01 bP x x( ) ln( )
P( ) ln( )
P( ) ln
P(
= + sdot += + sdot += + sdot
40 25 1
15 40 25 15 1
15 40 25 16
15)) ln
( ) ln
= + sdot= + sdot sdot
40 25 2
15 40 4 25 2
4
P
Usando a aproximaccedilatildeo ln 2 0 70= temosP
P mmHg
( )
( )
15 40 4 25 0 70
15 110
= + sdot sdot=
PortantoP cmHg( )15 11=
02 a
ln logloglog
log
log
6 66
17910 778
0 7781791
0
10
10
10
10
= =
=
=
e e
e
e 434
03 aCondiccedilotildees de existecircncia dos logaritmostgx e xgt gt0 0cotg
2
log(tgx) log(cotgx)0
1 1
log(tgx) log(cotgx) 0
log(tgx) log(cotgx)
tgx cotgx
1tgx
tgx
tg x 1 tgx 1ou tgx 1(natildeo conveacutem)
=
minus ==
=
=
= rArr = = minus
Para 032
lt ltxπ
temos
tgx x ou x= rArr = =14
54
π π
Portanto o nuacutemero de soluccedilotildees da equaccedilatildeo eacute 204 c
y x= + +log log ( )3 32 6
Trocamos x por y e y por x Em seguida isolamos yx y
x y
y
y
y
f
x
x
x
= + += sdot +
= +
= minus
=minus
minus
log log ( )
log [ ( )]3 3
3
2 6
2 6
3 2 12
2 3 12
3 122
11 32
6( )xx
= minus
05 b
5 150
5 150
1 5 2 3 5
1 5
1
1
2
x
x
x
x
minus
minus
=
=
minus sdot = sdot sdotminus sdot =
log log
( ) log log( )
( ) log log22 3 2 5+ + sdotlog log
( ) log log log log
( ) (log lo
x
x
minus sdot
= + + sdot
minus sdot minus
1102
2 3 2102
1 10 gg ) log log (log log )
( ) ( ) (
2 2 3 2 10 2
1 1 0 30 0 30 0 48 2 1
= + + sdot minusminus sdot minus = + + sdotx minusminusminus sdot = + sdotminus ==
0 30
1 0 7 0 78 2 0 7
0 7 0 7 2 18
0 7 2 88
4 11
)
(x )
x
x
x
Portanto a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo pertence ao intervalo [ [4 5
ObservaccedilatildeoComo 5 1253 = e 5 6254 = entatildeo
5 150 3 1 4 4 51x x xminus = rArr lt minus lt rArr lt lt Assim natildeo era necessaacuterio utilizar logaritmos para saber que a soluccedilatildeo estaacute entre 4 e 5
06 elog ( cos ) log ( cos )
log [( cos ) ( cos )]3 3
32
1 1 2
1 1 2
3
minus + + = minusminus sdot + = minus
=minus
x x
x x
11
19
1
89
2
2
2
minus
= minus
=
cos
cos
cos
x
x
x
sen x x
sen x
sen x
2 2
2
2
1
189
19
= minus
= minus
=
cos
Como 0lt ltx π entatildeo senx =13
Portanto
cos cos
cos
cos
2
289
19
13
21
2 2x senx x sen x senx
x senx
x senx
+ = minus +
+ = minus +
+ =00
9
07 cDe 1 a 2016 existem 4 valores de n para os quais log n eacute um nuacutemero inteiro
n n
n n
n n
n
= rArr = == rArr = == rArr = == rArr
1 1 0
10 10 1
100 100 2
1000
log log
log log
log log
llog logn= =1000 3
Assima a a a1 10 100 1000 2= = = =
Para os outros 2012 valores de n log n natildeo eacute um nuacutemero inteiro Destes
1007 satildeo iacutempares e 1005 satildeo pares
Para n iacutempar ( )minus = minus1 1n
Para n par ( )minus =1 1n
Portantoa a a a
a a a a1 2 3 2016
1 2 3 2
2 2 2 2 1007 1 1005 1+ + + + = + + + + sdot minus + sdot
+ + + +
( )
0016
1 2 3 2016
8 1007 1005
6
= minus +
+ + + + =a a a a
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10AExtensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A
10AMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
08 dComo a meia-vida do Iodo-131 eacute de 8 dias a massa em gramas em fun-ccedilatildeo do tempo t em dias eacute dada por
m t
t
( )= sdot1
12
8
Para que a massa se reduza a 10 6minus g temos
1012
1012
68
1 2
48
6 8
6 8
minus
minus
=
=
minus = sdot minus
minus =
t
t
t
t
log log
(log log )
sdotsdot minus
=minusminus
=
( )
0 0 3
480 3
160t dias
09 aSeja x o valor do consumoAssim
x
x
sdot =
=
133100
150 29
113
Portanto o valor cobrado pelo consumo eacute R$ 11300 e o valor referente aos tributos eacute R R R$ $ $ 150 29 113 00 37 29minus =
Como 113
150 290 75
o valor cobrado pelo consumo eacute aproximadamen-
te 75 do valor total10 13 (01 04 08)
01) CORRETASeja i a taxa de juros mensal cobrada pela loja
2020
120
154
201
201
34
10 1 10 17 1
2
2
2
+++
+=
++
+=
sdot + + = sdot +
i i
i i
i
( )
( )
( ) ( i)
110 10 10 17 34 17
17 24 3
2
2
+ + = + +
+ =
i i i
i i
Substituindo i por 01 no primeiro membro da igualdade temos
17 0 1 24 0 1 17 0 01 2 4 2 57 32sdot + sdot = sdot + = lt( ) Portanto igt 0 1 ou seja a taxa de juros eacute maior do que 10
02) INCORRETANa loja B o produto P custa o dobro do que na loja A Na loja A o produto P custa a metade do que na loja BPortanto na loja B o produto P estaacute com o preccedilo 100 acima do preccedilo praticado pela loja A e que a loja A estaacute praticando um preccedilo 50 menor do que o praticado pela loja B
04) CORRETAComo o nuacutemero de pessoas atingidas por certa doenccedila aumenta 50 a cada mecircs temosn t N
n t N
n t N
t
t
t
( ) ( )
( ) ( )
( )
= sdot +
= sdot
= sdot
1 0 5
1 5
32
08) CORRETA
n t t( )= sdot50 2 Em 8 meses temos
n
n
n
( )
( )
( )
8 50 2
8 50 256
8 12800
8= sdot= sdot=
Portanto eacute provaacutevel que toda a populaccedilatildeo estaraacute doente caso nada seja feiro para debelar o mal
11 11 (01 02 08)01) CORRETO
Sendo X o capital aplicado inicialmente temosX
X
sdot + =
= =
( )
1 0 20 3024
30241 2
2520
O capital aplicado inicialmente foi de R$ 25200002) CORRETO
Precisamos analisar a veracidade das duas proposiccedilotildees a seguirbull ldquoSe as taxas de juros anuais dos dois uacuteltimos anos forem iguais os
montantes obtidos ao final de cada periacuteodo de um ano formam uma progressatildeo geomeacutetricardquo Seja i a taxa comum de juros dos dois uacuteltimos anos AssimM
M i
M i
1
2
32
3024
3024 1
3024 1
== sdot +
= sdot +
( )
( )
Os montantes formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 1+ i bull ldquoSe os montantes obtidos ao final de cada periacuteodo de um ano formam uma progressatildeo geomeacutetrica as taxas de juros anuais dos dois uacuteltimos anos satildeo iguaisrdquoSejam i1 e i 2 as taxas de juros do segundo e terceiro anos respectiva-
mente AssimM
M i
M i i
1
2 1
3 1 2
3024
3024 1
3024 1 1
== sdot += sdot + sdot +
( )
( ) ( )
Como os montantes formam uma PG temos3024 1
30243024 1 1
3024 1
1 1
1 1 2
1
1 2 1
sdot +=
sdot + sdot +sdot +
+ = + rArr =
( ) ( ) ( )( )
i i ii
i i i ii 2Portanto as taxas de juros satildeo iguais
04) INCORRETOPrimeiro rendimento anual 2520 0 2 504sdot =
Segundo rendimento anual 3024 0 4 1209 6sdot =
Portanto a taxa de juros dobrou e o rendimento mais do que do-brou
08) CORRETO
M 323024 1 0 3 5110 56= sdot + =( )
16) INCORRETOSendo 30 e 10 as taxas de juros anuais para o segundo e ter-ceiro anosM 3 3024 1 0 3 1 0 1 4324 32= sdot + sdot + =( ) ( )
Sendo 20 a taxa comum de juros dos dois uacuteltimos anos
M 323024 1 0 2 4354 56= sdot + =( )
A diferenccedila entre os valores ocorre pelo fato de 1 3 11 1 43 sdot = en-
quanto 1 2 1 442 =
12 cValor da compra a prazox y z+ +3 5
Desconto obtido na compra agrave vista0 15 0 05 3 0 03 5 0 15 ( )sdot + sdot + sdot = sdot + +x y z x y z
Portanto a razatildeo entre o desconto obtido e a soma x y z+ + eacute de0 15
0 15 ( )
sdot + ++ +
=x y z
x y z
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A
13 dCerveja73
2 333= (o aumento foi de aproximadamente 1333)
Aacutegua de cocoNatildeo teve alteraccedilatildeo de preccediloCoquetel de frutasO aumento foi de 100Caranguejo 86
1333= (o aumento foi de aproximadamente 333)
Sorvete (uma bola)5
4 51111
= (o aumento foi de aproximadamente 111)
Fileacute de peixe (kg)4530
1 5= (o aumento foi de 50)
Gasolina (litro)2 602 49
1 044
(o aumento foi de aproximadamente 44)
Aacutelcool (litro)1791 65
1 085
(o aumento foi de aproximadamente 85)
Portanto os produtos que tiveram aumento entre 10 e 110 foram coquetel de frutas caranguejo e sorvete e fileacute de peixe
14 eSeja x o custo de produccedilatildeo do bem em reaisAssimMateacuteria-prima 02xMatildeo de obra 08xSe o preccedilo da mateacuteria-prima subir 5 e o da matildeo de obra subir 10 temos que o novo custo de produccedilatildeo do bem seraacute1 05 0 2 11 0 8 1 09 sdot + sdot =x x xComo o custo de produccedilatildeo aumentou 9 (foi multiplicado por 109) o valor de 1 doacutelar tambeacutem deve aumentar 9Portanto1 09 3 20 3 49 $ $ sdotR R
15 b
2000000 1100
1 0 20 2000000
1100
1 2 1
10
sdot minus
sdot + =
minus
sdot =
p
p
( )
( 00 1 2100
1
120 1 2 100
201 2
16 666
minus sdot=
minus =
= =
p
p
p
)
O valor de p eacute aproximadamente igual a 1667
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 a
Existem C C95
94 9 8 7 6
4 3 2 1126= =
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5 nuacuteme-
ros serem sorteados entre os 9 disponiacuteveis Para o jogador que ano-
tou 2 nuacutemeros existem C 73 7 6 5
3 2 135=
sdot sdotsdot sdot
= modos de acertar 2 nuacute-
meros entre os 5 sorteados Logo a probabilidade de acertar os
2 nuacutemeros anotados eacute igual a C
C73
95
35
126
5
18= = middot No caso do jogador
que anotou 3 nuacutemeros existem C 62 6 5
2 115=
sdotsdot= modos de acertar
os 3 nuacutemeros anotados entre os 5 sorteados Para este jogador a
probabilidade de acerto eacute igual a C
C62
95
15
126
5
42= = middot
A divisatildeo do precircmio seraacute inversamente proporcional agraves probabili-dades pois cada jogador apostou a mesma quantia Assim sendo a e b as quantias que cabem aos jogadores que anotaram 2 e 3 nuacutemeros respectivamente tem-se
5
18
5
421100
sdot = sdot
+ =
a b
a b
b a
a b
= sdot
+ =
7
31100
Substituindo a primeira relaccedilatildeo na segunda equaccedilatildeo tem-se
a a+ sdot =7
31100
3 7 3300sdot + sdot =a a
10 3300sdot =a
a= 330
Portanto o jogador que anotou 2 nuacutemeros receberaacute R$ 3300002 c
Se um dado cuacutebico eacute lanccedilado 3 vezes existem 63 = 216 resultados possiacuteveisSejam os eventos X b eacute sucessor de a Y c eacute sucessor de B X cap Y b eacute sucessor de a e c eacute sucessor de b Assim vamos analisar as quantida-des de resultados para cada eventobull Evento X a natildeo pode ser o nuacutemero 6 e b eacute o uacutenico sucessor de a
5 1 6 = 30
a b c
bull Evento Y b natildeo pode ser o nuacutemero 6 e c eacute o uacutenico sucessor de b
6 5 1 = 30
a b c
bull Evento X cap Y a natildeo pode ser 5 ou 6 b eacute o uacutenico sucessor de a e c eacute o uacutenico sucessor de b
4 1 1 = 4
a b c
Portanto a probabilidade eacute dada porp(X cup Y) = p(X) + p(Y) ndash p(X cap Y)
p X Ycup( ) = + minus30
216
30
216
4
216
p X Ycup( ) = =56
216
7
27
03 aVamos considerar os eventos N U e D segundo os quais a pessoa daacute ne-nhuma volta uma uacutenica volta e duas voltas respectivamente enfrentan-do uma uacutenica fila A probabilidade de a pessoa conseguir dar exatamen-te 4 voltas na montanha-russa enfrentando a fila 3 vezes eacute dada por
p DDN ouUUD( ) = sdot sdot sdot + sdot sdot sdot1
3
1
3
1
33
1
3
1
3
1
33
p DDN ouUUD( ) = + =1
9
1
9
2
9
04 e
Existem C 42 4 3
2 16=
sdotsdot= modos de se escolher duas bolas entre as qua-
tro A temperatura seraacute negativa apenas no caso da escolha das esfe-ras metaacutelicas M e Q Logo a probabilidade de que a temperatura de equiliacutebrio seja negativa eacute igual a 16 Dessa forma a probabilidade de que a temperatura natildeo seja negativa eacute igual a 1 ndash 16 = 56
05 Considerando que haacute 71 cidadatildeos que 7 pertencem agrave famiacutelia Gene-roza e que a ordem em que satildeo selecionados natildeo eacute relevante tem-sebull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos eacute
dado por
C 712 71 70
2 12485=
sdotsdot
=
bull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos da famiacutelia Generoza eacute dado por
C 72 7 6
2 121=
sdotsdot=
Portanto a probabilidade de os 2 cidadatildeos eleitos pertencerem agrave fa-miacutelia Generoza eacute igual a
pC
C= = =7
2
712
21
2485
3
355
06 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA
Cada byte eacute composto de 8 bits e cada bit possui duas infor-maccedilotildees distintas Logo em um byte podem-se armazenar 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 256 informaccedilotildees distintas
02) FALSAA cada segundo satildeo carregados 1024 bits ou
1024
8128= bytes
Em 10 minutos satildeo carregados 10 middot 60 middot 128 = 75 middot 210 bytes = 75 kilobytesComo 1 megabyte = 210 kilobytes tem-se que 75 kilobytes eacute me-nor que 80 megabytes
04) VERDADEIRAO texto ldquoUniversidade Estadual de Maringaacuterdquo eacute constituiacutedo por 32 caracteres incluindo os espaccedilos Como cada caractere ocupa um byte de espaccedilo de memoacuteria o texto ocupa um armazena-mento de 32 bytes Cada byte corresponde a 8 bits de modo que 32 bytes podem ser armazenados em32 middot 8 = 25 middot 23 = 28 bits
08) FALSA1 terabyte = 210 gigabytes = 210 middot 210 megabytes = 220 megabytes16) VERDADEIRAPara cada byte haacute 28 sequecircncias possiacuteveis Logo a probabilidade de que uma determinada letra seja representada por um byte eacute
igual a 1
2 8 Para representar as 3 letras que formam a palavra UEM
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
10BMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
nesta ordem a probabilidade eacute igual a
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
28 8 8 8 8 8 24
24
sdot sdot = = = + +
07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA
Sejam x a quantidade de jogadores de defesa e 2x a quantidade de jogado-res de ataque Assim a meacutedia de gols marcados pelos jogadores de defesa e pelos jogadores de ataque eacute respecti-vamente igual a
Defesa 9 7 4 20+ +
=x x
Ataque 7 8 15
2
30
2
15+ += =
x x x
Observando-se que 20 15
x xgt conclui-
-se que a meacutedia dos jogadores de defesa eacute maior do que a meacutedia dos de ataque
02) FALSAA fraccedilatildeo da quantidade de gols do time que corresponde aos gols marcados pelos jogadores de ataque eacute igual a
7 8 15
9 7 4 7 8 15
30
50
3
5
+ ++ + + + +
= =
Portanto os jogadores de ataque natildeo marcaram trecircs quartos do total de gols do time
04) VERDADEIRA A probabilidade de um gol ter sido marcado em uma cobranccedila de falta direta eacute igual a
7 8
9 7 4 7 8 15
15
500 30 30
++ + + + +
= = =
08) FALSAA probabilidade de que o gol escolhi-do ao acaso tenha sido marcado em situaccedilatildeo normal de jogo dado que foi marcado por um jogador de defesa eacute igual a
p normal defesa( ) = = =4
200 20 20
16) VERDADEIRAA probabilidade de que o gol escolhido ao acaso tenha sido marcado por um joga-dor de ataque dado que foi marcado em uma cobranccedila de falta ensaiada eacute menor do que 50
p ataque falta ensaiada( ) = lt = =7
16
8
16
1
20 50
08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA
Para a disputa da partida final existem 4 modos de se escolher o melhor joga-dor de um dos grupos e para cada um destes 4 modos de se escolher o melhor jogador do outro grupo Dessa forma pelo princiacutepio multiplicativo existem 4 middot 4 = 16 modos de se escolher os dois jogadores da partida final
02) VERDADEIRA Seratildeo exatamente 2 middot C2
4 = 12 partidas entre membros de um mesmo grupo mais a partida final Portanto haveraacute um total de 12 + 1 = 13 partidas no torneio
04) VERDADEIRA Joatildeo vai se sagrar campeatildeo invicto se ganhar 4 partidas consecutivas Logo a probabilidade de Joatildeo se sagrar campeatildeo invicto do torneio eacute igual a
p= sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
08) VERDADEIRA O nuacutemero de modos de se formar um grupo eacute igual ao nuacutemero de modos de se escolher
4 jogadores dentre os 8 possiacuteveis ou seja C 84 8 7 6 5
4 3 2 170=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
16) FALSASe Joatildeo e seu irmatildeo natildeo puderem fazer parte do mesmo grupo entatildeo estaratildeo em grupos distintos Vamos supor que se queira calcular a quantidade de maneiras de se formar o grupo A Existem 2 opccedilotildees quanto agrave escolha de qual dos irmatildeos estaraacute no grupo A (Joatildeo ou seu ir-
matildeo) e para cada uma dessas opccedilotildees existem C 63 6 5 4
3 2 120=
sdot sdotsdot sdot
= modos de se escolher os
demais jogadores que compotildeem o grupo Assim existem exatamente 2 middot 20 = 40 maneiras diferentes de se formar um grupo A
09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA
Os elementos da diagonal principal representam as seguintes probabilidades condicionaisp ganhar ganhou ( ) = 0 5
p empatar empatou ( ) = 0 6
p perder perdeu ( ) = 0 4
02) FALSAInicialmente vamos calcular a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo analisando os possiacuteveis resultados do primeiro jogo Se o time ganhou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 G1) = p(G2 e G3 G1) + p(E2 e G3 G1) + p(P2 e G3 G1)p(G3 G1) = 05 middot 05 + 03 middot 02 + 02 middot 03p(G3 G1) = 037Se o time empatou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 E1) = p(G2 e G3 E1) + p(E2 e G3 E1) + p(P2 e G3 E1)p(G3 E1) = 02 middot 05 + 06 middot 02 + 02 middot 03 p(G3 E1) = 028Se o time perdeu o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033Logo a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo depende do resultado do primeiro jogo
04) FALSAA probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo tendo perdido o primeiro eacute superior a 30p(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033 = 33 gt 30
08) VERDADEIRAA probabilidade de o time perder o segundo jogo eacute igual ap(P2) = p(G1 e P2) + p(E1 e P2) + p(P1 e P2)p(P2) = p(G1) middot p(P2 G1) + p(E1) middot p(P2 E1) + p(P1) middot p(P2 P1)p(P2) = 05 middot 02 + 04 middot 02 + 01 middot 04p(P2) = 022 = 22
16) VERDADEIRA
P P P2
0 5 0 3 0 2
0 2 0 6 0 2
0 3 0 3 0 4
0 5 0 3 0 2
0 2 0= sdot =
sdot
6 0 2
0 3 0 3 0 4
P 2
0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0
=sdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot sdot +
3 0 2 0 2 0 4
0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2
sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot00 3 0 2 0 2 0 6 0 2 0 2 0 4
0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3
sdot + sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot +00 3 0 6 0 4 0 3 0 3 0 2 0 3 0 2 0 4 0 4 sdot + sdot sdot + sdot + sdot
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
P
p G G p E G p P G
p G E p E E p P E
p G P
23 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1
3 1
=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(
)) ( ) ( )
p E P p P P3 1 3 1
10 V ndash F ndash V ndash VDo enunciado tem-se p(N) = 23 p(Nc) = 13 p(AN) = 13 p(AcN) = 23 p(ANc) = 16 e p(AcNc) = 561) VERDADEIRA
A probabilidade de que a noite de 1ordm de novembro seja nublada e de que um coelho caia numa armadilha nessa mesma noite eacute igual ap N e A p N p A N( ) = ( ) sdot ( )
p N e A( ) = sdot =2
3
1
3
2
9
2) FALSAA probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha esteja a noite nublada ou natildeo eacute igual a
p A p N e A p N e Ac( ) = ( )+ ( )p A( ) = sdot + sdot =
2
3
1
3
1
3
1
6
5
18
3) VERDADEIRAEm uma noite de novembro em que um coelho caiu em uma ar-madilha a probabilidade de que esta noite seja nublada eacute igual a
p N Ap N e A
p A( ) = ( )
( )
p N A ( ) = = sdot = =
2
95
18
2
9
18
5
4
580
4) VERDADEIRASabe-se que
p R p A e R p A e Rc( ) = ( )+ ( )p R p A p R A p A p R Ac c( ) = ( ) sdot ( )+ ( ) sdot ( )
p R( ) = sdot + sdot =5
18
1
5
13
18
1
10
23
180
Assim a probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha ou de que uma raposa mate um coelho em uma noite de novem-bro eacute igual ap A ouR p A p R p A e R( ) = ( )+ ( )minus ( )
p A ouR( ) = + minus =5
18
23
180
1
18
7
20
11 a) O espaccedilo amostral eacute formado por 63 = 216 elementos pois Soacutecra-tes lanccedilaraacute 3 dados Se Xantipa obteve 5 e 5 entatildeo para que Soacutecrates conquiste um ter-ritoacuterio eacute necessaacuterio que dois de seus dados apresentem o nuacutemero 6 Se dois dados apresentarem o nuacutemero 6 e o uacuteltimo natildeo apresen-tar existem 3 modos ((6 6 ) (6 6) ( 6 6)) de se escolher o dado que natildeo apresenta o nuacutemero 6 e para cada uma destes modos existem 5 modos (1 2 3 4 ou 5) de se escolher o nuacutemero da face que natildeo apresenta o nuacutemero 6 Ou seja existem 3 middot 5 = 15 modos de esse caso acontecer Aleacutem disso existe ainda um uacutenico modo de Soacutecrates obter o nuacutemero 6 nos trecircs dados (6 6 6) No total satildeo portanto 15 + 1 = 16 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio Desta forma a probabilidade eacute igual a
p= =16
216
2
27
b) Se Xantipa obteve 5 e 4 Soacutecrates conquistaraacute o territoacuterio se um de seus dados apresentar o nuacutemero 6 outro dado apresentar um
nuacutemero 5 ou 6 e o terceiro dado apresentar qualquer nuacutemero Vamos analisar alguns casosbull (6 6 6) rarr 1 uacutenico modobull (6 6 ) rarr 3 middot 5 = 15 modos nos quais ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 6bull (6 5 5) rarr 3 modosbull (6 5 ) rarr 3 middot 4 = 24 modos em que ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 5 e 6No total satildeo 1 + 15 + 3 + 24 = 43 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio em disputa Logo a probabilidade eacute igual a
p=43
216
12 Para o lanccedilamento de dois dados existem 62 = 36 resultados possiacute-veis A soma eacute menor que 4 em exatamente 3 resultados (1 1) (12) e (2 1) Assim a probabilidade de a bola ser retirada da caixa branca eacute
igual a 3
36 Por outro lado a probabilidade de a bola ser retirada da
caixa preta eacute igual a 13
36
33
36minus = Portanto nas condiccedilotildees apresenta-
das a probabilidade de se retirar uma bola verde eacute igual ap Bola Verde p CaixaBrancae Bola Verde p Caixa eta e Bola Ver( ) ( ) ( Pr= + dde)
p Bola Verde( ) = sdot + sdot3
36
5
8
33
36
3
5
p Bola Verde( ) = 289
480
13 a) Observe a figura de um hexaacutegono regular (6 lados) inscrito em um ciacuterculo
O hexaacutegono possui 6 veacutertices Logo existem C 64 6 5 4 3
4 3 2 115=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
modos possiacuteveis de se escolher 4 veacutertices dentre os 6 e determinar um quadrilaacutetero inscrito no ciacuterculo Desses 15 modos em apenas 3 o quadrilaacutetero determinado eacute um retacircngulo
Pode-se observar que a quantidade de retacircngulos eacute determinada pelo nuacutemero de escolhas de 2 diagonais que passam pelo centro do hexaacutegono Como existem 3 diagonais que passam pelo centro (me-tade da quantidade de lados) a quantidade de retacircngulos eacute igual a
C 32 3 2
2 13=
sdotsdot= Logo a probabilidade de o quadrilaacutetero ser um re-
tacircngulo eacute igual a
pC
C= = =3
2
64
3
15
1
5
b) Considerando a soluccedilatildeo do item (a) se o poliacutegono possui 1000 la-dos existem C1000
4 quadrilaacuteteros determinados pelos veacutertices do poliacutegono de 1000 lados Dentre as possiacuteveis escolhas que podem ser realizadas exatamente C 500
2 retacircngulos satildeo determinados pois existem 500 diagonais que passam pelo centro do poliacutegono
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
Dessa forma a probabilidade eacute igual a
pC
C= 500
2
10004
p=
sdotsdot
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
500 499
2 11000 999 998 997
4 3 2 1
p=sdotsdot
sdotsdot sdot sdot
sdot sdot sdot500 499
2 1
4 3 2 1
1000 999 998 997
p=1
332001
c) Inicialmente existem C10013 triacircngulos que podem ser determina-
dos por 3 veacutertices quaisquer de um poliacutegono regular constituiacutedo por 1001 lados Sejam k a quantidade de arcos cocircngruos e consecutivos de P ob-servados no ciacuterculo que circunscreve P e a a medida de um acircngu-lo inscrito a esse ciacuterculo e que tambeacutem eacute medida do acircngulo obtuso do triacircngulo determinado pelos veacutertices de P Entatildeo
α = sdot sdot gt1
2
360
100190
k
Consequentementek gt 500 5
Observando que k isin IN tem-se k ge 501O resultado indica que o triacircngulo determinado por 3 veacutertices de P possuiraacute um acircngulo obtuso se considerarmos a medida de no miacutenimo 501 arcos cocircngruos e consecutivos determinados por P no ciacuterculo que o circunscreve Logo existem 1001 modos de se escolher um veacutertice A do triacircngulo e uma vez escolhido esse veacuter-
tice dos 1000 veacutertices restantes existem C C1000 5002
5002
minus = modos possiacuteveis de se escolher os 2 outros veacutertices (B e C) do triacircngulo de modo que o triacircngulo ABC seja obtuso no veacutertice APortanto a probabilidade de o triacircngulo ter um acircngulo obtuso eacute igual a
pC
C=
sdot1001 5002
10013
p=sdot
sdotsdot
sdot sdotsdot sdot
1001500 499
2 11001 1000 999
3 2 1
p= sdotsdotsdot
sdotsdot sdot
sdot sdot1001
500 499
2 1
3 2 1
1001 1000 999
p=499
66614 Soluccedilatildeo
a) Supondo que a banca inicie com nenhuma ficha o desenvolvimen-to do jogo ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas eacute o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 15 14 13 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
12 15 14 1
2a jogada Breno descarta
13 12 15 2
3a jogada Catarina descarta
14 13 12 3
Observa-se que apoacutes 3 rodadas a Banca ficou com uma das fichas de cada jogador de modo que a quantidade de fichas de cada jogador
eacute exatamente uma unidade menor do que no iniacutecio Assim a cada 3 rodadas cada jogador tem a quantidade de fichas diminuiacuteda de uma unidade Dessa forma apoacutes 36 rodadas cada jogador teria 12 fichas a menos do que no iniacutecio e as quantidades de fichas seriam as seguintes
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
36a jogada Catarina descarta
3 2 1 36
Na 37a jogada Aacutelvaro descartaraacute 3 fichas e teraacute descartado todas as fichas que possuiacutea Logo Aacutelvaro seraacute o vencedor na 37a jogadab) No iniacutecio as quantidades satildeo as seguintes em que x eacute natural e
1 lt x lt 8
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio x 4 4 0
