ATURAN RANTAI

Aturan rantai dua variabel

Misalkan u adalah fungsi dua peubah dari x dan y yang terdiferensial,

didefinisikan melalui persamaan u= f(x,y) , x= F(r,s) dan y= G(r,s) serta

turunan – turunan parsial dx/dr, dx/ds, dy/dr, dy/dr semuanya ada,

Aturanrantai pada fungsi komposit (composite function) dengan satu

peubah, sejauh ini telah kita kenal dengan baik. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑡 ), di mana baik 𝑓

maupun 𝑡 adalah fungsi-fungsi yang dapat dideferensialkan, maka

𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡

Di sini, tujuannya adalah menghasilkan penerapan-penerapan untuk

fungsi-fungsi dengan beberapa peubah.

Versi Pertama jika 𝑧 = 𝑓 𝑥,𝑦 , di mana 𝑥dan 𝑦 adalah fungsi-fungsi dari

𝑡, maka masuk akal apabila kita menyatakan 𝑑𝑧

𝑑𝑡, yang tentunya terdapat sebuah

rumus untuk itu.

Teorema A Aturan Rantai

Misalkan 𝑥 = 𝑥(𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑡) dapat dideferensialkan di 𝑡, dan misalkan

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 dapat dideferensialkan di 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 , maka 𝑧 = 𝑓 𝑥,𝑦 ,𝑦(𝑡) dapat

dideferensialkan di 𝑡 da

𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

Bukti kita meniru pembuktian satu peubah pada Lampiran L.2, Teorema

B. Untuk meyederhanakan notasi, misalkan 𝒑 = 𝑥,𝑦 ,∆𝒑 = ∆𝑥,∆𝑦 ,∆𝑧 =

𝑓 𝒑 + ∆𝒑 − 𝑓 𝒑 . Maka karena 𝑓 dapat dideferensialkan,

∆𝑧 = 𝑓 𝒑 + ∆𝒑 − 𝑓 𝒑 = ∇ 𝑓 𝐩 ∙ ∇𝐩 + ε(∆𝐩) ∙ ∆𝐩

= 𝑓𝑥 𝒑 ∆𝑥 + 𝑓𝑦 𝒑 ∆𝑦 + 𝜀(∆𝒑) ∙ ∆𝒑

Dengan 𝜀 ∆𝒑 → 0 ketika ∆𝒑 → 0.

Ketika kita membagi kedua ruas dengan ∆𝑡, maka kita akan memperoleh

(1) ∆𝑧

∆𝑡= 𝑓𝑥 𝒑

∆𝑥

∆𝑡+ 𝑓𝒚 𝒑

∆𝑦

∆𝑡+ 𝜀 ∆𝒑 ∙

∆𝑥

∆𝑡,∆𝒚

∆𝒕

Aelanjutnya, ∆𝑥

∆𝑡,∆𝒚

∆𝒕 mendekati

𝑑𝑥

𝑑𝑡,𝑑𝑦

𝑑𝑡 ketika ∆𝑡 → 0. Demikian pula, ketika

∆𝑡 → 0, ∆𝑥 dan ∆𝑦 mendekati 0 (ingatlah bahwa 𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) kontinu, dapat

dideferensialkan). Hasilnya adalah ∆𝒑 → 0, sehingga ε(∆𝐩) → 0 ketika ∆𝑡 → 0.

Konsekuensinya, ketika kita menetapkan ∆𝑡 → 0 pada (1), kita memperoleh

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑓𝑥 𝒑

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑓𝑦 𝒑

𝑑𝑦

𝑑𝑡

Yang merupakan hasil yang ekuivalen dengan Teorema A.

Penjelasan yang menarik atas Analogi Umum

Apakah analogi umum atas turan rantai dengan satu peubah (Teorema A, Subbab

3.5) juga berlaku disini? Jawabannya adalah ya, dan terdapat penjelasan yang

sangat menarik tentang hal ini. Misalkan Ʀ" melambangkan ruang berdimensi −𝑛

Euclidean. g melambangkan fungsi dari Ʀ ke Ʀ", dan 𝑓 melambangkan sebuah

fungsi dari Ʀ" ke Ʀ. Jika g dapat dideferensialkan di 𝑡 dan 𝑓 dapat

dideferensialkan di g(𝑡), maka fungsi komposit 𝑓°g dapat dideferensialkan di g(𝑡)

dan (𝑓°g)′ 𝑡 = ∇𝑓 g 𝑡 ∙ g′(𝑡) seluruh perangkat yang diperlukan utuk

mendemonstrasikan fungsi ini telah bersedia. Anda diharapkan dapat melakukan

pembuktiannya.

