aula 2 exponenciais complexas
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ESATRANSCRIPT
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Exponenciais Complexas
Modelagem de Sistemas Dinmicos Michel Leles
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Reviso Matemtica
Nmeros Complexos: Forma cartesiana:
Forma polar:
Relao Frmula de Euller:
,jyxz += }{},{ ymyzex ==,1=j
,j
rez = |,| zr = z=
j += Relao Frmula de Euller:
Representao:
Michel Leles Exponenciais Complexas |2
22|| yxzr +==
==x
yarctgz
)sin()cos( je j +=
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Exponencial Real Contnua
e Nmeros Reais:atCetx =)( C a
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Sinais Senoidais Contnuos
(imaginrio),
Sinal peridico: Perodo:
Diretamente relacionado:
atCetx =)( 1=Ctjwa 0=tjw
e 0
( ) == + 100000 TjwTtjwtjw eee0
02
pi=T
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Sinais Senoidais Contnuos
Relao entre frequncias:
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Sinais Senoidais Contnuos
Energia:
Potncia:
Para que a exponencial seja peridica:
000
000
.1 TdtdteETT tj
periodo ===
110
== periodoperiodo ETP
10 =Tje Para que a exponencial seja peridica:
Harmnicos: sinais cujas frequncias fundamentais sejam mltiplas de uma frequncia positiva
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1=e
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Sinais Senoidais Contnuos
Senoides...
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Sinais Senoidais Contnuos
Adio:
Em que Em que
Relembrando...
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{
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Sinais Senoidais Contnuos
Exemplo Representao de duas senoides como uma s:
Soluo:
{ Soluo:
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Forma Geral da Exponencial Complexa
sendo e complexos:
Ento:
atCetx =)( C a
+=
=
0
||
jraeCC j
( ) ( ) ++==
tjrttjrjat eeCeeCCe 00 ||||
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Usando Euller:
== eeCeeCCe 00 ||||
[ ])sin()cos(|| 00 +++= tjteCCe rtat
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Sinais Senoidais Discretos
ou , com
Supondo C e reais:
nCnx =][ nCenx =][ e=
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Sinais Senoidais Discretos
Sinais senoidais: njwenx 0][ = )cos(][ 0 += nwAnx
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Exponencial Complexa Discreta
Parte real Governa o decaimento/crescimento
Parte imaginria Refere-se a frequncia
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Exponencial Complexa Discreta
Exemplo: )3cos(9.0][ nnx n=
0.6
0.8
1x[n]=0.9n cos(n/3)
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0 5 10 15 20 25 30-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
n
x
[
n
]
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Sinais Senoidais Discretos
Sinais Exponenciais complexos gerais: ,|| jeCC = 0|| jwe =
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Sinais Senoidais Discretos
Periodicidade:
Observao:
Analisar o sinal no intervalo: Analisar o sinal no intervalo:
Frequncia NO AUMENTA com aumento de
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Sinais Senoidais Discretos Efeito
0.6
0.8
1x[n]=cos(3*pi/2n)
0.6
0.8
1x[n]=cos(pin)
0.6
0.8
1x[n]=cos(pi/2n)
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x
[
n
]
x[n]=cos(pi/4n)
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x
[
n
]
x[n]=cos(pi/8n)
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
x
[
n
]
x[n]=cos(0n)0
Michel Leles Exponenciais Complexas |170 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
x
[
n
]
x[n]=cos(2*pin)
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x
[
n
]
x[n]=cos(15*pi/8n)
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x
[
n
]
x[n]=cos(7*pi/4n)
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
n
x
[
n
]
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
n
x
[
n
]
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
n
x
[
n
]
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Sinais Senoidais Discretos
Para o sinal seja peridico, para N>0:
, mltiplo 2:
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Sinais Senoidais Discretos
Peridico ???Perodo ???
N=12
Michel Leles Exponenciais Complexas |19
Peridico ???Perodo ???
N=31
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Sinais Senoidais Discretos
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Peridico ???Perodo ???No Existe...
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Material de Estudo e Exerccios
Material de Estudo: Captulo 1: Sinais e Sistemas Oppenheim (2011), 2 ed.
Seo 1.3
Captulo B: Sinais e Sistemas Lineares Lathi (2004), 2 ed. Sees B.1 a B.3 e seo B.8 MATLAB Sees B.1 a B.3 e seo B.8 MATLAB
Exerccios: Lathi (2004) B1 a B9 e B21 a B25
Oppenheim (2011) 1.1, 1.2, 1.3, 1.25, 1.48, 1.49, 1.50, 1.51, 1.52
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