N Ap N e A

p A( ) = ( )

( )

p N A ( ) = = sdot = =

2

95

18

2

9

18

5

4

580




18

1

5

13

18

1

10

23

180



18

23

180

1

18

7

20


p= =16

216

2

27





p=43

216


igual a 3



36

33




36

5

8

33

36

3

5


480



4 3 2 115=


=



C 32 3 2

2 13=



pC

C= = =3

2

64

3

15

1

5







pC

C= 500

2

10004

p=

sdotsdot


500 499

2 11000 999 998 997

4 3 2 1

p=sdotsdot

sdotsdot sdot sdot


2 1

4 3 2 1

1000 999 998 997

p=1

332001



α = sdot sdot gt1

2

360

100190

k




5002


pC

C=

sdot1001 5002

10013

p=sdot

sdotsdot

sdot sdotsdot sdot

1001500 499

2 11001 1000 999

3 2 1

p= sdotsdotsdot

sdotsdot sdot

sdot sdot1001

500 499

2 1

3 2 1

1001 1000 999

p=499






12 15 14 1


13 12 15 2


14 13 12 3





3 2 1 36


1 lt x lt 8


Iniacutecio x 4 4 0



Iniacutecio 1 4 4 0


2 1 5 1


3 2 2 2


0 3 3 3



Iniacutecio 2 4 4 0


3 1 5 1


4 2 2 2


1 3 3 3



Iniacutecio 3 4 4 0


4 1 5 1


5 2 2 2


2 3 3 3





Iniacutecio 4 4 4 0


1 5 5 1


2 2 6 2


3 3 3 3



Iniacutecio 5 4 4 0


2 5 5 1


3 2 6 2


4 3 3 3






Iniacutecio 6 4 4 0








Iniacutecio 7 4 4 0





Iniacutecio 8 4 4 0





1 1 0 0

2 0 12 12

3 0 12 12

4 13 13 13

5 1 0 0

6 0 12 12

7 0 12 12

8 13 13 13

15 a

Existem C 205 20 19 18 17 16

5 4 3 2 115504=




p= =1024

15504

64

969



p I( ) = sdot = = =1

2

1

2

1

40 25 25



2

1

2

1

2

1

2

1

16

4

3

1

40 25 254

3



= =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

256

8

3 5

7

320 218

3 5

8875 21 875=


17 17 (01 16)01) VERDADEIRA




2

1

16



2

1

16

4 = Logo a proba-





16

1

16

2

16

1

8+ = =



8

7

8



2

1

2

1

2

1

2

1

16


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



164

1

32

6

32

3

16



16

13

16



2 mesma probabili-



63 36


2 64 16 = = =



2


16 16 16 2= minus = gt =

18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA

Existem C122 12 11

2 166=

sdotsdot




66



66

16

33=

04) FALSA


2 145=

sdotsdot=



66

7

22=


p= sdot = =1

2

1

2

1

425


bull FF rarr 1

2

1

2

1

4sdot =

bull FRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull RFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =


p F

p F

( )

( )

= + + + + +

=

1

4

1

8

1

8

1

16

1

16

1

1611

16


bull RRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =



p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16


16 de R$ 20000

ou seja 11


5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R


1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3


10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3




p coroa( ) = ( )

( )



( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5












P

p G G p E G p P G

p G E p E E p P E

p G P

23 1 3 1 3 1

3 1 3 1 3 1

3 1

=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(

)) ( ) ( )

p E P p P P3 1 3 1




3

1

3

2

9



2

3

1

3

1

3

1

6

5

18


p N Ap N e A

p A( ) = ( )