Se x = 1 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento das quantidades de fichas de cada jogador ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 1 4 4 0
1a jogada Breno descarta
2 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
3 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
0 3 3 3
Logo necessariamente Aacutelvaro seria o vencedor pois descartaria suas fichas antes dos demais jogadores ao final da 3a jogadaSe x = 2 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 2 4 4 0
1a jogada Breno descarta
3 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
4 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
1 3 3 3
Apoacutes 3 jogadas ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas dependendo de quem seria sorteado Nesta situaccedilatildeo a probabilidade de Breno ser o vencedor eacute igual a 12 a probabilidade de Catarina eacute igual a 12 enquanto que a probabilidade de Aacutelvaro eacute igual a 0Se x = 3 deve haver um sorteio para determinar se Breno ou Catarina descartaraacute primeiro 3 de suas fichas Assim um possiacutevel desenvolvi-mento seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 3 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
4 1 5 1
2a jogada Breno descarta
5 2 2 2
3a jogada Catarina descarta
2 3 3 3
Na 4a jogada ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Logo nesta hipoacutetese de Aacutelvaro iniciar com 3 fichas a probabilidade
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
de Aacutelvaro ser vencedor eacute igual a 0 de Breno eacute igual a 12 e Catarina eacute igual a 12 Se x = 4 entatildeo todos os jogadores iniciaratildeo com o mesmo nuacutemero de fichas e portanto deveraacute haver um sorteio para estabelecer o jogador que primeiro descartaraacute as fichas Vamos analisar como se desenvolveria o jogo se Aacutelvaro iniciasse e em seguida Breno descartasse 3 das proacuteprias fichas
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 4 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
1 5 5 1
2a jogada Breno descarta
2 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
3 3 3 3
Observa-se que apoacutes 3 jogadas quem for sorteado para descartar as fichas seraacute o vencedor pois descartaraacute suas uacuteltimas 3 fichas Como as probabilidades de descarte satildeo iguais para cada um a probabilidade de cada jogador ser vencedor seria igual a 13 Se x = 5 ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas um possiacutevel desenvolvimento seria o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 5 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
2 5 5 1
2a jogada Breno descarta
3 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
4 3 3 3
Se a cada 3 jogadas cada jogador ficaria com uma ficha a menos do que possuiacutea apoacutes 6 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Apoacutes 6 jogadas 3 2 2 6
Na 7a jogada Aacutelvaro descartaria suas 3 uacuteltimas fichas e seria o vencedorSe x = 6 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 6 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 1 3 3 7
Na 8a jogada Breno ou Catarina descartaria suas 3 fichas e seria vence-dor Entatildeo se x = 6 a probabilidade de Aacutelvaro vencer eacute igual a 0(zero)
enquanto Breno e Catarina tecircm chances iguais de vencer sendo igual a 1
2 a probabilidade de Breno eacute igual a 1
2 a probabilidade de Catarina
Se x = 7 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 7 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 2 3 3 7
Na 8a jogada ou Breno ou Catarina dependendo de quem for sorteado descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Neste caso Breno teria probabilidade igual a 12 Catarina tambeacutem teria igual a 12 e seria impossiacutevel Aacutelvaro ser vencedor
Se x = 8 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 8 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 3 3 3 7
Na 8a jogada deve haver um sorteio para estabelecer qual jogador descartaraacute suas 3 uacuteltimas fichas Como as probabilidades satildeo iguais a probabilidade de cada jogador ser vencedor eacute igual a 13Em suma a resposta eacute a seguinte
Probabilidade de vitoacuteria
x Aacutelvaro Breno Catarina
1 1 0 0
2 0 12 12
3 0 12 12
4 13 13 13
5 1 0 0
6 0 12 12
7 0 12 12
8 13 13 13
15 a
Existem C 205 20 19 18 17 16
5 4 3 2 115504=
sdot sdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5
representantes serem escolhidos Existem 4 middot 4 middot 4 middot 4 middot 4 = 45 = 1024 modos de escolher 5 representantes sendo um de cada municiacutepio Logo a probabilidade eacute igual a
p= =1024
15504
64
969
16 dI A probabilidade de duas caras em dois lanccedilamentos de uma moeda
comum eacute igual a
p I( ) = sdot = = =1
2
1
2
1
40 25 25
II A probabilidade de trecircs caras e uma coroa em quatro lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p II P( ) = sdot sdot sdot sdot = sdot = = =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
4
3
1
40 25 254
3
III A probabilidade de cinco caras e trecircs coroas em oito lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p III P( ) = sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot = sdotsdot
= =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
256
8
3 5
7
320 218
3 5
8875 21 875=
Logo os resultados I e II satildeo igualmente provaacuteveis (e o resultado III eacute o menos provaacutevel)
17 17 (01 16)01) VERDADEIRA
Se nos 6 primeiros lanccedilamentos natildeo se definiu o vencedor entatildeo certa-mente ocorreram 3 caras e 3 coroas Com o resultado do 7ordm lanccedilamen-to teremos 4 caras ou 4 coroas e portanto seraacute definido o vencedorSatildeo necessaacuterios no maacuteximo sete lanccedilamentos para se determinar o vencedor
02) FALSAA probabilidade de ocorrerem 4 caras nos 4 primeiros lanccedilamen-
tos eacute igual a 1
2
1
16
4 = A probabilidade de ocorrerem 4 coroas
nos 4 primeiros lanccedilamentos eacute igual a 1
2
1
16
4 = Logo a proba-
5Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-
mentos eacute igual a 1
16
1
16
2
16
1
8+ = =
A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados
iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11
8
7
8
04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias
R R R Rrarr sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a
p Tiago( ) = + sdot = =1
164
1
32
6
32
3
16
Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a
p Pedro( ) = minus =13
16
13
16
08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair
ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1
2 mesma probabili-
dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA
A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja
63 36
1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P
2 64 16 = = =
O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-
lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1
2
5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1
16 16 16 2= minus = gt =
18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA
Existem C122 12 11
2 166=
sdotsdot
= modos de se escolher 2 pacientes dis-
tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-
bilidade eacute igual a 23
66
02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta
forma a probabilidade eacute igual a 32
66
16
33=
04) FALSA
O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9
2 145=
sdotsdot=
08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a
60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21
66
7
22=
19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por
p= sdot = =1
2
1
2
1
425
b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos
bull FF rarr 1
2
1
2
1
4sdot =
bull FRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull RFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por
p F
p F
( )
( )
= + + + + +
=
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
1
1611
16
O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos
bull RRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
6 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
08 dComo a meia-vida do Iodo-131 eacute de 8 dias a massa em gramas em fun-ccedilatildeo do tempo t em dias eacute dada por
m t
t
( )= sdot1
12
8
Para que a massa se reduza a 10 6minus g temos
1012
1012
68
1 2
48
6 8
6 8
minus
minus
=
=
minus = sdot minus
minus =
t
t
t
t
log log
(log log )
sdotsdot minus
=minusminus
=
( )
0 0 3
480 3
160t dias
09 aSeja x o valor do consumoAssim
x
x
sdot =
=
133100
150 29
113
Portanto o valor cobrado pelo consumo eacute R$ 11300 e o valor referente aos tributos eacute R R R$ $ $ 150 29 113 00 37 29minus =
Como 113
150 290 75
o valor cobrado pelo consumo eacute aproximadamen-
te 75 do valor total10 13 (01 04 08)
01) CORRETASeja i a taxa de juros mensal cobrada pela loja
2020
120
154
201
201
34
10 1 10 17 1
2
2
2
+++
+=
++
+=
sdot + + = sdot +
i i
i i
i
( )
( )
( ) ( i)
110 10 10 17 34 17
17 24 3
2
2
+ + = + +
+ =
i i i
i i
Substituindo i por 01 no primeiro membro da igualdade temos
17 0 1 24 0 1 17 0 01 2 4 2 57 32sdot + sdot = sdot + = lt( ) Portanto igt 0 1 ou seja a taxa de juros eacute maior do que 10
02) INCORRETANa loja B o produto P custa o dobro do que na loja A Na loja A o produto P custa a metade do que na loja BPortanto na loja B o produto P estaacute com o preccedilo 100 acima do preccedilo praticado pela loja A e que a loja A estaacute praticando um preccedilo 50 menor do que o praticado pela loja B
04) CORRETAComo o nuacutemero de pessoas atingidas por certa doenccedila aumenta 50 a cada mecircs temosn t N
n t N
n t N
t
t
t
( ) ( )
( ) ( )
( )
= sdot +
= sdot
= sdot
1 0 5
1 5
32
08) CORRETA
n t t( )= sdot50 2 Em 8 meses temos
n
n
n
( )
( )
( )
8 50 2
8 50 256
8 12800
8= sdot= sdot=
Portanto eacute provaacutevel que toda a populaccedilatildeo estaraacute doente caso nada seja feiro para debelar o mal
11 11 (01 02 08)01) CORRETO
Sendo X o capital aplicado inicialmente temosX
X
sdot + =
= =
( )
1 0 20 3024
30241 2
2520
O capital aplicado inicialmente foi de R$ 25200002) CORRETO
Precisamos analisar a veracidade das duas proposiccedilotildees a seguirbull ldquoSe as taxas de juros anuais dos dois uacuteltimos anos forem iguais os
montantes obtidos ao final de cada periacuteodo de um ano formam uma progressatildeo geomeacutetricardquo Seja i a taxa comum de juros dos dois uacuteltimos anos AssimM
M i
M i
1
2
32
3024
3024 1
3024 1
== sdot +
= sdot +
( )
( )
Os montantes formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 1+ i bull ldquoSe os montantes obtidos ao final de cada periacuteodo de um ano formam uma progressatildeo geomeacutetrica as taxas de juros anuais dos dois uacuteltimos anos satildeo iguaisrdquoSejam i1 e i 2 as taxas de juros do segundo e terceiro anos respectiva-
mente AssimM
M i
M i i
1
2 1
3 1 2
3024
3024 1
3024 1 1
== sdot += sdot + sdot +
( )
( ) ( )
Como os montantes formam uma PG temos3024 1
30243024 1 1
3024 1
1 1
1 1 2
1
1 2 1
sdot +=
sdot + sdot +sdot +
+ = + rArr =
( ) ( ) ( )( )
i i ii
i i i ii 2Portanto as taxas de juros satildeo iguais
04) INCORRETOPrimeiro rendimento anual 2520 0 2 504sdot =
Segundo rendimento anual 3024 0 4 1209 6sdot =
Portanto a taxa de juros dobrou e o rendimento mais do que do-brou
08) CORRETO
M 323024 1 0 3 5110 56= sdot + =( )
16) INCORRETOSendo 30 e 10 as taxas de juros anuais para o segundo e ter-ceiro anosM 3 3024 1 0 3 1 0 1 4324 32= sdot + sdot + =( ) ( )
Sendo 20 a taxa comum de juros dos dois uacuteltimos anos
M 323024 1 0 2 4354 56= sdot + =( )
A diferenccedila entre os valores ocorre pelo fato de 1 3 11 1 43 sdot = en-
quanto 1 2 1 442 =
12 cValor da compra a prazox y z+ +3 5
Desconto obtido na compra agrave vista0 15 0 05 3 0 03 5 0 15 ( )sdot + sdot + sdot = sdot + +x y z x y z
Portanto a razatildeo entre o desconto obtido e a soma x y z+ + eacute de0 15
0 15 ( )
sdot + ++ +
=x y z
x y z
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A
13 dCerveja73
2 333= (o aumento foi de aproximadamente 1333)
Aacutegua de cocoNatildeo teve alteraccedilatildeo de preccediloCoquetel de frutasO aumento foi de 100Caranguejo 86
1333= (o aumento foi de aproximadamente 333)
Sorvete (uma bola)5
4 51111
= (o aumento foi de aproximadamente 111)
Fileacute de peixe (kg)4530
1 5= (o aumento foi de 50)
Gasolina (litro)2 602 49
1 044
(o aumento foi de aproximadamente 44)
Aacutelcool (litro)1791 65
1 085
(o aumento foi de aproximadamente 85)
Portanto os produtos que tiveram aumento entre 10 e 110 foram coquetel de frutas caranguejo e sorvete e fileacute de peixe
14 eSeja x o custo de produccedilatildeo do bem em reaisAssimMateacuteria-prima 02xMatildeo de obra 08xSe o preccedilo da mateacuteria-prima subir 5 e o da matildeo de obra subir 10 temos que o novo custo de produccedilatildeo do bem seraacute1 05 0 2 11 0 8 1 09 sdot + sdot =x x xComo o custo de produccedilatildeo aumentou 9 (foi multiplicado por 109) o valor de 1 doacutelar tambeacutem deve aumentar 9Portanto1 09 3 20 3 49 $ $ sdotR R
15 b
2000000 1100
1 0 20 2000000
1100
1 2 1
10
sdot minus
sdot + =
minus
sdot =
p
p
( )
( 00 1 2100
1
120 1 2 100
201 2
16 666
minus sdot=
minus =
= =
p
p
p
)
O valor de p eacute aproximadamente igual a 1667
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 a
Existem C C95
94 9 8 7 6
4 3 2 1126= =
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5 nuacuteme-
ros serem sorteados entre os 9 disponiacuteveis Para o jogador que ano-
tou 2 nuacutemeros existem C 73 7 6 5
3 2 135=
sdot sdotsdot sdot
= modos de acertar 2 nuacute-
meros entre os 5 sorteados Logo a probabilidade de acertar os
2 nuacutemeros anotados eacute igual a C
C73
95
35
126
5
18= = middot No caso do jogador
que anotou 3 nuacutemeros existem C 62 6 5
2 115=
sdotsdot= modos de acertar
os 3 nuacutemeros anotados entre os 5 sorteados Para este jogador a
probabilidade de acerto eacute igual a C
C62
95
15
126
5
42= = middot
A divisatildeo do precircmio seraacute inversamente proporcional agraves probabili-dades pois cada jogador apostou a mesma quantia Assim sendo a e b as quantias que cabem aos jogadores que anotaram 2 e 3 nuacutemeros respectivamente tem-se
5
18
5
421100
sdot = sdot
+ =
a b
a b
b a
a b
= sdot
+ =
7
31100
Substituindo a primeira relaccedilatildeo na segunda equaccedilatildeo tem-se
a a+ sdot =7
31100
3 7 3300sdot + sdot =a a
10 3300sdot =a
a= 330
Portanto o jogador que anotou 2 nuacutemeros receberaacute R$ 3300002 c
Se um dado cuacutebico eacute lanccedilado 3 vezes existem 63 = 216 resultados possiacuteveisSejam os eventos X b eacute sucessor de a Y c eacute sucessor de B X cap Y b eacute sucessor de a e c eacute sucessor de b Assim vamos analisar as quantida-des de resultados para cada eventobull Evento X a natildeo pode ser o nuacutemero 6 e b eacute o uacutenico sucessor de a
5 1 6 = 30
a b c
bull Evento Y b natildeo pode ser o nuacutemero 6 e c eacute o uacutenico sucessor de b
6 5 1 = 30
a b c
bull Evento X cap Y a natildeo pode ser 5 ou 6 b eacute o uacutenico sucessor de a e c eacute o uacutenico sucessor de b
4 1 1 = 4
a b c
Portanto a probabilidade eacute dada porp(X cup Y) = p(X) + p(Y) ndash p(X cap Y)
p X Ycup( ) = + minus30
216
30
216
4
216
p X Ycup( ) = =56
216
7
27
03 aVamos considerar os eventos N U e D segundo os quais a pessoa daacute ne-nhuma volta uma uacutenica volta e duas voltas respectivamente enfrentan-do uma uacutenica fila A probabilidade de a pessoa conseguir dar exatamen-te 4 voltas na montanha-russa enfrentando a fila 3 vezes eacute dada por
p DDN ouUUD( ) = sdot sdot sdot + sdot sdot sdot1
3
1
3
1
33
1
3
1
3
1
33
p DDN ouUUD( ) = + =1
9
1
9
2
9
04 e
Existem C 42 4 3
2 16=
sdotsdot= modos de se escolher duas bolas entre as qua-
tro A temperatura seraacute negativa apenas no caso da escolha das esfe-ras metaacutelicas M e Q Logo a probabilidade de que a temperatura de equiliacutebrio seja negativa eacute igual a 16 Dessa forma a probabilidade de que a temperatura natildeo seja negativa eacute igual a 1 ndash 16 = 56
05 Considerando que haacute 71 cidadatildeos que 7 pertencem agrave famiacutelia Gene-roza e que a ordem em que satildeo selecionados natildeo eacute relevante tem-sebull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos eacute
dado por
C 712 71 70
2 12485=
sdotsdot
=
bull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos da famiacutelia Generoza eacute dado por
C 72 7 6
2 121=
sdotsdot=
Portanto a probabilidade de os 2 cidadatildeos eleitos pertencerem agrave fa-miacutelia Generoza eacute igual a
pC
C= = =7
2
712
21
2485
3
355
06 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA
Cada byte eacute composto de 8 bits e cada bit possui duas infor-maccedilotildees distintas Logo em um byte podem-se armazenar 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 256 informaccedilotildees distintas
02) FALSAA cada segundo satildeo carregados 1024 bits ou
1024
8128= bytes
Em 10 minutos satildeo carregados 10 middot 60 middot 128 = 75 middot 210 bytes = 75 kilobytesComo 1 megabyte = 210 kilobytes tem-se que 75 kilobytes eacute me-nor que 80 megabytes
04) VERDADEIRAO texto ldquoUniversidade Estadual de Maringaacuterdquo eacute constituiacutedo por 32 caracteres incluindo os espaccedilos Como cada caractere ocupa um byte de espaccedilo de memoacuteria o texto ocupa um armazena-mento de 32 bytes Cada byte corresponde a 8 bits de modo que 32 bytes podem ser armazenados em32 middot 8 = 25 middot 23 = 28 bits
08) FALSA1 terabyte = 210 gigabytes = 210 middot 210 megabytes = 220 megabytes16) VERDADEIRAPara cada byte haacute 28 sequecircncias possiacuteveis Logo a probabilidade de que uma determinada letra seja representada por um byte eacute
igual a 1
2 8 Para representar as 3 letras que formam a palavra UEM
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
10BMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
nesta ordem a probabilidade eacute igual a
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
28 8 8 8 8 8 24
24
sdot sdot = = = + +
07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA
Sejam x a quantidade de jogadores de defesa e 2x a quantidade de jogado-res de ataque Assim a meacutedia de gols marcados pelos jogadores de defesa e pelos jogadores de ataque eacute respecti-vamente igual a
Defesa 9 7 4 20+ +
=x x
Ataque 7 8 15
2
30
2
15+ += =
x x x
Observando-se que 20 15
x xgt conclui-
-se que a meacutedia dos jogadores de defesa eacute maior do que a meacutedia dos de ataque
02) FALSAA fraccedilatildeo da quantidade de gols do time que corresponde aos gols marcados pelos jogadores de ataque eacute igual a
7 8 15
9 7 4 7 8 15
30
50
3
5
+ ++ + + + +
= =
Portanto os jogadores de ataque natildeo marcaram trecircs quartos do total de gols do time
04) VERDADEIRA A probabilidade de um gol ter sido marcado em uma cobranccedila de falta direta eacute igual a
7 8
9 7 4 7 8 15
15
500 30 30
++ + + + +
= = =
08) FALSAA probabilidade de que o gol escolhi-do ao acaso tenha sido marcado em situaccedilatildeo normal de jogo dado que foi marcado por um jogador de defesa eacute igual a
p normal defesa( ) = = =4
200 20 20
16) VERDADEIRAA probabilidade de que o gol escolhido ao acaso tenha sido marcado por um joga-dor de ataque dado que foi marcado em uma cobranccedila de falta ensaiada eacute menor do que 50
p ataque falta ensaiada( ) = lt = =7
16
8
16
1
20 50
08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA
Para a disputa da partida final existem 4 modos de se escolher o melhor joga-dor de um dos grupos e para cada um destes 4 modos de se escolher o melhor jogador do outro grupo Dessa forma pelo princiacutepio multiplicativo existem 4 middot 4 = 16 modos de se escolher os dois jogadores da partida final
02) VERDADEIRA Seratildeo exatamente 2 middot C2
4 = 12 partidas entre membros de um mesmo grupo mais a partida final Portanto haveraacute um total de 12 + 1 = 13 partidas no torneio
04) VERDADEIRA Joatildeo vai se sagrar campeatildeo invicto se ganhar 4 partidas consecutivas Logo a probabilidade de Joatildeo se sagrar campeatildeo invicto do torneio eacute igual a
p= sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
08) VERDADEIRA O nuacutemero de modos de se formar um grupo eacute igual ao nuacutemero de modos de se escolher
4 jogadores dentre os 8 possiacuteveis ou seja C 84 8 7 6 5
4 3 2 170=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
16) FALSASe Joatildeo e seu irmatildeo natildeo puderem fazer parte do mesmo grupo entatildeo estaratildeo em grupos distintos Vamos supor que se queira calcular a quantidade de maneiras de se formar o grupo A Existem 2 opccedilotildees quanto agrave escolha de qual dos irmatildeos estaraacute no grupo A (Joatildeo ou seu ir-
matildeo) e para cada uma dessas opccedilotildees existem C 63 6 5 4
3 2 120=
sdot sdotsdot sdot
= modos de se escolher os
demais jogadores que compotildeem o grupo Assim existem exatamente 2 middot 20 = 40 maneiras diferentes de se formar um grupo A
09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA
Os elementos da diagonal principal representam as seguintes probabilidades condicionaisp ganhar ganhou ( ) = 0 5
p empatar empatou ( ) = 0 6
p perder perdeu ( ) = 0 4
02) FALSAInicialmente vamos calcular a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo analisando os possiacuteveis resultados do primeiro jogo Se o time ganhou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 G1) = p(G2 e G3 G1) + p(E2 e G3 G1) + p(P2 e G3 G1)p(G3 G1) = 05 middot 05 + 03 middot 02 + 02 middot 03p(G3 G1) = 037Se o time empatou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 E1) = p(G2 e G3 E1) + p(E2 e G3 E1) + p(P2 e G3 E1)p(G3 E1) = 02 middot 05 + 06 middot 02 + 02 middot 03 p(G3 E1) = 028Se o time perdeu o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033Logo a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo depende do resultado do primeiro jogo
04) FALSAA probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo tendo perdido o primeiro eacute superior a 30p(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033 = 33 gt 30
08) VERDADEIRAA probabilidade de o time perder o segundo jogo eacute igual ap(P2) = p(G1 e P2) + p(E1 e P2) + p(P1 e P2)p(P2) = p(G1) middot p(P2 G1) + p(E1) middot p(P2 E1) + p(P1) middot p(P2 P1)p(P2) = 05 middot 02 + 04 middot 02 + 01 middot 04p(P2) = 022 = 22
16) VERDADEIRA
P P P2
0 5 0 3 0 2
0 2 0 6 0 2
0 3 0 3 0 4
0 5 0 3 0 2
0 2 0= sdot =
sdot
6 0 2
0 3 0 3 0 4
P 2
0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0
=sdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot sdot +
3 0 2 0 2 0 4
0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2
sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot00 3 0 2 0 2 0 6 0 2 0 2 0 4
0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3
sdot + sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot +00 3 0 6 0 4 0 3 0 3 0 2 0 3 0 2 0 4 0 4 sdot + sdot sdot + sdot + sdot
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
P
p G G p E G p P G
p G E p E E p P E
p G P
23 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1
3 1
=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(
)) ( ) ( )
p E P p P P3 1 3 1
10 V ndash F ndash V ndash VDo enunciado tem-se p(N) = 23 p(Nc) = 13 p(AN) = 13 p(AcN) = 23 p(ANc) = 16 e p(AcNc) = 561) VERDADEIRA
A probabilidade de que a noite de 1ordm de novembro seja nublada e de que um coelho caia numa armadilha nessa mesma noite eacute igual ap N e A p N p A N( ) = ( ) sdot ( )
p N e A( ) = sdot =2
3
1
3
2
9
2) FALSAA probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha esteja a noite nublada ou natildeo eacute igual a
p A p N e A p N e Ac( ) = ( )+ ( )p A( ) = sdot + sdot =
2
3
1
3
1
3
1
6
5
18
3) VERDADEIRAEm uma noite de novembro em que um coelho caiu em uma ar-madilha a probabilidade de que esta noite seja nublada eacute igual a
p N Ap N e A
p A( ) = ( )
( )
p N A ( ) = = sdot = =
2
95
18
2
9
18
5
4
580
4) VERDADEIRASabe-se que
p R p A e R p A e Rc( ) = ( )+ ( )p R p A p R A p A p R Ac c( ) = ( ) sdot ( )+ ( ) sdot ( )
p R( ) = sdot + sdot =5
18
1
5
13
18
1
10
23
180
Assim a probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha ou de que uma raposa mate um coelho em uma noite de novem-bro eacute igual ap A ouR p A p R p A e R( ) = ( )+ ( )minus ( )
p A ouR( ) = + minus =5
18
23
180
1
18
7
20
11 a) O espaccedilo amostral eacute formado por 63 = 216 elementos pois Soacutecra-tes lanccedilaraacute 3 dados Se Xantipa obteve 5 e 5 entatildeo para que Soacutecrates conquiste um ter-ritoacuterio eacute necessaacuterio que dois de seus dados apresentem o nuacutemero 6 Se dois dados apresentarem o nuacutemero 6 e o uacuteltimo natildeo apresen-tar existem 3 modos ((6 6 ) (6 6) ( 6 6)) de se escolher o dado que natildeo apresenta o nuacutemero 6 e para cada uma destes modos existem 5 modos (1 2 3 4 ou 5) de se escolher o nuacutemero da face que natildeo apresenta o nuacutemero 6 Ou seja existem 3 middot 5 = 15 modos de esse caso acontecer Aleacutem disso existe ainda um uacutenico modo de Soacutecrates obter o nuacutemero 6 nos trecircs dados (6 6 6) No total satildeo portanto 15 + 1 = 16 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio Desta forma a probabilidade eacute igual a
p= =16
216
2
27
b) Se Xantipa obteve 5 e 4 Soacutecrates conquistaraacute o territoacuterio se um de seus dados apresentar o nuacutemero 6 outro dado apresentar um
