Atomzika

Csanád Máté

2017. december 20.

Tartalomjegyzék

1. Az atomelmélet és az els® atommodellek 3

1.1. Kémiai reakciók és az atomelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Az elektron felfedezése, a Thomson-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. A hatáskereszmetszet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Szóródás centrális er®térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Az atommag felfedezése, a Rutherford-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. Az atomok mérete és tömege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Atomosság és kvantáltság makroszkópikus jelenségekben 12

2.1. Brown-mozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Sörétzaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. S¶r¶ségingadozások gázokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Fényszóródás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Energiaeloszlások gázokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6. Feketetest-sugárzás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Az atomok energiaszintjei és az els® kvantált atommodellek 21

3.1. Gázok abszorpciós és emissziós vonalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Az atomok energiaszintjei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. A Bohr-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4. Az atomok mágneses momentuma és perdülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5. A SommerfeldWilson-féle kvantálás, a régi kvantumelmélet . . . . . . . . . . . . 263.6. A hidrogénatom Sommerfeld-modellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Az elektromágneses sugárzás részecsketermészete 30

4.1. A fény hullámtermészete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2. A fotoelektromos jelenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3. Az elektromágneses sugárzások kett®s természete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4. A Compton-jelenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5. Kísérletek a fény természetének megállapítására . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6. Az elektromágneses tér termodinamikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7. A Planck-törvény levezetése és alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.8. A foton impulzusa, Doppleres h¶tés és Mössbauer-jelenség . . . . . . . . . . . . . . 39

5. Anyaghullámok 41

5.1. Elektronok elhajlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2. Atom- és molekulanyalábok elhajlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3. Terjedési amplitúdó és hullámfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4. Határozatlanság és hullámcsomagok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.5. A kvantummechanika értelmezései, rejtett változók vizsgálata . . . . . . . . . . . . 47

1

6. A kvantummechanika alapjai 49

6.1. A kvantummechanika matematikai képe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2. A zikai mennyiségeknek megfelel® operátorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3. A Schrödinger-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.4. A harmonikus oszcillátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.5. A valószín¶ségi áram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.6. A Schrödinger-egyenlet alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.7. Az id®független perturbációszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7. Perdület és sajátperdület a kvantummechanikában 57

7.1. A pályaperdület kvantálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2. A perdület és a forgatások kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3. A spin és a giromágneses faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.4. A spin mint kvantumtulajdonság, a Pauli-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8. A hidrogénatom részletes spektruma 64

8.1. A hidrogénatom a Schrödinger-egyenlet alapján . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.2. A nomfelhasadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.3. A hipernom felhasadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.4. A Lamb-féle eltolódás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.5. Többelektronos atomok szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Általában az alábbi módon keressük az új természeti törvényeket. Els® lépésbenfelteszünk egy elméletet. Aztán megvizsgáljuk a feltételezésünk következményeit, hogylássuk, mit jelentene, ha az elméletünk igaz lenne. Majd a számítások eredményeitösszehasonlítjuk a Természettel, közvetlenül a meggyelésekkel, kísérlet vagy tapasz-talat által, hogy lássuk, m¶ködik-e. Ha ellentmond a kísérleteknek, akkor az

elméletünk hibás.

Ebben az egyszer¶ állításban van a tudomány kulcsa. Nem számít, milyen szépaz elméletünk, nem számít, milyen okosak vagyunk, hogy ki találta ki az elméletet,hogy ®t hogy hívják ha ellentmond a kísérleteknek, akkor hibás.

Richard P. Feynman

2

1. Az atomelmélet és az els® atommodellek

1.1. Kémiai reakciók és az atomelmélet

Bár az atomelmélet lozóai értelemben az ókori Görögországból származik, természettudományosértelemben a XIX. század elejére datálhatjuk megjelenését. Az els® kísérleti el®jelek a kémiaireakciókban mutatkoztak meg, alább ezeket soroljuk fel:

Lavoisier, 1789: tömegmegmaradás kémiai reakciókban, a reagensek és a termékek tö-mege azonos

Proust, 1799: állandó arányok törvénye, vas-oxidban a vas és az oxigén aránya mindigugyanannyi, és ez igaz mindenféle, ónnal, higannyal, ólommal és mindenféle egyéb anyaggallefolyó kémiai reakcióra.

Dalton, 1804: többszörös arányok törvénye, nitrogén és oxigén keverésekor 1 grammnitrogénre a végtermékt®l (N2O, N2O3, NO, NO2, stb.) függ®en különböz® mennyiség¶ oxigénjut. Az oxigén aránya a különböz® végtermékek esetén kis egész számok szerint adódik, 1:2,2:3, 1:4, stb. A konkrét kísérlet ón-oxiddal (SnO) és ón-dioxiddal (SnO2) zajlott, és Daltonazt látta, hogy 100 g ónhoz 13,5 g vagy 27 g oxigénre van szükség (illetve ennyire bomlik),azaz az arány 1:2. Egyszer¶ molekuláknál ez kiválóan m¶ködik, bonyolult szénhidrogéneknél(pl. C10H22 és C11H24, itt 121:120 a H aránya) már nem annyira.

Dalton ez alapján megalkotta az atom-elméletet (1. ábra). Szerinte minden kémiai elemegyedülálló és egyedi atomokból áll, amelyeket nem lehet kémiailag lebontani vagy megvál-toztatni. Néhány tévedése volt: nem tudta, hogy létezhet H2 típusú molekula, illetve azthitte, bármely két elemb®l a legegyszer¶bb molekula az 1:1 arány képzése során jön létre. Améréseiben is volt jelent®s hiba, például az oxigén és a hidrogén tömegarányát 5,5-nek hitte,aztán kés®bbi mérések alapján 7-nek.

Avogadro, 1811: Avogadro törvénye, azonos térfogatú gázok azonos h®mérsékleten és nyo-máson azonos mennyiség¶ molekulát tartalmaznak (azaz a térfogat nem függ a molekula-tömegt®l). Ez alapján ki tudta következtetni a kétatomos, egy elemb®l álló molekulák ter-mészetet. Például két liter hidrogéngáz egy liter oxigéngázzal reagál, és ebb®l két liter g®zlesz, azaz az oxigénmolekulák felbomlanak. Ez alapján pontosabban meg tudta határozni azatomok tömegét, illetve megkülönböztette az elemeket és a molekulákat.

Az atomelmélet a 19. század folyamán nem nyert elismerést, pusztán hipotézisnek vették, amely-nek nincs köze a valósághoz (Ez ma aktuálisabb, mint valaha: mennyire valósak a mai elemi ré-szecskék, extra dimenziók, kölcsönhatási terek, illetve mennyire csak elméleti konstrukciók, amelyeksegítenek leírni a valóságot? Van egyáltalán különbség?)

A mai értelemben vett atomok létezése még a XIX. század második felében sem egyértelm¶.Lord Kelvin 1867-es Atomi vortexek cím¶ tanulmányában amellett érvel, hogy az atomok va-lójában az éter (ld. a fénysebesség kutatása és a relativitáselmélet történetében) csomósodásai.Elméletével sokféle jelenséget le tudott írni a csomók rezgései és kölcsönhatásai jól magyaráztáka meggyeléseket. Az elmélet mögött érdekes matematika is húzódott (amelyben Peter Trait segí-tett Lord Kelvinnek), de ennek részleteit csak kés®bb tártak fel: a csomók elmélete ma is aktívankutatott matematikai tudományterület. Ez a történet kiváló példa arra, amikor amikor az zikaielegancia és az elméleti matematika sajnálatos módon nem találkozik a kísérleti igazság kés®bbnapvilágra kerül® részleteivel. Nézzünk azonban néhány további kísérleti bizonyítékot, amelyet amai értelemben vett atomelmélet kiválóan meg tudott magyarázni:

Brown, 1827: Brown-mozgás, pollen-részecskék a vízben látszólag ok nélkül véletlenszer¶enmozognak. Ez lesz az atomelmélet els® elfogadott bizonyítéka kés®bb. Részletesebben lásd akövetkez® fejezetben.

Faraday, 1834: az elektrolízis törvénye, az elektródokon képz®d® anyag tömege (m) ará-nyos az áthaladó elektromos töltésmennyiséggel (Q). Másrészt a töltésmennyiség arányos azanyagmennyiséggel is, ez n = m/M -ként fejezhet® ki, ha M a mólonkénti tömeg. Ez alapján:

Q = ZFn = ZF

Mm (1)

3

1. ábra. A Dalton-féle atomelmélet, amely néhány molekulát helyesen, másokat hibásan épít fel.Például a CO2 molekula helyesen szerepel (28-as számmal), míg a vízmolekula helytelenül (HO,21-es).

4

2. ábra. A Thomson által használt Crookes-cs®, amely egy vákuumozott üvegtartályból és benneelektródákból áll. Az elektronokat a C jel¶ katód bocsátja ki f¶tés hatására, az A és B jel¶ résekélesítik a nyalábot, majd a D és E jel¶ lemezekre feszültséget kapcsolva az elektronok eltérülnek.Ez utóbbi volt Thomson felfedezésének legfontosabb pontja.

ahol Z egész szám (kés®bb kiderült, hogy ez a kötési elektronok száma), és F = 9, 65 · 104

C/mol, a Faraday-féle állandó. Ez egyszer¶en az elemi töltés és az Avogadro-állandó szorzata,mint kés®bb kiderült (1, 6 · 10−19 C ×6 · 1023/ mol).

1.2. Az elektron felfedezése, a Thomson-modell

J. J. Thomson 1897-es, katódsugarakkal végzett kísérletéig az volt az elképzelés, hogy az anyaglegkisebb, oszthatatlan egységét az atomok alkotják. A Crookes-cs®vel végzett vizsgálatok során(lásd 2. ábra) kiderült, hogy a katódsugarakat, amelyek fényt keltenek a uoreszcens rétegen, eltérí-ti az elektromos tér. Ez alapján lesz¶rte, hogy ezek a sugarak nem a fény egy formáját jelentik,hanem könny¶, negatív töltés¶ részecskékb®l, korpuszkulákból állnak. Thomson azt hitte,hogy a részecskék a gáz molekuláiból válnak ki, azaz az atom felosztásának vélte a jelenséget. Arészecskéket kés®bb nevezték el elektronoknak. A kísérletet mágneses térrel kiegészítve, a Lorentz-és a Coulomb-er® felhasználásával Thomson megmérte az elektronok töltés/tömeg arányát is. Mi-után az elektromos tér okozta gyorsulás a = F/m = eE/m, a repülési id® t = l/v, a mágneses térokozta Lorentz-er® pedig a centripetális er®vel egyezik meg, így a következ®ket kapjuk:

Elektromos térben az eltérülés: y =1

2at2 =

eEl2

2mv2(2)

Mágneses térben a pályasugár: r =mv2

evB=mv

eB(3)

A kett® mérésével:e

m=

El2

2B2yr2(4)

Így a (nehezen mérhet®) sebesség ismerete nélkül megkapható a töltés/tömeg arány. Thomsonkonkrét mérésének a lényege az volt, hogy az adott elektromos tér miatti φ eltérülést éppen kioltómágneses tért állított be. Ha a két er® éppen kioltja egymást, akkor E = vB, azaz a sebesség akett® hányadosa, v = E/B. Ekkor az elektromos tér miatti eltérülést mérte, és ebb®l határoztameg a töltés/tömeg arányt:

Az elektromos eltérülés: φ =y

l=

eEl

2mv2(5)

Innen a sebesség ismeretében:e

m=

2φv2

El=

2Eφ

B2l(6)

Így ehhez a pályasugár helyett a φ eltérülés mértékére van szükség érdekes végiggondolni, hogy ezés az el®z® módszer matematikailag szinte ugyanaz, ugyanakkor méréstechnikailag jelent®s különb-ség van köztük! A mérés eredménye szerint az elektron tömeg/töltés aránya három nagyságrenddelkisebb a H+ ionénál. Miután a töltésük megegyezik (ahogy azt ma tudjuk), ezért ez a H atomnálezerszer könnyebb részecskét jelent. Az eredmények fontos pontjai közé tartozott az is, hogy atöltés/tömeg arány nem függ a kibocsátó katódtól, illetve a radioaktív anyagokból kijöv® sugárzásis ugyanebbe a kategóriába tartozik. Álljon alább egy idézet Thomsontól:

A katódsugarak negatív elektromos töltést hordoznak: eltérülnek az elektroszta-tikus er® hatására, mint ha negatív elektromosságuk lenne, hat rájuk a mágneses er®

5

éppen úgy, mint ahogy hasonló pályán mozgó negatív töltés¶ testekre hatna. Nem látoktehát más lehet®séget, mint hogy arra következtessünk, hogy a katódsugarak negatívtöltést hordozó anyagi részecskékb®l állnak. (iCathode rays, Philosophical Magazine,44, 293 (1897).)

1902-ben Kaufmann béta-sugárzással azt találta, hogy nagyon gyors elektronokra ez az arányváltozik, amit Hupka és Bucherer mérései meger®sítettek nem volt azonban egyértelm¶ a változásmértéke. Einstein relativitáselméletének jóslata szerint a test tehetetlensége és egyúttal energiájaegy 1/

√1− v2/c2 faktorral változik, ha v sebességgel halad. Ez a gondolat nem volt gyökeresen

új, hiszen korábban is voltak feltételezések arra nézve, hogy egy elektromos sugárzással töltötttérfogat úgy viselkedik, mintha tehetetlen tömege lenne. Einstein forradalmi gondolata szerintazonban minden energiához tehetetlen tömeg tartozik. Günther Neumann 1914-es, illetve Guyeés Lavanchy 1915-ös mérései azt mutatták, hogy a v sebesség¶ elektron tehetetlensége éppen azeinsteni formulának megfelel®en változik meg, tehát a tömeg/töltés arány 1/

√1− v2/c2 faktorral

n®.Katódsugaras kísérleteinek érdelmezése alapján Thomson 1904-ben megalkotta a plum pud-

ding névvel illetett els® atommodellt (amelyért Nobel-díjban részesült). Ebben az atom egypozitív töltés¶ levesb®l áll, amelyben úsznak a negatív töltés¶ elektronok. Ezt az 1909-es aranyfó-liával végzett szórási kísérlet cáfolta, lásd a következ® alfejezetben.

Millikan 1913-ban publikálta mérései eredményét (Fletcher javaslatai alapján korrigálva be-rendezését), amelynek következtetéseként egyfajta elemi töltés létezését állapította meg, illetvelényegében megmérte az elektron tömegét. Kísérletében porlasztott olajcseppekre ható elektromoser®t mérte sebességük meggyelésén keresztül. A Newton-egyenlet az egyenletesen mozgó olajcsep-pekre felírva így néz ki (gyelembe véve a Stokes-törvény adta közegellenállást):

mg − Ffel =4πr3

3(ρolaj − ρlev.)g = 6πηrv0, (7)

ahol m a cseppek tömege, r a mérete, ρ a s¶r¶ség, η a leveg® viszkozitása, v0 a cseppek álladó se-bessége. A cseppek mérete innen kiszámítható: r2 = 9ηv0/(2g∆ρ). Ha ezekre a Q töltés¶ cseppekreE térer®sséget kapcsolunk, a sebességük v lesz, és a fenti egyenlet így módosul:

4πr3

3(ρolaj − ρlev.)g +QE = 6πηrv, (8)

azaz

Q = 6πηr(v − v0)/E (9)

lesz a töltésük. Ebbe az egyenletbe visszahelyettesíthetjük az el®z®ekben kapott cseppméretet.Millikan végeredményben azt találta, hogy a töltések mindig egy e = 1, 592(2) · 10−19 C konstansegész számú többszörösei. Ennek mai pontos értéke 1, 60217649(4)·10−19 C. A jelenség jelentése az,hogy a természetben csak e egész számú többszörösei jelenhetnek meg, és ez az elektron illetve azatom további épít®köveinek a töltése. Ezen mérés kapcsán érdemes felidézni Feynman kommentárját(ld. Surely You're Joking, Mr. Feynman!):

Millikan megmérte az elektron töltését olajcseppek zuhanását vizsgáló kísérleté-ben, és eredménye enyhén pontatlan volt. ... Érdekes megnézni az elektron töltésérevonatkozó, Millikant követ® méréseket. Ha az id® függvényében ábrázoljuk ezeket, lát-juk, hogy az els® kicsit nagyobb Millikan értékénél, a következ® még nagyobb, és ígytovább, míg egy bizonyos, Millikan értékénél nagyobb számnál meg nem állapodnak.Miért nem mérték egyb®l helyesen az értéket? ... Amikor a kísérlet vezet®je Millikané-nél lényegesen nagyobb számot kapott, azt gondolta, biztos valamit rosszul csinált ésmegkereste ennek okát. Ha Millikanhez közeli értéket talált, akkor nem olyan alaposannézte át a kísérletet.

1.3. A hatáskereszmetszet

Fizikai hatáskeresztmetszetnek egy adott szórási vagy elnyelési folyamat valószín¶ségét meghatá-rozó eektív felületet nevezzük. Legyen adott a bejöv® árams¶r¶ség (id®egységre és felületegységre

6

vetített részecskeszám vagy energia). Ha a folyamatban résztvev® (azaz abban érintett, eltérül®)részecskék számát vagy energia mennyiségét elosztjuk a bejöv® árams¶r¶séggel, akkor kapjuk mega hatáskeresztmetszetet. A következ®kben a részecskeszámmal megadott deníciót járjuk körüljobban (de tartsuk észben, hogy a bejöv® árams¶r¶ség lehet az energia vagy más zikai mennyiségs¶r¶sége is, és a kvantummechanikában például a valószín¶ség-áramon keresztül adhatjuk majdmeg a hatáskeresztmetszetet).

Elemi folyamatnak azt az esetet nevezzük, ha csak két részecske vesz részt a folyamatban, példá-ul egyszer¶ ütközés nyomán. Ilyenkor az id®egységenkénti bekövetkezések, azaz az id®egységenkéntkijöv® részecskék száma Nki száma megegyezik az id®egységenként bejöv® részecskék Nbe id®egy-ségenkénti számával, megszorozva az ütközés valószín¶ségével. Ez a valószín¶ség úgy kapható meg,hogy elosztjuk az összes Ncéltárgy darab céltárgyrészecske által nyújtott felületet (Ncéltárgy · σ) ateljes nyalábkeresztmetszettel (A). Itt az egy céltárgyrészecske által nyújtott felület az úgynevezetthatáskeresztmetszet (σ), és ez alapján:

Nki = Nbe · 〈ütk. val.〉 = NbeNcéltárgyσ

A= jbeNcéltárgyσ (10)

ahol tehát A a nyaláb keresztmetszete és σ a folyamat hatáskeresztmetszete, továbbá a bejöv® áram-s¶r¶ség jbe = Nbe/A módon írható fel. Úgy is fogalmazhatunk, j bejöv® energiaáram-s¶r¶ségb®lkiindulva, hogy a kiszóródott teljesítmény mértéke Pki = jbeσ, vagy általánosan, tetsz®legesmennyiség Φ uxusával kifejezve ∆Φ = −Φσ/A, ahol ∆Φ a szóródás miatti uxusváltozás és Aa bejöv® nyaláb keresztmetszete. Fontos továbbá megemlíteni, hogy ha egy A keresztmetszet¶, Iintenzitású nyaláb közegen halad át, amelynek részecskéivel való ütközésének σ a hatáskeresztmet-szete, akkor egy dx vékony rétegen a nyalábintenzitás változása

−dII

= 〈ütk. val.〉 = Ncéltárgy

σ

A= n · σ · dx, (11)

ahol n = Ncéltárgy/(Adx) a céltárgyrészecskék száms¶r¶sége. Innen tehát vékony céltárgyra anyalábintenzitás megváltozása dI = Inσdx, vastag céltárgy esetén pedig a nyalábintenzitás hely-függése:

I(x) = I(0)e−nσx. (12)

Ezen felül deniáljuk a dierenciális hatáskeresztmetszetet, többnyire a térszögegységen-kénti hatáskeresztmetszetként, ennek jelölése dσ

dΩ (θ, φ), ahol Ω a térszöget jelöli, és ez azt jelenti,hogy egy adott (θ, φ) irány esetén (ahol θ a polár-, φ az azimut szöget jelöli) az ekörül innitezi-mális dΩ térszögtartományba történ® szóródáshoz mekkora innitezimális felület tartozik. Ezt úgyértjük, hogy egy adott irányban elhelyezked® ∆Ω tartományba érkez® részecskék száma

Nki,∆Ω = jbeNcéltárgy

dσ

dΩ∆Ω (13)

Praktikus gömbi koordinátákban felírni ezt, itt dΩ = dφ sin θdθ a térszögelem, illetve φ-ben vettforgási szimmetria esetén (amely többnyire fennáll, hiszen a szórócentrumok véletlenszer¶en orien-táltak, ráadásul gömbszimmetrikusak) dΩ = 2π sin θdθ, és ekkor dσ/dΩ csak a θ változótól függ.

Vegyünk egy szórócentrumon eltérül® nyalábot, amelynek b impakt paraméterrel érkez® részecs-kéi θ szögben haladnak tovább. Ha a bejöv® nyaláb b és b + db intervallumba es® részét nézzük,ez egy θ és θ + dθ szögtartományba történ® szóródásnak felel meg. Ekkor a bejöv® részecskékegy 2πbdb felületen oszlanak el, tehát jbe = Nbe/2πbdb. Ugyanezen részecsék a szóródás utánegy ∆Ω = 2π sin θdθ térszögbe érkeznek, ekkor tehát Nbe = Nki, és mivel egy szórócentrummalszámoltunk, így a fentiek és a (13) egyenlet alapján

Nbe =Nki

2πbdb

dσ

dΩ2π sin θdθ, azaz (14)

dσ

dΩ=

b

sin θ

∣∣∣∣dbdθ∣∣∣∣ , (15)

ahol az abszolútértékre azért van szükség, mert növekv® b esetén θ csökken. A levezetés illuszt-rációjaként lásd a 3. ábrát. Fontos látni ugyanakkor, hogy ezen egyszer¶ modellben a kijöv® és abemen® részecskék száma azonos, azaz ittmindenki szóródik, avagy a teljes hatáskeresztmetszetvégtelennek tekinthet®!

7

3. ábra. A dierenciális hatáskeresztmetszet klasszikus értéke az impakt paraméter és a szóródásiszög összefüggéséb®l.

1.4. Szóródás centrális er®térben

Vizsgáljuk meg ezután a centrális er®térben való szóródást, illetve az ott tapasztalt b(θ) össze-függést (azaz hogy adott b impakt paraméterrel érkez® részecske milyen θ szöggel halad tovább).Írja le egy részecske pályáját az (r(t), θ(t)) függvény. Ekkor a centrális er®tér miatt a gyorsuláskizárólag sugárirányú, és a centrumtól vett távolság második deriváltjából továbbá a centripetálisgyorsulásból kiszámítva

a = ar = r − rθ2 (16)

módon adódik. Az id®függést kezeljük úgy, hogy deniáljuk az

u =1

r θ−1 (17)

függvényt (ahol a −1 a függvényinverzet jelöli, és ezzel egy (θ(t), u(θ(t))) pályát írunk fel. A továb-biakban az írásmód egyszer¶sége kedvéért az u mennyiség az uθ függvényt jelöli, a szokásos zikusegyszer¶sít® rendszerben. A reakciósíkban vett polárszög θ(t) id®függését továbbra is az el®z®eknekmegfelel®en kezeljük. (A reakciósíkból pedig a centrális er®tér miatt nem tér ki az ütköz® részecs-ke.) Ekkor a hely deriváltja az r(t) = 1/uθ összefüggésb®l adódik, a perdület J = mr2θ = mθ/u2

denícióját is felhasználva:

r = − u′

u2θ = −u′ J

m. (18)

A második derivált pedig (a perdület megmaradása (J = 0) miatt, illetve a θ ↔ J kapcsolatotkihasználva)

r = −u′′θ Jm

= u′′u2 J2

m2. (19)

A gyorsulás fenti kifejezésében a második tagot a perdület deníciója miatt rθ2 = u3J2/m2, így

F = ma = −u2J2

m(u′′ + u), azaz u′′ + u = − Fm

J2u2(20)

ahol utóbbit Binet-egyenletnek nevezzük. Érdemes itt észrevenni, hogy 1/r2-es er®terek eseténF/u2 állandó, így a fenti egyenlet megoldása egyszer¶en szinusz- és koszinuszfüggvény összegekéntadódik.

Coulomb-kölcsönhatás (F = kq1q2u2) esetén, a perdületet a kezdeti sebességgel és az impakt

paraméterrel J = mvb módon felírva

u′′ + u = −k q1q2

mv2b2= −κ (konstans) (21)

8

adódik, ahol q1,2 töltések, k pedig a Coulomb-állandó. Ennek megoldása

u(θ) = c1 cos θ + c2 sin θ − κ. (22)

Gondoljuk meg, hogy mivel θ = π esetén u = 0 kell, (az r → ∞ pontból jön a nyaláb), ebb®lc1 = −κ és u(θ) = −κ(cos θ + 1) + c2 sin θ adódik. Figyelembe véve, hogy (ahogy fentebb írtuk)u′ = −mr/J , a θ = π esetre (azaz kezdetben):

u′(θ = π) = −mvJ

= −1

b(23)

adódik, ahonnan c2 = 1/b. Az ennek is megfelel® megoldás az

u = −κ(cos θ + 1) +1

bsin(θ) (24)

formában adódik. Figyelembe véve, hogy θ 6= π esetén

sin θ =2tg(θ/2)

1 + tg2(θ/2)és cos θ + 1 =

2

1 + tg2(θ/2), (25)

u fenti kifejezését b-vel szorozva adódik, hogy

ub = − 2κb

1 + tg2(θ/2)+

2tg(θ/2)

1 + tg2(θ/2). (26)

Ez két pontban lesz nulla a [0, π] intervallumon: θ = π (ez az eredeti egyenletb®l, avagy a kezdetifeltételb® adódik) és θ = 2 arctan(bκ) értékeknél. Az els® a bejöv® nyaláb szöge, a második akirepül® részecskéé. Az eltérülési szög éppen a második, és erre

tgθ

2= k

q1q2

mv2b, azaz (27)

b = kq1q2

mv2ctg

θ

2. (28)

Vegyük észre, hogy tehát kis θ szöghöz itt nagy impakt paraméter (b) tartozik, és fordíTva. Afentieket a (15) egyenletbe helyettesítve ctg′ = − sin−2 miatt azt kapjuk, hogy

dσ

dΩ=k q1q2mv2 ctg θ2

sin θkq1q2

2mv2

1

sin2 θ2

=(kq1q2

mv2

)2 1

4 sin4 θ2

=

(kq1q2

E

)21

16 sin4 θ2

(29)

Ez tehát a rögzített q1 töltés¶ részecske elektromos terében szóródó v sebesség¶ vagy E energiájú,q2 töltés¶ részecskék dierenciális hatáskeresztmetszete, ezt Rutherford- vagy Coulomb-szórásnakis hívjuk.

Fontos látni, hogy ez θ-ra integrálva (0 és π között, de θ = 0 pont körül bármilyen jobbra nyílthalmazon) végtelent ad, tehát ennek a szórásnak végtelen a teljes hatáskeresztmetszete, azaz bár-milyen távolságban érkezik a nyaláb, valamennyire mindenképpen eltérül, azaz mindenképpen sorkerül reakcióra (a Coulomb-kölcsönhatás végtelen hatótávolsága miatt). Ez a végtelen úgy értel-mezhet® például, hogy ha bejön Nbe darab részecske, akkor a teljes térre nézve ezek árams¶r¶ségenulla, és ezt szorozzuk a végtelen hatáskeresztmetszettel. Ugyanakkor véges, de az összes bejöv®részecskét tartalmazó felületre regularizálva a kifejezést, az Nbe = Nki összefüggésre jutunk. Ezta kvantumelméletben tapasztalt véges hatáskeresztmetszetekkel érdemes összehasonlítani, amelyaz er®k (a mager® vagy az er®s kölcsönhatás) véges hatótávolsága miatt van.

Érdemes azt is megemlíteni, hogy folytonos mez®k szórásának elméleteiben (például a kvan-tummechanikában) k hullámszám-vektorral rendelkez® síkhullám szórása esetén a kimen® hullámot

eikr + f(θ)eikr

r(30)

módon, a továbbfutó síkhullám és a hozzá képest f(θ) szórási amplitúdójú gömbhullám összegekéntírható fel. Ezzel a dierenciális hatáskeresztmetszet

dσ

dΩ= |f(θ)|2 (31)

9

4. ábra. A Rutherford féle kísérlet. Az (a) ábrán a kísérleti elrendezés, a (b)-n a magyarázatánakillusztrációja látható. A (c) ábra az, ami tudományosan is bizonyítja az atommag létét. Ez aztmutatja, hogy kis impakt paraméterekre (d) eltérést találunk a Coulomb-kölcsönhatásból számoltRutherford hatáskeresztmetszett®l (σ/σCb, ennek oka az, hogy itt már érintkezik a mag és az alfarészecske, és új kölcsönhatások lépnek fel.

módon adódik. A szórási amplitúdó viszont, mint kiderül, az úgynevezett Born-közelítésben a szó-ró potenciál r ↔ K = kbe − kki változókkal elvégzett Fourier-transzformálásával kapható meg szórási kísérletekben tehát tulajdonképpen a potenciál alakját mérhetjük meg. Ezen a pontonidézzük fel, hogy az 1/r Coulomb-potenciál Fourier-transzformáltja az 1/K2 kifejezéssel arányosmódon adódik, és mivel |kbe| ≈ |kki| ≈ k közelítésben |K| = 2k sin(θ/2), így a Rutherford-szórásdierenciális hatáskeresztmetszetére kapott fenti eredményt egyszer¶en visszakapjuk. A teljes ha-táskeresztmetszet pedig a szórási amplitúdó nullában vett értékéb®l (illetve ennek imagináriusrészéb®l),

σ =4π

kImf(0) (32)

módon adódik, ahogy ezzel kés®bbi tanulmányokban optikai tétel címszó alatt találkozunk.

1.5. Az atommag felfedezése, a Rutherford-modell

Rutherford (Geigerrel és Mardsennel) 1911-ben mérte alfa-bomlásból származó részecskék aranyfólián való szóródásában a dierenciális hatáskeresztmetszetet (lásd 4. ábra). A Thomson-féle atom-modell alapján túlnyomórészt kisszög¶ szórást vártak, hiszen ha az atom egy egyenletes töltéselosz-lású gömb, egy néhány MeV energiájú alfa részecske alig néhány század fok eltérülést szenvedhet!Ezzel szemben a részecskék jó része visszaszóródott. Ezt egyfajta pontszer¶ maggal lehetettmagyarázni, illetve annak centrális er®terében való eltérüléssel.

Egy E energiájú α részecske egy Z rendszámú, (anyagban) rögzített magot a kezdeti mozgásienergia és a Coulomb-potenciál egyenl®sége (E = 2kZe2/d) alapján d = 2kZe2/E távolságra tudnámegközelíteni (ez pl. 6 MeV-es α-részecske és arany atommag esetén kb. 38 fm távolság), ha b = 0impakt paraméterrel érkezne. Az el®z® szakaszban kapottakat ezzel kifejezve:

dσ

dΩ= k2Z

2e4

4E2

1

sin4 θ2

=d2

16 sin4 θ2

(33)

10

Rutherford ezzel megegyez® dierenciális hatáskeresztmetszetet mért, mivel ólom α bomlás-ból származó nyalábot használt, amelynek energiája nem teszi lehet®vel, hogy az α mag és azarany atommag annyira megközelítsék egymást, hogy a mager® szerepe is megjelenjen. Mindösszeannyit tudott megállapítani, hogy az atommag sugara kisebb, mint 3, 4 · 10−14 méter, ami többnagyságrenddel kisebb, mint az arany atom 10−10 méteres mérete.

Nagyobb energián viszont nagy szögekre (azaz kis impakt paraméterre) eltérést találtak a fen-ti formulától (lásd a 4.c ábrán), ugyanis ekkora impakt paraméterekre már nem tekinthet®

pontszer¶nek a mag, az α részecske lényegében közvetlenül nekiütközik (és így az elektromoskölcsönhatáson kívül a mager® is szerepet játszik). Ez az impakt paraméter a mag méretét jelentilényegében, illetve a két mag sugarának és a mager® hatótávolságának összege.

A mag tehát egy, az atom Ånagyságrend¶ méreténél tíz- vagy százezerszer kisebb objektum,az atom méretét pedig a szinte elhanyagolható tömeg¶ elektronfelh® adja. Kézenfekv® az atomramint egy miniat¶r Naprendszerre gondolni, ahol a gravitációs er® helyébe az elektromos vonzáslép. Ez a Rutherford-féle atommodell lényege.

1.6. Az atomok mérete és tömege

A móltömeg és az Avogadro állandó ismeretében megkaphatjuk az atomok tömegét. Ezt atomitömegegységben (azaz Daltonban) fejezhetjük például, ez a 12C tömegének 1/12-ed részét jelenti.Dalton a hidrogén tömegét javasolta egységnek, kés®bb Ostwald az oxigén 1/16-át, ez az izotópokfelfedezésével problémát jelentett (a természetes oxigénkeverék a kémiai tömegegység, az 16O azikai tömegegység volt). 1961-ben vezették be az új egységet, amely már a szén-12 izotópra épült.Ma sokféle tömegspektrográal (Nier-féle, Mattauch-féle) mérik a tömegeket, a mágneses térbenlétrejöv® körpálya sugara és az impulzus között fennálló p = qBr összefüggés alapján. Az atomoktömege pedig kb. a tömegszám és az atomi tömegegység szorzatával egyezik meg, mert, mint kés®bbkiderült, a tömeget a proton és a neutron adja lényegében, ezek számát jelenti a tömegszám.Kés®bb, a magzikai tanulmányok során derül majd ki, hogy az atommag kötési energiája hogyanmódosítja ezt.

