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Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5
Aula 5 – Perpendicularidade e paralelismo
Objetivos
• Introduzir os conceitos de perpendicularidade e de paralelismo.
• Introduzir o quinto postulado de Euclides, ressaltando sua grande im-
portancia historica e teorica.
• Apresentar os primeiros resultados decorrentes do quinto postulado.
Introducao
Discutiremos nesta aula os importantes conceitos de perpendicularidade
e paralelismo entre retas.
Ja vimos, na aula 1, que duas retas sao paralelas quando nao se inter-
sectam. A seguir, veremos o que significa dizer que duas retas sao perpendi-
culares.
Definicao 12
Duas retas sao ditas perpendiculares se elas se intersectam formando angulos
retos.
(a) (b)
Fig. 68: a) Retas paralelas. b) Retas perpendiculares.
Observe o desenho abaixo.
As retas sao paralelas ou
nao?
As retas sao paralelas.
Verifique com uma regua.
Usando os resultados das aulas anteriores, e possıvel provar as seguintes
proposicoes:
55 CEDERJ
Perpendicularidade e paralelismo
Proposicao 7
Dados uma reta r e um ponto P , existe uma unica reta s perpendicular a r
passando por P .
s r
P
Fig. 69: Reta s perpendicular a r passando por P .
Proposicao 8
Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma reta s paralela a r
contendo P .
s
r
P
Fig. 70: Reta s paralela a r contendo P .
As provas dessas proposicoes estao no Apendice que aparece no final
da aula, e voce deve estuda-las num segundo momento, apos ter dominado o
uso destas proposicoes para resolver problemas.
Observe a figura 71.
s r
P
T
Q
Fig. 71: O ponto Q e o pe da perpendicular.
O ponto Q e chamado de pe da perpendicular baixada do ponto P a
reta r e o ponto T pertencente a reta s e chamado de reflexo do ponto P em
relacao a reta r, desde que PQ ≡ QT .
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Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5
Note que a palavra unica no enunciado da proposicao 7 nao aparece
no enunciado da proposicao 8. Na verdade, nao e possıvel provar, usando
apenas os axiomas e os resultados anteriores, que so existe uma reta com a
propriedade desejada.Voce sabia que...
A unicidade da paralela
(chamado de Quinto
Postulado de Euclides) foi
proposta por Euclides como
um axioma. Por muitos anos
(mais de 2.000!) varios
matematicos tentaram
provar, sem sucesso, que a
unicidade da paralela
decorria dos outros axiomas.
Foi somente na primeira
metade do seculo XIX que os
matematicos chegaram a
conclusao de que o quinto
postulado nao era
demonstravel a partir dos
outros quatro. Isso ocorreu
com a descoberta das
chamadas geometrias
nao-euclidianas em que o
quinto postulado de Euclides
e substituıdo por uma outra
afirmacao que lhe e
contraditoria. Essa
descoberta esta associada ao
nome de dois matematicos
que a obtiveram
independentemente: Janos
Bolyai (1802-1860) e Nikolai
I. Lobachevsky (1793-1856).
Apresentamos, agora, o axioma que e conhecido como o Quinto Postu-
lado de Euclides.
Quinto Postulado de Euclides
• Por um ponto fora de uma reta passa uma unica reta paralela
a reta dada.
Antes de obter algumas consequencias do Quinto Postulado de Euclides,
definiremos o importante conceito de mediatriz de um segmento.
Definicao 13
A mediatriz de um segmento e a reta perpendicular a esse segmento em seu
ponto medio (veja figura 72).
r
A
B
Fig. 72: A reta r e mediatriz do segmento AB.
Agora considere duas retas r e s; suponha que t e uma reta que corta
as duas. A reta t e chamada transversal as retas r e s. Considere os oito
angulos indicados na figura 73, numerados para facilitar a explicacao.
r
s
1
3
2
4
5
6
7
8
t
Fig. 73: Paralelas cortadas por uma transversal.
57 CEDERJ
Perpendicularidade e paralelismo
Os angulos 3 e 6, bem como os angulos 4 e 5, sao chamados alternos
internos (pois ficam em lados alternados de t, entre as retas r e s), enquanto
os pares 1 e 8 e 2 e 7 sao ditos alternos externos. Chamam-se correspondentes
os seguintes pares de angulos: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, e 4 e 8. Note que, se um
dos pares acima for congruente, os outros tambem o serao.
Voce sabia que...
Janos Bolyai
1802-1860 d.C., Romenia.