nuacutemero 5 ou 6 e o terceiro dado apresentar qualquer nuacutemero Vamos analisar alguns casosbull (6 6 6) rarr 1 uacutenico modobull (6 6 ) rarr 3 middot 5 = 15 modos nos quais ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 6bull (6 5 5) rarr 3 modosbull (6 5 ) rarr 3 middot 4 = 24 modos em que ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 5 e 6No total satildeo 1 + 15 + 3 + 24 = 43 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio em disputa Logo a probabilidade eacute igual a
p=43
216
12 Para o lanccedilamento de dois dados existem 62 = 36 resultados possiacute-veis A soma eacute menor que 4 em exatamente 3 resultados (1 1) (12) e (2 1) Assim a probabilidade de a bola ser retirada da caixa branca eacute
igual a 3
36 Por outro lado a probabilidade de a bola ser retirada da
caixa preta eacute igual a 13
36
33
36minus = Portanto nas condiccedilotildees apresenta-
das a probabilidade de se retirar uma bola verde eacute igual ap Bola Verde p CaixaBrancae Bola Verde p Caixa eta e Bola Ver( ) ( ) ( Pr= + dde)
p Bola Verde( ) = sdot + sdot3
36
5
8
33
36
3
5
p Bola Verde( ) = 289
480
13 a) Observe a figura de um hexaacutegono regular (6 lados) inscrito em um ciacuterculo
O hexaacutegono possui 6 veacutertices Logo existem C 64 6 5 4 3
4 3 2 115=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
modos possiacuteveis de se escolher 4 veacutertices dentre os 6 e determinar um quadrilaacutetero inscrito no ciacuterculo Desses 15 modos em apenas 3 o quadrilaacutetero determinado eacute um retacircngulo
Pode-se observar que a quantidade de retacircngulos eacute determinada pelo nuacutemero de escolhas de 2 diagonais que passam pelo centro do hexaacutegono Como existem 3 diagonais que passam pelo centro (me-tade da quantidade de lados) a quantidade de retacircngulos eacute igual a
C 32 3 2
2 13=
sdotsdot= Logo a probabilidade de o quadrilaacutetero ser um re-
tacircngulo eacute igual a
pC
C= = =3
2
64
3
15
1
5
b) Considerando a soluccedilatildeo do item (a) se o poliacutegono possui 1000 la-dos existem C1000
4 quadrilaacuteteros determinados pelos veacutertices do poliacutegono de 1000 lados Dentre as possiacuteveis escolhas que podem ser realizadas exatamente C 500
2 retacircngulos satildeo determinados pois existem 500 diagonais que passam pelo centro do poliacutegono
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
Dessa forma a probabilidade eacute igual a
pC
C= 500
2
10004
p=
sdotsdot
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
500 499
2 11000 999 998 997
4 3 2 1
p=sdotsdot
sdotsdot sdot sdot
sdot sdot sdot500 499
2 1
4 3 2 1
1000 999 998 997
p=1
332001
c) Inicialmente existem C10013 triacircngulos que podem ser determina-
dos por 3 veacutertices quaisquer de um poliacutegono regular constituiacutedo por 1001 lados Sejam k a quantidade de arcos cocircngruos e consecutivos de P ob-servados no ciacuterculo que circunscreve P e a a medida de um acircngu-lo inscrito a esse ciacuterculo e que tambeacutem eacute medida do acircngulo obtuso do triacircngulo determinado pelos veacutertices de P Entatildeo
α = sdot sdot gt1
2
360
100190
k
Consequentementek gt 500 5
Observando que k isin IN tem-se k ge 501O resultado indica que o triacircngulo determinado por 3 veacutertices de P possuiraacute um acircngulo obtuso se considerarmos a medida de no miacutenimo 501 arcos cocircngruos e consecutivos determinados por P no ciacuterculo que o circunscreve Logo existem 1001 modos de se escolher um veacutertice A do triacircngulo e uma vez escolhido esse veacuter-
tice dos 1000 veacutertices restantes existem C C1000 5002
5002
minus = modos possiacuteveis de se escolher os 2 outros veacutertices (B e C) do triacircngulo de modo que o triacircngulo ABC seja obtuso no veacutertice APortanto a probabilidade de o triacircngulo ter um acircngulo obtuso eacute igual a
pC
C=
sdot1001 5002
10013
p=sdot
sdotsdot
sdot sdotsdot sdot
1001500 499
2 11001 1000 999
3 2 1
p= sdotsdotsdot
sdotsdot sdot
sdot sdot1001
500 499
2 1
3 2 1
1001 1000 999
p=499
66614 Soluccedilatildeo
a) Supondo que a banca inicie com nenhuma ficha o desenvolvimen-to do jogo ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas eacute o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 15 14 13 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
12 15 14 1
2a jogada Breno descarta
13 12 15 2
3a jogada Catarina descarta
14 13 12 3
Observa-se que apoacutes 3 rodadas a Banca ficou com uma das fichas de cada jogador de modo que a quantidade de fichas de cada jogador
eacute exatamente uma unidade menor do que no iniacutecio Assim a cada 3 rodadas cada jogador tem a quantidade de fichas diminuiacuteda de uma unidade Dessa forma apoacutes 36 rodadas cada jogador teria 12 fichas a menos do que no iniacutecio e as quantidades de fichas seriam as seguintes
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
36a jogada Catarina descarta
3 2 1 36
Na 37a jogada Aacutelvaro descartaraacute 3 fichas e teraacute descartado todas as fichas que possuiacutea Logo Aacutelvaro seraacute o vencedor na 37a jogadab) No iniacutecio as quantidades satildeo as seguintes em que x eacute natural e
1 lt x lt 8
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio x 4 4 0
Se x = 1 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento das quantidades de fichas de cada jogador ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 1 4 4 0
1a jogada Breno descarta
2 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
3 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
0 3 3 3
Logo necessariamente Aacutelvaro seria o vencedor pois descartaria suas fichas antes dos demais jogadores ao final da 3a jogadaSe x = 2 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 2 4 4 0
1a jogada Breno descarta
3 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
4 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
1 3 3 3
Apoacutes 3 jogadas ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas dependendo de quem seria sorteado Nesta situaccedilatildeo a probabilidade de Breno ser o vencedor eacute igual a 12 a probabilidade de Catarina eacute igual a 12 enquanto que a probabilidade de Aacutelvaro eacute igual a 0Se x = 3 deve haver um sorteio para determinar se Breno ou Catarina descartaraacute primeiro 3 de suas fichas Assim um possiacutevel desenvolvi-mento seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 3 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
4 1 5 1
2a jogada Breno descarta
5 2 2 2
3a jogada Catarina descarta
2 3 3 3
Na 4a jogada ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Logo nesta hipoacutetese de Aacutelvaro iniciar com 3 fichas a probabilidade
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
de Aacutelvaro ser vencedor eacute igual a 0 de Breno eacute igual a 12 e Catarina eacute igual a 12 Se x = 4 entatildeo todos os jogadores iniciaratildeo com o mesmo nuacutemero de fichas e portanto deveraacute haver um sorteio para estabelecer o jogador que primeiro descartaraacute as fichas Vamos analisar como se desenvolveria o jogo se Aacutelvaro iniciasse e em seguida Breno descartasse 3 das proacuteprias fichas
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 4 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
1 5 5 1
2a jogada Breno descarta
2 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
3 3 3 3
Observa-se que apoacutes 3 jogadas quem for sorteado para descartar as fichas seraacute o vencedor pois descartaraacute suas uacuteltimas 3 fichas Como as probabilidades de descarte satildeo iguais para cada um a probabilidade de cada jogador ser vencedor seria igual a 13 Se x = 5 ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas um possiacutevel desenvolvimento seria o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 5 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
2 5 5 1
2a jogada Breno descarta
3 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
4 3 3 3
Se a cada 3 jogadas cada jogador ficaria com uma ficha a menos do que possuiacutea apoacutes 6 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Apoacutes 6 jogadas 3 2 2 6
Na 7a jogada Aacutelvaro descartaria suas 3 uacuteltimas fichas e seria o vencedorSe x = 6 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 6 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 1 3 3 7
Na 8a jogada Breno ou Catarina descartaria suas 3 fichas e seria vence-dor Entatildeo se x = 6 a probabilidade de Aacutelvaro vencer eacute igual a 0(zero)
enquanto Breno e Catarina tecircm chances iguais de vencer sendo igual a 1
2 a probabilidade de Breno eacute igual a 1
2 a probabilidade de Catarina
Se x = 7 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 7 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 2 3 3 7
Na 8a jogada ou Breno ou Catarina dependendo de quem for sorteado descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Neste caso Breno teria probabilidade igual a 12 Catarina tambeacutem teria igual a 12 e seria impossiacutevel Aacutelvaro ser vencedor
Se x = 8 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 8 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 3 3 3 7
Na 8a jogada deve haver um sorteio para estabelecer qual jogador descartaraacute suas 3 uacuteltimas fichas Como as probabilidades satildeo iguais a probabilidade de cada jogador ser vencedor eacute igual a 13Em suma a resposta eacute a seguinte
Probabilidade de vitoacuteria
x Aacutelvaro Breno Catarina
1 1 0 0
2 0 12 12
3 0 12 12
4 13 13 13
5 1 0 0
6 0 12 12
7 0 12 12
8 13 13 13
15 a
Existem C 205 20 19 18 17 16
5 4 3 2 115504=
sdot sdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5
representantes serem escolhidos Existem 4 middot 4 middot 4 middot 4 middot 4 = 45 = 1024 modos de escolher 5 representantes sendo um de cada municiacutepio Logo a probabilidade eacute igual a
p= =1024
15504
64
969
16 dI A probabilidade de duas caras em dois lanccedilamentos de uma moeda
comum eacute igual a
p I( ) = sdot = = =1
2
1
2
1
40 25 25
II A probabilidade de trecircs caras e uma coroa em quatro lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p II P( ) = sdot sdot sdot sdot = sdot = = =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
4
3
1
40 25 254
3
III A probabilidade de cinco caras e trecircs coroas em oito lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p III P( ) = sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot = sdotsdot
= =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
256
8
3 5
7
320 218
3 5
8875 21 875=
Logo os resultados I e II satildeo igualmente provaacuteveis (e o resultado III eacute o menos provaacutevel)
17 17 (01 16)01) VERDADEIRA
Se nos 6 primeiros lanccedilamentos natildeo se definiu o vencedor entatildeo certa-mente ocorreram 3 caras e 3 coroas Com o resultado do 7ordm lanccedilamen-to teremos 4 caras ou 4 coroas e portanto seraacute definido o vencedorSatildeo necessaacuterios no maacuteximo sete lanccedilamentos para se determinar o vencedor
02) FALSAA probabilidade de ocorrerem 4 caras nos 4 primeiros lanccedilamen-
tos eacute igual a 1
2
1
16
4 = A probabilidade de ocorrerem 4 coroas
nos 4 primeiros lanccedilamentos eacute igual a 1
2
1
16
4 = Logo a proba-
5Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-
mentos eacute igual a 1
16
1
16
2
16
1
8+ = =
A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados
iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11
8
7
8
04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias
R R R Rrarr sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a
p Tiago( ) = + sdot = =1
164
1
32
6
32
3
16
Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a
p Pedro( ) = minus =13
16
13
16
08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair
ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1
2 mesma probabili-
dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA
A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja
63 36
1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P
2 64 16 = = =
O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-
lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1
2
5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1
16 16 16 2= minus = gt =
18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA
Existem C122 12 11
2 166=
sdotsdot
= modos de se escolher 2 pacientes dis-
tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-
bilidade eacute igual a 23
66
02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta
forma a probabilidade eacute igual a 32
66
16
33=
04) FALSA
O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9
2 145=
sdotsdot=
08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a
60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21
66
7
22=
19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por
p= sdot = =1
2
1
2
1
425
b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos
bull FF rarr 1
2
1
2
1
4sdot =
bull FRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull RFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por
p F
p F
( )
( )
= + + + + +
=
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
1
1611
16
O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos
bull RRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
6 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
13 dCerveja73
2 333= (o aumento foi de aproximadamente 1333)
Aacutegua de cocoNatildeo teve alteraccedilatildeo de preccediloCoquetel de frutasO aumento foi de 100Caranguejo 86
1333= (o aumento foi de aproximadamente 333)
Sorvete (uma bola)5
4 51111
= (o aumento foi de aproximadamente 111)
Fileacute de peixe (kg)4530
1 5= (o aumento foi de 50)
Gasolina (litro)2 602 49
1 044
(o aumento foi de aproximadamente 44)
Aacutelcool (litro)1791 65
1 085
(o aumento foi de aproximadamente 85)
Portanto os produtos que tiveram aumento entre 10 e 110 foram coquetel de frutas caranguejo e sorvete e fileacute de peixe
14 eSeja x o custo de produccedilatildeo do bem em reaisAssimMateacuteria-prima 02xMatildeo de obra 08xSe o preccedilo da mateacuteria-prima subir 5 e o da matildeo de obra subir 10 temos que o novo custo de produccedilatildeo do bem seraacute1 05 0 2 11 0 8 1 09 sdot + sdot =x x xComo o custo de produccedilatildeo aumentou 9 (foi multiplicado por 109) o valor de 1 doacutelar tambeacutem deve aumentar 9Portanto1 09 3 20 3 49 $ $ sdotR R
15 b
2000000 1100
1 0 20 2000000
1100
1 2 1
10
sdot minus
sdot + =
minus
sdot =
p
p
( )
( 00 1 2100
1
120 1 2 100
201 2
16 666
minus sdot=
minus =
= =
p
p
p
)
O valor de p eacute aproximadamente igual a 1667
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10A
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 a
Existem C C95
94 9 8 7 6
4 3 2 1126= =
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5 nuacuteme-
ros serem sorteados entre os 9 disponiacuteveis Para o jogador que ano-
tou 2 nuacutemeros existem C 73 7 6 5
3 2 135=
sdot sdotsdot sdot
= modos de acertar 2 nuacute-
meros entre os 5 sorteados Logo a probabilidade de acertar os
2 nuacutemeros anotados eacute igual a C
C73
95
35
126
5
18= = middot No caso do jogador
que anotou 3 nuacutemeros existem C 62 6 5
2 115=
sdotsdot= modos de acertar
os 3 nuacutemeros anotados entre os 5 sorteados Para este jogador a
probabilidade de acerto eacute igual a C
C62
95
15
126
5
42= = middot
A divisatildeo do precircmio seraacute inversamente proporcional agraves probabili-dades pois cada jogador apostou a mesma quantia Assim sendo a e b as quantias que cabem aos jogadores que anotaram 2 e 3 nuacutemeros respectivamente tem-se
5
18
5
421100
sdot = sdot
+ =
a b
a b
b a
a b
= sdot
+ =
7
31100
Substituindo a primeira relaccedilatildeo na segunda equaccedilatildeo tem-se
a a+ sdot =7
31100
3 7 3300sdot + sdot =a a
10 3300sdot =a
a= 330
Portanto o jogador que anotou 2 nuacutemeros receberaacute R$ 3300002 c
Se um dado cuacutebico eacute lanccedilado 3 vezes existem 63 = 216 resultados possiacuteveisSejam os eventos X b eacute sucessor de a Y c eacute sucessor de B X cap Y b eacute sucessor de a e c eacute sucessor de b Assim vamos analisar as quantida-des de resultados para cada eventobull Evento X a natildeo pode ser o nuacutemero 6 e b eacute o uacutenico sucessor de a
5 1 6 = 30
a b c
bull Evento Y b natildeo pode ser o nuacutemero 6 e c eacute o uacutenico sucessor de b
6 5 1 = 30
a b c
bull Evento X cap Y a natildeo pode ser 5 ou 6 b eacute o uacutenico sucessor de a e c eacute o uacutenico sucessor de b
4 1 1 = 4
a b c
Portanto a probabilidade eacute dada porp(X cup Y) = p(X) + p(Y) ndash p(X cap Y)
p X Ycup( ) = + minus30
216
30
216
4
216
p X Ycup( ) = =56
216
7
27
03 aVamos considerar os eventos N U e D segundo os quais a pessoa daacute ne-nhuma volta uma uacutenica volta e duas voltas respectivamente enfrentan-do uma uacutenica fila A probabilidade de a pessoa conseguir dar exatamen-te 4 voltas na montanha-russa enfrentando a fila 3 vezes eacute dada por
p DDN ouUUD( ) = sdot sdot sdot + sdot sdot sdot1
3
1
3
1
33
1
3
1
3
1
33
p DDN ouUUD( ) = + =1
9
1
9
2
9
04 e
Existem C 42 4 3
2 16=
sdotsdot= modos de se escolher duas bolas entre as qua-
tro A temperatura seraacute negativa apenas no caso da escolha das esfe-ras metaacutelicas M e Q Logo a probabilidade de que a temperatura de equiliacutebrio seja negativa eacute igual a 16 Dessa forma a probabilidade de que a temperatura natildeo seja negativa eacute igual a 1 ndash 16 = 56
05 Considerando que haacute 71 cidadatildeos que 7 pertencem agrave famiacutelia Gene-roza e que a ordem em que satildeo selecionados natildeo eacute relevante tem-sebull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos eacute
dado por
C 712 71 70
2 12485=
sdotsdot
=
bull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos da famiacutelia Generoza eacute dado por
C 72 7 6
2 121=
sdotsdot=
Portanto a probabilidade de os 2 cidadatildeos eleitos pertencerem agrave fa-miacutelia Generoza eacute igual a
pC
C= = =7
2
712
21
2485
3
355
06 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA
Cada byte eacute composto de 8 bits e cada bit possui duas infor-maccedilotildees distintas Logo em um byte podem-se armazenar 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 256 informaccedilotildees distintas
02) FALSAA cada segundo satildeo carregados 1024 bits ou
1024
8128= bytes
Em 10 minutos satildeo carregados 10 middot 60 middot 128 = 75 middot 210 bytes = 75 kilobytesComo 1 megabyte = 210 kilobytes tem-se que 75 kilobytes eacute me-nor que 80 megabytes
04) VERDADEIRAO texto ldquoUniversidade Estadual de Maringaacuterdquo eacute constituiacutedo por 32 caracteres incluindo os espaccedilos Como cada caractere ocupa um byte de espaccedilo de memoacuteria o texto ocupa um armazena-mento de 32 bytes Cada byte corresponde a 8 bits de modo que 32 bytes podem ser armazenados em32 middot 8 = 25 middot 23 = 28 bits
08) FALSA1 terabyte = 210 gigabytes = 210 middot 210 megabytes = 220 megabytes16) VERDADEIRAPara cada byte haacute 28 sequecircncias possiacuteveis Logo a probabilidade de que uma determinada letra seja representada por um byte eacute
igual a 1
2 8 Para representar as 3 letras que formam a palavra UEM
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
10BMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
nesta ordem a probabilidade eacute igual a
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
28 8 8 8 8 8 24
24
sdot sdot = = = + +
07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA
Sejam x a quantidade de jogadores de defesa e 2x a quantidade de jogado-res de ataque Assim a meacutedia de gols marcados pelos jogadores de defesa e pelos jogadores de ataque eacute respecti-vamente igual a
Defesa 9 7 4 20+ +
=x x
Ataque 7 8 15
2
30
2
15+ += =
x x x
Observando-se que 20 15
x xgt conclui-
-se que a meacutedia dos jogadores de defesa eacute maior do que a meacutedia dos de ataque
02) FALSAA fraccedilatildeo da quantidade de gols do time que corresponde aos gols marcados pelos jogadores de ataque eacute igual a
7 8 15
9 7 4 7 8 15
30
50
3
5
+ ++ + + + +
= =
Portanto os jogadores de ataque natildeo marcaram trecircs quartos do total de gols do time
04) VERDADEIRA A probabilidade de um gol ter sido marcado em uma cobranccedila de falta direta eacute igual a
7 8
9 7 4 7 8 15
15
500 30 30
++ + + + +
= = =
08) FALSAA probabilidade de que o gol escolhi-do ao acaso tenha sido marcado em situaccedilatildeo normal de jogo dado que foi marcado por um jogador de defesa eacute igual a
p normal defesa( ) = = =4
200 20 20
16) VERDADEIRAA probabilidade de que o gol escolhido ao acaso tenha sido marcado por um joga-dor de ataque dado que foi marcado em uma cobranccedila de falta ensaiada eacute menor do que 50
p ataque falta ensaiada( ) = lt = =7
16
8
16
1
20 50
08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA
Para a disputa da partida final existem 4 modos de se escolher o melhor joga-dor de um dos grupos e para cada um destes 4 modos de se escolher o melhor jogador do outro grupo Dessa forma pelo princiacutepio multiplicativo existem 4 middot 4 = 16 modos de se escolher os dois jogadores da partida final
02) VERDADEIRA Seratildeo exatamente 2 middot C2
4 = 12 partidas entre membros de um mesmo grupo mais a partida final Portanto haveraacute um total de 12 + 1 = 13 partidas no torneio
04) VERDADEIRA Joatildeo vai se sagrar campeatildeo invicto se ganhar 4 partidas consecutivas Logo a probabilidade de Joatildeo se sagrar campeatildeo invicto do torneio eacute igual a
p= sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
08) VERDADEIRA O nuacutemero de modos de se formar um grupo eacute igual ao nuacutemero de modos de se escolher
4 jogadores dentre os 8 possiacuteveis ou seja C 84 8 7 6 5
4 3 2 170=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
16) FALSASe Joatildeo e seu irmatildeo natildeo puderem fazer parte do mesmo grupo entatildeo estaratildeo em grupos distintos Vamos supor que se queira calcular a quantidade de maneiras de se formar o grupo A Existem 2 opccedilotildees quanto agrave escolha de qual dos irmatildeos estaraacute no grupo A (Joatildeo ou seu ir-
matildeo) e para cada uma dessas opccedilotildees existem C 63 6 5 4
3 2 120=
sdot sdotsdot sdot
= modos de se escolher os
demais jogadores que compotildeem o grupo Assim existem exatamente 2 middot 20 = 40 maneiras diferentes de se formar um grupo A
09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA
Os elementos da diagonal principal representam as seguintes probabilidades condicionaisp ganhar ganhou ( ) = 0 5
p empatar empatou ( ) = 0 6
p perder perdeu ( ) = 0 4
02) FALSAInicialmente vamos calcular a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo analisando os possiacuteveis resultados do primeiro jogo Se o time ganhou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 G1) = p(G2 e G3 G1) + p(E2 e G3 G1) + p(P2 e G3 G1)p(G3 G1) = 05 middot 05 + 03 middot 02 + 02 middot 03p(G3 G1) = 037Se o time empatou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 E1) = p(G2 e G3 E1) + p(E2 e G3 E1) + p(P2 e G3 E1)p(G3 E1) = 02 middot 05 + 06 middot 02 + 02 middot 03 p(G3 E1) = 028Se o time perdeu o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033Logo a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo depende do resultado do primeiro jogo
04) FALSAA probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo tendo perdido o primeiro eacute superior a 30p(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033 = 33 gt 30
08) VERDADEIRAA probabilidade de o time perder o segundo jogo eacute igual ap(P2) = p(G1 e P2) + p(E1 e P2) + p(P1 e P2)p(P2) = p(G1) middot p(P2 G1) + p(E1) middot p(P2 E1) + p(P1) middot p(P2 P1)p(P2) = 05 middot 02 + 04 middot 02 + 01 middot 04p(P2) = 022 = 22
16) VERDADEIRA
P P P2
0 5 0 3 0 2
0 2 0 6 0 2
0 3 0 3 0 4
0 5 0 3 0 2
0 2 0= sdot =
sdot
6 0 2
0 3 0 3 0 4
P 2
0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0
=sdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot sdot +
3 0 2 0 2 0 4
0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2
sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot00 3 0 2 0 2 0 6 0 2 0 2 0 4
0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3
sdot + sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot +00 3 0 6 0 4 0 3 0 3 0 2 0 3 0 2 0 4 0 4 sdot + sdot sdot + sdot + sdot
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
P
p G G p E G p P G
p G E p E E p P E
p G P
23 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1
3 1
=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(
)) ( ) ( )
p E P p P P3 1 3 1
10 V ndash F ndash V ndash VDo enunciado tem-se p(N) = 23 p(Nc) = 13 p(AN) = 13 p(AcN) = 23 p(ANc) = 16 e p(AcNc) = 561) VERDADEIRA
A probabilidade de que a noite de 1ordm de novembro seja nublada e de que um coelho caia numa armadilha nessa mesma noite eacute igual ap N e A p N p A N( ) = ( ) sdot ( )
p N e A( ) = sdot =2
3
1
3
2
9
2) FALSAA probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha esteja a noite nublada ou natildeo eacute igual a
p A p N e A p N e Ac( ) = ( )+ ( )p A( ) = sdot + sdot =
2
3
1
3
1
3
1
6
5
18
3) VERDADEIRAEm uma noite de novembro em que um coelho caiu em uma ar-madilha a probabilidade de que esta noite seja nublada eacute igual a
p N Ap N e A
p A( ) = ( )
( )
p N A ( ) = = sdot = =
2
95
18
2
9
18
5
4
580
4) VERDADEIRASabe-se que
p R p A e R p A e Rc( ) = ( )+ ( )p R p A p R A p A p R Ac c( ) = ( ) sdot ( )+ ( ) sdot ( )
p R( ) = sdot + sdot =5
18
1
5
13
18
1
10
23
180
Assim a probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha ou de que uma raposa mate um coelho em uma noite de novem-bro eacute igual ap A ouR p A p R p A e R( ) = ( )+ ( )minus ( )
p A ouR( ) = + minus =5
18
23
180
1
18
7
20
