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Conceitos Básicos de Matemática
Aula 1
ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade
Diana Aldea Mendes
12 de Setembro de 2011
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 1 / 69
Conceitos Básicos de Matemática
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 2 / 69
Tópicos
Funções reais com 1 e 2 variáveis reais
Função exponencial, logaritmica e potênciaDerivação e diferenciaçãoExtremos livres e condicionados
Matrizes e Determinantes
Operações com matrizesCálculo de um determinanteInversão de matrizesValores e vectores próprios
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
Uma função real de uma variável real denota-se por f : D ⊆ R→ R eé dada por uma expresão
y = f (x) ondex variável independentey variável dependente
Uma função real de duas variáveis reais denota-se porf : D ⊆ R2 → R e é dada por uma expresão
z = f (x, y) ondex, y variáveis independentes
z variável dependente
Example
Função de produção de Cobb-Douglas f : R2+ → R+ , f (k, l) = kαlβ,onde
k (capital), l (labour) são variáveis independentes e z = f (k, l) é a variáveldependente.
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
010
2030
0
20
40
0
2
4
6
8
l
alpha=0.4, beta=0.5
k
0102030 0
2040
0
10
20
30
40
50
60
l
alpha=0.2, beta=1.5
k0
1020
30 010
2030
0
20
40
60
l
alpha=1.2, beta=0.5
k
0102030
0
20
40
0
100
200
300
400
500
600
l
alpha=1.2, beta=1.5
k
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 5 / 69
Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função convexa: uma função f : [a, b] ⊂ R→ R é convexa se aregião sobre (acima) o seu gráfico for um conjunto convexo. Isto é:para quaisquer x e y pertencentes a [a, b] e para todo t ∈ [0, 1], tem-se
f (tx+ (1− t)y) ≤ tf (x) + (1− t)f (y)
Função concava: uma função f : [a, b] ⊂ R→ R é concava se aregião sob (abaixo) o seu gráfico for um conjunto convexo.
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5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
1
2
3
4
5
x
y
Função convexa
10 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 456
4
2
0
2
4
x
y
Função côncava
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função exponencial f : R→ R+
f (x) = ex e f (x) = ax, a > 0
Propriedades
eAeB = eA+B,eA
eB = eA−B, ax = ex ln a
axbx = (ab)x , e0 = 1, e−∞ = 0, e+∞ = +∞
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
0 10 20 300
0.5
1
1.5
2
2.5
x
yy=exp(x)
0 10 20 30 400
2
4
6
8
x
y
y=exp(x)
0 10 20 30 4010
0
10
20
30
40
50
x
y
y=exp(2x)
0 10 20 30 400
1
2
3
4
5x 104
x
y
y=2exp(5x)
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função logarítmica: f : R+ → R
f (x) = loga x, a > 0, a 6= 1a = e → log natural ln
Propriedades
ln A+ ln B = ln (AB) , ln A− ln B = ln(
AB
)A ln B = ln BA, ln 1 = 0, ln e = 1ln 0+ = −∞, ln(+∞) = +∞
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
0 10 20 30 40 505
4
3
2
1
0
1
2
x
y
y=log(x)
0 10 20 30 40 502
1
0
1
2
3
4
5
x
y
y=log(x)
0 10 20 30 40 504
3
2
1
0
1
2
3
x
y
y=log(ex)
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
x
y
y=2log(2x+1)
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Funções reais de uma e duas variáveis reais
Função potência: f : R→ R
f (x) = axk, a, k ∈ R
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 12 / 69
Funções reais de uma e duas variáveis reais
0 10 20 30 40 50 600
2
4
6
8
10
x
y
y=x2
0 10 20 30 40 50 6030
20
10
0
10
20
30
x
y
y=x3
0 10 20 30 40 50 60300
200
100
0
100
200
300
x
y
y=x5
10 0 10 20 30 40 50 6010
5
0
5
10
x
y
y=x1
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Derivação de funções reais de uma variável real
A derivada representa a taxa de variação de uma função
Uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cadaponto do seu domínio, a função f (x)− f (a) se comportaraproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráficofor aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é aderivada da função f no ponto a e representa-se por
f ′ (a) oudfdx(a)
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0 10 20 30 40 50 602
0
2
4
6
8
x
y
0 10 20 30 40 50 60 701
0
1
2
3
x
yf(x)
tangente
inclinação = f'(x)
função não derivável em a
a
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Derivação de funções reais de uma variável real
Em tudo que segue k representa um número real e u, v representamfunções reais de uma variável real.