Janos Bolyai nasceu na
Transilvania, naquela epoca
parte da Hungria e do
Imperio Austrıaco. Entre
1820 e 1823, ele preparou um
tratado sobre um sistema
completo de Geometria
nao-euclidiana. Antes de o
trabalho ser publicado, ele
descobriu que Gauss tinha
antecipado muito do seu
trabalho. Embora Gauss
nunca tivesse publicado seu
trabalho nessa area, isso era
um ponto de honra para
Bolyai. Porem, o trabalho
do Bolyai foi publicado em
1832 como apendice de um
ensaio, por seu pai.
Consulte:
http://www-groups.dcs.
st-nd.ac.uk/~history/
Mathematicians/Bolyai.
html
Proposicao 9
Se duas retas cortadas por uma transversal determinam um par de angulos
alternos internos congruentes, entao as retas sao paralelas.
Prova:
Suponha que r e s sao cortadas por t, como na hipotese da proposicao.
Se r e s nao fossem paralelas, elas teriam um ponto em comum, como na
figura 74.
r
s
t
Fig. 74: Proposicao 9.
Terıamos entao um triangulo para o qual um angulo externo seria igual
a um angulo interno nao adjacente, o que seria contraditorio com o teorema
do angulo externo. Logo r e s sao paralelas.
Q.E.D.
Na proposicao seguinte utilizaremos pela primeira vez o Quinto Postu-
lado de Euclides.
Proposicao 10
Se duas retas paralelas sao cortadas por uma transversal, os angulos alternos
internos sao congruentes.A proposicao 10 e quivalente
a proposicao 29 do livro I
dos Elementos, em que
Euclides usou o Quinto
Postulado pela primeira vez.
Prova:
Sejam r e s duas retas paralelas cortadas por uma transversal t nos
pontos A e B, respectivamente. Sejam C e F pontos de r e G e D pontos de
s dispostos como na figura 75.
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Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5
r
s
t
A
B
C
D
F
G
Fig. 75: t e transversal as retas paralelas r e s.
Provaremos que os angulos ˆBAC e ˆABD sao congruentes. Para isso,
vamos supor que tal fato nao aconteca, ou seja, que BAC > ABD ou ABD >
BAC.
Voce sabia que...
Nikolai I. Lobachevsky
(1793-1856 d.C., Russia) foi
o primeiro a publicar um
relato sobre Geometria
nao-euclidiana (1829). Seu
trabalho atraiu pouca
atencao quando apareceu
porque foi publicado em
russo e os russos que o leram
fizeram severas crıticas. Em
1840, ele publicou um
tratado em alemao, atraves
do qual suas descobertas
chegaram ao conhecimento
de Gauss. Em uma carta a
Schumacher, Gauss elogiou o
trabalho de Lobachevsky,
mas ao mesmo tempo
reiterou sua prioridade nesse
assunto. Lobachevsky nao
teve o merecido
reconhecimento durante sua
vida. De fato, em 1846 ele
foi demitido da Universidade
de Kazan, apesar dos vinte
anos de notaveis servicos
prestados como professor e
administrador. Somente
apos a morte de Gauss
(1855), quando suas
correspondencias foram
publicadas, o mundo
comecou a reconhecer os
trabalhos de Lobachevsky
sobre Geometria
nao-euclidiana.
Em qualquer caso, no semiplano determinado por t que contem C,
tracamos a semi-reta−→AE tal que ˆBAE ≡ ˆABD, como na figura 76. O lado
esquerdo da figura 76 representa o caso BAC > ABD, enquanto que o lado
direito, o caso ABD > BAC.
r
s
t
A
B
C
D
F
G
r
s
t
A
B
C
D
F
G
E
E
Fig. 76: Proposicao 10.
As retas←→AE e s sao cortadas por t de forma que os angulos alternos
internos ˆBAE e ˆABD sao congruentes. Usando a proposicao 9, concluımos
que←→AE e paralela a s, e portanto existem duas paralelas a s (
←→AE e r)
passando pelo ponto A, o que contraria o Quinto Postulado de Euclides.
Chegamos a essa contradicao porque assumimos que BAC nao e congruente
a ABD. Logo, devemos ter BAC ≡ ABD.
Q.E.D.
O teorema a seguir e um dos mais utilizados da Geometria euclidiana.
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Perpendicularidade e paralelismo
Lei Angular de Tales
A soma dos angulos internos de qualquer triangulo e 180o.
Prova:
Seja ABC um triangulo e seja s a reta que passa por A e e paralela a
reta←→BC, como na figura 77.
A
B C
D E s
Fig. 77: Reta s paralela a reta que contem os pontos B e C.