11 a) O espaccedilo amostral eacute formado por 63 = 216 elementos pois Soacutecra-tes lanccedilaraacute 3 dados Se Xantipa obteve 5 e 5 entatildeo para que Soacutecrates conquiste um ter-ritoacuterio eacute necessaacuterio que dois de seus dados apresentem o nuacutemero 6 Se dois dados apresentarem o nuacutemero 6 e o uacuteltimo natildeo apresen-tar existem 3 modos ((6 6 ) (6 6) ( 6 6)) de se escolher o dado que natildeo apresenta o nuacutemero 6 e para cada uma destes modos existem 5 modos (1 2 3 4 ou 5) de se escolher o nuacutemero da face que natildeo apresenta o nuacutemero 6 Ou seja existem 3 middot 5 = 15 modos de esse caso acontecer Aleacutem disso existe ainda um uacutenico modo de Soacutecrates obter o nuacutemero 6 nos trecircs dados (6 6 6) No total satildeo portanto 15 + 1 = 16 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio Desta forma a probabilidade eacute igual a
p= =16
216
2
27
b) Se Xantipa obteve 5 e 4 Soacutecrates conquistaraacute o territoacuterio se um de seus dados apresentar o nuacutemero 6 outro dado apresentar um
nuacutemero 5 ou 6 e o terceiro dado apresentar qualquer nuacutemero Vamos analisar alguns casosbull (6 6 6) rarr 1 uacutenico modobull (6 6 ) rarr 3 middot 5 = 15 modos nos quais ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 6bull (6 5 5) rarr 3 modosbull (6 5 ) rarr 3 middot 4 = 24 modos em que ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 5 e 6No total satildeo 1 + 15 + 3 + 24 = 43 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio em disputa Logo a probabilidade eacute igual a
p=43
216
12 Para o lanccedilamento de dois dados existem 62 = 36 resultados possiacute-veis A soma eacute menor que 4 em exatamente 3 resultados (1 1) (12) e (2 1) Assim a probabilidade de a bola ser retirada da caixa branca eacute
igual a 3
36 Por outro lado a probabilidade de a bola ser retirada da
caixa preta eacute igual a 13
36
33
36minus = Portanto nas condiccedilotildees apresenta-
das a probabilidade de se retirar uma bola verde eacute igual ap Bola Verde p CaixaBrancae Bola Verde p Caixa eta e Bola Ver( ) ( ) ( Pr= + dde)
p Bola Verde( ) = sdot + sdot3
36
5
8
33
36
3
5
p Bola Verde( ) = 289
480
13 a) Observe a figura de um hexaacutegono regular (6 lados) inscrito em um ciacuterculo
O hexaacutegono possui 6 veacutertices Logo existem C 64 6 5 4 3
4 3 2 115=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
modos possiacuteveis de se escolher 4 veacutertices dentre os 6 e determinar um quadrilaacutetero inscrito no ciacuterculo Desses 15 modos em apenas 3 o quadrilaacutetero determinado eacute um retacircngulo
Pode-se observar que a quantidade de retacircngulos eacute determinada pelo nuacutemero de escolhas de 2 diagonais que passam pelo centro do hexaacutegono Como existem 3 diagonais que passam pelo centro (me-tade da quantidade de lados) a quantidade de retacircngulos eacute igual a
C 32 3 2
2 13=
sdotsdot= Logo a probabilidade de o quadrilaacutetero ser um re-
tacircngulo eacute igual a
pC
C= = =3
2
64
3
15
1
5
b) Considerando a soluccedilatildeo do item (a) se o poliacutegono possui 1000 la-dos existem C1000
4 quadrilaacuteteros determinados pelos veacutertices do poliacutegono de 1000 lados Dentre as possiacuteveis escolhas que podem ser realizadas exatamente C 500
2 retacircngulos satildeo determinados pois existem 500 diagonais que passam pelo centro do poliacutegono
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
Dessa forma a probabilidade eacute igual a
pC
C= 500
2
10004
p=
sdotsdot
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
500 499
2 11000 999 998 997
4 3 2 1
p=sdotsdot
sdotsdot sdot sdot
sdot sdot sdot500 499
2 1
4 3 2 1
1000 999 998 997
p=1
332001
c) Inicialmente existem C10013 triacircngulos que podem ser determina-
dos por 3 veacutertices quaisquer de um poliacutegono regular constituiacutedo por 1001 lados Sejam k a quantidade de arcos cocircngruos e consecutivos de P ob-servados no ciacuterculo que circunscreve P e a a medida de um acircngu-lo inscrito a esse ciacuterculo e que tambeacutem eacute medida do acircngulo obtuso do triacircngulo determinado pelos veacutertices de P Entatildeo
α = sdot sdot gt1
2
360
100190
k
Consequentementek gt 500 5
Observando que k isin IN tem-se k ge 501O resultado indica que o triacircngulo determinado por 3 veacutertices de P possuiraacute um acircngulo obtuso se considerarmos a medida de no miacutenimo 501 arcos cocircngruos e consecutivos determinados por P no ciacuterculo que o circunscreve Logo existem 1001 modos de se escolher um veacutertice A do triacircngulo e uma vez escolhido esse veacuter-
tice dos 1000 veacutertices restantes existem C C1000 5002
5002
minus = modos possiacuteveis de se escolher os 2 outros veacutertices (B e C) do triacircngulo de modo que o triacircngulo ABC seja obtuso no veacutertice APortanto a probabilidade de o triacircngulo ter um acircngulo obtuso eacute igual a
pC
C=
sdot1001 5002
10013
p=sdot
sdotsdot
sdot sdotsdot sdot
1001500 499
2 11001 1000 999
3 2 1
p= sdotsdotsdot
sdotsdot sdot
sdot sdot1001
500 499
2 1
3 2 1
1001 1000 999
p=499
66614 Soluccedilatildeo
a) Supondo que a banca inicie com nenhuma ficha o desenvolvimen-to do jogo ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas eacute o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 15 14 13 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
12 15 14 1
2a jogada Breno descarta
13 12 15 2
3a jogada Catarina descarta
14 13 12 3
Observa-se que apoacutes 3 rodadas a Banca ficou com uma das fichas de cada jogador de modo que a quantidade de fichas de cada jogador
eacute exatamente uma unidade menor do que no iniacutecio Assim a cada 3 rodadas cada jogador tem a quantidade de fichas diminuiacuteda de uma unidade Dessa forma apoacutes 36 rodadas cada jogador teria 12 fichas a menos do que no iniacutecio e as quantidades de fichas seriam as seguintes
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
36a jogada Catarina descarta
3 2 1 36
Na 37a jogada Aacutelvaro descartaraacute 3 fichas e teraacute descartado todas as fichas que possuiacutea Logo Aacutelvaro seraacute o vencedor na 37a jogadab) No iniacutecio as quantidades satildeo as seguintes em que x eacute natural e
1 lt x lt 8
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio x 4 4 0
Se x = 1 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento das quantidades de fichas de cada jogador ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 1 4 4 0
1a jogada Breno descarta
2 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
3 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
0 3 3 3
Logo necessariamente Aacutelvaro seria o vencedor pois descartaria suas fichas antes dos demais jogadores ao final da 3a jogadaSe x = 2 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 2 4 4 0
1a jogada Breno descarta
3 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
4 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
1 3 3 3
Apoacutes 3 jogadas ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas dependendo de quem seria sorteado Nesta situaccedilatildeo a probabilidade de Breno ser o vencedor eacute igual a 12 a probabilidade de Catarina eacute igual a 12 enquanto que a probabilidade de Aacutelvaro eacute igual a 0Se x = 3 deve haver um sorteio para determinar se Breno ou Catarina descartaraacute primeiro 3 de suas fichas Assim um possiacutevel desenvolvi-mento seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 3 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
4 1 5 1
2a jogada Breno descarta
5 2 2 2
3a jogada Catarina descarta
2 3 3 3
Na 4a jogada ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Logo nesta hipoacutetese de Aacutelvaro iniciar com 3 fichas a probabilidade
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
de Aacutelvaro ser vencedor eacute igual a 0 de Breno eacute igual a 12 e Catarina eacute igual a 12 Se x = 4 entatildeo todos os jogadores iniciaratildeo com o mesmo nuacutemero de fichas e portanto deveraacute haver um sorteio para estabelecer o jogador que primeiro descartaraacute as fichas Vamos analisar como se desenvolveria o jogo se Aacutelvaro iniciasse e em seguida Breno descartasse 3 das proacuteprias fichas
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 4 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
1 5 5 1
2a jogada Breno descarta
2 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
3 3 3 3
Observa-se que apoacutes 3 jogadas quem for sorteado para descartar as fichas seraacute o vencedor pois descartaraacute suas uacuteltimas 3 fichas Como as probabilidades de descarte satildeo iguais para cada um a probabilidade de cada jogador ser vencedor seria igual a 13 Se x = 5 ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas um possiacutevel desenvolvimento seria o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 5 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
2 5 5 1
2a jogada Breno descarta
3 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
4 3 3 3
Se a cada 3 jogadas cada jogador ficaria com uma ficha a menos do que possuiacutea apoacutes 6 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Apoacutes 6 jogadas 3 2 2 6
Na 7a jogada Aacutelvaro descartaria suas 3 uacuteltimas fichas e seria o vencedorSe x = 6 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 6 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 1 3 3 7
Na 8a jogada Breno ou Catarina descartaria suas 3 fichas e seria vence-dor Entatildeo se x = 6 a probabilidade de Aacutelvaro vencer eacute igual a 0(zero)
enquanto Breno e Catarina tecircm chances iguais de vencer sendo igual a 1
2 a probabilidade de Breno eacute igual a 1
2 a probabilidade de Catarina
Se x = 7 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 7 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 2 3 3 7
Na 8a jogada ou Breno ou Catarina dependendo de quem for sorteado descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Neste caso Breno teria probabilidade igual a 12 Catarina tambeacutem teria igual a 12 e seria impossiacutevel Aacutelvaro ser vencedor
Se x = 8 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 8 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 3 3 3 7
Na 8a jogada deve haver um sorteio para estabelecer qual jogador descartaraacute suas 3 uacuteltimas fichas Como as probabilidades satildeo iguais a probabilidade de cada jogador ser vencedor eacute igual a 13Em suma a resposta eacute a seguinte
Probabilidade de vitoacuteria
x Aacutelvaro Breno Catarina
1 1 0 0
2 0 12 12
3 0 12 12
4 13 13 13
5 1 0 0
6 0 12 12
7 0 12 12
8 13 13 13
15 a
Existem C 205 20 19 18 17 16
5 4 3 2 115504=
sdot sdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5
representantes serem escolhidos Existem 4 middot 4 middot 4 middot 4 middot 4 = 45 = 1024 modos de escolher 5 representantes sendo um de cada municiacutepio Logo a probabilidade eacute igual a
p= =1024
15504
64
969
16 dI A probabilidade de duas caras em dois lanccedilamentos de uma moeda
comum eacute igual a
p I( ) = sdot = = =1
2
1
2
1
40 25 25
II A probabilidade de trecircs caras e uma coroa em quatro lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p II P( ) = sdot sdot sdot sdot = sdot = = =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
4
3
1
40 25 254
3
III A probabilidade de cinco caras e trecircs coroas em oito lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p III P( ) = sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot = sdotsdot
= =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
256
8
3 5
7
320 218
3 5
8875 21 875=
Logo os resultados I e II satildeo igualmente provaacuteveis (e o resultado III eacute o menos provaacutevel)
17 17 (01 16)01) VERDADEIRA
Se nos 6 primeiros lanccedilamentos natildeo se definiu o vencedor entatildeo certa-mente ocorreram 3 caras e 3 coroas Com o resultado do 7ordm lanccedilamen-to teremos 4 caras ou 4 coroas e portanto seraacute definido o vencedorSatildeo necessaacuterios no maacuteximo sete lanccedilamentos para se determinar o vencedor
02) FALSAA probabilidade de ocorrerem 4 caras nos 4 primeiros lanccedilamen-
tos eacute igual a 1
2
1
16
4 = A probabilidade de ocorrerem 4 coroas
nos 4 primeiros lanccedilamentos eacute igual a 1
2
1
16
4 = Logo a proba-
5Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-
mentos eacute igual a 1
16
1
16
2
16
1
8+ = =
A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados
iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11
8
7
8
04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias
R R R Rrarr sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a
p Tiago( ) = + sdot = =1
164
1
32
6
32
3
16
Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a
p Pedro( ) = minus =13
16
13
16
08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair
ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1
2 mesma probabili-
dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA
A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja
63 36
1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P
2 64 16 = = =
O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-
lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1
2
5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1
16 16 16 2= minus = gt =
18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA
Existem C122 12 11
2 166=
sdotsdot
= modos de se escolher 2 pacientes dis-
tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-
bilidade eacute igual a 23
66
02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta
forma a probabilidade eacute igual a 32
66
16
33=
04) FALSA
O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9
2 145=
sdotsdot=
08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a
60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21
66
7
22=
19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por
p= sdot = =1
2
1
2
1
425
b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos
bull FF rarr 1
2
1
2
1
4sdot =
bull FRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull RFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por
p F
p F
( )
( )
= + + + + +
=
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
1
1611
16
O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos
bull RRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
6 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
01 a
Existem C C95
94 9 8 7 6
4 3 2 1126= =
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5 nuacuteme-
ros serem sorteados entre os 9 disponiacuteveis Para o jogador que ano-
tou 2 nuacutemeros existem C 73 7 6 5
3 2 135=
sdot sdotsdot sdot
= modos de acertar 2 nuacute-
meros entre os 5 sorteados Logo a probabilidade de acertar os
2 nuacutemeros anotados eacute igual a C
C73
95
35
126
5
18= = middot No caso do jogador
que anotou 3 nuacutemeros existem C 62 6 5
2 115=
sdotsdot= modos de acertar
os 3 nuacutemeros anotados entre os 5 sorteados Para este jogador a
probabilidade de acerto eacute igual a C
C62
95
15
126
5
42= = middot
A divisatildeo do precircmio seraacute inversamente proporcional agraves probabili-dades pois cada jogador apostou a mesma quantia Assim sendo a e b as quantias que cabem aos jogadores que anotaram 2 e 3 nuacutemeros respectivamente tem-se
5
18
5
421100
sdot = sdot
+ =
a b
a b
b a
a b
= sdot
+ =
7
31100
Substituindo a primeira relaccedilatildeo na segunda equaccedilatildeo tem-se
a a+ sdot =7
31100
3 7 3300sdot + sdot =a a
10 3300sdot =a
a= 330
Portanto o jogador que anotou 2 nuacutemeros receberaacute R$ 3300002 c
Se um dado cuacutebico eacute lanccedilado 3 vezes existem 63 = 216 resultados possiacuteveisSejam os eventos X b eacute sucessor de a Y c eacute sucessor de B X cap Y b eacute sucessor de a e c eacute sucessor de b Assim vamos analisar as quantida-des de resultados para cada eventobull Evento X a natildeo pode ser o nuacutemero 6 e b eacute o uacutenico sucessor de a
5 1 6 = 30
a b c
bull Evento Y b natildeo pode ser o nuacutemero 6 e c eacute o uacutenico sucessor de b
6 5 1 = 30
a b c
bull Evento X cap Y a natildeo pode ser 5 ou 6 b eacute o uacutenico sucessor de a e c eacute o uacutenico sucessor de b
4 1 1 = 4
a b c
Portanto a probabilidade eacute dada porp(X cup Y) = p(X) + p(Y) ndash p(X cap Y)
p X Ycup( ) = + minus30
216
30
216
4
216
p X Ycup( ) = =56
216
7
27
03 aVamos considerar os eventos N U e D segundo os quais a pessoa daacute ne-nhuma volta uma uacutenica volta e duas voltas respectivamente enfrentan-do uma uacutenica fila A probabilidade de a pessoa conseguir dar exatamen-te 4 voltas na montanha-russa enfrentando a fila 3 vezes eacute dada por
p DDN ouUUD( ) = sdot sdot sdot + sdot sdot sdot1
3
1
3
1
33
1
3
1
3
1
33
p DDN ouUUD( ) = + =1
9
1
9
2
9
04 e
Existem C 42 4 3
2 16=
sdotsdot= modos de se escolher duas bolas entre as qua-
tro A temperatura seraacute negativa apenas no caso da escolha das esfe-ras metaacutelicas M e Q Logo a probabilidade de que a temperatura de equiliacutebrio seja negativa eacute igual a 16 Dessa forma a probabilidade de que a temperatura natildeo seja negativa eacute igual a 1 ndash 16 = 56
05 Considerando que haacute 71 cidadatildeos que 7 pertencem agrave famiacutelia Gene-roza e que a ordem em que satildeo selecionados natildeo eacute relevante tem-sebull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos eacute
dado por
C 712 71 70
2 12485=
sdotsdot
=
bull o total de possibilidades para haver agrupamento de 2 cidadatildeos da famiacutelia Generoza eacute dado por
C 72 7 6
2 121=
sdotsdot=
Portanto a probabilidade de os 2 cidadatildeos eleitos pertencerem agrave fa-miacutelia Generoza eacute igual a
pC
C= = =7
2
712
21
2485
3
355
06 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA
Cada byte eacute composto de 8 bits e cada bit possui duas infor-maccedilotildees distintas Logo em um byte podem-se armazenar 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 256 informaccedilotildees distintas
02) FALSAA cada segundo satildeo carregados 1024 bits ou
1024
8128= bytes
Em 10 minutos satildeo carregados 10 middot 60 middot 128 = 75 middot 210 bytes = 75 kilobytesComo 1 megabyte = 210 kilobytes tem-se que 75 kilobytes eacute me-nor que 80 megabytes
04) VERDADEIRAO texto ldquoUniversidade Estadual de Maringaacuterdquo eacute constituiacutedo por 32 caracteres incluindo os espaccedilos Como cada caractere ocupa um byte de espaccedilo de memoacuteria o texto ocupa um armazena-mento de 32 bytes Cada byte corresponde a 8 bits de modo que 32 bytes podem ser armazenados em32 middot 8 = 25 middot 23 = 28 bits
08) FALSA1 terabyte = 210 gigabytes = 210 middot 210 megabytes = 220 megabytes16) VERDADEIRAPara cada byte haacute 28 sequecircncias possiacuteveis Logo a probabilidade de que uma determinada letra seja representada por um byte eacute
igual a 1
2 8 Para representar as 3 letras que formam a palavra UEM
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
10BMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
nesta ordem a probabilidade eacute igual a
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
28 8 8 8 8 8 24
24
sdot sdot = = = + +
07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA
Sejam x a quantidade de jogadores de defesa e 2x a quantidade de jogado-res de ataque Assim a meacutedia de gols marcados pelos jogadores de defesa e pelos jogadores de ataque eacute respecti-vamente igual a
Defesa 9 7 4 20+ +
=x x
Ataque 7 8 15
2
30
2
15+ += =
x x x
Observando-se que 20 15
x xgt conclui-
-se que a meacutedia dos jogadores de defesa eacute maior do que a meacutedia dos de ataque
02) FALSAA fraccedilatildeo da quantidade de gols do time que corresponde aos gols marcados pelos jogadores de ataque eacute igual a
7 8 15
9 7 4 7 8 15
30
50
3
5
+ ++ + + + +
= =
Portanto os jogadores de ataque natildeo marcaram trecircs quartos do total de gols do time
04) VERDADEIRA A probabilidade de um gol ter sido marcado em uma cobranccedila de falta direta eacute igual a
7 8
9 7 4 7 8 15
15
500 30 30
++ + + + +
= = =
08) FALSAA probabilidade de que o gol escolhi-do ao acaso tenha sido marcado em situaccedilatildeo normal de jogo dado que foi marcado por um jogador de defesa eacute igual a
p normal defesa( ) = = =4
200 20 20
16) VERDADEIRAA probabilidade de que o gol escolhido ao acaso tenha sido marcado por um joga-dor de ataque dado que foi marcado em uma cobranccedila de falta ensaiada eacute menor do que 50
p ataque falta ensaiada( ) = lt = =7
16
8
16
1
20 50
08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA
Para a disputa da partida final existem 4 modos de se escolher o melhor joga-dor de um dos grupos e para cada um destes 4 modos de se escolher o melhor jogador do outro grupo Dessa forma pelo princiacutepio multiplicativo existem 4 middot 4 = 16 modos de se escolher os dois jogadores da partida final
02) VERDADEIRA Seratildeo exatamente 2 middot C2
4 = 12 partidas entre membros de um mesmo grupo mais a partida final Portanto haveraacute um total de 12 + 1 = 13 partidas no torneio
04) VERDADEIRA Joatildeo vai se sagrar campeatildeo invicto se ganhar 4 partidas consecutivas Logo a probabilidade de Joatildeo se sagrar campeatildeo invicto do torneio eacute igual a
p= sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
08) VERDADEIRA O nuacutemero de modos de se formar um grupo eacute igual ao nuacutemero de modos de se escolher
4 jogadores dentre os 8 possiacuteveis ou seja C 84 8 7 6 5
4 3 2 170=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
16) FALSASe Joatildeo e seu irmatildeo natildeo puderem fazer parte do mesmo grupo entatildeo estaratildeo em grupos distintos Vamos supor que se queira calcular a quantidade de maneiras de se formar o grupo A Existem 2 opccedilotildees quanto agrave escolha de qual dos irmatildeos estaraacute no grupo A (Joatildeo ou seu ir-
matildeo) e para cada uma dessas opccedilotildees existem C 63 6 5 4
3 2 120=
sdot sdotsdot sdot
= modos de se escolher os
demais jogadores que compotildeem o grupo Assim existem exatamente 2 middot 20 = 40 maneiras diferentes de se formar um grupo A
09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA
Os elementos da diagonal principal representam as seguintes probabilidades condicionaisp ganhar ganhou ( ) = 0 5
p empatar empatou ( ) = 0 6
p perder perdeu ( ) = 0 4
02) FALSAInicialmente vamos calcular a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo analisando os possiacuteveis resultados do primeiro jogo Se o time ganhou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 G1) = p(G2 e G3 G1) + p(E2 e G3 G1) + p(P2 e G3 G1)p(G3 G1) = 05 middot 05 + 03 middot 02 + 02 middot 03p(G3 G1) = 037Se o time empatou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 E1) = p(G2 e G3 E1) + p(E2 e G3 E1) + p(P2 e G3 E1)p(G3 E1) = 02 middot 05 + 06 middot 02 + 02 middot 03 p(G3 E1) = 028Se o time perdeu o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033Logo a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo depende do resultado do primeiro jogo
04) FALSAA probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo tendo perdido o primeiro eacute superior a 30p(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033 = 33 gt 30
08) VERDADEIRAA probabilidade de o time perder o segundo jogo eacute igual ap(P2) = p(G1 e P2) + p(E1 e P2) + p(P1 e P2)p(P2) = p(G1) middot p(P2 G1) + p(E1) middot p(P2 E1) + p(P1) middot p(P2 P1)p(P2) = 05 middot 02 + 04 middot 02 + 01 middot 04p(P2) = 022 = 22
16) VERDADEIRA
P P P2
0 5 0 3 0 2
0 2 0 6 0 2
0 3 0 3 0 4
0 5 0 3 0 2
0 2 0= sdot =
sdot
6 0 2
0 3 0 3 0 4
P 2
0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0
=sdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot sdot +
3 0 2 0 2 0 4
0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2
sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot00 3 0 2 0 2 0 6 0 2 0 2 0 4
0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3
sdot + sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot +00 3 0 6 0 4 0 3 0 3 0 2 0 3 0 2 0 4 0 4 sdot + sdot sdot + sdot + sdot
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
P
p G G p E G p P G
p G E p E E p P E
p G P
23 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1
3 1
=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(
)) ( ) ( )
p E P p P P3 1 3 1
10 V ndash F ndash V ndash VDo enunciado tem-se p(N) = 23 p(Nc) = 13 p(AN) = 13 p(AcN) = 23 p(ANc) = 16 e p(AcNc) = 561) VERDADEIRA
A probabilidade de que a noite de 1ordm de novembro seja nublada e de que um coelho caia numa armadilha nessa mesma noite eacute igual ap N e A p N p A N( ) = ( ) sdot ( )
p N e A( ) = sdot =2
3
1
3
2
9
2) FALSAA probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha esteja a noite nublada ou natildeo eacute igual a
p A p N e A p N e Ac( ) = ( )+ ( )p A( ) = sdot + sdot =
2
3
1
3
1
3
1
6
5
18
3) VERDADEIRAEm uma noite de novembro em que um coelho caiu em uma ar-madilha a probabilidade de que esta noite seja nublada eacute igual a
p N Ap N e A
p A( ) = ( )
( )
p N A ( ) = = sdot = =
2
95
18
2
9
18
5
4
580
4) VERDADEIRASabe-se que
p R p A e R p A e Rc( ) = ( )+ ( )p R p A p R A p A p R Ac c( ) = ( ) sdot ( )+ ( ) sdot ( )
p R( ) = sdot + sdot =5
18
1
5
13
18
1
10
23
180
Assim a probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha ou de que uma raposa mate um coelho em uma noite de novem-bro eacute igual ap A ouR p A p R p A e R( ) = ( )+ ( )minus ( )
p A ouR( ) = + minus =5
18
23
180
1
18
7
20