Az atomok méretének nagyon sok deníciója van (van der Waals, ionos, kovalens, fémes,Bohr), mindet máshogy lehet mérni. Az értékek nyomásfüggetlenek, az elektronszerkezet határoz-za meg, és tipikusan 1 Å, azaz 10−10 m avagy 0,1 nm. Az azonos elektronszerkezet¶, de különböz®maggal rendelkez® atomok esetén a méret csökken, ahogy a mag n®, ahogy ezt egy ilyen ionsorraa kristályrácsokban felvett ionos sugár változásával illusztráljuk (a neon nem vesz részt kristály-rácsban, ezért hiányzik):

atom C4− N3− O2− F− Na+ Mg2+ Al3+

méret (Å=0,1 nm) 2,60 1,71 1,40 1,36 0,95 0,65 0,5

Az elektronfelh® mérete növeli az atom sugarát, és a két eektus alapján az alkáli fémek méretea legnagyobb (távoli küls® elektron, kis mag), míg a nemesgázoké a legkisebb (fele-harmada azazonos f®kvantumszámú alkáli fémnek), lásd 5. ábra. A hidrogén és a hélium atomok a legkisebbek,méretük kb 30 pm, míg a legnagyobbak közé tartozik a cézium (Cs, Z = 55), melynek kovalenssugara kb. 230-240 pm (mérést®l függ®en). A még nagyobb rendszámú atomok mérete nehezebbenmérhet®, de a legtöbb mérésben a cézium vagy a francium a legnagyobb atom (például az uránatomvagy az ólomatom is kisebb a káliumatomnál is)

Az atomok (vagy molekulák) méretét legegyszer¶bben a következ® gondolatkísérletb®l kap-hatjuk meg (amely Marx György Atommagközelben könyvében is szerepel). Ha felforralunk egym3 folyadékot, az ekvivalens azzal, hogy a tér három irányában addig szabdaljuk a kockát, míg arészek atomnyi nem lesznek. Ekkor a felületi feszültség ellen dolgozunk, és ha egy molekula d mé-ret¶, a kocka oldala a, akkor a/d darab vágásra lesz szükség, mindegyikkel 2a2 felületet létrehozva.Ehhez 6γa3/d energiára van szükség, míg a forrásh®vel Lρa3. Vízre 0,2 nm-t kapunk így (L = 2250kJ/kg, ρ = 1000 kg/m3, γ = 72 mJ/m2), héliumra (amely egyatomos) pedig 0,026 nm-t (L = 25kJ/kg, ρ = 130 kg/m3, γ = 0, 014 mJ/m2), ez jó egyezést ad.

Érdemes megemlíteni, hogy Einstein doktori értekezése is hasonló témában íródott: a címeA molekulák méretének új meghatározása volt. Einstein azt vizsgálta, hogy a folyadék mozgásáthogyan befolyásolja egy benne szuszpendált nagyon kicsiny gömb. Arra jut, hogy a viszkozitásmiatt disszipálódott energia mértéke megn®, ha szuszpendált gömbök (oldott molekulák) vannak

11

5. ábra. Az atomok kovalens sugara pikométerben, kisebb rendszámokra (a nagyobb rendszámúatomok méretének meghatározása során sok a bizonytalanság.

jelen, és a viszkozitási együttható η′ = η · (1 + φ) módon változik, ha φ = ν · 4r3π/3 molekuláktérfogathányada, és ν a száms¶r¶ségük, r a méretük. A molekulák tömegének ismeretében száms¶-r¶ségük meghatározható (ν = ρ/m), és így a méretük is! Einstein még hozzáf¶zi, hogy a diúziósállandó D = RT/NA6πηr kifejezésén keresztül (lásd a Brown-mozgásról szóló 2.1 részt) ebb®l azAvogadro-állandó értéke is meghatározható amely ekkoriban még nem volt igazán ismert (Perrinkapott érte Nobel-díjat 1926-ban).

2. Atomosság és kvantáltság makroszkópikus jelenségekben

2.1. Brown-mozgás

A XIX. század végére az atomhipotézis számos meggyelés magyarázatául szolgált, sokak véleményeazonban az volt, hogy a h®elmélet területén már nem alkalmazható sikeresen. Ezzel kapcsolatban alegfontosabb eredményeket a folytonos közegbe helyezett részecskékBrown-mozgása szolgáltatta.Ezt Lucretius már Kr. e. 60-ban meggyelte (a leveg®ben szálló porszemcsék fény hatására láthatótáncát), illetve Ingenhousz is 1785-ben (® koromszemcsék mozgását vizsgálta alkohol felületén).Brown volt az azonban, aki természettudományos módszerekkel fogott a jelenség vizsgálatához.1827-ben virágpor vízen történ® véletlenszer¶ mozgását gyelte meg, ma ehhez kötjük a jelenségfelfedezését, illetve els® tudományos dokumentációját. Felmerült, hogy ez a mozgás az élet egyfajtamegnyilvánulása lenne, ezért Brown apró szervetlen részecskékkel is megismételte kísérletét, éshasonló eredményre jutott. A Brown-mozgás (lásd a 6. ábra) fontos tulajdonságai:

független az id®t®l (nem csillapodik az id®vel) független a folyadék kémiai összetételét®l (kivéve annak folyékonyságát/viszkozitását) térben rendezetlen nagyobb h®mérsékleten gyorsabb nagyobb részecske esetén lassabb

A jelenséget sokan próbálták az atomok létezésére és ezek h®mozgására (azaz az atomok kinetikuselméletére) visszavezetni (Ramsay, Gouy, Exner), azonban cáfolatok is születtek (Nägeli). Einstein1905-ben (és t®le függetlenül Smoluchowski 1906-ban) adott magyarázata már tudományos kon-szenzushoz vezetett. Ennek eredménye szerint az adott pontban elszórt szemcsék kezdeti helyükt®lvaló eltávolodásának négyzetének átlagos értéke x2 = kT

2πηr t, ahol k a Boltzmann-állandó, T azanyag h®mérséklete, η a viszkozitása, r a szemcseméret és η a viszkozitás. Ez pontosan a meg-gyeléseket támasztja alá innent®l tekinthetjük az atomelméletet elfogadottnak. Perrin hosszú

12

6. ábra. Egy 0.53 µm méret¶ kolloid részecske mozgása mikroszkóppal való meggyelés által háromalkalommal feljegyezve. A pozíciók között harminc másodperc telt el, a rácsméret 3.2 µm. Az ábraforrása: J. B. Perrin, "Mouvement brownien et réalité moléculaire" Ann. de Chimie et de Physique(VIII) 18, 5-114 (1909)

kísérletsorozata, amelynek els® részletei 1908-ban láttak napvilágot, addig példa nélkül álló pon-tossággal igazolta Einstein lényegében összes jóslatát. Einstein levezetésének lényege az, hogy adiúziós egyenletet és az ozmózisnyomást (és azon keresztül a kinetikus gázelméletet) összekap-csolja, az alábbi módon.

Vegyünk egy folytonos közeget, amelyben szuszpendált részecskék vannak elhelyezve, azaz ezekegyfajta híg oldatát. Ekkor az ozmózisnyomás ezek parciális nyomásából származik,

p(x) = ν(x)kT (34)

módon, ahol ν(x) = N(x)/V a részecskék lokális száms¶r¶sége. Ekkor a részecskére ható ozmotikuser®

Fo = −1

ν

∂p

∂x= −kT

ν

∂ν

∂x(35)

lesz (egy dimenzióban kifejezve, az egyszer¶ség kedvéért). Ha a részecskék ennek hatására mozog-nak, akkor a Stokes-törvény szerint v sebesség esetén Fk = −6πηrv közegellenállási er® hat rájuk(η viszkozitású közegben). Ebb®l az egyensúlyi sebességük (Fk = Fo-ból)

v = − kT

6πηrν

∂ν

∂x(36)

Ez azt jelenti, hogy egy adott felületen id®egységenként

νv = − kT

6πηr

∂ν

∂x(37)

mennyiség¶ részecske áramlik át, azaz egy kis térfogatban a kontinuitásnak megfelel®en

∂ν

∂t= −∂(νv)

∂x=

kT

6πηr

∂2ν

∂x2(38)

mértékben változik a számuk (a térfogat jobb- és baloldalán való ki- és beáramlás különbségéb®lszámolva kaphatjuk meg az els® egyenl®séget).

Mindezekb®l a diúziós egyenlet adódik: ν = Dν′′. Ennek megoldása egy dimenzióban, Gausskezdeti feltétel esetén, Ntot számú részecske esetén

ν(x, t) =Ntot√4πDt

e−x2

4Dt (39)

13

Ebb®l x2 várható értéke (a részecskék átlagos, origótól vett távolság-négyzete), azaz az eloszlásmásodik momentuma egy részecskére vonatkoztatva⟨

x2⟩

=

∫x2ν(x, t)dx = 2Dt =

kT

3πηrt (40)

amely összhangban van a fent összefoglalt kísérleti tényekkel.A Langevin-féle levezetést is érdemes megemlíteni. Ez a részecske Newton-egyenletét veszi ala-

pul, rá ható F (x) véletlenszer¶ er®b®l és a közegellenállásból kiindulva; majd ezt 2x-szel szorozza:

md2x

dt2= Fx(t)− 6πηr

dx

dt(41)

m2xd2x

dt2= m

d2x2

dt2− 2m

(dx

dt

)2

= 2Fx(t)x− 6πηrdx2

dt(42)

Ha itt az id®ben vett várható értéket vesszük, és észrevesszük, hogy 〈xFx〉t = 0, mivel ezek kor-relálatlanok (és szimmetriasértés lenne ennek bármely nem-nulla értéke); ezen felül az átlagolástés a dierenciálást felcseréljük, akkor ezt kapjuk:

d2⟨x2⟩

dt2+

6πηr

m

d⟨x2⟩

dt= 2

⟨(dx

dt

)2⟩

=2

mkT (43)

ahol az utolsó egyenl®ség az ekvipartíció tétele miatt áll fenn. Ez egy dierenciálegyenlet d⟨x2⟩/dt-

re, a megoldása pedig (f ′(t) + af(t) = b⇒ f(t) = exp(−at) + b/a alapján):

d

dt

⟨x2⟩

=2kT

6πηr+ c exp

[−6πηr

mt

](44)

ez kell®en nagy id®kre (ha az exponenciális tag járuléka már nem számít, azaz már nem a részecsketehetetlensége, hanem tényleg a Brown-mozgás a dönt®) az Einstein-féle

⟨x2⟩

=kT

3πηrt (45)

formulát adja vissza.A Brown-mozgás és a diúzió kapcsán fontos megemlíteni, hogy ennek rengeteg alkalmazása

van, akár táplálékgy¶jt® állatok mozgásától gazdasági folyamatok leírásáig. Az ilyen folyamatokbankialakuló Gauss-eloszlások megjelenése a centrális határeloszlás-tételnek köszönhet®. Ha azonbanaz ezt kialakító elemi lépések/folyamatok eloszlása nehéz vég¶, hatványfüggvény alakot ölt (azaznincsenek momentumai), akkor anomális diúzió lép fel, amelynek felépít® folyamata a Mandelbrotáltal deniált Lévy-repülés: ebben, szemben a hagyományos diúziós mozgással (Rayleigh-repülés),gyakran anomálisan nagy ugrások fordulnak el®. Az ilyen folyamatokban Lévy-stabil eloszlásokjönnek létre, amelyek a Gauss-eloszlás általánosításainak tekinthet®ek.

2.2. Sörétzaj

Schottky 1926-ban meggyelte, hogy nagy frekvenciánál és alacsony h®mérsékletnél egy érdekeszaj jelenhet meg. Ennek magyarázata kés®bb az volt, hogy a töltéshordozók kvantáltak, vagyisaz áram véges számú elemi töltés mozgásából áll össze. Ezek száma uktuál, és végs® soron ez adjaa zajt. Például egy mikrohullámú áramkör esetében, amely nanoszekundumos skálán m¶ködik, haaz áram 16 nanoamper, akkor 1 ns alatt 100 elektron halad el. A binomiális eloszlás szerint ennekuktuációja kb. 10, azaz a zaj a jel tizedét adja.

Az elektromos áram a töltéshordozók (elektronok) áramlásából adódik, és a t id®tartam alattátfolyt elektronok n számából I = en/t módon adódik. Az n random uktuációjából az áramszórását (ingadozását) is megkaphatjuk:

(∆I)2 =⟨

(I(t)− 〈I〉)2⟩

=e2

t2

⟨(n− 〈n〉)2

⟩=e2

t2

(⟨n2⟩− 〈n〉2

)(46)

14

Vegyünk egy kell®en nagy T id®tartamot, ekkor N = nT az elektronok száma a teljes intervallu-mon. Egy t intervallumra kell ebb®l n darabot kiválasztanunk. Ekkor az erre vonatkozó binomiális

eloszlás:

W (n) =

(N

n

)pn(1− p)N−n, (47)

ahol p = t/T . Ebb®l az eloszlásból kiszámolhatóak az alábbi várható értékek és a szórás:

〈n〉 = Np = Nt

T(48)⟨

n2⟩

= Np+N(N − 1)p2 = Nt

T+N(N − 1)

t2

T 2(49)

(∆n)2 =⟨

(n− 〈n〉)2⟩

=⟨n2⟩− 〈n〉2 = N

t

T−N t2

T 2= N

t

T

(1− t

T

)(50)

(∆I)2 =e2

t2(∆n)2 =

Ne2

tT− Ne2

T 2=e 〈I〉t

(1− t

T

)(51)

ahonnan végül a t id®tartamra a következ® relatív áramingadozás adódik:

∆I

〈I〉=

√e

〈I〉 t

(1− t

T

)Tt−−−→ ∆I

〈I〉≈√

e

〈I〉 t=

√1

〈n〉(52)

Ez tehát egy véletlen t id®tartam során mért áramer®sség átlagos eltérése a teljes id®tartamátlagos áramer®sségét®l.

Figyeljük meg, hogy a fenti binomiális eloszlás esetén 〈n〉 ≈ (∆n)2, ha p 1. Az egyenl®ségegzaktul teljesül a Poisson-eloszlás esetén, amely éppen a binomiális eloszlás p → 0 határesete. A〈n〉 ≈ (∆n)2 kifejezésb®l az I = en/t egyenl®ség használatával egyébként közvetlenül is látható,hogy e 〈I〉 /t ≈ (∆I)2, amib®l a fenti (51) kifejezés is adódik.

Ha van egy olyan rezonáns áramkörünk, amely f frekvencián érzékeny, akkor ez éppen az ennekmegfelel® t = 1/2f id®tartam alatti áramingadozást fogja érzékelni, illetve ezt feler®síteni. Ebben atartományban az áramingadozás négyzete tehát 2eIf , ami tulajdonképpen a zaj er®sségét jelenti.Ezen zaj mellett megjelenhetnek más zajok, az 1/f -es icker (villódzási) zaj és a h®mérséklet-tel arányos Johnson-Nyquist zaj is. Ezek azonban alacsony h®mérsékleten és nagy frekvenciánálkisebbek lehetnek, mint a sörétzaj.

2.3. S¶r¶ségingadozások gázokban

A sörétzajhoz hasonlóan a gázok kvantáltsága (atomokra osztottsága) s¶r¶ségingadozást hoz létre.az átlagos ν = N/V száms¶r¶ség körül. Itt is a teljes N részecskeszámból választunk ki n darabotegy ∆V térfogatban, ennek eloszlása a fentiekhez hasonlóan binomiális, azaz

W (n) =

(N

n

)pn(1− p)N−n, ahol (53)

p =N∆V

N=ν∆V

νV=

∆V

V. (54)

Amennyiben p 1, azaz a teljes térfogat egy kis hányadát választjuk ki, akkor ebb®l a

W (n) =(pN)n

n!· exp[−pN ] (55)

Poisson-eloszlás adódik (a p→ 0 határesetben). Ekkor

〈n〉 = (∆n)2 = pN = ν∆V. (56)

A ∆V térfogatban található molekulák várható száma tehát 〈n〉 = pN , abszolút szórása pedig∆n =

√〈n〉, relatív szórása ∆n/ 〈n〉 = 1/

√〈n〉.

15

Ideális gázra normál állapotban a száms¶r¶ség ν = 2, 78·1025 molekula/m3, a zöld fény 0, 5 µm-es hullámhosszának megfelel® térfogatban ez kb. 3, 48 · 106 molekula. Innen ∆n/ 〈n〉 = 1/

√〈n〉 =

0, 05% uktuáció adódik. Ekkora térfogatban tehát átlagosan 0,05 százalékot ingadozik a molekulákszáma.

Reális gázokban a molekulák térfogata módosítja a képet. Itt érdekes jelenségek lépnek fel,például a kritikus pont körül megnövekv® uktuációk, ezeket most nem tárgyaljuk.

2.4. Fényszóródás

A gázok s¶r¶séguktuációi érdekes következményt vonnak maguk után a fényszórásra nézve.Ennek az az alapja, hogy a száms¶r¶ség összefügg a gázcella törésmutatójával. Legyen a molekulákpolarizálhatósága α, azaz E elektromos tér hatására p = αE dipólmomentumuk lesz, a száms¶-r¶ségük pedig ν. A közegben haladó fény terjedését az n törésmutató határozza meg (gyelem, akorábbi két alfejezetben ez a részecskeszám volt, de itt megváltoztattuk a jelölést) amely viszont aν száms¶r¶ségt®l függ, hiszen a ClausiusMossotti-reláció szerint

n2 − 1

n2 + 2=να

3ε0, ahonnan (57)

n =

√3ε20 + 2αν

3ε20 − αν, azaz (58)

∆n =9αε0

2n(αν − 3ε0)2∆ν, továbbá (59)

∆n

n=

(n2 + 2)(n2 − 1)

6n2

∆ν

ν=

(να

3ε0+

1

2

)−1(να

3ε0− 1

)−1α∆ν

ε0(60)

Ez alapján azt mondhatjuk, hogy a száms¶r¶ség ingadozása hozza létre a fényszórást.Ha most egy kicsit más megközelítést alkalmazunk, és azt mondjuk, hogy a fény a hullámhosszá-

nál lényegesen kisebb, d méret¶, n törésmutatójú gömbön szóródik (amely a ClausiusMosotti re-láción keresztül egy α polarizálhatóságú molekulával ekvivalens), akkor kiderül (ezt a számolástitt nem végezzük el), hogy a szórt fény intenzitása a θ szórási szög és a szórócentrumtól mért rtávolság függvényében

I(r) = I01 + cos2 θ

2r2

(2π

λ

)4(να

3ε0

)2(d

2

)6

(61)

módon változik, és innen a gömbön a teljes szórási hatáskeresztmetszet (azaz a kimen® teljesít-mény és a bejöv® árams¶r¶ség (intenzitás) hányadosa, az 1.3. szakaszban is említett Pki = jbeσösszefüggésnek megfelel®en):

σRayleigh =2π5

3

d6

λ4

(να

3ε0

)2

. (62)

A fenti formula kis λ értékekre nagy szórást ad, tehát a kék fény er®sen szóródik, a vörös pediglényegesen kevésbé. A Nap sugárzási spektrumából a kék tehát kiszóródik, a vörös viszont ben-nemarad. Ezért kék az ég és vörös a lemen® Nap. Mindezt az alábbiakban mikroszkópikusanis megvizsgáljuk.

Vizsgáljuk meg, hogy az elektromágneses sugárzás hogyan szóródik kis polarizálható moleku-lákon. A hatáskeresztmetszetet a bejöv® és a kimen® energiaáram segítségével számíthatjuk ki.Ennek kulcsa a dipólsugárzás. Ha két vezet® gömböt összeköt egy vezeték, és a töltés oda-visszaáramlik a kett® között, akkor Hertz-féle dipólusunk van, amely lényegében megfelel® modellje egypolarizálható molekulának. Legyen a bejöv® tér E0 sin(ωt), ennek energiaárama |〈S〉be| = cε0E

20/2.

Ez oszcillációra kényszeríti a töltéseket, ezt egy elektron mozgásán keresztül modellezhetjük. En-nek mozgására mez(t) = −eE0 sin(ωt) lesz igaz, azaz z(t) = eE0/(meω

2) sin(ωt) = z0 sin(ωt), aholz0 = eE0/(meω

2). A dipólmomentum amplitúdója a kitérés szorozva a töltéssel, azaz p0 = ez0 =e2E0/(meω

2) amplitúdójú dipólmomentum-ingadozást kapunk. Ezzel a bejöv® energiaáram és a

16

dipólus-amplitúdó kapcsolata

|〈S〉be| =p2

0ω4ε0m

2ec

2e4. (63)

Legyen az egyik pólus töltése q(t) = q0 sin(ωt), ekkor a két pólus közötti áram ennek deriváltja,I = I0 cos(ωt), ahol I0 = ωq0. Legyen a dipólus hossza l (azaz a dipólnyomaték amplitúdójap0 = q0l = I0l/ω), ezzel kiszámítható az elektromos és a mágneses tér, illetve az ezek által elvittenergia (Poynting vektor) átlagos értéke a θ szög által kijelölt r irányban:

〈Ski〉 =

⟨E×B

µ0

⟩=

ω2l2I20

32π2ε0c3sin2 θ

r2er =

ω4p20

32π2ε0c3sin2 θ

r2er (64)

illetve a térszögegységre vett kisugárzott teljesítmény (gyelembe véve, hogy dPki = |〈Ski〉| r2dΩ)

dPki

dΩ=

ω4p20

32π2ε0c3sin2 θ (65)

amelynek integrálja 4π térszögre (a dΩ = sin θdθdφ helyettesítéssel élve) a teljes kisugárzott telje-

sítmény: Pki =ω4p2

0

12πε0c3.

Ebb®l kiszámítható a fény szabad elektronon történ® szórásának, a Thompson szórásnak ahatáskeresztmetszete. A (63) és a (65) formulákat gyelembe véve megkapjuk a hatáskeresztmetszetértékét, mivel a ez a bejöv® energiaáram és a kisugárzott teljesítmény hányadosa. Így a dierenciálishatáskeresztmetszet az alábbiaknak megfelel®en adódik:

dσ

dΩ=

1

|〈S〉be|dPki

dΩ=

(e2

4πε0mec2

)2

sin2 θ = r2e sin2 θ (66)

ahol

re =e2

4πε0mec2=

ke2

mec2=

~cαmec2

= 2, 818 fm (67)

a klasszikus elektronsugár (a k Coulomb-állandóval illetve az α nomszerkezeti állandóval kifejez-ve), a teljes hatáskeresztmetszet pedig σThomson = 8πr2

e/3. Figyeljük meg, hogy ezzel szemben atöltött részecskék egymáson szóródásának teljes hatáskeresztmetszete nem véges!

Ha azonban nem a szabad elektronon, hanem az atomban kötött elektronon történ® szóródástvizsgáljuk, akkor a Rayleigh-szórásra jutunk. Itt az mez = −meω

20z − eE0 sin(ωt) egyenlet lesz

igaz (ha ω0 az atom sajátrezgéséb®l adódó körfrekvencia). Ennek megoldása z = eE0/(me(ω2 −

ω20) sin(ωt), azaz z0 = eE0/(me(ω

2 − ω20), és így a dipólmomentum amplitódója p0 = ez0 =

e2E0/(me(ω2 − ω2

0)). Az el®z®ekhez hasonlóan számolva a hatáskeresztmetszet

dσ

dΩ=

ω4

(ω2 − ω20)2

r2e sin2 θ (68)

Ha (ahogy az a látható fény és a légkör atomjai esetén igaz) a bejöv® sugárzás frekvenciája sokkalkisebb, mint az atom sajátfrekvenciája (azaz ω ω0 ≈ 1 eV) akkor

dσ

dΩ=

(ω

ω0

)4

r2e sin2 θ (69)

illetve a teljes hatáskeresztmetszet is ennek megfelel®en

σRayleigh =

(ω

ω0

)4

· σThomson =

(ω

ω0

)48πr2

e

3. (70)

A Rayleigh-szórás sokkal gyengébb a Thomson-szórásnál, viszont er®s, negyedik hatványos

a frekvenciafüggése: emiatt van, hogy ég kék, a Nap sárga, a naplemente pedig piros (hiszen anagyfrekvenciás kék fény sokkal er®sebben szóródik, mint a piros fény amely ködben is messzirelátszódik). Az tehát, hogy az ég kék, a leveg® atomosságából következik.

Érdemes még megemlíteni, hogy a Rayleigh-szórás általánosságban az elektromágneses sugár-zás aktuális hullámhosszánál lényegesen kisebb részecskéken való szórását jelent. Az el®z®ekbentárgyaltuk a polarizálható (avagy törésmutatóval rendelkez®) gömbökön és dipólusokon történ®szórást is, de a lényeg mindkét esetben az, hogy a teljes hatáskeresztmetszet a hullámhossz negye-dik hatványával fordítottan arányos.

17

2.5. Energiaeloszlások gázokban

Egy makroszkópikus anyag makroállapotának a meggyelhet® tulajdonságait nevezzük, míg mik-roállapotait a benne lév® részecskék konkrét elhelyezkedése adja meg. Egyszer¶ példa: négy érmételdobunk, a fele fej, fele írás egy makroállapot, amely hat különböz® mikroállapot esetén valósulmeg. Ha nem kétféle, hanem k féle állapot lehet, és N részecskénk van, akkor az N1, N2, . . . , Nkeloszlás (ahol N = ΣiNi) lehetséges mikroállapotainak száma

Wk(N1, N2, . . . , Nk) =N !

N1!N2! . . . Nk!. (71)

hiszen az N !-féle sorrenden belül az egyes állapotban lév® N1 számú részecske sorrendje érdek-telen, így N1!-sal oszthatunk (ezt hívjuk ismétléses permutációnak). Az adott makroállapototlétrehozó mikroállapotok száma tulajdonképpen a makroállapot valószín¶ségét jelenti, ha min-den mikroállapot azonos valószín¶ség¶. A W függvénynek (a k alsó indexet innent®l elhagyjuk)N1 = N2 = · · · = Nk esetén maximuma van, ezért ez valósul meg a legnagyobb valószín¶séggel(például W (9, 0, 0) = 1, míg W (3, 3, 3) = 1680, tehát ez utóbbi 1680× valószín¶bb).

Ennek a W (N1, N2, . . . , Nk) függvénynek a∑iNi = N és

∑iNiEi = E feltételek melletti

maximumát keressük tehát. El®ször is a N ! ≈ NNe−N , azaz lnN ! = N lnN−N Stirling-formulávalátalakítjuk W -t:

lnW = lnN ! + ln

[∏i

1

Ni!

]≈ N lnN −N +

∑i

(Ni −Ni lnNi) (72)

és miután egy függvény széls®értékénél a logaritmusának is széls®értéke van, így ennek maximu-mát keresve W maximumát, azaz a legvalószín¶bb állapotot találjuk meg. Ezután a maximumot aLangrange-multiplikátorok módszerével keressük, amelynek lényege az, f(x, y) extrémumát keres-sük g(x, y) = 0 feltétel mellett. Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy egy f(x, y) szintfelület extrémumátkeressük adott g(x, y) = 0 görbe mentén mozogva. Az extrémumban a felületre vetített görbemer®leges f(x, y) gradiensére, másképpen mondva párhuzamos az f(x, y) adott pontban húzottszintvonalával. Ebb®l ∇f = λ∇g adódik, tehát ∇(f − λg) = 0. Ezért esetünkben a

L(N1, N2, . . . , Nn) = ln(W ) + α(N −∑

Ni) + β(E −∑

NiEi), azaz (73)

L(N1, N2, . . . , Nn) = const(N,E) +∑i

(−Ni lnNi + (1− α)Ni − βNiEi) (74)

függvény összes parciális deriváltját tesszük egyenl®vé nullával, ahol Ei az adott héjhoz tartozóenergia. Ezt az egyes Ni-k szerint deriválva a − lnN1 − α − Eiβ kifejezésre jutunk. Ezt nullávalegyenl®vé téve

Ni = e−α−βEi (75)

azaz a legvalószín¶bb eloszlás esetén a fenti kifejezés lesz az i. állapot (azaz az Ei energiaszint)multiplicitása. Az α értéke egyfajta normálást ad, és megkapható a

∑iNi = N egyenletb®l:

e−α =N∑

i

e−βEi(76)

azaz

Ni = Ne−βEi∑i

e−βEi. (77)

A termodinamika alapjainak ismeretében ugyanakkor közvetlenül meghatározhatjuk β értékétis. Vegyük gyelembe, hogy ha az m tömeg¶ részecskék mozgási energiája adja az Ei értékeket,akkor valójában Ei = mv2

i /2. Ezzel áttérhetünk megszámlálhatatlanul sok állapotra, azaz az i.mikroállapot helyett a ~v sebességhez tartozó állapotról beszélünk, amely körül egy innitezimális

18

d3~v állapottérbeli térfogatban N(~v)d3~v részecske van azaz N(~v) egyfajta állapots¶r¶séget jelöl.Ekkor ∑

i

Ni = N helyett∫N(~v)d3~v =

∫e−α−βmv

2/24πv2dv = N (78)

adódik, ahonnan e−α = N(βm/2π)3/2, azaz a sebességeloszlás

d3n

d3v= N(~v) =

(βm

2π

)3/2

exp

(−βmv

2

2

)(79)

Innen az mv2/2 energia várható értéke⟨mv2

2

⟩=

∫mv2

24πv2dv =

(βm

2π

)3/2 ∫mv2

2exp

(−βmv

2

2

)v2dv =

3

2β(80)

ami az ekvipartíció tétele miatt éppen 3kT/2 (három dimenzióban), úgyhogy β = 1/kT . A Th®mérséklet¶ gázban megvalósuló MaxwellBoltzmann-féle sebességeloszlás tehát

d3n

d3v=( m

2πkT

)3/2

exp

(−mv2

2kT

)(81)

dn

dv=( m

2πkT

)3/2

4πv2 exp

(−mv2

2kT

)(82)

Ezzel az átlagos sebesség értéke√

8kT/(mπ), és ahogy vártuk, a négyzetes sebességátlag√

3kT/m.Tipikus várható sebességek nulla Celsius h®mérséklet¶ gázra: 1693 m/s (hidrogén), 567 m/s (víz),536 m/s (neon), 454 m/s (nitrogéngáz), 425 m/s (oxigén), 362 m/s (szén-dioxid), 170 m/s (higany).

A gázokban meggyelhet® szabad úthossz vizsgálható ez alapján. Ha a részecskék sugara r0, ak-kor az ütközési hatáskeresztmetszet σ = 4r2

0π. Ha egy nagyon gyorsan mozgó részecskét veszünk, aszabad úthossza λ = 1/(σn). Ha az összes részecske egyformán mozog, akkor λ = 1/(

√2σn). Innen

az id®egységenkénti ütközések száma v/λ, erre és a szabad úthosszra tipikus értékek: 0,0839 mmés 43,5 millió (hidrogén), 0,0454 mm és 21,2 millió (leveg®), 0,0395 mm és 26,6 millió (széndioxid).Nagy vákuumban (mikrobár értékek mellett) ez néhány méteresre is n®het.

Fontos megemlíteni, hogy a fenti levezetés megkülönböztethet®, egyesével beazonosítható ré-szecskékre vonatkozott. Kés®bb kiderül, a kvantumvilágban ez nem érvényes, ugyanis a kvantum-zikai részecskék felcserélhet®ek, megkülönböztethetetlenek. Ekkor az energiaeloszlás szempontjábóla makro- és mikroállapotok megegyeznek, ezért kicsit máshogy kell számolni, ahogy arra kés®bbvisszatérünk.

2.6. Feketetest-sugárzás

Addig is érdemes összefoglalni, ahogy a 7. ábrán látható, Wien 1896-ban a kis hullámhosszakesetén vett spektrális s¶r¶ségére (a felületre és térszögre jutó mer®leges sugárzási teljesítményhullámhossz- vagy frekvencia-egységenként) a 2hc2

λ5 e−hcλkT összefüggést vezette le. Rayleigh 1900-ban

nagy hullámhosszú spektrális s¶r¶ségére a 2ckTλ4 értéket vezette le, a levezetést 1905-ben Jeansszel

együtt pontosították. Wien eredménye a mérések szerint nagy frekvencián téves, a Rayleigh-Jeanstörvény pedig a teljes spektrumra (a hullámhosszra) integrálva végtelent ad (ez az ultraibolya ka-tasztrófa, minél több ultraibolya komponenst veszünk gyelembe, a teljes kisugárzott teljesítményannál nagyobb, és végül végtelenhez tart). Hogy újabb, helyesebb eredményt kapjon, Planck eb-b®l empirikusan a 2c2

λ5h

ehcλkT −1

összefüggést adta meg. Magyarázatként a Boltzmann-eloszláshoz

hasonló módszert választva feltette, hogy az összes energia hc/λ = hν egységekben helyezhet® elegy rezonátor módusain. Ezen egységeket azonosította kés®bb 1905-ben Einstein fotonokként. Amagyarázatot néhány fejezettel kés®bb tárgyaljuk részletesen, itt is megemlítend® azonban, hogya helyes Planck-képlet csak akkor adódik, ha a rezonátor módusain diszkrét energiaértékek lehet-ségesek csak - folytonos energiaeloszlással helytelen eredmény adódik.

19

7. ábra. A Rayleigh-Jeans formula, a Wien-közelítés és a Planck-törvény összehasonlítása, kT = 1eV h®mérséklet esetén.

8. ábra. A H atom adszorpciós és emissziós spektruma.