( )

p N A ( ) = = sdot = =

2

95

18

2

9

18

5

4

580




18

1

5

13

18

1

10

23

180



18

23

180

1

18

7

20


p= =16

216

2

27





p=43

216


igual a 3



36

33




36

5

8

33

36

3

5


480



4 3 2 115=


=



C 32 3 2

2 13=



pC

C= = =3

2

64

3

15

1

5







pC

C= 500

2

10004

p=

sdotsdot


500 499

2 11000 999 998 997

4 3 2 1

p=sdotsdot

sdotsdot sdot sdot


2 1

4 3 2 1

1000 999 998 997

p=1

332001



α = sdot sdot gt1

2

360

100190

k




5002


pC

C=

sdot1001 5002

10013

p=sdot

sdotsdot

sdot sdotsdot sdot

1001500 499

2 11001 1000 999

3 2 1

p= sdotsdotsdot

sdotsdot sdot

sdot sdot1001

500 499

2 1

3 2 1

1001 1000 999

p=499






12 15 14 1


13 12 15 2


14 13 12 3





3 2 1 36


1 lt x lt 8


Iniacutecio x 4 4 0



Iniacutecio 1 4 4 0


2 1 5 1


3 2 2 2


0 3 3 3



Iniacutecio 2 4 4 0


3 1 5 1


4 2 2 2


1 3 3 3



Iniacutecio 3 4 4 0


4 1 5 1


5 2 2 2


2 3 3 3





Iniacutecio 4 4 4 0


1 5 5 1


2 2 6 2


3 3 3 3



Iniacutecio 5 4 4 0


2 5 5 1


3 2 6 2


4 3 3 3






Iniacutecio 6 4 4 0








Iniacutecio 7 4 4 0





Iniacutecio 8 4 4 0





1 1 0 0

2 0 12 12

3 0 12 12

4 13 13 13

5 1 0 0

6 0 12 12

7 0 12 12

8 13 13 13

15 a

Existem C 205 20 19 18 17 16

5 4 3 2 115504=




p= =1024

15504

64

969



p I( ) = sdot = = =1

2

1

2

1

40 25 25



2

1

2

1

2

1

2

1

16

4

3

1

40 25 254

3



= =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

256

8

3 5

7

320 218

3 5

8875 21 875=


17 17 (01 16)01) VERDADEIRA




2

1

16



2

1

16

4 = Logo a proba-





16

1

16

2

16

1

8+ = =



8

7

8



2

1

2

1

2

1

2

1

16


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



164

1

32

6

32

3

16



16

13

16



2 mesma probabili-



63 36


2 64 16 = = =



2


16 16 16 2= minus = gt =

18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA

Existem C122 12 11

2 166=

sdotsdot




66



66

16

33=

04) FALSA


2 145=

sdotsdot=



66

7

22=


p= sdot = =1

2

1

2

1

425


bull FF rarr 1

2

1

2

1

4sdot =

bull FRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull RFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =


p F

p F

( )

( )

= + + + + +

=

1

4

1

8

1

8

1

16

1

16

1

1611

16


bull RRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =



p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16


16 de R$ 20000

ou seja 11


5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R


1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3


10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3




p coroa( ) = ( )

( )



( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5













pC

C= 500

2

10004

p=

sdotsdot


500 499

2 11000 999 998 997

4 3 2 1

p=sdotsdot

sdotsdot sdot sdot


2 1

4 3 2 1

1000 999 998 997

p=1

332001



α = sdot sdot gt1

2

360

100190

k




5002


pC

C=

sdot1001 5002

10013

p=sdot

sdotsdot

sdot sdotsdot sdot

1001500 499

2 11001 1000 999

3 2 1

p= sdotsdotsdot

sdotsdot sdot

sdot sdot1001

500 499

2 1

3 2 1

1001 1000 999

p=499






12 15 14 1


13 12 15 2


14 13 12 3





3 2 1 36


1 lt x lt 8


Iniacutecio x 4 4 0



Iniacutecio 1 4 4 0


2 1 5 1


3 2 2 2


0 3 3 3



Iniacutecio 2 4 4 0


3 1 5 1


4 2 2 2


1 3 3 3



Iniacutecio 3 4 4 0


4 1 5 1


5 2 2 2


2 3 3 3





Iniacutecio 4 4 4 0


1 5 5 1


2 2 6 2


3 3 3 3



Iniacutecio 5 4 4 0


2 5 5 1


3 2 6 2


4 3 3 3






Iniacutecio 6 4 4 0








Iniacutecio 7 4 4 0





Iniacutecio 8 4 4 0





1 1 0 0

2 0 12 12

3 0 12 12

4 13 13 13

5 1 0 0

6 0 12 12

7 0 12 12

8 13 13 13

15 a

Existem C 205 20 19 18 17 16

5 4 3 2 115504=




p= =1024

15504

64

969



p I( ) = sdot = = =1

2

1

2

1

40 25 25



2

1

2

1

2

1

2

1

16

4

3

1

40 25 254

3



= =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

256

8

3 5

7

320 218

3 5

8875 21 875=


17 17 (01 16)01) VERDADEIRA




2

1

16



2

1

16

4 = Logo a proba-





16

1

16

2

16

1

8+ = =



8

7

8



2

1

2

1

2

1

2

1

16


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



164

1

32

6

32

3

16



16

13

16



2 mesma probabili-



63 36


2 64 16 = = =



2


16 16 16 2= minus = gt =

18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA

Existem C122 12 11

2 166=

sdotsdot




66



66

16

33=

04) FALSA


2 145=

sdotsdot=



66

7

22=


p= sdot = =1

2

1

2

1

425


bull FF rarr 1

2

1

2

1

4sdot =

bull FRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull RFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =


p F

p F

( )

( )

= + + + + +

=

1

4

1

8

1

8

1

16

1

16

1

1611

16


bull RRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =



p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16


16 de R$ 20000

ou seja 11


5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R


1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3


10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3




p coroa( ) = ( )

( )



( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5














Iniacutecio 4 4 4 0


1 5 5 1


2 2 6 2


3 3 3 3



Iniacutecio 5 4 4 0


2 5 5 1


3 2 6 2


4 3 3 3






Iniacutecio 6 4 4 0








Iniacutecio 7 4 4 0





Iniacutecio 8 4 4 0





1 1 0 0

2 0 12 12

3 0 12 12

4 13 13 13

5 1 0 0

6 0 12 12

7 0 12 12

8 13 13 13

15 a

Existem C 205 20 19 18 17 16

5 4 3 2 115504=




p= =1024

15504

64

969



p I( ) = sdot = = =1

2

1

2

1

40 25 25



2

1

2

1

2

1

2

1

16

4

3

1

40 25 254

3



= =1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

256

8

3 5

7

320 218

3 5

8875 21 875=


17 17 (01 16)01) VERDADEIRA




2

1

16



2

1

16

4 = Logo a proba-





16

1

16

2

16

1

8+ = =



8

7

8



2

1

2

1

2

1

2

1

16


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



164

1

32

6

32

3

16



16

13

16



2 mesma probabili-



63 36


2 64 16 = = =



2


16 16 16 2= minus = gt =

18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA

Existem C122 12 11

2 166=

sdotsdot




66



66

16

33=

04) FALSA


2 145=

sdotsdot=



66

7

22=


p= sdot = =1

2

1

2

1

425


bull FF rarr 1

2

1

2

1

4sdot =

bull FRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull RFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =


p F

p F

( )

( )

= + + + + +

=

1

4

1

8

1

8

1

16

1

16

1

1611

16


bull RRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =



p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16


16 de R$ 20000

ou seja 11


5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R


1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3


10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3




p coroa( ) = ( )

( )



( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5














16

1

16

2

16

1

8+ = =



8

7

8



2

1

2

1

2

1

2

1

16


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

32


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



164

1

32

6

32

3

16



16

13

16



2 mesma probabili-



63 36


2 64 16 = = =



2


16 16 16 2= minus = gt =

18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA

Existem C122 12 11

2 166=

sdotsdot




66



66

16

33=

04) FALSA


2 145=

sdotsdot=



66

7

22=


p= sdot = =1

2

1

2

1

425


bull FF rarr 1

2

1

2

1

4sdot =

bull FRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull RFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFF rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =


p F

p F

( )