11 a) O espaccedilo amostral eacute formado por 63 = 216 elementos pois Soacutecra-tes lanccedilaraacute 3 dados Se Xantipa obteve 5 e 5 entatildeo para que Soacutecrates conquiste um ter-ritoacuterio eacute necessaacuterio que dois de seus dados apresentem o nuacutemero 6 Se dois dados apresentarem o nuacutemero 6 e o uacuteltimo natildeo apresen-tar existem 3 modos ((6 6 ) (6 6) ( 6 6)) de se escolher o dado que natildeo apresenta o nuacutemero 6 e para cada uma destes modos existem 5 modos (1 2 3 4 ou 5) de se escolher o nuacutemero da face que natildeo apresenta o nuacutemero 6 Ou seja existem 3 middot 5 = 15 modos de esse caso acontecer Aleacutem disso existe ainda um uacutenico modo de Soacutecrates obter o nuacutemero 6 nos trecircs dados (6 6 6) No total satildeo portanto 15 + 1 = 16 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio Desta forma a probabilidade eacute igual a
p= =16
216
2
27
b) Se Xantipa obteve 5 e 4 Soacutecrates conquistaraacute o territoacuterio se um de seus dados apresentar o nuacutemero 6 outro dado apresentar um
nuacutemero 5 ou 6 e o terceiro dado apresentar qualquer nuacutemero Vamos analisar alguns casosbull (6 6 6) rarr 1 uacutenico modobull (6 6 ) rarr 3 middot 5 = 15 modos nos quais ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 6bull (6 5 5) rarr 3 modosbull (6 5 ) rarr 3 middot 4 = 24 modos em que ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 5 e 6No total satildeo 1 + 15 + 3 + 24 = 43 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio em disputa Logo a probabilidade eacute igual a
p=43
216
12 Para o lanccedilamento de dois dados existem 62 = 36 resultados possiacute-veis A soma eacute menor que 4 em exatamente 3 resultados (1 1) (12) e (2 1) Assim a probabilidade de a bola ser retirada da caixa branca eacute
igual a 3
36 Por outro lado a probabilidade de a bola ser retirada da
caixa preta eacute igual a 13
36
33
36minus = Portanto nas condiccedilotildees apresenta-
das a probabilidade de se retirar uma bola verde eacute igual ap Bola Verde p CaixaBrancae Bola Verde p Caixa eta e Bola Ver( ) ( ) ( Pr= + dde)
p Bola Verde( ) = sdot + sdot3
36
5
8
33
36
3
5
p Bola Verde( ) = 289
480
13 a) Observe a figura de um hexaacutegono regular (6 lados) inscrito em um ciacuterculo
O hexaacutegono possui 6 veacutertices Logo existem C 64 6 5 4 3
4 3 2 115=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
modos possiacuteveis de se escolher 4 veacutertices dentre os 6 e determinar um quadrilaacutetero inscrito no ciacuterculo Desses 15 modos em apenas 3 o quadrilaacutetero determinado eacute um retacircngulo
Pode-se observar que a quantidade de retacircngulos eacute determinada pelo nuacutemero de escolhas de 2 diagonais que passam pelo centro do hexaacutegono Como existem 3 diagonais que passam pelo centro (me-tade da quantidade de lados) a quantidade de retacircngulos eacute igual a
C 32 3 2
2 13=
sdotsdot= Logo a probabilidade de o quadrilaacutetero ser um re-
tacircngulo eacute igual a
pC
C= = =3
2
64
3
15
1
5
b) Considerando a soluccedilatildeo do item (a) se o poliacutegono possui 1000 la-dos existem C1000
4 quadrilaacuteteros determinados pelos veacutertices do poliacutegono de 1000 lados Dentre as possiacuteveis escolhas que podem ser realizadas exatamente C 500
2 retacircngulos satildeo determinados pois existem 500 diagonais que passam pelo centro do poliacutegono
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
Dessa forma a probabilidade eacute igual a
pC
C= 500
2
10004
p=
sdotsdot
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
500 499
2 11000 999 998 997
4 3 2 1
p=sdotsdot
sdotsdot sdot sdot
sdot sdot sdot500 499
2 1
4 3 2 1
1000 999 998 997
p=1
332001
c) Inicialmente existem C10013 triacircngulos que podem ser determina-
dos por 3 veacutertices quaisquer de um poliacutegono regular constituiacutedo por 1001 lados Sejam k a quantidade de arcos cocircngruos e consecutivos de P ob-servados no ciacuterculo que circunscreve P e a a medida de um acircngu-lo inscrito a esse ciacuterculo e que tambeacutem eacute medida do acircngulo obtuso do triacircngulo determinado pelos veacutertices de P Entatildeo
α = sdot sdot gt1
2
360
100190
k
Consequentementek gt 500 5
Observando que k isin IN tem-se k ge 501O resultado indica que o triacircngulo determinado por 3 veacutertices de P possuiraacute um acircngulo obtuso se considerarmos a medida de no miacutenimo 501 arcos cocircngruos e consecutivos determinados por P no ciacuterculo que o circunscreve Logo existem 1001 modos de se escolher um veacutertice A do triacircngulo e uma vez escolhido esse veacuter-
tice dos 1000 veacutertices restantes existem C C1000 5002
5002
minus = modos possiacuteveis de se escolher os 2 outros veacutertices (B e C) do triacircngulo de modo que o triacircngulo ABC seja obtuso no veacutertice APortanto a probabilidade de o triacircngulo ter um acircngulo obtuso eacute igual a
pC
C=
sdot1001 5002
10013
p=sdot
sdotsdot
sdot sdotsdot sdot
1001500 499
2 11001 1000 999
3 2 1
p= sdotsdotsdot
sdotsdot sdot
sdot sdot1001
500 499
2 1
3 2 1
1001 1000 999
p=499
66614 Soluccedilatildeo
a) Supondo que a banca inicie com nenhuma ficha o desenvolvimen-to do jogo ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas eacute o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 15 14 13 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
12 15 14 1
2a jogada Breno descarta
13 12 15 2
3a jogada Catarina descarta
14 13 12 3
Observa-se que apoacutes 3 rodadas a Banca ficou com uma das fichas de cada jogador de modo que a quantidade de fichas de cada jogador
eacute exatamente uma unidade menor do que no iniacutecio Assim a cada 3 rodadas cada jogador tem a quantidade de fichas diminuiacuteda de uma unidade Dessa forma apoacutes 36 rodadas cada jogador teria 12 fichas a menos do que no iniacutecio e as quantidades de fichas seriam as seguintes
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
36a jogada Catarina descarta
3 2 1 36
Na 37a jogada Aacutelvaro descartaraacute 3 fichas e teraacute descartado todas as fichas que possuiacutea Logo Aacutelvaro seraacute o vencedor na 37a jogadab) No iniacutecio as quantidades satildeo as seguintes em que x eacute natural e
1 lt x lt 8
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio x 4 4 0
Se x = 1 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento das quantidades de fichas de cada jogador ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 1 4 4 0
1a jogada Breno descarta
2 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
3 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
0 3 3 3
Logo necessariamente Aacutelvaro seria o vencedor pois descartaria suas fichas antes dos demais jogadores ao final da 3a jogadaSe x = 2 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 2 4 4 0
1a jogada Breno descarta
3 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
4 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
1 3 3 3
Apoacutes 3 jogadas ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas dependendo de quem seria sorteado Nesta situaccedilatildeo a probabilidade de Breno ser o vencedor eacute igual a 12 a probabilidade de Catarina eacute igual a 12 enquanto que a probabilidade de Aacutelvaro eacute igual a 0Se x = 3 deve haver um sorteio para determinar se Breno ou Catarina descartaraacute primeiro 3 de suas fichas Assim um possiacutevel desenvolvi-mento seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 3 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
4 1 5 1
2a jogada Breno descarta
5 2 2 2
3a jogada Catarina descarta
2 3 3 3
Na 4a jogada ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Logo nesta hipoacutetese de Aacutelvaro iniciar com 3 fichas a probabilidade
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
de Aacutelvaro ser vencedor eacute igual a 0 de Breno eacute igual a 12 e Catarina eacute igual a 12 Se x = 4 entatildeo todos os jogadores iniciaratildeo com o mesmo nuacutemero de fichas e portanto deveraacute haver um sorteio para estabelecer o jogador que primeiro descartaraacute as fichas Vamos analisar como se desenvolveria o jogo se Aacutelvaro iniciasse e em seguida Breno descartasse 3 das proacuteprias fichas
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 4 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
1 5 5 1
2a jogada Breno descarta
2 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
3 3 3 3
Observa-se que apoacutes 3 jogadas quem for sorteado para descartar as fichas seraacute o vencedor pois descartaraacute suas uacuteltimas 3 fichas Como as probabilidades de descarte satildeo iguais para cada um a probabilidade de cada jogador ser vencedor seria igual a 13 Se x = 5 ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas um possiacutevel desenvolvimento seria o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 5 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
2 5 5 1
2a jogada Breno descarta
3 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
4 3 3 3
Se a cada 3 jogadas cada jogador ficaria com uma ficha a menos do que possuiacutea apoacutes 6 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Apoacutes 6 jogadas 3 2 2 6
Na 7a jogada Aacutelvaro descartaria suas 3 uacuteltimas fichas e seria o vencedorSe x = 6 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 6 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 1 3 3 7
Na 8a jogada Breno ou Catarina descartaria suas 3 fichas e seria vence-dor Entatildeo se x = 6 a probabilidade de Aacutelvaro vencer eacute igual a 0(zero)
enquanto Breno e Catarina tecircm chances iguais de vencer sendo igual a 1
2 a probabilidade de Breno eacute igual a 1
2 a probabilidade de Catarina
Se x = 7 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 7 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 2 3 3 7
Na 8a jogada ou Breno ou Catarina dependendo de quem for sorteado descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Neste caso Breno teria probabilidade igual a 12 Catarina tambeacutem teria igual a 12 e seria impossiacutevel Aacutelvaro ser vencedor
Se x = 8 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 8 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 3 3 3 7
Na 8a jogada deve haver um sorteio para estabelecer qual jogador descartaraacute suas 3 uacuteltimas fichas Como as probabilidades satildeo iguais a probabilidade de cada jogador ser vencedor eacute igual a 13Em suma a resposta eacute a seguinte
Probabilidade de vitoacuteria
x Aacutelvaro Breno Catarina
1 1 0 0
2 0 12 12
3 0 12 12
4 13 13 13
5 1 0 0
6 0 12 12
7 0 12 12
8 13 13 13
15 a
Existem C 205 20 19 18 17 16
5 4 3 2 115504=
sdot sdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5
representantes serem escolhidos Existem 4 middot 4 middot 4 middot 4 middot 4 = 45 = 1024 modos de escolher 5 representantes sendo um de cada municiacutepio Logo a probabilidade eacute igual a
p= =1024
15504
64
969
16 dI A probabilidade de duas caras em dois lanccedilamentos de uma moeda
comum eacute igual a
p I( ) = sdot = = =1
2
1
2
1
40 25 25
II A probabilidade de trecircs caras e uma coroa em quatro lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p II P( ) = sdot sdot sdot sdot = sdot = = =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
4
3
1
40 25 254
3
III A probabilidade de cinco caras e trecircs coroas em oito lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p III P( ) = sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot = sdotsdot
= =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
256
8
3 5
7
320 218
3 5
8875 21 875=
Logo os resultados I e II satildeo igualmente provaacuteveis (e o resultado III eacute o menos provaacutevel)
17 17 (01 16)01) VERDADEIRA
Se nos 6 primeiros lanccedilamentos natildeo se definiu o vencedor entatildeo certa-mente ocorreram 3 caras e 3 coroas Com o resultado do 7ordm lanccedilamen-to teremos 4 caras ou 4 coroas e portanto seraacute definido o vencedorSatildeo necessaacuterios no maacuteximo sete lanccedilamentos para se determinar o vencedor
02) FALSAA probabilidade de ocorrerem 4 caras nos 4 primeiros lanccedilamen-
tos eacute igual a 1
2
1
16
4 = A probabilidade de ocorrerem 4 coroas
nos 4 primeiros lanccedilamentos eacute igual a 1
2
1
16
4 = Logo a proba-
5Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-
mentos eacute igual a 1
16
1
16
2
16
1
8+ = =
A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados
iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11
8
7
8
04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias
R R R Rrarr sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a
p Tiago( ) = + sdot = =1
164
1
32
6
32
3
16
Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a
p Pedro( ) = minus =13
16
13
16
08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair
ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1
2 mesma probabili-
dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA
A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja
63 36
1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P
2 64 16 = = =
O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-
lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1
2
5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1
16 16 16 2= minus = gt =
18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA
Existem C122 12 11
2 166=
sdotsdot
= modos de se escolher 2 pacientes dis-
tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-
bilidade eacute igual a 23
66
02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta
forma a probabilidade eacute igual a 32
66
16
33=
04) FALSA
O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9
2 145=
sdotsdot=
08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a
60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21
66
7
22=
19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por
p= sdot = =1
2
1
2
1
425
b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos
bull FF rarr 1
2
1
2
1
4sdot =
bull FRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull RFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por
p F
p F
( )
( )
= + + + + +
=
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
1
1611
16
O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos
bull RRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
6 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
nesta ordem a probabilidade eacute igual a
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
28 8 8 8 8 8 24
24
sdot sdot = = = + +
07 21 (01 04 16)01) VERDADEIRA
Sejam x a quantidade de jogadores de defesa e 2x a quantidade de jogado-res de ataque Assim a meacutedia de gols marcados pelos jogadores de defesa e pelos jogadores de ataque eacute respecti-vamente igual a
Defesa 9 7 4 20+ +
=x x
Ataque 7 8 15
2
30
2
15+ += =
x x x
Observando-se que 20 15
x xgt conclui-
-se que a meacutedia dos jogadores de defesa eacute maior do que a meacutedia dos de ataque
02) FALSAA fraccedilatildeo da quantidade de gols do time que corresponde aos gols marcados pelos jogadores de ataque eacute igual a
7 8 15
9 7 4 7 8 15
30
50
3
5
+ ++ + + + +
= =
Portanto os jogadores de ataque natildeo marcaram trecircs quartos do total de gols do time
04) VERDADEIRA A probabilidade de um gol ter sido marcado em uma cobranccedila de falta direta eacute igual a
7 8
9 7 4 7 8 15
15
500 30 30
++ + + + +
= = =
08) FALSAA probabilidade de que o gol escolhi-do ao acaso tenha sido marcado em situaccedilatildeo normal de jogo dado que foi marcado por um jogador de defesa eacute igual a
p normal defesa( ) = = =4
200 20 20
16) VERDADEIRAA probabilidade de que o gol escolhido ao acaso tenha sido marcado por um joga-dor de ataque dado que foi marcado em uma cobranccedila de falta ensaiada eacute menor do que 50
p ataque falta ensaiada( ) = lt = =7
16
8
16
1
20 50
08 15 (01 02 04 08)01) VERDADEIRA
Para a disputa da partida final existem 4 modos de se escolher o melhor joga-dor de um dos grupos e para cada um destes 4 modos de se escolher o melhor jogador do outro grupo Dessa forma pelo princiacutepio multiplicativo existem 4 middot 4 = 16 modos de se escolher os dois jogadores da partida final
02) VERDADEIRA Seratildeo exatamente 2 middot C2
4 = 12 partidas entre membros de um mesmo grupo mais a partida final Portanto haveraacute um total de 12 + 1 = 13 partidas no torneio
04) VERDADEIRA Joatildeo vai se sagrar campeatildeo invicto se ganhar 4 partidas consecutivas Logo a probabilidade de Joatildeo se sagrar campeatildeo invicto do torneio eacute igual a
p= sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
08) VERDADEIRA O nuacutemero de modos de se formar um grupo eacute igual ao nuacutemero de modos de se escolher
4 jogadores dentre os 8 possiacuteveis ou seja C 84 8 7 6 5
4 3 2 170=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
16) FALSASe Joatildeo e seu irmatildeo natildeo puderem fazer parte do mesmo grupo entatildeo estaratildeo em grupos distintos Vamos supor que se queira calcular a quantidade de maneiras de se formar o grupo A Existem 2 opccedilotildees quanto agrave escolha de qual dos irmatildeos estaraacute no grupo A (Joatildeo ou seu ir-
matildeo) e para cada uma dessas opccedilotildees existem C 63 6 5 4
3 2 120=
sdot sdotsdot sdot
= modos de se escolher os
demais jogadores que compotildeem o grupo Assim existem exatamente 2 middot 20 = 40 maneiras diferentes de se formar um grupo A
09 25 (01 08 16)01) VERDADEIRA
Os elementos da diagonal principal representam as seguintes probabilidades condicionaisp ganhar ganhou ( ) = 0 5
p empatar empatou ( ) = 0 6
p perder perdeu ( ) = 0 4
02) FALSAInicialmente vamos calcular a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo analisando os possiacuteveis resultados do primeiro jogo Se o time ganhou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 G1) = p(G2 e G3 G1) + p(E2 e G3 G1) + p(P2 e G3 G1)p(G3 G1) = 05 middot 05 + 03 middot 02 + 02 middot 03p(G3 G1) = 037Se o time empatou o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 E1) = p(G2 e G3 E1) + p(E2 e G3 E1) + p(P2 e G3 E1)p(G3 E1) = 02 middot 05 + 06 middot 02 + 02 middot 03 p(G3 E1) = 028Se o time perdeu o primeiro jogo a probabilidade de ganhar o terceiro jogo eacute igual ap(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033Logo a probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo depende do resultado do primeiro jogo
04) FALSAA probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo tendo perdido o primeiro eacute superior a 30p(G3 P1) = p(G2 e G3 P1) + p(E2 e G3 P1) + p(P2 e G3 P1)p(G3 P1) = 03 middot 05 + 03 middot 02 + 04 middot 03p(G3 P1) = 033 = 33 gt 30
08) VERDADEIRAA probabilidade de o time perder o segundo jogo eacute igual ap(P2) = p(G1 e P2) + p(E1 e P2) + p(P1 e P2)p(P2) = p(G1) middot p(P2 G1) + p(E1) middot p(P2 E1) + p(P1) middot p(P2 P1)p(P2) = 05 middot 02 + 04 middot 02 + 01 middot 04p(P2) = 022 = 22
16) VERDADEIRA
P P P2
0 5 0 3 0 2
0 2 0 6 0 2
0 3 0 3 0 4
0 5 0 3 0 2
0 2 0= sdot =
sdot
6 0 2
0 3 0 3 0 4
P 2
0 5 0 5 0 3 0 2 0 2 0 3 0 5 0 3 0 3 0 6 0 2 0 3 0 5 0 2 0
=sdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot sdot +
3 0 2 0 2 0 4
0 2 0 5 0 6 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 6 0 6 0 2
sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot + sdot + sdot00 3 0 2 0 2 0 6 0 2 0 2 0 4
0 3 0 5 0 3 0 2 0 4 0 3 0 3 0 3
sdot + sdot + sdotsdot + sdot + sdot sdot +00 3 0 6 0 4 0 3 0 3 0 2 0 3 0 2 0 4 0 4 sdot + sdot sdot + sdot + sdot
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
P
p G G p E G p P G
p G E p E E p P E
p G P
23 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1
3 1
=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(
)) ( ) ( )
p E P p P P3 1 3 1
10 V ndash F ndash V ndash VDo enunciado tem-se p(N) = 23 p(Nc) = 13 p(AN) = 13 p(AcN) = 23 p(ANc) = 16 e p(AcNc) = 561) VERDADEIRA
A probabilidade de que a noite de 1ordm de novembro seja nublada e de que um coelho caia numa armadilha nessa mesma noite eacute igual ap N e A p N p A N( ) = ( ) sdot ( )
p N e A( ) = sdot =2
3
1
3
2
9
2) FALSAA probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha esteja a noite nublada ou natildeo eacute igual a
p A p N e A p N e Ac( ) = ( )+ ( )p A( ) = sdot + sdot =
2
3
1
3
1
3
1
6
5
18
3) VERDADEIRAEm uma noite de novembro em que um coelho caiu em uma ar-madilha a probabilidade de que esta noite seja nublada eacute igual a
p N Ap N e A
p A( ) = ( )
( )
p N A ( ) = = sdot = =
2
95
18
2
9
18
5
4
580
4) VERDADEIRASabe-se que
p R p A e R p A e Rc( ) = ( )+ ( )p R p A p R A p A p R Ac c( ) = ( ) sdot ( )+ ( ) sdot ( )
p R( ) = sdot + sdot =5
18
1
5
13
18
1
10
23
180
Assim a probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha ou de que uma raposa mate um coelho em uma noite de novem-bro eacute igual ap A ouR p A p R p A e R( ) = ( )+ ( )minus ( )
p A ouR( ) = + minus =5
18
23
180
1
18
7
20
11 a) O espaccedilo amostral eacute formado por 63 = 216 elementos pois Soacutecra-tes lanccedilaraacute 3 dados Se Xantipa obteve 5 e 5 entatildeo para que Soacutecrates conquiste um ter-ritoacuterio eacute necessaacuterio que dois de seus dados apresentem o nuacutemero 6 Se dois dados apresentarem o nuacutemero 6 e o uacuteltimo natildeo apresen-tar existem 3 modos ((6 6 ) (6 6) ( 6 6)) de se escolher o dado que natildeo apresenta o nuacutemero 6 e para cada uma destes modos existem 5 modos (1 2 3 4 ou 5) de se escolher o nuacutemero da face que natildeo apresenta o nuacutemero 6 Ou seja existem 3 middot 5 = 15 modos de esse caso acontecer Aleacutem disso existe ainda um uacutenico modo de Soacutecrates obter o nuacutemero 6 nos trecircs dados (6 6 6) No total satildeo portanto 15 + 1 = 16 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio Desta forma a probabilidade eacute igual a
p= =16
216
2
27
b) Se Xantipa obteve 5 e 4 Soacutecrates conquistaraacute o territoacuterio se um de seus dados apresentar o nuacutemero 6 outro dado apresentar um
nuacutemero 5 ou 6 e o terceiro dado apresentar qualquer nuacutemero Vamos analisar alguns casosbull (6 6 6) rarr 1 uacutenico modobull (6 6 ) rarr 3 middot 5 = 15 modos nos quais ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 6bull (6 5 5) rarr 3 modosbull (6 5 ) rarr 3 middot 4 = 24 modos em que ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 5 e 6No total satildeo 1 + 15 + 3 + 24 = 43 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio em disputa Logo a probabilidade eacute igual a
p=43
216
12 Para o lanccedilamento de dois dados existem 62 = 36 resultados possiacute-veis A soma eacute menor que 4 em exatamente 3 resultados (1 1) (12) e (2 1) Assim a probabilidade de a bola ser retirada da caixa branca eacute
igual a 3
36 Por outro lado a probabilidade de a bola ser retirada da
caixa preta eacute igual a 13
36
33
36minus = Portanto nas condiccedilotildees apresenta-
das a probabilidade de se retirar uma bola verde eacute igual ap Bola Verde p CaixaBrancae Bola Verde p Caixa eta e Bola Ver( ) ( ) ( Pr= + dde)
p Bola Verde( ) = sdot + sdot3
36
5
8
33
36
3
5
p Bola Verde( ) = 289
480
13 a) Observe a figura de um hexaacutegono regular (6 lados) inscrito em um ciacuterculo
O hexaacutegono possui 6 veacutertices Logo existem C 64 6 5 4 3
4 3 2 115=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
modos possiacuteveis de se escolher 4 veacutertices dentre os 6 e determinar um quadrilaacutetero inscrito no ciacuterculo Desses 15 modos em apenas 3 o quadrilaacutetero determinado eacute um retacircngulo
Pode-se observar que a quantidade de retacircngulos eacute determinada pelo nuacutemero de escolhas de 2 diagonais que passam pelo centro do hexaacutegono Como existem 3 diagonais que passam pelo centro (me-tade da quantidade de lados) a quantidade de retacircngulos eacute igual a
C 32 3 2
2 13=
sdotsdot= Logo a probabilidade de o quadrilaacutetero ser um re-
tacircngulo eacute igual a
pC
C= = =3
2
64
3
15
1
5
b) Considerando a soluccedilatildeo do item (a) se o poliacutegono possui 1000 la-dos existem C1000
4 quadrilaacuteteros determinados pelos veacutertices do poliacutegono de 1000 lados Dentre as possiacuteveis escolhas que podem ser realizadas exatamente C 500
2 retacircngulos satildeo determinados pois existem 500 diagonais que passam pelo centro do poliacutegono
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
Dessa forma a probabilidade eacute igual a
pC
C= 500
2
10004
p=
sdotsdot
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
500 499
2 11000 999 998 997
4 3 2 1
p=sdotsdot
sdotsdot sdot sdot
sdot sdot sdot500 499
2 1
4 3 2 1
1000 999 998 997
p=1
332001
c) Inicialmente existem C10013 triacircngulos que podem ser determina-
dos por 3 veacutertices quaisquer de um poliacutegono regular constituiacutedo por 1001 lados Sejam k a quantidade de arcos cocircngruos e consecutivos de P ob-servados no ciacuterculo que circunscreve P e a a medida de um acircngu-lo inscrito a esse ciacuterculo e que tambeacutem eacute medida do acircngulo obtuso do triacircngulo determinado pelos veacutertices de P Entatildeo
α = sdot sdot gt1
2
360
100190
k
Consequentementek gt 500 5
Observando que k isin IN tem-se k ge 501O resultado indica que o triacircngulo determinado por 3 veacutertices de P possuiraacute um acircngulo obtuso se considerarmos a medida de no miacutenimo 501 arcos cocircngruos e consecutivos determinados por P no ciacuterculo que o circunscreve Logo existem 1001 modos de se escolher um veacutertice A do triacircngulo e uma vez escolhido esse veacuter-
tice dos 1000 veacutertices restantes existem C C1000 5002
