Logaritmos

• 4 é logaritmo (expoente) de 81 na base 3

log𝑎𝑏=𝑥 Logaritmo

logaritmando

base

• Logaritmo é um número (expoente) a que deve elevar um número tomado como base para se obter outro número.

1

Exemplos

log 525=𝑥 log2116

=𝑥 log 232=𝑥

= 25 = X = 2

= =

= x = -4

= 32 = X = 5

log√ 381=𝑥

= = 4 x = 4.2 x = 8

Quando as bases estão iguais, pode cortar.

Quando invertemos um número, seu expoente fica negativo.

Para deixarmos as bases iguais, basta fatorar o outro número e deixar a base dos dois iguais.

2

Toda raiz quadrada, vale dois (√ = 2) e todo número que não tem expoente, tem 1 em cima. (3 = ).

Para tirar um número da raiz, colocamos o expoente de dentro para fora.

3

(0,000064) = =

=

( ) = = x = -6

6

6

Contar os números depois da vírgula e transformar em fração.

Fatorar

Como os dois números estão elevados a 6, basta colocar apenas um expoente 6 fora do parêntese.

Simplificar a fração e inverter a fração para as bases ficarem iguais.

= x

=0,25 =

=

=

= X = -2

Transformar 0,25 em fração (dois números depois da vírgula = 100).

Simplificar e inverter.

fatorar o 4 para ficar igual a base 2 do lado esquerdo.

Multiplica-se os expoentes.

Exemplos

4

Dicas

N = (√3) ² N = 3

Quando há raiz quadrada e expoente dois, pode cortar.

= x = 1 x = 0

423421 elevado a 0 vai dar 1.Todo número elevado a zero é 1.

= 100 x = 2

Quando a base não aparecer, será sempre 10.

0,0025 = 4 números depois da vírgula =

0,02 = 2 números depois da vírgula =

O x do log sempre estará depois da igualdade.

log 24=𝑥

elevado a

Exercícios

a)

b)

c)

d) = 2

e)

f)

g)

h)

i)

j)5

a)

b)

c)

d)

e) f)

g)

O valor de

a) b) c)

d) e) -1

é:a) b) c) 4 d) 1

a) B)c) d)

e) f)

Exercícios - Respostas

6

a) 3/2b) -6c) 1/6d) 3/2e) 4f) 7g) 2h) 0i) 2j) -5

a) 3b) 4c) 3d) 5/3e) 3/2f) 5/6g) 5/6

Alternativa: D

Alternativa B

a) 125b) 3c) 27d) 3e) 2.5 f) 3

Propriedades dos logaritmos

7

a)

b)

c) =

d) = C.

Multiplicação = adição

Divisão = subtração

Raiz = fração

Expoente = multiplicador

Exemplos

8

log )

2 + 4 + 6 12

Sendo = 1 e = 5, calcule:

- 1 – 5 -4

2. 2. = 9 2.2 4

Sendo:

Calcule: 2 log𝑏 𝑦 .𝑥

+ 2.3 + (-4) 6 – 4 2

Exercícios

9

Sendo

b) )

Assinale a propriedade que está correta:a) b) c) d) e) =

Dado log 2x = 2,4 e log 2 = 0,3, calcule x.

Calcular:a)2.b) Log a + log b + log cc) Log 6d)

e) Log f)

Exercícios - Respostas

10

a) 6b) 0

Alternativa E x = 8

a) b) Log (a.b.c) c) Log 2 + log 3d) 2. log ab – log ce) 0f)1

Mudança de base

11

log𝑐𝑎→log𝑏𝑎log𝑏𝑐

Nova base

A nova base aparece em cima e em baixo da divisão.

Acompanhado da nova base, aparecem os dois termos que estavam no antigo log. Deixando a velha base por último, em baixo.

C > 0 e C ≠ 0

Exemplos

12

Transformar

= = 3 x = 6

x = 2

Sabendo que log25 = 20 e log27 = 10, resolva log25 . Log72.

=2

Exercícios

13

Determine o valor de log50 100, sabendo que log10 5 = a. Se log3 a = x, então log9 a² é igual a:a) 2x²b) x²c) x + 2d) 2xe) x

Calcule log27 z, sabendo que log3 z = w.

Supondo que uma máquina de calcular apenas possa determinar logaritmos na base 10, por exemplo, temos log2 = 0,30. Calcular log2 10 .

Exercícios - Respostas

14

log2 10= 10/3

Equações logarítmicas

15

log 2 (𝑥2+𝑥−4 )=3

Elevado a

Igual alog 3 (3− 𝑥 )=¿ log 3(3 𝑥+7)¿

Cortar apenas quando são dois log, um de cada lado da igualdade.

Soma ou subtração: aplicamos as propriedades.

2. log 𝑥=log (2 𝑥−3 )− log (𝑥+2)

log 𝑥 ²=log2 𝑥−3𝑥+2

log 4 𝑥+¿ log𝑥 4=2¿

log 4 𝑥+¿ log𝑥log4 4

log 4𝑥¿ = 2

Trocar de base para poder resolver.

Sempre verificar, ou seja, substituir no x.

Exemplos

16

log x–16 = 1log x – 1 6 = 1(x – 1)¹ = 6x – 1 = 6x = 6 + 1x = 7

x – 1 > 0 7 – 1 = 6.

S {7}Sempre tem que dar um número maior que zero para entrar na solução.

log 5 (x + 2) = 2log 5 (x + 2) = 2x + 2 = 5²x + 2 = 25x = 25 – 2x = 23

x + 2 > 023 - 2 = 21

S {23}

log2x + log2 (x – 2) = log28log2x + log2 (x – 2) = log28log2 x . (x – 2) = log28x . (x – 2) = 8

x² – 2x – 8 = 0∆ = -2² - 4. 1. -8 = 36x = -2² +/- 6 2. 1

X-2 > 0 x-2 > 04-2 = 2 -2 -2 = 0

S { 4}

4-2

V

VV

F

Exercícios

17

a) log 3 (x + 5) = 2b) log (3+x) (x2 – x) = 1c) log 2 (4x + 5) = log 2 (2x + 11)

01) O conjunto solução da equação logarítmica é: (A) {-1; 2} (B) {-2; 1} (C) {-2} (D) {1} (E) { }

4) (UFRGS) A solução da equação está no intervalo: (A) [-2; -1] (B) (-1; 0] (C) (0; 1] (D) (1; 2] (E) (2; 3]

Exercícios - Respostas

18

a) S = {4} b) S = {-1,3}c) S = {-4, 3}

(B) {-2; 1}

(C) (0; 1]

•FIM