Regras de derivação
(ku)′ = ku′ (u+ v)′ = u′ + v′(xk)′ = kxk−1 (
uk)′ = kuk−1u′
(uv)′ = u′v+ uv′(u
v
)′=
u′v− uv′
v2
(ex)′ = ex (eu)′ = u′eu
(ax)′ = ax ln a, a > 0 (au)′ = u′au ln a, a > 0
(ln x)′ =1x
(ln u)′ =u′
u
Derivando a derivada de primeira ordem obtém-se a derivada desegunda ordem e assim sucessivamente derivadas de ordem superior
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Exemplos - derivação
1 f (x) = 4x3 =⇒ f ′ (x) = 12x2 =⇒ f′′(x) = 24x
2 f (x) = (x− 1)2 =⇒ f ′ (x) = 2 (x− 1) =⇒ f′′(x) = 2
3 f (x) =2x2 =⇒ f (x) = 2
(x−2) =⇒ f ′ (x) = − 4
x3
4 f (x) = x3ex =⇒ f ′ (x) = x2ex (3+ x)
5 f (x) = (ln x)4 =⇒ f ′ (x) =4 ln3 x
x
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Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duasvariáveis reais
A derivada parcial (de primeira ordem) de f (x, y) em ordem a variávelx designa-se por
∂f∂x(x, y)
e signifique derivar a função f em ordem a x considerando y comosendo constante
A derivada parcial (de primeira ordem) de f (x, y) em ordem a variávely designa-se por
∂f∂y(x, y)
e signifique derivar a função f em ordem a y considerando x comosendo constante
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 18 / 69
Se a função f (x, y) for diferenciável no ponto (a, b) é porque admitederivadas parciais finitas e contínuas numa vizinhança desse ponto.Neste caso o Diferencial de 1a ordem da função f no ponto (a, b)define-se por
df (a, b) =(
∂f∂x
)(a, b) dx+
(∂f∂y
)(a, b) dy
onde dx e dy designam-se por acréscimos (são numeros reaispequenos).
Quando a função for diferenciável, para o cálculo de valoresaproximados, podemos utilizar a seguinte expressão dediferenciabilidade:
f (a+ h, b+ k) ≈ f (a, b) + dx(
∂f∂x
)(a,b)
+ dy(
∂f∂y
)(a,b)
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Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duasvariáveis reais
Derivando as duas derivadas parciais de primeira ordem mais uma vezem relação a cada uma das duas variáveis x, y obtemos as 4 derivadasparciais de segunda ordem de f (x, y) , isto é(
∂f∂x
)′x=
∂
∂x
(∂f∂x
)=
∂2f∂x2 ;
(∂f∂x
)′y=
∂
∂y
(∂f∂x
)=
∂2f∂x∂y(
∂f∂y
)′x=
∂
∂x
(∂f∂y
)=
∂2f∂y∂x
;(
∂f∂y
)′y=
∂
∂y
(∂f∂y
)=
∂2f∂y2
O diferencial de segunda ordem da função f no ponto (a, b) define-sepor
d2f (a, b) =
(∂2f∂x2
)(a, b) dx2 + 2
(∂2f
∂y∂x
)(a, b) dxdy
+
(∂2f∂y2
)(a, b) dy2
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Derivadas parciais e diferenciais de funções reais de duasvariáveis reais
Example
Para f (x, y) = x3 + 2y2 temos as seguintes derivadas parciais de primeirae segunda ordem:
∂f∂x(x, y) = 3x2
∂f∂y(x, y) = 4y
∂2f∂x2 (x, y) =
(∂f∂x
)′x=(
3x2)′
x= 6x
∂2f∂y∂x
(x, y) =
(∂f∂x
)′y=(
3x2)′
y= 0
∂2f∂y2 (x, y) =
(∂f∂y
)′y= (4y)′y = 4
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 21 / 69
Os diferenciais de primeira e segunda ordem no ponto (a, b) = (1, 2) sãodados por
df (a, b) =
(∂f∂x
)(1, 2) dx+
(∂f∂y
)(1, 2) dy
=(
3x2)(1, 2) dx+ (4y) (1, 2) dy = 3dx+ 8dy
d2f (a, b) =
(∂2f∂x2
)(a, b) dx2 + 2
(∂2f
∂y∂x
