atos matemáticas iv asignatura Álgebra y geometría...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL ORIENTE
DATOS
GENERALES DE LA
ASIGNATURA
Matemáticas IV Álgebra y Geometría Analítica
TÍTULO DE LA
ESTRATEGIA
DIDÁCTICA (ED)
Funciones Exponenciales y Logarítmicas (Parte 1).
AUTOR
Roberto Pedro Robledo Arana.
FECHA DE
ELABORACIÓN Junio de 2015
FECHA DE
ACTUALIZACIÓN
FECHA DE
APLICACIÓN Abril de 2016
PALABRAS CLAVE Creciente, decreciente, parámetros, dominio, rango, inverso
Nombre del alumno: Nombre del alumno:
No. Cuenta: No, Cuenta:
Grupo: Grupo:
POBLACIÓN Estudiantes de Matemáticas IV, Cuarto Semestre del CCH Oriente.
UNIDAD EN QUE
SE INSERTA ESTA Unidad IV. Funciones Exponenciales y Logarítmicas.
TIPO DE
ESTRATEGIA Introducción de Conceptos y Aplicación
DURACIÓN 6 horas de clase presencial y 3 horas extra-clase.
APRENDIZAJES
ESPERADOS
Aplicará las leyes de los exponentes en distintos contextos de crecimiento y decaimiento.
Comparará el crecimiento exponencial y el logarítmico con otras formas de crecimiento.
Reconocerá el carácter inverso de las funciones exponenciales y logarítmicas y transitará de la notación exponencial a la logarítmica y
viceversa. .log xaxyy
a
Bosquejará las gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas y describir su comportamiento y propiedades algebraicas al variar sus parámetros.
Identificará el dominio y rango de una función exponencial y logarítmica.
2
ORGANIZACIÓN Equipo de 2 estudiantes por computadora
RECURSOS
MATERIALES Y
DIDÁCTICOS
Recursos Tecnológicos: computadora, software especializado: GeoGebra, Excel y PowerPoint. Espacios de trabajo: salón de clase y sala Telmex. Recursos Materiales: Actividades Didácticas.
REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICA
Swokowsky, E. W. y Cole, J. A. (1998). Álgebra y trigonometría con
geometría analítica. México: International Thomson Editores.
Leithold, Louis. (1995). Álgebra. México. Harla.
Lehmann, H. Charles. Álgebra. México. LIMUSA. Noriega Editores.
Evaluación de la Estrategia Didáctica: Funciones Exponenciales y Logarítmicas.
Nombre de la actividad Firma Porcentaje Calificación Actividad 1. Leyes de los Exponentes. 10
Actividad 2. Problemas de Aplicación. 25
Actividad 3. Funciones Exponenciales. 15
Actividad 4. Variación de Parámetros en una Función Exponencial. 15
Actividad 5. Funciones Logarítmicas. 15
Evaluación del desarrollo de la estrategia
Evaluación
Actividades complementarias a la estrategia Firma Porcentaje Calificación
Asistencia a asesorías para aclaración de dudas de alguna de las actividades descritas líneas abajo (edificio W planta alta, con cualquier asesor, o lunes y miércoles de 13:00 a 15:00, con el profesor del grupo).
10
Actividades extra-clase: Investigación documental, resolución de actividades de la estrategia, etcétera.
10
Evaluación final de la estrategia didáctica Evaluación Final
3
Actividad didáctica 1. Leyes de los exponentes.
Realiza una investigación documental sobre las leyes de los exponentes y sobre crecimiento y decaimiento exponencial y a continuación realiza lo siguiente.
1. Calcule el valor de 54 54 = ___ x ___x ___x ___ = _________
a) El número 5 recibe el nombre de: _____________, y el 4 se llama _____________. b) En este caso la potencia es: _________.
2. Completa la siguiente tabla, tomando en consideración la investigación que realizaste sobre
las leyes de los exponentes. Realiza el ejemplo adjunto.
