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Fontes de BPotencial Escalar Magnético
A Lei de Biot-SavartExemplos
Forças magnéticas entre correntes
Aula de Física III - A Lei de Ampère
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])
Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação
2 de setembro de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei de Ampère
Fontes de BPotencial Escalar Magnético
A Lei de Biot-SavartExemplos
Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Introdução
Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja: ∮
C
~B ∗ ~dl = µ0I (1)
onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N
A2 é dita permeabilidade magnética no vácuo.A equação (1) é a Lei de Ampère para correntes estacionárias.Se aplicarmos (1) no interior da distribuição de corrente, a umasuperfície S limitada pelo contorno C:
I =
∫S
~j ∗ n ∗ dS (2)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei de Ampère
Fontes de BPotencial Escalar Magnético
A Lei de Biot-SavartExemplos
Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Introdução
Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.
Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja: ∮
C
~B ∗ ~dl = µ0I (1)
onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N
A2 é dita permeabilidade magnética no vácuo.A equação (1) é a Lei de Ampère para correntes estacionárias.Se aplicarmos (1) no interior da distribuição de corrente, a umasuperfície S limitada pelo contorno C:
I =
∫S
~j ∗ n ∗ dS (2)
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Fontes de BPotencial Escalar Magnético
A Lei de Biot-SavartExemplos
Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Introdução
Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja:
∮C
~B ∗ ~dl = µ0I (1)
onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N
A2 é dita permeabilidade magnética no vácuo.A equação (1) é a Lei de Ampère para correntes estacionárias.Se aplicarmos (1) no interior da distribuição de corrente, a umasuperfície S limitada pelo contorno C:
I =
∫S
~j ∗ n ∗ dS (2)
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A Lei de Biot-SavartExemplos
Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Introdução
Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja: ∮
C
~B ∗ ~dl = µ0I (1)
onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N
A2 é dita permeabilidade magnética no vácuo.A equação (1) é a Lei de Ampère para correntes estacionárias.Se aplicarmos (1) no interior da distribuição de corrente, a umasuperfície S limitada pelo contorno C:
I =
∫S
~j ∗ n ∗ dS (2)
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Introdução
Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja: ∮
C
~B ∗ ~dl = µ0I (1)
onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N
A2 é dita permeabilidade magnética no vácuo.A equação (1) é a Lei de Ampère para correntes estacionárias.
Se aplicarmos (1) no interior da distribuição de corrente, a umasuperfície S limitada pelo contorno C:
I =
∫S
~j ∗ n ∗ dS (2)
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Introdução
Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja: ∮
C
~B ∗ ~dl = µ0I (1)
onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N
A2 é dita permeabilidade magnética no vácuo.A equação (1) é a Lei de Ampère para correntes estacionárias.Se aplicarmos (1) no interior da distribuição de corrente, a umasuperfície S limitada pelo contorno C:
I =
∫S
~j ∗ n ∗ dS (2)
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Introdução
Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja: ∮
C
~B ∗ ~dl = µ0I (1)
onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N
A2 é dita permeabilidade magnética no vácuo.A equação (1) é a Lei de Ampère para correntes estacionárias.Se aplicarmos (1) no interior da distribuição de corrente, a umasuperfície S limitada pelo contorno C:
I =
∫S
~j ∗ n ∗ dS (2)Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei de Ampère
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Pelo Teorema de Stokes, temos que:
∮C
~B ∗ ~dl =
∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)
Logo: ∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)
que tem que valer para toda S. Isso só é possível se:
~∇ x ~B = µ0~j (5)
As equações ~∇ ∗ ~B = 0 e ~∇ x ~B = µ0~j são as Equações de Maxwell
para o campo magnético no vácuo produzido por correntes
estacionárias, da mesma forma que ~∇ x ~E = 0 e ~∇ ∗ ~E = ρε0
são asEquações de Maxwell para o campo elétrico no vácuo produzido
por cargas estáticas.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Pelo Teorema de Stokes, temos que:∮C
~B ∗ ~dl =
∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)
Logo: ∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)
que tem que valer para toda S. Isso só é possível se:
~∇ x ~B = µ0~j (5)
As equações ~∇ ∗ ~B = 0 e ~∇ x ~B = µ0~j são as Equações de Maxwell
para o campo magnético no vácuo produzido por correntes
estacionárias, da mesma forma que ~∇ x ~E = 0 e ~∇ ∗ ~E = ρε0
são asEquações de Maxwell para o campo elétrico no vácuo produzido
por cargas estáticas.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Pelo Teorema de Stokes, temos que:∮C
~B ∗ ~dl =
∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)
Logo:
∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)
que tem que valer para toda S. Isso só é possível se:
~∇ x ~B = µ0~j (5)
As equações ~∇ ∗ ~B = 0 e ~∇ x ~B = µ0~j são as Equações de Maxwell
para o campo magnético no vácuo produzido por correntes
estacionárias, da mesma forma que ~∇ x ~E = 0 e ~∇ ∗ ~E = ρε0
são asEquações de Maxwell para o campo elétrico no vácuo produzido
por cargas estáticas.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Pelo Teorema de Stokes, temos que:∮C
~B ∗ ~dl =
∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)
Logo: ∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)
que tem que valer para toda S. Isso só é possível se:
~∇ x ~B = µ0~j (5)
As equações ~∇ ∗ ~B = 0 e ~∇ x ~B = µ0~j são as Equações de Maxwell
para o campo magnético no vácuo produzido por correntes
estacionárias, da mesma forma que ~∇ x ~E = 0 e ~∇ ∗ ~E = ρε0
são asEquações de Maxwell para o campo elétrico no vácuo produzido
por cargas estáticas.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Pelo Teorema de Stokes, temos que:∮C
~B ∗ ~dl =
∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)
Logo: ∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)
que tem que valer para toda S. Isso só é possível se:
~∇ x ~B = µ0~j (5)
As equações ~∇ ∗ ~B = 0 e ~∇ x ~B = µ0~j são as Equações de Maxwell
para o campo magnético no vácuo produzido por correntes
estacionárias, da mesma forma que ~∇ x ~E = 0 e ~∇ ∗ ~E = ρε0
são asEquações de Maxwell para o campo elétrico no vácuo produzido