20

3. Az atomok energiaszintjei és az els® kvantált atommodellek

3.1. Gázok abszorpciós és emissziós vonalai

Gázok és g®zök elektromágneses válaszra késztetését vizsgálták az elnyelési spektrum (amelyetúgy kapunk meg, hogy a bejöv® E-M sugárzásból elt¶nt komponenseket vesszük) és a kibo-

csátási spektrum (amelyet a gerjesztett anyag, például forró gáz bocsát ki) mérésével. Ezektanulmányozása alapján kiderült, hogy a spektrumok szerkezete x, az atomokra jellemz®. Els®-ként Fraunhofer vizsgálta 1814-ben a Nap sugárzásában megjelen® vonalakat: 574-et talált. Avonalakat nem csak a látható tartományban (380 − 780 nm, avagy 7.9 · 1014 − 3.8 · 1014 Hz) kellkeresni, de extrém kis hullámhossznál már folytonos a spektrum, illetve a rádió- és mikrohullá-mok esetében is. Összességében az a tapasztalat, hogy adott gázra az emissziós és abszorpciós

vonalak ugyanott jelennek meg (lásd 8. ábra).Ma óriási adatbázisok állnak rendelkezésre, például a NIST (National Institute and Techno-

logy) oldalán is szabadon elérhet®en. Ezek rengeteg információt tartalmaznak, például nátriumnak10 és 1000 nm között 6174 vonala van, ebb®l a látható tartományban 628. A vonalak helye x,viszont az intenzitása, szélessége (és egyáltalán, a láthatósága), és a mögöttük lév® háttér is függa körülményekt®l (nyomás, h®mérséklet, lásd Doppler-kiszélesedés). Többatomos gázok spektrumasávokat tartalmaz: rotációs, vibrációs és egyéb gerjesztések is megjelennek, egyes vonalak össze-mosódnak. Szilárd testek gerjesztései még bonyolultabbak. Az egyatomos gázokra összességébentehát a következ® meggyeléseket tehetjük:

A vonalak helye az abszorpciós és az emissziós színképben is ugyanott van, az atomra jel-

lemz®. Ez er®s támasza annak, hogy az abszorpciós spektrumokat saját frekvenciával rendel-kez® csillapított dipólusok kényszerrezgéseként, az emissziós spektrumokat pedig elektromosdipólusok szabadrezgéseként írjuk le. (A vonalak helyét a Doppler-hatás azért módosíthatja.)

Nagyon sok vonal található, növekv® frekvenciával csökken az intervallumuk, szabályos so-rozatok választhatóak ki közülük.

Az adott atomra jellemz® hullámhossz (kis rendszámú atomoknál 100-200 nm, nagy rendszámesetén több nagyságrendet változhat) alatt elt¶nik a vonalas szerkezet, folytonos spektru-mot látunk. Ezen energiaszint felett bármekkora energiát felvehetnek az elektronok, hiszenaz atom ionizálódik.

A vonalak felfedezésekor az úgynevezett spektrum-termeket vezették be, τα, τα sorozatok-ban. Ezekkel egy adott frekvenciát a fαβ = |τα − τβ |c értékként kaphatjuk meg. A τ, τ értékekszokásos egysége a kayser, avagy cm−1, és ez tulajdonképpen a hullámhossz inverze. Például aLa++ ion emissziós spektrumának vonalai (cm−1 egységben) felírhatóak 4+4 term segítségével:

τ , τ 42015 45111 93232 9446113591 28424 31520 79641 8087082347 40332 37236 10885 12114110210 68193 65097 16977 15748124504 82489 79393 31272 30043

Rengeteg ehhez hasonló mátrix-szal összegezték a tapasztalatokat. A gyakorlatban azonbannem minden termkülönbséget lehetett meggyelni ezt ma azzal magyarázzuk, hogy az elekt-romos dipólátmenet valószín¶sége lényegesen nagyobb, mint a kvadrupólé, vagy akár a mágnesesátmeneteké (amelyeket az átmenet részletes tulajdonságai különböztetnek meg, és kés®bb szelekciósszabályok néven ismerjük meg ®ket).

A hidrogén spektrumának elemzése során sokféle vonal-sorozatra derült fény: 1884-ben Bal-mer átható tartománybeli vonalakat talált, 1904-ben Lyman UV vonalakat, kés®bb Paschen ésBach, Bracket is Pfund is továbbiakat. Ezek vizsgálatában fontos lépés volt a Rydberg-Ritz félekombinációs szabály (1908), amely kimondta, hogy bármely vonal frekvenciája más vonalak összegevagy különbsége alapján adódik. Többek között ennek segítségével kiderült, hogy a τ és τ termekugyanazok, továbbá sorozatba rendez®dnek: τn = 110 000 cm−1 1

n2 , és ezekb®l össze lehet rakni azösszes vonalat. A Balmer-sorozat fn,2 = τn − τ2 módon adódik, a Lyman-sorozat fn,1 = τn − τ1módon, illetve a Paschen-Bach (n, 3), Brackett (n, 4) és Pfund (n, 5) sorozatok is összerakhatóak.Ezeket tehát úgy adhatjuk meg le, mint 1

n2 és 1m2 er®sség¶ termek különbségeit. Ennek felisme-

résében fontos lépés volt a Rydberg-Ritz féle kombinációs szabály (1908-ból, Rydberg formulája

21

9. ábra. A Frank-Hertz kísérlet. Balra a kísérleti elrendezés, jobbra pedig a mért áram a gyorsító-feszültség függvényében.

alapján alkotta meg Ritz), amely kimondta, hogy bármely vonal frekvenciája más vonalak összegevagy különbsége alapján adódik, hiszen itt (τn − τm) = (τn − τk) − (τm − τk). A 110 000 cm−1

konstans c-vel szorozva 3, 3 · 1015 Hz, ez h-val szorozva 2, 2 · 10−18 J, ami 13, 6 eV.

3.2. Az atomok energiaszintjei

Az atomok energiaszintjeit (amelyet a x kilépési munkák is indikálnak) elektronok és atomok üt-köztetésével vizsgálhatjuk. Erre szolgál a Franck-Hertz kísérlet, amelyet James Franck és GustavHertz (a hertz egységr®l is ismert Heinrich Hertz nagybátyja) végeztek el, és 1925-ben Nobel-díjatkaptak érte. Ebben vákuumcs®ben három elektródát helyeztek el: egy elektron-kibocsátó katódot,egy gyorsítófeszültséget létrehozó hálót, és egy el®bbihez képest enyhén pozitív anódot, lásd 9. áb-ra. A létrejött tér tehát a rácsnál enyhe minimummal rendelkezik, ezután megint n®. Így a rácsotelhagyó elektronok számára egy minimális elérend® energia-gát jön létre.

A kísérletben az anódáramot mérték a gyorsítófeszültség függvényében. Azt találták, hogy kisfeszültségek esetén az áram er®sen n® a feszültséggel, majd egy bizonyos értéknél (4,9 V higanyg®z-nél, 19 V neonnál, 3,8 V Cs esetén) az áram er®sen visszaesik. Ezután megint növekedés látható,de az eredeti érték többszöröseinél mindig visszaesés tapasztalható, lásd 9. ábra. Frank és Hertzúgy magyarázta a jelenséget, hogy alacsony feszültségnél a gyorsított elektronok energiája kicsi,ezért tisztán rugalmasan szóródnak a gáz atomjain (és mivel sokkal könnyebbek azoknál, ilyenkoraz összes energiájuk megmaradt). A feszültség növelésével n® az anódot elérni képes elektronokszáma. Az adott U feszültségen áthaladás esetén az elektronok energiája eU , és ha ez eléri azt abizonyos kritikus értéket, gerjeszthet egy elektront, elveszítve az energiáját (és átadva egy kötöttelektronnak). Ezután már nem tudja legy®zni a rács után jöv® enyhén negatív teret. Ahogy megintnöveljük a feszültséget, az elektronok már két rugalmatlan ütközést is szenvedhetnek, és így tovább.A gerjesztési energiák az atomokra jellemz®ek, és hogy melyik konkrét energiaszint jelenik meg,abban a hatáskeresztmetszeteknek van fontos szerepe.

Neon gáz esetén a kritikus feszültség elérésének helyén (a rácshoz közel) narancssárga fény je-lenik meg, majd ez egyre hátrébb kúszik, végül dupla feszültségnél két fényl® régió jelenik meg, ésígy tovább. Ennek oka, hogy a gerjesztett atomok visszatérnek egy kisebb energiájú állapotba (azeredeti, 18.7 eV körüli gerjesztési energiájúból 16.6 eV körüli energiára, amely tehát 2 eV energia-különbségnek és így körülbelül 600 nm-nek felel meg). A Hg energiájának 254 nm hullámhosszúfény felel meg, így az nem látható.

A kísérlet bonyolult, mert jól deniált energiájú, intenzív, kollimált nyalábra van hozzá szükség,azaz egyfajta elektronágyúra van szükség. Emellett a gáz nyomása igen alacsony kell hogy legyen,centiméter körüli szabad úthosszal, jól ismert s¶r¶ség¶ egyatomos gázból, amelyben lehet®leg kicsia s¶r¶séguktuáció (azaz mégsem lehet nagyon kicsi a s¶r¶ség).

Megint atomszámmal és elektromszámmal arányos jelenséget látunk, azaz itt is elemi folyamatotkell feltételeznünk. Ma is végeznek ezzel kísérleteket, a valódi áram-feszültség függés bonyolultabb,sok csúccsal rendelkezik az elektronszerkezetnek megfelel®en. Atomok és molekulák különböz® köl-csönhatásainak teljes hatáskeresztmetszete mérhet® így. Az alapállapotba való visszatérést sokszor

22

10. ábra. Az atomok els® ionizációs energiája: leggyengébben kötött (küls®) elektron energiája.

fénykibocsátás kíséri, és ez a legjobb módszer az energiaszintek tanulmányozására - a mechaniz-mustól függetlenül a kibocsátott foton enegiája közvetlenül az energia-szintkülönbségnek felel meg.

A fenti kísérleti tapasztalatok összegzéseként azt mondhatjuk, hogy az atomoknak meghatá-rozott, diszkrét energiával bíró stacionárius állapotai vannak. Az alapállapot felett gerjesztettállapotok vannak, amelyek egyre s¶r¶bben helyezkednek el. Az atomokat adott energia felettionizálni lehet, ekkor a spektrum folytonossá válik.

Fotoeektussal (ennek leírását ld. a 4.2. alfejezetben) és a Frank-Hertz kísérlettel is meggyel-het® a leggyengébben kötött elektron kötési energiája, azaz az ionizációs energia. Efelett új kritikusenergiák jelennek meg, kötöttebb elektront kilökve vagy többszörös ionizációt létrehozva. Az el-s® ionizációs energia az alkáliaktól a nemesgázokig er®sen n®, de nagyobb atomokra valamelyestcsökken, tehát f¶részfog jelleg¶ függvény, amely tipikusan 5-25 eV között van (lásd 10. ábra). Alegnagyobb értéket a héliumnál veszi fel. Egy adott pályán lév® elektron kötési energiája a rend-számmal n®, és er®sen csökken az elektronpálya függvényében: a küls® elektronok sokkal kevésbékötöttek. Ennek kiszámítása a kvantummechanika nyelvén lehetséges, de ott is csak numerikusanés/vagy különféle közelítéseket (például perturbációszámítást) alkalmazva.

A Rutherford-modellen tehát túl kell lépni, hiszen abban tetsz®leges energiájú pályák megenge-dettek, továbbá egy másik megoldatlan probléma is felmerül: a körpályán mozgó, és ezért gyorsulótöltések miért nem sugároznak? Ezekre a problémákra ad választ a Bohr-modell.

3.3. A Bohr-modell

Bohr az el®z® alfejezet végén olvasható kérdésekre konzisztens választ adó modellt épített fel.Ennek lényege:

az elektronok perdülete csak L = mvr = pr = n~ lehet, az ilyen pályákon nincsen gyorsulásból fakadó sugárzás.

Minden pályának ebb®l adódó (Coulomb+mozgási) energiaszintek felelnek meg, és a fény elnyeléseés kibocsátása ezen pályák közötti átmenetnek felel meg. Az els® posztulátumot továbbá úgy is meglehet fogalmazni, hogy a 2rπ kerület¶ pályákra éppen egész számú hullám fér rá, azaz nλ = 2rπ.Ez azt jelenti, hogy a pályákon kvázi állóhullámok jelennek meg. A modell jó eredményre vezet!

Az energiaszinteket úgy lehet kiszámolni, hogy kiindulunk a Coulomb-er® (a Ze töltés¶ mag ésaz e töltés¶ elektron között) és a pályán tartó centripetális er® egyenl®ségéb®l, azaz

kZe2

r2=mv2

r=

p2

mr, innen L2 = p2r2 = kZe2mr = n2~2, tehát (83)

rn =n2~2

kZe2m=n2

ZrBohr, pn =

kZe2m

n~=

~ZnrBohr

, és vn =kZe2

n~=

~ZnrBohrm

, (84)

ahol bevezettük az

rBohr =~2

ke2m=

~αmc

≈ 52918 fm ≈ 52, 92 pm ≈ 0, 53 Å (85)

23

Bohr-sugarat. Mivel az adott elektron pályájához tartozó energia −kZe2/r, a mozgási energiapedig mv2/2, ezért az energiaszintek a kett® összegéb®l

En =mv2

2− kZe2

r=mk2Z2e4

2n2~2− mk2Z2e4

n2~2= −Z

2

n2

mk2e4

2~2= −Z

2

n2

~2

2mr2Bohr

= −Z2

n2E0, (86)

ahol E0 = 13, 6 eV. Az átmeneti energiaszintek n−2 −m−2 rendszere ezzel kiválóan magyaráz-ható, és a konkrét értékek is stimmelnek, ha az elektron tömege helyett a µe = (memp)/(me+mp)redukált tömeget írjuk be (ez persze csak ezrelékes korrekció). Az els® ionizációs energia így hid-rogén esetén E0 eV, Z > 1 esetén pedig E0Z

2.Probléma, hogy többelektronos rendszerekben, ahol Z 6= 1, a modell nem igazán m¶ködik.

Vannak apróbb javítások pl. Moseley felfedezi, hogy az atomok elektronokkal való bombázásaesetén észlelt leger®sebb röntgen vonal (a K-alfa vonal) empirikusan úgy írható le, hogy a rendszá-mot Z helyett Z − 1-gyel helyettesítjük, és az 1. és 2. pálya közötti átmenetet vesszük. Ezt a küls®elektronok bels®kre vonatkoztatott árnyékoló hatása magyarázza, ami túlmutat a Bohr-modellen.

További probléma, hogy a Bohr-modell ellipszispályákat nem enged meg, pedig ezek is elvilegmegfelel®ek lehetnének. A kinematikai probléma megoldásai a Binet-egyenletb®l könnyen adódnak.Itt

u =1

r= c1 cosϕ+ c2 sinϕ− κ, ahol κ = −am

L2= −α~cm

L2, (87)

(itt a = α~c = ke2, k a Coulomb-állandó, e az elemi töltés, és α a nomszerkezeti állandó). Legyenegy kezdetben a vonzócentrumtól R távolságban lév®, erre mer®legesen mozgó, a centrális er®térmiatt állandó L perdület¶ tömegpontunk. Ekkor u(0) = 1/R és u′(0) = 0 (mivel a pálya ezenpontján v ⊥ r, azaz r = 0), így az ezt kielégít® megoldás alakja

u =

(1

R+ κ

)cosϕ− κ, azaz (88)

r =−1/κ

1− (1 + 1/Rκ) cosϕ=

R(1− ε)1− ε cosϕ

=A(1− ε2)

1− ε cosϕ, (89)

ahol bevezettük az ε = 1 + 1/Rκ excentricitást, illetve az A = R/(1 + ε) nagytengelyt. Ez apolárkoordinátákban vett egyenlet ε < 1 esetén ellipszist ír le (ε = 1 esetén parabolát, ε > 1 eseténhiperbolát, ε = 0 esetén kört). A perdület közvetlenül az excentricitással függ majd össze:

ε = 1 +1

Rκ= 1 +

L2

Ram⇔ L2 = amR(1− ε) = amA(1− ε2) =

amB2

A, (90)

ahol bevezettük a B = A√

1− ε2 kistengelyt is. Innen az energia is kifejezhet®:

E =p2

2m− a

R=

L2

2mR2− a

R=a(1− ε)

2R− a

R= −a(1− ε)

2R= − a

2A(91)

(92)

Érdemes meggyelni, hogy az energia 1/Amódon függ a pálya geometriájától, míg a perdület A(1−ε2) módon. Jelent®s különbség a Bohr-modellhez képest tehát, hogy itt egyetlen energiához sokfélekülönböz® perdület tartozhat, az ε excentricitástól függ®en. Az ilyen pályákat is leíró modellreSommerfeld tett javaslatot, ezt a következ® szakaszokban tárgyaljuk. El®bb azonban lássuk, mittudunk egyáltalán az atomok perdületér®l, és ezek mit támasztanak alá: a Bohr-modell L = n~jóslatát, vagy az adott energiaszinthez különféle perdületeket rendel® elliptikus pályák lehet®ségét.Ennél is közvetlenebbül megjelen® kérdés, hogy a Bohr-modellben a körpályákon kering® elektronoksíkja vajon milyen irányban állhat?

3.4. Az atomok mágneses momentuma és perdülete

Az impulzusmomentumhoz klasszikusanmágneses momentum tartozik! A mágneses momentumdeníciója alapján kör alakú áramhurokra ~µ = I ~A, amib®l az e töltés és a T = 2rπ/v periódusid®

24

11. ábra. A SternGerlach-kísérlet.

miatt I = e/T = ev/(2rπ), és A = r2π alapján általánosítva (a perdület kering® részecskérevonatkozó L = mrv deníciójával) a helyes

~µ =e~L

2m(93)

formulához jutunk. Eszerint tehát ha adott energiaszint¶ atom esetén a perdület iránya vagy nagy-sága más és más értékeket vesz fel, akkor a mágneses momentum is megfelel® érték¶ lesz ezviszont mérhet®. A momentumhoz tartozó energia B mágneses térben E = −~µ · ~B, tehát adottB tér mellett az energia a mágneses momentum abba az irányba es® vetületét méri. Az ebb®ladódó er® ~F = ~∇(~µ · ~B), ami adott z irányú tér esetén ~F = µz ~∇Bz. Ha tehát a perdület nagyságavagy iránya kvantált, akkor egy atomnyaláb egyes atomjaira diszkrét, különböz® mérték¶ er® hat,így a nyaláb diszkrét komponensekre eshet szét. Mivel az atomnyalábban alapértelmezés szerintalapállapotú atomok vannak, így atomról atomra várhatóan a perdület irány az, ami változhat.

Ez alapján végezte el Stern és Gerlach 1922-ben a híres kísérletét (lásd a 11. ábrát, illetve azeredeti Zeitschrift für Zeitschrift für Physik 8 (1922) 110, Physik 9 (1922) 349 és 353 cikkeket). Akísérletben inhomogén nagyságú, de mindenhol z irányú B mágneses térbe vezettek monoenergiásatomnyalábot, amelynek mágneses momentumára így er® hatott. Ekkor a v sebességgel l távolságotmegtev® atomok θ eltérülési szöge így kapható meg (⊥ a z-re mer®leges síkot jelöli):

F = ma⊥ = µz∇B, (94)

v⊥ = a⊥t =µz∇Bm

l

v, (95)

θ =v⊥v

=µz∇Blmv2

. (96)

adott µz-hez (azaz adott irányú perdülethez) adott eltérülés tartozik tehát.A kérdés az volt, hogy az abszolútértékben µ momentummal rendelkez® ezüst atomnyaláb

felhasad-e különböz®, diszkrét µz érték¶ nyalábokra, vagy a ±µ között tetsz®leges értéket vesz-efel (azaz meger®síti vagy cáfolja-e mérés a perdület és így a mágneses momentum kvantáltságát).Els®re túl nagy (és ezért átfed®) volt a felhasadás eredményeképpen létrejöv® két folt, de középenminimumot észleltek, ami már bizonyítéknak t¶nt. Aztán a nyalábot lesz¶kít® kollimációs rést köralakúról vékony téglalap alakúra cserélték, és így már megjelent a két különálló folt. Más nya-lábokkal is hasonló volt a tapasztalt, komponensek távolsága állandó, elrendezésük szimmetrikusa középvonalra, a csoportok intenzitása egyenl®. A perdület vagy legalábbis a mágneses mo-mentum kvantáltsága tehát bizonyított volt! A kísérletet más atomokra is elvégezve változatoskimeneteleket tapaszthatunk, pl. a hélium nem térül el, H és Ag két komponensre bomlik, N négykomponensre, O ötre.

Otto Stern bevezet®je a kísérlethez 1921-ben így hangzott:

25

12. ábra. Az Einsteinde Haas-kísérlet. Ferromágnest függesztünk fel vékony torziós szálra, amelyretükröt er®sítetünk, hogy a forgását egy lézer segítségével könny¶ legyen meggyelni. A ferromág-nesre tekercset csévélünk, és az ebben folyó árammal módosíthatjuk a mágnes atomjainak mágnesesmomentumát, és ezzel perdületét. A perdületmegmaradás miatt viszont ekkor elfordul a tekercs,ha a mágneses momentum és a perdület tényleg ugyanabból a jelenségb®l fakad.

ha sikerül végrehajtani, a kísérlet eredményeként egyértelm¶en dönthetünk a klasszi-kus és a kvantumelméleti kép között.

Pauli így írt 1922-ben Gerlachnak a kísérlet eredményét látva:

Most már talán a hitetlen Stern is meggy®zhet® az iránykvantálásról.

Kérdés ugyanakkor, hogy a fentiekben mért mágneses momentumok valóban az atomok per-dületével vannak kapcsolatban! Az Einsteinde Haas-kísérlet (lásd a 12. ábrát és az eredetiDPG Verhandlungen 17 (1915) 152) ezt a relációt próbálta ellen®rizni (a felhasadásból adódó kö-vetkeztetés független vizsgálataként). Einstein az 1914-es Berlinbe való érkezésekor (a BirodalmiFizikai és Technikai Intézetben kezdett dolgozni) kihasználta az itt fellelhet® jelent®s kísérleti inf-rastruktúrát, és kollégájával, a holland de Haasszal kidolgozta a következ® kísérletet. Feltette, hogya ferromágneses anyag mágnesességét az atomok mágneses momentuma okozza, amelyet viszont aperdületük, és így, ha átfordítjuk egy elektromágnes polarizációját, akkor a perdület is megváltozik,amelyet viszont meggyelhetünk.

Ferromágnest függesztett fel vékony torziós szálra, amelyre tükröt er®sítettek, hogy a forgásátegy lézer segítségével könny¶ legyen meggyelni. A ferromágnesre tekercset csévélt, és az ebben fo-lyó árammal állította be (vagy fordította át) a mágnes atomjainak mágneses momentumát, és ezzelperdületét. A mágneses momentum és az impulzusmomentum változásának hányadosát vizsgálta.Ha átfordulásról van szó, akkor ez a

∆µteljes

∆Lteljes=

2Nµ

2NL=µ

L(97)

ha N darab L perdület¶ és µ mágneses momentumú atom található a rúdban. Tehát a rúd mág-neses momentumának és a perdületének megváltozásán keresztül tulajdonképpen az atomok mág-neses momentumának és perdületének arányát vizsgálhatjuk. A fenti naív modell eredményekéntµ/L = e/2m adódik. Ugyanakkor nem pontosan ezt tapasztaljuk, hanem valójában ge/2m adódika kísérletekben, ahol g 6= 1 a giromágneses faktor, a µ/L hányados eltérése a jósolt e/2m értékt®l.Az Einsteinde Haas-kísérletben tehát tulajdonképpen ezt a giromágneses faktort mérhetjük, ésennek értéke a tapasztalat szerint eltér egyt®l!1

3.5. A SommerfeldWilson-féle kvantálás, a régi kvantumelmélet

Bár a Bohr-modell igen sikeres a hidrogén spektrumának leírásában, van néhány hiányossága:

1Érdemes megemlíteni az 1915-ben felfedezett Barnett-hatást is, melynek során egy test forgás hatására felmág-nesez®dik ez tulajdonképpen az Einsteinde Haas-hatás megfordítottja.

26

A perdület ad hoc kvantálása túlságosan specikus elvnek t¶nik.

Egy adott energiájú elektron csak adott nagyságú perdülettel rendelkezhet.

A modellben perdületvektor térbeli iránya tetsz®leges lehet.

Nem magyarázza meg a spektrum o(10−4) nomságú szerkezetét.

Sommerfeld elliptikus pályákról szóló javaslata (pontosabban az emögött rejl® kvantálási elv) ezenproblémák leküzdése céljából született. Noha ez a magyarázat ma már meghaladott, de történetifontossága és matematikai érdekessége miatt jelen jegyzetben is tárgyaljuk. Sommerfeldet az mo-tiválta, hogy a h Planck-állandó éppen a mechanikából is ismert hatásnak megfelel® dimenzióvalrendelkezik, ezért legyen az integrált hatás az, ami kvantált. Az elmélet tehát abból indul ki, hogya rendszer Hamilton-féle leírásában az xi koordinátához pi = ∂L/∂xi kanonikus impulzus adó-dik, ahol L a rendszer Lagrange-függvénye. A Hamilton-függvény pedig ekkor H =

∑i xipi − L

módon írható fel, azaz a Lagrange-függvény Legendre-transzformáltjaként adódik. Ebben a keret-rendszerben dolgozva az egyes impulzuskomponensekre∫

H(pi,qi)=E

pidqi = nih (98)

kvantálás teend® fel (ahol az integrál egy periódusra írandó fel, állandó energia mellett).Ennek illusztrálásaként vegyünk egy egydimenziós oszcillátort. Erre H = p2/2m + Dx2/2,

ahonnan x = p/m és p = −Dx, ahonnan a mozgásegyenlet x + ωx = 0 és ω2 = D/m, azazx = x0 sin(ωt). A kvantumfeltétel pedig∫

pdx =

∫mxdx, (99)

ami az x = x0 sin(α) helyettesítéssel (100)

mωx20

∫cos2(α)dα = mωπx2

0 = nh, azaz

x20 =

nh

ωmπ, ahonnan (101)

E =1

2mx2 +

1

2Dx2 =

1

2mω2x2

0 = nω~. (102)

Két dimenzióban Dx = Dy esetén ωx = ωy = ω, és ekkor itt is En = n~ω, de n = nx + ny, azazpl. az n = 1 energiaszint kétszeresen degenerált (nx = 0, ny = 1 vagy fordítva).

Következ®ként vegyünk egy kétdimenziós, (r, ϕ) polárkoordinátákkal felírt hidrogénatomot (il-letve annak elektronját). Erre a

H =mv2

2− a

r=m

2

[r2 + (rϕ)

2]− α~c

r(103)

Hamilton-függvény adódik. A kanonikus koordináták pr = mr, pϕ = mr2ϕ módon adódnak (aholpϕ éppen a perdület. Az el®z® szakaszban leírt ellipszispályákra kell venni az integrált, és így a∫

prdr = nrh, (104)∫pϕdϕ = nϕh (105)

kvantumfeltételek írhatóak fel. A második egyenlet egyszer¶en megoldható: mivel a perdület állan-dó, csak a ϕ polárszögre kell integrálnunk, így egyszer¶en a pϕ perdület 2π-szeresét kapjuk, amelynϕh-val egyezik meg:

pϕ = nϕ~ (106)

27

Az els® egyenlet integrálja is elvégezhet® (r-et és pr-et is ϕ-vel kifejezve), és∫prdr = 2π

√aAm(1−

√1− ε2) = nrh, azaz mivel (107)√

aAm(1− ε2) = L = pϕ = nϕ~, így (108)√aAm = (nr + nϕ)~, és (109)√A = (nr + nϕ)

~√am

(110)

adódik. Ebb®l A = (nr + nϕ)2rBohr adódik, az energiára pedig a korábbiakkal megegyez®en E =−E0/n

2, ahol n = nr + nϕ, Sommerfeld elnevezése szerint a kvantumösszeg. Ha (a kés®bbiösszehasonlítást megkönnyítend®) bevezetjük az l = nϕ jelölést, a pályák tengelyeire energiájáraés perdületére tehát

Anl = n2rBohr (111)

Bnl = nlrBohr (112)

Lnl = l~ (113)

Enl = −E0

n2(114)

feltételek teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy a nagytengely a Bohr-sugárnak megfelel® méret¶ lesz,míg a kisebbik tengely ennek l-szerese, míg az excentricitás ε =

√n2 − l2/n módon adódik. A

perdület pedig a ~ egész számú többszöröse, de nem n-t®l, hanem l-t®l függ. Sommerfeld eredetifelírása szerint l = 1, . . . , n értékeket vehet fel, ugyanakkor a rendszer matematikailag megengediaz l = 0 állapotokat is, ez az úgynevezett Coulomb-oszcillátor, amikor a pálya excentricitása 1,magyarul ellipszis helyett egy szakaszról beszélünk. Ez zikailag már persze kevésbé világos a dolog:az elektron pályája ekkor átmegy a magon.

3.6. A hidrogénatom Sommerfeld-modellje

Térjünk most át a háromdimenziós hidrogénatom esetére. Gömbi koordinátarendszerben (r, θ, φ)a Hamilton-függvény a kétdimenziós problémához hasonló,

H =m

2

[r2 +

(rφ)2

+(rθ sinφ

)2]− α~c

r(115)

A kanonikus impulzusok és a kvantálási feltételek az alábbiaknak megfelel®en adódnak:

pr =∂H

∂r= mr,

∫prdr = nrh, (116)

pφ =∂H

∂φ= mr2φ,

∫pφdφ = nφh, (117)

pθ =∂H

∂θ= mr2θ sin2 φ,

∫pθdθ = nθh. (118)

Ezzel a hamiltoni így is felírható:

H =1

2m

(p2r +

p2φ

r2+

p2θ

r2 sin2 φ

)− α~c

r=

p2r

2m+

L2

2mr2− α~c

r, (119)

Innen ismét az E = H feltételb®l ki lehet fejezni az egyes koordinátákat, majd a kvantálási feltételekegyenleteit kell alkalmazni, az integrálást az adott ellipszispályára elvégezve. Így a következ®kadódnak:

Az energia továbbra is En = −E0/n2 módon számítható ki, ahol n = nr + nθ + nφ.

A lehetséges pályák továbbra is Anl = n2rBohr, Bnl = nlrBohr tengelyekkel rendelkeznek.

28

13. ábra. A hidrogénatom méretarányos elektronpályái a Bohr-Sommerfeld modellben, n, l cím-kékkel. Szaggatottal a történelmi tárgyalás során leírt pályák szerepelnek (ezek esetében l = nis lehetséges, l = 0 viszont nem), míg folytonos vonallal a (l < n és

√l(l + 1) szempontjából is)

javított Sommerfeld pályák. Az átláthatóság kedvéért az egyes n értékekhez tartozó pályák különszerepelnek. A különböz® színek különböz® l értékeket jelölnek (fekete, kék, piros, lila sorrendben).

A pφ kanonikus impulzus éppen a perdület z-vetülete, amely így állandó, és az integrálfelté-telb®l pφ = nφ~ adódik. Ezt többnyire úgy írjuk fel, hogy nφ = m, azaz pφ = m~, a pályáktehát ennyire lehetnek d®ltek vagy éppen (m = 0 esetén) vízszintesek.

Az L perdületre az l = nφ+nθ kvantumösszeg vonatkozik, és ezzel továbbra is L = ~l adódik.Mivel l = n− nr, így ennek maximális értéke nr = 0 mellett van, amikor körpályáról beszéltSommerfeld. Valóján nr > 0, és így l maximális értéke l = n− 1 mellett valósul meg.

Az így adódó lehetséges pályákat lásd a 13. ábrán. Fontos különbség a Bohr-modellhez képest,hogy itt létezhetnek nulla perdület¶ pályák is, például a hidrogénatom alapállapotú elektronjánaknulla a pályaperdülete. Ez egydimenziós Coulomb-oszcillátornak tekinthet® ebben a modellben.A modell másik fontos gondolata az impulzusmomentum iránykvantáltsága, amely szerint tehát aperdületvektor pályára mer®leges vetülete csak m~ értékeket vehet föl.

A Sommerfeld-féle modellben tehát az n, l,m kvantumszámok jellemzik az elektronokat, és egyadott l perdület-kvantumszám esetén m = −l . . . l iránykvantumszámok (mágneses kvantumszá-mok) képzelhet®ek el. Érdemes észrevenni, hogy ez viszont ellentmondásban áll a SternGerlach-kísérlet két részre felhasadó nyalábjaival: A fentiek szerint ugyanis 2l+ 1 lehet®ség van a z irányúvetületére, l~ és −l~ között, és µz is ennek megfelel® értékeket vesz fel. Ez viszont mindig páratlanszámú lehet®séget eredményez, viszont egyes atomok nyalábjai páros számú foltra oszlanak, azazkétféle perdület-vetület valósul meg. Kérdés továbbá, hogy az l = 0 állapotban lév® hidrogén ho-gyan hasadhat fel? Az elektron pályájából adódó perdülete itt nulla, de mégis van valami mágnesesmomentuma! Olyan, mintha az elektronnak lenne egy saját perdülete, a pályától függetlenül! Errekés®bb, a 7. fejezetben térünk vissza. Bevezetve az µB = e~/2m Bohr-magnetont, a µ = µBL/~összefüggés lesz érvényes, azaz ha L = l~, akkor µ = lµB , és Lz = m~ esetén a µz = mµB értékeklesznek lehetségesek. A giromágneses faktor az ett®l való eltérést vizsgálja, ezzel µ = gµBl. Azelektron keringéséb®l fakadó momentumára valóban g = 1, de kés®bb kiderül, hogy az elektronsajátperdülete is mágneses momentumot eredményez, amelyre azonban gs ≈ 2, erre is kés®bb, a 7.fejezetben térünk vissza.

Fontos továbbá, hogy a hidrogénatom energiaszintjeinek nomszerkezetét is megadja a Sommer-feld modell relativisztikus általánosítása, amelyben mv2/2 helyett mc2(1/

√1− v2/c2−1) szerepel

a Hamilton-függvényben. Itt a különböz® l-ekre kapott energia-módosulás az α = ke2/~c nom-szerkezeti állandó négyzetével lesz arányos:

Enl = −[

1

n2+ α2n4

(n

l− 3

4

)]E0. (120)

Err®l a fontos jóslatról is b®vebben beszélünk majd a kés®bbiekben.

29

Érdemes ugyanakkor megemlíteni, hogy, mint kés®bb kiderül, a perdületre az L = l~, l = 1 . . . nés az L = l~, l = 0 . . . n−1 verzió sem ad helyes eredményt, valójában L = ~

√l(l + 1), l = 0 . . . n−1

az, amit a kísérletek meggyelnek, és ehhez hasonlóan az ellipszispálya kistengelye is módosul,

Bnl = n√l(l + 1)rBohr. (121)

A 13. ábra az így korrigált pályákat is mutatja. Valójában ez a hiba részben abból is adódik, hogya fenti számolási eredmény elérésekor hibát vétettünk. Az asztrozikában ismert, hogy ilyen pálya-integrálok számításakor az úgynevezett Delaunay-pályaelemeket kell gyelembe venni, amelyekreazonban nem ismert a kvantumfeltételekb®l adódó eredmény levezetése (lásd Manfred Bucher ar-Xiv:0802.1366 cikkét a témában).