)(a, b) dxdy
+
(∂2f∂y2
)(a, b) dy2 = (6x) (1, 2) dx2 + 2 (0) (1, 2) dxdy+ 4 (1, 2) dy2
= 6dx2 + 4dy2
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 22 / 69
Example
Para f (x, y) = 3xy + 2 ln(
xy
)+ x2y2, temos as seguintes derivadas
parciais de primeira ordem:
∂f∂x(x, y) = 2xy2 +
2x+ 3xyy ln 3
∂f∂y(x, y) = 2x2y− 2
y+ 3xyx ln 3
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 23 / 69
Extremos Livres (Relativos)
Definição: Sejam f : A ⊆ R→ R e a ∈ IntA.
a é um ponto de mínimo local (global) para a função f se e só senuma vizinhança V do ponto dado se tem
f (x) ≥ f (a) , ∀x ∈ V (∀x ∈ A)
O número real f (a) representa o valor mínimo que a função f assumena vizinhança V.a é um ponto de máximo local (global) para a função f se e só senuma vizinhança V do ponto dado se tem
f (x) ≤ f (a) , ∀x ∈ V (∀x ∈ A)
O número real f (a) representa o valor máximo que a função f assumena vizinhança VOs mínimos e os máximos designam-se por extremos.
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Extremos Livres (Relativos)
Definição: Seja f (x) uma função diferenciável definida em A ⊂ R e comvalores em R É condição necessária (condição de primeira ordem) para aexistência de um extremo no ponto a ∈ A, que f ′ (a) = 0.Sendo assim, resolvendo a equação f ′ (a) = 0 obtém-se os possíveiscandidados ao extremo, ou seja os pontos estacionários (deestacionariedade) do problema.Definição: A condição suficiente (condições de segunda ordem) consta nacaracterização do ponto de estacionariedade a como máximo ou mínimo edepende do signal da derivada de segunda ordem, isto é
se f ′′ (a) > 0 então a é um mínimo
se f ′′ (a) < 0 então a é um máximo
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Extremos Livres (Relativos)
Example
Determine, caso existem, os extremos livres da seguinte função: f (x) = x2.
Condição necessária: f ′ (x) = 2x = 0→ x = 0 é o único pontoestacionário da função dada.
Condição suficiente: f ′′(x) = 2 > 0→ logo o ponto x = 0 é ummínimo.
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 26 / 69
Extremos Livres (Relativos)
Sejam f : A ⊆ R2 → R e (a, b) ∈ IntA.(a, b) é um ponto de mínimo local (global) para a função f se e só senuma vizinhança V do ponto dado se tem
f (x, y) ≥ f (a, b) , ∀ (x, y) ∈ V, (∀ (x, y) ∈ A)
O número real f (a, b) representa o valor mínimo que a função f assumena vizinhança V.O número real f (a, b) representa o valor mínimo da função f .(a, b) é um ponto de máximo local (global) para a função f se e só senuma vizinhança V do ponto dado se tem
f (x, y) ≤ f (a, b) , ∀ (x, y) ∈ V, (∀ (x, y) ∈ A)
O número real f (a, b) representa o valor máximo que a função fassume na vizinhança VO número real f (a, b) representa o valor máximo que a função fassume na vizinhança V
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 27 / 69
Extremos Livres (Relativos)
É condição necessária (condição de primeira ordem) para a existência
de um extremo no ponto (a, b) ∈ A, que∂f∂x(a, b) = 0 e
∂f∂y(a, b) = 0.