( )

= + + + + +

=

1

4

1

8

1

8

1

16

1

16

1

1611

16


bull RRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

8sdot sdot =

bull FRRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RFRR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =

bull RRFR rarr 1

2

1

2

1

2

1

2

1

16sdot sdot sdot =



p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16


16 de R$ 20000

ou seja 11


5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R


1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3


10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3




p coroa( ) = ( )

( )



( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5













p R

p R

( )

( )

= + + +

=

1

8

1

16

1

16

1

165

16


16 de R$ 20000

ou seja 11


5

16 de

R$ 20000 ou seja 5

16200 00 62 50sdot = $ R


1010

10

3

20

3

55

3

10

3

bolasazuis

brancas

minus =

minus =

Logo tem-se

p= =

10

310

1

3


10

10

3

55

3

20

3

bolasazuis

brancas+ =

Assim tem-se

q= =

10

310

1

3




p coroa( ) = ( )

( )



( )+ ( )+ ( )

p C coroa( ) =sdot

sdot + sdot + sdot

25

40

2

25

40

0

2

10

40

1

2

25

40

2

2

p C coroa( ) = =50

60

5

6



01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5












01 c

x y x

yx

x

x x y

y x x

x x y2 2

2

2 2

2

2 28 0

42

8 0

4 8

8 0+ minus =

= minus

rArrminus + =

= minus

rArr

minus + =



2 2

2 2

y 4y 0

y 0 ou y 4

y 0

4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8

y 4

4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4

+ == = minus=





C x y x y

a a

b b

a b r

12 2

2 21

2

2 2

6 6 9 0

2 6 3

2 6 3

9

3 3


+ minus =


C x y x y

a a

b b

a

12

12

1

22 2

2

9 9 3

2 2 1 0

2 2 1

2 2 1

= rArr = rArr =


+

bb r

r r r

22

2

2 22

22

22

1

1 1 1 1 1

minus =





0

(ndash3 3)

(1 ndash1)

x

r

s




xba

y

V

V

= minus +

=minus

=minus minussdot

=


2

2

6 8

26

2 13

3 6 3 8 1

( )






( ) ( )

x y

x y


minus + + =

3 1 2

3 1 2

2 2 2

2 2

05 b

2 2

2 2 2 2

2 2

x y 0

x y 4x 0

x y 0 y x

x y 4x 0 x ( x) 4x 0

2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2

x 0 y 0 A(0 0)

x 2 y 2 B(2 2)

+ =





06 d

yy se y

y se y=

geminus lt

0

0

Assimx y y

y x y y

y x y y

2 2

2 2

2 2

6 0

0 6 0

0 6 0

+ minus =

ge rArr + minus =

lt rArr + + =






C

r

=minus + +

= minus


=+

= =

5 12

2 62

2 4

5 1 2 62

36 162

522

2 132

2 2

( )

( ) ( )== 13


( ) ( )

x y

x y

x x y y

x


+ + minus =

+ + + minus + =

2 4 13

2 4 13

4 4 8 16 13

2 2 2

2 2

2 2

22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d



1






x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5














x

1

4


Aacuterea(S) 16 9

Aacuterea(S) 7


09 05 (01 04)2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2 22

x y 1

y ax 1

x y 1

x (ax 1) 1

x a x 2ax 1 1

x (a x 1 2a) 0

x 0 x 0

ou

2a 1a x 1 2a 0 x

a

+ =

= minus+ =

+ minus =

+ minus + =

sdot + minus =

= rArr =





22

2 10=





22a 1 1

x 0 a2a

minus= lt rArr lt


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= = rArr =


22

2a 1 1x 0 a

2aminus= gt rArr gt


04) CORRETO

Se a=12



a x x ou x

x y

x y

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = minus =


12 1 1

11 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

22

2

2( )