por cargas estáticas.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Pelo Teorema de Stokes, temos que:∮C
~B ∗ ~dl =
∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)
Logo: ∫S
~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)
que tem que valer para toda S. Isso só é possível se:
~∇ x ~B = µ0~j (5)
As equações ~∇ ∗ ~B = 0 e ~∇ x ~B = µ0~j são as Equações de Maxwell
para o campo magnético no vácuo produzido por correntes
estacionárias, da mesma forma que ~∇ x ~E = 0 e ~∇ ∗ ~E = ρε0
são asEquações de Maxwell para o campo elétrico no vácuo produzido
por cargas estáticas.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei de Ampère
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
A restrição a correntes estacionárias está embutida na forma localda Lei de Ampère. De fato, vale a propriedade vetorial:
~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)
Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)
que é a condição para que a distribuição de correntes sejaestacionária. A Lei de Ampère é útil para o cálculo de ~B quando esomente quando a distribuição de corrente é especialmentesimétrica: É preciso que a direção e o sentido de ~B possam serobtidos como consequência da simetria, e que a magnitude de ~Btambém esteja simetricamente distribuída.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
A restrição a correntes estacionárias está embutida na forma localda Lei de Ampère. De fato, vale a propriedade vetorial:
~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)
Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)
que é a condição para que a distribuição de correntes sejaestacionária. A Lei de Ampère é útil para o cálculo de ~B quando esomente quando a distribuição de corrente é especialmentesimétrica: É preciso que a direção e o sentido de ~B possam serobtidos como consequência da simetria, e que a magnitude de ~Btambém esteja simetricamente distribuída.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
A restrição a correntes estacionárias está embutida na forma localda Lei de Ampère. De fato, vale a propriedade vetorial:
~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)
Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j
=⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)
que é a condição para que a distribuição de correntes sejaestacionária. A Lei de Ampère é útil para o cálculo de ~B quando esomente quando a distribuição de corrente é especialmentesimétrica: É preciso que a direção e o sentido de ~B possam serobtidos como consequência da simetria, e que a magnitude de ~Btambém esteja simetricamente distribuída.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
A restrição a correntes estacionárias está embutida na forma localda Lei de Ampère. De fato, vale a propriedade vetorial:
~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)
Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒
~∇ ∗~j = 0 (7)
que é a condição para que a distribuição de correntes sejaestacionária. A Lei de Ampère é útil para o cálculo de ~B quando esomente quando a distribuição de corrente é especialmentesimétrica: É preciso que a direção e o sentido de ~B possam serobtidos como consequência da simetria, e que a magnitude de ~Btambém esteja simetricamente distribuída.
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A restrição a correntes estacionárias está embutida na forma localda Lei de Ampère. De fato, vale a propriedade vetorial:
~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)
Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)
que é a condição para que a distribuição de correntes sejaestacionária. A Lei de Ampère é útil para o cálculo de ~B quando esomente quando a distribuição de corrente é especialmentesimétrica: É preciso que a direção e o sentido de ~B possam serobtidos como consequência da simetria, e que a magnitude de ~Btambém esteja simetricamente distribuída.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
A restrição a correntes estacionárias está embutida na forma localda Lei de Ampère. De fato, vale a propriedade vetorial:
~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)
Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)
que é a condição para que a distribuição de correntes sejaestacionária. A Lei de Ampère é útil para o cálculo de ~B quando esomente quando a distribuição de corrente é especialmentesimétrica: É preciso que a direção e o sentido de ~B possam serobtidos como consequência da simetria, e que a magnitude de ~Btambém esteja simetricamente distribuída.
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Campo Magnético de uma corrente retilínea
Consideremos um o condutorcilíndrico longo, de raio a, quetransporta uma corrente I .A densidade de corrente ~j estáuniformemente distribuída so-bre a secção transversal, deforma que:
|~I | = πa2|~j |
Pela simetria axial, as linhas deforça de ~B dentro e fora do o,são círculos concêntricos, e amagnitude de ~B não varia aolongo de cada um deles.
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Campo Magnético de uma corrente retilínea
Consideremos um o condutorcilíndrico longo, de raio a, quetransporta uma corrente I .
A densidade de corrente ~j estáuniformemente distribuída so-bre a secção transversal, deforma que:
|~I | = πa2|~j |
Pela simetria axial, as linhas deforça de ~B dentro e fora do o,são círculos concêntricos, e amagnitude de ~B não varia aolongo de cada um deles.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Campo Magnético de uma corrente retilínea
Consideremos um o condutorcilíndrico longo, de raio a, quetransporta uma corrente I .A densidade de corrente ~j estáuniformemente distribuída so-bre a secção transversal, deforma que:
|~I | = πa2|~j |
Pela simetria axial, as linhas deforça de ~B dentro e fora do o,são círculos concêntricos, e amagnitude de ~B não varia aolongo de cada um deles.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Campo Magnético de uma corrente retilínea
Consideremos um o condutorcilíndrico longo, de raio a, quetransporta uma corrente I .A densidade de corrente ~j estáuniformemente distribuída so-bre a secção transversal, deforma que:
|~I | = πa2|~j |
Pela simetria axial, as linhas deforça de ~B dentro e fora do o,são círculos concêntricos, e amagnitude de ~B não varia aolongo de cada um deles.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Campo Magnético de uma corrente retilínea
Consideremos um o condutorcilíndrico longo, de raio a, quetransporta uma corrente I .A densidade de corrente ~j estáuniformemente distribuída so-bre a secção transversal, deforma que:
|~I | = πa2|~j |
Pela simetria axial, as linhas deforça de ~B dentro e fora do o,são círculos concêntricos, e amagnitude de ~B não varia aolongo de cada um deles.