5002
minus = modos possiacuteveis de se escolher os 2 outros veacutertices (B e C) do triacircngulo de modo que o triacircngulo ABC seja obtuso no veacutertice APortanto a probabilidade de o triacircngulo ter um acircngulo obtuso eacute igual a
pC
C=
sdot1001 5002
10013
p=sdot
sdotsdot
sdot sdotsdot sdot
1001500 499
2 11001 1000 999
3 2 1
p= sdotsdotsdot
sdotsdot sdot
sdot sdot1001
500 499
2 1
3 2 1
1001 1000 999
p=499
66614 Soluccedilatildeo
a) Supondo que a banca inicie com nenhuma ficha o desenvolvimen-to do jogo ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas eacute o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 15 14 13 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
12 15 14 1
2a jogada Breno descarta
13 12 15 2
3a jogada Catarina descarta
14 13 12 3
Observa-se que apoacutes 3 rodadas a Banca ficou com uma das fichas de cada jogador de modo que a quantidade de fichas de cada jogador
eacute exatamente uma unidade menor do que no iniacutecio Assim a cada 3 rodadas cada jogador tem a quantidade de fichas diminuiacuteda de uma unidade Dessa forma apoacutes 36 rodadas cada jogador teria 12 fichas a menos do que no iniacutecio e as quantidades de fichas seriam as seguintes
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
36a jogada Catarina descarta
3 2 1 36
Na 37a jogada Aacutelvaro descartaraacute 3 fichas e teraacute descartado todas as fichas que possuiacutea Logo Aacutelvaro seraacute o vencedor na 37a jogadab) No iniacutecio as quantidades satildeo as seguintes em que x eacute natural e
1 lt x lt 8
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio x 4 4 0
Se x = 1 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento das quantidades de fichas de cada jogador ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 1 4 4 0
1a jogada Breno descarta
2 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
3 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
0 3 3 3
Logo necessariamente Aacutelvaro seria o vencedor pois descartaria suas fichas antes dos demais jogadores ao final da 3a jogadaSe x = 2 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 2 4 4 0
1a jogada Breno descarta
3 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
4 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
1 3 3 3
Apoacutes 3 jogadas ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas dependendo de quem seria sorteado Nesta situaccedilatildeo a probabilidade de Breno ser o vencedor eacute igual a 12 a probabilidade de Catarina eacute igual a 12 enquanto que a probabilidade de Aacutelvaro eacute igual a 0Se x = 3 deve haver um sorteio para determinar se Breno ou Catarina descartaraacute primeiro 3 de suas fichas Assim um possiacutevel desenvolvi-mento seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 3 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
4 1 5 1
2a jogada Breno descarta
5 2 2 2
3a jogada Catarina descarta
2 3 3 3
Na 4a jogada ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Logo nesta hipoacutetese de Aacutelvaro iniciar com 3 fichas a probabilidade
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
de Aacutelvaro ser vencedor eacute igual a 0 de Breno eacute igual a 12 e Catarina eacute igual a 12 Se x = 4 entatildeo todos os jogadores iniciaratildeo com o mesmo nuacutemero de fichas e portanto deveraacute haver um sorteio para estabelecer o jogador que primeiro descartaraacute as fichas Vamos analisar como se desenvolveria o jogo se Aacutelvaro iniciasse e em seguida Breno descartasse 3 das proacuteprias fichas
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 4 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
1 5 5 1
2a jogada Breno descarta
2 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
3 3 3 3
Observa-se que apoacutes 3 jogadas quem for sorteado para descartar as fichas seraacute o vencedor pois descartaraacute suas uacuteltimas 3 fichas Como as probabilidades de descarte satildeo iguais para cada um a probabilidade de cada jogador ser vencedor seria igual a 13 Se x = 5 ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas um possiacutevel desenvolvimento seria o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 5 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
2 5 5 1
2a jogada Breno descarta
3 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
4 3 3 3
Se a cada 3 jogadas cada jogador ficaria com uma ficha a menos do que possuiacutea apoacutes 6 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Apoacutes 6 jogadas 3 2 2 6
Na 7a jogada Aacutelvaro descartaria suas 3 uacuteltimas fichas e seria o vencedorSe x = 6 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 6 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 1 3 3 7
Na 8a jogada Breno ou Catarina descartaria suas 3 fichas e seria vence-dor Entatildeo se x = 6 a probabilidade de Aacutelvaro vencer eacute igual a 0(zero)
enquanto Breno e Catarina tecircm chances iguais de vencer sendo igual a 1
2 a probabilidade de Breno eacute igual a 1
2 a probabilidade de Catarina
Se x = 7 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 7 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 2 3 3 7
Na 8a jogada ou Breno ou Catarina dependendo de quem for sorteado descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Neste caso Breno teria probabilidade igual a 12 Catarina tambeacutem teria igual a 12 e seria impossiacutevel Aacutelvaro ser vencedor
Se x = 8 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 8 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 3 3 3 7
Na 8a jogada deve haver um sorteio para estabelecer qual jogador descartaraacute suas 3 uacuteltimas fichas Como as probabilidades satildeo iguais a probabilidade de cada jogador ser vencedor eacute igual a 13Em suma a resposta eacute a seguinte
Probabilidade de vitoacuteria
x Aacutelvaro Breno Catarina
1 1 0 0
2 0 12 12
3 0 12 12
4 13 13 13
5 1 0 0
6 0 12 12
7 0 12 12
8 13 13 13
15 a
Existem C 205 20 19 18 17 16
5 4 3 2 115504=
sdot sdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5
representantes serem escolhidos Existem 4 middot 4 middot 4 middot 4 middot 4 = 45 = 1024 modos de escolher 5 representantes sendo um de cada municiacutepio Logo a probabilidade eacute igual a
p= =1024
15504
64
969
16 dI A probabilidade de duas caras em dois lanccedilamentos de uma moeda
comum eacute igual a
p I( ) = sdot = = =1
2
1
2
1
40 25 25
II A probabilidade de trecircs caras e uma coroa em quatro lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p II P( ) = sdot sdot sdot sdot = sdot = = =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
4
3
1
40 25 254
3
III A probabilidade de cinco caras e trecircs coroas em oito lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p III P( ) = sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot = sdotsdot
= =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
256
8
3 5
7
320 218
3 5
8875 21 875=
Logo os resultados I e II satildeo igualmente provaacuteveis (e o resultado III eacute o menos provaacutevel)
17 17 (01 16)01) VERDADEIRA
Se nos 6 primeiros lanccedilamentos natildeo se definiu o vencedor entatildeo certa-mente ocorreram 3 caras e 3 coroas Com o resultado do 7ordm lanccedilamen-to teremos 4 caras ou 4 coroas e portanto seraacute definido o vencedorSatildeo necessaacuterios no maacuteximo sete lanccedilamentos para se determinar o vencedor
02) FALSAA probabilidade de ocorrerem 4 caras nos 4 primeiros lanccedilamen-
tos eacute igual a 1
2
1
16
4 = A probabilidade de ocorrerem 4 coroas
nos 4 primeiros lanccedilamentos eacute igual a 1
2
1
16
4 = Logo a proba-
5Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-
mentos eacute igual a 1
16
1
16
2
16
1
8+ = =
A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados
iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11
8
7
8
04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias
R R R Rrarr sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a
p Tiago( ) = + sdot = =1
164
1
32
6
32
3
16
Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a
p Pedro( ) = minus =13
16
13
16
08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair
ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1
2 mesma probabili-
dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA
A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja
63 36
1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P
2 64 16 = = =
O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-
lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1
2
5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1
16 16 16 2= minus = gt =
18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA
Existem C122 12 11
2 166=
sdotsdot
= modos de se escolher 2 pacientes dis-
tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-
bilidade eacute igual a 23
66
02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta
forma a probabilidade eacute igual a 32
66
16
33=
04) FALSA
O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9
2 145=
sdotsdot=
08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a
60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21
66
7
22=
19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por
p= sdot = =1
2
1
2
1
425
b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos
bull FF rarr 1
2
1
2
1
4sdot =
bull FRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull RFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por
p F
p F
( )
( )
= + + + + +
=
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
1
1611
16
O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos
bull RRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
6 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
P
p G G p E G p P G
p G E p E E p P E
p G P
23 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1
3 1
=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(
)) ( ) ( )
p E P p P P3 1 3 1
10 V ndash F ndash V ndash VDo enunciado tem-se p(N) = 23 p(Nc) = 13 p(AN) = 13 p(AcN) = 23 p(ANc) = 16 e p(AcNc) = 561) VERDADEIRA
A probabilidade de que a noite de 1ordm de novembro seja nublada e de que um coelho caia numa armadilha nessa mesma noite eacute igual ap N e A p N p A N( ) = ( ) sdot ( )
p N e A( ) = sdot =2
3
1
3
2
9
2) FALSAA probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha esteja a noite nublada ou natildeo eacute igual a
p A p N e A p N e Ac( ) = ( )+ ( )p A( ) = sdot + sdot =
2
3
1
3
1
3
1
6
5
18
3) VERDADEIRAEm uma noite de novembro em que um coelho caiu em uma ar-madilha a probabilidade de que esta noite seja nublada eacute igual a
p N Ap N e A
p A( ) = ( )
( )
p N A ( ) = = sdot = =
2
95
18
2
9
18
5
4
580
4) VERDADEIRASabe-se que
p R p A e R p A e Rc( ) = ( )+ ( )p R p A p R A p A p R Ac c( ) = ( ) sdot ( )+ ( ) sdot ( )
p R( ) = sdot + sdot =5
18
1
5
13
18
1
10
23
180
Assim a probabilidade de que um coelho caia em uma armadilha ou de que uma raposa mate um coelho em uma noite de novem-bro eacute igual ap A ouR p A p R p A e R( ) = ( )+ ( )minus ( )
p A ouR( ) = + minus =5
18
23
180
1
18
7
20
11 a) O espaccedilo amostral eacute formado por 63 = 216 elementos pois Soacutecra-tes lanccedilaraacute 3 dados Se Xantipa obteve 5 e 5 entatildeo para que Soacutecrates conquiste um ter-ritoacuterio eacute necessaacuterio que dois de seus dados apresentem o nuacutemero 6 Se dois dados apresentarem o nuacutemero 6 e o uacuteltimo natildeo apresen-tar existem 3 modos ((6 6 ) (6 6) ( 6 6)) de se escolher o dado que natildeo apresenta o nuacutemero 6 e para cada uma destes modos existem 5 modos (1 2 3 4 ou 5) de se escolher o nuacutemero da face que natildeo apresenta o nuacutemero 6 Ou seja existem 3 middot 5 = 15 modos de esse caso acontecer Aleacutem disso existe ainda um uacutenico modo de Soacutecrates obter o nuacutemero 6 nos trecircs dados (6 6 6) No total satildeo portanto 15 + 1 = 16 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio Desta forma a probabilidade eacute igual a
p= =16
216
2
27
b) Se Xantipa obteve 5 e 4 Soacutecrates conquistaraacute o territoacuterio se um de seus dados apresentar o nuacutemero 6 outro dado apresentar um
nuacutemero 5 ou 6 e o terceiro dado apresentar qualquer nuacutemero Vamos analisar alguns casosbull (6 6 6) rarr 1 uacutenico modobull (6 6 ) rarr 3 middot 5 = 15 modos nos quais ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 6bull (6 5 5) rarr 3 modosbull (6 5 ) rarr 3 middot 4 = 24 modos em que ldquordquo representa um nuacutemero
diferente de 5 e 6No total satildeo 1 + 15 + 3 + 24 = 43 modos de Soacutecrates conquistar o territoacuterio em disputa Logo a probabilidade eacute igual a
p=43
216
12 Para o lanccedilamento de dois dados existem 62 = 36 resultados possiacute-veis A soma eacute menor que 4 em exatamente 3 resultados (1 1) (12) e (2 1) Assim a probabilidade de a bola ser retirada da caixa branca eacute
igual a 3
36 Por outro lado a probabilidade de a bola ser retirada da
caixa preta eacute igual a 13
36
33
36minus = Portanto nas condiccedilotildees apresenta-
das a probabilidade de se retirar uma bola verde eacute igual ap Bola Verde p CaixaBrancae Bola Verde p Caixa eta e Bola Ver( ) ( ) ( Pr= + dde)
p Bola Verde( ) = sdot + sdot3
36
5
8
33
36
3
5
p Bola Verde( ) = 289
480
13 a) Observe a figura de um hexaacutegono regular (6 lados) inscrito em um ciacuterculo
O hexaacutegono possui 6 veacutertices Logo existem C 64 6 5 4 3
4 3 2 115=
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
=
modos possiacuteveis de se escolher 4 veacutertices dentre os 6 e determinar um quadrilaacutetero inscrito no ciacuterculo Desses 15 modos em apenas 3 o quadrilaacutetero determinado eacute um retacircngulo
Pode-se observar que a quantidade de retacircngulos eacute determinada pelo nuacutemero de escolhas de 2 diagonais que passam pelo centro do hexaacutegono Como existem 3 diagonais que passam pelo centro (me-tade da quantidade de lados) a quantidade de retacircngulos eacute igual a
C 32 3 2
2 13=
sdotsdot= Logo a probabilidade de o quadrilaacutetero ser um re-
tacircngulo eacute igual a
pC
C= = =3
2
64
3
15
1
5
b) Considerando a soluccedilatildeo do item (a) se o poliacutegono possui 1000 la-dos existem C1000
4 quadrilaacuteteros determinados pelos veacutertices do poliacutegono de 1000 lados Dentre as possiacuteveis escolhas que podem ser realizadas exatamente C 500
2 retacircngulos satildeo determinados pois existem 500 diagonais que passam pelo centro do poliacutegono
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
Dessa forma a probabilidade eacute igual a
pC
C= 500
2
10004
p=
sdotsdot
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
500 499
2 11000 999 998 997
4 3 2 1
p=sdotsdot
sdotsdot sdot sdot
sdot sdot sdot500 499
2 1
4 3 2 1
1000 999 998 997
p=1
332001
c) Inicialmente existem C10013 triacircngulos que podem ser determina-
dos por 3 veacutertices quaisquer de um poliacutegono regular constituiacutedo por 1001 lados Sejam k a quantidade de arcos cocircngruos e consecutivos de P ob-servados no ciacuterculo que circunscreve P e a a medida de um acircngu-lo inscrito a esse ciacuterculo e que tambeacutem eacute medida do acircngulo obtuso do triacircngulo determinado pelos veacutertices de P Entatildeo
α = sdot sdot gt1
2
360
100190
k
Consequentementek gt 500 5
Observando que k isin IN tem-se k ge 501O resultado indica que o triacircngulo determinado por 3 veacutertices de P possuiraacute um acircngulo obtuso se considerarmos a medida de no miacutenimo 501 arcos cocircngruos e consecutivos determinados por P no ciacuterculo que o circunscreve Logo existem 1001 modos de se escolher um veacutertice A do triacircngulo e uma vez escolhido esse veacuter-
tice dos 1000 veacutertices restantes existem C C1000 5002
5002
minus = modos possiacuteveis de se escolher os 2 outros veacutertices (B e C) do triacircngulo de modo que o triacircngulo ABC seja obtuso no veacutertice APortanto a probabilidade de o triacircngulo ter um acircngulo obtuso eacute igual a
pC
C=
sdot1001 5002
10013
p=sdot
sdotsdot
sdot sdotsdot sdot
1001500 499
2 11001 1000 999
3 2 1
p= sdotsdotsdot
sdotsdot sdot
sdot sdot1001
500 499
2 1
3 2 1
1001 1000 999
p=499
66614 Soluccedilatildeo
a) Supondo que a banca inicie com nenhuma ficha o desenvolvimen-to do jogo ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas eacute o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 15 14 13 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
12 15 14 1
2a jogada Breno descarta
13 12 15 2
3a jogada Catarina descarta
14 13 12 3
Observa-se que apoacutes 3 rodadas a Banca ficou com uma das fichas de cada jogador de modo que a quantidade de fichas de cada jogador
eacute exatamente uma unidade menor do que no iniacutecio Assim a cada 3 rodadas cada jogador tem a quantidade de fichas diminuiacuteda de uma unidade Dessa forma apoacutes 36 rodadas cada jogador teria 12 fichas a menos do que no iniacutecio e as quantidades de fichas seriam as seguintes
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
36a jogada Catarina descarta
3 2 1 36
Na 37a jogada Aacutelvaro descartaraacute 3 fichas e teraacute descartado todas as fichas que possuiacutea Logo Aacutelvaro seraacute o vencedor na 37a jogadab) No iniacutecio as quantidades satildeo as seguintes em que x eacute natural e
1 lt x lt 8
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio x 4 4 0
Se x = 1 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento das quantidades de fichas de cada jogador ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 1 4 4 0
1a jogada Breno descarta
2 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
3 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
0 3 3 3
Logo necessariamente Aacutelvaro seria o vencedor pois descartaria suas fichas antes dos demais jogadores ao final da 3a jogadaSe x = 2 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 2 4 4 0
1a jogada Breno descarta
3 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
4 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
1 3 3 3
Apoacutes 3 jogadas ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas dependendo de quem seria sorteado Nesta situaccedilatildeo a probabilidade de Breno ser o vencedor eacute igual a 12 a probabilidade de Catarina eacute igual a 12 enquanto que a probabilidade de Aacutelvaro eacute igual a 0Se x = 3 deve haver um sorteio para determinar se Breno ou Catarina descartaraacute primeiro 3 de suas fichas Assim um possiacutevel desenvolvi-mento seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 3 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
4 1 5 1
2a jogada Breno descarta
5 2 2 2
3a jogada Catarina descarta
2 3 3 3
Na 4a jogada ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Logo nesta hipoacutetese de Aacutelvaro iniciar com 3 fichas a probabilidade
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
de Aacutelvaro ser vencedor eacute igual a 0 de Breno eacute igual a 12 e Catarina eacute igual a 12 Se x = 4 entatildeo todos os jogadores iniciaratildeo com o mesmo nuacutemero de fichas e portanto deveraacute haver um sorteio para estabelecer o jogador que primeiro descartaraacute as fichas Vamos analisar como se desenvolveria o jogo se Aacutelvaro iniciasse e em seguida Breno descartasse 3 das proacuteprias fichas
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 4 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
1 5 5 1
2a jogada Breno descarta
2 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
3 3 3 3
Observa-se que apoacutes 3 jogadas quem for sorteado para descartar as fichas seraacute o vencedor pois descartaraacute suas uacuteltimas 3 fichas Como as probabilidades de descarte satildeo iguais para cada um a probabilidade de cada jogador ser vencedor seria igual a 13 Se x = 5 ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas um possiacutevel desenvolvimento seria o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 5 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
2 5 5 1
2a jogada Breno descarta
3 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
4 3 3 3
Se a cada 3 jogadas cada jogador ficaria com uma ficha a menos do que possuiacutea apoacutes 6 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Apoacutes 6 jogadas 3 2 2 6
Na 7a jogada Aacutelvaro descartaria suas 3 uacuteltimas fichas e seria o vencedorSe x = 6 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 6 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 1 3 3 7
Na 8a jogada Breno ou Catarina descartaria suas 3 fichas e seria vence-dor Entatildeo se x = 6 a probabilidade de Aacutelvaro vencer eacute igual a 0(zero)
enquanto Breno e Catarina tecircm chances iguais de vencer sendo igual a 1
2 a probabilidade de Breno eacute igual a 1
2 a probabilidade de Catarina
Se x = 7 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 7 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 2 3 3 7
Na 8a jogada ou Breno ou Catarina dependendo de quem for sorteado descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Neste caso Breno teria probabilidade igual a 12 Catarina tambeacutem teria igual a 12 e seria impossiacutevel Aacutelvaro ser vencedor
Se x = 8 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 8 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 3 3 3 7
Na 8a jogada deve haver um sorteio para estabelecer qual jogador descartaraacute suas 3 uacuteltimas fichas Como as probabilidades satildeo iguais a probabilidade de cada jogador ser vencedor eacute igual a 13Em suma a resposta eacute a seguinte
Probabilidade de vitoacuteria
x Aacutelvaro Breno Catarina
1 1 0 0
2 0 12 12
3 0 12 12
4 13 13 13
5 1 0 0
6 0 12 12
7 0 12 12
8 13 13 13
15 a
Existem C 205 20 19 18 17 16
5 4 3 2 115504=
sdot sdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5
representantes serem escolhidos Existem 4 middot 4 middot 4 middot 4 middot 4 = 45 = 1024 modos de escolher 5 representantes sendo um de cada municiacutepio Logo a probabilidade eacute igual a
p= =1024
15504
64
969
16 dI A probabilidade de duas caras em dois lanccedilamentos de uma moeda
comum eacute igual a
p I( ) = sdot = = =1
2
1
2
1
40 25 25
II A probabilidade de trecircs caras e uma coroa em quatro lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p II P( ) = sdot sdot sdot sdot = sdot = = =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
4
3
1
40 25 254
3
III A probabilidade de cinco caras e trecircs coroas em oito lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p III P( ) = sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot = sdotsdot
= =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
256
8
3 5
7
320 218
3 5
8875 21 875=
Logo os resultados I e II satildeo igualmente provaacuteveis (e o resultado III eacute o menos provaacutevel)
17 17 (01 16)01) VERDADEIRA
Se nos 6 primeiros lanccedilamentos natildeo se definiu o vencedor entatildeo certa-mente ocorreram 3 caras e 3 coroas Com o resultado do 7ordm lanccedilamen-to teremos 4 caras ou 4 coroas e portanto seraacute definido o vencedorSatildeo necessaacuterios no maacuteximo sete lanccedilamentos para se determinar o vencedor
02) FALSAA probabilidade de ocorrerem 4 caras nos 4 primeiros lanccedilamen-
tos eacute igual a 1
2
1
16
4 = A probabilidade de ocorrerem 4 coroas
nos 4 primeiros lanccedilamentos eacute igual a 1
2
1
16
4 = Logo a proba-
5Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-
mentos eacute igual a 1
16
1
16
2
16
1
8+ = =
A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados
iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11
8
7
8
04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias
R R R Rrarr sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a
p Tiago( ) = + sdot = =1
164
1
32
6
32
3
16
Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a
p Pedro( ) = minus =13
16
13
16
08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair
ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1
2 mesma probabili-
dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA
A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja
63 36
1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P
2 64 16 = = =
O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-
lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1
2
5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1
16 16 16 2= minus = gt =
18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA
Existem C122 12 11
2 166=
sdotsdot
= modos de se escolher 2 pacientes dis-
tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-
bilidade eacute igual a 23
66
02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta
forma a probabilidade eacute igual a 32
66
16
33=
04) FALSA
O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9
2 145=
sdotsdot=
08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a
60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21
66
7
22=
19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por
p= sdot = =1
2
1
2
1
425
b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos
bull FF rarr 1
2
1
2
1
4sdot =
bull FRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull RFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por
p F
p F
( )
( )
= + + + + +
=
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
1
1611
16
O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos
bull RRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
6 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
Dessa forma a probabilidade eacute igual a
pC