4. Az elektromágneses sugárzás részecsketermészete

4.1. A fény hullámtermészete

Fresnel és Young interferenciakísérletei óta ismert, hogy a fény hullámként viselkedik: egyfényhullám két részre osztása során keletkez® fénysugarak az erny®ig eltér® utat tesznek meg, ígyeltér® fázisban érkeznek az erny®re. A fáziskülönbségt®l függ®en er®sítik vagy gyengítik egymást,így a hullámhossztól függ® mintázat jön létre (lásd a 14. ábra bal oldalát). A jelenség hátterébenaz áll, hogy az erny® egy adott pontjába két úton keresztül juthat a fény, és így az ott megjelen®elektromos tér az alábbi két komponensb®l áll össze:

E1(t) = E0ei(ks1−ωt+φ1) E2(t) = E0e

i(ks2−ωt+φ2), (122)

ahol k a hullámszám, ω a körfrekvencia, s1,2 az adott út hossza, és φ1,2 az adott forrás esetlegesenmegjelen® fázisa. Így adott pontban a T = 2π/ω periódusid®nél lényegesen nagyobb intervallum-ra átlagolt intenzitásnak megfelel® fényességet észlelünk (vagy észlel az oda helyezett detektor:fényérzékeny lemez, CCD, fotoelektron-sokszorozó, antenna, stb.). Ez az amplitúdó négyzetéb®lígy adódik:

I ∝ 1

t2 − t1

t2∫t1

|E1(t) + E2(t)|2dt =E2

0

t2 − t1

t2∫t1

∣∣∣ei(ks1−ωt+φ1) + ei(ks2−ωt+φ2)∣∣∣2 dt (123)

=2E2

0

t2 − t1(1 + cos(k(s1 − s2) + (φ1 − φ2))) .

Ebb®l azonnal látszik, hogy a megjelen® intenzitás az s1 − s2 útkülönbségt®l koszinuszosan függ,és ez az erny®n megjelen® mintázat forrása. Érdemes megemlíteni, hogy általánosságban az ilyendirakciós képek esetében mindig a forrás Fourier-transzformáltja jelenik meg (ahogy az a die-renciális hatáskeresztmetszetnél is szóba került), és itt is a végeredmény két Dirac-delta összegénekFourier-transzformáltja lett. Ilyen dirakciós képet természetes fénnyel nehéz létrehozni, ugyanisennek esetében sok különböz® hullámhossz van jelen egyszerre, ami módosítja a fentieket. Young1801-ben (természetes, a Napból származó, távcs®vel fókuszált) fénysugarat osztott ketté papír-lappal. A XX. században aztán reneszánszát élte ez a kísérlet, Laue 1912-es munkája nyomán(CuSO4 kristályra bocsátott röntgensugarakat) ismertté vált a röntgendirakció módszere, amely-ben a kristálysíkokon visszaver®dött sugárnyalábok interferenciáját lehet meggyelni, és ezáltalkristályok szerkezetét feltárni.

4.2. A fotoelektromos jelenség

Becquerel és a fotovoltaikus hatás 1839-es felfedezése irányította a gyelmet a fény és az elektro-mosság kapcsolatára (itt fény hatására a vezetési sávba mozognak az elektronok a kötött sávból).A fotoelektromos jelenséget Heinrich Hertz fedezte fel 1887-ben (róla nevezték el a frekvenciahertz egységét, a Nobel-díjas Gustav Hertz pedig az unokaöccse volt), ennek során fémb®l elekt-ronok lépnek ki fény hatására. Elektromágneses hullámok hatására keletkez® szikrákat vizsgált.

30

14. ábra. Balra a fénnyel elvégzett kétréskísérlet és az ott tapasztalt interferenciamintázat, míg kö-zépen és a jobb oldali ábrán a fotoelektromos jelenség kísérlete látható. Balra az elrendezés, jobbrapedig az anódáram, a szaturációs mennyiségre normálva. Nagyobb frekvencia esetén nagyobb V0

ellenfeszültséggel lehet megállítani a kilép® elektronokat. Van azonban egy küszöbfrekvencia, amelyalatt egyáltalán nem lépnek ki elektronok, és egyáltalán nincs áram, feszültségt®l függetlenül.

Észrevette, hogy a hullámok és a szikrakeletkezés közé helyezett üveglap lecsökkenti a szikrake-letkezést, míg egy kvarcból készült ablak nem: el®bbi ugyanis elnyeli az UV fényt. Lénárd Fülöp1902-ben meggyelte gázok ionizációját UV fény hatására, és frekvenciától való függést állapítottmeg (ezt a hatvanas években tudták csak részletesen vizsgálni, a kísérletek bonyolultak, néha távoliUV fény kell). A jelenséget végül Einstein magyarázta meg 1906-ban.

Az atomok energiaállapotait kis hullámhosszú elektromágneses sugárzással vizsgálhatjuk, aszínképvonalakon túli tartományban. Ekkor a fotoelektromos jelenséget gyelhetjük meg, amelysorán a sugárzás elektront távolít el az atomokból. Kísérletileg alkáli fémekket könny¶ vizs-gálni, mert itt a látható fény is létrehozza a jelenséget, míg más anyagoknál UV vagy még nagyobbfrekvenciájú sugárzás kell. A kísérletek eredményeként azt kapjuk, hogy a kilép® fotoelektronokszáma az intenzitással arányos és a frekvenciától általában nem függ. Van viszont egy mi-

nimális frekvencia, amely alatt intentitásfüggetlenül nem lépnek ki elektronok. Ezen legkisebbfrekvencia értéke az adott anyagtól függ: nátriumra 6 · 1014 Hz, nikkelre 12, 1 · 1014 Hz, aranyra11, 7·1014 Hz. A nátrium frekvenciájához kapcsolódó hullámhossz 500 nm, míg a nikkeléhez tartozó250 nm, ez utóbbi már az UV tartományban van.

A kísérlet konkrét megvalósítását lásd a 14. ábrán (illetve az eredeti Annalen der Physik 267(1887) 983 publikációban): a kilép® elektronok áramát mérhetjük a fény intenzitása és frek-venciája függvényében is. Ha az anód és katód közötti feszültséget növeljük állandó intenzitás ésfrekvencia mellett, egyre több kilép® elektront észlelünk áram formájában. Ha az összes kilép®elektron eljut az anódra, akkor hiába növeljük a feszültséget, az áram nem növekszik tovább, ez aszaturációs áram amelynek értéke csak az intenzitástól függ. Ha a feszültséget negatív iránybancsökkentjük, egyre kisebb áramot mérünk. A negatív irányban vett legnagyobb feszültség (V0) an-nak felel meg, amelyet a kilép® elektronok még éppen le tudnak gy®zni. Ez az elektronok mozgásienergiájánal felel meg, és értéke a frekvenciától függ, méghozzá lineárisan: eV0 = a+ bf .

A kísérleteket úgy lehet értelmezni, hogy a bejöv® fény energiája részben az elektron atombólvaló kilépésére fordítódik, részben az elektron kinetikus energiájára, és az elektron még a katódnakis adhat valamekkora energiát, azaz Ef = W + Ee + ∆k, azaz Ee ≤ Ef −W . Itt a W kilépésimunka tulajdonképpen az atom ionizációs energiája. Ha ezeket az elektronokat V0 feszültséggeléppen meg tudjuk állítani, akkor eV0 = Ee, tehát eV0 = Ef −W . Ez éppen a kívánt a+ bf lineárisösszefüggés, és az együtthatók mérése alapján Ef = hf , ahol h a Planck-állandó, 6,626·10−34

Js. A küszöbfrekvenciára pedig W = hf0, mivel ekkor éppen kiszabadulnak az elektronok, dea legkisebb feszültséggátat sem tudják már legy®zni. Az intenzitástól mindegyik érték független,holott klasszikusan azt várnánk, hogy egy intenzív (sok energiát szállító), de alacsony frekvenciájúhullám is kilökheti az elektronokat. A meggyelések tehát csak úgy értelmezhet®ek, hogy a fénykvantumok, azaz fotonok formájában terjed, és ezen kvantumok hf energiát hordoznak, ®ktudnak kilökni egy elektront. Hiába nagy a fény intenzitása, ha a frekvenciája kicsi, akkor az egyeskvantumok energiája is kicsi. Kés®bb látni fogjuk, impulzusuk is van, ennek értéke pedig h/λ.

Megjegyzend®, hogy nagy intenzitású monokromatikus fény esetében elképzelhet®, hogy az

31

elektron egyszerre több fotonnal is kölcsönhat, és így a küszöbfrekvencia alatt is észlelhet®ek ki-lép® elektronok. A hullámképet úgy lehetne használni, hogy az átadott energia a bejöv® hullámenergiaáram-s¶r¶ségét®l függ, illetve egyfajta akkumulációs id®t®l, amíg összegy¶lik elég energiaa kilépéshez. Ekkor W = jτ/nd, ha j az árams¶r¶ség [W/m2], n az elektronok s¶r¶sége és d abehatolási mélység. Ha n nagyságrendje 1028 elektron köbméterenként, a behatolási mélység a hul-lámhossz, azaz kb. 10−7 m, míg a szükséges energia néhány eV, azaz 10−19 J, akkor 10−3 W/m2

esetén kb. 2000 óra jön ki. Ezzel szemben sokkal kisebb energiaáram esetén is 10−10 másodpercnélkisebb az elektron kilépési ideje.

Összességében azt látjuk, hogy az elektronok azonos energiával lépnek ki monokromatikus fényesetén, ezt a hf energiájú fotonok elnyelése okozza. A fotoelektronok száma továbbá arányos azintenzitással és az atomok számával is, tehát elemi eseményekr®l van szó. Ebb®l a sugárzási térkvantáltsága következik, és a kvantáltság az atomokkal való kölcsönhatás során gyelhet® meg. Egy40 W-os fehér ég® nagyjából 1020 db fotont bocsát ki másodpercenként. A sugárzási tér tehát azanyag atomos jellegéhez hasonló és eltér® (hullám-) tulajdonságokkal is rendelkezik.

4.3. Az elektromágneses sugárzások kett®s természete

Ahogy fent írtuk, Fresnel és Young óta ismert, hogy a fény hullám, az elhajlási, interferometrikusés polarizációs kísérletek mutatják ezt a természetét. A fotoeektus, ahogy fent láttuk, fotonhi-potézissel értelmezhet®. A klasszikus zika alapján ez ellentmond a fény hullámtermészetének,vajon melyik kép a helyes? A kérdés feloldására új zikát kell bevezetni! Érdekes ugyanakkor, hogyvan néhány jelenség, amelyet mindkét kép (különböz® módon) helyesen magyaráz meg.

Az egyik a fény nyomása, amelyet Maxwell és Bartoli jósolt meg 1871-ben illetve 1876-ban, ésLebegyev gyelt meg 1900-ban, majd Nichols és Hull 1901-ben. A jelenségnek asztrozikai szem-pontból is nagy jelent®sége van (a csillagok szerkezetét ez dönt®en befolyásolja), és a m¶holdakmozgására is nagy hatással van. Érdekes módon a hullámképben és a részecskeképben is egyformánkijön a jelenség, méghozzá azonos eredménnyel. A hullámképben a sugárzási nyomás p = 〈S〉 /cmódon adódik, azaz a fény által kifejtett er® (elnyelés esetén) F = E/Ac, hiszen 〈S〉 = E/A afelületen id®egységenként áthaladó energiát adja meg. A részecskeképben a fotonok impulzusátkell vennünk, amely, mint a következ® fejezetben kiderül, pimp = E/c módon adódik. Ennek id®-deriváltja éppen az adott mennyiség¶ foton adott id® alatt történ® megállításához szükséges er®tadja meg, tehát itt is ugyanaz adódik végül a fotonok által kifejtett nyomásra.

A relativisztikus Doppler-jelenség esetében is hasonló megállapítást tehetünk: a hullámkép-ben (a hullámhegyek beérkezése közötti id®t helyesen vizsgálva, gyelembe véve az id®dilatációt)is kijön a

√(1 + β)/(1− β) faktor, és a foton energiáját Lorentz-boostolva (E′ = γE − βγp =

γ(1− β)E, tehát a faktor γ(1− β)) is ugyanaz jön ki.A fény polarizációja érdekes módon szintén megérthet® hullámképen túl a részecskeképben is,

ugyanis a foton spinjével függ össze, ahogy azt kés®bb részletesebben is tárgyaljuk majd. Fontositt azonban már felhívni rá a gyelmet, hogy a fotonnak is van spinje, értéke ~, az adott irányúvetülete pedig ±~ (nulla értéket nem vehet fel).

4.4. A Compton-jelenség

Compton 1922-ben vizsgálta meg röntgensugarak szóródását paranon. Azt látta, hogy a szórtsugárzásban nagyobb hullámhosszú komponensek jelennek meg, és a szögeloszlás is eltér a várako-zástól. A klasszikus elektrodinamika szerint a hullám hatására az atom (elektron) dipólsugárzástbocsát ki, melynek intenzitása sin2 φ szerint változik, ahol φ a gyorsulás és a sugárzás vizsgáltiránya által bezárt szög. A szórás hatáskeresztmetszete a (66) egyenletb®l

dσ

dΩ= r2

e sin2 φ, ahol re =e2

4πε0mec2=

ke2

mec2=

α~cmec2

=α~mec

(124)

Legyen a bejöv® hullám iránya k, az elektromos tér (azaz a polarizáció) erre mer®leges iránya e(lásd a 15. ábra fels® paneljét). Az ezek és k×e által kifeszített koordináta-rendszerben kifejezve akimen® sugárzás iránya n = k cos θ+e sin θ cosψ+e×k sin θ sinψ, ahol θ a bejöv® (k) és a kimen®(n) sugárzás közötti szög, ψ pedig a kimen® sugárzás bejöv® sugárzásra mer®leges síkban vettvetületének szöge a polarizációs vektorhoz képest (azaz n szöge az e és e×k vektorok által kifeszített

32

15. ábra. A bal oldali ábrán a Compton-szórás irány-viszonyai láthatóak, a polarizációt és a kimen®irányt összeköt® φ szög és a kimen® és bejöv® irányt összeköt® θ szög kapcsolatát bemutatandó. ACompton-szórás kinematikája látható a jobb oldali ábrán látható.

síkban) Ha a fenti hatáskeresztmetszet-kifejezésben φ az elektromos tér iránya (e) és a kimen®sugárzás (n) közötti szög, akkor ez az e ·n skalárszorzatából kapható meg, azaz cosφ = cosψ sin θ,és sin2 φ = 1 − cos2 ψ sin2 θ. Mivel számunkra a ψ polarizációs szög indierens, ezért az összes ψszögre átlagolnunk kell. Így a végeredményben⟨

sin2 φ⟩

=⟨1− cos2 ψ sin2 θ

⟩= 1−

⟨cos2 ψ

⟩sin2 θ = 1− 1

2sin2 θ =

1

2(1 + cos2 θ) (125)

jelenik majd meg, mivel értelemszer¶en⟨cos2 ψ

⟩= 1/2. Végül a Thomson-szórás polarizációkra

átlagolt dierenciális hatáskeresztmetszete (az eltérülés szöge szerint):

dσ

dΩ=r2e

2(1 + cos2 θ). (126)

Az eredmény tehát 90 fokra szimmetrikus, de a kísérletekben azonban nem ezt a eloszlást mérték(lásd a 15. ábrát és az eredeti Physical Review 21 (1923) 483 publikációt), hanem nagyfrekvenciássugárzás esetén a nagyszög¶ visszaszórás jelent®sen elnyomott. Ez önmagában er®s utalás arra,hogy a Compton-szórásban (azaz nagyfrekvenciás fény szabad elektronokkal való kölcsönhatásában)nem m¶ködik a klasszikus kép.

Klasszikusan a bejöv® és a kimen® hullám frekvenciája azonos. Ha elég nagy az intenzitás,a töltés visszalök®dhet, és a Doppler-eektus módosítja a frekvenciát, de elég kis intenzitásnález a hatás minimális. A meggyelés szerint azonban alacsony intenzitásnál is megjelenik egyfajtafrekvencia- vagy hullámhossz-módosulás, amelyet a klasszikus kép (a hatáskeresztmetszethezhasonlóan) nem tud megmagyarázni.

A hullámhosszmódosulás magyarázata a részecskeképben egyszer¶en látható. Bejön egy p =hf/c = h/λ impulzusú foton, és kimegy p′ = hf ′/c = h/λ′ impulzussal, miközben átadott a kett®különbségének megfelel® impulzust az elektronnak, és az energiájából is adott át az elektronnak.Az elektron teljes energiája az ütközés el®tt m2

ec4, míg utána E2

e = m2ec

4 + p2ec

2, a fotonra pedig aE = hf és E′ = hf ′ feltételt alkalmazzuk. Innen az energiamegmaradás:

E − E′ = E2e −mec

2, azaz (127)

hf − hf ′ =√p2ec

2 +m2ec

4 −mec2, innen pedig (128)

p2ec

2 = (hf +mec2 − hf ′)2 −m2

ec4. (129)

Használjuk ki az impulzusmegmaradást is. Eszerint

pe = p− p′, tehát (130)

p2e = p2 + p′2 − 2pp′ cos θ. (131)

33

16. ábra. A Compton hatáskeresztmetszet a bejöv® foton energiájának függvényében (az elektronnyugalmi energiájával normálva, ξ = hf/mec

2 függvényében). Ha ξ → 0, visszakapjuk a Thomsonalakot. Jobbra a kvantumtérelméleti számoláshoz szükséges Feynman-diagramok.

Ezt visszahelyettesíthetünk az el®z® egyenletbe, p = hf/c és p′ = hf ′/c kihasználásával:

h2f2 + h2f ′2 − 2h2ff ′ cos θ = (hf +mec2 − hf ′)2 −m2

ec4, azaz (132)

hf ′ =hf

1 + hfmec2

(1− cos θ)=

hf

1 + ξ (1− cos θ), másképp (133)

c

f ′− c

f=

h

mec(1− cos θ) = λC (1− cos θ) , vagy (134)

∆λ = λ′ − λ =h

mec(1− cos θ) = 2λC sin2 θ

2, (135)

ahol bevezettük a ξ = hf/mec2 hányadost és a λC = h

mec= 2, 4 pm a Compton-hullámhosszat,

amellyel αλC/2π = re a klasszikus elektronsugár. Vegyük észre, hogy a levezetés során kihasz-náltuk, hogy a foton energiája és impulzusa E = pc módon függ össze, amely nulla tömeg¶,fénysebesség¶ részecskét jelent!

Érdemes észrevenni, hogy θ = 0 esetén a hullámhossz és a frekvencia is változatlan, az így to-vábbhaladó foton nem adott át energiát vagy impulzust az elektronnak. Ha hf mec

2 ⇒ λ′ ≈ λ,tehát alacsony energiájú fotonok esetén nincs hullámhossz-változás (persze az egész gondolat csakszabad elektronokra érvényes, tehát olyan energiákra, ahol az elektron már szabadnak tekinthet®).Nagy energiás fotonra, (hf mec

2) hf ′ ≈ mec2/(1 − cos θ)), 90 fok esetén 511 keV, visszaszóró-

dásra (180 fok) 255 keV.Kis kiegészítésként érdemes megjegyezni, hogy milyen kapcsolatban áll egymással a fotonok

energiája és hullámhossza. Mivel E = hf = ~ω és λ = 2πc/ω = 2π~c/E, így 1 eV energiaaz ~c = 197 MeV·fm= 197 eV·nm illetve hc = 1237 eV·nm összefüggés miatt λ = 1240 nmhullámhosszat jelent.

A bejöv® fényt hf energiájú fotonokra bontva a szórt részecskék száma arányos a fotonszám-mal, azaz a Compton-szórás elemi folyamat: ez szintén a részecskeképet támasztja alá. A mérthatáskeresztmetszet, ahogy fent említettük, jelent®sen különbözik a Thomson-formulától, ezt aKlein-Nishina formula adja meg:

dσ

dΩ=r2e

2(P + P 3 − P 2 cos2 θ), ahol P =

hf ′

hf=

1

1 + hfmec2

(1− cos θ)(136)

Ezt a hatáskeresztmetszetet majd a kvantumelektrodinamika tudja jól megadni. A 16. ábrán akvantumtérelméleti számolásokban használatos néhány úgynevezett Feynman-diagramot is meg-adunk illusztrációként. Ezeken nem látszódik, de sokkal bonyolultabb folyamatok is vezethetnekCompton-szóráshoz: az elektron kibocsáthat egy fotont, amely párkeltéssel elektron-pozitron-párthozhat létre, és így tovább minden ilyen folyamat járulékát össze kell adni a hatáskeresztmetszetkiszámolásához.

4.5. Kísérletek a fény természetének megállapítására

Kérdés, hogy a fény részecske vagy hullám-e? Einstein próbálkozott a t¶sugárzás-elmélettel, amely-ben a foton kis térszög¶ hullámvonulat, és így a részecske- és a hullámkép is érthet® lehet. Ezt

34

17. ábra. A Selényi-kísérlet (a), Jánossy tükörkísérlete (b) és egy MachZehnder-interferométer(c). Utóbbi esetében fontos gyelembe venni, hogy tükrök esetén visszaver®désnél 180 fok fázis-tolás következik be, és ezzel világosan látható a kioltások és er®sítések rendszere. Érdemes mégmegemlíteni, hogy a MachZehnder interferométer egyik útjába valamilyen további φ fázistolástlétrehozó objektumot vagy hatást elhelyezve, a két ág között változtatható jel nagysága, sin2 φ/2és cos2 φ/2 módon.

cáfolta Selényi Pál kísérlete (17.a ábra), amely bizonyította, hogy nagy szögek esetén is van in-terferencia (90 foknál nagyobb nyílásszög esetén is). Azt bizonyította, hogy a fény elemi sugárzásaugyanolyan gömbhullám, mint ami egy dipólusból származik. Kísérletében uoreszcens rétegb®lfény lépett ki. A réteg alá tükrös felületet tett, így az egyik irányba kilép® fény interferálhatott amásik irányba kilép®, majd visszatükröz®d® részével. A két sugár között nagy szög is lehet, teháta hullámot teljes gömbhullámként kell elképzelnünk.

Jánossy Lajos (az ELTE Atomzikai Tanszékének els® vezet®je) Náray Zsolttal együtt tü-körkísérletet végzett 1957-ben (17.b ábra), amelyben félig átereszt® tükrökkel egy fénysugarat ön-magával interferáltatjuk. A kísérletben akkor is interferenciát találtak, ha a rendszerben csak egyfoton van, úgy, hogy a detektor két része között több méter távolság is lehet! Ugyanilyen egyfoto-nos kísérletet végzett el Aspect, MachZehnder-interferométerrel, de sokkal nagyobb precizitással;a következtetés hasonló volt.

Érdekes felvetni a kérdést, hogy ha a foton két útja kioltja egymást, akkor hova t¶nik a fotoneredeti energiája: természetesen ez mindig megmarad, ha valahol kioltás van, akkor valahol er®sí-tésnek is meg kell jelennie! Féligátereszt® tükrök esetén ez a másik nyalábot jelenti, kétréses vagyBragg-szórásos interferencia esetén pedig valamelyik másik irányt. Érdemes végiggondolni, hogyegy interferencia-kísérletben az egyes nyalábok fázisa hogyan változik (az útkülönbségt®l eltekint-ve): optikailag s¶r¶bb közegr®l visszaver®dve 180 fokos fázistolás jelenik meg. Így a féligátereszt®tükör küls® (tükröz®) felületének irányából érkezés után visszaver®dve fázistolás következik be,míg a bels® felületr®l visszaver®dve (azaz el®ször az üvegen áthaladva majd csak ezután visszave-r®dve) nem változik a fázis, ahogy áthaladás során sem. Így egy Mach-Zehnder interferométerben(ld. a 17.c ábra) az egyesül® nyalábok az egyik irányban er®sítik, a másik irányban gyengítik egy-mást. Konkrétabban is végigkövethetjük az egyes nyalábokat. Az els® osztás után az egyik ampli-túdója eiπ/

√2 szorzófaktort kap, a másiké marad 1/

√2 (a gyök kettes faktor amiatt van, mert az

intenzitások, azaz az amplitúdó négyzetek összege változatlan). A visszaver®dések után ez ei2π/√

2és eiπ/

√2 lesz, majd az újabb féligátereszt® tükör után az egyik egyesített nyaláb. Ugyanez látható

a 17.c ábrán is (1 helyett 2 intenzitású nyalábbal indulva, és így a√

2 faktortól megszabadulva.Ez utóbbira épül az ElitzurVaidmann-féle gondolatkísérlet, amelyben egy tárgy jelenlétét azzalvaló interakció nélkül határozhatjuk meg (ez különösen bombák keresése esetén lehet lényeges).Menjen át a rendszeren egyetlen foton, ennek 50-50% eséllyel bármelyik ág lehet a tényleges útja.A φ fázistolás helyén legyen vagy bomba, vagy vaktöltény. Utóbbi nem okoz fázistolást, el®bbifotonnal való kölcsönhatás esetén robban, és így lokalizálja a fotont, így az interferencia lehet®sége

35

megsz¶nik. Ezek után, ha vaktöltényünk van, akkor nincs fázistolás, és mindenképpen a 17.c ábra1. számú detektora jelez. Ha bomba volt a φ helyen, akkor 50% eséllyel felrobban ha a foton azalsó ágon ment. Ha a foton a fels® ágon megy, akkor viszont 25%-25% eséllyel az 1. vagy a 2.detektor szólal meg a bomba útjának választása interferál a másik út választásával. Ha tehát a2. detektor jelez, ez csak úgy történhetett, ha volt bomba. Ha az 1. detektor jelzett, akkor meg-ismételhetjük a kísérletet, amíg vagy bombarobbanás nem történik, vagy a 2. detektor nem jelez.Így határesetben 50% eséllyel robbantás nélkül is tudtuk észlelni a bomba jelenlétét. A kísérletetZeilinger és csoportja jóvoltából a gyakorlatban is végrehajtották, és még hatékonyabb észlelésilehet®ségre is javaslatot tettek (az egyes ágakon sok kört megtev® fotonokkal).

Végezetül érdemes megemlíteni azt is, hogy noha a fenti kísérletekben mindig egyetlen fotoninterferált önmagával (vagyis inkább a lehet®ségek interferáltak), két vagy több foton interferenciájais bekövetkezhet, BoseEinstein-korrelációk esetében. Ez azonban túlmutat jelen kurzus anyagán.

4.6. Az elektromágneses tér termodinamikája

A XIX. század közepére világos volt, hogy egy, a környezeténél melegebb test több h®sugárzástbocsát ki, mint amennyit elnyel, míg egy hidegebb test többet nyel el, mint amennyit kisugároz.Ez azt jelentette tehát, hogy a h®sugárzás az a mechanizmus, amellyel a testek a környezetükkelh®mérsékleti egyensúlyba kerülhetnek. A h®mérsékleti sugárzásra az els® fontos törvényt 1859-benKirchho írta le. Eszerint Eλ, a környezetével egyensúlyban lév® test hullámhosszegységre vetítettenergias¶r¶sége λ hullámhosszon:

Eλ = AλKλ(T ), (137)

ahol Aλ a testre jellemz® állandó, mígKλ(T ) csak a h®mérséklett®l függ® állandó, amely független atest alakjától vagy h®mérsékletét®l. Bevezette a teljesen elnyel® feketetest fogalmát, amelyre Aλ =1. Eszerint tehátKλ(T ) a feketetest által kisugárzott energias¶r¶ség. Általában ehelyett a spektráliss¶r¶séget vesszük, amely az id®egységre, felületegységre, térszögegységre és hullámhosszegységre(vagy frekvenciaegységre) vetített energia, Iλ vagy Iν . Stefan 1879-ben és diákja, Boltzmann 1884-ben (Tyndall mérései alapján) azt állította, hogy a teljes kisugárzott energia, azaz

∫Kλ(T )dλ ∝ T 4.

Wien és Paschen 1885-ben ebb®l és kísérleti adatokból levezették, hogy a sugárzás spektrumaλ−5 exp(−a/λT ) alakot kell, hogy öltsön ez azonban kis hullámhosszakra téves eredményt adott.

Noha ekkor még nem volt világos, hogy mib®l áll a h®mérsékleti sugárzás, a spektrumára(spektrális s¶r¶ségére) ugyanakkor többféle jóslat is született, ahogy korábban (a 7. ábrán) isláttuk:

Iλ(λ) =2hc2

λ5e−

hcλkT (Wien, 1896), (138)

Iλ(λ) =2ckT

λ4(Rayleigh-Jeans, 1900), (139)

Iλ(λ) =2c2

λ5

h

ehcλkT − 1

(Planck, 1900). (140)

Termodinamikai megfontolások alapján könnyen láthatjuk, hogyan adódik az els® két jóslat. Mintaz ismert, a h®mérséklet az energia entrópia szerinti deriváltja, azaz

∂S

∂E=

1

T, azaz

∂2S

∂E2=

∂

∂E

1

T(141)

Mivel a XIX. század végére üregrezonátor sugárzásából a ∂2ES = −C1/E mérési eredmény volt

ismert (ahol C1 a mérésb®l adódó paraméter), ebb®l ∂E(1/T ) = −C1/E és E = E0 exp(−1/C1T )eredeztethet®, a Rayleigh-Jeans törvénynek megfelel®en. Ugyanakkor újabb mérési eredmények(Lummer és Pringsheim, 1900) ∂2

ES = −C2/E2 összefüggést javasoltak, amely viszont E = C2T

következik. Planck ezt a két összefüggést házasította, feltéve, hogy ∂2ES = −C3/(E(β+E)) a helyes

összefüggés (amely interpolál a két fenti eredmény között). Ebb®l pedig E = β/(exp(β/C3E)− 1)adódik. A XIX. század végén, amikor ezeket a törvényeket levezették, alapvet®en termodinamikaiösszefüggésekre építettek, többek között a frissen bevezetett entrópiára vonatkozó összefüggések-kel operálva. Ehelyett a következ®kben egyszer¶bb formában vizsgáljuk meg, hogyan vezethet®ekle a fentiek.

36

Induljunk ki a Kirchho által bevezetett feketetest fogalmából. Legyen ez a feketetest egykonstans T h®mérséklet¶ üreg nyílása, és legyen az üreg fala egyensúlyban az üregen belül lév®sugárzással. Tegyük fel, hogy a T h®mérséklet¶ fallal egyensúlyban lév® sugárzási tér állóhullámokszuperpozíciójaként írható le. Van ekkor tehát egy L oldalhosszúságú, V = L3 térfogatú üregünk.Ebben az állóhullámok A(t) sin k1x sin k2y sin k3z alakúak, ahol kiL = niπ, azaz L hosszúságonéppen félegész hullámok jönnek létre. A hullámegyenlet elárulja ezen hullámok (kör)frekvenciájátis: ha A(t) = A0 sinωt, akkor

ω2 =c2π2

L2(n2

1 + n22 + n2

3). (142)

Legyen a [0, ω] tartományban lév® módusok száma N(ω), és g(ω) a módusok s¶r¶sége. Ezeket az

N(ω) =

ω∫0

g (143)

összefüggés köti össze. Adott ω körfrekvencia alatt azon módusok férnek el, amelyekre

n21 + n2

2 + n23 ≤

ω2L2

c2π2. (144)

Ez tehát a módusok terében egy R = ωL/cπ sugarú gömb, amelynek (az n1 > 0 pozitív nyolcad-gömbben) térfogata egyúttal a benne lév® egész számhármasok számát is megadja:

N(ω) =1

8

4R3π

3=

ω3V

6c3π2=

4πν3V

3c3=

4πV

3λ3, (145)

ahol az eredményt a ν frekvenciával és a λ hullámhosszal is kifejeztük. Ebb®l deriválással a gs¶r¶ség is megkapható, ha gyelembe vesszük, hogy az elektromágneses sugárzás két különböz®polaritással is rendelkezhet:

g(ν)dν =8πν2

c3V dν, avagy g(λ)dλ =

8π

λ4V dλ. (146)

Vegyük észre itt, hogy dierenciális eloszlás esetén ν → λ áttérés esetén a ν = c/λ átváltásonkívül a dν/dλ = c/λ2 faktorral (Jacobi-determinánssal) való szorzásra is szükség van. Tegyükfel most az ekvipartíció tételét kiterjesztve, hogy minden osczillátormódusra kT jut, hiszen egyoszcillátornak két szabadsági foka van (a hely és a sebesség), ahogy az a XIX. század végénközismert volt de gondolhatunk itt az elektromos és a mágneses térre, mint két módusra is(ugyanis ilyenkor a Lagrange-függvényben, avagy az energia kifejezésében szerepl® négyzetes tagokszámítanak). Ekkor a frekvenciára vetített energias¶r¶ség E(ν) = g(ν)kT = (8π/c3)ν2kTV , avagya térfogat- és frekvenciaegységre vetített energias¶r¶ség

ρ(ν)dν =8πν2

c3kTdν, avagy ρ(λ)dλ =

8πkT

λ4dλ (147)

Ez a Rayleigh-Jeans törvény tulajdonképpen, ha 4π térszögegységre vetítjük, és a sugárzás c sebes-ségével szorzunk, hogy térfogategységre es® energias¶r¶ségb®l id®- és felületegységre es® teljesít-ménys¶r¶séget kapjunk. Ebb®l azonban, ahogy korábban említettük, végtelen mennyiség¶ összesenergia adódik, ahogy ezt az limν→∞N(ν) =∞ összefüggés is mutatja (amelyb®l ρ-t is kiszámol-tuk).