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Campo Magnético de uma corrente retilínea
Consideremos um o condutorcilíndrico longo, de raio a, quetransporta uma corrente I .A densidade de corrente ~j estáuniformemente distribuída so-bre a secção transversal, deforma que:
|~I | = πa2|~j |
Pela simetria axial, as linhas deforça de ~B dentro e fora do o,são círculos concêntricos, e amagnitude de ~B não varia aolongo de cada um deles.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Logo, podemos tomar coordenadas cilíndricas com eixo Oz‖~j , eobter:
∮C
~B ∗ ~dl =
∮C
B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)
Para um ponto externo ao o (ρ ≥ a), a corrente que atravessa C éa corrente total I . Logo, a Lei de Ampère dá:
2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I
2πρϕ (ρ ≥ a) (9)
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Logo, podemos tomar coordenadas cilíndricas com eixo Oz‖~j , eobter:
∮C
~B ∗ ~dl =
∮C
B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)
Para um ponto externo ao o (ρ ≥ a), a corrente que atravessa C éa corrente total I . Logo, a Lei de Ampère dá:
2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I
2πρϕ (ρ ≥ a) (9)
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Logo, podemos tomar coordenadas cilíndricas com eixo Oz‖~j , eobter:
∮C
~B ∗ ~dl =
∮C
B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)
Para um ponto externo ao o (ρ ≥ a), a corrente que atravessa C éa corrente total I . Logo, a Lei de Ampère dá:
2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I
2πρϕ (ρ ≥ a) (9)
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Logo, podemos tomar coordenadas cilíndricas com eixo Oz‖~j , eobter:
∮C
~B ∗ ~dl =
∮C
B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)
Para um ponto externo ao o (ρ ≥ a), a corrente que atravessa C éa corrente total I . Logo, a Lei de Ampère dá:
2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I
2πρϕ (ρ ≥ a) (9)
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Logo, podemos tomar coordenadas cilíndricas com eixo Oz‖~j , eobter:
∮C
~B ∗ ~dl =
∮C
B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)
Para um ponto externo ao o (ρ ≥ a), a corrente que atravessa C éa corrente total I . Logo, a Lei de Ampère dá:
2πρB(ρ) = µ0I
=⇒ ~B(ρ) =µ0I
2πρϕ (ρ ≥ a) (9)
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Logo, podemos tomar coordenadas cilíndricas com eixo Oz‖~j , eobter:
∮C
~B ∗ ~dl =
∮C
B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)
Para um ponto externo ao o (ρ ≥ a), a corrente que atravessa C éa corrente total I . Logo, a Lei de Ampère dá:
2πρB(ρ) = µ0I =⇒
~B(ρ) =µ0I
2πρϕ (ρ ≥ a) (9)
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Logo, podemos tomar coordenadas cilíndricas com eixo Oz‖~j , eobter:
∮C
~B ∗ ~dl =
∮C
B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)
Para um ponto externo ao o (ρ ≥ a), a corrente que atravessa C éa corrente total I . Logo, a Lei de Ampère dá:
2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I
2πρϕ (ρ ≥ a) (9)
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Já para um ponto interno (ρ < a), a corrente que atravessa C é:
πρ2j = πρ2I
πa2=ρ2
a2I (10)
Logo:
2πρB(ρ) = µ0ρ2
a2I =⇒ ~B(ρ) =
µ0I
2πρ
a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)
O comportamento de |~B| emfunção de ρ pode ser analisadogracamente.
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IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Já para um ponto interno (ρ < a), a corrente que atravessa C é:
πρ2j = πρ2I
πa2=ρ2
a2I (10)
Logo:
2πρB(ρ) = µ0ρ2
a2I =⇒ ~B(ρ) =
µ0I
2πρ
a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)
O comportamento de |~B| emfunção de ρ pode ser analisadogracamente.
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A Lei de Biot-SavartExemplos
Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Já para um ponto interno (ρ < a), a corrente que atravessa C é:
πρ2j = πρ2I
πa2=ρ2
a2I (10)
Logo:
2πρB(ρ) = µ0ρ2
a2I
=⇒ ~B(ρ) =µ0I
2πρ
a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)
O comportamento de |~B| emfunção de ρ pode ser analisadogracamente.
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Já para um ponto interno (ρ < a), a corrente que atravessa C é:
πρ2j = πρ2I
πa2=ρ2
a2I (10)
Logo:
2πρB(ρ) = µ0ρ2
a2I =⇒
~B(ρ) =µ0I
2πρ
a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)
O comportamento de |~B| emfunção de ρ pode ser analisadogracamente.
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Já para um ponto interno (ρ < a), a corrente que atravessa C é:
πρ2j = πρ2I
πa2=ρ2
a2I (10)
Logo:
2πρB(ρ) = µ0ρ2
a2I =⇒ ~B(ρ) =
µ0I
2πρ
a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)
O comportamento de |~B| emfunção de ρ pode ser analisadogracamente.
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Já para um ponto interno (ρ < a), a corrente que atravessa C é:
πρ2j = πρ2I
πa2=ρ2
a2I (10)
Logo:
2πρB(ρ) = µ0ρ2
a2I =⇒ ~B(ρ) =
µ0I
2πρ
a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)
O comportamento de |~B| emfunção de ρ pode ser analisadogracamente.
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Forças magnéticas entre correntes
IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea
Já para um ponto interno (ρ < a), a corrente que atravessa C é:
πρ2j = πρ2I
πa2=ρ2
a2I (10)
Logo:
2πρB(ρ) = µ0ρ2
a2I =⇒ ~B(ρ) =
µ0I
2πρ
a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)
O comportamento de |~B| emfunção de ρ pode ser analisadogracamente.
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Forças magnéticas entre correntes
Potencial Escalar Magnético
Seja uma espira plana C percorrida por uma corrente I . Pela Lei deAmpère, temos que
∮Γ2
~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1
~B ∗ ~dl = −µ0I
Assim, podemos denir um potencial escalar magnético ψ tal que:
~B = −~∇ψ =⇒2∫
1
~B ∗ ~dl = −2∫
1
dψ = ψ2 − ψ1 (12)
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Forças magnéticas entre correntes
Potencial Escalar Magnético
Seja uma espira plana C percorrida por uma corrente I . Pela Lei deAmpère, temos que
∮Γ2
~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1
~B ∗ ~dl = −µ0I
Assim, podemos denir um potencial escalar magnético ψ tal que:
~B = −~∇ψ =⇒2∫
1
~B ∗ ~dl = −2∫
1
dψ = ψ2 − ψ1 (12)
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Forças magnéticas entre correntes
Potencial Escalar Magnético
Seja uma espira plana C percorrida por uma corrente I . Pela Lei deAmpère, temos que
∮Γ2
~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1
~B ∗ ~dl = −µ0I
Assim, podemos denir um potencial escalar magnético ψ tal que:
~B = −~∇ψ =⇒2∫
1
~B ∗ ~dl = −2∫
1
dψ = ψ2 − ψ1 (12)
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Potencial Escalar Magnético