16) INCORRETO

a x x ou x

x y

x

= rArr =sdot minus

= rArr = = minus

= rArr = sdot

minus =

= minus

22 2 1

234

32

32

32

23

21

12

3

22

2

222

32

112

2

rArr = sdot minus

minus =y


( )0 1minus 3

212

e minus

32

12

10 11 (01 02 08)01) CORRETA



x x y y

x y x y

minus + minus =

minus + + minus + =

+ minus minus + =

6 4 1

12 36 8 16 1

12 8 51 0

2 2 2

2 2

2 2

02) CORRETAx x

y y

x y x y

x y

x y

4 10

2 60

2 24 10 6 20 4 0

4 6 4 0

2 3 2 0

=


04) INCORRETA


+ minus=

2 8 3 3 2

2 3

5132 2( )






2 2

2 2

2 2

2

2

x x 2xy y 7

x y 2

x x 2xy y 7

x 2xy y 7 x

(x y) 7 x

2 7 x x 3

x y 2

3 y 2 y 1

+ + + =

+ =+ + + =

+ + = minus

+ = minus



12 er x y

y x m

s x y

y x m

r

s

minus + + =

= + + rArr =

+ minus + =


1 2 0

1 2 1

3 2 3 0

3 2 3 3



C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5












C x x y

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

2

2 0

2 0

2 2 1

2 0 0

0

1 0

+ + =


+ minus =




d

d

O r

O s

( )

( )

=minus minus + +

+ minus= =

=minus + minus +

+= =

1 0 1 2

1 1

22

1

3 0 2 3

3 1

22

1

2 2

2 2


a)

x y y

a a

b b

a b r

r r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 0

2 0 0

2 4 2

0

0 2 0 4 2


+ minus =



x y x y

a a

b b

a b r

r r

2 2

2 2 2

2 2 2 2

4 2 4 0

2 4 2

2 2 1

0

2 1 4


+ minus =


y

x

1

0

2

2


y

xP

s

r

1

0

2

2


k k

k k k

2 0

0 1 2 00

4 2 0 4

=

+ minus = rArr =


14a)

x y x

x y x

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 112

2 0 0

0

12

0

+ =

+ minus =


minus = rArr =

+ minus =


14

12


0

e o raio eacute

12

x y y

x y y

a a

b b

a b r

2 2

2 2

2 2 2

22

0

2 0 0

2 112

0

012

+ =



+ minus =


14

12


e o raio eacute

12

y

x0 12

12

b)