4.7. A Planck-törvény levezetése és alkalmazásai

Nézzük meg, hogy az el®z®eket hogyan kell módosítani, hogy a helyes Planck-törvényre jussunk. Ahagyományosan Lorentznek tulajdonított levezetés nyomán vizsgáljuk meg, hogy mi adódik a kvan-tumelméletb®l az egyes módusok energiájára: az ε = kT feltevésb®l ugyanis helytelen eredményrejutottunk. Az oszcillátorokra (a régi kvantumelméletben) korábban is levezetett kvantumfelté-telb®l induljunk ki, eszerint adott frekvenciájú módusban En = n~ω = nhν energiájú állapotok

37

18. ábra. A Nap spektruma az atmoszféra hatása el®tt és után, egy Planck-spektrummal összevet-ve (balra), illetve a kozmikus mikrohullámú sugárzás COBE által mért spektruma, a WMAP és aCOBE/FIRAS sebesség- és kalibrációs adatok segítségével kiszámolt Planck-spektrummal (jobb-ra; az ábra forrása: ApJ.707:916,2009). Míg el®bbi csak nagy vonalakban követi a kb. 5800 Kh®mérsékletnek megfelel® eloszlást, utóbbi igen pontosan 2.726 K h®mérsékletnek felel meg.

lehetnek. A Boltzmann-féle statisztikát itt is alkalmazva arra jutunk, hogy egy energiaszint betöl-töttsége Nn = exp(−βEn)/Z, ahol Z =

∑n exp(−βEn) az állapotösszeg. Figyelembe véve itt is,

hogy β = 1/kT és En = nhν ebb®l Z = 1/(1− exp(−hν/kT )) adódik, és innen

Nn = e−nhν/kT(

1− e−hν/kT), azaz (148)

〈E〉 =∑n

EnNn =hν

ehν/kT − 1=

hc/λ

ehc/λkT − 1(149)

az átlagos energia. Ha most a Rayleigh-Jeans törvény levezetésénél E(ν) = g(ν)kT helyett E(ν) =g(ν)〈E〉 kifejezést alkalmazunk, akkor az energias¶r¶ségre

ρ(ν)dν =8π

c3hν3

ehν/kT − 1dν, avagy ρ(λ)dλ =

8πhc

λ5

1

ehc/λkT − 1dλ (150)

amelyb®l c-vel és 4π térszöggel szorzással adódik a spektrális s¶r¶ség

Iν(ν) =2hν3

c21

ehν/kT − 1dν, avagy Iλ(λ) =

2hc2

λ5

1

ehc/λkT − 1dλ (151)

Ez a Planck-törvény, amelyhez fel kellett tennünk, hogy az oszcillátorok energiája csak diszk-rét értékeket vehet fel. A Rayleigh-Jeans levezetés során azt használtuk ki, hogy az oszcillátorokfrekvenciája ν = c2π/2L2(n2

1 + n22 + n2

3) lehetséges értékeket vesz fel, kés®bb pedig azt, hogy egyilyen körfrekvenciájú állapot nhν energiaadagokat vehet fel, és a legvalószín¶bb eloszlás mellett azátlagos energiája hν/(exp(hν/kT )− 1).

Fontos megemlíteni, hogy ilyen spektrumú sugárzást nagyon nehéz el®állítani, ugyanis a su-gárzás tartalmazni fogja az üreg falának atomjainak spektrumát is. A Nap elektromágneses su-gárzásának spektruma nagyon különbözik ett®l, míg a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás elégpontosan egy 2.726 K h®mérséklet¶ Planck-görbét követ, ahogy az a 18. ábrán is látható. Ennekmagyarázata az, hogy az ®srobbanás után kb. 230 ezer évvel az univerzum kb. 3000 K h®mérsékle-t¶re h¶lt, és ekkor megsz¶nt a termikus egyensúly a sugárzás és az anyag között, a protonok és azelektronok rekombinálódtak, hidrogénatomokat létrehozva. A 3000 K h®mérséklet¶ sugárzás ígyháborítatlanul tölthette ki a teret, és terjedhetett minden irányban. A tér tágulása miatt ma ezt je-lent®s vöröseltolódással észleljük, 2.726 K h®mérséklet¶ Planck-görbének megfelel®en. A kozmikusmikrohullámú háttérsugárzás Planck-jóslattól való eltérését is részletesen vizsgálják, kozmológiaimodellek jóslatait lehet ezzel tesztelni.

38

A sugárzás felület-, id®- és térszögegységre vetített intenzitását a frekvenciákra való integrálássalkaphatjuk meg, y = hν/kT (azaz dν = kTdy/h) helyettesítéssel:∫

Iν(ν)dν =

∫2hν3

c21

ehν/kT − 1dν =

2k4T 4

h3c2

∫y3 1

ey − 1dy =

2k4π4T 4

15c2h3, (152)

ahol kihasználtuk, hogy az y-ra vett integrál értéke π4/15. Ha a térszögre is integrálunk, akkorkiderül, hogy még egy π faktor is adódik, a térszögegység negyede (ugyanis egy feles faktor adódikabból, hogy a sugárzás csak az egyik térfélbe megy, illetve egy másik feles faktor abból, hogy abees® sugárzás mer®leges értékét kell vennünk). Ezt úgy is megérthetjük, ha észrevesszük, hogy egyadott felületr®l az adott irányba a kett® szögének koszinuszának arányában csökken (a Lambert-féle kibocsátási törvénynek megfelel®en). Ekkor a dΩ = sin θdθdφ térszögelem egy további cos θfaktorral szorzódik, és így az integrálási mérték a következ® lesz:

cos θ sin θdθdφ = sin 2θdθdφ =1

4sinϑdϑdφ, (153)

ahol bevezettük a ϑ = 2θ változót. Mivel az integrálás a θ = 0 . . . π/2 tartományon volt (a féltérmiatt), ez most ϑ = 0 . . . π lesz, és így formálisan a hagyományos térszögintegrált kaptuk vissza,egy egynegyed faktorral szorozva. Így megkapjuk, hogy a Stefan-Boltzmann törvény:

j = σT 4, ahol σ =2k4π5

15c2h3. (154)

4.8. A foton impulzusa, Doppleres h¶tés és Mössbauer-jelenség

Érdemes megemlíteni, hogy a foton impulzusa, ahogy a fény nyomásán keresztül látható, közvetle-nül a Maxwell-egyenletekb®l is levezethet®. Jól ismert, és fentebb is többször felhasználtuk, hogyadott elektromos (E) és mágneses (B) tér esetén a Poynting-vektor S = E ×B/µ0 értéket vesz fel,ahol µ a vákuum mágneses permeabilitásának állandója (amely egyébként atom- és kvantumzikaiegységekben µ0 = 1/c2ε0 = e2/2αhc). A Poynting-vektor az energiaáramlás er®sségét jelenti, azazaz adott felületegységen id®egységenként átment energiát. Valójában az elektromágneses tér qk tér-mennyiségeib®l (amelyek itt a négyespotenciál komponensei) kifejezett L Lagrange-függvényéb®l(vagy inkább Lagrange-s¶r¶ségéb®l) adódik a

T ij =∑k

∂iqk ∂L∂∂jqk

− δijL (155)

energia-impulzus-tenzor, és ennek kontinuitása (∂iT ij = 0) adja az Euler-Lagrange-egyenleteket.Az energia-impulzus-tenzor T i0 komponensei (a fénysebességgel osztva) éppen az impulzuss¶r¶-

séget jelentik, a fénysebességgel szorozva pedig (szimmetrikus energia-impulzus-tenzor esetén) azenergiaáram-s¶r¶séget, azaz a Poynting-vektort:

pi =T i0

c, p = ε0E×B (impulzuss¶r¶ség), (156)

Si = cT i0 = c2pi, S =1

µ0E×B (energiaáram-s¶r¶ség), (157)

u = T 00 = |S|/c = c|p| = ε02

(E2 + c2B2) (energias¶r¶ség). (158)

Ebb®l közvetlenül is adódik, hogy az impulzusáram nagysága tehát megegyezik az energias¶-r¶séggel, ezért az id®átlagolt Poynting-vektorból a sugárzás által kifejtett nyomás is kiszámol-ható: pnyomás = 〈|S|〉/c (az energias¶r¶ség osztva a sugárzás sebességével), azaz az id®egység alattfelületegységenként elnyelt energia (energiauxus) osztva a sebességgel. Ez a nyomás értelmezhet®a fotonok által átadott impulzusként is, és ekkor jön ki a korábban is említett p = E/c érték.Ez a relativitáselmélet értelmében a p =

√E2 −m2c4/c kifejezésb®l is adódik, a foton m = 0

tömege miatt.A foton impulzusát használjuk ki a lézerrel történ® Doppleres h¶tés során. Ennek lényege,

hogy egy adott sebességeloszlású (azaz h®mérséklet¶) atomcsomagot két irányból lézerrel megvi-lágítanak úgy, hogy a lézer frekvenciája valamivel az atom hiperfonom (ld. kés®bb) gerjesztési

39

energiája alá van hangolva. A sugárzás hatása az atom hatáskeresztmetszetével lesz arányos, amia renzoanciafrekvencián sok-sok nagyságrenddel nagyobb, mint egy kicsit is eltér® frekvencia esetén.Mivel itt a rezonanciafrekvencia alatt vagyunk, így a lézer nem ad át energiát az atomoknak, csakrugalmasan szóródhat, tehát nem növeli az átlagos h®mérsékletet. Ugyanakkor el®fordulhat, hogyegy atom éppen a lézerrel szemben mozogva lép egy fotonnal kölcsönhatásba ekkor a Doppler-eektus miatti kékeltolódás (blueshift) éppen megnövelheti a foton látszólagos frekvenciájátannyira, hogy az atom gerjeszt®dhessen. Mivel az elnyelt foton impulzussal is rendelkezett, azatom lelassulva megy tovább. Kés®bb persze kibocsátja újra a fotont, és ett®l egy kis, oldalirányúimpulzusra tesz szert, de rengeteg egymás utáni elnyelés és kibocsátás után ez kiátlagolódik, tehátaz atom impulzusa lecsökken. Az eddig tárgyalt lézerrel egy irányban mozgó atomok az ellentétesirányú lézerrel kerülnek szembe, így mindkét irányban lassulnak az atomok. Ha a tér mindháromirányában alkalmazunk egy-egy lézernyalábot, akkor végeredményben lecsökken a gáz h®mérsék-lete. Ekkor végeredményben a tér bármely irányában mozgó atomok egyfajta súrlódást éreznek,ezért ezt a módszert optikai melasznak is nevezik. Mivel a gerjesztési energiát legerjeszt®déskor kiis sugározzák az atomok, ezért van egy minimális h®mérséklet, amely az itt leírt Doppleres h¶tésselelérhet®: T = ~Γ/2kBoltzmann, ahol Γ a színképvonalak természetes szélessége. Ez az érték tipiku-san nagyságrendileg 10−3 K, de ez alá is lehet menni bizonyos továbbfejlesztett technikákkal, mintpéldául a Sziszifusz-h¶tés, ezeket azonban itt nem tárgyaljuk. Annyit megemlítünk, hogy ezekheza lézerre mer®leges irányban valahogy csapdázni is kell az atomokat, hogy az atomcsomag egybenmaradjon. Az ilyen csapdákat hívják magneto-optikai fogónak, amelyben két, egymással ellenté-tes irányú, cirkulárisan polarizált fénynyaláb és egy kifelé növekv® mágneses tér tartja egyben azatomcsomagot.

Ezen kívül érdemes megemlíteni a Mössbauer-eektust is, amely szintén a foton impulzusánalapul. Alapesetben egy atom által kibocsátott foton energiája valamivel kisebb, mint az átme-netben felszabadult energia: ez lecsökken az atom visszalök®désére fordított energiával, amelyneknagysága tipikusan jó közelítéssel E/2mc2, ahol E a gerjesztési energia és m az atom tömege. Haugyanakkor az álló atom elnyelne egy fotont, akkor a fotonenergiának magasabbnak kell lennie, mintaz átmenet energiaszintje: ismét az atom meglök®dése okozza az eltérést. Így álló (de nem rögzített)atom által kibocsátott fotont egy másik, szintén álló (és szintén nem rögzített) atom nem tudnáelnyelni, nem jön létre rezonáns abszorpció. Kiskaput jelent ugyanakkor a kés®bb tárgyalt határo-zatlanság: a gerjesztett állapot τ karakterisztikus élettartamának megfelel®en Γ = h/τ mértékbentermészetesen kiszélesednek az emissziós és abszorpciós vonalak szélességei. Ha még így semfednek át, akkor a Doppler-kiszélesedés érkezik segítségül: az atomok h®mozgása miatt mindiglesz olyan, a fotonnal szemben mozgó atom, amely mégis el tudja nyelni azt. Míg optikai (elektron-héjbeli) átmenetek esetén a határozatlanságból adódó kiszélesedés is már elegend® tipikusan, addigmagzikai átmeneteknél olyan nagy a visszalök®dés energiája (akár 10 − 100 eV nagyságú), hogyilyenkor csak a Doppler-kiszélesedés engedné meg, hogy az atomok újra elnyelhessék saját sugár-zásukat. Ezt kísérletileg Malmfors demonstrálta 1951-ben: a h®mérséklet növelésével megn®tt

a rezonáns abszorpció, azaz az atomok saját sugárzásának az elnyelése. Ezzel szemben Mössbauer1958-ban kristállyal végzett kísérleteiben furcsa jelenséget észlelt: a h®mérséklet csökkenésével

ismét n®ni kezd a rezonáns abszoprció valószín¶sége. Ennek magyarázata a Mössbauer-eektus,melynek során a fotont elnyel® atom a kristályban való rögzítettsége okán nem egyedül, hanem azegész kristállyal együtt lök®dik vissza, így a nagy tömeg miatt az elvitt mozgási energia igenkicsi lesz. A kvantumzikát is gyelembe véve kiderül, hogy a kristály persze nem csak egészébenmeglök®dni tud, de kvantált globális rezgési gerjesztései is vannak, az úgynevezett fononok . Alegkisebb ilyen fononenergia alatti fotonenergia esetén (gyeljünk az egyetlen bet¶ különbségre akét szó között) a kristály nem tud gerjeszt®dni, így minimális lesz a visszalök®dés, így lesz esélya rezonáns abszorpcióra. Valójában nincsen ilyen legkisebb fononenergia, a fononok spektrumafolytonosan eltart nulláig, ugyanakkor alacsony h®mérsékleten mégis egyre növekv® esélye lesz afonongerjesztés-mentes abszorpciónak.

40

5. Anyaghullámok

5.1. Elektronok elhajlása

A fentiekben részletesen láttuk tehát, hogy az elektromágneses hullámok hol hullám, hol részecske-természetüket mutatják, nem lehet a kett® között dönteni, hanem új elméletet kell létrehozni. Azelektron ezzel szemben eddig csak részecskeként viselkedett, lehet-e, hogy ennek is van hullámtulaj-donsága? A fénynél λ = h/p, igaz lehet valami hasonló részecskékre is? Louis de Broglie javasoltaezt 1924-ben, ezért ezt de Broglie-hipotézisnek hívjuk. A redukált Planck-állandóval p = ~k.

1927-ben végezték el a Davisson-Germer kísérletet (lásd a 19. ábrát illetve az eredetiPhys.Rev.30 (1927) 705 publikációt), amelynek során vákuumcsövek elektródjainak szekunderelektron-emisszióját mérték. Elektronnyalábot irányítottak egy nikkel céltárgyra, hogy az atomokelektromos terét, illetve a felület szerkezetét vizsgálják, csak a rugalmasan szórt elektronokat vizs-gálva. Arra számítottak, hogy az elektronok számára még a legsimább kristályfelület is felbonthatóaz atomos szerkezet miatt, és így err®l lehet információt szerezni a szögeloszlásból.

A kísérlet során oxigén került a vákuumcs®be, amely oxidréteget képzett a nikkel felületen.Ezt magas h®mérsékletre való f¶téssel érték el, nem tudván, hogy a nikkel korábban polikristá-lyos szerkezete egykristállyá változik így, illetve az elektronnyaláb számára azonos kristályfelületfog látszódni. Az újra elvégzett kísérletben már a kristálysíkok befolyásolták az elektronszórást.Ahogy a 4.1. fejezetben is említettük, 1913 óta (Laue és Bragg munkája alapján) ismert volt, hogyilyenkor röntgensugaraknál az interferenciamintázatban nλ = 2d sin θ hullámhosszaknál maximu-mok jelentkeznek, ahol θ a bejöv® sugárzás kristálysíkkal bezárt szöge, és φ = π−2θ a szórás szöge.A feltétel oka, hogy a 19. ábrának megfelel®en az útkülönbség (a sugárzásra mer®leges felületek-hez képest mérve) egy oldalon éppen 2d sin θ, és ez akkor okoz er®sítést, ha ez a λ hullámhosszegész számú többszöröse. Ha ennek megfelel® mintázatot találnak az elektron-szórásban, akkorelektron-interferencia jött létre, tehát az anyag hullámként viselkedett!

54 V gyorsítófeszültség mellett a detektor φ = 50 fokos állásánál tapasztalták az els® intenzitás-maximumot, ami θ = 65 foknak felel meg, és így a nikkel 0,091 nm-es rácstávolságának ismeretébenλ = 2d sin θ = 0, 165 nm Ez elég jó egyezést adott a de Broglie hipotézissel:

λ =h

p=

h

mv=

h√2mE

=h√

2meU=

1, 225nm · V 1/2

√U

(159)

ami 54 V feszültségre 0,167 nm-t ad.Miután az er®sítés feltétele 2d sin θ = nλ, a hullámhossz pedig λ = h/

√2meU , innen az er®sí-

tésnek megfelel® feszültség

√U =

hn

2d sin θ√

2me= K · n, ahol K = konstans. (160)

Ha a kilép® nyaláb intenzitását vizsgáljuk ennél a x θ szögnél, akkor a gyorsítófeszültség gyöké-nek függvényében maximumokat tapasztalunk, méghozzá éppen a fenti K konstans egész számútöbbszöröseinél, ahogy az a 19. ábrán látható.

Fontos korrekció, hogy kis n esetén jelent®s eltérést tapasztalhatunk, ennek oka, hogy a kilépésimunkát is gyelembe kell venni. Itt λ = h/

√2me(U −W ), tehát U = K2n2 +W .

Kés®bbi kísérletek: kristály szélén való elhalás (Boersch, Naturwissenschaften 28 (1940) 709),áthaladó nyalábbal (Ruska, TEM, 1931, ezért 1986-ban Nobel-díjat kapott), mesterséges vonalrá-cson vagy szálakkal (Düker, Naturwissenschaften, 42 (1955) 41), kétréskísérlet (Jönsson, AmericanJournal of Physics 42 (1974) 4) és alacsony intenzitású nyalábokkal, akár egy elektronnal is

(Tonomura, American Journal of Physics 57 (1989) 117). Összességében az elektronok hullámtu-lajdonsága bizonyított, amelyet egyetlen elektron is mutat (ld. 20. ábra), és a hullámhossz nagypontossággal λ = h/p. A helyzet tehát hasonló az elektromágneses jelenségekhez. Felmerül a kér-dés, hogy ha kétutas interferenciánál a két úton egy-egy detektort helyezünk el, és a rendszerbenmindig csak egy foton van, akkor mindkét detektor megszólal-e. Ilyenkor azonban mindig csak azegyik detektor szólal meg: lehetetlen interferenciát meggyelni és az elektron útját is követni!

41

19. ábra. A Davisson-Germer kísérlet felépítése, eredménye és magyarázata

20. ábra. Egyelektronos interferencia. A jobb oldalt ábrázolt mintázat kialakulására 20 percetkellett várni. Az ábra a Hitachi Ltd weboldaláról származik, az eredeti kísérletet a Tonomura etal., American Journal of Physics 57 (1989) 117 publikáció mutatta be.

5.2. Atom- és molekulanyalábok elhajlása

Fontos kérdés, hogy az anyagnak általában van-e hullámtulajdonsága, vagy az elektron spe-ciális mikrorészecske ilyen szempontból? Ez ma is aktívan kutatott terület (bár egyértelm¶en aztgondoljuk, hogy minden anyagdarab mutatja ezt a viselkedést), és a Nature címlapjára lehet kerülniilyen tárgyú kísérletekkel ma is.

Az Otto Stern által kifejlesztett molekulanyalábos módszerrel 1929-ben sikerült kimutatni ezta jelenséget. Adott h®mérséklet¶ gázban az atomok átlagos hullámhossza λ = h/

√3mkT , azaz 300

K h®mérséklet¶ He gáz esetén (tudva, hogy 1 K kb. 86 µeV-nak felel meg, a He tömege pedig 3,73GeV/c2, míg h =197 MeVfm/c) λ = 0, 01 nm, H2 gázban 0,016 nm, tehát elég alacsony sebességesetén is nagy hullámhosszat kapunk.

A fontos kísérleti különbség az, hogy ezek a nyalábok nem hatolnak be az anyagba, csak a felületiréteggel lépnek kapcsolatba, így kétdimenziós rácson való dirakciót kell gyelembe venni. Itt azútkülönbségb®l φ0 szög¶ bejöv® és φ szög¶ kimen® nyaláb esetén a(cosφ− cosφ0) = nλ esetén vaninterferencia. Ha a nyaláb a rácsnak megfelel® síkban esik be, egyébként külön a két rács-iránybanlehet vizsgálni a szögeltérést, tehát ekkor a(cosφ− cosφ0) = nxλ és a(cosψ− cosψ0) = nyλ eseténvan er®sítés, utóbbi feltétel ψ = ψ0 = π/2 esetén elt¶nik. Az els® er®sítés szimmetria esetén van,ahol φ = φ0 (azaz n = 0), további maximumok n = 1, 2, . . . esetén.

Konkrétan H2 és He szórást vizsgáltak alkáli-halogén sókristályon, és tényleg meggyelték azn = 1-hez tartozó csúcsokat. A kísérletek nehezek, mert monoenergiás nyaláb és pontos detektorkell, de megállapítható, hogy a hullámviselkedés az anyag általános tulajdonsága.

Ma is kutatott terület ez, például 1999-ben fullerénekkel gyelték meg (C60 nyalábbal, 900K-nek megfelel® energiánál, ahol a sebesség átlagosan 210 m/s, a hullámhossz kb 2.5 pm, azazlényegesen kisebb az 1 nm-es méretnél). Ez elméletileg nagyon érdekes, mert a C60 molekulának174 vibrációs módusa van, és szinte szilárd testként tud feketetest-sugárzást kibocsátani, nemkezelhet® egyszer¶ rendszerként. A kísérletek során 100 nm-es SiN rácsot alkalmaztak, majd 1méternyi szabad út után Argon-ion lézerrel ionizálva a molekulákat, detektálhatták ®ket (21. ábra).Egyértelm¶en interferenciavonalakat láttak, az elmélet és a kísérlet jó egyezést mutatott, noha amolekulák bonyolultak, er®sen gerjesztettek, széles sebesség-eloszlással rendelkeznek, és többféle

42

21. ábra. Bal oldalt a C60 molekulák interferenciáját kimutató kísérlet és a meggyelt mintá-zat, ráccsal (van interferencia) és rács nélkül (nincs interferencia). Jobbra Jumann egymolekulásinterferencia-kísérletének eredménye.

izotóp volt a mintában. A hiba javarészt a kollimáció hiányából, a sebességeloszlás szélességéb®l ésa résvastagság bizonytalanságából adódik.

Egymolekulás interferenciát is sikerült létrehozni (Jumann, 2012). A kísérletben > 1000 tö-megegységnyi molekulákat (ftálocianin származékokat) 10 nm vastagságú anyagba vágott rácsrairányítottak egyesével, és ténylegesen meggyelték az interferenciakép kialakulását, lásd a 21. ábrajobb oldalán.

Az elmúlt években sikerült egy atom különböz® atomi állapotainak interferenciáját is kimu-tatni (Parazzoli, 2012) Itt egy MachZehnder-jelleg¶ interferométerben vizsgáltak egy lézercsipesz(optical tweezer) segítségével szabadesésbe helyezett cézium atomot. Tükrök helyett fényimpulzu-sokat használtak, amelyek Raman-átmenetre kényszerítik a cézium atomot. Ezen átmenet soránahol a szórt foton energiájának egy része az atomot gerjeszti, és csökkent energiájú foton haladtovább, jelen esetben hipernom gerjesztésr®l van szó, az F = 3 ill. F = 4 állapotokról, ennekjelentését lásd a hidrogénatomról szóló fejezetben (de itt is megemlítünk annyit, hogy az állapota mag- és az elektronperdület egymáshoz viszonyított irányától függ). Ezután az atom a két hi-pernom állapot koherens szuperpozíciójába kerül, amelyek között ~keff impulzuskülönbség van,ahol keff a Raman-gerjeszt® fény hullámszámvektora. Az impulzuskülönbség miatt a két állapottávolsága x(t) = ~kefft/m módon növekszik, egészen 3.5 µm értékig. Ezután további impulzusokkalújra egymás felé irányítják az atom két állapotát, amelyek rekombinálódnak, majd a lézercsipeszsegítségével befogódik az atom, és így a két állapot közötti fázistolás lemérhet®. A folyamat soránösszegy¶jtött fáziseltérést®l függ®en az interferométerben vagy jelentkezik az atom hatása, vagynem. 813 egyedi atom vizsgálata után szépen kirajzolódik az interferenciamintázat (a fázistolásfüggvényében észlelt kumulált atomszám az F = 3 állapotban). A kísérletet a 22. ábra illusztrálja.

Neutronokkal is végeztek hasonló kísérletet (Rauch, 1974), reaktorból származó alacsonyenergi-ás, monokromatikus neutronokkal. Itt is lényegében MachZehnder-interferométert használtak, detükrök helyett természetesen más módszert kellett alkalmazni. A 0.6%-os pontosságon belül mo-nokromatikus, λ = 2 Åhullámhosszú nyalábot monolitikus, tökéletes szilíciumkristályon történ®kett®s töréssel osztották két részre (érdekességképpen megemlíthetjük, hogy a Wacker-Chemitronicáltal növesztett egykristály 8 cm átmér®j¶ és 7 cm hosszú volt, és ebb®l alakították ki a kísérletiberendezést), majd egyesítették újra egy-egy közbens® fallal, ahogy az a 23. ábrán is látható. Alétrehozott struktúráknak a rácsállandónak megfelel® skálán belül párhuzamosnak kellett lennie.Ekkor az egyenesen továbbhaladó és az eltérül® nyaláb intenzitását kiszámítva valóban az útkü-lönbségb®l adódó fázistolás adja meg, hogy konstruktív vagy destruktív interferencia jön-e létre. Haa nyaláb útjába valamilyen anyagot helyezünk, annak törésmutatója a bc koherens szórási hossztól,a neutronok λ hullámhosszától és az anyagban lév® atomok ν s¶r¶ségét®l függ®en

n = 1− λ2(Nbc/2π) (161)

lesz. Ezzel kifejezhet® a fázistolás:

∆φ = (1− n)2πD/λ = λNbcD (162)

43

22. ábra. A Parazzoli-féle egyatomos interferenciakísérlet elrendezése (balra) és eredménye (jobbra).Az ábra forrása a Phys.Rev.Lett109,230401(2012) publikáció.

23. ábra. A Rauch-féle neutronnyalábos interferenciakísérlet elrendezése (balra) és eredménye (jobb-ra). Az elrendezésben S-sel jelölt nyalábosztó (splitter) után az M tükör (mirror) következik,majd az A analizáló. Az alumíniumlap elfordulását az ε szög jelzi. Az egyes struktúrák távolsága27, 2936 ± 0.0009 mm volt, míg a méretük 4.3954 ± 0.0008 mm. A jobb oldali grakonon a nya-láb útjába helyezett alumíniumlemez okozta fáziseltérés függvényében ábrázolták a két detektáltnyaláb intenzitását.Az ábra forrása a Phys.Lett.47A,369(1974) publikáció.

és végül a ∆D optikai hossz az útban elhelyezett alumíniumlap ε forgatásával variálható, annakszögével kifejezhet®, ha θB a Bragg-szög. Ennek függvényében mérték az intenzitást, és a 23. ábrajobb oldalán látható, cos ∆φ jelleg¶ oszcillációt tapasztalták. Érdekesség, hogy a gravitáció szerepeis kimutatható, ha az elrendezést a bejöv® nyalábút mentén elforgatjuk. Ekkor az egyik ágon anyaláb az út egy részét magasabb gravitációs potenciálon tölti, és így kisebb lesz itt a hullámszáma,k′2 = k2−2m2gh/~2 mértékben (ahol h a magasság, g a gravitációs gyorsulás értéke. Emiatt azonoss úton is (k − k′)s fáziseltérés lesz amely kimutatható a megjelen® interferenciamintázatban! Arészletek megtalálhatóak Colella, Overhauser és Werner eredeti Phys. Rev. Letters 34 (23), 1472(1975) cikkében is. A kísérletet kés®bb (1980-ban) függ®leges bejöv® nyalábbal, és a függ®legestengely körül forgatott interferométerrel is megismételték. Ekkor a Coriolis-hatás jelenik meg, ésígy a függ®leges tengely körüli forgásszögének függvényében változni fog az egyes detektorokbanészlelt intenzitás ezt a kísérletet Straudenmann, Werner, Colella és Overhauser Phys. Rev. A21(1980) 1419 cikke írja le. Mindezek elolvashatóak Patkós András Bevezetés a kvantumzikába c.könyvében is.

44

24. ábra. Adott Ψ(x)-hez tartozó A(k) eloszlások. Nem lehet mindkett®t lokalizálni, azaz létezikegy határozatlansági reláció, ∆x∆k ≥ 1/2 vagy ∆x∆p ≥ ~/2.

5.3. Terjedési amplitúdó és hullámfüggvény

Az anyaghullámok tehát kísérleti tényként kezelend®ek, a kísérletek megkövetelik, hogy arészecskékhez interferenciaképes amplitúdót kell hozzárendelni. Próbáljuk meg az anyaghullámokataz elektromágneses hullámoknak megfelel®en kidolgozni. A kétrés-kísérletben a két nyaláb id®belifejl®dése (például az elektromos térer®sségé) egy adott térbeli pontban

A1 = a1ei(ωt+φ1) és (163)

A2 = a2ei(ωt+φ2), (164)

azaz a fáziskülönbség δ = φ2 − φ1. Ekkor az erny®n mért intenzitás az amplitúdó négyzete:

I12 = |A1 +A2|2 =∣∣eiωt∣∣2 ∣∣∣a1eiφ1 + a2ei(φ1+δ)

∣∣∣2 = I1 + I2 + 2√I1I2 cos δ (165)

azaz I1 = I2 = I esetén 0 ≤ I12 ≤ 4I. Anyaghullámokkal hasonló a tapasztalat, de kérdés, hogymi az A mennyiség?

Ha bevezetünk egy P (x) megtalálási valószín¶ségs¶r¶séget (x és x + dx között P (x)dx),akkor ez lehetne az amplitúdó négyzete (ahogy az elektromágneses sugárzás esetén az intenzitásaz elektromos és/vagy a mágneses tér négyzetével arányos). Tehát legyen P (x) = |Ψ(x)|2, ahol Ψkomplex függvény.

Ha kísérletben észlelni próbáljuk (pl. fotocellával megmérjük), hogy melyik résen megy átaz elektron vagy a foton, és ezt koincidenciába kötjük a mintázattal, akkor szimplán az I =|A1|2 + |A2|2 = I1 + I2 értéket kapjuk vissza. Tehát csak akkor tapasztalunk interferenciát, hanem tudjuk, hogy az elektron/foton melyik utat választotta. Ha vizsgáljuk a részecske útját, ak-kor oszthatatlannak t¶nik, és választ a lehet®ségek között. Ha tehát több út lehetséges egy ré-szecske számára, akkor az egyes utak valószín¶ség-amplitúdói összeadódnak, és Ψ = Ψ1 + Ψ2, ésP = |Ψ1 + Ψ2|2. Ez több lehet®ségre is kiterjeszthet®, és akkor érvényes, ha nem lehet eldönteni,hogy melyik valósult meg. Ha eldönthet®, akkor P = |Ψ1|2 + |Ψ2|2.

Kérdés, hogy mit válasszunk Ψ alakjául (miel®tt matematikailag megalkothatnánk egy valódielméletet). A síkhullámnak megfelel®en lehetne Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt). Kérdés, hogy k és ω ho-gyan legyen megválasztva. Miután px − Et Lorentz-invariáns, azaz értelmes mennyiségnek t¶nik,válasszuk ezt, azaz legyen E = ~ω és p = ~k, ahogy de Broglie illetve a fotoeektus és egyébkísérletek nyomán láttuk, és ekkor

Ψ(x, t) = A exp

[i

~(px− Et)

]. (166)

Ha p és E határozott értéket vesz fel, akkor ez így nem lokalizálható térben és id®ben! Ha Ψ-túgy akarjuk megkonstruálni, hogy lokalizált részecskét adjon, akkor nem lehet határozott energi-át/impulzust megadni, márpedig csak lokalizált részecske észlelhet® és közvetíthet jelet!

5.4. Határozatlanság és hullámcsomagok

Ha két hullámot veszünk ω1 és ω2 frekvenciákkal (és k1 ill. k2 hullámszámvektorral), akkor azösszeadódás után 2 exp(i(k1 +k2)x− i(ω1 +ω2)t)/2) cos((∆kx−∆ωt)/2) hullámfüggvény jön létre,

45

a koszinuszos tag a görbe burkolója lesz, azaz egyfajta hullámcsomagot hoz létre. A burkolófázissebessége ∆ω/∆k lesz (ez az a sebesség, amellyel a fázis, azaz a maximumok helye halad),ez lesz valójában a csoportsebesség, a teljes hullám fázissebessége az összegek hányadosa lesz.Ekkor mindenesetre a részecske helye rögzített t esetén egy 2π/∆k intervallumon adott csak, tehát∆x∆k = 2π (mivel ∆kx/2 a cos argumentuma).