Seja uma espira plana C percorrida por uma corrente I . Pela Lei deAmpère, temos que
∮Γ2
~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1
~B ∗ ~dl = −µ0I
Assim, podemos denir um potencial escalar magnético ψ tal que:
~B = −~∇ψ =⇒2∫
1
~B ∗ ~dl = −2∫
1
dψ = ψ2 − ψ1 (12)
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Potencial Escalar Magnético
Seja uma espira plana C percorrida por uma corrente I . Pela Lei deAmpère, temos que
∮Γ2
~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1
~B ∗ ~dl = −µ0I
Assim, podemos denir um potencial escalar magnético ψ tal que:
~B = −~∇ψ
=⇒2∫
1
~B ∗ ~dl = −2∫
1
dψ = ψ2 − ψ1 (12)
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Forças magnéticas entre correntes
Potencial Escalar Magnético
Seja uma espira plana C percorrida por uma corrente I . Pela Lei deAmpère, temos que
∮Γ2
~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1
~B ∗ ~dl = −µ0I
Assim, podemos denir um potencial escalar magnético ψ tal que:
~B = −~∇ψ =⇒
2∫1
~B ∗ ~dl = −2∫
1
dψ = ψ2 − ψ1 (12)
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Forças magnéticas entre correntes
Potencial Escalar Magnético
Seja uma espira plana C percorrida por uma corrente I . Pela Lei deAmpère, temos que
∮Γ2
~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1
~B ∗ ~dl = −µ0I
Assim, podemos denir um potencial escalar magnético ψ tal que:
~B = −~∇ψ =⇒2∫
1
~B ∗ ~dl = −2∫
1
dψ = ψ2 − ψ1 (12)
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Forças magnéticas entre correntes
O potencial escalar magnético é produzido por uma camada dedipolos magnéticos distribuídos sobre a superfície S. De fato, daEletrostática, temos que:
V (P) =δ
4πε0
∫S
dS ∗ cosθr2
=δ
4πε0Ω (13)
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Forças magnéticas entre correntes
O potencial escalar magnético é produzido por uma camada dedipolos magnéticos distribuídos sobre a superfície S. De fato, daEletrostática, temos que:
V (P) =δ
4πε0
∫S
dS ∗ cosθr2
=δ
4πε0Ω (13)
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Forças magnéticas entre correntes
O potencial escalar magnético é produzido por uma camada dedipolos magnéticos distribuídos sobre a superfície S. De fato, daEletrostática, temos que:
V (P) =δ
4πε0
∫S
dS ∗ cosθr2
=δ
4πε0Ω (13)
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Forças magnéticas entre correntes
onde δ é a densidade supercial dos dipolos elétricos, e Ω é oângulo sólido total sob o qual a superfície S é vista a partir de P.fazendo as analogias:
δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)
temos o resultado análogo da Magnetostática dado por:
ψ(~R) =µ0I
4π
∫S
dS ∗ cosθr2
=µ0I
4πΩP (15)
que é o potencial escalar magnético criado pela corrente I, dado por~B = −~∇ψ, em relação ao ponto P, orientado por ~R .
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onde δ é a densidade supercial dos dipolos elétricos, e Ω é oângulo sólido total sob o qual a superfície S é vista a partir de P.fazendo as analogias:
δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)
temos o resultado análogo da Magnetostática dado por:
ψ(~R) =µ0I
4π
∫S
dS ∗ cosθr2
=µ0I
4πΩP (15)
que é o potencial escalar magnético criado pela corrente I, dado por~B = −~∇ψ, em relação ao ponto P, orientado por ~R .
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onde δ é a densidade supercial dos dipolos elétricos, e Ω é oângulo sólido total sob o qual a superfície S é vista a partir de P.fazendo as analogias:
δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)
temos o resultado análogo da Magnetostática dado por:
ψ(~R) =µ0I
4π
∫S
dS ∗ cosθr2
=µ0I
4πΩP (15)
que é o potencial escalar magnético criado pela corrente I, dado por~B = −~∇ψ, em relação ao ponto P, orientado por ~R .
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onde δ é a densidade supercial dos dipolos elétricos, e Ω é oângulo sólido total sob o qual a superfície S é vista a partir de P.fazendo as analogias:
δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)
temos o resultado análogo da Magnetostática dado por:
ψ(~R) =µ0I
4π
∫S
dS ∗ cosθr2
=µ0I
4πΩP (15)
que é o potencial escalar magnético criado pela corrente I, dado por~B = −~∇ψ, em relação ao ponto P, orientado por ~R .
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Forças magnéticas entre correntes
onde δ é a densidade supercial dos dipolos elétricos, e Ω é oângulo sólido total sob o qual a superfície S é vista a partir de P.fazendo as analogias:
δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)
temos o resultado análogo da Magnetostática dado por:
ψ(~R) =µ0I
4π
∫S
dS ∗ cosθr2
=µ0I
4πΩP (15)
que é o potencial escalar magnético criado pela corrente I, dado por~B = −~∇ψ, em relação ao ponto P, orientado por ~R .
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Forças magnéticas entre correntes
A Lei de Biot-Savart
Se deslocarmos o ponto P de ~R para ~R + ~dR , temos:
Ψ = Ψ(~R + ~dR)−Ψ(~R) = ~∇Ψ ∗ ~dR = −~B ∗ ~dR (16)
de forma que:
~B ∗ ~dR = Ψ(~R)−Ψ(~R + ~dR) =µ0I
4π(ΩR − ΩR+dR) (17)
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A Lei de Biot-Savart
Se deslocarmos o ponto P de ~R para ~R + ~dR , temos:
Ψ = Ψ(~R + ~dR)−Ψ(~R) = ~∇Ψ ∗ ~dR = −~B ∗ ~dR (16)
de forma que:
~B ∗ ~dR = Ψ(~R)−Ψ(~R + ~dR) =µ0I
4π(ΩR − ΩR+dR) (17)
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A Lei de Biot-Savart
Se deslocarmos o ponto P de ~R para ~R + ~dR , temos:
Ψ = Ψ(~R + ~dR)−Ψ(~R) = ~∇Ψ ∗ ~dR = −~B ∗ ~dR (16)
de forma que:
~B ∗ ~dR = Ψ(~R)−Ψ(~R + ~dR) =µ0I
4π(ΩR − ΩR+dR) (17)
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A Lei de Biot-Savart
Se deslocarmos o ponto P de ~R para ~R + ~dR , temos:
Ψ = Ψ(~R + ~dR)−Ψ(~R) = ~∇Ψ ∗ ~dR = −~B ∗ ~dR (16)
de forma que:
~B ∗ ~dR = Ψ(~R)−Ψ(~R + ~dR) =µ0I
4π(ΩR − ΩR+dR) (17)
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A Lei de Biot-Savart
Se deslocarmos o ponto P de ~R para ~R + ~dR , temos:
Ψ = Ψ(~R + ~dR)−Ψ(~R) = ~∇Ψ ∗ ~dR = −~B ∗ ~dR (16)
de forma que:
~B ∗ ~dR = Ψ(~R)−Ψ(~R + ~dR) =µ0I
4π(ΩR − ΩR+dR) (17)
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A Lei de Biot-Savart
Se deslocarmos o ponto P de ~R para ~R + ~dR , temos:
Ψ = Ψ(~R + ~dR)−Ψ(~R) = ~∇Ψ ∗ ~dR = −~B ∗ ~dR (16)
de forma que:
~B ∗ ~dR = Ψ(~R)−Ψ(~R + ~dR) =µ0I
4π(ΩR − ΩR+dR) (17)
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Forças magnéticas entre correntes
Agora, como cosθ = n ∗ r e dSn = ~dRx ~dl , então:
~B ∗ ~dR =µ0I
4π
∮C
( ~dRx ~dl) ∗ rr2
(18)
o que nos leva a:
~B =µ0I
4π
∮C
~dlx r
r2(19)
Esta é a Lei de Boit-Savart, que determina o campo magnéticodevido a uma distribuição de corrente estacionária de intensidade I,no circuito C, sob a forma de uma integral de linha ao longo docircuito.
