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Sumário

APLICAÇÕES DO MÁXIMO DIVISORCOMUM

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

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PROFMAT - Colégio Pedro II

14 de outubro de 2016

Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci

Sumário

1 Equações Diofantinas Lineares

2 Expressões Binômias

3 Números de Fibonacci


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Equações Diofantinas Lineares

A resolução de vários problemas de aritmética recai nasolução, em números interios, de equações do tipo

aX + bY = Z

com a,b, c ∈ ZTais equações são chamadas de equações diofantinas linearesem homenagem a Diofanto de Alexandria (aprox. 300d.C.)

Pergunta: Em que condições tal equação possui soluções e,caso as tenha, como determiná-las?



Proposição 6.1: Sejam a,b, c ∈ Z. A equação aX + bY = cadmite solução em números inteiros se, e somente se, (a,b) | c

Proposição 6.2: Seja x0, y0 uma solução da equaçãoaX + bY = c, onde (a,b) = 1. Então as soluções x , y ∈ Z daequação são

x = x0 + tby = y0 − ta , t ∈ Z



. método para encontrar uma solução particular de umaequação do tipo aX + bY = c, quando (a,b) = 1

Exemplo 6.3: Resolvamos a equação 24X + 14Y = 18Em algumas situações é necessário resolver em N ∪ {0}equações diofantinas da forma aX + bY = c, onde a,b, c ∈ N.Para responder às mesmas perguntas formuladasanteriormente para essas equações, vamos precisar doresultado a seguir

Proposição 6.4: Sejam a,b ∈ N, com (a,b) = 1. Todo númerointeiro c pode ser escrito de modo único da forma c = ma + nb,com 0 ≤ m < b e n ∈ Z



Definição: Sejam a,b ∈ N. Definimos o conjunto

S(a,b) = {xa + yb; x , y ∈ N ∪ {0}

que é chamado de semigrupo gerado por a e b

A equação aX + bY = c, com (a,b) = 1, tem solução emN ∪ {0} se, e somente se, c ∈ S(a,b)

Proposição 6.5: Tem-se que c ∈ S(a,b) se, e somente se,existem m,n ∈ N ∪ {0}, com m < b (univocamentedeterminados por c) tais que c = ma + nb



Definição: Definimos o conjunto lacunas de S(a, b) como sendo o conjunto

L (a, b) = N \ S(a, b)

Corolário 6.6: Temos que

L (a, b) = {ma− nb ∈ N;m, n ∈ N,m < b}

Teorema 6.7: A equação aX + bY = c, onde (a, b) = 1, tem solução emnúmeros naturais se, e somente se,

c /∈L (a, b) = {ma− nb ∈ N;m, n ∈ N,m < b}

Corolário 6.8: Sejam a, b ∈ N tais que (a, b) = 1. Tem-se que (a− 1)(b− 1)é o menor inteiro tal que c ∈ S(a, b) para todo c ≥ (a− 1)(b − 1)



Definição: O número natural k = (a− 1)(b − 1) é cahmado de condutor deS(a, b)

. O número k = (b − 1)a− b é a maior lacuna de S(a, b)

. Na prática, não é difícil determinar se a equação aX + bY = c admitesolução

. A única solução m, n da equação aX + bY = c, com m < b, é uma soluçãominimal, no sentido de quebrase x , y é uma solução, então x ≥ m

Proposição 6.9: Suponhamos que a equação aX + bY = c, com (a, b) = 1,tenha solução e seja x0 = m, y0 = n a solução minimal

As soluções x , y da equação são dadas pelas fórmulasx = m + tb e y = n − ta, t ∈ N ∪ {0}, n − ta ≥ 0



Exemplo 6.10: Vamos determinar para quais valores de c ∈ Na equação 11X + 7Y = c tem soluções em N ∪ {0}

Exemplo 6.11: Resolvamos a equação 11X + 7Y = 58


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Expressões Binômias

Como calcular o mdc de pares de números da forma an ± bn,onde a,b ∈ N, n ∈ N ∪ {0} e (a,b) = 1, mediante o uso doAlgoritmo de Euclides