x y x

x y yy x

x y x

x x x x x x ou x

2 2

2 2

2 2

2 2 22 0 012

+ =

+ =

rArr =

+ =



12

y

x

Q

P 12

12


x =12

e y =12







x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5














x x


2 3 1 2


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 2

4

2 2 2

2 2



2 3 1 1


y y


( ) ( )x y

x y

minus + minus =

+ =

0 0 1

1

2 2 2

2 2


01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5












01 a

24

V

10

CAxx 5 10B

5



Ax


5 5 5 3 25 3


V

V

ABCV

ABCV

= sdot sdot

=

13

25 3 24

200 3

02 dA

a2

a2

BCa

PDd

Q


BQa

ad

a

da a

da

da

=

= +


32

32 2

34 4

24

22

22

2

22 2

22


h


123

2 33

02) VERDADEIRO

Aa a a

Va a a

base

tetaedro

= sdot = =

= sdot sdot =

( )2 34

2 34

32

13

32

2 33 3

2 2 2

2 3


abase =

2 32



atotal = sdot =43

22 3

22


04 cA

B

P

D

a C


V V V V V

A H A d A


base base ba

= + + +


13


d d d d H


+ + + =

2 3 4

1 2 3 4

13

13


tgBCAB

BCa

BCa

30

33

33

deg =

= rArr =


V

aa

aa

=sdotsdot =

332

36

3


43

49 3 9 3


a a


Q P

3



QR RS SP= = = 32


6sdot =





a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5













a2

a2a2

xx

h


x

aa

ah

ah

a a ah

=sdot

=

= +


22

22

4

22

4 4216

216

22

22

2 2 2 aa 24


Va a

Va a a

octaedro

octaedro

= sdot sdot

sdot

= sdot sdot =

213 2

24

23 4

24

224

2

2 3



II CORRETA

y

x

x

xh


Ax

x= sdot =83

42 3

22


yx

x hx

h xx x

hx

V xx x

=

= +


= sdot sdot sdot =

22

22

24

24

22

213

22

2 22

2 22 2

233 2

3

III CORRETA

v a f

v a f


10 20 12

10 20 12 2



ha a a

d a

= sdot = =

=

2 63

123

2 33

3



b) V

Va

a aa

a aaa

cubo

tetraedro=

sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= =

3

2

3

2

3

313

2 34

2 33

13

2 34

2 33 3

( )33


6

9294

92

49

22

sdot

=

rArr = = sdot =A

A


92

913

2 6272

4192



0 5 1 2 4 212

2 2 12 1

2 12

11


= minusminusminus

nn n


240 25 20 2 1 40000 2 40001


Assim2 40001 2 40000 2 40 1000

2 1000

2 40 222

10

1010

n n n

nn

Usando


=

gt sdot rArr


Como 25 = 32 e 26 = 64 temos



2 40001 2 40000 2 2 62522

625 2 62566

6n n nn


Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos



12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5












12 e

x5

3

5



VV

cone

esfera=

sdot sdot sdot

sdot sdot= = =

13

3 9

43

5

81500

0 162 16 2

2

3

π

π


2

VV

Lh

L hV V1

2

2

2 2 12

44=

sdot sdot


ππ

π


22

liacutequido

liacutequido

3 10 1V 1 3

2 3V 45 44


= π minus π = π


r

a a

a


ra a

ar= sdot = rArr =1

33

23

66

3

Portanto

Va

r

Vr r r r

r

prisma

prisma

= sdot

=

sdot = sdot =

2

2 23

34

2

63

32

363

32

6 3


O

5

AH

V


( ) (O

OA OV OH

OH OH cm

VH OV OH VH cm

OA H

2

2

2

5254

4

254

494

= sdot

= sdot rArr =


= )) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 25 4 9 3

+

= + rArr = rArr =

HA

HA HA HA cm



23


V cm3 4 4 8


17

m m

r

m


com raio da base m2



rm m= sdot =1

33

23

6

Portanto

A coneA

mm

m

m

mm

mL

esfera

( ) =sdot sdot

sdot

=sdot

= sdotπ

π

π

π

ππ

2

43

6

2

4336

23

2

2

2

2

2 == 32



18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5












18 d

α

α

β


A

total

total


= sdot +

2 2 2 2

2

2 2

2


π α αβ

( ) ( )

( ++ + + + minus


αβ α αβ β β


2 2 2

2

2

2 2 4 2 2 2 4

)

( ) ( ) (A total 22β)

19 bA

3

3

3

1

D

C

45ordm

B


2 2soacutelido

soacutelido

soacutelido

1V 3 1 3 3

3V 9 9

V 18


= π + π= π


Sh

hS= sdot rArr =NN2

2


2 2soacutelido 1 2

2soacutelido 1 2

2 2 2

soacutelido 2

1 1V h h h h

3 31

V h (h h )3

2S 4S 4 SV

3 3 3


= sdotπsdot sdot +


N NN



Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5













Assim

1 1 0 0 ndash11 1 1 0


x x2 1 0+ + =


02 d6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3

4

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3

x x x x x x

x x x x x

x x x

x



minus minus minus

+22 2

10 7

10 5 5

4 12

2

2

2

x x

x x

x x

x

+

minus minus +

+ ++

Assim

q x x

r x x

(x)

