aula 15 - escoamento viscoso

Escoamento em tubos

Laminar interno viscoso

incompressível,

completamente

desenvolvido

Mecânica dos FluidosAula 15

Escoamento viscoso incompressível

Objetivo geral

Aplicar os princípios básicos da conservação da

massa, da quantidade de movimento e da energia

aos escoamentos internos,viscosos

incompressíveis em dutos.

2

Objetivos específicos

Analisar o escoamento viscoso em tubos e dutos;

Descrever o perfil de velocidades para o

escoamento laminar.

Descrever o perfil das Tensões;

Definir raio hidráulico.

3


Classificação

4


LaminarTurbulento

Experimento de Reynolds

5


OSBORNE REYNOLDS

(1842 - 1912)

Osborne Reynolds fez uma experiência para tentar

caracterizar o regime de escoamento, que a

princípio ele imaginava depender da velocidade de

escoamento.

http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/osbornre.jpg

Números de Reynolds críticos

6


OSBORNE REYNOLDS

(1842 - 1912)

μ

ρ Dv

http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/osbornre.jpg

Experimento de Reynolds

O parâmetro que mede a razão entre as forças de

inércia e forças viscosas recebe o nome do

cientista que inicialmente estudou o escoamento

dos fluidos viscosos:

Número de Reynolds, Re

Definido como:

7


μ

ρ DvRe

Escoamento interno

O transporte de fluidos normalmente é conduzido

em condutos fechados. Como os escoamentos

internos e externos apresentam características

diferentes, é conveniente estudá-los

separadamente.

8


Escoamento interno

Os escoamentos internos são confinados por

superfícies sólidas, como: dutos, bocais, difusores,

contrações,

expansões,

válvulas e

acessórios.

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Escoamento em tubos

Algumas regras básicas devem ser estabelecidas antes

de iniciarmos o estudo dos escoamentos internos:

O duto está totalmente preenchido com fluido;

O principal mecanismo que promove o escoamento do

fluido é o gradiente de pressão;

10


água sob

pressão

arpatm

Escoamento em tubos

Condutos forçados: nestes a pressão interna é diferente

da pressão atmosférica. Nesse tipo de conduto, as

seções transversais são sempre fechadas e o fluido

circulante as enche completamente.

Condutos livres: nestes, o líquido escoante apresenta

superfície livre, na qual atua a pressão atmosférica.

A seção não necessariamente apresenta perímetro

fechado e quando isto ocorre, para satisfazer a

condição de superfície livre, a seção transversal

funciona parcialmente cheia. 11


Escoamento em tubos

12


Perfil de velocidade no escoamento em tubos

O perfil de velocidade do escoamento em um tubo

depende das características do escoamento

(laminar ou turbulento) e do comprimento de

entrada.

A sequência laminar-transição-turbulenta ocorre em

todos os escoamentos, desde que o comprimento

de entrada seja suficientemente longo.

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Escoamento em tubos

Com relação ao comprimento de entrada (Le), o

número adimensional Le/D correlaciona –se com

Re. Os valores típicos dos comprimentos de

entrada são dados por:

Para escoamento laminar: Le/D = 0,06 Re

Para escoamento turbulento Le/D = 4,4 (Re)1/6

14


Escoamento em tubos

Para Re muito baixos (Re = 10), o comprimento de

entrada pode ser curto: Le = 0,6 D

Para Re próximos do limite crítico do escoamento

laminar (Re = 2000), o comprimento de entrada

pode ser grande: Le = 120 D

15


Escoamento laminar plenamente desenvolvido

Há 3 alternativas clássicas para estudar o

escoamento laminar plenamente desenvolvido:

A partir das equações de Navier Stokes;

(Computacional)

A partir da análise dimensional;

A partir da Segunda Lei de Newton (Analítica)

16



A partir da análise dimensional;

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DvDD

Lf

v

P

ρ

μ

ρ

,,2

Estudo a partir da 2ª Lei - Escoamento em tubos

Vamos deduzir as equação do perfil de velocidade e

das tensões

Para a geometria do interior de um tubo, pode-se tomar

um volume de controle de um espaço anular, como da

figura, cujo comprimento é dx e espessura dr.

18



O perfil de velocidade não é uniforme.

Há uma deformação do elemento fluido nas

superfícies frontal e traseira do cilindro.