Regla Ejemplo
nm xx
n
m
x
x
nmx
knm yx
m
y
x
00 xparax
n
x
1
n
m
y
x
n
m
x
positivosnúmerossonbyaSi
2
a
65 xx
4
9
x
x
43x
542 yx
7
6
4
y
x
00
0
0 32
15 mb
n
b3
1
10
7
y
x
3
2
x
2
3
4
ba
b
a
2a
34
11
7
27
3. Simplifica las siguientes expresiones y escribe el resultado con exponentes positivos.
2
2
8
2a
a=
3/12/1668 yx
2/1
2
2
9
4
x
x
2
35
2
x
26
3
4
4
3xx
3
24
8
1ba
5
Actividad didáctica 2. Problemas de aplicación. Resuelve los siguientes problemas, contextualizados a diferentes ramas de la ciencia. Problema 1. Roberto tiene que escoger entre las siguientes opciones para que su mamá ahorre dinero para su fiesta de 18 años.
a) Ahorrar $1000.00 cada mes durante 10 meses.
b) Ahorrar $1 el primer mes, $3 el segundo mes, $9 el tercer mes y así sucesivamente hasta llegar al décimo mes.
i) ¿Cuál es la cantidad que ahorro con el primer procedimiento?
_______________________________________________________________
ii) Completa la siguiente tabla para calcular el ahorro total que se obtendría con el segundo procedimiento.
Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dinero $ 1 3 9
Potencias
iii) ¿Cuál de las dos opciones le conviene más a Roberto?___________________
¿Por qué razón?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________ .
iv) Realiza la gráfica correspondiente meses vs dinero.
6
v) Describe brevemente lo que observas en la gráfica y establece el modelo
matemático de esta situación:
________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_________ .
Problema 2. ¿Cuál de los siguientes planes de inversión es mejor?
a) Primer plan: invertir $1000 durante un año con una tasa de interés del 7% anual.
b) Segundo plan: invertir $1000 durante 12 meses con una tasa de interés del 0.58% mensual y con reinversión mensual de los intereses.
c) Utiliza las siguientes tablas para establecer la mejor opción.
7
Primer plan de inversión durante un año.
Meses Capital % Interés anual Interés Capital Acumulado
12
Segundo plan de inversión a 12 meses
Meses Capital + Interés Capital Acumulado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
d) ¿Cuál plan fue la mejor inversión?____________________________________________.
Problema 3. Completa la siguiente tabla de potencias de base 4.
40 41 42 43 44 41/2 41/3 4-1 4-3 4-1/2 4-1/3
8
Problema 4. Crecimiento de las células: Las células se reproducen conforme a la tabla 1.
Tabla 1. Reproducción de las células
Generación Dibuje los enlaces de las células # de Células
5 OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
4 O O O O O O O O O O O O O O O O
3 O O O O O O O O
2 O O O O
1 O O
0 O
Con la información mostrada en la tabla 1, contesta las siguientes preguntas.
a) Las células se ___________________ en cada generación.
b) Las células crecen ______________________cada que surge una generación.
c) Determina una expresión para el cálculo de células para cada nueva generación.
____________________________________ .
d) Calcule el número de células de las siguientes generaciones.
G-6 G-9 G-15 G-18
e) Dibuje la gráfica de la reproducción de células de las primeras cinco generaciones.
9
Problema 5. La leyenda del ajedrez.
“Cuentan los hombres dignos de fe (pero Alá sabe más), que el rey que recibió como regalo el juego del ajedrez de manos de su inventor, le ofreció las riquezas o placeres que él quisiera. A ello, el inventor le respondió que lo único que quería era lo siguiente: que pusiera un grano de trigo en la primera casilla del tablero; en la segunda que pusiera dos granos de trigo, y así sucesivamente, que en la siguiente casilla pusiera el doble de granos de trigo que en la casilla anterior. A lo que el rey respondió afirmativamente y gustoso. Acto seguido, ordenó a sus lacayos que le pusieran el trigo que el inventor demandaba mientras ambos se sentaban a comer. Poco tiempo después de terminar la comida, vino corriendo el contador real a darle la siguiente noticia: Querido rey, lo que el inventor demanda de trigo no puede ser satisfecho por la cosecha completa que tenemos actualmente; pero lo más grave, es que ni siquiera con las siguientes veinte cosechas de trigo de todo el reino se podría satisfacer aquella petición”. Más o menos, ésta es la leyenda del ajedrez, descrita por Malba Tahan en el libro “El hombre que calculaba”. Ahora bien, contesta las siguientes preguntas: a. Escribe la expresión aritmética correspondiente a cada casilla.