Aturan Rantai : Kasus Dua Peubah

Berikut ini adalah konsep yang dapat memebantu anda untuk mengingat aturan

rantai.

gg

𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑡

Peubah

tak bebas

𝑦 𝑥 Peubah

pertengahan

Peubah bebas

𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

CONTOH 1 andaikan 𝑧 = 𝑥3𝑦, di mana 𝑥 = 2𝑡 dan 𝑦 = 𝑡2. Tentukan 𝑑𝑧

𝑑𝑡

Penyelesaian

𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= 3𝑥2𝑦 2 + (𝑥2)(2𝑡)

= 6 2𝑡 2 𝑡2 + 2(2𝑡)3𝑟2 = 8𝑡5

Sehingga 𝑑𝑧

𝑑𝑡= 40𝑡2 . meskipun demiian, metode substitusi lagsung seringkali

tidak bersedia atau tidak sesuai. Perhatikan contoh berikutnya.

CONTOH 2 Ketika sebuah silinder lingkaran tegak padat dipanaskan , jari-jari 𝑟

dan tingginya ℎ akan meningkat, sehingga luas permukaannya 𝑆 juga meningkat.

Andaikan pada waktu sesaat ketika 𝑟 = 10 𝑐𝑚 dan ℎ = 100 𝑐𝑚, 𝑟 meningkat 0,2

cm per jam dan ℎ meningkat 0,5 cm per jam. Seberapa cepatkah peningkatan 𝑆

pada waktu tersebut?

Penyelesaian rumus untuk luas permukaan total

dari sebuah silinder (Gambar 1) adalah

𝑆 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2

Jadi,

𝑑𝑆

𝑑𝑡=

𝜕𝑆

𝜕𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡+

𝜕𝑆

𝜕ℎ

𝑑ℎ

𝑑𝑡

= 2𝜋ℎ + 4𝜋𝑟 0,2 + (2𝜋𝑟)(0,5)

Di 𝑟 =10 dan ℎ = 100,

𝑑𝑆

𝑑𝑡= 2𝜋 ∙ 100 + 4𝜋 ∙ 10 0,2 + (2𝜋 ∙ 10)(0,5)

= 58 𝜋 cm2/jam

h

r

Hasil yang diperoleh pada Teorema A dapat diperluas untuk dengan tiga

peubah sebagaimana ilustrasi berikut ini.

CONTOH 3 Andaikan𝑊 = 𝑥2𝑦 + 𝑦 + 𝑥𝑧 dimana 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑦 =

𝑠𝑖𝑛 𝜃, 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝜃2. Tentukan 𝑑𝑤

𝑑𝜃dan hitunglah nilai tersebut di 𝜃 =

𝜋

3

Penyelesaian

𝑑𝑤

𝑑𝜃=

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝜃+

𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝜃+

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝜃

= 2𝑥𝑦 + 𝑧 −𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑥2 + 1 cos𝜃 + (𝑥)(2 𝜃)

= −2 cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 − 𝜃2 sin 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠3 𝜃 + cos𝜃 + 2 𝜃 cos𝜃

Di 𝜃 = 𝜋/3

𝑑𝑤

𝑑𝜃= −2 ∙

1

2∙

3

4−

𝜋2

9∙ 3

2+

1

4+ 1

1

2+

2𝜋

3∙

1

2

= −1

8−

𝜋2 3

18+

𝜋

3

Versi Kedua

Andaikan 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦), dimana 𝑥 = 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡). Maka, masuk akal

untuk menanyakan 𝜕𝑧/𝜕𝑠 dan 𝜕𝑧/𝜕𝑡.

Teorema B Aturan Rantai

Misalkan𝑥 = 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡) mempunyai turunan parsial pertama di (𝑠, 𝑡),

dan misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) dapat dideferesialkan di 𝑥 𝑠, 𝑡 , 𝑦 𝑠, 𝑡 . Maka

𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑠, 𝑡 ,𝑦 𝑠, 𝑡 mempunyai turunan parsial pertama yang dinyatakan

dengan

(i) 𝜕𝑧

𝜕𝑠=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑠+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑠; (ii)

𝜕𝑧

𝜕𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑡+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑡.

Bukti

Jika 𝑠 dipertahankan bernilai tetap, maka 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦(𝑠, 𝑡) menjadi fungsi-fungsi

dari 𝑡 itu sendiri, yang berarti bahwa teorema A berlaku. Ketika kita

menggunakan teorema ini dengan 𝜕 menggantikan 𝑑 untuk menyatakan bahwa

𝑠tetap, maka kita akan memperoleh rumus di dalam (ii) dan 𝜕𝑧/𝜕𝑡. Rumus untuk

𝜕𝑧/𝜕𝑠 diperoleh dengan cara yang serupa dengan mempertahankan nilai 𝑡.

Contoh 4

Jika 𝑧 = 3𝑥2 − 𝑦2, dimana 𝑥 = 2𝑠 + 7𝑡 dan 𝑦 = 5𝑠𝑡, tentukan 𝜕𝑧/𝜕𝑡 dan

nyatakan dalam 𝑠 dan 𝑡.

Penyelesaian

𝜕𝑧

𝜕𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑡+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑡

= (6𝑥)(7) + (−2𝑦)(5𝑠)

= 42 2𝑠 + 7𝑡 − 10𝑠𝑡 5𝑠

= 84𝑠 + 294𝑡 − 50𝑠2𝑡