Mas há uma simetria em relação ao eixo.

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r

o

dr

rr

d

r

r

o

• Simetria em relação ao eixo;

• Volume de controle: anel circular com comprimento dx e

espessura dr.



Aplicando-se a equação da quantidade de movimento em

relação à componente x, quando aplicada ao volume de

controle diferencial tem-se:

Somando-se as forças normais (de pressão) que

atuam sobre o volume de controle na direção x, que

atuam nas extremidades esquerda e direita do volume

de controle e as forças tangenciais (de cisalhamento)

atuam nas superfícies cilíndricas interna e externa,

temos:


Para uma pressão (P ) no centro de volume de

controle anular as forças de pressão na extremidades

esquerda e direita serão, respectivamente:


Para uma tensão de cisalhamento ( ) no centro do

volume de controle do anel a força de cisalhamento

nas superfícies interna e externa do cilindro serão,

respectivamente:


A soma das componentes x das forças que atuam sobre o

volume de controle deve ser igual a zero. Sendo assim,

temos:

=0

Dividindo-se a equação por , e resolvendo para

, temos:


Como é uma função apenas de r, a equação vale

para os valores de r e x apenas se cada um dos valores

dos seus membros for constante. A equação pode ser

reescrita como:



Integrando esta equação, obtemos:


Como:

Então:


Separando-se as variáveis, integrando-se e resolvendo a

equação para encontrar a velocidade, tem-se:


Avaliação das condições de contorno para determinação

das constantes C1 e C2:

CC1: R = 0 (No centro do tubo) Vmáxima (Cte)

O termo ln r torna-se infinito, uma situação que é

fisicamente impossível, donde se conclui que C1 deve ser

nulo. Neste caso, tem-se:


CC2:

r = R (Na parede do tubo) V = 0


Colocando-se (-R2) em evidência, obtém-se uma equação

equivalente

Escoamento laminar em um tubos

Uma vez obtido o perfil de velocidade, podemos

obter várias características do escoamento, tais

como: Vazão, velocidade média, tensão de

cisalhamento e a queda de pressão .

37


Vazão volumétrica

38


Equação de Hagen-Poiseuille

No escoamento de pressão completamente desenvolvido o

gradiente de pressão (P1 - P2) é constante.

Sendo assim, tem-se:

39


Velocidade média

40


Ponto de velocidade máxima

41


No ponto de velocidade máxima, no centro do tubo,

tem-se r = 0 :

Ponto de velocidade máxima

42


Tensão de cisalhamento

43



44



45



Como se verificou, a tensão de cisalhamento varia

linearmente com o gradiente de pressão axial.

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Perda de carga

A perda de carga em um trecho da tubulação

representa a conversão irreversível de energia

mecânica em energia térmica indesejada através

da transferência de calor.

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WsQ mVPgzv

umVPgzv

u )()( 1112

12222

2

21

22

lthuum

Q12

Perda de carga

A notação hlt deriva-se do fato de o balanço de energia

comumente ser expresso em unidades de energia por

peso do líquido que fluía, em detrimento da

representação de energia por unidade de massa como

na equação anterior. Desta forma, as dimensões eram

dadas em pés de líquido em escoamento:

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lthuum

Q12

Wszg

vPz

g

vPBh 2

2

222

12

211

γγ

Perda de carga

Num escoamento plenamente desenvolvido num tubo

de seção constante, as velocidades nos pontos

considerados são constantes, e assim a equação da

energia se reduz a:

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BhzzgPP

)( 2121

ρ

Perda de carga para escoamento laminar

E se o tubo for horizontal, a equação se torna ainda

mais simples:

Desta forma, a perda de carga distribuída em um tubo

horizontal, para um escoamento plenamente

desenvolvido pode ser expressa como a perda de

pressão.

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BhP

ρ


51



52


Perda de carga para escoamento turbulento

Para um escoamento turbulento não é possível avaliar

a queda de pressão analiticamente. Sendo assim,

recorre-se à análise dimensional. Como vimos:

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Re,,DD

Lf

v

P

2ρ

Re,,DD

Lf

v

lh

2


Embora a análise dimensional preveja a relação, é

necessário fazer experimentos para obtenção de

valores reais. Uma vez que a função ainda é

indeterminada, é permitido introduzir o número ½ no

denominador do primeiro termo, de modo a tornar a

perda de carga em termos de energia cinética, por

unidade de massa. Assim, tem-se:

54


Re,,DD

Lf

v

lh

22

1


A função desconhecida é definida como fator de atrito, “f” e

é determinada experimentalmente:

55


Re,D

f

2

2v

D

Lflh


Os resultados publicados por Moody (1944), através de

gráfico, relacionam o fator de atrito, com a rugosidade e

NRe.