10
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29
228
30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
b. Completa la siguiente tabla.
Tabla 2. La leyenda del ajedrez
# Casilla Expresión aritmética Número de granos de trigo
1 20
2
3
4
5
6 25 32
7
8
11
9
10
15
20
25 224 16,777,216
30
35
40
45
50
55
56
57
58
59
60
64
Suma Total de granos de trigo de las 64 casillas.
c. ¿Cómo obtuviste el número de granos de la casilla # 64?
___________________________________________________________________
d. Escribe la fórmula con la que se puede calcular el número de granos de trigo para cualquier casilla.
___________________________________________________________________
e. Gráfica una muestra de parejas #casilla vs #granos de trigo (10 casillas) de la tabla 2.
12
Problema 6. El conejo y la zanahoria. Un conejo intenta comerse una zanahoria de la siguiente manera. Primero se come la mitad de la zanahoria; después, la mitad de la mitad, y así sucesivamente. De esta manera, el conejo se va comiendo las siguientes proporciones de la zanahoria:
...,8
1,
4
1,
2
1
En efecto, al principio se come la mitad de la zanahoria, en el segundo bocado, el conejo deberá comerse la mitad de la mitad, de manera que se come la cuarta parte. En el tercer bocado, el conejo deberá comerse la mitad de la cuarta parte de la zanahoria que queda, por lo que se come la octava parte y así sucesivamente. Como podemos observar, en cada nuevo bocado el conejo se come una parte más pequeña a la anterior.
a) ¿Se acabará la zanahoria el conejo? _______________________________________.
b) ¿Cuánto tiempo le llevaría? ______________________________________________.
c) Completa la siguiente tabla. Grafica los pares de puntos que obtengas del conejo y la
zanahoria.
13
Tabla 3. Pares de puntos del conejo y la zanahoria
n g (n,g)
1 1/2 (1,1/2)
2
3
4
5
6 1/64 (6,1/64)
7
8
9
10
Sugerencia. Emplea una calculadora para completar la tabla.
d) Grafica los puntos obtenidos en la tabla anterior.
14
Figura 1. La gráfica del conejo y la zanahoria tiene por término general al siguiente número:
cn = (1/2)*(1/2)(n-1) = (1/2)n,
e) ¿Están alineados los puntos de esta gráfica? Explica tu respuesta.
_______________________________________________________________________. Los puntos de la figura 1, también cumplen la siguiente relación exponencial:
y = (1/2)*(1/2)(x–1)
= (1/2)x.
La cual se extiende a la función exponencial:
y = (1/2)x……………………………………………….(1)
La ecuación (1) define una función exponencial real.
15
Actividad 3. Funciones exponenciales
A. Definición: se llaman así a todas aquellas funciones de la forma xaxf , en donde la
base a , es una constante y (x) el exponente. Estas funciones tienen gran aplicación
en campos muy diversos como la Biología, Administración, Economía, Química,
Física e Ingeniería. En general esta clase de funciones cumplen con la siguiente
relación.
0 aparaay x y .10 apara
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de
uno. La condición que a sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a
por 1, la función xaxf se transforma en la función constante 1xf . La base no puede
ser negativa porque funciones de la forma 2/19xf no tendrían sentido en los números
reales. El dominio de la función exponencial está formado por el conjunto de los números
reales ,, y su recorrido (rango) está representado por el conjunto de los números
positivos ,0 .
1. La función exponencial 0apara . Por ejemplo la función: xxf 2
La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos, completa los
espacios en blanco.
x -3 -2.5 -2 -1 0 1 1.5 2 3
f(x)=2x
8
1
2
1 1 4
Para graficar esta función se localizan estos puntos en el plano cartesiano siguiente, uniéndolos con una curva suave, x crece ilimitadamente x decrece ilimitadamente.