Sobre s marque pontos D e E. Como a reta←→AB e transversal as
retas paralelas s e←→BC, podemos concluir, a partir da proposicao 10, que
ABC ≡ DAB. Analogamente, considerando a transversal←→AC, podemos
concluir que ACB ≡ EAC. Logo,
ABC +BAC + ACB = DAB +BAC + EAC = 180o
Q.E.D.
Voce sabia que...
Considerado o primeiro
filosofo grego, introdutor da
Geometria na Grecia. Como
rico negociante de azeite da
cidade de Mileto, litoral da
Asia Menor (atual Turquia),
Tales percorreu inumeras
vezes o litoral do
Mediterraneo, entre 600 a.C.
e 550 a.C., e conheceu as
obras de varios matematicos
e astronomos da regiao,
principalmente no Egito. Ao
aposentar-se, dedicou-se a
Matematica e estabeleceu os
primeiros postulados basicos
da Geometria. E atribuıdo a
ele o calculo da altura de
uma piramide a partir do
comprimento de sua sombra,
em determinado horario do
dia e dependendo da posicao
do sol. Na Filosofia, Tales
defendeu a existencia de
uma substancia fundamental
que da origem ao movimento
e a transformacao da vida.
Para ele, o princıpio de tudo
e a agua. “O morto resseca,
enquanto os germes sao
umidos, e os alimentos
cheios de seiva”, ele dizia.
Ate Tales, todas as
explicacoes sobre o Universo
eram mitologicas. Consulte:
http://www-groups.dcs.
st-nd.ac.uk/~history/
Mathematicians/Tales.html
Notas:
1) Como os angulos internos de um triangulo equilatero tem todos a
mesma medida, segue da Lei Angular de Tales que cada um deles mede
60o.
2) Se dois triangulos ABC e DEF sao tais que BC ≡ EF , B ≡ E e
A ≡ D, entao ABC ≡ DEF .
De fato, como A+ B + C = D + E + F = 180◦, entao A ≡ D, B ≡ E
e C ≡ F e estamos no caso A.L.A. de congruencia, as vezes e referida
como caso A.L.A◦. (le-se angulo, lado, angulo oposto).
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Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5
Resumo
Nesta aula voce aprendeu...
• O que significa dizer que duas retas sao paralelas ou perpendiculares.
• Que so existe uma reta passando por um ponto e perpendicular a uma
reta dada.
• Que so existe uma reta passando por um ponto e paralela a uma reta
dada.
• Que angulos alternos internos sao congruentes.
• Que a soma dos angulos internos de um triangulo e 180o.
Exercıcios
1. (PUC-SP, 1983) Considere a sentenca:
“Num plano, se duas retas sao..........., entao toda reta............... a uma
delas e..........a outra”
A alternativa que preenche corretamente as lacunas e:
(a) Paralelas, perpendicular, paralela
(b) Perpendiculares, paralela, paralela
(c) Perpendiculares, perpendicular, perpendicular
(d) Paralelas, paralela, perpendicular
(e) Perpendiculares, paralela, perpendicular
2. (UFMG, 1992) Com base nos dados da figura 78, pode-se afirmar que
o maior segmento e:A
B C D
E
55 65
70
70
o
o
o o
Fig. 78: Exercıcio 2.
(a) AB (b) AE (c)EC (d) BC (e) ED
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Perpendicularidade e paralelismo
3. Determine os angulos x e y indicados na figura 79 onde D = 25◦ e AE
e BD sao segmentos de reta. (Lembre-se de que as indicacoes dadas
pelos tracos curtos transversais significam que AB ≡ AC ≡ CD e
BC ≡ BE).A
B C
D
E
x
y
Fig. 79: Exercıcio 3.
4. Determine DPE na figura 80, sendo B = 20◦.
A
B C D
E
P
Fig. 80: Exercıcio 4.
5. Na figura 81, A e reto,−−→BD e bissetriz de B e
−−→CE e bissetriz de C.
Determine a medida de ˆBFC.
C B
A
D E
F
Fig. 81: Exercıcio 5.
6. Determine o valor do angulo A no triangulo ABC da figura 82.
C
B
A
D
Fig. 82: Exercıcio 6.
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Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5
7. Na figura 83 , BAC e reto e D e o ponto medio de BC. Mostre que
m(AD) =m(BC)
2.
C
B
A
D
Fig. 83: Exercıcio 7.
8. Determine a medida de AB na figura 84.
C
B
A
60
30
10
o
o
Fig. 84: Exercıcio 8.
9. Determine as medidas dos angulos B e C na figura 85.
C
B
A
6 3
Fig. 85: Exercıcio 9.
10. Na figura 86, o angulo BAC e reto e−−→MN e bissetriz do angulo AMC.
Determine o valor de ANM .
C B
A
N
M Fig. 86: Exercıcio 10.