A rugosidade relativa também é obtida através de trabalhos

publicados em tabelas ou gráficos.

56


57



Interpretação do Diagrama de Moody

Nre f Regime de Escoamento

aumenta diminui Laminar

aumenta aumenta Transição

aumenta diminui Turbulento (Tubo liso)

58



1. Avaliar o NRe.

2. Obter a rugosidade relativa através de tabela ou gráfico.

3. Ler o fator de atrito no gráfico de Moody.

4. Determinar a perda de carga através da equação

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Avaliar o Nre.

Em Nre muito grandes, a maioria dos elementos de

rugosidade na parede emerge através da sub-camada

viscosa. Neste caso a perda de pressão depende

somente dos elementos de rugosidade. Tal escoamento

é dito inteiramente rugoso.

60


61


Subcamada

viscosa

Escoamento rugoso


Escoamento rugoso

Valores da rugosidade absoluta equivalente

Material (mm) Rugosidade

absoluta equivalente

Aço comercial novo 0,045

Aço laminado novo 0,04 a 0,10

Aço soldado novo 0,05 a 0,10

Aço soldado limpo, usado 0,15 a 0,20

Aço soldado

moderadamente oxidado

0,4

Aço soldado revestido de

cimento centrifugado

0,10



Aço laminado revestido

de asfalto

0,05

Aço rebitado novo 1 a 3

Aço rebitado em uso 6

Aço galvanizado, com

costura

0,15 a 0,20

Aço galvanizado, sem

costura

0,06 a 0,15

Ferro forjado 0,05




Ferro fundido novo 0,25 a 0,50

Ferro fundido com leve

oxidação

0,30

Ferro fundido velho 3 a 5

Ferro fundido centrifugado 0,05

Ferro fundido em uso com

cimento centrifugado

0,10

Ferro fundido com

revestimento asfáltico

0,12 a 0,20




Ferro fundido oxidado 1 a 1,5

Cimento amianto novo 0,025

Concreto centrifugado novo 0,16

Concreto armado liso, vários

anos de uso

0,20 a 0,30

Concreto com acabamento

normal

1 a 3

Concreto protendido

Freyssinet

0,04

Cobre, latão, aço revestido de

epoxi, PVC, plásticos em geral,

tubos extrudados

0,0015 a 0,010


68


Perda de carga distribuída (Normal)

TRATAMENTO COMPUTACIONAL

Para uma análise computacional é necessário dispor de

uma formulação matemática para o fator de atrito.

Sendo assim, são utilizadas correlações variadas, de

acordo com a configuração do sistema de tubos.

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TRATAMENTO COMPUTACIONAL

Blasius Re 105

Colebrook

70


250

31640

,Re

,f

50

512

732

1

50 ,Re,

,

,

/log

f

D

f


TRATAMENTO COMPUTACIONAL Darcy-Weisbach

71


Referências

CARVALHO, Daniel Fonseca de. Fundamentos de Hidráulica. Cap. 7.

2009

FOX, Robert W.; McDONALD, Alan T. Introdução à mecânica dos

fluidos. Ed. LTC: Rio de Janeiro. 2009. 6ªed.

HANSEN, Arthur G. Mecánica de fluidos. Ed. Limusa: México.1974.

Parte IV. Cap. 10

LOUREIRO, Eduardo - Mecânica dos Fluidos

MOTT, Robert L. Applied Fluid Mechanics. Prentice Hall: New Jersey.

1994

MUNSON, Bruce R; YOUNG, Donald F.; OKIISHI, Theodore H.

Fundamentos da mecânica dos fluidos. Edgard blucher: São Paulo.

1997. Vol 1

http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aulasfei/22008/exp_Reynol

ds.htm

http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aulasfei/22008/exp_Reynolds.htm

http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aulasfei/22008/exp_Reynolds.htm

aula 15 - escoamento viscoso

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