A valóságban, igazi hullámcsomagokban a hullámszámok egy tartományban folytonosan

vannak jelen, azaz megjelenik egy A(k) amplitúdó, azaz

Ψ(x) =1√2π

∫ ∞−∞

A(k)eikxdk (167)

A(k) =1√2π

∫ ∞−∞

Ψ(x)e−ikxdx (168)

tehát ezek egymás Fourier-transzformáltjai. Ekkor egy lokalizálatlan hullámfüggvényhez (sík-hullámhoz) egy Dirac-delta módon lokalizált A(k) tartozik és fordítva. Egy Gauss-görbe szer¶entérben lokalizált hullámfüggvényt egy inverz szélesség¶ A(k) Gauss-görbe ad, míg egy adott ∆kintervallumon konstans A(k)-hoz 4π/∆k szélesség¶ sinc hullámcsomag tartozik (amely még ezentúl is oszcillál, mint egyfajta csillapított oszcillátor), illetve a térben ∆x intervallumon konstansvalószín¶ségs¶r¶séggel lokalizált hullámcsomag impulzuseloszlása például szintén sinc jelleg¶,sin(k∆xπ)/k alakú függvényb®l állítható el® (pontosabban ez az A(k) eloszlás alakja, az impulzusvalószín¶ségs¶r¶sége ennek négyzete). Mindezeket a 24. ábra is mutatja, illetve az alábbiakban isösszefoglaljuk:

A(k) ∝ δ(k − k0)→ Ψ(x) ∝ eik0x (169)

A(k) ∝ eik(x−x0) → Ψ(x) ∝ δ(x− x0) (170)

A(k) ∝ χ[−∆k/2,∆k/2]

→ Ψ(x) ∝ sin(∆kxπ)

x(171)

A(k) ∝ sin(k∆xπ)

k→ Ψ(x) ∝ χ

[−∆x/2,∆x/2](172)

A(k) ∝ e−k2/∆k2

→ Ψ(x) ∝ e−x2∆k2/2, (173)

ahol χAaz A halmaz karakterisztikus függvényét jelöli, azaz egy intervallum esetén a doboz

függvényt. Ha 〈x〉 =∫x|Ψ(x)|2 és 〈k〉 =

∫k|A(k)|2 jelleg¶ várható értékek segítségével bevezetjük

általánosságban a hely- és hullámszám-bizonytalanság

∆x2 = 〈(x− 〈x〉)2〉, és (174)

∆k2 = 〈(k − 〈k〉)2 (175)

fogalmát, akkor kiderül, hogy bármely függvényre ∆x∆k alulról korlátos, és Gauss alaknál a leg-kisebb, itt ∆x∆k = 1/2, azaz

∆x∆p ≥ ~2

(176)

ez a Heisenberg-féle határozatlansági reláció, amely kiterjeszthet® az exp iωt tagra is:

∆E∆t ≥ ~2. (177)

A kvantumelmélet ezt még jobban megmutatja majd, hogy tehát az energiabizonytalanság ésa rendszer karakterisztikus ideje (pl. a részecske élettartama) nem lehet egyszerre nagyon kicsi,a kett® szorzata alulról korlátozott a fentiek szerint. A kvantumelméletben tehát nincsenek pon-tos koordináták, a pályafogalom értelmetlen, és egyes zikai mennyiségek nem határozhatóak megegyszerre. Kés®bb látjuk: a mérhet® mennyiségek operátorok, mérésük esetén a hullámfüggvény azoperátor sajátfüggvénye lesz, értéke pedig a sajátérték, és csak kommutáló operátoroknak megfe-lel® mennyiségek mérhet®ek egyszerre, mivel ezek sajátállapotai megegyeznek. A határozatlansága mikrovilág objektív törvényszer¶sége és nem a kísérletez® ügyetlensége, a mér®rendszer és azobjektum kölcsönhatása nem tarthat a nullához.

46

Az egyelektronos interferencia-kísérlet ténylegesen elvégezhet® (Feynman még azt írta, hogyezt még ugyan senki sem látta, de így kell, hogy legyen), és tényleg a pontosan azonos elektronokegyike itt csapódik be, a másik ott, és sok elektron alakítja ki az interferenciamintázatot, amelylényegében tényleg |Ψ|2i-nek megfelel®en adódik. Tehát az események valószín¶ségi jellege va-lahogy els®dleges tulajdonsága a zikának, vagy nem értjük valamely rejtett, de mérhet® változókid®beli fejl®dését? A zika a reprodukálható kísérleteken nyugszik, ugyanakkor csak átlagos vi-selkedés reprodukálódik (nem úgy, mint a kinetikus h®tanban, ahol csak nem tudjuk mindegyikrészecskét követni, hanem fundamentálisan, az elméletb®l következ® módon).

5.5. A kvantummechanika értelmezései, rejtett változók vizsgálata

Interpretációk lehetnek szükségesek a fentiek feldolgozásához. Ezekb®l sokféle van, az alábbi-akban néhány alapvet® verziót megemlítünk, hozzátéve, hogy ezek tárgyalása többnyire inkább atudománylozóa, mintsem a tudomány tárgykörébe tartozik.

A hullámfüggvény ténylegesen a térbeli töltéseloszlást jelenti. (Schrödinger) A hullámfüggvény nem jelent zikailag semmit szinte, csak valószín¶ségi amplitúdó, és mé-réskor a hullámfüggvényt vizsgáló tudat omlik össze egy adott kimenetelnek megfelel®en.(Koppenhága, Bohr és Heisenberg)

A hullámfüggvény omlik össze méréskor, és ezt a tudattal való kölcsönhatás okozza. (Neu-mann, Wigner)

Méréskor minden lehetséges összeomlott hullámfüggvény egyszerre megvalósul, emiatt avalóság mindig felhasad sok párhuzamos világra, valahányszor mérés történik. (Everett,Wheeler, DeWitt)

Nincs szükség interpretációra, shut up and calculate (instrumentalizmus, Mermin, Feyn-man)

A hullámfüggvény önmagában nem értelmezend®, csak egy sokaság részeként (statisztikusinterpretáció, Born)

A hullámfüggvény-összeomlások objektíven létrejönnek, a fekete lyukak ellentéteként egyfajtafehér lyukat jelentenek, és zikai határa van annak, hogy milyen méret felett beszélünkmérésr®l és összeomlásról, és mi alatt folytonos id®fejl®désr®l. (Penrose)

A kvantumelmélet nem teljes, és vannak valamilyen rejtett változók, amelyek id®beli fejl®dé-se adná meg a determinisztikus viselkedést (Isten nem kockajátékos, Einstein, de Brogie);Bohm konkrét elméletében van egy irányító egyenlet, amely kialakítja a részecske trajektó-riáját a hullámfüggvény által leírt valószín¶ségen belül.

Az utolsó pontot érinti EPR-paradoxon. Ezt a paradoxont Einstein, Podolsky és Rosen ál-lította fel, és az az alapgondolata, hogy ha (például egy pozitron-bomlás és annihiláció során)keletkezik egy fotonpár, akkor a perdületmegmaradás miatt a teljes spinjük (azaz perdületük)ismert, noha az egyik kiválasztott részecske spinje bármi lehet. Emiatt a két részecske állapotaösszefonódott, tehát ha megmérjük az egyik spinjét, akkor abból azonnal következtethetünk amásik spinjére is. A kétféle spinre elkent állapot egyetlen spin¶re összeomlik. Így azonban nemcsak a mért részecske, hanem a másik hullámfüggvénye is összeomlik, hiszen tudjuk a spinjét! Le-het azonban, hogy ez a másik részecske már közben nagy távolságba került az eredetit®l, mégisazonnal sajátállapotba kell kerülnie! Ez távolhatásnak t¶nik, ugyanakkor itt nem történik infor-mációtovábbítás, a másik részecskét meggyelve semmilyen változást nem látunk, hiszen ezt csakakkor tehetnénk, ha megmérnénk a spinjét, azonban ekkor amúgy is összeomlana a sajátállapota.

Talán még fontosabb, hogy megvizsgálhatjuk a két foton mért spinje közötti korrelációt. Errevonatkozik az alábbiakban vázolt kísérlet, amelyet a 25. ábra is illusztrál. A kísérlet lényege, hogya fent leírt, valamilyen konkrét irány szerinti felbontásban egyszerre fel (↑) és le (↓) állapotbanlév® részecskepár összes perdülete biztosan nulla, tehát ha az egyiket adott irányban fel perdület¶-nek mérjük, akkor a másik biztosan le perdületet adna, ha megmérnénk a perdületét ugyanabbanaz irányban. Jelöljük a teljes kísérlet kiementelét egy ab párral, ahol a, b = +,−, azaz ++ azt je-lenti, hogy mindkét részecskét + (fel) perdület¶nek mértük, +− azt, hogy az egyik +, a másik −eredményt adott. Mivel egyébként a perdületek iránya véletlenszer¶, ezért az esetek 50-50%-ában++ és −− események történnek. Ha bevezetjük az adott kimenetelek számát vagy arányát, akkorN+− = N−+ = 50%, és N++ = N−− = 0%, hiszen nem adhat azonos eredményt a két részecske

47

25. ábra. Az EPR-paradoxonra épített Bell-féle kísérlet.

amennyiben a két detektor azonos állásban van. Ha azonban a két detektor ellentétes irányban áll(azaz 180 szög van közöttük), akkor N+− = N−+ = 0%, és N++ = N−− = 50%, hiszen a lefe-lé álló detektorban le eredményt adó részecske perdülete valójában ekkor felfelé mutat, tehát amásik, felfelé mutató detektorban le eredményt kell kapnunk. Általánosságban viszont ilyen egy-szer¶en nem kapható meg az eredmény. Érdekes módon a klasszikus lokális valószín¶ségszámításszerint, rejtett változók által okozott spinbeállásból kiindulva, a 25. ábra grakonját látható szög-letes eredményt kapjuk míg kvantumzikai véletlenb®l kiindulva a szinuszos görbét. Az adatokpedig a második eshet®séget támasztják alá, azaz a kísérlet kizárja, hogy az a kísérlet eredményéta kiinduláskor már meghatározott, lokális kölcsönhatásokban résztvev® rejtett változók okozzák!

Ez tehát azt jelenti, hogy el kell fogadnunk, hogy a zika a fenti értelemben véve nem de-terminisztikus, azaz a kiindulóállapotból nem tudjuk meghatározni a kísérlet végeredményét, avéletlen szerepe megkerülhetetlen! Érdekes hozzáf¶zni, hogy valójában van egy kiút: a szuper-determinizmus, azaz hogy a kísérlet eredménye valahogy eleve elrendeltetett. Ekkor azonban azika törvényei csak annyiban írják le a világot, amennyiben egy épület alakját a tervrajz vagyegy színdarab történéseit a szövegkönyv: nem tudunk logikai alapon el®rejelzést tenni, legfeljebbfelismerni a tervez®/író gondolkodását. Ez azonban tulajdonképpen nem tudományos értelembenvett elmélet, hiszen nem ad tesztelhet® jóslatot, és így tulajdonképpen inkább a lozóa tárgyköré-be tartozik. Meg kell mindenesetre állapítanunk, hogy van három tulajdonsága a zikai világnak,amelyek közül (legalább) az egyik biztosan igaz:

indeterminisztikus,

nemlokális,

szuperdeterminisztikus.

A zikusok többsége (valószín¶leg, nem ismerek részletes, statisztikailag megalapozott felmérést atárgyban) az indeterminizmust választja, de ennek részletesebb tárgyalása kívül esik jelen kurzusés jegyzet keretein.

48

6. A kvantummechanika alapjai

6.1. A kvantummechanika matematikai képe

A kvantummechanika matematikai képe az, hogy egy részecske állapota egy Ψ(x) állapotfügg-vény. Ezen állapotfüggvények a M téren a Lebesgue-mérték szerint négyzetesen integrálható függ-vények Hilbert-teréb®l kerülnek ki, azaz

Ψ ∈ L2(M→ C) = H. (178)

Valójában ezt a teret, ahogy látni fogjuk, a disztribúciókkal ki kell egészítenünk, mert bizonyosállapotok nem lennének benne a fenti térben különben. A H Hilbert-téren a szorzat integrálja adjaa skalárszorzatot:

〈Ψ1,Ψ2〉 =

∫M

Ψ∗1Ψ2 (179)

A zikai mennyiségek pedig ezen a téren ható lineáris operátorok, azaz

A ∈ Lin(H). (180)

A lineáris operátoroknak vannak sajátállapotaik, amelyekre AΨ = AΨ, ahol az A szám az operá-tor sajátértéke. Egy zikai mennyiségnek az értéke egy adott részecskére (az energiája, impulzusa,helye stb.) akkor ad el®re tudható választ, ha a részecske a megfelel® operátor sajátállapotában van,és ekkor a mérés eredménye az ennek a mennyiségnek megfelel® operátor sajátértéke az állapoton.Egyéb esetben a mérés során a kvantummechanika szerint a meggyelt rendszer hullámfüggvényeösszeomlik, és a sok sajátállapot szuperpozíciója helyett egy adott sajátállapotba kerül. Ilyenkora mérés várható eredménye, azaz az adott zikai mennyiség várható értéke az operátor várhatóértékével egyezik meg:

〈A〉Ψ = 〈A〉Ψ = 〈Ψ, AΨ〉 =

∫Ψ∗AΨ. (181)

Ez alapján, az ∆A = A− 〈A〉Ψ operátor segítségével a szórást is deniálhatjuk:

(∆A)2Ψ = 〈∆A2〉Ψ = 〈A2〉Ψ − 〈A〉2Ψ, (182)

és ez lényegében az adott zikai mennyiség bizonytalansága a Ψ állapotban. Vegyük észre, hogymivel a zikai mennyiségek valós várható értékkel kell, hogy rendelkezzenek, így

〈Ψ, AΨ〉 = 〈Ψ, AΨ〉∗ = 〈AΨ,Ψ〉, (183)

ez utóbbi viszont éppen az A operátor adjungáltjának deníciója, így önadjungált operátorokatkell választanunk. Az önadjungált operátorok sok hasznos tulajdonsággal rendelkeznek, különöstekintettel arra, hogy a Φi sajátállapotaik ortogonális (megfelel® választás esetén ortonormált)rendszert alkotnak. Így egyrészt az operátor ebben a bázisban a λi sajátértékeib®l alkotott diago-nális mátrixként írható fel:

A =∑i

λiΦi 〈Φi| (184)

ahol használtuk a 〈Φ| : Ψ → 〈Φ,Ψ〉 jelölést. Másrészt az is igaz, hogy minden állapot kifejezhet®tetsz®leges zikai mennyiség sajátállapotai szerinti felbontásban:

Ψ =∑i

aiΦi ahol ai = 〈Ψ,Φi〉. (185)

Tiszta, avagy szórásmentes állapotnak azt nevezzük, amely valamely mennyiség sajátállapota, azazarra vonatkozóan a szórása nulla.

49

Ezen a ponton érdemes azt is észrevennünk, hogy általában AB 6= BA, és ez nem csak az értel-mezési tartományok különböz®sége miatt lehet, hanem egyszer¶en más értéket is adhat a kétféleszorzat. Az ilyen nem kommutáló operátorok különböz® sajátállapotokkal rendelkeznek. Ekkormindkett® egyszerre nem lehet teljesen meghatározott, hiszen Ψ csak egyiknek lehet sajátállapota(kivéve speciális eseteket, amikor a két operátor sajátállapotai között van átfedés). A fent említettszórásra általánosságban levezethet®, hogy tetsz®leges állapotban igaz a

(∆A)Ψ(∆B)Ψ ≥1

2|〈[A,B]〉Ψ| (186)

egyenl®tlenség, amely tulajdonképpen a Heisenberg-féle határozatlansági reláció általánosítása (ésnéha Robertson-féle határozatlansági relációnak is hívják). Ez megkapható például úgy, ha beve-zetünk egy

Φ = ((∆A)Ψ − iλ(∆B)Ψ) Ψ (187)

állapotot, tetsz®leges λ érték mellett. Mivel erre Φ2 ≥ 0, így a denícióból (és a következ® lépésbenaz adjungálás denícióját is kihasználva):

〈((∆A)Ψ − iλ(∆B)Ψ) Ψ, ((∆A)Ψ + iλ(∆B)Ψ) Ψ〉 ≥ 0, azaz (188)

(∆A)2Ψ + λ2(∆B)2

Ψ − iλ〈[∆A,∆B]〉Ψ ≥ 0, (189)

ahol felhasználtuk, hogy ∆A = A − 〈A〉Ψ (ezen operátor négyzetének várható értéke a szórás).Mivel azonban [∆A,∆B] = [A,B], amely önadjungált operátor, így várható értéke valós, és a fentiegyenl®tlenség bal oldalán egy valós kifejezés szerepel, amely kvadratikus λ-ban. Ez akkor nemlesz sosem negatív, ha nincs két valós gyöke (amelyek között különben negatív lenne), amely pedigakkor teljesül, ha a diszkrimináns nem pozitív. Ebb®l viszont éppen a fenti határozatlansági relációadódik! Érdemes megemlíteni, hogy a fentiek kicsit bonyolódnak, ha az A vagy B operátorok nema teljes H téren értelmezettek, ekkor furcsa ellenpéldák is adódhatnak, illetve lényeges az is, hogynoha [A,B] 6= 0, ez nem jelenti azt, hogy adott állapotban a várható értéke nem lehet nulla.

A Bohr-modell pályafogalma a fentiek miatt értelmetlen. A határozatlanságot gyelembe véve,ha ∆p = p/2 és ∆r = r, akkor jön ki a legkisebb perdület, pr = ~. A hidrogénatombeli elektronenergiája ekkor p2/2m−ke2/r, azaz ~2/(2mr2)−ke2/r. Tehát önmagában az r-nél kisebb térrészbezáráshoz szükséges energia és a Coulomb-energia összege (illetve az utóbbi negatív, hiszen annálkedvez®bb a helyzet, minél távolabb vagyunk a magtól) nem nulla, de rendelkezik egy minimummal,53 pm körül, ez éppen -13.6 eV! Tehát a Bohr-modell alapállapotbeli energiaszintje a pályafogalomnélkül is kijön, csak a határozatlanságból (és némi becslésb®l. . . ).

6.2. A zikai mennyiségeknek megfelel® operátorok

Kérdés ezek után, hogy hogyan deniáljuk az egyes zikai mennyiségeket jelent® operátorokat.El®ször is vizsgáljuk meg az impulzus esetét. Tudjuk, hogy erre p = ~k, és legyen egy A(k) hul-lámszámspektrummal rendelkez® állapotunk, amelyre

〈p〉 =

∫dkA∗(k)~kA(k) (190)

Ekkor A(k) helyére a Ψ(x) Fourier-transzformáltat helyettesítve a következ® adódik:

〈p〉 =1

2π

∫dk

∫dxΨ∗(x)eikx~k

∫dx′Ψ(x′)e−ikx

′(191)

=1

2π

∫dkdxdx′eikxΨ∗(x)Ψ(x′)i~

d

dx′e−ikx

′. (192)

Végezzünk itt el egy parciális integrálást, amellyel a deriválás (mínusz eggyel szorozva) átkerül azexponenciálisról Ψ-re (és további tagok nem jelennek meg, mivel Ψ négyzetesen integrálható, és

50

így elt¶nik a végtelenben). Használjuk ki ezen kívül azt is, hogy∫dkeikxe−ikx

′= 2πδ(x−x′), ezzel

〈p〉 =

∫dx′dxΨ∗(x)

(−i~ d

dx′

)Ψ(x′)δ(x− x′) (193)

=

∫dxΨ∗(x)

(−i~ d

dx

)Ψ(x) (194)

=

∫dxΨ∗(x)(pΨ)(x) (195)

amelyb®l közvetlenül adódik, hogy az impulzusoperátor

p : Ψ→ −i~∇Ψ (196)

módon adható meg (ahol ∇ a deriválást jelenti). Síkhullámok esetén ezt egyb®l láthatjuk, hogym¶ködik, ugyanis

peikx = −i~ d

dxeikx = ~keikx = peikx. (197)

Mindez több dimenzióban is érvényes, ekkor az impulzusoperátor a deriválásoperátornak felel megtovábbra is, de mindkett® vektor-operátor, azaz értéke az impulzustér és aH Hilbert-tér tenzorszor-zatában van. Koordináták bevezetésével így az impulzusoperátor komponensei az adott koordinátaszerinti deriválások lesznek. Figyeljük meg, hogy tulajdonképpen az A(k) hullámszámspektruméppen az impulzusoperátor sajátállapotai (a síkhullámok) szerinti felbontás együtthatói lesznek.Természetesen a fentieket az energiával való szorzásra is kiterjeszthetjük, és így E = i~∂t lesz azimpulzusoperátorhoz képest adódó el®jelkülönbség a relativisztikus négyesvektorok indexváltásábóladódik, ahogy az a px− Et vagy kx− ωt Lorentz-invariáns kifejezésekben is látszik.

Vegyük észre, hogy a síkhullámok nem elemei a fent deniált H Hilbert-térnek, mik akkor azimpulzusoperátor sajátállapotai a Hilbert-térben? Ezen kérdés vizsgálatához a fentieknél kicsit kor-rektebb matematikai kezelésre lenne szükség, de érdemes azért annyit megemlíteni, hogy ilyenkora fenti módon deniált, −i~∇ operátor adjungált kiterjesztését kell venni, és ezt azért tehetjükmeg, mert ∇ értelmezési tartománya s¶r¶ a Hilbert-téren. Az impulzusoperátor tehát valójábannem önadjungált, hanem szimmetrikus, azaz a Hilbert-térb®l az értelmezési tartományába tartozóΨ és Φ elemekre 〈Ψ, pΦ〉 = 〈pΨ,Φ〉. Egyúttal, mivel az adjungált kiterjesztése önadjungált, ígylényegében önadjungált is. Ugyanakkor nincsenek sajátvektorai és sajátértékei, de van spektruma,amelyet a korlátos operátorokra értelmezett spektrum deníciójából (azon λ értékek, amelyekreaz A − λid operátornak nincs korlátos inverze ez a halmaz tartalmazza a sajátértékek halma-zát) általánosíthatunk. Látjuk tehát, hogy a kvantummechanika matematikailag tényleg korrektmegfogalmazása korántsem olyan egyszer¶, mint ahogy zikus nyelven err®l beszélni szoktunk, deefelett a probléma felett, mint oly sok másik helyen és alkalommal, most is átsiklunk.

Vegyük észre inkább, hogy az impulzusoperátor az eltolásokkal igen egyszer¶ kapcsolatbanvan. Deniáljuk az M = R3 tér a vektora esetére D(a) eltolás-operátort, amely a Ψ-re hatva a(D(a)Ψ) (x) = Ψ(x + a) állapotot (hullámfüggvényt) hozza létre. Ha most egy innitezimális εeltolásvektort veszünk, arra

ε∇Ψ(x) = Ψ(x+ ε)−Ψ(x) miatt (198)

D(ε)Ψ = Ψ + (ε · ∇)Ψ = eε·∇Ψ (199)

lesz igaz, ahol kihasználtuk, hogy ε innitezimális. Itt természetesen ügyelnünk kellene a mate-matikai részletekre, de szerencsére ezt helyettünk más már megtette, így csak észrevesszük, hogyebb®l sok innitezimális eltolás összege esetén, véges eltolásokra is

D(a)Ψ = ea·∇Ψ = e−i~a·pΨ (200)

lesz igaz. Ilyen értelemben az impulzusoperátor az eltolások által (a kompozícióval, mint csoport-m¶velettel) alkotott csoport generátora!

Ezek után tegyük fel a kérdést, hogy hogyan adjuk meg a helyoperátort? Világos, hogy mivel|Ψ|2 a térbeli valószín¶ségs¶r¶ség, így

〈x〉 =

∫dxx|Ψ(x)|2 =

∫dxΨ∗(x)xΨ(x) =

∫dxΨ∗(x)(xΨ)(x), (201)

51

ahol folytatjuk a kicsit pongyola zikus-jelölést, hogy x a hely, mint zikai mennyiség értéke, ésx pedig a helyoperátor. Ebb®l világosan látszik, hogy a helyoperátor nem más, mint az x-szelszorzás, azaz

x : Ψ→ idM ·Ψ. (202)

és természetesen ez is vektor-jelleg¶ operátor, hiszenM egy vektortér. Mik a helyoperátor sajátálla-potai, azaz milyen állapotra igaz, hogy létezik olyan x0, amelyre xΨ(x) = x0Ψ(x) minden x-re? Eza δ(x− x0) állapot lesz, amely ugyan nem függvény, de a disztribúciók terében már értelmezhet®.Az id®re is kiterjeszthetjük a fentieket, ekkor az id®operátor a t-vel való szorzás lesz.

Vegyük észre, hogy általában a hely- és az impulzusoperátor komponensei egymás között fel-cserélhet®ek, azaz xy = yx és pxpy = pypx, ugyanakkor egymással nem: xpx 6= pxx. Konkrétan

[x, px] = i~idH, (203)

kanonikus kommutációs reláció adódik, amely tulajdonképpen megfelel a Heisenberg-féle ha-tározatlansági relációnak. Természetesen az id®re és az energiára is ugyanilyen határozatlanságireláció vonatkozik majd, amely szemléletesen azt jelenti, hogy E energiát t ideig kölcsönözhe-tünk, ha Et = ~/2.

Érdemes megemlíteni, hogy valójában a kvantummechanika eggyel korrektebb (matematikailagkonzisztensebb) leírása érhet® el, ha Borel-halmazokból, σ-véges mértékterekb®l, és az ezekkelalkotott projektormértékekb®l indulunk ki, ez azonban túlmutat jelen jegyzeten, s®t, talán azegész zikus-oktatáson érdekl®d®knek Matolcsi Tamás speciális el®adása illetve jegyzete ajánlhatógyelmébe.

6.3. A Schrödinger-egyenlet

Ha egy részecske egy adott, helyfügg® V (x) potenciális energia által kialakított térben (pl. gravi-tációs vagy elektromos helyzeti energia) vesz fel egy statikus állapotot, akkor E = Ekin + V (x).Tekintsünk az energiára és az impulzusra, mint operátorokra, ekkor

p2

2mΨ(x) + V (x)Ψ(x) = EΨ(x). (204)

Ha a részecske energia-sajátállapotban van, akkor HΨ = EΨ, és az így felírt H = E operátortHamilton-operátornak nevezzük, amely a rendszer teljes energiájának felel meg. Ezt gyelembevéve megkapjuk a Schrödinger egyenletet:

− ~2

2m∆Ψ(x) + V (x)Ψ(x) = EΨ(x) (205)

Itt tehát V (x) a részecske mozgását befolyásoló potenciál avagy energia. Potenciál nélkül a ahullámegyenletet kapjuk, és ebb®l Ψ(x)-re síkhullám alak adódik. Id®függ® potenciál vagy nemstatikus viselkedés esetén E = i~∂t, tehát(

− ~2

2m∆ + V (x, t)

)Ψ(x, t) = i~

∂

∂tΨ(x, t) (206)

de hogy az id®függést mely ponton engedjük meg, az már a kvantummechanikai képünk függvénye Heisenberg-képben avagy Heisenberg-reprezentációban csak az operátoroknak van id®függése,az állapotnak nincs, míg Schrödinger-képben az operátorok id®függetlenek és az állapotnak vanid®függése. Van egy harmadik, kölcsönhatási- avagy Dirac-kép is, ezekr®l azonban kés®bb, a kvan-tummechanika kurzuson tanulunk majd. Amennyiben a hullámfüggvény id®fejl®désére vagyunkkíváncsiak, akkor az i~∂tΨ = HΨ egyenletb®l

Ψ(t) = U(t)Ψ(0) = ei~ HtΨ(0) (207)

adódik, és ez írja le az id®fejl®dést. Érdemes észrevenni, hogy itt U unitér operátor, másrészt hogynem korlátos energia esetén matematikailag kicsit jobban oda kellhet gyelni, azonban számunkratöbbnyire megfelel® a fenti, egyszer¶sített kezelésmód.

52

Érdemes ugyanakkor feltenni a kérdést, hogy a Schrödinger-egyenlet által leírt folytonos id®-fejl®dés mellett miként értelmezhet® a nem folytonos hullámfüggvény-összeomlás, és pontosan miszámít mérésnek. Ez a téma jelenleg is aktívan kutatott, ugyanakkor (sajnos?) nem feltétlenül amainstream részecskezika része, még ha olyan elmék is foglalkoznak vele, mint 't Hooft vagyéppen Penrose.

További kiegészítésként megemlíthet®, hogy Feynman a Huygens-elvb®l (azaz hogy az új hul-lámfüggvény az el®z®b®l megkapható, a hullámfront minden pontja elemi hullámok kiindulópont-ja):

Ψ(x, t2) =

∫G(x, y)Ψ(y, t1)dy, ha t2 > t1 (208)

és az ebben szerepl® G(x, y) kernelbe Dirac ötlete alapján az S =∫L hatásból kapott exp(iS/~)

kifejezést helyettesítve vezette le a Schrödinger-egyenletet. Ennek részleteit lásd pl. D. Derbes Am.J. Phys. 64 (7), 881 (1996) cikkében.

6.4. A harmonikus oszcillátor

Vegyünk most egy

H =p2

2m+

1

2mω2x2 (209)

id®független Hamilton-operátorral (avagy energia-operátorral) rendelkez® harmonikus oszcillátort.Itt nem vezetjük le, de a Schrödinger-egyenlet megoldásai a

Ψn(x) =1√

2n n!·(mωπ~

)1/4

· exp

(−mωx

2

2~

)·Hn

(√mω

~x

), (210)

ahol n egész szám, a Hn(y) = (−1)ney2

∂ne−y2

függvények pedig a Hermite-polinomok. Az ezenállapotokhoz tartozó energiaszintek értékei

En = ~ω(n+

1

2

)(211)

lesznek. Deniáljuk ezek után a

X =

√mω

~x, P =

√1

m~ωp (212)

kanonikus változókat. Ezekkel

H =1

2~ω(X2 + P 2

)(213)

módon írható fel a Hamilton-operátor. Vezessük be ezután az

a =1√2

(X + iP

)(214)

operátort, amelynek adjungáltja

a† =1√2

(X − iP

)(215)

lesz, amely az skalárszorzat deníciója alapján parciális integrálással belátható. Ezen operátorokfontos tulajdonsága, hogy

aΨn =√nΨn−1, (216)

a†Ψn =√n+ 1Ψn, (217)

a†aΨn = n, (218)

53

26. ábra. Részecske áthaladása különféle helyfügg® potenciálokon.

azaz N = a†a egyfajta szám-operátor, amely megadja az energiaszint sorszámát. Ezekkel az a ésa† léptet® operátorokkal a Hamilton-operátorra (az id identitásoperátor bevezetve)

H =1

2~ω(a†a+ aa†

)= ~ω

(a†a+

id

2

), (219)

adódik, ugyanis [x, p] = i~id miatt[a†, a

]= id is igaz. Innen az is látszik, hogy a†a valójában az

energiaszint nagyságát is megadja, ~ω egységekben, a ~ω/2 zérusponti energiától eltekintve. A fentioperátorok azért is lényegesek, mert sok zikai probléma kezeléséhez elég ezeket és kommutációsrelációikat felhasználni, a Schrödinger-egyenlet vizsgálata nélkül.

6.5. A valószín¶ségi áram

Figyeljük meg, hogy mi adódik, ha a 206. Schrödinger-egyenletet megszorozzuk a Ψ∗ állapottal,illetve az egyenlet komplex-konjugáltját Ψ-vel, majd a két egyenlet különbségét vesszük. Ekkor azid®deriváltakból ez lesz:

i~(

Ψ∗(x, t)∂Ψ(x, t)

∂t+ Ψ(x, t)

∂Ψ∗(x, t)

∂t

)= i~

∂|Ψ(x, t)|2

∂t= i~∂tP (x, t), (220)

ami tulajdonképpen a valószín¶ségs¶r¶ség id®deriváltja. A Schrödinger-egyenlet másik oldala ese-tében a potenciállal arányos tagok kiesnek, és az alábbi marad:

− ~2

2m(Ψ∗∆Ψ−Ψ∆Ψ∗) = − ~2

2m∇ (Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗) = i~∇jP , (221)

ahol bevezettük a jP = i~(Ψ∇Ψ∗ −Ψ∗∇Ψ)/(2m) valószín¶ségi áramot, amelyre a fentiek alapján

∂tP +∇jP = 0 (222)

kontinuitási egyenlet adódik. Síkhullám esetében jP id®független, stacionárius, és mivel ∇Ψ = ikΨ,így

jP =i~2m

(−ik − ik)|Ψ|2 =~km

=p

m= v, (223)

azaz ilyenkor ez a részecske sebességével egyezik meg.

6.6. A Schrödinger-egyenlet alkalmazásai

A valószín¶ségi áramot, illetve a hullámfüggvény alakulását érdemes megvizsgálnunk különféle,szakadással rendelkez® potenciálok esetén (illusztrációnak lásd a 26. ábrát). Ilyenkor Ψ és ∇Ψ semszakad a határon, csak ∆Ψ. Ezt úgy láthatjuk be, ha felírjuk a Schrödinger-egyenletet, a határttartalmazó [x0 − ε, x0 + ε] intervallumra integrálva:

i~x0+ε∫x0−ε

∂

∂tΨ(x) = − ~2

2m

x0+ε∫x0−ε

∂2

∂x2Ψ(x) +

x0+ε∫x0−ε

V (x)Ψ(x), (224)

i~∂

∂t

x0+ε∫x0−ε

Ψ(x) = − ~2

2m

[∂

∂xΨ(x)

]x0+ε

x0−ε+ VI

x0∫x0−ε

Ψ(x) + VII

x0+ε∫x0

Ψ(x). (225)

54

Vegyük észre, hogy ha Ψ korlátos függvény, akkor az ε→ 0 határesetben az így adódó innitezimálisintervallumra vett integrálja nulla, amib®l ez adódik:

limε→0

[∂

∂xΨ(x)

∣∣∣∣x0−ε

− ∂

∂xΨ(x)

∣∣∣∣x0+ε

]= 0, (226)

azaz Ψ deriváltja folytonos a határon. Egyúttal itt említjük meg azt is, hogy ez a levezetés meg-mutatja, hogy valóban jogos a Schrödinger-egyenletben egy V (x) potenciállal való szorzást szere-peltetnünk ha V (x)-et lépcs®s függvényként képzeljük el, akkor minden lépcs®nél a Ψ másodikderiváltjának lesz szakadása, Ψ és az els® deriváltja folytonos marad.