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Perpendicularidade e paralelismo
11. Na figura 87, BAC e reto e M e o ponto medio de BC. Determine
MAN .
C B
A
N M
30 60 o o
Fig. 87: Exercıcio 11.
12. Na figura 88, AB ≡ AC. Determine o valor de A.
C B
A
D
E
F
Fig. 88: Exercıcio 12.
13. Considere os triangulos T1, T2, . . . , T12 da figura 89. Assinale os pares
de triangulos congruentes e indique o caso de congruencia.
T
3
4
70 o 1
1
2 T
60 o 2
35 o
3
8
T 4 T 3
35 o
25 o
T 5
3
8
35 o
3
6
4 T 6 T 7
10
1
2
60 o
T 8 3
4 70 o
T 9
6
5
20 o
80 o
T 10 3
4
T 11 25 o 35 o 80 o 20 o
5 T 12
10
Fig. 89: Exercıcio 13.
CEDERJ 64
Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5
14. Na figura 90 tem-se m(AC) = m(PR) = 4, m(AB) = m(RS) = 3 e
m(BC) = 6.
A
B C
R
S
P
3 4
6
3
4
Fig. 90: Exercıcio 14.
Considere os casos:
a) C ≡ P , b) B ≡ S e c) C ≡ R
Em que casos podemos determinar a medida de PS?
15. Seja ABC um triangulo isosceles de base BC. Prove que a mediatriz
de BC passa pelo ponto A.
16. (Distancia de ponto a reta) Sejam r uma reta e P /∈ r. Se Q e o
pe da perpendicular baixada de P a reta r, prove que Q e o ponto de
r mais proximo de P . A medida do segmento PQ e definida como a
distancia de P a r.
17. Prove que a medida de um angulo externo de um triangulo e igual a
soma das medidas dos angulos internos a ele nao-adjacentes.
18. (Desafio) Na figura 91, as retas r e s sao perpendiculares.
r
s A
B
Fig. 91: Exercıcio 18.
Qual e o caminho mais curto para ir do ponto A ao ponto B tocando-se
nas duas retas?
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Perpendicularidade e paralelismo
19. Seja ABC um triangulo e r uma reta que nao corta ABC. Sejam A′,
B′ e C ′ os reflexos de, respectivamente, A, B e C em relacao a r, como
na figura 92.
r
C
B
A
A'
B'
C'
Fig. 92: Exercıcio 19.
Prove que o triangulo A′B′C ′ e congruente a ABC.
20. (FUVEST-2001) Na figura 93, tem-se que AD ≡ AE, CD ≡ CF e
BA ≡ BC.
C
B
A D
E
F
80 o
Fig. 93: Exercıcio 20.
Se o angulo EDF mede 80o, entao o angulo ABC mede: (a) 20o
(b) 30o (c) 50o (d) 60o (e) 90o
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Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5
Apendice: Para saber mais...
Neste Apendice vamos apresentar uma prova das proposicoes 7 e 8 que
enunciamos nesta aula.
Proposicao 7
Dada uma reta r e um ponto P , existe uma unica reta s perpendicular a r
passando por P .
Prova:
Temos dois casos a considerar: P ∈ r e P /∈ r. O caso em que P ∈ rpode ser demonstrado facilmente a partir dos axiomas sobre medicao de
angulos (veja a aula 2). No caso em que P /∈ r, tome pontos distintos A
e B em r e trace AP . No outro semiplano determinado por r, trace uma
semi-reta−→AC de modo que BAC ≡ PAB (figura 94).
A
C D
E
B
P
r
Fig. 94:
Sobre−→AC marque o ponto D tal que AD ≡ AP . Seja E o ponto em
que PD intersecta r. Prove que PAE ≡ DAE. Segue daı que P EA ≡ DEA.
Logo, PEA e reto e, portanto,←→PE e perpendicular a r.
Esta provado, assim, que existe uma reta passando por P e perpendi-
cular a r. Falta provar que nao existe outra reta com essa propriedade.
Suponha que exista outra reta←→PF que seja perpendicular a r (figura
95).
E F
P
r
Fig. 95:
Use o teorema do angulo externo para mostrar que isso e um absurdo.
67 CEDERJ
Perpendicularidade e paralelismo
Proposicao 8
Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma reta s paralela a r
contendo P .
Prova:
Sejam r uma reta e P /∈ r. Seja←→PA a reta passando por P e perpendi-
cular a r. Trace a semi-reta−−→PB tal que ˆAPB e reto. Prove, por contradicao,
que←→PB e paralela a r. (Se
←→PB e r nao fossem paralelas, elas se intersectariam
em um ponto C, formando um triangulo com dois angulos retos).
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