Proposição 6.12: Dada uma sequência (an)n = (a0,a1,a2, ...)de números naturais tal que a0 = 0 e ∀m ≥ n,(am,an) = (an,ar ), onde r é o resto da divisão de m por n,então tem-se que (am,an) = a(m,n)

Proposição 6.13: Sejam a,b ∈ N, m,n ∈ N ∪ {0} e (a,b) = 1.Se d = (m,n), então

(am − bm,an − bn) = ad − bd



Para calcular (am ± bm,an ± bn) nos outros casos,necessitaremos de alguns lemas

Lema 6.14: Sejam a,b ∈ N e m,n,q, r ∈ N ∪ {0} tais quen = mq + r e (a,b) = 1, então

(an + bn,am − bm) = (am − bm,ar + br )

Lema 6.15: Sejam a,b ∈ N e m,n,q, r ∈ N ∪ {0} tais quem = nq + r e (a,b) = 1, então

(am − bm,an + bn) =

{(an + bn,ar − br ), se q é par(an + bn,ar + br ), se q é ímpar



Lema 6.16: Sejam a,b ∈ N e m,n,q, r ∈ N ∪ {0} tais quem = nq + r e (a,b) = 1, então

(am + bm,an + bn) =

{(an + bn,ar + br ), se q é par(an + bn,ar − br ), se q é ímpar

Corolário 6.17: Sejam a,b,n,m ∈ N com (a,b) = 1, n | m e mn

par. Tem-se que

(am + bm,an + bn) =

{1, se a e b têm paridades distintas2, se a e b são ambos ímpares



Exemplo 6.18: Se n 6= m, então

a) (22n+ 1, 22m

+ 1) = 1

b) (22n+ 32n

, 22m+ 32m

) = 1

c) (32n+ 52n

, 32m+ 52m

) = 2

Teorema 6.19: Sejam a, b ∈ N com (a, b) = 1, e n,m ∈ N ∪ {0}. Sed = (m, n), então

(am − bm, an − bn) = ad − bd

(am ± bm, an + bn) ∈ {1, 2, ad + bd}

Exemplo 6.20: Note que 22 − 1 | 23 + 1. Vamos mostrar que, dadosn,m ∈ N, com m > 2, então 2m − 1 - 2n + 1



Os seguintes dois Corolários do Teorema 6.19 permitir-nos-ão determinar osnúmeros (am ± bm, an + bn), com (a, b) = 1, em todos os casos

Corolário 6.21: Sejam a, b ∈ N com (a, b) = 1, e n,m ∈ N ∪ {0}. Sed = (n,m) então

(am + bm, an + bn) =

ad + bd , se mn

d2 é ímpar2, se mn

d2 é par e ab é ímpar1, se mn

d2 é par e ab é par

Corolário 6.21: Sejam a, b ∈ N com (a, b) = 1, e n,m ∈ N ∪ {0}. Sed = (n,m) então

(am − bm, an + bn) =

ad + bd , se m

d é par2, se m

d e ab são ímpares1, se m

d é ímpar e ab é par


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Números de Fibonacci

Tais números são termos da sequência (un) definida recursivamente porun+2 = un+1 + un, com u1 = u2 = 1

Lema 6.23: Dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci sãocoprimos

Lema 6.24: Se m, n ∈ N são tais que m | n, então um | un

Teorema 6.25: Seja (un)n a sequência de Fibonacci. Então (um, un) = u(m,n)

Teorema 6.26: Sejam m ≥ n > 2. Na sequência de Fibonacci temos que un

divide um se, e somente se, n divide m

Exemplo 6.27: O resultado acima nos permite estabelecer alguns critériosde divisibilidade para os termos da sequência de Fibonacci quedescrevemos a seguir


Outro Jogo

Um jogo, jogado por duas pessoas, consiste de um tablete dechocolate dividido em 6x10 quadradinhos separados porsulcos.

Cada jogador, na sua vez, quebra a barra de chocolate numahorizontal ou numa vertical ao longo de todo um sulco e comeuma das partes. O jogo prossegue com a parte restante atéque um dos jogadores é obrigado a comer o últimoquadradinho que restar, perdendo o jogo

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