Isto é, resolvendo o sistema de 2 equações e 2 incógnitas definido por(
∂f∂x
)(x, y) = 0(
∂f∂y
)(x, y) = 0
obtém-se os possíveis candidados ao extremo, ou seja os pontosestacionários (de estacionariedade) do problema.
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 28 / 69
Extremos Livres (Relativos)
As condições suficientes (condições de segunda ordem) constam nacaracterização do ponto de estacionariedade (a, b) como máximo oumínimo relativo, ou ainda como ponto de sela, e dependem dosvalores da matriz Hessiana H da função no ponto (caso exista).
Relembramos que no caso de funções reais de duas varáveis reais amatriz Hessiana é definido por
H (x, y) =
∂2f∂x2
∂2f∂x∂y
∂2f∂x∂y
∂2f∂y2
(x,y)
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 29 / 69
Extremos Livres (Relativos)
O ponto de estacionariedade (a, b) é um mínimo se e só se
D1 =
∣∣∣∣ ∂2f∂x2
∣∣∣∣(a,b)
> 0 e D2 = |H (a, b)|
=
(∂2f∂x2
)(a,b)
(∂2f∂y2
)(a,b)−(
∂2f∂x∂y
)(a,b)
(∂2f
∂x∂y
)(a,b)
> 0
O ponto de estacionariedade (a, b) é um máximo se e só se
D1 =
∣∣∣∣ ∂2f∂x2
∣∣∣∣(a,b)
< 0 e D2 = |H (a, b)|
=
(∂2f∂x2
)(a,b)
(∂2f∂y2
)(a,b)−(
∂2f∂x∂y
)(a,b)
(∂2f
∂x∂y
)(a,b)
> 0
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 30 / 69
Extremos Livres (Relativos)
010
2030
4050
0
10
20
30
40
5010
5
0
5
10
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 31 / 69
Extremos Livres (Relativos)
Example
Determine, casa existem, os extremos livres da seguinte função
f (x, y) = −x3 + 4xy− y2.
Condição necessária: cálculo dos pontos estacionários (os possíveispontos de extremo)
{f ′x (x, y) = 0f ′y (x, y) = 0
{−3x2 + 4y = 04x− 2y = 0
{−3x2 + 4y = 0y = 2x{
−3x2 + 4 (2x) = 0y = 2x
{−3x2 + 8x = 0y = 2x
{x = 0 ou x = 8/3y = 0 ou y = 16/3
Portanto existam dois pontos de estacionariedade (x, y) = (0, 0) e(x, y) = (8/3, 16/3) .
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 32 / 69
Extremos Livres (Relativos)
Condição suficiente:averiguar quais dos pontos de estacionariedadesão pontos de extremo. Por isso é precisso determinar a matrizHessiana da função f (x, y) , isto é
H (x, y) =
[f ′′
x2 (x, y) f ′′
xy (x, y)f ′′
xy (x, y) f ′′
y2 (x, y)
]=
[−6x 4
4 −2
]
Para o ponto estacionário (x, y) = (0, 0) obtem-se
H (0, 0) =[−6x 4
4 −2
](0,0)
=
[0 44 −2
]=
[−2 44 0
]
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 33 / 69
Extremos Livres (Relativos)
de onde
D1 = | − 2| = −2 < 0
D2 =
∣∣∣∣ −2 44 0
∣∣∣∣ = −16 < 0
e portanto o ponto (0, 0) não é um extremi (é um ponto de sela).
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 34 / 69
Extremos Livres (Relativos)
Para o ponto estacionário (x, y) = (8/3, 16/3) obtem-se
H (8/3, 16/3) =[−6x 4
4 −2
](8/3,16/3)
=
[−48/3 4
4 −2
]→
de onde
D1 = | − 48/3| = −48/3 < 0
D2 =
∣∣∣∣ −48/3 44 −2
∣∣∣∣ = 48/3 > 0
e portanto o ponto (8/3, 16/3) é um ponto de máximo.