16
2. La función exponencial 10 apara
. Por ejemplo la función de base 1/2.
Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Observa el comportamiento de la función cuando x tiende a (+∞) y cuando x tiene a (–∞).
.2
1x
xf
La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base 1/2 completa los espacios en banco.
x -3 -2 -1.5 -1 0 1 2 2.5 3
x
xf
2
1
4 2
2
1
8
1
Grafica esta función localizando los puntos en el siguiente plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave.
17
Conclusiones: Los gráficos anteriores permiten deducir que:
La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.
Toma valores positivos para cualquier valor de x .
El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales. Todas las funciones pasan por el punto (0,1).
Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma ,xaxf con ,1a son
crecientes. Los valores de la función crecen cuando aumenta.
Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma ,xaxf con ,10 a son
decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta. El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si ,1a y hacía la derecha si
.1a La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno. Si ,1a la función se transforma en la función constante 0.
18
B. Problema de Aplicación.
Función Exponencial en la Naturaleza: En algunas poblaciones P de seres vivientes en nuestro planeta, su desarrollo se aproxima matemáticamente por medio de la expresión:
P = Po (2.72)k*t
Donde t representa al tiempo, k es una constante de crecimiento positiva y Po es la población existente cuando se inicia el estudio Si al estar observando en un microscopio una muestra de aire se observan 10 bacterias. ¿Cuántas bacterias habrá a las diez horas, si la población se duplica cada hora, con una constante dada por k = 0.693? Los datos del problema son:
Po = 10 bacterias K = 0.693
Para t = 10 horas se tendrá:
P = Po (2.72)kt
P(10) = 10*(2.72)0.693*(10) = 10*(2.72)6.93
P(10) = 10(1026.98) = 10269.81
P(10)= 10269.81 bacterias
a. ¿Cuántas bacterias existirán a las 20 horas, 40 horas, y 70 horas?
P(20) = 10* (2.72)0.693(20) = 10*(2.72)13.86
P(20) = 10( ) =
P(20) =
P(40) =
P(40) =
P(40) =
P(70) =
P(70) =
P(70) =
b. Si consideramos como elementos del dominio de la función propuesta, {0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9}, determina el número de bacterias en cada tiempo.
19
P(0) = 10 (2.72)(.693)(0) = 10 (2.72)(0) = 10(1) = 10
P(1) = 10 (2.72)(.693)(1) =
P(2) = 10 (2.72)(.693)(2) = 10 (2.72)1.386 = 10(4) = 40
P(3) = 10 (2.72)(.693)(3) = = =
P(4) = 10 (2.72)(.693)(4) = = =
P(5) = 10 (2.72)(.693)(5) = = =
P(6) = 10 (2.72)(.693)(6) = = =
P(7) = 10 (2.72)(.693)(7) = = =
P(8) = 10 (2.72)(.693)(8) = = =
P(9) = 10 (2.72)(.693)(9) = = =
c. Localiza los puntos del inciso anterior en el siguiente plano cartesiano.
C. Comparación de funciones exponenciales
20
1. Elabora los registros aritméticos para las siguientes funciones. Determinado el dominio y el rango de las funciones propuestas en la siguiente tabla.