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Forças magnéticas entre correntes
Agora, como cosθ = n ∗ r e dSn = ~dRx ~dl , então:
~B ∗ ~dR =µ0I
4π
∮C
( ~dRx ~dl) ∗ rr2
(18)
o que nos leva a:
~B =µ0I
4π
∮C
~dlx r
r2(19)
Esta é a Lei de Boit-Savart, que determina o campo magnéticodevido a uma distribuição de corrente estacionária de intensidade I,no circuito C, sob a forma de uma integral de linha ao longo docircuito.
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Forças magnéticas entre correntes
Agora, como cosθ = n ∗ r e dSn = ~dRx ~dl , então:
~B ∗ ~dR =µ0I
4π
∮C
( ~dRx ~dl) ∗ rr2
(18)
o que nos leva a:
~B =µ0I
4π
∮C
~dlx r
r2(19)
Esta é a Lei de Boit-Savart, que determina o campo magnéticodevido a uma distribuição de corrente estacionária de intensidade I,no circuito C, sob a forma de uma integral de linha ao longo docircuito.
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Forças magnéticas entre correntes
Agora, como cosθ = n ∗ r e dSn = ~dRx ~dl , então:
~B ∗ ~dR =µ0I
4π
∮C
( ~dRx ~dl) ∗ rr2
(18)
o que nos leva a:
~B =µ0I
4π
∮C
~dlx r
r2(19)
Esta é a Lei de Boit-Savart, que determina o campo magnéticodevido a uma distribuição de corrente estacionária de intensidade I,no circuito C, sob a forma de uma integral de linha ao longo docircuito.
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Forças magnéticas entre correntes
Agora, como cosθ = n ∗ r e dSn = ~dRx ~dl , então:
~B ∗ ~dR =µ0I
4π
∮C
( ~dRx ~dl) ∗ rr2
(18)
o que nos leva a:
~B =µ0I
4π
∮C
~dlx r
r2(19)
Esta é a Lei de Boit-Savart, que determina o campo magnéticodevido a uma distribuição de corrente estacionária de intensidade I,no circuito C, sob a forma de uma integral de linha ao longo docircuito.
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de uma corrente retilínea num o
Da Lei de Biot-Savart, temos:
dB =µ0I
4πdx ∗ senθ
r2(20)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de uma corrente retilínea num o
Da Lei de Biot-Savart, temos:
dB =µ0I
4πdx ∗ senθ
r2(20)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de uma corrente retilínea num o
Da Lei de Biot-Savart, temos:
dB =µ0I
4πdx ∗ senθ
r2(20)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de uma corrente retilínea num o
Da Lei de Biot-Savart, temos:
dB =µ0I
4πdx ∗ senθ
r2(20)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ
=⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒
dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r
=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒
senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Fontes de BPotencial Escalar Magnético
A Lei de Biot-SavartExemplos
Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:
~B =µ0I
2πρϕ (22)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Fazendo uma mudança de variável:
x = ρcotgθ =⇒ dx = −ρ dθ
sen2θ
senθ =ρ
r=⇒ senθ
r2=
ρ
r3
Logo:
B =µ0I
4π
π2∫
−π2
−senθ dθρ
=µ0I
2πρ[cosθ]
∣∣∣∣∣π2
0
(21)
onde obtemos:~B =
µ0I
2πρϕ (22)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de uma espira circular no eixo
Da Lei de Biot-Savart, temos:
dBz =µ0I
4πdl
r2cosΨ =
µ0I
4πr2a
rdl (23)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de uma espira circular no eixo
Da Lei de Biot-Savart, temos:
dBz =µ0I
4πdl
r2cosΨ =
µ0I
4πr2a
rdl (23)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de uma espira circular no eixo
Da Lei de Biot-Savart, temos:
dBz =µ0I
4πdl
r2cosΨ =
µ0I
4πr2a
rdl (23)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de uma espira circular no eixo
Da Lei de Biot-Savart, temos:
dBz =µ0I
4πdl
r2cosΨ =
µ0I
4πr2a
rdl (23)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Logo:
~B =
∫dBz k =
µ0ia
4πr3
2πa︷︸︸︷∮C
dl k =µ0ia
2
2r3k (24)
Agora, vimos que o potencial magnético ψ(P) é dado por µ0I4π ΩP ,
onde ΩP é o ângulo sólido do qual o circuito C é visto a partir deP. Daí:
ΩP =
2π∫0
dϕ
θ∫0
senθ′dθ′ = 2π(−cosθ′)
∣∣∣∣∣θ
0
=⇒ ΩP = 2π(1− cosθ)
(25)
Como r = (a2 + z2)12 , então:
Ψ(P) =µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
](26)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Logo:
~B =
∫dBz k =
µ0ia
4πr3
2πa︷︸︸︷∮C
dl k =µ0ia
2
2r3k (24)
Agora, vimos que o potencial magnético ψ(P) é dado por µ0I4π ΩP ,
onde ΩP é o ângulo sólido do qual o circuito C é visto a partir deP. Daí:
ΩP =
2π∫0
dϕ
θ∫0
senθ′dθ′ = 2π(−cosθ′)
∣∣∣∣∣θ
0
=⇒ ΩP = 2π(1− cosθ)
(25)
Como r = (a2 + z2)12 , então:
Ψ(P) =µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
](26)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Logo:
~B =
∫dBz k =
µ0ia
4πr3
2πa︷︸︸︷∮C
dl k =µ0ia
2
2r3k (24)
Agora, vimos que o potencial magnético ψ(P) é dado por µ0I4π ΩP ,
onde ΩP é o ângulo sólido do qual o circuito C é visto a partir deP. Daí:
ΩP =
2π∫0
dϕ
θ∫0
senθ′dθ′ = 2π(−cosθ′)
∣∣∣∣∣θ
0
=⇒ ΩP = 2π(1− cosθ)
(25)
Como r = (a2 + z2)12 , então:
Ψ(P) =µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
](26)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Logo:
~B =
∫dBz k =
µ0ia
4πr3
2πa︷︸︸︷∮C
dl k =µ0ia
2
2r3k (24)
Agora, vimos que o potencial magnético ψ(P) é dado por µ0I4π ΩP ,
onde ΩP é o ângulo sólido do qual o circuito C é visto a partir deP. Daí:
ΩP =
2π∫0
dϕ
θ∫0
senθ′dθ′ = 2π(−cosθ′)
∣∣∣∣∣θ
0
=⇒ ΩP = 2π(1− cosθ)
(25)
Como r = (a2 + z2)12 , então:
Ψ(P) =µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
](26)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Logo:
~B =
∫dBz k =
µ0ia
4πr3
2πa︷︸︸︷∮C
dl k =µ0ia
2
2r3k (24)
Agora, vimos que o potencial magnético ψ(P) é dado por µ0I4π ΩP ,
onde ΩP é o ângulo sólido do qual o circuito C é visto a partir deP. Daí:
ΩP =
2π∫0
dϕ
θ∫0
senθ′dθ′ = 2π(−cosθ′)
∣∣∣∣∣θ
0
=⇒
ΩP = 2π(1− cosθ)
(25)
Como r = (a2 + z2)12 , então:
Ψ(P) =µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
](26)
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Logo:
~B =
∫dBz k =
µ0ia
4πr3
2πa︷︸︸︷∮C
dl k =µ0ia
2
2r3k (24)
Agora, vimos que o potencial magnético ψ(P) é dado por µ0I4π ΩP ,
onde ΩP é o ângulo sólido do qual o circuito C é visto a partir deP. Daí:
ΩP =
2π∫0
dϕ
θ∫0
senθ′dθ′ = 2π(−cosθ′)
∣∣∣∣∣θ
0
=⇒ ΩP = 2π(1− cosθ)
(25)
Como r = (a2 + z2)12 , então:
Ψ(P) =µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
](26)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Logo:
~B =
∫dBz k =
µ0ia
4πr3
2πa︷︸︸︷∮C
dl k =µ0ia
2
2r3k (24)
Agora, vimos que o potencial magnético ψ(P) é dado por µ0I4π ΩP ,
onde ΩP é o ângulo sólido do qual o circuito C é visto a partir deP. Daí:
ΩP =
2π∫0
dϕ
θ∫0
senθ′dθ′ = 2π(−cosθ′)
∣∣∣∣∣θ
0
=⇒ ΩP = 2π(1− cosθ)
(25)
Como r = (a2 + z2)12 , então:
Ψ(P) =µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
](26)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Logo:
~B =
∫dBz k =
µ0ia
4πr3
2πa︷︸︸︷∮C
dl k =µ0ia
2
2r3k (24)
Agora, vimos que o potencial magnético ψ(P) é dado por µ0I4π ΩP ,
onde ΩP é o ângulo sólido do qual o circuito C é visto a partir deP. Daí:
ΩP =
2π∫0
dϕ
θ∫0
senθ′dθ′ = 2π(−cosθ′)
∣∣∣∣∣θ
0
=⇒ ΩP = 2π(1− cosθ)
(25)
Como r = (a2 + z2)12 , então:
Ψ(P) =µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
](26)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei de Ampère
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
A partir de ψ, calculamos ~B :
~B = ~∇ψ = −∂ψ∂z
= − ∂
∂z
µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
]k (27)
Portanto:~B =
µ0ia2
2(a2 + z2)32
k (28)
Para o caso particular no centro da espira, temos que:
~B =µ0i
2a3k (29)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
A partir de ψ, calculamos ~B :
~B = ~∇ψ = −∂ψ∂z
= − ∂
∂z
µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
]k (27)
Portanto:~B =
µ0ia2
2(a2 + z2)32
k (28)
Para o caso particular no centro da espira, temos que:
~B =µ0i
2a3k (29)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
A partir de ψ, calculamos ~B :
~B = ~∇ψ = −∂ψ∂z
= − ∂
∂z
µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
]k (27)
Portanto:
~B =µ0ia
2
2(a2 + z2)32
k (28)
Para o caso particular no centro da espira, temos que:
~B =µ0i
2a3k (29)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
A partir de ψ, calculamos ~B :
~B = ~∇ψ = −∂ψ∂z
= − ∂
∂z
µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
]k (27)
Portanto:~B =
µ0ia2
2(a2 + z2)32
k (28)
Para o caso particular no centro da espira, temos que:
~B =µ0i
2a3k (29)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
A partir de ψ, calculamos ~B :
~B = ~∇ψ = −∂ψ∂z
= − ∂
∂z
µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
]k (27)
Portanto:~B =
µ0ia2
2(a2 + z2)32
k (28)
Para o caso particular no centro da espira, temos que:
~B =µ0i
2a3k (29)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
A partir de ψ, calculamos ~B :
~B = ~∇ψ = −∂ψ∂z
= − ∂
∂z
µ0i
2
[1− z
(a2 + z2)12
]k (27)
Portanto:~B =
µ0ia2
2(a2 + z2)32
k (28)
Para o caso particular no centro da espira, temos que:
~B =µ0i
2a3k (29)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k =
µ0i~S
2z3=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0=⇒ ~E = −~∇φ =
3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k =
µ0i~S
2z3=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0=⇒ ~E = −~∇φ =
3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k
=µ0i~S
2z3=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0=⇒ ~E = −~∇φ =
3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k =
µ0i~S
2z3
=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0=⇒ ~E = −~∇φ =
3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k =
µ0i~S
2z3=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0=⇒ ~E = −~∇φ =
3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k =
µ0i~S
2z3=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0=⇒ ~E = −~∇φ =
3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k =
µ0i~S
2z3=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0
=⇒ ~E = −~∇φ =3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k =
µ0i~S
2z3=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0=⇒
~E = −~∇φ =3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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A Lei de Biot-SavartExemplos
Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k =
µ0i~S
2z3=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0=⇒ ~E = −~∇φ =
3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Espira com Dipolo Magnético
Para z >> a, resulta:
~B =µ0ia
2
2z3k =
µ0i~S
2z3=µ0~m
2z3(30)
onde ~S é a área orientada da espira e ~m o momento de dipolomagnético associado a ela. Agora, como:
φ(~r) =pz
4πε0=⇒ ~E = −~∇φ =
3(~p ∗ r)
4πε0r3r −
~p
4πε0r3(31)
então, por analogia, obtemos:
~B =µ04π
[3(~m ∗ r)
r3r −
~m
r3
](32)
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Figura: Comparação entre as linhas de campo de um dipolo elétrico (a) ede um dipolo magnético (b).