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 35 / 69
Extremos Condicionados
Definição: Um problema de extremos condicionados consiste de umafunção real f : A ⊆ R2 → R (função objectivo) cujas 2 variáveis estãoligadas por 1 condição ou seja a função f (x, y) é sujeita à 1 restrição
g(x, y) = 0
Calcular os extremos condicionados do problema é equivalente ao calcularos extremos livres da seguinte função
L (x, y; λ) = f (x, y) + λg(x, y)
designada por função Lagrangeana. A variável auxiliare λ designa-se pormultiplicador de Lagrange.
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 36 / 69
Extremos Condicionados
Apos da construcção da função Lagrangeana precede-se ao calculo dospontos estacionários (condição necessária). O sistema de estacionariedadeé um sistema de 3 equações e 3 incógnitas definido por
(∂L∂x
)(x, y; λ) = 0(
∂L∂y
)(x, y; λ) = 0(
∂L∂λ
)(x, y; λ) = 0
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 37 / 69
Extremos Condicionados
Como no caso dos extremos livre,a caracterização dos possíveis extremos,dependem de condições de segunda ordem, nomeadamente do sinal doHessiano orlado (de tipo ((3)× (3)), isto é
H2(a, b; λ′
)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0∂g∂x
∂g∂y
∂g∂x
∂2L∂x2
∂2L∂x∂y
∂g∂y
∂2L∂x∂y
∂2L∂y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a,b,λ′)
sendo(a, b, λ′
)um ponto de estacionariedade.
Se H2(a, b; λ′
)> 0, então o ponto (a, b) é um máximo condicionado
Se H2(a, b; λ′
)< 0, então o ponto (a, b) é um mínimo condicionado
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 38 / 69
Extremos Condicionados
Example
Determine, caso existem, os extremos condicionados da funçãof (x, y) = x2 + y2 sujeita à restrição g (x, y) = x+ y− 2 = 0
Passo 1: construção da função Lagrangeana
L (x, y, λ) = f (x, y) + λg (x, y) = x2 + y2 + λ (x+ y− 2)
Passo 2: condições de primeira ordem (determinar os pontosestacionários)
(∂L∂x
)(x, y; λ) = 0(
∂L∂y
)(x, y; λ) = 0(
∂L∂λ
)(x, y; λ) = 0
2x+ λ = 02y+ λ = 0x+ y− 2 = 0
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 39 / 69
Extremos Condicionados
x = −λ/2y = −λ/2x = 2− y
x = −λ/2y = −λ/2−λ/2 = 2+ λ/2
x = −λ/2y = −λ/2λ = −2
x = 1y = 1λ = −2
Portanto (1, 1,−2) é o único ponto estacionário da Lagrangeana.
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Extremos Condicionados
Passo 3: condições de segunda ordem (verificar se o pontoestacionário é um extremo)
H2 (1, 1,−2) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0∂g∂x
∂g∂y
∂g∂x
∂2L∂x2
∂2L∂x∂y
∂g∂y
∂2L∂x∂y
∂2L∂y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(1,1,−2)
=
∣∣∣∣∣∣0 1 11 2 01 0 2
∣∣∣∣∣∣(1,1,−2)
= −4 < 0
logo (1, 1) é um mínimo condicionado.
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Matrizes e Determinantes
Uma matriz é um quadro de números ordenados por linhas (filashorizontais) e colunas (filas verticais) que se apresenta cercado porparênteses ou parênteses rectos, sendo normalmente representada por umaletra maiúscula.Por exemplo, qualquer dos quadros seguintes representa uma matriz:
A =(
2 −32 1
)B =
[3 −2 12 1 −1
]
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 42 / 69
Matrizes e Determinantes
Definição
Designa-se por matriz de números reais de elemento genérico aij , em queo primeiro índice (i = 1, 2, ...., m) indica a linha e o segundo índice(j = 1, 2, ...., n) indica a coluna, a um quadro do tipo:
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n...
......
am1 am2 ... amn
Definição
Diz-se que uma matriz é do tipo m× n se tem m linhas e n colunas.