x -3 -2.5 -2 -1 0 1 1.5 2 3
xxf 2 8
1
1
xxg 3 27
1
xxh 10 100
1
x
xi
2
1
8
1
x
xj
3
1 1
27
1
x
xk
6
1 216
36
1
2. Utilizando GeoGebra, Grafica las funciones del cuadro anterior y contesta las dos siguientes preguntas.
xaxf , con .1a xaxf
, con .10 a
).()( ff RD
21
3. Describe brevemente, el comportamiento del registro geométrico (gráfica) cuando la base
de la función xf es mayor que uno, es decir xaxf , con .1a
4. Describe brevemente, el comportamiento del registro geométrico (gráfica) cuando la base
de la función xf es mayor que cero, pero menor que uno es decir xaxf
, con
.10 a
Actividad 4. Variación de parámetros en una función exponencial
A. La forma general de la función exponencial es: kbxaf(x)
Si ,2a
, con .1a tenemos la función exponencial: k2f(x) bx
Desplazamiento vertical, variación del parámetro k, con b = 0
1. Elabora el registro aritmético de las siguientes funciones. Determinado su dominio y su rango.
x -3 -2.5 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 2.5 3
4
1
22)( xxg
2
5
12)( xxh
2
1
2. Elabora el registro gráfico de dichas funciones en el plano cartesiano correspondiente uniendo los puntos discretos finitos con una curva suave de puntos continuos e infinitos. Utiliza GeoGebra.
xxf 2)(
22
Gráfica de la función 0bconk,bxaf(x)
3. Describe brevemente, el comportamiento del registro geométrico (gráfica) cuando se hace
variar el parámetro k de la función k.2f(x) x
B. Desplazamiento horizontal, variación del parámetro b, con k=0
x -3 -2.5 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 2.5 3
12)( xxf
2
1
22)( xxg 32
12)( xxh
4
1
22)( xxj 32
1
1
23
3. Elabora el registro gráfico de dichas funciones en el plano cartesiano correspondiente uniendo los puntos discretos finitos con una curva suave de puntos continuos e infinitos. Utiliza GeoGebra.
Gráfica de la función 0kconk,bxaf(x)
4. Describe brevemente, el comportamiento del registro geométrico (gráfica) cuando se hace
variar el parámetro b, con k=0, de la función .2)( kxf bx
Se recomienda realizar los registros geométricos utilizando el programa de GeoGebra, sobre el gráfico coloca la regla de correspondencia en las tres funciones faltantes.
C. Fórmula de interés compuesto El interés acumulado por medio de la siguiente formula se llama interés compuesto, observa que A se expresa en términos de una función exponencial con base 1 + i. El periodo de interés se puede medir en años, meses, semanas, días o cualquier otra unidad de tiempo apropiada.
24
nt
n
iCA
1
Dónde:
C o P = capital inicial
i = tasa de interés anual expresada como decimal
n = periodos de interés por año
t = años que C se invierte
A = Cantidad acumulada después de t años
Ejemplo 1: Uso de la fórmula de interés compuesto Supón que se invierten $1000 a una tasa de interés de 9% compuesto mensualmente. Encuentra la cantidad acumulada después de 5, 10 y 15 años. Solución: al aplicar la fórmula de interés compuesto con i = 9% = 0.09, n = 12 y C = $1 000, vemos que dicha cantidad luego de t años es
12t
12t
1.0075100012
0.0911000A
Al sustituir t = 5,10 y 15 y al usar calculadora, obtenemos esta tabla:
Números de Años Cantidad acumulada
5 $1565.681.0075$1000A60
10 $2451.361.0075$1000A120
15 4$3838.075)$1000(1.00A 180
La naturaleza exponencial del aumento está indicada porque durante los primeros 5 años, el crecimiento de la inversión es $565.68; en el segundo quinquenio fue de $885.68, y en el último llegó a $1,368.68.
La curva de la siguiente figura ilustra el crecimiento de $1000 invertidos en
un lapso de 15 años
25
Problema 1. Hallar el saldo de la cuenta después de tres años, si un capital de $19,000 se invierte a una tasa de interés de 7.5% compuesto anualmente
nt
n
iCA
1
Donde:
C = 19000
i = 7.5%
n = 1
t = 3
A = Cantidad acumulada después de t años
Sustituyendo Problema 2. Se invierte un capital de $24000, a una tasa de interés de 9% compuesto anualmente Hallar el saldo después de 5 años, si: a) En incrementos trimestrales, se tiene n=4, por lo tanto en cinco años al 9% se tiene
nt
n
iCA
1
b) Si se incrementa en forma continua, se tiene que e = 2.7182, el saldo es: ntCeA c) Que incrementos producen más, los trimestrales o los continuos, indique la diferencia:
26
Actividad 5. Funciones logarítmicas.