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Forças magnéticas entre correntes
Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Bobina Toroidal
Tomando uma linha circular C de raio r da bobina, a Lei de Ampèredá: ∮
C
~B ∗ ~dl = 2πrB = µ0Ni (33)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Bobina Toroidal
Tomando uma linha circular C de raio r da bobina, a Lei de Ampèredá: ∮
C
~B ∗ ~dl = 2πrB = µ0Ni (33)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Bobina Toroidal
Tomando uma linha circular C de raio r da bobina, a Lei de Ampèredá:
∮C
~B ∗ ~dl = 2πrB = µ0Ni (33)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Bobina Toroidal
Tomando uma linha circular C de raio r da bobina, a Lei de Ampèredá: ∮
C
~B ∗ ~dl = 2πrB = µ0Ni (33)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
pois as N espiras, de corrente i , atravessam C. Logo:
~B =µ0Ni
2πr~θ; (a < r < b) (34)
Para r < a, C não seria atravessado pela corrente, de forma que~B = 0. Para r > b, C é atravessado duas vezes por cada espira,uma com i entrando e outra saindo, de modo que a intensidaderesultante que atravessa C é novamente nula, ou seja:
~B = 0; (r < a ou r > b) (35)
Desta forma, o campo ~B ca inteiramente connado dentro dotoróide. Na verdade, isto não é rigorosamente exato, pois as espirasdescrevem uma hélice, de modo que existe uma componente axialde corrente que dá a volta ao toróide, formando um campo queescapa desta região, porém muito pequeno em relação a (34).
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pois as N espiras, de corrente i , atravessam C. Logo:
~B =µ0Ni
2πr~θ; (a < r < b) (34)
Para r < a, C não seria atravessado pela corrente, de forma que~B = 0. Para r > b, C é atravessado duas vezes por cada espira,uma com i entrando e outra saindo, de modo que a intensidaderesultante que atravessa C é novamente nula, ou seja:
~B = 0; (r < a ou r > b) (35)
Desta forma, o campo ~B ca inteiramente connado dentro dotoróide. Na verdade, isto não é rigorosamente exato, pois as espirasdescrevem uma hélice, de modo que existe uma componente axialde corrente que dá a volta ao toróide, formando um campo queescapa desta região, porém muito pequeno em relação a (34).
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
pois as N espiras, de corrente i , atravessam C. Logo:
~B =µ0Ni
2πr~θ; (a < r < b) (34)
Para r < a, C não seria atravessado pela corrente, de forma que~B = 0. Para r > b, C é atravessado duas vezes por cada espira,uma com i entrando e outra saindo, de modo que a intensidaderesultante que atravessa C é novamente nula, ou seja:
~B = 0; (r < a ou r > b) (35)
Desta forma, o campo ~B ca inteiramente connado dentro dotoróide. Na verdade, isto não é rigorosamente exato, pois as espirasdescrevem uma hélice, de modo que existe uma componente axialde corrente que dá a volta ao toróide, formando um campo queescapa desta região, porém muito pequeno em relação a (34).
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
pois as N espiras, de corrente i , atravessam C. Logo:
~B =µ0Ni
2πr~θ; (a < r < b) (34)
Para r < a, C não seria atravessado pela corrente, de forma que~B = 0. Para r > b, C é atravessado duas vezes por cada espira,uma com i entrando e outra saindo, de modo que a intensidaderesultante que atravessa C é novamente nula, ou seja:
~B = 0; (r < a ou r > b) (35)
Desta forma, o campo ~B ca inteiramente connado dentro dotoróide. Na verdade, isto não é rigorosamente exato, pois as espirasdescrevem uma hélice, de modo que existe uma componente axialde corrente que dá a volta ao toróide, formando um campo queescapa desta região, porém muito pequeno em relação a (34).
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pois as N espiras, de corrente i , atravessam C. Logo:
~B =µ0Ni
2πr~θ; (a < r < b) (34)
Para r < a, C não seria atravessado pela corrente, de forma que~B = 0. Para r > b, C é atravessado duas vezes por cada espira,uma com i entrando e outra saindo, de modo que a intensidaderesultante que atravessa C é novamente nula, ou seja:
~B = 0; (r < a ou r > b) (35)
Desta forma, o campo ~B ca inteiramente connado dentro dotoróide. Na verdade, isto não é rigorosamente exato, pois as espirasdescrevem uma hélice, de modo que existe uma componente axialde corrente que dá a volta ao toróide, formando um campo queescapa desta região, porém muito pequeno em relação a (34).
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de um solenóide
O raio médio do toróide é R = 12(a + b), e sendo n o número médio
de espiras por unidade de comprimento, podemos dizer queN = 2πRn. Assim, o resultado (34) ca:
~B = µ0niR
rθ; (a < r < b)
~B = 0; (r < a ou r > b).(36)
O limite de um toróide quando seus raios tendem ao innito é umsolenóide innito, ou bobina cilíndrica. Mantendo constante onúmero n de espiras por unidade de comprimento, então R
r→ 1, o
que dá: ~B = µ0ni k ; (a < r < b)~B = 0; (r < a ou r > b).
(37)
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Campo de um solenóide
O raio médio do toróide é R = 12(a + b), e sendo n o número médio
de espiras por unidade de comprimento, podemos dizer queN = 2πRn. Assim, o resultado (34) ca:
~B = µ0ni
R
rθ; (a < r < b)
~B = 0; (r < a ou r > b).(36)
O limite de um toróide quando seus raios tendem ao innito é umsolenóide innito, ou bobina cilíndrica. Mantendo constante onúmero n de espiras por unidade de comprimento, então R
r→ 1, o
que dá: ~B = µ0ni k ; (a < r < b)~B = 0; (r < a ou r > b).
(37)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de um solenóide
O raio médio do toróide é R = 12(a + b), e sendo n o número médio
de espiras por unidade de comprimento, podemos dizer queN = 2πRn. Assim, o resultado (34) ca:
~B = µ0niR
rθ; (a < r < b)
~B = 0; (r < a ou r > b).(36)
O limite de um toróide quando seus raios tendem ao innito é umsolenóide innito, ou bobina cilíndrica. Mantendo constante onúmero n de espiras por unidade de comprimento, então R
r→ 1, o
que dá: ~B = µ0ni k ; (a < r < b)~B = 0; (r < a ou r > b).
