INTRODUÇÃO AO CÁLCULO

CÁLCULO INTEGRAL

Fernanda Laureano da Silva

Os dois problemas fundamentais do Cálculo

– o cálculo do coeficiente angular da reta tangente e o

cálculo de áreas –

dividem esta matéria em duas partes:

o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral.

Veremos como estes dois problemas estão intimamente relacionados.

ESTUDO DO CÁLCULO

As idéias básicas do Cálculo Integral têm origem bem remota e começaram com o problema de calcular a área

de uma figura plana ou o volume de um sólido.

O procedimento usado nesses cálculos empregava o chamado “método da exaustão” que consistia em “exaurir” ou “esgotar” a figura dada por meio de

outras áreas e volumes conhecidos.

CÁLCULO INTEGRAL

Vamos considerar o problema de encontrar a área da região limitada pelo gráfico de uma função y = f(x) num intervalo [a,b], o eixo OX e as retas x = a e x = b.

O método consiste em dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais e em cada subintervalo construir um retângulo que se estende desde o eixo OX até algum ponto sobre a curva y = f(x).

MÉTODO DE EXAUSTÃO

MÉTODO DE EXAUSTÃO

0.5 1.0

0.5

1.0

y = x^2

MÉTODO DE EXAUSTÃO

MÉTODO DE EXAUSTÃO

MÉTODO DE EXAUSTÃO

CÁLCULO DA ÁREAExiste um outro método para o cálculo dessa área

que tem conexão com a diferenciação.

Historicamente os conceitos básicos da Integral foram usados pelos gregos muito tempo antes do Cálculo Diferencial ter sido descoberto.

O maior avanço em relação a um método geral para o cálculo de áreas foi feito independentemente por Newton e Leibniz, os quais descobriram que as áreas poderiam ser obtidas revertendo–se o processo da diferenciação.

O que Newton e Leibniz mostraram foi que

onde F(x) é uma função tal que F´(x) = f(x).

Este é um dos resultados mais importantes do Cálculo conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo.

INTEGRAL

)()()( aFbFdxxfb

a

A nossa questão agora será apresentar métodos para encontrar a função F(x), ou seja, dada uma função f(x), encontrar a função F(x) tal que F´(x) = f(x). Este processo é chamado de antidiferenciação. O cálculo dessa “antiderivada”, ou “primitiva” , torna bastante simples o cálculo de áreas de figuras planas.

Estudaremos agora a operação inversa: dada a função f derivada encontrar a função primitiva F.

INTEGRAL INDEFINIDA

f(x) = k f´(x) = 0

f(x) = xn f´(x) = n. xn-1

f(x) = c. f f´(x) = c. f´

f(x) = (f+g) f´(x) = f´+g´

f(x) = (f.g) f´(x) = f´.g+f.g´ f(x) = (f/g) f´(x) = f´.g-f.g´

g2

f(x) = fn f´(x) = n. fn-1.f´

f(x) = ex f´(x) = ex

f(x) = ax f´(x) = ax . ln a f(x) = ln x f´(x) = 1

x

f(x) = senx f´(x) = cosx

f(x) = cosx f´(x) = -senx

f(x) = tgx f´(x) = sec2x

f(x) = cotgx f´(x) =-cosec2x

f(x) = secx f´(x) = secx.tgx

f(x)=cosecx f´(x)=-cosecx.cotgx

REVISANDO A TABELA DE DERIVADAS

Para cada uma das funções f(x) dadas a seguir tente encontrar uma função F(x) tal que F´(x) = f(x).

f(x) = x f(x) = 3x2 f(x) = 1 f(x) = e2x

f(x) = cos(2x) f(x) = sen(3x) f(x) = 2/x

RESOLVA

Para cada uma das funções f(x) dadas a seguir tente encontrar uma função F(x) tal que F´(x) = f(x).

f(x) = x f(x) = 3x2 f(x) = 1 f(x) = e2x

f(x) = cos(2x) f(x) = sen(3x) f(x) = 2/x

F(x) = x2 /2 F(x) = x3 F(x) = x F(x) = e2x/2 F(x) = sen(2x)/2 F(x) = -cos(3x)/3 F(x) = 2.lnx

RESOLVA

F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex

F(x) = ex + 2 é uma primitiva de f(x) = ex

Os exemplos anteriores nos mostram que a primitiva de uma função não é única!!

Então, integrando-se ou antidiferenciando-se f(x), obtém-se as antiderivadas F(x) + C

EXEMPLO

– Determinando uma primitiva específica -

Determine uma primitiva de f(x) = sen x que satisfaça F(0) = 3.

Solução: Como a derivada de –cos x é sen x, a primitiva geral é F(x) = - cos x + C

Como F(0) = 3, então: - cos (0) + C = 3

- 1 + C = 3

C = 4

Logo: F(x) = - cos x + 4

EXEMPLO

– Determinando uma curva a partir de sua função coeficiente angular e um ponto -

Determine a curva cujo coeficiente angular no ponto (x,y) é 3x2 sabendo que ela passa pelo ponto P(1,-1).

Solução: Como a derivada de 3x2 é x3, a primitiva geral é F(x) = x3 + C

Como P(1,-1), então: 13 + C = -1

1 + C = -1

C = -2

Logo: A curva que desejamos é F(x) = x3 - 2

EXEMPLO

Exercícios:

1. Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x-5. Se a curva contém o ponto (3, 7) ache a sua equação.

2. Determine uma primitiva de y = 6x2 + x - 5 sujeita à condição inicial y(0) = 2.

3. Se você conhece a aceleração de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada em função do tempo, o que mais você precisa saber para determinar a função posição do corpo?

INTEGRAL INDEFINIDA

Aplicação:

4. Uma partícula move-se ao longo de um eixo s. Use a informação dada para encontrar a função-posição da partícula.

a) v(t) = t3 – 2t2 + 1 e s(0) = 1

b) a(t) = 4 cos(2t); v(0) = -1, s(0) = -3

INTEGRAL INDEFINIDA