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Matrizes e Determinantes
Casos particulares de matrizes:
A uma matriz do tipo n× n dá-se o nome de matriz quadrada deordem n.A uma matriz do tipo m× n , em que m 6= n dá-se o nome de matrizrectangular.Dada uma matriz quadrada, dá-se o nome de diagonal principal àdiagonal formada pelos elementos aij , em que i = j. Aos elementosda diagonal principal dá-se o nome de elementos principais.A uma matriz quadrada cujos elementos não principais são nulosdá-se o nome de matriz diagonal.Se todos os elementos principais de uma matriz quadrada diagonalsão unitários, então trata-se da matriz identidade: In (onde n é aordema da matriz)A uma matriz quadrada cujos elementos abaixo (acima) da diagonalprincipal são nulos dá-se o nome de matriz triangular superior(inferior).
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Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes
A adição de duas matrizes consiste na adição dos elementoshomólogos de cada uma das matrizes.
C = A+ B⇒ cij = aij + bij
A adição de matrizes só é possível se elas forem da mesma ordem,obtendo-se como resultado uma matriz da mesma ordem.
Example
Considerando as matrizes A, B, C e D
A =
[2 −32 1
], B =
[3 −2 12 1 −1
]C =
[1 02 5
]D =
[0 3 14 5 −1
]DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 45 / 69
Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes
Vejamos, em dois casos em que a adição é possível, como se materializaesta operação:
A+ C =
[2 −32 1
]+
[1 02 5
]=
[2+ 1 −3+ 02+ 2 1+ 5
]=
[3 −34 6
]
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 46 / 69
Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes
B+D =
[3 −2 12 1 −1
]+
[0 3 14 5 −1
]=
[3+ 0 −2+ 3 1+ 12+ 4 1+ 5 −1− 1
]=
[3 1 26 6 −2
]
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Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes
A multiplicação de uma matriz por um escalar é feita mediante amultiplicação de cada um dos elementos da matriz por esse escalar.
B = λA⇒ bij = λaij ∀λ ∈ <
Example
Sendo dados o número real e a matriz abaixo indicadas
λ = 3 ; A =[
3 −22 1
]temos que
λA = 3[
3 −22 1
]=
[3× 3 3× (−2)3× 2 3× 1
]=
[9 −66 3
]DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 48 / 69
Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes
O produto de duas matrizes consiste na multiplicação das linhas doprimeiro factor pelas colunas do segundo. A multiplicação de duasmatrizes só é possível quando o número de colunas da primeira matriz éigual ao número de linhas da segunda matriz.
Definição
A multiplicação de uma matriz A do tipo m× n por uma matriz B do tipop× q é possível sempre que n = p, e o seu resultado é uma matriz C, dotipo m× p, cujo elemento genérico é :
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj =n
∑k=1
aikbkj
onde{
i = 1, 2, · · · , mj = 1, 2, · · · , p
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 49 / 69
Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes
Example
Determine o produto das matrizes A e B, onde
A(2×3) =
[1 −1 02 0 3
], B(3×2) =
2 11 −10 5
Resolução: Como a matriz A é de tipo (2× 3) e a matriz B é detipo (3× 2) , a operação A× B é possível (número de colunas daprimeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz) e oresultado vai ser uma matriz de tipo (2× 2) . A operação B×A nãoé possível, de onde concluímos que A× B 6= B×A.
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 50 / 69
Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes
A× B =
[1 −1 02 0 3
] 2 11 −10 5
=
[1× 2+ (−1)× 1+ 0× 0 1× 1+ (−1)× (−1) + 0× 5
2× 2+ 0× 1+ 3× 0 2× 1+ 0× (−1) + 3× 5
]=
[2− 1+ 0 1+ 1+ 04+ 0+ 0 2+ 0+ 15
]=
[1 24 17
]
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 51 / 69
Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes
Transposição de matrizes. Matrizes simétricas.
Chama-se matriz transposta de uma matriz A e representa-se por AT, auma matriz cujas colunas são as linhas de A (pela mesma ordem) sendo,consequentemente, as suas linhas as colunas de A.