C= 500
2
10004
p=
sdotsdot
sdot sdot sdotsdot sdot sdot
500 499
2 11000 999 998 997
4 3 2 1
p=sdotsdot
sdotsdot sdot sdot
sdot sdot sdot500 499
2 1
4 3 2 1
1000 999 998 997
p=1
332001
c) Inicialmente existem C10013 triacircngulos que podem ser determina-
dos por 3 veacutertices quaisquer de um poliacutegono regular constituiacutedo por 1001 lados Sejam k a quantidade de arcos cocircngruos e consecutivos de P ob-servados no ciacuterculo que circunscreve P e a a medida de um acircngu-lo inscrito a esse ciacuterculo e que tambeacutem eacute medida do acircngulo obtuso do triacircngulo determinado pelos veacutertices de P Entatildeo
α = sdot sdot gt1
2
360
100190
k
Consequentementek gt 500 5
Observando que k isin IN tem-se k ge 501O resultado indica que o triacircngulo determinado por 3 veacutertices de P possuiraacute um acircngulo obtuso se considerarmos a medida de no miacutenimo 501 arcos cocircngruos e consecutivos determinados por P no ciacuterculo que o circunscreve Logo existem 1001 modos de se escolher um veacutertice A do triacircngulo e uma vez escolhido esse veacuter-
tice dos 1000 veacutertices restantes existem C C1000 5002
5002
minus = modos possiacuteveis de se escolher os 2 outros veacutertices (B e C) do triacircngulo de modo que o triacircngulo ABC seja obtuso no veacutertice APortanto a probabilidade de o triacircngulo ter um acircngulo obtuso eacute igual a
pC
C=
sdot1001 5002
10013
p=sdot
sdotsdot
sdot sdotsdot sdot
1001500 499
2 11001 1000 999
3 2 1
p= sdotsdotsdot
sdotsdot sdot
sdot sdot1001
500 499
2 1
3 2 1
1001 1000 999
p=499
66614 Soluccedilatildeo
a) Supondo que a banca inicie com nenhuma ficha o desenvolvimen-to do jogo ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas eacute o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 15 14 13 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
12 15 14 1
2a jogada Breno descarta
13 12 15 2
3a jogada Catarina descarta
14 13 12 3
Observa-se que apoacutes 3 rodadas a Banca ficou com uma das fichas de cada jogador de modo que a quantidade de fichas de cada jogador
eacute exatamente uma unidade menor do que no iniacutecio Assim a cada 3 rodadas cada jogador tem a quantidade de fichas diminuiacuteda de uma unidade Dessa forma apoacutes 36 rodadas cada jogador teria 12 fichas a menos do que no iniacutecio e as quantidades de fichas seriam as seguintes
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
36a jogada Catarina descarta
3 2 1 36
Na 37a jogada Aacutelvaro descartaraacute 3 fichas e teraacute descartado todas as fichas que possuiacutea Logo Aacutelvaro seraacute o vencedor na 37a jogadab) No iniacutecio as quantidades satildeo as seguintes em que x eacute natural e
1 lt x lt 8
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio x 4 4 0
Se x = 1 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento das quantidades de fichas de cada jogador ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 1 4 4 0
1a jogada Breno descarta
2 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
3 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
0 3 3 3
Logo necessariamente Aacutelvaro seria o vencedor pois descartaria suas fichas antes dos demais jogadores ao final da 3a jogadaSe x = 2 entatildeo um possiacutevel desenvolvimento ao final de cada uma das 3 primeiras rodas seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 2 4 4 0
1a jogada Breno descarta
3 1 5 1
2a jogada Catarina descarta
4 2 2 2
3a jogada Aacutelvaro descarta
1 3 3 3
Apoacutes 3 jogadas ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas dependendo de quem seria sorteado Nesta situaccedilatildeo a probabilidade de Breno ser o vencedor eacute igual a 12 a probabilidade de Catarina eacute igual a 12 enquanto que a probabilidade de Aacutelvaro eacute igual a 0Se x = 3 deve haver um sorteio para determinar se Breno ou Catarina descartaraacute primeiro 3 de suas fichas Assim um possiacutevel desenvolvi-mento seria
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 3 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
4 1 5 1
2a jogada Breno descarta
5 2 2 2
3a jogada Catarina descarta
2 3 3 3
Na 4a jogada ou Breno ou Catarina descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Logo nesta hipoacutetese de Aacutelvaro iniciar com 3 fichas a probabilidade
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
de Aacutelvaro ser vencedor eacute igual a 0 de Breno eacute igual a 12 e Catarina eacute igual a 12 Se x = 4 entatildeo todos os jogadores iniciaratildeo com o mesmo nuacutemero de fichas e portanto deveraacute haver um sorteio para estabelecer o jogador que primeiro descartaraacute as fichas Vamos analisar como se desenvolveria o jogo se Aacutelvaro iniciasse e em seguida Breno descartasse 3 das proacuteprias fichas
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 4 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
1 5 5 1
2a jogada Breno descarta
2 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
3 3 3 3
Observa-se que apoacutes 3 jogadas quem for sorteado para descartar as fichas seraacute o vencedor pois descartaraacute suas uacuteltimas 3 fichas Como as probabilidades de descarte satildeo iguais para cada um a probabilidade de cada jogador ser vencedor seria igual a 13 Se x = 5 ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas um possiacutevel desenvolvimento seria o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 5 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
2 5 5 1
2a jogada Breno descarta
3 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
4 3 3 3
Se a cada 3 jogadas cada jogador ficaria com uma ficha a menos do que possuiacutea apoacutes 6 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Apoacutes 6 jogadas 3 2 2 6
Na 7a jogada Aacutelvaro descartaria suas 3 uacuteltimas fichas e seria o vencedorSe x = 6 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 6 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 1 3 3 7
Na 8a jogada Breno ou Catarina descartaria suas 3 fichas e seria vence-dor Entatildeo se x = 6 a probabilidade de Aacutelvaro vencer eacute igual a 0(zero)
enquanto Breno e Catarina tecircm chances iguais de vencer sendo igual a 1
2 a probabilidade de Breno eacute igual a 1
2 a probabilidade de Catarina
Se x = 7 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 7 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 2 3 3 7
Na 8a jogada ou Breno ou Catarina dependendo de quem for sorteado descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Neste caso Breno teria probabilidade igual a 12 Catarina tambeacutem teria igual a 12 e seria impossiacutevel Aacutelvaro ser vencedor
Se x = 8 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 8 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 3 3 3 7
Na 8a jogada deve haver um sorteio para estabelecer qual jogador descartaraacute suas 3 uacuteltimas fichas Como as probabilidades satildeo iguais a probabilidade de cada jogador ser vencedor eacute igual a 13Em suma a resposta eacute a seguinte
Probabilidade de vitoacuteria
x Aacutelvaro Breno Catarina
1 1 0 0
2 0 12 12
3 0 12 12
4 13 13 13
5 1 0 0
6 0 12 12
7 0 12 12
8 13 13 13
15 a
Existem C 205 20 19 18 17 16
5 4 3 2 115504=
sdot sdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5
representantes serem escolhidos Existem 4 middot 4 middot 4 middot 4 middot 4 = 45 = 1024 modos de escolher 5 representantes sendo um de cada municiacutepio Logo a probabilidade eacute igual a
p= =1024
15504
64
969
16 dI A probabilidade de duas caras em dois lanccedilamentos de uma moeda
comum eacute igual a
p I( ) = sdot = = =1
2
1
2
1
40 25 25
II A probabilidade de trecircs caras e uma coroa em quatro lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p II P( ) = sdot sdot sdot sdot = sdot = = =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
4
3
1
40 25 254
3
III A probabilidade de cinco caras e trecircs coroas em oito lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p III P( ) = sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot = sdotsdot
= =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
256
8
3 5
7
320 218
3 5
8875 21 875=
Logo os resultados I e II satildeo igualmente provaacuteveis (e o resultado III eacute o menos provaacutevel)
17 17 (01 16)01) VERDADEIRA
Se nos 6 primeiros lanccedilamentos natildeo se definiu o vencedor entatildeo certa-mente ocorreram 3 caras e 3 coroas Com o resultado do 7ordm lanccedilamen-to teremos 4 caras ou 4 coroas e portanto seraacute definido o vencedorSatildeo necessaacuterios no maacuteximo sete lanccedilamentos para se determinar o vencedor
02) FALSAA probabilidade de ocorrerem 4 caras nos 4 primeiros lanccedilamen-
tos eacute igual a 1
2
1
16
4 = A probabilidade de ocorrerem 4 coroas
nos 4 primeiros lanccedilamentos eacute igual a 1
2
1
16
4 = Logo a proba-
5Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-
mentos eacute igual a 1
16
1
16
2
16
1
8+ = =
A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados
iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11
8
7
8
04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias
R R R Rrarr sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a
p Tiago( ) = + sdot = =1
164
1
32
6
32
3
16
Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a
p Pedro( ) = minus =13
16
13
16
08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair
ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1
2 mesma probabili-
dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA
A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja
63 36
1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P
2 64 16 = = =
O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-
lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1
2
5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1
16 16 16 2= minus = gt =
18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA
Existem C122 12 11
2 166=
sdotsdot
= modos de se escolher 2 pacientes dis-
tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-
bilidade eacute igual a 23
66
02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta
forma a probabilidade eacute igual a 32
66
16
33=
04) FALSA
O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9
2 145=
sdotsdot=
08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a
60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21
66
7
22=
19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por
p= sdot = =1
2
1
2
1
425
b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos
bull FF rarr 1
2
1
2
1
4sdot =
bull FRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull RFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por
p F
p F
( )
( )
= + + + + +
=
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
1
1611
16
O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos
bull RRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
6 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
de Aacutelvaro ser vencedor eacute igual a 0 de Breno eacute igual a 12 e Catarina eacute igual a 12 Se x = 4 entatildeo todos os jogadores iniciaratildeo com o mesmo nuacutemero de fichas e portanto deveraacute haver um sorteio para estabelecer o jogador que primeiro descartaraacute as fichas Vamos analisar como se desenvolveria o jogo se Aacutelvaro iniciasse e em seguida Breno descartasse 3 das proacuteprias fichas
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 4 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
1 5 5 1
2a jogada Breno descarta
2 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
3 3 3 3
Observa-se que apoacutes 3 jogadas quem for sorteado para descartar as fichas seraacute o vencedor pois descartaraacute suas uacuteltimas 3 fichas Como as probabilidades de descarte satildeo iguais para cada um a probabilidade de cada jogador ser vencedor seria igual a 13 Se x = 5 ao final de cada uma das 3 primeiras jogadas um possiacutevel desenvolvimento seria o seguinte
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 5 4 4 0
1a jogada Aacutelvaro descarta
2 5 5 1
2a jogada Breno descarta
3 2 6 2
3a jogada Catarina descarta
4 3 3 3
Se a cada 3 jogadas cada jogador ficaria com uma ficha a menos do que possuiacutea apoacutes 6 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Apoacutes 6 jogadas 3 2 2 6
Na 7a jogada Aacutelvaro descartaria suas 3 uacuteltimas fichas e seria o vencedorSe x = 6 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 6 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 1 3 3 7
Na 8a jogada Breno ou Catarina descartaria suas 3 fichas e seria vence-dor Entatildeo se x = 6 a probabilidade de Aacutelvaro vencer eacute igual a 0(zero)
enquanto Breno e Catarina tecircm chances iguais de vencer sendo igual a 1
2 a probabilidade de Breno eacute igual a 1
2 a probabilidade de Catarina
Se x = 7 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 7 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 2 3 3 7
Na 8a jogada ou Breno ou Catarina dependendo de quem for sorteado descartaria suas 3 uacuteltimas fichas Neste caso Breno teria probabilidade igual a 12 Catarina tambeacutem teria igual a 12 e seria impossiacutevel Aacutelvaro ser vencedor
Se x = 8 apoacutes 7 jogadas teriacuteamos
Aacutelvaro Breno Catarina Banca
Iniacutecio 8 4 4 0
Apoacutes 7 jogadas 3 3 3 7
Na 8a jogada deve haver um sorteio para estabelecer qual jogador descartaraacute suas 3 uacuteltimas fichas Como as probabilidades satildeo iguais a probabilidade de cada jogador ser vencedor eacute igual a 13Em suma a resposta eacute a seguinte
Probabilidade de vitoacuteria
x Aacutelvaro Breno Catarina
1 1 0 0
2 0 12 12
3 0 12 12
4 13 13 13
5 1 0 0
6 0 12 12
7 0 12 12
8 13 13 13
15 a
Existem C 205 20 19 18 17 16
5 4 3 2 115504=
sdot sdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot
= modos possiacuteveis de os 5
representantes serem escolhidos Existem 4 middot 4 middot 4 middot 4 middot 4 = 45 = 1024 modos de escolher 5 representantes sendo um de cada municiacutepio Logo a probabilidade eacute igual a
p= =1024
15504
64
969
16 dI A probabilidade de duas caras em dois lanccedilamentos de uma moeda
comum eacute igual a
p I( ) = sdot = = =1
2
1
2
1
40 25 25
II A probabilidade de trecircs caras e uma coroa em quatro lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p II P( ) = sdot sdot sdot sdot = sdot = = =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
4
3
1
40 25 254
3
III A probabilidade de cinco caras e trecircs coroas em oito lanccedilamentos de uma moeda comum eacute igual a
p III P( ) = sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot = sdotsdot
= =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
256
8
3 5
7
320 218
3 5
8875 21 875=
Logo os resultados I e II satildeo igualmente provaacuteveis (e o resultado III eacute o menos provaacutevel)
17 17 (01 16)01) VERDADEIRA
Se nos 6 primeiros lanccedilamentos natildeo se definiu o vencedor entatildeo certa-mente ocorreram 3 caras e 3 coroas Com o resultado do 7ordm lanccedilamen-to teremos 4 caras ou 4 coroas e portanto seraacute definido o vencedorSatildeo necessaacuterios no maacuteximo sete lanccedilamentos para se determinar o vencedor
02) FALSAA probabilidade de ocorrerem 4 caras nos 4 primeiros lanccedilamen-
tos eacute igual a 1
2
1
16
4 = A probabilidade de ocorrerem 4 coroas
nos 4 primeiros lanccedilamentos eacute igual a 1
2
1
16
4 = Logo a proba-
5Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-
mentos eacute igual a 1
16
1
16
2
16
1
8+ = =
A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados
iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11
8
7
8
04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias
R R R Rrarr sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a
p Tiago( ) = + sdot = =1
164
1
32
6
32
3
16
Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a
p Pedro( ) = minus =13
16
13
16
08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair
ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1
2 mesma probabili-
dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA
A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja
63 36
1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P
2 64 16 = = =
O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-
lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1
2
5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1
16 16 16 2= minus = gt =
18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA
Existem C122 12 11
2 166=
sdotsdot
= modos de se escolher 2 pacientes dis-
tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-
bilidade eacute igual a 23
66
02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta
forma a probabilidade eacute igual a 32
66
16
33=
04) FALSA
O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9
2 145=
sdotsdot=
08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a
60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21
66
7
22=
19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por
p= sdot = =1
2
1
2
1
425
b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos
bull FF rarr 1
2
1
2
1
4sdot =
bull FRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull RFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por
p F
p F
( )
( )
= + + + + +
=
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
1
1611
16
O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos
bull RRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
6 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
bilidade de ocorrerem 4 resultados iguais nos 4 primeiros lanccedila-
mentos eacute igual a 1
16
1
16
2
16
1
8+ = =
A probabilidade p de o jogo acabar apoacutes os 4 primeiros lanccedila-mentos eacute igual agrave probabilidade de natildeo ocorrerem 4 resultados
iguais nesses 4 lanccedilamentos Ou seja p p= minus =11
8
7
8
04) FALSASe nos dois primeiros lanccedilamentos ocorreram duas caras Tiago po-deraacute vencer se ocorrerem 4 coroas nos proacuteximos 4 ou 5 lanccedilamen-tos Logo sendo K (cara) e R (coroa) o resultado da moeda lanccedilada para que Tiago seja o vencedor podem ainda ocorrer as seguintes sequecircncias
R R R Rrarr sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
K R R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R K R R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R K R Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
R R R K Rrarr sdot sdot sdot sdot =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32Dessa forma a probabilidade de Tiago ser o vencedor eacute igual a
p Tiago( ) = + sdot = =1
164
1
32
6
32
3
16
Portanto a probabilidade de Pedro ser o vencedor eacute igual a
p Pedro( ) = minus =13
16
13
16
08) FALSASupondo independentes os lanccedilamentos a probabilidade de sair
ldquocarardquo em um lanccedilamento qualquer eacute igual 1
2 mesma probabili-
dade de sair ldquocoroardquo 16) VERDADEIRA
A probabilidade de o jogo terminar no seacutetimo lanccedilamento eacute igual agrave probabilidade de nos 6 primeiros lanccedilamentos saiacuterem 3 caras e 3 coroas em qualquer ordem ou seja
63 36
1 20 5p(terminar no 7ordm lanccedilamento) P
2 64 16 = = =
O jogo natildeo pode terminar apoacutes o 7ordm lanccedilamento Logo a probabi-
lidade de o jogo terminar antes do 7ordm lanccedilamento eacute superior a 1
2
5 11 8 1p(terminar antes do 7ordm lanccedilamento) 1
16 16 16 2= minus = gt =
18 11 (01 02 08)01) VERDADEIRA
Existem C122 12 11
2 166=
sdotsdot
= modos de se escolher 2 pacientes dis-
tintos Para que a soma das idades distintas destes 2 pacientes seja inferior a 66 anos natildeo se deve escolher paciente algum com 47 anos Assim as opccedilotildees satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosbull um paciente de 31 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosAo total existem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 23 modos de escolher de modo que a soma das idades seja inferior a 66 anos Logo a proba-
bilidade eacute igual a 23
66
02) VERDADEIRAPara que a soma seja superior a 69 anos as possibilidades satildeo as seguintesbull um paciente de 23 e outro de 47 anos 3 middot 4 = 12 modosbull um paciente de 25 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 31 e outro de 47 anos 2 middot 4 = 8 modosbull um paciente de 34 e outro de 47 anos 1 middot 4 = 4 modosNo total existem 12 + 8 + 8 + 4 = 32 opccedilotildees de escolha Desta
forma a probabilidade eacute igual a 32
66
16
33=
04) FALSA
O nuacutemero de duplas passa a ser igual a C102 10 9
2 145=
sdotsdot=
08) VERDADEIRAPara que a soma seja inferior a 60 anos temos as seguintes pos-sibilidadesbull um paciente de 23 e outro de 25 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 31 anos 3 middot 2 = 6 modosbull um paciente de 23 e outro de 34 anos 3 middot 1 = 3 modosbull um paciente de 25 e outro de 31 anos 2 middot 2 = 4 modosbull um paciente de 25 e outro de 34 anos 2 middot 1 = 2 modosExistem 6 + 6 + 3 + 4 + 2 = 21 possibilidades de escolha de dois pacientes com idades distintas cuja soma das idades seja inferior a
60 anos Portanto a probabilidade eacute igual a 21
66
7
22=
19 a) O jogo terminaria quando um dos jogadores obtivesse 5 vitoacuterias Entatildeo em apenas mais duas rodadas terminaria se Fernando conseguisse 2 vitoacuterias consecutivas Supondo que numa partida qualquer as probabilidades de vitoacuteria de Fernando e Ricardo sejam iguais a probabilidade p de o jogo terminar em apenas mais duas rodadas eacute dada por
p= sdot = =1
2
1
2
1
425
b) Se a vitoacuteria pertence ao jogador que vencer 5 vezes existem 10 maneiras possiacuteveis de o jogo se desenvolver cada uma com uma probabilidade especiacutefica Sejam F e R os resultados de vitoacuterias de Fernando e Ricardo respectivamente numa partida qualquerO jogo teria Fernando como vencedor nos seguintes eventos
bull FF rarr 1
2
1
2
1
4sdot =
bull FRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull RFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFF rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
Logo a probabilidade p(F) de Fernando ser o vencedor eacute dada por
p F
p F
( )
( )
= + + + + +
=
1
4
1
8
1
8
1
16
1
16
1
1611
16
O jogo teria Ricardo como vencedor nos seguintes eventos
bull RRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
8sdot sdot =
bull FRRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RFRR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
bull RRFR rarr 1
2
1
2
1
2
1
2
1
16sdot sdot sdot =
6 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
Assim a probabilidade p(R) de Ricardo ser o vencedor eacute dada por
p R
p R
( )
( )
= + + +
=
1
8
1
16
1
16
1
165
16
A conclusatildeo eacute a de que Fernando deveria receber 11
16 de R$ 20000
ou seja 11
16200 00 137 50sdot = $ R e Ricardo deveria receber
5
16 de
R$ 20000 ou seja 5
16200 00 62 50sdot = $ R
20 aApoacutes a retirada de 5 bolas da urna B e a colocaccedilatildeo na urna A tem-se A com 15 bolas sendo 10 azuis e 5 brancas e B com 5 bolas brancas Quando se retiram 5 bolas da urna A ou seja 13 das bolas da urna A a proporccedilatildeo que permanece na urna A eacute a seguinte
1010
10
3
20
3
55
3
10
3
bolasazuis
brancas
minus =
minus =
Logo tem-se
p= =
10
310
1
3
Na urna B a quantidade de bolas seria
10
10
3
55
3
20
3
bolasazuis
brancas+ =
Assim tem-se
q= =
10
310
1
3
Dessa forma conclui-se que p = q
21 bVamos representar os tipos de moedas por A (moeda com duas caras) B (moeda normal) e C (moeda com duas coroas) A probabilidade de que se tenha retirado um moeda do tipo C dado que uma das faces apresentada eacute coroa eacute igual a
p C coroap C e coroa
p coroa( ) = ( )
( )
p C coroap C e coroa
p A e coroa p B e coroa p C e coroa( ) = ( )
( )+ ( )+ ( )
p C coroa( ) =sdot
sdot + sdot + sdot
25
40
2
25
40
0
2
10
40
1
2
25
40
2
2
p C coroa( ) = =50
60
5
6
7Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10B
Atividades Seacuterie Ouro 10
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
01 c
x y x
yx
x
x x y
y x x
x x y2 2
2
2 2
2
2 28 0
42
8 0
4 8
8 0+ minus =
= minus
rArrminus + =
= minus
rArr
minus + =
xx x y2 8 4 0minus minus =
Subtraindo a segunda equaccedilatildeo da primeira temos2
2 2
2 2
y 4y 0
y 0 ou y 4
y 0
4 0 x 8x x 8x 0 x 0 ou x 8
y 4
4 ( 4) x 8x x 8x 16 0 x 4
+ == = minus=
sdot = minus rArr minus = rArr = == minus
sdot minus = minus rArr minus + = rArr =
Portanto as curvas se intersectam nos pontos ( )0 0 ( )8 0 e ( )4 4minus Li-
gando esses pontos obteacutem-se um triacircngulo 02 (0 0)
C x y x y
a a
b b
a b r
12 2
2 21
2
2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3
+ + minus + =minus = rArr = minusminus = minus rArr =
+ minus =
minus + minus( ) rr r r
C x y x y
a a
b b
a
12
12
1
22 2
2
9 9 3
2 2 1 0
2 2 1
2 2 1
= rArr = rArr =
+ minus + + =minus = minus rArr =minus = rArr =minus
+
bb r
r r r
22
2
2 22
22
22
1
1 1 1 1 1
minus =
+ minus minus = rArr = rArr =( )
Observe na figura a circunferecircncia C1 com centro no ponto ( )minus3 3 e raio 3
a circunferecircncia C2 com centro no ponto ( )1 1minus e raio 1 e as retas que
tangenciam simultaneamente as circunferecircnciasy
0
(ndash3 3)
(1 ndash1)
x
r
s
As retas que tangenciam simultaneamente as circunferecircncias e cujas funccedilotildees correspondentes agraves equaccedilotildees natildeo satildeo decrescentes satildeo os eixos coordena-dos x e y Portanto o ponto comum eacute a origem ou seja o ponto ( )0 0
03 dSe um ciacuterculo tangencia os eixos coordenados as coordenadas do centro satildeo iguais ou opostasAssima b ou a b a b= = minus rArr =2 2