Los logaritmos son una herramienta matemática, para resolver fácilmente gran cantidad de problemas de fenómenos naturales y problemas matemáticos como el simplificar los cálculos aritméticos y trigonométricos. Por medio de los logaritmos se pueden hacer representaciones gráficas, que permiten analizar mejor la información cuantitativa y cualitativa que presentan ciertos problemas. De acuerdo a lo considerado con las potencias de los números reales, se sabe que:
932 823 2552 4972 2733 3225 En las igualdades anteriores, los números colocados como potencia se les reconoce como
exponentes 5,3,2,2,3,2 y respectivamente y los números que están elevados a dichos
exponentes se les llama BASE 23,7,5,2,3 y .
En forma general, si se representa a la base con la letra “b”, al exponente con la letra ""l “ y
al resultado de las igualdades anteriores se le denota como “x”, se tiene: xbl
Usando esta notación, ahora se le llamará al exponente ""l LOGARITMO.
El número ""l es el logaritmo de la cantidad “x” en la base “b”.
Ejemplo 1. 932 93,2 xybl 2 es logaritmo de 9 en la base 3.
Ejercicio 1. Indique el logaritmo, la base y la cantidad de las siguientes expresiones:
823 ______, xybl ____ es logaritmo de ____ en la base____
2552 ______, xybl ____ es logaritmo de ____ en la base____
4972 ______, xybl ____ es logaritmo de ____ en la base____
Ejemplo 2. .2733 Tres es el logaritmo de veintisiete en la base tres.
Ejercicio 2. Indique con letra el logaritmo, cantidad y base de las siguientes expresiones:
3225 _____________________________________________________________
1624 _____________________________________________________________
1642 _____________________________________________________________
6482 _____________________________________________________________
Conceptos
El valor de la base en la expresión 100004 b
Despejando “b”, se tiene 101010000 4 44 b
27
El valor del logaritmo de la siguiente expresión .266;36
16 2
lll
El logaritmo l en este caso es igual a menos dos )2l 36
1
6
16
2
2
Por lo cual el logaritmo l , de una cantidad x , es el exponente al que se eleva la base b ,
para obtener la cantidad x , matemáticamente se simboliza como: .log xl b
También se puede expresar matemáticamente como: .log xy b
La notación exponencial (N.E) de un logaritmo se simboliza como: xbl
La notación logarítmica (N.L) del logaritmo se simboliza como: xl blog Ejemplo 3. Representar en forma logarítmica las siguientes expresiones:
1000103 primero 10003,10 xlb después 31000log10
16
14 2 primero 2,
16
1,4 lxb después 2
16
1log4
Ejercicio 3. Representa en la forma logarítmica las siguientes expresiones:
190 ______,___, lxb ______log log10ób
En virtud de que las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones mutuamente
inversas, como se muestra en la siguiente figura.
Funciones exponencial y logarítmica
28
Se cumple la siguiente relación.
y
b bxxy log ………… ……………….. ( 1 )
Notación logarítmica Notación Exponencial
Con la expresión ( 1 ) realiza lo siguiente:
Ejercicio 4. Expresa la relación de la ecuación usando notación logarítmica.
932
823
4
1
16
1 2
1
25
15 2
48 3
2
Ejercicio 5. Expresa la relación de la ecuación mediante notación exponencial.
3
12log8
01log6
2
1
3
1log9
481log3
Ejercicio 6. Obtenga el valor de los siguientes logaritmos (la incógnita es y o l).
49log7
6
1log6
81log3
001.0log
29
Ejercicio 7. Obtenga el valor de la variable x en las siguientes ecuaciones exponenciales.
232 52. xxa
1232 43. xxb
Ejercicio 8. Obtenga el valor de la variable x en las siguientes ecuaciones logarítmicas.
3log1log. xxa
3log)15(log. 33 xxb
22log6log. 2
2
2 xxxc
Propiedades de los logaritmos
BA blog bb logB*Alog1.
BA blog bb logB
Alog2.
AnAn
bb loglog3. *