(37)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de um solenóide
O raio médio do toróide é R = 12(a + b), e sendo n o número médio
de espiras por unidade de comprimento, podemos dizer queN = 2πRn. Assim, o resultado (34) ca:
~B = µ0niR
rθ; (a < r < b)
~B = 0; (r < a ou r > b).(36)
O limite de um toróide quando seus raios tendem ao innito é umsolenóide innito, ou bobina cilíndrica. Mantendo constante onúmero n de espiras por unidade de comprimento, então R
r→ 1, o
que dá:
~B = µ0ni k ; (a < r < b)~B = 0; (r < a ou r > b).
(37)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Campo de um solenóide
O raio médio do toróide é R = 12(a + b), e sendo n o número médio
de espiras por unidade de comprimento, podemos dizer queN = 2πRn. Assim, o resultado (34) ca:
~B = µ0niR
rθ; (a < r < b)
~B = 0; (r < a ou r > b).(36)
O limite de um toróide quando seus raios tendem ao innito é umsolenóide innito, ou bobina cilíndrica. Mantendo constante onúmero n de espiras por unidade de comprimento, então R
r→ 1, o
que dá: ~B = µ0ni k ; (a < r < b)~B = 0; (r < a ou r > b).
(37)
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Para um solenóide real, que é nito, o campo dentro da espira ébem mais intenso que o campo que escapa pelas extremidades.
Figura: Campo de um solenóide nito.
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Campo de uma corrente retilínea num oCampo de uma corrente espira circular no eixoEspira com Dipolo MagnéticoBobina ToroidalCampo de um solenóide
Para um solenóide real, que é nito, o campo dentro da espira ébem mais intenso que o campo que escapa pelas extremidades.
Figura: Campo de um solenóide nito.
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Forças magnéticas entre correntes
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Sejam dois os retilíneos paralelos muito longos, percorridos porcorrentes estacionárias i1 e i2:
O campo magnético ~B1, produzido por i1 num ponto do segundoo é dado por:
~B1 =µ0i12π
ρ12a2ϕ (38)
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Sejam dois os retilíneos paralelos muito longos, percorridos porcorrentes estacionárias i1 e i2:
O campo magnético ~B1, produzido por i1 num ponto do segundoo é dado por:
~B1 =µ0i12π
ρ12a2ϕ (38)
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Sejam dois os retilíneos paralelos muito longos, percorridos porcorrentes estacionárias i1 e i2:
O campo magnético ~B1, produzido por i1 num ponto do segundoo é dado por:
~B1 =µ0i12π
ρ12a2ϕ (38)
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Sejam dois os retilíneos paralelos muito longos, percorridos porcorrentes estacionárias i1 e i2:
O campo magnético ~B1, produzido por i1 num ponto do segundoo é dado por:
~B1 =µ0i12π
ρ12a2ϕ (38)
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Sejam dois os retilíneos paralelos muito longos, percorridos porcorrentes estacionárias i1 e i2:
O campo magnético ~B1, produzido por i1 num ponto do segundoo é dado por:
~B1 =µ0i12π
ρ12a2ϕ (38)
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Forças magnéticas entre correntes
A força com que este campo atua sobre um trecho ~dl2 do segundoo é:
~dF 2(1) = i2~dl2x~B1 = i2 ∗ dl2 ∗µ0i12π
ρ12a2∗ (kxϕ) (39)
o que dá:~dF 2(1)
dl2= −µ0i1i2
2πρ12= −
~dF 1(2)
dl1(40)
Se i2 tivesse sentido contrário a i1, a força seria repulsiva, ou seja,correntes paralelas se atraem, e correntes antiparalelas se repelem.Portanto, a força de interação magnética entre as correntes éproporcional ao produto das intensidades e inversamenteproporcional à distãncia entre elas.
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Forças magnéticas entre correntes
A força com que este campo atua sobre um trecho ~dl2 do segundoo é:
~dF 2(1) = i2~dl2x~B1 = i2 ∗ dl2 ∗µ0i12π
ρ12a2∗ (kxϕ) (39)
o que dá:~dF 2(1)
dl2= −µ0i1i2
2πρ12= −
~dF 1(2)
dl1(40)
Se i2 tivesse sentido contrário a i1, a força seria repulsiva, ou seja,correntes paralelas se atraem, e correntes antiparalelas se repelem.Portanto, a força de interação magnética entre as correntes éproporcional ao produto das intensidades e inversamenteproporcional à distãncia entre elas.
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A força com que este campo atua sobre um trecho ~dl2 do segundoo é:
~dF 2(1) = i2~dl2x~B1 = i2 ∗ dl2 ∗µ0i12π
ρ12a2∗ (kxϕ) (39)
o que dá:
~dF 2(1)
dl2= −µ0i1i2
2πρ12= −
~dF 1(2)
dl1(40)
Se i2 tivesse sentido contrário a i1, a força seria repulsiva, ou seja,correntes paralelas se atraem, e correntes antiparalelas se repelem.Portanto, a força de interação magnética entre as correntes éproporcional ao produto das intensidades e inversamenteproporcional à distãncia entre elas.
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A força com que este campo atua sobre um trecho ~dl2 do segundoo é:
~dF 2(1) = i2~dl2x~B1 = i2 ∗ dl2 ∗µ0i12π
ρ12a2∗ (kxϕ) (39)
o que dá:~dF 2(1)
dl2= −µ0i1i2
2πρ12= −
~dF 1(2)
dl1(40)
Se i2 tivesse sentido contrário a i1, a força seria repulsiva, ou seja,correntes paralelas se atraem, e correntes antiparalelas se repelem.Portanto, a força de interação magnética entre as correntes éproporcional ao produto das intensidades e inversamenteproporcional à distãncia entre elas.
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A força com que este campo atua sobre um trecho ~dl2 do segundoo é:
~dF 2(1) = i2~dl2x~B1 = i2 ∗ dl2 ∗µ0i12π
ρ12a2∗ (kxϕ) (39)
o que dá:~dF 2(1)
dl2= −µ0i1i2
2πρ12= −
~dF 1(2)
dl1(40)
Se i2 tivesse sentido contrário a i1, a força seria repulsiva, ou seja,correntes paralelas se atraem, e correntes antiparalelas se repelem.Portanto, a força de interação magnética entre as correntes éproporcional ao produto das intensidades e inversamenteproporcional à distãncia entre elas.
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