04 bCoordenadas do veacutertice da paraacutebolay x x
xba
y
V
V
= minus +
=minus
=minus minussdot
=
= minus sdot + = minus
2
2
6 8
26
2 13
3 6 3 8 1
( )
Assim o centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )3 1minus
Pontos em que a paraacutebola intersecta o eixo das abscissasy x x x ou x= rArr minus + = rArr = =0 6 8 0 2 42
Assim a circunferecircncia passa pelos pontos ( )2 0 e ( )4 0
O raio da circunferecircncia eacute a distacircncia entre o centro e qualquer um desses pontos
r = minus + minus minus = + =( ) ( )3 2 1 0 1 1 22 2 Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
x y
x y
minus + minus minus =
minus + + =
3 1 2
3 1 2
2 2 2
2 2
05 b
2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0
x y 4x 0
x y 0 y x
x y 4x 0 x ( x) 4x 0
2x 4x 0 x 2x 0 x 0 ou x 2
x 0 y 0 A(0 0)
x 2 y 2 B(2 2)
+ =
+ minus =+ = rArr = minus
+ minus = rArr + minus minus = rArr
rArr minus = rArr minus = rArr = == rArr = rarr= rArr = minus rarr minus
O comprimento da corda AB eacutedA B ( ) ( )= minus + minus minus = + = =2 0 2 0 4 4 8 2 22 2
06 d
yy se y
y se y=
geminus lt
0
0
Assimx y y
y x y y
y x y y
2 2
2 2
2 2
6 0
0 6 0
0 6 0
+ minus =
ge rArr + minus =
lt rArr + + =
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa uma circunferecircncia com cen-tro no ponto ( )0 3 e raio 3
A equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ + = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 3minus e raio 3
Portanto a equaccedilatildeo x y y2 2 6 0+ minus = representa um par de circunfe-
recircncias tangentes entre si e com centros no eixo y07 b
O centro C da circunferecircncia eacute o ponto meacutedio do segmento AB e o raio r eacute a metade da distacircncia entre os pontos A e B
C
r
=minus + +
= minus
=minus minus + minus
=+
= =
5 12
2 62
2 4
5 1 2 62
36 162
522
2 132
2 2
( )
( ) ( )== 13
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x
minus minus + minus =
+ + minus =
+ + + minus + =
2 4 13
2 4 13
4 4 8 16 13
2 2 2
2 2
2 2
22 2 4 8 7 0+ + minus + =y x y08 d
A equaccedilatildeo x y2 2 16+ = representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 0 e raio 4
A equaccedilatildeo x y2 21 9+ minus =( ) representa uma circunferecircncia com centro no ponto ( )0 1 e raio 3
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
10CMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
Observe na figura a regiatildeo S interior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo
x y2 2 16+ = e exterior agrave circunferecircncia de equaccedilatildeo y
x
1
4
Portanto2 2Aacuterea(S) 4 3
Aacuterea(S) 16 9
Aacuterea(S) 7
= πsdot minus πsdot= πminus π= π
09 05 (01 04)2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2 22
x y 1
y ax 1
x y 1
x (ax 1) 1
x a x 2ax 1 1
x (a x 1 2a) 0
x 0 x 0
ou
2a 1a x 1 2a 0 x
a
+ =
= minus+ =
+ minus =
+ minus + =
sdot + minus =
= rArr =
minus+ minus = rArr =
Assim se x = 0 entatildeo y a= sdot minus = minus0 1 12 ou seja um dos pontos de inter-secccedilatildeo da circunferecircncia e da paraacutebola eacute ( )0 1minus Outros pontos de inter-
secccedilatildeo dependem do valor de a01) CORRETO
Se alt 0 entatildeo xaa
22
2 10=
minuslt Portanto o uacutenico ponto de intersec-
ccedilatildeo eacute ( )0 1minus
02) INCORRETOQualquer que seja o valor de a um dos pontos de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus
Aleacutem disso temos as seguintes possibilidades2
22a 1 1
x 0 a2a
minus= lt rArr lt
Natildeo existe outro ponto de interseccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= = rArr =
Nesse caso x = 0 e y = minus1 ou seja natildeo existe outro ponto de intersec-ccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
22
2a 1 1x 0 a
2aminus= gt rArr gt
Nesse caso obteacutem dois valores para x diferentes de zero e portanto outros dois pontos de intersecccedilatildeo aleacutem de ( )0 1minus
04) CORRETO
Se a=12
o uacutenico ponto de intersecccedilatildeo eacute ( )0 1minus ou seja a circunfe-
recircncia e a paraacutebola satildeo tangentes08) INCORRETO
a x x ou x
x y
x y
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = minus =
= minus rArr = minus minus =
12 1 1
11 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0
22
2
2( )
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos ( )0 1minus ( )1 0 e ( )minus1 0
16) INCORRETO
a x x ou x
x y
x
= rArr =sdot minus
= rArr = = minus
= rArr = sdot
minus =
= minus
22 2 1
234
32
32
32
23
21
12
3
22
2
222
32
112
2
rArr = sdot minus
minus =y
Portanto a circunferecircncia e a paraacutebola se intersectam nos pontos
( )0 1minus 3
212
e minus
32
12
10 11 (01 02 08)01) CORRETA
O centro da circunferecircncia eacute o ponto ( )6 4 e o raio eacute 1
Portanto a equaccedilatildeo da circunferecircncia eacute( ) ( )x y
x x y y
x y x y
minus + minus =
minus + + minus + =
+ minus minus + =
6 4 1
12 36 8 16 1
12 8 51 0
2 2 2
2 2
2 2
02) CORRETAx x
y y
x y x y
x y
x y
4 10
2 60
2 24 10 6 20 4 0
4 6 4 0
2 3 2 0
=
+ + minus minus minus =minus + + =minus minus =
04) INCORRETA
d=sdot minus sdot minus
+ minus=
2 8 3 3 2
2 3
5132 2( )
08) CORRETAA medida real do raio do ciacuterculo central eacute 10 metros
Portanto a aacuterea eacute igual a π πsdot =10 1002 2m
16) INCORRETA7 4 10 7
4 2 6 414 24 40 42 20 16 0= + + minus minus minus =
Portanto os pontos satildeo colineares11 c
2 2
2 2
2 2
2
2
x x 2xy y 7
x y 2
x x 2xy y 7
x 2xy y 7 x
(x y) 7 x
2 7 x x 3
x y 2
3 y 2 y 1
+ + + =
+ =+ + + =
+ + = minus
+ = minus
= minus rArr =+ =+ = rArr = minus
Portantoxy = sdot minus = minus3 1 3( )
12 er x y
y x m
s x y
y x m
r
s
minus + + =
= + + rArr =
+ minus + =
= minus + minus rArr = minus
1 2 0
1 2 1
3 2 3 0
3 2 3 3
Portanto as retas r e s satildeo concorrentes natildeo perpendiculares
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
C x x y
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
2
2 0
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0
+ + =
+ + =minus = rArr = minusminus = rArr =
+ minus =
minus +( ) 22 2 20 1 1minus = rArr = rArr =r r r
O centro da circunferecircncia eacute o ponto O( )minus1 0 e o raio eacute 1
Distacircncia do centro da circunferecircncia agraves retas r e s
d
d
O r
O s
( )
( )
=minus minus + +
+ minus= =
=minus + minus +
+= =
1 0 1 2
1 1
22
1
3 0 2 3
3 1
22
1
2 2
2 2
Portanto as retas r e s satildeo tangentes agrave circunferecircncia C13
a)
x y y
a a
b b
a b r
r r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 0
2 0 0
2 4 2
0
0 2 0 4 2
+ minus =minus = rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr = rArr =
A circunferecircncia tem centro no ponto ( )0 2 e raio 2
x y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
0
2 1 4
+ minus minus + =minus = minus rArr =minus = minus rArr =
+ minus =
+ minus = rArr == rArr =1 1rA circunferecircncia tem centro no ponto ( )2 1 e raio 1
y
x
1
0
2
2
b) Uma reta tangente agraves duas circunferecircncias eacute o eixo das abscissas A ou-tra eacute a reta r como mostra a figura a seguir
y
xP
s
r
1
0
2
2
O ponto P em que a reta r intersecta o eixo das abscissas eacute o mesmo ponto em que a reta que passa pelos centros das circunferecircncias intersecta o eixo das abscissasSendo P k( )0 os pontos P ( )2 1 e ( )0 2 satildeo colineares
k k
k k k
2 0
0 1 2 00
4 2 0 4
=
+ minus = rArr =
Portanto o ponto de intersecccedilatildeo das retas tangentes comuns agraves circunfe-recircncias eacute P( )4 0
14a)
x y x
x y x
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 112
2 0 0
0
12
0
+ =
+ minus =
minus = minus rArr =
minus = rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 12
0
e o raio eacute
12
x y y
x y y
a a
b b
a b r
2 2
2 2
2 2 2
22
0
2 0 0
2 112
0
012
+ =
+ minus =minus = rArr =
minus = minus rArr =
+ minus =
+ minusminus = rArr = rArr =r r r2 20
14
12
O centro da circunferecircncia eacute o ponto 012
e o raio eacute
12
y
x0 12
12
b)
x y x
x y yy x
x y x
x x x x x x ou x
2 2
2 2
2 2
2 2 22 0 012
+ =
+ =
rArr =
+ =
+ = rArr minus = rArr = =
Assim os pontos de intersecccedilatildeo satildeo P( )0 0 e Q12
12
y
x
Q
P 12
12
As retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto P satildeo os eixos coordenados x e y que satildeo perpendiculares entre siAs retas tangentes agraves circunferecircncias no ponto Q satildeo as retas de equaccedilotildees
x =12
e y =12
Como a primeira eacute vertical e a segunda horizontal as re-
tas satildeo perpendiculares entre si
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
Atividades Seacuterie Ouro 10
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
15 cO lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ1 eacute a circunfe-recircncia com centro na origem e equidistante das circunferecircncias α e β
Sendo x o raio dessa circunferecircncia temosx x
x x
minus = minus= + rArr =1 3
2 3 1 2
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 2
4
2 2 2
2 2
O lugar geomeacutetrico dos centros das circunferecircncias como λ 2 eacute a circun-
ferecircncia com centro na origem e equidistante de β e a extremidade opos-ta de α Sendo y o raio dessa circunferecircncia temos3 1
2 3 1 1
minus = += minus rArr =y y
y y
A equaccedilatildeo dessa circunferecircncia eacute
( ) ( )x y
x y
minus + minus =
+ =
0 0 1
1
2 2 2
2 2
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10C
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
01 a
24
V
10
CAxx 5 10B
5
Seja 2x a medida da corda AB Assim
10 5 75 5 32 2 2 2= + rArr = rArr =x x xAacuterea do triacircngulo ABC
Ax
xABC = sdot = = sdot =2 52
5 5 5 3 25 3
Volume do tetraedro ABCV
V
V
ABCV
ABCV
= sdot sdot
=
13
25 3 24
200 3
02 dA
a2
a2
BCa
PDd
Q
Sejam P e Q os pontos meacutedios das arestas AB e CD Como ABQ eacute um triacircngulo isoacutesceles de base AB o segmento PQ eacute altura desse triacircngu-lo Aleacutem disso BQ eacute altura do triacircngulo equilaacutetero BCD Assim
BQa
ad
a
da a
da
da
=
= +
= minus rArr = rArr =
32
32 2
34 4
24
22
22
2
22 2
22
03 01) FALSOA medida das arestas do tetraedro eacute a 2 pois satildeo diagonais de quadrados cujos lados medem a Assim sendo h a altura do te-traedro temos
h
a a a= sdot = sdot =2 63
123
2 33
02) VERDADEIRO
Aa a a
Va a a
base
tetaedro
= sdot = =
= sdot sdot =
( )2 34
2 34
32
13
32
2 33 3
2 2 2
2 3
04) VERDADEIRODo item anterior A
abase =
2 32
08) FALSOA aacuterea da superfiacutecie total do tetraedro corresponde agrave aacuterea de qua-
tro triacircngulos equilaacuteteros Aa
atotal = sdot =43
22 3
22
16) VERDADEIROA soma dos comprimentos das arestas eacute 6 2sdota
04 cA
B
P
D
a C
Considere um tetraedro ABCD e P um ponto no seu interior Dividindo o tetraedro em 4 piracircmides BCDP ACDP ABDP e ABCP cujas alturas satildeo d d d d1 2 3 4 (distacircncias de P agraves faces do tetraedro) temos
V V V V V
A H A d A
ABCD BCDP ACDP ABDP ABCP
base base ba
= + + +
sdot sdot = sdot sdot + sdot13
13
131 sse base based A d A d
d d d d H
sdot + sdot sdot + sdot sdot
+ + + =
2 3 4
1 2 3 4
13
13
05 cNo triacircngulo retacircngulo ABC temos
tgBCAB
BCa
BCa
30
33
33
deg =
= rArr =
Volume do prisma ABCDEF
V
aa
aa
=sdotsdot =
332
36
3
06 cSeja a a medida das arestas do tetraedro Assim
43
49 3 9 3
22sdot = rArr = rArr =a
a a
Observe uma das faces do tetraedro
Q P
3
Como P e Q satildeo pontos meacutedios das arestas tem-se que PQ = 32
(propriedade da base meacutedia de um triacircngulo) Analogamente
QR RS SP= = = 32
Portanto o periacutemetro do quadrilaacutetero eacute 432
6sdot =
Resoluccedilotildees
1Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
10DMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
07 A medida das arestas do octaedro regular eacute a metade da medida das ares-tas do tetraedro regular (propriedade da base meacutedia de um triacircngulo)
a2
a2a2
xx
h
No triacircngulo retacircngulo destacado na figura temos
x
aa
ah
ah
a a ah
=sdot
=
= +
rArr = minus = rArr =
22
22
4
22
4 4216
216
22
22
2 2 2 aa 24
O volume do octaedro corresponde a duas vezes o volume de uma piracircmide quadrangular regular
Va a
Va a a
octaedro
octaedro
= sdot sdot
sdot
= sdot sdot =
213 2
24
23 4
24
224
2
2 3
08 e I INCORRETA Existem 5 poliedros convexos regulares tetraedro regu-
lar hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular e icosae-dro regular
II CORRETA
y
x
x
xh
Aacuterea total do octaedro regular
Ax
x= sdot =83
42 3
22
Volume do octaedro regular
yx
x hx
h xx x
hx
V xx x
=
= +
rArr = minus = rArr =
= sdot sdot sdot =
22
22
24
24
22
213
22
2 22
2 22 2
233 2
3
III CORRETA
v a f
v a f
= = =minus + = minus + =
10 20 12
10 20 12 2
IV CORRETA A relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelida para todo poliedro convexo
09 a) Seja a a medida das arestas do cubo Assim as arestas do tetraedro regular medem a 2 Sendo h a altura do tetraedro e d a medida das diagonais do cubo temos
ha a a
d a
= sdot = =
=
2 63
123
2 33
3
Portanto h d= sdot23
(a altura do tetraedro eacute dois terccedilos da diagonal do cubo)
b) V
Va
a aa
a aaa
cubo
tetraedro=
sdot sdot sdot=
sdot sdot sdot= =
3
2
3
2
3
313
2 34
2 33
13
2 34
2 33 3
( )33
10 eO volume comum aos dois soacutelidos eacute dado pela diferenccedila entre o volu-me de uma piracircmide triangular de base ABC e altura 9 e o volume de uma piracircmide triangular de altura 6 semelhante agrave primeira Sendo A a aacuterea da base da piracircmide menor temos3 32 9
6
9294
92
49
22
sdot
=
rArr = = sdot =A
A
Vcomum = sdot sdot minus sdot sdot = minus =13
92
913
2 6272
4192
11 bAs quantidades de esferas depositadas em cada etapa formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 2Etapa 1 1 esferaEtapa 2 2 esferasEtapa 3 4 esferas
Etapa n 1 2 21 1sdot =minus minusn n esferasVolume total das esferas (em cm3)
0 5 1 2 4 212
2 2 12 1
2 12
11
( )sdot + + + + = sdot sdot minusminus
= minusminusminus
nn n
O volume total das esferas deve ser maior que o volume do recipiente2 1
240 25 20 2 1 40000 2 40001
nn nminus gt sdot sdot rArr minus gt rArr gt
Assim2 40001 2 40000 2 40 1000
2 1000
2 40 222
10
1010
n n n
nn
Usando
gt rArr gt rArr gt sdot
=
gt sdot rArr
gtgt rArr gtminus40 2 4010n
Como 25 = 32 e 26 = 64 temos
2 2 10 6 1610 6n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
Portanto o menor nuacutemero de etapas necessaacuterias eacute 16Observaccedilatildeo Podemos resolver a desigualdade sem utilizar a aproximaccedilatildeo 2 100010 =
2 40001 2 40000 2 2 62522
625 2 62566
6n n nn
ngt rArr gt rArr gt sdot rArr gt rArr gtminus
Como 29 = 512 e 210 = 1024 temos
2 625 6 10 166n n nminus ge rArr minus ge rArr ge
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
12 e
x5
3
5
5 3 25 9 16 42 2 2 2= + rArr = minus = rArr =x x x cm
Assim a altura do cone eacute 5 cm + 4 cm = 9 cm
VV
cone
esfera=
sdot sdot sdot
sdot sdot= = =
13
3 9
43
5
81500
0 162 16 2
2
3
π
π
13 aA base do paralelepiacutepedo eacute um quadrado Sejam L a medida dos la-dos desse quadrado e h a altura comum ao cilindro e ao paralelepiacutepe-do Assim o raio da base do cilindro mede L
2
VV
Lh
L hV V1
2
2
2 2 12
44=
sdot sdot
sdot= rArr sdot = sdot
ππ
π
14 eComo a altura do cone eacute menor que a metade da altura do cilindro o volume do liacutequido eacute dado pela diferenccedila entre a metade do volume do cilindro e o volume do cone
22
liacutequido
liacutequido
3 10 1V 1 3
2 3V 45 44
πsdot sdot= minus sdotπsdot sdot
= π minus π = π
15 dA altura do prisma eacute o diacircmetro da esfera ou seja 2rComo a esfera tangencia as faces do prisma temos a seguinte secccedilatildeo transversal na metade da altura do prisma
r
a a
a
A medida do raio da esfera eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equi-laacutetero da base do prisma
ra a
ar= sdot = rArr =1
33
23
66
3
Portanto
Va
r
Vr r r r
r
prisma
prisma
= sdot
=
sdot = sdot =
2
2 23
34
2
63
32
363
32
6 3
16 Sejam O o centro da esfera A um dos veacutertices da base da piracircmide de veacutertice V e altura VH
O
5
AH
V
No triacircngulo retacircngulo OAV temos( )
( ) (O
OA OV OH
OH OH cm
VH OV OH VH cm
OA H
2
2
2
5254
4
254
494
= sdot
= sdot rArr =
= minus = minus rArr =
= )) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 25 4 9 3
+
= + rArr = rArr =
HA
HA HA HA cm
Assim a altura da piracircmide eacute 94
cm e as arestas de sua base medem 3 cmPortanto
23
piracircmide1 6 3 3 9 81 3
V cm3 4 4 8
sdot sdot= sdot sdot =
17
m m
r
m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do triacircngulo equilaacutetero eacute um cone reto
com raio da base m2
e geratriz de medida m
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do ciacuterculo eacute uma esfera cujo raio eacute a terccedila parte da altura do triacircngulo equilaacutetero de lado m
rm m= sdot =1
33
23
6
Portanto
A coneA
mm
m
m
mm
mL
esfera
( ) =sdot sdot
sdot
=sdot
= sdotπ
π
π
π
ππ
2
43
6
2
4336
23
2
2
2
2
2 == 32
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
Atividades Seacuterie Ouro 10
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
18 d
α
α
β
A aacuterea total do soacutelido corresponde agrave aacuterea lateral de um cilindro maior mais a aacuterea lateral de um cilindro menor mais a aacuterea das bases do cilindro maior menos a aacuterea das bases do cilindro menorA
A
total
total
= sdot + sdot + sdot sdot + sdot sdot + minus sdot sdot
= sdot +
2 2 2 2
2
2 2
2
π α β α π β α π α β π β
π α αβ
( ) ( )
( ++ + + + minus
= sdot + = sdot sdot + = sdot +
αβ α αβ β β
π α αβ π α α β πα α
2 2 2
2
2
2 2 4 2 2 2 4
)
( ) ( ) (A total 22β)
19 bA
3
3
3
1
D
C
45ordm
B
O soacutelido gerado pela rotaccedilatildeo do trapeacutezio ABCD em torno do lado AB eacute formado por um cilindro reto com raio da base 3 e altura 1 e um cone reto com raio da base 3 e altura 3 Portanto
2 2soacutelido
soacutelido
soacutelido
1V 3 1 3 3
3V 9 9
V 18
= πsdot sdot + sdotπsdot sdot
= π + π= π
20 aSeja h a altura do triacircngulo ABC em relaccedilatildeo ao lado BC Assim
Sh
hS= sdot rArr =NN2
2
A rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC em torno do eixo que passa pelo lado BC gera um soacutelido formado por dois cones cuja base comum tem raio h e cuja soma das alturas (h1 + h2) eacute ℓ Portanto
2 2soacutelido 1 2
2soacutelido 1 2
2 2 2
soacutelido 2
1 1V h h h h
3 31
V h (h h )3
2S 4S 4 SV
3 3 3
= sdotπsdot sdot + sdotπsdot sdot
= sdotπsdot sdot +
π π π = sdot sdot sdot sdot = =N N
N NN
4 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10D
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
01 cUma das raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = eacute x =1
Assim
1 1 0 0 ndash11 1 1 0
As outras raiacutezes da equaccedilatildeo x 3 1 0minus = satildeo as raiacutezes da equaccedilatildeo
x x2 1 0+ + =
Portanto as raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 1 0+ + = satisfazem x 3 1 0minus =
02 d6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
minus minus minus + + +
minus minus minus minus minus
minus minus minus
+22 2
10 7
10 5 5
4 12
2
2
2
x x
x x
x x
x
+
minus minus +
+ ++
Assim
q x x
r x x
(x)
( )
= minus minus= +
3 2 5
4 12
2
q x
x x x ou x
r x x x
( )
( )
=
minus minus = rArr = = minus
= rArr + = rArr =minus
0
3 2 5 053
1
0 4 12 0 3
2
Portanto o produto das raiacutezes de q(x) e r(x) eacute53
1 3 5sdot minus sdot minus =( ) ( )
03 d+ + + =
+ + + =+ + + =
= minussdot + sdot + sdot + sdot + sdot + sdot =
sdot + sdot + sdot minus + sdot + sdot minus + sdot minus == minus
sdot sdot sdot =sdot sdot sdot minus == minus
+
4 2
1 2 3 4
4
4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4
3x mx nx p 0
x x x x 0
1 2 3 x 0
x 6
x x x x x x x x x x x x m
1 2 1 3 1 ( 6) 2 3 2 ( 6) 3 ( 6) m
m 25
x x x x p
1 2 3 ( 6) p
p
0x
36
Portantom p+ = minus + minus = minus25 36 61( )
04 d+ =sdot =
1 2
1 2
x x 63
x x k
Como as raiacutezes satildeo nuacutemeros primos e a soma delas eacute iacutempar a uacutenica pos-sibilidade eacute 2 e 61Portanto o uacutenico valor que k pode assumir eacutek = sdot =2 61 122
05 a) Sejam x ndash r x e x + r as raiacutezes da equaccedilatildeo em que r eacute a razatildeo da progres-satildeo aritmeacuteticaAssim
minus+ + = minus
minus + + + == rArr =
1 2 33
x x x1
x r x x r 3
3x 3 x 1P
m
m
( )1 0
1 3 1 0
2
3 2
=
minus sdot + ==
b) Como x =1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 ndash3 0 21 ndash2 ndash2 0
x x
x ou x
2 2 2 0
1 3 1 3
minus minus =
= + = minus
Portanto as raiacutezes do polinocircmio satildeo
1 3 1 1 3minus +
06 64Sejam x xq e xq2 as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo geomeacutetricaAssim
+ + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot sdot = minus
2
2 2
2
x xq xq 7
x xq x xq xq xq 28
x xq xq k
Assimx xq xq
x q q I
x xq x xq xq xq
x q q q
+ + =
sdot + + =
sdot + sdot + sdot = minus
sdot + +
2
2
2 2
2 2
7
1 7
28
1
( ) ( )
( )== minus28 ( )IIDividindo (II) por (I) temosx q q q
x q qxq
2 2
21
1287
4
sdot + +sdot + +
=minus
= minus
( )( )
Portantox xq xq k
xq k
k
k
sdot sdot = minus
= minus
minus = minus=
2
3
34
64
( )
( )
07 bA palavra Coimbra tem 4 consoantes e 3 vogais Assim o nuacutemero de raiacutezes imaginaacuterias eacute 4 e o nuacutemero de raiacutezes reais eacute no maacuteximo 3Portanto o grau n do polinocircmio eacute tal que4 4 3
4 7
le le +le le
n
n
08 bComo os coeficientes satildeo reais ndashi tambeacutem eacute raiz
1 2 3 4
3 4
3 4
1 2 3 4
3 4
3 4
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
x x x x 2
i ( i) x x 2
x x 2
+ + + =+ minus + + =
+ =sdot sdot sdot =
sdot minus sdot sdot =sdot =
1
Resoluccedilotildees
Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
10EMatemaacuteticaAtividades Seacuterie Ouro
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
Assim as outras raiacutezes satildeo raiacutezes da equaccedilatildeo x x2 2 2 0minus + =
x x
x i ou x i
2 2 2 0
1 1
minus + == + = minus
Portanto uma das raiacutezes do polinocircmio 1+ i eacute um nuacutemero complexo em que a parte real e a parte imaginaacuteria satildeo iguais
09 bp x x x x
p x x x x
p x x x x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= sdot minus sdot minus sdot minus
= minus sdot minus +
= minus +
1 1 2 3
1 5 6
5 6
2
3 2 minusminus + minus
= minus + minus
x x
p x x x x
2
3 2
5 6
6 11 6( )
Dividimos p(x) por xminus3
3 1 ndash6 11 ndash6
1 ndash3 2 0
O quociente eacute x x2 3 2minus + ObservaccedilatildeoNesse caso como xminus3 eacute divisor de p(x) temosp x x x x
p x x x x
p xx
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= minus sdot minus sdot minus= minus sdot minus sdot minus
minus= minus sdot
1 2 3
3 1 2
31 (( )
( )
x
p xx
x x
minus
minus= minus +
2
33 22
10 e
log
( )b a b a
b a PA
b a b
b a
b b
b b
= rArr =
minus = minusminus =
minus =
minus + =
3
1
1
2 1
2 1
2 1 0
3
3
3
Como 1 eacute raiz da equaccedilatildeo temos
1 1 0 ndash2 11 1 ndash1 0
b b
b ou b
2 1 0
1 52
1 52
+ minus =
=minus +
=minus minus
Como b deve ser maior do que 0 e diferente de 1 (base de um logaritmo)
entatildeo b =minus +1 5
2
Aleacutem disso como 2 2 4 842 = e 2 3 5 292 = 2 2 5 2 3 lt lt
b
bb
gtminus +
=
ltminus +
=
rArr lt lt
1 2 22
0 6
1 2 32
0 650 6 0 65
11 ax x
x x x
x
x
1 2
1 2 3
3
3
1
42
1 2
2
sdot =
sdot sdot = minus
sdot = minus= minus
Como x = minus2 eacute raiz temos2 2 2 2 4 0
2 8 4 2 4 0
8
3 2sdot minus minus minus + sdot minus + =sdot minus minus minus + == minus
( ) ( ) ( )
( )
k
k
k
12 b
Sejam xq
x e xq as raiacutezes da equaccedilatildeo em que q eacute a razatildeo da progressatildeo
geomeacutetricaAssimxq
x xq
x x
sdot sdot = minus
= minus rArr = minus
8
8 23
Como x = minus2 eacute uma raiz temos
ndash2 1 7 14 81 5 4 0
x x
x ou x
2 5 4 0
1 4
+ + == minus = minus
Portanto a soma das duas maiores raiacutezes da equaccedilatildeo eacute ndash313 e
1 1a b
a bab
+ =+
Como os coeficientes satildeo reais 1minus i tambeacutem eacute raizAssim
+ + + =+ + minus + + =+ =
sdot sdot sdot = minus+ sdot minus sdot sdot = minus
minus sdot = minus= minus
1 2 3 4
1 2 3 4
2
x x x x 3
1 i 1 i a b 3
a b 1
x x x x 24
(1 i) (1 i) a b 24
(1 i ) ab 24
ab 12
Portanto1 1 1
121
12a ba bab
+ =+
=minus
= minus
14 13 (01 04 08)01) CORRETO
Como os coeficientes satildeo reais 2minus i tambeacutem eacute raizAssim
2 2 1 52 2minus = + minus =i ( )
02) INCORRETO
tgθ =12
Como o afixo de 2+ i pertence ao 1deg quadrante e tg tgθπ
lt4
entatildeo
θπ
lt4
04) CORRETO+ + = minus
+ + minus + = minus= minus minus
1 2 3
3
3
x x x a
2 i 2 i x a
x a 4
Como o coeficiente a eacute inteiro entatildeo x 3 eacute inteiro Portanto a uacutenica raiz real do polinocircmio eacute inteira
2 Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
-
08) CORRETOSe 1 eacute raiz do polinocircmio temos
+ + = minus+ + minus + = minus rArr = minus
sdot sdot = minus+ sdot minus sdot = minus
minus = minus rArr = minus
1 2 3
1 2 3
2
x x x a
2 i 2 i 1 a a 5
x x x c
(2 i) (2 i) 1 c
4 i c c 5
Portanto a c= 16) INCORRETO
Como o grau de equaccedilatildeo eacute iacutempar e os coeficientes satildeo reais entatildeo pelo menos uma raiz eacute real
15 bComo P(x) eacute de grau 3 entatildeo ndash2 eacute uma raiz dupla e a outra raiz eacute um nuacutemero positivo As trecircs raiacutezes satildeo reaisAleacutem disso como P( )0 3= minus o termo independente eacute ndash3
Portanto apenas a afirmativa II eacute correta
3Extensivo Terceiratildeo ndash Matemaacutetica 10E
Atividades Seacuterie Ouro 10
- 01_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10A_Serie Ouro_Gabarito
- 02_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10B_Serie Ouro_Gabarito
- 03_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10C_Serie Ouro_Gabarito
- 04_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10D_GABARITO ESPECIAIS
- 05_CURSO_2017_NOVO_EXT_MAT 10E_Serie Ouro_Gabarito
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