( )

= minus minus= +

3 2 5

4 12

2

q x

x x x ou x

r x x x

( )

( )

=



0

3 2 5 053

1

0 4 12 0 3

2



03 d+ + + =

+ + + =+ + + =




+

4 2

1 2 3 4

4

4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

3x mx nx p 0

x x x x 0

1 2 3 x 0

x 6


1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m

m 25

x x x x p

1 2 3 ( 6) p

p

0x

36


04 d+ =sdot =

1 2

1 2

x x 63

x x k



minus+ + = minus


1 2 33

x x x1

x r x x r 3

3x 3 x 1P

m

m

( )1 0

1 3 1 0

2

3 2

=

minus sdot + ==



x x

x ou x

2 2 2 0

1 3 1 3

minus minus =

= + = minus


1 3 1 1 3minus +


+ + =


sdot sdot = minus

2

2 2

2

x xq xq 7

x xq x xq xq xq 28

x xq xq k

Assimx xq xq

x q q I

x xq x xq xq xq

x q q q

+ + =

sdot + + =


sdot + +

2

2

2 2

2 2

7

1 7

28

1

( ) ( )


x q qxq

2 2

21

1287

4

sdot + +sdot + +

=minus

= minus

( )( )

Portantox xq xq k

xq k

k

k

sdot sdot = minus

= minus

minus = minus=

2

3

34

64

( )

( )


4 7

le le +le le

n

n


1 2 3 4

3 4

3 4

1 2 3 4

3 4

3 4

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

x x x x 2

i ( i) x x 2

x x 2

+ + + =+ minus + + =

+ =sdot sdot sdot =


1





x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5













x x

x i ou x i

2 2 2 0

1 1



09 bp x x x x

p x x x x

p x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )



= minus +

1 1 2 3

1 5 6

5 6

2


= minus + minus

x x

p x x x x

2

3 2

5 6

6 11 6( )



1 ndash3 2 0


p x x x x

p xx

x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )


minus= minus sdot

1 2 3

3 1 2

31 (( )

( )

x

p xx

x x

minus

minus= minus +

2

33 22

10 e

log

( )b a b a

b a PA

b a b

b a

b b

b b

= rArr =


minus =

minus + =

3

1

1

2 1

2 1

2 1 0

3

3

3


1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0

b b

b ou b

2 1 0

1 52

1 52

+ minus =

=minus +

=minus minus



2


b

bb

gtminus +

=

ltminus +

=

rArr lt lt

1 2 22

0 6

1 2 32

0 650 6 0 65

11 ax x

x x x

x

x

1 2

1 2 3

3

3

1

42

1 2

2

sdot =

sdot sdot = minus

sdot = minus= minus


2 8 4 2 4 0

8


( ) ( ) ( )

( )

k

k

k

12 b

Sejam xq



x xq

x x

sdot sdot = minus


8

8 23


ndash2 1 7 14 81 5 4 0

x x

x ou x

2 5 4 0

1 4



1 1a b

a bab

+ =+


+ + + =+ + minus + + =+ =



1 2 3 4

1 2 3 4

2

x x x x 3

1 i 1 i a b 3

a b 1

x x x x 24

(1 i) (1 i) a b 24

(1 i ) ab 24

ab 12

Portanto1 1 1

121

12a ba bab

+ =+

=minus

= minus

14 13 (01 04 08)01) CORRETO


2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )

02) INCORRETO

tgθ =12


lt4

entatildeo

θπ

lt4



1 2 3

3

3

x x x a

2 i 2 i x a

x a 4







1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5
















1 2 3

1 2 3

2

x x x a

2 i 2 i 1 a a 5

x x x c

(2 i) (2 i) 1 c

4 i c c 5












atividades série ouro matemática resoluções 10a · portanto, a solução da equação pertence...

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