Example
Transposta de uma matriz
A =[
2 4 21 3 5
]⇔ AT =
2 14 32 5
Matriz simétrica é uma matriz que coincide com a sua transposta:A = AT. Se A = −AT diz-se que A é anti-simétrica.
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 52 / 69
Matrizes e DeterminantesÁlgebra das matrizes
São permitidas as seguintes operações entre as filas paralelas de umamatriz (designadas por operações elementares):
1 Troca entre si de duas filas paralelas da matriz;2 Multiplicação de uma fila por um número real diferente de zero;3 Substituição de uma fila pela que se obtém somando outra,multiplicada por um número real qualquer (Operação de Jacobi).
A característica de uma matriz A, r (A), corresponde ao número máximode filas paralelas não-nulas e obtém-se condensando a matriz, isto é,transformando a matriz inicial ,aplicando as operações elementares, numamatriz triangular superior de elementos principais significativos de maiorordem possível (condensação vertical).
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 53 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes
A toda a matriz quadrada A de ordem n, se faz associar um númeroreal, designado por determinante. Utilizamos a notação det (A) ou|A|
A = [aij]i,j=1,...,n −→ det (A) = |A|O determinante de uma matriz que contém apenas um elemento (deordem 1) é o próprio elemento
A = [12] −→ |A| = |12| = 12
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 54 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 calcula-se pelaseguinte regra:
A =[
a11 a12a21 a22
]−→ |A| =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Mais precisamente, é a diferença entre o produto dos elementos dadiagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária
|A| =∣∣∣∣ −1 4
2 9
∣∣∣∣ = (−1) · 9− 2 · 4 = −17
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 55 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes
Cálculo de um Determinante de matrizes quadradas de ordem 3:Regra de SarrusConsidere uma matriz quadrada de ordem 3
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Em primeiro lugar, vamos repetir as duas primeiras linhas de A porbaixo da matriz, em seguida, multiplicamos os elementos da diagonalprincipal da matriz e os elementos das duas diagonais paralelas aprincipal, somando os resultados. A seguir, multiplicamos oselementos da diagonal secundária da matriz e os elementos das duasdiagonais paralelas a secundária, subtraindo os resultados, isto é
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 56 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
a11 a12 a13a21 a22 a23
|A| = (a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23)−(a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21)
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 57 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes
Em esquema
* * ** * ** * *
à* * ** * ** * ** * ** * *
= ( \ + \ + \ ) ( / + / + / )
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 58 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes
Example
Calcule o seguinte determinante:
A =
1 3 42 1 51 0 2
1 3 42 1 5
|A| = (1 · 1 · 2+ 2 · 0 · 4+ 1 · 3 · 5)−(4 · 1 · 1+ 5 · 0 · 1+ 2 · 3 · 2)
= (2+ 0+ 15)− (4+ 0+ 12) = 17− 16 = 1
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 59 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes
Menor complementarConsidere uma matriz A =
[aij]
i,j=1,...,n, quadrada de ordem n: O menorcomplementar Dij , relativo ao elemento aij , e o determinante dasubmatriz quadrada, de ordem (n− 1), que se obtém de A retirando-se alinha i e a coluna j.Exemplo:
A =
1 0 −22 1 −1−1 1 0
, D12 =
∣∣∣∣ 2 −1−1 0
∣∣∣∣ = 2 · 0− (−1) · (−1) = −1
D33 =
∣∣∣∣ 1 02 1
∣∣∣∣ = 1 · 1− (0) · (2) = 1
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 60 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes
Complemento algébricoDada a matriz quadrada de ordem n, A =
[aij]
i,j=1,...,n, o complemento
algébrico de aij é o número Aij que se obtém multiplicando-se (−1)i+j pelomenor complementar de aij, isto é
Aij = (−1)i+j ·Dij
Exemplo
A =
1 0 −22 1 −1−1 1 0
, D12 =
∣∣∣∣ 2 −1−1 0
∣∣∣∣ = 2 · 0− (−1) · (−1) = −1
A12 = (−1)1+2 D12 = (−1)3 · (−1) = 1
A33 = (−1)3+3 D33 = (−1)6 · (1) = 1
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 61 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes: matriz inversa
Cálculo da inversa de uma matriz A: Uma matriz inversa de A(neste caso denominada por B) tem de verificar a seguinte igualdade:AB = BA = I. Quando B existe designa-se por A−1 e a igualdadeanterior assume o seguinte aspecto:
AA−1 = A−1A = I
Em suma, para se poder obter a inversa, a matriz A tem de serquadrada e regular (isto é a característica é igual à ordem, ou seja|A| 6= 0).A sua fórmula de cálculo pela teoria dos determinantes é a seguinte
A−1 =AT
|A|
sendo AT a matriz dos complementos algébricos transposta.