Legyen most tehát egy V0 potenciállépcs®, és egy E energiájú részecske. A teljes energia, illetvea hozzá kapcsolódó ω nem változik meg, viszont k igen:

E =~2k2

2m⇒ k =

√2mE

~2(227)

E =~2k′2

2m+ V0 ⇒ k′ =

√2m(E − V0)

~2. (228)

Ha a részecske energiájára igaz az E > V0 feltétel. Ekkor a 26. ábra bal oldalának I. régiójábanaz alap, Aeikx−iωt bejöv® hullámon kívül lesz egy visszaver®d®, Beikx−iωt hullám is, a II. régióbanpedig egy Ceik

′x−iωt hullám (mivel itt a balra haladó a végtelenb®l jönne, ez nem zikai):

ΨI ∝ Aeikx +Be−ikx, (229)

ΨII ∝ Ee−ik′x (230)

Az x = 0 pontban vett folytonosság megköveteli, hogy A + B = C. A derivált folytonossága ezenkívül azt is megköveteli, hogy ikA − ikB = ik′C legyen. Így összességében C = 2kA/(k + k′)és B = A(k − k′)/(k + k′) adódik. Az áthaladás valószín¶ségi árama ját = |C|2~k′/m, míg avisszaver®désé jvissza = −|B|2~k/m. Ezeket az alábbiaknak megfelel®en kapjuk meg:

ját =~k′

m|C|2 =

~k′

m

4k2

(k + k′)2|A|2, (231)

jvissza = −~km|B|2 = −~k

m

(k − k′)2

(k + k′)2|A|2, (232)

illetve az r reexióra és a t transzmisszióra a jbe = |A|2~k/m áram alapján

r =|jvissza|jbe

=(k − k′)2

(k + k′)2, (233)

t =játjbe

=4kk′

(k + k′)2, (234)

és természetesen r + t = 1. A klasszikus képben természetesen r = 0 és t = 1, az ett®l való eltérésa kvantummechanika következménye.

Legyen most E < V0. Ekkor k′ = iκ bevezetésével κ =√

2m(V0 − E)/~, és ekkor expκx ésexp−κx megoldások lehetségesek, amelyb®l az els® nem zikai, hiszen ez korlát nélkül er®söd®amplitúdót adna:

ΨI ∝ Aeikx +Be−ikx, (235)

ΨII ∝ Ce−κx (236)

(237)

Mivel az átjutó (II.) hullám tisztán valós, így ját = 0 és t = 0, és hasonlóan r = 1. Ugyanakkora részecske nem nulla valószín¶séggel megtalálható a klasszikusan tiltott régióban is, méghozzá xmélységben exp−2κx valószín¶séggel (ahol a kettes a valószín¶séghez szükséges négyzetb®l jön). Abehatolás ∆x mélysége legyen úgy deniálva, hogy itt 1/e a megtalálási valószín¶ségs¶r¶ség, ekkor

55

∆x = 1/2κ = ~/√

8m(V0 − E). Ez tulajdonképpen a határozatlansági relációnak felel meg, ugyanisa részecske kölcsönvesz ~κ impulzust, amelyet viszont csak 1/2κ távolságon tud megtartani, akett® szorzata a Heisenberg-féle relációnak megfelel®en ~/2.

Nézzük meg, mi történik egy szintén V0 magasságú, de ezúttal csak ∆x széles potenciálgá-ton való áthaladáskor, ahogy az a 26. ábra jobb oldalán látható. Legyen E < V0. Ekkor háromhullámfüggvényünk lesz a három régióban:

ΨI ∝ Aeikx +Be−ikx, (238)

ΨII ∝ Ce−κx +Deκx, (239)

ΨIII ∝ Eeikx + Fe−ikx, (240)

(241)

ahol lehagytuk az id®függést, illetve az energiamegmaradás miatt az elején és a végén azonos ahullámszám, és κ =

√2m(V0 − E)/~ és k =

√2mE/~ ismét. Mivel jobbról a végtelenb®l nem jön

részecske, ezért F = 0, a többi együtthatót a két határon adódó két-két határfeltételb®l kaphatjukmeg (ami négy egyenlet, tehát minden együtthatót meg tudunk határozni). A végeredmény érdekesmost csak számunkra, méghozzá κ∆x 1 határesetben:

t =16k2κ2

(k2 + κ2)2e−2κ∆x (242)

tehát véges valószín¶séggel a potenciálgáton is áthalad a részecske, és az áthaladás a potenciálgát∆x szélességével exponenciálisan csökken. Vegyük észre itt is a határozatlansági reláció megjele-nését: a részecske egy kis id®re kölcsönvesz valamennyi energiát, és az id® és az energia szorzataitt is ~ nagyságrend¶.

A pásztázó alagútmikroszkóp (STM, Binning és Rohrer, Nobel-díj 1986) elvét is megérthetjükezen keresztül. Fémekben ugyanis egy potenciálgödörben vannak az elektronok, avagy az egyik ol-dalon egy potenciál-lépcs®vel néznek szembe, és csak az ennek megfelel® kilépési munka befektetéseárán léptethetjük ki ®ket onnan. Ha azonban a fém egyik oldalán egy V ∝ x potenciált építünk ki(azaz konstans elektromos teret), akkor az tulajdonképpen potenciálgátat hoz létre, és emiatt azelektronok mégis nem nulla valószín¶séggel ki fognak lépni a fémb®l (ezt nevezzük téremissziónak).Mivel azonban a kilép® elektronok áramát e−2κ∆x határozza meg, így ez a rögzített síkban mozgót¶ alatti anyag szerkezetét árulja el nekünk.

Legyen most egy ∆x szélesség¶, V0 mélység¶ potenciálgödör, amelyben egy −V0 < E < 0 kötöttrészecske van jelen. Mivel negatív az energiája, így a gödrön kívül mindenhol tisztán valós, exp−κxjelleg¶ amplitúdóval rendelkezik, és ennek árama nulla azaz mindkét falon teljes visszaver®désalakul ki. Emiatt bent a gödörben id®ben állandó valószín¶séggel van a részecske. A gödör kétszélén vett határfeltételek megadják a hullámfüggvények relatív er®sségét, ugyanakkor itt azt kellmegkövetelnünk, hogy a falakról visszaver®d® hullámok konstruktív interferenciát alakítsanak ki.Ebb®l végeredményben kvantált energiájú, diszkrét spektrum alakul ki. Ha végtelen magas falúpotenciálgödör van, és benne egy E energiájú részecske, akkor is hasonló eredményre jutunk.

6.7. Az id®független perturbációszámítás

Az ezekb®l adódó korrekciót az id®független perturbációszámítás segítségével határozzuk meg.Adjunk hozzá a Hamilton-operátorhoz egy λ-val szorzott operátort:

H = H(0) + λV. (243)

Legyenek az eredeti Hamilton-operátor sajátállapotai Ψ(0)n állapotok, E(0)

n sajátértékekkel (avagylegyen E(0)

n , n ∈ N a spektruma). Ekkor az új Hamilton-operátor spektrumát és sajátállapotaitfejtsük sorba λ szerint:

Ψn = Ψ(0)n + λΨ(1)

n + λ2Ψ(2)n + · · · , (244)

En = E(0)n + λE(1)

n + λ2E(2)n + · · · . (245)

56

Ezzel a sajátérték egyenlet így alakul:

(H(0) + λV )(Ψ(0)n + λΨ(1)

n + · · · ) = (E(0)n + λE(1)

n + · · · )(Ψ(0)n + λΨ(1)

n + · · · ) (246)

amely λ 1 esetén így egyszer¶síthet® (csak a maximum els®rend¶ tagokat megtartva, és észre-véve, hogy a nulladrend¶ek kiesnek):

H(0)Ψ(1)n + VΨ(0)

n = E(0)n Ψ(1)

n + E(1)n Ψ(0)

n . (247)

Skalárzorozzuk most ezt az egyenletet balról a Ψ(0)n állapottal:

〈Ψ(0)n , H(0)Ψ(1)

n 〉+ 〈Ψ(0)n , VΨ(0)

n 〉 = E(0)n 〈Ψ(0)

n ,Ψ(1)n 〉+ E(1)

n 〈Ψ(0)n ,Ψ(0)

n 〉 (248)

E(1)n = 〈Ψ(0)

n VΨ(0)n 〉 = 〈V 〉

Ψ(0)n

= 〈V 〉n (249)

. A kés®bbiekben a λ paramétert egyszer¶en beledeniálhatjuk a perturbáló operátorba és azenergiaszintek eltolódásába is, így egyszer¶en ∆En = 〈V 〉n lesz az energiaperturbáció.

7. Perdület és sajátperdület a kvantummechanikában

Idézzük fel az Einsteinde Haas-kísérlet és a SternGerlach-kísérlet eredményeit. Ezekben többérdekes dolgot tapasztaltunk:

A mágneses momentum adott irányú vetülete kvantált.

A µ mágneses momentum az L perdülettel van kapcsolatban, tehát a perdület is kvantált.

A klasszikusan adódó µ − L kapcsolat µ = geL/2m összefüggésre módosul, ahol g a le-író giromágneses faktor, amelynek értéke klasszikusan 1, a valóságban ett®l eltér® értékeketmérünk.

Egyes atomok esetén a perdület páros számú lehetséges vetülete jelenik meg, ami a −l, . . . , lsémába nem illik bele.

A perdület kvantummechikai értelmezése segítségével az alábbiakban megérhetjük ezeket.

7.1. A pályaperdület kvantálása

A SternGerlach-kísérlet alapján az atomok mágneses momentuma tehát kvantált, az EinsteindeHaas-kísérlet eredményei alapján pedig ez a perdület kvantáltságát is jelenti. Érdekes továbbá,hogy az atomok perdületének valamely másik irányba vett vetületét is vizsgálhatjuk egy következ®SternGerlach-kísérlettel. Ennél a megismételt felbontásnál az a fontos, hogy a két mágnes közöttiátmenet az atom bels® elektromágneses válaszához képest legyen gyors, ami megvalósítható. Haegy z, majd egy x irányú felbontás után megint egy z irányú felbontást vizsgálunk (mindig csakaz egyik komponenst továbbengedve), akkor megint felbomlik a nyaláb, ez mutatva, hogy nemszelekció történik, hanem megváltozik az atomok állapota a mérés során. Hogyan érthetjük eztmeg a kvantummechanika alapján? Természetesen úgy, hogy a perdület is egy zikai mennyiség, ésígy az operátorát kell vizsgálni, és ennek (illetve komponenseinek) diszkrét lehetséges sajátértékeivannak! A pályaperdület deníciója klasszikusan L = r × p, így operátorosan is

L = r × p = −i~r ×∇ (250)

lesz, és ez szintén vektor-operátor, amely a perdületértékek vektorterének és az állapottérnek atenzorszorzat-terébe képez (valójában a modern elméleti zikában a klasszikus perdület is a tér ésaz impulzustér küls® szorzatában veszi fel értékeit, de ez túlmutat jelen jegyzeten és kurzuson).

Ha bevezetünk egy (x, y, z) bázist, akkor a perdületoperátor komponenseit

Lx = rypz − rz py = i~(z∂y − y∂z), (251)

Ly = rz px − rxpz = i~(x∂z − z∂x), (252)

Lz = rxpy − rypx = i~(y∂x − x∂y) (253)

57

27. ábra. Az ábrán gömbfüggvények egy kontúrfelülete látható (l föntr®l lefelé haladva 0,1,2,3,4értékeket vesz fel, míg m balról jobbra, és középen m = 0).

módon írhatjuk fel. Ezekre az [rj , pk] = i~δjkidH kanonikus kommutációs relációk segítségévelegyszer¶en belátható, hogy

[Lx, Ly] = i~Lz, (254)

[Ly, Lz] = i~Lx, (255)

[Lz, Lx] = i~Ly, (256)

vagy általánosan (a triviális önkommutálást is leírva):

[Lj , Lk] = i~3∑l=1

εjklLl (257)

ahol εjkl Levi-Civita-szimbólum2. Ezek a vetületek mind olyan sajátállapotokkal rendelkeznek,amelyeket egész kvantumszámokkal (pl. lz) lehet jellemezni, és a kapcsolódó sajátérték mindig ~lz a perdület vetülete tehát mindig ~ egész számú többszöröse. Érdekességképpen megemlíthet®, hogymivel ez éppen a vektoriális szorzatban is használatos, így a fenti egyenlet ekvivalens az L×L = i~Lkifejezéssel. Ez tehát azt jelenti, hogy a kísérleteknek megfelel®en akárcsak két vetületet sem lehetegyszerre pontosan meghatározni, a nem-kommutálásból adódó határozatlansági reláció miatt ittazonban korántsem olyan triviális a helyzet, mint r és p esetén, lásd például Dammeier és mtsai NewJ. Phys. 17 (2015) 093046 cikkét. Kés®bb az is kiderül, hogy valójában az adott irányú perdület azadott irány körüli forgatások generátora, és ilyen értelemben az Lxyz operátorok SO(3) illetve SU(2)generátorai, de ez is túlmutat jelen jegyzeten. Azt viszont érdemes megemlíteni, hogy a generátoroknégyzetösszege az algebra Casimir-eleme (Casimir-operátor), amely mindenkivel kommutál, ez itta L2 = L2

x + L2y + L2

z operátor lesz. Ez bármely perdület-vetülettel együtt mérhet® tehát, és ígyegyszerre meghatározható a perdület nagysága és adott irányú vetülete.

A kinetikus energia operátora gömbi koordinátákban felírva

p2

2m= − ~2

2m∆ = − ~2

2mr2

[∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

](258)

módon adódik, és ez szétválasztható perdületre és radiális impulzusra

p2

2m=

p2r

2m+

L2

2mr2, ahol L2 = − ~2

sin2 θ

[(sin θ

∂

∂θ

)2

+∂2

∂φ2

]. (259)

2Itt kivételesen két kisköt®jel van, ugyanis egyetlen ember, Tulio Levi-Civita után kapta a nevét.

58

Ez gömbi koordinátákban felírható potenciálok esetén nagy hasznunkra válik, ugyanis a perdület-operátor sajátállapotai a gömbfüggvények, amelyek l ≥ 0 és |m| ≤ l egész számokkal indexelhet®ek:

Ylm(θ, φ) =

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Plm(cos θ)eimφ (260)

ahol Plm a Legendre-polinomok. Ha a potenciál csak a távolságtól függ (azaz a szögekt®l nem),akkor a fenti kifejezés az energiasajátállapotok szögfügg® részét is megadja. Ezen állapotokhoztartozó perdület-sajátértékek az

LzYlm = ~mYlm, L2Ylm = ~2l(l + 1)Ylm (261)

egyenleteknek megfelel®en adódnak.Az L2 operátor sajátállapotait tehát l ≥ 0 egész számokkal indexelhetjük, a sajátértékek ekkor

~2l(l+1) értékeket vesznek fel. Az állapotokat az ezen két operátor szerinti sajátértékekkel szoktukjellemezni, tetsz®leges irányt kijelölve (és a konvenció szerint ezt z-vel jelölve) lz (avagy m) és lértékeivel, és fontos, hogy |lz| ≤ l. Minderre kés®bb, a hidrogénatom tárgyalásakor visszatérünk,ahol azt is látni fogjuk, hogy bár a SternGerlach-jelleg¶ kísérletekben csak a perdület vetületeitmérhetjük, a hidrogénatom spektruma a perdület nagyságáról is árulkodik majd.

7.2. A perdület és a forgatások kapcsolata

Emlékezzünk vissza a 6.2 fejezetre, ahol a (200) egyenletben megmutattuk, hogy az impulzusope-rátor az eltolások generátora. Vizsgáljuk meg most hasonló módon a M = R3 térbeli forgatásokat.Jelölje R(~θ) a ~θ tengely körüli θ = |~θ| szög¶ forgatást (egyezményesen a jobbkéz-szabálynak megfe-lel®en). Ekkor könny¶ belátni, hogy RT (~θ)R(~θ) = 1 és detR(~θ) = 1. Ez deniálja (háromdimenzióstérben) az SO(3) forgáscsoportot. Vegyük itt észre, hogy egy innitezimális ~ε = (0, 0, ε) forgatásraa forgásmátrix alakját gyelembe véve (és cos ε és sin ε határértékét véve)

R(~ε) =

1 −ε 0ε 1 00 0 1

= idM + ε

0 −1 01 0 00 0 0

= idM − εi

~Jz = e−ε

i~Jz (262)

adódik. Az x és y tengelyek körüli forgatások esetére is hasonló adódik, a Jx,y,z mátrixok pedig

Jx = i~

0 0 00 0 −10 1 0

, Jy = i~

0 0 10 0 0−1 0 0

, Jz = i~

0 −1 01 0 00 0 0

(263)

módon írhatóak fel. Ezek után észrevehetjük, hogy véges forgatásokra

R(~θ) = exp

(− i~~θ · ~J

), (264)

ahol Jk antiszimmetrikus mátrixok az SO(3) csoport generátorai. Az antiszimmetrikusság közvet-lenül az RT (θ) = R−1(θ) = R(−θ) tulajdonságból adódik, hiszen emiatt exp(θkJ

Tk ) = exp(−θkJk),

és így az Jk mátrixok az antiszimmetrikus mátrixok terének egy bázisát is megadják. Hogy ígyvalóban az SO(3) csoport elemeit kapjuk meg, (azaz a fenti exponenciálisok szorzata továbbra ishasonló exponenciálisként írható fel) az azért is lehetséges, mert valójában az expA expB jelleg¶szorzatban az [A,B], [A, [A,B]] stb kommutátorok jelennek meg, azonban a fenti Jk mátrixokraéppen a (257) jelleg¶ egyenlet lesz érvényes, azaz [Jj , Jk] = i~

∑l εjklJl.

Jelölje ezek után R(~θ) azt a hullámfüggvényekre ható operátort, amelyre(R(~θ)Ψ

)(~r) = Ψ(R(~θ)~r), azaz (265)

R(~θ)Ψ = Ψ R(~θ). (266)

59

Mivel innitezimális ~ε = (0, 0, ε) körüli forgatásra

R(~ε)~r =

1 −ε 0ε 1 00 0 1

xyz

=

x+ εyy − εxz

, (267)

így

(R(~ε)Ψ) (~r) = Ψ

x+ εyy − εxz

= Ψ(~r) + εy∂xΨ(~r)− εx∂yΨ(~r) =

(Ψ− i

~εLzΨ

)(~r), (268)

ahol éppen a korábban deniált Lz = i~(y∂x − x∂y) perdületoperátor jelenik meg! Ebb®l végesszöggel történ® forgatásokra is igaz lesz, hogy

R(~θ)Ψ = exp

(− i~~θ · L

), (269)

tehát az L = r × p perdületoperátor a forgatások generátora!

7.3. A spin és a giromágneses faktor

Ahogy a fejezet bevezet®jében láttuk, a mágneses momentum értéke nem teljesen felel meg a µ =eL/2m klasszikus relációnak, helyette adott irányú vetületre µ = geL/2m vezetend® be. Érdemesdeniálni a Bohr-magnetont is: µB = e~/2m, és ezzel, Lz = ~lz perdület-vetület esetén µz = gµBlzmágnesesmomentum-vetület adódik. Kiderül, hogy g értéke azért különbözik egyt®l, mert az atomielektron mágneses momentuma csak részben származik az L-lel leírt pályaperdületb®l. Ezen túl azelektronnak van egyfajta bels® perdülete, amelyet sajátperdületnek, spinnek neveztek el, amelyszintén hozzájárul a teljes perdülethez és így a mágneses momentumhoz is.

A spin a pályaperdülethez hasonló tulajdonság, kvantummechanikailag is részben hasonlóankezelend®. Erre a következ®kben még visszatérünk, de addig is, néhány egyszer¶ tulajdonságátgyelembe vehetjük. Ugyanúgy igaz rá, hogy a négyzete és egy vetülete egyszerre mérhet®, ésel®bbi S2 = ~2s(s + 1) értéket vesz fel, ahol elektronra mindig s = 1/2. A spin vetülete Sz =± ~/2 lehet, azaz a kapcsolódó sajátérték sz = ±1/2. A spinhez tartozó mágneses momentumrólazonban kiderül, hogy µ = e~/m a nagysága (vegyük észre a kettes faktor hiányát!), illetve aBohr-magnetonnal és a spinre vonatkozó gs giromágneses faktorral kifejezve µ = gsµBs, azazgs = 2. Ezt klasszikusan lehetetlen megmagyarázni (lehetséges különböz® töltés- és tömegeloszlásúgömböt felíró félklasszikus számolással próbálkozni, de lényegében sikertelenül).

A Stern-Gerlach kísérletben mért teljes mágneses momentum és a J = L + S teljes perdületközötti kapcsolat (a z-vetületben)

µz = (gllz + gssz)µB = gjjzµB (270)

módon írható fel, és noha gs = 2 és gl = 1, az elektron teljes g giromágneses faktora a kett®b®l azadott állapottól függ® módon adódik, és sokféle értékeket felvehet. Kiderül, hogy egyrészt a háromspinoperátor (J, L, S) kommutál egymással, illetve hogy a teljes perdület négyzete is hasonlóan~2j(j + 1) sajátértékekkel rendelkezik, illetve atomi (e/m = 1) egységekben

µJ = gjJ2, és µJ = (gsS + glL)J (271)

adódik, és mivel J2-hez j(j + 1) sajátérték tartozik, így az L = J − S illetve S = J − L összefüg-gésekb®l JS = (J2 +S2−L2)/2 és JL = (J2 +L2−S2)/2 jön ki. Ezek sajátértékeib®l így a teljesperdületre erre vonatkozó gj faktor (amelyet Landé-féle g-faktornak is szokás hívni) megadható:

gj = glj(j + 1)− s(s+ 1) + l(l + 1)

2j(j + 1)+ gs

j(j + 1) + s(s+ 1)− l(l + 1)

2j(j + 1)

=3

2+s(s+ 1)− l(l + 1)

2j(j + 1)(272)

60

ahol az utolsó egyenl®séghez felhasználtuk, hogy gl = 1 és gs = 2. Érdemes észrevenni, hogy nohaa teljes mágneses momentum, mint vektoroperátor, nem J irányába mutat, de a várható értékemár igen (ahogy az kés®bb a WignerEckart-tétel segítségével bebizonyítható), és így valóbanhasználható a µ = gjJ összefüggés amennyiben a várható értékekre értjük.

A különféle perdületekre tehát az

S = ~√s(s+ 1), ahol s = 1/2, (273)

L = ~√l(l + 1), ahol l ≥ 0(egész) (274)

J = ~√j(j + 1), ahol j ≥ 0(egész) és |l − s| ≤ j ≤ l + s (275)

összefüggések lesznek érvényesek, míg (tetsz®leges, itt z-irányú) vetületükre

Sz = ~sz, ahol sz = ±1/2, (276)

Lz = ~lz, ahol |lz| ≤ l (277)

Jz = ~jz, ahol |jz| ≤ j, (278)

ahol fennáll a jz = lz + sz összefüggés, illetve néha az m = lz és mj = jz elnevezéseket használjuk.Minden fenti kvantumszám egész lépésekben változhat, és pl l = 2 esetén m = −2,−1, 0, 1, 2 lehet,j pedig 3/2 vagy 5/2 értéket vehet fel. Innen már a SternGerlach-kísérletben észlelt két (vagy páros)részre szakadást is értjük: ilyenkor j = 1/2 esetén jz = ± 1/2, azaz kétféle értéket vehet fel.

Fontos megemlíteni, hogy nem csak az elektronnak, de minden részecskének van spinje, ~/2egész számú többszöröse lehet. Ezen belül megkülönböztetünk feles és egész spin¶ részecskéket,el®bbieket fermionnak, utóbbiakat bozonnak hívjuk, és érdekes módon fundamentálisan más tu-lajdonságaik vannak. Az elektron, proton, neutron, illetve az ®ket felépít® kvarkok is 1/2 spin¶ek,csak a kölcsönhatást közvetít® részecskéknek (foton, gluon) egész a spinje. Az összetett részecs-kék, atomok, molekulák spinje is fontos, de ez gerjesztéssel változhat. Az alfa részecske spinje 0,gerjesztett magoké 80~ is lehet.

Míg korábban láttuk, hogy a perdület L = r × p módon értelmezhet®, addig a spin tárgyalásatovábbi matematika bevezetését követeli meg. A következ®kben tárgyalt Pauli-egyenlet adja megmajd a spin els® leírását, amely a Schrödinger egyenlet Pauli-féle módosítása, feles (1/2) spin¶részecskék leírására. Kés®bb a Dirac-egyenlet, amely a relativisztikus kvantummechanika alap-egyenlete, természetesen tartalmazza a feles spint és a g = 2 összefüggést. Ma kísérletileg úgytudjuk, hogy g ≈ 2.0023, és kb. 12 értékes jegyig mérhet®. Mérése ma is abszolút aktuális, ugyan-is ez az úgynevezett nomszerkezeti állandóhoz kapcsolódik. Kvantumelektrodinamikából extrémpontossággal megkapható a fenti érték, méghozzá a foton-elektron kölcsönhatás perturbációjánakvizsgálatából. Általában az anomális mágneses momentumot fejezik ki az a = (g − 2)/2 ki-fejezéssel, amely körülbelül α/2π nagyságú ezt a becslést az elektron-foton kölcsönhatás ú.n.egyhurok-korrekciójából lehet megkapni (ebben az elektron és a foton úgy hat kölcsön, hogy el®-ször az elektron kibocsát egy fotont, utána kölcsönhat a másik fotonnal majd elnyeli a korábbankibocsátottat). Az a paraméter 2008-as mért értéke (1159 652 180.73± 0.28)× 10−12. Számolásbólett®l (2± 7)× 10−12 mérték¶ eltérést lehet találni. A számolás alapja a kvantum-elektrodinamika,az elektromágnesség relativisztikus kvantumtérelmélete, ez tehát a világon a legpontosabban ellen-®rzött elmélet.

Végezetül említsük meg, hogy ilyen (anomális) mágneses momentuma van a protonnak is, gp =5.585694713(46) g-faktorral. Ez µp = gpµNSp/~ módon adja meg a proton mágneses momentumát,és itt µN = e~/2Mp a mag-magneton egység, amelyben pedigMp a proton tömege. Még érdekesebb,hogy a semleges neutronnak is van mágneses momentuma (holott nincs is töltése de a benne lév®kvarkoknak igen), és g-faktora gn = −3.82608545(90), tehát egy negatív érték. Ezen mágnesesmomentumok értéke intenzív kutatások tárgyát képezi ma is, ugyanis a nukleonok összetételévelvan bonyolult kapcsolatban. Hozzáf¶zzük még azt is, hogy magának a proton spinnek sem teljesenvilágos az eredete, ugyanis a kvarkok és a gluonok együttesen okozzák ezt (lásd pl. Alexandrou ésmtsai Phys. Rev. Lett. 119, 142002 cikkét).

7.4. A spin mint kvantumtulajdonság, a Pauli-egyenlet

Vizsgáljuk meg most, hogyan tudjuk a spint, mint kvantummechanikai zikai mennyiséget bevezetniés leírni. Legyen a spinnel is rendelkez® részecskék állapota a spin Hilbert-terének és a szokásos

61

kvantummechanikai állapottérnek a szorzata, és a spinoperátor hasson a spintéren. Mivel elektronraa spin adott irányú vetületeinek operátora két sajátértékkel kell, hogy rendelkezzen (a ± ~/2 értékekegyikével), így kétdimenziós Hilbert-teret elég választani, és a spinoperátorok 2× 2-es önadjungáltmátrixok lesznek. Mivel a sajátértékek összege ráadásul nulla, így nulla nyomú mátrixokat kellválasztanunk, célszer¶ek lesznek a Pauli-mátrixok (~/2-vel szorozva), azaz

Sx =~2

(0 11 0

), Sy =

~2

(0 −ii 0

), Sz =

~2

(1 00 −1

). (279)

amelyekre a (257) jelleg¶ kommutációs reláció vonatkozik, a pályaperdülethez hasonlóan:

[Sj , Sk] = i~∑l

εjklSl (280)

Vegyük észre, hogy Sx megcseréli a komponenseket, így a ± ~/2 sajátértékekhez tartozó sajátvek-torai az (1, 1) és (1,−1) vektorok lesznek (1/

√2 normálástól eltekintve), míg Sy sajátvektorai az

(±i, 1) vektorok, Sz sajátvektorai pedig az (1, 0), (0, 1) egységvektorok. Ha valamely Sk szerintisajátállapotban vagyunk, akkor a másik két spinvetület várható értéke nulla. Viszont mindegyiknégyzete az egységmátrixszal arányos:

S2k =

~2

4idM, (281)

és így (mivel a várható értéke nulla) a szórása ~/2 ezért nem lehet két spinvetületet egyszerremegmérni, illetve ezért bomlik fel adott irányú Stern-Gerlach-mérés esetén a következ®, mer®legesirányú mérés eredménye két nyalábra. Vegyük észre végül, hogy

S2 = S2x + S2

y + S2z =

3~2

4idM, (282)

tehát az S2 operátor mindegyik spinoperátorral kommutál, minden állapot a sajátállapota, ésdegenerált sajátértéke 3~2/4, ami az s(s+ 1)~2 általános kifejezés speciális esete.

A spint is gyelembe vev® hullámfüggvény tehát a (Ψ+,Ψ−). A z-irányú spin esetén jól látható,hogy

Sz

(Ψ+

Ψ−

)=

~2

(1 00 −1

)(Ψ+

Ψ−

)=

~2

(+Ψ+

−Ψ−

). (283)

Ekkor a (0,Ψ−) állapot a − ~/2, míg a (Ψ+, 0) a + ~/2 sajátérték¶ sajátállapot. Követeljük megtovábbá a normálási feltételt is, azaz legyen∣∣∣∣(Ψ+

Ψ−

)∣∣∣∣2 = |Ψ+|2 + |Ψ−|2 = 1, (284)

ahol |Ψ+,−|2 a teljes hullámfüggvény-integrált (normát) jelenti. Vonatkozzon erre a két kompo-nensre egy-egy Schrödinger-egyenlet:(

p2

2m+ V (x)

)(Ψ+(x)Ψ−(x)

)= E

(Ψ+(x)Ψ−(x)

). (285)

Mivel ez ugyanaz az egyenlet, ezért a két komponens csak a normálásában tér el, legyen tehát(Ψ+

Ψ−

)= Ψ

(αβ

), (286)

ahol α és β komplex számok, amelyekre a normálási feltétel miatt

|α|2 + |β|2 = 1 (287)

62

lesz igaz. A spinoperátorok ekkor tehát tényleg csak az α, β komponensekkel leírt vektoron (kés®bb:spinoron) hatnak, méghozzá

Sx

(αβ

)=

~2

(βα

), azaz 〈Sx〉 = ~ Re(α∗β), (288)

Sy

(αβ

)= i

~2

(−βα

), azaz 〈Sy〉 = ~ Im(α∗β), (289)

Sz

(αβ

)=

~2

(α−β

), azaz 〈Sz〉 =

~2

(|α|2 − |β|2) (290)

az adott irányú spin várható értéke. Kiegészítésként érdemes észrevenni, hogy az |α|2 + |β|2 = 1relációt az unitér mátrixok tartják meg, és a fenti Pauli-mátrixok éppen az SU(2) csoportot generál-ják. Ezzel kapcsolatban csoportelméleti tanulmányok során tudhatunk meg többet, ahogy fentiekkorrekt kezeléséhez szükséges Cliord-algebrákról is. (Annyit itt is érdemes megemlíteni, hogyPauli-mátrixok a nulla nyomú, hermitikus mátrixok bázisát jelentik, amelyek egy háromdimenziósCliord-algebrát alkotnak, és ez a spin általános leírását adja majd. Érdekes továbbá, hogy ezek azSU(2) komplex mátrixok éppen három valós paraméterrel írhatóak le, hiszen a három Pauli-mátrixegy-egy egyparaméteres valós részcsoportjának szorzatából már az egész csoport adódik. A háromparaméter az SO(3)-mal való ekvivalencia tekintetében a három tértengely körüli forgatás háromszögét jelenti.)

Amennyiben ~B mágneses tér is jelen van, módosul a fenti egyenlet, ugyanis a mágneses momen-tum és a mágneses tér szorzata az energiához hozzájárul. A spinb®l származó mágneses momentumoperátorára is

~µ = gse

2mS = gs

µB~S (291)

lesz igaz (ahol S is vektort jelöl). Ebb®l a Schrödinger-egyenlet a Ψ = (Ψ+,Ψ−)T állapotra, csaka potenciál módosításával (

p2

2m+ V − gs

µB~S · ~B

)Ψ = EΨ. (292)

alakot ölti, amely csatolja a Ψ+ és Ψ− hullámfüggvényeket. Valójában ha a ~B teret egy ~A vektor-potenciál generálja, akkor ez az impulzusoperátort is módosítja, p→ p−e ~A módon. Elektromos téresetén még a Φ skalárpotenciál is megjelenik, ezt V = eΦ módon a potencális energia tartalmazza.Ezzel a Pauli-egyenlet: (

1

2m

(p− e ~A

)2

+ eΦ− gsµB~S · ~B

)Ψ = EΨ. (293)

Az adott n = (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ) egységvektor irányának megfelel® spin operátora azn · S skalárszorzatnak megfelel®en adódik. Konkrétan a Pauli-mátrixokat behelyettesítve

Sn = n · S = nxSx + nySy + nzSz =~2

(cos θ sin θe−iφ

sin θeiφ − cos θ

)(294)

adódik, és ennek azon (α, β) spinorok (és bármely komplex számszorosaik) lesznek a sajátállapotai,amelyekre

β

α=

sin θeiφ

cos θ ± 1. (295)

és ebb®l a +1/2 sajátérték¶ állapot (egyre normálva)(α β

)=(cos θ2e

−iφ/2 sin θ2eiφ/2

)(296)

Érdemes észrevenni azt is, hogy ekkor a z irányú spin várható értékére

〈Sz〉 =~2

cos θ (297)

63

adódik, tehát éppen n és a z irányú egységvektor szorzata adja ezt meg. Fontos még, hogy a saját-állapotban θ/2 szerepel, tehát 2π forgatás után az ellentettjére vált! Ezt Rauch 1976-os kísérletébenneutronokkal ellen®rizte, amelyben két ágra bontott egy adott E0 energiájú bejöv® nyalábot. Azalsó ágban nulla mágneses tér mellett adott E/~ körfrekvenciával oszcillált a hullámfüggvény kétkomponense:

Ψ(t) ∝ exp

[−iE

~t

](αβ

)(298)

míg a fels® ágban a spin miatt egy µB/~ további körfrekvenciatag megjelent, a spin két kompo-nensében ellenkez® el®jellel:

Ψ(t) ∝ exp

[−iE

~t

] α exp[iµB~ t

]β exp

[−iµB~ t

] (299)

így a spin tulajdonképpen µB/~ körfrekvenciával elforgott. Mivel a fentiekben láttuk, hogy asajátállapotban θ/2 szerepel, így τ mérési id® (a mágneses téren történi áthaladási id®) alatt

1

2φ(τ) =

1

2φ(0)− µB

~τ (300)

spinfázis-változás jelenik meg. Ha a jobb oldal második tagja éppen π, akkor a fázis az ellentettjéreváltozik, ami azt jelenti, hogy a térbeli φ fázisban viszont 2π forgás után következik be az el®jel-váltás. A mágneses teret változtatva kimérhet®, hogy milyen B mágneses tér mellett történik újraer®sítés, így az eredeti φ fázishoz való visszatérés szöge mérhet®. Ez Rauch és mtsai Phys.Lett.54A (1975) 425 cikkében 704 ± 38 foknak adódott (ahol a mérési bizonytalanság a mágneses térméréséb®l adódott f®leg), ami a 4π értékkel szépen egyezik.