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 62 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes: matriz inversa
Example
Calcule, caso possível, a inversa da seguinte matriz
A =[
2 −35 1
]Como a matriz A é quadrada e regular (pois |A| = 17 6= 0), é possíveldeterminar a sua inversa A−1 aplicando a fórmula
A−1 =AT
|A|
Primeira vez obtemos a matriz dos complementos algébricos, isto é
A =[
1 −53 2
]→ AT =
[1 3−5 2
]DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 63 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes: matriz inversa
Logo
A−1 =AT
|A| =117
[1 3−5 2
]=
[1/17 3/17−5/17 2/17
]
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 64 / 69
Matrizes e DeterminantesDeterminantes
Propriedades dos determinantes
1 Se uma matriz quadrada A tem uma fila nula, então |A| = 02 |A| =
∣∣AT∣∣ ,
∣∣A−1∣∣ = |A|−1
3 Um determinante muda de sinal quando se trocam entre si duas filasparalelas.
|A| =∣∣∣∣ 1 3
5 −2
∣∣∣∣ C1↔C2−→ −∣∣∣∣ 3 1−2 5
∣∣∣∣
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 65 / 69
Matrizes e DeterminantesValores próprios
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então um valor próprio de A éum escalar λ tal que det (A− λIn) = 0, isto é, os valores próprios de Asão as raízes da equação det (A− λIn) = 0. A matriz A tem no mínimoum valor próprio e no máximo n valores próprios distintos.A equação det (A− λIn) = 0 designa-se por equação característica damatriz A e é uma equação polinomial de grau n na variável λ. Opolinómio de grau n na variável λ,
det (A− λIn) = λn + cn−1λn−1 + cn−2λn−2 + · · ·+ c1λ+ c0,
tem o nome de polinómio característico da matriz A.
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 66 / 69
Matrizes e DeterminantesValores próprios
No caso particular em que n = 2, isto é,
A =[
a11 a12a21 a22
],
o determinante característico assume a expressão
det (A− λI2) =
[a11 − λ a12a21 a22 − λ
]= λ2 + (−a11 − a22)λ+ (a11a22 − a12a21) = 0
Os valores próprios da matriz A correspondem às raízes do seu polinómiocaracterístico. Atendendo a que o polinómio característico de A é de grau2, a matriz A tem no máximo 2 valores próprios.
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 67 / 69
Matrizes e DeterminantesValores próprios
Example
Determinação de valores próprios. Seja A uma matriz de ordem 2definida por
A =[−5 22 −2
].
Para determinar os valores próprios de A há que determinar o polinómiocaracterístico de A, isto é
det (A− λI2) = det([−5 22 −2
]−[
λ 00 λ
])= det
[−5− λ 2
2 −2− λ
]= (λ+ 5)(λ+ 2)− 4 = λ2 + 7λ+ 6
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 68 / 69
Matrizes e DeterminantesValores próprios
Resolver a equação característica de A
det (A− λI2) = 0⇔ λ2 + 7λ+ 6 = 0⇔ (λ+ 1)(λ+ 6) = 0
que tem como soluções λ1 = −1 ou λ2 = −6 (ou seja os valores própriosda matriz A).
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected]) Matemática 12 de Setembro de 2011 69 / 69