8. A hidrogénatom részletes spektruma

8.1. A hidrogénatom a Schrödinger-egyenlet alapján

A hidrogénatom spektrumának központi szerepe volt a kvantummechanika kidolgozásánál, ugyan-is egyszer¶, zárt kétrészecske rendszer, amelyben csak az elektromágneses kölcsönhatás ját-szik szerepet, és a kísérleti eredmények is nagy pontosságúak. Bonyolultabb rendszerekben már amagzika is szerepet játszhat, ahol a kölcsönhatás sokkal kevésbé számolható, f®leg nehezen vizs-gálható kísérletileg. Ha a mag nem is befolyásolja az állapotokat, a nagyobb atomok esetében atöbbrészecske-rendszerekkel kell számolni, ami lényegesen nehezebb. Ezek állapotait a hidrogén-atom alapján lehet általánosítani.

A legegyszer¶bb kvantumelméleti leírást úgy kaphatjuk, ha megpróbáljuk a hidrogénatom elekt-ronjának hullámfüggvényét megadni. Abból indulunk ki, hogy az elektron egy

V (r) = −k e2

r= −α~c

r(301)

potenciálban mozog. Ezzel a Schrödinger-egyenlet hidrogén-atomra felírva:

− ~2

2m∆Ψ(x)− α~c

rΨ(x) = EΨ(x) (302)

Ezt kell tehát megoldanunk. Mivel a potenciál csak a radiális koordinátától függ, átírhatjuk aLaplace-operátort gömbi koordinátákba, a (260) perdületoperátornak megfelel®en:

− ~2

2mr2

[∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

]Ψ(r, φ, θ)− (303)

−α~cr

Ψ(r, φ, θ) = EΨ(r, φ, θ)

64

Ezt próbáljuk a Ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) szétválaszthatósági feltétellel megoldani. Mivel a szögfüg-g® részre csak a perdületoperátor (a fenti egyenletben a szögek szerinti deriválás) hat, így ennekmegoldásai a (259) egyenletben már felírt Ylm gömbfüggvények lesznek, l és m = −l . . . l indexek-kel, a potenciáltól függetlenül. A radiális rész ezzel szemben a potenciálon múlik, és kiderül, hogyaz általánosított Laguerre-polinomokkal fejezhet® ki a megoldás (az R-re vonatkozó dierenciál-egyenlet átalakítható egy általánosított Laguerre-egyenletté). Végeredményben az n = 1, 2, 3, . . . ,l = 0, 1, . . . , n− 1 és m = −l, . . . , l kvantumszámok indexelik majd a megoldást:

Ψnlm(r, φ, θ) =

√(2

na

)3(n− l − 1)!

2n(n+ l)!e−ρ/2ρlL2l+1

n−l−1(ρ) · Y ml (θ, φ), (304)

ahol ρ =2r

naés a = rBohr =

~mcα

.

Ezek a hullámfüggvények adják a hidrogénatom elektronjának lehetséges állapotait, ahogy azta 28. ábra is illusztrálja. A hullámfüggvény alapján kiszámolhatóak az energiaszintek (energia-sajátértékek) is, és a Bohr-modellel azonosan

En,l,m = En = −mk2e4

2~2

1

n2= −mc

2α2

2

1

n2(305)

adódik. Ez azt is jelenti, hogy az energia l és m szerint degenerált: adott n-hez∑l(2l + 1) = n2

különböz® állapot tartozik. Az l szerinti degeneráció konkrétan a Coulomb-kölcsönhatás alakjábóladódik, mivel a szögfügg® részre vonatkozó eredmény még elvileg függhetne l-t®l. Vegyük észre aztis, hogy a fenti állapotok nem csak a Hamilton-operátor sajátállapotai (azaz energia-sajátállapotokEn sajátértékekkel), de az L2 perdületoperátornak is, l(l+ 1)~2 sajátértékkel, illetve az Lz operá-tornak is, m~ sajátértékkel. A kés®bbiekben fontos lesz, ezért nézzük meg, mennyi |Ψnlm|2 értéke anullában! El®ször is, vegyük észre, hogy ρl miatt l 6= 0 esetén ez a valószín¶ségs¶r¶ség nulla, tehátl > 0 esetén az elektron biztosan nincs az origóban. Az l = 0 esethez az Lin(0) = binom(n + i, n)és az Y 0

0 = 1/√

4π összefüggést kell felhasználni, és kiderül, hogy a keresett érték 1/πn3a3 ennyitehát annak valószín¶ségs¶r¶sége, hogy az l = 0 pályán lév® elektron éppen az origóban, azaz azatommaggal azonos helyen van!

Az állapotokat els® körben m szerint degeneráltan, csak az n és az l megadásával jelöljük, aholaz l = 0, 1, 2, 3, . . . értékeknek az s, p, d, f stb. bet¶k felelnek meg, azaz 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s,4p, 4d, 4f stb. állapotok lehetségesek. Fontos ugyanakkor látni, hogy a fenti egyszer¶ gondolat-menet már két elektronra sem m¶ködik, mert nem tudjuk zárt alakban felírni a hullámfüggvényt,azaz megoldani a Schrödinger-egyenlet háromrészecskés verzióját. Ugyanakkor sokszor nagyobbatomokra is mégis azt a közelítést vesszük, hogy az atom Coulomb-potenciálja Zα/r, és akkor afentieknek megfelel®, α→ Zα csere utáni állapotok és energiák jelennek meg.

A spint is gyelembe véve azm szerint degenerált pályákat három számmal írjuk le: n és lmelletta spin perdület-irányú vetülete (ez legyen sz) vagy a teljes perdülethez tartozó kvantumszám (j) ismegjelenhet. Ahogy korábban is említettük, |l− s| ≤ j ≤ l+ s, így s pályák (l = 0) esetén j = 1/2,minden más esetben j = l ± 1/2, ami éppen az sz = ±1/2 eseteknek felel meg. Így tehát mindenp pályából kétféle van: p1/2 és p3/2, d pályából d3/2 és d5/2, és így tovább. Így például a 3d5/2

állapotban az energia sajátértékéhez tartozó kvantumszám n = 3, a pályaperdülethez l = 2, a teljesperdülethez j = 5/2 tartozik, míg a spin pályaperdület-irányú vetületéhez sz = +1/2 tartozik. Apályaperdület adott (tetsz®leges) irányú vetületének kvantumszáma −2 és 2 között egy egész számlesz, míg a teljes perdületé −5/2 és 5/2 között egy feles szám.

A perdület adott irányú vetülete, azaz azm szerinti energia-degeneráció a perdületoperátorba ésa gömbfüggvényekbe van kódolva. Ugyanakkormágneses tér jelenlétében m szerint felhasa-

dás gyelhet® meg, a mágneses momentum és a mágneses tér kölcsönhatásának köszönhet®en.Mivel ilyenkor egy V = µB perturbáció jelenik meg a Hamilton-operátorban, a 6.7. fejezetbenemlítetteknek megfelel®en ennek várható értékét kell kiszámolnunk az n, l,m állapotban, hogymegkapjuk az energiaszint eltolódását. Legyen a mágneses tér iránya a z irány, ekkor V = µzBzperturbációnk van, és mivel µz = µBLz/~ (kizárólag a pályaperdületet vizsgálva most), így azLz operátor sajátértéke, azaz az m mágneses kvantumszám jelenik meg a Zeeman-eektusnak

nevezett energiaeltolódásban, amelynek nagysága

∆EZeeman = −µBBzm (306)

65

28. ábra. A hidrogénatom elektronjának lehetséges hullámfüggvényei abszolútérték-négyzeténekkétdimenziós vetületei a Schrödigner egyenlet megoldásai alapján (balra). Láthatólag a nulla való-szín¶ség¶ felületek az els® oszlopban koncentrikus gömbök, és l egyre nagyobb értékei esetén egyretöbb gömb cserél®dik sík felületre, míg l = n− 1 esetén l darab síkot látunk. A jobb oldali ábrán(amely nagyobb méretben a 27. ábrán is megtekinthet®) a gömbfüggvények kontúrfelülete látható.Az m különböz® értékei az eloszlások különböz® 3D elforgatásainak felelnek meg, illetve m > 1esetén m = 0, m > 2 esetén m = 2 is más egy kicsit.

Mivel a Bohr-magneton értéke 5, 8 ·10−5 eV/T, ezért 1 T mágneses térben a felhasadás egy százez-red elektronvolt nagyságrend¶. Érdemes megemlíteni, hogy valójában spin jelenlétében J , a teljesperdület számít majd, illetve az ebb®l származó mágneses momentum, és ilyenkor a felhasadásµBBzgjmj lesz, ahol gj értékét a (272) egyenletben adott módon kaphatjuk meg.

A 6.7. fejezetben említett perturbációszámítás kés®bbi alkalmazásakor fontos lesz, így érdemesmegemlíteni egyes operátorok várható értékét a fenti állapotokban. Értelemszer¶en az energia-,perdület- és spinoperátoroknak a fenti állapotok sajátállapotai, így ezek szórásmentesek, várhatóértékük pedig az adott (kvantumszámmal jellemzett) sajátérték. Egyéb operátorok várható értékeviszont korántsem triviális, így ezeket itt megadjuk. Vegyük el®ször az r−n típusú operátorokat:⟨

1

r

⟩nl

=1

an2(307)⟨

1

r2

⟩nl

=1

a2n3(l + 1/2)(308)⟨

1

r3

⟩nl

=1

a3n3

1

l(l + 12 )(l + 1)

( ha l > 0) (309)

Szükség lesz továbbá a háromdimenziós Dirac-delta operátor várható értékére is, ami a Dirac-delta

∫δf = f(0) deníciójának megfelel®en |Ψ(0)|2-tel egyezik meg, ami l > 0 esetén nulla (a

hullámfüggvényben megjelen® rl tényez® miatt), l = 0 esetén pedig

⟨δ3⟩nl

=m3c4α4

π~2n3=

1

πn3a3(310)

66

adódik. Ez egyébként azért lesz lényeges, mert a Coulomb-potenciál Laplace-operátor általi képeéppen a háromdimenziós Dirac-delta. Ezt onnan is láthatjuk, hogy r 6= 0 esetén

∆1

r= 0, (311)

ugyanakkor a ∆(1/r) operátor várható értéke az adott állapot nullában vett értékének abszolútérték-négyzetének −4π-szeresét adja. Ezt onnan tudjuk, hogy ∆(1/r) térfogati integrálja −4π. Ezt pedigúgy láthatjuk be, hogy veszünk egy origóra centrált gömböt, és erre ∆(1/r) integrálja megegye-zik ∇(1/r) = −1/r2 felületi integráljával. Bármely más (a nullát magában foglaló, véges méret¶)térfogatra is igaz lesz ez, hiszen a függvény minden máshol nulla értéket vesz fel (így a térfogatiintegrálja csak a nullában felvett értékt®l függ).3

8.2. A nomfelhasadás

A Schrödinger-egyenletb®l kapott energiasajátértékek jól egyeznek a kísérleti tapasztalatokkal, denagy felbontású spektrométerrel kiderül, hogy a vonalak eltolódnak és felhasadnak, azaz egyfajtanomszerkezet jelenik meg. Ennek három oka van: a spin és a pálya kölcsönhatása, a relativisz-tikus hatások megjelenése, illetve az úgynevezett Darwin-hatás. Ezeket mind úgy tudjuk megadni,hogy a korrekciót a Hamilton-operátor δV perturbációjának tekintjük, és a 6.7. fejezetben említet-teknek megfelel®en ilyenkor ∆Enl = 〈δV 〉nl energiaeltolódást kapunk, ahol az adott állapot szerintivárható értéket kell vennünk.

A relativisztikus hatást úgy foglalhatjuk össze, hogy az energia valójában nem p2/2m for-mában írandó, hanem

√p2c2 +m2c4 −mc2 (ami kis korrekció, ha p m), és ennek sorbafejtése

Ekin =p2

2m− p4

8m3c2+ · · · (312)

Ebb®l az els®rend¶ korrekció az els® tagnak felel meg, tehát ennek energiáját kell vizsgálnunk. Azeredmény ezen operátor n, l állapotbeli várható értékéb®l számolható ki (felhasználva, hogy szó-rásmentes állapotban egy operátor négyzetének várható értéke megegyezik a várható érték négy-zetével), a

− p4

8m3c2= − 1

2mc2E2

kin,n = − 1

2mc2(En − V )2 = − 1

2mc2

(mc2α2

2n2− α~c

r

)2

(313)

összefüggés felhasználásával, az 1/r és 1/r2 operátorok fent említett várható értékével

∆Erel.korr.n,l = −mc

2α4

2n3

(1

l + 1/2− 3

n

)(314)

adódik, ahol α = ke2/~c a nomszerkezeti állandó. Ez az l-függ® felhasadás az 1s alapállapotban(ahol n = 1 és l = 0) kb. 9 · 10−4 eV korrekciót jelent. Ezt a korrekciót a valóságban a Dirac-egyenlettel kellene megtenni, a fenti levezetés matematikailag nem teljesen korrekt az l = 0 esetre,de els®rendben helyes.

A spin-pálya csatolás abból adódik, hogy ha az elektron mozgó rendszeréb®l vizsgáljuk, amagnak van mágneses tere is, és ezzel kölcsönhat az elektron sajátperdülete, ~µ ~B mérték¶ pertur-bációt okozva a Hamilton-operátorban. A mozgó töltés mágneses tere ~B = ~v × ~E/c2, és miutána skalárpotenciál alakja V = −ke2/r, így ~E = −~∇V = −~rr

ker2 , a mag mágneses tere pedig az

impulzus p = v/m kifejezésével

~B = ~v ×~E

c2= − ke

mc2r3~p× ~r =

ke~L

mc2r3. (315)

A mag fentiek szerinti mágneses terét és az elektron

~µ = gsµB~S

~=gse

2m~S (316)

3Mindennek matematikailag korrektebb formába öntött tárgyalásához disztribúcióelméleti alapok szükségesek.

67

mágneses momentumát skalárszorozva kapjuk meg a perturbáló operátort, azaz a Hamilton-operátorhozhozzáadott tagot. Ez az igen naív számolás majdnem helyes eredményt ad, ugyanis a korrekt ered-mény

V spin-pálya =1

2

ke2gs2m2c2r3

~L~S =ke2

2m2c2r3~L~S =

α~2m2cr3

~L~S (317)

ahol felhasználtuk a µB = e~/2m összefüggést.A fenti (317) egyenletben az els® 1/2 faktort Llewellyn Thomas számolta ki, a koordinátarendszer-

váltás következtében jön be. Szemléletes magyarázata a Thomas-precesszió: a sebességtér a relativi-táselméletben hiperbolikus, azaz egy vektor kör mentén való körbevitele esetén a végeredmény nemugyanabba az irányba fog mutatni (a sebességösszeadás nem-asszociativitása miatt). Valójában aSchrödinger-egyenlet relativisztikus verziója, a Dirac-egyenlet adja meg a fentiek konzisztens ma-gyarázatát. A végeredményben tehát az LS szorzat szerepel (ahol most elhagytuk a vektor-jelölést,de azért észben tartjuk, hogy itt vektorokról van szó).

Az LS szorzat sajátértékét a 7.3. fejezetben tárgyaltakhoz hasonlóan a J = L + S vektorosösszefüggés négyzetéb®l számíthatjuk ki. Itt a sajátértékek j(j + 1), l(l + 1) és s(s + 1) módonadódnak, így s = 1/2 és j = |l + s| miatt, l > 0 esetén⟨

~L~S⟩

=~2

2(j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1))⇒

j = l + 1/2→ 2 〈LS〉 = ~2lj = l − 1/2→ 2 〈LS〉 = −~2(l + 1)

(318)

de l = 0 esetén j = 1/2 így⟨~L~S⟩

= 0. Az r−3 operátor fentebb megadott várható értékéb®l ígymár meghatározható a tényleges vonalfelhasadás. Minden állandót csoportosítva

∆Espin-pálya

n,l,+1/2 = lγn,l (319)

∆Espin-pálya

n,l,−1/2 = −(l + 1)γn,l, ahol (320)

γn,l =mc2α4

2n3

1

2l(l + 1)(l + 1/2)(321)

ami az n = 2 és l = 1 esetén tehát (l = 0 esetén ∆E = 0) mc2α4/96, azaz kb 1, 5 · 10−5 eV, és ezegyúttal n = 2 esetén az s és a p pálya energiájának különbsége.

Egy további korrekciót ad az úgynevezett Darwin-tag, amelyet Charles Darwin unokája, SirCharles Galton Darwin fedezett fel, a Dirac-egyenlet nemrelativisztikus közelítésének vizsgálatá-val. Ez szemléletesen az elektron relativisztikus rezgéséb®l, a Zitterbewegungból adódik: a Dirac-egyenletb®l adódó negatív és pozitív energiájú állapotok között ingadozik az elektron, amely térbelirezgésként nyilvánul meg, kb. 2mc2/~ frekvenciával és nagyságrendileg λCompton = ~/mc amplitú-dóval. Ez elkeni a mag által kifejtett potenciált, amely λCompton nagyságrend¶ elektron-elmozdulásteredményez. Könnyen kiszámítható, hogy ennyi elmozdulás után a potenciál átlagos perturbációjaennek négyzetével és az eredeti potenciál Laplace-ával lesz arányos. Legyen a potenciál uktuációjafelírható így:

δV = V (r + δr)− V (r) = ~δr~∇V +1

2( ~δr~∇)2V + . . . (322)

Itt kihasználhatjuk, hogy

〈( ~δr~∇)2V 〉 =1

3〈 ~δr

2〉〈~∇2V 〉 (323)

illetve izotróp uktuációk esetén 〈 ~δr〉 = 0, és ekkor

〈δV 〉 =1

6〈 ~δr〉〈~∇2V 〉. (324)

Így tehát a Hamilton-operátor ebb®l adódó perturbációja

VDarwin =~2

8m2c2∆V, (325)

68

29. ábra. A hidrogénatom energiaszintjeinek nomszerkezete, el®ször csak a relativisztikus hatástgyelembe véve, majd a spin-pálya csatolást és a Darwin-féle korrekciót is.

azaz az 1/r potenciál Laplace-a szerepel benne. Ez r 6= 0 esetén nulla, de ott nem nulla érték¶függvénnyel szorozva véges értéket ad, így operátor értelemben a δ3(~r) operátorral lesz arányos.Erre az adott n állapotban l = 0 esetén fentebb már megadtuk a várható értéket, ezzel pedig

∆EDarwin =mc2α4

2n3(326)

adódik. Érdemes megemlíteni, hogy a fenti Darwin-potenciál a Dirac-egyenletb®l közvetlenül isadódik.

A relativisztikus korrekció és a spin-pálya-hatás alapján az s és a p állapotok energiája külön-böz® lenne, de a Darwin-tag miatt az energiaszintek végül l és s helyett csak j-t®l függenek. Afenti három faktorral a felhasadás és a nomszerkezetbeli energiaszintek megadhatóak:

∆En,l = −mc2α4

2n3

(1

j + 1/2− 3

n

), azaz (327)

En,l,s = En

[1 +

(αn

)2(

n

j + 1/2− 3

4

)], (328)

Az n = 1 pályával összességében nem történik semmi (hiszen itt j = 1/2 mindenképpen). Mia helyzet n = 2 esetén? A relativisztikus korrekció az s és a p pályára is hat, utóbbira kisebbmértékben. Ugyanakkor a spin-pálya kölcsönhatás csak a p pályát módosítja (illetve két részreosztja), míg a Darwin-tag csak az s pályát. Összességében az n = 2 pályák két részre szakadnak,a 2s1/2 és a 2p1/2 azonos energiájú, a 2p3/2 ezzel szemben egy másik energiaszintet ad, ahogy azta 29. ábra is mutatja.

8.3. A hipernom felhasadás

A proton mágneses momentuma a gp = 5, 58 giromágneses faktorral és a mag-magnetonµN = e~/2mp deníciójával kifejezve

~µp =egp2mp

~Sp = gpµN~Sp~, (329)

ahol ~Sp a proton spinje. Ez a mágneses momentum mágneses teret kelt, ami hat az elektron mág-neses momentumára, az energiaeltolódás pedig ~µe ~Bµ,p várható értéke lesz (ezt úgy is mondhatjuk,hogy a proton mágneses momentuma érzi az elektron által keltett mágneses teret). A ~µp mágnesesmomentum vektorpotenciálja ~A = −kc2 ~µp×~rr3 , és ebb®l a mágneses tér ~B = ~∇× ~A módon adódik,azaz

~B = kc2(

3(~µp~r)~r − ~µpr2

r5

)+

8πkc2

3~µpδ

3(~r) (330)

Ehhez szükség lesz a δ3 várható értékére, ami csak az l = 0 pályákra nem nulla, itt 1/(πa3n3).

69

Az elektron mágneses momentuma ~µe = e(gs~S + gl~L)/me = gje ~J/me módon írható (ahol gj aLandé-féle g-faktor, ami gs ≈ 2 és gl = 1 értékéb®l az s, l, j kvantumszámok függvényében adódik,l = 0 esetén gj = gs ≈ 2). Ezzel felírható az energiaeltolódás, amelyben a mágneses tér és amomentum szorzata miatt J és Sp szorzata szerepel. Erre az el®z®ekhez hasonlóan

2⟨~J ~Sp

⟩= ~2(f(f + 1)− j(j + 1)− sp(sp + 1)) (331)

ahol f az ~F = ~J + ~Sp operátor sajátértékét leíró kvantumszám. A teljes számolást nem csináljukitt végig, a konkrét eredmény:

∆Ehiperfinom =4

3

me

mpα4mec

2gp1

n3

⟨~J ~Sp~2

⟩=A

2(f(f + 1)− j(j + 1)− sp(sp + 1)) (332)

ahol A az úgynevezett intervallumfaktor, továbbá sp = 1/2 a proton spinje. Az 1s pálya (aholj = 1/2) esetén az f = j + sp = 1 vagy f = j − sp = 0 állapotok fordulnak el®, ekkor az egyikenergia A/4, a másik pedig −3A/4. Itt tehát a két pálya közötti felhasadás felhasadás

∆Ef=0 vs. f=1 = A =4

3

me

mpα4mec

2gp ≈ 5, 88 · 10−6 eV (333)

azaz 1418,9 MHz-es sugárzás, amelynek hullámhossza 21 cm, és a rádiócsillagászatban sokszorlátszódik, ugyanis ez áthatol a csillagközi poron. Annyira fontos, hogy a Pioneer-táblára is rákerült.Ugyanakkor kísérletileg 1420,2 MHz adódik, azaz még mindig nincs egyezés, tehát hiányzik mégegy korrekció! Ennek az az oka, hogy eddig az elektron spinjére a gs = 2 értéket használtuk, illetvea Dirac-egyenlet eredményeit, az azonban ennyire pontos csak. A kvantumelektrodinamika elméleteadja meg a kísérleti eredményeket a legpontosabban.

8.4. A Lamb-féle eltolódás

A kvantumtérelmélet szerint az elektron bármikor kibocsáthat egy fotont magából, ha azt el isnyeli (ez az úgynevezett egyhurok korrekció), lényegében az energiahatározatlanság miatt. Ezek avirtuális fotonok körbelengik az atom elektronjait, és lecsökkentik az elektron eektív tömegétés töltését (és ezt kés®bb renormálás néven ismerjük majd). Az elektromos tér egy kicsit kisebblesz, de igazán csak kis távolságon lesz ennek hatása, tehát az s állapotot befolyásolja igazán,amely a mag körül nagy s¶r¶ség¶. Ezen kölcsönhatás miatt lesz különbség a 2s1/2 és 2p1/2 pályákenergiái között, illetve a gs = 2 összefüggés is emiatt nem teljesül. Igazából ezt az eltolódásta 30. ábrán látható három eektus okozza, a vákuumpolarizáció (mikor a foton elektron-pozitronpárrá uktuál, majd újra egyesül), az elektron tömegének módosulása (renormálása, amelyet auktuációként kibocsátott és elnyelt foton okoz) és az elektron anomális mágneses momentuma(amelyet a fotonnal való kölcsönhatás egyhurok-korrekciójával lehet illusztrálni, ld. az elektronanomális mágneses momentumáról szóló alfejezetet).

A Lamb-eltolódást úgy lehet egyébként félklasszikusan kiszámítani, ha észrevesszük, hogyugyanúgy a potenciál uktuációjáról van szó, mint a Darwin-hatásnál, tehát itt is egy

〈δV 〉 =1

6〈 ~δr〉〈~∇2V 〉. (334)

jelleg¶ tag jelenik meg. Ugyanakkor itt δr átlaga nem a Compton-hullámhossznak felel meg, hanemkicsit bonyolultabban adódik, amellyel az energiaeltolódás

〈δV 〉 = α5mc21

6πln

1

πα(335)

ami nagyságrendnél jobb egyezést ad a kvantumtérelméleti számolással, amely szerint

∆ELamb = α5mc2ξn

4n3(336)

adódik, ahol ξn ≈ 13, és n-t®l gyengén függ.

70

30. ábra. A Lamb-féle eltolódáshoz hozzájáruló folyamatok Feynman-diagramjai.

31. ábra. A Lamb-Retherford kísérlet.

Lamb és Retherford 1947-es kísérlete mutatta ki ezt az igen kicsi eltolódást (lásd 31. ábra),amely a rádiófrekvenciás tartományban van, 4, 4 · 10−6eV az értéke. Ezt optikai úton nem lehetkimutatni, csak nagyfrekvenciás rezonanciával. Ez viszont azért szerencsés, mert így a Doppler-kiszélesedés nem jelent problémát (mert az a frekvenciával arányos). A f® kísérleti kérdés, hogy asok átmenet között hogyan különböztették meg éppen a 2s1/2 és 2p1/2 közöttit? A kísérlet lényege,hogy egy 2500 fokos kályhából bocsátották ki a hidrogén-atomokat, amelyek az 1s1/2 alapállapotbanvoltak. Ezt a nyalábot elektronokkal bombázták, és ennek hatására némely atomok átkerülteka metastabil 2s1/2 állapotba (mivel a kiválasztási szabályok szerint az ebb®l az alapállapotbavaló átmenet nagyon gyenge, és így az állapot élettartama tizedmásodperc nagyságrend¶). Azatomok eztán átmennek egy gigahertzes elektromágneses téren, és ha itt egy atom átmegy az2p1/2 állapotba (ami akkor következik be tömegesen, ha a gerjeszt® tér frekvenciája éppen enneka 2s1/2−2p1/2 átmeneti energiának felel meg), az már milliárdod másodperc alatt alapállapotbabomolhat. Ezen tér után az atomok egy volfrám fóliába ütköznek, és a még mindig 2s1/2 állapotbanlév® atomok elbomlanak, és a fóliából úgynevezett Auger-elektronokat bocsátanak ki4. A 2s1/2 ésaz 2p1/2 állapot közötti energiát a nagyfrekvenciás generátorral eltalálva lényegesen kevesebb ilyenAuger-elektront fogunk észlelni (mivel ekkor a 2p1/2 hidrogén egyb®l alapállapotba bomlik, azaz1s1/2 hidrogén érkezik a volfrámlapra), tehát meghatározható a 2s1/2−2p1/2 átmenet energiája!A mérésük szerint ez kb. 1 GHz volt, mai számított értéke 1057,833(4) MHz, mért értéke pedig1057,845(3) MHz: a hidrogénatom spektrumát ezzel a lehet® legnagyobb pontosságig értjük, ahogyazt a 32. ábra is illusztrálja.

Érdemes hozzáf¶zni, hogy nagy rendszámú, de csak egyetlen elektront tartalmazó atomokkaligen nagy pontosságig lehet ellen®rizni a fentiek nagy rendszámra általánosított verzióját. PéldáulU91+ esetén (azaz 92-szeresen pozitív mag és egyetlen elektronra) az els® energiaszint (a Z2-tel valóskálázás miatt) 132 keV, és ehhez a tömeg-renormálás 355 eV korrekciót ad, a vákuumpolarizáció−89 eV korrekciót, a mag véges méretéb®l adódó korrekció 199 eV, és még a kvantumtérelméletmásodrend¶ korrekciói is 1 eV nagyságrend¶ek ennek oka az, hogy ezen korrekciók Z4 szerint

4Az Auger-emisszió során el®ször fotonelnyelés vagy más hatás miatt az egyik bels® elektron kilép az atomból,így ott egy lyuk keletkezik az elektronszerkezetben. Ezt egy küls® elektron betölti, és az energiafelszabadulás egytovábbi elektront lökhet ki az atomból. Ez utóbbit hívjuk Auger-elektronnak.

71

32. ábra. A hidrogénatom energiaszintjeinek részletes szerkezete. A f®kvantumszám szerinti felha-sadás a Coulomb-kölcsönhatásból adódik, a perdületek szerinti felhasadás (nomszerkezet) ennekrelativisztikus korrekciójából és a spin-pálya csatolásból (melynek során a mag elektron által észleltmágneses tere hat az elektron saját mágneses nyomatékára). A Lamb-féle eltolódás oka a kvantum-elektrodinamikában keresend®, míg a hipernom felhasadás az elektron mágneses terének és a magspinjének kölcsönhatásából adódik. A jobb oldali ábrán a nomszerkezet, a hipernom szerkezetés Lamb-féle eltolódás látható kinagyítva.

skáláznak.

8.5. Többelektronos atomok szerkezete

Több elektron esetén észre kell vennünk, hogy ilyenkor többelektronos hullámfüggvényt kell felír-nunk:

Ψ(x1, x2)p1,s1;p2,s2 , (337)

ahol xi az egyes elektronok helye, pi az impulzusa és si a spinvetülete. Ezek a függvények nem a szo-kásos Hilbert-terünkben vannak, hanem egy másik Hilbert-tér elemei, de ezekbe a részletekbe mostitt nem megyünk bele. Megemlítjük viszont, hogy ilyenkor deniálhatjuk a kicserélés operátorát:

P12Ψp1,s1;p2,s2 = Ψp2,s2;p1,s1 . (338)

Mivel P 212 = id, ezért a sajátértéke nyilván ±1 lesznek. A +1 sajátértékhez tartozó sajátállapotot

szimmetrikus, a −1-hez tartozót antiszimmetrikus hullámfüggvénynek nevezzük, és értelemszer¶enezek ilyen alakot vesznek fel:

Ψ(±)p1,s1;p2,s2 =

1√2

(Ψp1,s1;p2,s2 ±Ψp2,s2;p1,s1) . (339)

kiderül, hogy a fermion típusú (azonos) részecskepárok mindig antiszimmetrikus, míg a bozonokszimmetrikus hullámfüggvénybe írandóak. Ez valahol mélyen azt jelenti, hogy az azonos típusúkvantumos részecskék teljesen azonosak, kicserélésük nem meggyelhet® hiszen csak egy ±1faktor adódik a hullámfüggvényben. Kiderül azonban, hogy bár egyetlen részecskepár esetén akicserélés nem zikai hatás, de interferenciát okozhat: az ebb®l adódó hatást nevezzük kvantum-statisztikus korrelációnak.

Visszatérve az atomzikára, fontos látni, hogy a többatomos elektronok hullámfüggvénye min-den elektron cseréjére antiszimmetrikus kell, hogy legyen, ezt hívják Pauli elvnek. Így tehát az 1spályán két elektron lehet: ilyenkor a térbeli hullámfüggvény azonos, de a spintérbeli hullámfüggvényantiszimmetrikus:

Ψ(x1)Ψ(x2)1√2

(χ1(+)χ2(−) + χ1(−)χ2(+)) (340)

72

ahol χ1,2 a spin-hullámfüggvény, és az argumentumba írt ± a spinvetületet jelzi.Ezen túl a többelektronos atomokat a soktestprobléma bonyolultsága miatt analitikusan sem

tudjuk jól kezelni. Az elektronszerkezetet alakító legfontosabb tényez®k:

1. Coulomb-vonzás a mag és az elektronok között2. Coulomb-taszítás az elektronok között3. Spin-pálya csatolás4. Elektronspinb®l ered® mágneses momentumok kölcsönhatása5. Elektronpályából ered® mágneses momentumok kölcsönhatása6. Elektronspin-magspin kölcsönhatása7. Elektronpályamomentum-magspin kölcsönhatása8. Relativsztikus korrekciók9. Fermion-hullámfüggvény antiszimmetriájából adódó energiaeltolódás

Ezt általában perturbatíven próbáljuk kezelni, centrális tért feltételezve, és valamilyen maradékkölcsönhatást számolva. A legfontosabb ebben: 2, 3 és 9.

73